Mathématiques SN Les VECTEURS Réalisé par : Sébastien Lachance

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Les Les VECTEURSVECTEURS

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

Vecteur Vecteur ABAB

Notions de vecteurNotions de vecteur

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --

A) A) DéfinitionsDéfinitions

C’est une quantité (ou scalaire) ayant :C’est une quantité (ou scalaire) ayant : une une grandeurgrandeur (ex.: 4 cm)(ex.: 4 cm)

une une directiondirection (ex.: 32(ex.: 32oo))

un un senssens (flèche A vers B)(flèche A vers B)

AA

BB

4 cm4 cm

3232oo

ScalaireScalaire = nombre = nombre

OrientationOrientation = Direction + Sens = Direction + Sens

AA

BB

330330oo

Vecteurs…Vecteurs…

ÉgauxÉgaux (ou équipollents) : (ou équipollents) : Même grandeur, direction et sens.Même grandeur, direction et sens.

Nul Nul :: Grandeur 0. Noté Grandeur 0. Noté O O ..

Opposés Opposés à à ABAB est est BABA (ou (ou – AB – AB ))

B) B) Dans le plan cartésienDans le plan cartésien

(x(x11, y, y11))

(x(x22, y, y22))

vv

Composante horizontaleComposante horizontale

ComposanteComposante

verticaleverticale

xx22 – x – x11 = = x x

yy22

– y

– y

11 =

=

y y

vv = (= ( xx ,, yy ))

(2, 1)(2, 1)

(8, 6)(8, 6)

vv

+ 6+ 6

+ 5+ 5

vv = (= ( 66 ,, 55 ))

Exemple #1 :Exemple #1 :

(2, 8)(2, 8)

(6, 3)(6, 3)

ww

+ 4+ 4

- 5- 5

ww = (= ( 44 ,, - 5 - 5 ))


Norme Norme = Grandeur du vecteur = Grandeur du vecteur (toujours positif)(toujours positif)

(x(x11, y, y11))

(x(x22, y, y22))

vv

x x

y y

|||| v v ||||22 = (= (xx))22 ++ ((yy))22

Par Pythagore :Par Pythagore :

|||| v v |||| = (= (xx))22 ++ ((yy))22

VecteurVecteur unitaire unitaire :: |||| v v |||| = 1= 1

VecteurVecteur nul nul :: |||| v v |||| = 0= 0 ( ( O O ))

(1, 3)(1, 3)

(11, 6)(11, 6)

vv

+ 10+ 10

+ 3+ 3

vv = (= ( 1010 ,, 33 ))


|||| v v |||| = (= (xx))22 ++ ((yy))22

|||| v v |||| = (= (1010))22 ++ ((33))22

|||| v v |||| 10,4410,44

Relations entre 2 vecteursRelations entre 2 vecteurs


A) VecteursA) Vecteurs orthogonaux orthogonaux

Orthogonaux = perpendiculairesOrthogonaux = perpendiculaires

Ex. :Ex. :

vv

uu

B) VecteursB) Vecteurs colinéaires colinéaires (ou linéairement indépendant)(ou linéairement indépendant)

Colinéaires = parallèlesColinéaires = parallèles

Ex. :Ex. :

uu

(peu importe le sens et la grandeur)(peu importe le sens et la grandeur)

vv

C) VecteursC) Vecteurs opposés opposés

Même Même grandeur grandeur etet direction direction

SensSens contrairecontraire

Ex. :Ex. :uu

AA BB

vvDD CC

AB est opposé à CDAB est opposé à CD

On note - v opposé à vOn note - v opposé à v

- AB ou BA est opposé à AB- AB ou BA est opposé à AB

Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)

ProjectionProjection d’un vecteur d’un vecteur


La La projectionprojection orthogonaleorthogonale du vecteur du vecteur

AB sur la AB sur la droite droite dd est le vecteur est le vecteur AB’AB’

AA

BB

dd

B’B’ est le est le projetéprojeté orthogonalorthogonal de B sur la de B sur la droite droite dd

B’B’

Ex. :Ex. :

AA

BB

110110oo

dd

B’B’

Calculer la norme du vecteur obtenu par la projection du Calculer la norme du vecteur obtenu par la projection du vecteur vecteur vv sur la sur la droite droite dd..

||v|| = 50||v|| = 50

Mesure de Mesure de BAB’ ( BAB’ ())

