MÉCANIQUE DES STRUCTURES ANÉLASTIQUES …

MÉCANIQUE DES STRUCTURESANÉLASTIQUES

Comportement, chargements cycliques et fatigue

Habibou MAITOURNAM

Septembre 2012

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Table des matières

1 Thermodynamique des milieux continus 71.1 Introduction : pourquoi la thermodynamique ? . . . . . . . . .. . . . . . . 71.2 État thermodynamique, variables d’état . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 91.3 Principes de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

1.3.1 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Interprétation physique de la positivité des dissipations . . . . . . . 161.3.4 Liens avec les énoncés classiques du second principe .. . . . . . . 171.3.5 Intermède : une vision littéraire du second principe .. . . . . . . . 20

1.4 Énergie récupérable, lois d’état, forces thermodynamiques réversibles . . . 201.4.1 Énergie récupérable, forces thermodynamiques réversibles et lois

d’état en fonction de l’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Énergie récupérable, forces thermodynamiques réversibles et lois

d’état en fonction de l’énergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Potentiel élastique, énergie récupérable . . . . . . . . .. . . . . . 25

1.5 Énergie dissipée, forces thermodynamiques irréversibles . . . . . . . . . . 261.5.1 Dissipation et forces thermodynamiques dissipatives . . . . . . . . 261.5.2 Autre procédure d’obtention des lois d’état . . . . . . . .. . . . . 271.5.3 Cas particuliers des processus réversibles . . . . . . . . .. . . . . 281.5.4 Potentiels thermodynamiques et leurs choix . . . . . . . .. . . . . 29

1.6 Présence de surface de discontinuité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 291.6.1 Dérivées particulaires d’intégrale de volume . . . . . .. . . . . . . 301.6.2 Écriture des deux principes de la thermodynamique . . .. . . . . . 31

1.7 Lois d’état en présence de liaisons internes . . . . . . . . . .. . . . . . . . 321.7.1 Illustration sur la liaison d’incompressibilité . . .. . . . . . . . . . 321.7.2 Illustration sur la prise en compte d’une liaison unilatérale . . . . . 35

1.8 Justification physique de l’approche thermodynamique adoptée . . . . . . . 391.8.1 Concept de l’état accompagnant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.2 VER, variables d’état pertinentes, état accompagnant. . . . . . . . 40

1.9 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Lois de comportement 512.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1 Intervention du matériau, nécessité de relations supplémentaires . . 532.2.2 Comportement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 TABLE DES MATIÈRES

2.2.3 Dissipativité normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.4 Matériaux standards généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 62

2.3 Thermoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.1 Comportement thermoélastique linéaire . . . . . . . . . . . .. . . 632.3.2 Énergie interne en thermoélasticité linéaire . . . . . .. . . . . . . 662.3.3 Évolution thermoélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672.3.4 Comportement thermoélastique : cas de grandes variations de tem-

pérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4 Comportement dissipatif indépendant du temps physique .. . . . . . . . . 73

2.4.1 Dissipation intrinsèque et contrainte réversible . .. . . . . . . . . 732.4.2 Décomposition de la déformation totale et de l’énergie libre . . . . 752.4.3 Potentiels de dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .772.4.4 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.5 Démarche adoptée pour la présentation des lois . . . . . .. . . . . 782.4.6 Loi élastoplastique parfaitement plastique . . . . . . .. . . . . . . 782.4.7 Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage isotrope . . . . 842.4.8 Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage cinématique li-

néaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4.9 Loi élastoplastique de type von Mises avec écrouissage cinématique

non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.4.10 Loi élastoplastique à écrouissages combinés cinématique non linéaire

et isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.5 Lois de comportements viscoélastiques et élastoviscoplastiques . . . . . . 104

2.5.1 Comportements viscoélastiques isothermes . . . . . . . . .. . . . 1052.5.2 Comportements viscoplastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

2.6 Introduction au comportement endommageable . . . . . . . . .. . . . . . 1202.6.1 Aspects phénoménologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.6.2 Modélisation de l’endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . .122

2.7 Caractérisation énergétique - équation de la chaleur . . .. . . . . . . . . . 1292.8 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3 Contraintes résiduelles 1493.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.2 Quelques exemples de contraintes résiduelles . . . . . . . .. . . . . . . . 150

3.2.1 Contraintes résiduelles dans une poutre extrudée en aluminium . . . 1503.2.2 Contraintes résiduelles dans un vilebrequin . . . . . . . .. . . . . 151

3.3 Rappel de quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1523.3.1 Réponse réelle de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.3.2 Réponse purement élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.4 État résiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.4.1 État résiduel (fictif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.4.2 État résiduel (réel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.4.3 Problèmes élastiques associés à l’état résiduel . . . .. . . . . . . . 1553.4.4 Conditions de non nullité de contraintes résiduelles .. . . . . . . . 157

3.5 Compléments sur les contraintes résiduelles . . . . . . . . . .. . . . . . . 1663.5.1 Effets des contraintes résiduelles . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 166

TABLE DES MATIÈRES 5

3.5.2 Mesures des contraintes résiduelles . . . . . . . . . . . . . .. . . 1663.6 Illustration des concepts sur un treillis . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 167

3.6.1 Le treillis : géométrie, comportement et sollicitation . . . . . . . . 1673.6.2 Équations de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.6.3 Champs d’efforts normaux statiquement admissibles (S.A.) . . . . . 1693.6.4 Champs d’efforts normaux statiquement admissibles à zéro (S.A.O.) 1693.6.5 Champs d’allongements cinématiquement admissibles (C.A.) . . . 1693.6.6 Solution du problème purement élastique . . . . . . . . . . .. . . 1703.6.7 Domaine initial d’élasticité dans l’espace (Q1, Q2) . . . . . . . . . 1713.6.8 Comportement élastoplastique du treillis . . . . . . . . . .. . . . 1723.6.9 Décharge et état résiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.6.10 Lien entre état résiduel et allongements plastiques. . . . . . . . . . 1743.6.11 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.7 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4 Structures sous chargements cycliques 1814.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.1.2 Problème étudié et résultats classiques . . . . . . . . . . .. . . . . 1824.1.3 Rappel des résultats classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183

4.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1844.2.1 Résultats sur le comportement asymptotique . . . . . . . . .. . . 1844.2.2 États asymptotiques d’une structure sous chargementcyclique . . . 1844.2.3 L’adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.2.4 L’accommodation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.2.5 Le rochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.2.6 Quelques résultats pour des comportements simples . .. . . . . . . 186

4.3 Adaptation en parfaite plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1884.3.1 Théorème statique d’adaptation de Melan-Koiter . . . .. . . . . . 1884.3.2 Théorème cinématique d’adaptation (Koiter) . . . . . . .. . . . . 1914.3.3 Lien entre coefficients de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . .. . 193

4.4 Adaptation dans le cas standard généralisé . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1934.4.1 Théorème statique d’adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1934.4.2 Coefficients de sécurité à l’adaptation . . . . . . . . . . . . .. . . 1954.4.3 Cas de structure à écrouissage cinématique linéaire . .. . . . . . . 196

4.5 Application : dimensionnement d’une cuve de réacteur . .. . . . . . . . . 2004.5.1 Pression interne maximale admissible . . . . . . . . . . . . .. . . 2044.5.2 Analyse qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.5.3 Solution élastoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2054.5.4 Premier demi-cycle :t ∈ [0, π/2Ω] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.5.5 Deuxième demi-cycle :t ∈ [π/2Ω, π/Ω] . . . . . . . . . . . . . . . 2084.5.6 Troisième demi-cycle :t ∈ [π/Ω, 3π/2Ω] . . . . . . . . . . . . . . 2094.5.7 Comportement asymptotique de type rochet . . . . . . . . . . .. . 209

4.6 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5 Introduction à la fatigue des structures 219

6 TABLE DES MATIÈRES

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.2 Une première expérience de la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2205.3 Un bref historique de la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 222

5.3.1 Apparition de la fatigue des métaux . . . . . . . . . . . . . . . .. 2225.3.2 Essais et critères empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2225.3.3 Problématique du dimensionnement des structures à lafatigue . . . 223

5.4 Approche empirique de la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2235.4.1 Courbes de Wöhler (1860) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.4.2 Définition des différents régimes de la fatigue . . . . . .. . . . . . 224

5.5 Fatigue à grand nombre de cycles : endurance illimitée . .. . . . . . . . . 2255.5.1 Influence de la contrainte moyenne Gerber (1874), Goodman (1899) 2265.5.2 Critères en flexion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.5.3 Notion de critère multiaxial de fatigue . . . . . . . . . . . .. . . . 2295.5.4 Bases expérimentales des critères . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2295.5.5 Grandeurs intervenant dans les critères de fatigue . .. . . . . . . . 2305.5.6 Forme générale des critères de fatigue . . . . . . . . . . . . .. . . 2355.5.7 Critère de Findley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.5.8 Critère de Crossland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.5.9 Critère de Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.5.10 Critère de Dang Van . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.6 Endurance limitée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.7 Fatigue à faible nombre de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 243

5.7.1 Essais de fatigue oligocyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2435.7.2 Critères de durée de vie en fatigue oligocyclique . . . . .. . . . . 244

5.8 Méthodologie de calcul des structures à la fatigue . . . . .. . . . . . . . . 2455.8.1 Calcul de la réponse thermomécanique asymptotique ("stabilisée") . 2465.8.2 Estimation de la tenue à la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246

5.9 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Chapitre 1

Thermodynamique des milieux continus

"We shall travel from the apparently coarse world of the early,industrial engine to the delicate and refined world of the enjoyment

of beauty, and in doing so we shall discover them one."P. W. Atkins,The Second Law.

À la fin de ce chapitre, vous devriez savoir

• L’écriture locale du bilan d’énergie et l’interprétation physique de tous les termes.

• Ce qu’est l’entropie.

• Le lien entre dissipation, irréversibilités et entropie.

• Les interprétations physiques des dissipations thermiqueet intrinsèque.

• L’interprétation physique de l’énergie libre de Helmholtz.

1.1 Introduction : pourquoi la thermodynamique ?

Élaborer des matériaux nouveaux, concevoir des structuresfiables et optimales, les con-trôler activement ou passivement tout en assurant leur intégrité et leur insertion dans leurenvironnement, sont autant d’activités de l’ingénieur faisant intervenir des phénomènes mul-tiphysiques couplés, souvent d’une extrême complexité. Les couplages entre les différentesdisciplines (mécanique traditionnelle, physique, biologie, chimie, etc.) deviennent inévi-tables dès lors que les frontières conventionnelles entre disciplines s’estompent et qu’à cesinterfaces émergent de nouveaux domaines tels que la mécanique du vivant, ou la micro-opto-électromécanique, etc. Ainsi certaines propriétés particulières des matériaux commela piézoélectricité et la mémoire de forme sont exploitées pour la réalisation de dispositifsinnovants. La capacité dont disposent les matériaux piézoélectriques, de se déformer sous

8 Chapitre 1 . Thermodynamique des milieux continus

l’action d’un champ électrique ou inversement de se polariser sous l’action d’une sollicita-tion mécanique est exploitée dans la conception de capteursde pression ou d’actionneurspour le contrôle actif d’injection dans les moteurs d’automobile, l’atténuation de vibrationsdans les ouvrages d’art, les mécanismes des montres à quartz, etc. Il en est de même desalliages à mémoire de forme dont la capacité de changements de phase sous l’action de latempérature et de la contrainte générant la propriété de garder en mémoire des configura-tions géométriques données, est exploitée dans la fabrication d’actionneurs et de capteurs,comme dans celle de dispositifs médicaux comme les stents. Sur un autre plan, les actionsenvironnementales sont autant de sollicitations thermophysicochimiques capables de dégra-der, d’endommager les matériaux et les structures. Dans un procédé comme le soudage, laphysique des plasmas, l’électromagnétisme et la thermo-hydro-metallurgico-mécanique setrouvent étroitement associés. Les couplages entre la thermique, la mécanique, la chimie, laphysique sont donc omniprésents dans les problématiques del’ingénieur. Ils constituent demultiples modes de transfert de l’énergie.C’est justement l’analyse d’une conversion particulière, la transformation de la chaleur entravail, qui fut le point de départ d’une nouvelle science : la thermodynamique. Les "Ré-flexions sur la puissance motrice du feu et les machines propres à développer cette puissance"de Sadi Carnot (1824), en exhibant un rendement maximal pour les machines à vapeur, met-tèrent en évidence un principe universel relatif à la dissymétrie à la nature et à la dissipationd’énergie. Cette dernière demeure toujours au coeur des préoccupations actuelles. À toutesles échelles, sa maîtrise et sa reduction, synomymes d’efficacité énergétique, sont recher-chées.

La thermodynamique fournit un cadre conceptuel permettantun traitement unifié de tousces phénomènes à travers ses deux principes. Le premier principe est un bilan d’énergieéchangée sous toutes les "formes". Il permet déjà de répondre àla question d’accessibilité àun état à partir d’un autre initial. Le second principe discerne les transformations réversiblesde celles qui sont dissipatives. Il permet aussi de quantifier l’énergie dissipée dans un pro-cessus donné et d’identifier les transformations spontanées à partir d’un état donné. Ainsi,nous verrons qu’il impose des restrictions dans le choix de modèles phénoménologiques decomportement de matériaux que nous serions amenés à élaborer.

Ce chapitre est une introduction à la thermodynamique des processus irréversibles à va-riables internes1. Tout milieu continu est caractérisé, à chaque instant, parson état thermo-dynamique constitué par sa position et ses propriétés physiques. Cet état est alors définiau moyen d’un nombre, en général fini, de variables dites d’état. Parmi elles, des variablescontrôlables macroscopiquement, et d’autres, qualifiées d’internes, qui ne le sont pas. À cesvariables, sont associées des forces thermodynamiques décomposées en forces réversibleset forces irréversibles. L’opposé de la puissance des efforts intérieurs est défini comme leproduit des forces thermodynamiques par les vitesses des variables d’état. Il comprend unepartie récupérable, produit des forces réversibles par lesvitesses des variables d’état, et unepartie dissipée, produit des forces irréversibles par les vitesses des variables d’état. Le secondprincipe de la thermodynamique impose à cette dernière, d’être toujours positive.

Les forces thermodynamiques réversibles sont reliées aux variables d’état par des re-lations appelées lois d’état. Celles-ci sont entièrement déterminées par la connaissance de

1Cf. P. Germain, Q.S. Nguyen & P. Suquet,"Continuum thermodynamics", Trans. of the ASME, vol 50, pp1010-1020, 1983.

1.2 État thermodynamique, variables d’état 9

l’expression d’un potentiel thermodynamique (l’énergie libre par exemple) en fonction desvariables d’état.

Ces développements sont d’abord effectués dans le cas de variables d’état indépendantes.Ensuite la prise en compte des liaisons internes est illustrée à partir de deux exemples clas-siques.

1.2 État thermodynamique, variables d’état

Le milieu continu possède, à l’échelle macroscopique, des caractéristiques géométriqueset physico-chimiques (position, température, masse volumique, contraintes, charge élec-trique, potentiel chimique, etc.) représentées par des grandeurs tensorielles (scalaires, vec-teurs, ...). En fonction du problème étudié et de la finesse dela modélisation recherchée,seules les propriétés représentatives des phénomènes prépondérants sont retenues. Leurschamps définissent, à tout instant, l’état thermodynamiquedu milieu.

On suppose qu’à l’équilibre on peut exhiber un nombre finiN de champs de grandeursphysiquesindépendantes2 qui permettent de caractériser complètement l’état thermodyna-mique du milieu continu, c’est-à-dire de définir de manière unique, par des lois physiques,toute autre grandeur physique du milieu. CesN grandeurs physiques(χi, i = 1, ..., N) ap-peléesvariables d’état ne dépendent que du point considéré et de son voisinage immédiat3.Elles décrivent non seulement l’équilibre du milieu, mais aussi ses états successifs dans touteévolution hors équilibre. Cette dernière est supposée tellequ’à toute particule du système enévolution, on puisse associer un état local d’équilibre décrit précisément par les variablesd’état en question. Leur choix, rappelons-le, dépend des phénomènes que l’on souhaite mo-déliser ainsi que de la finesse de la modélisation en question. Il n’est a priori pas unique.

Deux des variables primitives généralement adoptées pour décrire l’étatd’équilibre d’un milieucontinu sont le déplacement par rapport à une configuration de référence et la température. Au ni-veau d’un point matériel (une particule) de ce milieu, la variable cinématique pertinente, dérivée dudéplacement, traduit les variations de distance entre particules ; il s’agit dela déformation (partiesymétrique du gradient du déplacement en petites transformations) pour unsolide, et du volume mas-sique (lié à l’écartement des molécules) pour les fluides. Ainsi l’état d’un fluide parfait en équilibreest totalement défini par sa température et son volume massique, ou plus généralement par deux destrois variables d’état indépendantes (température, pression et volume massique). Comme on le verraà la section 2.3 du chapitre suivant, celui d’un milieu continu en thermoélasticité infinitésimale estcaractérisé par la température et la déformation ; la contrainte et l’entropie,autres grandeurs caracté-ristiques de l’état, leur sont nécessairement liées.

2"Des nombres [. . . ] sont indépendants si la définition de chacun d’eux n’implique aucune relation néces-saire entre la valeur de celui-ci à l’instantt et la valeur des autres au même instantt.[. . . ] lorsque nous parlons dedépendanceentre diverses grandeurs, nous n’entendons jamais parler que d’unedépendancelogique découlant de la définition même, et non d’une dépendancephysiqueexprimée par unerelation destinée à représenter une loi expérimentale ; en sorte que des grandeurslogiquement indépendantespourraient fort bien êtrephysiquement dépendantes; leur donner des valeurs arbitraires serait une opération quin’aurait rien de contradictoire, mais qui ne s’accorderaitpas avec les lois naturelles." Pierre Duhem, "Traitéd’énergétique ou de thermodynamique générale", Gauthier-Villars, Paris, 1911, chap I.

3Comme on s’intéresse à un point (état local) et à un instant (état actuel) on allège les notations en ne faisantpas apparaître la dépendance des variables par rapport au point et à l’instant.


Dans toute la suite, nous nous limitons aux milieux continusen évolution thermoméca-nique en transformations infinitésimales et à leurs particules. Une variable caractéristique del’état local est la température absolueT . En effet, d’une part c’est une variable contrôlable (etobservable) facilement mesurable, d’autre part les processus considérés sont très souvent iso-thermes. Une autre variable locale contrôlable, observable et accessible est la déformationε,partie symétrique du gradient des déplacements. Ces variables se révèlent insuffisantes pourpermettre une caractérisation complète de l’état thermodynamique de la particule présentantcertaines irréversibilités, même en laissant de côté les phénomènes physico-chimiques. Ceciconduit à introduire des variables additionnellesα = (α1, . . . ,αn), appelées variables in-ternes, qui servent à décrire des phénomènes "microscopiques" qui se passent à l’intérieur dela particule. Ces phénomènes peuvent être réversibles ou dissipatifs, tels que les mouvementsde dislocations (responsables de la plasticité des métaux), les glissements entre les cristaux,l’endommagement, les changements de phases, etc.

La déformationε est donc une variablecommandée4, plus précisémentcontrôlabledel’extérieur de la particule. Il n’en est pas de même des variables que nous qualifieronsd’internes: elles ne peuvent pas être contrôlées de l’extérieur5. Elles ne prennent pas partà l’expression du travail mécanique. Bridgman6, à qui Kestin et Bataille7 attribuent l’intro-duction de ces variables, les considère comme dissipativeset les définit comme suit :"anew type of large-scale thermodynamic parameter of state, namely the parameter of statewhich can be measured but not controlled. Examples are the order-disorder rearrangementsin mixed crystals, measurable by X-rays and the dislocations in a solid, measurable by theattenuation of supersonic vibrations. These parameters are measurable, but they are notcontrollable, which means that they are coupled with no external force variable which mightprovide the mean of control. And not being coupled with a forcevariable, they cannot takepart in mechanical work. Such a parameter of state, which enters in no term in the mechani-cal work, can be shown by simple analysis to be one which can take part only in irreversiblechanges. In working out the thermodynamics of actual systemsin which such uncontrollableparameters play a part, the first step will be the determination of the equation of state interms of the new parameters."

Exemple 1.1 On considère une barre cylindrique en acier sollicitée en traction-compressionuniforme. Si elle reste dans son domaine initial d’élasticité, son état thermodynamique est dé-fini par sa températureT et sa longueurL. Lorsqu’elle subit des déformations permanentesde type plastique, à ces deux variables, il faut ajouter au moins le déplacement permanentLp pour caractériser complètement l’état thermodynamique.Si cette barre est le siège de phénomènes d’endommagement (par exemple microfissura-tions ou décohésions entre les grains de la matière) qui affectent ses propriétés mécaniques,

4J. Mandel, "Variables cachées, puissance dissipée, dissipativité normale", Sciences et Techniques de l’ar-mement, 53, 4ème Fasc. pp 525-537, 1979.

5Il s’agit d’un choix. Ainsi l’endommagement peut très bien être induit par des phénomènes physico-chimiques extérieurs tels que les radiations. Voir M. Frémond, "Non-Smooth Thermo-mechanics", Springer,2002.

6P.W. Bridgman : "Reflections on Thermodynamics", American Scientist, 41, pp 549-555, 1953.7J. Kestin & J. Bataille, "Thermodynamics of solids", Continuum Models of Discrete Systems, University

of Waterloo Press, pp 99 -147, 1980.

1.3 Principes de la thermodynamique 11

FIG. 1.1 – Barre sous sollicitation uniaxiale

d’autres types de variable caractérisant cette dégradation seront nécessaires.La température et la longueur sont des variables commandées. Il n’en est pas de mêmede l’allongement permanent (plastique) et de la variable d’endommagement. Ces dernièresn’apparaissent pas dans la puissance des efforts extérieurs qui est toujours donnée par leproduit de la force exercéeF par le taux d’allongementL de la barre.Une représentation schématique de la barre susceptible de subir des allongements perma-nentes de type plastique, est donnée sur la figure 1.2. Elle comprend un ressort en série avecun patin. La variable interneLp représentant le déplacement du patin n’est pas directementcommandée de l’extérieur ; on ne peut pas exercer de force extérieure sur le patin. Si cetteaction est rendue possible, la variable interne sera alors contrôlable de l’extérieur.

LLp

F

FIG. 1.2 – Modèle uniaxial à déplacement permanent représentant la barre en acier

Remarque 1.1 : variables internes contrôlables de l’extérieur

Nous avons supposé que les variables internes ne sont pas contrôlables de l’extérieur etne participent pas au travail des efforts intérieurs (voir l’exemple précédent). On pourrait,sans plus de difficulté, mais au prix d’équations supplémentaires, lever cette hypothèse. Dansun tel cas, ces variables changent de statut et deviennent externes. À cette fin, on pourraconsulter l’ouvrage de M. Frémond8.

1.3 Principes de la thermodynamique

On considère un milieu continu de masse totaleM, occupant à l’instant initial une confi-guration de référenceΩ0 de surface extérieure∂Ω0. Il est constitué de particules identifiéesà leurs positionsX dansΩ0. On désigne respectivement parρ0(X) etT0(X) la masse volu-mique et la température enX à l’instant initial. Le milieu possède d’autres caractéristiquesphysiques qui seront précisées plus loin.À l’instant actuelt, le milieu occupe un domaineΩ(t) de frontière∂Ω(t). Dans cette configu-ration, la particuleX occupe la positionx, est de masse volumiqueρ(x, t), et de températureT (x, t).

8M. Frémond, "Non-Smooth Thermo-mechanics", Springer, 2002.


On se place dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations et d’absence d’échangede matière avec l’extérieur. L’évolution du milieu sous l’action des sollicitations mécaniqueset thermiques peut être supposée, soit comme une successiond’états d’équilibre, soit asso-ciée à une succession d’états d’équilibre. Ceci veut dire quecette évolution est telle qu’ellepeut être définie par les caractéristiques thermodynamiques de ses états successifs d’équi-libre ou par celles des états qui lui sont associés.

Les deux principes de la thermodynamique sont rappelés ; ilspostulent l’existence dedeux fonctions d’état (grandeurs extensives9 dépendant de manière unique des variablesd’état indépendantes), l’énergie interneE et l’entropieS.

1.3.1 Premier principe

Énoncé

Le premier principe exprime un bilan d’énergie pour le système. Il postule que lava-riation de l’énergie totale du système est due à deux quantités échangées avec l’extérieur :travail et chaleur.L’énergie totale du système est composée de l’énergie cinétiqueC et d’une énergie interneE . L’énergie interne du système est donc par définition la composante non cinétique de sonénergie totale. C’est une grandeur objective10, c’est-à-dire indépendante du mouvement del’observateur.Le travail reçu peut provenir de multiples origines (mécaniques, électriques, magnétiques,chimiques, ...). Dans toute la suite, sauf mention contraire explicite, on ne considérera queles quantités de travail mécanique et de chaleur échangées,comme sources de variation del’énergie du système. En notantPe etPcal les puissances des efforts extérieurs et des quantitésde chaleur reçues par le système, le premier principe s’écrit :

E + C = Pe + Pcal . (1.1)

FIG. 1.3 – Sources de variation de l’énergie totale d’un système

On adopte la notation :A =dA

dtpour toute grandeurA.

9c’est-à-dire proportionnelles à la masse du système, donc fonctions additives d’ensemble.10Cf. Jean Salençon, "Mécanique des milieux continus", tome I, Les Éditions de l’École Polytechnique,

sous-section I.2.4 :" Le caractère intrinsèque vis-à-vis du changement de référentiel est appelé, en mécanique,l’objectivité d’une grandeur, d’une équation, ou d’une loi."


Écriture globale objective

L’expression (1.1) du premier principe fait intervenir deux quantités, le taux d’énergiecinétique et la puissance des efforts extérieurs, qui ne sont pas objectives. En revanche leurdifférence l’est. En effet, le théorème de l’énergie cinétique (principe des puissances vir-tuelles appliqué au mouvement réel supposé ici continu et continûment différentiable)11 per-met d’exprimer la puissance des efforts extérieurs en fonction de la puissance des effortsintérieursPi et de la puissance des quantités d’accélérationC sous la forme :

Pe = −Pi + C . (1.3)

On obtient alors l’écriture globale suivante du premier principe :

E = −Pi + Pcal . (1.4)

Cette écriture, à la différence de celle donnée par la relation (1.1), est entièrement formée determes objectifs.

Écriture locale objective

Si on suppose que l’énergie interne, grandeur additive, estrégulière, on a :

E =

∫

Ω(t)

ρ(x, t)e(x, t) dΩ , (1.5)

où e désigne l’énergie interne spécifique (i.e. par unité de masse),ρ la masse volumique.En utilisant la conservation de la masse12, on obtient :

E =d

dt

∫

Ω(t)

ρedΩ =

∫

Ω(t)

ρe dΩ . (1.9)

11Principe des puissances virtuelles.Sa première partie s’énonce comme suit : en référentiel galiléen, pourtout sous-système du milieu considéré, on a :

Pi(U) + Pe(U) = Pa(U) ∀U mouvement virtuel (1.2)

Pi(U) désigne la puissance virtuelle des efforts intérieurs,Pe(U) la puissance virtuelle des efforts extérieurs,etPa(U) la puissance virtuelle des quantités d’accélération. Appliqué au mouvement réel, ce principe conduitau théorème de l’énergie cinétique.

12Conservation de la masse.Il n’y a pas d’échange de masse ni entre le milieu et l’extérieur, ni entre lesdifférents sous-systèmes du milieu. On a donc, en l’absencede discontinuité de la masse volumique et de lavitessev(x, t) :

M = 0 soitd

dt

∫

Ω(t)

ρdΩ =

∫

Ω(t)

(ρ + ρdiv v) dΩ = 0 (1.6)

avecρ =dρ

dt.

Comme cette équation est valable pour tout sous-domaine matériel, on obtient l’équation locale :

ρ + ρdiv v = 0 . (1.7)

En fonction du déplacementξ(x, t), elle s’écrit, dans le cadre de la transformation infinitésimale, sous la forme :

ρ = ρ0(1 − div ξ) . (1.8)


De même si la vitesse réellev est continue et continûment différentiable, l’énergie ciné-tiqueC et la puissance des efforts intérieursPi sont respectivement données par :

C =

∫

Ω(t)

1

2ρ(x, t)v(x, t) · v(x, t) dΩ et Pi = −

∫

Ω(t)

σ(x, t) : ε(x, t) dΩ . (1.10)

oùσ désigne le tenseur des contraintes de Cauchy etε le taux de déformation.La puissance calorifiquePcal est décomposée en deux termes, sous la forme :

Pcal =

∫

Ω(t)

r(x, t) dΩ +

∫

∂Ω(t)

qe(x, t) da , (1.11)

oùr etqe sont respectivement les densités volumique et surfacique de taux de chaleur reçuesde l’extérieur du système.

Compte tenu des expressions précédentes deE, Pi etPcal, le bilan d’énergie (1.4) s’écrit :∫

Ω(t)

ρe dΩ =

∫

Ω(t)

σ : ε dΩ +

∫

Ω(t)

r dΩ +

∫

∂Ω(t)

qe da . (1.12)

L’équation précédente est valable pour tout sous-système deΩ(t) ; en faisant l’hypothèseque le flux de chaleurqe ne dépend que du vecteur normal sortantn(x, t) au point considéré,on montre en utilisant le « lemme du tétraèdre »13, qu’il se met sous la forme :

qe(x, t) = −q(x, t) · n(x, t)

où q est le vecteur flux de chaleur sortant du milieu vers l’extérieur.

Compte tenu de ces expressions, le bilan d’énergie (1.12) s’écrit :∫

Ω(t)

ρe dΩ =

∫

Ω(t)

σ : ε dΩ +

∫

Ω(t)

r dΩ −∫

∂Ω(t)

q · n da

=

∫

Ω(t)

(σ : ε + r − div q) dΩ .(1.13)

L’équation (1.13) précédente étant valable pour tout sous-système deΩ(t), on en déduit laforme locale objective du premier principe qui s’écrit :

ρe = σ : ε + r − div q . (1.14)

Elle met en évidence les deux sources de variation locale de l’énergie interne : puissancemécanique des efforts intérieurs et puissance calorifique.

Autrement dit, cette équation montre que la variation de l’énergie interne d’uneparticule est uni-quement due à la puissance de déformation imposée par l’"extérieur" à la particule (σ : ε), à l’apportde chaleur directement à la particule par l’extérieur(r) et aux échanges de chaleur par conduction(−div q) ; les variables internes n’interviennent que dans des "conversions" d’énergie à l’intérieur dela particule.

13Cf. Jean Salençon, "Mécanique des milieux continus, Tome II", Les Éditions de l’École Polytechnique,2002.


1.3.2 Deuxième principe

Énoncé

Le deuxième principecaractérise et quantifie l’aspect irréversible et dissipatif des évo-lutions du système. Il permet, par exemple, de discerner lesévolutions spontanées d’un sys-tème. Il utilise la température absolueT et introduit la notion d’entropieS14.

Le deuxième principe s’interprète comme le fait que la production d’entropie à l’intérieurdu système est toujours positive, plus précisément strictement positive en présence d’irréver-sibilités et nulle dans le cas d’évolutions réversibles. Elle est égale à la différence entre lavariation d’entropie totale et la somme des quantités élémentaires de chaleur reçue diviséespar la température. Ce principe s’écrit sous la forme

S −(∫

Ω(t)

r(x, t)

T (x, t)dΩ −

∫

∂Ω(t)

q(x, t) · n(x, t)

T (x, t)da

)

≥ 0 , (1.15)

appeléeinégalité de Clausius-Duhem15.

FIG. 1.4 – Sources de variation de l’entropie d’un système

Comme l’entropie du système est une grandeur extensive, on a :

S =

∫

Ω(t)

ρ(x, t)s(x, t) dΩ (1.16)

oùs désigne l’entropie spécifique. La forme locale du second principe (inégalité de Clausius-Duhem), s’écrit alors :

ρs − r

T+ div

q

T≥ 0 (1.17)

soit

ρs − 1

T(r − div q) −

q · ∇T

T 2≥ 0 . (1.18)

14Les notions de température et d’entropie sont classiquement définies en thermostatique. Nous admettonsleur prolongement aux systèmes en dehors de l’équilibre, enadoptant le concept de l’état accompagnant exposéà la section 1.8.

15Cette appellation a été d’abord proposée par C. Truesdell en1952, et reprise par C. Truesdell et R.A.

Toupin, qui ont rajouté le terme sourcer(x, t) à l’inégalité de Duhem(S ≥∫

∂Ω(t)

−q(x,t)·n

T (x,t) da) étendant, aucas de la température non uniforme, celle de Clausius(dS ≥ dQ/T ). Cf. C. Truesdell & R. A. Toupin,TheClassical Field Theories. In : Handbuch der Physik, Vol. III / l, edited by S. Flügge, Springer 1960.


Dissipation

En multipliant la production locale d’entropie (équation (1.18)) par la température, onobtient une grandeur, de nature énergétique, qu’on nommedissipation locale totaleD. Lesecond principe revient alors à dire que cette dissipation est toujours positive :

D = ρT s + div q − r −q · ∇T

T≥ 0 . (1.19)

Une transformation thermodynamiquement réversible est définie parD = 0. Ainsi lagrandeurD caractérise les irréversibilités du système.En utilisant l’équation locale de l’énergie (1.14), on obtient l’expression suivante de la dissi-pation :

D = ρT s − ρe + σ : ε −q · ∇T

T≥ 0 (1.20)

La dissipation totaleD est décomposée en deux termes :

– D1 appelé dissipation intrinsèque, et défini par :

D1 = ρT s − ρe + σ : ε = ρT s + div q − r , (1.21)

– D2 appelé dissipation thermique, et donné par :

D2 = −q · ∇T

T. (1.22)

Hypothèse du découplage des dissipations

Les dissipations, intrinsèqueD1 et thermiqueD2, sont de natures physiques complète-ment différentes (cf. les deux sous-sections qui suivent). Une hypothèse plus restrictive quel’inégalité de Clausius-Duhem consiste à admettre la positivité de chacune d’entre elles, àsavoir :

D1 ≥ 0 et D2 ≥ 0 .

Cette hypothèse assure bien sûr la positivité deD. Désormais, nous l’adopterons.

1.3.3 Interprétation physique de la positivité des dissipations

Interprétation physique de la positivité de la dissipationthermique

En partant de "la seule donnée de l’expérience générale, « immédiate » et indiscutée, surlaquelle nous puissions faire fond"16, qui est que spontanément "la chaleur s’écoule du chaudvers le froid", on obtient l’inégalité de la conduction :

D2 = −q · ∇T

T≥ 0 . (1.23)

Ceci veut dire que la dissipation thermique est toujours positive (la température absolueétant une grandeur positive). On voit qu’elle s’annule pourles transformations adiabatiques(q = 0) ou à température homogène à tout instant (transformationshomothermes).

16Louis Brun, "Introduction à la thermodynamique des matériaux", cours de l’École Polytechnique, 1991.


Interprétation physique de la positivité de la dissipationintrinsèque

L’expression (1.21) de la dissipation intrinsèque conduità celle du taux de chauffage (tauxde « chauffage »17 localement mis en oeuvre au sein de la particule) :

ρT s = r − div q + D1 . (1.24)

Ce taux de chauffage a donc trois origines :– une source de chaleur extérieure volumiquer, directement déposée dans la particule ;– une source de chaleur extérieure−div q correspondant aux échanges de chaleur entre

la particule et son voisinage immédiat ;– une source de chaleur produite à l’intérieur de la particule : c’est la dissipation intrin-

sèqueD1 qui est toujours positive.

L’expression (1.21) de la dissipation intrinsèque permet d’écrire la puissance de déforma-tion de la particule sous la forme :

σ : ε = ρ(e − T s) + D1 . (1.25)

On met ainsi en évidence une décomposition de la puissance mécanique fournie (positive ounégative) à la particule en :

– une partieD1 qui est toujours positive quel que soit le signe de la puissance fournie ;elle représente une part qui ne peut pas "être extraite" sous forme mécanique ;

– une partieρ(e − T s) de signe variable ; on verra à la section 1.4 qu’elle représente lapuissance restituable.

1.3.4 Liens avec les énoncés classiques du second principe

Dans cette section, on verra d’une part que la positivité de la dissipation instrinsèquepermet d’exhiber un minorant de la puissance des efforts extérieurs mise en jeu dans touteévolution et un majorant de la puissance calorifique échangée, d’autre part que la positivitédes dissipation permet quant à elle, devretrouver des énoncés classiques du second principe.

Bornes des énergies échangées

De l’équation (1.24) définissant la dissipation intrinsèque, on déduit les deux résultats quisuivent.

1. Par intégration de l’équation (1.24) sur le domaineΩ(t), on obtient le taux de chaleuréchangé avec l’extérieur :

Pcal =

∫

Ω(t)

ρT s dΩ −∫

Ω(t)

D1 dΩ . (1.26)

17Dans ce contexte, « chauffage » signifie échange de chaleur etpas forcément variation de température quenous qualifierons d’« échauffement » (l’exemple du chauffage de l’eau en ébullition, à température constante,illustre cette terminologie).


Comme la dissipation intrinsèqueD1 est toujours positive, on a toujours :

Pcal ≤∫

Ω(t)

ρT s dΩ . (1.27)

2. D’après le premier principe (Éq. 1.4), la puissance des efforts extérieurs est donnéepar :

Pe = E + C − Pcal . (1.28)

En utilisant l’expression (1.26) du taux de chaleur fourni par l’extérieur, elle devient :

Pe = E + C −∫

Ω(t)

ρT s dΩ +

∫

Ω(t)

D1 dΩ . (1.29)

On a donc toujours :

Pe ≥ E + C −∫

Ω(t)

ρT s dΩ . (1.30)

Énoncés historiques du second principe

En l’absence d’échange thermique (r = 0, q = 0), l’équation (1.24) définissant la dissipationintrinsèque conduit à l’expression suivante de la variation d’entropie :

ρT s = D1 . (1.31)

La positivité de la dissipation intrinsèque entraîne alorsl’impossibilité de diminuer l’entro-pie d’un corps (d’en « extraire de la chaleur »18) uniquement par le travail.C’est une desmultiples formes du second principe.

Pour retrouver d’autres énoncés historiques du second principe, nous allons considérer dessystèmes fonctionnant cycliquement. Rappelons qu’un système effectue un cycle thermody-namique si son état (comprenant notamment son énergie interne, son entropie et sa tempéra-ture) en fin de cycle est identique à son état au début du cycle.Le premier principe, et plus précisément l’intégration de l’équation (1.28) le long d’un cycle,donne :

∆We = −∆Q . (1.32)

∆We et ∆Q représentent respectivement le travail total effectué parl’extérieur au cours ducycle (positif s’il est reçu par le système) et la quantité dechaleur reçue par le système(negative si le système fournit de la chaleur à l’extérieur).L’équation (1.27) associée à l’inégalité de la conduction donne :

∫

cycle

(∫

Ω

r

TdΩ −

∫

∂Ω

q · nT

da

)

≤ 0 . (1.33)

Lorsque l’évolution du système est telle que la températureT (t) est uniforme en son sein, leprocessus est dit homotherme. Dans un tel cas, l’équation (1.33) prend la forme condenséesuivante :

18Rappelons qu’« extraire de la chaleur » signifie diminuer l’entropie, ce qui ne revient pas forcément àbaisser la température.


∫

cycle

Pcal(t)

T (t)dt ≤ 0 . (1.34)

Les deux inégalités précédentes deviennent des égalités dans le cas réversible.

On en déduit les énoncés historiques suivants du second principe.

1. Il est impossible pour un système fonctionnant cycliquement, d’absorber de la chaleursans en rejeter. (Énoncé dit de Carnot & Clausius). Si le système ne fait qu’absorberde la chaleur, la quantité de chaleur reçue est strictement positive sur une partie nonnulle du cycle, et nulle sur le reste du cycle. Comme la température est strictementpositive, l’inégalité (1.34) serait donc impossible à vérifier.

2. Il est impossible pour un système, fonctionnant cycliquement, de fournir du travail,sans rejeter de la chaleur. (Énoncé dit de Carnot, Kelvin & Planck). D’après l’équation(1.32), si le système fournit du travail (∆We < 0) alors (∆Q > 0) ; le système reçoitdonc globalement de la chaleur. Pour satisfaire l’inégalité (1.34), la quantité de chaleurQ doit être négative sur une partie du cycle : le système rejette de la chaleur.

3. Il est impossible pour un système fonctionnant cycliquement, de transformer intégra-lement en travail, une quantité de chaleur extraite d’une source de chaleur unique.(Énoncé dit de Kelvin & Planck).

L’énoncé de Kelvin-Planck est montré dans le cadre restreint suivant : (i) le système (lemoteur) est à température uniformeT (t) et la source (l’extérieur) à la températureTe(t) ; (ii)l’échange de température entre eux se fait uniquement par contact parfait (le taux volumiquede chaleurr est nul, seulq(t) · n le flux de chaleur sortant du moteur est non nul).L’application de l’équation (1.23) à un feuillet infinimentmince autour de l’interface entrele moteur et la source, conduit à l’inégalité :

(1

T (t)− 1

Te(t)

) ∫

∂Ω(t)

q · n dΩ ≤ 0 soitPcal(t)

Te(t)≤ Pcal(t)

T (t), (1.35)

avec Pcal(t) =∫

∂Ω(t)−q · n da .

En appliquant (1.27) au moteur, on obtient :

S ≥ Pcal(t)

T (t)et donc S ≥ Pcal(t)

Te(t). (1.36)

L’intégration de la dernière inégalité sur un cycle donne :∫

cycle

Pcal(t)

Te(t)dt ≤ 0 . (1.37)

C’est l’inégalité de Clausius montre que la quantité globale de chaleur reçue par le sys-tème est négative. L’expression (1.28) du premier principeintégrée sur un cycle permetde conclure à la positivité du travail des efforts extérieurs. Ainsi, ce moteur rejette néces-sairement de la chaleur et reçoit du travail. On vérifie là, l’énoncé du second principe "deKelvin-Planck".

Remarque 1.2 : Nature des dissipations intrinsèque et thermique


Les dissipations intrinsèque et thermique expriment des phénomènes physiques fondamen-talement différents mais qui entraînent tous, des variations d’entropie. La dissipation ther-mique est bien une dissipation au sens "dispersion" de l’énergie et est d’essence locale, alorsque la dissipation intrinsèque représente une dissipationau sens des "préoccupations utilita-ristes des machinistes", dans la mesure où elle traduit le fait qu’une partie du travail méca-nique reçu par le système est irrécupérablement transformée en chaleur. Elle s’exprime aussibien localement que globalement.

1.3.5 Intermède : une vision littéraire du second principe

"Connaissez-vous le second principe de la thermodynamique ? Nul besoin d’avoir faitles Grandes Écoles pour comprendre ce théorème fondamental, car applicable auxdomaines les plus divers. Il est d’une simplicité désarmante. L’entropied’un systèmefermé, dit-il, ne peut que croître. En d’autres termes : le désordre va engrandissant,le vase finit toujours par se briser, et lorsqu’il est cassé en deux, il se cassera en huit,puis en vingt morceaux, les choses se compliquent sans cesse, on nerembobine pas lapellicule du réel. C’est vrai en physique, c’est vrai en politique, en économie, c’est vraien psychologie et dans les affaires du coeur. À l’intérieur d’un systèmeclos n’existent nirepentir ni miracle ; une voie à sens unique conduit à la poussière, au recyclage ultime."

Serge BRAMLY . "Le premier principe. Le second principe."Roman, 2008, éditions JC Lattès.

1.4 Énergie récupérable, lois d’état, forces thermodynami-ques réversibles

Telle qu’elle a été définie précédemment, l’énergie dissipée dans tout processus thermody-namique est une entité positive, résultant de deux contributions. En dehors de la conduction,elle provient de la transformation irréversible d’une partie du travail en chaleur : il s’agitlà, de la dissipation intrinsèque. La partie restante de ce travail fourni est alors réversible,autrement dit récupérable. L’évolution de cette énergie non dissipée est ensuite reliée auxvariations de l’énergie interne en fonction des variables d’état. Ceci conduit à l’introductionde forces thermodynamiques non dissipatives gouvernant cette évolution et reliées aux va-riables d’état par les lois d’état.

L’état d’équilibre thermodynamique19 d’une particule est alors complètement caractérisépar la donnée de l’expression de l’énergie interne en fonction des variables d’état indépen-dantes, ou de manière équivalente par celle des lois d’état,relations reliant les forces ther-modynamiques aux variables d’état.

À toute particule en transformation quelconque, éventuellement hors-équilibre et mettanten jeu des phénomènes réversibles et des mécanismes dissipatifs, on affecte une énergieinterne, fonction des mêmes variables d’état indépendantes qui ont servi à définir les états

19Un état d’équilibre thermodynamique est caractérisé par des variables indépendantes du temps ; un systèmedans un tel état est en équilibre, à la fois, mécanique et thermique avec nécessairement des flux de chaleur nuls.

1.4 Énergie récupérable, lois d’état, forces thermodynamiques réversibles 21

d’équilibre de la particule. La température et l’entropie sont alors reliées par la même loi qu’àl’équilibre. L’énergie interne, ainsi définie, caractérise la partie non dissipative du processusen question ; Il reste, cependant, à définir les lois décrivant l’évolution des irréversibilités.

1.4.1 Énergie récupérable, forces thermodynamiques réversibles etloisd’état en fonction de l’énergie interne

La particule considérée possède, à tout instant, une énergie interne bien déterminée, fonc-tion uniquement des variables d’état. À partir d’un état d’équilibre donné, toute évolutionréelle est telle que l’équation de l’énergie (1.21)

ρe = (σ : ε −D1) + ρT s (1.38)

et les inégalités de la dissipation (sous l’hypothèse du découplage des dissipations)

D1 = ρT s + div q − r ≥ 0

D2 = −q · ∇T

T≥ 0 ,

(1.39)

sont vérifiées.L’énergie interne est une fonction d’état ; ceci veut dire qu’elle ne dépend que des va-

riables d’état qui, par hypothèse, sont celles décrivant les états d’équilibre. Ses variationsentre deux états thermodynamiques d’un processus quelconque éventuellement hors-équili-bre, sont, de ce fait, indépendantes du chemin suivi, alors que la dissipation intrinsèque,grandeur toujours positive, va dépendre du trajet parcouru.

L’équation (1.25) montre que la variation d’énergie interne peut être séparée en deuxparties : une première qui est égale à la variation d’énergieinterne à entropie fixée(σ :ε − D1) et qui correspond donc à la partie récupérable du taux de travail mécanique, et uneseconde égale à la variation d’énergie interne à paramètres, autres que l’entropie, fixés et quicorrespond au taux de chaleur mis en jeu. Deux conséquences découlent de cette équation.D’une part, les variabless et ε apparaissent comme deux arguments "naturels" de l’énergieinterne que l’on peut écrire en fonction des , ε et d’autres variables internesα. D’autre part,comme les variables d’état sont indépendantes20 et l’énergie interne une fonction d’état, ona :

ρ∂e

∂ε: ε + ρ

∂e

∂αα + ρ

∂e

∂ss = (σ : ε −D1) + ρT s . (1.40)

On en déduit les relations suivantes :

T =∂e

∂s(1.41)

ρ∂e

∂ε: ε + ρ

∂e

∂αα = σ : ε −D1 . (1.42)

20Ces variables sont dites normales. Cette définition est précisée plus loin, à la remarque 1.3, à la fin de cettesection.


L’équation (1.42) exprime l’égalité entre la partie non dissipée de la puissance mécanique et

le taux d’énergie interne à entropie fixée. De ce fait,∂e

∂εet

∂e

∂αapparaissent comme les forces

thermodynamiques non dissipatives21, qualifiées de forces thermodynamiques réversibles,associées respectivement aux variables d’étatε etα. Nous les notons :

σrev = ρ∂e

∂ε

Arev = ρ

∂e

∂α

(1.43)

Ces grandeurs duales des variables d’état apparaissant dansl’expression du taux d’énergieinterne, contrôlent la partie non dissipative des processus. L’exposant «nd » est aussi utiliséà la place de «rev » pour les désigner.Les trois équations suivantes :

T =∂e

∂s

σrev = ρ∂e

∂ε

Arev = ρ

∂e

∂α

(1.44)

forment leslois d’état du système. La connaissance de la fonctione(s, ε,α) permet doncd’accéder à celle de la partie non dissipative du processus,c’est-à-dire de déduire toutes sesgrandeurs physiques caractéristiques : l’énergie interneest donc unpotentiel thermodyna-mique.

Exemple illustratif

Afin d’illustrer les concepts qui viennent d’être introduits, on considère le système uni-dimensionnel de la figure 1.5 constitué de trois éléments en série : ressort (mécanisme nondissipatif), un patin (mécanisme uniquement dissipatif) et un second ressort. Ses variablesd’état sont la variation de longueurε, l’entropie S et le déplacement du patinα. L’effortextérieur est notéσ.

Ce système est décomposée en deux sous-systèmes (figure 1.6) :un premier non dissipatifconstitué des deux ressorts en série et un second dissipatifconstitué du patin. Le sous-sytèmenon dissipatif est soumis à deux efforts extérieurs non dissipatifs (ou réversibles) :σrev asso-cié àε, etArev associé àα. De son côté, le patin est soumis à une force dissipativeAirr. Leséquations d’équilibre donnent :

σrev = σ et Arev = −Airr .

21Cette appellation a été proposée par H. Ziegler,cf. H. Ziegler, " An introduction to thermomechanics",North-Holland Publishing Company, 1977.


patin

σ

εα

FIG. 1.5 – Modèle illustratif

ε

α

+ = 0

= σ

σ

Partie non dissipative

Partie dissipative

rev

Arev

Airr

σrev

And

Airr

FIG. 1.6 – Subdivision du système en sous-systèmes non dissipatif et dissipatif.

La puissance mécaniquement stockée, donc non dissipée et récupérable, est celle mise enœuvre sur le sous-système non dissipatif ; elle vaut :σrevε + Arevα.La puissance dissipée intrinsèquement est mise en œuvre surle patin ; elle vaut :D1 =Airrα = −Arevα ; elle représente ici la part de la puissance mécanique fournie transforméeen chaleur.Le taux d’énergie interne est :

E = σrevε + Arevα + T S

= σ ε − D1 + T S .

La puissance dissipée s’écrit aussi :

D1 = T S − δQ

avecδQ le taux de chaleur reçue de l’extérieur.Si le système est adiabatique, la puissance dissipée est égale àT S ; le taux d’énergie interneest égal à celui de l’énergie mécanique fournie au système :E = σ ε.Pour le système en transformation isentropique (sans variation d’entropie), le taux d’énergieinterne est égal à celui de l’énergie mécanique stockée par le système.


1.4.2 Énergie récupérable, forces thermodynamiques réversibles etloisd’état en fonction de l’énergie libre

Énergie libre

L’entropie n’est pas une variable de contrôle commode ; à sa place on préfère adopter latempérature comme variable d’état car d’une part, c’est unevariable observable plus facile-ment mesurable, d’autre part la plupart des processus considérés sont supposés isothermes.Pour cela, on définit un nouveau potentielw(T, ε,α) spécifique (ou massique) par :

w(T, ε,α) = e(s, ε,α) − Ts . (1.45)

w est appeléeénergie libre de Helmholtz. C’est une fonction d’état, fonction de(T, ε,α).

Les deux principes en fonction de l’énergie libre

Une forme locale du premier principe en fonction dew et deD1 est déduite de l’équation(1.25) ; elle s’écrit :

ρw = σ : ε − ρsT −D1 . (1.46)

En désignant parW l’énergie libre totale du systèmeΩ,

W =

∫

Ω

ρw dΩ , (1.47)

une forme globale du bilan d’énergie est :

W + C = Pe −∫

Ω

ρsT dΩ −∫

Ω

D1 dΩ . (1.48)

Lorsque le processus est isotherme, elle s’écrit simplement :

W + C = Pe −∫

Ω

D1 dΩ . (1.49)

Lois d’état en fonction de l’énergie libre

En fonction de l’énergie libre de Helmholtz, les lois d’états’écrivent alors :

s = −∂w

∂T

σrev = ρ∂w

∂ε

Arev = ρ

∂w

∂α

(1.50)

La connaissance de la fonctionw(T, ε,α) permet aussi d’accéder à celle de la partie ré-versible de l’état thermodynamique du système, c’est-à-dire de déduire toutes ses grandeurscaractéristiques :w est unpotentiel thermodynamique.


Remarque 1.3 : énergie libre et variables d’état normales

L’entropie est un argument naturel de l’énergie internee(s, ε, α). Par une transformationde Legendre partielle sur la variables (Éq. 1.45), on a défini l’énergie libre de Helmholtzdont la température devient un argument naturel :w(T, ε, α).On choisit l’énergie libre comme grandeur primale (au lieu de l’énergie interne) et desvariables d’état formant unparamétrage normal de l’état thermodynamique. D’aprèsla définition donnée par P. Duhem, un système de variables d’état est normal22 si latempérature fait partie de ces variables, qu’elle n’est liée par aucune liaison interneaux autres variables et si pour toute variation élémentaire de la seule température (lesautres variables étant maintenues fixes) la dissipation intrinsèque élémentaireainsi queles quantités d’énergie cinétique et de travail reçu élémentaires sont nulles. Le biland’énergie (1.25) devient :

ρ(w + sT ) = σ : ε −D1 , (1.51)

soit :

ρ∂w

∂ε: ε + ρ

∂w

∂αα + ρ

(∂w

∂T+ s

)

T = σ : ε −D1 . (1.52)

Le choix de variables normales entraîne que :

s = −∂w

∂T.

Retour sur l’exemple illustratif

On reprend l’exemple illustratif de la section suivante (figure 1.5), en considérant cettefois-ci la température comme variable d’état à la place de l’entropie. On obtient alors lesrésultats suivants. La puissance mécaniquement stockée, donc non dissipée et récupérable,est celle mise en œuvre sur le sous-système non dissipatif ; elle vaut :σrevε + Arevα.La puissance dissipée intrinsèquement est mise en œuvre surle patin ; elle vaut :Airrα ; ellereprésente ici la part de la puissance mécanique fournie transformée en chaleur.Le taux d’énergie libre de Helmholtz est quant à lui donné par: σrevε + Arevα − ST .Ainsi, pour le système en transformation isotherme, le tauxd’énergie libre est égal à celui del’énergie mécanique stockée par le système.

1.4.3 Potentiel élastique, énergie récupérable

La définition de la dissipation intrinsèque (1.21) a conduità l’équation (1.46) :

σ : ε = ρ(e − T s) + D1

= ρ(w + sT ) + D1

= ρ

(

w − ∂w

∂TT

)

+ D1

= ρw|Tfixe + D1 avec w|Tfixe = w − ∂w

∂T.

(1.53)

22Cette notion a été introduite par Helmholtz (1883) et explicitée par Duhem (Pierre Duhem, "Traité d’éner-gétique ou de thermodynamique générale", Gauthier-Villars, Paris, 1911, chap VI).


Ceci met en évidence la décomposition de la puissance de déformation en une partie nondissipative (réversible ou "élastique")ρw|Tfixe et en une partie dissipéeD1, soit :

σ : ε = ρw|Tfixe + D1

= ρ∂w

∂εε + ρ

∂w

∂αα + D1

= σrev : ε + Arev · α + D1 .

(1.54)

Ainsi dans une transformation isotherme, la partie réversible ρw(Tfixe) est tout simple-ment égale àρw dérivée temporelle (totale) d’une fonction des seules variables(ε,α) : west donc le potentiel représentatif de l’énergie récupérable. Ceci explique l’intérêt d’utiliser,dans un tel cas, l’énergie libre comme potentiel thermodynamique au lieu de l’énergie internepar exemple. Lorsque la transformation isotherme est non dissipative, on a :σ : dε = ρdw.ρw est alors le potentiel élastique.

Pour une transformation adiabatique on a :ρT s = D1. L’équation (1.53) donne alors :σ : dε = ρde. C’est donc l’énergie interne qui joue le rôle de potentiel élastique. Lorsque latransformation adiabatique est non dissipative, elle devient isentropique (s constante) avecbien sûrρe comme potentiel élastique.

1.5 Énergie dissipée, forces thermodynamiques irréversibles

1.5.1 Dissipation et forces thermodynamiques dissipatives

La dissipation intrinsèque, représentant la part de la puissance mécanique non récupérableet convertie en chaleur interne (autrement dit, augmentantl’entropie), s’exprime d’aprèsl’équation (1.54) par :

D1 = (σ − σrev) : ε − Arev · α . (1.55)

La dissipation thermique s’écrit :

D2 = −q

T· ∇T . (1.56)

On les note :D1 = σirr : ε + A

irr · α (1.57)

et

D2 = f irrq·−q

Tou D2 = f irr

T· ∇T . (1.58)

On a posé

σirr = σ − σrev

Airr = −A

rev

f irrq

= ∇T et f irrT

= −q

T.

(1.59)

1.5 Énergie dissipée, forces thermodynamiques irréversibles 27

σirr,Airr et f irrq

(ou f irrT

) sont les forces thermodynamiques dissipatives (appeléesaussi irré-

versibles) associées aux fluxε, α et−q

T(ou∇T ).

Dans toute la suite, on poseA = Airr = −A

rev.

La dissipation intrinsèque s’écrit

D1 = σirr : ε + Airr · α = (σ − σrev) : ε + A · α (1.60)

et la dissipation thermique

D2 = −q

T· ∇T . (1.61)

La dissipation totale (D = D1 + D2) se met formellement sous la forme :

D = Firr · χ (1.62)

où Firr représente les forces thermodynamiques non dissipativesσirr,Airr et−

q

Talors que

χ représente les flux23 ε, α et∇T .

L’inégalité de Clausius-Duhem revient alors à :

D = σirr : ε + Airr · α + f irr

T.∇T ≥ 0 . (1.63)

L’hypothèse de découplage des dissipations adoptée précédemment conduit à :

D1 = σirr : ε + Airr · α ≥ 0 et D2 = −

q

T· ∇T ≥ 0

avec

soit

σirr = σ − ρ∂w

∂ε

Airr = −ρ

∂w

∂α

f irrT

= −q

T

soit

σirr = σ − ρ∂e

∂ε

Airr = −ρ

∂e

∂α

f irrq

= ∇T .

(1.64)

1.5.2 Autre procédure d’obtention des lois d’état

La procédure la plus couramment utilisée pour l’obtention des lois d’état estcelle initiée parColeman et Noll24. Elle consiste à exploiter l’inégalité de Clausius-Duhem qui impose des restrictionsaux lois de comportement. En adoptant l’énergie libre de Helmholtzw(T, ε, α) comme potentielthermodynamique, l’inégalité de Clausius-Duhem (1.20) s’écrit :

D = σ : ε − ρ(w + sT ) −q.∇T

T≥ 0 (1.65)

23La température est considérée comme une variable analogue àla vitesse mécanique, son gradient est doncanalogue à la vitesse de déformationε.

24Coleman B.D., Noll W. The thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity, Arch.Ration. Mech. Anal. 13 (1963) 167-178.


soit :

D = (σ − ρ∂w

∂ε) : ε − ρ

∂w

∂α· α − ρ(s +

∂w

∂T)T −

q

T· ∇T ≥ 0 (1.66)

Comme les variables d’état sont normales, on considère des transformations pour lesquelles seulela température varie arbitrairement et uniformement (T (t) 6= 0), les autres variables d’état étantmaintenues fixes. De l’inégalité précédente, il ne reste plus que :

ρ

(

s(T, ε, α) +∂w(T, ε, α)

∂T

)

T ≥ 0 , ∀ T (t)

d’où

s = −ρ∂w

∂T

(σ − ρ∂w

∂ε) : ε − ρ

∂w

∂α· α −

q

T· ∇T ≥ 0 .

w est une fonction de(T, ε, α) ; en supposant la contrainte indépendante du gradient de la tempé-rature, la dernière inégalité se décompose en deux inégalités indépendantes :

(σ − ρ∂w

∂ε) : ε − ρ

∂w

∂α· α ≥ 0

−q

T· ∇T ≥ 0 .

Dans un processus réversible avecα nul, la contrainteσ est indépendante de la vitesseε ; en la notantσrev, on obtient :

σrev = ρ∂w

∂ε.

