MECANIQUE

1. Cinématique

La cinématique est la description géométrique du mouvement mais ne traite pas de ses causes.La cinématique à une dimension permet de traiter tous les problèmes dans lesquels lemouvement a lieu selon une ligne droite, qu'il s'agisse, par exemple, de voitures qui 'freinent 'ou de voitures qui 'accélèrent'. Afin de pouvoir décrire également le mouvement descarrousels ou des satellites en orbite autour des astres, on abordera la cinématique dumouvement circulaire.Les notions qui doivent être maîtrisées au cours de ce chapitre, sont les suivantes:- Position d'un mobile en fonction du temps- Vitesse d'un mobile en fonction du temps- Accélération d'un mobile en fonction du tempsOn remarquera qu'il s'agit de grandeur caractérisées par une norme et une direction (grandeursvectorielles).

1.1 Cinématique à une dimensionA. Position d'un objetPour repérer la position d'un objet, on choisit une origine et on mesure la distance x de l'objetà cette origine x en fonction du temps t.

Position d'un objet: x(t) Unités: x se mesure en mètres [m].

B. Vitesse d'un objet

La vitesse est définie comme étant la distance parcourue, divisée par le temps de parcours:

vitesse =distan cetemps

soit v = ΔxΔt

Unité: [m/s]

Vitesse d'un objet: v(t) Unités m/s

Exemple: une voiture roule de Neuchâtel à Lausanne et effectue le parcours (80 km) en uneheure. La vitesse moyenne est donc de 80 km/h.Par contre, la vitesse instantanée de la voiture peut être de 120 km/h à la hauteur d'Yverdonet de 40 km/h à l'entrée de l'autoroute. La vitesse instantanée est obtenue en considérant uneintervalle de temps Δt très petit et donc une distance Δx petite également.

Mécanique

2

Remarques:

• Conversion d'unité: 1 kmh=1000m3600 s

=13,6

ms

ou 1 m/s = 3,6 km/h

• La vitesse d'un mobile ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière, c=3.108 m/s

• La vitesse est caractérisée non seulement par sa norme (20m/s; 90 km/h) mais aussipar sa direction. Mathématiquement, la vitesse est donc une grandeur vectorielle.

• Lorsqu'une vitesse change, elle peut changer en norme (une voiture roule de plus enplus vite sur une route droite; un autobus freine sur un bout rectiligne et s'arrête) maiselle peut aussi changer en direction. Exemple: le passager d'un carrousel peut sedéplacer constamment à 40 km/h, cependant sa direction change continuellement. Ondira que la vitesse du passager change.

• En physique, lorsqu'on dit "la vitesse d'un mobile est constante" on sous-entend que lavitesse est constante en norme et en direction. Sinon, il faut donner des indicationssupplémentaires.

• Lorsque la trajectoire est rectiligne, il est évident que la direction de la vitesse estconstante. Un 'changement' de vitesse est alors équivalent à un changement de lanorme de la vitesse.

• La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire

C. AccélérationPour décrire et calculer une variation de vitesse, il faut introduire la notion d'accélération.Ainsi, on distingue la voiture A qui passe de 0 à 100 km/h en 15 s, de la voiture B qui passede 0 à 100 km/h en 8 s, en disant que l'accélération de B est plus grande que l'accélération deA.

€

Accélération =variation de vitesseintervalle de temps

soit

€

a =ΔvΔt

Unités: m / ss

=ms ⋅s

=ms2= m ⋅ s−2

Exemple: l'accélération de la pesanteur vaut g=9,81 m/s2. Cela signifie que, lors d'une chutelibre, la vitesse de la balle qui tombe augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. Si on lâche laballe avec une vitesse initiale nulle, la vitesse est de 9,81 m/s après 1 s; de 19,62 m/s après 2s; de 29,43m/s après 3 s, etc.

Ordres de grandeur :Freinage sur route sèche: 4 - 5 m/s2 ; Freinage sur route mouillée: 3 - 4 m/s2

Accélération subie par un pilote d'essai: 10-12 .g, pendant des temps très courts

Mécanique

3

1.2 Mouvements particuliers à une dimension1.2.1. Mouvement rectiligne uniforme: MRUC'est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante v0.Position, vitesse et accélération sont donnés par :Position :

€

x(t) = v0 ⋅ t + x0Vitesse :

€

v(t) = v0Accélération :

€

a = 0

1.2.2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré: MRUADans ce cas, l'accélération est constante, on la note a.Position, vitesse et accélération sont donnés par :

Position :

€

x(t) =12a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + x0

Vitesse :

€

v(t) = a ⋅ t + v0Accélération :

€

a ≠ 0

Exemples :

1) Un cycliste qui parcourt 25 km en 80 minutes, se déplace à :

€

v =25 ⋅103

80 ⋅ 60= 5,21 m/s

2) MRU : une voiture se déplace à 75 km/h. Elle parcourt donc 6,25 km en 5 minutes.

3) La distance parcourue par la lumière en 1 année est de 9,45.1015 m.

4) Le temps que met la lumière pour nous provenir du Soleil est de 8,33 min.

