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MODULE 2

ESPACE DE

PROBABILITE

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Chapitre 1 le Dnombrement

A)NOTATIONS

1) Factorielle n : !nCest le nombre not !n gal au produit des entiers de 1 n.

1

! 1 2 3 ... ( 1)n

k

n k n n=

= = Convention :0! 1=

Remarque : il faut connatre par cur les factorielles suivantes :

0! 1, 1! 1, 2! 2, 3! 6, 4! 24= = = = =

2) Arrangement : pnA ( p n )

Le nombrep

nA est le nombre gal au produit des p premiers entiers dans lordre dcroissant partir

de n. Il est immdiat que lon doit avoirp n pour ne pas obtenir un rsultat nul

( ) ( ) ( )1

1 2 ... 1n

p

n

k n p

A k n n n n p= +

= = +

Exemple :4

6 6 5 4 3 360A = =

Remarque : le nombrep

nA est en gnral not nProu ( , )P n r dans les calculatrices scientifiques.

Proprit :( )

!

!

p

n

nA

n p=

En effet :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 .... 2 1 !1 2 ... 1 1 2 ... 1

1 .... 2 1 !

p

n

n p n p n A n n n n p n n n n p

n p n p n p

= + = + =

Cette formule est utile si votre calculatrice ne comporte pas la touche nPr, sinon elle complique les

calculs numriques.

4

6

6! 720360

2! 2A = = =

Convention :0 1nA =

Proprits :1

nA n= , ( )2 1n A n n= , !

n

nA n= ,1 !nnA n

=

Remarque : il faut connatre par cur les formules prcdentes !

3) Combinaison : pnC ( p n ) oun

p

Le nombrep

nC est le nombre dfini par la relation( )

!

! ! !

pp nn

A nC

p p n p= =

.

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Il est immdiat que lon doit avoirp n pour que pnA et donc le quotient existe.

Exemple :4

4 77

7 6 5 4 84035

4! 24 24

AC

= = = =

Ou :4

7

7! 7 6 5 4 3 2 1 504035

4!3! 24 6 144C

= = = =

Proprits : 0 1nC = , 1nC n= , ( )21

2n n nC = , 1nnC = , 1nnC n =

Remarque : les dmonstrations sont immdiates (et faire titre dexercice) et il faut connatre par

cur les formules prcdentes !

Proprits :p

nC =n p

nC

1

p

nC + =1p

nC

+p

nC

Dmonstration :

( ) ( )( ) ( )! !

! ! ! !

p n p

n n

n nC C

p n p n n p n p

= = =

( ) ( ) ( )1 ! !

! ! 1 ! 1 !

p p

n n

n nC C

p n p p n p

+ = + +

( )

( ) ( )

11 ! !

! 1 ! ! 1 !

p p

n n

n p n p nC C

p n p p n p

+ + = +

+ +( )

( )

( )

( )

( )

( )1

1

1 ! 1 ! 1 !

! 1 ! ! 1 ! ! 1 !

p p p

n n n

n p p n n n nC C C

p n p p n p p n p

+

+ + + ++ = = = =

+ + +

B)TRIANGLE DE PASCAL, FORMULE DU BINME

On peut dfinirp

nC dans le cas p n et pour une valeur donne de n il y a 1p + valeurs dfinies dep

nC . Si lon crit lesp

nC en ligne pour chaque valeur de n , on aura un terme de plus chaque fois que

lon passe la ligne suivante. On dispose ainsi les termes pnC :

0

0C

1

1C 1

1C

0

2C 1

2C 2

2C

0

3C 1

3C 2

3C 3

3C

0

pC 1pC

2pC

3pC .

1kpC

k

pC ..ppC

0

1pC + 1

1pC + 2

1pC + 3

1pC + .1

1

k

pC+ 1

k

pC + .. 1p

pC + 1

1

p

pC++

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La relation 1k

pC + =1k

pC

+k

pC permet dobtenir un terme de la ligne 1p + partir de deux termes de la

ligne suprieure. Cette formule permet dobtenir tous les termes de la ligne 1p + sauf ceux des deux

extrmits. Comme de plus0

1pC + =1

1

p

pC++ =1, on connat la ligne 1p + totalement.

On obtient alors le triangle de Pascal :

11 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Une application importante est la formule du binme de Newton .

Rappel : identits remarquables :

( )0

a b+ = 1

( )1

a b+ = 1a + 1b

( )2

a b+ = 1 2a + 2ab + 1 2b

( )3

a b+ = 1 3a + 3 2a b + 3 2b + 1 3b

On reconnat dans les dveloppements de( )

na b+ les coefficients du triangle de Pascal ; on peut

dmontrer que cette proprit est gnrale.

Formule du binme de Newton :

( ) 0 0 1 1 1 2 2 2 0

0 0

... ...n n

n k k n k k n k k n n n k k n k n n

n n n n n n n

k k

a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b

= =

+ = = = + + + + + + La dmonstration de cette formule est effectue dans le paragraphe suivant .

Remarque utile :0

2n

k nn

k

C=

=

Dmonstration : ( )0 0

1 1 1 1 2n n

nk k k n k n

n n

k k

C C

= =

= = + =

C) CHOIX DEp ELEMENTS PARMI n

Soit un ensemble comportantn

lments :{ }

1 2

, ,...,n

=. On prend dans cet ensemble

p

lments. On cherche le nombre de possibilits de tels choix.

On remarque tout dabord que lon peut choisir des lments distincts ou non : on parle alors de

choix avec remise ou sans remise ( ou bien de choix non exhaustifs ou exhaustifs). On peut

galement choisir ces lments ordonns ou non ordonns.

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Remarque importante : Si le choix est sans remise on doit avoirp n

1) Choix ordonn et avec remise (non exhaustif) de p lments parmi n .Pour choisir le premier lment on a n possibilits,

pour choisir le second lment on a n possibilits,

pour choisir le troisime lment on a n possibilits,

.

pour choisir le pime

(dernier) lment on a galement n possibilits,

Il est immdiat que pour chaque choix du premier on a tous les choix du second et donc 2n choix des

deux premiers ; ainsi on peut affirmer que lon a pn choix de p lments parmi n .

Exemple : Monsieur D. professeur de mathmatiques a 12 tudiants prsents en cours. Il dsire

envoyer 4 tudiants au tableau pour traiter 4 exercices de difficults diffrentes. Il peut envoyer un

mme tudiant plusieurs fois au tableau. Combien a-t-il de possibilits ?

Rponse : cest un choix, avec remise (puisqu il peut envoyer plusieurs fois un mme tudiant autableau) et ordonn (puisque les exercices sont diffrents), de 4 tudiants parmi 12. Il y a donc

412 20736= choix.

2) Choix ordonn et sans remise (exhaustif) de p lments parmi n . p nPour choisir le premier lment on a n possibilits,

pour choisir le second lment on a 1n possibilits,pour choisir le troisime lment on a 2n possibilits,.

pour choisir le pime

(dernier) lment on a 1n p + possibilits,

Il est immdiat que pour chaque choix du premier on a tous les choix de second et donc ( 1)n n

choix des deux premiers ; ainsi on peut affirmer que lon a ( 1) ( 2) ... ( 1)p

nn n n n p A + = choix

de p lments parmi n .

Un tel choix de p lments parmi n est un arrangementdes n lments pris p p .

Exemple : Monsieur D. professeur de mathmatiques a 12 tudiants prsents en cours. Il dsire

envoyer 4 tudiants au tableau pour traiter 4 exercices de difficults diffrentes. Il ne veut pas

envoyer un mme tudiant plusieurs fois au tableau. Combien a-t-il de possibilits ?

Rponse : cest un choix, sans remise et ordonn, de 4 tudiants parmi 12. Il y a donc4

1212 11 10 9 11880A = = choix.

Remarque : choix de n lments parmi n .

Il y a !n

nA n= choix ordonns de n lments distincts et ordonns parmi n . Un tel choix est une

permutation des n lments.

3) Choix non ordonn et sans remise (exhaustif) de p lments parmi n . p nA tout choix de p lments on peut associer !p choix ordonns de ces lments ; en effet toute les

permutations de ces p lments correspond un choix ordonn. Il y a donc !p fois plus de choix

ordonns que de choix non ordonns.

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Le nombre des choix non ordonns est donc :!

ppnn

AC

p= .

Un tel choix de p lments parmi n est une combinaison des n lments pris p p .

Exemple : Un tudiant de licence doit choisir 3 options parmi 7 pour valider sa licence. Quel est le

nombre de choix dont il dispose ?

Rponse : Il est vident que les options sont distinctes et sans ordre. Il a donc

33 7

7

7 6 5

353! 6

A

C

= = =

choix possibles.

Proprit importante : Un choix de p lments parmi n est un choix dun sous ensemble p

lments de lensemble n lments . Il y a donc pnC sous ensemble p lments de lensemble

.

