masterat CPAM

8/6/2019 masterat CPAM

1/60

SOLICITARI MECANICE IN

COMPONENTELE MOTOARELOR

CU ARDERE INTERNA

Campul de tensiuni

Una din principalele probleme ale mecanicii structurale o reprezintainvestigarea cam purilor de tensiuni interne si deplasari, care pot fi efectuataplecand de la incinta sectiunilor. Astfel, consideram fortele ce actioneazaasupra unu i corp ca in figura 2.1.

Se considera ca fortele externe aplicate pe o parte a unui corp sectionatarbritar, trebuie sa fie in echilibru cu fortele interne dezvoltate pe acea

sectiune. Este important de notat ca unele cupluri se pot gasi in echilibrudinamic.

Fig. 2.1


2/60


3/60


4/60


5/60

Figura 2.4.Schema determinari i tensorului tensiune

Relatiile 2.5 pot fi sense matriceal sub forma,(2.6)

M3

Cum {T} si {v} sunt matrice coloana asociate unor vectori, rela{ia 2.6ca [TO] este o matrice asociata unui tensor simetric de ordinal al doilea

[51].Tntr-o stare generala de tensiuni, vectorul tensiune ce actioneaza pe o

normala v, depinde de directia lui v. Se poate arata ca oricandfie normal, tensiune principala, la respective suprafaja, [37,93,109].

Fie v vectorul unitate in direcjia unei axe principale si fie a tensiuneacorespunzatoare. Atunci, vectorul tensiune ce acjioneaza p

normala la v are componenteleCT-VJ.Pe de alta parte, acelasi vectodat de expresia T ,unde ^este tensorul tensiune.Scriind, v, = fyvj, se obtine:


6/60

Sistemul de ecuatii 2.7 are un set de solutii nenule v - , , v2, v3, daca snumai daca determinanljul coeficienjilor se anuleaza.x : , -a-8, = 0 (2.8)Ecuatia 2.8 este o ecuatie de gradul trei Tn a. Radacinile sale sun

tensiunile principale.Dezvoltand ecuatja 2.8 se objine,

u n d e ,

ij > J =

Tu-0 T , 2 T , 3I21 T22-0 T23T 3 , T 3 2 T 33 -a

= -a3+I, - a 2 - I 2 - a + I 3 = 0 (2.9)

I , = T n + T 2 2 + T 3 3 , I2 =T2 2 T23"^32 ^33

+T33 T31 Tll T12T13 T ll T21 ^22 '

T ll ^ 12 ^13^21 ^22 ^23T31 T32 T33

Pe de alta parte, daca c^ < T 2 , a3, sunt radacinile ecuatiei 2.9, atuncaceasta se poate scrie ca:(a-a,Xa-a2Xa-a3)=0 (2.10Se poate observa ca urmatoarele relatii Tntre radacini si coeficienti sunt

I, =a, +a2 + < T 3I2 = < CTCT

= CTaCT

( 2 .11

Datorita faptului ca tensiunile principale caracterizeaza starea fizica det ens iuni Tntr-un punct, ele sunt independente de orice coordonate de referintaDeci ecuatia 2.10 este independenta de orientarea coordonatelor de referinDar 2.10este exact aceeasi cu 2.9. Atunci, 2.9 si coeficientii I.,, I2, I3, suninvariant tensorului tensiune Tnraport cu rotirea coordonatelor, [37,107].3 3 =J intensitatea medie a3Notand cu CT = 3 3tensiunilor normale, se poate scrie tensorul tensiune astfel:

T22

31 32 33

o oc r m 00 a

T n care tensorul sferic al tensiunilor Sc produce doar variatie de volum, ia


7/60

Daca axele de referinta x,, x2, x3, sunt alese sa coincida cu axeleatunci m atricea componentelortensiunii devine:

w - a, 0 00 a2 00 0 a3

(2.13)

Am aratat ca pe un element de suprafata cu vectorul unitate normal v,componente v,, exista o tensiune T; T; = T . Fie componenta lui T Tnlui v, tensiunea normala a (n). Daca componenta unui vector Tn direcjiaui unitar este data produsul scalar al celor doi vector!, se objine,

0(n) = T 1 - v j = T . j - v i - v j (2.14)Pe de alta parte, pornind de la faptul ca vectorul T poate fi descompusdoua componente ortogonale a (n) si t, se observa ca marimea tensiuniifigura 2.5, pe o suprafata avand normala v este data de ecuatia:T =TJ-o(n ) (2.15)

Fie axele principale alese axe de coordonate si a^ a2, a3, tensiunileatunci,=a2v2 T3=o3v3

T

ecuajia 2 .14,

Substituind Tn ecuatia 2.15 si notand ca( V 1 ) 2 - ( v 1 ) 4 = ( v 1 ) 2 i ( l - ( v , ) ' 2 ) = ( v 1 ) 2 ( ( v 2 ) 2 + ( v 3 ) 2 )

(2.16)

(2.17), - - (2-18)'K-^ - . >

(2.19)

i" -(v.JWfo -a2)2 + ( v 2 ) 2 ( v 3 ) 2 ( a 2 -a3)2 + (v 3 ) 2 ( v , ) 2 ( a 3 -a,)2 (2.20)Avem T J J = 0 , daca i *j, s i ^= CT^ ! T2=a2v2 T3=a3v3 (2.21)


8/60

Rezolvand 2.21 pentru v,, v2, v3 , si Tnlocuind Tn 2.22, se va observa catoate componentele T, satisfac ecuatia,(T,)2 ; (T2)2 | (T 3)2(a,)2 (a2)2 (a3)2 (2.23)care este ecuatia unui elipsoid raportat la un sistem rectangular de

coordonate cu axele T 1f T2, T 3.Acest elipsoid reprezinta locul geometric al varfurilor vectorilortensiunilor T, pornind dintr-un centru comun, numit elipsoidul lui Lame , figura

2.6, [50,107].

Figura 2.5.Componentele tensiuniipe o suprafata

Otto Mohr a reliefat un rezultat interesant si anume, daca cr(n) si Tacjioneaza pe orice sectiune care poate fi reprezentata grafic Tntr-un plan, cu asi T coordonate ca Tn figura 2.7, ele vor forma un domeniu Tnchis reprezentat dearia hasurata marginita de cele trei cercuri cu centrele pe axa a. Acest rezultatensiunea normala cea mai mare, si (ara3)/2 este cea mai mare tensiuntangentiala pentru toate suprafetele posibile. Planul pe care cea mai martensiune tangenjiala actioneaza este Tnclinat la 45 fata de planele principalpe care cr, si a3 actjoneaza [37,51,112].


9/60

x, a

T h

( b )Figura 2.6.Elipsoidul lu i Lame


10/60

2(3)

YI21 --*S'

b) c )Figura 2.8.Schemele tensiunilor tangen#ale max/me

O importanja deosebita in determinarea ecuatiilor de echilibru Cauchyau legile de miscare ale lui Newton pe care este fondata mecanica mediilomateriale continue [42,51,64].

Fie un sistem de coordonate x, y, z, si spatiul ocupat de un cormaterial la un moment dat t, notat D(t). Se considera vectorul pozitie al unparticule raportat la originea sistemului de coordonate, r, densitatematerialului, p, vectorul viteza v al particulei care este localizata la punctul (x, z) si care are volumul dV si masa pdV.