180180oo – 110 – 110oo = 70 = 70oo

Mesure de la projectionMesure de la projection

orthogonale de orthogonale de vv sur sur dd

((vecteur AB’vecteur AB’))

cos cos = mesure du côté adjacent = mesure du côté adjacent

mesure de l’hypothénusemesure de l’hypothénuse

==

5050

|| AB’ |||| AB’ ||cos 70cos 70oo

|| AB’ |||| AB’ ||17,117,1 Réponse :Réponse : Environ 17,1Environ 17,1

OpérationsOpérations sur les vecteurs sur les vecteurs


A) A) SommeSomme

Méthode du triangleMéthode du triangle

Ex. :Ex. :

vv

uu

vv

uu

vv

vvuu ++

Méthode du parallélogrammeMéthode du parallélogramme

Ex. :Ex. :

vv

uu

vv

uu

vv

vvuu ++

+ 3+ 3

Dans un plan cartésienDans un plan cartésien

Ex. :Ex. :

A (-3, 1)A (-3, 1)

B (1, 3)B (1, 3)

+ 4 + 4

+ 2 + 2

C (4, -4)C (4, -4)

- 7 - 7

+ 7 + 7

- 5 - 5

ABAB == ((44, , 22))

BCBC == ((33, , -7-7))

ABAB ++ BCBC == ((44, , 22)) ((33, , -7-7))++

== ((4 + 34 + 3, , 2 + -72 + -7))

== ((77, , -5-5))

ABAB ++ BCBC == ACAC

Relation de CHASLESRelation de CHASLES

B) B) DifférenceDifférence

Méthode du triangleMéthode du triangle

Ex. :Ex. :

vv

uu

vv

uu

vv

vvuu ––

Transformer en SOMMETransformer en SOMME

-v-v

vvuu – – == -v-vuu + +

Dans un plan cartésienDans un plan cartésien

Ex. :Ex. : Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7).Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7).

ABAB ––

BCBC == ++ABAB (- BC)(- BC)

== ++(4, 2)(4, 2) (-3, 7)(-3, 7)

== (1, 9)(1, 9)

Si BC = (3, -7)Si BC = (3, -7) - BC = (-3, 7)- BC = (-3, 7)

C) Calcul de la C) Calcul de la normenorme de la de la résultanterésultante (vecteur somme)(vecteur somme)

Ex. :Ex. :

uu

vv

vvuu ++

Si :Si : ||u|| = 5 cm||u|| = 5 cm

||v|| = 6 cm||v|| = 6 cm

= 140= 140oo

Calculer || u + v || .Calculer || u + v || .

* * RappelRappel : Loi des COSINUS : Loi des COSINUS

aa

bbcc

cc22 = a = a22 + b + b22 – 2ab cos – 2ab cos

Donc :Donc : || u + v |||| u + v ||22 = ||u|| = ||u||22 + ||v|| + ||v||22 – 2 ||u|| ||v|| cos – 2 ||u|| ||v|| cos

= 5= 522 + 6 + 622 – 2 (5) (6) cos 140 – 2 (5) (6) cos 140oo

≈≈ 106,96106,96

|| u + v || || u + v || ≈≈ 10,34 cm 10,34 cm

+1 +1

D) Produit : D) Produit : Scalaire Scalaire XX Vecteur Vecteur

Soit v = (a, b) et Soit v = (a, b) et kk un scalaire, un scalaire,

Alors Alors kkv = v = kk(a, b) = ((a, b) = (kka, a, kkb) .b) .

Ex. #1 :Ex. #1 : Si v = (3, 7) et Si v = (3, 7) et kk = 4, calculer = 4, calculer kkv .v .

44v =v = 44(3, 7)(3, 7)

= (12, 28)= (12, 28)

= (= (44 x 3, x 3, 44 x 7) x 7)

Ex. #2 :Ex. #2 : Si u = (1, 2) et Si u = (1, 2) et kk = 3, calculer || = 3, calculer ||kku||.u||.

uu+2 +2

33u =u = 33(1, 2)(1, 2)

= (3, 6)= (3, 6)

uu+1 +1

+2 +2

uu+1 +1

+6 +6

+3 +3

+2 +2

Donc Donc kk ||u|| = || ||u|| = ||kku||u||

Calculons ||u|| : Calculons ||u|| :

||u||||u|| = (1)= (1)22 ++ (2)(2)22 = 5= 5

Calculons ||Calculons ||33u|| : u|| :

||||33u||u|| = = 33 5 5

Ex. #3 :Ex. #3 : Trouver les composantes de Trouver les composantes de 22v + v + 33w .w .