Remarque1 : choisir un sous ensemble p lments de revient choisir les n p lments que

lon ne choisit pas (cest le sous ensemble complmentaire ). On retrouve donc la relation :

p

nC

=

n p

nC

Remarque 2 : Pour choisir un sous ensemble p lments de on peut fixer un lment 0 .

Parmi tous les sous ensembles p lments de il y a ceux qui contiennent 0 et ceux qui necontiennent pas cet lment.

Ceux qui contiennent 0 sont au nombre de1

1

p

nC

(il faut choisir 1p lments parmi les 1n autres

que 0 ).

Ceux qui ne contiennent pas 0 sont au nombre de 1p

nC (il faut choisirp lments parmi les 1n

autres que 0 ).

Comme il y ap

nC sous ensemble p lments de on en dduit la relation : 1p

nC + =1p

nC

+p

nC

Dmonstration de la formule du binme : ( ) ( ) ( ) ( )....n

a b a b a b a b+ = + + + .

Un tel produit de n facteurs gaux ( )a b+ se dveloppe sous la forme dune somme de termes de

la forme k n ka b car les produits sont composs de n multiplications entre les termes a et b .(on choisit

pour dvelopper a dans k parenthses et b dans les autres qui sont au nombre de n k )

Or il y ak

nC faons de choisir les k parenthses pour lesquelles on choisit a parmi les n du produit

( ) ( ) ( ) ( )....n

a b a b a b a b+ = + + + .

Le facteur k n ka b apparat donck

nC fois. On en dduit la formule du binme :

( )0

nn k k n k

n

k

a b C a b

=

+ = 4) Choix non ordonn avec remise (exhaustif) de p lments parmi n . p n

Ce type de choix existe dans la ralit, par exemple dans le cas dun garon de caf qui prend des

commandes une table de p consommateurs. Si ces derniers peuvent choisir parmi n boissons, le

choix est videmment avec remise puisque plusieurs consommateurs peuvent commander la mme

boisson mais il est non ordonn puisque pour servir la commande il regroupera les boissons

identiques (3 bires, 2 coca-cola, etc)

Ce type de choix nest pas tudi ici.

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En rsum choix de p lments parmi n :

Sans ordre Avec ordreAvec remise Non tudi pnSans remise pnC

p

nA

D)EXERCICES

EXERCICE 1Calculer les nombres :

!4,!8,,,, 15712

26

35 CACA

EXERCICE 2

Dmontrer la relation :

1

1

1 +

+=

p

n

p

n Cp

n

C

EXERCICE 3Combien y a-t- il de faons de prendre simultanment cinq cartes dans un jeu de 32 cartes ?

Parmi toutes ces faons, combien y en a-t-il comprenant exactement :

a) un as exactementb) deux asc) au moins deux asd) deux as et deux roise) deux as et deux piques

EXERCICE 4Les rptitions ntant pas permises, combien peut-on former de nombres de 3 chiffres avec

les six chiffres 2, 3, 5, 6, 7 et 9 ?

Parmi ceux-ci, combien sont infrieurs 550 ? Combien sont pairs ? Combien sont desmultiples de 5 ?

EXERCICE 5Faire le mme exercice en autorisant les rptitions.

EXERCICE 6Quel est le nombre des sous-ensembles dun ensemble 3 lments, 5 lments, n

lments ?

EXERCICE 7Quel est le nombre des diagonales dun rectangle, dun hexagone et plus gnralement dunpolygone convexe n cts.

E)CORRIGES

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EXERCICE 13

5 5 4 3 60A = = 2

2 66

6 515

2! 2

AC

= = = 712 12 11 10 9 8 7 3991680A = =

1

5 5C = 8! 40320= 4! 4 3 2 1 24= =

EXERCICE 2( )( ) ( ) ( )( )

1

1

1 ! 1 ! 1

! 1 ! 1 ! 1

p p

n n

n n n nC C

p n p p p p n p

+

+ + += = =

+

EXERCICE 3

a)1 4

4 28C C

b)2 3

4 28C C

c)1 4

4 28C C0 5

4 28C C+

d)2 2 1

4 4 24C C C

f) Il faut ici distinguer deux cas selon que lAs soit de Pique ou non1 1 1 2

1 3 7 21C C C C +2 2 1

3 7 21C C C = 5733

EXERCICE 4Il y a

3

6A nombres de 3 chiffres construit avec les chiffres donns pris sans rptition et avec ordre.

Parmi les nombres infrieurs 550 il y a ceux dont le premier chiffre est 2 ou 3, les deux autres tant

quelconques parmi les cinq restants. Ils sont au nombre de1 2

2 52 20 40A A = = .

Il y a galement ceux dont le premier chiffre est, le second 2 ou 3 et le troisime quelconque parmi

les quatre restants. Ils sont au nombre de1 1

2 41 8A A = .

Il y a en tout 48 nombres infrieurs 550.

Pour un nombre pair le dernier chiffre est 2 ou 6, les deux premiers chiffres sont quelconques parmi

les cinq chiffres restants. Il y a donc1 2

2 540A A = nombres pairs.

Pour un nombre multiple de 5 le dernier chiffre est 5 , les deux premiers chiffres sont quelconques

parmi les cinq chiffres restants. Il y a donc2

51 20A = nombres multiples de .

EXERCICE 5On peut former 36 213= nombres de 3 chiffres.Parmi ceux-ci :

22 6 1 2 6 72 12 84 + = + = sont infrieurs 55026 2 72 = sont pairs26 1 36 = sont multiples de 5.

EXERCICE 632 8= , 52 32= , 2n

EXERCICE 7Remarque : un polygone convexe est un polygone non crois.Un rectangle a 2 diagonales.

Un hexagone a 9 diagonales.

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Il suffit de faire des figures !

Dans le cas dun polygone a n cts, une diagonale joint deux sommets distincts sans tre un ct.

Pour choisir deux sommets distincts il y a2

nC choix. Parmi ceux ci il y a n cts.

Le nombre de diagonales est donc( ) ( )22 1 32

2 2 2n

n n n nn n nC n n

= = = diagonales dans un

polygone n cts.

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Chapitre 2 ESPACE DE PROBABILITE

Une situation de probabilit est une situation dont le rsultat est alatoire ; ce peut tre le jeu que lon

obtient dans une partie de carte, le rsultat du loto national, les articles vendus un jour dans un

commerce, etc

Nous allons essayer de modliser une telle situation alatoire.

A)ESPACE PROBABILISABLE

1) Vocabulaire des probabilits

Exemple : On lance un d cubique six faces numrotes de 1 6.

Les rsultats possibles de cette preuve sont le fait dobtenir le numro 1, dobtenir le numro 2,

et lon note { }1,2,3,4,5,6 = lensemble des rsultats possibles de cette preuve.

On notera que chacune de ces possibilits peut se raliser.

Lensemble est appel univers ou espace probabilisable, les sous ensembles de unlment sont appel les ventualits ou vnements lmentaires.

Il y a 6 vnements lmentaires : { }1 , { }2 ,{ }3 ,{ }4 ,{ }5 ,{ }6 .

On peut dfinir pour cette preuve des vnements plus complexes comme par exemple:

lvnement not A : le rsultat est suprieur 4. cet vnement est not { }5,6A = ; cest un sous

ensemble de .

Lvnement not B : le rsultat est pair. Cet vnement est not { }2,4,6B = ; cest un sous

ensemble de .

Lvnement not C : le rsultat est infrieur 3.Cet vnement est not { }1,2C= ; cest un sous

ensemble de .

Lvnement not D : le rsultat est impair. Cet vnement est not { }1,3,5D = ; cest un sous

ensemble de .

Lvnement not E : le rsultat est diffrent de 1. Cet vnement est not { }2,3,4,5,6E= ; cest un

sous ensemble de .

Lvnement not F : le rsultat est gal 3 ou 4. Cet vnement est not { }3,4F = ; cest un sous

ensemble de .

A partir de ces vnements on peut en construire de nouveaux tels que :

Lvnement le rsultat est impair et il est diffrent de 1 ; cest lvnement D et E ; on a dans ce

cas : { }3,5 D et E D E = =

Lvnement le rsultat est pair ou il est suprieur 4 ; cest lvnement B ou A ; on a dans ce cas :

{ }2,4,5,6 B ou A B A= = Lvnement le rsultat nest pas suprieur 4 ; cest lvnement contraire de A ; on a dans ce

cas : contraire de { }1,2,3,4 A C A= = (complmentaire)

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On constate que la notion dvnement en probabilit est lie la thorie des ensembles.

Remarque 1 : Les vnements A et C ne peuvent pas se raliser simultanment ; lvnement

A et C est impossible. On a dans ce cas : A et C= . On dit que les vnements sontincompatibles.