5) Une voiture dont la vitesse initiale est de 60 km/h a une accélération de 2 m/s2 pendant12 s. La distance que la voiture parcourt durant ce temps est de :

€

x =12

2 ⋅122 + (60 /3,6) ⋅12 = 344 m et sa vitesse finale vaut :

€

v = 2 ⋅12 + (60 /3,6) = 40,67 m/s =146 km/h

6) On laisse tomber un caillou dans un puits . Le temps de chute est de 1,23 s. On endéduit que la profondeur du puits est de :

€

x =12

9,81⋅1,232 = 7,42 m et que la vitesse

avec laquelle le caillou arrive au fond est de :

€

v = 9,81⋅1,23 =12,1 m/s

7) Une voiture roulant à 50 km/h doit freiner et s'arrêter sur 240 m. On aimerait connaîtrela décélération du véhicule et le temps qu'il lui a fallu pour s'arrêter. On a les deuxéquations

€

240 =12a ⋅ t 2 + (50 /3,6) ⋅ t ainsi que

€

0 = a ⋅ t + (50 /3,6) . De la deuxième

équation on tire

€

a = −13,9t

que l'on introduit dans la première

€

240 =12(−13,9

t) ⋅ t 2 +13,9 ⋅ t = 6,95 ⋅ t . D'où :

€

t = 34,6 s et

€

a = −0,402 m/s2

Mécanique

4

1.3 Mouvement circulaire uniforme (MCU)

C'est le mouvement d'un corps qui se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon r à unevitesse v de norme constante.

La position du mobile peut être marquée sur le cercle en notant que la longueur d'arc parcouruest la même pour des intervalles de temps égaux.

La période de révolution du mobile est le temps T mis pour effectuer un tour complet.

Le vecteur vitesse en différents points de la trajectoire circulaire est un vecteur tangent aucercle.

L'accélération peut être déterminée intuitivement si l'on remarque que les effets ressentis dansun virage sont fonction du rayon de courbure de celui-ci et de la vitesse de la voiture. Desconsidérations d'unités permettent ensuite d'écrire:

Accélération centripète:

€

ac =v 2

rUnités: m/s2

Exemples:

1) Une voiture roulant à 60 km/h et prenant un virage de rayon de courbure 300 m est

soumise à une accélération de

€

ac =(60 /3,6)2

300= 0,926 m/s2

2) On fait tourner un caillou au bout d'une ficelle longue de 60 cm dans un plan horizontal,à raison de 15 tours en 10 s. La distance parcourue par le caillou durant ce temps est de

€

d =15 ⋅ 2π ⋅ r =15 ⋅ 2π ⋅ 0,6 = 56,6 m. La période du caillou vaut :

€

T =10 /15 = 0,667 set sa vitesse est de

€

v =dt

=56,610

= 5,66 m/s. Quant à l'accélération centripète, elle est

donnée par :

€

ac =5,662

0,6= 54,4 m/s2

Mécanique

5

2. Dynamique

La dynamique traite de la cause du mouvement. On constate que l'état de mouvement d'unobjet ne change que si des forces agissent sur ce dernier.Dans ce qui suit, il ne sera question que de la mécanique du point matériel (qu'il s'agisse d'unéléphant, d'une locomotive, d'un escargot ou d'un caillou). La seule caractéristique du pointmatériel est sa masse (quantité de matière en kg), à ne pas confondre avec le poids (force dueà l'attraction terrestre, en N)

2.1 Notion de forceUne force peut produire une déformation ou être à l'origine de la variation de l'état demouvement d'un corps.Une force est caractérisée par sa norme et par sa direction. C'est donc une grandeurvectorielle.Notation: Fi

→

Unité: Newton [N]

Exemples de forces:Poids

€

FP Propulsion ou traction

€

FT Frottement

€

r F frott

Gravitation

€

r F grav Force électrique

€

r F él etc Poussée d'Archimède

€

r F Archi

Si plusieurs forces agissent sur un corps, c'est la résultante vectorielle des forces, F→

, qu'ilfaut considérer:

F→

= Fi→

i∑

L'addition vectorielle peut s'effectuer graphiquement comme suit:

F1→

F2→

F1→

F2→

F1→

F2→

Corps de masse m

Il est essentiel de préciser le corps sur lequel les forces agissent ("corps jaune").

• Si la résultante des forces, F→

, est parallèle à la vitesse v→

et de même sens, l'effet de laforce résultante sera d'augmenter la norme de la vitesse (MRUA)

• Si F→

est opposé à v→

, la norme de la vitesse diminue (MRUA).• Si F

→

est perpendiculaire à v→

, c'est la direction de la vitesse qui sera modifiée(MCU).

Mécanique

6

2.2 Lois de Newton

1. Principe d'inertie: si aucune force résultante n'agit sur un corps, ce dernier conserve sonétat de mouvement:

F→

= 0→

€

⇔ v→

= const→

2. Loi fondamentale de la dynamique: l'accélération d'un corps de masse m est proportionnelleà la résultante des forces agissant sur lui et inversement proportionnelle à sa masse:

a→

=F→

m ou plus familièrement: F

→

= m ⋅ a→

Remarques:1) Le principe d'inertie n'est qu'un cas particulier de la loi fondamentale de la dynamique.2) L'accélération est une grandeur vectorielle qui est toujours parallèle au vecteur "forcerésultante"3) La force est responsable de l'accélération et non de la vitesse d'un corps.