1.5.3 Cas particuliers des processus réversibles

On considère un processus thermodynamiquement réversible, c’est-à-dire à dissipationnulle. En adoptant l’hypothèse du découplage des dissipations, on a :

D1 = σirr : ε + Airr · α = 0 et D2 = −

q

T· ∇T = 0 . (1.67)

Par conséquent :– soitq est nul ce qui correspond à une transformation adiabatique ou à un matériau non

conducteur, soit∇T est nul ce qui est le cas des transformations à température homo-gène ;

– si ε est une variable non dissipative, indépendante deα, alors :

σirr = 0 et σ = σrev = ρ∂w

∂ε.

– siα est une variable non dissipative, indépendante deε, alors :

Airr = 0 ;

– siα est une variable dissipative, indépendante deε, avec

α = 0 , alors Airr = −ρ

∂w

∂α= −A

rev.

1.6 Présence de surface de discontinuité 29

1.5.4 Potentiels thermodynamiques et leurs choix

En adoptant l’énergie libre comme potentiel thermodynamique, la températureT s’estnaturellement imposée comme un de ses arguments, donc commevariable d’état.L’énergie interne est reliée à l’énergie librew(T, ε,α) par la relation :

e(s, ε,α) = w(T, ε,α) + Ts = w − ∂w

∂TT . (1.68)

Elle est donc obtenue par une transformation de Legendre25 partielle sur la variableT per-mettant de transformer la fonction−w(T, ε,α) en la fonctione(s, ε,α) possédant les mêmespropriétés.On rappelle (voir section 1.4.3), que dans les évolutions isothermes, l’énergie libre joue lerôle de potentiel réversible (ou élastique) alors que c’estl’énergie interne qui est le potentielélastique dans les évolutions isentropiques.

À partir de l’énergie libre de Helmholtz ou de l’énergie interne, on peut définir d’autrespotentiels thermodynamiques qui peuvent, en fonction des problèmes, s’avérer plus com-modes. Ceci est fait au moyen de la transformation de Legendresur une ou plusieurs desvariables. Ainsi, on définit :

– l’enthalpie spécifiqueh(s, σ,α) par transformation de Legendre sur la variableε, soit :

h(s, σ,α) = e(s, ε,α) − 1

ρσ : ε (h = e − ∂e

∂ε: ε) . (1.69)

Ce potentiel est adapté aux problèmes à contraintes constantes (isobares).

– l’énergie libre spécifique de Gibbsg(T, σ,α) par transformation de Legendre sur lesvariabless et ε, soit :

g(T, σ,α) = e(s, ε,α) − Ts − 1

ρσ : ε (g = e − ∂e

∂ss − ∂e

∂ε: ε) . (1.70)

1.6 Présence de surface de discontinuité

Les grandeurs physiques comme l’énergie interne, l’entropie que nous avons jusqu’à pré-sent considérées comme régulières en temps et en espace, peuvent présenter des disconti-nuités le long de certaines surfaces à l’intérieur du milieuconsidéré. C’est notamment lecas, dans certains milieux, lorsque les sollicitations extérieures sont irrégulières, "brutales"comme lors d’une mise en mouvement. Les perturbations générées se propagent dans les

25La transformée standard de Legendre-Fenchelg(y) d’une fonctionf(x) est donnée par :

g(y) = maxx

(xy − f(x)) .

Si f est convexe différentiable, la transformation de Legendres’exprime comme suit :

pour y =df(x)

dx, g(y) = xy − f(x) .

On rencontre souvent sa définition suivante :g(y) = f(x) − xy.


milieu sà des vitesses et à des intensités fonctions des caractéristiques du milieu.Dans cette section, on va établir les expressions des deux principes de la thermodynamiquele long des surfaces de discontinuité, en dehors desquellesles grandeurs sont supposées ré-gulières.

1.6.1 Dérivées particulaires d’intégrale de volume

On considère une surface géométriqueΣ(t) située à l’intérieur du volume actuelΩ(t)du milieu considéré, et au passage de laquelle certaines grandeurs physiques sont discon-tinues. On désigne respectivement parn(x, t) et W (x, t), le vecteur normal et la vitessenormale de propagation de la surfaceΣ(t) en tout pointx de cette dernière ; on a :W (x, t) =W (x, t) n(x, t). La surfaceΣ(t) orientée parn(x, t), partage le milieu en deux parties :Ω1(t)en amont (d’où vient la discontinuité) etΩ2(t) en aval (où va la discontinuité). La disconti-nuité de toute grandeurb au passage deΣ(t) est alors définie par :

[[b(x, t)]] = b2(x, t) − b1(x, t) .

bI(x, t), I = 1, 2 désigne la valeur limite debI(y, t), pour des pointsy deΩI(t) tendant versle pointx deΣ(t).

FIG. 1.7 – Surface de discontinuitéΣ(t) : orientation et vitesse de propagation

On rappelle l’expression de la dérivée particulaire26 de l’intégrale de la densité volumique

26La dérivée particulaire deb sur un volumeΩ′t dont le contour∂Ω′

t se déplace à la vitesseV c est donnéepar :

d

dt

∫

Ω′

t

bdΩ =

∫

Ω′

t

∂b

∂tdΩ +

∫

∂Ω′

t

b V c · n da .

En appliquant cette formule à chacune des zones (1) et (2) deΩ(t) et en sommant les résultats, on obtient :

d

dt

∫

Ω(t)

b dΩ =

∫

Ω(t)

∂b

∂tdΩ +

∫

∂Ω(t)

b U · nda −∫

Σ(t)

[[b]] W · n da .

L’application de la formule de divergence∫

Ωt

div (b U) dΩ =

∫

∂Ω(t)

b U · n da −∫

Σ(t)

[[b U ]] · n da

1.6 Présence de surface de discontinuité 31

b(x, t) :

d

dt

∫

Ω(t)

b dΩ =

∫

Ω(t)

(∂b

∂t+ div (bU)

)

dΩ +

∫

Σ(t)

[[b (U − W ) · n]] da . (1.71)

La conservation de la masse pour tout sous-système du milieuconsidéré, conduit alors auxdeux équations locales suivantes :

∂ρ

∂t+ div (ρU) = 0 en tout point deΩ(t) , (1.72)

[[ρ(U − W )]] · n = 0 en tout point deΣ(t) . (1.73)

Cette dernière signifie que le débit de masse à traversΣt

jm = ρ(W − U) · n (1.74)

se conserve.(W −U) · n désigne la célérité (vitesse normale) de la surface de discontinuité par rapport àla matière.

À partir de l’équation (1.71) et en tenant compte de la conservation de la masse, la dérivéeparticulaire de l’intégrale de la densité volumiqueρ(x, t)b(x, t) s’écrit :

d

dt

∫

Ω(t)

ρb dΩ =

∫

Ω(t)

ρdb

dtdΩ −

∫

Σ(t)

jm[[b]] da . (1.75)

1.6.2 Écriture des deux principes de la thermodynamique

On va utiliser l’équation (1.75) pour exprimer la dérivée particulaire de l’énergie totaledans l’expression (1.1) du premier principe appliqué à toutsous-systèmeΩ′(t) du milieuconsidéré. On obtient :

E + C =d

dt

∫

Ω′(t)

ρ(e +1

2|U |2) dΩ

=

∫

Ω′(t)

ρd

dt(e +

1

2|U |2) dΩ −

∫

Σ(t)∩Ω′(t)

jm[[e +1

2|U |2]] da .

(1.76)

Par ailleurs, les puissances des efforts extérieurs et des quantités de chaleur s’écrivent :

Pcal =

∫

Ω′(t)

r dΩ −∫

∂Ω′(t)

q · n da , (1.77)

Pe =

∫

Ω′(t)

ρF · U dΩ +

∫

∂Ω′(t)

T · U da . (1.78)

oùρF etT sont respectivement les densités volumique et surfacique d’efforts extérieurs surle sous-système.

permet de retrouver l’équation (1.71).


En écrivant le bilan d’énergie sur un domaine reparti de partet d’autre d’un élément∂Σ(t)de la surface de discontinuité et qu’on réduit en le faisant tendre vers l’élément de surface∂Σ(t), on obtient, en tout point de∂Σ(t) :

jm [[e +1

2|U |2]] = −[[T · U − q · n]] . (1.79)

Comme sur le contour du domaine, on a :T = σ · n, l’équation précédente s’écrit aussi :

jm [[e +1

2|U |2]] = −[[U · σ · n − q · n]] . (1.80)

jm est le flux de masse à travers la surface de discontinuité ; il est donné par :

jm = −ρ(U − W ) · n .

L’inégalité de l’entropie, quant à elle, va s’écrire en toutpoint deΣ(t) :

−jm[[s]] ≥ −[[q · n

T

]]

. (1.81)

1.7 Lois d’état en présence de liaisons internes

L’objectif de cette section est l’écriture des lois d’état et de l’expression de la dissipationintrinsèque dans le cas où les variables d’état sont liées.Les variables d’état (la température absolueT ou l’entropies, la déformationε et les va-riables internesα) caractérisant l’état thermodynamique du milieu continu ont été précé-demment considérées comme indépendantes. On suppose, danscette section, qu’elles sontastreintes à une ou plusieurs liaisons holonomes27 indépendantes, bilatérales ou unilatérales.

Nous allons examiner les modifications qu’apporte la prise en compte de ces liaisons dansles cas particuliers des liaisons internes données ci-dessous.

– La liaison d’incompressibilité, qui assure que le volume est invariable dans toute trans-formation du milieu. Elle s’exprime par :

h(ε) = tr ε = 0 . (1.82)

avec trε = 1 : ε .– Une liaison unilatérale sur une variable interneβ, donnée par :

h(β) ≥ 0 avec h(β) = β . (1.83)

1.7.1 Illustration sur la liaison d’incompressibilité

Par un multiplicateur de Lagrange

On reprend la démarche de la section 1.4 qui a conduit à l’établissement des lois d’état enl’absence de liaisons internes, en partant de la relation (1.52)rappelée ci-dessous :

(σ − ρ∂w

∂ε) : ε − ρ

∂w

∂αα − ρ

(∂w

∂T+ s

)

T = D1 . (1.84)

27C’est-à-dire indépendantes des vitesses des variables.

1.7 Lois d’état en présence de liaisons internes 33

Les fonctions d’état(w, s) sont par hypothèse indépendantes des vitesses des variables d’état28

(en plus d’être indépendantes du gradient de température).Les forces irréversibles(σ−ρ∂w∂ε

)

et ρ∂w∂α

sont supposées indépendantes de la vitesse de température.Comme les variablesd’état de contrôleT et ε sont indépendantes (alors que les composantes deε sont liées, etqueα lié aux vitesses des variables de contrôle et à l’état thermodynamique est ici supposéuniquement fonction des variables d’état), on déduit que :

s = −∂w

∂T(1.85)

(

σ − ρ∂w

∂ε

)

: ε − ρ∂w

∂αα ≥ 0 . (1.86)

La prise en compte de la liaison interne (1.82) réduit l’espace de variations des champs devitesses de déformation. Le champ de vitesse de déformationε est, cette fois-ci, compatibleavec la liaison (1.82), c’est-à-dire qu’il vérifie :

h(ε) =∂h

∂ε: ε = 1 : ε = 0 . (1.87)

Le champα n’est, quant à lui, pas contrôlé de l’extérieur. Il est par conséquent lié aux va-riables de contrôle et à leurs vitesses. Il est ici supposé uniquement fonction des variablesd’état.

En résumé, on a, pour l’état thermodynamique défini par(ε,α, T ) :

s = −∂w

∂T

et ∀ε tel que 1 : ε = 0,

(

σ − ρ∂w

∂ε

)

: ε − ρ∂w

∂αα ≥ 0 .

(1.88)

Il existe donc un champ scalaireλ, appelé multiplicateur de Lagrange, tel que le systèmeprécédent soit équivalent à :

s = −∂w

∂T

et ∀ε,

(

σ − ρ∂w

∂ε− λ1

)

: ε − ρ∂w

∂αα ≥ 0 avec − ρ

∂w

∂αα ≥ 0.

(1.89)

En posant :

σirr = σ − ρ∂w

∂ε− λ1 = σ − ρ

∂w

∂ε− λ

∂h

∂ε

Airr = −ρ

∂w

∂α,

La dissipation intrinsèque s’écrit :

D1 = σirr : ε + Airr · α ≥ 0 .

28Il n’est bien sûr pas de même de la contrainteσ et des forces irréversibles qui sont des variables caracté-ristiques de l’évolution hors de l’équilibre.


Les forces réversiblesσrev etArev sont données par :

σrev = ρ∂w

∂ε+ λ

∂h

∂ε

Arev = ρ

∂w

∂α.

Remarquons que la liaison est parfaite, c’est-à-dire non dissipative.

Par une fonction indicatrice

Une manière compacte de prendre en compte ces liaisons dans l’écriture des lois d’état,est proposée par M. Frémond29. Elle consiste à définir une énergie libre étendue, non diffé-rentiable, et à y dériver les lois d’état par les formules (1.50) dans lesquelles les dérivationssont généralisées aux fonctions non différentiables. Plus, précisément, on procède commesuit.

1. On définit une énergie libre étenduew(T, ε,α) : elle possède une valeur finie quandla liaison est satisfaite et une valeur infinie (non physique) quand la liaison n’est pasvérifiée. Elle s’écrit :

ρw(T, ε,α) = ρw(T, ε,α) + I0(tr ε)

où I0 est la fonction indicatrice de l’origine, c’est-à-dire que:

I0(tr ε) =

0 si tr ε = 0+∞ sinon.

2. On définit les lois d’état par les formules (1.50) en utilisant la notion de sous-différentiel(voir la sous-section 2.2.3, du chapitre 2) :

s ∈ −∂T w = −∂w

∂T

σrev ∈ ρ∂εw = ρ∂w

∂ε+ ∂I0(tr ε) 1

Arev ∈ ρ∂αw = ρ

∂w

∂α

(1.90)

avec∂I0(tr ε) le sous-différentiel deI0(tr ε), donné par :

∂I0(tr ε) =

R si tr ε = 0∅ sinon.

Le fait que ce sous-différentiel soit non vide assure que la liaison est vérifiée (i.e.tr ε = 0).

29M. Frémond, "Non-Smooth Thermo-mechanics", Springer, 2002.


3. La dissipation intrinsèque est donnée par :

D1 = σirr : ε + Airr · α

avec


Airr = −A

rev .

Elle doit être positive, tout comme la dissipation thermique.

1.7.2 Illustration sur la prise en compte d’une liaison unilatérale

Forme de la liaison et compatibilité des vitesses

On suppose qu’en plus de la déformation et de la température,il y a une variable d’étatβsoumise à la liaison :

h(β) ≥ 0 avec h(β) = β. (1.91)

Cette fois-ci, la vitesseβ ne peut plus être quelconque. En plus, Elle peut être discontinue enzéro. On peut la choisir, soit comme la dérivée à droite

β+ = lim∆t→0,∆t>0

β(t + ∆t) − β(t)

∆t.

soit comme la dérivée à gauche30

β− = lim∆t→0,∆t>0

β(t) − β(t − ∆t)

∆t.

Elle doit être compatible avec la liaison (1.91), c’est-à-dire qu’elle vérifie :

∂h

∂ββ quelconque pour h(β) > 0

∂h

∂ββ+ ≥ 0 ou

∂h

∂ββ− ≤ 0 pour h(β) = 0 ,

ce qui, compte tenu de l’expression (1.91) de la fonctionh(β), s’écrit :

β quelconque pourβ > 0

β+ ≥ 0 ou β− ≤ 0 pour β = 0 .

(1.92)

30M. Frémond ("Non-Smooth Thermo-mechanics", Springer, 2002) considère que c’est la dérivée à gauchequi doit être utilisée, car la loi de comportement, obéissant au principe du déterminisme, doit relier les variablesd’état, les forces thermodynamiques et l’histoire du matériau c’est-à-dire son passé. Le choix fait ici, est departir de l’état actuel (connu et fonction de l’histoire) pour déterminer la réponse du matériau.


Par un multiplicateur de Lagrange

On reprend la démarche de la sous-section précédente qui a conduit à l’établissementdes lois d’état pour la liaison d’incompressibilité. On repart donc l’équation (1.52) rappeléeci-dessous :

(σ − ρ∂w

∂ε) : ε − ρ

∂w

∂ββ − ρ

(∂w

∂T+ s

)

T = D1 . (1.93)

Elle est valable pour les vitesses réelles, c’est-à-dire pour des champsε, T arbitraires et

des champs de vitesseβ compatibles avec la liaison (1.91). Ces derniers vérifient donc lesrelations (1.92).Comme précédemment, on déduit qu’il existe un champ scalaireλ ≥ 0, appelé multiplicateurde Lagrange, tel que :

s = −∂w

∂T(1.94)

∀ε, ∀β+,

(

σ − ρ∂w

∂ε

)

: ε − (ρ∂w

∂β+ λ) β+ ≥ 0 , (1.95)

avec λ = 0 si β > 0, λ ≥ 0 si β = 0. Ceci s’écrit aussi :λ ≥ 0, β ≥ 0 et λβ = 0.En utilisant la dérivée à gauche, on a :

∀ε, ∀β−,

(

σ − ρ∂w

∂ε

)

: ε − (ρ∂w

∂β− λ) β− ≥ 0 . (1.96)

La dissipation intrinsèque est écrite sous la forme :

D1 = σirr : ε + B irrβ ≥ 0 ,

avec :

B irr = −Brev = −(

ρ∂w

∂β+ λ

)

et σirr = σ − ρ∂w

∂ε.

B irr = −Brev =

−(

ρ∂w

∂β+ λ

)

siβ+adoptée

−(

ρ∂w

∂β− λ

)

siβ−adoptéeet σirr = σ − ρ

∂w

∂ε.

On a aussi :

s = −∂w

∂T

σrev = ρ∂w

∂ε

Lois d’état avec une énergie libre étendue

Comme dans la section précédente, les lois d’état peuvent être définies à partir de l’énergielibre étendue et de la dérivée à gauche. Pour cela, on procèdede la manière qui suit.


1. On définit une énergie libre étenduew(T, ε, β) : elle possède une valeur finie quandla liaison est satisfaite et une valeur infinie (non physique) quand la liaison n’est pasvérifiée. Elle s’écrit :

ρw(T, ε, β) = ρw(T, ε, β) + I[0,+∞[(β)

avec

I[0,+∞[(β) =

0 si β ∈ [0, +∞[+∞ sinon.

2. Les lois d’état sont alors données par :

s ∈ −∂w

∂T= −∂w

∂T

σrev ∈ ρ∂w

∂ε= ρ

∂w

∂ε

Brev ∈ ρ∂w

∂β= ρ

∂w

∂β+ ∂I[0,+∞[(β)

(1.97)

avec∂I[0,+∞[(β) le sous-différentiel31 deI[0,+∞[(β), qui s’explicite par :

∂I[0,+∞[(β) =

0 si β > 0R

− si β = 0∅ si β < 0 .

3. Et la dissipation intrinsèque s’écrit :

D1 = σirr : ε + B irrβ

avec


B irr ∈ −Brev .

Elle doit être positive.

Exemple de l’endommagement

À titre d’exemple, nous considérons une modélisation, qui sera développée à la section2.6, de l’endommagement. Dans ce contexte, ce dernier traduit essentiellement la perte de larigidité de matériau. On considère le cas il est représenté par une variable scalaireβ32. Cettevariable, caractéristique de l’intégrité du matériau, vaut 1 pour le matériau sain et 0 lorsquele matériau est complètement endommagé. Elle est donc soumise à la liaison interne :

0 ≤ β ≤ 1 .

31Voir la sous-section 2.2.3, du chapitre 2.32voir M. Frémond, "Non-Smooth Thermo-mechanics", Springer, 2002.


De plus, on suppose que le matériau ne peut pas se régénérer,β ne peut donc que décroître :

dβ

dt≤ 0 .

L’existence de ces liaisons internes justifie l’utilisation du formalisme présenté précédem-ment, consistant à utiliser des potentiels étendus par l’ajout des fonctions indicatrices rela-tives aux différentes liaisons.

Le potentiel thermodynamique choisi est l’énergie libre deHelmholtz. Elle est fonctionde la temperatureT , de la déformationε, de la variableβ et du gradient∇β : w(T, ε, β,∇β).Pour tenir compte de la liaison interne sur la variableβ, on utilise une énergie libre étendue,définie par :

ρw(T, ε, β,∇β) = ρw(T, ε, β,∇β) + I(β)

avecI(β) est la fonction indicatrice de l’intervalle[0, 1], c’est-à-dire que :

I(β) =

0 si β ∈ [0, 1]+∞ si β /∈ [0, 1]

Les équations d’état sont :

s = −∂w

∂T

σrev = ρ∂w

∂ε

Brev ∈ ρ∂w

∂β+ ∂I(β)

H rev = ρ∂w

∂∇β

(1.98)

avec

∂I(β) =

0 si β ∈]0, 1[

[0, +∞[ si β = 1

]−∞, 0] si β = 0

∅ si β /∈ [0, 1]

Le bilan d’énergie, homologue de l’équation (1.46), s’écrit :

ρw + ρT s + D1 = σ : ε + Bβ + H · ∇β

avecB etH les forces thermodynamiques associées respectivement àβ et à∇β.Pour compléter la caractérisation thermodynamique du matériau endommageable, les dis-

sipations thermique et intrinsèque doivent être spécifiées. La dissipation intrinsèque se metsous la forme :

D1 = σirr : ε + B irrβ + H irr · ∇β

1.8 Justification physique de l’approche thermodynamique adoptée 39

avec σirr = σ − σrev, B irr = B − Brev H irr = H − H rev. On rappelle que :

D1 ≥ 0 .

Une forme de la dissipation intrinsèque est proposée à la section 2.6 et un modèle de dissi-pation thermique est donnée à la section 2.2.2.

1.8 Justification physique de l’approche thermodynamiqueadoptée

1.8.1 Concept de l’état accompagnant

La thermodynamique a été, historiquement, d’abord élaborée pour les systèmes en équi-libre ou en transformations réversibles ; il s’agissait, plus précisément, dethermostatique.Elle a conduit à la définition de la température absolue et de l’entropie, ainsi qu’aux loisd’état. Une des difficultés, source d’intenses polémiques,a été l’extension de la thermosta-tique aux systèmes évoluant en dehors de l’équilibre. Le problème est que, dans un tel cas,on ne savait définir ni la température, ni l’entropie. Ceci pose naturellement la question de laforme à donner au second principe de la thermodynamique.

Une façon de surmonter ces difficultés et de donner un sens physique aux grandeurs in-tervenant dans les processus hors-équilibre consiste à adopter le concept de l’état accompa-gnant33 qui est explicité dans ce qui suit.On part du premier principe de la thermodynamique ; il s’applique à tout processus. Sa ver-sion locale,

ρe = σ : ε + r − div q , (1.99)

fait intervenir des grandeurs physiques bien définies.Dans un processus réversible, la température absolue et l’entropie ont des sens physiquesclairs et la quantité de chaleur réversible est donnée par :

ρT s = r − div q . (1.100)

Ceci a conduit à l’écriture du bilan local d’énergie,

ρe = σ : ε + ρT s (1.101)

et aux lois d’état (1.44(a) et (b)), caractérisant complètement le processus.La description d’un processus hors-équilibre mettant en jeu des phénomènes réversibles et

des mécanismes dissipatifs, demande un plus grand nombre devariables. Le choix pertinentde ces dernières est lié aux applications envisagées et aux temps caractéristiques des diffé-rents phénomènes et sollicitations en action (voir sectionci-après). Des trois équations (1.99,1.100, 1.101) précédentes, seule la première (1.99) est valable. Pour associer une tempéra-ture et une entropie ayant des significations physiques précises à ce processus, on procèdecomme suit.À tout état thermodynamique hors-équilibre d’un processuslocal quelconque, on associe un

33J. Kestin & J. Bataille, "Thermodynamics of solids", Continuum Models of Discrete Systems, Universityof Waterloo Press, pp 99 -147, 1980.


état d’équilibre thermodynamique, par une transformationadiabatique à déformation et va-riables internes bloquées. L’ensemble de ces états d’équilibre forme un processus fictif nondissipatif, "accompagnant" le processus réel, et au cours duquel les forces réversibles dif-férentes de forces réelles sont mises en jeu lors des variations deε et deα. L’évolution del’état thermodynamique au cours de ce processus accompagnant est donc régie par l’équationsuivante :

ρe = σrev : ε + Arev · α + ρT revsrev . (1.102)

σrev et Arev sont les forces thermodynamiques réversibles (ou non dissipatives) associées

respectivement àε et àα ; elles sont différentes de forces réelles associées aux variationsde ε et deα. En revanche,T rev et srev sont supposées être de bonnes approximations de latempérature et de l’entropie réelles et sont confondues avec T et s. Les variables étant in-dépendantes et l’énergie interne une fonction d’état, on retrouve donc les lois d’état (1.44)pour le processus accompagnant.

Pour le processus réel, les équations (1.99) et (1.102) conduisent alors à :

ρT s − r + div q = (σ − σrev) : ε − Arev · α . (1.103)

En notant

D1 = ρT s − r + div q = (σ − σrev) : ε − Arev · α , D2 = −

q · ∇T

T

etD = D1 + D2 ,

le second principe consiste à admettre, pour ce processus, que

D ≥ 0

ou, en faisant l’hypothèse du découplage des dissipations,que :

D1 ≥ 0 et D2 ≥ 0 .

1.8.2 VER, variables d’état pertinentes, état accompagnant

On rappelle que la notion de milieu continu homogène est liéeà une échelle d’observa-tion. L’échelle macroscopique de l’ingénieur est celle à laquelle les matériaux (typiquementmétalliques) paraissent homogènes. Ces matériaux sont hétérogènes à l’échelle immédiate-ment inférieure, celle des cristaux. Un point matériel (ou une particule) est en fait un micro-système correspondant à un volume élémentaire représentatif (VER) de taille suffisammentpetite devant celle caractéristique de la structure, et suffisamment grande devant celle carac-téristique de la microstructure. Les grandeurs macroscopiques extensives au point considérésont des moyennes de leurs homologues microstructurales sur le VER34. Le VER peut êtrele siège d’irréversibilités (α) telles que des glissements entre ou à l’intérieur des cristaux,des créations de vides, etc. Elles sont décrites à l’échellemacroscopique par des variablesinternes. Une question importante est le choix des variables internes pertinentes pour une ap-plication donnée, caractérisée par la nature des sollicitations, la gamme de leurs intensités et

34A. Zaoui : "Matériaux hétérogènes et composites", Cours de l’École polytechnique, 1994.

1.8 Justification physique de l’approche thermodynamique adoptée 41

de leurs vitesses. Ce choix est dicté, d’une part par le rapport entre les temps caractéristiquesdes réponses des mécanismes internes et ceux des sollicitations, d’autre part par le caractèreréversible ou non de ces mécanismes.Dans ce qui suit, nous résumons la méthode de l’état accompagnant pour bien montrer larelation entre ce dernier et le choix de phénomènes pertinents pour les applications visées.Les variables d’état associées au point matériel en évolution hors équilibre sont donc cellesd’un état d’équilibre accompagnant défini comme suit : le VERest supposé ne plus échangerde la chaleur avec l’extérieur ; sa déformation et un certainnombre (disonsN ) de variablesinternes sont bloquées, les autres évoluant jusqu’à l’équilibre. Comme de plus nous avonssupposé ici, que les variables internes ne sont pas contrôlables de l’extérieur et donc qu’ellesn’interviennent pas dans la puissance des efforts extérieurs, ces deux états ont la même éner-gie interne, la même déformation, alors qu’en revanche l’entropie (et par conséquent la tem-pérature) et la contrainte à l’équilibre accompagnant peuvent être différentes de celles duVER en évolution.

On voit clairement que le choix de l’état d’équilibre accompagnant n’est pas unique. Il estguidé par le rapport du temps caractéristique (τM = ǫ/ǫ) de la déformation (ou de la tempé-rature, si celui-ci est plus faible) et de celui (α/α) des phénomènes décrits par les variablesinternes. Les phénomènes réversibles dont les temps caractéristiques sont négligeables de-vantτM ont atteint leur équilibre : ils ne sont pas pris en compte. Ilen est de même de ceuxdont les temps caractéristiques sont beaucoup plus importants queτM . LesN phénomènesconservés définissent l’état accompagnant dont la température et l’entropie sont affectées àl’état du point macroscopique considéré.


1.9 Récapitulatif

• Premier principe.

– Forme globale : E + C = Pe + Pcal

– Forme locale objective : ρe = σ : ε + r − div q

• Inégalité de Clausius-Duhem.

– Forme globale :S −(∫

Ω(t)

r

TdΩ −

∫

∂Ω(t)

q · nT

da)

≥ 0

– Forme locale :ρs − 1

T(r − div q) −

q · ∇T

T 2≥ 0

• État thermodynamique.L’état thermodynamique, en tout point du milieu continu, est défini à tout instantpar les variables d’état(T, ε,α).

• Potentiel thermodynamique.L’énergie libre spécifique de Helmholtz(T, ε,α) est utilisée comme potentielthermodynamique :w = e − Ts.

– Bilan d’énergie (forme locale) :ρ(w + sT ) + D1 − σ : ε = 0

– Inégalité de Clausius-Duhem :σ : ε − ρsT − ρw −q · ∇T

T≥ 0

– Lois d’état :

s = −∂w

∂T

σrev = ρ∂w

∂ε

Arev = ρ

∂w

∂α= −A

• Inégalités de la dissipation.Le second principe est écrit sous forme de l’inégalité de la dissipation scindée endeux inégalités : dissipation intrinsèque positive et dissipation thermique positive,soit :

D1 = (σ − σrev)︸︷︷︸

: ε + A · α

= σirr : ε + A · α ≥ 0

D2 = −q

T· ∇T ≥ 0

• Bilan d’énergie.Une forme du premier principe, en fonction de l’énergie libre et de la dissipationintrinsèque est :σ : ε = ρ(w + sT ) + D1 = σrev : ε + A

rev · α + D1

1.10 Exercices 43

1.10 Exercices

Exercice 1.1 Thermoélasticité uniaxiale en transformation adiabatique

Objectif : estimation de la baisse (resp. de l’augmentation) de température dans une barred’acier qu’on étire (resp. qu’on comprime). Lien entre les faits que la barre se refroidit quandon la tire et s’allonge quand on la chauffe.

On considère la barre de l’exemple 1.1 en transformation quasi-statique réversible à partird’un état initial naturel. À l’état initial, sa températureuniforme estT0 et sa longueurL0.Son état thermodynamique est décrit par les variables normalesτ = T − T0 et ξ = L − L0,T étant sa température actuelle uniforme etL sa longueur actuelle. La barre est soumise àses extrémités à des déplacementsξ ou à des forces de traction d’intensitéF , et est chaufféeou refroidie de manière uniforme. Elle est en transformations infinitésimales :|ξ| ≪ L0 et|τ | ≪ T0.

FIG. 1.8 – Barre chauffée ou refroidie sous sollicitation uniaxiale

La relation expérimentale entre force, déplacement, et température est de la forme :

F = K(ξ − aτ)

avecK eta des constantes positives. En faitK est précisément défini par :K =EyA0

L0

avec

Ey le module d’élasticité etA0 la section de la barre, tandis quea est donné par :a = αL0

avecα le coefficient de dilatation thermique.La quantité de chaleur élémentaire reçue est donnée par :

dQ = Cξdτ + Ldξ

Cξ(Cξ ≥ 0) etL sont caractéristiques du matériau et peuvent a priori dépendre de la tem-pérature et de la longueur.Cξ est la capacité calorifique de la barre à allongement constant,alors queL est sa chaleur latente.On souhaite déterminer les élévations de température, le module de rigidité de la barre et larelation entre la force et l’allongement quand on étire ou comprime la barre assez rapide-ment pour être dans des conditions adiabatiques. On supposeque la variable de contrôle estle déplacement.

1. Montrer queCξ etL ne dépendent que de T, et établir l’expression deL(T ) en fonctiondeK eta.


On suppose, dans la suite, queCξ est constant. Il est notéC.

2. Déterminer l’énergie interneE(τ, ξ) et l’entropieS(τ, ξ) de la barre ;

3. Montrer que la barre se refroidit quand on l’étire suffisamment rapidement.

4. Déterminer le module d’élasticité adiabatiqueKa et le comparer au module isothermeK.

5. Application : la barre est en acier,Ey = 2 1011Pa, α = 1, 5 10−5K−1, ρ = 7800Kg/m3,c = 472 J Kg−1K−1. c est la capacité calorifique spécifique c’est-à-direC divisée parla masse de la barre. Sa température initiale estT0 = 300K.Calculer le rapportKa/K et la variation de température pour un allongement relatifdeξ/L0 de0, 01.

Solution détaillée

1. Les deux variables d’état de la barre en transformation quasi-statiqueréversiblesont :– l’écart de températureτ = T − T0 ;– l’allongementξ = L − L0.Le potentiel thermodynamique qui leur est naturellement associé est l’énergie librede HelmholtzW (τ, ξ). Il donne les lois d’état suivantes :

F rev =∂W

∂ξ= F

S = −∂W

∂τ.

Comme dW est une différentielle exacte, on a :

∂F

∂τ= −∂S

∂ξ.

Or, en l’absence d’irréversibilités,

dS =dQ

T=

Cξ

Tdτ +

LT

dξ d’où∂F

∂τ= −L

T

ou encore

L = −T∂F

∂T.

C’est une relation de Clapeyron. La loi d’état définissant la force permet la déter-mination de la chaleur latente :

L = −T∂F

∂T= KaT .

De même, dS est une différentielle exacte :

∂Cξ

∂ξ=

∂L∂τ

− LT

d’où∂Cξ

∂ξ= −T

∂2F

∂τ2.

ce qui donne ici :∂Cξ

∂ξ= 0 .

Ainsi, une conséquence de la linéarité deF par rapport àτ est l’indépendance

1.10 Exercices 45

de la capacité calorifique par rapport au déplacement. Ce résultat est bien sûr àremettre en cause dans le cas général.

Remarque :On peut aussi utiliser l’énergie interne. On procède alors comme suit,en commençant par définir les variations de l’énergie interne et de l’entropie :

dE = dWe + dQ= Fdξ + Cξdτ + Ldξ= Cξdτ + (F + L)dξ

dS =Cξ

Tdτ +

LT

dξ

CommeE etS sont des différentielles exactes :

∂Cξ

∂ξ=

∂F

∂τ+

∂L∂τ

et∂Cξ

∂ξ=

∂L∂τ

− LT

d’où∂Cξ

∂ξ= −T

∂2F

∂T 2et L = −T

∂F

∂τ

CommeK eta sont indépendants de la température, et compte tenu de la relationentre la force, l’allongement et l’écart de température, on obtient :

L = KaT

etCξ = Cξ(T ) est alors indépendant deξ.

2. Par la suite, on suppose queCξ est constant, et est notéC. Par intégration de

dE = Cdτ + (Kξ + KaT0)dξ et dS =C

Tdτ + Kadξ

on obtient

E = Cτ +K

2ξ2 + KaT0ξ + E0 et S = C ln

T

T0+ Kaξ + S0

Le développement deS enτ , avec|τ | ≪ T0, conduit à :

S ≈ C(τ

T0− τ2

2T 20

) + Kaξ + S0

soit, au premier ordre

S ≈ Cτ

T0+ Kaξ + S0.

3. Si la barre est sollicitée rapidement (transformation adiabatique) :

dQ = 0 soit Cdτ + KaTdξ = 0

d’où

dτ = −KaT

Cdξ = −EyA0αT

Cdξ

Ainsi la barre se refroidit quand on l’étire35 et s’échauffe quand on la comprime.

35Ce phénomène est analogue à la détente adiabatique d’un gaz.


4. Dans ces conditions, la relation force-déplacement s’écrit :

dF = K(1 +Ka2T

C)dξ ≈ K(1 +

EyA0α2L0T0

C)dξ = Kadξ

Le module de rigiditéKa est donc plus élevé que celui isotherme. Mais commeon le verra dans l’application ci-dessous la différence entre les deux modules esttrès faible pour les matériaux métalliques.

5. Application : la barre est en acier,Ey = 2 1011Pa, α = 1, 5 10−5K−1, ρ =7800Kg/m3, c = 472 J Kg−1K−1. c est la capacité calorifique spécifique c’est-à-dire C divisée par la masse de la barre. Sa température initiale estT0 = 300K.Pour un allongement relatif deξ/L0 = 0, 01, on obtient une baisse de températurede 2,4K.Le rapportKa/K vaut 1,004.

L’énergie libre du ressort est donnée par :

W (τ, ξ) = E − TS

=K

2ξ2 − Kaτξ − C

2T0τ2 − τS0 + W0

avecW0 = E0 − T0S0.

On vérifie qu’on a bien :

S = −∂W

∂τ= C

τ

T0+ Kaξ + S0

F =∂W

∂ξ= Kξ − Kaτ

Commentaires :Comme la transformation est homogène, la structure se comporte comme une particule.La connaissance de l’expression du potentiel thermodynamiqueW (τ, ξ), donc d’uneseule fonction scalaire, permet de définir toutes les transformations réversibles. En effet,en partant d’un état initial connu, si on se donne une histoire des variables de contrôleτ(t) et ξ(t) on a accès à tout instantt, via les lois d’état (donc par dérivation du po-tentiel), à leurs forces réversibles associées, puis à l’énergie interne et éventuellementà la masse volumique via la conservation de la masse. Le matériau entre en jeu parleslois d’état qui lui sont spécifiques. Et expérimentalement, ce sont les lois d’état qu’ondétermine et qui permettent de remonter au potentiel.

Exercice 1.2 Expressions et intérêt des potentiels thermodynamiques

On reprend l’exercice précédent. On suppose queC(T ) =C0T

T0

, C0 est connu.

1. Déterminer les expressions suivantes :

(a) l’énergie interneE(τ, ξ) et l’entropieS(τ, ξ) ;

(b) l’énergie interneE(S, ξ) ;

(c) l’énergie libreW (τ, ξ) ;

1.10 Exercices 47

(d) l’énergie libre de Gibbsg(τ, F ) = W (τ, ξ) − Fξ ;

(e) l’enthalpieh(S, F ) = E(S, ξ) − Fξ.

2. On considère les différents trajets OB, OA, AB, BC de la figure ci-dessous. Déterminerpour chacun d’eux, le travail des efforts extérieurs, la variation de température ainsique la quantité de chaleur mise en jeu.


On a, d’après l’exercice précédent :

F = K(ξ − aτ)

S = C0τ

T0+ Kaξ + S0 .

(1.104)

1. Expressions de l’énergie interneE(τ, ξ) et l’entropieS(τ, ξ).

dE = C(T )dτ + (Kξ + KaT0)dξ = C0T

T0dτ + (Kξ + KaT0)dξ

dS =C(T )

Tdτ + Kadξ = C0

dτ

T0+ Kadξ .

On obtient alors :

E =K

2ξ2 + KaT0ξ + C0τ(1 +

1

2

τ

T0) + E0 et S = C0

τ

T0+ Kaξ + S0 .

On néglige le terme enτ2 dans l’expression de l’énergie interne.

2. Des relations (1.104), on tire les expressions suivantes :

F = Kaξ −KaT0

C0(S − S0)

T − T0 =T0

C0(S − S0) −

KaT0

C0ξ

avec Ka = K(1 +Ka2T0

C0) .


On en déduit :

E(S, ξ) =1

2Kaξ

2 − KaT0

C0(S − S0)ξ +

T0

2C0(S − S0)

2 + T0(S − S0) + E0 .

Dans les évolutions isentropiques (donc adiabatiques ici) :

E(ξ) =1

2Kaξ

2 + constante.

3. On déduit des relations (1.104),

W (τ, ξ) =1

2Kξ2 − Kaξτ − C0

2T0τ2 − S0τ + W0 .

Dans les évolutions isothermes àT0 :

W (ξ) =1

2Kξ2 + W0 .

4. L’énergie libre de Gibbs est définie par :g(τ, F ) = W (τ, ξ)−Fξ . On a donc :

ξ = − ∂g

∂F

S = −∂g

∂τ

et d’après les relations (1.104)

ξ =F

K+ aτ

S = C0Fτ

T0+ aF + S0

avec C0F = C0 + Ka2T0 ,

d’où

g(τ, F ) = −(

1

2

F 2

K+ aτF +

C0F

2T0τ2 + S0τ

)

+ g0 .

5. L’enthalpie est définie par :h(S, F ) = E(S, ξ) − Fξ . On a donc :

ξ = − ∂h

∂F

τ =∂h

∂S

et en utilisant les lois d’état précédentes, on obtient :

ξ =C0

KC0FF +

aT0

C0F(S − S0)

T − T0 =T0

C0F(S − S0) −

aT0

C0FF

d’où

h(S, F ) =1

2

F 2

Ka− aT0

C0F(S − S0)F +

1

2

T0

C0F(S − S0)

2 + T0(S − S0) + h0

1.10 Exercices 49

6. Indication : utiliser le potentiel adapté à chaque trajet (par exempleW pour untrajet isotherme, etc.). On note :∆GIJ la variation de la grandeurG entre les étatsI etJ .

(a) Trajet OA :Le trajet est isotherme donc :

∆WOA =1

2Kξ2

ad = ∆Wext

∆SOA = Kaξad et ∆QOA = KaT0ξad

∆EOA = ∆WOA + ∆QOA =1

2Kξ2

ad + KaT0ξad

(b) Trajet OB :Le trajet est adiabatique (donc isentropique) ; on a alors :

∆EOB =1

2Kaξ

2ad = ∆Wext

∆QOB = 0 et ∆TOB = −KaT0

C0ξad

(c) Trajet AB :Le trajet est à déplacement constant donc :

∆EAB = C0(T − T0) = ∆QAB et ∆Wext = 0

∆SAB = C0T − T0

T0

(d) Trajet BC :Le trajetOC étant isotherme, on a :

∆WOC =1

2Kξ2

iso et ∆SOC = Kaξiso

∆QOA = KaT0ξiso et ∆EOA =1

2Kξ2

iso + KaT0ξiso

Comme l’état enB est déjà connu, on en déduit les variations d’énergie entreB etC.

Exercice 1.3 Thermoélasticité uniaxiale d’un caoutchouc

On se place dans les conditions de l’exercice précédent. La barre est cette fois-ci en caou-tchouc et la relation expérimentale entre force, déplacement et température est de la forme :

F = Tf(ξ)

avecf(ξ) une fonction positive et croissante deξ.

Montrer que :

1. l’énergie interne de la barre est uniquement fonction de la température ;


2. la barre s’échauffe quand on l’étire assez rapidement pour être dans des conditionsadiabatiques.


1. Les variations de l’énergie interne et de l’entropie sont données par:

dE = dWe + dQ = Fdξ + Cξdτ + Ldξ= Cξdτ + (F + L)dξ= Cξdτ + (Tf(ξ) + L)dξ

dS =Cξ

Tdτ +

LT

dξ

CommeE etS sont des différentielles exactes :

∂Cξ

∂ξ=

∂F

∂τ+

∂L∂τ

et∂Cξ

∂ξ=

∂L∂τ

− LT

d’où∂Cξ

∂ξ= −T

∂2F

∂T 2= 0 et L = −T

∂F

∂τ= −F

On en déduit que : dE = Cξdτ . Ainsi,– l’énergie interne est donc uniquement fonction de la température ;– la capacité calorifiqueCξ = Cξ(T ) est indépendante deξ ;– la chaleur latenteL est donnée parL = −Tf(ξ), d’où F = −L = −T ∂S

∂ξ .

Ce modèle est représentatif du comportement du caoutchouc. L’équation précé-dente définissant la forceF montre que celle-ci est liée à la variation d’entropiepar rapport au changement de configuration. Ceci fait dire que l’élasticité du caou-tchouc est d’origine entropique ; en appliquant une force, on diminue le nombrede configurations possibles pour les chaines moléculaires du caouchouc, et parconséquent son entropie baisse.

2. Si la barre est sollicitée rapidement (transformation adiabatique) :

dQ = 0 soit Cdτ − Tf(ξ)dξ = 0

d’où

dτ =Tf(ξ)

Cdξ

Ainsi la barre s’échauffe quand on l’étire et se refroidit quand on la comprime.

Chapitre 2

Lois de comportement

"Quel que soit le point de départ de l’activité scientifique,cette activité ne peut pleinement convaincre qu’en quittantle domaine de base : si elle expérimente, il faut raisonner ;

si elle raisonne, il faut expérimenter. Toute applicationest transcendance."

G. Bachelard,Le nouvel esprit scientifique.


• La démarche à suivre pour formuler et identifier une loi de comportement.

• La définition des matériaux standards généralisés.

• L’écriture de la loi de comportement de tout assemblage rhéologique de ressorts,patins et amortisseurs.

• Le couplage thermoélastique, la plasticité, la viscoplasticité.

• Les différents types d’écrouissages cinématiques et isotropes, linéaires et nonlinéaires.

• L’estimation de l’énergie dissipée dans les différents modèles.

Les enjeux

Il s’agit de caractériser et de modéliser la manière dont répondent les matériaux aux dif-férentes sollicitations (mécaniques, thermiques, électromagnétiques, etc.) afin d’exploiter aumieux leurs propriétés physiques dans les applications technologiques et industrielles. Cetteutilisation optimale des matériaux, partie intégrante de l’art de l’ingénieur, est nécessairepour concilier en permanence les impératifs économiques, les exigences de sécurité et lespréoccupations environnementales. Ainsi, l’ingénieur setrouve systématiquement confronté

52 Chapitre 2 . Lois de comportement

au problème du choix du matériau le plus approprié pour une application technologiquedonnée. Par exemple, concevoir une tuyère de moteur de fusée, c’est, entre autres, recher-cher des matériaux capables de supporter non seulement des températures de 3000K duesaux gaz chauds de combustion et de 173K dues à l’hydrogène liquide circulant au sein de latuyère pour assurer son refroidissement, mais aussi des efforts d’accélération, de poussée,de pression des gaz éjectés, etc. On comprend dès lors que le choix du matériau soit crucial.Cette question se pose aussi bien pour les centrales nucléaires et les moteurs de voiture quepour les structures du génie civil ou pour les objets les plusbanals de la vie quotidienne.

2.1 Présentation

La connaissance des propriétés de matériaux dans leur domaine d’utilisation (si tant estqu’on puisse connaître celui-ci précisément) est indispensable à la conception des structures.La loi de comportement d’un matériau modélise la manière dont celui-ci répond aux solli-citations (mécaniques, thermiques, électromagnétiques,etc). C’est une façon de schématiserle comportement réel en ne prenant en compte que les phénomènes les plus significatifs pourles applications souhaitées. L’approche la plus communément adoptée pour l’établissementdes lois de comportement, est privilégiée ici. Elle est macroscopiquement phénoménolo-gique, inductive. Elle part avant tout d’expériences sur des éprouvettes (ou plus rarement surdes structures) dans des conditions de sollicitations définies qui délimitent son domaine devalidité.

Dans sa formulation, la loi de comportement doit respecter certaines conditions d’inva-riances (indépendance par rapport à l’observateur, isotropie de l’espace, respect des symé-tries de la matière) et être compatible avec les principes dela thermodynamique (admissibi-lité thermodynamique). Plus précisément, le second principe dans une formulation adéquatelui impose des restrictions, permettant ainsi de préciser sa structure et de proposer des formesgénérales vérifiant automatiquement ces restrictions.

Les deux principes de la thermodynamique rappelés au chapitre précédent servent à défi-nir des méthodes générales d’élaboration de lois de comportement qui, répétons-le, résultentde l’expérience. La puissance mécanique fournit à tout système a été décomposée en unepartie potentiellement restituable et une partie dissipée. La donnée d’un potentiel thermo-dynamique fonction des variables d’état donne accès à toutes les propriétés thermodyna-miques réversibles. Elle conduit aux lois d’état, relations entre les variables d’état et leursforces thermodynamiques réversibles associées, qui caractérisent complètement les évolu-tions réversibles du matériau, et la partie réversible des évolutions dissipatives. Mais ellesne donnent aucune indication sur la puissance dissipée, c’est-à-dire sur les évolutions desgrandeurs irréversibles. D’autres lois, qualifiées de complémentaires, doivent être spécifiées.L’hypothèse de dissipativité normale se révèle comme un moyen pratique pour atteindre cetobjectif, en permettant la proposition de modèles "automatiquement" thermodynamiquementadmissibles. Elle conduit à la définition des matériaux standards généralisés, pour lesquelsla loi de comportement est définie au moyen de deux potentiels: un potentiel thermodyna-mique (par exemple l’énergie libre) et un pseudo-potentielde dissipation.

Différents types de comportements sont alors abordés :

2.2 Lois de comportement 53

– la thermoélasticité linéaire est un exemple de comportement sans dissipation intrin-sèque mais couplant la mécanique à la thermique ;

– la plasticité classique est un comportement mécanique nonlinéaire indépendant dutemps physique ; le potentiel de dissipation est alors confondu avec la dissipation in-trinsèque et peut être défini par la donnée d’une fonction de charge convexe définissantun domaine d’élasticité ; plusieurs types de lois élastoplastiques sont étudiées : lois decomportement à écrouissages isotrope, cinématique linéaire, cinématique non linéaireou combiné ;

– la viscoélasticité standard est un exemple de comportement dépendant du temps phy-sique (de la vitesse de chargement par exemple), avec des déformations visqueuses sansseuil ;

– enfin la viscoplasticité, à la différence de la viscoélasticité présente des seuils au-delàdesquels apparaissent les déformations visqueuses.

2.2 Lois de comportement

2.2.1 Intervention du matériau, nécessité de relations supplémentaires

On s’intéresse au problème de l’évolution quasi-statique d’un milieu continu sous l’ef-fet d’une histoire imposée de sollicitations thermomécaniques entre un instant initial et uninstant actuel. Il s’agit alors de déterminer, à tout instant, les champs de toutes les variablesthermomécaniques caractéristiques du système. L’état thermodynamique initial de ce der-nier est supposée connu ; il est défini par ses variables d’état (T0, ε0

,α0) et toutes ses autrespropriétés.

Cas d’une évolution quasi-statique réversible

Considérons d’abord une évolution thermomécanique mécaniquement réversible et quasi-statique. La dissipation intrinsèque est nulle. Le flux de chaleur est soit nul, soit connu. Lesvariables internes (ici dissipatives) n’évoluent pas et gardent leurs valeurs initiales. Leursforces thermodynamiques associées sont donc directement déduites du potentiel thermody-namique. Les champs inconnus du problème sont alors : la masse volumiqueρ, la tempé-ratureT , le déplacementξ, la déformationε, la contrainteσ, l’entropies, soit un total de18 fonctions scalaires inconnues. Pour les déterminer, on dispose des équations de champssuivantes :

– la conservation de la masse (1 équation scalaire) ;– les équations d’équilibre (3 équations scalaires),– les équations de compatibilité (6 équations scalaires),– la conservation de l’énergie (1 équation scalaire)– les lois d’état caractéristiques du matériau (7 équationsscalaires).

Ceci donne un total de 18 équations. Il y a donc d’autant d’équations que d’inconnues.On remarque que le matériau intervient par son potentiel thermodynamiquew(T, ε,α).

La connaissance de cette fonction scalaire permet de définirtoutes les propriétés de la parti-


cule en équilibre. Ce potentiel particularise le matériau constitutif du milieu. Les lois d’état :

s = −∂w

∂T

σrev = ρ∂w

∂ε

Arev = ρ

∂w

∂αécrite par la suite A = −ρ

∂w

∂α

(2.1)

déduites du potentiel par dérivation constituent la loi de comportement du milieu.Expérimentalement, ce sont les lois d’état qu’on détermined’abord pour remonter ensuite

au potentiel. Par exemple, considérons la barre métalliquede l’exercice 1.1 du chapitre 1, entransformation quasi-statique réversible. Sa loi de comportement est donnée par les deuxrelations :

F = c1 ξ + c2 τs = c3 ξ + c4 τ + s0

Les coefficientsc1, c2, c3, c4 sont déterminés à partir d’expériences simples. Ainsi une trac-tion simple isotherme donne accès au coefficientc1, puis une dilatation libre conduit àc2, etla quantité de chaleur reçue dans cette phase au coefficientc4. Tous ces coefficients ne sontpas indépendants, puisqu’il s’agit des dérivées partielles secondes du potentiel thermodyna-mique. Les relations qui les lient sont dites "relations de Clapeyron". C’est ainsi que, dansce cas linéaire, on trouvec2 = −c3.

Cas d’une évolution irréversible

Lorsque l’évolution est irréversible, aux inconnues précédentes se rajoutent : les flux dechaleur (3 fonctions scalaires), les variables internes (Nfonctions scalaires), les contraintesirréversibles (6 fonctions scalaires), les forces thermodynamiques irréversibles associéesaux variables internes (N fonctions scalaires) ; alors que l’on ne dispose que des équationsd’état sur les variables internes (N équations scalaires) comme équations supplémentaires. Ilmanque donc 9 + N équations liées aux irréversibilités matérielles. Il faut d’autres lois gou-vernant l’évolution des variables internes. Ce sont les loiscomplémentaires. Elles doiventpermettre de définir les taux d’évolution des variables internes en fonction des forces ther-modynamiques irréversibles et des variables d’état (ou l’inverse) en respectant l’inégalité deClausius-Duhem (ou les inégalités de la dissipation). La question qui se pose est : commentconstruire ces lois ?Si on écrit la dissipation totale sous la forme :

D = σirr : ε + A · α +−q

T· ∇T = F

irr · χ ,

avec

Firr = (

−q

T, σirr,A) et χ = (∇T , ε, α) ,

ces lois complémentaires seraient de la forme :

Firr = fonction(χ, T, ε,α) ou χ = fonction(F irr, T, ε,α) ,


ce qui s’écrit aussi :

−q

T= f

1(∇T , ε, α, T, ε,α)

σirr = f2(∇T , ε, α, T, ε,α)

Airr = A = f 3(∇T , ε, α, T, ε,α)

(2.2)

ou

∇T = g1(−q

T, σirr,A, T, ε,α)

ε = g2(−q

T, σirr,A, T, ε,α)

α = = g3(−q

T, σirr,A, T, ε,α) ,

(2.3)

(f1, f

2,f 3) et (g

1, g

2, g3) étant respectivement des fonctions des flux et des fonctionsdes

forces thermodynamiques irréversibles, fonctions paramétrées par les variables d’état.

C’est l’expérience et la connaissance des mécanismes irréversibles sous-jacents qui per-mettront de définir ces fonctions. Mais, de même que la donnéedu potentiel thermodyna-mique caractérise complètement les transformations réversibles en définissant les lois d’état,il serait séduisant de disposer d’une fonction scalaire dont la seule connaissance caractérisecomplètement l’aspect irréversible des transformations en définissant les lois complémen-taires.

Justement, l’hypothèse de la dissipativité normale que nous allons adopter, revient à fairedériver les forces irréversibles d’un pseudo-potentiel dedissipation (ou grandeur dissipa-tive). Cette hypothèse permet une construction fiable de modèles thermodynamiquementadmissibles1. Une première illustration de cette hypothèse est donnée par l’étude du com-portement thermique.

2.2.2 Comportement thermique

Loi de Fourier

Ce rappel sur la loi de Fourier sert à introduire l’hypothèse de la dissipativité normale.Cette loi de nature purement phénoménologique établit une relation linéaire (q = −K∇T )entre le flux de chaleurq et le gradient de température∇T par l’intermédiaire du coefficientde conductivité thermiqueK dépendant du matériau.K est positif pour traduire le fait quela chaleur "s’écoule du chaud vers le froid", ce qui assure la positivité de la dissipationthermique. En partant de l’expression générale de cette dernière :

D2 = −q

T· ∇T ,

1Ce n’est bien sûr pas l’unique façon d’obtenir des lois thermodynamiquement admissibles.


nous allons retrouver et réinterpréter la loi de Fourier.

D’une manière générale, dans l’hypothèse d’un mécanisme dedissipation thermique in-dépendant des autres mécanismesα, la loi de comportement thermique est une relation entre

le gradient de température∇T et sa force thermodynamique associée−q

T, fonction de l’état

thermodynamique. La forme (2.2a) s’écrit plus précisément:

−q(∇T )

T= f T,ε,α(∇T )

où les variables d’étatT, ε,α jouent le rôle de paramètres.

À partir de l’état défini par les variables(T0, ε0,α0), on va linéariser la fonctionfT0,ε

0,α0

(∇T )

au voisinage de∇T = 0, c’est-à-dire la remplacer par son développement au premier ordre,ce qui donne :

−q

T= f T0,ε

0,α0

(0) + f ′T0,ε

0,α0

(0) · ∇T , (2.4)

f ′T0,ε

0,α0

(0) étant l’application linéaire tangente en 0, notée par la suiteC(T0, ε0,α0).

Comme le flux de chaleur est nul en l’absence de gradient thermique2 (à température uni-forme, pas de conduction thermique), on a :

f T0,ε0,α0

(0) = 0 .

La relation (2.4) devient alors :

q ≃ − T0C(T0, ε0,α0) · ∇T . (2.5)

En posantK = T0C, on aboutit à la loi de Fourier classique :

q = −K · ∇T (2.6)

K est le tenseur des conductivités thermiques dépendant de l’état thermodynamique, souventconsidéré comme uniquement dépendant de la température, donc comme constant pour lespetites variations de température. Il est spécifique au matériau considéré. De plus, il possèdeles propriétés qui suivent.

1. Il est non négatif. Ceci est imposé par la positivité de la dissipation thermique.

2. Il est symétrique,Kij = Kji (2.7)

ceci, en vertu du principe de réciprocité d’Onsager-Casimir3 qui impose au voisinagede l’équilibre thermodynamique des relations de symétrie ou d’antisymétrie aux coef-ficients reliant flux et forces thermodynamiques.

2La fonctionφ(∇T ) = −q(∇T ) · ∇T est positive, nulle en(∇T = 0). Donc, sa dérivée est nulle en zéro,ce qui conduit àq(0) = 0 , (Voir Coleman et Noll (1963)).

3L. Onsager a établi en 1931 ce type de relations reliant les coefficients cinétiques au voisinage de l’équi-libre, à partir de la réversibilité des phénomènes microscopiques sous-jacents. En 1945, H. Casimir leur donnaleur forme définitive.


3. Il est objectif et respecte les symétries de la matière. Ainsi pour un milieu isotrope :

K = K 1

oùK est un scalaire.

Potentiel de dissipation thermique

La loi de Fourier revient à faire dériver le flux de chaleur−q du pseudo-potentiel de dissipa-tion ϕT (∇T ) donné par :

ϕT (∇T ) =1

2(∇T ) · K · (∇T ) , (2.8)

C’est une fonction positive, quadratique du gradient. Ceci assure la positivité de la dissipationthermique. On a alors :

−q =∂ϕT (∇T )

∂(∇T ). (2.9)

Une manière de généraliser cette loi tout en respectant la positivité de la dissipation ther-mique est de se donner un potentiel de dissipation thermiqueconvexe, non négatif et nulpour ∇T = 0. Ceci revient à effectuer unehypothèse de dissipativité normalepour laconduction.

Remarquons que la dissipation thermiqueD2 est donnée par :

TD2 = 2ϕT .

2.2.3 Dissipativité normale

La démarche précédente va être généralisée et formalisée pour permettre de proposer uneméthodologie fiable d’établissement de lois de comportement mécanique thermodynamique-ment admissibles (c’est-à-dire assurant en toute circonstance la positivité de la dissipationen vérifiant l’inégalité (1.63) de Clausius-Duhem).

Lois complémentaires linéaires

Comme il a été déjà souligné, l’hypothèse de la dissipativiténormale est une générali-sation des relations de symétrie d’Onsager (1931). Ce dernier, à partir d’observations ex-périmentales et des considérations microscopiques, a proposé pour des faibles fluctuationsautour de l’équilibre, une relation linéaire entre les flux vectorielsχ = (χ1, · · · , χN) et lesforces thermodynamiquesF irr = (F irr

1 , · · · ,F irrN),

Firri = Lij · χj (2.10)

où les coefficientsLij, appelés coefficients cinétiques sont symétriques4 (Lij = Lji) et fonc-tions des variables d’état. La dissipation est donnée par :

D = Firr · χ = Lijχiχj .