Remarque 2: Lvnement D ou E est toujours ralis ; on a dans ce cas D ou E= . On dit que

lvnement D ou E est certain.

Remarque 3 : si lvnement B est ralis (rsultat pair) alors lvnement E (rsultat diffrent de

1) lest aussi. On dit que lvnement B implique lvnement E : B E

Remarque 4: Les vnements , ,A C F sont non impossibles, ils sont deux deux incompatibles et

lvnement A ou C ou F est certain ; on dit que cest un systme complet dvnements.

2) Dfinition dun espace probabilisable

Soit une preuve et { }1 2, ,... n = lensemble des ventualits. Lensemble des vnements est

lensemble des sous ensembles de . Cet ensemble est not ( )

Remarque : Le nombre des vnements est gal 2n .

En effet il y ak

nC sous ensembles de contenant n lments. Le nombre total des vnements,

donc des sous ensembles, est donc gal 0 2

nk n

nk

C= = .

Dfinitions :

Evnement impossible : Evnement certain : EvnementA et B A B=

EvnementA ou B A B=

Evnement contraire de A : A C A=

Deux vnements sont incompatibles si et seulement si A et B = Lvnement A implique lvnement B si et seulement si A B

Systme complet dvnements :

La famille 1 2, .... pA A A forme un systme complet dvnements si lon a :

, ii A non impossible

i ji j A et A est impossible

2 .... pA ou A ou A est certain

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Exemple : Si A est un vnement non impossible et non certain, le systme ,A A est un systme

complet.

Dans lexemple dfini prcdemment la famille , ,A C F forme un systme complet.

Dfinition : Lensemble ( ), ( ) est un espace probabilisable.

B)ESPACE PROBABILISESi lon considre lexemple du d de la partie prcdente, on peut penser, si le d nest pas truqu,

que lon peut facilement valuer la chance de ralisation de chacune des ventualits. Elle est gale

1

6.

Mais il nest pas impossible que ce d soit pip auquel cas la chance de ralisation dune ventualit

nest pas ncessairement1

6.

On va donc chercher dfinir cette chance de ralisation dune ventualit et plus prcisment dunvnement pour un univers quelconque .

1) dfinition dune probabilit sur

Une probabilit sur est une application P de lensemble des vnements dans .

( ):

( )P

A P A

telle que les proprits suivantes soient vrifies.

a) 0 ( ) 1P A

b) ( ) 0P = , ( ) 1P =

c) ( ) 1 ( )P A P A=

d) ( ) ( ) ( ) ( )P A ou B P A P B P A et B= +

e) Si A et B sont incompatibles ( ) ( ) ( )P A ou B P A P B= +

f) Si A implique B on a ( ) ( )P A P B

Remarque : certaines de ces proprits sont des axiomes de dfinition, dautres sont desconsquences et peuvent se dmontrer ; lessentiel est de les connatre parfaitement et de pouvoir

les appliquer.

Complment: Dmontrer que la dfinition suivante est quivalente la prcdente : Une probabilit

sur est une application P de lensemble des vnements dans .

( ):

( )P

A P A

telle que les proprits suivantes soient vrifies.

a) ( ) 1P =b) ( ), ( ) 0 A P A

c) Si A et B sont incompatibles ( ) ( ) ( )P A ou B P A P B= +

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Dans la suite pour vrifier que lon est en prsence dune probabilit on dmontrera uniquement ces

axiomes.

Consquences :

a) Si les vnements 1 2, ,... p A A A sont deux deux incompatibles, on a :

1 2

1

( ...... ) ( )n

n k

k

P A ou A ou ou A P A

=

= b) Si , ,A B C sont trois vnements,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A ou B ou C P A P B P C P A et B P A et C P B et C P A et B et C = + + +

Dfinition : Lensemble ( ), ( ),P est un espace probabilis

2) Construction dune probabilit sur un univers finiUne probabilit sur un univers fini { }1 2, ,... n = est caractris par la donne des probabilits des

ventualits, c'est--dire des nombres 1 2, ,... n p p p tels que :

1 1( )p P X = = , 2 2( )p P X = = , , ( )n n p P X = =

Ces nombres dfinissent une probabilit sur { }1 2, , ... n = si et seulement si :

1 2, ,... 0n p p p et1

1n

k

k

p=

=

En effet, toute probabilit sur { }1 2, ,... n = doit vrifier, de faon immdiate les conditions

prcdentes : une probabilit est positive et on a ( ) 1P =

Rciproquement, la donne de n nombres 1 2, ,... n p p p tels que 1 2, ,... 0n p p p et1

1n

k

k

p=

= permet de

dfinir une probabilit sur { }1 2, ,... n = .

En effet on peut dfinir lapplication( )

:( )

P A P A

de la faon suivante :

Soit { }1 2, ,...,

pi i iA = un vnement (sous ensemble de ) contenant p ventualits.

On pose1

( )k

p

i

k

P A p=

= On vrifie facilement que P satisfait les axiomes dune probabilit.

3) Exemple de probabilit : le cas dquiprobabilit

Dfinition : Soit { }1 2, ,... n = lunivers. Le cas dquiprobabilit est le cas dfini par

1 2

1...

n

p p pn

= = = = . On a bien alors1 1

11

n n

kk k

np

n n= == = =

Dans ce cas : Si { }

1 2, ,...,

pi i iA = ,

1

1( )

p

k

pP A

n n== =

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( )p Card A nombre de cas favorables

P An Card nombre de cas possibles

= = =

Le calcul des probabilits dans ce cas se ramne la rsolution de problmes de dnombrement.

Exemple :

Quelle est la probabilit au poker (5 cartes distinctes prises au hasard parmi 52) dobtenir un full ? Un

full est form de 3 cartes de mme niveau (3as ou 3 rois.. ) et de deux cartes galement de mmeniveau. Par exemple si lon a le roi de cur, le roi de carreau, le roi de trfle le 8 de pique et le 8 de

cur le jeu constitue un full aux rois par les huits.

Le nombre de cas possibles est5

52C .

Calculons tout dabord la probabilit dobtenir un full aux as par les rois, c'est--dire trois as

exactement et deux rois exactement.

Le nombre de cas favorables est3 2

4 4C C puisquil faut prendre trois as parmi quatre et deux huitparmi les quatre.

Cette probabilit est gale :

3 2

4 4

5

52

10,000009234

100290

C C

C

= =

Pour obtenir un full, il faut avoir deux niveaux distincts et ordonns pris parmi les 13 niveaux de

cartes dun jeu de 52 cartes. En effet ces niveaux sont ordonns car un full aux as par les rois est

diffrent dun full aux rois par les as. Il y a donc2

13A types de full diffrents

La probabilit dobtenir un full est gale :

3 22 4 4

13 5

52

60,0014

4165

C CA

C

= =

4) Un cas de non quiprobabilit.

On lance un d pip de telle sorte que la probabilit dapparition dune face soit proportionnelle au

numro de cette face.

Dterminer la probabilit dobtenir un rsultat pair.

Dans ce cas lunivers est { }1,2,3,4,5,6 = . Les probabilits 1 2 6, ,... p p p des ventualits vrifient :

3 5 61 2 4

1 2 3 4 5 6 p p p p p p= = = = =

On obtient ici un systme de 5 quations 6 inconnues que lon ne peut rsoudre ; il faut une

quation supplmentaire. Cette quation est obtenue en crivant que la probabilit de lvnement

certain est gale 1 :6

1

( ) 1kk

P p=

= = , c'est--dire : 1 2 3 4 5 6 1p p p p p p+ + + + + =La rsolution de ce systme donne :

2 12p p= 3 13p p= 4 14p p= 5 15p p= 6 16p p= et donc :

1 2 3 4 5 6 1p p p p p p+ + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 1 21 121

p p p p p p p p+ + + + + = = =

On a donc : 11

21p = 2

2

21p = 3

3

21p = 4

4

21p = 5

5

21p = 6

6

21p =

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

15/38

Et donc 2 4 62 4 6 12

( )21 21 21 21

P nb pair p p p= + + = + + =

Mthode : il faut dans le cas de non quiprobabilit utiliser les conditions donnes dans lnonc

ainsi que le fait que la probabilit de lvnement certain soit gale 1 pour obtenir un systme

dquations permettant de calculer 1 2, ,... n p p p .

C)PROBABILITES CONDITIONNELLES

1) Dfinitions, proprits

Exemple : Lorsque lon lance un d non pip on est dans un cas dquiprobabilit et les probabilits

de chaque vnement se calculent sans difficult. Supposons quune personne lance un d non pip

hors de la vue dun observateur ; pour cet observateur, la probabilit de ralisation dun vnement

se calcule dans la situation dquiprobabilit. Supposons maintenant que cet observateur dispose

dun indicateur qui lui signale, par exemple par un coup dil que le rsultat est pair. Pour lui les

vnements ne sont alors plus quiprobables !