Exemples :

1) Un cycliste de 80 kg roule à la vitesse constante de 12 km/h sur une route horizontalealors qu'il est soumis à des forces de frottements de 600 N. Avec quelle force pédale-t-il? Réponse: puisqu'il roule à vitesse constante et que la somme des forces vaut alorszéro, il pédale avec une force de 600 N. Faire le dessin.

2) Ce même cycliste fait ensuite un effort supplémentaire et développe une force de 690 Npendant 5 secondes. Que se passe-t-il? Réponse: la force résultante agissant sur lecycliste est de 90 N. Son accélération vaut alors

€

a =Fm

=9080

=1,13 m/s2 . La vitesse du

cycliste va donc augmenter et passer à

€

v =1,13 ⋅ 5 + (12 /3,6) = 8,98 m/s = 32,3 km/h . Ilaura parcouru 30,8 m durant ce laps de temps. Dessin.

3) Une voiture de 1200 kg passe de 60 à 90 km/h en 25 s. Les forces de frottements valent1,5kN. Quelle doit être la force du moteur, la route étant horizontale? Réponse:l'accélération du véhicule est de

€

a = 0,333 m /s2. La résultante des forces agissant sur lavoiture doit donc valoir

€

F = m ⋅ a =1200 ⋅ 0,333 = 400 N . Force de frottement et forcedu moteur étant opposées, la force du moteur vaut donc :

€

Fmot = F + Ffrott = 400 +1500 =1900 N . Dessin.

4) La même voiture que ci-dessus descend une pente de 9°. Quelle doit être la force dumoteur? Réponse: l'accélération est la même que précédemment, mais trois forcesagissent maintenant sur la voiture : la composante de la force pesante selon le planincliné, la force du moteur dans le même sens que la précédente, la force de frottementopposée aux deux précédentes. Dessin indispensable. Ecrivons cependant la résultante(qui est parallèle au plan incliné):

€

F = mg ⋅ sinα + Fmot − Ffrott donc

€

Fmot = F −mg ⋅ sinα + Ffrott = 400 −1200 ⋅ 9,81⋅ sin(9) +1500 = 58,5 N

Mécanique

7

Dans les exemples qui suivent, on demande de savoir esquisser les vecteurs-forces, sanseffectuer de calculs, mais en respectant les longueurs relatives des vecteurs.

5) Quelle est la valeur de la force exercée par le câble d'une grue sur une masse M, dans lesconditions suivantes (on néglige les forces de frottement; en gris: vecteur vitesse): NB.Ici on note le poids

€

P = FP

(a) la masse M est immobile: (b) la grue monte la masse àvitesse constante:

(c) la grue descend la masse àvitesse constante:

M

câble

€

r P

€

r F câble

M

câble

€

r P

€

r F câble

M

câble

€

r P

€

r F câble

(d1) la grue monte lamasse avec uneaccélération a:

(d2) la grue monte lamasse avec unedécélération a:

(e1) la grue descend lamasse avec uneaccélération a:

(e2) la grue descend lamasse avec unedécélération a:

câble

€

r P

€

r F câble

€

r F

câble

€

r P

€

r F câble

câble

€

r P

€

r F câble

câble

€

r P

€

r F câble

€

r F

Mécanique

8

6) Camion de masse M dans différentes conditions:

€

S est la force de soutien exercée par leplan sur l'objet.

Camion roulant à vitesse constante (avec forces defrottement):

Camion roulant de plus en plus vite (avec forces defrottement):

€

r P

€

r F frott

€

r F moteur

€

r S

€

r P

€

r F

€

r F frott

€

r F moteur

€

r S

Camion roulant de plus en plus lentement (avecforces de frottement):

€

r P

€

r F

€

r F frott

€

r F moteur

€

r S

7) Skieur de masse M descendant une pente:Pente infiniment glissante Pente avec frottement faible

€

r P

€

r S

€

r F

€

r P

€

r S

€

r F

€

r F frott

Pente avec frottement important

€

r P

€

r S

€

r F

€

r F frott

Mécanique

9

8) Corps en équilibre sur un plan horizontal :

€

r S

€

r P

€

r S est la force de soutien exercée par le sol;

€

r P est le poids.

Equilibre :

€

r F i∑ =

r 0 =

r P +

r S

9) Corps en équilibre sur un plan d'inclinaison α :

€

α

€

r P

€

r S

€

v F 3

€

r S est la force de soutien exercée par le sol;

€

r P est le poids

€

v F 3 est la force qu'il faut pour retenir le

corps.Equilibre :

€

r F i∑ =

r 0 =

r P +

r S +

r F 3

On peut montrer que

€

F3 = P ⋅ sinα (voir ci-dessous)

10) Corps glissant sans frottement le long d'un plan incliné:

€

α

€

r P

€

r S

€

r F

€

r S est la force de soutien exercée par le sol;

€

r P est le poidsalors que

€

r F est la résultante de

€

r S et de

€

r P . La

norme de cette force est calculée enremarquant qu'elle est le côté opposé àl'angle α du triangle rectangle d'hypoténuse

