Mémoire(AOUICHE ABDELAZIZ)_2

7/23/2019 Mmoire(AOUICHE ABDELAZIZ)_2

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N dordre :

UNIVERSIT * MOHAMED BOUDIAF * DE MSILA

FACULT DES SCIENCES ET SCIENCES DE LINGENIEUR

DPARTEMENT DLECTRONIQUE

MMOIRE

Prsent pour lobtention du diplme de :

MAGISTER EN GNIE LECTRONIQUESpcialit : Gnie lectronique

Option : Contrle

Par

Abdelaziz AOUICHE

SUJET

REJECTION DES PERTURBATIONS DANS LESSYSTMES NON LINAIRES : TUDE

COMPARATIVE

Soutenue publiquement Devant le jury compos de :

Dr. Mohamed BOUAMAR, Matre de confrence, Universit de Msila, PrsidentDr. Farid BOUTTOUT, Matre de confrence, Universit de Msila, Rapporteur Pr. Djamel CHIKOUCHE, Professeur, Universit de Stif, Examinateur Pr. Djamel BENATIA, Professeur, Universit de Batna, Examinateur M. Kheiredine CHAFAA, Charg de cours, Universit de Msila invit

2005-2006


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Je rends ma profonde gratitude dieu tout puissant qui ma aid raliser ce

modeste travail.

Jexprime ma profonde gratitude mes parents pour leurs encouragements, leur

soutien et pour les sacrifices qu'ils ont endur.

Je remercie vivement tous les membres du jury qui ont accept d'examiner montravail de mmoire. J'exprime en particulier ma gratitude Monsieur BOUTOUT

Farid et CHAFAA Kheireddine mes rapporteurs pour leurs conseils et

encouragements, leurs aides et leurs soutien.

J'adresse par ailleurs mes vifs remerciements monsieur le doyen BOUAMAR

Mohamed qui nous a accompagn durant tout le droulement de magister.

Les autres membres permanents l'ensemble des enseignants du dpartementd'lectronique n'ont jamais t avares de leur temps ni de leurs connaissances, qu'ils

en soient ici remercis.

Je tiens enfin adresser ma profonde gratitude toutes les promotions

dlectronique.


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SOMMAIRE

INTRODUCTION GNRALE .......... 1

CHAPITRE I :LES RSEAUX DE NEURONES

I.Introduction...... 5II. lments de base des rseaux de neurones....... 5

II-1. Historique.................. 5 II-2. Les fondements biologiques...... 6 II.3. Le modle de neurone formel ........ 8 II-4.Fonction d'activation ou de seuillage................ 9

III.Les rseaux de neurone..... 10 III.1. Proprits des Rseaux de neurones artificiels.......... 10 III.1.1. Apprentissage et mmoire......... 10 III.2. Le Perceptron Multi Couches (PMC)............. 11 III.2.1. Le Perceptron simple............ 11 III.3. La rtro-propagation....... 14

III.3.1.Adaline........... 18 III.3.2.L'associateur linaire......... 18 III.3.3.Les rseaux rcurrents........... 18 III.3.4.Le rseau de Hopfield .... 18 III.3.5.Les rseaux comptitifs.............. 19 III.3.6. Le rseau de Kohonen........... 20 III.3.7. Rseau de neurones Fonctions de base Radiales (RFR)....... 21

IV. Rseaux de neurones et rejection de perturbation.... 22V. Conclusion...... 23

CHAPITRE II :LA LOGIQUE FLOUE

I. Introduction......... 25II. Exemples introductifs....... 25

II.1. L'ge....... 25III. Ensemble flou....... 29

III.1.Prototype d'un ensemble.......... 30 III.2.Oprateurs............ 30

IV. Partitionnement........ 31 IV.1.Partition floue forte.............. 31

V. Rgle floue...... 31


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Mamdani........ 31 Takagi-Sugeno...... 32

V.2.Rgle incomplte........... 33VI . Interface de fuzzification..................................................................................................... 33VII . Dfuzzification............ 35

VII.1.Dfuzzification par calcul de centre de gravit.................................. 35VII.2.Dfuzzification par calcul du maximum. 36VIII. Lalgorithme de rtro-propagation a lidentification floue........................................... 37IX. La logique floue et la rejection de perturbation.......... 41X. Conclusion........... 42

CHAPITRE III :IDENTIFICATION ET REJECTION DES PERTURBATIONS DANS LES SYSTEMES DYNAMIQUES

I. Introduction................ 44

II. tape de modlisation................ 44 II.1.Caractrisation......... 44 II.2.Identification.......... 44

Processus non-linaires .......... 45a. tape qualitative...... 46b. tape quantitative......... 46

III. La procdure didentification de systme............. 47IV. Mthodes indirectes.............. 48

IV.1.Identification de processus........... 48V. Rejection de la perturbation................. 49

V.1.Problmatique........... 49 Problme de la rejection de la perturbation................. 52V.2.tape 1............ 54V.3.tape 2............ 56V.4.tape3............. 57

VI. Conclusion......................... 57

CHAPITRE IV :RSULTATS DE SIMULATION

I. Introduction......... 60II. Prsentation des systmes identifier.......... 60

III. Rsultats........ 62IV. La simulation.... 67V. La courbe de la commande floue de systme 2........ 69

a- la commande floue....... 69b- la commande neuronale........ 69

VI .La courbe de la commande floue de systme 3.............. 70a- la commande floue....... 70b- la commande neuronale........ 70

