Stage de Pré Rentrée 2011

Rappels mathématiques et physiques

Sommaire

1) Dérivées2) Intégrales3) Fonction exponentielle4) Fonction logarithme5) Les fonctions sinusoïdales6) Equations Différentielles

7) Géométrie dans l’espace

8) Les ultiples et sous multiples/unités9) Conversions

1) DérivéesElles sont notées f’ en maths. Traduisant , elles permettent d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à des courbes… Elles se calculent normalement de la façon suivante:

Pour tout x et x0 qui appartiennent à l’ensemble de définition,

dx

df

0

00

)()()(' lim

0xx

xfxfxf

xx

Plus x se rapproche de x0 , plus la précision sur le coefficient directeur de la droite est important.

Source: Wikipedia

Dérivées usuelles de fonctions:

0axx 2²

1 nn nxx

²

11

xx

xx

2

1

)sin()cos( xx )cos()sin( xx

'' vuvu

'.'.. vuvuvu

²

'1

u

u

u

u

uu

2

'

1'.. uuu

2) Intégrales

L’intégration permet de calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction f ; une intégrale s’écrit de la forme suivante:

Source: Wikipedia

dxxfIx

)(Avec I =[a,b]

Propriétés des intégrales:

0)( dxxfa

a

dxxfdxxfa

b

b

a )()(

dxxfdxxfdxxfc

a

c

b

b

a )()()( Relation de Chasles

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a )()()()( Linéarité

dxxgdxxfalorsxgxfbaxSib

a

b

a )()()()(],,[ Monotonie

3) Fonction Exponentielle

• Caractéristiques fondamentales :

• Points remarquables :

• Propriétés : • Limites :

• Exponentielle de base b :

f(x)=ex

4) Fonction Logarithme• Caractéristiques fondamentales : définie sur ,

• Valeurs remarquables :

• Propriétés: Limites :

• Logarithme de base b :

ln (a*b) = ln(a) + ln(b)

5) Les fonctions sinusoïdales

cos(x) = cos(-x) → paire

sin(x) = -sin(-x) → impaire

Périodicité

Parité

cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π ) = sin(x)

cos( - x) = sin(x)sin( - x) = cos(x)Complémentarité

Relation fondamentale

sin(π - y)

cos(x)

cos(-x)

sin(y)

sin(x)

cos(x)cos(π-x)

sin(-x)

cos2 (x) + sin2 (x) = 1

→ traduit le déphasage de du sinus et du cosinus.sin(π –x) = sin(x) cos(π –x) = -cos(x)

cos(π +x) = -cos(x) sin(π +x) = -sin(x)

Sinus et cosinus : valeurs remarquablesx

sin(x)

cos(x)

cos

sin

2/32/22/1

2/1

2/2

2/3

001

/210

2/

0

/3

1/2

3/4/

6/

2/3/4

2/2

2/2

/61/2

2/3

6) Equations différentielles• Résolution de y’ = a*y y (x) = k* où k est une constante réelle.Pour trouver k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à-dire pour x

= 0.y (0) = k* = k donc y (x) = y (0) *

• Résolution de y’ = a*y + b y (x) = k* - où k est une constante réellePour trouver la constante k, on prend les conditions à l’origine, c’est-

à dire pour x = 0.

y (0) = k* - = k - ↔ k = y (0) +

7) Géométrie dans l’espacea) Produit scalaire

•

• Si deux vecteurs et sont orthogonaux,

• Si deux vecteurs et sont colinéaires, , et . Ainsi, .

– linéarité et distributivité :– commutativité :

• Principe de la projection orthogonale :

b) Produit vectoriel

•Le produit vectoriel est un vecteur tel que

est orthogonal à et donc

• Attention ! Le produit vectoriel n’est pas commutatif:

• Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors = .

• Sens du produit vectoriel :

On se place dans un repère orthonormal direct. Ici, l’angle orienté est positif donc est dans le même sens que par rapport à et .

Inversement, si l’angle orienté est négatif, le produit vectorielest orienté dans le sens opposé à par rapport à et .

→ cf règle du « tire-bouchon ».

+

8) Les multiples et sous-multiples

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo K 103

Mili m 10-3

Micro μ 10-6

Nano n 10-9

Pico p 10-12

Fento f 10-15

atto a 10-18

9)Conversions

m3 dm3 cm3 mm3

1000 L1 kL

1 L 10-3 L1 mL

10-6 L1 μL

a) Les unités de volume:

• Convertir une surface de 134 mm2 en unité du SI:→ 134 mm2 = 134 (10-3m)2 = 134. (10-3)2m2 = 134.10-6 m2 =

1,34. 10-4 m2

• Convertir une vitesse angulaire de 5 tours/minute en rad.s-1 (2π rad = 1 tour = 360 degrés):

→

b) Les unités « inverses »:

ATTENTION: Ne vous trompez pas de sens lors de la conversion d’unités « inversées ».

Ex: 1 mol.L-1 = 1 mol.dm-3 = 103 mol.m-3 = 10-3 mol.cm-3.(et non pas 10-3 mol.m-3 … ce n’est pas une dillution!).

c) La dillution:

Pour éviter la confusion avec la conversion des unités inversées, pensez en « volume initial → volume final ».

Ex 1: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L -1 dans 900 mL d’eau pure: Cf = = 0,1 mol.L-1.

Ex 2: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L -1 dans 1 L d’eau pure: Cf = = 0,09 mol.L-1.9,01,0

1,0.1.

VfVi

ViCi

11,0

1,0.1.

VfVi

ViCi