4Il s’agit dans notre cas de relations de symétries car les fluxconsidérés changent de signe par renversementdu temps (ce sont des quantités dites impaires et affectées d’une signatureǫ = −1). En effet, les relations


Sa positivité est assurée en choisissant l’opérateurL défini positif.On remarque que, dans ce cas, les forces thermodynamiquesF

irr sont données par :

Firr =

∂ϕ(χ)

∂χavec ϕ(χ) =

1

2Lij · χiχj . (2.11)

Généralisation : pseudo-potentiel de dissipation

On considère que les relations entre les flux et leurs forces thermodynamiques ne sontplus linéaires et sont écrites sous la forme :

Firri = ϕi(χj, j = 1, · · · , N) , i = 1, · · · , N (2.12)

les fonctionsϕi vérifiant les relations de symétrie :

∂ϕi

∂χj

=∂ϕj

∂χi

.

On en déduit que les fonctionsϕi dérivent d’un potentielϕ(χ). Cette première généralisa-tion5 des relations (2.10) consiste donc à poser :

Firr =

∂ϕ(χ)

∂χ(2.13)

où ϕ(χ) est une fonction convexe différentiable, non négative, nulle en χ = 0, appelée(pseudo-)potentiel de dissipation. Elle peut aussi dépendre des variables d’état.Ce choix permet d’assurer la positivité de la dissipation.

En effet, commeϕ(χ) est convexe, on a :

∀Z, ϕ(χ) − ϕ(Z) ≤ ∂ϕ(χ)

∂χ· (χ − Z)

soit pour Z = 0,

ϕ(χ) ≤ ∂ϕ(χ)

∂χ· χ .

Comme ϕ(χ) ≥ 0 , on a :

0 ≤ ϕ(χ) ≤ ∂ϕ(χ)

∂χ· χ = F

irr · χ .

de réciprocité entre les coefficients cinétiques des lois linéaires reliant les flux aux forces thermodynamiquesdans les phénomènes de transport, traduisent l’invariancedes équations microscopiques de mouvement parchangement du tempst en−t. Des grandeurs telles que les potentiels thermodynamiqueset l’entropie sontaussi invariantes (quantités paires affectées d’une signature ǫ = +1) alors que la dissipation ne l’est pas.En désignant parǫi la parité deχi et en supposant qu’il ne s’agit pas d’un pseudo-vecteur, lesrelations deréciprocité s’écrivent :Lij = ǫiǫjLji.

5Voir :

1. H. Ziegler. Some extremum principles in irreversible thermodynamics with application to continuummechanics.Progress in Solid Mechanics, I.N. Sneddon & R. Hill, eds. Vol. 4. pp. 91-193. North Holland,Amsterdam, 1963.

2. J.J. Moreau. "Sur les lois de frottement, de viscosité et de plasticité",C.R. Acad. Sci., vol. 271, A, pp.608-611, 1970.

3. P. Germain. Cours de mécanique des milieux continus, tome1. Masson et Cie, Paris, 1973.


Le potentiel de dissipation n’est pas toujours différentiable. Une généralisation des relations(2.13) consiste, à la place du gradient deϕ par rapport aux flux, à utiliser le sous-gradient∂ϕ(χ) qui étend la notion de gradient aux fonctions non différentiables et à poser :

Firr ∈ ∂ϕ(χ) . (2.14)

Le sous-gradient est défini de la façon suivante :

F ∈ ∂ϕ(x0) ⇔ ∀x , ϕ(x) − ϕ(x0) ≥ F · (x − x0)

.

Le choix d’un potentiel de dissipation de la formeϕ(ε, α, ε,α, T ) conduit donc aux loiscomplémentaires suivantes :

(σirr,A) ∈ ∂(ε,α)ϕ(ε, α, ε,α, T ) (2.15)

qui, dans le cas d’un potentiel de dissipation différentiable, s’écrivent :

σirr =∂ϕ(ε, α, ε,α, T )

∂εet A =

∂ϕ(ε, α, ε,α, T )

∂α. (2.16)

Quelques exemples de calcul de sous-différentiels

On donne ci-dessous quelques exemples de calcul de sous-différentiels.

Exemple 1: ϕ(x) = k|x| avec k > 0.

Enx0 = 0, d’après la définition précédente

v ∈ ∂ϕ(0) si ∀x, k|x| ≥ vx d’où ∂ϕ(0) = [−k, k]

Enx0 6= 0, d’après la définition précédente

v ∈ ∂ϕ(x0) si ∀x, k(|x| − |x0|) ≥ v(x − x0) d’où ∂ϕ(x0) = ksign(x0) = ϕ′(x0)

Exemple 2: ϕ(x) est la fonction indicatrice d’un convexe K, i.e.

ϕ(x) = IK =

0 si x ∈ K+∞ si x /∈ K

(2.17)

ϕ(x) est alors une fonction convexe.On a :

∂ϕ(x) =

∅ si x /∈ K

0 si x ∈ K0

(intérieur deK)NK(x) si x ∈ ∂K (frontière deK)

(2.18)

NK(x) désigne le cône des normales extérieures àK enx.


kx

−kx

k

ϕ(x) ϕ(x)

O

O

FIG. 2.1 – Exemple de sous-différentiel d’une fonction non différentiable

En effet :Si x0 /∈ K, on a :

v ∈ ∂ϕ(x0) si ∀x, ϕ(x) −∞ ≥ v · (x − x0) d’où ∂ϕ(x0) = ∅ .

Si x0 est à l’intérieur deK, on a :

v ∈ ∂ϕ(x0) si ∀x, ϕ(x) ≥ v · (x − x0) d’où ∂ϕ(x0) = 0 .

Si x0 est sur la frontière deK, on a :

v ∈ ∂ϕ(x0) si ∀x, ϕ(x) ≥ v · (x − x0)

doncv ∈ ∂ϕ(x0) si ∀x ∈ K, 0 ≥ v · (x − x0)

d’où∂ϕ(x0) = NK(x0) = cône des normales extérieures enx0 .

FIG. 2.2 – Sous-différentiel de la fonction indicatrice d’un convexe

Remarque : si K = x tel que f(x) ≤ 0 où f est une fonction convexe différentiable,alorsNK(x) = v tel que v = λ∇f, λ ≥ 0, f(x) ≤ 0, λf(x) = 0.


I[−k,k]I[−k,k]

x−k kO

x−k O k

FIG. 2.3 – Exemple de sous-différentiel de la fonction indicatrice I[−k,k] de [−k, k]

Application :K = [−k, k] = x tel que f(x) = |x| − k ≤ 0

∂I[−k,k](x) =

∅ si x /∈ [−k, k]0 si x ∈ ] − k, k[R+ = λ, λ ≥ 0 si x = kR− = λ, λ ≤ 0 si x = −k

(2.19)

Ainsi : NK(k) = λ, λ ≥ 0 = R+ et NK(−k) = λ, λ ≤ 0 = R− .

Potentiel dual

L’inversion de la relation (2.14) permet d’obtenir les fluxχ = (ε, α) en fonction desforces thermodynamiquesF irr = (σirr,A). Elle est effectuée, pourϕ convexe, en utilisant lepotentiel dual définiϕ⋆ par la transformation de Legendre-Fenchel deϕ :

χ ∈ ∂ϕ⋆(F irr) (2.20)

soit(ε, α) ∈ ∂(σirr ,A)ϕ

⋆(σirr,A, ε,α, T ) (2.21)

avecϕ⋆(F irr) = sup

χ

[F

irr · χ − ϕ(χ)]

. (2.22)

ϕ⋆ est alors une fonction convexe. Et on a les équivalences suivantes :

Firr ∈ ∂ϕ(χ) ⇔ χ ∈ ∂ϕ⋆(F irr) ⇔ ϕ(χ) + ϕ⋆(F irr) = F

irr · χ (2.23)

Dans le cas d’un potentiel différentiable, les relations (2.20 et 2.21) s’écrivent :

χ =∂ϕ⋆(F irr)

∂Firr (2.24)

soit,

ε =∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α, T )

∂σirret α =

∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α, T )

∂A. (2.25)


2.2.4 Matériaux standards généralisés

Une façon systématique de proposer des lois de comportementthermodynamiquementadmissibles est d’utiliser l’hypothèse de dissipativité normale appliquée à toutes les va-riables dissipatives. Elle conduit à la définition des matériaux standards généralisés6. Pré-cisons d’emblée que ces derniers ne couvrent pas tous les comportements des matériaux.

Un matériau est dit standard généralisé si son comportementmécanique peut êtredéfini par deux potentiels :

• une énergie libre spécifiquew (de Helmholtz par exemple) dépendant des va-riables d’état actuelles(ε,α, T ) ; elle permet de définir les lois d’état donnant lesforces thermodynamiques associées aux variables d’état :

σrev = ρ∂w(ε,α, T )

∂ε, A = −ρ

∂w(ε,α, T )

∂αet s = −

∂w(ε,α, T )

∂T(2.26)

• un pseudo-potentiel de dissipationϕ fonction des fluxχ = (ε, α) et éventuelle-ment des variables d’état ; il permet de définir les lois complémentaires reliant lesflux aux forces thermodynamiques par la relation :

(σirr,A) ∈ ∂(ε,α)ϕ(ε, α, ε,α, T ) (2.27)

qui s’écrit dans le cas d’un potentiel de dissipationϕ différentiable :

σirr =∂ϕ(ε, α, ε,α, T )

∂εet A =

∂ϕ(ε, α, ε,α, T )

∂α(2.28)

Ce potentiel est supposé convexe par rapport aux flux(ε, α) et minimum en(ε = 0, α = 0).

Cette dernière propriété permet de garantir la positivité dela dissipation intrinsèqueD1.En effet,

D1 =∂ϕ(χ)

∂χ· χ ≥ ϕ(χ) − ϕ(0) ≥ 0 .

Les relations (2.27) ou (2.28) sont inversées en utilisant le potentiel dual de dissipationϕ⋆

obtenu à partir de la transformation de Legendre-Fenchel deϕ : les flux (ε, α) sont alorsexprimés en fonction des forces thermodynamiques(σirr,A).

Note historique

L’idée d’utiliser une fonction dissipative fonction des flux, remonte à LordRayleigh (1873) pourdes problèmes relatifs aux fluides visqueux. On la retrouve aussi chez Biot (1954) en viscoélasticité.H. Ziegler (1958) a énoncé le principe d’orthogonalité pour les processus irréversibles et utilisé la

6B. Halphen & Q.S. Nguyen. Sur les matériaux standards généralisés.Journal de Mécanique, vol. 14, no1,pp 39-63, 1975.

2.3 Thermoélasticité 63

convexité de la fonction dissipative. Cette approche a été généralisée parMoreau (1970) pour donnerles milieux dissipatifs standards et par Germain (1973). Elle a permis à Halphenet Nguyen (1975) dedéfinir les matériaux standards généralisés, matériaux élastoviscoplastiques dont toutes les variablesinternes dissipatives sont à dissipativité normale. Leur première définition (1975) semble exclure ladépendance des pseudo-potentiels de dissipation par rapport aux variables d’état. Une définition pluslarge est donnée par Q.S. Nguyen7. Le formalisme des matériaux standards généralisés permet souscertaines conditions de démontrer des théorèmes d’unicité et des résultats de stabilité et de bifurcation(cf. Q.S. Nguyen 2000).

2.3 Thermoélasticité

Le comportement thermoélastique est présenté par la très grande majorité des matériauxet des structures sous des sollicitations relativement faibles. Il précède et accompagne descomportements anélastiques induits par la plasticité, la viscoplasticité, l’endommagement,etc.Les effets des variations de la température sur la réponse mécanique des structures sontsouvent importants et non négligeables. Ils sont pris en compte par un couplage faible (uni-quement par l’influence de la température sur la mécanique).Ceci est justifié dans la mesureoù les variations de températures induites par les sollicitations mécaniques sont en généraltrès faibles. Dans certains cas comme par exemple dans l’estimation des différentes sourcesde chaleur en jeu dans processus irréversibles, ou pour certaines pièces de précision, il peutêtre utile de quantifier les dégagements de chaleur dus au couplage thermoélastique. L’objetde cette section est la présentation du comportement thermoélastique avec un couplage fort,selon le formalisme thermodynamique introduit précédemment. Le cadre considéré est celuides transformations infinitésimales autour d’un état initial naturel ou quasi-naturel8. Le casde petites variations de température est d’abord traité avant d’aborder celui des variations detempérature.

2.3.1 Comportement thermoélastique linéaire

Un matériau thermoélastique est sans dissipation intrinsèque ; sa seule source de dissipa-tion est la conduction thermique. Il est, par conséquent, complètement caractérisé par :

1. son énergie libre définissant les comportements réversibles ;

2. son potentiel de dissipation thermique conduisant, dansle cas linéaire, à la loi deconduction de Fourier.

Les variables d’état choisies pour définir l’état thermodynamique sont la déformationεet la températureT . Le potentiel thermodynamique naturel, cohérent avec ce choix de va-riables, est l’énergie libre de Helmholtz. Ainsi, les fonctions d’état, énergie libre et entropie,s’écrivent :w(ε, T ) ets(ε, T ). L’état d’équilibre initial, qui sert de configuration de référence,est défini par les variables d’étatε

0= 0 et T0, leurs forces thermodynamiques réversibles

associéesσ0

et s0, et la densitéρ0.

7Q.S. Nguyen. Stabilité et mécanique non linéaire. Hermès Science Publications, Paris, 2000. p 60.8cf. Jean Salençon. Mécanique des milieux continus, tome II, LesÉditions de l’École Polytechnique ;

et P. Le Tallec. Mécanique des milieux continus, École Polytechnique.


Lois d’état

Les lois d’état s’écrivent, en l’absence de liaisons internes :

σrev = ρ0

∂w(ε, T )

∂εet s = −

∂w(ε, T )

∂T. (2.29)

Comme la dissipation intrinsèque (1.60) donnée par :

D1 = (σ − σrev) : ε ≥ 0 (2.30)

est nulle pour tout état, quelles que soient les vitesses deε, on obtient :

σ = σrev . (2.31)

On va linéariser les lois d’état au voisinage de l’état initial9, c’est-à-dire remplacer les ex-pressions (2.29) par leur développement au premier ordre endéformation et en écart detempérature(τ = T − T0)

10. Ceci conduit à :

σ(ε, T ) = ρ0∂w(0, T0)

∂ε+ ρ0

∂2w(0, T0)

∂ε∂ε: ε + ρ0

∂2w(0, T0)

∂ε∂Tτ

s(ε, T ) = −∂w(0, T0)

∂T− ∂2w(0, T0)

∂T∂ε: ε − ∂2w(0, T0)

∂T 2τ .

(2.32)

Or

ρ0∂w(0, T0)

∂ε= σ

0et −∂w(0, T0)

∂T= s0 .

Si on pose

C = ρ0∂2w(0, T0)

∂ε∂ε

k = −ρ0∂2w(0, T0)

∂T∂ε= −

∂σ

∂T

β = −∂2w(0, T0)

∂T 2

(2.33)

les relations (2.32) s’écrivent (ε0

= 0) :

σ(ε, τ) = σ0+ C : ε − kτ

s(ε, τ) = s0 +k

ρ0

: ε + βτ .

(2.34)

9En toute rigueur, la linéarisation se fait dans la configuration de référence, avec le tenseur Green-Lagrangecomme variable d’état. Elle conduit à la définition du tenseur des contrainte Piola-Kircchhoff. Des hypothèsessupplémentaires (état naturel ou quasi-naturel) sont nécessaires pour aboutir à l’expression simplifiée du tenseurde Cauchy, obtenue dans ce qui suit (voir les cours de J. Salençon et de P. Le Tallec).

10Autrement dit, linéarisery = f(x) au voisinage dex0, c’est écrire :y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0).


Interprétation des différents coefficients thermoélastiques

C est le tenseur d’élasticité. C’est un tenseur du quatrième ordre. Dans le cas général, il

possède 21 coefficients indépendants, compte tenu des symétries du tenseur des défor-mations et du potentiel thermodynamique.

k est le tenseur des coefficients thermoélastiques. Son interprétation est obtenue commesuit : on remarque que la quantité de chaleur spécifique reçuequ’on a coutume d’écriresous la forme

δQ =Lρ0

: ε + cǫτ (2.35)

oùL est le tenseur des chaleurs latentes relatives aux différents modes de déformationet cǫ est la chaleur spécifique (ou capacité calorifique) à déformation constante, estégale à

T (s − s0) = Tk

ρ0

: ε + Tβτ . (2.36)

Ainsi

L = Tk = −ρ0T∂2w

∂T∂ε

cǫ = Tβ = −T∂2w

∂T 2

(2.37)

D’autre part, on remarque aussi que

L = −T∂σ

∂T= ρ0T

∂s

∂ε

et donc que :∂σ

∂T= −ρ0

∂s

∂ε.

De même,

cǫ = T∂s

∂T.

Le coefficientβ est donc relié à la chaleur spécifique à déformation constante par :

cǫ = Tβ .

Les propriétés des différents tenseurs physiques de thermoélasticité linéaire découlent del’objectivité, des symétries de la matière et de la stabilité thermodynamique des matériaux.De plus, l’égalité des dérivées croisées du potentiel thermodynamique ainsi que la symétriedeε conduisent aux relations de symétrie suivantes :

Cijkl = Cklij = Cjikl et kij = kji . (2.38)


Loi complémentaire

La seule source de dissipation est la conduction thermique.Sa linéarisation effectuée à lasection 2.2.2 a conduit à la loi de Fourier :

q = −K · ∇T (2.39)

oùK est le tenseur des conductivités thermiques spécifique au matériau considéré et dépen-dant de l’état initial. Il est non négatif et symétrique,

Kij = Kji . (2.40)

En résumé, au voisinage de l’état initial d’équilibre, défini parε0

= 0, T0, σ0, s0 etρ0, la loi

de comportement du solide thermoélastique linéaire11 est donnée par :

σ = σ0+ C : ε − kτ

s = s0 +k

ρ0

: ε +cǫ

T0

τ

q = −K · ∇T

avec τ = T − T0 . (2.41)

L’énergie libre s’écrit :

ρ0w(ε, T ) =1

2ε : C : ε − k : ε (T − T0) + σ

0: ε

−1

2ρ0

cǫ

T0

(T − T0)2 − ρ0s0(T − T0)

(2.42)

2.3.2 Énergie interne en thermoélasticité linéaire

Dans cette section, on établit l’expression de l’énergie interne en fonction de ses variablesnaturelles (l’entropie et la déformation) en thermoélasticité linéaire.On exprime d’abord l’écart de température en fonction de l’entropie et de la déformation àpartir de la relation (2.41) :

T − T0 =T0

cǫ

(s − s0) −T0

ρ0cǫ

k : ε (2.43)

L’énergie interne est alors donnée par :

ρ0e(ε, s) = ρ0w(ε, T (s, ε)) + ρ0T (s, ε)s

=1

2ε : C : ε − k : ε (T − T0) + σ

0: ε

−1

2ρ0

cǫ

T0

(T − T0)2 − ρ0s0(T − T0) + Ts

(2.44)

11Les circonstances (état initial quasi-naturel, transformation infinitésimale, gradient de déplacement et dé-formation de même ordre de grandeur) autorisant cette écriture sont explicitées dans l’ouvrage de Jean Salençon"Mécanique des milieux continus", tome II, chap.VII.5.4. Les Éditions de l’École Polytechnique.


Après substitution deT par son expression (2.43), on obtient finalement,

ρ0e(ε, s) = w + Ts

=1

2ε : (C +

T0

ρ0cǫ

k ⊗ k) : ε + σ0

: ε

+1

2

ρ0T0

cǫ

(s − s0)2 − T0

cǫ

k : ε (s − s0) + ρ0T0s

(2.45)

Les lois d’état sont alors :

σ = ρ0∂e

∂ε= σ

0+ (C +

T0

ρ0cǫ

k ⊗ k) : ε − T0

cǫ

k (s − s0)

T =∂e

∂s= T0 +

ρ0T0

cǫ

(s − s0) −T0

cǫ

k : ε

(2.46)

2.3.3 Évolution thermoélastique

Les équations de champ du problème d’évolution thermoélastique comprennent les équa-tions universelles (conservation de la masse, équations dela dynamique, conservation del’énergie) et la loi du comportement.La conservation de la masse s’écrit :

ρ = ρ0(1 − div ξ) (2.47)

où ξ désigne le champ de déplacement. Par la suite on prendraρ ≃ ρ0.

Les équations de champ de la dynamique s’écrivent :

divσ + ρ0F = ρ0

∂2ξ

∂t2(2.48)

avecF les forces massiques appliquées au solide.

À partir de l’équation (1.21) établie grâce à la conservation de l’énergie et au second principede la thermodynamique, on aboutit à l’équation de la chaleurexplicitée ci-dessous :

div (−K.∇T ) + ρ0T s = r + D1 . (2.49)

En utilisant l’expression (2.41b) de l’entropie et la nullité de la dissipation intrinsèque, onobtient :

div (−K.∇T ) + T0k : ε + ρ0cǫT = r . (2.50)

Finalement, les équations de champ du problème thermoélastique s’explicitent par :

divσ + ρ0F = ρ0

∂2ξ

∂t2

div(K.∇T ) + r = T0k : ε + ρ0cǫT

(2.51)


À ces équations, s’ajoutent les équations de compatibilité(relations entre déformations etdéplacements), la loi de comportement (2.41), les conditions initiales et aux limites.

Matériau thermoélastique linéaire isotrope

On considère un matériau présentant un comportement thermoélastique linéaireisotropeà partir d’un état initial défini par la masse volumiqueρ0 et les champs de températureT0 etde contrainteσ

0, La propriété d’isotropie entraîne une réduction du nombredes coefficients

indépendants des différents tenseurs thermoélastiques (C, k) et thermiqueK. Ainsi :

1. Le tenseurC ne s’écrit plus qu’en fonction de deux coefficients indépendants,λ et µ

appelés coefficients de Lamé.

En effet, la forme quadratique1

2ε : C : ε, fonction scalaire isotrope du tenseurε, s’écrit d’après

le "théorème de représentation"12, uniquement en fonction des invariants deε. Elle ne fait doncintervenir ici que les deux invariants trε et 1

2 tr(ε2) = 12ε : ε, et est nécessairement de la forme :

1

2ε : C : ε =

1

2λ(tr ε)2 + µε : ε (2.52)

avecλ etµ deux coefficients scalaires.

2. Le tenseurk s’écrit en fonction d’un seul coefficient thermoélastiquek sous la formek = k1.

3. Le tenseur des conductivités thermiquesK s’écrit en fonction d’un seul coefficientsous la formeK = K1.

Les équations de champ (2.41 et 2.51) précédentes s’écrivent, en posantτ = T − T0 :

σ = σ0+ λtr(ε)1 + 2µε − kτ1

s = s0 +k

ρ0

(tr ε) +cǫ

T0

τ

q = −K∇T

(2.53)

divσ + ρ0F = ρ0

∂2ξ

∂t2

ρ0cǫT −K∆T = r − T0k(tr ε)

(2.54)

12Voir par exemple, Jean Salençon "Mécanique des milieux continus", tome I, Annexe 5.7. Les Éditions del’École Polytechnique.


Autres expressions en thermoélasticité linéaire isotrope

1. Décomposition deC. En écrivant le produitC : ε en fonction des parties déviatorique

et sphérique deε, on obtient :

C : ε = λ(tr ε)1 + 2µε

= (λ +2

3µ)(tr ε)1 + 2µdevε

= (3λ + 2µ)(1

31⊗ 1) : ε + 2µ(I− 1

31⊗ 1) : ε

= (3λ + 2µ)J : ε + 2µK : ε

(2.55)

où l’on a posé :

J =1

31⊗ 1 et K = I− J ,

avecI le tenseur unité du quatrième ordre.

Comme :

ε =1

3(tr ε)1 + devε = (J + K) : ε ,

on a :I = J + K .

De plus, on vérifie que les tenseursJ etK sont orthogonaux :

J : K = K : J = 0

et que :J : J = J et K : K = K .

2. Inversion de la loi de comportement. La première équation des relations (2.53) ex-primant la contrainte en fonction de la déformation et de l’écart de température peutêtre inversée pour obtenir la déformation en fonction de la contrainte et de l’écart detempérature. L’expression obtenue

ε = C−1 : (σ − σ

0) + C

−1 : kτ

est écrite sous la forme :

ε =1 + ν

E(σ − σ

0) − ν

E(tr (σ − σ

0))1 + ατ1 (2.56)

E est le module de Young,ν le coefficient de Poisson etα le coefficient de dilatationthermique.Les différents coefficients thermoélastiques sont reliés par les relations :


λ =Eν

(1 + ν)(1 − 2ν)µ =

E

2(1 + ν)k = α(3λ + 2µ) =

αE

(1 − 2ν)

E = µ3λ + 2µ

λ + µν =

λ

2(λ + µ)α =

k

3λ + 2µ=

k(1 − 2ν)

E

(2.57)

3. Capacité calorifique spécifique à contrainte constante.L’équation de la chaleur (deuxièmeéquation des groupes (2.51) et (2.54)) peut être écrite en utilisant la chaleur spécifiqueà contrainte constantecσ définie par

cσ = T∂s(σ, T )

∂T

et reliée à la chaleur spécifique à déformation constante par

ρcσ = ρ0cǫ + T0k : C−1 : k

= ρ0cǫ + T0α : C : α .(2.58)

α, défini par :α = C−1 : k, représente le tenseur des coefficients de dilatation ther-

mique.La relation (2.58) est obtenue de la manière suivante. On part de l’expression :

s = s0 +k

ρ0: ε +

cǫ

T0τ

dans laquelle on remplaceε par

ε = C−1 : (σ − σ

0) + C

−1 : kτ

on a alors

s = s0 +k

ρ0: C−1 : (σ − σ

0) + (

cǫ

T0+

k

ρ0: C−1 : k)τ ,

d’où

cσ = T∂s(σ, T )

∂T≃ cǫ +

T0

ρ0k : C−1 : k .

Dans le cas isotrope, la relation (2.58) devient :

ρ0cσ = ρ0cǫ + 3T0kα= ρ0cǫ + 3T0(3λ + 2µ)α2 .

(2.59)

Elle est souvent écrite sous la forme :

cσ = cǫ

(

1 +9T0Kα2

ρ0cǫ

)

. (2.60)

oùK =3λ + 2µ

3=

E

3(1 − 2ν)est le module de compressibilité élastique13.

13Il est aussi appelé (voir J. Salençon,"Mécanique des milieux continus", tome II, les Éditions de l’Écolepolytechnique.) : module élastique de compression ou module de rigidité à la dilatation.


2.3.4 Comportement thermoélastique : cas de grandes variations detempérature

On considère cette fois-ci des grandes variations de température, associées à des défor-mations infinitésimales autour de l’état initial défini par les variables d’étatε

0= 0 etT0. Le

potentiel thermodynamique naturel, cohérent avec ce choixde variables, est l’énergie librede Helmholtz. Ainsi, les fonctions d’état, énergie libre etentropie, s’écrivent :w(ε, T ) ets(ε, T ). L’état d’équilibre initial, qui sert de configuration de référence, est défini par les va-riables d’étatε

0= 0 etT0, la contrainteσ

0et l’entropies0.

En développant le potentiel thermodynamique au second ordre en déformation, on ob-tient :

ρw(ε, T ) = ρw(0, T ) +∂(ρw)

∂ε(0, T ) : ε +

1

2ε :

∂2(ρw)

∂ε∂ε(0, T ) : ε . (2.61)

Les expressions, au premier ordre en déformation, des lois d’état (2.29) sont alors :

σ(ε, T ) = ρ0∂w

∂ε(0, T ) + ρ0

∂2w

∂ε∂ε(0, T ) : ε

= σ(0, T ) + C(T ) : ε

s(ε, T ) = −∂w

∂T(0, T ) − ∂2w

∂T∂ε(0, T ) : ε

= s(0, T ) +k(T )

ρ0

: ε

(2.62)

Ces lois mettent en évidence les grandeurs physiques suivantes :– le tenseur d’élasticité

C(T ) = ρ0∂2w(0, T )

∂ε∂ε;

– le tenseur des coefficients thermoélastiques

k(T ) = −ρ0∂2w(0, T )

∂T∂ε.

Une troisième grandeur physique usuelle est la capacité calorifique spécifique à déformationconstantecǫ(ε, T ) définie par

cǫ(ε, T ) = T∂s(ε, T )

∂T.

Elle s’écrit dans ce cas :

cǫ(ε, T ) = −T

(

∂

∂T

(∂w(0, T )

∂T

)

+∂3w(0, T )

∂T 2∂ε: ε

)

.

On a donc :

cǫ(0, T ) = −T∂

∂T

(∂w(0, T )

∂T

)

.


Dans le cas où le tenseur d’élasticité, le tenseur des coefficients thermoélastiques et lacapacité calorifique varient très peu autour de leurs valeurs initiales dans la gamme de tem-pérature considérée, on a les approximations suivantes :

C(T ) ≃ C(T0) , k(T ) ≃ k(T0) et cǫ(0, T ) ≃ cǫ(0, T0) .

Ainsi, on a :

cǫ(0, T ) = −T∂

∂T

(∂w(0, T )

∂T

)

≃ cǫ(0, T0) .

L’intégration de la dernière égalité de l’équation précédente,

cǫ(0, T0) = −T∂

∂T

(∂w(0, T )

∂T

)

conduit alors à∂w(0, T )

∂T= −cǫ(0, T0) ln

T

T0

− s(0, T0) .

On a donc :

σ(ε, T ) = ρ0∂w(0, T )

∂ε+ C(T0) : ε

s(ε, T ) = cǫ(0, T0) lnT

T0

+ s(0, T0) +k(T0)

ρ0

: ε ,

ou encore

ρ0

∂w(ε, T )

∂ε= ρ0

∂w(0, T )

∂ε+ C(T0) : ε

−∂w(ε, T )

∂T= cǫ(0, T0) ln

T

T0

+ s(0, T0) +k(T0)

ρ0

: ε .

Par intégration, on trouve l’expression suivante de l’énergie libre w(ε, T ) développée ausecond ordre en déformation :

ρ0w(ε, T ) =1

2ε : C : ε + σ

0: ε − (T − T0)k : ε

−ρ0cǫT

(

lnT

T0

− 1 +T0

T

)

− ρ0(T − T0)s0 + w0 .(2.63)

Dans cette expression, les grandeursC, k, cǫ, σ0, s0 et w0 sont évaluées à(0, T0). Cette dé-

pendance a été omise afin d’alléger l’écriture de l’énergie libre.

Remarque : Si on fait l’hypothèse des petites variations de température (T − T0) ≪ T0,un développement limité de (2.63) en(T − T0) permet de retrouver l’expression (2.42) del’énergie libre.

0n déduit les lois d’état suivantes :

σ = σ0+ C : ε − k (T − T0)

s = s0 +k

ρ0

: ε + ρ0cǫlnT

T0

.

(2.64)

2.4 Comportement dissipatif indépendant du temps physique 73

2.4 Comportement dissipatif indépendant du temps phy-sique

Dans cette section, on aborde dans uncadre isotherme, une première classe de comporte-ments présentant de la dissipation intrinsèque. Il s’agit de celle formée par certains matériauxélastoplastiques. Ce type de comportement est présenté, à latempérature ambiante, par lesmatériaux métalliques soumis à des sollicitations dépassant un certain seuil. Il se caractérisepar une indépendance par rapport à la vitesse de sollicitation et par des déformations per-manentes après déchargement total. Il se manifeste dans lesopérations de formage, dans lesproblèmes de choc et de crash14.

Les comportements étudiés sont donc intrinsèquement dissipatifs, indépendants du tempsphysique. Cette dernière propriété signifie que la réponse dumatériau ne dépend pas de lavitesse de la sollicitation et s’effectue de façon concomitante à la sollicitation. Les relationsde comportement sont alors invariantes par homothétie positive sur la variable temps et ladissipation intrinsèque devient une fonction des flux positivement homogène de degré un,paramétrée par les variables d’état actuelles. La décomposition de la déformation totale endéformations élastique et plastique est établie dans le casde module d’élasticité indépen-dant de l’écrouissage. Des exemples de comportements élastoplastiques classiques (parfait,à écrouissages isotrope, cinématique linéaire et non linéaire, etc.) sont donnés15.

2.4.1 Dissipation intrinsèque et contrainte réversible

Pour les comportements dissipatifs indépendants du temps physique, on montre les deuxrésultats suivants :

– la dissipation intrinsèque est positivement homogène de degré un des flux, c’est-à-dire :

D1(λY ) = λD1(Y ) pour tout λ ≥ 0 , (2.65)

oùY représente le vecteur des flux ;– le potentiel de dissipation est alors égal à la dissipationintrinsèque :

D1(ε, α, ε,α) = ϕ(ε, α, ε,α) . (2.66)

Preuve

En effet, si, à partir du même état initial, on suit dans l’espace des configurations, lemême trajet mais parcouru à deux vitesses différentes de rapportλ, l’indépendance parrapport au temps physique signifie qu’on a, entre les deux processus les relations :

ε(t) = ε(λt), α(t) = α(λt) avec λ > 0

14Dans le cas du crash, on prend généralement en compte la dépendance du comportement par rapport à lavitesse de chargement.

15Les formulations élégantes de l’élastoplasticité écrouissable pour dériver certains résultats d’unicité sontessentiellement dues à Q.S. Nguyen, "contribution à la théorie macroscopique de l’élastoplasticité avec écrouis-sage", thèse de l’université Paris VI, 1973, et à B. Halphen &Q.S. Nguyen, "sur les matériaux standards géné-ralisés", J. de Mécanique, 14, 1, pp 39-63, 1975.


et donc aussi

σ(t) = σ(λt), A(t) = A(λt), w(t) = w(λt), s(t) = s(λt) ,

d’où˙ε(t) = λε(λt), ˙

A(t) = λA(λt) .

Donc, on a :

D1( ˙ε(t),˙A(t)) = σirr(t) : ˙ε(t) + A(t) : ˙α(t)

= λσirr(λt) : ε(λt) + λA(λt) : α(λt)

= λD1(ε(λt), α(λt))

ainsiD1( ˙ε(t), ˙α(t)) = λD1(ε(λt), α(λt))

soitD1(λε(λt), λα(λt)) = λD1(ε(λt), α(λt))

ou encoreD1(λε, λα) = λD1(ε, α) .

D’autre part, siϕ(Y ) est positivement homogène de degrén (c’est-à-dire que pour toutλ ≥ 0, ϕ(λY ) = λnϕ(Y )) on a alors, pour toutY non nul,

∂ϕ(λY )

∂λ= λn−1 ∂ϕ(Y )

∂Y.Y = nλn−1ϕ(Y )

soit,∂ϕ(Y )

∂Y.Y = nϕ(Y )

autrement dit,

ϕ =1

nD1 .

Par conséquent, dans le cas d’un potentiel de dissipation positivement homogène dedegré un, on a :

ϕ = D1 .

D’autre part, nous considérons des comportements pour lesquels la déformationε n’est pasune variable dissipative, par conséquentσirr = 0 et :

σ = σrev = ρ∂w

∂ε(2.67)

La dissipation intrinsèque (1.60) se réduit à :

D1 = A · α (2.68)


2.4.2 Décomposition de la déformation totale et de l’énergie libre

Lorsque le module d’élasticité instantanée est indépendant des variables d’écrouissage, ladéformation totale se décompose sous la forme :

ε = εe(σ) + εp(α) (2.69)

où εe désigne la déformation élastique uniquement fonction de lacontrainte etεp la défor-mation plastique uniquement fonction des variables internes.

FIG. 2.4 – Décomposition de la déformation

L’énergie libre peut alors être mise sous la forme :

w(ε,α) ≡ w(ε − εp(α),α) = we(εe) + wα(α) (2.70)

avec, dans le cas de l’élasticité linéaire :

ρwe(εe) =

1

2εe : C : εe .

Preuve

En utilisant comme potentiel thermodynamique, l’énergie libre de Gibbs changéedesigne

ρg(σ, α) = σ : ε + ρ(Ts − e) = σ : ε − ρw ,

on a :

ε = ρ∂g

∂σ. (2.71)

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient :

ε = ρ∂2g

∂σ2: σ + ρ

∂2g

∂σ∂α· α . (2.72)

Les termes du second membre de l’équation précédente représentent respectivement lesvitesses de déformation réversible et irréversible.


Lorsque le module d’élasticité instantanée∂2g

∂σ2est indépendant des variables internes,

l’intégration temporelle du premier terme du second membre de l’équation (2.72) fournitla déformation élastique totale qui est uniquement fonction des contraintes, soit :

εe =

∫ t

0

(

ρ∂2g

∂σ2(σ(τ))

)

: σ(τ)dτ =

∫ σ

σ0

(

ρ∂2g

∂σ2(u)

)

: du . (2.73)

Le terme∂2g

∂σ∂αest alors indépendant deσ (car

∂3g

∂σ2∂α= 0) ; son intégration tempo-

relle fournit la déformation plastique qui est uniquement fonction des variables internes,soit :

εp =

∫ t

0

(

ρ∂2g

∂σ∂α(α(τ))

)

· α(τ)dτ . (2.74)

On peut donc écrire :ε = εe(σ) + εp(α) .

La déformation élastique dérive alors d’un potentiel élastiqueρge(σ) par :

εe = ρ∂ge

∂σ

En effet, on a :∂εe

ij

∂σkl=

∂εij

∂σkl=

∂εkl

∂σij=

∂εekl

∂σij.

Sa transformée de Legendre est

ρwe(εe) = σ : εe − ρge(σ) .

Comme on a

ρg(σ, α) = σ : ε − ρw(ε, α)

= σ : εe − ρwe(εe) + σ : εp − (ρw(ε, α) − ρwe(εe))

= ρge(σ) + σ : εp + ρwα

où l’on a posé :ρwα = −(ρw(ε, α) − ρwe(εe)) ,

on obtient :

ε = ρ∂g

∂σ=

∂

∂σ(ρge(σ) + σ : εp + ρwα) = εe + εp + ρ

∂wα

∂σ.

Doncwα est indépendant deσ et n’est fonction que deα, et

w(ε, α) = we(εe) + wα(α) .


2.4.3 Potentiels de dissipation

Le potentiel de dissipation (donc la dissipation intrinsèque) positivement homogène dedegré un enα, éventuellement paramétré par les variables d’étatε et α : ϕ(α,α, ε). Lesforces thermodynamiques irréversibles associées auxα sont définies par :

A ∈ ∂αϕ(α,α, ε) . (2.75)

On montre alors que, le potentiel dualϕ⋆(A,α, ε) donné par la transformée de Legendre-Fenchel deϕ(α,α, ε), soit :

ϕ⋆(A,α, ε) = supα

A.α − ϕ(α,α, ε) (2.76)

est la fonction indicatrice d’un ensemble convexeC des forces thermodynamiquesA :

ϕ⋆(A,α, ε) =

0 si A ∈ C+∞ si A /∈ C

(2.77)

Le convexeC est défini par une fonctionf appelée fonction de charge, par :

C = A, f(A,α, ε) ≤ 0.Les flux sont donnés par :

α ∈ ∂Aϕ⋆(A,α, ε) (2.78)


α = λ∂f(A,α, ε)

∂A(2.79)

avecλ un scalaire indéterminé tel que :

λ ≥ 0, f(A,α, ε) ≤ 0, λf(A,α, ε) = 0 . (2.80)

De plus, on a :∂ϕ

∂α= −λ

∂f

∂αet

∂ϕ

∂ε= −λ

∂f

∂ε.

2.4.4 Récapitulatif

Les lois considérées, caractéristiques du comportement élastoplastique, sont indépendantesdu temps physique. Elles sont définies au moyen dedeux potentiels.

• L’énergie libre de Helmholtz ρw(ε,α) qui se décompose sous la forme

w(ε,α) = we(ε − εp(α)) + wα(α)

Tout autre potentiel lié àρw par une transformation de Legendre pourrait être choisi.

• Et de manière équivalente, l’une des trois quantités suivantes :

un potentiel de dissipation positivement homogène de degréun enα, dépendantéventuellement deα,

un potentiel dual, fonction indicatrice d’un convexe des forces thermodynamiquesadmissibles(A), éventuellement paramétré parα,

ou unefonction de chargef(A), éventuellement paramétrée parα, définissantle domaine convexe des forces thermodynamiques admissibles et les lois complé-mentaires par (2.79).


2.4.5 Démarche adoptée pour la présentation des lois

La méthodologie classique d’établissement des lois de comportement est phénoménolo-gique et inductive. Elle est fondée d’abord sur des essais simples qui permettent d’identifieret de relier quantitativement les grandeurs physiques pertinentes dans les conditions de sol-licitations définies par l’expérimentateur et qui fixent le domaine de validité des lois ainsiétablies. Les lois tirées de ces expériences très souvent uniaxiales, sont ensuite étendues auxcas multiaxiaux à l’aide d’essais complémentaires.

Dans la suite de ce chapitre, différents types de comportements sont abordés avec uneprésentation la plus unifiée possible :

1. Le point de départ est constitué par les essais uniaxiaux.

2. À partir de l’analyse et de l’interprétation de ces essais, nous choisissons les variablesd’état pertinentes, très souvent en faisant appel à un modèle rhéologique exhibant uncomportement similaire à ceux des essais.

3. L’énergie libre, somme des énergies stockées (par les mécanismes internes et récupé-rable à la décharge élastique), est déterminée.

4. La dissipation (ou le pseudo-potentiel de dissipation) est ensuite identifiée ; elle doitêtre toujours positive pour vérifier l’admissibilité thermodynamique.

Ceci conduit donc à une caractérisation complète du modèle uniaxial.

Les extensions au domaine des sollicitations multiaxiales, des modèles uniaxiaux ainsi éta-blis, sont faites ici dans des cas particuliers se rapportant aux matériaux métalliques à défor-mations plastiques isochores.

2.4.6 Loi élastoplastique parfaitement plastique

Courbe expérimentale de traction compression

Le matériau dont on cherche à déterminer la loi de comportement en transformation infi-nitésimale est soumis à un essai uniaxial isotherme, quasi-statique consistant en une tractionsuivie d’une compression. La courbe de traction-compression obtenue est illustrée sur lafigure 2.5. On constate que, dans la gamme de vitesse de sollicitation considérée, elle estindépendante de la vitesse de chargement, et donc du temps physique.On note aussi que la contrainte appliquée au matériau ne peutpas dépasser en module lavaleurσ0 pour laquelle il y a un risque d’allongement incontrôlé.

Modélisation uniaxiale

Le comportement uniaxial exhibé par le matériau est celui del’assemblage rhéologique dela figure 2.6. Ce dernier comprend un ressort linéaire de raideur E et un patin de seuilσ0. Ilreprésente schématiquement une particule (ou un volume élémentaire représentatif) du ma-tériau.

Deux variablescaractérisent l’état mécanique macroscopique homogène del’éprouvette :

1. la déformationε qui est une variable contrôlable directement par l’expérimentateur ;


σ

O

A B

C

εεD

pε

σ0

−σ0

E

FIG. 2.5 – Matériau élastique parfaitement plastique : courbe de traction-compression

σ0raideur

seuilEεp

ε

FIG. 2.6 – Matériau élastique parfaitement plastique : représentation rhéologique schéma-tique

2. la déformation plastiqueεp, qui est une variable interne16, représentant le mécanismeresponsable de cette déformation permanente.

Le potentiel thermodynamiquechoisi est l’énergie libre représentant l’énergie stockée(ap-pelée aussi récupérable), soit :

w(ε, εp) =1

2E(ε − εp)2 . (2.81)

Les lois d’état sont :

σrev =∂w(ε, εp)

∂ε= E(ε − εp)

Arev =

∂w(ε, εp)

∂εp= −E(ε − εp) = −σrev = −A .

(2.82)

La dissipation intrinsèque (égale au potentiel de dissipation) est donnée par :

D1(εp) = ϕ(εp) = σ0|εp| . (2.83)

16qualifiée autrefois de cachée.


Comme D1(εp) = σirr ε + Aεp , on a :

σirr = 0 donc σ = σrev (= A)

A = sign(εp)σ0 si εp 6= 0A ∈ [−σ0, σ0] si εp = 0 .

Le potentiel dual de dissipationϕ⋆(A) est alors la fonction indicatrice du domaine descontraintes

C = [−σ0, σ0]= A tel que f(A) ≤ 0 avec f(A) = |A| − σ0 .

(2.84)

En effet,ϕ⋆(σ) = supεp

(σεp − ϕ(εp)

)

= supεp

(σεp − σ0|εp|

)

= sup|εp|(|σ||εp| − σ0|εp|

)

=

0 si σ ∈ C+∞ si σ /∈ C .

L’évolution de la variable interne s’écrit :

εp ∈ ∂Aϕ⋆(A) soit εp = λ∂f(A)

∂A= λsign(A) avec λ ≥ 0, f(A) ≤ 0, λf = 0 .

(2.85)En résumé :

A = E(ε − εp) = σ

si σ ∈ ] − σ0, σ0[ alors εp = 0 et σ = Eε

si |σ| = σ0 alors sign(σ)εp ≥ 0 et σ = E(ε − εp) = 0 .

(2.86)

Modélisation multiaxiale : cas sans liaison pourεp

Des essais effectués dans des conditions multiaxiales (parexemple traction-torsion) mettenten évidence un domaine d’élasticité fixe tel que :

– les contraintes admissibles par le matériau restent dans ce domaine ;– le comportement est élastique lorsque les contraintes restent strictement à l’intérieur du

domaine ;– il y a possibilité d’écoulement plastique lorsque les contraintes sont sur la frontière du

domaine.L’objectif est de construire un modèle multiaxial analogueau modèle uniaxial établi à partirde l’assemblage rhéologique de la figure 2.5.


Les variables d’état mécanique sont donc naturellement : ladéformation totaleε et la défor-mation plastiqueεp. Ces variables ne sont soumises à aucune condition de liaison.

Le potentiel thermodynamique est donné par :

ρw(ε, εp) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) .

Le potentiel de dissipation (ici la dissipation intrinsèque) choisi est :

ϕ(εp) = σ0 ‖ εp ‖= σ0

√

εp : εp ,

avecσ0 une constante. Ce potentiel est positivement homogène de degré un, convexe et nondifférentiable en zéro.On en déduit les lois d’état :

σrev = ρ∂w(ε, εp)

∂ε= C : (ε − εp)

A = −ρ∂w(ε, εp)

∂εp= C : (ε − εp) = σrev ,

(2.87)

et les lois complémentaires :

σirr =∂ϕ(εp)

∂ε= 0

A ∈ ∂εpϕ(εp) .

(2.88)

Ainsi,

si εp 6= 0 alors A = σ0

εp

‖ εp ‖ donc ‖ A ‖= σ0 ;

si εp = 0 alors A ∈ σ tel que‖ σ ‖≤ σ0.

On a donc mis en évidence un domaine de forces thermodynamiques admissibles. L’inver-sion de la loi précédente donne :

si ‖ σ ‖< σ0 alors εp = 0 ;

si ‖ σ ‖= σ0 alors εp = λσ

‖ σ ‖ , λ ≥ 0 .

Le potentiel de dissipation dual est donné par :

ϕ⋆(σ) = supεp(σ : εp − ϕ(εp))

= supεp(σ : εp − σ0 ‖ εp ‖)

= sup‖εp‖(‖ σ ‖ . ‖ εp ‖ −σ0 ‖ εp ‖)

=

0 si ‖ σ ‖≤ σ0 ou f(σ) ≤ 0+∞ si ‖ σ ‖> σ0 ou f(σ) > 0 .


La fonction f(σ) =‖ σ ‖ −σ0, définit la fonction de charge.

D’une manière générale, dans le cas de la plasticité parfaite, le potentiel de dissipationdual est défini comme la fonction indicatrice du domaine des contraintes admissibles

C = σ tel que f(σ) ≤ 0.

f(σ) est la fonction de charge.

ϕ⋆(σ) = IC =

0 si σ ∈ C+∞ si σ /∈ C

(2.89)

On a :

∂ϕ⋆(σ) =

∅ si σ /∈ C

0 si σ ∈ Co

(intérieur deC)

NC(σ) si σ ∈ ∂C (frontière deC) .

(2.90)

Le cône des normales est défini, en un point régulier de la frontière, par :

NC(σ) = εp tel que εp = λ∂f

∂σ, λ ≥ 0

et, en un point singulier, par :

NC(σ) = εp tel que εp : (σ⋆ − σ) ≤ 0, ∀σ⋆ ∈ C .

Cas d’un matériau de von Mises

La déformation plastiqueεp est soumise à la liaison d’incompressibilité

tr(εp) = 0 c’est-à-dire 1 : εp = 0 .

Elle est donc déviatorique. Les variables d’état sont le tenseur d’ordre deux symétriqueε etle tenseur d’ordre symétrique et déviatoriqueεp.

confondue avec le potentiel de dissipation, est une fonction du seul tenseur déviatoriquede vitesse de déformation plastiqueεp :

ϕ(εp) = σ0

√

2

3‖ εp ‖ .

La loi complémentaire s’écrit :

A ∈ ∂ϕ(εp) soit A

= σ0

√

3

2

εp

‖ εp ‖ si εp 6= 0

∈ s avec tr(s) = 0 tel que‖ s ‖≤ σ0 si εp = 0 .

(2.91)


La fonctionf(s) = ‖ s ‖ −σ0 , définit la fonction de charge.

Dans le cadre de l’élasticité linéaire, l’énergie libre estdonnée par :

ρw(ε, εp) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp)

=1

2(3λ + 2µ)ε : J : ε + µ (ε − εp) : K : (ε − εp) .

(2.92)


σ = ρ∂w(ε, εp)

∂ε= C : (ε − εp)

A = −ρ∂w(ε, εp)

∂εp= K : (ε − εp) = dev(σ) = s

(2.93)

où s = devσ = σ − 1

3(trσ)1 .

Remarquons si on considère la forceA comme un tenseur d’ordre symétrique non nécessairementdéviatorique, sa partie hydrostatique (tr(A)) est inopérante et indéterminée. La loi complémentaire nedéfinit que sa partie déviatorique. La forceA est alors habituellement avecσ. La fonction de charges’écrit :

f(σ) = ‖ σ ‖eq

− σ0

avec ‖ σ ‖eq

=

√

3

2s : s .

Cas d’un matériau de Tresca

La déformation plastiqueεp est soumise à la liaison d’incompressibilité tr(εp) = 0.La dissipation, confondue avec le potentiel de dissipation, est une fonction du seul tenseurdéviatorique de vitesse de déformation plastiqueεp :

ϕ(εp) =σ0

2(|εp

1| + |εp2| + |εp

3|).

εpi , i = 1, 2, 3 désignent les déformations plastiques principales.

Le potentiel de dissipation dual est donné par :

ϕ⋆(σ) = supεp

i ,i=1,2,3

σ1εp1 + σ2ε

p2 + σ3ε

p3 −

σ0

2(|εp

1| + |εp2| + |εp

3|)

= sup| ˙εp

i |,i=1,2,3

(σ1signεp1 −

σ0

2)|εp

1| + (σ2signεp2 −

σ0

2)|εp

2| + (σ3signεp3 −

σ0

2)|εp

3|

.


Comme εp1 + εp

2 + εp3 = 0 , et en supposantεp

1 ≥ 0, le résultat précédent conduit à :

sup

sup| ˙εp

i |,i=1,2

((σ1 − σ0

2)|εp

1| + (σ2 − σ0

2)|εp

2|) + (−σ3 −σ0

2)(|εp

2| + |εp1|)) ,

sup| ˙εp

i |,i=2,3

((σ1 −σ0

2)(|εp

2| + |εp3|) + (−σ2 −

σ0

2)|εp|) + (−σ3 −

σ0

2)|εp|)

= sup

sup| ˙εp

i |,i=1,2

((σ1 − σ3 − σ0)|εp1| + (σ2 − σ3 − σ0)|εp

2| ,

sup| ˙εp

i |,i=2,3

((σ1 − σ2 − σ0)|εp2| + (σ1 − σ3 − σ0)|εp

3|

.

Par permutation circulaire sur les indices 1,2 et 3, on aboutit à :

ϕ⋆(σ) =

0 si supi,j=1,2,3(σi − σj) − σ0 ≤ 0 soit f(σ) ≤ 0+∞ si supi,j=1,2,3(σi − σj) − σ0 > 0 soit f(σ) > 0 ,

avecf(σ) = supi,j=1,2,3(σi − σj) − σ0 , la fonction de charge.

2.4.7 Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage isotrope


Le matériau dont on cherche à déterminer la loi de comportement en transformation in-finitésimale est soumis à un essai uniaxial isotherme, quasi-statique de traction suivie d’unecompression. La courbe de traction-compression obtenue est illustrée sur la figure 2.7. Elleest indépendante de la vitesse de chargement, et donc du temps physique.

Formulation de la loi de comportement

Les deux variablesε, εp ne suffisent plus à caractériser l’état mécanique ; en effet àune dé-formation plastique donnée correspond une limite d’élasticité dépendant du trajet de charge-ment. Il faut donc introduire d’autres variables internes en plus de la déformation plastique.A priori, on ne connaît ni leur nature physique ni leur caractère mathématique (scalaire,vectoriel, etc.). Pour les déterminer, il faudrait une connaissance des mécanismes microsco-piques dissipatifs ou un expérimentateur particulièrement perspicace.La courbe de traction-compression uniaxiale montre que le domaine initial d’élasticité estl’intervalle [−σ0, σ0]. Ce domaine augmente de taille tout en restant symétrique parrapportà l’origine. Cette taille est croissante (au sens large) quelque soit le trajet de sollicitation.Lorsque les sollicitations sont multiaxiales, le domaine d’élasticité croît de manière homo-thétique en restant symétrique par rapport à l’origine. Il est donc paramétré par une seulevariable scalaire.Un choix possible pour cette variable est la déformation plastique cumuléep :

p =

∫ t

0

√

2

3εp(τ) : εp(τ)dτ .

L’augmentation du domaine d’élasticité est une fonction dep, que l’on noteR(p). C’est unefonction croissante.


σE

εp

σ0

σB

E

A

B

CDO

Dom

aine initiald’élasticité

d’élasticitéD

omaine actuelε

−σ 0

B−σ

FIG. 2.7 – Matériau élastoplastique à écrouissage isotrope

Le potentiel thermodynamique est donc de la forme :

ρw(ε, εp, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) + wp(p) . (2.94)


σ = ρ∂w(ε, εp, p)

∂ε= C : (ε − εp)

Aεp

= −ρ∂w(ε, εp, p)

∂εp= dev

(

C : (ε − εp)

)

= dev(σ) = s

Ap = −ρ∂w(ε, εp, p)

∂p= −dwp

dp

Aεp

etAp sont les forces thermodynamiques irréversibles associéesrespectivement àεp et àp.

Dans le cas de l’essai uniaxial, le domaine actuel d’élasticité est un intervalle de la forme[−σ0 − R(p), σ0 + R(p)]17. La fonction charge est donc définie, dans ce cas, par :

f(σ,R) = |σ| − (σ0 + R(p)) .

17Attention,R(p) + σ0 est noté simplementR(p) dans le cours de "Rupture et plasticité" de Pierre Suquet(École Polytechnique).


Une extension possible au cas multiaxial est :

f(σ,R) = ‖ σ ‖eq− R(p) − σ0

qu’on écrit avec les forces thermodynamiques irréversiblesAεp

= s etAp sous la forme :

f(Aεp

,Ap) = ‖ Aεp

‖eq

+ Ap − σ0. (2.95)

avec :R(p) = −Ap.

Le potentiel dual de dissipation est la fonction indicatrice du domaine

C = (Aεp

,Ap) tel que f(Aεp

,Ap) ≤ 0.

Il est donné par :

ϕ⋆(Aεp

,Ap) =

0 si ‖ Aεp

‖eq

+ Ap ≤ σ0 soit f(Aεp

,Ap) ≤ 0

+∞ si ‖ Aεp

‖eq

+ Ap > σ0 soit f(Aεp

,Ap) > 0

Les lois complémentaires sont :

εp = λ∂f(s,Ap)

∂s= λ

√

3

2

s

‖ s ‖

p = λ∂f(s,Ap)

∂Ap

= λ

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 . (2.96)

skl

sij

actuel

initial

FIG. 2.8 – Domaines d’élasticité initial et actuel dans le cas del’écrouissage isotrope

Énergies élastique, dissipée et récupérable

La dissipation intrinsèque (donc le potentiel de dissipation) est égale à :

D1(εp, p) = Aεp

: εp + App = σ : εp − R(p)p = σ0p .


Elle est différente de la puissance plastique qui est donnéepar σ : εp. La figure 2.9 illustrela décomposition du travail mécanique fourni (

∫σ : dε) en :

• énergie libre :W = We + Wp, elle-même composée de

– l’énergie élastique récupérable par décharge élastique :We(εe) =

1

2εe : C : εe,

– et de l’énergie stockée (récupérable) :Wp(p) ;

• énergie dissipée :

D1(t) =

∫ t

0

D1(εp(τ), p(τ))dτ =

∫ t

0

σ0p(τ))dτ = σ0p(t) .

D1 We

pW

εp

σ0

σB

εO

FIG. 2.9 – Décomposition de l’énergie mécanique en énergies : dissipée D1, stockéeWp etrécupérée par décharge élastiqueWe

Quelques lois particulières

1. L’augmentation de la taille du domaine élastique peut en pratique saturer et tendrevers une valeur finieσ0 + R∞ quandp va tendre vers l’infini. Dans ce cas, une formepossible deR(p) est :

R(p) = R∞(1 − exp (−bp)) (2.97)

soitdR = b(R∞ − R)dp

Comme

R(p) = −Ap

=dwp(p)

dp,

l’énergie libre est de la forme :

ρw(ε, εp, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) + R∞

(

p +exp (−bp)

b

)

. (2.98)

La fonction de charge reste identique à (2.95).


2. Si on choisitR(p) de la forme :R(p) = Kp1M .

L’énergie libre s’écrit :

ρw(ε, εp, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

K

1 + 1M

p1+ 1M . (2.99)

La fonction de charge reste identique à (2.95).

2.4.8 Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage cinématiquelinéaire


Le matériau dont on cherche à déterminer la loi de comportement en transformation in-finitésimale est soumis à un essai uniaxial isotherme, quasi-statique de traction suivie d’unecompression. La courbe de traction-compression obtenue est illustrée sur la figure 2.10. Elleest indépendante de la vitesse de chargement, et donc du temps physique.

εp

0σ

−σ 0

ε

Bσ

O

d’élasticitéD

omaine actuel

Dom


2σ 0

2σ 0

FIG. 2.10 – Matériau élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire

Modélisation uniaxiale

La courbe de traction-compression uniaxiale met en évidence un domaine initial d’élasti-cité est l’intervalle[−σ0, σ0]. Ce domaine se déplace en fonction de la déformation plastique


tout en gardant la même taille de2σ0. Ce comportement est reproduit par l’assemblage rhéo-logique de la figure 2.11. Il comprend un ressort de raideurE en série avec un patin de seuil

pεα =

σseuil 0

ε

H E

FIG. 2.11 – Modèle rhéologique élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire

σ0(σ0 > 0) et un ressort de raideurH.

Les variables d’étatsont la déformation totaleε et le déplacementα du patin. On verra, parla suite, queα est la déformation plastiqueεp.

L’énergie libre, qui correspond à l’énergie stockée par lesressorts, est donnée par :

w(ε, α) =1

2E(ε − α)2 +

1

2Hα2 . (2.100)

La dissipation intrinsèque (égale au potentiel de dissipation) est donnée par :

D1(α) = ϕ(α) = σ0|α| . (2.101)

La déformation plastique est alors définie par :

∂w(εp, α)

∂ε= 0 d’où εp = α .


σrev =∂w(ε, εp)

∂ε= E(ε − εp)

A = −∂w(ε, εp)

∂εp= E(ε − εp) − Hεp = σrev − Hεp .

(2.102)

Comme la dissipation intrinsèque se met donc sous la forme :D1(εp) = (σ0signεp)εp, les

lois complémentaires sont :

A = sign(εp)σ0 si εp 6= 0

A ∈ [−σ0, σ0] si εp = 0

σirr = 0 et σ = σrev .

Le potentiel dual de dissipationϕ⋆(A) est alors la fonction indicatrice du domaine des forcesthermodynamiques irréversiblesA

C = [−σ0, σ0]= A tel que f(A) ≤ 0 avec f(A) = |A| − σ0

(2.103)


L’évolution de la variable interne s’écrit :

εp ∈ ∂Aϕ⋆(A) , (2.104)

ou encore :

εp = λ∂f(A)

∂A = λA|A| avec λ ≥ 0, f(A) ≤ 0, λf = 0 . (2.105)

En résumé, en notantX = Hεp, le comportement uniaxial élastoplastique à écrouissagelinéaire est régi par les équations suivantes :

σ = E(ε − εp)

A = σ − X

f(A) = |A| − σ0 ≤ 0

εp = λA|A| = λ

σ − X

|σ − X| avec λ ≥ 0 , f ≤ 0 , λf = 0 .