VII. La rejection de la perturbation par les rseaux de neurone et la logique floue 71VIII. La simulation. 71


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VIII.1.tape 1....... 71VIII.1.1.la rejection de la perturbation par les rseaux de neurone...... 71VIII.1.2. La rejection de la perturbation par la logique floue...... 73VIII.1.3.Pas de rejection de perturbation q=0...... 75VIII.1.4.Pas de rejection de perturbation........... 77VIII.1.5.La structure de tout le systme q gal 2..... 78VIII.1.6. La structure du systme ou q gal 0...... 79VIII.1.7.la rejection de la perturbation par les rseaux de neurone..... 80VIII.1.8.La rejection par la logique floue....... 82VIII.1.9.Pas de rejection de perturbation q=0...... 84VIII.1.10.Pas de rejection de perturbation........ 85VIII.1.11.La structure de tout le systme pour q gal 4...... 86VIII.1.12.La structure de systme o q gal 0........ 87

VIII.2.tape2.. .......... 88VIII.2.1.La rejection de la perturbation par les rseaux de neurone..... 88

VIII.2.2.La rejection par la logique floue......... 89VIII.2.3. Pas de rejection de perturbation q=0.... 91VIII.2.4.Pas de rejection de perturbation........... 93VIII.2.5.La structure de tout le systme q gal 1............. 94VIII.2.6.La structure de tout le systme ou q gal 0....... 95VIII.2.7.La rejection de la perturbation par les rseaux de neurone.... 96VIII.2.8.La rejection par la logique floue...... 97VIII.2.9.Pas de rejection de perturbation q=0.......... 99VIII.2.10.Pas de rejection de perturbation......... 101VIII.2.11.La structure de tout le systme o q gal 2.. 102VIII.2 .12.La structure de tous le systme o q gal 0.... 103

VIII.3. tape 3.................................................................. 104VIII.3.1.La rejection de la perturbation par les rseaux de neurone.... 104VIII.3.2.La rejection par la logique floue....... 106VIII.3.3.Pas de rejection de perturbation q=0...... 108VIII.3.4.Pas de rejection de perturbation... 109VIII.3.5.La structure de tout le systme q gal 2..... 110VIII.3.6.La structure de tout le systme q gal 0..... 111

IX.Organigramme dans le cas de rejection de perturbation par les rseaux de neurone... 112X. Organigramme dans le cas de rejection de perturbation par la logique floue.. 113XI. Interprtation des rsultats.. 114

XI.1. Identification.. 114 XI.2.La rejection de la perturbation...... 115XII. La discussion....... 116XIII. Conclusion...... 118

CONCLUSION GNRALE ....... 120


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Mmoire de Magister_______________________________________________________ 1

INTRODUCTION GNRALE


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INTRODUCTION GNRALE

Les rseaux neuronaux artificiels ont t utiliss avec succs comme blocsstructurels dans larchitecture de lidentification et la commande des systmesdynamiques non linaires [1], [2]. Cette architecture est base sur lentranement durseau utilisant les donnes dentre-sortie du systme. En gnral, les paramtres durseau sont ajusts en utilisant la mthode du Gradient. Pour une classe spcifique desystmes non linaires, existe une relation proportionnelle entre lidentification et larejection de perturbation des systmes non linaires [3].

La logique floue soulve un large intrt, tant thorique que pratique dans lacommande des processus complexes et non linaires. Cela est d essentiellement troisfaits : 1) Les systmes flous permettent une simple inclusion des informationsqualitatives dans la conception des rgulateurs et des modles didentification, 2) lessystmes flous nexigent pas lexistence dun modle mathmatique du processus contrler, et peu d'information suffit pour mettre en uvre la boucle de commande et3) les systmes flous sont des systmes non linaires et de ce fait, sont adapts lacommande des processus non linaires [4]. La logique floue na pas t utilise dans le problme de la rjection des perturbations et fera donc lobjet de la deuxime partie denotre tude.

Ce travail est une tude comparative entre deux mthodes (Rseaux de neuroneet la logique floue).

Il est organis en quatre chapitres principaux : Dans le chapitre I, nous exposons les lments de base des rseaux de neurones, ces

principales architectures, nous concentrons ltude dans ce chapitre sur lapprochede rtro-propagation de lerreur.

Dans le chapitre II, aprs une prsentation succincte du principe de la logique flouenous dtaillons les diffrents types des rgles floues. Nous dtaillons, en particulier,les rgles floues de type Mamdani et Takagi-Sugeno. Nous accentuons ltude sur le

modle flou de TS dordre 0 (modle singleton).


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Le chapitre III aborde le problme de lidentification et le principe de la rejection de perturbation ainsi que la relation entre eux.

Dans le chapitre IV, des rsultats de simulation pour des systmes tudis sont

prsents et comments. Nous comparons galement les rseaux de neurones et lalogique floue pour lidentification et la rejection des perturbations dans les systmesnon linaire.

Une conclusion gnrale est donne la fin de ce mmoire avec des perspectives pour des tudes futures.


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Chapitre I Les rseaux de neurone

Mmoire de Magister__________________________________________________4

C H A P I T R E I

LES RSEAUX DE NEURONES


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I. Introduction

Dans la plupart des modlisations des systmes industriels, des divergences persistent entre le comportement du systme rel et lvolution du modle. Ces

divergences sont dues, dune part, aux manques de connaissances exhaustives sur lefonctionnement de lquipement et, dautre part, le modle ne prend en compte quune partie des paramtres qui influent lvolution de la sortie. Par ailleurs, dans certains cas,ce modle est quasiment impossible obtenir.

