l'orbite de Mars par Kepler

Astrogebra

La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler

2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 2

Contexte historique

• Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements.

• Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER (1571-1630) , convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois dites lois de Kepler.

• Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe.

• L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473–1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures.


Principe de la méthode de Kepler

• Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de l’observateur.

• Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor.

• Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés.

• Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic.

• Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars ».


M ar s

Ter r e

Sol ei l

l mar s

l sol ei l

Au temps t1


Au temps t2 =T1 + 1 période de Mars

Mars est revenu à la même place et la Terre a fait un tour de plus


Période synodique

La méthode de Kepler demande la connaissance de la période sidérale de Mars.

La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.

Celle-ci est calculée par la période synodique qui, elle, est directement observable.

Pour sauter le calcul de la période synodique période sidérale passer à

Tracé de l’orbite de Mars


Révolution sidérale et révolution synodique

La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.

relation période synodique – période sidérale

Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre.

Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées.

Pour une planète intérieure

1 1 1

T T SP T

1 1 1

T T SP T

Pour une planète extérieure


Mesure de la période synodique

Observation des temps d’opposition

La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique.

Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives.


On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec :

• un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et chercher par interpolation soit

- le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction- le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions.

et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques.

• un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler le temps.Les temps observés peuvent être imprécis.


Observation des temps d’opposition


Sans toucher à l’heure, avancer ou reculer le temps de mois en mois d’abord, puis de jour en jour à l’approche de l’opposition jusqu’à ce que Mars soit dans le méridien.

Temps des oppositions :

Temps des oppositions avec Skyglobe

configuré à Londres,face au Sud,à minuit en hiver ou 1 heure en été.

Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement approchée.

On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts l’instant où les ascensions droites des deux astres diffèrent exactement de 12 heures.


D:\prg_sources\astro\skyglobe\Skyglobe.exe


Temps des oppositions avec les éphémérides

On peut chercher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées.Méthode fastidieuse et longue.

programme ICE ou autresou

http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php

Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.

Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel d’interpolation, de trouver la date.



Heliocentric Coordinates of MARS Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 47 05 22.2 - 0 04 51.9 1.4654601 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 47 39 10.1 - 0 03 46.5 1.4666980 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 48 12 54.5 - 0 02 41.1 1.4679400 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 48 46 35.6 - 0 01 35.9 1.4691859 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 49 20 13.2 - 0 00 30.7 1.4704357 Heliocentric Coordinates of EARTH Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 48 42 06.5 + 0 00 00.4 .9900451 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 49 42 26.1 + 0 00 00.3 .9898078 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 50 42 47.1 + 0 00 00.2 .9895744 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 51 43 09.6 0 00 00.0 .9893453 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 52 43 33.6 - 0 00 00.1 .9891206

Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition.Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques.

Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.

Temps des oppositions avec les éphémérides



Période synodique

Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un.

Le jour julien

La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalles de temps entre deux dates.

Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers !

Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cette année scolaire.

1er septembre 2004 et 1er juillet 2005


Utilisation de ICE

Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date

• Entrer la date (F1/F1)• Donner le nom du fichier de sortie (F2)• Faire faire le calcul (F3/F3)



• Entrer la date (F1) avec le format exact (décimales non obligatoire)• Donner le nombre de ligne de calcul (F5)• Sortir du menu (F7)

•Entrer la date (F1) : ouverture du menu :

Utilisation de ICE



• Sortir (F10)• Récupérer le fichier de données

pour les insérer dans le fichier excel

• Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F3) / (F3) :

Mars

Terre(earth)

oppositions_mars.xls

Utilisation de ICE


On obtient pour la période synodique : 782,26 jours

et la période sidérale : 685,17 jours

Valeurs officielles de l’UAI : 779,936 jours et 686,980 jours

Utilisation de ICE



Classement par couples pour le tracé géométrique ?

