Mathmatiques :rsums du cours

ECE 1re et 2e annes

Gabriel Baudrand

Cours Exemples Applications Conseils

Mathmatiques :rsums du coursECE 1re et 2e anne

Gabriel BaudrandProfesseur agrg de mathmatiques en classes

prparatoires au lyce Madeleine Michelis (Amiens)

Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053972-7

Table des matires

Introduction 11. Ensembles, applications 12. Notions de logique 53. Signes S , P 94. Dnombrement Formule du binme 125. quations, inquations 186. Polynmes 227. Manipulation des ingalits 25

Analyse 291 tude de fonctions 31

1. Recherche de limites 322. Continuit 423. Calcul diffrentiel 474. Fonctions usuelles 535. Fonctions de deux variables 56

2 Suites et sries numriques 611. Gnralits 612. Suites numriques calculables 663. Suites un+1 = f (un) 714. Sries numriques 765. Suites dfinies implicitement 82

3 Calcul intgral 851. Primitives 852. Intgrale dfinie 873. Intgrales gnralises 984. Sries et intgrales 104

Algbre linaire 1074 Systmes linaires Calcul matriciel 109

1. Systmes linaires 109

III

TABLE DES MATIRES

2. Calcul matriciel 1143. Un exemple despace vectoriel 125

5 Espaces vectoriels applications linaires 1311. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1312. Applications linaires 1383. Espace vectoriel L (E,F), algbre L (E) 1424. Noyau et image dune application linaire 1445. Deux applications 148

6 Diagonalisation 1531. Thorie du changement de base 1532. Diagonalisation 1563. Autres rductions Applications 165

Probabilits 1737 Probabilit sur un ensemble fini 175

1. Espaces probabiliss finis 1752. Variables alatoires sur un ensemble fini 1823. Couple de variables alatoires finies 1864. Lois finies usuelles 189

8 Variables alatoires discrtes 1971. Espaces probabiliss quelconques 1972. Variables alatoires infinies discrtes 2003. Couple de variables alatoires discrtes 2064. Variables infinies discrtes usuelles 208

9 Variables alatoires densit Convergences, approximationsestimation 2171. Gnralits 2172. Variables alatoires densit usuelles 2213. Convergences et approximations 2274. Estimation 230

Informatique 235

10 lments dalgorithmique 2371. Le langage PASCAL 2372. Exemples dalgorithmes 245

Index 253

IV

Mode demploi

Ce livre contient lintgralit du cours de mathmatiques pour les classesprparatoires ECE, premire et deuxime annes. Il intressera aussi lestudiants en Licence de sciences conomiques, et tous ceux qui dsirentacqurir des connaissances lmentaires mais solides en analyse, algbrelinaire, probabilits.Quand on donne la dfinition dun mot, celui-ci est imprim en gras.

Les rsultats essentiels sont encadrs.

Des lments pour la dmonstration dun rsultat sont donns quandcelle-ci utilise des techniques significatives et utiles pour la rsolution desexercices. Ces lments demandent au lecteur une participation active(rdiger compltement, faire les calculs omis), qui est la cl des progrsen mathmatiques.

Les notions nouvelles sont illustres par des exemples. Ceux-ci sontsignals en tant que que tels, ou par un liser en marge gauche. Ils sontinspirs par des exercices trs classiques ou provenant des annales deconcours. Ils sont plus nombreux quand une grande varit de situationsse prsente.

Dans le mme esprit, un certain nombre dapplications sont donnes.Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongementnaturel, et inspirent de nombreux exercices dannales. Ces caractris-tiques sont signales chaque fois quil est ncessaire.

Sur fond gris vous trouverez des conseils dordre pdagogique :cueils viter, erreurs ne pas commettre, conseils de rdaction,remarques utiles la mmorisation.

V

MODE DEMPLOI

Quelques indications pour les diffrentes sections de ce livreLintroduction expose les connaissances et techniques de base deman-des par le programme. Sy ajoutent des considrations qui ne sont pasexplicitement demandes, mais nanmoins indispensables : les lmentsde logique aideront le lecteur raisonner juste, ce qui aidera unemeilleure comprhension du cours. Les rappels sur les quations, inqua-tions, ingalits visent consolider des acquis des classes antrieures et quiprennent maintenant toute leur importance.En ce qui concerne lanalyse, la totalit du programme de terminaleES est reprise et bien sr complte. Les points les plus dlicats duprogramme (recherche de limites, suites rcurrentes, sries, intgralesgnralises) sont exposs progressivement et illustrs par de nombreuxexemples.Pour lalgbre linaire, la difficult est dune part technique (recherchedes valeurs propres et vecteurs propres), et dautre part thorique (utili-sation des thormes abstraits du cours dans des situations diverses). Onsest efforc de bien cerner les difficults et ici aussi de donner suffisam-ment de varit dans les exemples.En probabilits, on a choisi de traiter dans trois chapitres diffrents lesproblmes concernant les variables alatoires finies, discrtes, densit.Cela oblige quelques rptitions, mais les techniques diffrentes misesen uvre (respectivement sommes finies, sries, calcul intgral) justifientune telle dmarche. On a privilgi ici les dmonstrations des rsultats ducours, ou des applications les plus typiques, car leur maitrise est essentiellepour la rsolution des exercices.Sy ajoute un chapitre sur lalgorithmique : on y trouvera les lments dulangage PASCAL connatre, et quelques programmes emblmatiques.

Conformment au programme, les algorithmes (rdigs en PAS-CAL) viennent illustrer le cours. Ils sont encadrs par un lisr poin-till.

Pour ce qui concerne la rpartition du travail sur les deux annes declasse prparatoire, devraient tre maitriss en fin de premire anne :

lintroduction ; le chapitre 1, sauf 1.1.5 ; le chapitre 2 sauf 2.3 : notion de point fixe, et 2.4 : critres deconvergence et sries de Riemann ;

le chapitre 3 : 3.1 et 3.2, sauf sommes de Riemann et formulesde Taylor ;

le chapitre 4 ;

VI

MODE DEMPLOI

les chapitres 7 et 8 (uniquement loi dun couple, lois marginales etindpendance de deux v.a en ce qui concerne ltude simultanede plusieurs v.a).

Pour ce qui concerne lalgorithmique, lensemble du programmeest trait tout au long de la formation, lexception des algorithmesde gestion des listes, et tout ce qui concerne les v.a densit etlestimation, qui seront traits en deuxime anne.

Dans le texte, les renvois commencent toujours par le numro du cha-pitre ( 2.3 renvoie au chapitre 2 paragraphe 3).

VII

Introduction

Techniques de base

1. Ensembles, applications

1.1 Vocabulaire de la thorie des ensemblesx E : x est lment de E , ou x appartient E .On ne cherche pas dfinir les notions primitives dlment, dappartenance,densemble.On peut distinguer deux faons de dfinir un ensemble : Par extension : on donne la liste des lments de lensemble. On noteraen particulier, avec n N :

0, n = {0 ; . . . ; n} Par comprhension : on donne une proprit caractristique P des l-ments de lensemble. Llment x appartient lensemble E si, et seule-ment si, il vrifie la proprit P, ce que lon note P (x). Par exemple, a, btant deux rels :

[a, b] = {x | x R ; a x b}Ici la proprit P (x) est : x R et a x b .On rencontre des variantes de notation :

[a, b] = {x R | a x b} = {x R ; a x b} . . .Certains ensembles ont des notations rserves : : lensemble vide (il ne contient aucun lment).N : lensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; . . .}.N : lensemble des entiers naturels non nuls.Z : lensemble des entiers relatifs.Q : lensemble des nombres rationnels.

1

Introduction

R : lensemble des nombres rels.R+ : lensemble des nombres rels positifs ou nuls.

On dfinit de mme R, R+, R . . .A, B, E tant des ensembles, on dfinit :Relation dinclusion. On note A E (lire A est inclus dans E ,ou A est une partie de E , ou A est un sous-ensemble de E ) si etseulement si tout lment de A est lment de E.On note aussi E A ( E contient A ). Pour tout ensemble E, on a linclusion E. N Z Q R.Runion de deux ensembles. On note A B (lire A union B )lensemble ainsi dfini :

A B = {x | x A ou x B}Intersection de deux ensembles. On note A B (lire A inter B )lensemble ainsi dfini :

A B = {x | x A et x B}Gnralisation : avec I un ensemble dindices :

iIAi = {x ; il existe i I tel que x Ai}

iI

Ai = {x ; pour tout i I, x Ai}

Complmentaire dun ensemble dans un ensemble. Soit A E.Le complmentaire de A dans E est lensemble des lments de E quinappartiennent pas A. On le note E \A, ou, sil ny a pas dambigutsur lensemble E de rfrence, A (lire A barre ).Produit cartsien de deux ensembles. Le produit cartsien AB estlensembles des couples (a ; b) avec a A et b B :

A B = {(a ; b) | a A et b B}On dfinit de mme les produits cartsiens A B C,. . . , et An :

An = {(a1 ; ; an) | a1 A ; ; an A}An est lensemble des suites n lments de A, ou ensemble des n-listesdlments de A (n N).Ensemble des parties de E. On note P (E) lensemble de toutes lesparties de E :

P (E) = {A ; A E}

2

Techniques de base

Soit A, B,C des sous-ensembles de lensemble de rfrence E. Onnotera les rgles de calculs :

A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

A B = A B ; A B = A BA = A ; A = ; A E = E ; A E = A

Rgles de calcul qui se gnralisent, par exemple :

B (

iIAi

)=iI

(B Ai) Remarquez que

A B A B = B A B = A

1.2 Fonctions et applicationsDfinitions Une fonction f est dfinie par la donne dun ensemble de dpartE, dun ensemble darrive F, et dune relation qui un lment de Eassocie au plus un lment de F. Notation :

f : E F, x y = f (x) Si on a y = f (x), on dit que y est limage de x par f , et que x est unantcdent de y par f . Une application de E dans F est une fonction de E dans F telle quechaque lment de E admette une image. On note alors f (E) lensemble{f (x) ; x E}. Soit f : E F et g : F G deux applications. La compose g fest lapplication g f : E G, x g f (x) = g (f (x)). On dit quune application f : E F est : une injection, ou que f est injective, ssi tout lment de F admet

au plus un antcdent : f (x) = f(x) x = x.

une surjection, ou que f est surjective ssi tout lment de F admetau moins un antcdent : pour tout y F, il existe x E tel quey = f (x).

une bijection, ou que f est bijective ssi tout lment de F admetexactement un antcdent dans E : pour tout y F, il existe x E,x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F.

3

Introduction

Exemple importantSoit E un ensemble (non vide). Lapplication

IdE : E E, x IdE (x) = xest appele lapplication identit de E. (Cest dailleurs une bijection.)

Proprits

Proposition 1. Une application est bijective ssi elle est injective etsurjective.Proposition 2. Soit f une bijection de E sur F. Lapplication, notef 1 de F dans E qui tout lment y de F associe lunique lment xde E tel que f (x) = y est une bijection de F sur E, appele bijectionrciproque de f :

f 1 : F E, y f 1 (y) = x tel que f (x) = yProposition 3. Une application f de E dans F est bijective ssi ilexiste une application g de F dans E, telle que f g = IdF etg f = IdE.On a alors g = f 1.

Il faut bien comprendre que lensemble de dpart et darrive sontessentiels dans la dfinition de lapplication ou de la fonction f . Ainsi,les applications

f1 : R R, x x2 ; f2 : R R+, x x2 ;f3 : R+ R+, x x2

sont diffrentes. f1 nest ni injective ni surjective (les nombres ngatifsnont pas dantcdent par f1, les nombres positifs en ont deux), f2est surjective mais pas injective, f3 est bijective.

La proposition 2 est essentielle, elle permet de dfinir de nouvelles fonctions. La bijection rciproque de f3 est la fonction racine carre. Le logarithme nperien est une bijection de R+ sur R. Sa bijectionrciproque est la fonction exponentielle. La proposition 3 donne alors:Pour tout rel positif x, eln x = x ; pour tout rel y, ln (ey) = y.

