MECANIQUE DU SOLIDEMECANIQUE DU SOLIDE

1. Description du mouvement d'un solide

1.1. Définition d'un solide

Un solide est un système matériel dont les points restent à distance constante les uns desautres. On oppose les solides aux systèmes déformables dont les points peuvent se déplacer les unspar rapport aux autres.

Par exemple, un ressort peut être comprimé ou étiré: c'est un système déformable. Une boulede billard est un solide indéformable.

1.2. Translation d'un solide

Un solide est en translation si tous les points du solide ont le même mouvement. Les pointsdu solide ont alors, à l'instant considéré, le même vecteur vitesse. La vitesse peut varier au cours dutemps, mais de manière identique pour tous les points du solide. On peut distinguer:

translation rectiligne: chaque point du solidedécr i t une droi te et à chaque ins tant

v⃗A (t )=v⃗B (t ) .

Exemple: un ascenseur est en translationrectiligne verticale par rapport au référentiel liéau sol.

translation circulaire: chaque point du solidedé c r i t un c e r c l e e t à c haque i n s t an t

v⃗A (t )=v⃗B (t ) . Chaque point du solide décrit

un arc de cercle de même rayon mais le centre dechacun des arcs de cercle est différent.

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1.3. Rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Soit une droite (D) fixe dans l'espace. Un solide est en rotation autour de cet axe (D) si tousses points sont en mouvement circulaire autour de (D).

vue de dessus

Soit un point M du solide, à la distance r de l'axe (D) (avec r = HM où H est le projetéorthogonal de M sur l'axe de rotation). Sa position est repérée par l'angle θ(t) par rapport à une

direction fixe ( u⃗x ). La vitesse angulaire de rotation du solide est donnée par ω(t )=θ̇(t ) .

La vitesse du point M s'obtient en utilisant les coordonnées polaires. On a H⃗M =r u⃗ r où

seul u⃗r est variable. D'où v⃗ (M )=r θ̇u⃗θ=r ω u⃗θ . Ainsi, tous les points situés sur l'axe de

rotation ont une vitesse nulle.Remarque: l'axe de rotation n'est pas nécessairement situé à l'intérieur du solide.

2. Solide en translation et frottements: lois de Coulomb

On s'intéresse au cas particulier du contact entre deux solides et donc aux frottements quiexistent entre eux. Ils sont décrits par les lois de Coulomb.

Imaginons un bloc posé sur une table:

Le bloc a un poids P⃗ et la table exerce sur le bloc uneréaction normale N⃗ qui le compense.

On cherche à tirer le bloc en appliquant une force F⃗ versla droite. Si la force est faible, le bloc ne bouge pas.

Comme a⃗ bloc=0⃗ , le PFD impose qu'il doit y avoir une

force ( T⃗ ) vers la gauche, de norme égale à F qui agitparallèlement à la surface et s'oppose au mouvement: c'estla force de frottement statique.

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Ainsi, comme dans le cas du contact entre un point et un support solide, l'interaction entredeux solides comporte une composante normale et une composante tangentielle:

Tant que la norme T de la composante tangentielle n'a pas atteint une certaine valeur T0, ily a adhérence entre les deux solides (le bloc ne bouge pas). On a alors une situation d'équilibre tant

qu e ∥T⃗∥≤T 0 avec T 0= f s∥N⃗∥ où fs est le coefficient de frottement statique. L'action de

contact R⃗ doit alors être contenue dans un cône, dit cône de frottement d'adhérence, d'angleφs=arctan( f s ) :

Vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=3miOIZKKYHs

Dès que la norme de la composante tangentielle dépassela limite T0, les deux solides glissent l'un par rapport à l'autre. Lanorme de la composante tangentielle est alors indépendante de lavitesse de glissement et est donnée par la loi de coulomb

∥T⃗∥=f d∥N⃗∥ où fd est le coefficient de frottement dynamique

avec en général fd < fs (c'est-à-dire que la force nécessaire pourentretenir le glissement est généralement inférieure à la forcelimite d'adhérence).

L'action de contact R⃗ doit alors être à la surface d'un cône, dit cône de frottement deglissement, d'angle φd=arctan (f d) .