Les rseaux de neurones peuvent fournir une solution pour les problmes delidentification et de la rejection de la perturbation. Leur capacit de mmorisation,dapprentissage et dadaptation sont des fonctions utiles pour tout systme non linaire

[5].Ce chapitre est structur en deux parties. Une premire partie est consacre la

prsentation des rseaux de neurones artificiels. Nous commenons par donner une brve prsentation de lvolution historique de cet axe de recherche dont la premireinspiration biologique remonte 1890. Avant de prsenter le principe defonctionnement des neurones artificiels, nous dcrivons les bases essentielles desneurones biologiques. Nous concluons cette partie en prsentant les proprits les plus

importantes des rseaux de neurones artificiels.La deuxime partie de ce chapitre est consacre aux architectures neuronales les

plus utilises qui sont :le Perceptron Multicouche, les Rseaux Fonctions de Base Radiales, les mmoires auto associatives (modle de Hopflield ), la carte de Kohonen,les rseaux comptitifs, les rseaux rcurrents et lassociateur linaire.

II. Elments de base des rseaux de neurones

II. 1. HistoriqueLorigine de linspiration des rseaux de neurones artificiels remonte 1890

lorsque James introduit le concept de mmoire associative. Il propose ce qui deviendraune loi de fonctionnement pour lapprentissage des rseaux de neurones, connue plustard sous le nom de loi de Hebb. En1949 Cullochet Pittsmontrent que des rseaux deneurones formels simples peuvent raliser des fonctions logiques arithmtiques etsymboliques complexes.


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Cest ensuite queHebb physiologiste amricain, prsente en 1949 la propritdes neurones par le conditionnement chez lanimal. Ainsi, un conditionnement de type pavlovientel que, nourrir tous les jours la mme heure un chien, entrane chez cetanimal la scrtion de salive cette heure prcise mme en labsence de nourriture. Laloi de modification des proprits des connexions entre neurones quil propose,explique en partie ce type de rsultats exprimentaux.

Les premiers succs de cette discipline remontent 1957, lorsque Rosenblatt dveloppe le modle du Perceptron. Il construit le premier neuro-ordinateur bas sur cemodle et lapplique au domaine de la reconnaissance des formes. En 1960,lautomaticienWidrow dveloppe le modle Adaline (Adaptative Linear Element).Dans sa structure, le modle ressemble au Perceptron, cependant la loi dapprentissageest diffrente.

Celle-ci est lorigine de lalgorithme de rtro-propagation de gradient trs utilisaujourdhui. Cest un algorithme dapprentissage adapt au Perceptron Multicouche.Grce a cette dcouverte, nous avons la possibilit de raliser une fonction non linairedentre/sortie sur un rseau, en dcomposant cette fonction en une suite dtapeslinairement sparables. En 1989, Moodyet Darken exploitent quelques rsultats de

linterpolation multivariables pour proposer le Rseau Fonctions de base Radiales( Radial Basis Function Network ; RBF ). Ce type de rseau se distingue par sareprsentation locale [6].

II. 2. Fondements biologiques

Les premires tudes faites par les philosophes grecs pour localiser le sige delintelligence dans le corps humain attribuaient la capacit de raisonner au coeur etlaissaient au cerveau un rle trs mineur. Cette croyance restera en vigueur jusque dans

les crits de Descartesqui raffirme le rle prpondrant du coeur dans la capacit duraisonnement. Cependant, partir du dix-huitime sicle, La Mettrie et Cabanisaffirment que le cerveau est lorgane de contrle central du corps humain reprenantainsi des tudes de Platon , Hypocrateet Galien portes dans loubli.

Des tudes plus rcentes, depuis le dbut du vingtime sicle et surtout aprs ladeuxime guerre mondiale, sintressent au cerveau dun point de vue microscopique etcellulaire. Il sagit cette fois de relier les faits du comportement et les ractions

lectriques et chimiques qui se produisent dans notre cerveau. Ceci a permis disoler la


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composante cellulaire de base du cerveau,le neuronequi est lunit de traitement delinformation. Les neurones constituent environ quarante pour cent de la masse totale ducerveau ; le reste tant constitu de cellules de support pour protger, nourrir et soutenir physiquement lensemble.

Il y a diffrents types de neurones regroups dans diffrents organes pour raliser diffrentes fonctions: acqurir un signal du monde extrieur (nerf optique), le traiter (cerveau) ou envoyer des stimuli aux muscles (moelle pinire). Cependant, tous lesneurones possdent les mmes constituants lmentaires, les dendrites, le noyau etlaxone.

Figure I. 1 :un neurone

Chaque neurone reoit un ensemble de potentiels excitateurs ou inhibiteurs par lintermdiaire des synapses qui le relient aux neurones qui le prcdent. Les dendrites

calculent une somme pondre de leurs entres. Selon le niveau dactivation obtenu, leneurone gnre ou non un potentiel daction qui se propage le long de laxone. De cettemanire, le neurone ralise ses cinq fonctions :recevoir des signaux, lesintgrer,engendrer un influx nerveux et leconduirele long de laxone pour letransmettreauxneurones suivants. Ce modle biologique simple sert de base au modle mathmatiquedu neurone formel.

Les recherches en biologie ont des modles de fonctionnement du neurone vivant beaucoup plus complexes. Le rle du noyau sest rduit, passant dune unit de


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transformation de linformation une unit de maintien de la vie cellulaire, alors quedendrites, synapses et axone voyaient leur importance respective renforce, passant desimples units de transfert des units de traitement de linformation.

Le neurone gnre non pas un potentiel unique mais des trains de potentiels et cesont ces trains de potentiels qui transportent linformation. Lamplitude des potentielsest presque constante, la caractristique de linformation tant contenue dans la formefrquentielle du train dimpulsions gnr par le neurone. Les dendrites ralisent descombinaisons complexes des signaux transmis par les synapses. Laxone module destrains de potentiels et les rpartit diffremment sur ses diffrentes terminaisons,lensemble forme donc un filtre analogique non linaire [7].

