Mathématiques SN MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Réalisé par : Sébastien Lachance En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau

Mathématiques Mathématiques SNSN

MODULE 8MODULE 8Les fonctionsLes fonctions

SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

En collaboration avec :En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau Jean-Pierre Rousseau

Équations et graphiquesÉquations et graphiques

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -

f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa sinsin [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 sinsin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 [ 3 ( x – 1 ) ] + 4

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2

b b == 3 3

h h == 1 1

k k == 4 4

f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa coscos [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Fonction Fonction SINUSSINUS

Fonction Fonction COSINUSCOSINUS

- 1- 1

11


xx f(x)f(x)

00 00

00

11

00

-1-1

22

3322

22

22

- 2- 211

-1-1

00

5522

33

7722

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »



xx f(x)f(x)

00

-1-1

00

- -

11

- - 22

- 3- 322

- 2- 2

-1-1

11

00

- 5- 522

- 3- 3

- 7- 722

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »


- 1- 1

11

f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00 11

-1-1

00

11

00

22

3322

22

22

- 2- 200

00

-1-1

--22

--

-3-322

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

Fonction Fonction COSINUSCOSINUS

f(x) = f(x) = sinsin x x

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

f(x) = f(x) = coscos x x



- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22


– – / 2/ 2– – / 2/ 2

coscos x = x = sinsin ( x + ( x + / 2 / 2 )

La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est une fonction est une fonction SINUSSINUS qui a subie une translation qui a subie une translation horizontale de horizontale de / 2/ 2 vers la gauche. vers la gauche.

Cette translation est appelée Cette translation est appelée DÉPHASAGEDÉPHASAGE..

Comme c’est le paramètre « Comme c’est le paramètre « hh » qui représente la translation horizontale de » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que :la courbe, on peut donc écrire que :

(car h = - (car h = - / 2/ 2))

OUOUsinsin x = x = coscos ( x – ( x – / 2 / 2 ) (car h = (car h = / 2/ 2))

La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est donc une fonction est donc une fonction SINUSOÏDALESINUSOÏDALE..


Les fonctions Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. sont des fonctions CYCLIQUES.

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.

22

PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.

AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.

CycleCycle

PériodePériode

P = P = 22

| | bb | |

A = A = Max – MinMax – Min

22

AA

A = | A = | aa | |

f(x) = 2 f(x) = 2 sinsin ( x ) ( x )

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

PÉRIODE = PÉRIODE = 33

AMPLITUDE = AMPLITUDE = 22

CycleCycle

PériodePériode

P = P = 22

| | bb | |

A = A = Max – MinMax – Min

22

AA

Exemple :Exemple : 22

33

33

P = P = 2222

33

= = 22 x x 33

22

= 3= 3

A = A = 2 – -22 – -2

22= = 22 A = | A = | aa | | A = | 2 |A = | 2 |

A = 2A = 2

Représentation graphiqueReprésentation graphique

Méthode du Méthode du RECTANGLERECTANGLE : :

On forme un rectangle qui contient On forme un rectangle qui contient unun cyclecycle de la fonction. de la fonction.

SINUSSINUS COSINUSCOSINUS

PériodePériode PériodePériode

AA AA

AA AA

((hh, , kk)) ((hh, , kk))

((hh, , k k ++ a a))

ATTENTION ! Le signe des paramètres ATTENTION ! Le signe des paramètres aa et et bb influencent l’orientation du graphique ! influencent l’orientation du graphique ! Donc si Donc si aa est est négatifnégatif ou ou bb est est négatifnégatif, on obtient :, on obtient :

SINUSSINUS COSINUSCOSINUS

PériodePériode PériodePériode

AA AA

AA AA

((hh, , kk)) ((hh, , kk))

((hh, , k k –– a a))

Tracer f(x) = 2 Tracer f(x) = 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) + 2 ) + 2

11

22

44

33

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

PP

AA

Exemple #1 :Exemple #1 :

33

P = P = 22

| | bb | |= = 22

| 2 || 2 |= =

((hh, , kk) =) = (- (- , 2), 2)

A = | A = | aa | | = | 2 | = 2= | 2 | = 2

Tracer f(x) = - 2 Tracer f(x) = - 2 sinsin ( x – ( x – /2 ) + 1/2 ) + 1

11

22

44

33

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

AA


33

P = P = 22

| | bb | |= = 22

| 1 || 1 |= 2= 2

((hh, , kk) =) = ((/2 , 1)/2 , 1)

A = | A = | aa | | = | - 2 | = 2= | - 2 | = 2

PP

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :

22

44

88

66

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

AA


33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

PP

A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k

22

33| | bb | = | = ==

22

33

f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22

33

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :

22

44

88

66

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22


33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k

22

33| | bb | = | = ==

22

33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- /4 , 3)/4 , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

22

33| | bb | = | = ==

22

33

f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22

33

AA

PP

f(x) = 5 f(x) = 5 coscos ( x + ) + ( x + ) + 33

Réponse :Réponse : 22

33

44


Cercle trigonométriqueCercle trigonométrique

DÉFINITION :DÉFINITION :

Le cercle trigonométrique est Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.rayon égal à 1.

