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Concours National Commun Session 2014 Filire MP

Lnonc de cette preuve, particulire aux candidats de la filire MP,comporte 4 pages.

Lusage de la calculatrice est interdit.

Les candidats sont informs que la qualit de la rdaction et de la prsentation, la clart et la prcisiondes raisonnements constitueront des lments importants pour lapprciation des copies. Il convient enparticulier de rappeler avec prcisions les rfrences des questions abordes.

Si, au cours de lpreuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur dnonc, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil est amen prendre.

Le sujet de cette preuve est compos dun exercice et dun problme indpendants entre eux.

Exercice

On considre la fonction de deux variables F : [0, 1]2 Rdfinie par :

F(1, 1) = 0etF(x, y) = xy(1 x)(1 y)

(1 xy) si(x, y)= (1, 1).

1. Montrer que, pour tout (x, y)[0, 1]2, (1 x)(1 y) (1xy)2.2. Montrer que Fest continue sur [0, 1]2.

3. En dduire que Fest borne sur [0, 1]2 et atteint ses bornes.

4. Dterminer la borne infrieure deFsur [0, 1]2 ; en quels points de[0, 1]2 cette borne est-elle atteinte?

5. Justifier que Fest de classeC1 sur louvert]0, 1[2 et calculer ses drives partielles premires.6. Montrer que Fadmet un unique point critique (x0, y0)dans louvert ]0, 1[2 et le prciser.

7. CalculerF(x0, y0)et justifier que F(x0, y0) = sup(x,y)[0,1]2

F(x, y).

Problme

propos de lunimodularit des zros dun polynme auto-inverse

On note U le cercle unit du plan complexe C, cest--dire U={z C; |z| = 1}. On rappelle quelapplication: [0, 2] C, teit est un paramtrage de U, avec 1 pour seul point multiple (double).

Si est un ouvert de C contenant U et f : C une fonction continue, on dfinit lintgralecurviligne de fsur larc paramtr ([0, 2], )par :

f(z)dz= 20

f((t))(t)dt.

1re Partie

Rsultats prliminaires

1.1. Rappeler le dveloppement en srie entire au voisinage de 0de la fonction z 11 z , dfinie sur

C \ {1}, et prciser le rayon de convergence de cette srie entire.1.2. Montrer que, pour tout complexe de module||< 1 et tour rel t, on a :

eit

eit =+m=0

m eimt .

1.3. Montrer que, pour tout complexe de module||> 1 et tour rel t, on a :eit

eit =eit

+m=0

m eimt .

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1.4. Soit un nombre complexe de module diffrent de 1 et soit fla fonction dfinie sur C\ {} parf(z) =

1

z . Montrer, en justifiant soigneusement votre rponse, que

f(z)dz =

2i si||< 1,0 si||> 1.

1.5. Un rsultat de convexit : Le disque unit ferm deC

est strictement convexe.Montrer que sivetwsont des complexes distincts et de module 1, et sietsont des relsstrictement

positifs de somme 1, alors|v+ w|< 1.Dans la suite on admet que, pour tout entier n 2, si u1,...,un sont des lments deux deux

distincts de Uet si 1,...,n sont des rels strictementpositifs de somme 1, alors

n

k=1

kuk

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3.1. Montrer que, pour tout entier n 2, le polynme Sn=2nk=0

(k n)Xk est auto-inverse.

3.2. SoitP =d

k=0

akXk un polynme coefficients complexes de degr d N et soit C.

3.2.1. Montrer que si Pest auto-inverse de paramtre , alors

|

|= 1et P(0)

= 0.

3.2.2. Montrer que Pest auto-inverse de paramtre si, et seulement si,

P(z) =zd P(1/z), z C. (1)3.3. SoientP, Q C[X] ; vrifier que P+ Q= P+ Qet P Q= P Q.

3.4. Soient P C[X] un polynme de degr d N et C un complexe de module 1. On noteP C[X]le polynme dfini par P(z) =P(z), z C.

3.4.1. Montrer que si Pest auto-inverse alors(X1)P lest aussi.3.4.2. Montrer que si Pest auto-inverse alorsP lest aussi.

3.4.3. Montrer que si toutes les racines dePsont de module 1, alors Pest auto-inverse.3.4.4. Donner un exemple de polynme auto-inverse de degr 2 ayant une racine de module= 1.

3.5. Soient un nombre complexe de module 1 et QC[X]un polynme de degr n N ; si d est unentier > n, on note R le polynme dfini par

R(z) =zdnQ(z) + zn Q(1/z), z C. (2)Prciser le degr de R et montrer quil est auto-inverse. On note ad le coefficient dominant de R.

3.6. On reprend les hypothses de la question 3.5.prcdente et on suppose que les racines de Q sonttoutes de module

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4me Partie

Quelques applications

4.1. tude des racines du polynme Sn

On considre les polynmes An=n

k=0Xk, Bn= X An=

n

k=1kXk etSn=

2n

k=0(k n)Xk, n 2.

Lobjectif de cette section est de montrer que les racines du polynmeSn sont toutes de module 1.

4.1.1. Dterminer les racines complexes de An et vrifier quelles sont toutes simples et de module 1.

4.1.2. Montrer que les racines complexes de An sont toutes de module strictement infrieur 1.

4.1.3. En dduire que les racines complexes de Bn sont toutes de module strictement infrieur 1.

4.1.4. Montrer alors que les racines complexes du polynmeSn sont toutes de module 1. On pourrachercher une reprsentation de Sn de la forme (2).

Dans la suite du problme, on admet que le rsultat obtenu dans les questions 3.5., 3.6. et 3.7.stend sous la forme suivante : siQ etR sont des polynmes vrifiant une identit de la forme (2), et siles racines deQ sont toutes de module 1 alors celles deR sont toutes de module 1.

4.2. Une condition ncessaire et suffisante dunimodularit des zros dun polynme

Soit P C[X]un polynme de degr dN. Montrer que les racines de Psont toutes de module 1si, et seulement si, Pest auto-inverse et toutes les racines de P sont de module 1.

Indication : Si Pest auto-inverse de paramtre , on pourra driver les deux membres de la relation(1), tablie dans la question 3.2.2. de la troisime partie, pour trouver une reprsentation de P de laforme (2).

4.3. Des conditions suffisantes dunimodularit plus maniables

SoitP =

dk=0

akXk

C[X]un polynme auto-inversede paramtre et de degr d N

.

4.3.1. On suppose ici que|ad| 12

d1k=1

|ak|. Montrer que les racines de Psont toutes de module 1.Indication : On pourra considrer le polynme Q dfini par

Q=1

2ap+

pk=1

ap+kXk si d= 2p et Q=

p+1k=1

ap+kXk1 si d= 2p + 1,

et montrer que les racines de Q sont toutes de module 1.

4.3.2. Dans cette question, on suppose que|ad| 12

d1k=0

|ak ak+1|. Montrer que les racines de P sonttoutes de module 1.

Indication : On remarquera quil suffit de montrer le rsultat demand pour le polynme (X1)P.

4.3.3. On suppose dans cette dernire question que|ad| 12

infU

d1k=0

|akak+1|. Montrer que lesracines de Psont toutes de module 1.

Indication : On pourra appliquer ce qui prcde au polynme zP(z)pour Ubien choisi.

Fin de lpreuve

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