Maple5_chap05_fonctions_PCSI

- page 6 -

Exercices chapitre 5

Exercice 1 Prvoir et expliquer les rponses de Maple 1) > f := sin : map (f , [Pi/2 , 3*Pi , Pi/3 , I ]) ; # map applique f sur toutes les composantes de la liste; une liste se note

entre crochets. 2) > (x > x)(2) ; (x > sqrt(x))(1) ; 3) > restart : x:= 1 : f := x > ln(x) + sqrt(x) : f (y) ; f (x) ; 4) > restart : f: = ln : g:= sqrt : f @ g(x) ; ( f @ g)(x) ; x:= 1 : f @ g(x) ; ( f @ g)(x) ; 5) > g:= exp(x) : D(g) ; D(sin*cos) ; (D@@5)(cos) ; 6) > sin@@(1) ; arcsin@@(1) ; ln@@(1) ; 7) > restart : (sin@arcsin)(x) ; (arcsin@sin)(x) ; simplify((arcsin@sin)(x),symbolic) ; exp(ln(x)) ; (exp@ln)(x) ; exp@ln(x)

; (exp@@(2))(exp(1)) ; 8) > (sqrt@@2)(16) ; (sqrt@@3)(27) ; 9) > restart : ( f @@4)@( f @@5) ; ( f @@4)@@3 ; ((( f @@3)@@2)@ f )(x) ; (f @@(1)@ f )(x) ; 10) > restart : D(g@ f ) ; D( f @@3) ; (D@@2)(1/r) ; normal (" + 1/r);

Exercice 2 Cet exercice utilise les listes (voir chapitre 8) : une liste est une suite ordonnes de valeurs, spares par des virgules, le

tout tant mis entre crochets. C'est une des principales faons de manipuler des donnes et de prsenter des rsultats sous Maple.

1) On pose f:= x > if x 0 then x*ln(x) ; else 0 ; fi : que fait cette fonction; calculer avec Maple f ( 2) , f

(0), f ( 1). 2) Taper > a:= 0 : b:= 1 : n:= 10 : liste0:= [a + k*(b a)/n $ k = 0 .. n] ;

Que fait cette commande ? Construire une liste nomme liste1 en appliquant f tous les nombres de la liste liste0 (utiliser la commande map). Construire de mme une liste2 en appliquant evalf tous les termes de liste1.

3) On peut accder au i-ime terme de liste2 par la commande liste2[i]. Calculer la somme b a

n

k = 0

n 1

f (a + k b an

)

et comparer le rsultat avec 1

0 f (x) dx (tester diffrentes valeurs de n)

4) Refaire les calculs et la comparaison du (4) pour d'autres fonctions f

Exercice 3 Calculer les drives et limites suivantes l'aide de Maple 1) Drive de (1 + a/x)x et limite en + de (1 + a/x)x. 2) Drive n-ime de 11 + x pour diffrentes valeurs de n ; conjecturer la formule pour n quelconque puis la dmontrer par

rcurrence. 3) lim

x @ + x

2 + 3x 7 x ; lim

x @ x

2 + 3x 7 x

4) limx @ 0

x E(1/x) ; limx @ +

x E(1/x) (E(x) dsigne la partie entire de x; fonction floor(x) dans Maple)

5) limx @ 0+

(sin x)x 1x

x 1 ; limx @ +

(1 + ln x/x)ln(x) ; limx @ +

(ln (1 + x)/ln (x))xln(x) .

6) Calculer la drive n-ime de exp (1/x2 ) pour diffrentes valeurs de n; que peut-on conjecturer dans le cas n quelconque ?

Exercice 4 Drive schwarzienne On pose Sf (x) = f "' (x) / f ' (x) 3/2 (f "(x) / f ' (x) ) 2 . 1) Calculer Sf (x) pour f = sin , cos , tan , exp , x2 , (x a)(x b)(x c) ; prouver que pour ces fonctions Sf < 0 2) Calculer Sf (x) pour f = ln , 1/x , sqrt , 1/(ax + b) , x3 + 3x

Maple5_chap05_fonctions_PCSI

- page 7 -

3) Prouver l'aide de Maple la formule Sg f (x) = f ' (x)2 Sg ( f (x)) + Sf (x). En dduire que la proprit Sf < 0 est stable par composition.

Exercice 5 Fonctions dfinies rcursivement

1) Dfinir une fonction qui calcule le n-ime terme de la suite rcurrente

u0 = 1un+1 = 1/2(un + a/un) sinon , a tant un rel

positif fix. Etudier le comportement de cette suite pour diffrente valeurs de a.

2) Mme chose pour

u0 = 0.5un+1 = aun (1 un) , a tant un rel positif fix

Exercice 6

Etudier l'aide de Maple la convergence de la suite

un + 1 = 12 (un + vn)

vn + 1 = un vn

u0 = 1 , v0 = 2

; on note sa limite.

Calculer une valeur approche de l'intgrale J = 2pi

1

0

dt1 t4

et conjecturer la valeur de J.

Exercice 7 Conjecture de Syracuse Dfinir pour n , la fonction syracuse (n) =

n/2 si n pair(3n+1)/2 si n impair (utiliser pour les tests, les commandes type(n,even)

et type(n, odd) qui testent la parit). Etudier les images successives par syracuse d'un entier n donn et mettre une conjecture.

Exercice 8

Etudier la suite un = 1 + 2 + ... n