TdS H. Garnier

Hugues GARNIER

Département Réseaux & Télécommunications

IUT Nancy-Brabois

Maths – M3207c

Transformée en Z

TdS H. Garnier

Intérêts de la transformée de Laplace (rappels)

•  Permet de déterminer la solution d’une équation différentielle à coefficients constants

•  Ex: résoudre

•  Facilite la détermination des réponses des filtres analogiques à des excitations données

–  Ex: déterminer la réponse à un échelon d’un filtre RC

d2y(t )dt2

+2 dy(t )dt

+ y(t ) = 0, y(0 ) = 0; !y(0 ) =1

y(t ) = 1−e−tRC

"

#

$$

%

&

''u(t )

TdS H. Garnier

Intérêts de la transformée en Z

•  Permet de déterminer la solution d’une équation aux différences •  Ex : résoudre

•  Facilite la détermination des réponses des filtres numériques à des excitations données

–  Ex : déterminer la réponse à un échelon du filtre numérique décrit par :

s(n) = −0,5s(n −1)+e(n), s(−1) = 0

s(n)−4s(n −1)+3s(n −2) = 0, s(−2) = 0;s(−1) =1

TdS H. Garnier

Suite numérique - Rappel •  Notion de suite

–  La notion de suite est liée à l’idée d’énumération : une suite a un premier terme, un second, etc.

–  Une suite peut être finie ou infinie –  Souvent, le premier terme de la suite est noté u0, le second u1, etc.

•  Définition –  Une suite numérique un est une liste numérotée (ou ordonnée) de nombres

réels : un= (1, 2, 4, . . .) ou u0= 1, u1= 2, u2= 4, . . . –  Les éléments de cette liste sont appelés les termes de la suite un et sont tous

repérés par leur rang (ou numéro) dans la liste

•  Remarques –  Les suites sont des fonctions. Avec la notation des fonctions, son premier

terme devrait être noté u(0), son second terme u(1), etc., –  Même si l’usage est de noter ces termes en utilisant des indices, on

utilisera la notation des fonctions pour les suites u(n) pour faciliter le lien avec les signaux numériques

Exemple : u(n)= (1, 2, 4, . . .) ou u(0)= 1, u(1)= 2, u(2)= 4, . . .

TdS H. Garnier

Mode de représentation d’une suite numérique

•  Liste ordonnée de nombres : u(n)= (1, 2, 4, . . .) ou u(0)= 1, u(1)= 2, u(2)= 4, . . . Ce mode de représentation n’est pas très pratique !

•  Relation de récurrence –  On exprime le nième terme en fonction du terme précédent, en

précisant le 1er terme Exemple : u(n) = 2 × u(n − 1), n ≥ 1 avec u(0) = 1

Les termes se calculent alors de proche en proche à partir de u(0)

•  Représentation graphique

u(n)

0 1

1

4

2 n

TdS H. Garnier

Signal numérique •  Définition

–  Un signal numérique (ou signal à temps discret) s(n) est une suite numérique, c’est à dire une liste ordonnée de nombres :

s(0)= 1, s(1)= 2, s(2)= 4, . . .

•  Mode de représentation

–  par une expression analytique s(n) = 2n, n ≥ 1 avec s(0) = 1

–  par une relation de récurrence s(n) = 2 × s(n − 1), n ≥ 1 avec s(0) = 1

–  par sa représentation graphique

s(n)

0 1

1

4

2 n

TdS H. Garnier

Equations aux différences

•  Définition Soit un signal numérique s(0), s(1), ... , s(n),… Une équation reliant le nième terme à ses prédécesseurs est appelée équation récurrente ou équation aux différences

•  Résoudre une équation aux différences consiste à trouver l’expression du nième terme en fonction du paramètre n

•  Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les équations aux différences

–  L'une des plus employées s’appuie sur la transformée en Z

s(n)= 12(3n+2 −1) n ≥ 0

s(n)−4s(n −1)+3s(n −2) = 0, s(−2) = 0;s(−1) =1

TdS H. Garnier

•  Soit un signal numérique x(n) causal, la transformée en Z est définie par :

où –  z est la variable de la transformée en Z –  z est complexe

•  On dit que X(z) est la transformée en Z du signal x(n)

Transformée en Z - Définition

Z x(n)( )=X z( ) = x(n) z−n

n=0

+∞

∑

x(n)

n 0 1

z = r e jθ =α + jβ

TdS H. Garnier

Lien avec la transformée de Fourier

•  La transformée en Z définie précédemment porte le nom de transformée en Z monolatère.