II. 3. Modle du neurone formel Le modle du neurone formel utilis dans la plupart des rseaux actuels a t

propos en 1943 par McCullochet Pitts[5], partir des connaissances en neurobiologiede cette poque. La structure dun neurone formel est reprsente au Figure I.2 :

Figure. I.2: Modle du neurone formel

Le neurone formel est un simple automate qui se compose de plusieurs entres et dunesortie. Les entres et la sortie peuvent tre binaires ou relles. Lautomate ralise unesomme pondre de ses entres. La sortie est obtenue ensuite en appliquant cettesomme pondre la fonction dactivationG .

Pour des sorties binaires, cette fonction est un seuil qui fait passer le neurone deltat non activ (S = 0 ouS = -1 ) ltat activ (S = 1 ). Pour des sorties continues lafonction de Heaviside(fonction de seuil) est remplace par une fonction sigmode quien plus dtre une approximation de celle-ci, elle est drivable. Cette proprit estncessaire pour appliquer lalgorithme dapprentissage prsent plus loin.

Les poids iw (Weights) sont des valeurs relles qui constituent les paramtres duneurone formel. Ces paramtres sont fixs par loprateur. Lintrt de ce modle est

W

= i ii E W E )( E GS =S

1

iW

nW

i

k

1


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que lon dispose galement dun algorithme dapprentissage qui permet de modifier les

valeurs des poids iw pour faire apprendre au neurone la fonction que lon dsire

raliser. Les algorithmes dapprentissage reposent sur la rgle de Hebb: deux neurones

relis par une connexion qui sactivent simultanment renforcent les poidsiw de cetteconnexion. Le changement de valeur des poids est galement fonction de lerreur entrela sortie dsire par loprateur et la sortie propose par le neurone.

Ce modle est simple et peu fidle la ralit biologique telle que nous laconnaissons maintenant. Il fonctionne en fait comme un automate non linaire.Cependant, il est assez simple pour tre largement utilis tant en recherche que pour desapplications commerciales. Cest autour de ce modle du neurone formel que sont

construits la plupart des rseaux utiliss ce jour [8][9]. II. 4. Fonction dactivation ou de seuillage

Une fonction de transfert calcule la valeur de ltat du neurone, cest cette valeur qui sera transmise aux neurones aval. Il existe plusieurs formes possibles pour lafonction de transfert. Les plus courantes sont prsentes dans la Figure.I.3. On remarquequ la diffrence des neurones biologiques dont ltat est binaire, la plupart desfonctions de transfert sont continues, offrant une infinit de valeurs possibles comprises

dans lintervalle[ ]0, 1+ ou [ ]1, 1 + [10].

Figure I.3 :Diffrents types de fonctions de transfert pour le neurone artificiel.

1+

1

a

)(a f y=

a

s

1+

1

a

)(a f y=

b

s

d

1+

a

)(a f y=

1

s

1+

1

a

)(a f y=

c

s


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-a- Fonction seuil du neurone de Mc Culloch- Pitts

-b- linaire par morceaux du modle AdalinedeWidrow - Hoff

-c- sigmode dun rseau Perceptron Multicouches de Rosenblatt

-d- gaussienne du rseau RFR deMoody- Darken

III. Les rseaux de neurones

Un Rseau de Neurones Artificiel RNA (Artificial Neural Network ;ANN) est unensemble de neurones formels (dunits de calcul simples, de noeuds processeurs)associs en couches (ou sous-groupes) et fonctionnant en parallle.

Dans un rseau, chaque sous-groupe fait un traitement indpendant des autres et

transmet le rsultat de son analyse au sous-groupe suivantLinformation donne aurseau va donc se propager couche par couche, de la couche dentre la couche desortie, en passant soit par aucune, une ou plusieurs couches intermdiaires (ditescouches caches). Il est noter quen fonction de lalgorithme dapprentissage, il estaussi possible davoir une propagation de linformation reculons (backpropagation).Habituellement (except pour les couches dentre et de sortie), chaque neurone dansune couche est connect tous les neurones de la couche prcdente et de la couchesuivante, les RNA ont la capacit de stocker de la connaissance empirique et de larendre disponible lusage. Les habilets de traitement (et donc la connaissance) durseau vont tre stockes dans les poids synaptiques, obtenus par des processusdadaptation ou dapprentissage. En ce sens, les RNA ressemblent donc au cerveau car non seulement, la connaissance est acquise au travers dun apprentissage mais de plus,cette connaissance est stocke dans les connexions entre les entits soit dans les poidssynaptiques [8].

III.1. Proprits des Rseaux de neurones artificiels III.1.1. Apprentissage et mmoire

Lune des caractristiques les plus complexes du fonctionnement de notre cerveauest bien la phase dapprentissage. Cest une phase au bout de laquelle certainesmodifications soprent entre les connexions des neurones : certaines sont renforces etdautres affaiblies ou carrment inhibes. Le cerveau converge alors vers uncomportement souhait : par exemple lapprentissage dune langue, ou encore

lapprentissage par un enfant reconnatre son environnement. Ceci nous emmne la


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notion de mmoire qui donne au cerveau la capacit de retrouver des expriences passes. Le cerveau possde plusieurs types de mmoires. Nous ne dveloppons pas cesdiffrents types de mmoires mais ce que nous retiendrons est que le cerveau humain procde par association. Cela permet par exemple de retrouver une information partir dlments incomplets ou imprcis (bruits).