D(t),Fie integrala cantitatii de miscare, (pdV)v, al particulelor peste domeniH= JvpdV (2.24

D ( t )

Fie integrala momentului impulsului al particulelor raportat la originerxv(pdV), peste domeniul D(t),

K= J r x v p d VD(t)

Legile lui Newton pentru medii continue, sunt:

(2.25

dt= L = rxF = dKdt

(2.26(2.27

2


11/60

Exists doua tipuri de forte externe ce actioneaza asupra corpurilor dimedii lor continue: fortele masice ce acjioneaza pe elemente ddin corp, ca fortele gravitajionale si fortele electrom agne tice, si forjele dca presiunea datorata contactului mecanic dintre doua corpuri [51a specifica forta masica, consideram vectorul forta rezultant dat de forjpresupus a fi reprezentat Tn forma unei integrale de volum luata pestspatiului D(t),marginit de suprafata S(t),JxdV (2.28

D(t)

Figura 2.9.Componentele fortei masice

Forta totala ce actioneaza asupra corpului din spatiul D(t), este(2.29

Similar, cuplul Tn raport cu originea este


12/60


13/60

e po scr e ecua e e ec ru a e or e or n rec n e x, y s z,d a , ' '-+_J+n-L+ X = 0dx dy d z9i da,, 8 - t :d x dy d z - + Y = 0

d x d y d zreprezinta ecuatiile de echilibru Cauchy [51,107].Tntregul set de ecuajii se poate scrie concis, astfel:

(2.33)

-s- + X i =0* j(2.34)

Echilibrul unui element cere deasemenea ca momentul rezultant sa seDin ecuajiile de momente Tn raport cu centrul de greutate al elementului

obtine:

(2.35)

reprezinta principiul dualitatii eforturilor unitare tangenjiale [51,107], ceeaca tensorul tensiune este simetric, scris concis sub forma:Ty =Tj; " " * " ' " > . ' / (2.36)

Pentru a determina ecuatiile de echilibru cu ajutorul teoreme i lu i Gaussformulei lui Cauchy, se scrie teorema lui Gauss pentru un camp tensorial

(2.37)

Pentru a determina ecuatiile de echilibru pe aceasta cale, se pleaca deH= F.

(2.38)


14/60

Egaland expresiile 2.38 si 2.39, se obtine,(2.40)

Utilizand formula lui Cauchy si apoi teorema lui Gauss, pentru termenultensiunii din relatia 2.40, se obtine,

(2.41)

Inlocuind 2.41 Tn 2.40,

(2.42)adica,

aiP =- +X, (2.43)O X jcare reprezinta ecuatiile de miscare Euler [51,64,112], Tn care daca seconsidera viteza nula, se ajunge la ecuatiile de echilibru Cauchy, 2.34.

2.2.Campul de deformatiiSe considera la acelasi moment t deplasarile PQ si P'Q' a doua puncte

infinit vecine P(x,y,z) si P'(x+dx,y+dy,z+dz). Notand cu u, v si w proiectiiledeplasarii PQ pe axele Ox,Oy,Oz, se ob^in pentru proiecjiile deplasarii P'Q'expresiile u+du, v+dv, w+dw. Proiectiile pe aceleasi axe ale diferentei dedeplasari P'Q' - PQ vorfi du, dv, dw, care au expresiile, [107]:

du . 8\i , du ,du =^dx+ d y n dz6x 9y 9zdv . dv dvdv = d x H dy + d z9x dy dz5w , < 3w . dw ,d w = d x H d y H d zdx dy ' dz

(2.44)

sau matriceal,


15/60

" d u ~dvdw

=

du du d udx dy dz8v dv dvdx dy dz9w dw 5wfix dy dz

"dx"dydz

(2.45

0

Figura 2.11.Deplasarile infinitezimale a doua puncte vecine

Avand Tn vedere ca du, dv, dw sunt componentele unui vector, iar dxcomponentele altui vector, rezulta ca matricea patrata ce intervine Tal doilea. Acest tensor nu est. . . . , du dv du dw dv dwdeoarece, in general, *,*,*.dy d x . dz dz dz dy

Tn doi tenso ri, u nui an tisimetric si unui simetric.Matricea asociata tensorului antisimetric,

El poate

o 1 ( du dw


16/60

5u5x

du 5w"&+7k

5yd v (2.47

+ -+ I v S x d zj 2{dy d zcorespun de deformatii lor specifice, [21,51,107].

Consideram un corp solid elastic sub actiunea unui sistem de forte Tnechilibru, supus deform arii. Fie un volum elementar dV de laturi dx.dy.dz, ce sva deplasa si se va deforma, modif icandu-si lungimea muchiilor, precum sunghiurile drepte. Se vor studia deformatiile specifice liniare si deformatiilespecifice unghiulare.

dx

dz

(a )

(b )


17/60

w

(c )Figura 2.12.Schema studiului deplasari lor i a deformarii unui volum elementar

Elementul de volum dV din figura 2.12.a a fost solicitat de componenttensiunii Tn toate directiile, ajungand Tn forma din figura 2.12.b

Matricea deformajiilor specifice 2.47 capata forma [93,107],"

x1 y2 ' y x1

1TTxyey

1

1-Yx,1~2 Jy z

z

sau e x x s xy X 2S E Eyx yy yz"EZX Zy

(2.48

Tensorul deformatiilor infinitezimale al lui Cauchy se poate scrie, [107]

= 2(2.49

sub forma ecuajiilor geometrice, reprezentand relape dintre deformat,iilsi deplasari, [51,109],

SuSx

5u 5v5y Sx y x y x


18/60

Deformatiile specifice depind de deplasarile u, v, w. Se pot stabili ecuatde legatura Tntre deforrnajiile specifice liniare si unghiulare, eliminandu-se u, vw.Din ecuatiile 2.50, _ _ _dy2 dx.dy2 9x2 Sx2dy 3x23y

din care, 8\dyDin derivatele,52s, 53udydz dxdydz, 5x dxdz 5x9y

S 2u5y

se obtine,< 9 z

52u 52v- + -

dydz. 9x ^ < 3 x 5y Sz

(2.51

(2.52

C'


19/60

Doua alte relati i de acelasi t ip pot fi obtinute prin interschimbari ciclicindicilor x,y,z. In f inal se obtin sase ecuati i diferentiale numite ecuatiile luSaint-Venant,

dy 2 dx 2 dxdyT-+-d z 2 ' dy 2 dydz

dydz d x { c\ cy dz.

dxdz dy ex cy cz

ax2 Sz2

Sistemul 2.53 reprezinta ecuatiile de compatibil i tate sau de continuitateAcest sistem, reprezinta condiji i le pentru ca deformati i le specif ice sanumita stare de deformati i , de aceea se numesc ecuat i i dsi Tn mod fizic, acesta expr ima faptul ca Tn interiorul co rpului ndiscontinuity, din acest motiv numindu-se si ecuati i de continuitate.

2.3.Ecuat i i le constitutiveRelati i le dintre componentele tensiunii si ale deformatiei sun[37,45,51]. Aceasta idealizare sdevenit cunoscuta ca legea lu i Hooke. Simbolic, aceasta legfi expr imata pr in ecuat ia,a = E-s sau E = (2.54

proportjonala cu deformatiproportionali tate E, numita modulul de elasticitatmodulului lui Young reprezinta definita a unui material.T n plus fa$a de deformatia longitudinala a materialelor Tn directJa forte

se poate observa ca Tn toate solidele apare o contracjie t ransversalaspecif ica transversala reprezinta o fractiune din lungirea Tn directilongitudinale, putand fi exprima ta ma tematic sub forma,


20/60

unde v este coeficientul de contract ie transversals al lu i Poisson sau rap luPoisson. |In cazul solicitarii de forfecare, reprezentand Tntr-un sistem (i,ydependenta dintre tensiunea tangentiala T si lunecarea specifica y, existaportiune liniara pe care este valabila relatia,i=G - y sau G =- (2.57Ynumita legea lui Hooke pentru forfecare, unde G este o constanta dproporjionalitate numita modulul de elasticitate transversal sau modulul delasticitate la forfecare sau modulul de rigiditate.Legea lui Hooke pentru un solid elastic izotropic [51,107,109], se scrie

sau1+ v vv = ar tfaa8r (2.59

sauaaa =3Ksaa (2.60

unde, X si ja se numesc constantele lui Lame. A doua constanta a luLame, n, este identica cu modulul de elasticitate transversal G; tm = e x + ey + ez = deformajia specifica volumica;CT


21/60

Raportat la un sistem cartezian x,y,z, legea lu i Hooke Tn forma 2.58 s

[ a z = ^ - e a a + 2 -Tn forma 2.59 devine_\_~ E "

_ j_~~E1

Tx y=2-G-8x y=G.YxyT y z =2 . G - S y z = G - y y zT Z X = 2 - G - e 2 X =G - y z x

1=-yxy = 1 + v 1x y * y1 1+V 1e y z =-yyz =-^-Tyz =iyz1 1 + v 1v = Y ,v =-T =-T/j zx i zx -p zx /^ --, zx (2.61(2.62

Tnlocuind deformatiile specifice date de ecuajiile geometrice Tn relatiile[51,107]:

a =

. -w,a, = > . +2G

< 3 u

dy {d z dy3w _/dw du- TZx=Ghr+a z . I < 5 x (

(2.63)