Il existe en effet la transformée en Z bilatère définie par :

•  Il existe une relation entre la transformée en Z bilatère et la transformée de Fourier d’un signal à temps discret :

X jω( ) = X(z) z=e jωTe = x(n) e− jωnTe

n=−∞

+∞

∑

Z x(n)( )=X z( ) = x(n) z−n

n=−∞

+∞

∑

TdS H. Garnier

Série entière •  Définition

On appelle série entière de la variable x toute somme (finie ou infinie) des éléments d’une suite numérique de terme général un = anxn où an est un réel et n un entier naturel.

Sur tout intervalle où elle est convergente, une série entière a pour somme une fonction. Une série entière est donc une fonction de la forme :

•  Remarques –  Une série entière ne converge pas nécessairement pour tout x. –  Il existe un entier R appelé rayon ou région de convergence tel que

la série entière converge pour |x| < R et diverge pour|x| > R

a0 +a1x +a2x2 +…= an x

n

n=0

+∞

∑

u0 +u1 +u2 +…

TdS H. Garnier

Région de convergence •  La transformée en Z d’un signal x(n) est définie par une série entière

(somme infinie des termes d’une suite numérique)

•  Quand cette somme est finie, la série est dite convergente et X(z) existe

•  C’est le cas pour certaines valeurs de la variable z qui définissent la Région de Convergence (RdC)

–  RdC ne contient pas de pôle de X(z). Elle correspond, en général, pour les signaux causaux à l’extérieur d’un cercle |z|> a

–  Pour les signaux physiques (qui ont une durée d’existence finie) :

RdC= ensemble du plan complexe avec l’exclusion possible de z=0 ou z=∞

RdC = z =α + jβ telles que x(n)z−n

n=0

+∞

∑ <∞⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

Région de

convergence

Re(z)

Im(z)

0

X z( ) = x(n) z−n

n=0

+∞

∑ = x(n) z−1( )n

n=0

+∞

∑

TdS H. Garnier

Région de convergence - Exemple

•  Soit le signal discret dont les premières valeurs sont : x(0) = 1, x(1) = 4, x(2) = 16, x(3) = 64, x(4) = 256 …

En appliquant la définition de la transformée en z, déterminer X(z). A quelle condition la série obtenue converge-t-elle ? Cette condition étant supposée respectée, donner la valeur de X(z).

X z( ) = x(n) z−n

n=0

+∞

∑ = x(0 )+ x(1)z-1 + x(2)z-2 +…

X z( ) =1+4z-1 +42 z-2 +…=4z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0

+ 4z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1

+4z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

+…=4z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n

n=0

+∞

∑

X(z) = 4z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n

n=0

+∞

∑ =1

1- 4z

=zz-4

si z > 4

Rappel : somme d’une suite géométrique de raison q qn

n=0

+∞

∑ =1

1−qsi q <1

TdS H. Garnier

Transformée en Z - Exemple

•  Soit le signal à temps discret à durée d’existence finie défini par :

x(0) = 1, x(1) = 2, x(2) = 3, x(n>2) = 0

En appliquant la définition de la transformée en Z, déterminer X(z).

X z( ) = x(n) z−n

n=0

+∞

∑ = x(0 )+ x(1)z-1 + x(2)z-2 +…=1+2z-1 +3z-2

X z( ) = 1+2z-1 +3z-2

1

X(z) = z2+2z +3

z2

TdS H. Garnier

Forme courante d’une transformée en Z

• X(z) peut s’écrire sous 2 formes :

–  forme possible mais peu pratique : obtenue à partir de la définition

On obtient une série en puissance négative de z pondérée par x(n)

–  forme la plus courante : fonction rationnelle en puissance positive de z ou en puissance négative de z (z-1)