Par exemple, le fait de voir un bout dune photographie quon connat dj estsuffisant pour que notre cerveau soit capable de la reconnatre. Le mcanisme delassociation permet aussi au cerveau de converger vers un tat partir dun autre tat.Par exemple, le fait de passer devant une boulangerie nous fait rappeler quon devaitacheter du pain. Cette deuxime importante caractristique est aussi connue sous le nomde mmoire adresse par le contenu, dont le modle de Hopfield sen inspire. Par analogie avec les rseaux de neurones biologiques, les rseaux de neurones artificielstentent de reproduire les caractristiques les plus importantes du comportement biologique, savoir lapprentissage, la gnralisationet lassociation.

Lapprentissage des rseaux de neurones artificiels est une phase qui permet dedterminer ou de modifier les paramtres du rseau, afin dadopter un comportementdsir. Plusieurs algorithmes dapprentissage ont t dvelopps depuis la premire

rgle dapprentissage de Hebben 1949. Nous prsentons les types lapprentissage quisont classs en deux catgories : superviset non supervis.

Dans lapprentissage supervis, un superviseur (ou expert humain) fournit unevaleur ou un vecteur de sortie (appel cible ou sortie dsire) que le rseau de

neurones doit associer au vecteur dentre X . Lapprentissage consiste dans ce cas modifier les paramtres du rseau de neurones afin de minimiser lerreur entre la sortiecible et la sortie relle du rseau de neurones.

Dans lapprentissagenon supervis, les donnes ne contiennent pasdinformations sur une sortie dsire. Il ny a pas de superviseur. Il sagit de dterminer les paramtres du rseau de neurones suivant un critre dfinir [5].

III.2. Le Perceptron Multicouches (PMC)

III.2.1. Le Perceptron simple

Comme nous lavons nonc au dbut de ce chapitre, le premier modle de rseau

de neurones a t introduit par McCullochet Pitts en 1949. Les neurones de ce modlesont binaires. Ils reoivent des signaux excitateurs et inhibiteurs provenant des neurones


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en amont afin deffectuer une sommation. Si cette somme est suprieure un seuil, leneurone est dans un tat actif et met un signal vers les autres neurones. Si ce nest pasle cas, il est dans un tat inactif et nmet aucun signal.

Aprs la description de ce premier modle de neurones, il fallait disposer dunmoyen de raliser lapprentissage. Sinspirant du conditionnement de type pavlovienchez lanimal, Donald O. Hebba introduit en 1949 la premire rgle dapprentissagequi permet de modifier les poids synaptiques. Le principe de cette rgle connue sousla rgle de Hebb.

Lorsquune connexion entre deux cellules est trs forte, si la cellule mettrice sactive alors la cellule rceptrice sactive aussi. Pour lui permettre de jouer ce rle

dterminant lors du mcanisme dapprentissage, il faut donc augmenter le poids decette connexion. En revanche, si la cellule mettrice sactive sans que la cellulerceptrice le fasse, ou si la cellule rceptrice sactive alors que la cellule mettrice ne stait pas active, cela traduit le fait que la connexion entre ces deux cellules nest pas prpondrante dans le comportement de la cellule rceptrice. On peut donc, dans la phase dapprentissage, laisser un poids faible cette connexion .

En dautres termes, si deux neurones connects entre eux sont activs en mme

temps alors on renforce la connexion qui les relie. Dans le cas contraire, elle nest pasmodifie.

Cette rgle dapprentissage a t le point de dpart des travauxde Rosenblatt (1958) qui a dvelopp la premire version dun modle neuronal trs connu de nos jours, savoir le Perceptron. Cest un rseau deux couches (une couche dentre etune couche de sortie) de type feedforward (propagation avant). Les neurones de lacouche dentre ont pour rle de fournir au rseau les donnes externes. Chaqueneurone de la couche de sortie effectue une somme pondre de ses entres :

=

=

== N k

k k ik ii w f a f o

1)()( (I-1)

O ik w est le poids de la connexion qui relie lunitk lunit i , ia est

lactivation de luniti , f est la fonction dactivation des units (Figure.I-4). Cette

fonction dactivation est du type fonction seuil avec lexpression suivante :


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( )1 si1 si

x f x

x

+ -=

(I-2)

Figure I.4 :Perceptron Simple, modle de Rosenblatt

Le rle de lapprentissage est de modifier les poids des connexions entre lesneurones dentre et ceux de sortie, de manire obtenir une rponse que lon souhaitereproduire par le rseau de neurones. Rosenblatt sest inspir de la rgle de Hebb pour

la modification des poids. Son principe est de rajouter, dans le cas o la sortie obtenue

io du rseau est diffrente de la sortie dsirei , une quantit ik w aux poids de

chaque connexion. Dans le cas contraire, les connexions demeurent inchanges. On peutexprimer ce principe par lquation suivante :

ik ancienik

nouveauik www += (I-3)

n

k

1

1o

2o jk w

io


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o ik w est la quantit ajoute au poidsik w . Pour chaque exemple de lensemble des

exemples dapprentissage, on peut ainsi crire :

= k iiik ow )( (I-4)

Le paramtre est appeltaux dapprentissage. Il dtermine la dynamique suivant

laquelle les modifications vont avoir lieu.

Cette procdure dapprentissage pour le Perceptronsimple peut converger vers untat des poids des connexions donnant de bons rsultats, la seule condition que le problme soit linairement sparable. Malheureusement, un grand nombre de problmes

rencontrs en pratique, ne sont pas linairement sparables. Le Perceptronpossde toutde mme une bonne capacit de gnralisation [5].