4

Techniques de base

2. Notions de logique

2.1 GnralitsUne proprit est une affirmation dont la valeur de vrit vrai (V) oufaux (F) peut dpendre de un ou plusieurs arguments, numriques ouautres. On notera P (x) si la valeur de vrit de la proposition P dpendde la valeur de largument (ou variable) x. On dit alors que x est unevariable libre pour la proprit P.

x tant un nombre entier, la proprit P (x) : x est un nombre pre-mier est vraie si x = 2, fausse si x = 4.

2.2 QuantificateursDfinitionsSoit P (x) une proprit, avec x appartenant un ensemble de rf-rence E. Quantificateur existentiel. La proprit

x E, P (x)est vraie si, et seulement si, il existe x appartenant E tel que la propritP (x) soit vraie. On lit il existe x appartenant E tel que P (x) , ou pour quelque x appartenant E, P (x) . Quantificateur universel. La proprit

x E, P (x)est vraie si, et seulement si, pour tout x appartenant E, la propritP (x) est vraie. Lire quel que soit x appartenant E, P (x).

ExemplesLensemble de rfrence est N. Soit les proprits

P1 : x N, x 0 ; P2 (y) : x N, x y ;P3 : x N, y N, x < y ; P4 : y N, x N, x < y.

P1 est vraie (tout entier naturel est suprieur ou gal 0).P2 (y) est vraie si y = 0, fausse dans tous les autres cas.P3 est vraie : tout entier naturel admet un entier qui lui est suprieur.

P4 est fausse : il nexiste pas dentier naturel suprieur tous les autres. noter que lordre des quantificateurs a de limportance.Dans P3, ni x ni y ne sont des variables libres. P3 est une proprit de N,pas de x, ni de y, qui sont ici des variables muettes. On pourrait crireP3 sous la forme : a N, b N, a < b.

5

Introduction

2.3 Oprateurs logiquesDfinitionsSoit P, Q, deux proprits. La proprit P ou Q est vraie si une des deux proprits (ou les deux)est vraie, fausse si P et Q sont fausses. La proprit P et Q est vraie si les deux proprits sont vraies (simul-tanment), fausse si une deux proprits (ou les deux) est fausse. La proprit non P est vraie si P est fausse, fausse si P est vraie. La proprit si P, alors Q est fausse si P est vraie et Q fausse, vraiedans tous les autres cas . On dit aussi : P est une condition suffisante de Q , Pour Q, il suffit que P , Q est une condition ncessaire de P , Pour P, il faut que Q , P seulement si Q , P implique Q , et on note P Q. La proprit P si et seulement si Q est vraie si P et Q ont mmevaleur de vrit, fausse sinon. On dit aussi : P est une condition ncessaire et suffisante de Q , P et Q sont quivalentes , pour que Q, il faut et il suffit que P ,et on note P Q.On crit couramment en abrg ssi pour si et seulement si .Ces dfinitions sont synthtises dans les tables de vrit :

P Q P ou Q P et Q P Q P QV V V V V VV F V F F FF V V F V FF F F F V V

Rgles de calculLes proprits suivantes sont quivalentes :

non (P ou Q) et (non P) et (non Q) ;non (P et Q) et (non P) ou (non Q) ;non (x, P (x)) et x, non (P (x)) ;non (x, P (x)) et x, non (P (x)) ;non (P Q) et Q et non (P).6

Techniques de base

Les rgles de calcul ci-dessus sont utiles pour montrer quune pro-prit est fausse. Par exemple, pour montrer quune proprit universelle(x, P (x)) est fausse, il suffit de donner un contre-exemple, cest--direune valeur de x telle que P (x) est fausse.

UtilisationLa plupart des thormes et propositions du cours se prsentent commedes implications (vraies !) P implique Q , ou comme des quivalences.Le vocabulaire impliqu est dusage constant et doit tre bien compris.En particulier, on notera quune condition ncessaire peut ne pas tresuffisante, et quune condition suffisante peut ne pas tre ncessaire :

( 2.4) Pour quune srie soit convergente, il est ncessaire, mais passuffisant, que son terme gnral tende vers 0. En dautres termes, si leterme gnral ne tend pas vers 0, alors la srie ne converge pas, mais sile terme gnral tend vers 0, la srie peut ne pas converger.( 6.2) Pour quune matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pasncessaire, quelle soit symtrique.

noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus danslensemble de rfrence E, si on aA = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alorsA B = {x | P (x) ou Q (x)} ; A B = {x|P (x) et Q (x)}A = {x | non (P (x))}A B si et seulement si P (x) Q (x). Ce quon a appel ici proprits correspond ce quon appelle enlangage PASCAL les variables boolennes, dont le contenu est TRUE(vrai) ou FALSE (faux). Les oprateurs logiques OR, AND, NOT cor-respondent aux oprateurs sur les proprits vus ici. Mais attention lins-truction IF . . . THEN. . . nest pas un oprateur logique : THEN estsuivie dune instruction, pas dune variable boolenne.

2.4 Quelques mthodes de raisonnementRaisonnement par rcurrence

Soit tablir quune proprit P (n) est vraie pour tout n N. On tablit que P (0) est vraie (initialisation). On suppose quil existe n N tel que P (n) est vraie (hypothsede rcurrence). On montre alors que P (n + 1) est vraie (hrdit). On conclut alors, daprs le principe de rcurrence :

n N, P (n) .

7

Introduction

Le raisonnement par rcurrence doit tre considr comme un vri-table guide de rdaction. Celui-ci doit tre suivi scrupuleusementet rdig soigneusement. Cela nempche pas que le cas chant lardaction puisse tre rapide et synthtique.

Voici quelques situations typiques o on fait un raisonnement parrcurrence qui ne prsente aucune difficult : ( 4.2.4) Soit A M3 (R), Xn M3,1 (R) telles quen N, Xn+1 = AXn. On montre alors par rcurrence :

n N, Xn = AnXn ( 2.3) Soit (un)nN une suite telle que n N, un+1 = f (un), etu0 = a, avec a tel que f (a) = a. On montre alors par rcurrence :

n N un = a Pour tablir lhrdit, il faut souvent utiliser une ide ou une propritmise en vidence dans une question prcdente. Cest le cas pour lepremier exemple ci-dessus (la proprit qui permet dtablir lhrditest Xn+1 = AXn), et dune manire tout fait typique pour ltude desuites rcurrentes grce la formule des accroissements finis (cf 2.3.3 ). Le raisonnement par rcurrence est susceptible de nombreuses varia-tions : linitialisation peut tre faite avec n = 1. Lhrdit permet depasser de n 1 n (n N). . .Parfois linitialisation devra porter sur les proprits P (0) , P (1) , P (2),par exemple, et pour obtenir lhrdit on supposera quil existe n Ntel que P (n) , P (n + 1) , P (n + 2) sont vraies (rcurrence sur plusieursgnrations). Ou bien on supposera quil existe n N tel que, pour toutk {0 ; ; n}, P (k) est vraie (rcurrence forte).

Raisonnement par contraposeLa contrapose de la proprit P Q est la proprit non Q non P.Elles sont logiquement quivalentes, et pour tablir une implication, ilpeut tre plus commode dtablir sa contrapose.

Pour montrer quun polynme de degr n 1 admet au plus n racines,on dmontre la contrapose : un polynme admettant plus de n racinesnest pas de degr n. Voir le 6 de cette introduction.

Ne pas confondre contrapose et rciproque : la rciproque de la pro-prit P Q est la proprit Q P : la rciproque dune implicationvraie peut tre fausse.

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Techniques de base

Limplication la srie Sun converge limn+ un = 0 est vraie.

Sa contrapose est vraie, mais sa rciproque est fausse : la suite(1n

)nN

converge vers 0, et la srie

nN1n diverge (voir 1.4.2).

Raisonnement par labsurdePour montrer quune proprit P est vraie, on suppose quelle est fausse,et on aboutit une contradiction. On conclut alors que P est vraie.

Deux matrices (voir chap. 4) A et B sont donnes, B est non nulle etAB = 0. On montre par labsurde que A nest pas inversible : pourcela on suppose que A est inversible, et de AB = 0 on tire alorsA1AB = A10, donc IB = 0, B = 0. Or B = 0 : contradiction,A nest pas inversible.

Mentionnons aussi le raisonnement par quivalence (utilis dans larsolution des quations) : on montre quune proprit est quivalente une proprit vraie, plus simple. Le raisonnement par analyse etsynthse consiste trouver des conditions ncessaires lexistence dunobjet (la solution dune quation par exemple), puis vrifier si cesconditions ncessaires sont suffisantes.

3. Signes S , P

3.1 DfinitionsSoit I un sous-ensemble fini de N ou de NN. Les symboles

iIxi ;

iI

xi

dsignent respectivement la somme et le produit de tous les nombresrels xi, avec i appartenant I .Cas particuliers, dutilisation trs frquente :

ni=1

xi = x1 + x2 + + xn ;n

i=0

xi = x0 + x1 + + xn

Lire sigma de i gal 1 n des x indice i . . . Notations analogues pourle produit (lire produit de i gal 1 n. . . ).

9

Introduction

3.2 Rgles de calcul

Avec I fini inclus dans N, et a constante indpendante de i, on aiI

(xi + yi) =iI

xi +iI

yi

iI

axi = aiI

xi

Avec n N, p N, p n (et a constante indpendante de i) :n

i=1

a = na ;n

i=0

a = (n + 1) a ;n

i=p

a = (n p + 1) a

Dmonstration. La premire proprit est une consquence de la com-mutativit de laddition. La deuxime proprit est une mise en facteurcommun. Pour les proprit suivantes, on compte combien la sommecontient de termes tous gaux a. Si les xi sont des rels positifs, les yi des rels quelconques :

ln

(iI

xi

)=iI

ln xi ; exp

(iI

yi

)=iI

exp (yi)

Si I est une partie finie de N N, il sagit en fait dune sommedouble , quon dcompose en somme de sommes :

(i,j)I

xi,j =

{i ; j,(i,j)I}

{j ; (i,j)I}

xi,j

=

{j ; i,(i,j)I}

{i ; (i,j)I}

xi,j

En particulier, on a, avec I = {(i, j) ; 1 i n et 1 j i}:n

i=1

i

j=1

xi,j

= n

j=1

n

i=j

xi,j

Les rgles de calcul ci-dessus sont les seules retenir, et utiliser.Vous prendrez garde ne pas en inventer dautres, qui ont de bonneschances dtre fausses. Exemple : bien se persuader quen gnral

ni=1

xiyi =(

ni=1

xi

)(n

i=1

yi

)

Avec n = 2, en effet, on aura x1y1 + x2y2 = (x1 + x2) (y1 + y2).

10

Techniques de base

Par contre, il est vrai quen

i=1

n

j=1

xiyj

= n

i=1

xi

n

j=1

yj

=

(n

i=1

xi

) nj=1

yj

(Mise en facteur de xi dans la sommen

j=1, puis mise en facteur denj=1.)

Si vous tes bloqu(e) dans un calcul comportant un , unepossibilit est dexpliciter le

en question, sur le modle

ni=1

xi = x1 + x2 + + xn

On crit les deux ou trois premiers termes de la somme, puis ledernier. Mais il faut faire attention alors que si n = 1, la somme necomporte quand mme quun seul terme, le terme x1. Prenez bien garde au statut des variables en prsence :Dans la somme

ni=1 xi, i est une variable muette : la valeur de

i nintervient pas dans la valeur de la somme. On a par exempleni=1 xi =

nk=1 xk.

Dans cette mme somme, n est une variable libre : la valeur de lasomme dpend a priori de la valeur de n. Ncrivez donc pas desformules du type

ni=1 xi = f (i) qui nont aucune chance dtre

vraies. . .