DateJour julien

longitudeSoleil

longitudeMars

17/02/1585 2300017 339,38 135,20

10/03/1585 2300038 359,68 131,80

5/01/1587 2300704 295,35 182,13

26/01/1587 2300725 316,10 184,70

28/03/1587 2300786 16,83 168,20

12/02/1589 2301473 333,70 218,80

19/09/1591 2302422 185,78 284,30

6/08/1593 2303109 143,43 346,93

7/12/1593 2303232 265,88 3,07

25/10/1595 2303919 221,70 49,70

Observations de Mars utilisées par Kepler

Données dans le fichier excel : data_kepler.xls

Résultats fichier excel : data_kepler_res.xls


Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ?

Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler

DateJour julien

Tlongitude

Soleillongitude

Mars

10/03/1585 2300038 359,68 131,80

26/01/1587 2300725 687 316,10 184,70

17/02/1585 2300017 339,38 135,20

5/01/1587 2300704 687 295,35 182,13

28/03/1587 2300786 16,83 168,20

12/02/1589 2301473 687 333,70 218,80

19/09/1591 2302422 185,78 284,30

6/08/1593 2303109 687 143,43 346,93

7/12/1593 2303232 265,88 3,07

25/10/1595 2303919 687 221,70 49,70



Méthodes

Manuelle

Analytique

Semi manuelle (IRIS)

Geogebra

180

190

200

250260 270 280

i r e de Lyon1999PhM

CP-Obse r va t o

160

170

8090100110

290

0340

35010

20

70

Oy y

x x

y R L

x R Ll

y y

x x

y R L

x R Ll

T T

T TM

T T

T TM

1

1

1

11

2

2

2

22

sin( )

co s( )tan( )

sin( )

co s( )tan( )

Mars


M ar s

Ter r e

Sol ei l

l mar s

l sol ei l

202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280


CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

40

0

60

70

LTerre = lSoleil-180

lSoleil

On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions.

Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace :- le centre (O), emplacement du Soleil- la direction Og, origine des directions

L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm.

O

LTerre = lSoleil +/- 180°

Terre

Tracé d’un couple d’observations

Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle lMars

De même pour la deuxième observation.

Mars

202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280


CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

40

0

60

70

Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions.

On recommence pour les autres couples d’observations.


202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280


CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

40

0

60

70

Tracé d’un couple d’observations

On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions.

Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace :- le centre (O), emplacement du Soleil- la direction Og, origine des directions

L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm.

O

LTerre = lSoleil +/- 180°

Terre

Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle lMars

De même pour la deuxième observation.

Mars

Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions.

On recommence pour les autres couples d’observations.


3 S

2

1

4

5

A l’aide de la feuille transparente

Orbite de MarsObservations de Kepler

Observatoire de Lyon (FC) kepcercl.skd - 99/07/05

R = 90 mm

• on recherche le meilleur ajustement d’un des cercles.

• noter le rayon et la position du centre.

• le rayon trouvé donne le demi grand axe a de l’orbite de Mars exprimé en rayons de l’orbite terrestre.

• de c et a on en déduit l’excentricité e.

Orbite de Mars

• la distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars


Méthode analytique

On exprime les équations des droites Terre-Mars aux deux positions :

x R L x R L

y R L y R LT T

T T

1 1 2 2

1 1 2 2

co s( ) co s( )

sin( ) sin( )

y x x l yM M M ( ) tan( )1 1 1

x RL l L l L L

l lM TT M T M T T

M M

co s( ) tan( ) co s( ) tan( ) sin( ) sin( )

tan( ) tan( )2 2 1 1 2 1

2 1

Coordonnées des points T1 et T2 :

Intersection des deux droites :

y y

x x

y R L

x R Ll

y y

x x

y R L

x R Ll

T T

T TM

T T

T TM

1

1

1

11

2

2

2

22

sin( )

co s( )tan( )

sin( )

co s( )tan( )

Positions de Mars à partir des deux observations.


Résultats

Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res.xls

Rayon orbite Terre : 60 mm

PointPositions Terre Position Mars

x1 y1 X2 y2 x mars y mars r mars

1 -59,9991 0,3351 -43,2331 41,6041 -93,2231 37,4942 100,4807

2 -56,1562 21,1301 -25,6888 54,2226 -87,1775 51,9356 101,4753

3 -57,4301 -17,3720 -53,7892 26,5843 -97,9352 -8,9100 98,3397

4 59,6950 6,0425 48,1878 -35,7483 71,7411 -41,2163 82,7379

5 4,3107 59,8449 44,7983 39,9138 64,4358 63,0696 90,1652

3 S

2

1

4

5

Programmation dans excel : fichier kepler_calculs.xls


Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité

Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques.