Par exemple la probabilit de lvnement on obtient 1 est nulle tandis que le probabilit de

lvnement on obtient un multiple de 3 est gale 1

3. (sur les trois rsultats pairs possibles, seul

6 est un nombre multiple de 3)

Soit P lvnement le rsultat est pair . On a1

( )2

P P =

Soit A lvnement le rsultat est suprieur ou gal 4 . On a

1

( ) 2P A =

A et P est lvnement le rsultat est pair et il est suprieur ou gal 4) ; { }4,6A et P= sa

probabilit est2

( )6

P A et P =

Pour lobservateur inform que le rsultat est pair, la probabilit de l vnement A est gale 2

3;

cette probabilit a t modifie par lindication ; on la note ( )P A P ou ( )PP A .

On peut vrifier dans ce cas que

2( ) 4 26( )

1( ) 6 3

2

P A et PP A P

P P= = = =

On peut gnraliser cette proprit:

Dfinition : Soit un espace probabilis ( ), ( ),P et A un vnement tel que ( ) 0P A . On dfinit

la probabilit note ( )P B A ou ( )AP B dun vnement B sachant A , ou probabilit de B

conditionn parA par :

( )

: ( )( ) ( )

( )

A

A

P P A et BB P B P B A

P A

= =

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

16/38

AP est bien une probabilit dfinie sur ; AP vrifie en effet les axiomes dune probabilit :

a) Il est immdiat que 0AP . On a donc 0 1AP

b)( ) ( )

( ) 1( ) ( )

A

P et A P AP

P A P A

= = =

c) Si B et C sont incompatibles ( )B C = , on a ( ) ( ) ( )B A C A A B C = =

( ) ( )B A et C A sont incompatiblesComme de plus ( ) ( ) ( )A B ou C A B A C = , on a :

( ( )) (( ) ( )) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )A

P A B C P A B A C P A B P A C P B ou C

P A P A P A

+ = = =

( ) ( ) ( ) A A A

P B ou C P B P C = +

AP est bien une probabilit et on peut utiliser les proprits telles que : ( ) 1 ( )A A P B P B=

Consquences : ( ) ( ) ( ) P Aet B P B A P A=

A et B =B et A ; on a donc ( ) ( ) ( )P A et B P B A P A= = ( ) ( )P A B P B

2) Indpendance :

Il est naturel de dire que deux vnements sont indpendant si la ralisation de lun ninflue pas sur

la ralisation de lautre. On en dduit une dfinition de lindpendance de deux vnements :

Dfinition : Deux vnements A et B sont indpendants si et seulement si : ( ) ( )A P B P B= .

Consquence : la relation ( ) ( ) ( )P A et B P B A P A= prouve que si A et B sont indpendants on

a ( ) ( )( ) ( ) ( ) P Aet B P BA P A P A P B= =

Attention : Formules importantes :

( ) ( ) ( )P A ou B P A P B= + si A et B sont incompatibles

( ) ( ) ( )P A et B P A P B= si A et B sont indpendants

3) Deux thormes importants

a) Thorme des probabilits totalesSoit un systme complet dvnements : 1 2, ,....., p A A A et B un vnement ; on a alors :

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1

( ) ( ) ( )p

k k

k

P B P B A P A=

=

Dmonstration : On peut crire 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) .... ( )p pB B B A A A B A B A B A= = =

Et donc : ( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) .... ( )p pP B P B A B A B A P B A P B A P B A= = + + +

Car les vnements 1 2( ), ( ), .... , ( )pB A B A B A sont incompatiblesEt donc 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( )p pP B P B A P A P B A P A P B A P A= + + +

b) Formule de BayesSoit un systme complet dvnements : 1 2, ,....., p A A A et B un vnement ; soit 0kA un des

vnements du systme, on a alors :

0 0

0

1

( ) ( )( )

( ) ( )

k k

k p

k k

k

P B A P AP A

P B A P A=

=

Dmonstration :

On a0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k P A et B P A B P B P B A P A= = do: 0 0

0

( ) ( )( )

( )

k k

k

P B A P AP A

P B

=

Remarques: ces formules ne sont pas connatre, il est prfrable de refaire systmatiquement les

dmonstrations !

Exemple :Une entreprise produit des ampoules lectriques. Elle dispose de trois chanes de production : la

chane A qui produit 50% de la production, la chane B qui produit 30% de la production, la chane

C qui produit 20% de la production.

Les normes de production nous informent que 5% de la production de la chane A est dfectueuse,

que 3% de la production de la chane B est dfectueuse et 1% de la production de la chane C est

dfectueuse.

1) Quel est le pourcentage dampoules produites par lentreprise qui sont dfectueuses ?

2) Une ampoule est dfectueuse ; quelle est la probabilit quelle soit produite par la chane A , parla chane B , par la chane C ?

Correction :

On note A lvnement : lampoule est produite par la chane A . On a ( ) 0,5P A = On note B lvnement : lampoule est produite par la chane B . On a ( ) 0,3P B = On note C lvnement : lampoule est produite par la chane C . On a ( ) 0,2P C =

On note D lvnement : lampoule est dfectueuse.

On a ( ) 0,05P D A = , ( ) 0,03P D B = , ( ) 0,01P D C =

Une ampoule peut tre dfectueuse en tant produite soit par la chane A , soit par la chane B , soit

par la chane C.

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On a donc : ( ) ( ) ( )D D et A ou D et B ou D et C=

Une ampoule ne pouvant tre produite par deux chanes diffrentes, les vnements

( ) , ( ) ( )D et A D et B et D et C sont deux deux incompatibles et donc :

( ) ( ) ( ) ( )P D P D et A P D et B P D et C = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D A P A P D B P B P D C P C + + =

0, 05 0, 5 0, 03 0, 3 0, 01 0, 2 0, 036 + + =

Le pourcentage dampoules produites par lentreprise qui sont dfectueuses est 3,6%.

Calculons ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D et A P D A P A P A D P D= = et donc

( ) ( ) 0, 05 0,5( ) 0,6944

( ) 0,036

P D A P AP A D

P D

= = =

de mme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D et B P D B P B P B D P D= = et donc

( ) ( ) 0,03 0,3( ) 0,25

( ) 0,036

P DB P BP B D

P D

= = =

et : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D et C P D C P C P C D P D= = et donc

( ) ( ) 0, 01 0, 2( ) 0,0556

( ) 0,036

P D C P C P C D

P D

= = =

On aurait galement pu remarquer que :( ) 1 ( ) ( ) 1 0,6944 0, 25 0,0556P C D P A D P B D= = =

A)EXERCICES

EXERCICE 1Une personne lance simultanment deux ds cubiques numrots chacun de 1 6.Calculer les probabilits des vnements suivants :

1) Les deux ds affichent deux numros identiques2) La somme des numros obtenus est gale 4, 73) La somme des numros obtenus est infrieure ou gale 54) Lun au moins des deux numros est 2.

EXERCICE 2Une personne joue au loto chaque semaine. Pour cela elle slectionne 6 numros parmi les 49proposs. Quelle est la probabilit des vnements suivants :

1) Elle obtient trois numros exactement parmi les six bons2) Elle obtient 4 numros parmi les six bons3) Elle obtient les six bons numrosElle obtient au moins deux bons numros parmi les six bons

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EXERCICE 3Quelle est la probabilit pour quun joueur de tarot qui reoit 18 cartes ait :

a) exactement trois atoutsb) au plus trois atoutsc) au moins trois atoutsd) trois atouts exactement et un bout

( il y a au tarot 21 atouts parmi les 78 cartes du jeu et trois bouts parmi lesquels figurent deuxatouts )

EXERCICE 4Une cible circulaire est partage en 6 secteurs circulaires dont les angles au centre sont enprogression gomtrique de raison deux. Chaque zone correspond un nombre de pointsvariant de 1 6 selon la taille de la zone, la plus grande correspondant un point. ( plus lazone est de grande taille, plus elle est facile atteindre et moins elle rapporte de points ! !).Un joueur vise la cible au hasard avec une flchette . Calculer la probabilit pour quilobtienne :

a) un pointb) deux pointsc) au moins un pointd) au plus un pointe) entre 2 et 4 points

EXERCICE 5On admet que sur une autoroute 4% des automobilistes dpassent la vitesse limite de 130km/h (par beau temps).On admet galement que lorsquun radar contrle un vhicule il nest pas fiable 100%, etque :- si un vhicule dpasse la vitesse lgale il a 95% de chance dtre signal en excs de

vitesse par le radar.- si un vhicule ne dpasse pas la vitesse lgale, il a quand mme 2% de chance dtre

signal en excs de vitesse par le radar.

Un vhicule est contrl par le radar : quelle est la probabilit pour quil soit signal eninfraction ?Un vhicule est signal en infraction, quelle est la probabilit pour quil respecte quand mmela vitesse lgale ?