11 22 33-1-1-2-2-3-3

11

22

33

-1-1

-2-2

-3-3

yy

xx

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables

côté adjacentcôté adjacent

hypoténusehypoténuse

cos cos = =

xx

11

cos cos ==

cos cos = = xx

11

P(P() = ( , )) = ( , )xx yy

xx

yy

côté opposécôté opposé

hypoténusehypoténuse

sin sin = =

yy

11

sin sin ==

sin sin = = yy

cos cos sin sin

On sait que :On sait que :

11-1-1

11

-1-1

yy

xx


P(50P(50oo) = ( , )) = ( , )cos 50cos 50oo sin 50sin 50oo

Exemple :Exemple :

A)A) Angle de 50 Angle de 50oo

xx

yy

11

505000

x x = cos = cos x x = cos 50 = cos 50oo

x x ≈ 0,64 ≈ 0,64

yy = sin = sin yy = sin 50 = sin 50oo

yy ≈ 0,77 ≈ 0,77

P(50P(50oo) = ( , )) = ( , )0,640,64 0,770,77

11-1-1

11

-1-1

yy

xx


P(73P(73oo) = ( , )) = ( , )cos 73cos 73oo sin 73sin 73oo

Exemple :Exemple :

B)B) Angle de 73 Angle de 73oo

x x = cos = cos x x = cos 73 = cos 73oo

x x ≈ 0,29 ≈ 0,29

yy = sin = sin yy = sin 73 = sin 73oo

yy ≈ 0,96 ≈ 0,96

P(73P(73oo) = ( , )) = ( , )0,290,29 0,960,96

11

xx

yy

737300

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

303000

11


Angle de Angle de 3030oo

Dans un triangle rectangle, la

mesure du côté opposé à l’angle

de 30o est la moitié de celle de

l’hypoténuse !




l’hypoténuse !

Par Pythagore :Par Pythagore :

xx

11

22

xx22 + = 1 + = 12222

11

44

xx22 + = 1 + = 1

11

44

xx22 = 1 – = 1 –

33

44

xx22 = =

33

44

x =x =

33

22

x =x =

33

22

11

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx






l’hypoténuse !




l’hypoténuse !


11

22

xx22 + = 1 + = 12222

11

44

xx22 + = 1 + = 1

11

44

xx22 = 1 – = 1 –

33

44

xx22 = =

33

44

x =x =

33

22

x =x =

P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )11

22

33

22

303000

11

33

22

11

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx




xx22 + x + x22 = 1 = 122

11

22

xx22 = =

11

22

22

22

x =x =

454500

11

xx

xx

2x2x22 = 1 = 1

x = x =

11

22

x = x = Il faut rationnaliser !

Il faut rationnaliser !

22

22

22

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx




xx22 + x + x22 = 1 = 122

11

22

xx22 = =

11

22

22

22

x =x =

2x2x22 = 1 = 1

x = x =

11

22

x = x = Il faut rationnaliser !

Il faut rationnaliser !

454500

11

22

22

22

22

P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )22

22

22

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx



606000

11 303000




l’hypoténuse !




l’hypoténuse !

11

22

xx


11

22

xx22 + = 1 + = 12222

11

44

xx22 + = 1 + = 1

11

44

xx22 = 1 – = 1 –

33

44

xx22 = =

33

44

x =x = 33

22

x =x =

33

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx



303000




l’hypoténuse !




l’hypoténuse !Par Pythagore :Par Pythagore :

11

22

xx22 + = 1 + = 12222

11

44

xx22 + = 1 + = 1

11

44

xx22 = 1 – = 1 –

33

44

xx22 = =

33

44

x =x = 33

22

x =x =

606000

11

11

22

33

2233

22

11

22

P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )

11-1-1

11

-1-1

yy

xx


P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )

22

33

2211

P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )

22

33

22

11

P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222P(135P(135oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222--

P(150P(150oo) = ( , )) = ( , )

2233

2211--

P(120P(120oo) = ( , )) = ( , )

22

33

22

11--

--P(240P(240oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11 --

P(225P(225oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222-- --

P(210P(210oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11-- --

P(300P(300oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11 --

P(315P(315oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222--

P(330P(330oo) = ( , )) = ( , )