3.3 Sommes remarquablesOn retient la valeur des sommes suivantes. n est un entier naturel nonnul, x un nombre rel.

nk=1

k =n (n + 1)

2n

k=1

k2 =n (n + 1) (2n + 1)

6n

k=1

k3 =n2(n + 1)2

4n

k=0

xk =1 xn+11 x si x = 1

11

Introduction

Voir le 2.2.1 (suites arithmtiques) pour la dmonstration du premierrsultat, et le paragraphe 2.2.2 pour celle du dernier.Les deuxime et troisime rsultats (somme des carrs, somme des cubes)se dmontrent classiquement par rcurrence.

4. Dnombrement Formule du binmeUn ensemble non vide E est dit fini ssi il existe n N tel quil existeune bijection de E sur 1 ; n. n est alors le cardinal de E.On note CardE = n. Lensemble vide est fini, de cardinal 0.Le cardinal dun ensemble fini est simplement le nombre de ses lments.Un ensemble est dit dnombrable ssi il existe une bijection de N surcet ensemble. Attention, les problmes de dnombrement concerne lesensembles finis !

4.1 Factorielle dun nombre entierDfinitionPour n appartenant N, on dfinit par rcurrence :

0! = 1 ; si n 1, n! = n (n 1)!Lire factorielle n . Daprs la dfinition, on a

1! = 1 ; 2! = 2 1 = 2 ; 3! = 3 2 1 = 6 ; 4! = 24 ; . . .De faon gnrale, pour n 1 : n! = n (n 1) 1La programmation de n! en langage PASCAL peut se faire de faonitrative :

La programmation rcursive est ici prfrable :

12

Techniques de base

On rencontre souvent des simplifications du type :

(n + 1)!n!

= n + 1 ;n!

(n k)! = n (n 1) . . . (n k + 1) ; . . .

4.2 Formules lmentairesNombre de termes

p et n tant des entiers naturels tels que p n, de p n il y a n p+1nombres entiers.

Ainsi, de 1 100, il y a 100 nombres entiers, et non 99. De 100 200 ily a 200 100 + 1 = 101 nombres entiers.Nombre de suites finies

Soit n, k N . Le nombre de suites k lments dun ensemble n lments est gal nk. Soit n, k N tels que 1 k n. Le nombre de suites k lmentsdistincts dun ensemble n lments est gal

n (n 1) . . . (n k + 1) = n!(n k)!

Soit n N ; le nombre de suites n lments distincts de len-semble E n lments, ou permutations de E, est gal n!.

On obtient ces formules laide de reprsentations arborescentes.La premire est un cas particulier de la formuleCard(A1 A2 Ak) = Card(A1) Card(A2) . . . Card(Ak),avec tous les Ai gaux, de cardinal n.Elle est valable mme si n ou k sont nuls, si on considre la suite vide (suite 0 lment), et avec la convention 00 = 1.De mme, en adoptant lcriture avec des factorielles, la deuxime for-mule reste valable mme si k ou n sont nuls. Notez que le produit

n (n 1) . . . (n k + 1)comporte k facteurs (autant que de nombres de 0 k 1).La troisime formule est un cas particulier important de la deuxime,avec k = n. Une permutation dun ensemble n lments peut tre vuecomme une manire dcrire dans un certain ordre les lments de cetensemble, ou comme une bijection de 1, n sur cet ensemble.

13

Introduction

Cardinal de la runion de deux ensembles

Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B) ;Si A B = ,Card (A B) = Card (A) + Card (B).

Formule qui se gnralise 3, 4, n ensembles sur le modle de la formuledu crible, voir 7.1.2, o on remplacera les P par des Card .

4.3 Nombre de parties dun ensemble

Thorme Soit k, n N, 0 k n. Le nombre de parties k lments dunensemble n lments est gal :(n

k

)=

n!k! (n k)!

Le nombre de parties dun ensemble n lments est gal 2n:Si Card (E) = n, alors Card (P (E)) = 2n

En effet le nombre de suites k lments distincts dun ensemble n l-ments est gal n!(nk)! . Mais chaque partie k lments de cet ensemble n lments est reprsente par k! permutations distinctes, do le pre-mier rsultat. On en dduit le deuxime rsultat en utilisant la formuledu binme, voir 2.4.4.

( nk) se lit k parmi n . Cest le nombre de manires de choisir klments parmi n, quand on ne tient pas compte de lordre du choix.

Les nombres ( nk) sont appels coefficients binomiaux, voir 2.4.4.Aprs simplifications, quand 1 k n, on peut crire(n

k

)=

n (n 1) . . . (n k + 1)k (k 1) . . . 1

Le numrateur et le dnominateur comportent chacun k facteurs.

Vous utiliserez cette technique, et la formule(

nnk)=( nk

), pour

calculer des valeurs particulires, par exemple(107

)=(103

)=

10 9 83 2 1 = 720

14

Techniques de base

Proprits de nombres( nk

)Soit n, k N, 0 k n 1. Alors :(n0

)=(nn

)= 1 ;

(n1

)=(

nn 1

)= n ;

(n

n k)=(nk

);

(formule de Pascal)(nk

)+( nk + 1

)=(n + 1k + 1

).

Ces formules se dmontrent en utilisant les factorielles, ou bien pardes considrations de dnombrement : il est vident par exemple que( n0

)= 1. Pour la formule de Pascal, considrer les parties k + 1 l-

ments de lensemble {a1, a2, . . . , an, b} : il y en a( n+1k+1

), et celles qui

contiennent b sont au nombre de( nk

), celles qui ne contiennent pas b

sont au nombre de( nk+1

).

Elles permettent de construire de proche en proche le triangle de Pas-cal, ou figure en ligne n et colonne k le nombre

( nk

):

nk

0 1 2 3 4 5 6

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 1

Programmation du triangle de Pascal jusqu la ligne n : on utilise desboucles dfinies embotes. La variable dentre est , celle de sortieest de type tableau.&( &

))*

+,--)--.

/0123

{initialisation de la premire colonne et de la diagonale} ) )

{initialisation du reste du tableau par la formule de Pascal}

* 4)*4)*4)*4

15

Introduction

{criture} *

5)*5

036-

Comme autres proprits des nombres( nk

), mentionnons :

(nk

)=

nk

(n 1k 1

);

(ns

)( sk

)=(nk

)(n ks k

);

ni=k

(ik

)=(n + 1k + 1

);

pk=0

(nk

)( mp k

)=(n + mp

);

nk=0

(nk

)2=(2nn

)

Les deux premires galits stablissent trs facilement avec les facto-rielles. La premire est frquemment utilise.La troisime se dmontre par rcurrence sur n: la proprit est vraiepour n = 0. On la suppose vraie pour n fix dans N ; pour k 0 ; n,on a alors

n+1i=k

(ik

)=

ni=k

(ik

)+(n + 1k

)=(n + 1k + 1

)+(n + 1k

)=(n + 2k + 1

)

(hypothse de rcurrence, puis formule de Pascal). Pour k = n + 1, laproprit est aussi vraie, lhrdit est ainsi compltement tablie.La quatrime galit est connue sous le nom de formule de Vander-monde. Elle est facile mmoriser si on pense un exemple : avecn = 8, m = 24, p = 5, le nombre de mains de 5 cartes dun jeu de 32cartes (membre de droite de lgalit) est gal la somme des nombresde mains de 5 cartes comportant 0, 1, 2, 3, 4, 5 curs (membre degauche ; en effet, le nombre de mains de 5 cartes comportant k curs

est gal ( 8k

) ( 245k): on choisit k curs parmi les 8 curs du jeu de 32

cartes, puis on complte avec 5 k non-curs parmi 24 non-curs).La cinquime formule est un cas particulier de la quatrime, avec :

m = p = n, en utilisant(

nnk)=( nk

).

16

Techniques de base

4.4 Formule du binmeOn dmontre classiquement par rcurrence le

Thorme. Pour tout a, b R, n N :

(a + b)n =n

k=0

(nk

)ankbk =

nk=0

(nk

)akbnk

Pour les premires valeurs de n, on obtient :

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Vous devez mmoriser, et savoir utiliser cette formule dans les deuxsens (dveloppement ou factorisation). Voici quelques remarquespour aider cette mmorisation :Dans le dveloppement, les coefficients sont ceux de la ligne n dutableau de pascal. Le premier dveloppement est fait suivant les puis-sances dcroissantes de a, croissantes de b, et cest le contraire pour ledeuxime dveloppement. Dans chaque terme, la somme des expo-sants est gale n.

Quelques exemples dutilisation Pour obtenir le dveloppement de (a b)n, on crit :

(a b)n = (a + (b))n =n

k=0

(nk

)ank(1)kbk

Avec a = b = 1, on obtientn

k=0

(nk

)= 2n

ce qui dmontre que le nombre de parties dun ensemble n l-ments est gal 2n.

17

Introduction

Avec a = 1, b = 1, on obtient :n

k=0

(1)k(nk

)= 0

ce qui montre que dans un ensemble n lments, le nombre de partiesde cardinal pair et le nombre de parties de cardinal impair sont tousdeux gaux, et donc gaux 2n1. Voici un exercice de dnombrement o la formule du binme estutilise : si E est un ensemble de cardinal n, alors le nombre de couples(A, B) de parties de E telles que A B = est gal 3n.En effet, pour tout k appartenant 0, n, le nombre de parties A klments est

( nk

). Le choix de A tant fait, le nombre de parties B telles

que A B = est 2nk, car A B = ssi B A, ssi B est une partiede A, et le nombre de parties de A est gal 2nk, A tant de cardinaln k. En faisant varier k de 0 n, on obtient un nombre de couples(A, B) qui conviennent gal

nk=0

(nk

)2nk =

nk=0

(nk

)2nk

1k = (2 + 1)n = 3n

5. quations, inquationsRsoudre une quation dinconnue x R, cest dterminer lensembledes nombres rels par lesquels on peut remplacer linconnue x de faon obtenir une galit vraie.Dfinitions analogues pour un inquation, un systme dquations.

5.1 Problmes du premier degr

Thorme (quation du premier degr).Soit a, b R, et soit S = {x R ; ax + b = 0}. Alorssi a = 0, S =

{ba

};

si a = 0 et b = 0, S = ; si a = 0 et b = 0, S = R.

En particulier, lquation ax + b = 0 admet une solution unique ssia = 0.

18

Techniques de base

Cette remarque est tout fait essentielle et trouve sa gnralisationdans les systmes dquations linaires, voir 4.1.Vous serez particulirement vigilant devant une quation telle queax = 0 : si a = 0, lquation devient 0 x = 0, qui a une infinit desolutions. Sinon lquation devient x = 0, qui a une solution unique.

Signe de ax + b, Pour a = 0:

x b/a +ax + b signe de (a) 0 signe de a

5.2 Problmes du second degrSoit a, b, c des nombres rels, avec a = 0, et soit le polynme du seconddegr P (x) = ax2 + bx+ c. Tous les rsultats connatre dcoulent de cecalcul :

P (x) = a(x2 +

bax +

ca

)= a

[(x +

b2a

)2 b

2

4a2+

ca

]

= a

[(x +

b2a

)2 b

2 4ac4a2

]

Soit D = b2 4ac (discriminant). Si D < 0, P (x) est de la forme a (B2 + C) avec C > 0 : P (x) nesannule pas, ne se factorise pas dans R, est toujours du signe de a.

Si D = 0, alors P (x) = a(x + b2a)2, admet b2a pour racine double, sefactorise dans R, est du signe de a en dehors de la racine.

Si D > 0, P (x) est de la forme a (B2 C2) = a (B C) (B + C). Onobtient

P (x) = a (x x1) (x x2)

avec x1 =bD

2a; x2 =

b +D2a

P (x) admet les deux racines distinctes x1 et x2, est factorisable dans R,est du signe de a lextrieur des racines , du signe de a lintrieur.On voit donc que pour un polynme du second degr, P (x) est facto-risable par x a ssi a est racine de P (x). Ce rsultat se gnralise auxpolynmes de degr suprieur, voir le 6 de cette introduction.