2.4,Modelare analiticaIn vederea solutionarii problemei elasticitajii Tn mecanica mediilose prezinta Tn cele ce urmeaza, ecuajiile de camp Tn cazul uneUi^.Xg.Xg.t), i = 1,2,3, a unei particule, localizata la x^x^Xs, la timpulpozitia sa Tn stare neutra.Tensorul deformatiilor infinitezimale al lu i Cauchy este exprimat Tn

1& " =2

5u; (2.64)


22/60

Acceleratia particulei a,este data de derivata viteze'i,

a , = a t (2.66)Conservarea masei este exprimata prin ecuajia de continuitate,

= 0 (2.67)pa tConservarea cantitatii de miscare este exprimata de ecuatia de miscarea lui Euler,

da,.(2.68)

Legea \u \ Hooke pentru un so\\d izoVrop s\ omogen este(2.69

Ecuatii le 2.64 ... 2.69 Tmpreuna, descriu teoria elasticitatii, [21,51,107Ecuati i le 2.67... 2.69 Tmpreuna, formeaza 22 ecuatii pentru 22 necunoscute, pUi, V|, 3;, Ejj,


23/60

(2.70

A = operatorul lu i Laplace, A = vv = v2 =++dx2 dy2 dz2

V = operatorul lu i Hamilton (nabla), v = T + ] + k9x dy dz

Daca introducem ratia lui Poisson, pu tem scrie ecua tia 2.70 sub forma,

l - 2 v at2 (2.71

Aceasta este ecuajia de camp elementara a teoriei liniarizate sau ecuajia de camp Navier-Lame [42,64].Ecuajia 2.71 mai poate fi dezvoltata sub forma unui sistem de ecuajii,

( A , dydz

GAv + Y = 8t2d2w

(2.72

reprezinta ecuajii le lui Navier-Lame.

b)Rezolvarea Tn functie de tensiuni (Beltrami-Mitchell)Se realizeaza prin elim inarea deplasarilor u, Tn sistemul 2.67 ... 2.69,

dt = 0,

pa i=S- + X j ,5X j


24/60

1 3G1 + v 3x

1 o c yay 1 -x1 + v ayi a c1 + v 5z

aa ,SX2 ~ 2 a x rm_ 2SY3yao 25Z

a zixy 1 + v

A T lyz+ l + v1

T Z X ' 1 + v

G T a xi - G ^ a xG T a xG f a x

5z5x

dY 5Z^l^ ' 0_a y a z j

S Y a z ^ ia y a z ja Y a z ^a y

;Oyv

il a z 1i

a z ja x j

ax^a z j

|',82ex , v 62eaa\" a 2 i-v a2\a2 ' i - v a2["a2 i - v a2

p a2p a2p a2

(2.73)

care reprezinta ecuajiile lui Beltrami-Mitchell [42,64,112].

2. metoda indirecta, care se refera la utilizarea conditiilor la limitaT n deplasari, problema Dirichlet - pentru deplasari date sa sedetermine apoi campurile de deforma{ii si tensiuni respectivsarcinile ce au produs deplasarile de la care s-a pornit; Tntensiuni, problema Neumann - pentru tensiuni date sa sedetermine apoi campul de deformatii si deplasarile respectivesau problema mixta, des Tntalnita Tn practica, incluzand atacondijii Tn deplasari cat si conditii Tn tensiuni [85]. Din punct devedere matematic, metoda indirecta este mai abordabila spoate determina un mod de conturare a metodei elementelofinite.

Condipe la limita pot fi:> Conditii Tn deplasari, atunci cand componentele deplasarii sunprescrise pe frontiera, deci U | sa aiba anumite valori impuseeventual nule, daca suprafata nu se poate deplasa.> Condijii Tn tensiuni, atunci cand componentele tensiunii sa fegale cu componentele sarcinilor ce actioneaza pe suprafatacorpului, sau daca acestea nu exista, sa fie nule.> Conditii mixte, Tn deplasari si tensiuni, atunci cand pe o partesuprafetei corpului se cunosc deplasarile, iar pe alta parte suncunoscute tensiunile.

Rezolvarea unei probleme de elasticitate revine Tn general la integrareunui sistem de ecuatii cu derivate parjiale, solutiile gasite trebuind sa satisfacaanumite conditii la limita.


25/60

Dificultatile de rezolvare a acestei probleme generale ta c ca soiutisa nu poata fi gasita decat Tntr-un numar restrans de cazuPentru a putea solutiona o serie de probleme de elasticitate de intereaii fost elaborate metode aproximative de calcul.

2.4.2.Principii energetice Tncercetarea variationalaVom prezenta pentru Tnceput anumite principii si teoreme generale carfolosesc Tn solujionarea problemelor elasticitatii. Corpurile supuse acjiunTn felul acesta, punctele dale acestor sarcini se deplaseaza, ia r ele parcurg anumite deplasaral sarcinilor exterioare sau lucr

[112].= Z(Xex.u + Yex,v + Zex,w) = JJJ(Xu+ Yv + Zw)dV + |J(TXU + Ty v + Tzw)dS (2-74

V SX ext, Y ext, Zext, sunt componentele sarcinilor exterioare Tn generaiar cele doua integrale se refera la forjele volumice si forjelsuperficiale (T n lipsa altor sarcini exterioare).

Se stie ca energia cinetica a unui corp este E C = m v 2 . Daca proiectiilpe cele trei axe sunt u, v, w, proiecjiile vitezei acelui punc, - ; . . . . . , -

Energia cinetica a corpului la momentul t va fi,

dxdydz (2.75.dtPentru un corp elastic teorema energiei cinetice i a lucrului mecanic sEc-Eo=Lext+Lint : (2.76

E 0 este energia cinetica la momentul t = 0.Daca un corp elastic sub acjiunea unui sistem de forte se afla Tn starrepaus, du/dt = dv/dt = dw/dt = 0, deci energia cinetica E c = E 0 = 0.Atunci, se objine,


26/60

Lucrul mecanic efectuat de sarcinile exterioare este Tnmagazinat dcorpul elastic si redat sub forma lucrului mecanic al forjelor interioare sau lucrmecanic interior, acesta mai purtand numele de lucru mecanic de deformatiecorespunzand energiei de deformatie [112].

unde,

Energia de deformajie pe unitatea de volum este,= W 0d V

W 0 este energia specifica de deformatie,1(2.78

W0=- +yy +Utilizand ecuatiile constitutive, W 0 poate fi exprimata numai cu ajutorutensiunilor,

(2.80

sau numai cu ajutorul deformatiilor:_L2 ' (2.81

Daca derivam relatia 2.81 in raport cu cele sase deformatii specifice stinem seama de legea lui Hooke, obtinem expresiile3Wnawn

awnawn

awnawn (2.82

care reprezinta teorema lu i Green [107].Daca derivam relajia 2.80, pe rand, Tn raport cu fiecare din cele sastensiuni si tinem seama de legea lui Hooke, obtinem expresiile

aw awnaw, (2.83-=at. a x . J xyyz zx xycare constituie teorema lui Castigliano [107].


27/60

Energia totala de de form atie pentru un corp e lastic este aata ae reiaiia,W = jjjW0dV (2.84

V

T n solujionarea problemelor elasticita{ii, este uneori avantajos de utiliza[21,112], care spune ca,5Lex t+8L i n t=0 (2.85)

suma dintre lucrul mecanic exterior, produs de actjunile externe printr-unde deplasari virtuale, si lucrul mecanic interior, produs de starea dea corpului datorata starii de deformatie corespunzatoare deplasari loeste nul.Pornind de la relajia 2 .74 , principiul lucrului mecanic virtual se scrie:

+ Y6v +Z5w)dV+ JJ(Tx8u +Ty6v +Tz8w)dS - |JJ6W0dV = 0 (2.86)S Vpotenjiala totala este zero, relatie ce

principiul variational general [118].Deoarece Tn 2.86 consideram ca sarcinile exterioare nu variaza, putemratorul 8 de sub sem nul integral si putem scrie:

W - JJ(lxu +Tyv +T zw)dS - J|J(Xu +Yv +Zw)dV = 0 (2.87

Notam marimea de sub semnul 5 cu n p =W-Lex t si o numimpotenjiala. Configurarea echil ibrului unui sistem este gasita prin analizapoten jiale [4 0,68,96].Expresiile pentru energia potenjiala precum si alte expresii integralefuncjionale, sunt introduse ca un punct de plecare pentru o tehnica deRayleigh-Ritz a carei forma moderna o reprezintaelem entelor finite (MEF). O funcjionala, cum ar f i pentru energianp, contine integrale care parcurg linia, aria sau volumul de interes.