2233

2211--

P(0P(0oo) = ( 1 , 0 )) = ( 1 , 0 )

P(90P(90oo) = ( 0 , 1 )) = ( 0 , 1 )

P(180P(180oo) = ( - 1 , 0 )) = ( - 1 , 0 )

P(270P(270oo) = ( 0 , - 1 )) = ( 0 , - 1 )

P( 360P( 360oo ) = ( 1 , 0 ) ) = ( 1 , 0 )


RadiansRadians

DÉFINITION :DÉFINITION :

Il correspond à la mesure de Il correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés l’angle au centre dont les côtés interceptent interceptent un arcun arc dont la dont la longueur est longueur est égale au rayonégale au rayon..

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

11 11

Le radian est une autre façon de Le radian est une autre façon de mesurer un angle.mesurer un angle. 1 radian1 radian

yy

xx

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

≈ ≈ 0,2832 radian0,2832 radian

Le cercle trigonométrique ayant un Le cercle trigonométrique ayant un rayonrayon égal à égal à 11, calculons sa , calculons sa circonférence.circonférence.

C = 2C = 2 r r

C = 2C = 2 x 1 x 1

C = 2C = 2

On retrouve donc On retrouve donc 22 radians radians dans un cercle trigonométrique.dans un cercle trigonométrique.

Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians6,2832 radians..

(1 radian ≈ 57,3(1 radian ≈ 57,300))

11

11

11

11

11

11

yy

xx

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

1 radian1 radian

≈ ≈ 0,2832 radian0,2832 radian

11

11

11

11

11

11

Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD

OU OU

On peut donc effectuer la proportion On peut donc effectuer la proportion suivante :suivante :

360360oo = 2 = 2 rad rad

180180oo = = rad rad

DegrésDegrés

360360oo

RadiansRadians

22==

OUOU

DegrésDegrés

180180oo

RadiansRadians

==


Exemples : Exemples :

909000

36036000

xx

22 == 22 x x 909000

36036000

= x= x x = x = 22

A)A) Angle de Angle de 9090oo

303000

36036000

xx

22 ==

22 x x 303000

36036000

= x= x x = x = 66

B)B) Angle de Angle de 3030oo

rad rad

rad rad

454500

36036000

xx

22 ==

22 x x 454500

36036000

= x= x x = x = 44

C)C) Angle de Angle de 4545oo

rad rad

606000

36036000

xx

22 ==

22 x x 606000

36036000

= x= x x = x = 33

D)D) Angle de Angle de 6060oo

rad rad


0000oo

DEGRÉSDEGRÉS RADIANSRADIANS

Angles IMPORTANTS :Angles IMPORTANTS :

66

3030oo

44

4545oo

33

6060oo

9090oo

22

180180oo

2233270270oo

360360oo 22


11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )

22

33

2211

P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )

22

33

22

11

P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222P(135P(135oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222--

P(150P(150oo) = ( , )) = ( , )

2233

2211--

P(120P(120oo) = ( , )) = ( , )

22

33

22

11--

--P(240P(240oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11 --

P(225P(225oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222-- --

P(210P(210oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11-- --

P(300P(300oo) = ( , )) = ( , )

2233

22

11 --

P(315P(315oo) = ( , )) = ( , )

2222

2222--

P(330P(330oo) = ( , )) = ( , )

2233

2211--

P(0P(0oo) = ( 1 , 0 )) = ( 1 , 0 )

P(90P(90oo) = ( 0 , 1 )) = ( 0 , 1 )

P(180P(180oo) = ( - 1 , 0 )) = ( - 1 , 0 )

P(270P(270oo) = ( 0 , - 1 )) = ( 0 , - 1 )


P( 360P( 360oo ) = ( 1 , 0 ) ) = ( 1 , 0 )


11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

2211--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

2211--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )


66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00


Résolutions d’équationsRésolutions d’équations

Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3

0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3

3 = 2 3 = 2 sinsin x x

33

22

= = sinsin x x

33

22

sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3

0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3

3 = 2 3 = 2 sinsin x x

33

22

= = sinsin x x

33

22

sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x


Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33

22

33

xx11 = = 2233

xx22 = = etet

Comme Comme xx11 et et xx22 sont les zéros à l’intérieur de sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle 1 cycle seulement, il faut seulement, il faut

aussi nommer tous les autres ! aussi nommer tous les autres !

