math2_mp_2013e

http://al9ahira.com/

Itinraire d'accs Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibria

MATHMATIQUES 2

@ Ym SESSION 2013

JK. Q @ @CNC 2013

Mathmatiques 2

AQALMOUN MOHAMED agrg de mathmatiques MPSI CPGE Khouribga

nonc

Le sujet de cette preuve est compos de deux exercices et dun problme, tous indpen-dants.

Premier exerciceMatrice de Gram et application

Soient u1, . . . , un des vecteurs de Rn, n 2 ; on note G(u1, . . . , un) la matrice de Mn(R)de terme gnral ui, uj, o ., . dsigne le produit scalaire canonique de Rn. La matriceG(u1, . . . , un) est dite la matrice de Gram.

On note B = (e1, . . . , en) la base canonique de Rn et, pour tout j {1, . . . , n}, on note uj =nk=1

mk,jek lexpression du vecteur uj dans la base B. on dsigne enfin par M la matrice deMn(R) de terme gnral mi,j .

1. Pour tout couple (i, j) dlments de {1, . . . , n}, exprimer le produit scalaire ui, uj, laide des coefficients de la matrice M et en dduire que G(u1, . . . , un) = tMM .

2. Montrer que la matriceG(u1, . . . , un) est symtrique et positive, et que si la famille (u1, . . . , un)est libre alors la matrice G(u1, . . . , un) est dfinie positive.

3. On note An la matrice deMn(R) de terme gnral ai,j = min(i, j).(a) Exprimer An comme martice de Gram et en dduire quelle est symtrique dfinie

positive, puis expliciter une matrice Rn Mn(R), triangulaire suprieure, telle queAn =

tRnRn.

(b) On prend n = 4 et note X , (resp. Y , resp. Z) le vecteur deM4,1(R) de composantesx1,x2,x3 et x4 (resp. 1,2,3 et 4, resp. zv,z2,z3 et z4). Rsoudre les systme linairestR4Z = Y et R4X = Z puis en dduire la solution du systme A4X = Y .

Deuxime exerciceRsolution de lquation X2 + 3X = A dansM3(R)

On note u lendomorphisme de R3 canoniquement associ la matrice A =

10 0 00 4 10 0 0

1. Justifier que A est diagonalisable dansM3(R). On note 1,2 et 3 les valeurs propres deA et on suppose que 1 > 2 > 3.

2. Pour tout k {1, 2, 3}, dterminer le vecteur propre ek de u associ la valeur propre ket ayant pour composantes des nombres entiers dont lun est gal 1.

MP 1 / 5 Aqalmoun Mohamedwww.aqalmoun.com

MATHMATIQUES 2

@ Ym SESSION 2013

3. Justifier que (e1, e2, e3) est une base de R3 et crire la matrice de u relativement cettebase.

4. Dterminer une matrice P GL3(R) telle que A = PP1 puis calculer P1.5. Soit B M3(R) une matrice vrifiant B2 + 3B = A ; on note v lendomorphisme de R3

canoniquement associ B.

(a) Justifier que v2 + 3v = u.

(b) Vrifier que uv = vu et en dduire que, pour tout k {1, 2, 3},le vecteur v(ek) estcolinaire ek,conclure que la matrice V de v relativement la base (e1, e2, e3) estdiagonale.

(c) On pose V = diag(1, 2, 3). Expliciter en fonction de V puis dterminer lesvaleurs possibles de1, 2, 3 ainsi que celle de la matriceB. La relationB2+3B = Aest quivalente V 2 + 3V = .Et cette dernire relation est quivalente 21+31 = 10,

22+32 = 4 et

23+33 = 0,

aprs la rsolution de ces quations, on obtient 1 = 5 ou 2, 2 = 4 ou 1, et 3 = 0ou 3.

(d) Combien de solutions lquation X2 + 3X = A admet-t-elle dansM3(R) ?

Problme

Dans ce problme, C(R,C) dsigne lespace vectoriel des applications de classe C de R dansC et D loprateur de drivation dfini sur lespace vectoriel C(R,C) par : D(f) = f , f C(R,C) ; de mme, C[X] dsigne lespace vectoriel des polynmes coefficients complexes une indtermine etD loprateur de drivation dfini sur cet espace vectoriel par :D(P ) = P ,P C[X].On rappelle que D et D sont des endomorphismes de C(R,C) et C[X] respectivement.Si P = a0 + a1X + . . .+ anXn est un polynme coefficients complexes de degr n 1, on luiassoci lquation diffrentielle homogne not EP suivante :

any(n) + . . .+ a1y

+ a0y = 0. (EP )

Par "solution la solution de lquation diffrentielle (EP ) " on fait rfrence toute applicationf : R C n-fois drivable telle que

x R, anf (n)(x) + . . .+ a1f (x) + a0f(x) = 0.Comme an 6= 0, il est vident que toute solution de EP est un lment de C(R,C). Lensembledes solutions est donc un sous espace vectoriel de C(R,C).