(2.106)

Formulation de la loi de comportement

Nous allons proposer une formulation multiaxiale du modèleuniaxial précédent, c’est-à-dire des équations (2.106), en utilisant les constatationsexpérimentales suivantes.

– La courbe de traction-compression uniaxiale montre que ledomaine initial d’élasticitéest l’intervalle[−σ0, σ0]. Ce domaine se déplace en fonction de la déformation plastiquetout en gardant la même taille. On retrouve ce même phénomènede translation sanschangement de forme du domaine d’élasticité dans le cas de sollicitations multiaxiales.On dit que le matériau présente un écrouissage cinématique.Il est dit linéaire lorsquela partie élastoplastique de la courbe de traction est linéaire.

– Pour les matériaux métalliques, on trouve que la domaine d’élasticité est indépendantde la trace du tenseur des contraintes et que les déformations plastiques n’entraînentpas de variation de volume.

L’état thermodynamique est alors décrit par les variablesε, εp(= α). Pour traduire le faitque les déformations plastiques se font sans variation de volume, on écrit :

Tr εp = 0 ,

et on considère le tenseur des déformations plastiques déviatorique, par la suite.Le potentiel thermodynamique généralisé celui du cas uniaxial (2.100) est donc de la forme :

ρw(ε, εp) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

2εp : H : εp

oùC est le tenseur d’élasticité etH le tenseur des modules d’écrouissage.


σ = ρ∂w(ε, εp)

∂ε= C : (ε − εp)

A = Aεp

= −ρ∂w(ε, εp)

∂εp= dev(σ − H : εp) = s − X


s = devσ, est le déviateur deσ. X est défini par :

X = H : εp . (2.107)

X est donc un tenseur déviatorique; il représente la translation du domaine d’élasticité.La fonction de charge est donc de la forme :

f(A) = f(s − X) = ‖ s − X ‖eq− σ0 .

sij

skl

actuel

initial

X

FIG. 2.12 – Domaines d’élasticité initial et actuel dans le cas de l’écrouissage cinématique

La loi complémentaire est :

εp = λ∂f(A)

∂A = λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖ avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 . (2.108)

Dans le cas d’une isotropie spatiale du comportement, la relation (2.107) est souvent prisesous la forme :

X = Hεp .

Habituellement, au lieu deX = Hεp, on utilise la notation :

X =2

3Cεp . (2.109)

C est appelé module d’écrouissage18.

La dissipation intrinsèque (donc le potentiel de dissipation) est égale à :

D1(εp) = A : εp = (s − X) : εp = σ0p .

Elle est différente de la puissance des déformations plastiques. La figure 2.13 illustre la dé-composition du travail mécanique fourni en :

18Il n’a bien sûr rien à voir avec le tenseur d’élasticitéC.


• énergie libre :W = We + Wp, elle-même composée de

– l’énergie élastique récupérable par décharge élastique :We(εe) =

1

2εe : C : εe,

– et de l’énergie stockée (récupérable) :Wp(εp) =

1

2εp : H : εp;

• énergie dissipée, obtenue par intégration de(s − X) : εp = σ0p :

D1(t) =

∫ t

0

D1(εp(τ))dτ = σ0p(t) .

D1 We

pW

εp

σ

σ

B

0

εO

FIG. 2.13 – Décomposition de l’énergie mécanique

L’utilisation d’un écrouissage cinématique non linéaire fondé sur une dépendance deH en

α conduit à des modèles non réalistes physiquement19.

Identification des constantes du modèle à partir d’une courbe de traction

On dispose de la courbe de traction, à la température de 20oC, d’une éprouvette cylin-drique en acier 42CrMo4 (Figure 2.14). D’autres essais ont montré que ce matériau présenteun comportement élastoplastique à écrouissage cinématique. En admettant que l’écrouissageest cinématique linéaire, on souhaite identifier les paramètres du modèle, c’est-à-dire le mo-dule de YoungE, la limite d’élasticitéσ0 et le module d’écrouissageH.

La sollicitation est uniaxiale selonex. On note respectivementσ, εp etX, les composantesxx des tenseurs de contrainte, de déformation plastique et de force thermodynamiqueX. Ces

19cf. J. Lemaitre & J.-L. Chaboche. Mécanique des matériaux solides. Dunod, Paris, 1988.


FIG. 2.14 – Courbe de traction d’une éprouvette cylindrique en acier 42CrMo4

tenseurs s’écrivent alors :

σ = σex ⊗ ex

εp = εp(ex ⊗ ex −1

2ey ⊗ ey −

1

2ez ⊗ ez)

X = X(ex ⊗ ex −1

2ey ⊗ ey −

1

2ez ⊗ ez) .

On a les relations :σ = E(ε − εp) etX = Hεp =2

3Cεp .

Lors de la première charge plastique :

f(s − X) = |σ − 3

2X| − σ0 = 0 ou encore(σ − Cεp) − σ0 = 0 .

On a donc :

C =dσ

dεp.

On définit le module tangentEt par :

Et =dσ

dε.

On a alors :

C =1

dε

dσ− dεe

dσ

=EEt

E − Et

et H =2

3

EEt

E − Et

.


Le comportement élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire adopté est représentépar deux segments de droite (figure 2.14). Il conduit à :

σ0 (MPa) E (MPa) Et (MPa) H =2EEt

3(E − Et)(MPa)

930 206000 3560 2415

2.4.9 Loi élastoplastique de type von Mises avec écrouissage cinéma-tique non linéaire


Le matériau dont on cherche à déterminer la loi de comportement en transformation infini-tésimale est soumis à un essai uniaxial isotherme de traction-compression quasi-statique. Lacourbe contrainte-déformation obtenue est illustrée sur la figure 2.15. Elle est indépendantede la vitesse de chargement, et donc du temps physique.

εp

−σ 0

0σ

εO

σB Dom

aine actueld’élasticité

Dom


2σ 0

2σ 0

FIG. 2.15 – Matériau élastoplastique à écrouissage cinématique non linéaire

Modélisation uniaxiale d’Armstrong & Frederick

Les essais uniaxiaux de traction-compression montrent quele domaine d’élasticité setranslate sans changer de taille (figure 2.15). L’écrouissage est donc cinématique. Mais, cettefois-ci, il n’est plus linéaire en fonction de la déformation plastique. D’autre part, on re-marque que les contraintes sont bornées, et évoluent dans l’intervalle ] − σ∞, σ∞[ (figure


2.16).Dans la section précédente, on a noté qu’un modèle d’écrouissage cinématique non linéaireconstruit en faisant dépendre le module d’écrouissageH de la déformation plastique neconduit pas à des résultats conformes aux observations expérimentales.En 1966, Armstrong et Frederick20 ont proposé un modèle plus adapté en procédant de lafaçon suivante.Ils ont remarqué que la translationX du domaine d’élasticité (voir figure 2.16) peut être cor-rectement représentée, dans le cas uniaxial, par une fonction exponentielle sous la forme :

FIG. 2.16 – Forme de la fonction de translation du domaine d’élasticité dans le cas d’unécrouissage cinématique non linéaire

X = a(1 − exp (−γεp))

oùa etγ sont deux constantes choisies en minimisant l’écart entre cette fonction et la courbeexpérimentale correspondante.On a alors :

dX = aγ exp (−γεp) dεp = γ(a − X) dεp .

L’étude du comportement en compression montre qu’en fait, le dernier membre de l’expres-sion précédente doit être séparé en deux termes distincts :

dX = aγdεp − γXdp .

En posant :C = aγ, on réécrit dX sous la forme :

dX = Cdεp − γXdp .

En notantX =2

3X, le domaine d’élasticité est donc défini par :

|σ − X| − σ0 = 0 ou encore par |σ − 3

2X| − σ0 = 0 .

Ce modèle va être formulé en multiaxial dans ce qui suit.

20P. J. Armstrong and C.O. Frederick,Mathematical Representation of the Multiaxial Bauschinger Effect,CEGB RD/B/N731, Berkeley Nuclear Laboratories, 1966.


Formulation habituelle de la loi de comportement

Pour obtenir leur modèle élastoplastique à écrouissage cinématique non linéaire, Arm-strong et Frederick ont modifié la loi élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire de lamanière qui suit.

– L’énergie libre garde la même forme :

ρw(ε, εp, α) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α , (2.110)

ce qui conduit aux lois d’état suivantes :

σ = C : (ε − εp)

Aεp

= devσ = s

X = −2

3Cα .

(2.111)

– La relation (2.109) est modifiée de la façon suivante :

X =2

3Cεp − γX p . (2.112)

Elle revient à la loi d’évolution (de la variableα) suivante :

α = −εp +3

2

γ

CX p . (2.113)

Cette dernière peut être obtenue par dérivation de la fonction

F (s,X) = ‖ s − X ‖eq− σ0 +

3

4

γ

CX : X (2.114)

qui constitue le potentiel plastique.– La fonction de charge définissant le domaine d’élasticité est choisie différente du po-

tentiel précédent ; elle est donnée par :

f(s,X) = ‖ s − X ‖eq− σ0 , (2.115)

f(s,X) ≤ 0 définissant le domaine des forces(s,X) admissibles.

Les lois complémentaires sont :

εp = λ∂F (s,X)

∂s= λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α = λ∂F (s,X)

∂X= −εp + λ

3

2

γ

CX

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 . (2.116)

Un tel modèle pour lequel la fonction de chargef est différente du potentiel plastiqueF estappelémodèle de plasticité non associée.


La relation (2.112) s’écrit :

X = −2

3C α =

2

3Cεp − γX p .

La puissance dissipée est donnée par :

D1 = s : εp + X : α

= (s − X) : εp +3

2

γ

CX : Xp

= (σ0 +3

2

γ

CX : X)p .

On vérifie ainsi qu’elle est bien positive.

FIG. 2.17 – Variations du domaine d’élasticité pour le matériauélastoplastique à écrouissagecinématique non linéaire

Formulation de type standard généralisé

On peut obtenir une formulation de ce modèle, de type standard généralisé, en procédantcomme suit :

– on garde la même forme d’énergie libre (2.110) ;– on considère la fonction de charge suivante :

f(s,X, α) = ‖ s − X ‖eq− σ0 +

3

4

γ

C

(

X : X − 4

9C2α : α

)

. (2.117)

C’est une fonction deσ et X paramétrée par la valeur actuelle de la variableα. Elleobtenue en retranchant au potentiel plastique (2.114) le terme 4

9C2α : α, ce qui fait que

sa valeur est toujours égale à‖ s − X ‖eq− σ0.

Les lois d’état et les lois complémentaires demeurent alorsinchangées.


Identification des constantes du modèle à partir d’une courbe de traction

La sollicitation considérée est uniaxiale selonex. On note respectivementσ, εp et X, lescomposantesxx des tenseurs de contrainte, de déformation plastique et de force thermody-namiqueX. Ces tenseurs s’écrivent alors :

σ = σ ex ⊗ ex

εp = εp(ex ⊗ ex − 12ey ⊗ ey − 1

2ez ⊗ ez)

X = X(ex ⊗ ex − 12ey ⊗ ey − 1

2ez ⊗ ez)

p =

√

2

3‖ εp ‖ = |εp| .

On a les relations suivantes :

σ = E(ε − εp)

f(σ,X) = |σ − 3

2X| − σ0 = 0 en cas de charge

X =2

3Cεp − γXp =

(2

3C − sign(εp)γX

)εp ou

dX(X − sign(εp)

2

3

C

γ

)= −γsign(εp)dεp .

L’intégration de la dernière relation dans une phase de traction ou de compression (εp)gardant un signe constant, conduit à :

X =2

3

C

γsign(εp) +

(Xdeb − sign(εp)

2

3

C

γ

)exp

(− sign(εp)γ(εp − εp

deb))

où Xdeb et εpdeb sont les valeurs initiales (du début de la phase considérée)respectives deX

et εp, X et εp étant leurs valeurs actuelles. On en déduit, en utilisant

|σ − 3

2X| − σ0 = 0 ,

que la valeur de la contrainte dans la phase de charge est donnée par :

σ = sign(εp)σ0 + sign(εp)C

γ+

(3

2Xdeb − sign(εp)

C

γ

)exp

(− sign(εp)γ(εp − εp

deb))

.

En chargement monotone croissant à partir de l’état initialnaturel, on obtient dans la phaseplastique :

si σ < σ0 alors σ = Eε,

sinon σ = σ0 +C

γ

(1 − exp (−γεp)

)= E(ε − εp) .

Lorsqueεp tend vers l’infini, on trouve que :


• σ tend vers la valeur asymptotiqueσ∞ = σ0 +C

γ

• etX vers la valeur X∞ =2

3

C

γ.

En effectuant une décharge et en faisant tendreεp vers−∞, on trouve de nouveau une valeurasymptotique de la contrainte qui est :σ−∞ = −σ∞.

La figure 2.18 illustre le principe de l’identification des paramètres de la loi de comporte-ment à partir d’une courbe de traction expérimentale21. Celui-ci repose sur le choix optimaldes paramètresσ0, C et γ dont on précise la détermination, ci-dessous. On note respective-mentεexp etσexp, la déformation et la contrainte de l’essai.

21Bien entendu, une compression jusqu’à la plastification a permis de mettre en évidence le caractère ciné-matique de l’écrouissage du matériau en question.


Principe de l’identification

1. σ0 est la limite d’élasticité en traction ;

2. le rapportC/γ est donné par

C

γ= σ∞ − σ0,

σ∞ étant la valeur asymptotique de la contrainte lorsque la déformation devienttrès grande ;

3. les valeurs deC etγ sont finalement obtenues par minimisation de l’écart entre lacourbe expérimentale et la courbe simulée définie par :

Pour εexp <σ0

E, σ = Eεexp

Pour εexp ≥σ0

E, σ = σ0 +

C

γ

(1 − exp (−γ(εexp−

σexp

E))

).

FIG. 2.18 – Principe de l’identification


Remarquons que la courbe théorique présente une discontinuité de sa tangente enσ0, tan-

gente est égale au module de YoungE dans sa partie élastique et àEC

E + Cdans sa partie

plastique.

Sur la figure 2.19, on montre deux exemples d’identification àpartir d’une même courbed’essai sur une éprouvette en acier 42CrMo4. Ils illustrent le fait qu’on n’est pas face àun problème "à solution unique", mais qu’on recherche les paramètres qui conduisent à lameilleure représentation du comportement dans la gamme de réponse visée par l’étude sous-tendant l’identification. Ainsi, les deux jeux de paramètres obtenus sont :σ0 = 374MPa,C = 131250MPa etγ = 150 sur la figure de droite, etσ0 = 700MPa,C = 78000MPa etγ = 120 sur la figure de gauche.

FIG. 2.19 – Deux exemples d’identification d’un modèle élastoplastique à écrouissage ci-nématique non linéaire à partir d’une partie de la courbe stabilisée de traction-compressioncyclique sur une éprouvette en acier 42MoCr4.


2.4.10 Loi élastoplastique à écrouissages combinés cinématique non li-néaire et isotrope


FIG. 2.20 – Essai de tractions-compressions cycliques sur un acier 316L, pour cinq valeurssuccessives (1%, 1,5%, 2%, 2,5%, 3%) de la déformation maximaleǫm. Pour chaque niveauǫm, on effectue des tractions-compressions cycliques entre−ǫm et ǫm jusqu’à stabilisation etl’on passe au niveau suivant (Chaboche, Dang Van et Cordier, 1979).

La figure 2.20 représente les courbes contrainte-déformation issues d’un essai cycliquesur une éprouvette en acier 316L utilisé dans l’industrie nucléaire. Cet essai est effectué pourcinq niveaux de déformation (1%, 1,5%, 2%, 2,5%, 3%). On commence par imposer unedéformation cyclique variant entre -1% et 1% jusqu’à la stabilisation de la courbe contrainte-déformation. On reprend le processus de chargement au niveau suivant, et ainsi que suitejusqu’à 3%.Les boucles (contrainte-déformation) obtenues par exemple pour le cyclage entre -1% et 1%montrent un écrouissage isotrope et cinématique non linéaire qu’on se propose de modéliser.

Modélisation tridimensionnelle

Ce comportement mis en évidence peut être reproduit en combinant deux des modèlesisotrope et cinématique non linéaire précédemment exposés(sous-sections 2.4.7 et 2.4.9).On obtient une loi de comportement dont le domaine d’élasticité est susceptible à la fois, dese déplacer dans l’espace des contraintes et de changer de taille.L’énergie libre formée en utilisant deux des formes particulières précédemment obtenuespour les parties isotrope (équations 2.94 et 2.97) et cinématique (équation 2.110), est écrite


sous la forme :

ρw(ε, εp, α, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α + R∞

(

p +exp (−bp)

b

)


σ = ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂ε= C : (ε − εp)

Aεp

= −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂εp= dev

(

C : (ε − εp)

)

= dev(σ) = s

X = −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂α= −2

3Cα

Ap = −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂p= −R∞ (1 − exp (−bp)) = −R(p)

La fonction de charge définissant le domaine d’élasticité est donnée par :

f(s,X,R) = ‖ s − X ‖eq− R(p) − σ0 . (2.118)

Elle est différente du potentiel plastique qui s’écrit :

F (s,X,R) = ‖ s − X ‖eq− R(p) − σ0 +

3

4

γ

CX : X . (2.119)

Les lois complémentaires sont alors :

εp = λ∂F (s,X,R)

∂s= λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α = λ∂F (s,X,R)

∂X= −εp + λ

3

2

γ

CX

p = λ∂F (s,X,R)

∂(−R)= λ

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 . (2.120)

Un tel modèle pour lequel la fonction de chargef est différente du potentiel plastiqueF estappelémodèle de plasticité non associée.

La puissance dissipée est donnée par :

D1 = s : εp + X : α − R(p)p

= (s − X) : εp + (3

2

γ

CX : X − R)p

= (σ0 +3

2

γ

CX : X)p .

(2.121)

Ceci montre qu’elle est bien positive.


FIG. 2.21 – Écrouissages combinés (cinématique non linéaire etisotrope)

2.5 Lois de comportements viscoélastiques et élastovisco-plastiques

Dans cette section, sont considérés les matériaux solides dont la réponse à un trajet desollicitation mécanique (en effort ou en déformation) dépend de la vitesse de parcours de cetrajet. Cette caractéristique peut être mise en évidence parles essais uniaxiaux de tractionsimple à différentes vitesses, de fluage, de relaxation ou derecouvrance. En fonction desmatériaux, il peut exister des seuils de sollicitation pourla manifestation de tels phénomènes.

1. Tractions simples à différentes vitesses.Lors des essais de traction simple effec-tués à des vitesses de sollicitation croissantes, on obtient des courbes "contrainte-déformation" de plus en plus raides (cf figure 2.22).

σ

O ε

ε.

croissant

FIG. 2.22 – Tractions simples à différentes vitesses de déformation (matériau viscoélastique)

2. Fluage.Lorsqu’on applique rapidement un effort que l’on maintientconstant, on ob-serve, si l’effort est suffisamment important, que la déformation continue à augmenterpour tendre éventuellement vers une limite. Il s’agit du phénomène dedéformationdifférée ou defluage.C’est l’exemple de la déformation progressive d’une étagèresous poids constant.

3. Relaxation.En imposant rapidement un déplacement que l’on maintient constant, onobserve une diminution progressive de l’effort à appliquer: c’est le phénomène de

2.5 Lois de comportements viscoélastiques et élastoviscoplastiques 105

FIG. 2.23 – Essai de fluage : on applique rapidement un effort qui est maintenu constant

relaxation. La valeur limite de l’effort appliqué peut être nulle ou non.C’est l’exemple de la baisse de tension des cordes et câbles tendus (précontrainte dansles ouvrages d’art, cordes des instruments de musique, etc.).

FIG. 2.24 – Essai de relaxation : on applique rapidement un déplacement qui est maintenuconstant

4. Recouvrance.On impose rapidement un effort que l’on maintient constant pendant uncertain temps, puis on le ramène rapidement à zéro. On observe, alors que l’effort estremis à zéro, que le déplacement diminue progressivement pour tendre vers une valeurlimite : il s’agit du phénomène derecouvrance. C’est l’exemple d’une éponge que l’onpresse et qui retrouve progressivement sa forme. Comme, on l’a déjà mentionné, il peutexister un niveau de sollicitation en dessous duquel un tel phénomène ne se manisfestepas La recouvrance est en général totale pour les comportements viscoélastiques dessolides ; elle est nulle pour les modèles viscoélastiques detype fluide de Maxwell.

2.5.1 Comportements viscoélastiques isothermes

Ce type de comportement est exhibé par les bétons, les polymères à une température suf-fisante, le bois, etc.En plus de la description du comportement par la thermodynamique des processus irréver-sibles à variables internes, la description fonctionnellereliant l’histoire des contraintes àl’histoire des déformations est abordée dans le cadre de la viscoélasticité linéaire22.

22Pour un approfondissement de cette notion, on pourra consulter : J. Salençon. Viscoélasticité pour le calculdes structures. Les Éditions de l’École Polytechnique, 2009.


FIG. 2.25 – Essai de recouvrance : on applique rapidement un effort maintenu constant, puisramené brutalement à zéro

Description par variables internes

A l’état naturel (à température fixée), le matériau viscoélastique est dénué de contrainteet plus généralement de forces thermodynamiques. Après unehistoire de charge non nulle,la recouvrance est un retour (progressif) à l’état naturel où les vitesses des variables d’étatε, α comme les forces thermodynamiques sont nulles. On impose enplus que la dissipationintrinsèque soit toujours non nulle lorsque les forces thermodynamiquesσirr,A sont nonnulles. La dissipation intrinsèque est donnée par :

D1 = σirr : ε + A.α . (2.122)

On se place dans le cadre standard généralisé. Le comportement viscoélastique est sup-posé isotherme et est décrit par les variables d’état cinématiques(ε,α). Il est alors défini parla donnée :

– de l’énergie libre de Helmholtzρw(ε,α) strictement convexe, de minimum strict finien(0, 0) ;

– d’un potentiel de dissipationϕ(ε, α, ε,α) dérivable, strictement convexe et minimumstrict en(ε, α) = (0, 0), ce qui assure la positivité de la dissipation intrinsèque.

Les lois complémentaires s’écrivent :

σirr =∂ϕ(ε, α, ε,α)

∂εet A =

∂ϕ(ε, α, ε,α)

∂α. (2.123)

Le potentiel dualϕ⋆(σirr,A, ε,α) défini par la transformée de Legendre deϕ sur les variables(ε, α) donne :

ε =∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α)

∂σirret α =

∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α)

∂A. (2.124)


ϕ⋆ est dérivable, strictement convexe et minimum strict en(σirr,A) = (0, 0) .

Viscoélasticité linéaire

Ce schéma est obtenu en faisant un développement au second ordre de l’énergie libre etdu potentiel de dissipation par rapport à(ε, α). Le développement du potentiel de dissipa-tion peut être remplacé par celui du potentiel dual par rapport à (σirr,A). L’énergie libre deHelmholtz est dans ce cas écrite sous la forme :

ρ0w(ε, α) =1

2ε : C : ε + α : P : ε +

1

2α : a : α . (2.125)

Le potentiel dual de dissipation est de la forme :

ϕ⋆(A) =1

2A : D : A . (2.126)

Ces deux potentiels sont strictement positifs, les coefficientsC,P,a et D sont supposés

symétriques et uniquement fonctions de la températureT0 de l’état initial.Les équations de comportement obtenues sont :

σrev = ρ∂w(ε, α)

∂ε= C : ε + P : α

A = −ρ∂w(ε, α)

∂α= −P : ε −a : α

α =∂ϕ⋆(A)

∂A = D : A .

α peut représentern variables internesαi, i = 1, n, auquel cas l’écriture de la loi de com-

portement est immédiate. On suppose de plus que les variables internesα évoluent continû-ment, donc que les forces thermodynamiques restent finies.

Description fonctionnelle à partir d’un exemple

E

ε

η

εv

FIG. 2.26 – Modèle de Maxwell

Le modèle rhéologique considéré est représenté sur la figure2.26 : il s’agit d’un modèlede Maxwell23 . Il comprend un ressort de raideurE en série avec un amortisseur linéaire deviscositéη.

23En 1867, Maxwell proposa l’équation différentielle d’évolution (2.127) reliant le cisaillement à la défor-mation correspondante. Poynting et Thomson lui associèrent, en 1902, le modèle rhéologique de la figure 2.26.


Les variables d’état sont la déformation totaleε et la déformation visqueuseεv.L’énergie libre est donnée par :

w(ε, εv) =1

2E(ε − εv)2 .

La réaction de l’amortisseur vautηεv.La dissipation intrinsèque est alors :

D1 = η(εv)2 .

Le potentiel de dissipation est :

ϕ(εv) =1

2η(εv)2 .

On en déduit :

σrev = E(ε − εv), A = E(ε − εv), σirr = 0, A = ηεv ,

doncσrev = σ = E(ε − εv) = A = ηεv .

La loi d’évolution du modèle est donc :

σ

E+

σ

η= ε ou encore σ +

σ

τ= Eε . (2.127)

τ =η

Eest un temps caractéristique du modèle. Pour les essais uniaxiaux de caractéri-

sation mentionnés dans l’introduction de cette section, onobtient les réponses données ci-dessous.

1. Tractions simples à différentes vitesses. Lors d’un essai de traction simple effectué, àpartir d’un état vierge, à vitesse de déformationε constante, on obtient, par intégrationde l’équation (2.127) :

σ(t) = Eετ(1 − e−tτ ) .

Les courbes "contrainte-déformation" obtenues pour des vitesses de sollicitation crois-santes présentent donc la même pente à l’origine et sont de plus en plus raides (cf figure2.27).

2. Fluage. Lorsqu’on applique rapidement une contrainteσ0 que l’on maintient constante,on observe une déformation, instantanéeε0 = σ0/E, puis différée avec augmentationlinéaire en fonction du tempst :

ε(t) =σ0

E+

σ0

ηt ,

(voir figure 2.28).


σ

ε.

croissant

ε.

σ ε.

εO

E

= E τ ε τ(1 − exp(− / ))

FIG. 2.27 – Tractions simples à différentes vitesses de déformation (modèle de Maxwell)

σ0

E

σ0

η

O t

ε

FIG. 2.28 – Essai de fluage pour un modèle de Maxwell

σ

ε 0E

ε 0E exp(−t / )τ

O t

FIG. 2.29 – Essai de relaxation pour un modèle de Maxwell

3. Relaxation. En imposant rapidement une déformationε0 que l’on maintient constante,on observe une diminution progressive (relaxation) de la contrainte appliquée qui tendvers une valeur limite nulle (figure 2.29) :

σ(t) = Eε0e− t

τ .

La déformation tend à devenir totalement visqueuse.

4. Recouvrance. On impose rapidement une contrainteσ0 que l’on maintient constantependant un certain temps, puis on la ramène rapidement à zéro. On n’observe pasd’évolution de la déformation. Larecouvranceest nulle pour le modèle de Maxwell.


Description fonctionnelle pour le modèle de Maxwell.

Par intégration de l’équation (2.127) entre l’instant−∞ et l’instantt, on obtient :

σ(t) =

∫ t

−∞E exp (−t − u

τ)ε(u)du . (2.128)

L’intégration par parties conduit à :

σ(t) = Eε(t) −∫ t

−∞

E

τexp (−t − u

τ)ε(u)du . (2.129)

Cette équation montre que la réponse du matériau à un instantt dépend non seulement dela sollicitation à cet instant, mais aussi de toute l’histoire de cette dernière. Ceci constitue uneautre façon de décrire le comportement des matériaux viscoélastiques, appeléedescriptionfonctionnelle ou héréditaire.

La réponse à une déformation donnée par la fonctionH(t) où H(t) est la fonction deHeaviside définie par :

H(t) =

0 si t < 01 sinon

est appeléefonction de relaxationG(t).Dans ce cas, elle vaut :

G(t) = E exp (− t

τ)H(t) .

La fonction de relaxation peut être obtenue expérimentalement.

Lorsque qu’on soumet le matériau à une histoire de déformation ε(t), t > 0, grâce à lalinéarité, la réponse est donnée par :

σ(t) =

∫ t

−∞G(t − u)dε(u) (2.130)

CommeG(t − u) = 0, pouru > t, on obtient :

σ(t) =

∫ +∞

−∞G(t − u)dε(u) = G ∗ dε (2.131)

G ∗ dε est appelé convolution de Stieltjes, défini à partir du produit de convolution24 ∗ desfonctionsG et ε. En utilisant la transformée de Laplace - Carson25, on obtient :

σ∗ = G∗ε∗ (2.132)

24Le produit de convolution de deux fonctionsf etg est défini par :f ∗ g =∫ +∞

−∞f(t − u)g(u)d(u).

Il a la propriété suivante :ddt(f ∗ ε) = df

dt∗ ε = f ∗ dε

dt.

25On définit la transformée de Laplacef(s) d’une fonctionf(t) par :f(s) =∫ +∞

−∞f(t) exp (−st)dt

et celle de Carsonf∗(s) par :f∗(s) = sf(s).On a :f ∗ g = fg et (f ∗ g)∗ = f∗g∗.C’est une transformation linéaire.


relation analogue à celle de l’élasticité linéaireσ = Eε.

La déformation, réponse à une contrainte donnée par la fonction H(t), est appeléefonc-tion de retard J(t). On obtient :

ε(t) =

∫ +∞

−∞J(t − u)dσ(u) (2.133)

avec

J(t) =

(1

E+

t

η

)

H(t) .

On a :ε∗ = J∗σ∗ et G∗J∗ = 1 .

Description fonctionnelle de la viscoélasticité linéaire

Les relations entre la contrainte et la déformation obtenues dans ce cas se généralisentaisément au cas tridimensionnel. En effet, dans ce cas, en imposant respectivement des ten-seurs de déformationsH(t)ε

0ou de contraintesH(t)σ

0avecε

0etσ

0des tenseurs constants,

on obtient respectivement :

σ(t) = G(t) : ε0

et ε(t) = J(t) : σ0

. (2.134)

Si on applique respectivement des histoires quelconques dedéformationsε(t) et de contraintesσ(t) à partir de l’instant zéro, on obtient :

σ∗(u) = G∗(u) : ε∗(u) (2.135)

etε∗(u) = J∗(u) : σ∗(u) . (2.136)

Les tenseurs de relaxationG∗(u) et de retardJ∗(u) possèdent les mêmes propriétés que les

tenseurs d’élasticité linéaire. Les problèmes de viscoélasticité peuvent alors être ramenés auproblèmes d’élasticité (en restant dans l’hypothèse de faible changement de géométrie).

Dans le cas d’un matériau isotrope, en utilisant les mêmes arguments qu’en élasticitélinaire, on obtient :

σ(t) = λ(t)tr(ε(t))1 + 2µ(t)ε(t) (2.137)

etE(t)ε(t) = (1 + ν(t))σ(t) − ν(t)tr(σ(t))1 (2.138)

avecλ(t) etµ(t) deux fonctions de relaxation correspondant aux coefficients de Lamé,E(t) etν(t) définissant des fonctions de retard homologues du module de Young et ducoefficient de Poisson.

En utilisant la transformation de Laplace-Carson, on a :

σ∗(u) = λ∗(u)tr(ε∗(u)) + 2µ∗(u)ε∗(u) . (2.139)


E

ε

η

FIG. 2.30 – Modèle de Kelvin-Voigt

Modèle de Kelvin-Voigt

Le modèle rhéologique correspondant est représenté sur la figure 2.30. Il comprend unressort de raideurE en parallèle avec un amortisseur linéaire de viscositéη.La variable d’état est la déformation totaleε (égale à la déformation visqueuse).L’énergie libre est donnée par :

w(ε) =1

2Eε2 .

La réaction de l’amortisseur estηε.La dissipation intrinsèque est alors :

D1 = η(ε)2 .

Le potentiel de dissipation est :

ϕ(ε) =1

2η(ε)2 .

On en déduit :σrev = Eε, σirr = ηε, σ = σrev + σirr .

La loi d’évolution du modèle est donc :

σ = Eε + ηε .

Exercice : Donner, dans ce cas, les fonctions de retard et de relaxation.

Modèle linéaire standard

E

E

η

v

εv ε

FIG. 2.31 – Modèle linéaire standard

Le modèle rhéologique correspondant est représenté sur la figure 2.31. Il est constituéd’un élément de Kelvin (ressort de raideurEv en parallèle avec un amortisseur de viscosité


η) en série avec un ressort de raideurE. Les variables d’état sont la déformation totaleε etla déformation visqueuse (de Kelvin)εv.L’énergie libre est donnée par :

w(ε, εv) =1

2E(ε − εv)2 +

1

2Ev(ε

v)2 .

La dissipation intrinsèque est :D1 = η(εv)2

et, par conséquent, le potentiel de dissipation s’écrit :

ϕ(εv) =1

2η(εv)2 .

On en déduit :

σrev = E(ε − εv) , A = E(ε − εv) − Evεv

σirr = 0 et A = ηεv

d’où

σ − Evεv = ηεv soit σ − Ev(ε −

σ

E) = η(ε − σ

E)

La loi d’évolution du modèle est par conséquent :

E + Ev

Eσ +

η

Eσ = Evε + ηε . (2.140)

L’intégration de cette équation différentielle permet de déterminer la réponse du modèleaux sollicitations suivantes.

1. Échelon de contrainte (essai de fluage).En partant d’un état initial naturel, à partir de l’instantt0 = 0 , on imposerapidementune contrainteσm et on la maintient constante. La réponse instantanée du modèle est :

ε0 =σm

E, d’où la réponse à tout instantt > 0 :

ε(t) =E + Ev

EEv

σm

(

1 − E

E + Ev

exp(−Ev

ηt)

)

.

2. Relâchement des efforts imposés (essai de recouvrance).On part de l’essai précédent. Si au bout d’un certain tempstm > 0, on ramène lacontrainte à zéro et on l’y maintient. L’évolution du déplacement, à partir det+m, estalors donnée par :

ε(t) =σm

Ev

(

exp(−Ev

η(t − tm)) − exp(−Ev

ηt)

)

.

La recouvrance est donc totale dans le cas oùEv est non nul. Rappelons qu’elle estnulle dans le cas d’un modèle de Maxwell.


3. Échelon de déformation (essai de relaxation).En partant d’un état initial naturel, à partir de l’instantt0 = 0 , on imposerapidementun déplacementεm et on le maintient constant. La réponse instantanée du modèle est :σ0 = Eεm, d’où la réponse à tout instantt > 0 :

σ(t) =EEv

E + Ev

εm

(

1 +E

Ev

exp(−E + Ev

ηt)

)

.

Au bout d’un temps infini, la contrainte tend vers la valeur

σ∞ =EEv

E + Ev

εm .

La relaxation n’est donc totale que siEv est nul.

Remarque :Le modèle précédent (figure 2.31) est équivalent au modèle deZener représentésur la figure 2.32. Il conduit à la même équation d’évolution (2.140) avec :

E1 =E2

E + Ev

, E2 =EEv

E + Ev

et η1 = ηE2

(E + Ev)2.

E2

εv

E1η1

ε

FIG. 2.32 – Modèle de Zener


2.5.2 Comportements viscoplastiques

Certaines structures comme les moteurs de voitures, les turbo-réacteurs ou les cuves descentrales nucléaires fonctionnent dans des gammes de température pour lesquelles les maté-riaux utilisés sont susceptibles de présenter, à partir d’un certain niveau de sollicitation, desdéformations irréversibles et différées (plasticité, fluage, relaxation, etc.), en somme d’avoirun comportement viscoplastique.La différence essentielle entre les matériaux viscoélastiques et viscoplastiques est que cesderniers peuvent conduire à des recouvrances partielles etposséder un domaine fini d’élasti-cité. Ce dernier point signifie que, au contraire de la viscoélasticité, les forces thermodyna-miques non nulles n’entraînent pas forcément un écoulementviscoplastique.

On se place dans le cadre standard généralisé. Le comportement viscoplastique est abordédans les conditions isothermes. Il est décrit par les variables d’état cinématiques(ε,α). Il estalors défini par la donnée :

1. de l’énergie libre de Helmholtzρw(ε,α) strictement convexe ;

2. du potentiel dual de dissipationϕ⋆(σ,A, ε,α) continûment dérivable, convexe (alorsqu’il strictement convexe en viscoélasticité) et minimum en (σ,A) = (0, 0), ce quiassure la positivité de la dissipation intrinsèque.

La dernière propriété revient à dire que le potentiel de dissipationϕ(ε, α, ε,α) est stricte-ment convexe et minimum en(ε, α) = (0, 0).

Les lois complémentaires s’écrivent

σirr =∂ϕ(ε, α, ε,α)

∂εet A =

∂ϕ(ε, α, ε,α)

∂α. (2.141)

Le potentiel dualϕ⋆(σirr,A, ε,α) défini par la transformée de Legendre-Fenchel deϕ surles variables(ε, α) donne, quant à lui, accès à :

ε =∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α)

∂σirret α =

∂ϕ⋆(σirr,A, ε,α)

∂A. (2.142)

Si l’on suppose que le matériau possède un domaine d’élasticité, alors la déformation totalen’est pas une variable dissipative26 etσirr est nul.

Exemple de modèle rhéologique parfaitement viscoplastique

Un exemple de modèle rhéologique parfaitement viscoplastique est représenté sur la figure2.33. Il comprend un ressort de raideurE en série avec un ensemble constitué d’un patin deseuilσ0, (σ0 > 0) en parallèle avec un amortisseur de viscositéη, (η > 0).

26La déformation totale n’étant pas dissipative en élasticité.


FIG. 2.33 – Modèle de Bingham

Les variables d’état sont la déformation totaleε et la déformation viscoplastiqueεp.L’énergie libre est donnée par :

w(ε, εp) =1

2E(ε − εp)2 .

La puissance dissipée au niveau du patin et de l’amortisseurest :

D1 = σ0|εp| + η(εp)2 .

La dissipation intrinsèque se met donc sous la forme :

D1 = (σ0signεp + ηεp)εp = Aεp εp ,

qui suggère le potentiel de dissipation suivant :

ϕ(εp) = σ0|εp| + 1

2η(εp)2 .

On en déduit :σrev = E(ε − εp), Aεp = E(ε − εp), σirr = 0

Aεp ∈ ∂ϕ(εp) ⇐⇒

Aεp ∈ [−σ0, σ0] si εp = 0

Aεp =∂ϕ(εp)

∂εp= σ0signεp + ηεp si εp 6= 0

Le potentiel dual de dissipation est défini par :

ϕ⋆(σ) = supu(σu − ϕ(u))

= supu(σu − σ0|u| − 12ηu2) = sup|u|(|σ| − σ0 − 1

2η|u|)|u|

= supu≥0(|σ| − σ0 − 12ηu)u

(2.143)

Pour obtenir son expression explicite, on considère les deux cas suivants :

1. |σ| ≤ σ0. Dans ce cas on obtient :

ϕ⋆(σ) = 0.


2. |σ| > σ0 . Le maximum de l’expression (2.143) est obtenu pourum ≥ 0 vérifiant

|σ| − σ0 − ηum = 0, soit um =|σ| − σ0

ηd’où l’expression suivante du potentiel

dual :

ϕ⋆(σ) =1

2η(|σ| − σ0)

2 .

Dans tous les cas, le potentielϕ⋆(σ) s’écrit :

ϕ⋆(σ) =1

2η〈|σ| − σ0〉2

où 〈x〉 = (x + |x|)/2 désigne la partie positive dex. On en déduit :

εp =sign(σ)〈|σ| − σ0〉

η.

FIG. 2.34 – Potentiels de dissipation pour le modèle de Bingham

FIG. 2.35 – Lois d’écoulement pour le modèle de Bingham


FIG. 2.36 – Potentiels de dissipation pour le modèle de Bingham (en trait plein) et dans lecas élastique parfaitement plastique (en pointillés)

FIG. 2.37 – Lois d’écoulement pour le modèle de Bingham (en trait plein) et dans le casélastique parfaitement plastique (en pointillés)

Exemple de comportement viscoplastique

La généralisation de la loi précédente consiste à utiliser :

– une fonction de charge convexef(σ,A) telle quef(σ,A) < 0 définit l’intérieur dudomaine d’élasticité,

– et un potentiel dual de dissipation de la forme :

ϕ⋆(σ,A) = g(〈f(σ,A)〉) (2.144)

où g est une fonction continûment différentiable, strictementconvexe à dérivée nulle àl’origine.

On en déduit les lois complémentaires suivantes :

εp = g′(〈f(σ,A)〉)∂f(σ,A)

∂σ

α = g′(〈f(σ,A)〉)∂f(σ,A)

∂A

(2.145)


avec

g′(〈f(σ,A)〉) =∂g(〈f(σ,A)〉)

∂〈f〉 .

Lorsque le potentiel de dissipation porte sur l’ensemble des variables internes, le modèleest bien sûr standard généralisé. Dans le cas où seule la déformation plastique dérive d’unpotentiel, le modèle est dit standard.

Modèle de Chaboche

L’énergie libre obtenue, en utilisant deux des formes particulières précédemment identi-fiées (sous-sections 2.4.7 et 2.4.9) pour les parties isotrope et cinématique est écrite sous laforme :

ρw(ε, εp, α, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α + R∞

(

p +exp (−bp)

b

)

.

Les variables internes sont : la déformation viscoplastique εp, la variable d’écrouissagecinématiqueα et la déformation viscoplastique cumuléep. On choisit comme potentiel dualde dissipation

ϕ⋆(σ,X,Ap = −R) =K

n + 1

⟨f(σ,X,R)

K

⟩n+1

.

La fonctionf est donnée par :

f(σ,X,R) = ‖ σ − X ‖eq− R(p) − σ0 +

3

4

γ

C

(

X : X − 4

9C2α : α

)

. (2.146)


σ = ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂ε= C : (ε − εp)

Aεp

= −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂εp= dev

(

C : (ε − εp)

)

= dev(σ) = s

X = −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂α= −2

3Cα

Ap = −ρ∂w(ε, εp, α, p)

∂p= −R∞ (1 − exp (−bp)) = −R(p) .


Comme∂ϕ⋆

∂f=

⟨f

K

⟩n

, en explicitant les relations (2.145), on obtient :

εp =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂σ=

⟨f

K

⟩n√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂X= −εp + p

3

2

γ

CX

p =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂(−R)=

√

2

3‖ εp ‖ .

La dissipation intrinsèque est donnée par :

D1 = σ : εp + X : α − Rp

= (σ − X) : εp +

(3

2

γ

CX : X − R

)

p

=

(√

3

2‖ σ − X ‖ − σ0 − R

)

p +

(

σ0 +3

2

γ

CX : X

)

p .

Cette expression permet une vérification immédiate de la positivité de la dissipation intrin-sèque.

2.6 Introduction au comportement endommageable

Cette section est destinée à illustrer par la modélisation del’endommagement, la miseen œuvre du formalisme précédemment développé pour l’élaboration des lois de comporte-ment. Elle ne vise pas à l’exhaustivité et renvoie le lecteuraux ouvrages plus spécialisés surcette question. La démarche que nous avons élaborée a pour point de départ les observationsexpérimentales relatives au phénomène physique à modéliser. Elle sélectionne ensuite les va-riables d’état pertinentes et définit le potentiel thermodynamique, fonction de ces variables.Enfin une forme de la dissipation, ou plus précisément du potentiel de dissipation dans lecadre standard généralisé, est proposée. Dans cette approche, les liaisons internes vérifiéespar les variables d’état et leurs taux sont prises en compte par l’ajout de fonctions indicatricesaux différents potentiels.

2.6.1 Aspects phénoménologiques

Expérimentalement, l’endommagement27 est associé à une perte de raideur du matériaumise en évidence notamment lors des décharges. Il est dû à la création de microfissureset microcavités, à leur propagation, à des décohésions, etc. Il peut être concomitant à laplasticité ou survenir sans elle (endommagement fragile).

27L’endommagement peut être défini de manière plus générale comme la détérioration progressive des ca-ractéristiques mécaniques des matériaux, et donc inclut lafatigue qui est abordée plus loin.

2.6 Introduction au comportement endommageable 121

FIG. 2.38 – Courbes de traction-compression révélant un endommagement fragile et un cou-plage endommagement-plasticité

Deux exemples de comportement endommageables sont illustrés sur la figure 2.38. Sur lapremière courbe de cette figure, on note l’existence d’un seuil, à partir duquel la raideur dumatériau baisse. Dans tous les cas, une fois déchargé, le matériau ne présente pas de défor-mation permanente. On constate aussi une différence de comportement entre la traction et lacompression. En traction, dès le dépassement d’un certain seuil, un adoucissement du maté-riau est observé alors qu’en compression, non seulement le seuil est significativement plusélévé, mais le matériau présente d’abord un durcissement suivi ensuite d’un adoucissement.Sur la deuxième courbe de la figure 2.38, on note l’existence de déformation permanenteaprès décharge. Elle pourrait être due à la plasticité, ou aussi être une part irréversible de ladéformation d’endommagement.

Ce phénomène possède les caractéristiques suivantes :

1. l’existence d’un seuil à partir duquel le matériau s’endommage ; ce seuil n’est pas lemême en traction qu’en compression ;

2. une dissymétrie du comportement en traction et en compression : l’endommagementen traction est susceptible de s’accompagner d’un adoucissement du matériau et celuien compression d’un durcissement avant un éventuel adoucissement ;

3. l’endommagement peut être visqueux (sensible à la vitesse de sollicitation) ou indé-pendant du temps physique ;

4. l’endommagement peut être isotrope (il n’y a pas de directions d’endommagementprivilégiées) ou anisotrope.

Des essais supplémentairees sont nécessaires pour mettre en évidence la viscosité ou l’ani-sotropie de l’endommagement. Nous allons proposer différents modèles susceptibles de re-présenter une partie ou la totalité de ces quatre caractéristiques.


2.6.2 Modélisation de l’endommagement

L’endommagement est supposé isotrope. Il est représenté par une variabled qui vaut 0pour le matériau sain et 1 lorsque que le matériau est complètement endommagé. La gran-deurd est susceptible d’évoluer sans mouvement macroscopique suite notamment à des ac-tions physico-chimiques extérieures (telles que l’irradiation), capables de briser des liaisonschimiques et de dégrader le matériau. Elle contribue à la puissance des efforts intérieurs, parun premier terme−Ad et un second−H · ∇d qui se rajoutent au terme habituel−σ : ε. Ondéfinit la variable scalaire

β = 1 − d (2.147)

représentant l’intégrité de la structure. Elle vaut 1 pour le matériau sain et 0 lorsque le maté-riau est complètement endommagé.

Pour simplifier, on s’intéresse à l’endommagement fragile c’est-à-dire sans déformationplastique macroscopique. La modélisation de ce phénomène débute par le choix des va-riables internes pertinentes. Ce sont : la déformationε, la variable d’endommagementd etson gradient∇d.

Potentiel thermodynamique et lois d’état

Le potentiel thermodynamique approprié dans ce cadre isotherme est l’énergie libre spé-cifique de Helmholtz,w, fonction des variables d’état. La forme générale adoptée est lasuivante :

ρw(ε, d,∇d) =1

2ε : C(d) : ε + wd(d) + wg(∇d) + I(d) . (2.148)

Elle se compose de quatre termes.

1. Le terme1

2ε : C(d) : ε représente l’énergie élastique récupérable à la décharge.C(d),

le tenseur d’élasticité du matériau, est fonction de l’endommagement ; il doit traduire laperte de rigidité associée à l’évolution de ce dernier. Dansle cas de l’endommagementisotrope, on peut le choisir de la forme :

C(d) = g(d)C(0) (2.149)

avecg(d) est une fonction positive décroissante ded (par exemple égale à1 − d ou à(1 − d)2 ou encore sous la forme d’une exponentielle décroissante ded).

2. Le termewd(d) représente une énergie bloquée dans le matériau ; celle-ci n’est pasdissipée mais n’est pas récupable lors d’une décharge élastique ; physiquement, sonorigine pourrait être liée à l’état résiduel issu des microplastifications des micro-cavitésou des micro-fissures qui ne se referment pas complètement lors des décharges.

3. Le troisième terme,wg(∇d), est non local, représentatif de l’influence du voisinagesur le point matériel. Il est souvent considéré sous la forme:

wg(∇d) =1

2a (∇d)2 , (2.150)

aveca un scalaire positif.


4. Le quatrième terme,I(d), est rajouté à l’énergie libre pour prendre en compte la liaisoninterne à laquelle est soumise la variabled. Cette liaison s’écrit :

0 ≤ d ≤ 1 .

I(d) est alors la fonction indicatrice de l’intervalle[0, 1] ; Elle est définie par :

I(d) =

0 si d ∈ [0, 1]+∞ si d /∈ [0, 1] .

Les équations d’état, obtenus par dérivation de l’énergie librew, sont alors :

σrev = ρ∂w

∂ε= C(d) : ε

Arev ∈ ρ∂w

∂d+ ∂I(d) =

1

2ε :

∂

∂d(C) : ε +

dwd(d)

dd+ ∂I(d)

H rev = ρ∂w

∂∇d=

dwg(∇d)

d∇d

(2.151)

avec

∂I(d) =

0 si d ∈]0, 1[

R+ si d = 1

R− si d = 0

∅ si d /∈ [0, 1]

Arev etH rev sont les forces thermodynamiques réversibles associées aux variablesd et∇d.

Potentiel de dissipation et lois complémentaires

La dissipation intrinsèque, grandeur positive ou nulle, semet sous la forme :

D1 = σirr : ε + Airr d + H irr · ∇d

avecσirr = σ − σrev, Airr = A − Arev et H irr = H − H rev .

Si on suppose que la déformationε et le gradient d’endommagement sont non dissipatifs, ladissipation intrinsèque se réduit à :

D1 = Airr d .

Pour compléter le modèle de comportement, une loi d’évolution de la vitessed doit être spé-cifiée. De manière équivalente, ceci revient à définir la force thermodynamique irréversibleAirr comme une fonction de la vitessed, paramétrée par l’état thermodynamique. Dans le


cadre standard généralisé, cette définition se fait via un potentiel de dissipationϕ(d, d, ε), ets’écrit :

Airr ∈ ∂dϕ(d, d, ε) . (2.152)

Un choix possible de potentiel de dissipation est :

ϕ(d, ε) =c

2d2 + k(d, ε) d + I+(d) . (2.153)

c est un scalaire positif etk(d, ε) une fonction scalaire positive dépendant éventuellement del’endommagement et de la déformation.I+(d), la fonction indicatrice deR+, est donnée par :

I+(d) =

0 si d ∈ R

+

+∞ si d /∈ R+ .

Dans l’expression précédente du potentiel de dissipation,

1. le terme quadratiquec2d2 représente un endommagement visqueux ;

2. le termek(d, ε) d positivement homogène de degré un end traduit un endommagementà seuilk(d, ε) dépendant de l’endommagement actuel et de la déformation ;

3. la fonction indicatriceI+ permet de prendre en compte la liaison interne :

dd

dt≥ 0

qui traduit le fait que le matériau endommagé ne peut pas se régénérer, la grandeurdne pouvant que croître.

La force dissipative associée àd est alors :

Airr ∈ ∂dϕ(d, ε) (2.154)

soit, en utilisant le potentiel (2.153),

Airr ∈ cd + k(d, ε) + ∂I+(d) (2.155)

avec ∂I+(d) =

0 si d > 0

R− si d = 0

∅ si d < 0 .

Quelques modèles dissipatifs

Différents modèles dissipatifs peuvent être élaborés à partir du potentiel (2.153), en spé-cifiant les paramètres qui y interviennent.

1. Cas oùc = 0 et k est constant. Il n’y a pas de viscosité de l’endommagement. Lepotentiel de dissipation est :

ϕ(d) = k d + I+(d) . (2.156)


C’est une fonction ded positivement homogène de degré un. La force dissipative estdonnée par :

Airr ∈ k + ∂I+(d)

ou encore

Airr =

k si d > 0

]−∞, k] si d = 0

∅ si d < 0 .

Le potentiel dualϕ⋆(Airr), obtenu par la transformation de Legendre-Fenchel, est :

ϕ⋆(Airr) = I]−∞,k](Airr) .

C’est donc la fonction indicatrice du convexeC :

C = Airr, f(Airr) ≤ 0 avec f(Airr) = Airr − k .

f(Airr) est la fonction de charge. Elle permet de définir le taux d’endommagement enfonction de sa force thermodynamique associée :

d ∈ ∂I]−∞,k](Airr) ,

soit

d =

0 si Airr − k < 0

R+ si Airr − k = 0

∅ si Airr − k > 0

ou encore

d = λ∂f(Airr)

∂Airr= λ avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 .

2. Cas oùc = 0 et k(d, ε) est une fonction de l’endommagement et de la déformation.Comme précédemment, il n’y a pas de viscosité de l’endommagement. Le potentiel dedissipation est une fonction positivement homogène de degré un end. Les résultats surles lois d’évolution sont identiques à ceux obtenus précédemment, avec cette fois-cides potentiels de dissipation dépendant des variables d’état.

3. Cas oùc 6= 0 etk est constant. Le potentiel de dissipation est :

ϕ(d) =c

2d2 + k d + I+(d) . (2.157)

L’endommagement est visqueux. La force dissipative est donnée par :

Airr ∈ c d + k + ∂I+(d) ,

ou encore

Airr =

c d + k si d > 0

]−∞, k] si d = 0

∅ si d < 0 .


Le potentiel dualϕ⋆(Airr) est obtenu par la transformation de Legendre-Fenchel, soit:

ϕ⋆(Airr) = supx≥0

(Airrx − kx − c

2x2)

= supx≥0

((Airr − k − c

2x)x)

=

0 si Airr − k ≤ 0

(Airr − k)2

2csi Airr − k > 0 .

.

On a donc :

ϕ⋆(Airr) =〈Airr − k〉2

2c.

On en déduit l’expression suivante du taux d’endommagement:

d =∂ϕ⋆(Airr)

∂Airr=

〈Airr − k〉c

.

Équations du problème d’évolution

Les équations de la dynamique vérifiées par les forces associées aux variables d’état peuventêtre obtenues en utilisant le principe des puissances des puissances virtuelles. Ce dernier estécrit, en considérant des vitesses virtuelles de déformation ε et d’endommagementd, sous laforme :

Pe = −Pi + Pa

avec :

Pi = −∫

Ω(t)

(σ : ε + Ad + H · ∇d)dΩ

Pe =

∫

Ω(t)

(ρF · ξ + Aed)dΩ +

∫

∂Ω(t)

(T · ξ + aed)da

Pa =

∫

Ω(t)

(ρξ · ξ + ρddd)dΩ .

Il conduit aux deux séries suivantes d’équations de la dynamique, l’une relative àσ, l’autreàH :

div σ + ρF = ρdξ

dtdansΩ(t)

σ · n = T sur∂Ω(t)

(2.158)

div H + Ae − A = ρd

dd

dtdansΩ(t)

H · n = ae sur∂Ω(t)

(2.159)


Le terme d’accélérationdd

dtn’est généralement pas pris en compte. Remarquons que dans ce

cas, la première équation de (2.159) s’écrit aussi :

div H + Ae − Arev − Airr = 0 .

En utilisant les expressions (2.151) et (2.152) deArev etAirr, elle devient :

div H + Ae ∈ ∂dρw(ε, d,∇d) + ∂dϕ(d, ε) .

CommeH irr est nul, si on choisitH rev = a∇d on aura :

div a∇d + Ae −1

2ε :

∂

∂d(C) : ε − cd − k(d, ε) ∈ ∂I(d) + ∂I+(d)

ou encore

a∆d + Ae −1

2ε :

∂

∂d(C) : ε − cd − k(d, ε) ∈ ∂I(d) + ∂I+(d) .

Dans le cas oùc = 0, Ae = 0 etk constant, l’équation précédente d’écrit :

a∆d − 1

2ε :

∂

∂d(C) : ε − ∂I(d) − k ∈ ∂I+(d) .

Un modèle simplifié du comportement du béton

Un modèle représentatif du comportement des matériaux comme le béton peut être construiten distinguant l’endommagement induit par les élongations, de l’endommagement induitpar les contractions. Pour cela, définissons à partir du tenseur des déformations diagonaliséε =

∑3i=1 εiei ⊗ ei, les grandeurs suivantes :

ε+

=3∑

i=1

εi+ei ⊗ ei et ε− =3∑

i=1

εi−ei ⊗ ei

où les parties positive et négative d’une quantité scalairex sont définies par :

x+ = max(εi, 0) et x− = min(εi, 0) .

La densitévolumique d’énergie de déformation élastique dans le cas isotrope

we =1

2λ(tr ε)2 + µε : ε

peut être séparée en deux parties

w+ =1

2λ(tr ε)2

+ + µε+

: ε+

et w− =1

2λ(tr ε)2

− + µε− : ε− .

associées respectivement aux élongations et aux contractions.


Les endommagements induits par les extensions et les contractions sont respectivementreprésentés par les variablesdt etdc. On pose :βt = 1− dt etβc = 1− dc. L’énergie libre deHelmholtz est prise sous la forme :

ρw(ε, d,∇d) = β2t w+ + β2

c w− +at

2(∇dt)

2 +ac

2(∇dc)

2 + I(dt) + I(dc) .

at etac sont deux scalaires positifs.Les équations d’état sont :

σrev = β2t (λ(trε)+1 + 2µε

+) + β2

c (λ(trε)−1 + 2µε−)

Arevt ∈ −2βtw+ + ∂I(dt)

Arevc ∈ −2βcw− + ∂I(dc)

H revt = at ∇dt

H revc = ac ∇dc

(2.160)

Le potentiel de dissipation choisi est de la forme :

ϕ(dt, dc, ε) =ct

2d2

t +cc

2d2

c + k0 dt + (k1 + k2 (tr ε)2−) dc + I+(dt) + I+(dc) . (2.161)

Il conduit aux lois complémentaires :

Airrt ∈ c dt + k0 + ∂I+(dt)

Airrc ∈ c dc + k1 + k2 (tr ε)2

− + ∂I+(dc)(2.162)

dont l’inversion donne :

dt =〈Airr

t − k0〉ct

,

dc =〈Airr

c − (k1 + k2 (tr ε)2−)〉

cc

.

Lorsquect etcc sont nuls, on obtient un modèle indépendant du temps physique. Les tauxd’endommagement s’écrivent alors :

dt ∈ ∂I]−∞,k0](Airrt )

dc ∈ ∂I]−∞,k1+k2 (tr ε)2−](Airrc )

soit, pour le tauxdt,

dt =

0 si Airrt − k0 < 0

R+ si Airr

t − k0 = 0

∅ si Airrt − k0 > 0

2.7 Caractérisation énergétique - équation de la chaleur 129

ou encore, en posant :ft(Airrt , ε) = Airr

t − k0

dt = λt

∂ft(Airrt , ε)

∂Airrt

= λt avec λt ≥ 0, ft ≤ 0, λtft = 0 .

Les équations relatives àdc s’écrivent de la même manière en utilisant l’indicec à la placedet, et(k1 + k2 (tr ε)2

−) à la place dek0.

2.7 Caractérisation énergétique - équation de la chaleur

L’objectif de cette section est la détermination des variations de température généréespar les chargements mécaniques. Sur l’exemple d’un essai detraction sur une éprouvette encomposite chargé de fibres courtes de verre, on observe deux phases : d’abord une baisse dela température suivie d’une augmentation de celle-ci. La première phase est complètementréversible28 ; une compression s’accompagne d’une augmentation de la température, alorsque la deuxième phase conduit, aussi bien en traction qu’en compression, à une productionde chaleur (et donc à une augmentation de la température dansdes conditions adiabatiques).

Nous allons établir la forme générale de l’équation de la chaleur nécessaire pour la déter-mination des champs de température et donner ses expressions particulières dans le cas desdifférents comportements que nous avons précédemment analysés.

L’équation de la chaleur, équation de champ permettant le calcul de la température, estobtenue en égalant les deux expressions (1.21) et (1.60)

ρT s + div q − r = D1

D1 = σirr : ε + A · α

de la dissipation intrinsèque ; elle s’écrit :

ρT s + div q − r = σirr : ε + A · α .