19

Introduction

Ces formules de rsolution sont relativement sophistiques, et vousdevriez viter de les utiliser quand cest possible, cest--dire assezsouvent : quation ax2 + c = 0 : isoler x2, ou factoriser quand cest possible. quation ax2 + bx = 0 : factoriser par x. Racine vidente : si a + b + c = 0, alors ax2 + bx + c admet 1

pour racine, on trouve lautre en factorisant par x1 ; elle vaut ca .De mme, si a b + c = 0, les deux racines sont 1 (vidente) et ca . De faon gnrale, quand elles existent, la somme et le produit desracines de ax2 + bx + c valent respectivement ca et ba (dveloppera (x x1) (x x2) = ax2 + bx + c, puis identifier). Pour dterminer la position dun nombre m par rapport aux racinesde P (x), il nest pas ncessaire de dterminer celles-ci, il suffit decalculer P (m), qui sera du signe de a si m est lextrieur des racines. Si lquation est coefficients entiers et b est pair, vous simplifierezpar 2 lexpression des racines (si elles existent).

5.3 Autres quations et inquationsIl ny a pas de thorie gnrale et qui marcherait dans toutes les situations.Contentons-nous de donner quelques principes : Problmes du type P (x) = 0, P (x) 0, o P est un polynme. Onse ramne par factorisation des problmes de degr 2, en utilisant lethorme de factorisation des polynmes, voir le 6 de cette introduc-tion. Problmes du type R1 (x) = R2 (x) , R1 (x) R2 (x), o R1, R2 sontdes fractions rationnelles, ou fonctions rationnelles, cest--dire des quo-tients de polynmes. On limine les dnominateurs, en suivant les prin-cipes : AB = 0 A = 0 et B = 0 ; le signe de AB est dtermin par lesigne de A et de B.

x2

x 1 1

x 1 x2 1x 1 0 (surtout pas quivalent x

2 1 !)

(x 1) (x + 1)x 1 0 x+ 1 0 et x = 1 x ] 1,+[ \ {1}

Problmes irrationnels, avec prsence dun (ou plusieurs) radicaux. Onisole le radical, puis on lve au carr, mais attention aux quivalences :

A = B A = B2 et B 0 ;A B 0 A B2 et B 0

20

Techniques de base

Rsoudre f (x) = x, f (x) x, avec f (x) = x+1x2+1

1.

f (x) = x (x + 1)(

1x2 + 1

1)= 0

x = 1 oux2 + 1 = 1

x = 1 ou x2 + 1 = 1 x = 1 ou x = 0

f (x) x (x + 1)(1

x2 + 1

x2 + 1

) 0

(x + 1)(1

x2 + 1

) 0

1x2 + 1 0

x2 + 1 1 x2 + 1 1 x R

Un tableau de signes conduit finalement lensemble des solutions[1 ; +[. Autres types dquations, comportant des fonctions logarithmes ouexponentielles.

e2x3 ex +2 = 0 y = ex et y2 3y + 2 = 0ex = 1 ou ex = 2 x = 0 ou x = ln 2

ex ex > 0 ex > ex x > x x > 0.Dautres techniques sont parfois ncessaires, en particulier ltude dunefonction :

Pour tout x R, ex x + 1. En effet, avec g (x) = exx 1, on ag (x) = ex1, doncx 0 +g (x) 0 + do la conclusiong (x) 0 (ltude des limites est inutile).

On montre de mme : x > 0, ln x x 1.

Vous prendrez bien garde lnonc ; la question : Rsoudre lquation f (x) = 0

est tout fait diffrente de la question Montrer que lquation f (x) = 0 admet une solution unique .

Pour la premire question la valeur explicite de la solution, ou dessolutions, est demande. Ce nest pas le cas de la dernire question,et il ne faut donc pas chercher exprimer cette solution.

21

Introduction

Ainsi on peut prouver par des techniques danalyse que lquation

ex = x

admet une solution unique, et en donner une valeur approche, maisil ne faut surtout pas chercher en donner la valeur exacte !

6. Polynmes

6.1 DfinitionsUn polynme, ou fonction polynme, est une application P de Rdans R dfinie par :

P (x) = a0 + a1x + + anxno les ai sont des nombres rels.Le plus grand entier i tel que ai = 0 est appel le degr de P. On notei = d (P). Si tous les ai sont nuls, P est le polynme nul, on convientque son degr est .On dit que le rel a est une racine de P ssi P (a) = 0.On dit que le polynme P est factorisable (ou divisible) par le poly-nme Q ssi il existe un polynme R tel que P (x) = Q (x)R (x).

6.2 PropritsProprits algbriques Si P et Q sont des polynmes, alors P +Q et PQ sont des polynmes,et on a :

d (PQ) = d (P) + d (Q) ; d (P +Q) Max (d (P) , d (Q)) ;Les rsultats sur le degr sont valables mme si un des polynmes est nul,avec la convention + b = . La compose de deux polynmes est un polynme, et on a, avec P etQ non nuls : d (P Q) = d (P) d (Q). La drive dun polynme de degr n, n 1, est un polynme dedegr n 1.

Thorme de factorisation des polynmes

Le polynme P (x) est factorisable par x a ssi a est racine de P :P (x) = (x a)Q (x) avec Q polynme P (a) = 0

22

Techniques de base

Si P (x) = (x a)Q (x), il est vident que P (a) = 0. On admet la rci-proque (si P (a) = 0, alors P (x) est factorisable par x a).Voici quelques utilisations et consquences de ce thorme : Rsolution dquations ou dinquations de degr 3. La miseen vidence dune racine a par lnonc, ou lexistence dune racinevidente a (le plus souvent 0, 1 ou 1), permet une mise en facteur parx a, donc de faire baisser le degr .Soit P (x) = x3 + 5x2 7x + 1. Rsoudre dans R :

P (x) = 0 ; P (x) 0 P (1) = 0, donc P est factorisable par x 1, donc

P (x) = (x 1) (ax2 + bx + c) .Pour dterminer a, b, c, on peut dvelopper, puis procder par identification ; trouver les coefficients de proche en proche : a = 1, puis b = 6 enregroupant mentalement les deux termes en x2 du dveloppement. . . utiliser la mthode de Horner, voir plus loin.On trouve

P (x) = (x 1) (x2 + 6x 1) ,puis

P (x) = 0 x {1,3 +

10,3

10}

laide dun tableau de signes, on trouveP (x) 0 x

[3

10,3 +

10] [1,+[

Mthode de Horner pour calculer P (a). On considreP (x) = anxn + + a1x + a0

Le polynme Q (x) = P (x) P (a) admet a pour racine, doncanxn + . . . a1x + a0 P (a) = (x a)

(bn1xn1 + + b1x + b0

)= bn1xn + (bn2 abn1) xn1 + + (b0 ab1) x ab0Par identification, on obtient le systme dquations

bn1 = an

bn2 abn1 = an1. . .

b0 ab1 = a1ab0 = a0 P (a)

23

Introduction

qui se rsout en cascades : bn1 = an, puis bn2 = an1 + abn1,. . . ,b0 = a1 + ab1, P (a) = a0 + ab0. Disposition pratique (avec n = 3 ; lesflches indiquent une multiplication par a) :

a3 a2 a1 a0+ab2 +ab1 +ab0

b2 = a3 = b1 = b0 = P (a)

La mthode de Horner se prte particulirement bien une pro-grammation informatique et savre trs conome en temps decalcul. Les variables dentre sont (degr du polynme, de typeentier), (suite des coefficients du polynme par degrs crois-sants, de type tableau), , de type rel. La variable de sortieest , de type rel.&(

) &)7&

+,--.

/0123

,.&

7&,.

5 7&,.4&7&

57&

036-

On compte avec cette mthode n additions et n multiplications, comparer avec la programmation directe du calcul de P (a), quiconduirait 1 + 2 + + n = n(n+1)2 multiplications et n additions.

Mthode de Horner pour factoriser par x a. Dans le cas o aest une racine de P, la mthode de Horner continue de sappliquer, elleaboutit au rsultat 0, mais elle donne aussi les coefficients du polynmeQ (x) tel que P (x) = (x a)Q (x).Exemple prcdent : P (x) = x3 + 5x2 7x + 1, racine 1 :

1 5 7 1+1 +6 +(1)

1 = 6 = 1 = 0Do le rsultat P (x) = (x 1) (x2 + 6x 1). On dit que a est une racine dordre de multiplicit n du polynmeP ssi P (x) = (x a)nQ (x), avec Q (x) polynme nayant pas a pourracine.

24

Techniques de base

Une racine simple est une racine dordre de multiplicit 1, une racinedouble est une racine dordre de multiplicit 2. La somme des ordres demultiplicit des racines dun polynme de degr n est au plus gale n.Un polynme de degr n 1 admet au plus n racines. Preuve parla contrapose, savoir : si un polynme admet plus de n racines, alorsil nest pas degr n. Daprs le thorme de factorisation des polynmes,si le polynme admet les racines x1, . . . , xn+1, il est alors factorisable par(x x1) . . . (x xn+1), et par consquent il est de degr > n.

7. Manipulation des ingalits

7.1 Ingalits et oprations Somme

a b a + c b + c ; a ba b} a + a b + b

En particulier, a b et c 0 a b + c et a c b.

Gnralisation : i 1, n, ai bi n

i=1

ai n

i=1

bi

Pour majorer une somme, on majore chaque terme de la somme.

Produita bc 0

} ac bc ; a bc 0

} ac bc

0 a b0 a b

} 0 aa bb

On peut multiplier entre elles des ingalits de mme sens portantsur des nombres positifs.Ne pas oublier de renverser lingalit quand on multiplie par unnombre ngatif.Prudence si on ne connat pas le signe du nombre par lequel onmultiplie !

Oppos, inversea b a b ; 0 < a b 1

a 1

b

Les inverses des nombres positifs se rangent dans lordre inverse.

25

Introduction

Diffrence, quotient

On ne peut rien dire de gnral, et on se gardera de soustraire oudiviser membre membre des ingalits.

Pour encadrer une diffrence x y, le mieux est dencadrer y, puisx + (y) :

a x ab y b

} a x a

b y b

} a b x y a b

Pour encadrer un quotient de nombres positifs :

0 < a x a0 < b y b

}

0 < a x a

0 1b

> 0

Attention la fonction x x2: 0 a b a2 b2, mais a2 b2

a2

b2,

cest--dire seulement : a2 b2 |a| |b| Si a 0, b 0, alors a2 b2 a b (et il y a quivalence). On notera en particulier, avec b 0:

x2 b b x

b ; x2 b x

b ou x

b

noter galement, avec n entier 2 :0 x 1 0 xn x x 1

x 1 xn x x 1

Ingalits et valeur absolue

|x| = Max {x,x} (le plus grand des deux nombres x,x).

|x| ={

x si x 0x si x 0

|x| est la distance du point x au point 0 de la droite relle :0

| |

|a b| est la distance du point a au point b :

Pour tout x R : |x| 0, et |x| = 0 x = 0. Pour tout a, b dans R : |a + b| |a| + |b| (ingalit triangulaire).Gnralisation :

ni=1

ai

n

i=1

|ai|

Attention, on a seulement |a b| |a| + |b|.