33

22

33

+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P

P = P = 22| | bb | |

22| 1 || 1 |

P =P =

PériodePériode

= 2= 2

Réponse :Réponse :

x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n 33

2233

+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P

sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x

Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5

0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5

= - = - sinsin 3x 3x

11

22

= = sinsin 3x 3x

11

22


Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11

22

-1-1

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

66

3x = 3x = 5566

3x = 3x = etet

P = P = 22| | bb | |

22| 3 || 3 |

P =P =

PériodePériode


x x + n , + n + n , + n où n où n 1818

551818

sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x

Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5

0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5

= - = - sinsin 3x 3x

11

22

= = sinsin 3x 3x

11

22



22

-1-1

22

1818

xx11 = = 551818

xx22 = = 2233

==

2233

2233

coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )

Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1

0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1

= = cos cos (x + (x + ) )

11

22

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11

22

11

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )

Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1

0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1

= = cos cos (x + (x + ) – 1 ) – 1

11

22

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11

22

11

22

33

x + x + = = 5533

x + x + = = etet

-2-233

xx11 = = 2233

xx22 = =

P = P = 22| | bb | |

22| 1 || 1 |

P =P =

PériodePériode

= 2= 2


x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n -2-233

2233

sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)

Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5

0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5

= = sinsin (x + 1) (x + 1)

-1-1

22


Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1

22

-1-1

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)

Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5

0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5

= = sinsin (x + 1) (x + 1)

-1-1

22


Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1

22

-1-1

22

7766

(x + 1) = (x + 1) = 111166

(x + 1) = (x + 1) = etet

P = P = 22| | bb | |

22

| | | |P =P =

PériodePériode


x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 11

66

55

66

11

66

xx11 = = 55

66

xx22 = =

= 2= 2

77

66

x + 1 = x + 1 = 1111

66

x + 1 = x + 1 =

77

66

x + 1 = x + 1 = 1111

66

x + 1 = x + 1 =

coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x

Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2

0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2

= = cos cos x x

- 2- 2

22

Quel est l’angle dont la valeur en

« x » est ?


« x » est ?- 2- 2

22

- 2- 2

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x

Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2

0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2

= = cos cos x x

- 2- 2

22


« x » est ?


« x » est ?- 2- 2

22

- 2- 2

22

3344

x = x = 5544

x = x = etet

33

44x = x =

33

44xx11 = =

55

44x = x =

55

44xx22 = = P = P = 22

| | bb | |

22

| | | |P =P =

PériodePériode


x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 33

44

55

44

= 2= 2

sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)

Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15

0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15

= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)

11

33



33

11

33Il ne fait pas partie des

16 coordonnées remarquables !

Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )

11

11

3311

33

P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11

3322

22 ==

–– 11

11

sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)


0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15

= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)

11

33



33

11




0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )

11

11

3311

33

P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11

3322

22 ==

–– 0,34 0,34

0,340,34- 0,34- 0,34

22 ==

2,82,8

sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)


0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15

= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)

11

33



33

11




0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)

0,35820,3582 = x= x11 2,82,8 = = (x – 0,25)(x – 0,25)

1,14131,1413 = x = x22

P = P = 22| | bb | |

22

| | | |P =P =

PériodePériode


x x 0,35820,3582 + 2n , + 2n , 1,14131,1413 + 2n + 2n où n où n

= 2= 2

coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2

Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5

7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5

2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?




0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )

11

P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )

22

22 ==

22

–– 11

11

0,40,4

coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2


7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5

2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)





0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)

1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )

11

P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )

22

1,161,16

0,40,4

- 1,16- 1,16

22

22 ==

22 –– 1,16

1,16

22 ==

5,123

5,123

coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2


7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5

2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)





0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)

1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2

6,32 6,32 = x= x115,1235,123 = 0,5x – 2 = 0,5x – 2

14,2514,25 = x = x22

P = P = 22| | bb | |

22| 0,5 || 0,5 |

P =P =

PériodePériode


x x 6,32 6,32 + 4+ 4n , n , 14,25 14,25 + 4+ 4n n où n où n

= 4= 4


Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations

Exemple : Exemple : Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ) ≥ 0≥ 0

11

22

44

33

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22 33

+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P

Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :

2 (x + 2 (x + ) ≥ ) ≥ sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )

2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0

sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0 Quel est l’angle dont la valeur en

« y » est 0 ?


« y » est 0 ?

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :

2 (x + 2 (x + ) = ) = sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )

2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0

sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0 Quel est l’angle dont la valeur en

« y » est 0 ?


« y » est 0 ?

2 (x + 2 (x + ) = ) = 00 2 (x + 2 (x + ) = ) = etet

P = P = 22| | bb | |

22| 2 || 2 |

P =P =

PériodePériode


x x [ [ - - + + n , + n , + n ] où n n ] où n - - 22

- - 22

==

xx11 = = - - xx22 ==

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Mathématiques SN MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Réalisé par : Sébastien Lachance En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau