M5 - DYNAMIQUE

Compétences attendues :

Programme S.T.I. :

• Principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement

Déterminer l’accélération d’un solide.Déterminer les actions mécaniques qui

agissent sur le solide en mouvement

Mise en évidence du principe

• Expérience 1 :

• Comparer la vitesse de rotation de la patineuse dans les deux cas. Que constatez-vous ?

La vitesse dépend de la répartition de la matière autour de l’axe de rotation.

Soit une patineuse de masse m faisant la "toupie" (rotation d'axe fixe)

Cette grandeur s’appelle le moment d’inertie noté IG

Moment d’inertie

IG représente le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation du système isolé (c’est la répartition de la matière autour de l’axe de rotation) . Il est exprimé en kg.m2

VolumeMoment d’inertie

représentation

Cylindre plein

IG = ½ m.R2

Cylindre creux

IG = ½ m.(R2+r2)

Rayon R

Rayon R

Rayon r

Mise en évidence du principe

• Expérience 2 :

Le couple moteur Cm

trois roues indépendantes de masse et de rayon différents (IG différents) sont guidées par des roulements identiques. On néglige toutes résistances passives.

vélo voiture

tracteur

Sur quelle grandeur physique faut-il agir pour que les trois roues aient la même accélération w’ ?

Principe fondamental de la dynamique de rotation

EnoncéLa somme des moments qui agissent sur le solide S, est égale au moment d’inertie du solide IG multipliée par son accélération angulaire w’ .

NEWTON1642 - 1727

Le solide est équilibré en translation donc la somme des forces est nulle

')/(

GG ISSM

Le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation.

Autour de l’axe de rotation : Cm – Cr = IG x w ’

Rappel de cinématique : w ’ = (w-wo)/t ou w ’ =(w2-w02)/2(-0)

Application : démarrage à vide d’une perceuse

1/ Calculer l'accélération angulaire au moment du démarrage.

x

Le couple de démarrage d’une perceuse est de 0,1 N.m.

Sa vitesse de rotation en régime permanent est de 3000 tr/mn.

Le moment d'inertie des parties tournantes est de 10-4 kg.m2 .

PFD : Cm – Cr = IGx . w’

w’ = ( Cm – Cr ) / IGx

w’ = ( 0,1 – 0 ) / 10-4 = 103 rd/s2

Application : démarrage d’un moteur

AG

volant

stator 1

rotor

bati 0

Cm Cr x

S

L’inventaire des actions mécaniques extérieures à S est définit comme suit :

Soit l’ensemble S en liaison pivot d’axe Ax.

L’ensemble de la chaîne cinématique est modélisé par un volant plein de rayon R= 150 mm et de masse m= 50 kg.

* un couple moteur au démarrage de 5 Nm* un couple résistant de 0,2 Nm * Le poids de l’ensemble tournant de 500N

* l’ action de guidage en A de 0 sur S

P

démarrage d’un moteur (suite)

1/Modéliser les Actions mécaniques extérieures au solide S tournant :

xyz

AA

AAA

ANZMY

XST

RxAenddl

0

/00000

0

xyzA

NmmCT

0000

50

xyzA

NmrCT

00002,00

xyzG

NSTterre

00050000

/

démarrage d’un moteur (suite)2/ Calculer la durée de l’accélération pour que le moteur atteigne la vitesse de 1500 tr/mn :

2-1/ en négligeant les frottements  2-2/ en considérant que tous les frottements se

réduisent à un couple de frottement Cf = 0,2 Nm.

Frottements négligés

Cf = 0,2Nm

PFD

Cm - Cr

IGX=1/2.m.R2

w’= (Cm-Cr)/IGX

t = (w-w0) / w’

Cm – Cr = IGX . w’

5Nm 4,8Nm

½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2

8,89 rd/s2

(1500.2/60)/8,89= 17,67s

8,53 rd/s2

(1500.2/60)/8,53= 18,41s

Application : Freinage du moteur

L’arrêt d’un arbre moteur tournant à 1500 tr/mn s’effectue en 1 seconde.Déterminer le couple de freinage assurant l’arrêt de moteur.

Frottements négligés

Cf = 0,2Nm

PFD

IGX=1/2.m.R2

w’ = (w-w0) / t

Cm-Cr

Cfreinage=Cr-Cf

Cm – Cr = IGX . w’

½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2

(-1500.2/60)/1 = - 157,08 rd/s2

- 88,36 Nm

88,36 Nm 88,16 Nm

Application : solide en liaison pivot

On considère un ensemble S en liaisonpivot d’axe (A,x).

A S

X

Y

ZA

A

A

A XYZ

( / )1

0

0

0

B S Y

ZB

B

B XYZ

( / )2

0 0

0

0

* Le poids est modélisable en G par : T terre S

G XYZ

( / )

0 0

200 0

0 0

C S

C XYZ

( / )3

0 2

100 0

0 0

* Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une linéaire annulaire d’axe Bx.

A BC

P

Gxy

OI(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2

AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4

* Le couple moteur est modélisable en C par :

solide en liaison pivot (suite)

1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R des actions mécaniques extérieures agissant sur S.*Transfert des torseurs au point A :

XYZ

AA

A

AZYX

SA

000

)/1(

B

B

B

BSBA

XYZB

B

AXYZBYZ

ZYBBASMSM

YZZY

ZYSB

B

B

B

B

32,032,000

0032,0

)/2()/2(32,032,000

0000

)/2( /2

5,4

00

0300

0015,0

)/()/(5,40

03000

0003000

)/(

PGASTMSTMSTerreT GA

XYZAXYZG

4002

0100

0

004,0

002

)/3()/3(400010020

00010020

)/3( /3

SCA

XYZAXYZC

CCASMSMSC

solide en liaison pivot (suite)

* PFD :

XYZ

AX

A

AAAA

ISCSterreTSBSA

0000

'.0)/3()/()/2()/1(

XYZB

B

AYZZY

B

B

32,032,000

XYZA

5,4003000

XYZA

040

010020

XYZAA

A

AZYX

000

XYZ

AX

A

I

0000

'.0

* Équations :

)6(0405,432,0)5(032,0)4('.2)3(0)2(010030)1(0

B

B

AX

BA

BA

A

YZIZZ

YYX

0)3(

0)5(

0)1(

A

B

A

Z

Z

X

* Résolution :

2.250008,0/2

/2')4(

94,40)2(

94,110)6(

S

AX

A

B

rd

I

Y

Y

solide en liaison pivot (suite)

2/ Déterminer l’accélération angulaire ’’ du mouvement de S/R et en déduire la nature du mouvement.

3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de régime N = 1500 tr / mn.

2.250''')4( Srd

20 .250602.1500

''' Srdtt

St 628,05250

602.1500