La troisime partie du problme utilise les rsultats de lavant dernire question de laseconde partie ; la deuxime partie utilise les rsultats de la premire.

Premire partieRsultats prliminaires

1.1. Soit n un entier naturel quelconque ; on noteCn[X] le sous espace vectoriel deC[X] formdes polynmes de degr n.

1.1.1. Montrer que Cn[X] est stable par lendomorphisme D.Dans la suite on note Dn lendomorphisme induit par D sur Cn[X] et In lapplication iden-tit de Cn[X] dfinie par : In(P ) = P , P Cn[X].


MATHMATIQUES 2

@ Ym SESSION 2013

1.1.2. Montrer que lendomorphisme Dn est nilpotent.

1.1.3. Montrer que, pour tout complexe non nul , ledomorphismeDn+In est inversibleet exprimer son inverse laide des puissances de et Dn.

1.2. Dduire de ce qui prcde que si est un complexe non nul etR C[X] est un polynmede degr n N, alors il existe un unique polynme R1 C[X] tel que R1 + R1 = R ;vrifier que R1 et de degr n et lexprimer en fonction de R.

1.3. Soit un nombre complexe et g : R C une fonction continue.1.3.1. Montrer que les solutions de lquation diffrentielle y y = g sont de la forme x 7

G(x)ex o G est une primitive de la fonction s 7 g(x)ex.1.3.2. Dans cette question, on pose g(x) = R(x)ex, x R, o R est un polynme coeffi-

cients complexes. Montrer que les solutions de lquation diffrentielle y y = gsont de la forme x 7 S(x)ex, o S est un polynme coefficients complexes dontle polynme driv est gal R.

1.3.3. Dans cette question, on pose g(x) = R(x)ex, x R, o dsigne un complexedistinct de etR est un polynme coefficients complexes. Montrer que les solutionde lquation diffrentielle y y = g sont de la forme x 7 R1(x)ex + cex o R1est lunique polynme coefficients complexes vrifiant R1 = ()R1 = R et c estun paramtre complexe.

Deuxime partieExpression des solutions de lquation diffrentielle (EP )

2.1. Cas o P = (X )n avec C et n NMontrer que dans ce cas, f C(R,C) est solution de lquation diffrentielle EP si, etseulement si, il existe un polynme R Cn1[X] tel que f(x) = R(x)ex, x R. Onpourra calculer la drive n-ime de la de la fonction h : x 7 exf(x).

2.2. Soit C et Q C[X] un polynme non nul ; on pose P = (X )Q.2.2.1. Montrer que les deux endomorphismes Q(D) et (D I) de C(R,C), commutent ;

I dsigne lapplication identit du C-espace vectoriel C(R,C).2.2.2. En dduire que f C(R,C) est solution de lquation diffrentielle EP si, et seule-

ment si, P (D)(f) = 0 si, et seulement si, f f est solution de lquation diffren-tielle EQ.

2.3. En faisant un raisonnement par rcurrence, retrouver le rsultat de la question 2.1. ci-dessus sans savoir recours un calcul de la driv n-ime.

2.4 Un exemple : Dterminer les entiers qui sont racines du polynme P1 = (X 1)(X + 1)3puis le factoriser dansC[X] ; donner lexpression des solutions de lquarion diffrentielleEP1 .

2.5. Cas gnral :On suppose ici que le polynme scrit P =r

k=1

(X k)mk , o r est unentier 2, 1, . . . , r sont des complexes deux deux distincts, et m1, . . . ,mr des entiersnaturels non nulsEn faisant un raisonnement par rcurrence sur le degr de P , montrer que les solutions

de lquation diffrentielle EP sont les fonctions de la forme x 7r

k=1

Rk(x)ekx, o Rk

Cmk1[X] pour tout k {1, . . . , r}. On pourra exploiter le rsultat de la question 2.2.2..Pour n = 2.


MATHMATIQUES 2

@ Ym SESSION 2013

2.6. Montrer en prcisant lnonc du thorme utilis, que pour tout P C[X], les solutionsde lquation diffrentielle EP ont toujours la forme des solutions trouves dans la ques-tion 2.5. prcdente. Quelle est alors la dimension du C-espace vectoriel des solutions deEP ?