27

Introduction

|A| B B A B ; |A| B A B ou A B

Ainsi, avec > 0 :

|x x0| < < x x0 < x0 < x < x0 +

28

Partie 1

Analyse

1tude de fonctions

Vocabulaire de base

Soit f une fonction numrique de la variable relle, cest--dire unefonction de R dans R.Soit D une partie non vide de R.On dit que f est dfinie sur D ssi f est une application de D dans R.Soit f une application dfinie sur D.On dit que f estpaire ssi x D, x D et f (x) = f (x) ,impaire ssi x D, x D et f (x) = f (x).Soit I un intervalle non vide inclus dans D.On dit que f est croissante, resp. dcroissante sur I ssi, pour tout a, b dans I :

a b f (a) f (b) , resp. a b f (a) f (b) strictement croissante, resp. strictement dcroissante sur I ssi,pour tout a, b dans I :

a < b f (a) < f (b) , resp. a < b f (a) > f (b) monotone sur I ssi f est croissante ou dcroissante sur I ; strictement monotone sur I ssi f est strictement croissante ou stric-tement dcroissante sur I ; majore par M , resp. minore par m sur I ssi

x I, f (x) M resp. x I, f (x) mM est alors un majorant et m est un minorant de f sur I . borne sur I ssi f est majore et minore sur I .

31

Partie 1 Analyse

Les paragraphes 1 5 concernent les fonctions de R dans R.

Le paragraphe 6 concerne les fonctions de deux variables ( fonctions de R2

dans R).

1. Recherche de limites

1.1 DfinitionsSoit I un intervalle de R, x0 I , f une fonction dfinie sur D, avecD = I ou D = I \ {x0}, et un nombre rel. On pose lim

x0f = ssi :

> 0, a > 0, x D et |x x0| < a |f (x) | < . lim

x+0f = ssi il existe x I tel que x > x0, et :

> 0, a > 0, 0 < x x0 < a |f (x) | < . lim

x0f = + ssi :A R, a > 0, x D et |x x0| < a f (x) > A

On dfinit de faon analogue la limite gauche en x0(limx0

f), la limite

en +, en , ces limites tant ventuellement +, .On a aussi les notations :

limxx0

f (x) = ; limxx+0

f (x) = ; limxx0,x>x0

f (x) = . . .

La notation f (x) xx0

savre trs pratique, mais il faut veiller ne pas

sparer les deux flches, qui nont de signification que conjointement.

1.2 Oprations sur les limitesLimites usuellesOn rappelle les limites suivantes :

Avec r > 0 : limx+ x

r= + ; limx+

1xr= 0

Avec n N, limx x

n={

+ si n est pair si n est impair

limx0 ln x = ; limx+ ln x = + ; limxe

x= 0 ; limx+e

x= +

32

Chapitre 1 tude de fonctions

Dans la suite du paragraphe, x0, , sont des nombres rels. b, b, b sont mis la place dun des symboles x0, x+0 , x

0 ,+,.

Limite dune somme, dun produit, dun quotient

Thorme. Soit f et g telles que

limbf = , lim

bg =

Alors : limb( f + g) = +

limb( fg) =

limb

(fg

)=

si de plus = 0

Si une des limites est infinie ou si = 0, on a des rsultats partiels.RS signifie quon utilise la rgle des signes, FI signale une forme ind-termine :

limb

u limb

v limb

(u + v) limb

(uv) limb

(u

v

) = 0 0 0 RS0 0 0 0 FI

= 0 RS 00 FI 0 = 0 RS RS 0 FI 0+ FI FI+ + + + FI

Limite dune fonction compose

limxb f

(x) = b ; limyb g

(y) = b limxb g f (x) = b

limx0+

e1x = + car lim

x0+1x= + et lim

y+ ey = +

limx0

e1x = 0 car lim

x01x= et lim

y ey = 0

33

Partie 1 Analyse

Passage la limite dans les ingalits

Si f g, limbf = , lim

bg = , alors

Si f g h, limbf = lim

bh = , alors lim

bg =

Si |f (x) | g (x) et limbg = 0, alors lim

bf =

Les deux premires formules restent valables si , appartiennent {,+}. En particulier :

Si f g et limbf = +, alors lim

bg = +

Si f g et limbg = , alors lim

bf =

Notons ce thorme dexistence :

Soit f une fonction croissante (resp. dcroissante) et majore par M(resp. minore par m) sur lintervalle [a, b[, avec a < b +. Alorsf admet une limite finie en b, et M (resp. m).

Ce thorme est rapprocher du thorme analogue sur les suites num-riques, voir 2.1.2. Il ne permet pas de dterminer la limite .

1.3 NgligeabilitDans la suite du chapitre, on parlera de proprits vrifies au voisinagede b, cest--dire sur un ensemble non vide du type [a, x0[

]x0, a

]si

b = x0, un intervalle (non vide) [a,+[ si b = +, ou ] ; a] sib = Dfinition. On dit que f est ngligeable devant g en b , et on notef =

b (g), ssi

limxb

f (x)g (x)

= 0

La dfinition adopte suppose que g ne sannule pas au voisinage de x0.Cela ne pose pas de difficults dans la pratique.

34

Chapitre 1 tude de fonctions

Ngligeabilits classiques. Pour a > 0 :

limx+

ln xxa

= 0(et donc ln x =

+ (xa))

limx+

ex

xa= +

(et donc xa =

+ (ex))

limx0

(xa ln x) = 0(et donc ln x =

0(

1xa

))

Mmorisez soigneusement ces limites, elles sont dusage constant.Elles nont pas tre justifies, elles font partie des connaissances debase. Au besoin, vous voquerez les ngligeabilits classiques .Vous pouvez retenir aussi, pour n N : lim

x xnex = 0.

On a aussi : limx+

(xa

ex

)= 0 . . .

1.4 quivalenceDfinition. On dit que f est quivalente g en b, et on note f

bg,

ssi

limxb

f (x)g (x)

= 1

La dfinition adopte suppose que g ne sannule pas au voisinage de x0.Cela ne pose pas de difficults dans la pratique.

quivalents classiques.

ln x 1x 1 ; ln (1 + h)

0h ; ex 1

0x

Considrer ln (1) = 1 pour montrer la premire quivalence (voirla dfinition de f (x0) 1.3.1). Poser alors x = 1 + h pour montrerla deuxime. La troisime quivalence se dmontre en considrantexp (0) =1.

Proprits u

bv u = v + b (v) u = v (1 + ) avec lim

b = 0

u1 v1u2 v2} u1u2 v1v2 ; u1u2

v1v2

35

Partie 1 Analyse

Pour tout a R tel que ua et va existent : u v ua va u v v u ; u v et v w u w

Pour tablir la premire proprit, posezuv= 1 + . Les proprits

suivantes sont des consquences directes de la dfinition.

La premire proprit permet de voir immdiatement des quiva-lents : x ln x

+ x car ln x =+ (x) ; ex x2

x+ex car x2 =

+ (ex)

Un polynme est quivalent en son terme de plus haut degr.

Les deux proprits suivantes signifient que les quivalences passent dans les produits, les quotients, les lvations la puissance. Maisattention, vous ne devez pas croire que cest le cas pour la somme,le logarithme, lexponentielle :

En 0, x2 + x3 x2 ; x2 x2 + x4 ; mais x3 x4. En 0, 1 + x2 1 + x, mais ln (1 + x2) ln (1 + x), carln(1 + x2

) x2, ln (1 + x) x, et, daprs la dernire proprit, sion avait ln

(1 + x2

) ln (1 + x), on aurait x2 x. En +, x2 + x x2, mais ex2 ex ( faire le quotient).

Utilisation

u bv

limbv =

limb u = ; u b R limb u =

Pour dterminer la limite dune fonction en un point, on peutessayer de lui trouver un quivalent plus simple, dont on cherche lalimite.

Avec f (x) = x3

ex 1 , lim0 f = lim+ f = 0.

En effetx3

ex 1 0x3

x= x2

x0 0, donc lim0 f = 0 ;

x3

ex 1 +x3

ex

x+ 0 (ngligeabilit classique), donc lim+ f = 0.

36

Chapitre 1 tude de fonctions

limx e

x ln (1 + ex) = 1 car ex ln (1 + ex) exex = 1.

On a utilis limx e

x = 0 et ln (1 + y) 0y.

Attention utiliser les quivalents bon escient :

limx0

x ln x1 + x2

= 0 car limx0 x ln x = 0 : les quivalents sont ici inutiles.

limx+

x ln x1 + x2

= 0 carx ln x1 + x2

+

x ln xx2

= ln xx

x0 0 : ne pas

chercher dquivalent ln en +. lim

x+ln (1 + x)

x= 0 : ne pas utiliser 1 + x

+ x : les quivalents ne passent pas aux logarithmes. Le mieux est dcrire :

ln (1 + x)x

=ln[x(1 + 1x

)]x

=ln x + ln

(1 + 1x

)x

=ln xx

+ln(1 + 1x

)x

ce qui permet de conclure.

u bv et lim

bv = lim

bu = , mais deux fonctions ayant mme

limite ne sont pas toujours quivalentes ! Par exemple :

limx0 2x

2 = limx0 x

2 = 0, mais 2x2 0x2.

u b

R limbu = : attention, lcriture u

b0 na aucune

signification, et est proscrire absolument ! (Idem pour u b+)

Rciproquement, limbu = R u

b .

1.5 Utilisation des dveloppements limitsDveloppements limits usuels

partir de lingalit de Taylor-Lagrange ( 3.2.5), on trouve et onretient les dveloppements limits (DL) dordre n au voisinage de0 suivants :

37

Partie 1 Analyse

est une fonction de limite nulle en 0, n N,a R.ex = 1 + x + x

2

2! + +xn

n!+ xn (x)

ln (1 + x) = x x2

2+ + (1)n+1 x

n

n+ xn (x)

(1 + x)a = 1 + ax + + a (a 1) (a n + 1)n!

xn + xn (x)

Les DL les plus frquemment utiliss sont les suivants :ex = 1 + x +

x2

2!+ x2 (x) ; ex = 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+ x3 (x)

ln (1 + x) = x x2

2+ x2 (x) ; ln (1 + x) = x x

2

2+

x3

3+ x3 (x)

noter le DL : 11x = 1 + x+ x2 + + xn + xn (x), qui se retrouve partir de lidentit gomtrique.

On peut crire, de faon quivalente, ex = 1 + x + x22 + (x2), par

exemple. Mais lcriture adopte ici semble plus maniable.

Pour la mmorisation, le troisime DL encadr est rapprocher dela formule du binme (le coefficient de xn comporte n facteurs endescendant partir de a, resp. de n, pour le numrateur, resp. lednominateur).

On obtient un DL au voisinage de x0 R en posant x = x0 + h, et auvoisinage de en posant x = 1h . Ainsi, avec x = 1 + h, on a

x ln x = (1 + h) ln (1 + h)

= (1 + h)(h h

2

2+ h2 (h)

)= h h

2

2+ h2 (h)

= x 1 + (x 1)2

2+ (x 1)2 (x 1) (DL en 1)

Et avec x = 1h:

xe1x =

1h

(1 h + h

2

2+ h2 (h)

)=

1h 1 + h

2+ h (h)

= x 1 + 12x

+1x

(1x

)( DL en +)

38

Chapitre 1 tude de fonctions

Proprits Soit le DL dordre n de f en 0 : f (x) = Pn (x) + xn (x), avec Pnpolynme de degr n. Alors, si lim

0u = 0, on a :

f (u (x)) = Pn (u (x)) + (u (x))n (x)On devrait crire (u (x)), mais cela napporte aucune information, carla seule chose que lon sait de , cest que cest une fonction de limitenulle en 0.

ln (1 x) = x x2

2 x

3

3+ x3 (x) ; ex

2= 1 +

x2

2+

x4

6+ x4 (x)

Dans le dveloppement du produit de deux DL, on ncrit pas lestermes qui sont absorbs par le terme en xn (x) dont lordre est leplus petit.

ex

1 x = ex 1

1 x =(1 +

x2

2+ x2 (x)

)(1 + x + x2 + x2 (x)

)= 1 + x + x2 + x2 (x) +

x2

2

Il est inutile dcrire les autres termes(

x3

2 ,x4

2 , . . .)qui sont tous de la

forme x2 (x) et napportent donc aucune prcision supplmentaire. Ilreste alors achever les calculs.