€

r P . Elle vaut donc

€

F3 = P ⋅ sinα .L'accélération du corps est donnée par

€

a =Fm

=P ⋅ sinαm

= g ⋅ sinα

L'accélération est nulle si le plan esthorizontal (α=0°) et égale à g si le plan estvertical (α=90°)

Mécanique

10

3. Action=Réaction: si le corps 1 agit sur le corps 2, alors le corps 2 réagit sur le corps 1 avecune force égale en norme mais opposée en direction:

F12→

= − F21→

Exemples:

1) Discuter de la force avec laquelle la Terre agit sur vous et de la force que vous exercezsur la Terre

2) Expliquer le principe de fonctionnement d'un avion à réaction

2.3 Théorème travail-énergie

Définition:

Le travail A d'une force quelconque

€

r f est défini comme:

€

A1,2(r f ) =

r f •

r d 1,2

où f est la force agissant sur un corps de masse m qui se déplace du point (1) au point (2).

Unités: la force s'exprime en N, la distance en m. Le travail est alors en Joule [J]

Théorème:Le théorème travail-énergie se démontre en calculant le travail de la résultante des forces.Considérons, pour simplifier, un chemin rectiligne de longueur d sur lequel un mobileaccélère régulièrement en passant du point 1 au point 2, car soumis à une force résultante F.La vitesse en 2 sera donc plus élevée que la vitesse en 1.

On peut alors calculer:

Vitesse moyenne entre les points (1) et (2):

€

vmoyenne = (v1 + v2) /2 = d / tAccélération entre ces points:

€

a = (v2 − v1) / t

Mécanique

11

Travail de la résultante: A12( F→

) = F→

• d→

€

A12(r F ) =

r F •

r d = F ⋅ d = (ma) ⋅ d = m ⋅ a ⋅ vmoyenne ⋅ t En remplaçant la vitesse moyenne et

l'accélération par les expressions données ci-dessus, on trouve:

€

F ⋅ d = (m ⋅ a) ⋅ d = (m ⋅ v2 − v1t

) ⋅ vmoyenne ⋅ t = m (v2 − v1)t

(v2 + v1)2

t

En effectuant on trouve finalement:

€

A12(r F ) =

12

mv22 −12

mv12 = E2

cin − E1cin où l'on a défini l'énergie cinétique comme:

€

E cin =12mv 2

Donc en utilisant les définitions:

Travail de la résultante:

€

A(r F ) =

r F •

r d et Energie cinétique:

€

E cin =12mv 2 on a établit le

Théorème Travail-Energie:

€

A1,2(r F ) = ΔE cin

c'est-à-dire, le travail de la résultante agissant sur un corps de masse m est égale à la variationde l'énergie cinétique de cette masse.Notons que le travail, selon la direction de la force résultante, peut être positif, négatif ou nul.Cette loi est utile et plus facile à mettre en oeuvre si on ne s'intéresse pas aux directions desvitesses. Sinon il faut résoudre l'équation de Newton, qui est une équation vectorielle.

Exemples :

1) On pousse un véhicule de 200 kg de sur 55 m avec une force de 300 N. Les forces defrottements valent 275 N. Le véhicule étant initialement immobile, quelle sera sa vitessefinale? Réponse : la résultante de force vaut 25 N. On agissant sur 55 m le travaileffectué sur le véhicule est de

€

A = 25 ⋅ 55 =1,38 kJ . La vitesse initiale étant nulle, lavitesse finale s'obtient comme :

€

A =12m ⋅ v 2 − 0 , soit

€

v = 2A /m = 2 ⋅1380 /200 = 3,71 m/s. Dessin.

2) Une balle de masse m tombe d'une hauteur h. Le travail effectué sur la balle vaut

€

A1,2 = m ⋅ g ⋅ h . Dessin.

3) Un skieur de 90 kg dévale une pente longue de 1500 m et dont le dénivelé est de 120 m.Les forces de frottements, constantes, valent 60 N. Quelle est la vitesse du skieur au basde la pente s'il est initialement immobile? Réponse par le théorème TE :

€

A1,2(FP ) + A(Ffrott ) =12m ⋅ v 2 − 0. Or

€

A1,2(FP ) = 90 ⋅ 9,81⋅120 =106 kJ et

€

A1,2(Ffrott ) = −60 ⋅1500 = −90 kJ . Le travail total vaut donc 15'950 J. On en déduit la vitesse

du skieur :

€

A1,2 =15'950 =1290 ⋅ v 2 d'où

€

v =18,8 m/s = 67,8 km/h.

Mécanique

12

2.4 GravitationL'extraordinaire idée unificatrice de Newton a été de constater que la force responsable de lachute des pommes sur la Terre, est la même force que celle qui maintient la Lune en orbiteautour de la Terre!Question: pourquoi la Lune ne nous tombe-t-elle pas sur la tête?