Construction d’une image avec les points positionnés.

Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite.jpg).

Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture.

Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné.

On mesure pour les points de la Terre et de Mars,les rayonset les positions des centres

des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites.

(Analyse / Photométrie d’ouverture)


Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS

Traitement par IRIS d’imaorbite.jpg

On mesure pour les points de la Terre et de Mars,• les rayons• les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites.

Mesu. 1 Mes. 2

xt

yt

rt

Echelle

xm

ym

rm

a Mars

e Mars Résultats ->

Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris.xls

Construire les formules pour arriver aux résultats


Mars

On mesure pour les points de la Terre et de Mars• les rayons• les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites.

Terre

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS

Résultats imaorbite.jpg

Mesu. 1 Mes. 2

xt 500 500

yt 501 501

rt 300 300

Echelle

xm 0.200 0.200

ym 463 464

rm 533 530

a Mars 1.5333 1.5367

e Mars 0.1063 0.1003



Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ?

Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Marset des excentricités de 0,01671 et 0,090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ?

La différence correspond au tracé de l’épaisseur - d’un trait fin pour la Terre- d’un trait un peu épais pour Mars.

(a-b)0,01 mm0,40 mm

b59,99291,598

TerreMars

a6090

e0,016710,09340

Programmation dans excel : fichier kepler_iris.xls feuille 2

Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls feuille 2


L’orbite de Kepler avec Géogébra

Les données de départ sont les mêmes mises dans la partie tableur.

A l’aide du tableur trouver les couples qui correspondent à la période synodique.

3 - Calculer la période sidérale de Mars

1 - Repérer les configurations Terre Soleil Mars semblables

2 – noter les espaces de temps les séparant

- 17 février 1585 et 28 mars 1787 769 jours

- 5 janvier 1587 et 12 février 1789 769 jours

- 19 septembre 1591 et 7 décembre 1793 810 jours

Moyenne : 782.7 jours

1 1 1

T T SP T

P = 684,6 jours 686.98 jours

Comment ?

Recherche des couples de même élongation au Soleil

Colonne I faire les différences de longitudes Soleil-Mars.

Fichier : keplomars_depart.ggb


Recherche des couples d’observation séparés par une période sidérale

Les dates doivent différer d’environ une période sidérale de Mars.

Se servir du tableur pour trouver les couples

1 - 17/02/1585 et 05/01/1587

2 - 10/03/1585 et 26/01/1587

3 - 28/03/1588 et 12/02/1589

4 - 19/09/1591 et 06/08/1593

5 - 07/12/1593 et 25/10/1595

Dans les colonnes J, K et L faire les différences des dates jours juliens entre les observations de deux en deux (col. J), de trois en trois (col. K) et de quatre en quatre (col. K)


Orbite de la Terre

Placer le Soleil au centre : point S

Dessiner l’orbite de la Terre

C_T = Cercle[S,1]

On assimilera l’orbite de la Terre à une orbite circulaire.

Le cas d’une orbite légèrement elliptique sera abordée à la fin.

L’origine des longitudes héliocentriques est l’axe des x.

S = (0,0)


Construction des points de l’orbite de Mars

Pour chaque couple, on choisira :

• un bouton logique de visibilité des droites et intersection la construction

• une couleur

1 2 3 4 5

Date 1 17/02/1585 10/03/1585 28/03/1588 19/09/1591 07/12/1593

Date 2 05/01/1587 26/01/1587 12/02/1589 06/08/1593 25/10/1595

Couleur (0,102,204) (102,204,0) (255,102,102) (153,153,0) (255,204,0)

Flag flg_1 flg_2 flg_3 flg_4 flg_5


Construction point 1 de la Terre

Dates 17/02/1585 et 05/01/1587

• 17/02/1585

• 05/01/1587

T_1=(1;159.38°)

T'_1=(1;115.21°)

ou

T'_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur[S,(-cos(G6*pi/180),-sin(G6*pi/180))]]]

T_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur[S,(-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]]

Coul : (0,102,204)flg_1

Longitude Terre/Soleil = long. Soleil/Terre+180°

ou


Construction premier point de Mars

Construction des directions vers Mars : T1 : H4 (135.12°) et T’1 : H6 (182.08°)

Direction de Mars de T1

d’1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,(cos(H6*pi/180),sin(H6*pi/180))]]

Direction de Mars de T’1

d1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,cos(H4*pi/180),sin(H4*pi/180))]]

Position de Mars : M_1=Intersection[d1,d'1]

Construire les quatre autres points.