Or s(ε,α, T ) = −∂w

∂T, d’où

ρT s = −Tρ∂2w

∂T 2T − Tρ

∂2w

∂T∂ε: ε − Tρ

∂2w

∂T∂α· α .

On pose :

cǫ(ε,α, T ) = −T∂2w

∂T 2= T

∂s(ε,α, T )

∂T.

cǫ est la chaleur spécifique à déformation et variables internes constantes.

L’équation de la chaleur s’écrit, en utilisant la loi de Fourier :

ρcǫT − div (K.∇T ) = r + T∂σrev

∂T: ε − T

∂A

∂T· α + σirr : ε + A · α . (2.163)

28Elle a été analysée qualitativement et quantitativement à l’exercice 1.1 dans le cas d’une éprouvette enacier.


FIG. 2.39 – Variation de température lors d’un essai de tractionjusqu’à la rupture, piloté eneffort, à 2.5 MPa/s, sur une éprouvette en composite Polyamide 66 GF35 (renforcé en fibresde verre). A. Launay et al.

On remarque que cette équation s’écrit sous la forme

ρcǫT = div (K.∇T ) + r +

(

T∂σrev

∂T: ε + T

∂Arev

∂T· α

)

+ D1

qui fait apparaître les différentes contributions à l’évolution de la température, qui sont res-pectivement : l’apport volumique extérieurr, les échanges par conduction div(K.∇T ), lescouplages thermoélastiques et la dissipation.

On particularise l’équation de la chaleur (2.163) aux cas des comportements passés enrevue dans ce chapitre.

1. Élasticité linéaire.Comme, on l’a déjà vu à la sous-section 2.3.3, dans le cas élastique linéaire, cette

2.7 Caractérisation énergétique - équation de la chaleur 131

équation se réduit à :

ρcǫT = div (K.∇T ) + r − T0k : ε .

Dans le cas d’un matériau isotrope, elle s’écrit alors :

ρcǫT = K∆T + r − T0Eα

1 − 2νTr(ε) .

2. Élastoplasticité de type von Mises à écrouissage cinématiquelinéaire et isotrope.La puissance dissipée intrinsèquement est donnée par :D1 = σ0 p .L’équation de la chaleur s’écrit alors :

ρcǫT = div (K.∇T ) + r − Tk : εe +

(

T∂X

∂T: εp + T

∂R

∂Tp

)

+ σ0 p .

3. Élastoplasticité de type von Mises à écrouissage cinématiquenon linéaire (Arm-strong & Frederick) et isotrope.La puissance dissipée intrinsèquement est donnée par l’équation (2.121) :

D1 = (σ0 +3

2

γ

CX : X)p ,

L’équation de la chaleur s’écrit alors :

ρcǫT = div (K.∇T )+r−Tk : εe+

(

−T∂X

∂T: α + T

∂R

∂Tp

)

+

(

σ0 +3

2

γ

CX : X

)

p .

Remarque :

On peut écrire l’équation de la chaleur, en utilisant la chaleur spécifique à contrainte etvariables internes constantescσ définie par

cσ = T∂s(σrev,α, T )

∂T.

Pour cela, on utilise l’expression

ρcσ = ρcǫ + Tk : C−1 : k

établie précédemment, à la section 2.3.3, dans le cadre de lathermoélasticité linéaire.


2.8 Récapitulatif

• Variables d’état :T, ε, variables internesαPotentiel thermodynamique : énergie libre spécifique de Helmholtzρw(T, ε, α)

Lois d’état :s = −∂w

∂T, σrev = ρ

∂w

∂ε, A

rev = ρ∂w

∂α= −A

Dissipation intrinsèque :D1 = σirr : ε + A.α ≥ 0

• Thermoélasticité isotrope linéarisée

σ = σ0+ λtr(ε)1 + 2µε − kτ1 ou ε =

1 + ν

Eσ − ν

E(tr σ)1 + ατ1

s = s0 +k

ρ0

tr(ε) +cǫ

T0

τ

q = −K∇T

divσ + ρ0F = ρ0

∂2ξ

∂t2

ρ0cǫT −K∆T = r − T0ktr(ε)

λ =Eν

(1 + ν)(1 − 2ν)µ =

E

2(1 + ν)k = α(3λ + 2µ) =

αE

(1 − 2ν)

E = µ3λ + 2µ

λ + µν =

λ

2(λ + µ)α =

k

3λ + 2µ=

k(1 − 2ν)

E

• Matériaux standards généralisésComportement défini au moyen de deux potentiels :

1. l’énergie libreρw(T, ε, α, ) donnant les lois d’état :


∂εet A = −ρ

∂w(ε, α)

∂α

2. le potentiel de dissipationϕ ou le potentiel dual de dissipationϕ⋆ donnant les loiscomplémentaires soit :

(σirr,A) ∈ ∂(ε,α)ϕ(ε, α, ε,α) ou (ε, α) ∈ ∂(σirr,A)ϕ⋆(σirr,A, ε,α)

2.8 Récapitulatif 133

• Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage isotrope

ρw(ε, εp, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) + wp(p)

Lois d’état :

σ = C : (ε − εp)

Aεp

= devσ = s

Ap = −dwp

dp

f(σ,R) = ‖ σ ‖eq− R − σ0 = f(A

εp,Ap) = ‖ A

εp‖

eq+ Ap − σ0.

C = (s,Ap) tel que f(s,Ap) ≤ 0.Lois complémentaires :

εp = λ∂f(s,Ap)

∂s= λ

√

3

2

s

‖ s ‖

p = λ∂f(s,Ap)

∂Ap

= λ

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0

Puissance dissipée :D1 = s : εp + App = σ0p

Exemples de fonctionR(p) :

R(p) = R∞(1 − exp (−bp)) ou R(p) = Kp1M


• Loi élastoplastique de type von Mises à écrouissage cinématique linéaire

ρw(ε, εp) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

2εp : Hεp

Lois d’état :

σ = C : (ε − εp)

A = dev(σ − H : εp) = s − X

avec X = Hεp = 23Cεp , tenseur déviatorique.

Lois complémentaires :

εp = λ∂f(A)

∂A = λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖ avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0

f(A) = f(s − X) = ‖ s − X ‖eq− σ0

Puissance dissipée :D1 = A : εp = (s − X) : εp = σ0p.

Identification de la loi à partir d’un essai de traction


• Loi élastoplastique de type von Mises avec écrouissage cinématique non linéaire

ρw(ε, εp, α) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α

Lois d’état :

σ = C : (ε − εp), Aεp

= dev

(

C : (ε − εp)

)

= s et X = −2

3Cα

Modèle de plasticité non associée de fonction de charge :f(s,X) = ‖ s − X ‖eq− σ0

f(s,X) ≤ 0 définissant le domaine des forces(s,X) admissibles,

et de potentiel plastique :F (s,X) = ‖ s − X ‖eq− σ0 +

3

4

γ

CX : X


εp = λ∂F (s,X)

∂s= λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α = λ∂F (s,X)

∂X= −εp + λ

3

2

γ

CX

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0

X = −2

3Cα =

2

3Cεp − γXp

X est un tenseur déviatorique.

Puissance dissipée :D1 = s : εp + X : α = (s − X) : εp +3

2

γ

CX : Xp.


• Loi élastoplastique à écrouissages combinés cinématique non linéaire et isotrope

ρw(ε, εp, α, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α + R∞

(

p +exp (−bp)

b

)

Lois d’état :

σ = ρ∂w(ε, εp, α)

∂ε= C : (ε − εp)

Aεp

= −ρ∂w(ε, εp, α)

∂εp= dev

(

C : (ε − εp)

)

= s

X = −ρ∂w(ε, εp, α)

∂α= −2

3Cα

Ap = −ρ∂w(ε, εp, p)

∂p= −R∞ (1 − exp (−bp)) = −R(p)

Modèle de plasticité non associée :

Fonction de charge :f(s,X,Ap = −R(p)) = ‖ s − X ‖eq− R(p) − σ0

Potentiel plastique :F (s,X,R) = ‖ s − X ‖eq− R(p) − σ0 + 3

4γCX : X .


εp = λ∂F (s,X,R)

∂s= λ

√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α = λ∂F (s,X,R)

∂X= −εp + λ

3

2

γ

CX

p = λ∂F (s,X,R)

∂(−R)= λ

avec λ ≥ 0, f ≤ 0, λf = 0 .

Puissance dissipée :D1 =

(

σ0 +3

2

γ

CX : X

)

p .


• Viscoélasticité linéaire

ρ0w(ε, α) =1

2ε : C : ε + α : P : ε +

1

2α : a : α

Potentiel dual de dissipation :ϕ⋆(A) = 12A : D : A

Équations de comportement :


∂ε= C : ε + P : α

A = −ρ∂w(ε, α)

∂α= −P : ε −a : α

α =∂ϕ⋆(A)

∂A = D : A

• Description fonctionnelle de la viscoélasticité

Réponses àH(t)ε0

et àH(t)σ0

: σ(t) = G(t)ε0

et ε(t) = J(t)σ0

À ε(t) etσ(t) quelconques à partir de l’instant zéro :

σ∗(u) = G∗(u) : ε∗(u) et ε∗(u) = J∗(u) : σ∗(u)

Dans le cas d’un matériau isotrope :

σ(t) = λ(t)tr(ε)(t)1 + 2µ(t)ε(t) et E(t)ε(t) = (1 + ν(t))σ(t) − ν(t)tr(σ)(t)1

Avec la transformation de Laplace-Carson :σ∗(u) = λ∗(u)tr(ε)∗(u) + 2µ(u)∗ε(u)


• Comportements viscoplastiques– Fonction de charge convexef(σ,A) etf(σ,A) < 0 définit le domaine d’élasticité– Potentiel dual de dissipation :ϕ⋆(σ,A) = g(〈f(σ,A)〉)


εp = g′(〈f(σ,A)〉)∂f(σ,A)

∂σ

α = g′(〈f(σ,A)〉)∂f(σ,A)

∂A

avecg′(〈f(σ,A)〉) =∂g(〈f(σ,A)〉)

∂〈f〉• Modèle de Chaboche

ρw(ε, εp, α, p) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

3Cα : α + R∞

(

p +exp (−bp)

b

)

ϕ⋆(σ,X,Ap = −R) =K

n + 1

⟨f(σ,X,R)

K

⟩n+1

f(σ,X,R) = ‖ σ − X ‖eq− R(p) − σ0 +

3

4

γ

C

(

X : X − 4

9C2α : α

)

εp =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂σ=

⟨f

K

⟩n√

3

2

s − X

‖ s − X ‖

α =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂X= −εp + p

3

2

γ

CX

p =∂ϕ⋆

∂f

∂f

∂(−R)=

√

2

3‖ εp ‖


• Équations de la chaleur

ρcǫT − div (K.∇T ) = r + T∂σrev

∂T: ε − T

∂A

∂T· α + σirr : ε + A · α

1. Élasticité linéaire isotrope

ρcǫT = K∆T + r − T0Eα

1 − 2νTr(ε)

2. Élastoplasticité de type von Mises à écrouissage cinématique linéaire et isotrope

ρcǫT = div (K.∇T ) + r − Tk : εe +

(

T∂X

∂T: εp + T

∂R

∂Tp

)

+ σ0 p

3. Élastoplasticité de type von Mises à écrouissage cinématique non linéaire (Arm-strong & Frederick) et isotrope

ρcǫT = div (K.∇T )+r−Tk : εe+

(

−T∂X

∂T: α + T

∂R

∂Tp

)

+

(

σ0 +3

2

γ

CX : X

)

p


2.9 ExercicesExercice 2.1 (modèle rhéologique élastoplastique en série)

On considère le modèle rhéologique représenté sur la figure ci-dessous. Il comprend leséléments suivants en série : un ressort de raideurE, un patin de seuilσ1 (σ1 > 0), un ressortde raideurH1, un patin de seuilσ2 (σ2 > σ1) et un ressort de raideurH2.Les variables d’état sont le déplacement total ("déformation totale")ε, le déplacement dupremier patinα1 et le déplacement du deuxième patinα2 . On note parA1 et A2 les forcesthermodynamiques associées respectivement àα1 et àα2.

H 1H 2σ2

σ1

α2 α1

seuilseuil E

ε

1. Donner l’expression de l’énergie librew(ε, α1, α2) et de la dissipation intrinsèqueD(α1, α2).

2. Donner les lois d’état ainsi qu’une interprétation physique des forces thermodyna-miques(A1, A2) ainsi définies.

3. Exprimer le déplacement plastique ("déformation plastique") εp en fonction des va-riablesα1 etα2.

4. À partir de l’expression deD(α1, α2), déduire les forces thermodynamiques associéesA1 etA2, ainsi le potentiel de dissipationϕ(α1, α2).

5. Définir le domaine d’élasticité en fonction des forces thermodynamiques, et le poten-tiel dualϕ⋆(A1, A2).

6. Établir et tracer la courbe contrainte-déformation en traction simple.

Éléments de réponse

1. L’énergie libre est donnée par :w(ε, α1, α2) = 12E(ε − α1)

2 + 12H1(α1 − α2)

2 + 12H2α

22.

La dissipation intrinsèque est :D(α1, α2) = σ1|α1| + σ2|α2| = D1(α1) + D2(α2).

2. Les lois d’état sont :

σ =∂w

∂ε= E(ε − α1)

A1 = − ∂w

∂α1= E(ε − α1) − H1(α1 − α2)

A2 = − ∂w

∂α2= H1(α1 − α2) − H2α2

A1 et A2 représentent les efforts exercés par le reste du système respectivement sur le patin 1et 2. Ce sont les forces gouvernant ces mécanismes dissipatifs.

3. La déformation plastique est définie par :

∂w

∂ε(εp, α1, α2) = 0 soit E(εp − α1) = 0 ou encore εp = α1

2.9 Exercices 141

4. La dissipation intrinsèque se met donc sous la forme :

D(α1, α2) = σ1 sign(α1) α1 + σ2sign(α2) α2 .

On en déduit que :A1 = σ1 sign(α1) etA2 = σ2 sign(α2).D est aussi le potentiel de dissipation. Le potentiel dual de dissipation est :

ϕ⋆(A1, A2) = ϕ⋆1(A1) + ϕ⋆

2(A2)

avec, ϕ⋆1(A1) la fonction indicatrice de l’intervalle[−σ1, σ1] et ϕ⋆

2(A2) la fonction indica-trice de l’intervalle[−σ2, σ2].

Dans l’espace des forces(A1, A2), le domaine d’élasticité est donc défini par :|A1| ≤ σ1 et|A2| ≤ σ2.

Les taux des variables internes sont définis par :

α1 = ∂ϕ⋆1(A1) = λ1

∂f1

∂A1= λ1sign(A1)

α1 = ∂ϕ⋆1(A2) = λ2

∂f2

∂A2= λ2sign(A2)

avec, pouri = 1, 2, fi(Ai) = |Ai| − σi ≤ 0, λi ≥ 0, λifi = 0 .

5. Essai de traction en partir de l’état naturelσ = A1 = A2 = 0, ε = α1 = α2 = 0.– Phase élastique. En augmentant progressivementσ à partir de zéro, on a :

σ = E ε, α1 = α2 = 0, A1 = σ et A2 = 0. Elle dure jusqu’à ce queσ = A1 = σ1,(ε = σ1/E; A2 = 0).

– Première phase élastoplastique (σ ≥ σ1).On a :A1 = σ1, α1 6= 0.

σ = E (ε − α1)A1 = E(ε − α1) − H1α1 = σ1 =⇒ α1 = σ−σ1

H1

A2 = H1α1

on a donc :σ = EH1

E+H1ε + E

E+H1σ1; A1 = σ1; A2 = σ − σ1.

Cette phase dure jusqu’à ce queA2 = σ2, soitσ = σ1 + σ2.– Deuxième phase élastoplastique (σ ≥ (σ1 + σ2)).

On a :A1 = σ1, A2 = σ2, α1 6= 0, α2 6= 0.

σ = E (ε − α1)A1 = E(ε − α1) − H1(α1 − α2) = σ1

A2 = H1(α1 − α2) − H2α2 = σ2

on a donc :

σ = EH1H2

EH1+EH2+H1H2ε + EH1+EH2

EH1+EH2+H1H2σ1 + EH1

EH1+EH2+H1H2σ2

A1 = σ1

A2 = σ2

α1 = E(H1+H2)ε−(H1+H2)σ1−H1σ2

EH1+EH2+H1H2

α2 = EH1ε−H1σ1−(E+H1)σ2

EH1+EH2+H1H2

La courbe de tractionσ − ε comprend donc trois parties linéaires correspondant aux troisphases précédemment mises en évidence : la première de penteE, la seconde de penteEH1

E+H1< E, la troisième de pente EH1H2

EH1+EH2+H1H2< EH1

E+H1.


Exercice 2.2 (modèle viscoplastique "unifié")

On considère le modèle rhéologique représenté sur la figure ci-dessous. Il comprend un res-sort de raideurE en série avec un ensemble constitué d’un patin de seuilσ0, (σ0 > 0) enparallèle avec un ressort de raideurH et un amortisseur de viscositéη, (η > 0).Les variables d’état sont la déformation totaleε et la déformation viscoplastiqueεp. On noteparAp la force thermodynamique associée àεp.

εp

E

ε

0σseuil

η

H

FIG. 2.40 – Modèle viscoplastique unifié

1. Donner l’expression de l’énergie librew(ε, εp) et de la dissipation intrinsèqueD1(εp).

2. A partir de l’expression deD1(εp), déduire la force thermodynamique associéeAp et

le potentiel de dissipationϕ(εp).

3. Déterminer le potentiel dualϕ⋆(Ap).

4. Donner les lois d’état ainsi que la loi d’évolution de la déformation viscoplastique.

5. Essai de fluage : réponse à un échelon de contrainte.Étudier la réponse (déformation) d’un tel matériau au chargement suivant : on imposerapidement une contrainteσmax supérieure àσ0, et on la maintient constante.

6. Essai de relaxation : réponse à un échelon de déformation.Étudier la réponse (contrainte et déformation viscoplastique) d’un tel matériau au char-gement suivant : on impose rapidement une déformationεmax supérieure àσ0/E, eton la maintient constante.


Les variables d’état sont la déformation totaleε et la déformation viscoplastiqueεp. On note parAp

la force thermodynamique associée àεp.

1. L’énergie libre est donnée par :w(ε, εp) = 12E(ε − εp)2 + 1

2H(εp)2.La dissipation intrinsèque est :D1(ε

p) = σ0|εp| + η(εp)2.

2. La dissipation intrinsèque se met donc sous la forme :D1(εp) = (σ0signεp + ηεp)εp.

En posantAp = σ0signεp + ηεp, on a :D1(εp) = Apεp.

Le potentiel de dissipation est :ϕ(εp) = σ0|εp| + 12η(εp)2 .

3. Le potentiel dual de dissipation est défini par :

ϕ⋆(Ap) = supu(Apu − ϕ(u))= supu(Apu − σ0|u| − 1

2ηu2) = sup|u|(|Ap| − σ0 − 12η|u|)|u|

= supu≥0(|Ap| − σ0 − 12ηu)u

2.9 Exercices 143

Donc si|Ap| ≤ σ0, ϕ⋆(Ap) = 0.Si |Ap| > σ0, le maximum est obtenu pourum ≥ 0 vérifiant |Ap| − σ0 − ηum = 0, soit

um =|Ap|−σ0

η et doncϕ⋆(Ap) =1

2η(|Ap| − σ0)

2.

Dans tous les cas, le potentielϕ⋆(Ap) s’écrit :

ϕ⋆(Ap) =1

2η〈|Ap| − σ0〉2

où 〈x〉 = (x + |x|)/2 désigne la partie positive dex.

4. Les lois d’état sont :

σrev = E(ε − εp) = σ , Ap = E(ε − εp) − Hεp = σ − Hεp

L’évolution de la déformation viscoplastique s’écrit :

εp =∂ϕ⋆(Ap)

∂Ap=

sign(Ap)〈|Ap| − σ0〉η

5. Essai de fluage : réponse à un échelon de contrainte.Les équations du problèmes sont :

σ = E(ε − εp) , Ap = σ − Hεp

et, pourt > 0,

εp =sign(Ap)〈|Ap| − σ0〉

η

donc

εp +H

ηεp =

σmax − σ0

η

Commeεp(t = 0+) = 0, on obtient :

εp(t) =σmax − σ0

H

(

1 − exp(−H

ηt)

)

et

ε(t) = εe(t) + εp(t) =σmax

E+

σmax − σ0

H

(

1 − exp(−H

ηt)

)

6. Essai de relaxation : réponse à un échelon de déformation.On a : σ = E(ε − εp) et Ap = σ − Hεp

Pourt > 0, ε =σ

E+ εp = 0 soit

σ − Hεp

E+

(

1 +H

E

)

εp = 0

ou encoreσ − Hεp

E+

1

η

(

1 +H

E

)

(σ − Hεp − σ0) = 0

Comme àt = 0+, ε = εmax et εp = 0, on obtient :

εp =σmax − σ0

E + H

(

1 − exp(−E + H

ηt)

)

σ = E(ε − εp) =Eσ0

E + H

(

1 − exp(−E + H

ηt)

)

+Eεmax

E + H

(

H + E exp(−E + H

ηt)

)


Exercice 2.3 (Identification d’une loi de comportement du polyéthylène29)

Le polyéthylène est un polymère thermoplastique utilisé notamment pour fabriquer des con-duites de gaz qu’on trouve en milieu urbain. Ces dernières remplacent progressivement,depuis le milieu des années 1970, les conduites métalliques(notamment les fameux tuyauxen fonte grise). Elles font plus de 120000 km (plus de 70% du réseau). Dans les années 1990,Gaz de France a initié des études destinées à mettre au point des outils permettant de suivrel’évolution de l’état du réseau, d’identifier les zones à risques et ainsi de mettre en placeune politique de maintenance efficace assurant la sécurité des personnes et des biens. Unemodélisation pertinente du comportement et de la tenue en service de telles installations estnécessaire pour atteindre cet objectif. Cet exercice porte sur un modèle de comportement dupolyéthylène proposé par J. Kichenin, dans sa thèse de doctorat.

Pour identifier la loi de comportement du polyéthylène dans son domaine d’utilisationgazière, une campagne d’essais a été menée. Sur les figures 2.9 et 2.9 ci-dessous, on montrequelques courbes issues d’essais de traction à deux vitesses différentes, de relaxation, derecouvrance et de fluage.

FIG. 2.41 – À gauche : courbes de traction (σ (MPa),ǫ) à deux vitesses différentes ; à droite :courbes de relaxation (σ (MPa),ǫ) à deux vitesses différentes

FIG. 2.42 – À gauche : Courbes de recouvrance (ǫ, temps (s)) à deux vitesses différentes ; àdroite : courbes de fluage (σ (MPa), temps (s)) pour trois niveaux différents de contrainte

1. À partir de ces courbes, déduire la nature du comportementdu polyéthylène (élastique,viscoélastique, viscoplastique, ...).

2.9 Exercices 145

2. Proposer un assemblage rhéologique susceptible de présenter les principaux effets misen évidence par les essais précédents.

J. Kichenin a proposé l’assemblage rhéologique de la figure 2.9, pour représenter schémati-quement le comportement du polyéthylène.

ε

Kv

Kp

η

0σseuil

εv

εp

FIG. 2.43 – Assemblage rhéologique représentatif du comportement du polyéthylène (pro-posé par J. Kichenin).

3. Donner l’expression de l’énergie librew(ε, εp, εv) ainsi que de la dissipation intrin-sèqueD1(ε

p, εv).

4. Donner les lois d’état ainsi qu’une interprétation physique des forces thermodyna-miques(Ap, Av) ainsi définies.

5. À partir de l’expression deD1(εp, εv), déduire les forces thermodynamiques associées

Ap etAv, ainsi le potentiel de dissipationϕ(εp, εv).

6. Définir le potentiel dualϕ⋆(A1, A2).

7. Donner les lois d’évolution des variablesεp et εv.

8. Essai de relaxation : réponse à une déformation constante.Déterminer la réponse en contrainte d’un tel matériau soumis au chargement suivant :en partant d’un état initial naturel on imposerapidement une déformationǫm et on lamaintient constante.

9. Essai de fluage : réponse à une contrainte constante.Déterminer la réponse en déformation d’un tel matériau soumis au chargement sui-vant : en partant d’un état initial naturel on imposerapidement une contrainteσm, eton la maintient constante.

10. Essai de recouvrance : réponse à un échelon de contrainte.On part de l’état obtenu à la question précédente et on ramènerapidement la contrainteà zéro. Déterminer la réponse du matériau.

Exercice 2.4 (Thermoélasticité en transformation infinitésimale30)

Un élément important de la validation des modèles phénoménologiques macroscopiques estla quantification par des moyens expérimentaux, des énergies mises en jeu par les diffé-rents mécanismes. Des techniques comme la thermographie infrarouge sont développées


pour permettre à partir des mesures de température en surface de remonter aux puissancesthermiques afin de pouvoir contrôler l’adéquation des modèles aux observations physiques.Cet exercice, qui sera poursuivi en plasticité, constitue une introduction sommaire à cetteproblématique.

On considère une éprouvette cylindrique, d’axeOz, de rayonR = 1cm et de hauteurL = 10cm. Dans cette configuration initiale prise comme référence, l’éprouvette est à l’étatnaturel, à la températureT0 = 200C. Son matériau constitutif est un acier DP60 consi-déré comme thermoélastique linéaire, isotrope et homogène. Ses caractéristiques (module deYoungE, coefficient de Poissonν, coefficient de dilatation thermiqueα, masse volumiqueρ, conductivité thermiqueK, chaleur spécifique à déformation constantecǫ) supposées indé-pendantes de la température sont données dans le tableau ci-dessous.

E (MPA) ν α (K−1) ρ (kg/m3) K (W.m−1.K−1) cǫ (J.kg−1.K−1)

210000. 0.3 1.5 10−5 7800. 64 460

L’éprouvette est en évolution sous l’action d’efforts surfaciques exclusivement exercés surses sections extrêmesS0(z = 0) et SL(z = L). SurS0, les efforts sont :T = −σ(t)ez etsurS0, T = σ(t)ez. La surface latérale est libre de contrainte. On néglige lesforces de masse.

A. Évolution adiabatiqueOn s’intéresse à la phase de la première traction entret0 = 0 et tf , effectuée avec unecontrainte imposéeσ(t) strictement croissante de0 àσm > 0. On suppose cette phase suffi-samment rapide pour que l’évolution soit considérée comme adiabatique.

1. Montrer que la température de l’éprouvette baisse quand la contrainte augmente.

2. Donner la variation de température entre les instantst0 et tf .

3. Déterminer les modules d’élasticité adiabatiquesλa etµa (σ = λa(trε)1 + 2µaε ), etcomparer les aux modules isothermesλ etµ.

4. Établir la relation entre les capacités calorifiques spécifiques à déformation constante(cǫ) et à constrainte constante(cσ). Montrer que l’on a :(3λa + 2µa)cǫ = (3λ + 2µ)cσ.

B. Évolution cyclique avec échanges par convectionOn s’intéresse dans la suite à la réponse thermique sous le chargement sinusoïdal

σ(t) = σm + σa sin(2πft)

f est la fréquence de sollicitation, les contraintesσm et σa > 0 sont données. On supposetoujours la température uniforme dans l’éprouvette, mais on souhaite tenir compte de pertespar convection qui caractérisent les échanges de la chaleuravec le milieu environnant. Onsuppose que cet échange se fait uniquement par la surface latérale(r = R), suivant la loi :

q.n = h(T − T0)

avech > 0 le coefficient de convection,T0 la température du milieu extérieur est aussi latempérature initiale de la pièce.

2.9 Exercices 147

5. Écrire l’ensemble des équations de ce problème de thermoélasticité couplé.

6. En utilisant l’ensemble des symétries et hypothèses du problème (géométrie, compor-tement, chargement) et les propriétés de l’évolution quasi-statique, déduire que :

ρcσ∂T

∂t− K

1

r

∂

∂r(r

∂T

∂r) = req

en tout point du cyclindre, et expliciter le termereq de la source volumique de chaleur.

7. Le cylindre est élancé :R ≪ H. La température moyennée sur la sectionS

T (t) =1

S

∫

S

T (r, θ, t)dS

est alors considérée comme une bonne approximation pour décrire l’état de la sectionS.Montrer que dans ce cas, le problème thermique se réduit à :

dτ

dt+

τ

te= −αT0

ρcσ

dσ

dt

avecte une constante que l’on déterminera etτ(t) = T (t) − T0.

8. Déterminer l’évolution de la température en fonction du temps.

9. Étudier la dépendance de2Ta = (Tmax − Tmin) par rapport à la fréquencef .

Éléments de réponse

1. La variation de la température est reliée à celle de la contrainte par :

T = − T0α

ρcǫ + 3(3λ + 2µ)α2T0trσ .

2. Par intégration, on trouve :

∆Tf = Tf − T0 = − T0ασm(1 − 2ν)

ρcǫ(1 − 2ν) + 3Eα2T0.

Pourσm = 1200MPa, on obtient∆T = 0, 1K.

3. En utilisant la relation entreτ et trε dans la cas adiabatique, pour éliminerτ de la loi decomportement thermoélastique linéaire, on obtient :

λa = λ +k2T0

ρcǫ= λ +

α2E2T0

ρcǫ(1 − 2ν)2et µa = µ .

4. On exprimes en fonction deε et T puis deσ et T pour obtenir :

cσ = cǫ +3αkT0

ρou encore (3λ + 2µ)cσ = (3λa + 2µa)cǫ .

7. τe = ρRcσ

2h .

8. τ(t) = (∆Tf + A sin ϕ)e−t/τe − A sin(ωt + ϕ) avec A = αωσaT0

ρcσ

√1/τ2

e +ω2.


9. ∆T = Tmax − Tmin =4πασafT0

ρcǫ

√

1/τ2e + 4π2f2

.

Exercice 2.5 (Identification d’une loi de comportement cyclique)

On souhaite déterminer la loi de comportement d’un acier 316L utilisé dans l’industrie nu-cléaire. La courbe contrainte-déformation ci-dessous a été obtenue lors d’un essai isothermesur une éprouvette cylindrique, en imposant une déformation uniaxiale cyclique variant entre-0.4% et 0.4% jusqu’à stabilisation de la courbe. Elle est supposée indépendante de la vitessede sollicitation.

1. Quelle(s) type(s) d’écrouissage observe t’on ? Justifiezvotre réponse.

2. Proposer un type de loi de comportement susceptible de reproduire cet essai, donnerson écriture tridimensionnelle (variables d’état, lois d’état, lois complémentaires) etidentifier ses paramètres.

Chapitre 3

Contraintes résiduelles

" Que reste-t-il de ces beaux joursUne photo, vieille photo. . .

Un souvenir qui me poursuitSans cesse"

Charles Trenet.


• L’origine des contraintes résiduelles.

• Les conditions locales et globales de compatibilité des déformations plastiques.

3.1 Introduction

Les contraintes résiduelles sont les contraintes existantdans une structure en l’absencede toute sollicitation extérieure. On les retrouve dans la quasi-totalité des composants indus-triels. Dans certains cas, elles sont volontairement introduites dans les pièces mécaniques pardivers traitements de renforcement dans le but d’améliorerla tenue mécanique de celles-ciet notamment leur résistance à la fatigue. Ces procédés peuvent être des traitements méca-niques de surface comme le galetage et le grenaillage, thermiques comme la trempe et lerevenu ou thermochimiques comme la nitruration et la cémentation. Mais très souvent, lescontraintes résiduelles résultent d’effets indésirables(ou plutôt incontrôlés) de processus defabrication, de montage, d’assemblage ou de réparation. Lors d’opérations comme le for-mage, le laminage, l’emboutissage, la coupe ou le soudage, des contraintes résiduelles dontle niveau n’est en général pas maîtrisé, sont créées. Elles sont souvent responsables de baissede résistance mécanique, voire exceptionnellement de rupture "spontanée".Elles peuvent aussi résulter d’un processus de chargement (ayant induit des déformationsinélastiques) suivi d’un déchargement.On les retrouve aussi dans les végétaux et dans les roches dont elles favorisent la rupture.

L’origine des contraintes résiduelles est liée à l’incompatibilité des déformations perma-nentes (d’origines thermiques, mécaniques ou chimiques) ;celles-ci peuvent être des dé-formations anélastiques macroscopiques ou des déformations microstructurales dues par

150 Chapitre 3 . Contraintes résiduelles

exemple au changement de phase, aux différences de propriétés mécaniques ou thermiquesentre les divers constituants. Ainsi,

– le formage, le laminage et l’emboutissage induisent des déformations plastiques géné-ralement incompatibles ;

– les procédés d’assemblages tels que le soudage et le brasage conduisent à des transfor-mations métallurgiques, des changements microstructuraux et des déformations plas-tiques ;

– l’usinage, la coupe et le meulage génèrent d’importantes déformations plastiques su-perficielles ;

– les traitements de surface, selon leur nature, produisentdes déformations plastiques,des transformations métallurgiques, etc. ;

– les chargements cycliques comme le roulage peuvent induire des déformations plas-tiques.

Il existe aussi des contraintes résiduelles mésoscopiques, à l’échelle des grains dans lesmatériaux polycristallins, ou plus généralement à celle des constituants dans les matériauxcomposites. Elles peuvent s’équilibrer au niveau du volumeélémentaire représentatif. Ellesinduisent alors des contraintes résiduelles macroscopiques nulles. Ces contraintes résultentdes différences de propriétés thermomécaniques des différentes phases du matériau qui sontresponsables de la plastification privilégiée de certains grains faibles ou défavorablementorientés.

Dans ce chapitre, après avoir rappelé la structuration des équations d’un problème d’équi-libre élastoplastique en champs cinématiquement, statiquement et plastiquement admissibles,le champ de contrainte résiduelle1 (fictif) est défini à chaque instant comme la différenceentre la solution réelle et la solution fictive purement élastique. Le champ de contrainte ré-siduelle réel, régnant dans la structure en l’absence de chargement, peut bien sûr résulterd’un déchargement élastoplastique. On examine alors ses propriétés ainsi que les différentesmanières de le déterminer.

Les différents concepts introduits sont ensuite illustrésdans le cas d’un treillis hypersta-tique élastoplastique.

3.2 Quelques exemples de contraintes résiduelles

3.2.1 Contraintes résiduelles dans une poutre extrudée en aluminium

La figure 3.1(a) représente une poutre en aluminium obtenue par extrusion. L’extrusionest un procédé de formage de produit long qui consiste à pousser la matière, généralement àl’aide d’une presse hydraulique, à travers une filière. Ellepermet de réaliser des produits àsection transversale constante et de forme pouvant être très complexe.

Une poutre considerée ici est droite, de section carrée pleine. Pour mettre en évidenceles contraintes résiduelles induites par le procédé, la poutre est soigneusement fendue par unprocédé chimique de coupure qui ne génère localement ni déformations et ni contraintes. Lapoutre prend alors la forme de la figure 3.1(b) qui montre l’existence de contraintes autoé-quilibrées dans la configuration initiale. En effet, pour recoller les deux parties déformées

1Cf. Jean Salençon, "De l’élastoplasticité au calcul à la rupture", Les Éditions de l’École Polytechnique.

3.2 Quelques exemples de contraintes résiduelles 151

et retrouver la géométrie initiale, il faudrait mettre en flexion chacune des parties en lui ap-pliquant par exemple un couple selon la direction hors plan (figure 3.2). On déduit alors lanature des contraintes dans la configuration initiale : ce sont des tractions en surface équili-brées par des compressions à cœur.

FIG. 3.1 – Poutre en aluminium : (a) dans sa configuration initiale droite ; (b) fendue par unprocédé chimique de coupure sans générer localement des déformations et des contraintes,elle se déforme. Ceci indique la présence de contraintes résiduelles dans la poutre initiale.(Pièces communiquées par H.D. Bui)

FIG. 3.2 – Obtention de la nature des contraintes résiduelles.

3.2.2 Contraintes résiduelles dans un vilebrequin

Le vilebrequin est la pièce des moteurs à combustion internequi transforme les mou-vements de translation des pistons des chambres de combustion en mouvement continu derotation. Son architecture particulière (figure 3.6) est faite des tourillons, de manetons surlesquels viennent les bielles et de contrepoids. Les jonctions des différents composants sontautant de points de concentrations de contrainte que l’on réduit en créant des gorges qui de-meurent des points de faiblesse. Pour augmenter la résistance de ces gorges à l’apparition et àla propagation de fissure de fatigue, on effectue un traitement de surface appelé galetage quiinduit des contraintes résiduelles de compression. Il consiste à appliquer fortement un galettournant sur la gorge et à effectuer un certain nombre de rotations. En plastifiant le matériaudans la zone de contact avec le galet, on crée des contraintesrésiduelles de compression (fi-gure 3.6) sur une profondeur de quelques millimètres, qui améliorent la tenue à la fatigue duvilbrequin.


FIG. 3.3 – Vilebrequin : ses gorges qui sont des zones de concentrations de contrainte sontrenforcées par un traitement de surface mécanique appelé galetage. Un exemple de profil decontrainte circonférentielle en profondeur dans une gorgeest donné sur la seconde figure.

3.3 Rappel de quelques définitions

On considère les problèmes d’évolutions quasi-statiques isothermes sous l’hypothèse dela transformation infinitésimale à partir d’un état initialconnu, de variables internes initialesεp

0,α0, et de forces thermodynamiques initialesσ

0,A0. On se limite au cas des matériaux

homogènes, isotropes et élastoplastiques à écrouissage positif ou nul. La structure considé-rée, de volumeΩ(t), de contour∂Ωt est soumise, sur un intervalle de temps[0, T ], à desforces massiquesF (M, t), à des forces surfaciquesT d

i (M, t) sur les partiesSTi, i = 1, 2, 3

du contour et à des déplacementsξdi (M, t) sur les partiesSξi

, i = 1, 2, 3 du contour. Pourchaquei = 1, 2, 3, on a :STi

∩ Sξi= ∅ et STi

∪ Sξi= ∂Ωt. Cette partition de la surface

extérieure est supposée invariante avec le temps.

Le matériau a un comportement élastoplastique standard généralisé à écrouissage positifdéfini par la donnée de l’énergie libre

ρw(ε, εp,α) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) + wp(α)

et de la fonction de chargef(σ,A) convexe.

3.3.1 Réponse réelle de la structure

La réponse réelle de la structure est constituée, à tout instant t, des champs de dépla-cementξ(M, t), de variables internesεp(M, t), α(M, t), de contrainteσ(M, t) et de forcesthermodynamiquesA

εp(M, t),A(M, t) vérifiant toutes les équations du problème que l’on

décompose de la manière suivante :

div σ + ρF = 0 sur Ω[[σ]] · n = 0 sur Σσijnj = T d

i (M, t) sur STi, i = 1, 2, 3

(3.1)

3.3 Rappel de quelques définitions 153

σ = C : (ε − εp)

Aεp

= C : (ε − εp) = σ

A = −dwp

dα

(3.2)

f(σ,A) ≤ 0 (3.3)

ε(M, t) =1

2(∇ξ(M, t) +t ∇ξ(M, t)) (3.4)

ξi(M, t) = ξdi (M, t) sur Sξi

, i = 1, 2, 3 . (3.5)

Σ est une surface de discontinuité du champ de contrainte ;[[σ]] est le saut du tenseur decontrainte selon le vecteur unitairen normal à la surface au point considéré.

Champs de déplacement cinématiquement admissibles (C.A.)

Les champs de déplacementξ(M, t) continus surΩ(t) et continûment différentiables, parmorceaux, surΩ(t) vérifiant les conditions aux limites en déplacements (3.5) sont dits ciné-matiquement admissibles (C.A.) pour le problème avec ces données en déplacement.

Par extension, on dira qu’un champ de déformation est cinématiquement admissible avecles données en déplacement du problème s’il dérive, par la relation (3.4), d’un champ dedéplacement C.A.

Un champ de déplacementξ(M, t) cinématiquement admissible avec des déplacementsdonnés nuls surSξi

est dit cinématiquement admissible à zéro (C.A.O.).

Champs de contrainte statiquement admissibles (S.A.)

Les champs de contrainteσ(M, t) continus et continûment différentiables par morceauxsurΩ(t) vérifiant les équations d’équilibre (3.1) avec les données en efforts sont dits stati-quement admissibles (S.A.) pour le problème avec ces données en effort.

Un champ de contraintes généralisées(σ(M, t),A(M, t)) est statiquement admissibleavec les données en effort si le champσ(M, t) l’est, et si les autres forces thermodyna-miques sont liées par les lois d’état à des paramètres internes quelconques.

Un champ de contrainte statiquement admissible avec des efforts volumiques nuls et desefforts surfaciques nuls surSTi

est dit statiquement admissible à zéro (S.A.O.). On le qua-lifie aussi de champ d’autocontrainte pour le problème. Cettedéfinition est étendue commeprécédemment aux champs de contraintes généralisées


Champ de contraintes généralisées plastiquement admissible

Un champ de contraintes généralisées(σ(M, t),A(M, t)) est dit plastiquement admis-sible (P.A.) s’il vérifie la relation (3.3).

Réponse réelle de la structure

À tout instant de l’évolution quasi-statique, la solution réelle du problème est constituéed’un champ de déplacement C.A., d’un champ de contrainte S.A.et P.A. avec les forcesthermodynamiques, de champs de variables internes et de leurs forces thermodynamiquesassociées reliés par les lois d’état. Elle dépend bien sûr detoute l’évolution antérieure de lastructure.

3.3.2 Réponse purement élastique

La réponse purement élastique est définie comme la réponse (fictive) en contrainteσel(M, t)

et en déformationεel(M, t) obtenue en supposant que la structure a un comportement pure-ment élastique.σel(M, t) est un champ de contrainte statiquement admissible avec lesefforts appliqués.εel(M, t) est un champ de déformation cinématiquement admissible. Ils sont reliés par larelation :σel = C : εel(M, t).

3.4 État résiduel

3.4.1 État résiduel (fictif)

On définit à tout instantt de l’évolution quasi-statique, l’état résiduel de la structurecomme celui obtenu après unedécharge élastique complètede celle-ci (chargement mé-canique ramené à zéro et état interne maintenu invariable).σr(M, t) est le champ de contrainte résiduelle ; il est défini à tout instant, par :

σr(M, t) = σ(M, t) − σel(M, t) . (3.6)

C’est un champ de contrainte S.A.O. c’est-à-dire statiquement admissible avec des effortsextérieurs nuls. Il est appelé aussi champ d’autocontrainte ou champ de contrainte auto-équilibrépour le problème.εr(M, t) est le champ de déformation résiduelle ; il est donné par :

εr(M, t) = ε(M, t) − εel(M, t) . (3.7)

Il est cinématiquement admissible avec des déplacements nuls sur les partiesSξi, i = 1, 2, 3

du contour de la structure.

3.4 État résiduel 155

On a les relations suivantes :

ε(M, t) = εe(M, t) + εp(M, t) (3.8)

= C−1 : σ(M, t) + εp(M, t) (3.9)

= C−1 : (σel(M, t) + σr(M, t)) + εp(M, t) (3.10)

= εel(M, t) + C−1 : σr(M, t) + εp(M, t) . (3.11)

On en déduit que :

εr(M, t) = C−1 : σr(M, t) + εp(M, t) (3.12)

ou encore :σr(M, t) = C : (εr(M, t) − εp(M, t)) . (3.13)

3.4.2 État résiduel (réel)

L’état résiduel d’une structure est l’état de celle-ci en l’absence de chargement extérieur.Il peut être obtenu après un processus de chargement et de déchargement de la structure, ladécharge pouvant être élastique ou élastoplastique.À la fin du déchargement, la structure se trouve dans un état d’équilibre sous sollicitationnulle, qualifié de résiduel, défini par les champs des variables d’état suivantes : la déforma-tion résiduelleεr(M), la contrainte résiduelleσr(M), la déformation plastiqueεp(M) et lesvariables internesα(M). Dans le cas où la décharge est élastoplastique, le champ de défor-mation plastiqueεp(M) est différent de celui existant au début de celle-ci. Il est lié àεr(M)etσr(M) par la relation (3.12).

3.4.3 Problèmes élastiques associés à l’état résiduel

Équations locales associées à l’état résiduel

En supposant connues les variables internes, notamment lesdéformations plastiques à l’étatdéchargé, les champs de déplacement et de contrainte résiduels vérifient les équations sui-vantes :

div σr = 0 sur Ω[[σr]] · n = 0 sur Σσr

ijnj = 0 sur STi, i = 1, 2, 3

ξri = 0 sur Sξi

, i = 1, 2, 3

εr =1

2(∇ξr +t ∇ξr) sur Ω

σr = C : (εr − εp) sur Ω .

(3.14)

Ceci montre queσr(M, t) est solution, à l’instantt, d’un problème élastique avecεp(M, t)comme champ de déformation initiale et un chargement nul. Cesdeux champs sont donc re-liés par une relation linéaire.


Autre formulation locale

En notant :σp = C : εp et σE = C : εr , (3.15)

on a : σr = σE − σp. σ est alors solution du problème élastique suivant :

div σE = −fp sur Ω[[σE]] · n = [[C : εp]] · n sur Σ

σEijnj = Cijklε

pklnj sur STi

, i = 1, 2, 3ξri = 0 sur Sξi

, i = 1, 2, 3

εr =1


σE = C : εr sur Ω .

(3.16)

avecfp = −div σp = −div (C : εp) .

Comme les déformations plastiques sont connues, on est en présence d’un problème élas-tique avec des forces de volumesfp, des forces surfaciques associées aux discontinuités duchamp des déformations plastiques, et des forces surfaciques liées aux déformations plas-tiques sur les bords du solide.

Dans le cas de l’élasticité isotrope :C : εp = 2µ εp et fp = −2µ div σp .

Dans le cas où le champ des déformations plastiques est uniforme par parties, les forces sontuniquement surfaciques, localisées sur les surfaces de discontinuités deεp et sur les bords.

Équations globales associées à l’état résiduel

D’après le principe des puissances virtuelles, pour tout champξ⋆ C.A. avec des donnéesen déplacements nuls, on a : ∫

Ω

σr : ε(ξ⋆)dΩ = 0

soit,∫

Ω

ε(ξ⋆) : C : εrdΩ=

∫

Ω

ε(ξ⋆) : C : εpdΩ

=

∫

∂Ω

ξ⋆ · (C : εp) · ndS −∫

Σ

ξ⋆ · [[C : εp]] · ndS −∫

Ω

ξ⋆.div(C : εp)dΩ .

La détermination de l’état résiduel revient, comme on l’a vuprécédemment, à la résolutiond’un problème élastique avec des forces volumiques donnéesen tout point par−div(C : εp),

des efforts surfaciquesCijklεpklnj surSTi

sur le contour et des efforts surfaciques−[[C : εp]]·nsur les surfaces de discontinuité des déformations plastiques.

La solution du problème résiduel peut aussi être obtenue parminimisation :


– de l’énergie potentielle des champs de déplacements C.A.O., soit :

minξC.A.O

∫

Ω

(1

2ε(ξ) : C : ε(ξ) − ε(ξ) : C : εp

)

dΩ , (3.17)

– de l’énergie complémentaire des champs de contraintes S.A.O soit :

minσS.A.O

∫

Ω

(1

2(σ + C : εp) : C−1 : (σ + C : εp)

)

dΩ . (3.18)

Le champ des contraintes résiduelles est, comme on l’a montré précédemment relié linéaire-ment au champ des déformations plastiques ; cette relation est formellement notée :

σr = B(εp) . (3.19)

L’opérateurB est symétrique, non positif. En effet,σr = B(εp) minimise l’énergie complé-mentaire (3.18), et on a :

∫

ΩB(εp) : εpdΩ =

∫

ΩB(εp) : (εr − C

−1 : σr)dΩ

= −∫

ΩB(εp) : C−1 : B(εp)dΩ

= −2‖ σr ‖2

e≤ 0

où ‖ σ ‖e

désigne la norme de l’énergie définie à partir du produit scalaire de deux champsσ etσ′ donné par

〈σ, σ′〉e=

∫

Ω

1

2σ : C−1 : σ′dΩ .

B est un opérateur singulier, puisque comme on le verra par la suite, les champs de défor-mations plastiques compatibles et dérivant de champs de déplacement C.A.O. conduisent àdes champs de contrainte résiduelle nuls. Le noyau deB est donc formé par ces champs.

3.4.4 Conditions de non nullité de contraintes résiduelles

On examine dans quelles conditions le problème élastique (3.14) relatif à l’état résiduelconduit à une solution nulle en contrainte. Il s’agit d’un problème élastique dont le char-gement est fourni par les déformations plastiques. Les équations (3.14) montrent que si lescontraintes résiduelles sont nulles, alors le champ de déformation plastique est la partie sy-métrique du champ de déplacement résiduel. Et réciproquement, si le champ de déformationplastique dérive d’un champ de déplacement C.A.O., ces équations admettent le champ decontrainte nul comme solution. L’existence de contraintesrésiduelles non nulles est donc in-trinsèquement liée à l’incompatibilité des déformations plastiques. Celle-ci se décline à deuxniveaux :

– soit le champ de déformation plastique ne dérive pas d’un champ de déplacementcontinu etC1 par morceaux (compatibilité géométrique locale),

– soit le champ de déplacement dont il dérive ne vérifie pas lesconditions aux limitesen déplacement ou les conditions de fermeture dans le cas d’un domaine multiplementconnexe.


Rappel des conditions locales de compatibilité géométrique

La question de la compatibilité géométrique2 locale se pose, en transformation infinité-simale, de la manière suivante : étant donné un champ de tenseur d’ordre deux symétriqueε(x) (ici le champ de déformation plastique), à quelle conditiondérive t-il d’un champ de dé-placement ? Les équations locales d’intégrabilité à satisfaire par le champ de tenseur d’ordredeux symétriqueε(x) sur un domaine simplement connexe sont :

rotdrotgε = 0 ou rotgrotdε = 0 . (3.20)

Les deux opérateurs intervenant dans l’équation précédente sont définis par :

(rotgε)ij = ǫiklεlj,k et (rotdε)ij = ǫjklεil,k

avec

ǫikl =

0 si deux sont identiques1 si ijk est une permutation est paire de 1 2 3

−1 si ijk est une permutation est impaire de 1 2 3(3.21)

et la notationεil,k =∂εil

∂xk

.

Le tenseur,Inc(ε) = −rotgrotdε (3.22)

dont les composantes en coordonnées cartésiennes orthonormées sont donc,

Incij = −ǫipqǫjrsεpr,qs (3.23)

est appelé ici tenseur d’incompatibilité des déformations. Sa nullité est donc la conditionlocale d’intégrabilité3 En coordonnées cartésiennes orthonormées, les relations de compati-bilité (3.20) donnent, pouri, j, k, l = 1, 2, 3 :

εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0 . (3.25)

Ces conditions au nombre de six, sont reliées par trois relations données par le fait que ladivergence de Inc(ε) est nulle.

2Cf.Jean Salençon, "Mécanique des milieux continus’, tome I, Les Éditions de l’École Polytechnique, chap.II.6.

3De manière équivalente, comme dans l’article suivant :"Berest P., Vouille G. Contraintes résiduelles dans des éprouvettes cylindriques. Revue Française de Géotech-nique, no110, pp 41–50, 2005" ,on peut utiliser la nullité du tenseur de Ricci linéariséR, autre "tenseur d’incompatibilité", défini par :

R = −Inc + tr (Inc)1= −∆ε −∇∇(tr ε) + ∇(div ε) +t (∇(div ε)) .

(3.24)


Conditions de fermeture

Les conditions (3.20) sont suffisantes pour assurer l’intégrabilité des déformations sur undomaine simplement connexe4 et l’obtention du champ de déplacement à un déplacement ri-gidifiant (composé d’une translation et d’une rotation d’ensemble) près. En revanche, lorsquele solide n’est pas simplement connexe, c’est-à-dire qu’ilexiste en son sein des courbes fer-mées irréductibles, chemins fermés du domaine ne pouvant pas être réduits continûment enun point en restant dans le domaine, ces conditions ne suffisent pas à assurer l’indépen-dance du déplacement par rapport au chemin d’intégration entre deux points du solide, desconditions dites de fermeture sont à rajouter. Si le solide est de connexité5 n, les calculs dudéplacement et de la rotation par intégration surn − 1 chemins fermés irréductibles doiventconduire à des valeurs nulles, ce qui donne6(n− 1) conditions à rajouter. C’est par exemplele cas d’un tube creux, pour lequeln est égal à deux. Même si le champ de déformationinélastique au sein de l’anneau vérifie les équations (3.20), il faut en plus satisfaire les sixconditions de fermeture.

Conditions sur une surface de discontinuité

En présence d’une surface,Σ, de discontinuité de la déformation mais de continuité dedéplacement, des relations de saut portant sur la déformation et son gradient sont à verifieren tout point de la surfaceΣ. Elles s’écrivent :

[[εαβ]] = 0[[εαβ,3]] − [[ε3α,β]] − [[ε3β,α]] + bαβ[[ε33]] = 0 .

(3.26)

Ces équations6 sont écrites dans un repère orthonormé local dont la direction 3 est normaleà Σ. Les indicesα et β prennent les valeurs1, 2. bαβ désigne les courbures de la surfaceau point considéré.

Établissement des relations de compatibilitéOn rappelle dans ce qui suit l’établissement des relations de compatibilité dansle cadre de la trans-formation infinitésimale. On se place dans un repère orthonormé direct. En notantw la partie antisy-métrique du gradient de déplacement :w = 1

2(∇ξ −t ∇ξ), on a :

∇ξ = ε + w , (3.28)

4Un domaine connexe par arc est tel que deux points quelconques de ce domaine peuvent être reliés par unarc entièrement contenu dans le domaine. Il est donc en un seul morceau. Le domaine est simplement connexepar arc, si toute courbe fermée contenue dans le domaine est continûment réductible, en restant dans le domaine,en un point.

5Par exemple, dans le plan, un solide de connexitén occupe un domaine géométrique dont le complémen-taire est formé den ensembles disjoints. Il est simplement connexe sin = 1, et multiplement connexe pourn ≥ 2.

6Les formes intrinsèques de ces équations sont données par J.Kerbrat dans "Milieux continus déformables",cours de l’ENSTA 1992 ; en désignant parn un vecteur unitaire normal à la surface au point considéré, elless’écrivent comme les relations suivantes, vérifiées par tout couple(t1, t2) de vecteurs tangents à la surface aupoint considéré :

t1 · [[ε]] · t2 = 0t1 · [[∇ε · n]] · t2 − t1 · [[∇ε · t2]] · n − t2 · [[∇ε · t1]] · n + b(t1, t2)n · [[ε]] · n = 0 . (3.27)


dont la condition d’intégrabilité(rot∇ξ = 0) s’écrit aussi :

rotε + rotw = 0 ou rotε − t∇(1

2rotξ) = 0 . (3.29)

L’intégrabilité du vecteur rotation12 rotξ donne : rottrotε = 0 .Sur une surfaceΣ de discontinuité de la déformation, la continuité du déplacementξ de part et d’autrede cette surface donne du premier ordre en dx :

ξ1(x + dx) = ξ

1(x) + ∇ξ

1· dx + O(dx.dx)

ξ2(x + dx) = ξ

2(x) + ∇ξ

2· dx + O(dx.dx) ,

en utilisant les notations de la section 1.6 et de la figure 1.7. Par différence entre les deux expressions,on obtient :[[∇ξ]] · dx = 0 Ainsi, pour tout vecteurt vecteur tangent à la surface au point considéré,

on a :[[∇ξ]] · t = 0, et par la suite :

t1 · [[ε]] · t2 = 0

pour tout couple(t1, t2) de vecteurs tangents à la surface au point considéré. La nullité du gradientde∇ξ · t1 contracté avec tout autre vecteurt2 tangent à la surface conduit à la deuxième égalité de larelation (3.27).

Conditions globales de compatibilité géométrique

D’une manière générale, la formulation faible des conditions de compatibilité s’énoncecomme suit :un champ de tenseur d’ordre deux symétriqueε(x) est compatible localement et globalementavec les conditions aux limites en déplacement donnéξd

i surSξisi :

∀ σ S.A.O.∫

Ω

σ : ε dΩ =

∫

Sξi

ξdi σijnj dS . (3.30)

Dans le cas de conditions imposées nulles en déplacement surtout le bord du solide, lechamp de déformationεi est compatible si

∀ σ S.A.O.∫

Ω

σ : εi dΩ = 0 . (3.31)

Contraintes résiduelles et compatibilité

Lorsque les déformations plastiques sont compatibles localement et avec les conditionsaux limites en déplacement nul, elles dérivent d’un champ dedéplacementξp C.A.O. On voitalors que le problème résiduel dont les équations sont données par le système (3.14) admetcomme solution ξr = ξp et σr = 0.Ces équations permettent aussi de conclure à la compatibilité des déformations plastiqueslorsque le champσr est nul.Ainsi, lorsque les déformations plastiques ne sont pas compatibles, il se crée un champ decontrainte résiduelle non nulσr dont les déformations élastiques correspondantesC

−1 : σr

se rajoutent aux déformations plastiques pour donner un champ de tenseur symétriqueεr

compatible, dérivant du champ de déplacement C.A.O.ξr, soit :

εp + C−1 : σr =

1

2(∇ξr +t ∇ξr) . (3.32)


Interprétation géométrique (figure 3.4) :L’interprétation géométrique de ce résultat est la suivante : le solide considéré est découpé envolumes élémentaires. On impose à chaque volume une déformation égale à sa déformationplastique. Si tous les morceaux se recollent sans qu’il y a des trous ou des superpositions,alors le champ de déformation plastique est localement compatible. Si ce n’est pas le cas,pour respecter la continuité du solide et ressouder les morceaux, il faudrait déformer lesdifférents volumes élémentaires ; ces déformations supplémentaires induisent bien sûr descontraintes, qui sont les "contraintes résiduelles".

FIG. 3.4 – Illustration de la compatibilité.

Pour bien illustrer la manière dont l’incompatibilité des déformations anélastiquesinduit les con-traintes résiduelles, nous allons faire appel à une méthode due à Kröner,et réécrire les équations(3.14), en faisant intervenir le tenseur d’incompatibilité. Comme la déformation résiduelle est com-patible et vérifie donc Inc(εr) = 0, on a

Inc(εe) = −Inc(εp) (3.33)

avecεe = εr − εp = C−1 : σr.

Les équations (3.14) deviennent :

div σr = 0 sur Ω

σrijnj = 0 sur STi

, i = 1, 2, 3

Inc(εe) = −Inc(εp) sur Ω

σr = C : εe sur Ω .

(3.34)

Des conditions de fermeture sont à rajouter pour obtenir le champ de déplacement si le domaine estmultiplement connexe.

On montre que tout champ de contrainteσr en équilibre avec des forces de volume nulles, peut êtremis sous la forme :σr = Inc(ψ), l’équation divσr = 0 est alors automatiquement vérifiée.

On a ensuite :εe = C−1 : Inc(ψ) et en utilisant la relation (3.33), on obtient :

Inc

(

C−1 : Inc(ψ)

)

= −Inc(εp) . (3.35)

Le champ des déformations inélastiquesεp étant connu, le résolution de (3.35) conduit à la fonctionde contrainteψ et donc àσr.Si de plus on écritψ sous la forme :ψ = C : φ, avecφ une fonction à divergence nulle, l’équation

(3.35) devient dans le cas de l’élasticité isotrope :

∆∆φ = −Inc(εp) .


La méthode précédente peut être mise en œuvre en utilisant le tenseur d’incompatibilité 7, Rdéfini par l’équation (3.24). En élasticité isotrope (module de YoungE, coefficient de Poissonν ), onobtient :

div σr = 0 sur Ω

σrijnj = 0 sur STi

, i = 1, 2, 3

(1 − ν)∆σr + ∇∇(tr σr) − ν∇(tr σr)1 = ER(εp) sur Ω

(3.36)

qui montre encore une fois que le champ de contrainte résiduel dépend dela déformation permanentepar l’intermédiaire du tenseur d’incompatibilité de cette dernière.