EXERCICE 6Dans une Facult trs renomme Montpellier, 45% des tudiants sont inscrits dans la filire gestion , 35% dans la filire administration et 20% dans la filire social . Unprofesseur de mathmatiques ,enseignant tous les tudiants des trois filires, a constatque :

10% des tudiants de la filire gestion ont horreur des mathmatiques

20% des tudiants de la filire administration ont horreur des mathmatiques40% des tudiants de la filire social ont horreur des mathmatiques.

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Question 1Le professeur corrige une copie choisie au hasard parmi ses tudiants ; quelle est la

probabilit que ce soit celle dun tudiant ayant horreur des mathmatiques ?

Question 2Lors de la correction dun examen, ce professeur lisant la copie dun tudiant et lui

mettant une note catastrophique, constate trs vite que cet tudiant a horreur desmathmatiques. On admet que cet tudiant a t choisi au hasard parmi lensemble des

tudiants de linstitut.Quelle est la probabilit que cet tudiant soit un tudiant de la filire gestion ?

EXERCICE 7Dans un lot de pices fabriques, il y a 5% de pices dfectueuses. On contrle les pices,mais le mcanisme de contrle est alatoire:

Si la pice est bonne elle est accepte avec une probabilit 0,96;Si la pice est dfectueuse, elle est refuse avec une probabilit 0,98.

On choisit au hasard une pice que lon contrle. Dterminer les probabilits des vnementssuivants:

a) Sachant que la pice est bonne elle est refuse.b) Il y a une erreur dans le contrle.c) La pice est bonne sachant quelle est refuse.d) La pice est mauvaise sachant quelle est accepte.

B)CORRIGES

EXERCICE 1Une personne lance simultanment deux ds cubiques numrots chacun de 1 6.

Calculer les probabilits des vnements suivants :

1) Les deux ds affichent deux numros identiques2) La somme des numros obtenus est gale 4, 73) La somme des numros obtenus est infrieure ou gale 54) Lun au moins des deux numros est 2.

2( ) 6 36Card = =

1)6 1

36 6P= =

2) somme =7 :3 1

36 12P= = somme =7 :

6 1

36 6P= =

3) somme 5 :1 2 3 4 10 5

( 5) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)36 36 36 36 36 18

P S P S P S P S P S = = + = + = + = = + + + = =

4) { } 1 1 1 11(1 6) (2 6) ( 6,6 )6 6 36 36

er nd P P P P = = + = = + =

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EXERCICE 2Une personne joue au loto chaque semaine. Pour cela elle slectionne 6 numros parmi les 49 proposs. Quelle est la

probabilit des vnements suivants :

1) Elle obtient trois numros exactement parmi les six bons2) Elle obtient 4 numros parmi les six bons3) Elle obtient les six bons numros4) Elle obtient au moins deux bons numros parmi les six bons

6

49( ) 13983816Card C = =

1)

3 3

6 43

3

49

88150,0177

499422

C CP

C

= = =

2)

4 2

6 43

3

49

6450,0010

665896

C CP

C

= = =

3)

6 0

6 43

3

49

10,0000000715

13983816

C CP

C

= = =

4)

3 6

6 43

3

49

88150,0177

499422

C CP

C

= =

EXERCICE 3Quelle est la probabilit pour quun joueur de tarot qui reoit 18 cartes ait :

a) exactement trois atoutsb) au plus trois atoutsc) au moins trois atoutsd) trois atouts exactement et un bout

( il y a au tarot 21 atouts parmi les 78 cartes du jeu et trois bouts parmi lesquels figurent deux atouts )

a)

3 15

21 57

18

78

0,1380C C

PC

= =

b) P(au plus 3 atouts)=P(0 atout ou 1 atout ou 2 atouts ou 3 atouts)

= P(0 atout) + P(1 atout) + P(2atouts) + P(3 atouts)

0 18

21 57

18

78

C CP

C

=

1 17

21 57

18

78

C C

C

+

2 16

21 57

18

78

C C

C

+

3 15

21 57

18

78

0, 0015 0, 0138 0, 0572 0,1380 0, 2105C C

C

= + + + =

c) P(au moins 3 atouts) = 1 - P(au plus 2 atouts) = 1 1 P(0 atout) - P(1 atout) - P(2atouts)

= 1

0 18

21 57

18

78

C C

C

1 17

21 57

18

78

C C

C

2 16

21 57

18

78

1 0, 0015 0, 0138 0, 0572 0, 9275C C

C

= =

d) P(3 atouts et un bout )On peut avoir 3 atouts et un bout de deux faons :

Soit le bout est lexcuse et il faut atouts qui ne soient pas des bouts et 14 autres cartes

(donc parmi 56)

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

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Soit le bout nest pas lexcuse, cest alors le 1 ou le 21, il faut donc 2 autres atouts qui ne

soient pas des bouts et 15 autres cartes (parmi 56).

P=1 3 14 1 2 15

1 19 56 2 19 56

18 18

78 78

0,0265 0,0261 0,0526C C C C C C

C C

+ = + =

EXERCICE 4Une cible circulaire est partage en 6 secteurs circulaires dont les angles au centre sont en progression gomtrique deraison deux. Chaque zone correspond un nombre de points variant de 1 6 selon la taille de la zone, la plus grandecorrespondant un point. ( plus la zone est de grande taille, plus elle est facile atteindre et moins elle rapporte depoints ! !).Un joueur vise la cible au hasard avec une flchette . Calculer la probabilit pour quil obtienne :

a) un point b) deux pointsc) au moins un pointd) au plus un pointe) entre 2 et 4 points

La surface du secteur est proportionnelle aux angles de ces secteurs. La probabilit de toucher un

secteur est donc proportionnelle langle du secteur. Si est langle du plus petit secteur, les angles

des secteurs sont , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 puisquils sont en progression gomtrique.

Si lon note 1S le secteur dangle , 2S le secteur dangle 2 , 3S le secteur dangle 4 , 4S le secteur

dangle 8 , 5S le secteur dangle 16 , 6S le secteur dangle 32 .

On note 1 2 6, ,... p p p , les probabilits de touchers les secteurs dangles respectifs , 2 , 4 , 8 , 16 ,

32 .

On a : 3 5 61 2 42 4 8 16 32

p p p p p p

= = = = = , soit : 3 5 61 2 4

1 2 4 8 16 32

p p p p p p= = = = =

Comme de plus on a 1 2 3 4 5 6 1p p p p p p+ + + + + = on en dduit :

1 1 1 1 1 12 4 8 16 32 1 p p p p p p+ + + + + = 1 11

63 163

p p = = , et :

1

1

63p = , 2

2

63p = , 3

4

63p = , 4

8

63p = , 5

16

63p = , 6

32

63p =

On a donc :

a) P(1 point) = 632

63p =

b) P(2 points) = 6 1663

p =

c) P(au moins 1 point) = 1 (vnement certain)

d) P(au plus 1 point) = P(1 point) = 632

63p =

e) P(entre 2 et 4 points)= 5 4 316 8 4 28

63 63 63 63 p p p+ + = + + =

EXERCICE 5On admet que sur une autoroute 4% des automobilistes dpassent la vitesse limite de 130 km/h (par beau temps).

On admet galement que lorsquun radar contrle un vhicule il nest pas fiable 100%, et que :- si un vhicule dpasse la vitesse lgale il a 95% de chance dtre signal en excs de vitesse par le radar.

- si un vhicule ne dpasse pas la vitesse lgale, il a quand mme 2% de chance dtre signal en excs de vitessepar le radar.

Un vhicule est contrl par le radar : quelle est la probabilit pour quil soit signal en infraction ?

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

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Un vhicule est signal en infraction, quelle est la probabilit pour quil respecte quand mme la vitesse lgale ?

On note D lvnement : lautomobiliste dpasse 130 km/h. On a ( ) 0,04P D = et ( ) 0,96P D =

On note S lvnement : lautomobiliste est signal en excs de vitesse.

On a ( ) 0,95P S D = , ( ) 0,02P S D =

1) Lautomobiliste peut tre signal en infraction, soit en dpassant la vitesse limite, soit en ne la

dpassant pas.

On a donc : ( ) ( )S S et D ou S et D=

Une vhicule ne pouvant dpasser et ne pas dpasser 130 km/h, les vnements ( ) , ( )S et D S et D

sont incompatibles et donc :

( ) ( ) ( )P S P S et D P S et D= + = ( ) ( ) ( ) ( )P S D P D P S D P D+ =0,95 0,04 0,02 0,96 0,0572 + =

2) ( )P D S ?