III.3. La rtro-propagation

Un des dsavantages du Perceptronest quil minimise une erreur en tout ou rien cause de sa fonction dactivation (I-2). Il ne prend donc pas en compte la notion dedistance. De ce fait, il est trs peu robuste. La rgle dapprentissage deWidrow-Hoff (rgle de Delta) ne travaille plus en tout ou rien mais minimise une fonction derreur

quadratique, donc plus robuste. Malheureusement, cette rgle ne peut sappliquer quesur des rseaux une seule couche de poids adaptatifs. Cest donc en tendant la rglede Widrow-Hoff que plusieurs quipes de chercheurs ( Le Cun , 1985) et (Werbos, 1974)ont dvelopp un algorithme dapprentissage appelrtro-propagation du gradient delerreur , gnralis ensuite par lquipe de Rummelhart en 1986. Cet algorithme fournitune faon de modifier les poids des connexions de toutes les couches dunPerceptronMulticouches ( PMC ).

Soit le rseau deux couches dcrit par la Figure.I-5 dans lequel les units de

sortie sont notes jo les units caches jv et les units dentrek Les connexions des

units dentre aux units caches sont notes jk w et celles des units caches aux units

de sortie par ijw .

Lentre k a pour valeur k lorsque la donne est prsente au rseau. Ces

valeurs peuvent tre binaires (0/1 ou +1/-1) ou continues.


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Figure I.5 :Perceptron Multicouches

Pour la donne dentre , la valeur de sortie de lunit cache j est donne par :

)()( ==k

k jk j j w f a f v (I-5)

Les units de sortie ont comme valeur :

==k

jik ii vw f a f o )()( (I-6)

Les fonctions derreurs partielles et globales sont alors dfinies par :

2)(21 = iio E et

= E E (I-7)

La minimisation de la fonction derreur globale va se faire par une descente de

gradient. Par consquent, aprs la prsentation de tous les vecteurs dentre de la basedapprentissage, nous modifierons la valeur de chaque connexion par la rgle.

k

2

1

1o

k o

2o

1v

2v

jk w ijw

S

E E RT N E

S E I T ROS

k v


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=

=w

E w E w (I-8)

Cette rgle dapprentissage est gnralement appele la rgle dedeltagnralise.

Dans lexpression (I-7), seule la sortieio dpend du paramtre ijw . Selon la position

des poids des connexions, deux cas se prsentent :

Cas des connexions entre la couche cache et celle de sortie( )ijw :

Pour le cas des neurones de sortie, lexpression (I-8) devient fonction du

paramtre ijw qui influe uniquement sur la sortie du neurone dindicei . Nous pouvons

donc dcomposer la drive de lexpression (I-8) par :

( ) ( )i i i i i i jij i i ij

E E o a o f a vw o a w

= =

& (I-9)

Lexpression (I-8) devient alors

= jiiiiij voa f w ))((' (I-10)

Cas des connexions entre la couche dentre et la couche cache( )ik w :

Pour le cas des neurones cachs, lexpression (I-8) est fonction du paramtre

ik w qui influe non seulement sur la sortie du neurone j de la deuxime couche, mais

aussi sur tous les neurones j de la couche de sortie (en aval) qui lui sont connects. On

obtient alors lquation suivante :

=

=

k j j j jk

j

j

j

j jk

a f v

E wa

av

v E

w E

)(' (I-11)

Le premier terme de cette expression devient alors :

ijiii

ii j

i

i

i

i i j

i

i i j wa f ova

ao

o E

vo

o E

v E

)()('

=

=

=

(I-12)


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On obtient alors la modification des poids :

-

-

= ijiiii

ii j j jk wa f oa f w )()()( '' (I-13)

Aprs avoir calcul la variation des poids des connexions pour tous les neuronesde sortie via lquation (I-10), on calcule alors la variation des poids des connexions dela couche cache par lquation (I-13). On met ainsi jour les poids des connexions dela couche de sortie jusqu la couche dentre : onrtropropageainsi le signal derreur.Cest de l que vient le nom de cet algorithme :rtro-propagation du gradient de

lerreur . Du fait de sommer les ijw pour tous les vecteurs de la base

dapprentissage puis de remettre jour les poids avec la variation totale ainsi calcule,lalgorithme est appel gradient total. Une autre faon de faire, appele versionsquentielle, modifie les poids des connexions aprs chaque prsentation dun vecteur dentre . Une version stochastique permet de prendre en compte les vecteurs

dapprentissage dune faon alatoire.

Lalgorithme de rtro-propagation du gradient de lerreur a permis de dpasser les

limites du Perceptron simple. Il savre capable de rsoudre un grand nombre de problmes de classification et de reconnaissance des formes et a donn lieu beaucoupdapplications. Cet algorithme souffre nanmoins de nombreux dfauts, parmi lesquels :

Temps de calcul excessif ; apprentissage trs long.

Une grande sensibilit aux conditions initiales, cest--dire la manire dont

sont initialiss les poids des connexions.

De nombreux problmes sont dus la gomtrie de la fonction derreur:

minimums locaux. Ce problme est en partie rsolu avec le gradient

stochastique, mais il subsiste quand mme.

Le problme de dimensionnement du rseau. La rtro-propagation apprend une

base dapprentissage sur un rseau dont la structure est fixe a priori. La

structure est dfinie par le nombre de couches caches, le nombre de neurones


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par couches et la topologie des connexions. Un mauvais choix de structure peut

dgrader considrablement les performances du rseau [5].

III.3.1. Adaline

Cest un autre type de rseau spcialis dans le traitement du signal fonctionnant partir dune rgle dapprentissage. Cette rgle permet de rduire lerreur observe entreltat du rseau et la valeur correcte attendue par une modification des connexions desneurones de faon la minimiser (par un algorithme dit de descente de gradient) [11].