Dupa aplicarea metodei Rayleigh-Ritz, expresia np nu mai conjine nici ofunctionala, devenind o functie de un numade grade de libertate (GDL).


28/60

Principiul energiei potentiale stationare (PEPS), releva faptul ca dintrtoate configurable admjse ale unui sistem conservativ, acelea care satisfaecuatiile de echilibru, fac energia potenjiala, stationara, raportata la variajii micde deplasari adm ise.2.4.3.Extensii ale principiului lucrului mecanic virtual si principvariationale aso ciate problemelor cu tensiuni initialeAm prezentat in sectiunea 2.4.2. principiul lucrului mecanic virtual sprincipii variationale Tn conexiune cu acesta pentru problema generala diteoria elasticitatii. Vom extinde aceste principii variajionale la alte probleme delasticitate Tn aceasta secjiune.Vom formula fiecare problema Tn teoria deplasarilor finite, consideran

raportarea la sistemul de coordonate cartezian (V,x2,x3) Tn scopul descriercomportamentului solidului elastic. Vom considera pentru Tnceput o problemde tensiune initiala. Prin tensiune initiala se Tnteleg acele tensiuni care existTntr-un corp Tntr-o stare initiala, Tnaintea Tnceperii unei stari de deformaji i cprezinta interes Tn respectiva analiza. Presupunem starea initiala ca stare dreferinta a unei probleme de tensiuni initiale.Pentru a exprima forma energiei potentiale a unui sistem mecanic subformalismul teoriei deplasarilor finite, se pleaca de la analiza geometrica si tensiunilor pentru starea de echilibru al unui paralelipiped infinitezimal, Tnaintsi dupa deformare [118].

Figura 2. 14. Ge om etria unui paralelipiped infinitezimal fnainte i dupa deformare

Se considera vectorul de pozitie al unui punct arbitrar din solid Tnaint


29/60

e aza n aces t s s tem e coor on ate a e r e a t a_(0) (~i 1o1\ ' OQQ-ry , (A. = i,2,5) (Z .ov

( ) =--t, vectori i de baza fi ind vectorii unitari dupa direcjiile axelor ds i sunt reciproc ortogonali, ^-^=8^, cu 5^ este simbolul lu

,

Presupunand acum sol idul Tn stare deformata, se noteaza vectorul dal unui punct oarecare, prinr = r ( x ' , x 2 , x 3 ) ; ' (2.90

i n t r o d u c v e c t o r i i s t r u c t u r i i ,E,=-^r = r x , ( ^ = 1,2,3) , V (2.91

T n m o d s i m i l a r , E X (l ^ E ^ - E ^ = E^. , . . . ' . . .Astfel, se poate concluziona cadupa deformare un paralelipipeTntr-un nou paralelipiped a carui geometriepoate fi specificata prin setul de valori ale cantitati loSe poate defini tensorul deformatie al lui Green, as tfel,

Se va exprima pozitia vectorului punctului P astfel,r =r(0)+u (2.93u este vectorul de plasa re, ale carui componen te sunt definite deu =u\ (2.94Din ecuatii le 2.91 si 2.93, avem

(2.955^ este simbolul lu i Kronecker.


30/60

Ecuatiile de echilibru ale fortelor pentru paralelipipedul deformat sundate de relatia,c^+P = 0 (2 .97

prin definirea tensorului al doilea de tensiune al lui Piola-Kirchhoff, dupdirectiile vectorilor structurii,ax = a^Eu (2 .98

Figura 2.15.Echilibrul unui paralelipiped infinitesimal inainte i dupa deformare

Ecuatia 2.97 este o ecuatie vectoriala. Singura cale de a o exprima Tmod scalar este de a o rezolva Tn directia lui ix.

Prin definirea componentelor fortei volumice caP =P

se objine urmatoarea ecuatie scalara din ecuatia 2.97,

Relajiile deforma{ii-tensiuni se scriu:E / X _L Jta

(2.99

(2 .100

( 2 .101


31/60

2G( l + v ) G ;a -a^ , deviatorul tensiunilor;x ~ e * ' deviatorul deform atiilor.

(2.102

Figura2.16. a' =

Presupunand ca solidul executa o deplasare virtuala infinitezimala 5uconfiguratia de echilibru fara sa perturbe condijiile la limita existente, atunde echilibru 2.97 si cunoscand ca 6u = 8r, se objinforma pentru principiul lucrului mecanic virtual [118],

(2.103) 6rdV + jj(p-F) 5rdS = 0

(2.104

Plecand de la teorema lui Green, 2.82, putem scrie energia specifica d


32/60

(2 .106)T n funcjie de energia specif ics de deformatie, principiul lucrului mecanicvirtual se scrie,

'dv- (2 .107)

Principiul astfel scris este foarte util Tn probleme de elasticitate Tn carefortele externe nu sunt derivabile din functii de potential.Se presupune Tn continuare ca fortele externe aplicate sunt

conservative, ele fiind derivabile din functii de potential, ^(u^) ; (u'1),astfel ca,

sau= -FV

(2 .108)(2 .109)

Considerand cele prezentate mai sus,principiul lucrului mecanic virtualgenereaza principiul energiei potenjiale stajionare (PEPS) [4,68], dupa cumurmeaza,

unde, ( 2 . 1 1 0 )

V Siv\e^\a po\eu\\a\a totaVa a sistemului mecanic considerat, si este o

functionala ce confine ux care reprezinta variabilele independente supusevar ia t ie i . Var iabi le le ux t r ebu i e alese astfel m eat sa sa t i s faca criter i i le ded'rterentiab\l\tate si de continuitate cerute, si conditiile la limita specif ice.

Principiul energiei potentiale stajionare poate fi generalizat utilizandmultiplicatorii lui Lagrange,

(2.112)

Funct\ona\a pentru princ\p\u\ lu i Reissner poate f \ derivata dinfunct ionala 2A'(2 prin eliminarea lu i eX v i ,


33/60

+sj|(uK)dS-jJpx(ux-ux)dS

(2.113

W(f(a>4') ce apare Tn ecuajia de mai sus reprezinta energidefinita de relatja,

a , - W0 (2.114functie de componentele tensiunii,

(2.115echivalent,

(2.116

Considerand sistemul cartezian fixat Tn spatiu, formam un paralelipipedde sase suprafete: x* = constant si xx + dx1 =(X = 1,2,3).Notand fortele interne inijiale pe unitatea de arie ce actioneaza pex^ = constant prin a (0)>t , se definesc componentele tensiunii initialecum urmeaza, [118]:

a(0)X = cr(0)X(li (2.117Mi|1 este vectorul unitar Tn directia axei x*1 .

Fortele volumice initiale si fortele de suprafaja au componentele:p = p ( o ) x i i ^ F ( 0 )= F { 0 ) X i x (2.118)Pentru simplificarea abordari i problemei, presupunem ca tensiunile sini^iale formeaza un sistem Tn echilibru, astfel ca Tn interiorul solidulu

pe suprafaja solidului, avem,


34/60

V> > " +P) 5u>JdV- JI(FO>" +F")5uMS = 0 (2.121)

Sunde,(2.122)

Cand tensiunile inijiale sunt Tn echilibru, putem utiliza ecuatiile 2.1192.120 pentru a transforma ecuatia 2.121 Tn,

\iS=0 (2.123

Similar cu dezvoltarea de mai sus, cu luarea Tn considerare a tensiunilinitiale, se poate ajunge la o forma a principiului lucrului mecanic virtual pentrproblem e cu tensiuni initiale, dupa cu m urme aza,- px8uxdV- Fx5uxdS= 0 (2.124

Principiul energiei potentials stajionare pentru probleme cu tensiuninitiale, poate fi exprimat utilizand multiplicatorii lui Lagrange,(Z125