Calculons ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D et S P D S P S P S D P D= = et donc

( ) ( ) 0, 02 0, 96( ) 0,3357

( ) 0,0572

P S D P DP D S

P S

= = =

EXERCICE 6Dans une Facult trs renomme Montpellier, 45% des tudiants sont inscrits dans la filire gestion , 35% dans la

filire administration et 20% dans la filire social . Un professeur de mathmatiques ,enseignant a tous les

tudiants des trois filires a constat que :

10% des tudiants de la filire gestion ont horreur des mathmatiques

20% des tudiants de la filire administration ont horreur des mathmatiques

40% des tudiants de la filire social ont horreur des mathmatiques.

Question 1Le professeur corrige une copie choisie au hasard parmi ses tudiants ; quelle est la probabilit que ce soit celle

dun tudiant ayant horreur des mathmatiques ?

Question 2Lors de la correction dun examen, ce professeur lisant la copie dun tudiant et lui mettant une note

catastrophique, constate trs vite que cet tudiant a horreur des mathmatiques. On admet que cet tudiant a t choisi

au hasard parmi lensemble des tudiants de linstitut.

Quelle est la probabilit que cet tudiant soit un tudiant de la filire gestion ?

1) ( )?P H

On note G lvnement : ltudiant est en filire gestion . On a ( ) 0,45P G = On note A lvnement : ltudiant est en filire administration . On a ( ) 0,35P A =

On note S lvnement : ltudiant est en filire gestion . On a ( ) 0,20P S =

On note H lvnement : ltudiant a horreur des mathmatiques.

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

24/38

On a ( ) 0,10P H G = , ( ) 0,20P H A = , ( ) 0,40P H S =

Un tudiant peut avoir horreur des mathmatiques en tant inscrit en gestion, ou en administration

ou en social..

On a donc : ( ) ( ) ( )H H et G ou H et A ou H et S=( ), ( ) ( )H et G H et A et H et S sont deux deux incompatibles et donc :

( ) ( ) ( ) ( )P H P H et G P H et A P H et S = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P H G P G P H A P A P H S P S + + =0,10 0,45 0,20 0,35 0,40 0,2 0,195 + + =

2) ( )P G H ?

Calculons ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P G et H P G H P H P H G P G= = et donc

( ) ( ) 0,10 0,45( ) 0,2308

( ) 0,195

P H G P GP G H

P H

= = =

EXERCICE 7Dans un lot de pices fabriques, il y a 5% de pices dfectueuses. On contrle les pices, mais le mcanisme de

contrle est alatoire:

Si la pice est bonne elle est accepte avec une probabilit 0,96;

Si la pice est dfectueuse, elle est refuse avec une probabilit 0,98.

On choisit au hasard une pice que lon contrle. Dterminer les probabilits des vnements suivants:

a) Sachant que la pice est bonne elle est refuse.b) Il y a une erreur dans le contrle.

c) La pice est bonne sachant quelle est refuse.

d) La pice est mauvaise sachant quelle est accepte.

On noteB lvnement : la pice est bonne ( ) 0,95P B =

On noteB lvnement : la pice est mauvaise (dfectueuse) ( ) 0,05P B =

On note A lvnement la pice est accepte et A , lvnement la pice est refuse .

a) ( ) 1 0,96 0, 04P A B = =b) ( ) (( ) ( ))P erreur P A et B ou A et B= = ( ) ( ) ( ) ( ) 0,04 0,95 0,02 0,05 0,039P A B P B P A B P B+ = + =

c) ( )?P B A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B et A P B A P A P A B P B= = et donc

( ) ( ) ( ) ( ) 0,04 0,95( ) 0, 4368

0,04 0,95 0,98 0,05( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P B P A B P B P B A

P A P A B P B P A B P B

= = = =

+ +

0, 02 0, 05( ) 0,0011

0,02 0, 05 0,96 0,95P B A

= =

+

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

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Chapitre 3 VARIABLES ALEATOIRES

Les lments dun espace probabilis ne sont pas en gnral des nombres et il nest en gnral pas possible

deffectuer des oprations, ou des comparaisons, sur les vnements.

Considrons le cas du jeu de tarot quatre joueurs. Dans ce jeu on donne au hasard un joueur 18 cartes prises

dans un jeu de 78 cartes. Il y a donc

18 17

78 2,12 10C = donnes possibles pour un joueur. Ce nombre est sigrand quil est impossible en regardant son jeu de savoir immdiatement la meilleure stratgie utiliser dans la

partie, en particulier pour les annonces. Le joueur va donc valuer son jeu laide dune mesure de ce jeu. Il

va, par exemple, compter le nombre doudlers (bouts), le nombre datouts et le nombre de figures nobles (rois

et dames) de son jeu. Il remplace donc son jeu par la donne de trois nombres compris pour le premier entre 0

et 3 (4 possibilits) pour le second entre 0 et 18 ( 19 possibilits) et pour le troisime entre 0 et 8 (9

possibilits). Ces trois nombres forment un vecteur associ au jeu et le nombre de vecteurs possibles est

infrieur 4 22 9 792 = . Il est donc plus ais de pouvoir valuer son jeu partir du vecteur associ qupartir des 18 cartes.

Lapplication qui un jeu associe le vecteur est une variable alatoire vectorielle.Remarque pour les tudiants qui ne jouent pas au tarot : un jeu de tarot est compos de 78 cartes :

21 atouts numrots de 1 21

3 oudlers : le 1 et le 21 datout ainsi que lexcuse

56 cartes, plus prcisment 14 trfles, 14 carreaux, 14 curs et 14 piques (le cavalier est la carte

supplmentaire par rapport un jeu de 52 cartes) et parmi ces 56 cartes on peut par exemple considrer quil y a

8 figures nobles: les quatre rois et les quatre dames.

A) Notion de variable alatoire relle finie.

1)Dfinition :

Soit un espace de probabilit fini sur , on appelle variable alatoire relle X toute application de dans .

:

( )i i

X

X

Remarque : on peut noter quune variable alatoire nest videmment ni une variable, ni alatoire ! Une

variable alatoire relle sera note dsormais une v.a.r.Exemple : on lance trois fois conscutives une pice de monnaie. Si la pice tombe sur Pile on gagne 1 euro ; si

le rsultat est face on perd un euro. A chaque preuve (trois jets conscutifs) on peut associer le gain

correspondant. On construit ainsi une variable alatoire relleX sur lespace de probabilit

{ }, , , , , , , PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF = .

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:

3

1

1

1

1

11

3

X

PPP

PPF

PFP

PFF

FPP

FPFFFP

FFF

2) Loi de probabilit dune variable alatoire relle

Soit X une v.a.r dfinie sur lespace de probabilit et soit ( )X lespace des images. tant fini, il en

est de mme de ( )X . On a donc { }1 2( ) , ,..., ,..k p X x x x x = avec 1 2 ... ...k p x x x x< < < < < .

On peut alors dfinir une probabilit sur lensemble ( )X de la faon suivante :( )( ) / ( )k k k p P X x P X x = = = = .

On peut dmontrer (voir annexe) que lon dfinit bien une probabilit sur lensemble ( )X .

On a de plus { }( )1 2 1 21 ( ( )) , ,..., ,.. .... ....k p k pp X p x x x x p p p p= = = + + + + +

Dans le cas de lexemple prcdent on a :

{ }, , , , , , , PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF =

{ }( ) 3, 1,1,3X =

{ } ( ) ( )31

38

p p X p FFF = = = =

{ } ( ) ( )13

1 , ,8

p p X p PFF FPF FFP = = = =

{ } ( ) ( )13

1 , ,8

p p X p PPF PFP FPP = = = =

{ } ( ) ( )31

3 8 p p X p PPP = = = =

La donne des nombres kp dfinit la loi de probabilit de la v.a..r X . Cette loi est en gnral reprsente

sous forme dun tableau :

kx

1x 2x

.k

x . .px

kp 1p 2p.

kp. .

pp1

Dans le cas de lexemple on a :

kx -3 -1 1 3

kp 1

8

3

8

3

8

1

8

1

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Remarque : si lon effectue lpreuve n fois et si on note kf la frquence dapparition du rsultat kx , on a

alors lim k kn

f p

= . La probabilit est la limite de la frquence observe lorsque le nombre dpreuves tendvers linfini.

Par analogie avec les statistiques on dfinit des paramtres reprsentant la loi de probabilit X .