III.3.2. Lassociateur linaire

Cest un modle de rseau deux couches avec une fonction dactivation linaireutilisant la rgle de Hebb. D. Hebba propos en 1949 lide que le cerveau sadapte son environnement en modifiant lefficacit des connexions entre ses neurones. Le principe de Hebb postule quune synapse amliore son efficacit seulement quandlactivit des deux neurones quelle relie est corrle [11].

III.3.3. Rseaux rcurrents

Permettent une interconnectivit quasi totale entre les neurones des diffrentescouches, y compris ventuellement en se bouclant sur eux-mmes. Ils permettent larsolution de problmes qui ne peuvent tre rsolus de faon algorithmique [12].

III.3.4. Rseau de Hopfield

Inspir des modles physiques des verres de spin sont constitus dlments bistables connexions symtriques voluant spontanment vers une rduction delnergie totale du systme. Associ avec la rgle de Hebb , ce rseau peut apprendre

mmoriser les exemples prsents en entre sous la forme dtats stables En phasedexploitation, les stimuli prsents en entre volueront dans le rseau vers ltat stablele plus ressemblant. Un rseau de Hopfield fonctionne ainsi comme un vritableclassificateur mmoire associative, cependant il existe une marge non ngligeablederreurs due lexistence dtats mtastables, parfois trs proches des tats stablescorrespondant une classification correcte [11].


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III.3.5. Rseaux comptitifs

Sont des rseaux o chaque neurone dentre est reli chaque neurone de sortieet chaque neurone de sortie inhibe tous les autres et sauto excite. Cette architecture

gnre une comptition inter-neurones aboutissant ce que le rseau a tendance reproduire lorganisation topographique des formes dentre. En dautres termes, si lon prsente ce type de rseau des objets quelconques, le rseau va reproduire dans sestats internes ses traits structuraux.

Les rseaux comptitifs reproduisent une particularit du fonctionnement biologique des neurones, savoir linhibition latrale. On sait en effet que lorsquunneurone biologique est excit, il transmet son excitation aux neurones voisins dans un

rayon trs court et inhibe par contre les neurones situs plus grande distance [11].

Figure I.6Phnomne dinhibition latrale dans les neurones biologiques et formels

Un neurone activ inhibe ses voisins. Il en rsulte un phnomne de comptition inter-neurones dont le rsultat est lextraction des classes constituantes.

Biologiquement, le phnomne dcrit par la Figure.I-6 est la source des champsrcepteurs en neurophysiologie sensorielle. Le degr dinteraction latrale est donc unefonction de la distance. Ces interactions latrales engendrent des rponses de groupes deneurones rpartis autour du maximum local dexcitation. Les algorithmesdapprentissage dans les rseaux comptitifs sont des simplifications algorithmiquesutilisant lide de rponses localises et dinteractions latrales. La forme la plus simpledapprentissage comptitif modifie le vecteur poids du meilleur neurone chaque tape

de lapprentissage [11].

++

Distance latrale

Interaction


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III.3.6. Rseau de Kohonen

Il a t observ que, dans de nombreuses zones du cortex crbral, des colonnesvoisines ont tendance ragir des entres similaires. Dans les aires visuelles, par

exemple, deux colonnes proches sont en correspondance avec deux cellules proches dela rtine ( Hubel ,1977). Des observations identiques ont pu tre faites dans le bulbeolfactif ou dans lappareil auditif ( Knudsen , 1979). Ces observations ont men Kohonen( Kohonen, 1989) proposer un modle decarte topologique auto-adaptativequi permet de coder des motifs prsents en entre, tout en conservant la topologie delespace dentre.

Dans la plupart des applications, les neurones dune carte de Kohonen sont

disposs sur une grille 2D (Figure I.7). Chaque neuronei de la carte effectue un calculde la distance euclidienne entre le vecteur dentre et le vecteur poids iw .

Dans les rseaux deKohonen, la mise jour des paramtres des neuronesseffectue sur tout un voisinage dun neuronei . Un rayon de voisinager reprsentedonc la longueur du voisinage dun neuronei en terme de nombre de neurones. Ondfinit alors une fonction ),( k ih gale 1 pour tous les neuronesk voisins du neurone

i compris dans le rayonr et gale zro pour tous les autres neurones. Lalgorithmedapprentissage de la carte de Kohonense prsente comme suit :

Initialiser alatoirement les vecteursiw . On donne une valeur initiale au rayonr

et au taux dapprentissage .

Calculer la distance euclidienne entre le vecteur prsent et le vecteur de poids

de chaque neurone.

Choisir le neuronek ayant la distance la plus petite.

Les vecteurs de pondration de tous les neuronesi de la carte de Kohonensont

alors mis jour selon lquation :

( )( ),i i iw w h i k w + (I-14)


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Rduire la taille du voisinage et reprendre lapprentissage du vecteur des pondrations. Aprs un long temps de convergence, le rseau volue de manire reprsenter au mieux la topologie de lespace de dpart. Il faut noter que la notion deconservation de la topologie est en fait abusive puisquen gnral, la taille du vecteur dentre est bien suprieure la dimension de la carte (souvent gale 2) et il est doncimpossible de conserver parfaitement la topologie [6].

Figure I.7 :Carte topologique auto-adaptative de Kohonen.

III.3.7. Rseau de neurones Fonctions de base Radiales (RFR)

Les rseaux de neurones fonctions de base radiales sont des rseaux de type feedforward ( propagation avant) avec une seule couche cache (Figure I.8).Lutilisation de ces rseaux remonte aux annes soixante-dix par ( Hardy , 1971),( Agteberg,1974) et ( Schagen, 1979) pour rsoudre des problmes dinterpolation multivariables. Les bases thoriques de ces rseaux ont t ensuite approfondies par ( Powell ,

1987), ( Poggio , 1989) et ( Moody , 1989). Dautres travaux se sont succds olapplication des RFR a t largie dautres domaines, savoir la prdiction delvolution des systmes dynamiques ( Broomhead , 1988), (Casdagli , 1989) et laclassification de phonmes ( Renals , 1989). La particularit de ces rseaux rside dans lefait quils sont capables de fournir une reprsentation locale de lespace grce des

fonctions de base radiales( ) dont linfluence est restreinte une certaine zone de

cet espace. reprsente la norme euclidienne.