La force de gravitation universelle - force attractive responsable de la cohésion des galaxies,de celle de notre système solaire, du fait que nous restons à la surface de notre planète et quenous y avons un poids - s'exerce entre tous les corps pourvus de masse m. Soient m1 et m2,deux corps massifs séparés par la distance r.

m1

m2

r

m1

m2

r

L'expression de la norme de la force est alors donnée par:

Fgrav = G ⋅m1 ⋅m2

r 2

Où les masses sont en kg, la distance en m, la force en N.G=6,67.10-11 N/kg2.m2 est une constante universelle.

Exemples.

1) Force d'attraction gravitationnelle s'exerçant entre deux élèves de 55 kg assis sur les bancsc'école, à 30 cm l'un de l'autre? Réponse :

€

Fgrav =G 55 ⋅ 550,32 = 2,24 ⋅10−6 N . C'est la force qu'il

faudrait pour porter une masse de 0,2 µg!

2) Force gravitationnelle exercée sur l'un des élèves par la Terre ? Réponse : la distance quisépare l'élève et la Terre est égale au rayon terrestre. Donc :

€

Fgrav =G 55 ⋅ 5,97 ⋅1024

(6,37 ⋅106)2 = 540 N

3) Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune. Que vaut l'accélérationde la Lune?Réponse :

€

Fgrav =G 7,35 ⋅1022 ⋅ 5,97 ⋅1024

(3,84 ⋅108)2 =199 ⋅1018 N ; accélération de la Lune :

€

aL =FgravMLune

= 2,70 ⋅10−3 m/s2

4) Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la Terre. Que vaut l'accélérationde la Terre? Réponse : en vertu de la 3ème loi de Newton, la force exercée par la Lune surla Terre est la même que la force exercée par la Terre sur la Lune. Par contre, l'accélérationde la Terre (due à l'action de la Lune) vaut :

€

aL =FgravMTerre

= 33,3 ⋅10−6 m/s2 . On comprend

pourquoi c'est la Lune qui tourne autour de la terre et non l'inverse!

F2/1

F1/2

Mécanique

13

Le poids.Jusqu'ici on a vu que le poids valait: FP =mg. Il est dû en fait à l'attraction gravitationnelleexercée par la Terre sur un objet de masse m. Par conséquent, on doit retrouver la mêmeexpression en utilisant la loi de gravitation universelle, avec m1=m et m2=M, masse de laTerre. La distance séparant le centre des deux corps en interaction est ici égale au rayonterrestre R:

On peut alors écrire:

€

FP = m ⋅ g = Fgrav =G m ⋅ MR2

Décidons alors d'appeler "poids", la force de gravitation s'exerçant sur un corps lorsque celui-ci est très 'proche' de la surface terrestre.

Remarques:• L'accélération de la pesanteur, g, dépend de la masse de la planète et de son rayon et

vaut: g = G ⋅MR2

• L'expression de g suggère une méthode pour la mesure de la masse de la Terre! Eneffet, la mesure de g est facile à réaliser en principe. G est une constante universellepubliée dans les Tables Numériques. Elle a été mesurée pour la première fois parCavendish, 50 ans environ après la mort de Newton. Le rayon terrestre est connudepuis l'antiquité puisqu' Eratosthène, savant grec et lecteur assidu de la bibliothèqued’Alexandrie, a proposé sa mesure en 250 av. notre ère. Le principe de mesure est lesuivant:

Alexandrie

Syène = Assouan

Rayons solaires

αSituation au solstice d’été

à midi:

Si l'on connaît la distance Alexandrie-Syène, il suffit de mesurer l'angle α pour endéduire le rayon terrestre R. La masse se déduit alors simplement des mesuresprécédentes....

Mécanique

14

Mouvement d'un satellite autour d'un astre.

La Lune ne se déplace pas en ligne droite puisqu'elle est soumise à l'attraction terrestre. Laforce s'exerçant perpendiculairement à la direction de la vitesse, on voit d'après ce qui a été ditdans les paragraphes précédents, que la norme de la vitesse reste constante mais que la vitessechange constamment de direction: on a affaire à un MCU.

Prenons le cas Terre-Lune :Si l'on suppose connu la masse des corps célestes et la distance qui les sépare, r, on peutcalculer (a) la vitesse à laquelle la Lune se déplace autour de la Terre (b) l'accélération de laLune et surtout (c) la période de révolution de la Lune. Ces résultats sont bien sûr égalementvalables pour d'autres couples astre-satellite. On notera: m, masse de la Lune; M masse de laTerre.

Il suffit d'utiliser le fait que

€

Fgrav =G m ⋅ Mr2

, ainsi que la loi fondamentale de la dynamique

F=ma. S'agissant d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est donnée par: a = v2

r.

On trouve ainsi (réfléchir à ce que représentent les masses dans les relations ci-dessus):

Mécanique

15

(a) Vitesse :

€

v =GMr

(b) Accélération :

€

a =GMr2

(c)La période de révolution T, définie comme le temps mis par la Lune pour effectuer un tourcomplet: T =

2πrv

, peut se calculer en remplaçant la vitesse par son expression. On trouve :

T 2 =4π2

G ⋅Mr 3 .

Ce dernier résultat, établi grâce à la loi universelle de la gravitation, est fondamental. Ilconfirme et explique la proportionnalité entre T2 et r3 qui avait été trouvée par Kepler au débutdu XVIIème à partir des mesures de Tycho Brahé.