UtilisationOn utilise les DL dans la recherche des limites quand les quivalentssavrent inoprants.

Prouvons que lim0f =

12, avec, pour x R :

f (x) =ex 1 x

x2

Il sagit dune forme indtermine ; on ne peut utiliser lquivalentex 1

0x car a ne passe pas dans les sommes : le numrateur serait

quivalent 0 ? Mais on peut remplacer ex par son DL, lordre 2 suffit :

f (x) =1 + x + x

2

2 + x2 (x) 1 xx2

=x2

2 + x2 (x)

x2=

12+ (x)

Ce qui permet de conclure.

Voir dautres utilisations, 2.3.2 (thorme de prolongement de la dri-ve), 2.4.4 (tude des branches infinies).

39

Partie 1 Analyse

1.6 Autres techniques

Limite de f (x) = ln (ex ex)x en +. Il y a forme indtermine,on ne peut utiliser dquivalents (qui ne passent ni dans les logarithmesni dans les sommes), et un DL ne semble pas trs naturel. Lide estdutiliser x = eln x, puis les rgles de calcul pour les logarithmes :

f (x) = ln(ex ex) ln ex = ln ex ex

ex= ln

(1 e2x)

tend vers 0 quand x tend vers +. Limite de f (x) =

4 + (x + 1)2 (x + 1) en +. Lutilisation dun

DL est possible, mais la technique de la quantit conjugue est plusrapide :

f (x) =

(4 + (x + 1)2 (x + 1)

)(4 + (x + 1)2 + (x + 1)

)4 + (x + 1)2 + (x + 1)

=4 + (x + 1)2 (x + 1)24 + (x + 1)2 + (x + 1)

=4

4 + (x + 1)2 + (x + 1)

tend vers 0 quand x tend vers +. Limites en + et de f (x) = x+1

x2+1. Lutilisation des quiva-

lents est possible. On peut aussi mettre le terme dominant en facteur lintrieur du radical :

x + 1x2 + 1

=x + 1

x2(1 +

1x2

) = x + 1|x|(

1 +1x2

)

ce qui permet de conclure en remplaant |x| par x ou x, puis enutilisant les quivalents.

1.7 Branches infinies, lments graphiquesAsymptotes Si lim

x0f = ou lim

x0+f = ou lim

x0f = , la droite dquation

x = x0 est asymptote la courbe (asymptote verticale) (x0 R). Si lim f = b R, la droite dquation y = b est asymptote la courbe(asymptote horizontale). Si f (x) = ax + b + (x) et lim = 0, la droite dquation y = ax + best asymptote la courbe (oblique si a = 0).

40

Chapitre 1 tude de fonctions

tude systmatique dans le cas lim f =

Si limx

f (x)x= 0 :

Cf admet une branche parabolique de direction (Ox)

Si limx

f (x)x= :

Cf admet une branche parabolique de direction (Oy)

Si limx

f (x)x= a R :

dans le cas gnral : Cf a pour direction asymptotique la droitedquation y = ax

si limx ( f (x) ax) = b R :

Cf admet la droite dquation y = ax + b pour asymptote si lim

x ( f (x) ax) = :Cf admet une branche parabolique de direction la droite dquationy = ax

Avant de faire ltude systmatique ci-dessus, sassurer de ntre pas dansle cas f (x) = ax + b + (x) voqu plus haut. Lnonc peut demanderde dterminer a, b et par identification.On peut tre amen utiliser les DL pour ltude dune branche infinie.

Pour x = 1, f (x) = x2x1 = ax + b + cx1 = ax2+(ba)x+cb

x1 a = 1, b a = 0, c b = 0 ; donc f (x) = x + 1 + 1x1On a donc une asymptoteD dquation y = x+1, et Cf est au-dessus deD pour les points dabscisse > 1, en-dessous pour les points dabscisse< 1. Avec x = 1h , au voisinage de +:

f (x) = xe1x =

1h

(1 h + h

2

2+ h2 (h)

)=

1h 1 + h

2+ h (h)

= x 1 + 12x

+1x

(1x

).

D dquation y = x 1 est asymptote Cf .

41

Partie 1 Analyse

Au voisinage de +, Cf est au-dessus de D car 1x(1x

)est ngligeable

devant 12x , qui donne donc le signe de f (x) (x 1) pour les grandesvaleurs de x.

Autres lments graphiquesf : D R est paire ssi x D,x D et f (x) = f (x).On tudie f sur D R+. Dans un repre orthogonal (xOy), Cf estsymtrique par rapport (Oy).f : D R est impaire ssi x D,x D et f (x) = f (x).On tudie f sur D R+. Dans un repre orthogonal (xOy), Cf estsymtrique par rapport O.

Pour le trac de Cf , commencez (sil y a lieu) par placer les asymp-totes, et les points tangentes remarquables, cest--dire : points tangente horizontale, points anguleux (o les drives gauche et droite sont diffrentes), voir 1.3.2 ; points dinflexion si ceux-cisont demands, voir 1.3.3. Le point dabscisse 0 de Cf (sil existe)est souvent intressant placer.

2. Continuit

2.1 DfinitionsSoit I un intervalle de R, et soit x0 I . Soit f une fonction dfinie sur I . On dit que f est continue en x0 ssi

limx0

f = f (x0)

On dfinit de mme la continuit droite et gauche en x0.f est continue en x0 ]a ; b[ ssi f continue droite et gauche en x0. On dit que f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I .f est continue sur [a ; b] ssi f est continue sur ]a ; b[, continue droite enb et continue gauche en a. Soit f un fonction dfinie sur I \{x0}. On dit que f est prolongeablepar continuit en x0 ssi f admet une limite finie en x0.En posant f (x0) = lim

x0f , on obtient un prolongement de f I , et ce

prolongement est continu en x0.

42

Chapitre 1 tude de fonctions

2.2 Oprations sur les fonctions continues

Thorme Les fonctions polynmes, la fonction exponentielle sont continuessur R. La fonction ln est continue sur ]0 ; +[.La fonction racine carre est continue sur [0 ; +[, ainsi que lesfonctions x xr , avec r > 0. La somme, le produit, le quotient avec le dnominateur qui nesannule pas de deux fonctions continues sur I sont des fonctionscontinues sur I . Si u est continue sur I et f continue sur u (I), alors la composef u est continue sur I .

On utilise ce thorme pour montrer quune fonction est continue surun intervalle. Il stend sans difficult au cas o f est dfinie sur unerunion dintervalles (R par exemple). Mais on peut tre amen reve-nir la dfinition si la fonction f est dfinie de faon particulire en un(ou plusieurs) points, ou sil y a problme de raccordement :

Dfinition particulire en un point : soit f la fonction dfinie sur[0 ; +[ parf (x) =

x ln xx 1 si x ]0 ; 1[ ]1 ; +[ ; f (0) = 0 ; f (1) = 1

f est continue sur ]0 ; 1[ ]1 ; +[ en tant que quotient de deuxfonctions continues avec le dnominateur qui ne sannule pas.

f est continue en 0, car limx0 x ln x = 0, donc

lim0f = 0 = f (0) .

f est continue en 1, car ln x 1x 1, donc f (x)

1x

x1 1 = f(1).

Donc f est continue sur [0 ; +[. Problme de raccordement : soit f la fonction dfinie sur R par

f (x) = x (1 x) si x [0 ; 1] ; f (x) = 0 sinon. f est continue sur [0 ; 1] ( fonction polynme) et sur ] ; 0[ et

]1 ; +[ ( fonction polynme). f est continue en 0 car lim

0f = lim

0+f = 0 = f (0).

f est continue en 1 car lim1

f = lim1+

f = 0 = f (1).

Donc f est continue sur R.

43

Partie 1 Analyse

Vous utiliserez ce thorme de faon trs prcise, mais brve : Reprer si la fonction est une somme, un produit, une compo-se. . . de fonctions continues et la traiter en tant que telle. Si la fonction est un quotient, ne pas oublier de mentionner etde vrifier que le dnominateur ne sannule pas. Si la fonction est une compose f u, vrifier que u (I) est inclusdans un ensemble sur lequel f est continue.

Exemple : x x2 + 1 est continue et (strictement) positive sur R,ln est continue sur ]0 ; +[, donc la compose x ln (x2 + 1) estcontinue sur R.

Ne pas voquer vaguement somme, produit et quotient defonctions continues, ou compose de fonctions continues ( com-pose a ici un sens prcis), ou encore les fonctions usuelles , quine sont pas toutes continues partout ! Enfin, ne pas entrer trop dans les dtails, sous peine davoir unerdaction interminable o le risque derreur augmente. Lessentielest que vous ayez compris comment on fabrique une fonctioncontinue partir de fonctions continues plus simples.

2.3 Proprits des fonctions continuesThorme des valeurs intermdiaires

Limage dun intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Entre deux valeurs que prend une fonction continue sur un inter-valle, la fonction prend toutes les valeurs intermdiaires. Thormeadmis.

Corollaire : thorme de la bijection monotone

Soit f une fonction continue et strictement monotone surlintervalle I . Alors f ralise une bijection de lintervalle I surlintervalle J = f (I). De plus la bijection rciproque :

f 1 : J I ; y f 1 (y) = x tel que f (x) = yest continue, strictement monotone, de mme sens de variations quef . Dans un repre orhonorm, les courbes reprsentatives de f et f 1sont symtriques par rapport la droite dquation y = x.

44

Chapitre 1 tude de fonctions

Application 1 : existence et tude dune fonction comme rci-proque dune bijection.

Exemple de la fonction exponentielle.On vrifie les hypothses du thorme :La fonction ln est continue et strictement croissante sur lintervalle]0 ; +[.On donne les lments ncessaires pour dterminer lintervalle darri-ve :

limx0 ln x = 0, limx+ ln x = +.

On donne les conclusions, en citant le thorme utilis :Donc, daprs le thorme de la bijection monotone, La fonction ln estune bijection de ]0 ; +[ sur ] ; +[ = R.La bijection rciproque

exp : R ]0 ; +[ , y exp (y) = x tel que ln x = yest continue et strictement croissante sur R.Cln et Cexp sont symtriques par rapport D dquation y = x.

partir de ces lments, on peut donner le tableau de variations de lafonction exponentielle.

Vous pouvez procder au mme travail de dfinition et dtude dela fonction racine carre.Vous adapterez lutilisation (frquente) de ce thorme la questionpose.

Application 2 : existence de solutions une quation. Une grandevarit de situations est possible, donnons quelques exemples :

quation f (x) = k, k fix dans R. Soit f (x) = ex x. On ax 0 +

f (x) + 1 +f ralise une bijection de ] ; 0] sur [1 ; +[, donc, pour tout k dans]1 ; +[, il existe un unique uk ngatif tel que f (uk) = k. De mme ilexiste un unique vk positif tel que f (vk) = k. quation f (x) = 0. On peut utiliser, en ladaptant, la propositionsuivante :

45

Partie 1 Analyse

Proposition. Soit f une fonction continue et strictement monotonesur lintervalle [a ; b], avec f (a) f (b) < 0. Alors lquation f (x) = 0admet une unique solution dans ]a ; b[.

Exemple. En tudiant f dfinie par f (x) = x3 3x2 + 1, on obtient

x 0 2 +f (x) 1 3 +

On applique trois fois la proposition prcdente :Sur ] ; 0], f est continue et strictement croissante, f (0) > 1 etlim f = , donc lquation f (x) = 0 admet une unique solution.Rdaction analogue pour ]0 ; 2[ et ]2 ; +[.On montre ainsi que lquation f (x) = 0 admet exactement trois solu-tions a, b, c, avec a < 0 < b < 2 < c.

Mthode de dichotomie pour une valeur approche de lasolution.

On est dans les hypothses de la proposition ci-dessus. Pour fixer lesides, on suppose f strictement croissante, et donc f (a) < 0 < f (b).On omet la partie dclarative du programme, y compris la dclara-tion de la fonction :

/0123

)

&

4!