X z( ) = x(n) z-n = x(0)+ x(1)n=0

+∞

∑ z-1 + x(2)z-2 +… + x(i)z-i +…

Exemple : X(z) = 1

1-2z-1 + z-2ou X(z) = z2

z2 -2z+1

TdS H. Garnier

Signaux à temps discret usuels

•  Impulsion unité ou impulsion de Kronecker

Elle ne doit pas être confondue avec l’impulsion de Dirac δ(t) dans le cas des signaux à temps continu. Elle est bien plus facile à manipuler

•  Impulsion unité retardée

Remarque : tout signal à temps discret s(n) peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire d’impulsions unité discrète :

δ(n) = 1 pour n = 00 pour n ≠ 0

δ(n − i ) = 1 pour n = i0 pour n ≠ i

s(n) = s( i )δ(n − i )i=−∞

+∞

∑

δ(n)

n 0 1

1

δ(n-i)

n 0 1

1

i

TdS H. Garnier

•  Echelon unité

•  Rampe unité

r(n)=nu(n) = n pour n ≥ 00 pour n < 0⎧⎨⎩

u(n) =1 pour n ≥ 00 pour n < 0

"#$

r(n)

n 0 1

1

u(n)

n 0 1

1

Signaux à temps discret usuels

TdS H. Garnier

•  Rappel : signal exponentiel à temps continu

•  Signal géométrique à temps discret (ou exponentiel de base a)

x(t) = e−αtu(t )

Signaux à temps discret usuels

x(n) = an u(n)

TdS H. Garnier

•  Rappel : signal sinusoïdal à temps continu

•  Signal sinusoïdal à temps discret

x(t) = Asin ωot +ϕo( )u(t )

Signaux à temps discret usuels

x(n) = Asin ωon +ϕo( )u(n)

période : No =2πkωo

si k existe tel que No soit entier

période : To =2πωo

TdS H. Garnier

•  Impulsion unité

•  Echelon unité

Transformée en Z de signaux usuels

Z u(n)( ) = 11-z-1

= zz-1

Z u(n)( ) = 1n=0

∞

∑ z−n = z−1( )n

n=0

∞

∑ Somme d’une suite géométrique de raison z-1

qk

k=0

∞

∑ =1

1−qsi q <1Z u(n)( ) = 1

1-z-1si z-1 <1 ⇔ z >1

Z δ(n)( ) = 1

Z δ(n)( ) = δ(n)n=0

∞

∑ z−n = δ(0)z−0 +δ(1)z−1 +… =1

TdS H. Garnier

Transformée en Z de signaux-test

Z sin ωon( )u(n)( ) =z sin ωo( )

z2 −2cos ωo( )z +1

•  Signaux sinusoïdaux (causal)

Z cos ωon( )u(n)( ) =z z-cos ωo( )( )

z2 −2cos ωo( )z +1

•  Signal géométrique (causal)

Z anu(n)( ) = zz-a

si a = eb, Z ebn( )nu(n)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

zz-eb

TdS H. Garnier

Table de Transformées en z

x(n) X(z)

zz-aanu(n)

u(n)

δ(n)

zz-1

1

r (n)=nu(n)z

z-1( )2

δ(n-i) z−i

n2u(n)z(z+1)

z-1( )3

TdS H. Garnier

Table de Transformées en z

x(n) X(z)

z sin ωo( )z2 −2cos ωo( )z +1

z z-cos ωo( )( )z2 −2cos ωo( )z +1

az

z-a( )2

sin ωon( )u(n)

nanu(n)

cos ωon( )u(n)

az(z+a)

z-a( )3n2anu(n)

TdS H. Garnier

• Linéarité

•  Retard temporel

•  Avance temporel

Propriétés de la transformée en Z (les plus importantes)

Z a x(n)+b y(n)( )=a X(z)+bY(z)

Z x(n-2)( )=z−2X(z)+z−1x( -1)+ x(-2)

Z x(n-1)( )=z−1X(z)+x(-1)

Z x(n+i )( )=zi X(z)-zi x(m)m=0

i−1

∑ z−m

Z x(n-k)( )=z−kX(z)+z−k+1x(−1)+ z−k+2x(−2)+!+ x(−k )

TdS H. Garnier

•  Produit de convolution temporel

•  Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale

Propriétés de la transformée en Z

x(n)*y(n)= x(i) y(n-i)i=0

+∞

∑

Si les limites existent

Z x(n)*y(n)( ) = X(z)×Y(z)