In continuare vom dezvolta o analiza a problemelor dinamice ale unusolid elastic cu tensiuni inijiale. Se considera un corp elastic care se afla Tnechilibru static si Tntr-o stare de referinta cu tensiuni initiale a(0)^ .Expresia principiului lucrului mecanic virtual pentru probleme dinamicecu tensiuni inijiale este data de relajia,f |JJ(a(^+a-)8e^dV-5j}j-p-dV- JJJ(P (0 ) + p ) . 5 r d V - {{(F + F ) 5rdS lit =0 (2'126)

t , [ v V 2 v d t j v s junde,

e.u=-AJJ ^p_ p^j .p_rrl >r-


35/60

^ p u K u K d V - j]J(P)-5rdV- JJ(F)-5 idS[d t = 0 (2.127V

T n functie de energia specifics de deformatie, principiul lucrului mecanidevine,

h r , 1 ' 2 f _ ]5 N Y- W- fjj-CT(0)^u>;dV kit + J JJJP 5rdV + J J F 8rdS kit = 0 (2.128j 1T= JJJ-puKuKdV (2.129

V 2W= JjJwo(uK)dV. (2.130

2.4.4.Pr incipi i variationale modificate Tn elastodinamica> principiul lucrului mecanic virtual

Notand o variatie virtuala a deplasarii ui(x,,x2,x3,t) la timpul t prii(x1,x2,x3,t) sau mai simplu prin 8up avem,

-jjj(a1J ,J+Xi-pui)6u1dV+j{(TI-T1)5uidS = 0 (2.131)V S

Prin integrarea ecuatiei 2.131 raportat la timp, Tntre doua limitt,; t = t2, si presupunand ca valorile lui u; la limitele de timp stabilite, sunca,

6ui(t1) =0;5ui(t2) = 0 (2.132urmeaza [118],


36/60

> principiul lui HamiltonDaca fortele volumice X. si fortele externe T; sunt presupuse a

prescrise astfel meat sa nu fie supuse variatiei, se poate deriva ecuajia 2.133obtinandu-se principiul energiei potentiale stationare sau principiul lu i Hamiltonastfel, t 28j{Y-np} = 0 (2 .134t ,u n d e ,

Rp = jjj[wo(ui)-Xiu,]dV- {{T.u.dS (2.135

> principiul Hellinger-ReissnerPrincipiul este definit de relatia,

unde functia P; este definite prin, piar,

T^K+ u i J ) - W ( a a ) - X , u i dV- |JTiUidS- | (u, -u,)dS (2 .137Principiul lui Hamilton se aplica pentru a obtine un sistem de ecuatalgeb rice liniare care pot fi scrise matriceal, Tn forma,

(2 .138unde [M],[C],[K] reprezinta matricile de inertie, amortizare, rigiditate; {qdeplasarile nodale si |Q| vectorul Tncarcarilor externe; ecuatii utilizate inprezentul studiu de cercetare Tn analiza modala si armonica efectuata Tansamblul motor.

> principiul energiei complementare stationarePrincipiul se objine tinand cont ca a^ j +X; =p; si T; =T; peS ,

5JJ- fffp^^V + j f [ W 0 ^ ( c f y ) d V - JfTjUjdsidt = 0 ( 2 . 139I, ' V P V S


37/60

e ntro uc notat e,

X^/X.dt f^JT.dt0 0

vi=U, V j = U jca p; - 0 la t =0, cu relatiile C . +X; =p;

7,dS[dt = 0 (2.141

Ecuajia 2.140, reprezinta o alta exprimare a principiului energiestationara, fiind data Tn termeni de impuls si viteza Tn loc ds i deplasare.De precizat ca principiul lui Hamilton si principiul lucrului mecanic virtuaTn formularile matematice ale metodei elementelor finitproblemelor dinamice, asa cum vor fi utilizate si Tn analiza numerica campurilor mecanice cercetate.

2.5.Solicitari mecanice Tn mecanismul motorTntrucat rezultatele finale ale cercetarii sunt reprezentate de analiza

se va prezenta Tn continuare o corelatie Tntre tipurilrezistenta la care sunt supuse piesele ce vor si tipurile de solicitari externe ce actioneaza asupra lor.Am prezentatTn subcapitolul 2.1, un studiu complex as upra campului d

Tntrucat acesteo importanta majora Tn diagnosticarea distributiei campurilor de tensiuni diale unor solide, a fost scos Tn evidenta si prin prezentarespatiale de tensiuni, precum si a conceptelor lu i Mohr si Lame. T


38/60

exceptional de grele din cauza actiunn soiicitarnor mecanice si termice roanemari asupra lui.

(a)

(b ) (c )

Figura 2.17.Schema forte/or din mecan ismu l motor (a),deformarea pistonului (b ) /' (c ) [58]

Principalele Tncarcari externe care actioneaza asupra pistonului sunforta de presiune a gazelor care Tn timpul destinderii atinge valori foarte mari, sforta de inertie datorata miscarii alternative de translate a acestuia. Suactiunea acestor for^e, Tn piston iau nastere tensiuni interne.


39/60

Pentru ca pistonul sa poata suporta actiunea solicitarilor mecanictrebuie sa aiba o rezistenta si o rigiditate suficiente, ia r pentrde inertje Tn vederea cresterii turatiei, trebuie sa aibape cat posibil mai mica. Aceste condijii contradictory se satisfac priunor materiale corespunzatoare si prin distributia rationaleTn construcjia pistonului; prin Tntarirea locala a elementelor maprin introducerea unor nervuri de rigidizare, etc.Forta de presiune a gazelor acjioneaza asupra pistonului astfel mease deformeaza Tn partea inferioara, generand o Tnclinare a canalelosegmenji ceea ce duce la deformarea umerilor acesteia cu efectuunei sarcini concentrate Tn zona umerilor, evidentiata si prin simularedin capitolul 7, care scoate Tn evidenja raspunsul intern al pistonuluaceste zone.a Boltul are rolul de a Tmbina articulatia pistonului cu piciorul biele

timpul funcjionarii motorului, boljul suporta actiunea unor solicitari externmarime si sens. Sub actiunea solicitarii de natura dinamicdezvolta si o forta de inerjie proprie suplimentara Tn miscareaa grupului piston, Tn bolt iau nastere tensiuni interne ce pot efectuata Tn capitolul 6 pentru cele douacritice adoptate Tn studiul de cercetare.Tntr-o sectiune transversala, apar solicitari de Tncovoiere, care produboltului dupa axa lui longitudinala, figura 2.18.a. Solicitari deapar si Tn sectiunea longitudinala; ele deformeaza boljul Tn planu- deformarea de ovalizare 2.18.b.Primele solicitari produc ruperea boltului Tn plan transversal; solicitareaovalizare produce ruperea boltului Tn plan longitudinal 2.18.C. Tn perioadaTnregistreaza crefteri rapide care producsoc. Caracterul variabil al sarcinii produce fenomenul dea boltului.Experienta arata ca deformarea de ovalizare a boljului produce nudar si a piciorului bielei 2.18.d, iar deformarea de Tncovoierelocasurilor boljului din piston Tn secjiunea A-A, 2.18.a [58].


40/60

Figura 2.19. Repart i\ ia presiunilor pe axu l pistonului

O repartizare corecta a presiunilor pe suprafetele Tn contact ale axulupistonului este reprezentata Tn figura 2.19. Presiunile specifice variaza atatTlungul axului pistonului cat si pe suprafata lui, dupa legi a caror determinarprin calcul Tntampina mari greutati.

a Biela executa Tn timpul functional motorului o miscare de oscilasi este solicitata de forjele de presiune ale gazelor si de fortele de inertievariabile ca marime si sens. Aceste forte provoaca Tnstructura bielei tensiunideformatii, investigate ca fi Tncazul boltului pentru cele doua pozitii critice,Tcapitolul 6.


41/60

Biela este solicitata de forta de presiune a gazelor la compresiunepot aparea deformatii remanente care scurteaza bield m iscarea libera a acesteia, figura 2.20.a.determine o perturbare a paralelismului axelor gaurilor bielei 2.20.consecinta accelerarea uzurii lagarelor. Forjele de inertie almiscare de translatie solicita biela la Tntindere, provocangaurilor, ceea ce favorizeaza posibilitatea aparijiei gripajului 2.20.Cde inertie tangentiale proprii Tncovoaie corpul bielei Tn planul de oscilaDeformatii suplimentare pot aparea si datorita pozijiei excentrice din cauza joc ului exagerat 2.20.e [58].a Arbo rele cotit transforma miscarea de t ranslate a pistonului Tntr-forjele de presiune ale gazelor sfortele de inertie ale maselor Tn miscare de translatie si de rotatie, suportanmai mari solicitari dintre piesele mecanismului motor, tensiunile internapar Tn structura acestuia avand valorile cele mai mari din ansambluasa cum se poate observa si din analiza numerica desfasurata T

Sub actiunea forjelor de presiune a gazelor si a forjelor de inen^ie, Tcotit apar solicitari de Tntindere, compresiune, TncovoierDin cauza solicitarilor de Tncovoiere, arborele cotit se deformeazameat com prom ite coaxialitatea fusurilor si cuz inetilor. Datorita jocurilor ddin articulajii, vitezei mari de crestere a presiunii Tn perioada arderii sificarii sensu lui de aplicajie a forjelor, solicitarea arborelui cotit are ude soc. Fortele variabile produc fenomenul de oboseala, periculola trecerea de la brat la fus, deoarece trecerea reprezinta inevitabconcentrator de tensiune, asa cum se va observa Tn urma modelarii snumerice desfasurata Tn capitolul 6 pentru ansamblul motorla vibrajii torsionale este de asemenea periculoasa; funcjionareala rezonanja produce adesea ruperi caracteristice, Tndeosebi la ultimu

palier [58].