3) Fonction de rpartition :

Soit la variable alatoire relle X :( )i iX

. La fonction de rpartition de la v.a.rX est la

fonction numrique F dfinie par :

[ ]

( ) ( )

: 0,1

( ) / ( ) ( )

F

x F x p X x p X x

= =

La fonction de rpartition de la v.a.rX correspond en statistique la fonction frquences cumulescroissantes. Cette fonction vrifie :

F est une fonction croissante, en escaliers telle que lim ( ) 0, lim ( ) 1x x

F x F x

= = Dans le cas de lexemple on a :

13, ( ) 0 3 1, ( )

8

4 71 1, ( ) 1 3, ( )8 8

3, ( ) 1

x F x x F x

x F x x F x

x F x

< = < =

< = < = =

Par exemple si ( ) ( )1 1, ( ) 3 1 x F x P X x P X ou X < = = = =

( ) ( )1 3 4

3 18 8 8

P X P X = = + = = + =

Courbe reprsentative de la fonction F :

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4) Esprance mathmatique :

Lesprance mathmatique de la variable alatoire X est le nombre

1

( )p

k k

k

E X p x

=

= .Elle correspond en statistique la moyenne et reprsente en probabilit au rsultat moyen que lon obtiendrait

si lon ralisait un grand nombre de fois lpreuve. Il faut noter que dans le cas dune probabilit lesprance

mathmatique est un rsultat que lon obtient pas en gnral. Par exemple, pour un investissement alatoire, si

lesprance mathmatique de rsultat est gale 170000 cela signifie que si lon effectuait plusieurs fois

linvestissement on aurait en moyenne un rsultat de 175000 ; mais en gnral on ne peut le raliser quune

fois et donc le rsultat peut tre totalement diffrent !

5) Variance , cart-type :

La variance de la variable alatoire X est le nombre ( ) 21

( ) ( )p

k k

k

V X p x E X =

= .La variance mesure en statistique la dispersion du caractre statistique ; en probabilit la variance mesure le

risque.

On a alors ( )2 2 2

1 1

( ) ( ) ( )p p

k k k k

k k

V X p x E X p x E X = =

= = .

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En effet :

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22

1 1

22

1 1 1

2 2 2 22 2

1 1 1

22

1

( ) ( ) 2 ( )

2 ( ) ( )

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

( )

p p

k k k k k k k

k k

p p p

k k k k k k k k

p p p

k k k k k

k k k

p

k k

k

V X p x E X p x p x p E X

p x p x E X p E X

p x E X E X p p x E X E X

p x E X

= =

= = =

= = =

=

= = + =

= +

= + = + =

Remarque : ( )

22( ) ( ) ( )V X E X E X =

cart type : cest le nombre : ( ) ( ) X V X =

Calcul pratique : on complte le tableau de la loi de probabilit de X .

kx 1x 2x.

kx. .

px

kp 1p 2p.

kp. .

pp 1

k kp x 1 1p x 2 2p x.

k kp x. .

p pp x ( )E X2

k kp x2

1 1p x2

2 2p x. 2

k kp x. . 2

p pp x2( )E X

Cas de lexemple :

kx -3 -1 1 3

kp 1

8

3

8

3

8

1

8

1

k kp x 3

8

3

8

3

8

3

8

0

2

k kp x 9

8

3

8

3

8

9

8

3

2( ) 0, ( ) 3 0 3, ( ) 3 1,732 E X V X X = = = = =

B) Couple de variables alatoires

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1) Dfinition :

Soient deux variables alatoires X et Y dfinies sur . Le couple ( ),X Y de variables alatoires dfinie sur

est lapplication :

( )

( )( )

, :

( ),i i i

X Y

X Y

2) Loi du couple :

On pose : ( ) { } ( ) { }1 2 1 2, ,..., , , ,...,p q X x x x Y y y y = =

La loi du couple ( ),X Y est la donne des nombres ( ),i j i j p P X x et Y y= = =

On a immdiatement :

,

,

1 1

0

1

i j

p q

i j

i j

p

p= =

=

3) Variables marginales :

Dfinition :

Soit un couple ( ),X Y de variables alatoires.

Les variables X et Y sont appeles variables marginales du couple ( ),X Y

Les lois de probabilit des variables X et Y sont appeles lois marginales du couple ( ),X Y et on note :

, , , ,

1 1

q q

i i j j i j

j i

p p p p= =

= = g g

Exemple :

On lance deux ds cubiques (un bleu et un rouge) et on note X le rsultat du d bleu et Y le plus grand des

deux rsultats.

Les lois de X , de Y et du couple ( ),X Y sont donns dans les tableaux suivants :

Loi de X :

X 1 2 3 4 5 6 i

p 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Loi de Y : Il suffit de remarquer quil y a 36 cas possibles et de chercher les cas favorables.

Y 1 2 3 4 5 6 i

p 1

36

3

36

5

36

7

36

9

36

11

36

1

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4) Indpendance de deux variables alatoires relles

Dfinition :

Soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur . X et Y sont indpendantes si les vnements

( )X x= et ( )Y y= sont indpendants pour tout ( ) ( ) ( ), x y X Y ; c'est--dire si :

( ) ( ) ( )P X x etY y P X x P Y y= = = = =

Cas de lexemple :

On a

( )

( ) ( )

12 3

36

1 5 12 3

6 36 6

P X etY

P X P Y

= = =

= = =

Les variables X et Y ne sont pas indpendantes.

C) Oprations sur les variables alatoires relles :

Soient X et Y deux variables alatoires relles dfinies sur lespace de probabilit ., , , X Y X aX b X Y + + sont galement des variables alatoires sur .

Proprit 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) E X E X

E X Y E X E Y

E aX b aE X b

=

+ = +

+ = +

Dmonstration :

Soit ( ) { } ( ) { }1 2 1 2, ,..., , , ,...,p q X x x x Y y y y = =( ) ( ) ( ),, ,i i j j i j i jp P X x q P Y y p P X x et Y y= = = = = = =

On a :

( ) ( ) ( )1 1

p p

i i i i

i i

E X x p x p E X = =

= = = ( ) ( ) { }

( ) ( ) ( )

1 2

,

1 1

, , ...,

i j k

t

t t

k k k k i j

k k x y z

X Y z z z

E X Y z P Z z x y p= = + =

+ =

+ = = = +

Or, ( ){ } ( ){ }, . , 1 , . , 1 , 1i j i j k i jx y t q x y z k t x y t q i p j q+ = =

et :

( ) ( )

( ) ( )

, , ,

1 1 1 1 1 1

, ,

1 1

p q p q p q

i j i j i i j j i j

i j i j i j

p q

i i j j

i j

E X Y x y p x p y p

x p y p E X E Y

= = = = = =

= =

+ = + = +

= + = +

g g

Consquence immdiate :

( ) ( ) ( ) ( ) E aX b E aX E b aE X b+ = + = +

Proprit 2 :

Si X et Y deux variables alatoires relles indpendantes on a : ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y =

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EXERCICE 3Les clients dune entreprise de vente de livres par correspondance peuvent commander 1 4 livres par bulletin

de commande . La probabilit quune commande concerne 1, 2, 3 ou 4 livres slve respectivement 20%,

40%, 30% et 10%. Les livres sont vendus 15 et cotent 12 . Les frais de port sont facturs forfaitairement

2,5 au client mais, selon le nombre de livres commands, ils sont de 1, 2, 3 ou 4 euros pour lentreprise.

Calculer lesprance mathmatique et lcart-type

a) de la quantit commande par bulletin,

b) du montant HT factur par bulletinc) du bnfice ralis par commande

EXERCICE 4Une entreprise vend deux articles A et B. Les marges sur cots variables unitaires valent 30 pour larticle A et

45 pour larticle B. Les frais fixes annuels sont de 150000 . Les ventes annuelles, en nombre darticles, sont

des variables alatoires X (pour A) et Y (pour B) qui vrifient :

( ) 5000 ( ) 2000 ( ) 1000 ( ) 500 E X E Y X Y = = = =

Soit Z le bnfice brut annuel. Calculer ( )E Z et ( )Z .

EXERCICE 5On vous propose de jouer trois loteries organises de la faon suivante (les prix et les gains sont exprims en

euros) :

Loterie Billets Gain Nombre de billets

Nombre Prix

1 200 10 0

10

20

150

25

25

2 200 100 0

100

200

150

25

253 200 10 0

5

10

20

100

50

25

25

1) On suppose que vous achetiez pour chacune des loteries un billet. Calculer, pour chacune des loteries,

lesprance mathmatique et lcart-type du gain, du rsultat. Comparer.

2) Est-il raisonnable demprunter pour jouer ces loteries ?

N.B : le rsultat est la diffrence entre le gain et la mise ;

E) correction des exercices

EXERCICE 1Une urne contient 24 boules, 8 rouges et les autres bleues. On extrait de cette urne simultanment 4 boules. On note X le

nombre de boules rouges obtenues.

1) Quelle est la loi de probabilit de X ? Tracer la courbe reprsentative de la fonction de rpartition de X . Calculer

lesprance mathmatique et lcart-type de X .

2) On suppose quune boule rouge vaut 3 points et une boule bleue 1 point. On note Y la valeur totale des boules extraites.Dterminer lesprance mathmatique et lcart-type de

Y.

3) Rpondre aux mmes questions lorsque lon extrait successivement les boules en les remettant dans lurne aprs avoir

observ leur couleur.