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La valeur des coefficients de frottement statique et dynamique dépend de la nature desmatériaux en contact. On peut citer quelques exemples:

Matériaux fs (sans unité) fd (sans unité)

Acier sur glaceAcier sur acier secBottes de montagne sur rocherPneus de voiture sur béton secPneus de voiture sur béton mouilléPneus de voiture sur béton verglacéVerre sur verre

0,10,61,01,00,70,30,9

0,050,40,8

0,7-0,80,50,020,4

En pratique, pour la résolution d'un problème de mécanique du solide avec frottements, onformule une hypothèse (adhérence ou glissement), on calcule les composantes de l'action de contacten tenant compte des autres forces s'appliquant au solide et on cherche à voir si les lois de Coulombsont vérifiées.

3. Mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Le PFD relie la variation de la quantité de mouvement aux forces appliquées au système(ponctuel ou solide). Pour les systèmes en rotation, la notion de force n'est pas toujours la pluspertinente. Par exemple, lorsqu'on cherche à ouvrir une porte, on applique une force sur la poignée.Pour être efficace, la force doit être appliquée le plus loin possible des gonds de la porte,perpendiculairement à la porte. Cette configuration permet de maximiser le bras de levier de laforce, qui est la distance séparant l'axe de rotation de la porte de la droite d'application de la force.

3.1. Moment d'inertie et moment cinétique

Soit un solide en rotation à la vitesse angulaire de rotation ω(t) autour de l'axe(D) = (O, u⃗D ).

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à l'axe (D) est donné

par JD=∑i

m i r i2 .

Il est exprimé en kg.m2. C'est une caractéristique du solide quirenseigne à la fois sur la répartition des masses et sur lesdistances de celles-ci à l'axe de rotation (pas de contribution aumoment d'inertie des masses situées sur l'axe). Il quantifie larésistance du solide au changement de son mouvement derotation.

Le moment cinétique du solide par rapport à l'axe (D) est donné par LD=JD ω .

En pratique, le moment d'inertie sera fourni par l'énoncé mais on peut citer quelquesexemples pour des solides de géométrie simple.

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3.2. Moment d'une force

3.2.1. Définitions

Soit un point M soumis à une force (ou résultante de forces) F⃗ . Le moment de F⃗ parrapport à O est défini par:

M⃗O(F⃗ )=O⃗M∧F⃗ dont la norme est exprimée en N.m ou en

joules. O est un point fixe du référentiel d'étude. Le momentvectoriel indique comment la force va avoir tendance à fairetourner le point M autour de O.

On définit aussi le moment scalaire d'une force F⃗ par rapport à l'axe D = (O, u⃗D )

comme la projection du moment vectoriel sur l'axe D, soit MD(F⃗ )=M⃗

O(F⃗ )⋅u⃗

D=(O⃗M∧F⃗ )⋅u⃗

D .

MD(F⃗ )=M⃗

O(F⃗ )⋅u⃗

D=∥⃗OM∥∥F⃗∥sin(α)=±F d

• MD (F⃗ ) est positif pour α∈] 0,π [ , alors F⃗ a

tendance à faire tourner le point M dans le senstrigonométrique autour de l'axe D.

• MD (F⃗ ) est négatif pour α∈]−π ,0[ , alors F⃗ a

tendance à faire tourner le point M dans le sens horaireautour de l'axe D.

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(D)

On appelle bras de levier la distance d séparant l'axe D de la droite d'action (M ,F⃗ ) de laforce F⃗ . On a alors ∣MD (F⃗ )∣=norme de la force×brasde levier .

Remarque: Le moment d'une force (vectoriel ou scalaire) est une grandeur additive: lemoment de la somme des forces est la somme des moments.

3.2.2. Notion de couple

Deux forces F⃗ 1 et F⃗ 2 opposées s'appliquant respectivement en A et B forment un

couple de forces. Leur résultante F⃗ est nulle: F⃗=F⃗ 1+F⃗ 2=0⃗ . Ces forces dont de même

norme F et s'appliquent sur des droites d'action parallèles. Elles ont tendance à faire tourner lesolide.

On a ∣MD (F⃗ )∣=F d1+F d2=F (d1+d2)=F×AB .

Par abus de langage, comme la somme des deux forces estnulle et que seul le moment de ces forces est non nul, on désignesouvent par couple le moment du couple par rapport à (D) et onle note C. Si le couple fait tourner le solide dans le sens défini commepositif alors C > 0. Dans le cas contraire , on a C < 0.

Remarques: • C ne dépend pas de la position de l'axe de rotation.

• On peut généraliser la notion de couple à tous les cas où la somme des forces est nulleet le moment des forces par rapport à un axe (Oz) est non nul, sans se préoccuper desavoir s'il a fallu deux forces pour réaliser cette situation.