8 9 :

9 :

;-

59 &&< = ) &> & & ?>:

59= %-

&>:

036-

46

Chapitre 1 tude de fonctions

2.4 Image dun segment par une fonction continueUn segment de R est un intervalle ferm born.

Limage dun segment par une fonction continue est un segment.

Si I = [a ; b], on a donc, avec f continue sur I : f (I) = [m ; M] .m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur I .On note

m = mint[a ; b]

f (t) ; M = maxt[a ; b]

f (t)

La dtermination de f (I) se fait en utilisant le tableau de variations.

Exemple

x 2 0 3 5f (x) 5 3 8 3

En supposant f continue, limage de lintervalle [2 ; 5] est linter-valle [3 ; 8] Sans cette supposition, on pourrait affirmer seulementf ([2 ; 5]) [3 ; 8].

3. Calcul diffrentiel

3.1 Dfinitions OprationsDfinitionsSoit f une fonction dfinie sur lintervalle I , et x0 I . f est dite drivable en x0 ssi il existe un nombre rel not f (x0) telque :

limxx0

f (x) f (x0)x x0 = f

(x0)

f est dite drivable sur I ssi f est drivable en tout point de I . Lafonction

f : I R, x0 f (x0)est alors la drive de f sur I . Sous rserve dexistence, on dfinit la drive seconde de f :f =

(f ). De faon gnrale, on dfinit, sous rserve dexistence,

la drive n-me de f par :

f (0) = f ; f (n) =(f (n1)

)si n N

47

Partie 1 Analyse

Soit n N. f est de dite de classe Cn sur I , ssi f est au moins n foisdrivable sur I , la drive n-me f (n) tant continue sur I . f est dite de classe C sur I ssi f est indfiniment drivable sur I . Pour n N {}, Cn (I) dsigne lensemble des fonctions de classeCn (ou : Cn) sur I . En particulier, C0 (I) est lensemble des fonctionscontinues sur I . On dfinit aussi la drive droite en x0 :

f d (x0) = limxx+0

f (x) f (x0)x x0

sous rserve de limite finie. Dfinition analogue pour la drive gauche.Quelques proprits : f drivable en x0 ]a, b[ f drivable gauche et droite en x0, et

f d (x0) = fg (x0) .

f drivable sur [a, b] f drivable sur ]a ; b[, drivable droite en a,drivable gauche en b. f est drivable en x0 ssi

f (x0 + h) = f (x0) + f (x0) h + h (h) , avec lim0h = 0

(dveloppement limit dordre 1 de f en x0).

Si f est drivable en x0, alors f est continue en x0. Si f est C1 sur I ,alors f est drivable sur I . Les rciproques sont fausses.

C0 (I) C1 (I) C2 (I) . . . C (I).Oprations

Les fonctions polynmes, la fonction exponentielle, sont de classeC sur R. Les fonctions ln, racine carre, x xr avec r > 0, sontde classe C sur ]0 ; +[.Soit n N {}. La somme, le produit, le quotient avec le dnominateur qui nesannule pas de deux fonctions Cn sur I sont des fonctions Cn sur I . Si u est Cn sur I et f est Cn sur u (I), alors la compose f u est Cnsur I .

On montre quune fonction f est de classe Cn sur un intervalle, endisant que f est, suivant le cas, la somme, le produit. . . de fonctionsde classe Cn. Attention au cas particulier n = 1, voir 1.3.2.

48

Chapitre 1 tude de fonctions

3.2 Drive premireCalculsa) Drives des fonctions usuelles

fonction drive commentaire

x b x 0 sur Rx xn x nxn1 sur R si n N, R si n Zx xr x rxr1 sur R,R,R+suivant la valeur de r R

x ln |x| x 1x sur Rx ex x ex sur R

b) Somme, produit, quotient : soit u et v drivables sur I , a R.Alors u + v, au, uv sont drivables sur I , et

(u + v) = u + v ; (au) = au ; (uv) = uv + uv

Si de plus v ne sannule pas sur I , alors 1v etuv sont drivables sur I , et(

1v

)= v

v2;

(uv

)=

uv vuv2

.

c) Compose : soit u drivable sur I et f drivable sur u (I). Alorsla compose x f (u (x)) est drivable sur I , de drive

x u (x) f (u (x)) .d) Rciproque : si f est drivable et f ne sannule pas sur linter-valle I , alors f est une bijection dont la rciproque est drivable surlintervalle J = f (I), et on a, pour tout y J :(

f 1) (y) = 1

f (f 1 (y)

)

Exemples de mise en uvre : Utilisation de la drive de x xr :

f (x) =1x

; f (x) = 1x2

pour x = 0

f (x) =x ; f (x) =

12x

pour x > 0

49

Partie 1 Analyse

(Formules demploi trs frquent.)

f (x) =1x3= x3 ; f (x) = 3x4 = 3

x4, x = 0 ;

f (x) = xx = xx

12 = x

32 ; f (x) =

32x

12 =

32

x, x 0.

On retient les cas particuliers du c) :

(ur) = urur1 ;(

u) = u

2u

;(ln |u|) = u

u; (eu) = ueu

Utilisation de la drive de ur :f (x) =

1(1 x)2 = (1 x)

2 ;

f (x) = (1) (2) (1 x)3 = 2(1 x)3

On utilise le b) et le c) pour montrer quune fonction est drivable (etcalculer sa drive) sur un intervalle. En un point, on peut tre amen revenir la dfinition :

f (x) =ln x

x ln x si x > 0 ; f (0) = 1.Sur ]0 ; +[, f est drivable car cest le quotient de deux fonctionsdrivables avec le dnominateur qui ne sannule pas.

En 0, f (x)f (0)x0 = = 1xln x x0 0, donc f est drivable en 0, etf (0) = 0. (On pourrait aussi crire f d (0) = 0.)

Applications

Application au sens de variations dune fonctionSoit f drivable sur lintervalle I .Si f 0 (resp. f 0) sur I , alors f est croissante (resp. dcroissante)sur I .Si f > 0 (resp. f < 0) sur I sauf en un nombre fini de points, alorsf est strictement croissante (resp. strictement dcroissante) sur I.Application aux tangentes une courbeSi f est drivable en x0, alors la courbe reprsentative Cf admet unetangente au point dabscisse x0. Cette tangente a pour coefficientdirecteur f (x0) et a pour quation y f (x0) = f (x0) (x x0).

50

Chapitre 1 tude de fonctions

Ingalits des accroissements finis Soit f une fonction drivable sur [a ; b], avec a b, telle que :x [a ; b], m f (x) M . Alors :

m (b a) f (b) f (a) M (b a) Soit f une fonction drivable sur lintervalle I telle quex I, |f (x)| k. Alors, pour tout x1, x2 appartenant I :

|f (x1) f (x2)| k|x1 x2|

Dans la premire ingalit des accroissements finis, on a a < b. Dans ladeuxime ingalit, x1 et x2 sont dans un ordre quelconque. On parleaussi de formule des accroissements finis .

Exemple dapplication : montrons que pour tout n N,1

n + 1 ln (n + 1) ln (n) 1

n

On repre quelle fonction f et quelles valeurs a, b on choisit, encomparant la formule gnrale et le rsultat obtenir. Ici, on voit quelon doit prendre f (x) = ln x, a = n, b = n + 1. On encadre f sur lintervalle choisi. Ici :

f (x) =1x, donc

1n + 1

f (x) 1npour tout x [n ; n + 1] .

On applique la formule, on vrifie que a marche, puis on rdige.Exemple de rdaction : soit f (x) = ln x, x > 0. x [n ; n + 1],1

n+1 f (x) =1x

1n ,

donc, daprs la formule des accroissements finis :

1n + 1

(n + 1 n) ln (n + 1) ln (n) 1n(n + 1 n)

1n + 1

ln (n + 1) ln (n) 1n

Thorme du prolongement de la drive

Soit f continue sur [a ; b], de classe C1 sur ]a ; b] et telle que f aitune limite finie en a.Alors f est de classe C1 sur [a ; b], et f (a) = .

51

Partie 1 Analyse

Si f a une limite infinie en a, alors f nest pas drivable en a. Cf admetune (demi-) tangente verticale au point dabscisse a.

Pour tablir que f admet une limite finie en a, on pourra tre amen utiliser les dveloppements limits :

f (x) =ln (1 + x)

xsi x ]0 ; +[ ; f (0) = 1.

f est continue sur ]0 ; +[ (quotient de fonctions continues avec lednominateur qui ne sannule pas), et en 0 (f (x) est quivalent en 0 xx = 1, donc lim0

f = 1 = f (0)), donc f est continue sur [0 ; +[. f est de classe C1 sur ]0 ; +[ comme quotient de fonctions declasse C1 avec le dnominateur qui ne sannule pas. Pour x > 0, onobtient

f (x) =x (1 + x) ln (1 + x)

x2 (1 + x)

Pour passer la limite x 0, on a une forme indtermine, et onne peut pas utiliser lquivalent de ln (1 + x) dans un somme. Mais onpeut remplacer ln (1 + x) par son DL en 0 (lordre 2 suffit) :

f (x) =x (1 + x)

(x x22 + x2 (x)

)x2 ln (1 + x)

=x

(x x22 + x2 (x) + x2

)x2 (1 + x)

= x22 + x2 (x)x2 (1 + x)

= 12 + (x)

1 + x

La limite en 0 est gale 0, on obtient donc : f (x) tend vers 12quand x tend vers 0.

f est donc de classe C1 sur [0 ; +[, et f (0) = 12 .

3.3 Drive secondeDfinitionsSoit f une fonction drivable sur lintervalle I , x0 I .On dit que f est convexe sur I ssi la courbe Cf est au-dessus de sestangentes en tout point de I .On dit que f est concave ssi la courbe Cf est en-dessous de ses tangentesen tout point de I .

52

Chapitre 1 tude de fonctions

Le point M0 (x0, f (x0)) est un point dinflexion de la courbe Cf ssi latangente Cf au point dabscisse x0 traverse Cf .La tangente Cf au point dabscisse x ayant pour quation

y = f (x) + f (x) (t x) ,f est convexe sur I ssi, quels que soient x, t dans I :

f (t) f (x) + f (x) (t x) .Proposition

Pour f de classe C2 sur lintervalle I :

f convexe f > 0.f concave f < 0.

Si f sannule en changeant de signe en x0, alors le pointM0 (x0, f (x0)) est un point dinflexion pour Cf .

Exemples dapplications : La fonction exponentielle est convexe sur R. Lquation de la tan-gente Cexp au point dabscisse 0 est y = x + 1, on a donc :

x R, ex x + 1 La fonction ln est concave sur ]0 ; +[. Lquation de la tangente Cln au point dabscisse 1 est y = x 1, on a donc

x > 0, ln x x 1

4. Fonctions usuelles

4.1 Fonctions exponentielle et logarithme nprien

Dfinitions. ln est la primitive de la fonction x 1x sur ]0 ; +[ quisannule en 1:

x > 0, ln (x) = 1x, et ln 1 = 0 ; ou bien x > 0, ln x =

x1

1tdt

exp est la bijection rciproque de la fonction ln :

exp : R R+, y exp (y) = x tel que ln x = yOn note exp (y) = ey ; e 2, 718.

53

Partie 1 Analyse

PropritsVisibles sur le graphique (fig. 1) : ln est une bijection continue strictement croissante de R+ sur R.

ln 1 = 0 ; ln x < 0 0 < x < 1 ; ln x > 0 x > 1.limx0 ln x = ; limx+ ln x = + ; limx+

ln xx= 0.

exp est une bijection continue strictement croissante de R sur R+.e0 = 1 ; ex < 1 x < 0 ; ex > 1 x > 0.

limx e

x = 0 ; limx+ e

x = + ; limx+

ex

x= +.