Déformée et contraintes résiduelles dues à la flexion d’une poutre élastoplastique

Le problème pratique est celui de la mise en forme (par pliage, emboutissage ou formage)des tôles métalliques. Ici, on s’intéresse plus particulièrement au formage d’une poutre mé-tallique à laquelle on souhaite donner une forme circulairepermanente en lui appliquant unmoment de flexion. Lorsque ce dernier est annulé, il se produit un "retour élastique" avantque la poutre ne prenne sa forme résiduelle. L’objet de cettesection est d’établir la relationentre le moment maximal appliqué (ou la courbure appliquée)et la courbure résiduelle de lapoutre en transformation infinitésimale.Il s’agit en fait de l’étude classique de la flexion pure d’unepoutre élastoplastique, avec pourobjectif la détermination de la déformée résiduelle et des contraintes résiduelles induites parce processus de chargement. La poutre est cylindrique, de section droite rectangulaire. Dansle repère orthonormé(O, ex, ey, ez), sa longueur selon l’axeOx, estL, sa largeur (selonOz)estb et sa hauteur (selonOy) est2h.

Le matériau constitutif de la poutre est isotrope, élastique parfaitement plastique de typevon Mises. Ses caractéristiques sont :E le module de Young,ν le coefficient de Poissonqu’on suppose égal à 0,5, etσ0 la limite d’élasticité en traction.

La poutre est soumise à des efforts exclusivement exercés sur ses sections droites ex-trêmes qui sont supposées rester planes. Les torseurs résultants de ces efforts se réduisent àun momentMez sur la sectionx = L et un moment−Mez sur la sectionx = 0. On étudiel’évolution quasi-statique de la poutre en flexion, lorsquele moment appliquéM croît dezéro jusqu’à une valeur maximaleMmax plastifiant la poutre, puis est ramené à zéro. Troisphases vont la caractériser : une phase élastique, suivie d’une phase élastoplastique et d’unedécharge élastique (comme on le montrera).

Phase élastiqueLa solution élastique est obtenue par la méthode des contraintes. On considère un champ decontrainte de la forme :

σ(x) = Ayex ⊗ ex .

Ce champ est statiquement admissible. Le champ de déformation associé par la loi de com-portement élastique est :

ε(x) =Ay

E(ex ⊗ ex − νey ⊗ ey − νez ⊗ ez) .

7Berest P., Vouille G. Contraintes résiduelles dans des éprouvettes cylindriques. Revue Française de Géo-technique, no110, pp 41–50, 2005


FIG. 3.5 – Déformations plastiques et contraintes résiduellesgénérées par la flexion d’unepoutre en matériau élastique parfaitement plastique.

ε(x) est linéaire donc vérifie les équations de compatibilité (3.25). Son intégration conduitau champ de déplacement suivant :

ξx =A

Exy

ξy = −A

E(x2

2+ ν

y2 − z2

2)

ξz = −νA

Eyz .

(3.37)

Comme la contrainte est reliée au moment appliqué par :

Mez =

∫

SL

(yey + zez) ∧ σxxexdS = −∫

SL

Ay2ezdS = −A2bh3

3ez ,

on a :A = −M

Iz

avecIz =2bh3

3.

Dans l’hypothèse de la transformation infinitésimale, la déformée de la fibre moyenne(y =z = 0) est un cercle de courbure :

χ =M

EIz

. (3.38)

La première plastification se produit lorsque :

maxy

|σxx(y)| = σ0 ,

soit

M =σ0Iz

h=

2σ0bh2

3= M0 .


La courbure de la fibre moyenne de la poutre est alors :

χ0 =M0

EIz

=σ0

Eh, (3.39)

et le champ de contrainte :

σ(x) = −σ0y

hex ⊗ ex .

La plastification démarre donc simultanément sur les faces supérieure et inférieure de lapoutre et se poursuit vers l’intérieur de celle-ci.

Charge plastiqueLe moment appliquéM continue de croître au-delà de la valeurM0, jusqu’à la valeur maxi-maleMmax. On suppose que le tenseur des contraintes garde la forme :

σ(x) = σxx(y)ex ⊗ ex .

La poutre est constituée d’une zone centrale élastique d’épaisseur totale2e encadrée par deuxzones plastiques. Dans ces dernières, comme le matériau estélastique parfaitement plastique,on a :

pour e ≤ y ≤ h : σxx = −σ0

pour −h ≤ y ≤ −e : σxx = σ0 .

Dans la zone élastique, la solution est du même type que celleprécédemment calculée, c’est-à-dire que :σxx(y) = −By etBe = σ0, d’où

σxx(y) = −σ0

ey .

On a donc :

Mez =

∫

SL

(yey + zez) ∧ σxxexdS

= bσ0

(

h2 − e2

3

)

ez .

La courbure de la poutre est donnée par la partie élastique :χ =σ0

Ee. On a donc :

M =3

2M0

(

1 − 1

3

(χ0

χ

)2)

. (3.40)

État résiduelEn supposant que la décharge, à partir du moment maximal appliquéMmax est élastique (cequi sera vérifié a posteriori), les contraintes résiduellessont données par :

σr(y) = σmax

(y) − σel(y)

soit,

pour e ≤ y ≤ h : σrxx =

Mmax

Iz

y − σ0

pour −e ≤ y ≤ e : σrxx = (

Mmax

Iz

− σ0

e)y

pour −h ≤ y ≤ −e : σrxx =

Mmax

Iz

y + σ0 .


De même, on obtient les déformations résiduelles par :

εr(y) = ε(y) − εel(y) = (Mmax

EIz

− σ0

Ee)y ,

et la courbure résiduelle de la fibre moyenne :

χr = χ − χel = χmax−Mmax

EIz

=3

2χ0

(

2χmax

3χ0

+1

3

(χ0

χmax

)2

− 1

)

.

Pour un critère de von Mises, les déformations plastiques sont de la forme :

εp = λ

√

3

2

s

‖ s ‖ = λ3

2

s

σ0

= λ3

2(ex ⊗ ex −

1

2ey ⊗ ey −

1

2ez ⊗ ez) .

Comme dans la zone plastiqueσ = 0, on a : ε = εp. Si on fait l’hypothèse que le champ dedéformation reste linéaire eny, on obtient qu’en tout point la déformation plastique est :

pour e ≤ |y| ≤ h : εpxx(y) = εxx(y) − εe

xx(y) = −σ0

E(y

e− y

|y|)pour |y| ≤ e : εp

xx = 0 .

Les déformations plastiques, illustrées sur la figure 3.5 nesont pas compatibles. En effet,elles ne vérifient pas les relations (3.26). De plus, leur intégration conduit à un champ dedéplacement qui ne respecte pas la planéité des sections planes utilisée comme hypothèseici.On observe, à l’état résiduel, que la face supérieure de la poutre s’est raccourcie longitudi-nalement, mais qu’elle est en traction. La face inférieure s’est, quant à elle, allongée et maisest en compression.

FIG. 3.6 – Diagramme moment-coubure pour une poutre élastique parfaitement plastique :après la décharge, une courbure résiduelleχr subsiste avc des contraintes résiduelles nonnulles.


3.5 Compléments sur les contraintes résiduelles

3.5.1 Effets des contraintes résiduelles

Les contraintes résiduelles (issues de la fabrication, induites par les traitements de surfaceou par les sollicitations) dans une structure mécanique sont susceptibles d’évoluer sous lechargement d’usage dès lors que celui-ci induit des déformations anélastiques. Ce sont doncles contraintes résiduelles stabilisées (si elles existent) qu’il faut considérer dans l’étude deleurs effets sur le comportement à long terme des structuresen service.

L’existence de contraintes résiduelles ou de contraintes initiales dans les structures a desconséquences sur leur comportement mécanique global (instabilités), tribologique, en fa-tigue, en rupture et en corrosion. On énumère ci-dessous quelques-uns de ces effets.

1. Modification de la loi de comportement élastique écrite à partir d’un état initial pré-contraint. Cette loi peut selon les cas, être ou ne pas être simplifiée. Dans certainscas, la modification des modules d’élasticité ne peut pas être négligée ; ainsi pour lessolides élancés (qui ne sont pas considérés ici) les risquesde flambage peuvent êtreaccrus. Mais dans la plupart des cas, l’élasticité à partir de l’état précontraint peut êtreconsidérée comme identique à celle de l’état initial. Pour une discussion approfondiedes conditions autorisant à le faire, le lecteur pourra se reporter à l’ouvrage de Jean Sa-lençon "Mécanique des milieux continus", tome II, Les Éditions de l’École Polytech-nique, chap.VII.5.4., ou au cours de P. Le Tallec "Mécanique des milieux continus",ch13.4.

2. Existence obligatoire de facette en traction dans le cas d’un solide, siège de contraintesrésiduelles non nulles et dont toute la surface extérieure est libre de contrainte (à mon-trer en exercice).

3. Baisse de la résistance à la fatigue dans les zones soumisesà des contraintes résiduellesde traction qui favorisent l’amorçage et la propagation desfissures.

4. Amélioration du comportement en fatigue lorsqu’elles sont de compression ; c’est lecas de contraintes induites au voisinage des surfaces par les différents traitements desurface.

5. En présence de fissure, le champ de contrainte résiduelle est modifié et est bien sûrsingulier en pointe de fissure. Un facteur d’intensité de contrainte additionnel est àprendre en compte (cf. H.D. Bui "Fracture mechanics : inverse problems and solutions,Springer 2006).

3.5.2 Mesures des contraintes résiduelles

Plusieurs méthodes, de différentes natures et précisions,sont utilisées pour déterminerexpérimentalement les contraintes résiduelles. On distingue les méthodes destructives desméthodes non destructives. L’avantage des méthodes non destructives est qu’elles respectentl’intégrité des structures et qu’elles peuvent être utilisées sur site. On peut citer :

– La méthode de la diffraction des rayons X (ou des neutrons) :son principe repose sur ladiffraction des rayons X par les plans denses du réseau cristallin des métaux. En fonc-tion de la longueur d’onde du faisceau et de l’angle de diffraction, on obtient grâce à

3.6 Illustration des concepts sur un treillis 167

la formule de Bragg la distance inter-plans denses. Connaissant, la distance initiale, oncalcule la déformation, puis la contrainte dans l’hypothèse de comportement élastique.

– La méthode par ultrasons fondée sur la relation entre la vitesse de propagation desondes de surface, les modules d’élasticité effectifs et la masse volumique du solide.

Les méthodes destructives sont essentiellement fondées sur l’enlèvement de matière8 (parcouches, par perçage des trous, par tranchage, ...) qui entraîne au moins localement, uneredistribution des contraintes résiduelles et des déformations. La mesure de ces dernièrespermet de déduire les contraintes préexistantes.

3.6 Illustration des concepts sur un treillis

3.6.1 Le treillis : géométrie, comportement et sollicitation

On considère un treillis plan représenté sur la figure 3.7. Ilest composé de trois poutresde même section S et de même module de YoungE. La poutre3 est de longueurl, alorsque les poutres1 et 2 sont de longueursl

√2. Les poutres sont parfaitement articulées en

A, B, C et O. Les points A, B et C sont fixes. Le treillis est supposé être en transformationinfinitésimale.

FIG. 3.7 – Treillis à trois barres élastoplastiques.

Les barres étant articulées et chargées exclusivement à leurs extrémités, elles ne sont sou-mises qu’à des efforts normaux (contrainte généralisée d’extensionNi pour la barrei, i =1, 2, 3).

Les poutres restent donc droites et sont géométriquement caractérisées par les déplace-ments de leurs extrémités. La différence entre ces déplacements, projetée selon la directionde la poutre, fournit l’allongementδ de celle-ci. Cet allongement est choisi comme positifdans le cas d’une extension et négatif pour une contraction.

On suppose que les barres sont élastiques parfaitement plastiques avec la même limited’élasticitéN0 en traction qu’en compression. On représente sur la figure 3.8, l’effort Ni dela barrei en fonction de l’allongementδi.Le treillis est sollicité au point 0, par une forceQ = Q1e1 + Q2e2.

8Sans induire de plasticité non négligeable.


FIG. 3.8 – Comportement élastique parfaitement plastique d’unebarrei.

L’objectif recherché est :– de préciser les notions de champs statiquement admissibles, de champs cinématique-

ment admissibles, de compatibilité, de solutions purementélastiques et de contraintesrésiduelles ;

– d’étudier l’évolution sous chargement monotone d’une structure élastoplastique ;– de voir qu’une structure constituée d’éléments élastiques parfaitement plastiques peut

avoir un comportement global élastoplastique à écrouissage cinématique.

3.6.2 Équations de la statique

On rappelle que le système d’équations d’équilibre utilisépour la détermination des ef-forts internes du treillis et des réactions, comprend les équations d’équilibre global du treillis(faisant intervenir les efforts extérieurs) et les équations d’équilibre des nœuds (impliquantefforts internes et externes).

Les équations d’équilibre d’un nœud reliantn barres, s’écrivent :

n∑

i=1

Niti = F (3.41)

où ti est le vecteur tangent de la poutrei, orienté vers le nœud considéré etF la forceextérieure s’exerçant sur ce nœud (Figure 3.9).

FIG. 3.9 – Équilibre d’un noeud I soumis à une force extérieureF .


3.6.3 Champs d’efforts normaux statiquement admissibles (S.A.)

Les champs d’efforts normaux statiquement admissibles (S.A.) sont les champs d’effortsnormaux (Ni, i = 1, 3) vérifiant les équations de la statique là où les efforts sontdonnés.Dans ce cas, seul le nœudO est soumis à une force extérieure. Son équation d’équilibres’écrit :

N1

( 1√2

1√2

)

+ N2

( 1√2

− 1√2

)

+ N3

(1

0

)

=

(Q1

Q2

)

ou encore : N2 = N1 −

√2Q2

N3 = Q1 + Q2 −√

2N1 .(3.42)

3.6.4 Champs d’efforts normaux statiquement admissibles à zéro (S.A.O.)

Les champs d’efforts normaux statiquement admissibles à zéro (S.A.O.) sont les champsd’efforts normaux statiquement admissibles avec les efforts donnés mis à zéro. Ils vérifientdonc :

N2 = N1

N3 = −√

2N1 .(3.43)

Ils forment un ensemble à un paramètre (espace vectoriel de dimension un) : on dit alors quele treillis esthyperstatique de degré un. D’une manière générale, le degré d’hyperstaticitéd’un système est la dimension de l’espace des champs S.A.O.Ainsi, le treillis non chargé peut être siège d’efforts internes S.A.O. C’est par exemple lecas lorsqu’on chauffe uniquement la poutre3. Elle aura tendance à s’allonger. Mais cet al-longement n’est pas libre ; il est contrarié par les autres barres qui ne sont pas chauffées. Lapoutre3 est donc en compression. Comme le champ de contrainte établi dans les poutres estun champ en équilibre avec des efforts nuls (S.A.O.), les poutres 1 et 2 sont en traction.

Remarque : Les champs S.A.O. sont de la forme :(N1, N2, N3) = γ (1, 1, −√

2). Autrementdit, l’ensemble des champs S.A.O est un espace vectoriel de dimension un, généré par le vecteur(1, 1, −

√2). D’une manière générale, sih est le degré d’hyperstaticité d’un système àn barres,

l’ensemble des champs S.A.O est un espace vectoriel de dimensionh. On peut alors choisirh vecteursindépendants((N res

j1 , N resj2 , . . . , N res

jn ), j = 1, h), qui forment une base de cet espace. Les relations,homologues de (3.43), s’écrivent :

Ni =h∑

j=1

γjNresji =

h∑

j=1

mijγj i = 1, n (3.44)

avecmij = N resji .

3.6.5 Champs d’allongements cinématiquement admissibles (C.A.)

La configuration du treillis est complétement définie par la connaissance des déplace-ments des extrémités des poutres. Ces déplacements sont cinématiquement admissibles (C.A.)s’ils respectent les liaisons entre les poutres du treilliset les liaisons avec l’extérieur (dépla-cements donnés). Comme les grandeurs duales des efforts normaux sont les allongements


(autrement dit les efforts normaux travaillent selon les allongements), nous allons considé-rons les allongements comme variables cinématiques et étendre les conditions d’admissibi-lité cinématique à ceux-ci. Les allongements sont C.A. s’ilssont issus de déplacements auxnœuds C.A., c’est-à-dire qui respectent d’une part la continuité du treillis (les barres restentliées enO), et d’autre part les liaisons avec l’extérieur (aux pointsA, B etC). Les relationsde compatibilité peuvent être obtenues soit par des considérations géométriques, soit en utili-sant la relation (3.31). Cette dernière méthode est plus simple et plus systématique. En effet,le champ d’allongement(δi, i = 1, 3) est cinématiquement admissible à zéro (C.A.O.) si :

∀Ni, i = 1, 3 S.A.O N1δ1 + N2δ2 + N3δ3 = 0 .

CommeN1 = N2, N3 = −√

2N1, on a :

δ1 + δ2 =√

2δ3 . (3.45)

En revenant à l’exemple de la sous-section précédente, on voit que l’allongement ther-mique induit par le seul chauffage de la barre3 est incompatible avec des allongements nulsdes autres barres et conduit forcément à des contraintes internes.

3.6.6 Solution du problème purement élastique

Une manière d’obtenir la solution élastique du problème du treillis soumis à la forceQ enO est d’utiliser directement les équations de la statique (3.42), la condition de compatibilitédes allongements (3.45) et la loi de comportement élastiquequi s’écrit pour une poutrei :

δi =NiliES

.

En combinant ces deux dernières équations, on obtient la relation suivante entre les effortsnormaux solutions du problème élastique :

N1 + N2 = N3 .

Cette équation supplémentaire, associée aux équations de lastatique (3.42) conduit à la so-lution élastique :

N el1 =

Q1

2 +√

2+

Q2√2

, N el2 =

Q1

2 +√

2− Q2√

2et N el

3 =2Q1

2 +√

2,

que l’on écrit sous la forme :

N el1

N el2

N el3

=

1

2 +√

2

1√2

1

2 +√

2− 1√

22

2 +√

20

(Q1

Q2

)

ou encore N eli = AijQj , (3.46)

avec

A11 = A21 = A31 =1

2 +√

2, A12 =

1√2

, A22 = − 1√2

et A32 = 0 .


Les allongements élastiques sont :

δel1 = (

Q1

1 +√

2+ Q2)

l

ES, δel

1 = (Q1

1 +√

2− Q2)

l

ESet δel

3 =2Q1

2 +√

2

l

ES. (3.47)

Une autre manière d’obtenir la solution purement élastiqueconsiste à minimiser l’énergiecomplémentaire des champs statiquement admissibles donnée par :

W ⋆(N1, Q1, Q2) =3∑

1

N2i li

2ES=

1

2ES(N2

1

√2l+(N1−

√2Q2)

2√

2l+(Q1 +Q2−√

2N1)2l .

En écrivant :∂W ⋆

∂N1

= 0 , on obtient N1 =Q1

2 +√

2+

Q2√2

.

Les déplacements généralisés élastiquesqel1 et qel

2 (déplacements du point0) sont obtenusà l’aide du théorème de Castigliano9 par :

qel1 =

∂W ⋆

∂Q1

=(Q1 + Q2 −

√2N1)l

ES=

2Q1

2 +√

2

l

ES= δ3

qel2 =

∂W ⋆

∂Q2

=(N3 − 2N2)l

ES=

√2Q2l

ES= δ3 −

√2δ2 .

On a donc la relation élastique suivante entre les grandeursglobales :

(qel1

qel2

)

=

2

2 +√

2

l

ES0

0√

2l

ES

(Q1

Q2

)

⇐⇒ qeli = CijQj . (3.48)

3.6.7 Domaine initial d’élasticité dans l’espace (Q1, Q2)

Le domaine initial d’élasticité du treillis est obtenu dansl’espace (Q1, Q2) en écrivant :|Ni| ≤ N0 pour i = 1, 3 , soit,

f1(Q1, Q2) =

∣∣∣∣

Q1

2 +√

2+

Q2√2

∣∣∣∣≤ N0

f2(Q1, Q2) =

∣∣∣∣

Q1

2 +√

2− Q2√

2

∣∣∣∣≤ N0

f3(Q1, Q2) =

∣∣∣∣

2Q1

2 +√

2

∣∣∣∣≤ N0 .

(3.49)

Le domaine d’élasticité initial du treillisF (Q1, Q2) se met sous la forme compacte :

F (Q1, Q2) = supi=1,2,3

fi(Q1, Q2) ≤ N0 . (3.50)

C’est un convexe, intersection des convexes représentatifsdes domaines élastiques des barresdu treillis.

9Cf. Jean Salençon, "Mécanique des milieux continus", tome II, Les Éditions de l’École Polytechnique


FIG. 3.10 – Domaine d’élasticité initial du treillis.

3.6.8 Comportement élastoplastique du treillis

On considère le premier chargement suivant :Q2 nul, Q1 croît de 0 àQmax. La solutionest élastique pourQ1 variant de0 àQ0 = 2+

√2

2N0. Dans cette phase élastique, on a :

N1 = N2 = Q1

2+√

2et N3 = 2Q1

2+√

2,

δ1 = δ2 = Q1l

(1+√

2)ESet δ3 = 2Q1l

(2+√

2)ES= q1 .

(3.51)

À partir deQ1 = Q0, la barre3 plastifie et reste en charge avec le chargement croissant. Ona doncN3 = N0, et les équations de la statique (3.42) donnent :

N1 = N2 =Q1 − N0√

2.

Les allongements des barres1 et2 sont donnés par la relation de comportement élastique :

δ1 = δ2 =(Q1 − N0)l

ES

et la condition de compatibilité conduit à :

δ3 =√

2δ1 =

√2l(Q1 − N0)

ES.

Cette solution est valable jusqu’à ce que les barres1 et 2 plastifient en traction c’est-à-direque :

N1 = N2 = N0 , ce qui donne Q1 = (1 +√

2)N0 .


La chargeQL = (1 +√

2)N0 est la charge limite du treillis. En effet, le système formé deséquations de la statique (3.42) et des conditions d’admissibilité plastique (3.50) n’admet pasde solution pourQ1 strictement supérieur àQL.

La relation de comportement entre le déplacement généralisé q1 et la chargeQ1, illus-trée sur la figure 3.11, montre un comportement élastoplastique écrouissable (on verra quel’écrouissage est cinématique linéaire) avec une charge limiteQL.

FIG. 3.11 – Comportement du treillis en charge et décharge.

3.6.9 Décharge et état résiduel

On supposeQ0 < Qmax < QL, on effectue une décharge jusqu’àQd. On note∆Q =Qd − Qmax. La solution élastique due au chargement∆Q est :

∆N1 = ∆N2 = ∆Q

2+√

2et ∆N3 = 2∆Q

2+√

2,

∆δ1 = ∆δ2 = ∆Q l

(√

2+1)ESet δ3 = 2∆Q

2+√

2l

ES.

(3.52)

Lorsque la charge vautQmax, les efforts normaux sont :

N1max = N2max =Qmax − N0√

2et N3 = N0

et les allongements :

δ1max = δ2max =(Qmax − N0)l

ESet δ3max =

√2δ1max =

√2l(Qmax − N0)

ES.

L’état (Nid, δid, i = 1, 3) obtenu en supposant que la décharge est élastique, est donnépar :

Nid = Nimax + ∆Ni et δid = δimax + ∆δi


soit,

N1d = N2d = Qmax−N0√2

+ ∆Q

2+√

2et N3d = N0 + 2∆Q

2+√

2

δ1d = δ2d = δ1max + l∆Q

(1+√

2)ESet δ3d = δ3max + 2l∆Q

(2+√

2)ES.

(3.53)

Si on effectue une décharge totale en ramenant le chargementà zéro,∆Q = −Qmax ;l’état résiduel est alors :

N1r = N2r =

√2Qmax − (1 +

√2)N0

2 +√

2et N3r =

(2 +√

2)N0 − 2Qmax

2 +√

2

δ1r = δ2r =

√2Qmaxl

(√

2 + 1)ES− N0l

ESet δ3r =

√2 δ1r .

On vérifie que les efforts normaux résiduels sont dans le domaine élastique. En continuantde charger en compression jusqu’à plastification, on montreque le comportement global dutreillis est de type élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire, avec une charge limiteen compression. On laisse au lecteur le soin d’établir ce résultat.Ainsi un système constitué d’éléments élastiques parfaitement plastiques peut présenter uncomportement global de type élastoplastique écrouissable. Cet écrouissage est dû aux contraintesrésiduelles, elles-mêmes liées à l’incompatibilité des déformations plastiques des différentsconstituants.

3.6.10 Lien entre état résiduel et allongements plastiques

PourQ1 = Qmax, l’effort normal dans la barre3 vautN0 ; son allongement élastique estdoncδe

3 = N0lES

. Son allongement plastique est alors :

δp3 = δ3max − δe

3 =

√2Qmaxl − (

√2 + 1)N0l

ES.

On a donc :

N1r = N2r =ES

(2 +√

2)lδp3 et N3r = − ES

(1 +√

2)lδp3 .

Dans le cas général, la relation reliant les efforts normauxrésiduels aux allongementsplastiques est :

N r1

N r2

N r3

=

−ES

2(1 +√

2)l

−ES

2(1 +√

2)l

ES

(2 +√

2)l−ES

2(1 +√

2)l

−ES

2(1 +√

2)l

ES

(2 +√

2)lES

(2 +√

2)l

ES

(2 +√

2)l

−ES

(1 +√

2)l

δp1

δp2

δp3

(3.54)

ou encore : N ri = Bijδ

pj .

On voit que l’opérateur[B] reliant les efforts normaux résiduels aux allongements plastiques


est linéaire, négatif et singulier. En effet la relation (3.54) qui s’écrit

N r1 = N r

2 =ES

2(1 +√

2)l(√

2δp3 − δp

1 − δp2)

N r3 =

−ES√2(1 +

√2)l

(√

2δp3 − δp

1 − δp2)

montre directement que les efforts normaux résiduels sont nuls pour les allongements plas-tiques compatibles. D’autre part, la quantité

∑

i,j δpi Bijδ

pj est toujours négative.

3.6.11 Cas général

Le treillis précédent est un exemple particulier d’un système constitué d’éléments élas-tiques parfaitement plastiques, et présentant un écrouissage dû aux contraintes résiduelles10.On considère un treillis constitué den poutres (longueursli, sectionSi, module de YoungEi, i = 1, n), soumis à un chargement à nombre finip de paramètres (Qi , i = 1, p) associésaux déplacements généralisésqi , i = 1, p. On note respectivementNi et δi , i = 1, n lesefforts normaux normaux et les allongements des poutresi = 1, n.

Le principe de puissances virtuelles donne, pour tout chargement(Q′j , j = 1, p) en équi-

libre avec les efforts normaux (N ′i , i = 1, n), l’égalité suivante11 :

p∑

j=1

Q′j qj =

n∑

i=1

N ′i δi .

Énergie élastique en fonction des grandeurs globales

L’énergie élastique du système est donnée par :

W ⋆(Ni) =∑

i

1

2NiLiNi avec Li =

liEiSi

.

L’effort normal se décompose en :Ni = N eli + N r

i .Les efforts normaux purement élastiquesN el

i sont reliés aux efforts globaux par une relationlinéaire, de coefficientsAij :

N eli =

p∑

j=1

AijQj .

Le champ(N ri , i = 1, n) est S.A.O. Comme le champ(δel

i , i = 1, n) associé à(N eli , i =

1, n) est C.A.O. (il n’y a pas de déplacements imposés non nuls) on a :

0 =n∑

i=1

N ri δel

i =n∑

i

N ri LiN

eli .

10Cette généralisation est due à J. Mandel (J. Mandel, Équations de comportement d’un système élastovi-scoplastique dont l’écrouissage est dû à des contraintes résiduelles. C.R. Acad. Sc. Paris, t.284, Série A (1977),257-260.)

11La convention de sommation sur les indices répétés n’est pasutilisée dans cette section.


Les champsN ri etN el

i sont orthogonaux vis à vis de la norme de l’énergie (∑

i12NiLiNi).

Compte tenu de ce résultat, l’énergie élastique du système s’écrit :

W ⋆(N) =∑

i

1

2NiLiNi =

∑

i

(1

2N el

i LiNeli +

1

2N r

i LiNri

)

.

Or∑

i

1

2N el

i LiNeli =

∑

i,j,l

1

2Ql

tAliAijQjLi =∑

j,k

1

2QjKjkQk

avecKjk =

∑

i

LitAjiAik .

Si p est le degré d’hyperstaticité du système, l’espace des efforts normaux S.A.O. est àpparamètres. On a vu à la section 3.6.4, qu’il est généré parp champs d’efforts normaux indé-pendants((m1h,m2h, . . . ,mnh), h = 1, p). Les efforts résiduels(N r

i , i = 1, n) s’exprimenten fonction desmih par la relation (3.44) :

N ri =

p∑

h=1

mihγh ,

et le terme∑

i12N r

i LiNri devient :

∑

i

1

2N r

i LiNri =

∑

i,l,h

1

2γl(

tmliLimih)γh =∑

l,h

1

2γlHlhγh .

Finalement, on obtient l’expression suivante de l’énergieélastique en fonction des para-mètres(Q, γ) :

W ⋆(Q, γ) =∑

j,k

1

2QjKjkQk +

∑

l,h

1

2γlHlhγh .

Relations entre grandeurs globales et grandeurs locales

On a vu que les efforts normaux purement élastiques sont reliés aux efforts globaux parla relation linéaire :

N eli =

∑

j

AijQj .

Les efforts résiduels sont par conséquent donnés par :

N ri = Ni −

∑

j

AijQj .

D’après le principe des puissances virtuelles, pour tout chargement(Q′j , j = 1, p), en équi-

libre avec les efforts normaux(N ′i , i = 1, n), on a :∑

j

Q′j qj =

∑

i

N ′i δi .

Comme :qi = qe

i + qpi


etδi = δe

i + δpi = LiNi + δp

i = LiNri + δel

i + δpi ,

on a : ∑

j

(Q′

j qpj + Q′

j qelj

)=

∑

i

(

N ′i δ

eli + N ′r

i LiNri + N ′

i δpi

)

puis∑

j

Q′j q

pj =

∑

i

(

N ′irLiN

ri + N ′

i δpi

)

.

En remplaçantN ′ri par

∑

h mihγ′h dans l’expression précédente, on aboutit à :

∑

j

Q′j q

pj =

∑

i,j,h

(

γ′h

tmhiLimij γj + N ′i δ

pi

)

=∑

i,h,l

(

γ′hHhlγl + N ′

i δpi

)

avecHhl =

∑

i

tmhiLimil . (3.55)

En posantαh = −

∑

j

Hhj γj ,

on obtient : ∑

j

Q′j q

pj +

∑

h

γ′hα

rh =

∑

i

N ′i δ

pi . (3.56)

CommeN ′i =

∑

j AijQ′j +

∑

h mihγ′h, la relation (3.56) devient :

∑

j

Q′j q

pj +

∑

h

γ′hα

rh =

∑

i,j

Q′jAij δ

pi +

∑

i,h

γ′hmihδ

pi . (3.57)

On rappelle qu’elle est valable pour tout couple (Q′, N ′) constitué du chargementQ′ enéquilibre avec les efforts internesN ′.Comme les grandeursQ′

j etγ′h sont indépendantes, on déduit de l’égalité (3.57) les relations

suivantes :qpj =

∑

i

Aij δpi et αr

h =∑

i

mihδpi . (3.58)

Domaine d’élasticité en fonction des grandeurs globales

On suppose que le domaine d’élasticité actuel d’une poutrei donnée est défini par :

fi(Ni) ≤ 0 .

Il correspond à un domaine convexeCi. L’allongement plastiqueδpi associé àNi (i fixé) est

donné par la loi de normalité :

δpi ∈ ∂Ci(Ni) soit δp

i = λi∂fi

∂Ni

λi ≥ 0, fi ≤ 0 , λifi = 0 . (3.59)

L’effort Ni s’écrit :Ni =

∑

j

AijQj +∑

h

mihγh .


En posant

fi(Q, γ) = fi

(∑

j

AijQj +∑

h

mihγh

)

, (3.60)

le domaine d’élasticité du système dans l’espace des grandeurs globales(Q, γ) est défini parl’intersection des domaines(fi(Q, γ) ≤ 0, i = 1, n), donc par :

F (Q, γ) = supi

fi(Q, γ) ≤ 0 (3.61)

Les taux de la déformation plastique globale et de la variableα s’écrivent :

qpj =

∑

i Aij δpi =

∑

i λiAij∂fi

∂Ni

avec λi ≥ 0, fi ≤ 0 , λifi = 0

=∑

i λi∂fi

∂Qj

avec λi ≥ 0 , fi ≤ 0 , λifi = 0

αpj =

∑

i mij δpi =

∑

i λimij∂fi

∂Ni

avec λi ≥ 0 , fi ≤ 0 , λifi = 0

=∑

i λi∂fi

∂γj

avec λi ≥ 0 , fi ≤ 0 , λifi = 0 .

(3.62)

La loi élastoplastique globale est donc à potentiel multiple représentatif desn mécanismesplastiques. Elle présente un écrouissage induit par les contraintes résiduelles. Ainsi, dans cecas les fonctions de charge des poutres sont de la forme(fi(N) = |N | − N0i, i = 1, n),on voit immédiatement que, dans l’espace des paramètres de chargementQ, le domained’élasticité, intersection desn domainesfi(

∑

j AijQj +∑

h mihγh) ≤ 0, se déplace enfonction desγh sans changer de taille : l’écrouissage est cinématique.


3.7 Récapitulatif

• Origine des contraintes résiduelles.L’origine des contraintes résiduelles est liée à l’incompatibilité des déformationsanélastiques (plastiques, thermiques, chimiques, etc.).

• Compatibilité locale des déformations.Dans un repère cartésien orthonormé (i, j, k, l = 1, 2, 3) :

εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0

Sur une surface de discontinuité, de vecteur normal unitaire e3, (α, β = 1, 2) :

[[εαβ]] = 0[[εαβ,3]] − [[ε3α,β]] − [[ε3β,α]] + bαβ[[ε33]] = 0

• Définition de l’état résiduel (fictif).À tout instant, on définit :

σr(M, t) = σ(M, t) − σel(M, t)εr(M, t) = ε(M, t) − εel(M, t)

On a :εr(M, t) = C

−1 : σr(M, t) + εp(M, t)

• Détermination des contraintes résiduelles.L’état résiduel associé à un champ de déformation inélastique connuεp est consti-tué :– du champ de contrainte résiduelleσr S.A.O.– et du champ de déplacement résiduelξr C.A.O.vérifiant :

divσr = 0 sur Ω[|σr]| .n = 0 sur Σσr

ijnj = 0 sur STi, i = 1, 2, 3

ξri = 0 sur Sξi

, i = 1, 2, 3

εr =1


σr = C : (εr − εp) sur Ω


3.8 ExercicesExercice 3.1 (Contraintes résiduelles et multifissuration)

Objectif : fournir une explication au faiençage et aux multi-fissurations provoquées par lesvariations de température ou par le desséchement dans les matériaux à très faible résistanceà la traction.

Le solide considéré occupe un domaineΩ de contour∂Ω. Il est en équilibre avec forcesde masse nulles dansΩ et des forces surfaciques nulles sur tout le contour∂Ω. Ce solideest siège d’un champ de contrainteσr auto-équilibré et non nul, induit par les déformationspermanentes (ou thermiques) incompatibles.

1. Montrer que le champσr vérifie :∫

Ω

σrdΩ = 0

2. Montrer qu’il existe forcément, dans le domaineΩ, des points ayant des facettes sou-mises à des contraintes normales de traction, et des points ayant des facettes soumisesà des contraintes normales de compression.

Exercice 3.2 (Rail sous échauffement uniforme)

On considère un rail de chemin de fer d’axeOx, de longueurL = 50m, de section droited’aireS = 77cm2. Le rail est en acier qui est considéré comme un matériau thermoélastiquelinéaire isotrope, parfaitement plastique de type von Mises et de caractéristiques mécaniquesE, ν, α, etσ0.

1. Placé au soleil induisant un écart de température uniforme τ de20oC par rapport à satempérature à l’état naturel, le rail libre de contrainte s’allonge de1, 5cm. Déterminerle coefficient de dilatation thermiqueα de cet acier.

Le rail est posé en voie àT0 = 25oC (état naturel de référence). Il est dans l’impossibilitéde se déformerlongitudinalement (cas des longs rails soudés). On suppose que ses sectionsextrêmes sont en contact sans frottement avec des plans rigides fixes. Les forces de masseainsi que le frottement lateral sont négligés. Le rail est uniformément chauffé par le soleil,qui génère un écart de températureτ .

2. Déterminer les déplacements et les contraintes dans le rail dans le cadre de l’élasticité.

3. Déterminer l’échauffementτp à partir duquel le rail commence à plastifier ainsi que lasolution élastoplastique.

Le rail est chauffé de façon homogène et monotone jusqu’àTmax = T0+τmax avecτmax ≥ τp,puis est ramené à la températureT0.

4. En supposant que le contact avec les plans rigides est maintenu pendant tout le proces-sus, déterminer son état de contrainte résiduel.

5. En supposant que le contact avec les plans rigides est unilatéral, c’est-à-dire qu’il y apossibilité de décollement, déterminer l’allongement résiduel du rail.

Chapitre 4

Structures sous chargements cycliques

"Mais, les électrologues ne voulurent rien entendre d’une tellehypothèse et dégainèrent force équations différentielles :

qu’ils surent ensuite intégrer, à la plus grande joie,on s’en doute, du cavaliere, . . . "

C.E. Gadda,La connaissance de la douleur.


• Les différents états asymptotiques d’une structure sous chargement cyclique.

• Les définitions de l’adaptation, de l’accommodation et du rochet.

• Le théorème statique d’adaptation de Melan-Koiter.

• Le théorème cinématique d’adaptation de Koiter.

• La définition d’un coefficient de sécurité à l’adaptation.

4.1 Problématique

4.1.1 Introduction

Toutes les structures mécaniques sont soumises à des chargements variables, souventcomplexes et aléatoires, pouvant être de service ou accidentels. Il s’agit par exemple, pourles avions, des sollicitations dues au décollage, aux conditions de vol et à l’atterrissage. Pourles moteurs, ce sont les cycles thermomécaniques dus essentiellement à la combustion etau serrage mécanique. Les ponts sont soumis au trafic, mais aussi aux actions du vent etéventuellement de l’eau. Ces sollicitations peuvent être assez importantes pour induire deseffets non linéaires de plasticité, de viscosité ou d’endommagement. À plus petite échelle,sur des composants électroniques soumis à l’échauffement,aux vibrations et aux champsélectromagnétiques variables, la même problématique se pose. L’analyse de la tenue de cesstructures exige nécessairement la connaissance de l’évolution de leur état thermomécanique

182 Chapitre 4 . Structures sous chargements cycliques

sous chargements variables.

Dans un grand nombre de cas, les structures subissent des sollicitations qui peuvent êtreconsidérées comme déterministes et cycliques. Les dimensionner revient à estimer le nombrede cycles de chargement qu’elles pourront supporter sans défaillance. Pour cela, il faudraitd’une part savoir si le chargement est endommageant, d’autre part déterminer l’évolution del’endommagement induit en fonction du nombre de cycles. D’un point de vue macrosco-pique, les premières questions qui se posent sont les suivantes.

1. La structure reste t-elle élastique ?

2. Quelle est la nature de sa réponse asymptotique (lorsque le tempst devient très grand) ?

3. A t-elle une réponse asymptotique cyclique (élastique ouanélastique dissipative) ?

4. Si c’est le cas, en combien de cycles de chargement atteint-elle son régime stabilisé ?

5. Quelle est l’influence de l’état initial, d’une part sur lanature de l’état asymptotique,d’autre part sur les champs (contraintes, déformations et variables internes) asympto-tiques eux-mêmes ?

Dans certains cas, l’état stabilisé cyclique est atteint enun grand nombre de cycles dontla simulation exige des temps de calcul tellement importants qu’elle se révèle pratiquementimpossible. L’étude du comportement asymptotique devientindispensable pour connaître lanature (dissipative ou non) de cet état. Il s’agit généralement d’éviter que les structures pré-sentent des déformations plastiques alternées ou plus grave encore, accumulent des déforma-tions plastiques à chaque cycle. Ces deux phénomènes conduisent à une ruine relativementrapide des installations.

En pratique, les sollicitations réelles ainsi que les étatsinitiaux des matériaux et des struc-tures sont mal connus ; ceci constitue une source de difficulté dans la recherche de l’évolu-tion de l’état mécanique sous chargement réel.La théorie de l’adaptation fournit des condi-tions qui assurent l’évolution d’une structure soumise à unchargement variable vers un étatasymptotique élastique quel que soit son état initial.

Dans ce chapitre, un bref rappel des résultats d’existence et d’unicité des solutions desproblèmes d’évolution élastoplastique est d’abord effectué. Ensuite, les définitions des dif-férents états asymptotiques (adaptation, accommodation et rochet) sont données. Les théo-rèmes d’adaptation sont explicités et démontrés dans l’ordre de leur apparition historique :le théorème statique de Melan, complété par Koiter, établi pour les matériaux élastiques par-faitement plastiques, le théorème cinématique de Koiter dans le cas élastique parfaitementplastique et les extensions de ces théorèmes aux matériaux standards généralisés.

4.1.2 Problème étudié et résultats classiques

La structure considérée, de volumeΩ et de contour∂Ω, est soumise, sur un intervalle detemps pouvant être infini, à :

– des forces massiquesF (M, t) surΩ,– des forces surfaciquesT d

i (M, t) dans la directioni, sur les partiesSTidu contour, pour

i = 1, 2, 3,

4.1 Problématique 183

– des déplacementsξdi (M, t) dans la directioni, sur les partiesSξi

du contour, pouri =1, 2, 3.

Pour chaque directioni = 1, 2, 3, on a :STi∩ Sξi

= ∅ etSTi∪ Sξi

= ∂Ωt. Cette partition dela surface extérieure est supposée invariante avec le temps.Le chargement est périodique en temps, et est de périodeTc.

L’évolution est supposée quasi-statique et la transformation infinitésimale.Le matériau constitutif de la structure est élastoplastique standard généralisé. Il possède :

– une énergie libre spécifique

w(ε, εp,α) = we(ε − εp) + wp(εp,α) =

1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) + wp(ε

p,α) (4.1)

oùC est le tenseur d’élasticité défini positif etwp(εp,α) une fonction convexe et diffé-

rentiable ;– une fonction de chargef(σ,A) convexe et différentiable, définissant un domaine d’élas-

ticité convexeC des forces thermodynamiques admissibles et donnant accès aux loiscomplémentaires. Elle est indépendante des variables d’état actuelles.

La structure peut être, à l’instant initialt0 = 0, dans un état initial non naturel, défini par deschamps de variables internes et de leurs forces thermodynamiques associées. Ces champsdoivent être compatibles avec l’équilibre, les liaisons etle comportement du matériau consti-tutif. Ainsi, le champ de contrainte est auto-équilibré, lechamp de déformation dérive d’unchamp de déplacement compatible avec les liaisons du système. La configuration initiale estprise comme référence. La configuration géométrique de cet état est considérée comme laconfiguration d’origine pour les déplacements. Un développement limité, au second ordreen déformation élastique, de l’énergie libre au voisinage de cet état sous les conditions dela transformation infinitésimale et de celles adoptées pourla linéarisation thermoélastique(section 2.3) conduit à une expression de l’énergie libre semblable à (4.1) avec un termesupplémentaire relatif aux contraintes initiales.

4.1.3 Rappel des résultats classiques

Deux résultats classiques que l’on trouvera da manière plusdétaillée dans les ouvragesdonnés en bas de page1, sont rappelés dans ce qui suit.

Cas de la plasticité parfaitePour un état initial d’équilibre et un trajet de chargement donnés, le problème d’évolutionquasi-statique sur un intervalle de temps[0, T ] d’une structure constituée d’un matériau élas-tique parfaitement plastique admet, si elle existe, une solution unique en contrainte. Unecondition nécessaire à cette existence est que l’intersection de l’ensemble des champs decontrainte statiquement admissibles et de l’ensemble des champs de contrainte plastique-ment admissibles soit non vide. La condition de charge sûre assure cette existence.L’unicité n’est assurée pour les déplacements que si les effets d’inertie sont pris en compte.

1B. Halphen et J. Salençon "Élastoplasticité", Presses de l’École nationale des ponts et chaussées, 1987.Q.S. Nguyen "Stabilité et mécanique non linéaire", Hermès,2000.P. Suquet "Rupture et plasticité", cours de l’École polytechnique, 2006.


Cas du matériau à écrouissage strictement positifPour un état initial d’équilibre et un trajet de chargement donnés, le problème d’évolutionquasi-statique sur un intervalle[0, T ] d’une structure élastoplastique à écrouissage stricte-ment positif (wα strictement convexe) admet une solution unique en déplacement, en va-riables internes et en contrainte.

4.2 Comportement asymptotique

On étudie la réponse (variables d’état, contraintes généralisées) de la structure soumise àun chargement variable lorsque le temps tend vers l’infini.

4.2.1 Résultats sur le comportement asymptotique

Les résultats d’existence et d’unicité rapportés sans démonstration ci-dessus sont essen-tiellement dus à B. Halphen (1978).

Pour une structure constituée d’un matériau élastique parfaitement plastique possédantun domaine d’élasticité convexe et borné dans l’espace des déviateurs des contraintes et sou-mise à un chargement cyclique,il existe une solution périodique du problème d’évolutionen contrainte. De plus, toute solution en contrainte tend vers une solution périodique.

On montre que pour les structures constituées d’un matériaustandard généralisé de classeC (matériau considéré à la section 4.1.2 et pour lequelwα(α) est une forme quadratiquedéfinie positive) il existe une solution périodique du problème d’évolution en contraintegénéralisée(σ,A) et en vitesse de variables internes(εp, α). Toute solution en contraintegénéralisée et en vitesse de variables internes tend vers une réponse périodique.Cette solution asymptotique dépend bien sûr de l’état initial. On montre alors que, quel quesoit l’état initial, toutes les solutions asymptotiques encontrainte généralisée diffèrent d’unchamp constant.Dans le cas particulier d’un matériau à écrouissage cinématique linéaire strictement posi-tif, on montre que les contraintes et les déformations tendent asymptotiquement vers unesolution périodique (Halphen 1977).

4.2.2 États asymptotiques d’une structure sous chargement cyclique

Le comportement asymptotique (lorsque le tempst tend vers l’infini), caractérisé par l’évo-lution de la déformation inélastique et de l’écrouissage, peut être une adaptation, une accom-modation ou un rochet.

4.2.3 L’adaptation

On dit qu’une structure soumise à un chargement variable s’adapte lorsque sa réponseasymptotique est élastique. La structure peut subir (ou non) des déformations plastiquespendant les premiers cycles. En tout point M, lorsque le temps t devient suffisamment grand,la déformation plastiqueεp(M, t) et les variables internesα(M, t) tendent vers des valeurs

4.2 Comportement asymptotique 185

fixes, respectivementεp∞(M) etα∞(M), soit :

limt→+∞

εp(M, t) = εp

∞(M) et limt→+∞

α(M, t) = α∞(M) . (4.2)

Une définition plus précise est : il y a adaptation sil’énergie dissipée totale reste bornéequand t tend vers l’infini ; en tout point la déformation permanente et les variables internestendent alors vers des valeurs fixes.Cette condition se traduit, en l’absence de discontinuité devitesse, par :

limτ→+∞

∫ τ

0

∫

Ω

D1dvdt = limτ→+∞

∫ τ

0

∫

Ω

(σ(M, t) : εp(M, t) + A(M, t) · α(M, t)

)dvdt < +∞

(4.3)Lorsqu’elle est réalisée, cette condition permet d’assurer l’existence de limites pour les

variables internesεp etα dans l’espace fonctionnel completL1(Ω) (la norme étant définie àpartir du produit contracté classique).

σ

ε

maxσ

σmin

εp

temps

FIG. 4.1 – Adaptation sous chargement cyclique

Ainsi, asymptotiquement la structure a un comportement élastique :– l’énergie dissipée sur un cycle est nulle

limτ→+∞

∫ τ+Tc

τ

D1dt = 0 ; (4.4)

– la solution réelle(σ(M, t), ξ(M, t)) se décompose en une partie purement élastique(σel(M, t), ξel(M, t)) variable dans le temps et une partie résiduelle(σr

∞(M), ξr

∞(M))fixe :

σ(M, t) = σel(M, t) + σr

∞(M) et ξ(M, t) = ξel(M, t) + ξr

∞(M) . (4.5)

Bien qu’asymptotiquement la structure ne dissipe plus d’énergie, elle pourrait présenterdes fissurations de fatigue à grand nombre de cycles (plusieurs centaines de milliers voireplusieurs millions, pour les matériaux métalliques).


4.2.4 L’accommodation

Une structure soumise à un chargement cyclique s’accommodelorsque les déformationsplastiques et les variables internes deviennent asymptotiquement péridioques. En tout pointM, pour t suffisamment grand, on a alors :

limτ→+∞

∫ τ+Tc

τ

εp(M, t)dt = 0 et limτ→+∞

∫ τ+Tc

τ

α(M, t)dt = 0 . (4.6)

La déformation plastique et les variables internes évoluent pendant le cycle, mais à la fin ducycle, elles retrouvent leurs valeurs initiales.

σ

ε

σmin

εp

temps

σmax

FIG. 4.2 – Accommodation sous chargement cyclique

La défaillance de la structure, essentiellement par fissuration, survient à un nombre decycles relativement faible. Dans un tel cas, la fatigue qui arrive, est appelée fatigue à faiblenombre de cycles ou fatigue oligocyclique. Comme l’énergie dissipée par cycle (ou la défor-mation plastique cumulée par cycle) tend vers une valeur constante, elle peut servir d’indi-cateur de la sévérité des dommages induits par le chargementcyclique.

4.2.5 Le rochet

Le rochet est un phénomène d’accumulation progressive de déformation plastique, cycleaprès cycle ; la ruine de la structure survient alors très vite soit par déformation excessive,soit par fissuration.

4.2.6 Quelques résultats pour des comportements simples

La réponse asymptotique d’une structure élastoplastique de type von Mises soumise à unchargement périodique dépend de la nature du comportement de son matériau constitutif.

– Dans le cas d’un comportement élastique parfaitement plastique, la structure peut s’adap-ter, s’accommoder ou présenter un rochet.

4.2 Comportement asymptotique 187

σ

ε

σmin

εp

temps

σmax

FIG. 4.3 – Rochet sous chargement cyclique

FIG. 4.4 – Comportements asymptotiques sous chargement thermique cyclique en différentspoints d’un collecteur d’échappement : illustration de l’adaptation, de l’accommodation etdu rochet (images PSA, thèse de F. Szmytka)

– Dans le cas d’un comportement élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire stric-tement positif, la structure s’adapte ou s’accommode.

– Dans le cas d’un comportement élastoplastique à écrouissage isotrope strictement po-


sitif, la structure s’adapte.

L’état asymptotique peut être atteint en un nombre fini ou infini de cycles.

4.3 Adaptation en parfaite plasticité

Nous rappelons que la théorie de l’adaptation permet de prévoir l’évolution vers un étatélastique, d’une structure anélastique soumise à un chargement variable (périodique dans lecas qui nous concerne). Elle n’exige ni une connaissance de l’état initial de la structure, nicelle précise du trajet de chargement (seulement de son domaine de variation). C’est là queréside son principal intérêt pour l’ingénieur confronté aux sollicitations réelles qu’il connaîtmal en général.

4.3.1 Théorème statique d’adaptation de Melan-Koiter

Il donne, pour une structure parfaitement plastique, une conditionsuffisanted’adaptation.Elle s’énonce comme suit :

S’il existe un champ fixe (indépendant du temps t) de contraintes auto-équilibréesρ∗(M), un nombre m> 1 et un tempst0 tels que, en tout point M :

∀t > t0, f(

m(

σel(M, t) + ρ∗(M)))

≤ 0 (4.7)

alors la structure s’adapte quel que soit son état initial.

Ce théorème a été énoncé, sans l’utilisation du coefficientm, par Melan en 1938 pour lesmilieux continus généraux. Auparavant, des travaux sur l’adaptation des structures consti-tuées de poutres ont été effectués par Bleich (1932) et par Melan (1936). Le coefficientm a été introduit par Koiter (1960) qui a remarqué que l’énergie dissipée totale pourraittendre vers l’infini alors même que les déformations plastiques demeurent bornées. Il estclair qu’une structure ne peut dissiper de l’énergie de manière infinie sans défaillance ousans modification significative.

Preuve du théorème

Elle s’établit en trois étapes :

1. on montre d’abord que l’énergie totale dissipée est bornée ;

2. cette propriété assure l’existence d’une limite pour la déformation plastiquelorsque le temps devient grand ;

3. enfin on en déduit que le champ de contrainte résiduelle tend aussi vers unelimite.

Étape 1On noteσ(t), σr(t), εp(t) les champs de contrainte, de contrainte résiduelle et de dé-formation plastique, solutions du problème d’évolution.σel(t) et εel(t) désignent les

4.3 Adaptation en parfaite plasticité 189

solutions purement élastiques en contrainte et en déformation.En utilisant la convexité de la fonction de charge on a, pour tout champ de contrainteσplastiquement admissible :

(σ(t) − σ(t)) : εp(t) ≥ 0 . (4.8)

Le champmσ⋆(t) = m(σel(t) + ρ∗), oùρ∗ est un champ d’autocontrainte vérifiant lacondition du théorème, est plastiquement admissible. Donc d’après (4.8), on a :

(

σ(t) − m(σel(t) + ρ∗))

: εp(t) ≥ 0

(1 − m)σ(t) : εp(t) + m(

σ(t) − σel(t) − ρ∗)

: εp(t) ≥ 0

(σ(t) − σ⋆(t)) : εp(t) ≥ m − 1

mσ(t) : εp(t) .

Ainsi, l’énergie totale dissipée jusqu’à l’instantτ vérifie :

m − 1

m

∫ τ

0

∫

Ωσ(t) : εp(t)dvdt ≤

∫ τ

0

∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : εp(t)dvdt . (4.9)

On va montrer que le membre de droite de cette inégalité a une valeur finie. Pour cela,on remarque que(σ(t)−σ⋆(t)) est un champ S.A.O. et que(ε(t)− εel(t)) est un champC.A.O. Donc, on a :

∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : (ε(t) − εel(t))dv = 0 .

Comme

ε(t) − εel(t) = εe(t) + εp(t) − εel(t) = εp(t) + C−1 : (σ(t) − σ⋆(t))

on obtient :∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : εp(t)dv = −

∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : C−1 : (σ(t) − σ⋆(t))dv

= −dI(t)

dt(4.10)

où I(t) est la fonction positive suivante :

I(t) =

∫

Ω

1

2(σ(t) − σ⋆(t)) : C−1 : (σ(t) − σ⋆(t))dv .

Les inégalités (4.9) et (4.10) conduisent alors à :

m − 1

m

∫ τ

0

∫

Ωσ(t) : εp(t)dvdt ≤ I(0) − I(τ) ≤ I(0) . (4.11)

Ceci montre que l’énergie dissipée totale est bornée.

Étape 2D’autre part, comme le domaine d’élasticitéC est borné dans l’espace des déviateursdes contraintes et contient strictement l’origine, on a :

σ(t) : εp(t) ≥ r ‖ εp(t) ‖ ,


où r est un réel strictement positif.En effet, en considérant une bouleB de rayonr non nul, centrée sur l’origine et entiè-rement contenue dans le domaine d’élasticitéC, on a :

σ(t) : εp(t) = maxσ : εp(t), σ ∈ C

≥ maxσ : εp(t), σ ∈ B = r ‖ εp(t) ‖ .

En utilisant l’inégalité (4.11), on obtient :∫ τ

0

∫

Ω‖ εp(t) ‖dvdt ≤ m

r(m − 1)I(0) .

On en déduit queεp(t) tend vers une limite (dans l’espace completL1(Ω)) lorsque letemps tend vers l’infini.

Étape 3Dans le cas où l’espace des contraintes est de dimension finie, ceci permet aussi dedéduire la convergence du champ de contrainte résiduelle vers une limite. Eneffet, cechamp est relié aux déformations plastiques par l’opérateur linéaire définipar l’équation(3.19). Dans le cas de dimension infinie, la convergence des contraintes résiduelles a étémontrée pour un domaine d’élasticité symétrique par rapport à l’origine ou borné.

Remarque 1.Ce théorème s’énonce aussi sous la forme suivante : s’il existe un champ fixede déformations plastiquesεp⋆(M), un nombrem > 1 et un tempst0 tels que, en tout pointM :

∀t > t0, f(m(σel(M, t) + B(εp⋆)(M))

)≤ 0 (4.12)

la structure s’adapte quel que soit son état initial.

Remarque 2.Dans le cas considéré ici des chargements cycliques,σel(M, t) étant pério-dique de périodeTc, on ne considérera que les tempst compris dans l’intervalle[0, Tc].

Coefficient de sécurité statique à l’adaptation

On définit lecoefficient de sécurité statique à l’adaptationλs comme le maximum detous les coefficientsλ satisfaisant la condition du théorème de Melan-Koiter :

λs = sup

λ tels qu’il existeρ∗(M) S.A.O., t0 ≥ 0,

∀M,∀t > t0, f(

λ(σel(M, t) + ρ∗(M)))

≤ 0


λs = sup λ pour lesquels il existeεp⋆ tel que f(λ(σel(M, t) + B(εp⋆)(M))

)≤ 0 .

Ainsi, pour toutλ < λs on a :

f(λ(σel(M, t) + B(εp⋆)(M))

)≤ 0 .

4.3 Adaptation en parfaite plasticité 191

Donc pour toutλ1 tel queλ1 < λ < λs on a :

f

(λ

λ1

(λ1σ

el(M, t) + B(λ1εp⋆)(M)

))

≤ 0

Commeλ

λ1

> 1, on voit que la structure s’adapte pour le chargement initial multiplié par

le coefficientλ1 (le trajet des contraintes purement élastiques étant dans ce casλ1σel). Au-

trement dit, la structure s’adapte pour toute histoire de chargement obtenue en multipliantl’histoire initiale de chargement parλ < λs. Ceci montre l’intérêt du coefficient de sécuritéstatique à l’adaptation

4.3.2 Théorème cinématique d’adaptation (Koiter)

D’une manière similaire à ce qui a été établi en analyse limite, il existe une approcheduale de celle statique de l’adaptation. C’est l’approche cinématique qui fait intervenir lesvitesses de déformation et les puissances dissipée et "élastique". Elle utilise les vitesses dedéformation plastique admissiblesd(t) sur un intervalle de temps[0, T ] définies par :

∫ T

0

d(t)dt C.A.O. pour le problème

et la puissance dissipée plastiquement donnée par :

D(d) = maxσ∗P.A.

σ∗ : d(t) .

Le champ de vitessed(t) est donc tel que, intégré sur l’intervalle[0, T ], il donne un champ dedéformation compatible, dérivant d’un champ de déplacement cinématiquement admissible.

Théorème cinématique d’adaptation (Koiter)

S’il existe un nombrek > 1 tel que pour toute histoire de vitesse de déformationplastique admissible sur l’intervalle[0, +∞[, on a :

k

∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt ≤∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt (4.13)

alors la structure s’adapte.

Dans le cas considéré ici des chargements cycliques,σel(M, t) est périodique de périodeTc.


On suppose que le matériau est dans un état initial naturel avec des déformationsplastiques et des contraintes initiales nulles. On supposeaussi que la conditiondu théorème cinématique d’adaptation est vérifiée. On noteεp(t) le champ devitesse de déformation plastique réel. Il est associé à un champ de vitesse de


contrainte résiduelleσr(t). Le champ(εp(t) + C−1 : σr(t)) est un champ de

vitesse de déformation C.A.O. On a donc :∫

Ω

σr(t) : (εp(t) + C−1 : σr(t))dv = 0

soit ∫

Ω

(σ(t) − σel(t)) : (εp(t) + C−1 : σr(t))dv = 0

et∫

Ω

σel(t) : εp(t)dv =

∫

Ω

(

σ(t) : εp(t) + σr(t) : C−1σr(t)

)

dv . (4.14)

On construit, pourτ et T deux valeurs positives, le champ de vitesse de défor-mation admissible suivant :

d(t) = εp(t) pour t ∈ [0, τ [

d(t) =1

T − τC

−1 : σr(τ) pour t ∈ [τ, T [

d(t) = 0 pour t ∈ [T, +∞[

(4.15)

L’inégalité (4.13) donne :

k

∫ τ

0

∫

Ω

σel(t) : εp(t) + k

∫ T

τ

∫

Ω

1

T − τσel(t) : C−1 : σr(τ) ≤

∫ τ

0

∫

Ω

D(εp(t))dvdt +

∫ T

τ

∫

Ω

1

T − τD(C−1 : σr(τ))dvdt (4.16)

soit en utilisant (4.14)

(k − 1)

∫ τ

0

∫

Ω

D(εp(t))dvdt ≤ −k

∫ τ

0

∫

Ω

σr(t) : C−1 : σr(t)dvdt −

k

(∫ T

τ

∫

Ω

1

T − τσel(t) : C−1 : σr(τ)dvdt

)

+

∫

Ω

D(C−1 : σr(τ))dv (4.17)

et finalement

(k − 1)

∫ τ

0

∫

Ω

D(εp(t))dvdt ≤ −k

∫

Ω

1

2σr(τ) : C−1 : σr(τ)dv −

k

(∫ T

τ

∫

Ω

1

T − τσel(t)dvdt

)

: C−1 : σr(τ) +

∫

Ω

D(C−1 : σr(τ))dv . (4.18)

Le second membre de cette inégalité est une forme quadratique enσr(τ) dontle coefficient du terme du second degré est négatif, il est donc borné supérieu-rement. On en déduit que le travail plastique est borné ; ce qui signifie qu’il y aadaptation.