Remarques:• L'expression ci-dessus ne dépend pas de la masse du satellite en orbite.• Par contre, elle dépend de la masse de l'astre. Si l'on parvient à mesurer la distance à

laquelle orbite un satellite ainsi que sa période, on peut en déduire la masse de l'astre.C'est une merveilleuse méthode pour mesurer la masse d'un astre dont on ne pourrajamais fouler le sol pour y laisser tomber un crayon et mesurer ainsi g!

Exemples:1) Que vaudrait la période de rotation de la Lune si elle était 2 x plus proche de la Terre? 2

x plus éloignée?

Réponse : la période de la Lune est donnée par

€

TLune2 =

4π 2

G ⋅ MTerre

⋅ r3 . Si la Lune était deux

fois plus loin, on aurait

€

T 'Lune2 =

4π 2

G ⋅ MTerre

⋅ (2r)3 et donc

€

T '= 23T = 2,83 ⋅T

2) A quelle distance devrait se trouver la Lune pour que sa période de révolution soit deune semaine? Réponse :

€

r3 = (1 semaine)2 G ⋅ MTerre

4π 2 d'où l'on tire

€

r =155 ⋅106 m

3) Que vaut la masse du Soleil, connaissant le temps de révolution de la Terre autour decelui-ci ainsi que la distance Terre-Soleil (150 mio km)? Réponse :

€

MSoleil =4π 2

G ⋅TTerre2 dTerre−Soleil

3 = 2,01⋅1030 kg

Mécanique

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Remarque générale:L'application de la loi de Newton est techniquement impossible pour nous dans le casgravitationnelle sauf si l'on a affaire à un MCU comme vu ci-dessus. En ce qui concerne lesautres types de mouvement, on remarque que puisque la force n'est pas constante, on n'aurajamais de MRUA. Dans le cas où des météorites entrent en collision frontale avec uneplanète, la trajectoire est bien rectiligne mais l'accélération n'est pas constante. On peutnéanmoins travailler avec le théorème travail-énergie en admettant que le travail de la forcede gravitation est donné par :

€

A1,2(Fgrav ) =G ⋅ M ⋅m( 1r2−1r1)

où M est la masse de l'astre, m celle de l'objet soumis à son influence, r1 et r2 les distancesinitiale, resp. finale, de l'objet à l'astre.

Exemples :1) Le travail pour aller de la surface d'un astre à trois fois son rayon vaut :

€

A1,2(Fgrav ) =G ⋅ M ⋅m( 13R

−1R) = −

23GMmR

2) Pour échapper à l'attraction d'un astre, il faut que notre vitesse à l'infini soit au moins égaleà zéro! A quelle vitesse faut-il lancer verticalement vers le haut un objet situé à la surface de

l'astre ? Le théorème TE permet d'écrire:

€

A1,2(Fgrav ) =G ⋅ M ⋅m( 1∞−1R) = 0 − 1

2m ⋅ vlib

2 . On

trouve pour la vitesse de libération

€

vlib = 2GM /R

Bref historique de l'astronomie:

Les questions qui se posaient aux savants-philosophes de l'antiquité (Platon, Aristote),portaient sur la nature des astres qu'ils voyaient se déplacer dans le ciel et sur l'origine de leurmouvement. Comme il était alors inconcevable d'imaginer un mécanisme susceptible demouvoir un objet aussi massif que la Terre (le principe d'inertie est du à l'imaginationcréatrice de Galilée, aux environs de 1600), la Terre a été placée, immobile, au centre dumonde. Le Soleil, les étoiles, les planètes ont acquis, eux, le statut d'objets célestes constituésd'une essence particulière, divine (quintessence), ne nécessitant pas de force pour rester enmouvement orbital autour de la Terre. La particularité de ces objets était également reflétéedans le fait que leurs orbites devaient, elles aussi, porter la marque de la perfection: seule lafigure géométrique du cercle (figure symétrique, fermée, parfaite) pouvait satisfaire à unetelle exigence.

Les trajectoires circulaires rendaient compte de manière satisfaisante de la position du Soleilet des étoiles. Par contre les planètes, qui semblaient errer sur la voûte céleste, nécessitaientpour la description de leurs trajectoires, des figures géométriques plus complexes mais qui,une fois de plus, ne pouvaient être que des combinaisons de cercles (épicycles). Cettecosmologie a été portée à son point culminant dans l'ouvrage de Ptolémée (environ 100 denotre ère), traduit ultérieurement en arabe et connu sous le titre "L'Almageste".

Pendant les 15 siècles qui vont suivre et qui ne verront que peu de nouvelles mesures, c'est lavision géocentrique qui prévaut. Elle semble en parfait accord avec l'observation: c'est le

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Soleil qui se meut autour de la Terre tout comme les autres astres, les étoiles sont fixées sur lavoûte céleste et l'immobilité de la Terre (qui semble s’imposer avec une parfaite évidence àl’observation quotidienne puisque l’on ne sent pas son mouvement) est confirmée parl'absence de parallaxe. En résumé, cette cosmologie, en harmonie avec la visionanthropocentrique de la religion, a le mérite de proposer une 'explication' de l'ordre du monde:les astres sont parfaits et de nature divine ; par conséquent il peuvent se déplacer sansintervention extérieure et leurs trajectoires sont des cercles parfaits.

