Mathématiques 9:

L’algèbre

VocabulaireExpressions algébriques •Définition : Une expression

algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre eux il y a un signe qui nous dit quelle est l’opération à effectuer.

•Exemple : - 4x+6 - 2xy+6xy

Variable •Définition : Une variable est la

lettre dans le terme algébrique.Exemple : 3x la variable est x . : 2a la variable est a .

Coefficient•Définition : Un coefficient est

le chiffre qui se retrouve devant une variable dans une expression algébrique.

Exemple : 3x+4y les coefficients sont

3 et 4

Terme algébrique

• Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est constitué d’un coefficient et d’un groupe variable.

Exemple : 8x² coefficient 8 variable x exposant ²

Terme constant•Définition : Un terme constant

est un terme formé avec qu’un seul nombre. Il faut indiquer si ce nombre est positif ou négatif.

Exemple : 2x + 1 le + 1 est le terme constant .

Termes semblables•Définition : Un terme semblable doit avoir les mêmes variables soulevées à la même puissance

Exemple : 45y et 2y (semblables)

4y et 3y2 (pas semblables)

Les polynômes :- Monôme- Binôme - Trinôme

Les monômes • Définition : Un monôme est une

expression formée d’un seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un produit de tous ces composants.

•Exemple : 4a3 b2

Les binômes

•Définition : Un binôme est une expression formée de deux termes. Un binôme est une somme ou une différence de deux monômes.

Exemple : 4ab2 + a2b

Les trinômes•Définition : C’est une

expression formée de trois termes non semblables.

Exemple : 4a² + 6ab² - 4b²

Quel est le degré du monôme?

245 bx le degré d’un monôme est la somme de ses exposants.

Les exposants pour chaque variable sont 4 et 2. 4+2 = 6.

Ce monôme est de degré 6.

Les polynômes• Définition : Un polynôme est une expression

qui inclut la somme ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure un terme constant.

• Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre décroissant des exposants.

•Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1

14 x

83 3 x

1425 2 xx

Le degré d’un polynôme est le plus haut degré dans un de ces termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et puis le plus ‘puissant’ est le degré du polynôme.

2 Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0.

Ce binôme et de dégré 1. La variable x est à la puissance de 1. Les expressions polynomiales de degré un sont linéaires.

Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré 2 sont quadratiques.

Ce polynôme est de 3e degré. Des polynômes de degré 3 sont cubiques.

Polynôme

a.

b.

c.

d.

5

42 x

xx 23

14 23 xx

DegréClassification

par degréClassification

par # de termes

Zéro Constant Monôme

1 Linéaire Binôme

2 Quadratique Binôme

3 Cubique Trinôme

745 24 xxx

x544x 2x 7

243 5572 xxxx

32x4x 7x525x

)7552(1 234 xxxx

32x4x 7x525x

Le premier terme doit être positif.

Pour changer le signe du premier terme, multiplie tout le polynôme par –1 (utilise la distributivité).

*Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif.

a) Réécris les polynômes en forme standarde

b) Identifie-les par le degré et par le nombre de termes.

c) Identifie le terme constant.

23 237 xx 1.

2.

€

1+a2 +2a

Addition des polynômesAddition des polynômes

3y2+6y7+y+9

et

y2+2y7+3y+12

Démarche: L’addition de 2 polynômes se fait en additionnant les termes de chaque polynôme qui sont semblables et réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.

Exemple:

3y2 + 6y7 + y + 9

+ y2 + 2y7 + 3y + 12

4y2 + 8y7 + 4y + 21

Ce polynôme correspond à lasomme recherchée.

Soustraction des Soustraction des polynômes polynômes

Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à additionner l’opposé de chacun des termes deuxièmepolynôme au premier et à réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la différence recherchée. -3x2 - 6x + 7

Soustrait de

5x2 + 10x - 12.

(5x2 + 10x – 12) – (-3x2 – 6x + 7)

= (5x2 + 10x – 12) + 3x2 + 6x + (–7)

= 5x2 + 3x2 + 10x + 6x + (-12) + (-7)

= 8x2 + 16x + (-19) ou 8x2 + 16x – 19

Ce polynôme correspond à ladifférence recherchée.

Exemple:

Les propriétés des Les propriétés des exposantsexposantsRègles:am x an = am+n

(am)n = amn

am ÷ an =am-n

(ab)n = an x bn

n√a

√afn

Ex: 32 x 33 = 32+3

Ex: (32)4 = 32x4

Ex: 28 ÷ 25 = 28-5

Ex: (34)2 = 32 x 42

Ex: 5 1

4= √5

4

Ex: 3

=6561

= 35

=38

=23

=9x16

=144

=8

=243

=8,9

3

4=

4√33=20,78

a0 =1 Ex: 1800=1 =1€

a1

n =

€

af

n =

Multiplication de monômes

(a3b4)(a5b2)

(a3a5)(b4b2)Regrouper les bases semblables

Pour multiplier des monômes, additionne les exposants.

solution: a8b6

Quel propriété? La commutativité

Multiplie

(5a4b3)(2a6b5)

À toi!

1. (a2b3)(a9b)

Solution: a11b4

2. (3a12b4)(-5ab2)(a3b8)

Solution: -15a16b14

Multiplication d’un Multiplication d’un polynôme polynôme

par un monômepar un monômeDémarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme.

Exemple:

(7ab) (5a2 + 6b + 12) = (7ab × 5a2) + (7ab × 6b) + (7ab × 12) = 35a3b + 42ab2 + 84ab

Division des monômes

a7b5

a4b

Regrouper les bases semblables

Pour diviser,

Soustrais les exposants

solution: a3b4

(a7 - 4)(b5 - 1)

a7

a4

b5

b1

•

Division des monômes

-30x3y4

-5xy3

Divise les coefficients.

Regroupe les bases

solution: 6x2y

(x3 - 1)(y4 - 3)-30

-5

Divise

2m5n4

-3m4n2

Divise les coefficients et soustrais les exposants (m5 - 4)(n4 - 2)

2

-3

Solution: 2

- 3mn2

2mn2

- 3=

À toi!

1. m8n5

m4n2

Solution: m4n3

(m8 - 4)(n5 - 2)

2. - 3x10y7

6x9y2

- 3 6

(x10 - 9)(y7 - 2)

Solution: -1

2xy5

- xy5

2=

•La division d’un polynôme par un

monôme.

• Définition : Il faut diviser chacun des termes par le monôme.

• Exemple :

€

(4x +16) ÷ 2

=4x

2+16

2= 2x +8

Simplifier une puissance ayant une base monomiale

(ab)2

Règle : (xy)n = xnyn

(ab)(ab)

a2b2

(ab)3

(ab)(ab)(ab)

a3b3

(aa)(bb) (aaa)(bbb)

Simplifier une puissance ayant une base monomiale:

Puissance d’une puissance(a9b5)3

Règle: (xayb)n = xanybn

(a9•3)(b5•3)

Solution: a27b15

(4m11n20)2

(41•2)(m11•2)(n20•2)

Solution: 16m22n40

(41m11n20)2

À toi!

1. (2a4)3

Règle: (xayb)n = xanybn

(21•3)(a4•3)Solution: 8a12

2. (4xy5z2)4

(41•4)(x1•4)(y5•4)(z2•4)

Solution: 256x4y20z8

(21a4)3 (41x1y5z2)4