2.7. Un autre exemple : Donner la forme gnrale des solutions de lquation diffrentielleEP2 o P2 = X

7 3X6 + 5X5 7X4 + 7X3 5X2 + 3X 1, sachant que 1 est racine triplede P2.

Troisime partieUn rsultat de finitude

Soit f : R C une fonction drivable ; pour tout rel , on dsigne par f la fonction de R dansC dfinie par f (x) = f(x+ ), x R ; on note Ef = Vect({f ; R}) le sous espace vectorielcomplexe de F(R,C) engendr par les fonctions f lorsque dcrit R.On se propose dans cette partie de caractriser f pour que Ef soit de dimension finie. Onsuppose donc que Ef est de dimension finie p 1 et on note (1, . . . , p) une base de Ef .

3.1. Pour n N, on dfini la fonction gn : R C par gn(x) = n(f(x+ 1n + x) f(x)), x R.3.1.1. Vrifier que, pour tout n N, la fonction gn Ef et justifier quil existe des com-

plexes 1,n, . . . , p,n tels que gn =p

k=1

k,nk (1)

3.1.2. Montrer que la suite de fonctions (gn)n1 converge simplement sur R vers f .3.2. Pour tout k {1, . . . , p} et tout k-uplet (x1, . . . , xk) de rels, on note k(x1, . . . , xk) la

matrice deMk(R) "doit tre dansMk(C) ?" de terme gnral j(xi), (i, j) {1, . . . , k}2(coefficient de la i-ime ligne et la j-ime colonne), et dsigne par k(x1, . . . , xk) le dter-minant de la matrice k(x1, . . . , xk).On cherche ici quil existe (a1, . . . , ap) Rp tel que, pour tout k {1, . . . , p}, k(a1, . . . , ak) 6=0. On va tablir lexistence des ak, 1 k p, par rcurrence.On choisit donc a1 R, tel que (a1) 6= 0, ce qui est possible puisque la fonction 1 nestpas identiquement nulle.

3.2.1. Montrer que fonction x 7 2(a1, x) dfinie sur R nest pas identiquement nulle, puisen dduire lexistence de a2 R tel que la matrice 2(a1, a2) soit inversible.

3.2.2. Soit 1 k < p ; on suppose quon ait construit les ai pour 1 i k et on cherche construire ak+1. Montrer que la fonction x 7 k+1(a1, . . . , ak, x), dfinie sur R,nest pas identiquement nulle puis conclure. on pourra raisonner par labsurde etdvelopper le dterminant par rapport sa dernire ligne.

3.3. Dans la suite, on dsigne par (a1, . . . , ap) un puplet de nombres rels pour lequel lamatrice M = p(a1, . . . , ap) est inversible. On conserve les notations de la question 3.1.

3.3.1. Pour n N, on note Zn le vecteur deMp,1(C) de composantes gn(a1), . . . , gn(ap) etYn le vecteur de composantes 1,n, . . . , p,n. Vrifier que Zn = MYn.

3.3.2. Montrer alors que la suite (Yn)n1 dlments deMp,1(C) est convergente et expri-mer sa limite laide de la matricem1 et les complexes f (a1), . . . , f (ap), On noteraY cette limite et 1, . . . , p les composantes de Y .

3.3.4. Dduire de ce qui prcde que f Ef . On pourra exploiter la relation (1) vu en3.1.1.

3.4. Montrer plus gnralement que si h Ef alors h est drivable et h Ef , puis quedduire que Ef est un sous espace vectoriel de C(R,C) stable par D , loprateur dedrivation sur C(R,C).


MATHMATIQUES 2

@ Ym SESSION 2013

3.5. On note D lendomorphisme de Ef induit par loprateur D et on dsigne par P le poly-nme caractristique de D. Montrer, en prcisant le rsultat utilis, que la fonction f estsolution de lquation diffrentielle EP . En dduire une expression de f puis vrifier quece type de fonction rpond bien la question.

KA D @ FIN END


Rien ne saurait remplacer un livre en papier

Des livres de prpas trs joliment imprims

des prix trs accessibles

Al9ahira en ligne En 3 clics seulement, on livre, tu tudies

La qualit est notre point fort.

Vos commentaires sont importants pour nous Pour toute information, nhsitez pas nous contacter

mailto:[email protected]

http://al9ahira.com/ Tl : 0539/34 33 20

7, rue gypte. Tanger

Documents

math2_mp_2013e