1Automatique

Systèmes linéaires asservis : analyse de la stabilité

UV Automatique

ASI 3

Cours 4

2Automatique

Contenu! Introduction

" Éléments d'une structure d'asservissement

! Système en boucle fermée"Fonction de transfert en boucle ouverte – notion de chaîne

directe

" Fonction de transfert en boucle fermée

" Propriétés des systèmes asservis

! Analyse de la stabilité d'un système asservi" Critère de Routh" Critère de Nyquist" Critère du revers

3Automatique

Introduction (1) ! Schéma de principe d'un asservissement

Correcteur

Système

Capteur

yc + - ε

actionneur y u

d

! yc : consigne

! ε = yc – y : signal d'erreur (écart entre consigne et sortie du système)

! Correcteur : élabore la loi de commande u

! Actionneur : applique la commande au système. Joue en général le rôle d'amplificateur de puissance

! y : sortie du système ou grandeur à asservir

4Automatique

Introduction (2)! Structure fonctionnelle d'un asservissement

C(s) H(s) yc + − ε y u

d

++ +

+

be

F1(s)

G(s) ++r

bm

F2(s)

! C(s) : fonction de transfert du correcteur

! H(s) : fonction de transfert du système

! G(s) : fonction de transfert de la boucle de retour (capteur en général)

! r : signal de retour

! d : perturbation externe (mesurable ou non), bm : bruit de mesure

! be : bruit d'entrée (bruit de transmission de u aux actionneurs)

5Automatique

Introduction (3)! Types d'asservissement

" Régulation : consigne yc constante" Poursuite de trajectoire : consigne yc varie

! Objectifs de l'asservissement" Stabilité du système asservi" Précision : en régime permanent, la sortie doit suivre la

consigne " Rapidité : Le système asservi doit répondre le plus

rapidement possible aux variations de la consigne" Rejet des perturbations et des bruits càd " Robustesse : le système en BF doit résister aux

variations de paramètres, à l'imprécision du modèle H(s)Le travail de l'automaticien est de régler convenablement le correcteur pour répondre au mieux à ces exigences

0=by

6Automatique

Analyse du système asservi (1)

! Définitions" Fonction de transfert en boucle ouverte HBO(s)

Supposons les perturbations et les bruits nuls. La fonction de transfert en boucle ouverte est la transmittance entre le signal d'erreur ε et le signal de retour r

C (s) H (s) yc + − ε y u

d

++ +

+

be

F1(s)

G (s) ++r

bm

F2(s)

)()()()()()( sGsHsCs

sRsHBO =Ε=

7Automatique

Analyse du système asservi (2)" Chaîne directe

" Fonction de transfert en boucle fermée HBF(s)

Si G(s)=1, on parle de retour unitaire

C'est la transmittance entre la consigne yc et la sortie y

)(1)()()( sH

sHsCsHBO

BF +=

C'est la cascade de transmittance entre une entrée (yc ou les perturbations d, bm, be) et la sortie y

Entre yc et y : C(s)H(s), Entre d et y : F2(s)

Entre be et y : F1(s)H(s), Entre bm et y : C(s)H(s)

Dans ce cas particulier, on a : )(1)()( sH

sHsHBO

BOBF +=

)()()(1)()(

)()()( sGsHsC

sHsCsYsYsH

cBF +==

8Automatique

Analyse du système asservi (3)

! Fonction de transfert entre la sortie y et les perturbations

! Expression de la sortie du système bouclé

Remarque La fonction de transfert entre la sortie asservie y et une entrée est le rapport de la transmittance de la chaîne directe sur 1+HBO(s).

)(1)()(

)()()( 1

sHsHsF

sBsYsP

BOee +== )()(1

)()()(

)()( sHsHsHsC

sBsYsP BF

BOmm =+==

)(1)(

)()()( 2

sHsF

sDsYsP

BOd +== )()()()( sGsHsCsHBO =avec

)()()()()()()()()( sBsHsDsPsBsPsYsHsY mBFdeecBF −++=

9Automatique

Propriétés d'un système asservi

! Stabilité

! Précision

! Performances dynamiques

Le système asservi doit fonctionner automatiquement. Il est indispensable qu'il soit stable. Autrement, le système évolue ens'éloignant de son point (ou trajectoire) d'équilibre, ce qui peut engendrer des saturations voire une dégradation du système

En régime permanent, la sortie du système asservi doit suivre laréférence sans erreur et rejeter rapidement les perturbations

Elles caractérisent le temps de réaction du système lorsque la consigne varie et la rapidité avec laquelle le système asservi "efface" les perturbations

10Automatique

Stabilité des systèmes linéaires asservis (1)

! Notion de stabilité : définitions

! Théorème de stabilité

# Un système est stable si et seulement si écarté de sa position d'équilibre (point ou trajectoire), il tend à y revenir. Une faible perturbation des conditions initiales du système engendre une faible perturbation de sa trajectoire

# Un système est stable si en réponse à une entrée bornée, la sortie du système est borné

Un système linéaire continu à temps invariant est asymptotiquement stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont à parties réelles strictement négatives

11Automatique

Stabilité des systèmes linéaires asservis (2)

! Elements de démonstration

( )∏∏∏

+−−−

=k kki i

l l

cbsaszsK

sH 22)()()(

)(

Décomposition en éléments simples ∑∑

+−++−= k

kk

kki

i

i

cbsCsB

asAsH 22)(

)(

Réponse impulsionnelle ∑ ∑ ++= i k k

tbk

tai tceDeAth ki )sin()( φ

La réponse impulsionnelle converge si les termes sont convergents c'est-à-dire si ai et bk sont négatifs

tkbtia ee et

Soit le système de fonction de transfert01

01)(asasabsbsbsH n

n

mm

++++++=

L

L

H(s) a des pôles réels λi=aiet/ou complexes λk=bk+jck, λ∗

k=bk−jck

⇒

⇓

⇒

12Automatique

Stabilité des systèmes linéaires asservis (3)! Application du théorème de stabilité aux systèmes en BF

! Outils d'analyse de la stabilité en BF à partir de HBO(s)" Critère algébrique de Routh" Critère graphique de Nyquist

)(1)()()( sH

sHsCsHBO

BF += )()()()( sGsHsCsHBO =avec

Le système asservi est stable asymptotiquement si et seulement si les pôles de HBF(s) sont à parties réelles strictement négatives

Equation caractéristique du système asservi : 0)(1 =+ sHBO

Le système asservi est stable ssi les racines de l'équation caractéristique sont à parties réelles strictement négatives.

Peut-on analyser la stabilité en BF à partir de HBO(s) sans calculer explicitement la fonction de transfert en BF? Oui!

13Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (1)

! Intérêt du critère

! Principe du critère de Routh

" Condition nécessaire (CN) de stabilité

Soit D(s) le dénominateur de la fonction de transfert d'un système

)()()( sD

sNsH = 01)( asasasD nn +++= Lavec

Le critère de Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique D(s)=0 du système sont à parties réelles positives ou non sans calculer explicitement ces racines

01)( asasasD nn +++= L

Une condition nécessaire de stabilité est que tous les coefficients ai de D(s) soient strictement de même signe.

14Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (2)! Principe du critère de Routh

" Condition nécessaire et suffisante (CNS) de stabilité

Si la CN est vérifiée, il faut construire le tableau de Routh

………………

…a44a43a42a41Ligne 4

…a34a33a32a31Ligne 3

…an-7an-5an-3an-1Ligne2

…an-6an-4an-2anLigne 1

Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))

131

2

31 −−−

−

−=n

nn

nn

aaaaa

a

151

4

32 −−−

−

−=n

nn

nn

aaaaa

a

313231

31

41 aaaaa nn

a−−

−=

313331

51

42 aaaaa nn

a−−

−=

15Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (3)Enoncé du critère de Routh : CNS

! Application du critère de Routh à un système en BF

Un système est asymptotiquement stable ssi tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe

Remarques # Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles à parties réelles positives# Si dans la première colonne il existe un élément nul, le système admet au moins un pôle à partie réelle positive ou une paire de pôles conjugués imaginaires purs

)()()()()(

)(1)()()( sNsD

sHsCsDsHsHsCsH

BOBO

BO

BOBF +=+=

Appliquer le critère de Routh au dénominateur de la fonction de transfert en BF c'est-à-dire DBO(s) +NBO(s)

)()()( sD

sNsHBO

BOBO = ⇒Soit

16Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (4)

! Exemple 1 : étude de la stabilité du système en BF

Boucle fermée à retour unitaire :

H (s) yc + −

ε y

)3(10)( 2 ++

=sss

sH

10310

)(1)()( 23 +++

=+=ssssH

sHsH BF

Tableau de Routh

010Ligne 4

0-7Ligne 3

101Ligne2

31Ligne 1

103)( 23 +++= ssssDBF

Il y a un changement de signe dans la première colonne de ce tableau

Le système en boucle fermée à retour unitaire est instable

17Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (5)

! Exemple 2 : étude de la stabilité du système en BF

yc + − ε y K )1(

1+ss

51+s

)5)(1()( ++= sssKsH BO

0KLigne 4

0Ligne 3

K6Ligne2

51Ligne 1D'après le critère de Routh, la condition de stabilité impose :

et

⇒Ksss

sKsH BF ++++=

56)5()( 23

630 K−

0>K 0630 >− K

⇒ 300 << K

K : gain variable

18Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (6)! Remarques

" Stabilité absolue

" Stabilité conditionnelle

H (s) yc + −

ε y

G (s)

Soit un système de gain KB0 en boucle ouverte

Le système est à stabilité absolue s'il existe une valeur limite du gain Klim telle que le système soit stable en boucle fermée pour KB0< Klim et instable pour KB0 > Klim

Le système est à stabilité conditionnelle s'il est stable pour un certain intervalle de valeurs [Klim,1, Klim,2] du gain KB0 et instable en dehors de cet intervalle

19Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (1)

! Théorème de Cauchy

C'est une méthode graphique permettant de déterminer si le dénominateur de HBF(s) n'a pas de pôles instables à partir de la connaissance de HBO(s). Elle est basée sur le théorème suivant :

Soit F(s) une fonction de la variable complexe s admettant P pôles et Zzéros dans un contour fermé C. Lorsque s décrit le contour C, la courbe F(C), image de C par F(s)effectue T=P−Z tours autour de l'origine. T est compté positivement si C et F(C) sont orientés dans le même sens et négativement autrement

Re(s)

Im(s)

C

pôle

zéro

+

Re(F(s))

Im(F(s))

F(C)

20Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (2)! Contour de Nyquist

Le contour d'exclusion de Nyquist Γenglobe tout le demi-plan droit correspondant aux pôles et zéros à parties réelles strictement positives de la fonction de transfert F(s)

Im

R→+∝

ω → +∞

ω → −∞

ω → 0+

ω → 0−

Reε

I

IIIIIIV

] [ ωω js =∞−∈ ,0, :I

] [ ωω js =∞+∈ ,,0:II

∞→

−∈= Rs j ,

2,

2,Re : III ππθθ

0 ,2

,2

, : IV →

−∈= εππθε θjes

L'image de Γ par F(s) est le diagramme de Nyquist de F(s)

R→+∝

ω → +∞

ω → −∞

Re

Im

I

II

III

21Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (3)

! Etape préliminaire

)()()()()(

)(1)()()( sNsD

sHsCsDsHsHsCsH

BOBO

BO

BOBF +=+=

)()()( sD

sNsHBO

BOBO =

⇒

Soit un système asservi de transmittance en BO

De plus )(

)()()(1 sDsNsDsH

BO

BOBOBO

+=+

Remarques

# Les zéros de 1+HBO(s) sont les pôles de HBF(s)

# 1+HBO(s) et HBO(s) ont les mêmes pôles

22Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (4)! Application du théorème de Cauchy à 1+HBO(s)

Le diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) effectue T=P−Ztours dans le sens trigonométrique autour de l'origine.

Soit P le nombre de pôles instables de 1+HBO(s) (donc de HBO(s))

Soit Z le nombre de zéros à parties réelles positives de 1+HBO(s)

Remarques# Les zéros de 1+HBO(s) étant les pôles de HBF(s) , la condition de stabilité du système en BF impose que 1+HBO(s) ne possède pas de zéros à parties réelles positives càd Z=0 ⇒ T=P

# En pratique, étudier la position du diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) par rapport à l'origine équivaut à analyser la position du diagramme de HBO(s) par rapport au point –1 appelé point critique

Théorème

23Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (5)

! Enoncé du critère de Nyquist

Un système en boucle fermée est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que le diagramme de Nyquistde sa transmittance en boucle ouverte HBO(s) effectue autour du point -1 et dans le sens trigonométrique, un nombre de tours T égal au nombre de pôles instables P de HBO(s)

# Les pôles instables et les zéros à parties réelles positives sont comptés avec leur ordre de multiplicité

# L'intérêt du critère de Nyquist est d'étudier les conditions de stabilité du système asservi à partir du diagramme deNyquist du système en boucle ouverte

Théorème

24Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (6)

! Exemple 1Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte

)1)(1()(21 sTsT

KsH BO ++=

avec 5.0 ,1,5 21 === TTK

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1

Point critique HBO(s) n'a pas de pôle instable P=0. Le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0.

Le système est stable en boucle fermée

⇓

25Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (7)

! Exemple 2Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte )255)(1(

20)( 2 ++−=

ssssH BO

HBO(s) a un pôle instable λ=1 ⇒ P=1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

Point critique

Or le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0. Le système est donc instable en boucle fermée

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique

Vérifier ce résultat par le critère de Routh

26Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (8)

! Exemple 3Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte )1)(14(

)(+−

=ss

ksH BO

HBO(s) a un pôle instable λ=1/4 ⇒ P=1.

La condition de stabilité impose que OM > OC c'est-à-dire k > 1

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique

-2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

Point critique

k O C M

Vérifier ce résultat par le critère de Routh

27Automatique

Simplification du critère de Nyquist

! Critère du reversSi le système est stable en boucle ouverte (HBO(s) n'a pas de pôles ni zéros instables), une condition nécessaire et suffisante de stabilité asymptotique du système en boucle fermée est qu'en parcourant le lieu de Nyquist de HBO(s) dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique –1 à gauche

Re

Im

-1

ω ↑

Stabilité en boucle fermée mais non asymptotique (système juste oscillant)

Re

Im

-1

ω ↑

Re

Im

-1

ω ↑

Stabilité asymptotique en boucle fermée

Instabilité en boucle fermée

28Automatique

Critère du revers dans le plan de Black

! DéfinitionPlan de Black : point critique a pour coordonnées C(-π, 0dB)

Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La condition de stabilité asymptotique du critère du revers impose que le déphasage ϕBO(ωc0) soit supérieur à −π (arg(HBO(jωc0) > −π) c'est-à-dire en parcourant le lieu de Black dans le sens des ωcroissants, on laisse le point critique –1 à droite

Re

Im

-1

ω ↑

ϕ

G (dB)

-π/2-ππππ

ωc0

correspond à

29Automatique

Critère du revers sur le lieu de Bode! Définition

−π

0 dB

0 dB

0 dB

ωc0

ωc0

ωc0

ωlog

G (dB)

ϕ (rad)

ωlog

Cas 1

Cas 2Cas 3

Cas 1 : stabilité asymptotique du système en BF

Cas 2 : stabilité non asymptotique du système en BF

Cas 3 : instabilité du système en BF