Mettre la condition de visibilité flg_1


Tracé des points de l’orbite de Mars


Recherche de l’orbite

Supposition : l’orbite elliptique est très proche d’un cercle

• qui passe au mieux des cinq points

Ce cercle est déterminé par :

son centre C de coordonnées :xC et yC

Son rayon r

On recherchera l’ajustement

• du meilleur cercle


Méthode sous Geogebra

A partir d’un cercle donné, proche des points

• calcul la distance des points au cercle • somme des carrés de ces distances appelée excès E.

Si le cercle passe par tous les points, E est nul.

En faisant varier la position du centre et le rayon du cercle, on va chercher à minimiser cet excès E.

Pour la variation des trois paramètres, on crée trois curseurs :

Calcul de l’excès E

On tracera le cercle et apparaître son centre C

x_C y_C r


Calcul de l’excès

I1 est à l’intersection de CM1 et du cercle.

Idem pour M2, M3…

E M I M I M I M I M I ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12

2 22

3 32

4 42

5 52

I1

Mesure de MI1

I_1=Intersection[DemiDroite[M_1,C],c_M]

L_1=Longueur[Vecteur[I_1,M_1]]

E=L_1^2+L_2^2+L_3^2+L_4^2+L_5^2

Affichage avec un texte : "E=" + E

Propriété texte : mettre 10 décimales, taille 14 et Gras


Ajustement du cercle

On agit sur les trois curseurs

En itérant jusqu’à ce que E soit minimal.

On agira successivement sur xC, yC, r et l’on recommencera par xC…

Pour faire varier un curseur de façon très progressive lui donner dans les Propriétés un incrément de 0 (minimum).

Les curseurs varient doucement lorsqu’on les sélectionne à la souris et que l’on agit sur les touches flèches .


Calcul des éléments de l’orbite

Tracer le grand axe de l’orbite de Mars

gaxe=Droite[C,S]

Demi-grand axe a :

Créer les points d’intersection J1 et J2 du cercle cM et gaxe

J=Intersection[gaxe,c_M]

Le demi-grand axe = CJ1

a=Longueur[Vecteur[C,J_1]]

Excentricité :

e_M=Longueur[Vecteur[C,S]]/a

Longitude du périhélie :

Lper = Angle[Vecteur[(0, 0), (1, 0)], Vecteur[C, S]]

Afficher a, e et Lper.


Résultats

Littérature :

a = 1,524

e = 0,09340

lg per = 336,1°

Géogébra :

Et si l’on tient d’une orbite elliptique de la Terre ?


Orbite elliptique de la Terre

L’orbite de la terre sera toujours considérée comme un cercle

L’orbite ne sera plus centrée sur le Soleil

Position du centre avec ?

eT = 0.01671

lT : 102,94°

a = 1 c = 0.01671

Position de CT :

xT = c cos(lT + 180°)

Cercle orbite Terre : c_T= (x_T,y_T)

y_T=e*sin(l_T+180°)

x_T=e*cos(l_T+180°)

yT = c sin(lT + 180°)


Orbite elliptique de la Terre

Positions des points T1, T’1, T2, …

Intersection demi-droite ST et cercle

T_1=Intersection[c_T,DemiDroite[S,vecteur[(0,0), (-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]]

Le reste est inchangé.

Il suffit de refaire l’ajustement qui minimise l’excès E.

Comme dans le cas précédent :


Littérature

a = 1,524

e = 0,09340

lg per = 336,1°

Version 1 Version 2

Nouveaux résultats

Les mesures de Tycho Brahé étaient bonnes !


. . . . . FIN

Documents

l'orbite de Mars par Kepler