(-3, 1)(-3, 1)

(-2, 3)(-2, 3)

(1, 1)(1, 1)(2, 1)(2, 1)

vv == (1, 2)(1, 2)

ww == (1, 0)(1, 0)vv

ww

22vv == (2, 4)(2, 4)

33ww == (3, 0)(3, 0)

++ == (2, 4)(2, 4) (3, 0)(3, 0)++

== (5, 4)(5, 4)

22vv 33ww

E) Produit : E) Produit : Vecteur Vecteur XX Vecteur Vecteur (produit scalaire)(produit scalaire)

Avec les Avec les COMPOSANTESCOMPOSANTES : : Si u = (a, b) et v = (c, d),Si u = (a, b) et v = (c, d),

alors alors u u v = ac + bd v = ac + bd

Avec les Avec les NORMESNORMES : : u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos

vv

uu

vv

4545oo

Ex. :Ex. : Trouver le produit scalaire de u et v si :Trouver le produit scalaire de u et v si :uu vv

u = (u = (22, , 33))

v = (v = (55, , 11))

= 45= 45oo vv

Avec les Avec les COMPOSANTESCOMPOSANTES : : u u v = v = ((22, , 33) ) ( (55, , 11))

= (= (2 x 52 x 5) + () + (3 x 13 x 1))

= = 1010 + + 33

= 13= 13

Avec les Avec les NORMESNORMES : : u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos

||u||||u|| = (2)= (2)22 ++ (3)(3)22 = 13= 13

||v||||v|| = (5)= (5)22 ++ (1)(1)22 = 26= 26

u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos

= = 13 13 26 26 cos (45 cos (45oo))

= = 1313

Si Si u u v v , , alors alors u u v = 0 v = 0

Note importanteNote importante : :

(car (car = 90 = 90oo et cos (90 et cos (90oo) = 0 )) = 0 )

F) F) PropriétésPropriétés des opérations sur les vecteurs des opérations sur les vecteurs

Addition Addition commutativecommutative

++ ==uu vv ++vv uu

Addition Addition associativeassociative

++ ==uu vv ++ ww ++uu vv ++ ww( )( ) ( )( )

DistributivitéDistributivité de Scalaire X Vecteur de Scalaire X Vecteur

++ ==uu vvkk ( )( ) ++uu kk v vkk

Addition de Addition de vecteurs opposésvecteurs opposés

++ ==ABAB (-AB)(-AB) OO == BABA(-AB)(-AB)etet


Relation de Relation de ChaslesChasles

Ex. #1 :Ex. #1 : ABAB ++ BCBC == ADAD++ CDCD

Ex. #2 :Ex. #2 : ABAB ++ EFEF ==–– DCDC –– EDED –– CBCB ABAB ++ EFEF ++ CDCD ++ DEDE ++ BCBC

== ABAB ++ BCBC ++ CDCD ++ DEDE ++ EFEF

== AFAF


Vecteurs Vecteurs colinéairescolinéaires

Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier l’un d’eux par un Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier l’un d’eux par un scalairescalaire pour trouver l’autre. pour trouver l’autre.

SoitSoit u u etet v v colinéairescolinéaires, , alorsalors u = u = kkv v ouou v = v = kku , u , oùoù kk est unest un scalaire. scalaire.

Ex. #2 :Ex. #2 : Est-ce que u et v sont colinéaires si :Est-ce que u et v sont colinéaires si :

uu vv

u = (2, 3)u = (2, 3)

v = (5, 1)v = (5, 1)

+2 +2

+3 +3

+5 +5

+1 +1

Ex. #1 :Ex. #1 : Est-ce que u et v sont colinéaires si :Est-ce que u et v sont colinéaires si :

uuvv

u = (2, 3)u = (2, 3)

v = (4, 6)v = (4, 6)

+2 +2

+3 +3

+4 +4

+6 +6

v =v = kkuu

(4, 6) =(4, 6) = kk(2, 3)(2, 3)

(4, 6) =(4, 6) = 22(2, 3)(2, 3)

v =v = 22uu

u et v sont u et v sont colinéairescolinéaires

v =v = kkuu

(5, 1) =(5, 1) = kk(2, 3)(2, 3)

kk ne peut pas ne peut pas avoir de valeuravoir de valeur

u et v ne sont u et v ne sont paspas colinéairescolinéaires

Combinaisons linéairesCombinaisons linéaires


DéfinitionDéfinition : : Définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs prédéfinis Définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs prédéfinis (comme une somme vectorielle).(comme une somme vectorielle).

uu

vv

Ex. #1 :Ex. #1 : Définir le vecteur Définir le vecteur ww comme une comme une combinaison linéairecombinaison linéaire des vecteurs des vecteurs uu et et vv..

vv

uu

wwvv

++== 22uu 33vvwwRéponse :Réponse :

Donc, 2Donc, 2uu + 3 + 3v v est une est une combinaison linéairecombinaison linéaire de de uu et et vv..