42/60

Capitolul3SOLICITARI TERMICE IN COMPONENTELE

MOTOflRELOR CU flRDERE INTERN03.1.Analiza cam pului termic3.1.1. Ecuatiile diferentiale in transferul de calduraConductia termica reprezinta un proces important de transfer de caldurTntalnit la motoarele cu ardere interna. Dintre componentele mecanismulumotor supuse cercetarii, in special pistonul se afla sub efectui variatiei campulude temperatura si al fluxului termic, ceea ce determina aparijia unor valori altensiunii termice Tnstructura acestuia.Fourier a de finitivat legea de baza a conductiei, exprimand fluxul termiprintr-un corpm forma, [11,18,22,70],

(3.1)

sau densitatea fluxului termic, Tn forma,(3.2)

unde, Q = fluxul termic transfera t prin conductie, , = conductivitatea termica,S = suprafata izoterma strabatuta de curentul de caldura,

8&-- = caderea elementara de temperatura T n sectiunea consideratdn(gradientul temperaturii cu semn schimbat);grad 0= v =+]+k, fiind numeric egal cu limita raportul5x 5y 9z

pentru doua suprafete izoterme;Angrad= |im= =V0.A n ~ > o An d nSemnul minus din membrul drept al relatiei de mai sus exprima faptul csensul de propagare a caldurii este opus sensului de variajie a temperaturii.


43/60

propusa de Newton s i permite calculul caldurii sch imbate Tntre un fluid sunui perete, [18,70],qs= = a AQ

o

Q = fluxul de caldura trans ferat;q s = fluxul termic unitar de suprafaja;a = co efic ient de s chimb de caldura prin convecjie;A = diferenta Tntre temperatura fluidului la o dis tanja suficiende mare de s uprafata s i tem peratura suprafejei peretelui;S = aria s uprafejei de s chimb de caldura a peretelui.

grad 0

Figura 3.1. Izotermele i liniile de curgere ale caldurii

Conditi i le la limita reprezinta interactiunea dintre corpul de analizat sDintr-un punct practic de vedere, co ndit ii le la limita reprezinta proprietamasurabile la interfata s is tem ului termic cu mediul, [10,22,36].

> condiji i de speta ISunt condit i i de t ip Dirichlet, si prescriu doar distr ibut ia temperaturii pelimita pentru o rice mo ment t, fi ind e xprimat e printr-o relat ie de fo rma,0 = 0 (x,y,z,t) (3.3)


44/60

> > conam ae spe a nSunt condijiile de t ip Cauchy sau Fourier, s i impun cunoasteretemperaturi i mediului ambiant s i legea dupa care se desfasoara transferul dcaldura Tntre suprafaja l imita si mediu. Aceste condijii prescriu schimbul dcaldura prin convectie al corpului dat cu mediul care- l Tnconjoara.Aplicand legea conservari i energiei la suprafata l imita considerataavand T n vedere ca aceasta nu modif ica valoarea f luxului termic, asadacanti tatea de ca ldura transfe rata prin conductie prin corp care trave rseaza ariunitara e ste e gala cu can titate a de caldura preluata prin con ve ct ie de catre f luide pe ace e asi arie unitara, adica,

sauM=_f(0s_0f) (3.5)relat ie care exprima conditiile la limita de speta III, prin aplicarea legconservari i energiei la suprafata corpului ca egalitate a fluxului unitar dsuprafata transmis prin conducjie si ee l transmis prin convect ie,

s, cond (3-6)

> conditii de speja IVSe mai numesc si condit i i de contact sau de interfata, s i exprima legede transfe r printr-o suprafaja limita Tntre doua solide.Deci, prescriu schimbul conductiv de caldura, reprezentand legea dconservare a energiei pe suprafata de contact,

sauq.i = qs2 (3-8)

avand T n vedere ca aceasta nu modif ica valoarea f luxului termic.

> ecuatiile diferentiale Tnmedii izotropeEcuatia generala a conducjie i termice, reprezinta bilantul termic acorpului studiat.Se stabi le sc anum ite ipote ze simplif icatoare:-conductivitate termica constanta ^x = ^y = ^ z = ^ = const., deci corpu

e ste conside rat om oge n si izotrop-presupunem ca exista surse interne de caldura care au fluxutermic unitar volumic qv = const.-caldura specif ica masica c p si densitatea materialului p rama


45/60

Ecuatia generala diferentiala a conductiei termice pentru medii izotrop[24,70,119], are forma,

(3.9)

(3.10p r 2g= . i se numeste coeficient de difuzie a caldurii, NEL ;* - V - ;

Ecuatia generala 3.10 are un numar de cazuri particulare, dupa cum[24,92]:

a)Ecuatia lui Fourier, pentru regim tranzitoriu, fara surse interioare d0= a - A 0 . " " . ' _ . . ; ' (3.11b)Ecuafia lui Poisson, pentru regim constant cu surse interioare d

A0 +- =0 (3.12$

c)EcuaJia lui Laplace, pentru regim constant fara surse interioare dA0 = 0 (3.13

> ecuatiile diferentiale Tn medii anizotropeEcuatia 3.10 se poate generaliza pentru cuprinderea tuturor cazurilo-corpul este neomogen s i anizotrop, astfel meat conductivitatea termicse modifica cu directia = x,^y,^z)-densitatea si caldura specifica a materialului sunt variabile c

p = p(0) si c p = cp(0)


46/60

Ecuatia generala diferentiala a conductjei termice Tn medii anizotropeare forma [70,100],

sauc (0) p() = q, + div( grade) (3.14)

(3.15)

3.1.2.Ecuatii constitutiveEcuatiile constitutive descriu comportamentui materialelor, reprezentandecuatii ale principalelor proprietati fizice ale mediului material.Pentru conducjia termica, principalele proprietati fizice care sunt incluseT n modelarea analitica sunt: ^ - conductivitatea termica, p - densitateamaterialului, cp - caldura specifica, a - coeficientul de difuzivitate termica.Conductivitatea termica se determina din legea lui Fourier [100],

Q - d nS-50 (3.16)

Conform relatiei 3.16, conductivitatea termica reprezinta calduratransmisa prin conductie, prin unitatea de suprafata normala pe directiatransferului de caldura, Tntre doua izoterme la o distanja de o unitate delungime si avand o diferenta de temperatura egala cu unitatea, Tn unitatea detimp.

1.Ecuatiile constitutive pentru gaze, [82]:Pentru a deduce coeficientul de conductie , pentru gaze, se pleaca dela teoria cinetica a gazelor, si se poate scrie,1 _ _-.p.w-

unde, w = viteza medie a moleculelor;

mijlociu

(3.17), conform legii lu

Maxwell de repartitie a vitezelor Tntre moleculele unui gaz, unde k = Constanta lui Bo ltzmann, k = 1,38054-10'23 [98].C , = parcursul mediu liber al moleculelor sau drumul libecv = caldura specifica a unitatii de masa la volum constant.

Valoarea lui E , poate fi exprimata si Tn funcjie de vascozitatea dinamica


47/60

(3.18r\ =--p-wT-

^ = p - d - c v (3.19)d = coeficient de difuzivitate a impulsului, care conform legii luPick este dat de . relajia d = - - w T - ^ = = =v. unde3 p - c v peste vascozitatea cinematica [98].W T = viteza termica sau media patratelor vitezelor/ r / 3 - k - 0 r Q Q - | ;' : . . - : W T = V W =j L y j -V m - . . ' - - ' ' . ' ; . .