4.4 Adaptation dans le cas standard généralisé 193

On définit lecoefficient de sécurité cinématique à l’adaptationλc par :

λc = inf

∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt (4.19)

sur tous les champs de vitesses de déformation plastique admissibles sur[0, +∞[ vérifiant :∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt = 1 . (4.20)

Si λc ≥ 1, alors :∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt ≤ inf

∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt (4.21)

pour toutes les vitesses de déformation plastique admissiblesd(M, t).

4.3.3 Lien entre coefficients de sécurité

Lorsque le domaine d’élasticité est borné dans l’espace descontraintes ou des déviateursdes contraintes, on montre que les coefficients de sécurité statique et cinématique sont égaux :

λs = λc (4.22)

Ceci conduit à un seul coefficient de sécurité à l’adaptation.S’il est strictement supérieur àun, la structure s’adapte ; s’il est strictement inférieur àun, elle ne s’adapte pas. S’il est égalà un, on ne peut rien conclure.

4.4 Adaptation dans le cas standard généralisé

On rappelle qu’il y a adaptation si en tout point, l’énergie dissipée reste bornée quand ttend vers l’infini, ce qui se traduit, en l’absence de discontinuité de vitesse, par :

limτ→∞

∫ τ

0

∫

V

D1dvdt = limτ→∞

∫ τ

0

∫

V

(σ(M, t) : εp(M, t) + A(M, t) · α(M, t)

)dvdt < ∞ .

(4.23)dans le cas des matériaux standards généralisés considérésici. Le théorème statique d’adap-tation est directement calqué sur celui donné dans le cas élastique parfaitement plastique. Lethéorème cinématique n’est pas démontré.

4.4.1 Théorème statique d’adaptation

S’il existe un champ fixe (indépendant du temps t) de contraintes généraliséesauto-équilibrées(ρ∗(M),A⋆(M)), un nombre m> 1 et un tempst0 tels que, entout pointM :

∀t > t0, f(

m(σel(M, t) + ρ∗(M)),mA⋆(M)

)

≤ 0 (4.24)




Elle s’établit comme dans le cas parfaitement plastique selon les étapes suivantes :

1. on montre d’abord que l’énergie totale dissipée est bornée ;

2. cette propriété assure l’existence d’une limite pour lesvariables internes lorsque letemps devient grand.

Étape 1En utilisant la convexité de la fonction de charge on a, pour tout champ de contrainte(σ, A) plastiquement admissible :

(σ(t) − σ(t)) : εp(t) + (A(t) − A(t)) · α(M, t) ≥ 0 .

Le champm(σ⋆(t), A⋆) = (m(σel(t) + ρ∗), mA⋆), où (ρ∗, A⋆) est un champ d’auto-contrainte généralisée vérifiant la condition du théorème, est plastiquementadmissible.Donc on a :

(

σ(t) − m(σel(t) + ρ∗))

: εp(t) + (A(t) − mA⋆) · α(t) ≥ 0

soit

(1 − m)(σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t)) +

m(

σ(t) − σel(t) − ρ∗)

: εp(t) + m(A(t) − A⋆) · α(t) ≥ 0

ce qui conduit à

(σ(t) − σ⋆(t)) : εp(t) + (A(t) − A⋆) · α(t) ≥ m − 1

m

(σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t)

).

Ainsi, l’énergie totale dissipée jusqu’à l’instantτ vérifie :

∫ τ

0

∫

Ω(σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t))dvdt ≤

m

m − 1

∫ τ

0

∫

Ω

((σ(t) − σ⋆(t)) : εp(t) + (A(t) − A

⋆) · α(t))dvdt (4.25)

On va montrer que le membre de droite de cette inégalité a une valeur finie. Pour cela,on remarque que(σ(t)−σ⋆(t)) est un champ S.A.O, et que(ε(t)− εel(t)) est un champC.A.O. Donc, on a :

∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : (ε(t) − εel(t))dv =

∫

Ω(σ(t) − σ⋆(t)) : (ε(t) − ε⋆(t))dv = 0 (4.26)

avecε⋆(t) = εel(t) + εr, En utilisant les résultats (4.25) et (4.26) et l’expression del’énergie libre (4.1), on obtient

∫

Ω(σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t))dvdt ≤ − m

m − 1

dI(t)

dt


où I(t) est la fonction suivante :

I(t) =

∫

Ω

(

we(ε − ε⋆) + wα(α) − wα(α⋆) − dwα(α⋆)

dα· (α − α⋆)

)

dv .

I(t) est positive carwe est une forme quadratique définie positive etwα est convexe.

L’équation (4.25) conduit alors à :∫ τ

0

∫

Ω(σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t))dvdt ≤ m

m − 1I(0) . (4.27)

Ceci montre que l’énergie dissipée est bornée.

Étape 2D’autre part, comme le domaine d’élasticité contient strictement l’origine, on a :

σ(t) : εp(t) + A(t) · α(t) ≥ r(‖ εp(t) ‖ + ‖ α(t) ‖)

où r est un réel strictement positif. En utilisant l’inégalité (4.27), on obtient :∫ τ

0

∫

Ω(‖ (εp(t) ‖ + ‖ α(t) ‖)dvdt ≤ m

r(m − 1)I(0) .

On en déduit que(εp(t), α(t)) tend vers une limite (dans l’espace completL1(Ω))lorsque le temps tend vers l’infini.

Remarque 1.Ce théorème s’énonce aussi sous la forme suivante : s’il existe un champ fixede variables internes(εp⋆(M),α⋆(M)), un nombrem > 1 et un tempst0 tels que, en toutpointM :

∀t > t0, f

(

m(

σel(M, t) + B(εp⋆)(M))

, mdwα(α⋆(M))

dα

)

≤ 0 (4.28)


Remarque 2.Dans le cas considéré ici des chargements cycliques,σel(M, t) étant pério-dique de périodeTc, on ne considérera que les tempst compris dans l’intervalle[0, Tc].

4.4.2 Coefficients de sécurité à l’adaptation

On définit lecoefficient de sécurité statique à l’adaptationλs comme le maximum surtous les coefficientsλ satisfaisant la condition :

λs = supλ pour lesquels il existe(ρ∗(M),A⋆) S.A.O., tel que

∀M f(

λ(σel(M, t) + ρ∗(M), λA⋆)

)

≤ O .

Comme en plasticité parfaite, la structure s’adapte pour toute histoire de chargement ob-tenue en multipliant l’histoire initiale de chargement parλ < λs .


Dans le même esprit que pour le cas de la parfaite plasticité,on va définir lecoefficientde sécurité cinématique à l’adaptationλc. On définit d’abord les vitesses généralisées (devariables internes) admissibles(d(t), β(t)) sur un intervalle de temps[0, T ] par :

∫ T

0

d(t)dt C.A.O. pour le problème

et ∫ T

0

β(t)dt = 0 .

β est de même nature mathématique queα. La puissance dissipée plastiquement est donnéepar :

D(d, β) = max(σ∗,A⋆)P.A.

σ∗ : d(t) + A⋆.β(t) .

λc est alors défini par :

λc = inf

∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt (4.29)

sur tous les champs de vitesses généralisées admissibles sur [0, +∞[ vérifiant :

∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt = 1 . (4.30)

On a :λc ≤ λs

Pour les structures constituées d’un matériau standard généralisé de classe C, on montre(Halphen, 1978) que :

λc = λs .

4.4.3 Cas de structure à écrouissage cinématique linéaire

Le comportement élastoplastique de type von Mises à écrouissage cinématique linéaire,de variables d’état(ε, εp) est donné par :

ρw(ε, εp) =1

2(ε − εp) : C : (ε − εp) +

1

2εp : Hεp

et

f(σ,X) = ‖ σ − X ‖eq− σ0 =

√

3

2‖ dev(σ − X) ‖ −σ0

avec

σ = C : (ε − εp)

Aεp

= dev(σ − H : εp) = s − X .

Dans l’espace des déviateurs des contraintess, la condition

f =

√

3

2‖ s − Hεp ‖ −σ0 = 0


εpH

3 σ0

2

skl

sij

FIG. 4.5 – Domaine d’élasticité dans l’espace des déviateurs decontrainte

définit une hypersphère de centre variableHεp et de rayon constant√

23σ0.

Pour des structures constituées de matériau élastoplastique de type von Mises à écrouis-sage cinématique linéaire soumises à des sollicitationsTc-périodiques, on sait que la réponseasymptotique est adaptée ou accommodée (Halphen, 1977).

Le théorème d’adaptation s’énonce dans ce cas comme suit :

S’il existe un champ fixe (indépendant du temps t) de contraintes auto-équilibréesρ∗(M), des déformations plastiques fixesεp⋆, et un nombrem > 1 tels que, entout pointM :

∀t ∈ [0, Tc] ‖ m(σel(M, t) + ρ∗(M) − Hεp⋆(M)) ‖eq− σ0 ≤ O (4.31)


Théorème d’adaptation local

La condition (4.31) s’écrit aussi :

∀t ∈ [0, Tc] ‖ sel(M, t) − (Hεp⋆(M) − devρ∗(M)) ‖≤√

2

3

σ0

m(4.32)

avecsel = devσel

Alors que le champ de contrainteρ∗ est auto-équilibré, le champ de déformation plastique

εp⋆ n’est soumis à aucune condition. Il en est de même pour le champσ⋆(M) = (Hεp⋆(M)−ρ∗(M)). En notants⋆ son déviateur, la condition (4.32) s’écrit :

∀t ∈ [0, Tc] ‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖≤√

2

3

σ0

m(4.33)

Connaissantσ⋆, on peut toujours trouver un champ de déformation plastiqueεp⋆ et un champde contrainte auto-équilibréρ∗ = B(εp⋆) tels queσ⋆ = Hεp⋆ − ρ∗ = (HI − B)(εp⋆),

l’opérateur(HI − B) étant défini positif.


On obtient ainsi une nouvelle formulation du théorème statique d’adaptation dans le casdu matériau élastoplastique de von Mises à écrouissage cinématique linéaire :

s’il existe un champ fixe de contraintesσ⋆(M) tel que, en tout pointM :

∀t ∈ [0, Tc] ‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖≤√

2

3σ′

0 (4.34)

σ′0 étant une contrainte positive strictement inférieure àσ0, la structure s’adapte

quel que soit son état initial.

Si on définit la fluctuation élastique par :

F (M) = infσ

1

supt

‖ sel(M, t) − devσ1(M) ‖ (4.35)

la condition précédente est équivalente à

F (M) ≤√

2

3σ′

0 . (4.36)

Autrement dit, en un point M donné, on considère le tenseur fixe σ1, on recherche le maxi-

mum de la distance‖ sel(M, t)−devσ1(M) ‖ pour toutt > T . Ensuite on fait varierσ

1(M)

dans l’espace des contraintes pour minimiser ce maximum et obtenir le pointσ∗(M) réalisantla moindre distance maximale. On a alors :

F (M) = supt

‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖= infσ

1

supt

‖ sel(M, t) − devσ1(M) ‖ . (4.37)

Interprétation géométrique

La fluctuation élastiqueF (M) représente le rayon de la plus petite hypersphère circons-crite au trajet de déviateurs des contraintes purement élastiques. Le centre de celle-ci donnele déviateur du champ recherchéσ⋆. La condition d’adaptation se traduit par le fait que leplus grand des rayons des plus petites hypersphères circonscrites au trajet de déviateurs des

contraintes purement élastiques en tous les points est inférieur à√

23σ′

0. On obtient ainsi unecondition locale d’adaptation particulièrement facile à mettre en œuvre.

Coefficients de sécurité à l’adaptation

Le coefficient de sécurité statique à l’adaptationλs, pour les chargements périodiquesconsidérés est défini par :

λs = sup λ pour lesquels il existeσ⋆(M) tel que

∀t ∈ [0, Tc] ‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖≤√

2

3

σ0

λ


skl

sij

(t)els

s*

F(M)

FIG. 4.6 – Plus petite hypersphère circonscrite au trajet des déviateurs de contrainte purementélastiques

On poseFmax = supΩ F (M) ; Fmax est le maximum de la fluctuation élastique en tous lespoints de la structure.Le coefficient de sécurité statique à l’adaptationλs est alors donné par :

λs =

√

2

3

σ0

Fmax.

Ainsi, si λ < λs on a :

λ ‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖< λs ‖ sel(M, t) − s⋆(M) ‖<√

2

3σ0 .

Donc pour toutλ1 tel queλ1 < λ < λs on a :

λ

λ1

‖ λ1(sel(M, t) − s⋆(M)) ‖<

√

2

3σ0

Commeλ

λ1

> 1, on voit que la structure s’adapte si le chargement est multiplié par le coef-

ficientλ1 (le trajet des contraintes purement élastiques étant dans ce casλ1σel).

Pour les structures constituées d’un matériau élastoplastique de von Mises à écrouissagecinématique linéaire, on montre (Halphen, 1978) que :

λc = λs


4.5 Application : dimensionnement d’une cuve de réacteur

Un grand nombre de composants de centrale nucléaire comme les cuves, les échangeursde vapeurs ou les vannes sont des structures soumises à des pressions internes et des tempé-ratures variables. Ces structures peuvent subir au cours de leur vie, des charges importantescomme par exemple les "épreuves hydrauliques" pouvant induire des déformations anélas-tiques. En dehors même des conditions sévères d’accident, l’exploitant doit s’assurer du bonfonctionnement de ces installations sous les sollicitations nominales de service. L’objectif decette application est d’illustrer les différentes réponses à long terme de ces structures en vuede leur dimensionnement2.

FIG. 4.7 – Cuve sphérique sous pression internePi et gradient de température dans l’épais-seurτ(r, t)

Le composant est considéré comme une sphère creuse dont les rayons intérieur et exté-rieur sontri = 246cm etre = 254cm.Son matériau constitutif est thermoélastique parfaitement plastique, homogène, isotrope,avec les caractéristiques suivantes : module de YoungE = 2 105 MPa , coefficient de Pois-sonν = 0, 3, limite d’élasticité en traction simpleσ0 = 280MPa, coefficient de dilatationthermiqueα = 1, 63 10−5K−1.En fonctionnement normal, le composant contient de l’eau pressurisée à une pression de15, 5 MPa et à une température de3200C. À l’état naturel, considéré comme référence, latempérature est uniforme et égale àTref. L’écart de température par rapport à la températurede référence est :

τ(x, t) = T (x, t) − Tref .

La cuve est soumise au processus de chargement suivant :

1. d’abord une pression internePi est progressivement appliquée jusqu’à une valeurmaximale, et est maintenue constante ;

2. ensuite un écart de température linéaire dans l’épaisseur et sinusoïdal dans le temps,donné par :

τ(r, t) = −τ0

e(r − rm)| sin Ωt| avec rm =

ri + re

2et e = re − ri , (4.38)

2Il s’agit d’un contrôle classant de l’Ecole Polytechnique,composé par Jean-Michel DELBECQ et utiliséici avec son autorisation.

4.5 Application : dimensionnement d’une cuve de réacteur 201

est appliqué.

Les forces de masse et la pression externe sont supposées négligeables.

On déterminera les limitations à imposer à la pression interne, puis les domaines d’adap-tation, de rochet et d’accommodation sous le chargement composé de la pression interneconstante et de la variation cyclique de température.

Solution élastique générale

La solution du problème élastique peut être obtenue par la méthode des déplacements.Le problème étant à symétrie sphérique, le champ de déplacement dans le repère sphérique(O, er, eθ, eϕ) oùO est le centre de la sphère, est de la forme :

u(r, t) = u(r, t)er . (4.39)

On en déduit les tenseurs des déformations et des contraintes en tout point :

ε(r, t) =1

2(∇u + t∇u)

=du

dr(r, t)er ⊗ er +

u(r, t)

r(eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ)

,

σ(r, t) = λ trε1 + 2µε − kτ1

=

(

(λ + 2µ)du

dr+ 2λ

u

r− kτ

)

er ⊗ er

+

(

λdu

dr+ 2(λ + µ)

u

r− kτ

)

(eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ) .

(4.40)

L’équation d’équilibre(div σ = 0) s’écrit :

dσrr

dr+

2σrr − σθθ − σϕϕ

r=

dσrr

dr+ 2

σrr − σθθ

r= 0 ,

soit,d2u

dr2+

2

r

du

dr− 2

u

r2=

ddr

(1

r2

ddr

(r2u)

)

= −kτ0

e| sin Ωt| ,

avec k =k

λ + 2µ.

Par intégration de cette équation, on obtient la forme suivante du déplacementu(r, t) :

u(r, t) = −kτ0

4e| sin Ωt|r2 + A(t)r +

B(t)

r2,

celle du tenseur des déformationsε(r, t) :

ε(r, t) =

(

A(t) − 2B(t)

r3− k

τ0

2e| sin Ωt|r

)

er ⊗ er

+

(

A(t) +B(t)

r3− k

τ0

4e| sin Ωt|r

)

(eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ) ,(4.41)


et celle du tenseur des contraintesσ(r, t) :

σ(r, t) =(

(3λ + 2µ)A(t) − 4µB(t)r3 + µk τ0

e| sin Ωt|r − k τ0

e| sin Ωt|rm

)

er ⊗ er

+(

(3λ + 2µ)A(t) + 2µB(t)r3 + 3

2µk τ0


e| sin Ωt|rm

)

eθ ⊗ eθ

+(

(3λ + 2µ)A(t) + 2µB(t)r3 + 3

2µk τ0


e| sin Ωt|rm

)

eϕ ⊗ eϕ .

(4.42)

Les conditions aux limites (σrr(ri) = −Pi et σrr(re) = 0) permettent de déterminerA(t) etB(t) :

A(t) =1

3λ + 2µ

Pir3i

r3e − r3

i

− µ

λ + 2µ

r4e − r4

i

(r3e − r3

i )eατ0| sin Ωt| + ατ0| sin Ωt|rm

e

B(t) =

(Pi

4µ− k

τ0

4| sin Ωt|

)r3i r

3e

r3e − r3

i

,

(4.43)

et d’obtenir les expressions suivantes des composantes nonnulles (σrr et σθθ = σϕϕ) dutenseurσ(r, t) :

σrr(r, t) =Pir

3i (r3−r3

e)r3(r3

e−r3i )

+kµτ0| sin Ωt|(r−re)(r−ri)(re−ri)(r2(r2

e+reri+r2i )+rreri(re+ri)+r2

er2i )

er3(λ+2µ)(r3e−r3

i )

σθθ(r, t) =Pir

3i (2r3+r3

e)2r3(r3

e−r3i )

− kµτ0| sin Ωt|(re−ri)(−3r4(r2e+reri+r2

i )+2r3(r3e+r2

eri+rer2i +r3

i )+r3er3

i )2er3(λ+2µ)(r3

e−r3i )

.

Cas de la sphère d’épaisseur mince

On se place dans le cas où l’épaisseur de la sphère est mincee ≪ rm. On pose :

δ =r − rm

eet η =

rm

e. (4.44)

On obtient les expressions simplifiées suivantes :

A(t) ≃ Pi

3(3λ + 2µ)η− Pi

2(3λ + 2µ)+

kτ0

3η| sin Ωt|

B(t)

r3≃

(Pi

4µ− k

τ0

4| sin Ωt|

)

(1

3η− δ)

avecδ =r − rm

eet η =

rm

e, puis3 :

3L’expression deε(r, t) à l’ordre un, obtenue par le code Mathematica (voir CONSTANTINESCUA., KOR-SUNSKY A. Elasticity with Mathematica : an introduction to continuummechanics and linear elasticity, Cam-bridge University Press, 2007) est

ε(r, t) =(

− Piλ2ηµ(3λ+2µ) + Piδ

2µη− Pi

2(3λ+2µ) −ατ0| sin Ωt|rm(3λ+2µ)

e(λ+2µ) δ + (5λ+6µ)Piη

12µ(3λ+2µ) −5Piδη12µ

)

er ⊗ er

+(

Pi(λ+2µ)4ηµ(3λ+2µ) − Piδ

4µη− Pi

2(3λ+2µ) −(5λ−2µ)Piη

24µ(3λ+2µ) + 5Piδη24µ

)

(eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ)


εrr(r, t) ≃ − Piλ

2ηµ(3λ + 2µ)− ατ0| sin Ωt|(3λ + 2µ)

(λ + 2µ)

δ

η

εθθ ≃ Pi(λ + 2µ)

4ηµ(3λ + 2µ)

σrr ≃ −Pi

2≪ Pi

2η

σθθ(r, t) ≃ Pi

2η+ ατ0| sin Ωt|2µ(3λ + 2µ)

λ + 2µ

δ

η

=Pi

2η+

ατ0| sin Ωt|E(r − rm)

(1 − ν)e.

(4.45)

Finalement, en ne gardant que les termes de l’ordre derm/e et les termes enτ0, on obtient :

εrr(t) ≃ − Piλ

2ηµ(3λ + 2µ)− kτ0| sin Ωt|rm

e= −Piν

ηE− ατ0| sin Ωt|rm(1 + ν)

e(1 − ν)

εθθ(t) = εϕϕ(t) ≃ Pi(λ + 2µ)

4ηµ(3λ + 2µ)=

Pi(1 − ν)

2ηE

σrr(r, t) ≃ 0

σθθ(r, t) = σϕϕ(r, t) ≃ Pi

2η+

ατ0| sin Ωt|E(r − rm)

(1 − ν)e.

(4.46)On pose :

E =E

1 − ν, x = r − rm , σP =

Pi

2ηet σT =

ατ0E

2(1 − ν). (4.47)

On a alors :

σθθ(x, t) = σP + σT | sin Ωt|2xe

Eεθθ(t) = σP

FIG. 4.8 – Solution élastique dans le cas d’une cuve mince : contraintes circonférenciellesdans l’épaisseur

En fonctionnement normal, avec de l’eau pressurisée à une pression de15, 5 MPa, on ob-tient : σP = 141MPa, soit σP

σ0= 0, 5.

Pour une valeur deτ0 de 100 degrés, on obtient :σT = 233MPa, soit σT

σ0= 0, 83.


4.5.1 Pression interne maximale admissible

Par la théorie du calcul à la rupture, ou plus précisément de l’analyse limite4, on déterminela pression maximale admissibleP×

i pour la sphère sous pression interne. Le domaine derésistance du matériau est le convexe d’élasticité défini par la fonction

f(σ) =

√

3

2devσ : devσ − σ0 .

Tout d’abord, un minorant de la pression maximale admissible est obtenu en utilisant l’ap-proche statique par l’intérieur. On considère comme précédemment les champs de contraintecontinus à symétrie sphérique (avecσθθ = σϕϕ), uniquement fonctions du rayonr. Ils sontstatiquement admissibles (S.A.) s’ils vérifient l’équation d’équilibre(div σ = 0), qui se ré-duit à :

dσrr

dr+ 2

σrr − σθθ

r= 0 ,

et les conditions aux limites :

σrr(ri) = −Pi et σrr(re) = 0 .

Ils sont plastiquement admissibles (P.A.), s’ils vérifientf(σ) ≤ 0 qui se réduit à :

|σrr − σθθ| ≤ σ0 .

La condition pour que le chargement soit supportable est qu’il soit équilibré par un champde contrainte S.A. et P.A. En intégrant l’équation d’équilibre, on obtient :

∫ re

ri

dσrr

drdr = −2

∫ re

ri

σrr − σθθ

rdr .

Comme ∫ re

ri

dσrr

drdr = Pi

en utilisant la condition d’admissibilité plastique, on déduit que :

Pi ≤ 2

∫ re

ri

|σrr − σθθ|r

dr ≤ 2

∫ re

ri

σ0

rdr = 2σ0ln

re

ri

,

et donc que : P×i ≥ 2σ0ln

re

ri

.

Un majorant de la pression maximale admissible est obtenu enutilisant l’approche ci-nématique par l’extérieur. On considère des champs de vitesse virtuels cinématiquement etplastiquement admissibles (pertinents) particuliers, radiaux à divergence nulle,

u(r) =u

r2er avec u une constante réelle positive,

dont la vitesse de déformation associée est :

d =u

r3(−2er ⊗ er + (eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ)) .

4Cf. Jean Salençon, "De l’Élastoplasticité au Calcul à la rupture", Les Éditions de l’École Polytechnique.


La puissance virtuelle de la pression interne dans ce champ de déplacement est :Pe = 4πuPi.La puissancePp dissipée plastiquement dans ce champ de vitesse de déformation, qui est lapuissance résistante maximale, s’exprime par :

Pp =

∫

cuve2σ0

u

rsin θdrdθdφ = 8πσ0uln

re

ri

.

Or "tout chargement dont la puissance dans un champ de vitesse virtuel cinématiquementet plastiquement admissible est supérieure à la puissance dissipée n’est pas supporté par le

système". Autrement dit, s’il existeu positif, pour lequelPe > Pp , soit Pi > 2σ0lnre

ri

, le

chargement n’est pas supporté par le système. On en déduit que :

P×i ≤ 2σ0ln

re

ri

.

La pression maximale supportable est donc :P×i = 2σ0ln

re

ri

.

Dans le cas d’une cuve à épaisseur mince, on a l’approximation suivantelnre

ri

≃ e

rm

qui

conduit à P×i = 2σ0

e

rm

.

On a donc : σ+P = σ0.

4.5.2 Analyse qualitative

La pression interne génère dans le cas de la sphère de faible épaisseur des contraintesσθθ

de traction.Le champ d’écart températureτ est positif en peau interne (qui est la plus chaude), nulle surla surface moyenne de la cuve et négatif en peau externe. Son effet est donc de mettre la peauinterne en extension circonférentielle (resp. la peau externe en contraction circonférentielle)mais comme cette extension (resp. cette contraction) n’estpas libre mais contrariée par latendance à la contraction de la peau externe (resp. à la dilatation de la peau interne), la peauinterne va être en compression selonθ (σθθ(ri) ≤ 0) alors que la peau externe sera en traction(σθθ(re) ≥ 0).

4.5.3 Solution élastoplastique

Le matériau est élastique parfaitement plastique de type von Mises. Sa relation de compor-tement est :

ε = εe + εp

σ(r, t) = λ trεe 1 + 2µεe − kτ1 ou ε =1 + ν

Eσ − ν

Etrσ 1 + εp + ατ1

f(σ) =

√

3

2devσ : devσ − σ0 ≤ 0

εp = λ∂f

∂σ=

3

2λ

devσ

σ0

avec λ ≥ 0, f(σ) ≤ 0, λf(σ) = 0 .

(4.48)


En partant de la forme simplifiée des contraintes donnée par l’équation (4.46), le déviateurdes contraintes s’exprime par :

devσ =σθθ

3(−2er ⊗ er + eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ) .

Il conduit à l’expression suivante du critère de plasticité: f(σ) = |σθθ| − σ0 .La sphère ne plastifie donc pas si

∀t,∀r ∈ [ri, re],

∣∣∣∣σP + σT | sin Ωt|2(r − rm)

e

∣∣∣∣< σ0 .

CommeσP etσT sont positifs, la condition précédente s’écrit :σP + σT < σ0 .

Lorsque cette condition est violée, la composanteεpθθ est définie par :

εpθθ =

1

2λ

σθθ

σ0

=1

2λsign(σθθ) avec λ ≥ 0, |σθθ| ≤ σ0, λ(|σθθ| − σ0) = 0 .

Deux cas peuvent être distingués lorsquef = 0 :– f = |σθθ| − σ0 = 0 et f = sign(σθθ)σθθ = 0 : cas de charge plastique ;– f = |σθθ| − σ0 = 0 et f = sign(σθθ)σθθ < 0 : cas de décharge élastique.

De la loi de comportement (4.48), on tire la relation :

Eεθθ(t) = σθθ(r, t) + Eεpθθ(r, t) + Eατ(r, t) . (4.49)

Par intégration de cette égalité entreri et re, on obtient :

Eεθθ(t) =Pirm

2e+

E

e

∫ re

ri

εpθθ(r, t)dr

= σP +E

e

∫ re

ri

εpθθ(r, t)dr .

4.5.4 Premier demi-cycle :t ∈ [0, π/2Ω]

On considère l’évolution quasistatique de la structure sous le processus de chargementdéfini précédemment, à partir de l’instant initialt0 = 0, jusqu’à l’instantt = π/2Ω.La première phase est élastique et dure jusqu’à ce que :σP + σT | sin Ωt| = σ0 .La plastification démarre alors en peau externe et se poursuit vers l’intérieur de la sphère.On a une zone plastique en charge, comprise entre les rayonsrp et re, et une zone élastiqueentre les rayonsri et rp, avecri < rp ≤ re .

La relation de comportement (4.49) s’écrit :

Eεθθ = σθθ(r, t) + Eατ(r, t) dans la zone élastique,Eεθθ = σθθ(r, t) + Eεp

θθ + Eατ(r, t) dans la zone plastique.

À la frontière entre ces zones (r = rp), on a : σθθ = σ0, d’où :

σθθ = σP + σT | sin Ωt|2(rp − rm)

e= σ0


etEεθθ = σ0 + Eατ(rp, t) . (4.50)

Dans la zone plastique, on a :σθθ = σ0. Commeεθθ ne dépend pas der, on obtient :

Eατ(rp, t) = Eεpθθ + Eατ(r, t) , puis εp

θθ = α(τ(rp, t) − τ(r, t)) .

L’équation d’équilibre global s’écrit :

Eεθθ = σP +E

e

∫ re

ri

εpθθ(r, t)dr

= σP +E

e

∫ re

rp

α(τ(rp, t) − τ(r, t))dr

= σP +Eατ0

e2| sin Ωt|

∫ re

rp

(r − rp)dr

= σP +σT

e2| sin Ωt|(e

2− xp)

2

avec : xp = rp − rm . En utilisant l’expression (4.50), on obtient l’équation ci-dessouspermettant la détermination dexp :

σ0 −2σT

exp| sin Ωt| = σP + σT | sin Ωt|

(1

4+

x2p

e2− xp

e

)

ou encore :x2

p

e2+

xp

e+

1

4+

σP − σ0

σT | sin Ωt| = 0 .

Sa seule solution admissible est :

xp = e

(√σ0 − σP

σT | sin Ωt| −1

2

)

.

En résumé, lors de la phase élastoplastique du premier demi-cycle où la plastificationsurvient uniquement du côté externe de la sphère, on obtientles résultats ci-dessous :

– la zone plastique est comprise entre les rayonsrp et re

avec rp = xp + rm et xp = e(√

σ0−σP

σT | sin Ωt| − 12

)

;

– la déformation circonférentielle vaut :

εθθ =σ0

E− 2σT

eExp| sin Ωt| ;

– la contrainte circonférentielle dans la zone élastique est :

σθθ = E(εθθ − ατ(r, t))

= σ0 −2σT

exp| sin Ωt| + σT | sin Ωt|2(r − rm)

e;

– la contrainte circonférentielle dans la zone plastique est : σθθ = σ0 .

La sphère ne plastifie pas en peau interne si :|σ0 − 2σT

exp − σT | < σ0,

ce qui conduit à la condition :σT (σ0 − σP ) < σ0

2 . (4.51)

Le cas où la plastification survient en peau interne au cours de ce demi-cycle ne sera pastraité ici.


FIG. 4.9 – Premier demi-cycle : une solution élastoplastique

4.5.5 Deuxième demi-cycle :t ∈ [π/2Ω, π/Ω]

On part de la solution déterminée à la section précédente, obtenue dans l’hypothèsed’une plastification uniquement du côté externe. En supposant que la décharge est élas-tique, l’incrément de solution élastique induit par l’incrément de variation de température∆τ(r, t) = − τ0

e(r − rm)(| sin Ωt| − 1) est :

∆σθθ(r, t) = σT (| sin Ωt| − 1)2(r − rm)

e.

La solution de la décharge élastique est donc la somme de la solution à tmax = π/2Ω et dela solution ci-dessus, soit :

– dans la zone élastique (ri ≤ r < rp) :

σθθ(r, t) = σ0−2σT

exp| sin Ωtmax|+σT | sin Ωtmax|

2(r − rm)

e+σT (| sin Ωt|−1)

2(r − rm)

e;

– dans la zone plastique (rp ≤ r ≤ re) :

σθθ(r, t) = σ0 + σT (| sin Ωt| − 1)2(r − rm)

e.

Dans la zone plastique, la contrainte atteint son minimum enr = re et vaut alors :

σθθ(rp, t = π) = σ0 − σT .

Dans la zone plastique, la contrainte atteint son maximum enr = rp et vaut alors :

σθθ(rp, t = π) = σ0 + σT − 2σT

√σ0 − σP

σT

.

Il n’y a pas de plastification à la décharge si :

σ0 + σT − 2σT

√σ0 − σP

σT

< σ0 et − σ0 < σ0 − σT

soit,σP

σ0

+σT

4σ0

< 1 etσT

σ0

< 2 . (4.52)


FIG. 4.10 – Deuxième demi-cycle : cas d’une décharge élastique

4.5.6 Troisième demi-cycle :t ∈ [π/Ω, 3π/2Ω]

La solution à la fin du premier cycle (décharge) est donnée par:– pourri ≤ r ≤ rp : σθθ(r, t) = σ0 − 2σT

exp ;

– pourrp ≤ r ≤ re : σθθ(r, t) = σ0 − σT2(r − rm)

e.

Lors d’une nouvelle charge (troisième demi-cycle), la solution dans l’hypothèse d’élasticitéest :

– pourri ≤ r ≤ rp : σθθ(r, t) = σ0 − 2σT

exp + σT | sin Ωt|2(r − rm)

e;

– pourrp ≤ r ≤ re : σθθ(r, t) = σ0 − σT2(r − rm)

e+ σT | sin Ωt|2(r − rm)

e.

À la fin de cette nouvelle charge, la solution dans l’hypothèse d’élasticité est :– pourri ≤ r ≤ rp :

σθθ(r, t) = σ0 −2σT

exp + σT

2(r − rm)

e= σ0 −

2σT

e(xp −

(r − rm)

e) ;

– pourrp ≤ r ≤ re :σθθ(r, t) = σ0 .

On retrouve le même état qu’à la fin du premier demi-cycle, et la structure reste élastiquepour toute la suite du chargement. Il y a donc adaptation de lasphère.

Ainsi, nous avons mis en évidence un domaine où le comportement du matériau estadapté. Ce domaine est limité par les courbes d’équation :

σP

σ0

+σT

σ0

≥ 1 ,σP

σ0

+σT

4σ0

< 1 ,σT

σ0

(

1 − σP

σ0

)

< 1 etσT

σ0

< 2 . (4.53)

4.5.7 Comportement asymptotique de type rochet

Dans cette partie, on va mettre en évidence, un domaine dans lequel la cuve présente uncomportement asymptotique de type rochet. On part de l’étatprécédemment obtenu à la findu premier demi-cycle (Ωt = π

2), dans lequel la plastification a eu lieu uniquement du côté


externe de la cuve. Cet état final comprend la déformation et lacontrainte suivantes :

• εθθ =σ0

E− 2σT

eExp ,

•

pour rp ≤ r ≤ re : σθθ(r) = σ0

pour ri ≤ r < rp : σθθ(r) = σ0 −2σT

e(xp − x) ,

avec : x = r − rm et xp = e

(√σ0 − σP

σT

− 1

2

)

.

La solution purement élastique lors de ce demi-cycle est :

pour rp ≤ r ≤ re : σelθθ(r, t) = σ0 + σT (| sin Ωt| − 1)

2x

e

pour ri ≤ r < rp : σelθθ(r, t) = σ0 −

2σT

e(xp − x| sin Ωt|) .

Des compressions se rajoutent donc à la paroi externe et des tractions à la paroi interne.

Dans le cas oùrp ≥ 0, la décharge va être initialement élastique.Dans le cas oùrp < 0, soit σP + σT /4 > σ0, on a :

maxr

σelθθ(r, t) = σel

θθ(rp, t) = σ0 +2σT

e|xp|(1 − | sin Ωt|)

La décharge sera forcément élastoplastique plastique. Seul ce cas est étudié dans ce qui suit.

On considère alors le scénario suivant : une plastification qui débute dans une zone autourde rp qui se poursuit de part et d’autre, jusqu’à atteindre en premier le rayon intérieur. Lazone plastique va s’étendre entre les deux rayons relatifsxb et xh, avecxb < xh, xh ≥ 0 etxb < xp. La plastification va se poursuivre de part et d’autre, jusqu’à xb = ri − rm. Il n’ya pas de plastification en compression. Une fois un point plastifié, il reste en charge duranttoute la suite du demi-cycle.La loi de comportement est :

FIG. 4.11 – Deuxième demi-cycle : cas d’une décharge élastoplastique

Eεθθ(t) = σθθ(r, t) + Eεpθθ(r, t) + Eατ(r, t) , (4.54)

alors que la relation globale de comportement s’écrit :

Eεθθ(t) = σP +E

e

∫ re

ri

εpθθ(r, t)dr . (4.55)


Comme la contrainteσP est constante, l’incrément de déformation à partir de la fin du pre-mier demi-cycle, calculé en utilisant la relation (4.55), est donné par :

∆εθθ(t) =1

e

∫ re

ri

∆εpθθ(r, t)dr . (4.56)

En utilisant la relation de comportement locale (4.54), il s’écrit :

E∆εθθ(t) = ∆σθθ(r, t) + E∆εpθθ(r, t) − σT (| sin Ωt| − 1)

2x

e. (4.57)

On a donc :

pour rh < r ≤ re : E∆εθθ(t) = σθθ − σ0 − σT (| sin Ωt| − 1)2x

e

pour rp ≤ r ≤ rh : E∆εθθ(t) = E∆εpθθ − σT (| sin Ωt| − 1)

2x

e; σθθ = σ0

pour rb ≤ r < rp : E∆εθθ(t) = E∆εpθθ + σT

2xp

e− σT | sin Ωt|2x

e; σθθ = σ0

pour ri ≤ r ≤ rb : E∆εθθ(t) = σθθ − σ0 + σT2xp


e

La deuxième phase de l’évolution considérée est telle que toute zone comprise entrerh <etre est élastique, alors que la zone située entreri etrh est plastifiée. On a donc les relationssuivantes :

pour rh < r ≤ re : E∆εθθ(t) = σθθ − σ0 − σT (| sin Ωt| − 1)2x

e

pour rp ≤ r ≤ rh : E∆εθθ(t) = E∆εpθθ − σT (| sin Ωt| − 1)

2x

e, σθθ = σ0

pour ri ≤ r < rp : E∆εθθ(t) = E∆εpθθ + σT

2xp


e, σθθ = σ0

L’état en fin de ce demi-cycle (t = t1 = πΩ

) est :

pour rh < r ≤ re : E∆εθθ(t1) = σθθ − σ0 + σT2x

e

pour rp ≤ r ≤ rh : E∆εθθ(t1) = E∆εpθθ + σT

2x

e, σθθ = σ0

pour ri ≤ r < rp : E∆εθθ(t1) = E∆εpθθ + σT

2xp

e, σθθ = σ0

On obtient alors la valeur de∆εθθ(t1) en utilisant la continuité enrh où ∆εpθθ = 0 et σθθ =

σ0 : E∆εθθ(t1) = σT2xh

e, d’où

pour rh < r ≤ re : σθθ(r, t1) = σ0 + σT2(rh − r)

e, ∆εp

θθ = 0

pour rp ≤ r ≤ rh : σθθ = σ0 , E∆εpθθ = σT

2(rh − r)

e

pour ri ≤ r ≤ rp : σθθ = σ0 , E∆εpθθ = σT

2(rh − rp)

e(4.58)

La relation (4.56) permet de calculer le rayonrh. Compte tenu des expressions (4.58)précédentes, elle s’écrit :

∆εθθ(t) =1

e

∫ rh

ri

∆εpθθ(r, t)dr soit r2

h − 2rerh − r2p + 2rirp + 2erm = 0 , (4.59)


ou encore :x2

h − exh − x2p − exp = 0 . (4.60)

La solution est doncxh = −xp, soitrh = 2rm − xp.

Cet état obtenu est symétrique par rapport àr = rm de celui obtenu à la fin du premierdemi-cycle. Étant donné que l’écart de température imposé lors du troisième demi-cycle estle symétrique par rapport àr = rm de celui du premier demi-cycle, on trouvera à la fin dutroisième demi-cycle le même état qu’à la fin du premier. Il s’agit donc d’un rochet plastique.

FIG. 4.12 – Domaines de comportements asymptotiques de la cuve,en fonction des deuxparamètres de chargementσP etσT


4.6 Récapitulatif

• Comportement asymptotiqued’une structure sous chargement périodique :– adaptation : comportement asymptotique élastique ;– accommodation : comportement asymptotique élastoplastique cyclique ;– rochet : pas de stabilisation enεp, dérive plastique.

• Théorèmes d’adaptation en parfaite plasticité Théorème statique d’adaptation de Melan-Koiters’il existe un champ fixe (indépendant du temps t) de contraintes auto-équilibréesρ∗(M), un nombre m> 1 et un tempst0 tels que, en tout point M :

∀t > t0, f(

m(σel(M, t) + ρ∗(M)))

≤ 0


Théorème cinématique d’adaptation (Koiter)S’il existe un nombrek > 1 tel que pour toute histoire de vitesse de déformation plas-tique admissible sur l’intervalle[0, +∞], on a :

k

∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt ≤∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt

alors la structure s’adapte.

• Coefficients de sécurité à l’adaptation en parfaite plasticité Coefficient de sécurité statique à l’adaptationλs

λs = sup λ pour lesquels il existeρ∗(M) S.A.O., ∀M, f(

λ(σel(M, t) + ρ∗(M)))

≤ 0

La structure s’adapte pour toute histoire de chargement obtenue en multipliant l’histoireinitiale de chargement parλ < λs.

Coefficient de sécurité cinématique à l’adaptationλc :

λc = inf

∫ +∞

0

∫

Ω

D(d(M, t))dvdt

sur tous les vitesses de déformation plastique admissiblessur [0, +∞] vérifiant :

∫ +∞

0

∫

Ω

σel(M, t) : d(M, t)dvdt = 1

On a : λs = λc


ExercicesExercice 4.1 (Treillis élastoplastique sous chargement cyclique)

45o

45o

45o

ze

Pex

A

B

C

D

O

e ez y

1

4

l

Q2

3

FIG. 4.13 – Treillis

On considère un treillis spatial représenté sur la figure ci-dessus. Il est composé de quatrepoutres de même section S et de même module de Young E. Elles sont élastiques parfaite-ment plastiques avec la même limiteNy en traction qu’en compression. La poutre3 est delongueurl, alors que les poutres1, 2 et 4 sont de longueursl

√2. Les poutres sont parfaite-

ment articulées en A, B, C, D, et O. Les points A, B, C, et D sont fixes.Les poutres1, 2 et3sont dans le planz = 0, et les poutres3 et4 dans le plany = 0.On exerce en O une forcePex + Qez.

1. Statique.

(a) Déterminer les champs d’efforts normaux (Ni, i = 1, 4) statiquement admis-sibles.

(b) Donner les champs d’efforts normaux (Ni, i = 1, 4) statiquement admissibles àzéro ainsi que le degré d’hyperstaticité du système.

(c) Sans calcul, donner l’état (compression ou traction) dechaque poutre lorsqu’onchauffe uniquement la poutre3. Justifier votre réponse.

2. Déterminer la relation de compatibilité que doivent vérifier les allongementsδi, i =1, 4.

3. Calculer les contraintes solutions du problème purement élastique.

4. Déterminer le domaine initial d’élasticité dans l’espace (P,Q).

5. On considère le premier chargement suivant :P nul, Q croit de 0 àQmax. Déterminerl’évolution des contraintes ainsi que la charge limite.

6. On considère le second chargement suivant :Q nul, P croit de 0 àPmax puis décroitjusqu’à zero. On suppose quePmax dépasse la limite élastique du treillis.

(a) Calculer l’évolution des contraintes pourP variant de 0 àPmax. Donner la chargelimite Pl de la structure.

(b) On supposePmax < Pl, on effectue une décharge jusqu’à zero. Déterminer lescontraintes et les déplacements résiduels de la structure.


7. On considère le chargement périodique suivant :Q est maintenu constant àQ0 > 0tout le temps,P évoluant de 0 àPmax > 0 périodiquement. Déterminer dans l’espace(Pmax, Q0) le domaine d’adaptation du treillis.


1. Statique.Le système considéré est un treillis c’est-à-dire un assemblage de poutresarticulées entre elleset chargées exclusivement à leurs extrémités. Elles ne sont donc soumises qu’à des effortsnormaux.

(a) Champs d’efforts normaux (Ni, i = 1, 4) statiquement admissibles : on écrit l’équilibredu noeud O, soit :

N11√2(ex + ey) + N2

1√2(ex − ey) + N3ex + N4

1√2(ex + ez) = Pex + Qez

D’oùN1 = N2 ; N3 = P − Q −

√2N1 ; N4 =

√2Q (4.61)

(b) Champs d’efforts normaux (Ni, i = 1, 4) statiquement admissibles à zéro :

N1 = N2 ; N3 = −√

2N1 ; N4 = 0 (4.62)

Le degré d’hyperstaticité du système est de un.

(c) Lorsqu’on chauffe uniquement la poutre3, celle-ci aura tendance à s’allonger. Cet allon-gement n’est pas libre, et est contrarié par les autres poutres qui ne sont pas chauffées.Elle est donc en compression. Comme le champ de contrainte établi dans les poutres estun champ en équilibre avec des efforts nuls (S.A.O.), les poutres 1 et 2 sont en tractionalors que la poutre 4 est sans contrainte.

2. En écrivant le principe des puissances virtuelles pour les champs d’efforts normaux S.A.O etles champs d’allongement cinématiquement admissibles à zéro (C.A.O.), on obtient :

∀Ni, i = 1, 4 S.A.O et ∀δi, i = 1, 4 C.A.O N1δ1 + N2δ2 + N3δ3 + N4δ4 = 0

commeN1 = N2, N3 = −√

2N1 et N4 = 0, on a :

δ1 + δ2 =√

2δ3 (4.63)

3. Solution du problème purement élastique.La loi de comportement élastique pour une poutrei s’écrit : δi = Nili

ES .En utilisant cette loi et la relation de compatibilité (4.63), on obtient pour les efforts normauxsolutions du problème élastique :

N1 + N2 = N3

Cette équation supplémentaire, combinée aux équations de la statique (4.61) conduit à la solu-tion :

N1 = N2 =P − Q

2 +√

2, N3 =

2(P − Q)

2 +√

2, N4 =

√2Q

4. Domaine initial d’élasticité dans l’espace (P, Q).Il est obtenu en écrivant :|Ni| < Ny, i = 1, 4 soit,

−2+√

22 Ny < P − Q < 2+

√2

2 Ny

−Ny√2

< Q <Ny√

2


5. On considère le premier chargement suivant :P nul, Q croit de 0 àQmax. La solution estélastique pourQ variant de0 à Ny√

2. On a alors :

N1 = N2 =−Q

2 +√

2, N3 =

−2Q

2 +√

2, N4 =

√2Q

À Q =Ny√

2, N4 plastifie.

PourQ >Ny√

2et N4 = Ny, les équations de statique n’admettent pas de solution. Plus préci-

sément, les équations de la statique (4.61) et les conditions|Ni| ≤ Ny, i = 1, 4 n’admettentpas de solution pourQ > Ql =

Ny√2. Ql est la charge limite du treillis.

6. On considère le second chargement suivant :Q nul, P croit de 0 àPmax puis décroit jusqu’àzero. On suppose quePmax dépasse la limite élastique du treillis.

(a) La solution est élastique pourP < 2+√

22 Ny :

N1 = N2 =P

2 +√

2, N3 =

2P

2 +√

2, N4 = 0

PourP > 2+√

22 Ny

N3 a plastifié en traction, doncN3 = Ny

les équations de la statique (4.61) donnent :N1 = N2 = P−N3√2

=P−Ny√

2

La charge limite est atteinte pourN1 = Ny, soitPl = (1 +√

2)Ny.

(b) On supposePmax < Pl, on effectue une décharge jusqu’à zero. On note∆P = −Pmax.La solution élastique due au chargement∆P est :

∆N1 = ∆N2 =∆P

2 +√

2, ∆N3 =

2∆P

2 +√

2, ∆N4 = 0

∆δ1 = ∆δ2 =∆P l

(√

2 + 1)ES, ∆δ3 =

2∆P l

(2 +√

2)ES, ∆δ4 = 0

Les efforts normaux pourP = Pmax > 2+√

22 Ny sont :

N1max = N2max =1√2(Pmax − Ny) , N3 = Ny , N4max = 0

δ1max = δ2max =l

ES(Pmax − Ny) , δ3max =

√2δ1 , δ4max = 0

L’état résiduel(Nir, δir, i = 1, 4) est donné par :

Nir = Nimax + ∆Ni et δir = δimax + ∆δi

soit :

N1r = N2r = (√

2 − 1)Pmax − Ny√2

, N3r = −√

2N1r , N4r = 0

δ1r = δ2r =l

ES((2−

√2)Pmax−Ny) , δ3r =

l

ES((2

√2−2)Pmax−

√2Ny) , δ4r = 0

On vérifie que les efforts normaux résiduels sont plastiquement admissibles.


7. On considère le chargement périodique suivant :Q est maintenu constant àQ0 > 0 tout letemps,P évoluant de 0 àPmax > 0 périodiquement. Pour déterminer dans l’espace (Pmax, Q0)le domaine d’adaptation du treillis, on utilise le théorème de Melan-Koiter qui s’écrit dans cecontexte :

s’il existe des efforts normauxN⋆i , i = 1, 4 S.A.O. indépendants du temps t et un

nombre m> 1 tels que :

∀t, ∀i = 1, 4 |m(N eli (t) + N⋆

i )| ≤ Ny (4.64)


Cette condition peut être écrite, dans ce cas, en prenantm = 1 et en utilisant des inégalitésstrictes à la place des inégalités larges. Elle devient :

∀t, ∀i = 1, 4 |N eli (t) + N⋆

i | < Ny (4.65)

soit−Ny < min

tN el

i (t) + N⋆i ≤ N el

i (t) + N⋆i ≤ max

tN el

i (t) + N⋆i < Ny

ou encore−Ny − min

tN el

i (t) < N⋆i < −max

tN el

i (t) + Ny

Ainsi, la condition d’adaptation (4.65) revient à trouver des effortsN⋆i , i = 1, 4 S.A.O. tels

que :∀t, ∀i = 1, 4 − Ny − min

tN el

i (t) < N⋆i < −max

tN el

i (t) + Ny (4.66)

Or on a :

N el1 (t) = N el

2 (t) =P (t) − Q0

2 +√

2, N el

3 (t) =2(P (t) − Q0)

2 +√

2, N el

4 (t) =√

2Q0

d’où

N el1max = N el

2max =Pmax − Q0

2 +√

2, N el

3max =2(Pmax − Q0)

2 +√

2, N el

4max =√

2Q0

et

N el1min = N el

2min =−Q0

2 +√

2, N el

3min =−2Q0

2 +√

2, N el

4min =√

2Q0

Les effortsN⋆i , i = 1, 4 S.A.O. sont tels que :

N⋆1 = N⋆

2 = N⋆ , N⋆3 = −

√2N⋆ , et , N⋆

4 = 0

Les inégalités (4.66 s’écrivent alors :

−Ny + Q0

2+√

2< N⋆ < −Pmax−Q0

2+√

2+ Ny

−Ny + 2Q0

2+√

2< −

√2N⋆ < −2(Pmax−Q0)

2+√

2+ Ny

−Ny −√

2Q0 < 0 < −√

2Q0 + Ny


Q0

Ny

Pmax(2+ 2)Ny

y(1+ 2)N

/ 2

FIG. 4.14 – Domaine d’adaptation du treillis

Ainsi, il s’agit de trouverN⋆ tel que :

−Ny + Q0

2+√

2< N⋆ < −Pmax−Q0

2+√

2+ Ny

−Ny√2

+√

2(Pmax−Q0)

2+√

2< N⋆ < −

√2Q0

2+√

2+

Ny√2

√2Q0 < Ny

ceci est réalisé pour :

Pmax < (2 +√

2)Ny

Pmax − Q0 < (1 +√

2)Ny

Q0 <Ny√

2

Chapitre 5

Introduction à la fatigue des structures

"Ou bien quelque part . . .,les principes de la ruine attendaient, sournois, à l’affut."

Umberto Eco,Le pendule de Foucault.


• Les définitions des différents types de fatigue (à grand et à faible nombre de cycles).

• Qu’est-ce qu’une courbe de Wöhler.

• Les définitions des amplitudes et valeurs moyennes des contraintes.

• Les critères de fatigue à grand nombre de cycles (Crossland, Dang Van).

• La loi de Manson-Coffin.

5.1 Introduction

La maîtrise par l’ingénieur des problèmes de dimensionnement exige la connaissance etla compréhension de tous les modes de défaillance des structures mécaniques. La sureté et latenue de ces dernières peuvent être compromises par :(i) des instabilités apparaissant mêmeen régime élastique (problème de flambement, par exemple) ;(ii) des déformations exces-sives (dans tous les régimes) ;(iii) des contraintes excessives ;(iv) des endommagements etdes fissurations suivis de rupture. Ces différents phénomènes peuvent apparaître sous solli-citations statiques, quasistatiques ou dynamiques.

En réalité, les structures mécaniques sont toujours soumises à des chargements thermo-mécaniques variables, déterministes ou aléatoires. Par exemple, les rails des chemins de fersubissent les charges roulantes des véhicules, leurs fluctuations, les variations de températureentre le jour et la nuit, l’été et l’hiver. Les éléments des centrales nucléaires sont soumis à unnombre de cycles "marche-arrêt" relativement faible, alorsque certaines sollicitations de ser-vice peuvent présenter d’importantes fluctuations et être considérées comme à relativement

220 Chapitre 5 . Introduction à la fatigue des structures

grand nombre de cycles. Ainsi, dans ces centrales, en dehorsmême des machines tournantesaux millions de rotations et vibrations, les tuyauteries connaissent dans les zones de mé-lange entre les fluides chauds et froids des sollicitations thermiques aléatoires, hautementvariables. Les avions, en plus des cycles "atterrissage-décollage", subissent des turbulences,des fluctuations d’efforts dus au vent, tout comme les différents ouvrages d’art en plus deleurs charges de service.

L’expérience courante montre qu’une structure mécanique soumise à des sollicitationscycliques ou plus généralement variables au cours du temps,peut rompre après un certainnombre de cycles, parfois très grand, (dans certains cas, alors même que les contraintes in-duites n’ont jamais dépassé la limite élastique conventionnelle, et qu’il n’y a pas eu de signeextérieur de dégradations) : il s’agit alors derupture par fatigue. Ainsi, la fatigue mécaniquedésignedes détériorations des propriétés mécaniques qui apparaissent dans les matériauxsoumis à des contraintes ou des déformations variables, dégradations conduisant le plussouvent à la fissuration ou à la rupture.

Différentes terminologies sont utilisées pour désigner lafatigue apparaissant sous diversesconditions de sollicitation. Ainsi, on parle defatigue de contactlorsque les dégradationssont générées par les contacts entre solides ; c’est typiquement le cas des écaillages et desfissurations induits par leurs contacts mobiles et répétés entre le rail et la roue, ou dans lesroulements à billes. Lefretting-fatigueest quant à lui, un phénomène de fissuration de fa-tigue associé aux contacts présentent de faibles débattements comme ceux entre un aube etun rotor ou entre les fils constituant les torons des cables. Àtempérature élevée, c’est plutôtla fatigue-fluageou la fatigue thermomécaniquequi risquent de se manifester ; un charge-ment mécanique variable dans un environnement corrosif estsusceptible de conduire à de lafatigue-corrosion.

On a aussi coutume de considérer deux phénomènes distincts de fatigue :– l’ amorçage de fissurequi correspond à l’apparition d’une fissure macroscopique dans

une structure nominalement saine ;– la propagation d’une fissureexistante sous chargement variable.

Dans cette partie, on ne s’intéressera qu’à la problématique de l’amorçage de fissure dansune structure sans défaut macroscopique soumise à un chargement cyclique. On commencerapar l’illustrer à partir d’une expérience simple de traction répétée. Puis on verra sur un brefhistorique comment ce problème est apparu. L’étude des courbes de Wöhler permettra dedéfinir les différents types de fatigue : fatigue à grand nombre de cycles et fatigue à faiblenombre de cycles. Enfin, quelques critères de dimensionnement de structures en fatigue àgrand et à faible nombre de cycles seront formulés.

5.2 Une première expérience de la fatigue

On s’intéresse à un essai de traction simple sur une éprouvette métallique de sectionS etde longueur utileL (FIG. 5.1).

5.2 Une première expérience de la fatigue 221

Essai de traction simpleCette éprouvette est soumise à un effort axialF (t) variant suffisamment lentement avec letemps. Le comportement observé dans le diagramme contrainte (σ = F/S) - déformation(ǫ = ∆L/L), est d’abord linéaire et réversible tant que le rapportF/S ne dépasse pas unecertaine valeur notéeσy : il s’agit du comportement élastique linéaire ;σy définit la limited’élasticité en traction simple. Lorsqu’on continue à charger au-delà deσy, on observe unecroissance de la contrainteσ en fonctionǫ, puis une décroissance de celle-ci précédant larupture de l’éprouvette ; la contrainte à la rupture est appelée contrainte ultime et notéeσu

(figure 5.1).

F(t)

F(t)

L

σ=F/S

σy

σu

ε = ∆L/L

t

F(t)

(a)

rupture

σ=F/S

σy

ε = ∆L/L

F(t)σmax

rupture

(b)

t

σ=F/S

σy

ε = ∆L/L

F(t)

σmaxrupture

(C)

t

FIG. 5.1 – Essais de traction simple (a), de traction cyclique élastique (b) et de tractioncyclique accommodée (c)

Essai de traction répétéeL’éprouvette précédente est, cette fois-ci, soumise à un essai de traction répétée dans lequella forceF varie de manière cyclique entre les valeurs0 et Fmax, Fmax étant strictement in-férieure àσu (FIG. 5.1). On constate que l’éprouvette casse au bout d’un certain nombre decycles d’application de la force. Plus précisément :


– qu’elle casse au bout d’un nombre relativement faible (de quelques unités à quelquesdizaines de milliers) de cycles d’application de la force, lorsque son comportementglobale est élastoplastique, plus généralement hystérétique : c’est le phénomène de lafatigue à faible nombre de cycles (ou fatigue oligocyclique). ;

– qu’elle peut même casser pourFmax < σy alors même qu’elle reste macroscopique-ment élastique et qu’il n’y a pas de modifications structurales observées : c’est le phé-nomène de la fatigue à grand nombre de cycles (ou fatigue polycyclique).

5.3 Un bref historique de la fatigue

5.3.1 Apparition de la fatigue des métaux

Le problème de la fatigue des métaux1 commença à attirer l’attention des ingénieurs dansla première moitié du dix-neuvième siècle avec l’avènementde la civilisation industrielleet les constructions de machines comportant des pièces métalliques soumises à des charge-ments répétés (machines tournantes). Le point de départ spectaculaire des études sur ce phé-nomène fut probablement l’accident du train Versailles-Paris qui fit plus d’une cinquantainede victimes le 8 Mai 1842. On mit longtemps avant d’élucider les raisons de la rupture endeux endroits de l’essieu avant de la locomotive, rupture qui fut la cause de cette catastrophe.