En 1543 paraît "De Revolutionibus Orbium Coelestium". Copernic met le Soleil, source delumière et de chaleur, au centre du monde: la cosmologie devient héliocentrique. Lareprésentation du système solaire en est grandement simplifiée et le mouvement erratique desplanètes y trouve une explication évidente. Mais les trajectoires, quant à elles, restent encoreet toujours des cercles parfaits ! De plus, pour que les prédictions de son modèle soientconformes aux observations, Copernic ne peut éviter d'ajouter des dizaines d'épicycles dansses calculs. Finalement, sa théorie ne répond pas aux objections concernant l'absence deparallaxe et le fait que l'on ne sente pas le mouvement de la Terre. Et d'ailleurs, comment cemouvement est-il même possible?

Tycho Brahé, astronome danois, est le premier à effectuer une série d'observationsastronomiques d'extraordinaire qualité. Lorsqu’il est nommé astronome de l'empereur RudolfII (Prague), Kepler le rejoint et lui demande à pouvoir consulter, utiliser et analyser sesmesures et à leur trouver une explication. Après des années de travail acharné, et l'abandon,finalement, du dogme des trajectoires circulaires, Kepler propose un modèle cohérent dusystème solaire: le Soleil est au centre, une sorte de 'force' maintient les planètes en orbiteautour de lui. Les trajectoires sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers et la relationentre le temps de révolution T des planètes et leur distance au Soleil, est donné par la relation:T2 proportionnel à r3. Kepler se débarrasse ainsi définitivement des épicycles. Quant auproblème de l'absence de parallaxe des étoiles, il est tout simplement la conséquence de ladistance phénoménale à laquelle elles se trouvent.

Contemporain de Kepler, Galilée découvre, grâce à la puissance de son imagination, leprincipe d'inertie. Dès lors, l'énormité de la masse des planètes n'est plus un obstacle à leurmobilité. De plus, pointant un télescope sur le Soleil, il constate que sa surface n'est pasparfaite. Il observe en outre que, tout comme le Soleil, Jupiter possède ses propres satellites.La perfection 'divine' s'effrite peu à peu. Il écrit en 1610, dans un langage clair et élégant, "LeMessager Astral". L'ouvrage devient rapidement populaire et la science potentiellementaccessible à tous...

Newton, qui naît l'année de la mort de Galilée (1642), publiera en 1687 les "PrincipiaMathematica", l'ouvrage monumental, l'ouvrage-clé de toute la physique classique. Les lois dela dynamique y sont établies, de même que la loi universelle de la gravitation. Il inventemême le calcul intégral et différentiel, outil indispensable pour ses calculs. Jusqu'à Einstein,220 ans plus tard, la représentation du monde mécanique semblait pouvoir être décrite dansles seuls termes de Newton. Avec la contribution magistrale de Maxwell qui réalise au milieudu XIXème siècle la synthèse de l’électromagnétisme, le monde naturel semblait entièrementexplicable. Peu après, d’ailleurs, JJ. Thomson affirme: "Tous les phénomènes naturelspeuvent être expliqués par la science. Il n'y a que deux petits nuages sombres à l'horizon: lerésultat négatif de l'expérience de Michelson-Morley et la catastrophe ultraviolette deRayleigh-Jeans" Du premier nuage sortira la mécanique relativiste, du second la mécaniquequantique....

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3. Statique des fluides

3.1 FluidesOn regroupe sous le nom de fluide les liquides et les gaz. Les différences physiques entresolides, liquides et gaz s'expliquent par les forces qui lient les molécules entre elles dans cestrois états. Les fluides pouvant s'écouler, ils possèdent quelques propriétés particulières quen'ont pas les solides. Rappelons que les forces de cohésion dans les liquides sont suffisantespour qu'ils aient un volume propre, bien que ne possédant pas de forme propre. Les gaz n'ontni volume, ni forme propres.

3.2 PressionLa pression est définie par

€

p =FnormalA

où F est la force qui s'exerce normalement à la surface et A l'aire de cette surface. Dans unfluide incompressible (liquide), la pression est immédiatement transmise, inchangée, en touspoints du fluide.

Unités: la pression se mesure en

€

Nm2 ou Pascal [Pa].

Autres unités: 1 torr = 1 mmHg=0,133 kPa ; 1 atm=760 mmHg=1,013.105 Pa ; 1 bar=105 Pa

3.3 Principe de PascalD'après le principe de Pascal, en tout point d'un fluide en équilibre il existe une pression.Celle-ci est indépendante de la direction et est la même en tout point, à condition que l'onpuisse négliger la gravitation.

Exemple: la presse hydraulique est une illustration du principe dePascal et de la signification de la définition de la pression. En

effet, on a pour une presse hydraulique,

€

p1 = p2, soit

€

F1A1

=F2A2

.

Une petite force appliquée sur un petite surface produit autantd'effet qu'une grande force appliquée sur une grande surface.