1) ( ) { }0,1,2,3,4X =

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Les tirages sont simultans donc sans remise et sans ordre ; ce sont des combinaisons.

ix 0 1 2 3 4

ip0 4

8 16

4

24

C C

C

1 38 164

24

C C

C

2 28 164

24

C C

C

3 18 164

24

C C

C

4 08 164

24

C C

C

1

ip 0,1713 0,4216 0,3162 0,0843 0 ,0066 1

ip ix0 0,4216 0,6324 0,2529 0,0264 4

3

ip2

ix0 0,4216 1,2648 0,7587 0,1056 2,5507

4( ) 1,333

3i i E X p x= = =

2 2( ) ( ) 0,7729i iV X p x E X = = ( ) 0,7729 0,8792X = =

2) 3 (4 ) 1 2 4Y X X X = + = +4 20

( ) 2 ( ) 4 2 4 6,6673 3

E Y E X = + = + = =

2( ) 2 ( ) 4 0, 7729 3, 0916V Y V X = = =( ) 2 ( ) 2 0,8792 1,7583Y X = = =

3) a ) ( ) { }0,1,2,3,4X =

Les tirages sont successifs donc avec ordre et avec remise ; ce sont des puissances. Attention : il faut compter le

nombre de faons de classer les k boules rouges parmi les 4 c'est--dire 4kC

ix 0 1 2 3 4

ip0 4

4

8 16

24

14C

1 3

4

8 16

24

24C

2 2

4

8 16

24

34C

3 1

4

8 16

24

4 04

8 16

24

1

ip 0,1975 0,3951 0,2963 0,0988 0 ,0123 1

ip ix0 0,3951 0,5926 0,2964 0,0492 4

3

ip 2

ix

0 0,3951 1,1852 0,8892 0,1968 2,6663

4( ) 1,333

3i i E X p x= = =

2 2 2( ) ( ) 2,6663 (1,3333) 0,8886i iV X p x E X = = = ( ) 0,8886 0,9427X = =

3) b)4 20

( ) 2 ( ) 4 2 4 6,6673 3

E Y E X = + = + = =

2( ) 2 ( ) 4 ( ) 4 0,8886 3,5544V Y V X V X = = = =

EXERCICE 2

Une machine remplit des paquets dont le poids prvu est 250g.

Soit X la variable alatoire ayant pour valeurs les poids possibles dun paquet la sortie de la machine.

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On suppose que X est la variable alatoire discrte de loi de probabilit :

Poids Xi 220 230 240 250 260 270 280

Probabilit pi 0,07 0,11 0,19 0,26 0,18 0,13 0,061) Dterminer les probabilits suivantes :

( 250), (230 280), ( 240) P X P X P X < < < 2) Tracer la courbe reprsentative de la fonction de rpartition de X .

3) Calculer, 0,001 prs par dfaut, la moyenne et lcart-type de X .

4) On suppose que tout paquet dont le poids est suprieur 250g occasionne lentreprise un surcot gal 0,01 le gramme

supplmentaire. Une tude statistique a montr que tout paquet dont le poids est infrieur 250g occasionne un surcot gal

0,30 (du fait des rclamations de certains clients). Calculer lesprance mathmatique et lcart-type du surcot engendr

par limprcision de la machine.

1) ( ) ( ) ( )( 250) ( 220 230 240) 220 230 240 P X P X ou X ou X P X P X P X < = = = = = = + = + =

0,07 0,11 0,19 0,37= + + =

( ) ( ) ( ) ( )

(230 280) ( 240 250 260 270)

240 250 260 270

P X P X ou X ou X ou X

P X P X P X P X

< < = = = = =

= = + = + = + =

0,19 0,26 0,18 0,13 0,76= + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 240) ( 240 250 260 250 260)

240 250 260 270 280

P X P X ou X ou X ou X ou X

P X P X P X P X P X

= = = = = =

= = + = + = + = + =

0,19 0,26 0,18 0,13 0,06 0,82= + + + + =

2)

3)

Poids Xi 220 230 240 250 260 270 280 Probabilit pi 0,07 0,11 0,19 0,26 0,18 0,13 0,06 1

pixi 15,4 25,3 45,6 65 46,8 35,1 16,8 250

pixi2 3388 5819 10944 16250 12168 9477 4704 62750

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( ) ( ) ( )2250, 62750 250 250, 250 15,811 E X V X X = = = = =

4) Le tableau ci-dessous donne pour chaque poids de paquet le surcot, soit 0,30 pour un poids infrieur

250 et ensuite 0,01 par gramme au dessus de 250.

Poids Xi 220 230 240 250 260 270 280 surcot yi 0,30 0,30 0,30 0 0,10 0,20 0,30

Probabilit pi 0,07 0,11 0,19 0,26 0,18 0,13 0,06 1piyi 0,021 0,033 0,057 0 0,018 0,026 0,018 0,173

piyi2 0,0063 0,033 0,0171 0 0,0018 0,0052 0,0054 0,0688

( ) ( ) ( )20,173, 0,0688 0,173 0,038871, 0,038871 0,1972 E X V X X = = = = =

EXERCICE 3Les clients dune entreprise de vente de livres par correspondance peuvent commander 1 4 livres par bulletin

de commande . La probabilit quune commande concerne 1, 2, 3 ou 4 livres slve respectivement 20%,

40%, 30% et 10%. Les livres sont vendus 15 et cotent 12 . Les frais de port sont facturs forfaitairement

2,5 au client mais, selon le nombre de livres commands, ils sont de 1, 2, 3 ou 4 euros pour lentreprise.

Calculer lesprance mathmatique et lcart-type

a) de la quantit commande par bulletin,

b) du montant HT factur par bulletin

c) du bnfice ralis par commande

a) Soit Q la quantit commande

iq 1 2 3 4

ip 0,2 0,4 0,3 0,1 1

i ip q 0,2 0,8 0,9 0,4 2,3

2

i ip q 0,2 1,6 2,7 1,6 6,1

On a :

2

( ) 2,3

( ) 6,1 2,3 0,81

( ) 0,9

E Q

V Q

Q

=

= ==

b) Le montant factur hors taxe est : 15 2,5F Q= + et donc( ) 15 ( ) 2,5 15 2,3 2,5 37

( ) 15 ( ) 15 0,9 13,5

E F E Q

F Q

= + = + =

= = =c) Le bnfice net est : 12 13 2 2,5B F Q Q F Q Q= = = +

( ) 2 ( ) 2,5 7,1

( ) 2 ( ) 2 0,9 1,8

E B E Q

B Q

= + == = =

EXERCICE 4Une entreprise vends deux articles A et B. Les marges sur cots variables unitaires valent 30 pour larticle

A et 45 pour larticle B. Les frais fixes annuels sont de 150000 . Les ventes annuelles, en nombre darticles,

sont des variables alatoires X (pour A) et Y (pour B) indpendantes qui vrifient :

( ) 5000 ( ) 2000 ( ) 1000 ( ) 500 E X E Y X Y = = = =Soit Z le bnfice brut annuel. Calculer ( )E Z et ( )Z .

On a : 30 45 150000 Z X Y = +

( ) ( ) ( )30 45 150000 30 5000 45 2000 150000 90000E Z E X E Y = + = + =

8/8/2019 MATH L2AES1[1]

38/38

2 2 2 2 2 2( ) 30 ( ) 45 ( ) 30 1000 45 500 1406250000

( ) 37500

V Z V X V Y

Z

= + = + ==

EXERCICE 5On vous propose de jouer trois loteries organises de la faon suivante (les prix et les gains sont exprims en

euros) :

Loterie Billets Gain Nombre de billets

Nombre Prix1 200 10 0

10

20

150

25

25

2 200 100 0

100

200

150

25

25

3 200 10 0

5

10

20

100

50

25

25

1) On suppose que vous achetiez pour chacune des loteries un billet. Calculer, pour chacune des loteries,

lesprance mathmatique et lcart-type du gain, du rsultat. Comparer.

2) Est-il raisonnable demprunter pour jouer ces loteries ?

N.B : le rsultat est la diffrence entre le gain et la mise ;

1) De faon immdiate on trouve :

Loterie 1 :

( )22 2 2

150 25 25( ) 0 10 20 10 6,25200 200 200

150 25 25( ) 0 10 20 6,25 23,4375

200 200 200

( ) 4,84

E G

V G

G

= + + =

= + + =

=

Loterie 2 :

Le gain pour la deuxime loterie est 10 fois celui de la premire donc on a :

2

( ) 10 6, 25 62,5

( ) 10 23, 4375 2343, 75

( ) 48, 4

E G

V G

G

= =

= ==

Loterie 3 :

( )22 2 2 2

100 50 25 25( ) 0 5 10 20 10 5

200 200 200 200

100 50 25 25( ) 0 5 10 20 5 43,75

200 200 200 200

( ) 6,61

E G

V G

G

= + + + =

= + + + =

=