Pour étudier ce phénomène, Wöhler (1860) entreprit pour le compte de l’industrie ferroviaireallemande des essais systématiques deflexion rotativesur des essieux. Ils lui permirent :

– d’une part d’établir des courbes appeléescourbes de Wöhler ou courbes S-N, courbesdonnant le nombre N de cycles à la rupture (en abscisse) en fonction de la contraintemaximale appliquée S (en ordonnée),

– d’autre part de créer le concept delimite d’endurancequi est la valeur asymptotiquede S lorsque N devient très grand. C’est la limite en dessous delaquelle il n’y aura"jamais" de fatigue : on parle alors d’endurance illimitéeindexEndurance !illimitée.

Nous reviendrons en détail sur les courbes S-N dans la suite.

5.3.2 Essais et critères empiriques

Les essais de Wöhler avaient été effectués avec des sollicitations unidimensionnellesà valeur moyenne nulle. Les études expérimentales sur l’influence de la valeur moyennede la contrainte furent menées notamment par Gerber (1874) et par Goodman (1899) etHaigh (1915). Des lois empiriques furent proposées notamment par Basquin (1910), Gough(1925) et Pollard. Parallèlement, des études sur les micro-mécanismes de la fatigue étaientconduites.

Ainsi, jusqu’aux années 1940, on a surtout effectué des essais uniaxiaux ou biaxiauxsimples sur éprouvettes non entaillées, des essais sur structures réelles, et des recherchesfondamentales pour découvrir les mécanismes entrant en jeudans la fatigue des métaux. Les

1Le premier à utiliser le terme fatigue dans le cas des métaux fut probablement J.V. Poncelet en 1839 dansson ouvrage intitulé "Mécanique industrielle" dont voici un extrait : "En effet, toute variation de vitesse ensuppose une autre dans les efforts qui sollicitent la machine, et ceux-ci, de nuls qu’ils étaient, peuvent devenirtrès grands, et vice-versa, et agir tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre. L’altération, la fatigue que les piècesen éprouvent ..." Mais déjà vers 1829, Albert, un ingénieur des mines allemand, avait effectué des essais defatigue publiés en 1937.

5.4 Approche empirique de la fatigue 223

ruptures catastrophiques2 par fatigue dans les domaines spatial, aéronautique, ferroviaire,etc, qui ont jalonné ce siècle, montrent que si l’on a énormément progressé dans la com-préhension et la modélisation de ce phénomène, l’on est encore loin d’avoir complètementrésolu le problème.

5.3.3 Problématique du dimensionnement des structures à la fatigue

Le problème de la fatigue est d’une grande complexité. Celle-ci est liée, d’une part àla multiaxialité de sollicitations, (la question est alors de savoir comment à partir des es-sais simples réalisés en laboratoire proposer des critèresgénéraux valables pour tout typede chargement ?), d’autre part au fait qu’en adoptant un point de vue purement macrosco-pique on aboutit à un paradoxe dans le cas des grands nombres de cycles (la question étaitpourquoi alors même que les contraintes sont à l’intérieur du domaine élastique, la piècefinit par rompre ?). Une autre source de complication vient du fait que dans unestructureréelle, les chargements ne se réduisent pas simplement à descycles ; la plupart du temps, ils’agit de spectres de chargement complexe (par un exemple unavion traversant une zone deturbulence).

Ingénieurs et métallurgistes essaient de répondre à ces questions grâce en partie à laconnaissance des mécanismes microscopiques entrant en jeu. Actuellement, différents cri-tères multiaxiaux de fatigue sont disponibles. Ils sont, dans leur presque totalité, empiriques.La démarche que nous adoptons consiste d’abord à montrer surquelles bases ils ont étéproposés et à expliciter quelques-uns de ces critères.

5.4 Approche empirique de la fatigue

5.4.1 Courbes de Wöhler (1860)

C’est Wöhler (1860) qui mit au point les premières expériencesde caractérisation de la ré-sistance à la fatigue. Ce sont des essais deflexion rotativequi reproduisent le fonctionnementd’un essieu (FIG./home/habibou/lin/Latex/Mecenl/Poly/Livre

5.2).Les éprouvettes les plus utilisées actuellement sont toriques ou cylindriques simples. Elles

sont soumises à des sollicitations à amplitude de chargement constante, autour d’une va-leur moyenne fixée. Celles-ci peuvent être des tractions-compressions, des flexions ou destorsions cycliques. On trace alors dans un diagramme, l’amplitude de contrainteσa (demi-différence de la contrainte maximale et de la contrainte minimale) en fonction du nombre decycles à la "rupture"Nf (ou de son logarithme), pour une contrainte moyenne donnée.Lacourbe ainsi obtenue présente généralement une asymptote lorsqueNf devient très grand. Lavaleur asymptotique de l’amplitude de contrainte, notéeσe est appeléelimite d’endurance(FIG. 5.3). C’est donc le seuil en dessous duquel aucune fissure macroscopique de fatigue

2Un grand nombre d’accidents dans tous les domaines est attribué à la fatigue. Parmi les plus récents, onpeut citer : l’accident de d’ICE, train allemand à grande vitesse, survenu le 3 juin 1998 à Eschede, qui fit 101morts ; celui du Boieng 737 d’Aloha Airlines, le 28 avril 1988; le chavirage en mer du Nord de la plateformeAlexander Kielland, qui causa la mort de 123 personnes le 27 mars 1980 ; la série de crashs des avions COMETdans les années 1953-1954, etc.


Ω

P/2 P/2

FIG. 5.2 – Principe de l’essai de flexion rotative

n’apparait quel que soit le nombre de cycles du chargement3. Pour les aciers, cette limited’endurance vaut entre 35% et 50% de la limite de rupture. La figure 5.3 montre un exemplede courbe de Wöhler. On constate qu’il y a une dispersion sur les résultats expérimentauxautour d’une courbe moyenne. Les causes de celle-ci sont liées à des facteurs tels que l’en-vironnement extérieur, les hétérogénéités microstructurales, les variations des sollicitations,etc. En admettant une loi de probabilité normale en log N pourla distribution statistique dunombre de cycles à la rupture, on peut comme Weibull, évaluerla probabilité de survie de lapièce pour des charges données. Sur les courbes de Wöhler, lorsque la probabilité de rupturen’est pas précisée, elle est alors de 50%.Pour relier l’amplitude de contrainteσa au nombre de cycles à la ruptureNf , Basquin (1910)a proposé la loi suivante :

σa − σe = σ′

f .(2Nf )b (5.1)

σ′

f et b étant deux coefficients.

Remarques :– on peut noter l’influence de l’état de surface des matériaux;– on rappelle enfin l’importance de la contrainte moyenne surces essais.

5.4.2 Définition des différents régimes de la fatigue

On s’intéresse au comportement asymptotique (ou "stabilisé") du matériau dans les essaisde fatigue ayant servi à l’établissement de la courbe de Wöhler (FIG. 5.3). Il nous servira àdéfinir les différents régimes de fatigue.

1. Lorsque le comportement asymptotique est élastoplastique comme dans le cas d’uneaccommodation ou d’un rochet, on parlera de "fatigue à faible nombre de cycles"ou de "fatigue oligocyclique" (FIG. 5.4). C’est typiquement le type de fatigue quiapparaît lorsqu’on casse un fil métallique (un trombone, parexemple) par pliages suc-cessifs. Le nombre de cycles à la rupture pour les matériaux métalliques peut varier dequelques unités à quelques dizaines, voire quelques centaines de milliers.

2. Lorsque le comportement asymptotique est élastique comme dans le cas d’une adapta-tion ou d’une élasticité pure, on parlera de "fatigue à grand nombre de cycles" (FIG.

3En pratique, il s’agit d’un nombre de cycles supérieur à celui que peuvent subir en service les structuresconcernées. Pour les pièces en aciers,Nf peut aller jusqu’à107 cycles.

5.5 Fatigue à grand nombre de cycles : endurance illimitée 225

amplitude dechargement

limited’endurance

probabilité de rupture à 50%



nombre de cycles à la rupture Log(N)

résultat d’un essai

σe

σa

FIG. 5.3 – Courbe de Wöhler

5.4). Ce régime peut lui-même, dans un très grand nombre de cas, être subdivisé endeux sous-domaines :

(a) un domaine d’endurance illimitée, dans lequel le matériau ne fatiguera "ja-mais" ;

(b) un domaine d’endurance limitéedans lequel la sollicitation conduit à une fis-suration par fatigue. Le nombre de cycles à la rupture pour les matériaux métal-liques est typiquement au-delà de la centaine de milliers.

Tous les nombres de cycles donnés ci-dessus le sont à titre indicatif et peuvent fortementvariés d’un matériau à l’autre.

Dans ce qui suit, nous allons donner les modèles de fatigue etde durée de vie relatifs auxdifférents domaines de fatigue précédemment définis.

L’endurance illimitée est caractérisée au moyen de critères de limite d’endurance qui sontdes généralisations aux chargements multiaxiaux, de la notion uniaxiale de limite d’endu-rance. Nous n’étudierons explicitement que quelques critères parmi des plus utilisés et lesdizaines disponibles dans la littérature.

Ensuite, dans le domaine de l’endurance limitée, la durée devie est définie au moyend’une loi reliant une contrainte équivalente de fatigue au nombre de cycles à l’amorçage defissure.

Enfin, la durée de vie dans le régime de la fatigue oligocyclique est définie par une relationqui la lie à une énergie dissipée ou une amplitude de déformation plastique.

5.5 Fatigue à grand nombre de cycles : endurance illimitée

Comme nous l’avions précédemment défini, la fatigue à grand nombre de cycles est cellesurvenant dans le domaine de comportement asymptotique élastique. Dans cette section, onva s’intéresser à l’endurance illimitée en définissant des critères permettant de la caractériser


FIG. 5.4 – Différents domaines de fatigue

dans le cas général d’un chargement périodique. Ceci sera fait de manière progressive, enpartant du cas uniaxial.

Un critère de fatigue à grand nombre de cycles, de type endurance illimitée répond à laquestion de savoir si la structure aura ou non une durée de vie/home/habibou/lin/Latex/Mecenl/Poly/Li

"infinie" ; il ne donne pas le nombre de cycles en cas de fissuration par fatigue. Il s’agitd’une généralisation de la notion de limite d’endurance mise en évidence sur des essaisuniaxiaux.

5.5.1 Influence de la contrainte moyenne Gerber (1874), Goodman (1899)

Dans les essais unidimensionnels à moyenne nulle mentionnés dans la section précédente,le critère d’endurance illimitée, donné en terme d’amplitude de contrainte, est tout simple-ment :

σa < σe .

En fait, la contrainte moyenneσm a une grande influence sur la limite d’endurance, ouplus précisement sur l’amplitude de contrainte admissibleσa. Cette dernière baisse quandla contrainte moyenne augmente. Pour analyser et quantifiercette influence, Gerber (1874),Goodman (1899) et Soderberg (1939) ont effectué des essais uniaxiaux, dans lesquels l’étatde contrainte en tout point est de la forme :

σ = (σm + σa sin t) e1 ⊗ e1 . (5.2)

On définit le rapportR par :

R =σmin

σmax

,

avecσmin = σm − σa et σmax = σm + σa .


La limite d’endurance obtenue pour les essais effectués avec un rapportR est notéeσR.Par exemple, pour l’essai de traction-compression alternée,σmin = −σmax doncR = −1, lalimite d’endurance est notéeσ−1.

On représente alors sur un diagramme(σm, σa), l’évolution de ces deux grandeurs à la li-mite d’endurance. Pour rendre compte de cette relation, Gerber proposa une loi (parabole deGerber, FIG. 5.5), qui s’applique bien aux matériaux ductiles, et qui est de la forme :

σa = σ−1

(

1 − σm2

σu2

)

. (5.3)

FIG. 5.5 – Parabole de Gerber

La loi de de Goodman (droite de Goodman, figures 5.6, 5.7) qui convient bien aux métauxfragiles, est

σy σu

σu

σy

σ

σm

σ−1

−σ−1

FIG. 5.6 – Représentation classique de la loi de Goodman

σa = σ−1

(

1 − σm

σu

)

. (5.4)

Le plus souvent la forme précédente est utilisée lorsque la contrainte maximale est inférieureà la limite élastique, au-delà de cette dernière, on effectue la troncature illustrée sur la figure


5.6.

Enfin la loi de Soderberg :

σa = σ−1

(

1 − σm

σy

)

(5.5)

s’applique bien à certains alliages métalliques.σ−1 est donc la limite d’endurance pour unchargement alterné (σm = 0, σmax = −σmin), σy est la limite d’élasticité en traction,σu

(notée égalementRm) est la limite de rupture.

σm

σa

σu

σ-1

σy

G E R B E RG O O D M A N

S O DE R

R GEB

FIG. 5.7 – Critères unidimensionnels de fatigue.

5.5.2 Critères en flexion-torsion

En vue d’élaborer un critère multiaxial de fatigue, Gough etPollard (1935) ont mené unegrande campagne d’essais enflexion-torsion alternée, complétée par des essais en flexion-torsion proportionnelle autour d’une flexion-torsion moyenne. L’état de contrainte en toutpoint est donc de la forme :

σ = (σm + σa sin t)e1 ⊗ e1 + (τm + τa sin t)(e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1) (5.6)

avecσm et τm nuls dans le cas d’essais de flexion-torsion alternée.Les résultats obtenus ont permis de déterminer dans le diagramme (amplitude de la con-

trainte due à la flexionσa, amplitude de la contrainte due à la torsionta) un domaine d’endu-rance (figure 5.8). Les métaux testés en flexion-torsion alternée ont ainsi été classés en deuxcatégories :

– les métaux ductiles, pour lesquels la courbe d’endurance est le quadrant d’ellipse d’équa-tion :

ta2

t2−1

+σa

2

f 2−1

= 1 (5.7)

– les métaux fragiles, pour lesquels la courbe d’endurance est l’arc d’ellipse d’équation :

ta2

t2−1

+ (f−1

t−1

− 1)σa

2

f 2−1

+ (2 − f−1

t−1

)σa

f−1

= 1 (5.8)

f−1 et t−1 sont respectivement les limites d’endurance en flexion alternée et en torsion alter-née (notées souvent tout simplementf et t).


σa

τa

σa

τa

(a) (b)

t-1

t-1

f-1 f-1

FIG. 5.8 – Critères de Gough et Pollard :(a) quadrant d’ellipse ;(b) arc d’ellipse

Mais on a constaté que pour les matériaux ductiles, la superposition d’un état moyen deflexion-torsion (donc flexion-torsion proportionnelle) influe de manière négligeable sur ledomaine d’endurance. On remarquera qu’à ce niveau l’on ne peut rien déduire sur les limitesd’endurance pour des flexions-torsions affines.

5.5.3 Notion de critère multiaxial de fatigue

Les ouvrages réels sont généralement soumis à des sollicitations multiaxiales complexes(amplitudes et valeurs moyennes variables). Pour prédire leur tenue à la fatigue, il faudraitdisposer d’uncritère multiaxial de fatigueà grand nombre de cycles. On pourrait selon DangVan, le définircomme le moyen permettant de distinguer parmi les trajets dechargementdans l’espace des contraintes, ceux qui conduisent à la rupture après un nombre suffisant decycles, de ceux au cours desquels aucun endommagement ne se produit. On pourrait penserconstruire dans l’espace des contraintes macroscopiques un domaine d’endurance, tel quepour tout chargement cyclique dont le trajet est entièrement contenu dans ce domaine, il n’yait pas de fatigue. Formulée de cette manière, cette entreprise s’avère stérile.

On voit déjà, à partir des essais en traction-compression ladifficulté de la tâche, puisque fi-nalement le "critère" est un domaine de l’espace (amplitude de contrainte, contrainte moyen-ne).

En fait, passer des limites d’endurance obtenues sur des essais simples au dimension-nement des structures exige une compréhension des mécanismes physiques de la fatigue etun travail théorique fondé sur une bonne connaissance du comportement macroscopique etmésoscopique des matériaux.

5.5.4 Bases expérimentales des critères

Lorsqu’on observe une pièce métallique soumise à un chargement cyclique et présentantde la fatigue à grand nombre de cycles, on distingue les quatre périodes distinctes suivantes.

1. la première qui s’étend surN1 cycles correspond aux modifications microstructurales,essentiellement à la plastification et à l’écrouissage des grains ; cette phase peut biensûr passer totalement inaperçue à l’échelle macroscopiquede l’ingénieur ;


2. la deuxième qui s’étend surN2 cycles correspond à la nucléation de microfissures dansles bandes de glissement persistantes entre les grains du matériau.Ces deux premières phases forment le stade 0,de nucléationde microfissures que nousavons qualifié d’amorçage de la fissure de fatigue, dont on définit le nombre de cyclesparNn = N1 + N2.

3. la troisième est celle decoalescence des microfissures qui se joignent pour former desfissures de tailles détectablesqui constitueront une fissure macroscopique ; cette pé-riode qui s’étend surNc cycles constitue le stade I.

4. la quatrième est celle de la propagation de la macrofissurejusqu’à la rupture finale ;son nombre de cycles estNp ; elle constitue le stade II, et fait l’objet de la Mécaniquede la rupture.

À ce niveau, se pose déjà la délicate question de savoir quands’arrête la phase d’amorçageet quand commence celle de la fissuration. Une première réponse à cette question, consisteà définir l’amorçage comme l’apparition d’une fissure de la taille du volume élémentairereprésentatif (VER) défini comme le plus petit volume pour lequel on peut considérer lematériau comme homogène. Le VER contient statistiquement des monocristaux (grains) detoutes les tailles, de toutes les formes et de toutes les orientations présentes dans le matériau.

5.5.5 Grandeurs intervenant dans les critères de fatigue

En fatigue à grand nombre de cycles, la structure soumise au chargement cyclique estdans un état élastique ou adapté. Ceci signifie que macroscopiquement, elle ne dissipe plusde l’énergie. Et pourtant, elle peut s’endommager. En réalité, les contraintes de la méca-nique des milieux continus (appelées contraintes macroscopiques) sont une moyenne descontraintes mésoscopiques dans les différents constituants du VER. En se rapprochant infé-rieurement de la limite d’élasticité macroscopique conventionnelle, on trouve déjà, en trèspetit nombre, des grains plastifiés. L’adaptation macroscopique est donc une adaptation fon-dée sur des valeurs moyennes, ne garantissant pas une adaptation au niveau des constituants4.Ceci explique le fait que la structure est susceptible de fatiguer à grand nombre de cycles,et montre la difficulté de formuler un critère de fatigue adapté à ce phénomène. On pourrait,cependant l’écrire sous la forme générique5 :

Si, en tout pointM de la structure,

f(σ(M, t), t ∈ [0, Tc]) < 0 , (5.9)

alors il n’y aura pas de fissure de fatigue.Dans le cas contraire, la structure présentera des fissures de fatigue.

4Elle assure tout de même que les déformations plastiques restent contenues au sein du VER.5Cela ne nous fait pas avancer du tout !


Les contraintesσ(M, t), t ∈ [0, Tc] correspondent à celles du cycle adapté, au pointM dela structure.

Pour trouver la forme de la fonctionf , de nombreux chercheurs se sont basés sur l’observa-tion expérimentale du stade I de propagation d’une fissure defatigue. Dans ce stade, une foisamorcée, la fissure se propage dans un plan de cisaillement. De plus, dans les essais de tor-sion autour d’une valeur moyenne, cette dernière n’influe pas sur la limite de fatigue. Ilsont donc conclu que la contrainte de cisaillement, plus précisément son amplitude, est unparamètre important de la propagation des fissures. Un autreparamètre important sembleêtre la contrainte normale. Les critères de fatigue sont alors des fonctions de ces quantitésexprimées pour un choix duplan de cisaillement critique.Dans ce qui suit, nous allons définir ces grandeurs.

Définitions des amplitudes et des valeurs moyennes

Pour déterminer ces quantités, on s’intéresse au champ de contrainteσ(M, t) en un pointM d’une structure, à l’état adapté. Pour des raisons de simplicité,σ(M, t) est notéσ(t). Cechamp est périodique de périodeTc :

σij(t + Tc) = σij(t) , ∀t . (5.10)

Soit une facette matérielle de normale sortanten. On rappelle les définitions suivantes.– Levecteur-contraintesur cette facette est défini par :

σn = σ.n . (5.11)

FIG. 5.9 – Vecteur-contrainte sur une facette de normalen

– Lacontrainte normaleest la projectionσ deσn sur la normalen :

σ = n.σn = n.σ.n . (5.12)


– La contrainte tangentielleou cissionest la projectionτ(n) de σn sur le plan de lafacette :

τ(n) = σn − σn = σ.n − (n.σ.n)n . (5.13)

Son module est donné par :

τ(n) =√

(σ.n)2 − (n.σ.n)2 . (5.14)

Lorsque le tempst décrit une période, on définit les quantités qui suivent.

– Amplitude de la contrainte normale sur une facette de normalenLa contrainte normale étant une grandeur uniaxiale, son amplitude est définie commela demi-longueur du segment qu’elle décrit sur un cycle, soit :

Na(n) =1

2

(

maxt

(n.σ(t).n) − mint

(n.σ(t).n))

. (5.15)

FIG. 5.10 – Définition de l’amplitude et de la valeur moyenne de lacontrainte normale

– Valeur moyenne de la contrainte normale sur une facette de normale nElle est définie comme le centre du segment précédent, soit :

Nm(n) =1

2

(

maxt

(n.σ(t).n) + mint

(n.σ(t).n))

. (5.16)

– Amplitude de la cission sur une facette de normalenLa contrainte tangentielle décrit une courbe fermée dans leplan de la facette. Son am-plitude a d’abord été définie comme la demi-longueur de la plus grande corde de cettecourbe, soit :

Ca(n) =1

2max

t1max

t2‖ τ(n, t2) − τ(n, t1) ‖

=1

2max

t1max

t2

√

‖ [σ(t2) − σ(t1)].n ‖2 −[n.(σ(t2) − σ(t1)).n]2 .

(5.17)


Mais cette définition ne permet pas, dans certains cas, de définir de manière unique lavaleur moyenne de la contrainte tangentielle.Une meilleure définition consiste à prendre le rayon du plus petit cercle circonscrit à lacourbe décrite par la contrainte tangentielle, ce qui donne:

Ca(n) = minτ1

maxt

‖ τ(n, t) − τ 1 ‖ . (5.18)

Pour une facette de normalen on représente sur la figure (FIG. 5.11) le trajet décrit parson vecteur contrainte.

n

τ

nσ

c

(t)

(t) n.σ

FIG. 5.11 – Trajets décrits par le vecteur contrainte et la cission

FIG. 5.12 – Définition de l’amplitude de la cission comme le rayondu plus petit cerclecirconscrit au trajet de la contrainte tangentielle sur la facette de normalen

– Amplitude de la racine deJ2 :√

J2,a


On rappelle que :√

J2(t) =√

12s(t) : s(t) =

√12‖ s(t) ‖.

De même que pour la contrainte tangen/home/habibou/lin/Latex/Mecenl/Poly/Livretielle, on a d’abord défini l’amplitude de la racine deJ2 comme la demi-longueurde la plus grande corde de la courbe fermée décrite dans l’espace des déviateurs descontraintes pars(t), soit

√

J2,a =1

2√

2max

t1max

t2

√(s(t2) − s(t1)

):(s(t2) − s(t1)

). (5.19)

Cette définition ne permet pas déduire de manière unique la valeur moyenne du dévia-teur des contraintes dans certains cas. Une définition cohérente est :

√

J2,a =1√2

mins1

maxt

‖ s(t) − s1 ‖ . (5.20)

Elle permet de définir le déviateur moyen des contraintessm

comme le centre de la pluspetite hypersphère décrite par le trajet de chargement dansl’espace des déviateurs descontraintes.

– Amplitude de la pression hydrostatique

On définit la pression hydrostatique parP = 13trσ. Son amplitude est définie par :

Pa =1

2

(

maxt

P(t) − mint

P(t))

. (5.21)

– Pression hydrostatique moyenneElle est définie par :

Pm =1

2

(

maxt

P(t) + mint

P(t))

. (5.22)

Cas du chargement affine

Un chargement (périodique) affineest un chargement dont le trajet dans l’espace descontraintes est un segment de droite.En général, les directions principales du tenseur de contrainte varient au cours d’un charge-ment affine.

Un chargement radialest un chargement affine dont les extrémités sont sur une droite pas-sant par l’origine. Les directions principales du tenseur de contrainte restent fixes au coursd’un chargement radial.

En notantσA etσB les deux extrémités de ce segment, on définit :– le tenseur des variations des contraintes∆σ par :

∆σ = σA − σB ; (5.23)

– le tenseur de l’état moyen des contraintesσm

par :

σm

=1

2(σA + σB) . (5.24)


Dans le cas du chargement affine, les expressions des grandeurs précédemment définiesse simplifient. On obtient :

Na(n) =1

2|n.∆σ.n| , (5.25)

Nm(n) = n.σm

.n , (5.26)

Ca(n) =1

2

√

‖ ∆σ.n ‖2 −(n.∆σ.n)2 . (5.27)

Si on pose :

∆s = ∆σ − 1

3tr(∆σ)I , (5.28)

alors :√

J2,a =1

2

√

1

2∆s : ∆s , (5.29)

Pm =1

3tr(σ

m) , (5.30)

Pa =1

6|tr(∆σ)| . (5.31)

5.5.6 Forme générale des critères de fatigue

La forme générale de critère de limite d’endurance (5.9) écrite dans la section 5.5.5 vaêtre précisée. Les observations expérimentales ont montréque le critère ne dépend du cycledes contraintes que par l’intermédiaire des grandeurs telles que l’amplitude de cisaillement,l’amplitude et la valeur moyenne de la contrainte normale. Ceci conduit à proposer d’unemanière générale, des critères de limite d’endurance de la forme :

Sif(Ca(n

⋆),Na(n⋆),Nm(n⋆)) < 0 (5.32)

alors il n’y aura pas de fatigue.Dans le cas contraire, la structure présentera des fissures de fatigue.

n⋆ est le vecteur normal d’une facette appelée "plan critique".f(Ca(n

⋆),Na(n⋆),Nm(n⋆)) est une fonction, choisie dans une grande majorité de cas comme

linéaire. De plus, dans la plupart des cas, on considère que l’amplitude et la valeur moyennede la contrainte normale n’interviennent que par leur somme, ce qui conduit à l’expressionsimplifiée suivante def :

f(Ca(n⋆),Na(n

⋆),Nm(n⋆)) = f(Ca(n⋆),Na(n

⋆) + Nm(n⋆))

= f(Ca(n⋆),Nmax(n

⋆))

= Ca(n⋆) + aNmax(n

⋆) − b ,

soitf(Ca(n

⋆),Nmax(n⋆)) = Ca(n

⋆) + aNmax(n⋆) − b , (5.33)

aveca et b deux constantes caractérisant le matériau considéré.

Dans ce qui suit, on donne trois exemples de critères de fatigue à grand nombre de cycles.


5.5.7 Critère de Findley

Le critère de Findley est défini par la condition d’enduranceillimitée suivante :

Ca(n⋆) + aNmax(n

⋆) − b < 0 . (5.34)

Le vecteur normaln⋆ du plan critique est défini par :

n⋆ réalisant maxn

Ca(n) + aNmax(n) . (5.35)

Les constantesa et b sont des caractéristiques du matériau, identifiées à partirdes essais enflexion alternée et en torsion alternée. Si on désigne parf−1 et t−1 les limites d’endurancecorrespondantes, on a :

a =

2t−1

f−1− 1

√

1 − (2t−1

f−1− 1)2

et b =t−1

√

1 − (2t−1

f−1− 1)2

. (5.36)

Ce critère prévoit une influence de la torsion moyenne dans un essai de fatigue en torsion,ce qui est en désaccord avec les observations expérimentales sur la plupart des matériauxmétalliques.

5.5.8 Critère de Crossland

Le critère de Crossland a été élaboré à partir d’un vaste programme expérimental composéde trois types d’essais : traction alternée, traction ondulée autour d’une valeur moyenne, tor-sion alternée d’éprouvettes cylindriques en acier En25T plongées dans un bain d’huile portéà une pression très élevée.Il porte sur l’amplitude de la racine

√J2 et sur la valeur de la pression hydrostatique maxi-

male atteinte au cours du cycle. La condition d’endurance illimitée est donnée par :√

J2,a +aPmax − b ≤ 0, (5.37)

Les constantesa et b sont des caractéristiques du matériau, identifiées à partirdes essais enflexion alternée et en torsion alternée. On a :

– en flexion alternée (σ11(t) = f−1 sin ωt, autresσij nuls) :√

J2,a =f−1√

3et Pmax = f−1/3 ;

– en torsion alternée (σ12(t−1) = σ21(t) = t−1 sin ωt, autresσij nuls) :√

J2,a = t−1 et Pmax = 0;

d’où

b = t−1 et a =

t−1 −f−1√

3f−1

3

.

Pour traduire l’effet positif d’une pression hydrostatique négative, on impose à la constantea d’être positive. Ce qui se traduit par :

f−1

t−1

<√

3 .


5.5.9 Critère de Sines

Le critère de Sines s’exprime la condition d’endurance illimitée par :√

J2,a +aPm − b ≤ 0 . (5.38)

oùa et b sont deux constantes caractéristiques du matériau.Il se différencie de celui de Crossland par l’utilisation de la pression hydrostatique moyenne

à la place de la pression hydrostatique maximale. Il s’applique plutôt aux matériaux ductiles.Les constantesa et b sont identifiées à partir des essais en flexion répétée et en torsion

alternée. On a :

– en flexion répétée (σ11(t) = f0(1 + sin ωt), autresσij nuls) :

√

J2,a =f0√3

et Pm = f0/3 ,

– en torsion alternée (σ12(t−1) = σ21(t) = t−1 sin ωt, autresσij nuls) :√

J2,a = t−1 et Pmax = 0 .

d’où

b = t−1 et a =

t−1 −f0√3

f0

3

.

Remarquons qu’un essai de flexion alternée conduit à la relation :

t−1 =f−1√

3,

qui caractérise les matériaux ductiles.

5.5.10 Critère de Dang Van

Dans la formulation originale du critère de Dang Van, la condition d’endurance illimitée estdonnée par :

maxn

maxt

τ(n, t) + aP(t) − b < 0 , (5.39)

τ(n, t) désigne le "cisaillement mésoscopique" sur une facette de normalen.P(t) est la pression hydrostatique.a etb sont deux constantes caractéristiques du matériau, identifiées à partir de deux essais defatigue indépendants.

En remarquant quemax

nτ(n, t) = τ(t) ,

où τ(t) désigne le cisaillement maximal sur toutes les facettes (donné par la demi différencedes contraintes principales extrêmes), la condition précédente est re-écrite sous la formesuivante :

maxtτ(t) + aP (t) < b . (5.40)


τ(t) est obtenu à partir du tenseur des contraintes "mésoscopiques" σ défini par :

σ = (σ(t) − s⋆) .

s⋆ est le centre de la plus petite hypersphère circonscrite au trajet de chargement des dévia-teurs des contraintess(t). Il est obtenu par la résolution du problème de min-max suivant :

s⋆ = arg mins1

maxt

‖ s(t) − s1 ‖ .

En notantσIII , σII et σI les trois contraintes principales ordonnées sous la formeσIII ≤σII ≤ σI , on a :

τ(t) =1

2(σI − σIII) .

Les deux constantesa estb sont reliées aux limites d’endurance des essais de fatigue clas-siquesf−1 (flexion alternée) ett−1 (torsion alternée) par :

a =t−1 − f−1/2

f−1/3et b = t−1 . (5.41)

Le critère de Dang Van est le critère de fatigue à grand nombrede cycles utilisé actuelle-ment par l’industrie automobile française pour dimensionner ses pièces mécaniques.

Détermination des constantesa et b

Les constantesa etb sont déterminées à partir de deux essais indépendants de fatigue. Lesessais les plus courants sont ceux de la torsion alternée et de la flexion alternée.

Essai de torsion alternéeDans un essai de torsion alternée effectué à la fréquence2π/ω, le tenseur de contrainte à lalimite d’endurance est en tout point :

σ(t) = t−1 sin(ωt)(e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1) .

La pression hydrostatique est donc :

P (t) = 0 .

Le déviateur des contraintes est :

s(t) = σ(t) = t−1 sin(ωt)(e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1) .

Le centre de la plus petite hypersphère circonscrite au trajet des déviateurs est donc :0.Les contraintes principales sont :

σI(t) = t−1| sin(ωt)| , σII(t) = 0 , σIII(t) = −t−1| sin(ωt)| .

Et le cisaillement mésoscopique est :

τ(t) =1

2(σI(t) − σIII(t)) = t−1| sin(ωt)| .


Comme on est à la limite d’endurance :maxt

τ(t) + aP (t) = b soit t−1 = b.

Essai de flexion alternéeDans un essai de flexion alternée effectué à la fréquence2π/ω, le tenseur de contrainte à lalimite d’endurance est en tout point :

σ(t) = f−1 sin(ωt)(e1 ⊗ e1) .

La pression hydrostatique est donc :

P (t) =f−1

3sin(ωt) .

Le déviateur des contraintes est :

s(t) =f−1

3sin(ωt)(2e1 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2 − e3 ⊗ e3) .

Le centre de la plus petite hypersphère circonscrite au trajet des déviateurs est donc :0.Le cisaillement mésoscopique est :

τ(t) =1

2(σI(t) − σIII(t)) =

f−1

2| sin(ωt)| .

Comme on est à la limite d’endurance :

maxt

τ(t) + aP (t) = b soitf−1

2+ a

f−1

3= t−1 et a =

t−1 − f−1/2

f−1/3

Représentation dans le diagramme (τ , P )

Le critère de Dang Van permet de définir dans le plan (P , τ ), un domaine d’enduranceillimitée (FIG. 5.13) délimité par une droite caractéristique du matériau, la droite "matériau"d’équation :

τ + aP = b , (5.42)

déterminée à partir des essais de fatigue classiques sur le matériau.

En tout point de la structure, le chargement cyclique à l’état stabilisé est, quant à lui, carac-térisé par le trajet(P (t), τ(t)) décrit lorsque le temps parcourt une période du chargement.Le domaine d’endurance (figure 5.14) est tel que tout trajet de chargement qui y est entière-ment contenu conduit à l’endurance illimitée.

En resumé, dans le diagramme (P , τ ), le critère se définit comme suit :– si le trajet de chargement est en dessous de ladroite matériau, il y a endurance illimitée

(pas d’amorçage de fissure de fatigue) ;– si le trajet de chargement traverse ladroite matériau, il y a amorçage de fissure de

fatigue.Sur la figure (FIG. 5.14), on montre quelques trajets de chargement d’essais simples,

couramment utilisés pour déterminer la droite "matériau" :– trajet de chargement de l’essai de torsion alternée à la limite d’endurance

(P (t) = 0, τ(t) = t−1| sin(ωt)|)


FIG. 5.13 – Représentation dans le diagrammeP − τ

FIG. 5.14 – Trajets de chargement de quelques essais simples dans le diagrammeP − τ

– trajet de chargement de l’essai de flexion alternée à la limite d’endurance

(P (t) =f−1

3sin(ωt),

f−1

2| sin(ωt)|)

– trajet de chargement de l’essai de traction repétée à la limite d’endurance

(P (t) =f0

3(1 + sin(ωt)),

f0

2| sin(ωt)|)

f0 désignant l’amplitude du chargement.


Application pratique du critère de Dang Van

1. On suppose connu le cycle stabilisé des contraintes macroscopiquesσ(M, t) en toutpoint M de la structure. Ce cycle est élastique (ou adapté). L’application du critèrede Dang Van est locale : tous les points sont traités séparément. Dans ce qui suit, ons’intéresse à un point particulierM , et on ometM dans l’expression des différentesquantités.

2. On calcule, à tout instant, la pression hydrostatique

P (t) =1

3trσ(t)

3. On calcule, à tout instant, les déviateurs des contraintes macroscopiques

s(t) = σ(t) − 1

3trσ(t)I

4. On détermine le centres⋆ de la plus petite hypersphère circonscrite au trajet de char-gement dans l’espace des déviateurs des contraintess.

5. La contrainte mésoscopique est alors donnée par :

σ = σ(t) − s⋆

6. On détermine à tout instant, le cisaillement maiximal

τ(t) =1

2(σI − σIII)

où σIII ≤ σII ≤ σI sont les contraintes principales mésoscopiques ordonnées.

7. On calcule enfinmax

tτ(t) + aP (t) − b

qui constitue l’indicateur de fatigue.


5.6 Endurance limitée

Le domaine d’endurance limitée est défini comme celui de l’adaptation, c’est-à-dire celuidans lequel le matériau ne présente pas de de dissipation macroscopique.

FIG. 5.15 – Domaine d’endurance limitée

Dans le cas d’un chargement cyclique, le nombre de cycles à l’amorçage de fissureN estdonné sous la forme suivante :

N = f(Ca(n⋆),Na(n

⋆),Nm(n⋆)) . (5.43)

n⋆ est le vecteur normal d’une facette appelée "plan critique".Un exemple de loi est :

N = AσBeqf (5.44)

avecA etB deux paramètres liés au matériau.σeqf est une contrainte équivalente de fatiguedont l’expression est choisie pour rendre compte des essais. En effet, la loi précédente definitune courbe de Wöhler généralisée reliant le nombre de cycle à la rupture à la contrainteéquivalente de fatigue. Des exemples de définition de la contrainteσeqf sont :

σeqf =

Ca(n⋆) + aNmax(n

⋆)

Ca(n⋆) + aNa(n

⋆)

1 − bNm(n⋆)

√J2,a +aPmax

√J2,a +aPa

1 − bPm

.

(5.45)

5.7 Fatigue à faible nombre de cycles 243

5.7 Fatigue à faible nombre de cycles

Avec le développement de l’aéronautique dans les années 1950, suivi de celui de l’in-dustrie nucléaire, la nécessité de bien connaître les performances des matériaux et de lesaccroître au besoin, d’en concevoir de nouveaux devant résister à des sollications thermo-mécaniques cycliques s’est imposée. Dans le domaine de l’aéronautique, avec l’avénèmentde nouveaux moteurs, se sont posées des questions d’allègement et de comportement devantde grandes variations de température. Dans le cas des réacteurs nucléaires, il s’agissait entreautres, de concevoir des matériaux résistant aux effets cycliques dus aux démarrages et arrêtsdes installations, et suffisamment ductiles pour montrer des signes avant-coureurs de touterupture qui ne devrait donc pas être brutale.

Ces préoccupations sont toujours d’actualité, et s’étendent aussi à d’autres industries, no-tamment l’automobile, dont les moteurs pour satisfaire desnormes de dépollution, réduireleur consommation sans perdre en puissance, doivent fonctionner à des températures de plusen plus hautes. Les cycles de sollicitations dimensionnantcertaines pièces sont essentiel-lement les démarrages-arrêts dont le nombre ne dépasse pas quelques dizaines de milliers.L’optimisation de ces pièces conduit donc, pour les matériaux métalliques, à les faire tra-vailler dans un régime de fatigue à faible nombre de cycles (ou fatigue oligocyclique). Celle-ci est associée à un comportement asymptotique du matériau accommodé ou présentant unrochet (figure 5.16).

FIG. 5.16 – Domaine de fatigue oligocyclique

5.7.1 Essais de fatigue oligocyclique

Les essais de fatigue oligocyclique sont réalisés en imposant une sollicitation mécaniqueet/ou thermique cyclique à une éprouvette ou à une structurejusqu’à l’apparition d’une fis-sure macroscopique. Historiquement, les premiers essais ont été uniaxiaux et isothermes. Cesont des expériences de déformation alternée (symétrique par rapport à l’origine) cycliquesur une éprouvette cylindrique pendant suffisamment de cycles jusqu’à l’apparition d’unefissure macroscopique. Dans de tels cas, deux types de comportement sont observés :

– un durcissement cyclique (FIG. 5.17) ;– un adoucissement cyclique (FIG. 5.18).


FIG. 5.17 – Durcissement cyclique

FIG. 5.18 – Adoucissement cyclique

Dans ces deux situations, la contrainte maximale évolue pendant les premiers cycles, sestabilise pendant une grande partie de l’essai avant de s’effondrer rapidement signalant ainsil’accélération des phénomènes d’endommagement et de fissuration entraînant la rupture dela pièce.

Le cycle stabilisé (FIG. 5.19) peut être caractérisé par les grandeurs suivantes : les ampli-tudes de déformation, de déformation plastique et de contraintes, l’énergie dissipée (aire dela boucle) et la contrainte maximale.

FIG. 5.19 – Caractéristique du cycle stabilisé

5.7.2 Critères de durée de vie en fatigue oligocyclique

D’une manière générale, les modèles de vie (à l’amorçage de fissure de fatigue) relient lenombre de cycles à la rupture à des grandeurs caractéristiques du cycle stabilisé.

5.8 Méthodologie de calcul des structures à la fatigue 245

La première loi a été proposée indépendamment par Manson et Coffin en 1954. Elle re-lie le nombre de cycle à la ruptureNR à l’amplitude de la déformation plastique du cyclestabilisé (ǫp

a = ∆ǫp/2) et s’écrit :

∆ǫp

2= ǫ′f (NR)c . (5.46)

Elle fait intervenir deux constantes liées au matériau : l’exposantc et le coefficient de ducti-lité à la fatigueǫ′f . c varie généralement entre 0,5 et 0,7 alors queǫ′f est pour la plupart desmétaux égal à l’allongement à la rupture.

Une extension de cette loi dans le cas de sollicitation multiaxiale est faite en adoptant uneexpression générale de l’amplitude de la déformation plastique définie :

– soit comme la demi-longueur de la plus grande corde :

ǫpa =

1

2max

t1max

t2

√

2

3

(εp(t2) − εp(t1)

):(εp(t2) − εp(t1)

)(5.47)

– soit comme le rayon de la plus petite hypersphère circonscrite au trajet deεp(t) :

ǫpa = min

εp1

maxt

√

2

3

(

εp(t) − εp1

)

:(

εp(t2) − εp1

)

. (5.48)

Les inconvénients de cette loi sont multiples : elle ne prendpas en compte la dépendancepar rapport à l’état moyen de contrainte (ou de déformation); son extension au cas aniso-therme n’est pas évidente.

Une seconde famille de lois de durée de vie en fatigue oligocyclique, notamment thermo-mécanique, va relier une énergie calculée sur le cycle stabilisé wR au nombre de cycle à larupture sous la forme :

wR = C(NR)−γ (5.49)

avecC etγ deux constantes intrinsèques au matériau.

Diverses propositions ont été formulées pour l’expressionde l’énergiewR :– énergie dissipée plastiquement sur le cycle stabilisé

wR = ∆wp =

∫

cycle stabiliséσ : εpdt ; (5.50)

– somme de l’énergie dissipée plastiquement et de l’énergieélastique en traction sur lecycle stabilisé

wR = (∆wp + ∆w+e )/A + B , (5.51)

où ∆w+e est l’énergie élastique accumulée pendant la phase de traction du cycle stabi-

lisé, etA etB deux constantes intrinsèques au matériau.

5.8 Méthodologie de calcul des structures à la fatigue

La méthodologie de dimensionnement de structures à la fatigue (FIG. 5.20) présentée icirepose sur une approche découplée comprenant d’abord le calcul de l’état thermomécanique"stabilisé" (plus généralement asymptotique) sous chargement cyclique, et ensuite l’applica-tion du critère de fatigue adéquat. Le choix de ce critère estlié à la réponse asymptotique dela structure.


FIG. 5.20 – Approche découplée de dimensionnement des structures à la fatigue

5.8.1 Calcul de la réponse thermomécanique asymptotique ("stabili-sée")

Géométrie, matériau, chargement, telle est la triade du calcul des structures. Elle doitêtre nécessairement connue pour pouvoir effectuer le calcul de l’état thermomécanique dela structure par éléments finis ou par toute autre méthode numérique ou analytique. On seplace dans l’optique d’une utilisation de la méthode des éléments finis. Les spécificationsgéométriques sont les données nécessaires au maillage de lapièce, étape préliminaire ducalcul. Elles définissent aussi les conditions de liaison. Les matériaux sont définis par leurslois de comportement identifiées pour être représentativesdes phénomènes physiques pré-pondérants dans la domaine d’utilisation de la structure (plasticité, viscoplasticité, etc.). Lechargement est quant à lui, supposé périodique.

On effectue alors un calcul par éléments finis sous chargement cyclique, jusqu’à l’obten-tion de l’état asymptotique. La nature de ce dernier conditionne le choix du critère d’amor-çage de fissure de fatigue.

– Un état élastique ou adapté est synonyme de fatigue à grand nombre de cycles. L’utili-sation d’un critère de limite d’endurance (le critère de Dang Van, par exemple) est doncrecommandée.

– Un état accommodé ou un rochet est signe de fatigue à faible nombre de cycles. Uncritère en énergie ou une loi de Manson-Coffin sont utilisés pour estimer la durée devie de la structure.

5.8.2 Estimation de la tenue à la fatigue

Pour l’estimation de la tenue à la fatigue de la structure, seuls les états thermomécaniquesde la structure en tous les instants du cycle stabilisé sont conservés. La tenue à la fatigue est

5.8 Méthodologie de calcul des structures à la fatigue 247

FIG. 5.21 – Dimensionnement à la fatigue d’un triangle de suspension d’automobile : iso-

valeurs du coefficient de danger coefdvk

(

coefdvk(M) = maxt

τ(M, t) + ap(M, t) − b

b

)

du

critère de Dang Van. (Document communiqué par PSA Peugeot Citröen).

alors estimée en chaque point (du calcul des contraintes) dela structure.

– Dans le cas d’un état asymptotique élastique, le cycle des contraintes en un point permetd’évaluer directement la valeur du critère de fatigue en ce point et donc de statuer surl’amorçage de fissure à grand nombre de cycles. Pour ce fait, il faut disposer de deuxlimites d’endurance permettant de déterminer les deux constantes des critères étudiésdans ce chapitre.

– Dans le cas d’un état asymptotique accommodé, le cycle des contraintes et de déforma-tions (ou de déformations plastiques) en un point, permet d’évaluer directement l’éner-gie dissipée sur le cycle, et/ou l’énergie élastique "de traction", et/ou l’amplitude de ladéformation plastique en ce point et donc d’estimer la duréede vie à l’amorçage defissure à faible nombre de cycles. Pour ce fait, il faut identifier à partir d’au moins unecourbe de Wöhler, les constantes du critère de fatigue oligocyclique choisi.


5.9 Récapitulatif

• Fatigue à grand nombre de cycles :apparaît dans un régime élastique ou adapté

• Fatigue à faible nombre de cycles :apparaît dans un régime accommodé

• Amplitude de la cission sur une facette de normalen

Ca(n) =1

2max

t1max

t2‖ τ(t2) − τ(t1) ‖

ouCa(n) = min

τ1max

t‖ τ(t) − τ 1 ‖

• Contrainte normale

Na(n) =1

2max

t(n.σ(t).n) − min

t(n.σ(t).n)

Nm(n) =1

2max

t(n.σ(t).n) + min

t(n.σ(t).n)

• Amplitude de√

J2

√

J2,a =1

2√

2max

t1

maxt2

√(s(t2) − s(t1)

):(s(t2) − s(t1)

)

ou √

J2,a = mins1

maxt

‖ s(t) − s1 ‖

• Critère de Crossland

√

J2,a +aPmax − b ≤ 0

b = t−1 et a =t−1 − f−1√

3f−1

3

• Critère de Dang Van

maxt

τ(t) + aP (t) < b

avec

τ(t) = 12(σI − σIII)

σ = (σ(t) − s⋆)s⋆ = arg min

s1max

t‖ s(t) − s1 ‖

et

b = t−1 et a =t−1 − f−1/2

f−1/3


ExercicesExercice 5.1 (Dimensionnement à la fatigue d’un réservoir deGPL)

On considère le réservoir de stockage de gaz représenté ci-dessous. Il s’agit d’une coque enforme de tore d’axeOZ. Sa demi-coupe dans le plan contenant l’axeOZ et repéré par l’angleθ est un anneau circulaire de rayon moyenR2 = 0, 75m et de centre situé à une distanceR1 = 2R2 de l’axeOZ. Son épaisseure est faible devantR2, (e ≪ R2). Ce réservoir estrempli d’un gaz à la pressionp0 = 10bars= 1MPa.

R2

R1 R2

eθ

θ

2

+

O

e

R1 R2

eθ

er

Z

ϕ

ϕ

r

FIG. 5.22 – Réservoir torique de GPL

1. Dans l’hypothèse d’épaisseur faible, déterminer en toutpoint, les deux seules compo-santes significatives du tenseur des contraintes :

(a) la contrainteσθθ supposée constante, en considérant l’équilibre global d’un demi-tore (sous-système) que l’on précisera ;

(b) la contrainteσϕϕ fonction der (voir figure), en considérant l’équilibre d’une por-tion de tore que l’on précisera.

(On trouvera :σθθ =p0R2

2e, σϕϕ =

p0R2(R1 + r)

2er).

Le réservoir est soumis au chargement cyclique de remplissage suivi de vidage. Ce char-

gement est considéré sous la forme d’une pression intérieure égale àp0

2(1 + sin(t)) où t

désigne le temps.Sachant que les limites d’endurance en torsion alternée (t−1) et en flexion alternée (f−1) dumatériau constitutif du réservoir sont respectivement de 250 MPa et de 420 MPa, déterminerl’épaisseur minimale à lui donner pour qu’il ait une endurance illimitée :

2. en utilisant le critère de Crossland ;

3. en utilisant le critère de Dang Van.



1. Dans l’hypothèse d’épaisseur faible,

(a) l’équilibre global d’un demi-tore (coupe par un plan contenant l’axeZ) conduit à :

2 σθθ2πR2e = 2 p0πR22 d’où σθθ =

p0R2

2e

(b) La projection selon l’axeZ de l’équation d’équilibre global d’une portion de tore com-prise entreϕ = −π

2 etϕ, conduit à :

σϕϕ cos ϕ 2πre = p0π(r2 − R21) d’où σϕϕ =

p0(r2 − R2

1)

2er cos ϕ=

p0R2(r + R1)

2er

Le réservoir est soumis au chargement cyclique de remplissage suivi devidage donné par la pres-sion intérieurep0

2 (1+sin(t)). On va déterminer l’épaisseur minimale assurant une endurance illimitéeau réservoir.

2. En utilisant le critère de Crossland.Le chargement est radial :

σ(r, t) = λ(t)(eθ ⊗ eθ +(r + R1)

reϕ ⊗ eϕ) avec λ(t) =

p0R2

4e(1 + sin(t))

donc p(r, t) =p0R2

12e(1 + sin(t))

(2r + R1)

ret pmax(r) =

p0R2

6e

(2r + R1)

rDe même, on calcule :

∆σ(r) =p0R2

2e

(

eθ ⊗ eθ +(r + R1)

reϕ ⊗ eϕ

)

∆s(r) = dev∆σ(r) =p0R2

6e

((r − R1)

reθ ⊗ eθ +

(r + 2R1)

reϕ ⊗ eϕ − (2r + R1)

rer ⊗ er

)

d’où√

J2,a (r) =1

2

√

1

2∆s : ∆s =

p0R2

4er

√

r2 + R21 + rR1

3.

Le réservoir aura une endurance illimitée si

∀r ∈ [R2, 3R2],√

J2,a (r) + apmax(r) < b

soit

e > maxr

p0R2

4br

√

r2 + R21 + rR1

3+ a

p0R2

6b

2r + R1

r

Le maximum du critère est atteint pourr = (R1 − R2) = R2 soit

e >p0R2

4b(

√

7

3+

8

3a)

Commeb = t1 = 250MPa et a =t−1−

f−1√3

f−13

= 0.0536 ,

on obtient :e > 1, 25mm .

3. En utilisant le critère de Dang Van.On part de :σ(r, t) = λ(t)(eθ ⊗ eθ + (r+R1)

r eϕ ⊗ eϕ) d’où


(a) p(r, t) = λ(t) (2r+R1)3r

(b) s(r, t) = devσ(r, t) = λ(t)(

(r−R1)3r eθ ⊗ eθ + (r+2R1)

3r eϕ ⊗ eϕ − (2r+R1)3r er ⊗ er

)

.

(c) Le centre du trajet des déviateurs des contraintes est :

s⋆(r) =p0R2

4e

((r − R1)

3reθ ⊗ eθ +

(r + 2R1)

3reϕ ⊗ eϕ − (2r + R1)

3rer ⊗ er

)

.

(d) Le déviateur des contraintes mésoscopique est :

s(r, t) = s(r, t) − s⋆(r)

=p0R2 sin(t)

4e

((r − R1)

3reθ ⊗ eθ +

(r + 2R1)

3reϕ ⊗ eϕ − (2r + R1)

3rer ⊗ er

)

.

(e) Le cisaillementτ(r, t) est donné par la demi-différence des contraintes principales ex-trêmes, soit :

τ(r, t) =1

2

p0R2| sin(t)|4e

max

R1

r; 1;

r + R1

r


∀r ∈ [R2, 3R2], maxt

τ(r, t) + aP (r, t) < b ,

ce qui conduit à :

e >p0R2

4b(3

2+

8

3a) .

Commeb = t1 = 250MPa et a =t−1−

f−12

f−13

= 0.2857 ,

on obtient :e > 1, 696mm.

Exercice 5.2 (Fatigue d’une sphère composite)

On étudie la réponse d’une sphère composite (FIG. 5.23) dont le coeur sphérique de rayona est parfaitement rigide. La partie extérieure qui constitue la calotte sphérique compriseentre les rayonsa et b est constituée d’un matériau thermoélastique linéaire, demodule deYoungE, de coefficient de Poissonν et de coefficient de dilatation thermiqueα. Ses limitesd’endurance en flexion alternée et en torsion alternée sont respectivementf−1 et t−1.On posec = a3/b3.L’état initial du composite est supposé naturel (c’est-à-dire sans précontrainte), de tempéra-ture uniformeT0. On souhaite évaluer la résistance à la fatigue à grand nombre de cycles dela sphère composite soumise à des variations uniformes de satempérature induisant en toutpoint l’échauffement cyclique :

τ(t) = T (t) − T0 = τa sin ωt .

τa, l’amplitude de la variation de la température est positive. T (t) est la température uniformede la sphère à l’instantt.La solution du problème élastique, en coordonnées sphériques, est donnée par :

ξ(r, t) = A(t)r(1 − a3

r3)er

σ(r, t) = A(t)

[

(1 − (b

r)3)er ⊗ er + (1 +

1

2(b

r)3)(eθ ⊗ eθ + eφ ⊗ eφ)

]


2b 2a

FIG. 5.23 – Sphère composite

avec

A(t) = −4µ(3λ + 2µ)ατ(t)

3λ + 2µ + 4µc

Déterminer, en utilisant le critère de Dang Van, l’amplitude maximaleτa de l’échauffementgarantissant une endurance illimitée de la sphère composite pour la sollicitation thermiqueconsidérée.


Le champ de contrainte macroscopique solution du problème thermoélastique est donné par :

σ(r, t) = A(t)[(1 − 2β(r))er ⊗ er + (1 + β(r))(eθ ⊗ eθ + eφ ⊗ eφ)

]

avec

A(t) = −4µ(3λ + 2µ)ατa sin ωt

3λ + 2µ + 4µc

β(r) =1

2(b

r)3

Application du critère de Dang Van

1. p(r, t) = A(t)

2. s(r, t) = A(t)[−2β(r)er ⊗ er + β(r)(eθ ⊗ eθ + eφ ⊗ eφ)

]

3. Le centre du trajet des déviateurs des contraintes est :

s⋆(r) = 0

4. Le déviateur des contraintes mésoscopique est :

s(r, t) = s(r, t) − s⋆(r) = s(r, t)

5. Le cisaillementτ(r, t) est donné par la demi-différence des contraintes principales extrêmes,soit :

τ(r, t) =3

2|A(t)|β(r)



∀r, maxt

τ(r, t) + adp(r, t) < bd

ce qui conduit à :

τa <(3λ + 2µ + 4µc)bd

4µ(3λ + 2µ)α( 34c + ad)

avecbd = t1 et ad =t−1−

f−12

f−13


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Index

Accommodation, 186Acier

42CrMo4, 92, 101Adaptation

cas standard généralisé, 193définition de –, 184en parfaite plasticité, 188théorème cinématique, 191théorème local, 197

Amplitude, 231Armstrong-Frederick (modèle de –), 94

Basquin(loi de –) , 224

Bingham (modèle de –), 115Béton, 127

Capacité calorifique spécifiqueà contrainte constante, 70à déformation constante, 71

Capacité caloriqueà déformation constante, 65

Carnot-ClausiusÉnoncé de -, 19

Carnot-Kelvin-PlanckÉnoncé de -, 19

Chaboche (modèle de –), 119Chaleur latente, 43, 44, 65Chaleur spécifique

à contrainte constante, 70à déformation constante, 65

Cinématiquement admissible, 153Clausius-Duhem (inégalité de), 15, 27Coefficient de sécurité

cinématique à l’adaptation, 193statique à l’adaptation, 190

Coefficients thermoélastiques, 65, 68Compatibilité géométrique, 158Comportement

thermique, 55

thermoélastique, 63viscoplastique, 104viscoélastique, 104élastoplastique, 73

Conditions de fermeture, 159Contraintes

purement élastiques, 154résiduelles, 149

Crossland(critère de –), 236

Cycle thermodynamique, 18

Dang Van(critère de –), 237

Deuxième principe, 15Discontinuité, 29Dissipation, 16, 26

intrinsèque, 16, 17, 26thermique, 16, 26

Dissipativité normale, 57Découplage

des dissipations, 16, 27Déformation

décomposition de la –, 75plastique, 75plastique cumulée, 84élastique, 75

Ecrouissagecinématique linéaire, 88cinématique non linéaire, 94combiné, 102isotrope, 84

Endommagement, 120Endurance

limite d’–, 222, 223limitée, 242

Energiedissipée, 26interne, 12

INDEX 259

interne thermoélastique, 66libre, 24libre thermoélastique, 66, 72récupérable, 20, 25

Entropie, 15Equation

aux discontinuités, 29de la chaleur, 129

Etataccompagnant, 40résiduel, 154thermodynamique, 9

Fatigueoligocyclique, 243à faible nombre de cycles, 243à grand nombre de cycles, 225

Findley(critère de –), 236

Fluage, 104, 108Fonction

indicatrice, 59Forces thermodynamiques

dissipatives, 26irréversibles, 26non dissipatives, 20, 21réversibles, 20, 21, 24, 40

Gerber(parabole de –) , 227

Goodman(droite de –) , 227

Hyperstaticité, 169

incompatibilité géométrique, 158, 160, 161Inégalité

de Clausius, 19de Clausius-Duhem, 15de Duhem, 15de la conduction, 16

Kelvin-PlanckÉnoncé de -, 19

Kelvin-Voigt (modèle de –), 112

Liaison interne, 32d’incompressibilité, 32unilatérale, 35

Loide Fourier, 55, 56

Loi de comportementthermique, 55thermoélastique, 63viscoplastique, 115viscoélastique, 105élastoplastique

parfaitement plastique, 78à écrouissage ciném. non linéaire, 94à écrouissage cinématique linéaire, 88à écrouissage combiné, 102à écrouissage isotrope, 84

Lois d’état, 21, 24

Manson-Coffinloi de –, 245

Matériaustandard généralisé, 62thermoélastique, 63

Maxwell (modèle de –), 107Module

de compressibilité, 70

Plasticiténon associée, 96, 103

Plastiquement admissible, 154Potentiel

de dissipation, 58dual, 61thermodynamique, 29élastique, 25

Premier principe, 12Principe

premier, 12, 31second, 15, 17, 31

Processushomotherme, 18réversible, 28

Pseudo-potentiel, 58

Recouvrance, 105, 109Relaxation, 104, 109Rochet, 186

Second principe, 15Sines

(critère de –), 237

260 INDEX

Soderberg(loi de –) , 228

Sous-différentiel, 59Standard linéaire (modèle –), 112Statiquement admissible, 153

Tenseur d’incompatibilité, 158théorème statique, 188Thermoélasticité, 63

énergie interne, 66énergie libre, 66, 72

Treillis, 167

Variabled’état, 9interne, 10

Variables normales, 25Viscoplasticité, 104, 115Viscoélasticité, 104, 105

Wöhler(courbe de –) , 223

Zener (modèle de –), 114

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