3.2.3. Liaison pivot

En général, si un solide possède un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, il existe undispositif mécanique permettant au solide de rester lié à l'axe.

On appelle liaison pivot un mécanisme ne laissant au solide qu'un seul degré de liberté enrotation autour d'un certain axe. (Exemple: pédale de vélo). Si la liaison pivot est géométriquementidéale, elle assure un guidage parfait de la rotation autour de l'axe de liaison et bloque toutetranslation le long de cet axe.

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Dans ce cas, le pivot exerce une action sur le solide caractérisée pas sa résultante R⃗ (quipossède a priori des composantes dans les trois directions de l'espace) et son moment M⃗O en un

point O de l'axe de rotation.

S'il existe des frottements, le pivot exerce alors un couple de frottement orthoradial dont lemoment scalaire est non nul.

En l'absence de frottement, le pivot est dit parfait et la résultante est perpendiculaire au plantangent aux deux solides au point de contact. La résultante rencontre alors l'axe de rotation etfinalement le moment scalaire de l'action de liaison par rapport à l'axe de rotation est nul.

3.3. Théorème du moment cinétique scalaire

Dans un référentiel galiléen, pour un solide en rotation autour d'un axe D et de momentd'inertie JD, on a

d LDdt

=∑MD(⃗actions extérieures )

⇔d (J Dω)dt

=J Ddωdt

=∑MD (⃗actions extérieures)

L'application du théorème conduit à devoir résoudre une équation différentielle en ω ou en θpour obtenir la loi d'évolution de la vitesse angulaire de rotation ou de l'angle θ.

Exemple: disque en liaison pivot

1. On considère un disque de rayon R et de masse m (tel que

J =12

mR2 ) en pivot parfait autour de l'axe (Oz). Ce disque est

initialement lancé à la vitesse angulaire ω0.

Les actions extérieurs exercées sur le disque sont son poids(qu'on considère appliqué au centre d'inertie du disque, soit lepoint C) et l'action du pivot parfait.

Le théorème du moment cinétique scalaire donne

J d ωdt

=M(Oz )(poids )+M(Oz )(pivot ) avec

• M(Oz )(poids )=(O⃗C ∧mg⃗ )⋅u⃗z=0 car O⃗C∥g⃗

• et M(Oz )(pivot )=0 pour un pivot parfait.

D'où J d ωdt

=0⇒ω(t)=cste=ω0 . Le disque ne frotte pas sur l'axe et conserve donc une

vitesse angulaire constante. On en déduit θ(t )=ω0t+θ0 .

2. La liaison pivot n'est plus parfaite et engendre un couple de frottement C = - αω, où α estune constante positive. Le théorème du moment cinétique scalaire donne à présent

J d ωdt

=M(Oz )(poids )+M(Oz )(pivot ) avec M(Oz )(poids )=(O⃗C ∧mg⃗ )⋅u⃗z=0 et M(Oz )(pivot )=C .

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D'où J d ωdt

=−αω⇔ d ωdt

+αJ

ω=0 . On obtient une équation différentielle du 1er ordre, qui

a pour solution ω(t )=ω0exp(−αJ

t) . On en déduit θ(t )=−J ω0

α exp (−αJ

t)+cste . Le disque finit

par s'immobiliser suite aux frottements.

4. Energétique du solide en rotation autour d'un axe fixe

4.1. Energie cinétique d'un solide en rotation

L'énergie cinétique d'un solide de moment d'inertie J, en rotation autour d'un axe (D) dansun référentiel R est donnée par:

Ec=12JDω2

4.2. Puissance d'une force et loi de l'énergie cinétique

La puissance d'une force f⃗ i appliquée en un point Mi d'un solide en rotation autour d'unaxe (D) est donnée par

P ( f⃗i)=M

D( f⃗

i)ω

Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique d'un solideindéformable en rotation autour d'un axe (D) est égale à la puissance des forces qui s'appliquent ausolide:

dEc

dt=∑

i

P ( f⃗ i)

Cette loi de démontre à partir du théorème du moment cinétique: J Dd ωdt

=∑i

MD ( f⃗ i ) .

On multiplie cette relation par ω:

JDd ωdt

ω=∑i

MD ( f⃗ i )ω

⇔ ddt

( 12J D ω2)=∑

i

MD ( f⃗ i)ω

d E c

dt=∑

i

P ( f⃗i)

.

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