Autres proprits analytiques :

a > 0, limx0 x

a ln x = 0 ; limx+

ln xxa

= 0

ln est C sur R+ ; x > 0, ln (x) = 1x

; ln x 1x 1.

a > 0, limx+

ex

xa= +.

exp est C sur R. x R, exp (x) = exp (x) ; ex 1 0x.

x R, ln (ex) = x ; x > 0, eln x = x.Proprits algbriques : (a, b > 0 ; x, y R)

ln 1 = 0 ; ln e = 1 e0 = 1 ; e1 = eln (ab) = ln a + ln b ex+y = exey

ln(1a

)= ln a ex = 1

ex

ln(ab

)= ln a ln b exy = e

x

ey

ln (ax) = x ln a (ex)y = exy

4.2 Fonctions puissancesDfinitions x R, n N : xn = x x (n facteurs) x R, n Z : xn = 1xn si n < 0 ; x0 = 1

54

Chapitre 1 tude de fonctions

x R+, p Z, q N : x pq = qxp = ( qx)pavec q

y dfini, pour y 0, par qy 0 et ( qy)q = y

En particulier, x12 =

x ; x

13 = 3

x ; x

12 = 1x

x R+, r R : xr = er ln x

Rgles de calcul

chaque fois que toutes les critures sont bien dfinies :

xr+r= xrxr

; xr =

1xr

; xrr=

xr

xr; (xr)r

= xrr

(xx)r = xrxr ; (1

x

)r=

1xr

;( xx)r=

xr

xr

tude

Avec n N : x xn est C sur R, de drive x nxn1, paire sin est pair, impaire si n est impair. Avec p N :

x 0 +x2p + 0 +

x 0 +x2p1 0 +

Avec r R \ Z, x xr est dfinie sur R+, prolongeable par conti-nuit en 0 si r 0. Ce prolongement est de classe C1 si r 1.Dans le cas gnral (r R), les proprits de croissance et de limite de lafonction R+ R+, x xr se voient sur le graphique (fig. 2).

y

y = exp (x) y = x

y = ln(x)1

x10

Fig. 1.1 Fonctions exponentielle et logarithme nprien

55

Partie 1 Analyse

yr > 1 r = 1

r < 0

0 < r < 1

x1

1

0

Fig. 1.2 Fonctions puissances x xr , x > 0

4.3 Fonction partie entireLa partie entire du rel x, note Ent (x), ou x, est dfinie par :

Ent (x) = k k Z et k x < k + 1Ainsi, Ent (3, 5) = 3, Ent (4, 8) = 5, Ent (7) = 7.La fonction partie entire est continue droite en tout point de R ; maiselle nest pas continue gauche en k Z :

limxk

Ent (x) = k 1 = k = Ent (k)La fonction Ent est donc continue sur R \ Z ; lensemble de ses pointsde discontinuit est Z.La fonction mantisse, m (x) = x Ent (x), donne un exemple de fonc-tion priodique de priode 1 : x R, m (x + 1) = m (x).

5. Fonctions de deux variables

5.1 Gnralits

lments de topologie de R2. Soit M0 = (x0, y0) et M = (x, y) deuxpoints de R2. La distance euclidienne d (M0,M) est dfinie par

d (M0,M) =(x x0)2 + (y y0)2

Un ouvert de R2 est une partie U de R2 telle que :M0 U , a > 0 , d (M0,M) < a M U

56

Chapitre 1 tude de fonctions

Un ferm de R2 est une partie F de R2 telle que :(n N, (xn, yn) F ; lim

n+ xn = x ; limn+ yn = y) (x, y)F

Un ensemble born de R2 est une partie B de R2 telle que :

M 0, (x, y) B, d ((0, 0) , (x, y)) M

Ces dfinitions nont pas tre mmorises. Le fait que tel ensemblesoit ouvert, ferm ou born devrait vous tre prcis.

Problme de loptimisation. Soit D une partie de R2, et soit f unefonction de D dans R. On cherche dterminer les extrema locaux,ou relatifs, de f sur D, cest--dire les valeurs f (M0) de f telles que :

a > 0, [M D et d (M0,M) a f (M0) f (M)](maximum local), ou

a > 0, [M D et d (M0,M) a f (M0) f (M)](minimum local).Si lingalit a lieu pour tout (x, y) D, on parle dextremum, de maxi-mum, de minimum global, ou absolu.Pour laide la mmorisation, les rsultats pour les fonctions dunevariable sont : Si f est continue sur lintervalle ferm born [a ; b], alors f admet unminimum et un maximum (globaux).

Si f est de classe C1 sur lintervalle ouvert I , et si f (x0) est un extremumlocal, alors f (x0) = 0. Si f est de classe C2 sur lintervalle ouvert I , si f (x0) = 0 et sif (x0) > 0 (resp. f (x0) < 0), alors f (x0) est un minimum local (resp.un maximum local). (Attention au sens des ingalits.)

Drives partiellesDrives partielles dordre 1. Par dfinition, sous rserve de limitefinie :

fx

(x0, y0) = limxx0

f (x, y0) f (x0, y0)x x0

fy

(x0, y0) = limyy0

f (x0, y) f (x0, y0)y y0

On note aussi, respectivement : f x (x0, y0) , f y (x0, y0).

57

Partie 1 Analyse

Pratiquement, pour calculer f x (x, y), on calcule la drive de f consid-re comme une fonction de x, la variable y tant considre comme uneconstante, et de mme pour f y (x, y) :

f (x, y) = xy2 +xy+ x3ey + y pour (x, y) RR

f x (x, y) = y2 +

1y+ 3x2ey ; f y (x, y) = 2xy

xy2 x3ey + 1

Drives partielles dordre 2. On ritre le processus, ce qui conduit 4 drives partielles dordre 2. En procdant mthodiquement :

2fx2

(x, y) =

x

(fx

(x, y))

;2fyx

(x, y) =

y

(fx

(x, y))

2fxy

(x, y) =

x

(fy

(x, y))

;2fy2

(x, y) =

y

(fy

(x, y))

On note aussi, respectivement, f x2 (x, y) , fyx (x, y) , f

xy (x, y) , f

y2 (x, y).

Ainsi, pour lexemple ci-dessus, on a :

f x2 (x, y) = 6xey ; f yx (x, y) = 2y

1y2 3x2ey

f xy (x, y) = 2y1y2 3x2ey ; f y2 (x, y) = 2x +

2xy3

+ x3ey

5.2 Proprits

Dfinitions. Soit D une partie non vide, ouverte ou ferme, de R2, etf : D R.On dit que : f est continue en M0 D ssi > 0, a > 0,M D et d (M0,M) < a d ( f (M0) , f (M)) <

f est continue sur D ssi f est continue en tout point de D. f est de classe C1 surD ssi les drives partielles dordre 1 de f existentet sont continues sur D. f est de classe C2 surD ssi les drives partielles dordre 2 de f existentet sont continues sur D.Lensemble des fonctions continues (resp. de classe C1, de classe C2), surD est not C0 (D) (resp. C1 (D) ,C2 (D)).

58

Chapitre 1 tude de fonctions

Oprations. Soit D une partie non vide, ouverte ou ferme, de R2,et i {0, 1, 2}.a) Les fonctions (x, y) x et (x, y) y sont de classe Ci sur R2.b) Soit u, v appartenant Ci (D), a R. Alors u + v, au et uv appar-tiennent Ci (D). uv appartient C

i (D) si de plus v ne sannule passur D.c) Soit u de classe Ci et f de classe Ci sur u (D). Alors la composew u est de classe Ci sur D.

Thorme de Schwarz.

Si f C2 (D) , alors 2f

yx(x, y) =

2fxy

(x, y)

Notations de Monge. Pour f C2 (D), on note, de faon abrge :p = f x ; q = f

y ; r = f

x2 ; s = f

yx = f

xy ; t = f

y2

5.3 Rsultats doptimisation

Une condition suffisante dextremum global :Soit f une fonction continue sur une partie ferme borne de R2.Alors f admet un minimum et un maximum globaux sur D. Une condition ncessaire dextremum :Soit f de classe C1 sur louvert U de R2, et M0 = (x0, y0) U .Si f prsente un extremum en M0, alors

fx

(x0, y0) =fy

(x0, y0) = 0

On dit que (x0, y0) est un point critique de f . Une condition suffisante dextremum :Soit f de classe C2 sur louvert U de R2, et M0 = (x0, y0) U .Si, au point M0, on a

p = q = 0 ; rt s2 > 0 ; r < 0 (ou t < 0),alors f (M0) est maximum local de f .

p = q = 0 ; rt s2 > 0 ; r > 0 (ou t > 0),alors f (M0) est minimum local de f .

59

Partie 1 Analyse

Si p = q = 0 ; rt s2 < 0, alors f (M0) nest pas un extremum localde f .

Dans le cas o p = q = 0 ; rt s2 = 0, on ne peut rien conclure.Ces rsultats stablissent partir du dveloppement limit dordre 1 def en (x0, y0), valable pour f C1 (U), (x0, y0) U :

f (x0 + h, y0 + k) = f (x0, y0) + ph + qk +h2 + k2 (h, k) ,

et partir du dveloppement limit dordre 2 de f en (x0, y0), valablepour C2 (U), (x0, y0) U :

f (x0 + h, y0 + k) = f (x0, y0) + ph + qk +12

(rh2 + 2shk + tk2

)+(h2 + k2

) (h, k) ,

avec p, q, r, s, t pris au point (x0, y0), et avec continue et nulle au point(0, 0).

60

2Suites et sriesnumriques

1. Gnralits

1.1 DfinitionsUne suite numrique est une application de N, ou dune partie de N,dans R.Si u est une suite numrique, au lieu de u (n), on prfre crire un (lire u indice n ). un est appel le terme de rang n de la suite u.La suite u elle-mme est note (un)nN (si elle est dfinie sur N), ousimplement (un) si il ny a pas dambigut sur lensemble de dpart.Une suite est un cas particulier de fonction numrique ; on retrouve lemme vocabulaire, et en adaptant les dfinitions on a :La suite u = (un)nN est dite croissante, resp. dcroissante ssi

n N, un un+1, resp. n N, un un+1 ; monotone ssi u est croissante ou dcroissante ; majore par M , resp. minore par m ssi

n N, un M, resp. n N, un m ;M est alors un majorant, resp. m est un minorant de u ; borne ssi u est majore et minore.Pour les suites, le seul problme de limite qui se pose est la limite de unquand n tend vers + :La suite (un) est dite convergente ssi il existe R tel que

> 0, n0 N, n n0 |un | Le nombre rel est alors appel la limite de la suite (un), et on dit que lasuite (un) converge vers . On dira souvent : (un) tend vers .

61

Partie 1 Analyse

(un) converge vers ssi, pour tout > 0, il ny a quun nombre finide termes de la suite en dehors de lintervalle ] , + [.Si (un) converge vers et si a < < b, alors, pour tous les termes dela suite partir dun certain rang : a < un < b.

1.2 Thormes de convergenceSuites monotones

Thorme 1Une suite croissante et majore est convergente.Une suite dcroissante et minore est convergente.

Thorme admis.

En utilisant le passage la limite dans les ingalits (voir 1.1.2 ou ci-dessous, 2.1.3), on peut prciser :Si une suite est croissante et majore parM , alors elle est convergente, etsa limite vrifie M . Si une suite croissante nest pas convergente,alors lim

n+un = +.Si une suite est dcroissante et minore par m, alors elle est convergente,et sa limite vrifie m. Si une suite dcroissante nest pas conver-gente, alors lim

n+un = .Soit x un nombre rel fix dans ]0, 1[, et soit (un) la suite dfinie par

n N, un =n

k=0

(1 + xk

)

La suite (un) est croissante car, pour tout n N, un 0 et 1+xn+1 1,donc un+1 = un

(1 + xn+1

) un

La suite (un) est majore. Pour tout n N, un