Ex. #2 :Ex. #2 : Quelle est la valeur de Quelle est la valeur de aa dans la dans la combinaison linéairecombinaison linéaire w = w = aau + 1v si :u + 1v si :

u = (u = (11, , 11))

v = (v = (11, , 22))

w = (w = (33, , 44))

++== aauu 1v1vww

== aa((11, , 11) + 1() + 1(11, , 22))((33, , 44))

== ((11aa, , 11aa) + () + (11, , 22))((33, , 44))

Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : 33 = = aa + + 11

2 = 2 = aa

Comp. Comp. verticalesverticales : : 44 = = aa + + 22

2 = 2 = aa

aa = 2 = 2Réponse :Réponse :

== ((aa, , aa) + () + (11, , 22))((33, , 44))

Ex. #3 :Ex. #3 : Exprimer r dans une Exprimer r dans une combinaison linéairecombinaison linéaire de u et v si : de u et v si :

u = (u = (11, , 22))

v = (v = (-2-2, , 00))

r = (r = (55, , 22))

++== aauu bbvvrr

== aa((11, , 22) + ) + bb((-2-2, , 00))((55, , 22))

== ((11aa, , 22aa) + () + (-2-2bb, , 00bb))((55, , 22))

Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : 55 = = aa + + -2-2bb

Comp. Comp. verticalesverticales : : 22 = = 22aa + + 00

1 = 1 = aa

== ((aa, , 22aa) + () + (-2-2bb, , 00))((55, , 22))

(1)(1)

(2)(2)

(2) dans (1) :(2) dans (1) : 55 = 1 + = 1 + -2-2bb

-2 = -2 = bb

Réponse :Réponse : – – == uu 22vvrr

Ex. #4 :Ex. #4 : Exprimer w dans une Exprimer w dans une combinaison linéairecombinaison linéaire de u et v si : de u et v si :

u = (u = (22, , -1-1))

v = (v = (-1-1, , 33))

w = (w = (-2-2, , 33))

++== aauu bbvvww

== aa((22, , -1-1) + ) + bb((-1-1, , 33))((-2-2, , 33))

== ((22aa, , -1-1aa) + () + (-1-1bb, , 33bb))((-2-2, , 33))

Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : -2-2 = = 22aa – – bb

Comp. Comp. verticalesverticales : : 33 = - = -aa + + 33bb

(1)(1)

(2)(2)

(1) + 2x(2) :(1) + 2x(2) : -2 = 2-2 = 2aa – – bb

6 = -26 = -2aa + 6 + 6bb

(1)(1)

2x(2)2x(2)++

4 = 04 = 0aa + 5 + 5bb 0,8 = 0,8 = bb (3)(3)

(3) dans (1) :(3) dans (1) : -2-2 = = 22aa – 0,8 – 0,8 -0,6 = -0,6 = aa

Réponse :Réponse : + + == -0,6-0,6uu 0,80,8vvww

Point de partagePoint de partage


Ex. :Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y)P(x, y) qui partage le qui partage le segment ABsegment AB dans un dans un rapportrapport de de 3 : 23 : 2 à partir de A si : à partir de A si : A(-3, 8)A(-3, 8)

B(5, -2)B(5, -2)

Ex. :Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y)P(x, y) qui partage le qui partage le segment ABsegment AB dans un dans un rapportrapport de de 3 : 23 : 2 à partir de A si : à partir de A si : A (-3, 8)A (-3, 8)

B (5, -2)B (5, -2)

A (-3, 8)A (-3, 8)

B (5, -2)B (5, -2)

P (x, y)P (x, y)

33

22

O (0, 0)O (0, 0)

PP est aux est aux 3/53/5 de AB de AB

Utilisons le vecteur Utilisons le vecteur OPOP pour pour trouver les coordonnées de trouver les coordonnées de P(x, y)P(x, y)..

== ++OPOP OAOA APAP

== ++OPOP OAOA ABAB3 3

5 5

== (-3, 8)(-3, 8)(x, y)(x, y) 3 3

5 5

++ (8, -10)(8, -10)

== (-3, 8)(-3, 8)(x, y)(x, y) 24 24

5 5

++ ( , -6)( , -6)

== ((-3-3 + , + , 88 + + -6-6))(x, y)(x, y) 24 24

5 5

== ( , 2)( , 2)(x, y)(x, y) 9 9

5 5

Réponse :Réponse : ( , 2)( , 2)9 9

5 5

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