T n rajionamentele de mai sus, s-a considerat ca moleculele nu exercitaTn considerare, ele conduc la omodificare a relatiei 3 .18, care dupa Enskog si Chapman, se scrie,4 = b - r i - c v (3.20

b reprezinta un coeficient ce depinde de natura gazulureal, b = 2,52 pentru gaze monoatomice, b =1,90 pentru gazebiatomice, b = 1,75 pentru gaze triatomice.

Pe baza experim entelor, Sutherland deduce teoretic o relatie de calcuE , cu o mai stransa apropiere faja de rezultatele experimentale,

0Q L. (3.21)C este o constanta caracteristica fiecarui gaz, iar ^0 este conductivitateala 0C.

; . . " . . - , " " - " . . " . . . . , - . ; . - . . - - - . : . - - ' \Maxwell propune relatia,

" ' " - . - , - * ' - . _

-; 'p'v'p . - (3 '22)


48/60

c v-pRaportul r- reprezinta criteriul Prandtl care caracterizeazproprietatile fizice ale fluidului si reprezinta raportul dintre difuzivitatemoleculara a impulsului, d , si difuzivitatea moleculara a caldurii, a [70].

2.Ecuatiile constitutive pentru lichide, [82]:Una din relajiile des util izate este cea propusa de Bridgman,2 - R - w s$ = -r^- ( 3 - 2 3

unde, R = constanta gazului format din vaporii lichiduluiws = viteza sunetului Tn l ichid( Y '38= = parametrul retelei lichidului.(P)

S.Ecuat i i le constitutive pentru solide, [82]:Prin deplasarea lor din zonele cu temperaturi ridicate spre zonele ctemperaturi scazute, electronii transfera cu e i energie termica.Daca se presupune ca norul de electroni poate fi asimilat cu un gaperfect, avem relajia,S--J-P--C-W.C., (3-24

unde, Pel = densitatea norului de electroniC , = liberul parcurs Tntre doua ciocniri consecutivew = viteza medie a electronilorc e, = caldura specifica a unitatii de masa a gazului electronic.

Aceasta valoare fiind proportionala cu coeficientul de conductivitatelectr ica, a e\, se obtine expresia,-k= 3~-0-const-0 (3.25CTel Ccare reprezinta legea Wiedemann-Frantz-Lorenz.

T n relajia de mai sus,s-a considerat c a viteza tuturor electronilor estaceeasi.Daca se admite o distribute maxwelliana a vitezelor se obtine o altrelatie, si anume,


49/60

Contributia electronilor la conductia termica, este foarte importanta lputand aproxim a,t=4el (3-27

Valoarea lui e, a fost obtinuta presupunand ca la transferul de caldur

Pentru a determina coeficientul de conductie termica datorat contributela transferul de caldura, se foloseste o analogic cu teoria cuantica

Se objine,(3.28

c fon este caldura specifica a unitatji de volum a gazului fononiadica a unitatii de volum a solidului, este liberul parcurs mediu al fononilor.Avem relatja,4, =L_.wE.l= . (3.2

fon 3- r r - r 2 0 0legea lu i Euken.Contributia ionilor la conductia termica, este foarte importanta l

5= 5fbn (3-30In general, transp ortul conductiv este atat fononic cat si electronic, astfe, :

Pentru corpurile solide, , variaza aproximativ liniar cu temperatura, , = a + p-0 (3.32

se poate folosi relatia lui Vlaso v,


50/60

3.2 .Mode lare anal i t icaConsideram cazul general de transfer de caldura prin conduce Tntr-umediu neomogen si anizotrop.Modelul anali t ic pentru acest caz general, cu luarea T n considerare

fenomenelor tranzitorii, este dat de ecuajia, [85],

c ^ - + A f ? ^ V f t 1 f t 1P5t 5 x v * 5x J 5 y l v y 5 y J dz\ z dz Jcu urmatoarele condijii la limita:

0 =00 ,t , + q = f t / _ . x+ ^^rK+Uz v,+a(0-0f)=0,dy j

(3.37

(3.38(3.39(3.40

(3.41unde, 0(x,y,z,t) este functia de temperatura; ^x,^y,^z sunt componentelconductivitatii termice pe cele trei direcjii x,y,z; p este densitatea materialului; ceste caldura specifica a materialului; 00 este distribujia initiala a temperaturi i Tdomeniu l de analiza V; 9(x,y,z) este distributia spatiala a temperaturi i pfrontiera S; q este fluxul de temperatura; a este coeficientul de transfer dcaldura Tntre mediul fluid si mediul solid; 0f este temperatura fluidului lsuprafata S; q v este termenul sursa de caldura; v x,vy,v z sunt componenteleversorului normalei la suprafata de schimb termic pe directii le x,y,z.

Se considera o variatie infinitezimala virtuala a temperaturii 50, de lastarea de echilibru termic, astfel ca,50~ ~ < i d v -

5x

d d 50dz 80dV+(3.42

505 y '

5 0^5z'

J50dS = 0

Variatia de temperatura 80 se alege astfel Tncat conditia 3.38sa fierea lizata, re spectiv, 80 = 0 pe S.


51/60

D m co nsi eren te geometnce se pot scne re a tn e ,dV = dxdydz dydz = v x d S= v y d S dxdy = v z d S '

Fie t ransformarea,

xo\\ ax oxd&o\

30/508ox . \ox.Folosind acest model, se obtin urmatoarele relatii:

5, 50.,5050^6J 605x1 x 5x dx

5zIntroducandu-le Tn expresia integralei de volum din 3.42:

5 5 L 50 1 _ 55zl" 5z 50dV,

btine ,

s e s e + - * >5y J Szl/'Sz J dV-5 . I U w" dv

Aplicand primei integrale teorema divergentei, avem50,5x -

d& s/0 fe 5G s;yv 60 + 5,v,605y J V 5 zy dS-


52/60

Se observa ca,

j _ f s N 50 J 505z ^ 5z

Introducandu-le Tn3.45, se obtineac\*-^ -' I v> "_/ I ., L/V-/~aV* "v+\50dS-

5xl 5x

50 50 dV}

Introducand 3.47 Tn3.42, se deduce,

'V5X J "{By) ~(dz dr\+\\pcp~qv\adv-r ,^

**,+t,v,+e, v, \*B-dx ' ' 8y ' dz j([.50 ..90 .. 90 ^ 1 , _- I ^ +^ v +^ v


53/60

'50"l& (3.49

Se observa ca,

Jq50dS= 5J Jq0dsL

Ja(0-0f)50dS= 6J jf-a2-a00a+-aMdsLs s^ '

- 60dV=8 p c -

Introducandu-le Tn3.49, se obtine

Sy

(3.50

q v dV +) (3.51Jq0dS+ J-(0-0f)2dS}=0

Notand cu n funcjionala50\dx dy .z 50 ^dV + pc-qv 0dV+


54/60

S.S.Fundamente matematice in analiza tensiunilortermice pentru sisteme elasticeProblemele descrise Tn acest subcapitol, se refera la determinare

tensiunilor si deformatiilor elastice Tn corpuri solide sub distributii prescrise atemperaturii.

Tensiunile termice pot aparea Tntr-un corp Tncalzit ori datorita undistributii neuniforme de temperatura, ori a constrangerilor externe, sau a uncombinatii a acestor cauze.

In cazul unui corp elastic Tncalzit neuniform, ecuatiile de echilibru si celgeometrice raman sub aceeasi forma, Tnsa ecuatiile fizice ale lui Hooke smodifica, deoarece Tn aceste relatii intervin deformatiile specifice datoratvariatiei de temperatura 0, [22].

3.3.1 .Relatiile tensiuni-deformatiiConsiderand un cub cu latura unitara, dupa Tncalzirea cu o diferenta d

temperatura notata cu 0, latura sa va deveni 1 + a0, dar unghiurile raman todrepte, neproducandu-se lunecari specifice, ci numai alungiri de valoarea a[22].

Relatiile lui Hooke devin:

= o, -v(av +o,)|+a0 s x v = y x v = x x v^ L x \y z /J xy | i xy o/~i xy2. ZL ry x z yz =-yyz =iyzt, 2. 2\3

= [a, -via, + C T V ) +a0 e 7 X = j 7 X =T _ .T -I L 2 \ x y /j s\ zx /^ s - ~ \ zx

j=-[ay -v(ax +az)]+a0 (3.54

Relatia Tntre modulul de elasticitate transversal G, modulul lui Youngsi ratia lui Poisson v, este data de expresia:

20+v)Prelucrand relatiile lu i ex, ey, ez, putem scrie:

(3.55

-[(l+v)a -vaaj+a (3.56


55/60

Adunand relatiile 3.56 se objine,l-2v -aaa+3a (3.57

e a a =s x +e y +8 z =e .

tiind ca = K, K fiind modulul de elasticitate cubica sau d3(1-2v)relatia 3.57 se poate scrie sub forma,

eaa =aa 3K (3.58Este util uneori, sa exprimam tensiunile explicit in termeni de deformajiiScriem ecuajia 3.58 sub forma,aaa=3K(8aa-3(X0)

(saa-3a0)a i *l-2vStiind ca, avem,3.60, se obtine,

(3.59

(3.60si Tnlocuind T

(3.61Se objine apoi,

E /x 1 + v xE

1 + vE-at)

1 + v l-2vv El +v l - 2 vv E ,

-3a0) (3.62)

l+v x L ' l+vl-2vJinand cont de constantele lui Lame, sistemul 3.62 devine,


56/60

Se pot determina ecuatii le fizice pentru mediul termoelastic sub o altforma, cea a ecuatii lor Du ham el-Neum ann [107].Pentru deducerea ecuatii lor, consideram un cub elementar, Tn asa femeat dimensiunile sale sa poata fi marite datorita cresterii de temperatura,notand cu s '~ componentele deformatiei ?n cazul Tn care nu se tine seama dvariajia temperaturii corpului si cu s^ componentele deformajiei provocatnumai Tn urma variatiei temperaturii da la 0 la 0, se obtine,

iar componentele se scriu,

?i.- =

11 + v

Facand Tnlocuirile Tn relatia 3.64, aceasta devine:

(3.64

(3.65

(3.66

(3.67

Pornind de la relajiile 3.67 scrise sub alta forma, se deduc ecuajiilDuham el-Neumann pentru mediul termoelastic, [107]:(3.68

3.3.2.Cai de rezolvare ale problemelor termoelasticitatii spatialeSimilar analizei din mecanica structurala, rezolvarea unei probleme dtermoelasticitate se poate face Tn functie de deplasari prin intermediul ecuatiiloNavier-Lame sau Tn functie de tensiuni prin ecuatiile Beltrami-Mitchell, [40].Ecuatiile Navier-Lame pentru un mediu termoelastic se scriu Tn cazugeneral,

+MAu - ( 3X +2jOa^+X=pox ox ot+ nA v-( 3 X + 2(i)a+ Y=p~ (3.69


57/60

Ecuatiile Beltrami-Mitchell pentru un mediu termoeiastic se scnu igeneral,

I aa1+v dx .1 52aaa

y 1 + v ay21 S2aaa

1+v dz .2

Ea a20 Ea' l + v 6 x 2 ' 1-v

Ea 620 Eal +v 5 y 1-vEa 520 Ea A^l+v& 2 1-v

A T l aa I1+v ckdyy 1+v dydz .

A T i l d' 11+v &Sx

0SX na x i - ( joCY Ha y i - n

d z . 1-nEa a 2^^01 + v aySzEa a2l+vd zd x .

f a x av^ a x a yT a x 5 YV S x 3yf a x ayI^Sx ay

i ^ay 3x/*l 3Y oZ\ az a y/ az + axt a x +az

^Z 1 1 C~ V 5 S 11 Di "* * \ aaT & J \" a: i - v a 2 Jart r/X+ v a2s ao ^" a z j\a 2 i - v a 2JdZ] /c2 v a2s ^ (3-701 az j Ya2 ' i - v a2 J

I n . ? "

) n > >zf .)" p a2

3.3.3.Metode energetice utile Tnstudiul de cercetareEnergia specifica de deformare pe unitatea de volum Tntr-un corp soli

deformatii e y si tensiuni a . t j se defineste matematic sub forma [22,40],

Energia specifica complementara pe unitatea de volum pentru problemese scrie,

v

(3.72

a principiul energiei complementare stationareJ|JE,j5aijdV =0 (3.73

i j j ^ / Q 74T X Z pxclydz = U v- ' ^c;a.. aav c;av O T _ V (?!, ~ crv,A y ^ Ay yz xz y

8W05=0 (3.75)


58/60

unde,W=J J Jw 0dV (3.77

Pentru definirea matematica a celor doua principii prezentate mai suss-a Jinut cont de relajiile, = z Si (3.78)d Y y z " T y z ^ " T Z X / ~ ^ 7 = Y y z ^T = Y z x ^7 = Y x y .

3.4.Solicitari te rmicem pistoanele m.a.i.Vom face referire in acest subcapitol la comportamentul termic apistonului Tntrucat reprezinta piesa dinamica cea mai solicitata din acest puncde vedere din ansamblul motor, si constitute una din cele m ai importantecomponente ale cercetarii in domeniul termic realizata Tn actuala lucrare.In contact cu gazele fierbinti pistonul primeste f luxul de caldura Q p si seTncalzete. Pistonul evacueaza fluxul Qp dar atinge starea de echilibru termic lao temperatura relativ ridicata. Fluxul de caldura Q p reprezinta 8...10% sau15...20% din puterea efectiva a unui motor cu aprindere prin scanteie. Cea mamare parte din caldura primita, 60...75% se evacueaza la nivelul regiunportsegmenti, f igura 3.2; o buna parte din caldura, 20...30%, se evacueaza prinmanta; restul se transmite gazelor din carter si uleiului, care vin Tn contact cupartea interioara a capului sau a regiunii portsegmenti, precum si boltului sbielei. Evacuarea de caldura prin piston produce inevitabil un gradient de

temperatura Tn peretii acestuia, iar distributia de temperatura scade de la centrula extremitatea capului. Variatia temperaturii Tn lungul pistonului este totdeaunaceeasi: descreste de la cap la partea inferioara a m antalei [58].Raspunsul piesei descris Tn figura 3.2 este evidentiat Tn cadrul analizenumerice de diagnosticare a campurilor termice, Tncapitolul 6.Toate traiectoriile liniilor de curgere a caldurii au originea lor pe fatacapului de piston din camera de ardere, majoritatea lor strabat prin fejeleinferioare ale locasurilor, Tn segmenti si prin acestia, prin fetele lor laterale, lacamasa cilindrului. Solicitarile termice ale materialului sunt maxime Tn puncteleT n care liniile de curgere au o concentrare m ai mare.Gazele din camera de ardere Tncalzesc progresiv pistonul, pana ceacesta capata o stare de stabilitate termica, si apar dilatari care induedeformajii si tensiuni interne ale caror campuri vor fi analizate cu metoda


59/60

Figura 3.2. Distribute fluxului decaldura din piston [58].

Tncalzirea pistonului Tn structura sa este neuniforma, deci si dilatarile vsi deformajiile term ice apar Tn special Tn zona regiunsi Tndreptul umerilor pistonului.Dilatarea longitudinala da pistonului o forma tronconica. Dilatarea maa capului si a RPS, construita pe baza masuratorilor experimentalepericol de gripaj si compromite asezarea corecta a segmenti lor fata dcilindrului.Concentrarea de material Tn dreptul ume rilor man talei produce o dilatainegala; mantaua ia forma ovala, cu axa mare a elipsei pe directia axeboljului. Pentru a Tnlesni curgerea caldurii primite spre mantaucrestere spre periferie a grosimii SO consecin^a importanta a modificarii starii termice a pistonului cde functionare o constituie variatja jocului dintre piston si cilindru csi turatia. Pentru a preven i griparea sau blocarea pistonului Tn cilindr

cauza dilatarilor, chiar Tn regim nominal se prevede Tntre cele doua organjo e diametral A ', numit jocul la cald. La sarcini |i turajii reduse, la mersul Teste rece si jocul diametral A, numit jocul la rece, se amplifica dori, ia r pistonul functioneaza cu zgomot. La montaj, jocul diametral Asi jocul de montaj este de cateva ori mai mare decat A '.T n figura 3.3 sunt redate liniile de repartijie a temperaturilor Tn directipe capul unor pistoane din aliaje usoare si Tn directia axiala pe mantau

[58].


60/60

350

300

250

200

77 /

100 200 300

Figura 3.3.Reparti{ ia temperaturi lor in pistoane din aliaje uoarepentru motoare m patru t impi [58].

Documents

masterat CPAM