Remarques:• La pression est indépendante de l'orientation de la surface (pensez au tympan d'un

plongeur)• A même altitude, la pression en tous les points du fluide est la même• Dans un fluide ce n'est pas la force qui est transmise, mais la pression.

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Exemples :1. Quelle est la pression exercée par une masse de 100 g posée sur une surface de 1 m2 ? Rép. 1 Pa

2. Une masse M est tenue au bout du doigt, dont la surface est de 1 cm2. Que vaut la pression exercée sur ledoigt? Rép. 105 Pa

3. Que vaut la force exercée par la pression atmosphérique sur un disque de diamètre 15 cm? Rép. 1790 kg

4. Une machine hydraulique est utilisée pour soulever une voiture. Sa masse est de 1200 kg et elle est poséesur un piston de 1,5 m2. Avec quelle force faut-il agir sur le piston de plus faible section pour soulever lavoiture? La section du piston moteur est de 400 cm2. Rép. 320 N

3.4 Loi de variation de la pressionA. Cas des fluides incompressibles (liquides):La pression exercée au bas d'une colonne de liquide de hauteur h due à son poids propre vaut:

€

p =PoidsAire

=mgA

=ρ ⋅ h ⋅ A ⋅ g

A= ρ ⋅ g ⋅ h

La pression ne dépend ni de la forme, ni de la quantité de liquide, mais uniquement de sahauteur.

Cette propriété explique lescaractéristiques des vases communicants:En A et E la pression est égale à lapression atmosphérique. En B, C, D lespressions sont égales en vertu du principede Pascal et valent

€

pB = patm + ρgh

Le principe du manomètre (dispositif pour mesurer la pression d'un gaz contenu dans uneenceinte) est également basé sur les propriétés que nous venons de voir:Au niveau désigné par la flèche, la pression dans le liquide estla même à gauche et à droite du tube. A gauche, la pression ence point, pG est égale à la pression p dans le gaz; à droite lapression pD est égale à la pression atmosphérique plus lapression exercée par le poids de la colonne de liquide au-dessus du point fléché: pG= pD, soit:

€

p = patm + ρgh

Exemple: une colonne de mercure de 760 mm exerce une pression comparable à celle d'unecolonne d'eau de 10,3 m ou une colonne de sang de 9,8 m.

B. Cas des fluides compressibles (gaz):Dans le cas des gaz, la relation entre pression et hauteur de colonne de gaz n'est plus sisimple, puisque le poids propre du gaz peut le comprimer. Dans le cas de l'atmosphère, larelation pression-altitude n'est pas linéaire (voir Tables Numériques p. 179 et 201). Les gazn'ayant pas de volume propre, il existe une relation entre la pression du gaz et le volume qu'iloccupe.

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Exemples :1. Quelle est la pression à 30 m sous la surface de la mer (densité: 1,026)? Quelle est la force s'exerçant sur le

tympan (surface 1 cm2)? Sur la surface d'un hublot? Rép. 30,2 N

2. (a) Quelle est la pression à La Chaux-de-Fonds, si la pression à Neuchâtel est de 950 hPa?(b) Calculer la pression au sommet du Mont-Blanc. Comparer avec la valeur des tables et discuter durésultat. Rép. 943,5 hPa

3.5 Poussée d'ArchimèdeUn objet plongé dans un gaz ou dans un liquide subit une pression du fluide en chaque pointde sa surface. La force correspondante agit perpendiculairement à l'aire considérée et lapression est plus grande sur les points plus éloignés de la surface du fluide.

Cylindre plongé dans l'eau : les forces exercées sur chaque unitéde surface se compensent horizontalement. Il reste les forcesverticales. La force qui s'exerce sur la face inférieure est dirigéevers le haut et est supérieur à la force qui s'exerce sur la facesupérieure et est dirigée vers le bas. La force nette due à lapression de l'eau est donc dirigée vers le haut. On peut montrerque sa norme est égale au poids du volume de fluide déplacé parl'objet. C'est la poussée d'Archimède.

Poussée d'Archimède:

€

FA = ρ fluide ⋅ g ⋅Vimmergé

FA

P

Le corps peut être complètement oupartiellement immergé. Selon que la poussée estplus grande, plus petite ou égale au poids,l'objet monte, descend ou est en équilibre dansle fluide.

Volume immergé

FA

P

Exemples :1. Que vaut la poussée d'Archimède s'exerçant dans la mer sur un nageur de 70 kg entièrement immergé?

Immergé aux 3/4? Rép. 700 N; 525 N

2. Que vaut la force nette s'exerçant sur une sphère de bois de rayon R = 5 cm entièrement immergée dansl'eau? Que vaut l'accélération de la sphère? Que va-t-il se passer? Rép. (densité épicéa 460) 0,283 N ;1,17 m/s2; monte de plus en plus vite

3. Mêmes questions, mais pour une sphère d'aluminium. Rép. 0,890 N ; 0,629 m/s2 ; descend de plus en plusvite

4. Une plaque de liège flotte sur de l'eau. Elle a une épaisseur de 1 cm et une aire de base de 100 cm2. Lamasse volumique du liège est de 250 kg/m3. Un objet de 60 g repose sur cette plaque de liège, la laissanthorizontale. Calculer la hauteur immergée. Rép. 0,85 cm