TdS H. Garnier

Transformée en Z inverse

•  La transformée en Z inverse permet de retrouver les échantillons du signal

•  Plusieurs méthodes existent : 1. Décomposition en somme de fonctions rationnelles et utilisation de tables

Z−1 S(z)( ) = s(n)

S(z) = A1z

z −a1+ A2

zz −a2

+…

s(n)=A1Z-1 zz −a1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ A2 Z

-1 zz −a2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+…

s(n)=A1 a1( )n u(n)+ A2 a2( )n u(n)+… car Z anu(n)( ) = zz-a

car la transformée en Z inverse est linéaire

s(n) = Z−1 S(z)( ) = Z−1 A1z

z −a1+ A2

zz −a2

+…⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

TdS H. Garnier

Transformée en Z inverse - Exemple

Trouver l’original x(n) de la transformée ci-dessous :

En déduire les valeurs de x(0), x(1), x(2) et x(3).

X(z) = z2

z2 −3z +2

TdS H. Garnier

Transformée en Z inverse - Exemple

Trouver l’original x(n) de la transformée ci-dessous :

X(z) = z2

z2 −3z +2=

z2

(z −1)( z − 2)= A1

zz −1

+ A2zz − 2

x(n)=-u(n)+ 2×2nu(n) = (−1+ 2n+1 )u(n)

n = 0, x(0) =1; n = 2, x(2) = 7n =1, x(1) = 3; n = 3, x(3) =15

A1 = limz→1z-1zX(z) = lim

z→1

z-1z

z2

(z −1)( z − 2)= −1

A2 = limz→2z-2zX(z) = lim

z→2

z-2z

z2

(z −1)( z − 2)= 2

x(n)=Z-1 X(z)( )=-Z-1 zz −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ 2Z-1 z

z − 2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

TdS H. Garnier

Transformée en Z inverse

2. Division polynomiale

Il suffit de diviser B(z) par A(z) définis en puissance positive de z pour obtenir une série en puissance décroissante de z-1 dont les coefficients sont les valeurs s(n) recherchées. Exemple Par identification, on en déduit :

S(z) = B(z)A(z)

=b0z

na+b1zna-1 +… +bnbz

na-nb

a0zna+a1z

na-1 +… +ana

S z( ) = s(0)+ s(1)z-1 + s(2)z-2 +… + s(i)z-i +…

z2 z2 −3z ++2

1+3z-1 +7 z-2 +15z-3 +…+ s(i)z-i +…

s(0 ) =1, s(1) = 3, s(2 ) =7, s(3 ) =15,!

X(z) = z2

z2 −3z +2

TdS H. Garnier

Soit l’équation aux différences exprimant la relation entre le signal d’entrée e(n) et le signal de sortie s(n) d’un filtre numérique :

En appliquant la transformée en Z aux 2 membres de l’équation et en utilisant :

Z x(n-k)( )=z−k X(z) en supposant les conditions initiales nulles

Fonction de transfert en Z

a0s(n)+a1s(n-1)+…+ana s(n-na ) = b0e(n)+b1e(n-1)+…+bnb e(n-nb )

G z( ) = S(z)E(z)=b0+b1z

-1 +b2 z-2 +…+bnb z

-nb

a0+a1z-1 +a2 z

-2 +…+ana z-na

a0S(z)+a1z−1S(z)+… +ana z

−naS(z) = b0E(z)+b1z−1E(z)+… +bnbz

−nb E(z)

a0+a1z−1 +… +ana z

−na( )S(z) = b0+b1z−1 +… +bnbz

−nb( ) E(z)

TdS H. Garnier

Fonction de transfert en Z - Exemple

s(n)−0.8s(n −1) = 0.2e(n)

G(z) = S(z)E(z)

=?

G(z) = S(z)E(z)

=0,2

1−0,8z−1=0,2zz −0,8

TdS H. Garnier

G z( ) = N(z)D(z)=C

z − zj( )j=1

nb∏

z − pi( )i=1

na∏

Pôles & zéros d’une fonction de transfert

•  Soit une fonction de transfert G(z)

•  Définitions

–  Zéros : ce sont les racines du numérateur N(z)=0

–  Pôles : ce sont les racines du dénominateur D(z)=0

•  Exemple

G(z) = N(z)D(z)

=0,2

1−0,8z−1=0,2zz −0,8

Re(z)

Im(z)

0 0,8

TdS H. Garnier

Lien fonction de transfert/équation aux différences d’un filtre numérique

•  Soit la fonction de transfert G(z) d’un filtre numérique

En déduire son équation aux différences On exprime G(z) en puissance négative de z

G(z) = 0,2zz −0,8

G(z) = 0,2zz −0,8

×z−1

z−1=

0,21−0,8z−1

car par définition G(z) = S(z)E(z)

S(z)E(z)

=0,2

1−0,8z−1

(1−0,8z−1 )S(z) = 0,2E(z)

S(z)−0,8z−1S(z) = 0,2E(z)

s(n)−0,8s(n −1) = 0,2e(n)

TdS H. Garnier

Résolution d’équations aux différences l’aide de la transformée en Z

•  La procédure de résolution est alors la suivante :

1. Appliquer la transformée en Z aux 2 membres de l’équation aux différences en x(n)

2. C alculer X(z) en utilisant les propriétés de la transformée en Z

3. Décomposer X(z) en fonctions rationnelles simples

4. Utiliser la table de transformée pour obtenir x(n) par transformée inverse

TdS H. Garnier

Intérêts de la transformée en Z

•  Permet de déterminer la solution d’une équation aux différences

•  Résoudre

•  Va faciliter la détermination des réponses des filtres numériques à des excitations données

–  Déterminer la réponse à un échelon d’un filtre numérique décrit par :

y(n)−4y(n −1)+3y(n −2) = 0, y(−2) = 0; y(−1) =1

s(n) = −12s(n −1)+e(n), s(−1) = 0

y(n)= 12(3n+2 −1)u(n)

s(n)= 13(2+ −0,5( )n )u(n) Z−1 z

z+0,5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =Z−1 z

z-(-0,5)⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = (−0,5)nu(n)

TdS H. Garnier

•  Soit un signal continu x(t) causal et soit xe(t) le signal obtenu en échantillonnant x(t) à la période Te :

Lien entre transformée de Laplace et transformée en Z

x(t)

t 0

signal continu

xe(t)=x(t).δTe(t)

nTe 0

signal échantillonné idéal

Te

δTe(t)

0 Te t

1

xe t( )= x(t) . δTe(t)

xe t( ) = x(t) δ(t −nTe )n=-∞

+∞

∑

xe t( ) = x(t) δ(t −nTe )n=-∞

+∞

∑

xe t( ) = x(nTe ) δ(t −nTe )n=0

+∞

∑

(x(t)=0 t<0)

TdS H. Garnier

Transformée de Laplace d’un signal échantillonné

xe t( ) = x(nTe ) δ(t −nTe )n=0

+∞

∑

xe(t)=x(t).δTe(t)

nTe 0

signal échantillonné idéal

Te

Xe s( ) = x(0) +x(Te ) e-sTe +x(2Te ) e-2sTe + … car L a δ(t −nTe )( ) = a e-nsTe

Xe s( ) = x(nTe ) e-nsTe

n=0

+∞

∑ L δ(t)( ) =1

xe t( ) = x(nTe ) δ(t −nTe )n=0

+∞

∑ = x(0) δ(t)+x(Te ) δ(t −Te )+x(2Te ) δ(t −2Te )+ …

xe(t) est un signal à temps continu. En exploitant les propriétés de la transformée de Laplace, L(xe(t)) s’écrit :

TdS H. Garnier

X z( ) = Z xe(t)( ) = x(nTe ) z-n

n=0

+∞

∑

La transformée en Z peut donc être vue comme la transformée de Laplace

appliquée à un signal échantillonné (idéalement) dans laquelle on a

effectué le changement de variable :

En posant z=esTe

Xe s( ) = x(nTe )e-nsTe

n=0

+∞

∑ = x(nTe ) e-sTe⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟n

n=0

+∞

∑

Pour un signal échantillonné x(nTe), la transformée de Laplace est donnée par :

Lien entre transformée de Laplace et transformée en Z

z=esTe