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Figure I.8: Rseau fonctions de base radiales.

Deux paramtres sont associs cette fonction de base : un vecteur de rfrence

j appel centre ou prototypeet la dimension i du champ dinfluence appelrayondinfluence. La rponse de la fonction de base dpend donc de la distance du vecteur

dentre X au vecteur prototype j , et de la taille du champ dinfluence :

( ) ( ), j j j j X X = (I-15)

O la fonction ( ) j est gnralement maximale lorsque j X = et dcrot dune

faon monotone vers 0 quand = j X r . Pour quune fonction ( ) j r soit

utilise comme fonction de base et rsoudre le problme de linterpolation, il faudraitquelle soitdfinie positive( Micchelli , 1986) [13].

IV. Rseaux de neurones et rejection de perturbation

Les rseaux de neurones peuvent fournir des solutions trs intressantes

essentiellement pour lidentification. Les seuls travaux prsents dans( S. Mukhopadhyayet K. S. Narendra) et (C . J . Goh et P. Podsiadlo) traitent le

3 X

2 X

1 X

),()( j j j u x x =


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problme de la rejection de la perturbation. Aprs une phase dapprentissage assezcomplexe, le rseau est capable de gnrer le modle cr pour la rejection de la perturbation. La perturbation qui est considr comme la sortie dun systme linaire ounon linaire. Lobjectif principal et ncessaire est de trouver le (le plan dynamique

augmentADP ) qui est nomm dans notre projet par la fonctioninc f par lequel la

commande sera gnre pour la rejection de la perturbation. Un Perceptron troiscouches permet didentifier le ADP avec des rsultats efficaces.

V. Conclusion

Ce chapitre a t ddi la prsentation des rseaux de neurones artificiels. Aprs

avoir introduit leurs concepts de base, nous avons prsent les applications des rseauxde neurones, qui sont alors utiliss pour lidentification des systmes dynamiques et pour donner un modle sous forme dune bote noire nous avons particulirementdtaill une seule architecture neuronale : Le Perceptron Multicouches( PMC ) par laquelle nous avons concentr notre projet , dans le suivant chapitre on va entamer uneautre mthode trs efficaces aussi appel la logique floue et en va consacrer notre tudesur lapproche de retro-propagation floue.


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Chapitre II La logique floue


C H A P I T R E I I

LA LOGIQUE FLOUE


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I. Introduction

La plupart des problmes rencontrs sont modlisables mathmatiquement.Cependant, ces modles ncessitent des hypothses parfois trop restrictives, rendant

dlicate lapplication au monde rel. Les problmes du monde rel doivent tenir compte dinformations imprcises et incertaines. Prenons lexemple dune climatisation,si on veut obtenir une temprature frache, on peut se demander quelle gamme detempratures conviendra (la demande est imprcise). De plus la fiabilit des capteursentre en jeu (la mesure de la temprature ambiante est incertaine). On voit apparatre ladifficult dinterprtation des variables linguistiques comme, frais, chaude,ainsi quele traitement de ces donnes entaches dincertitude [14].

Une approche fut dveloppe en 1965 par Lofti A. Zadeh , base sur sa thorie dessous-ensembles flous (fuzzy sets), gnralisant la thorie classique des ensembles. Dansla nouvelle thorie de Zadeh, un lment peut plus ou moins appartenir un certainensemble. Les imprcisions et les incertitudes peuvent ainsi tre modlises, et lesraisonnements acquirent une flexibilit que ne permet pas la logique classique : laLogique Floue tait ne [15].

Dans ce chapitre, nous dveloppons la thorie des sous-ensembles flous. Ensuite,

nous illustrons le raisonnement en logique floue. Enfin, nous prsentons lapplication dela logique floue dans la rejection de la perturbation.

II. Exemples introductifs

II. 1. Lage

Afin de mettre en vidence le principe fondamental de la logique floue, on prsente un exemple simple, celui de la classification des personnes en trois ensembles

jeune, entre deux ges et g . Selon la logique classique (logique de Boole),qui nadmet pour les variables que les deux valeurs 0 et 1, une telle classification pourrait se faire comme le montre la Figure II.1. Toutes les personnes ges de mois de25 ans sont alors considres des jeunes et toutes les personnes ayant plus de 50 anscomme des ges (vieilles).


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Figure II.1 :Classification des personnes en trois ensembles selon la logique classique

Cependant, une telle logique de classification nest pas raliste. Pourquoi une personne, lorsquelle a eu 50 ans, doit-elle tre considr comme appartenant lensemble gs?

Dans la logique floue, les variables peuvent prendre nimporte quelle valeur entre0 et 1. La Figure II.2 montre une classification possible pour lexemple prcdent, cette

fois-ci laide de la logique floue. Ainsi, une personne de 25 ans appartient lensemble jeune avec une valeur = 0.75 de la fonction dappartenance et lensemble entre deux ges avec = 0.25. Par contre une personne ge de 65 ansappartient avec une valeur = 1 de la fonction dappartenance lensemble g.

Figure II.2 :Classification des personnes en trois ensembles selon la logique floue.

0 20 60 804050

Fonctionsdappartenanc

jeune entre deux ages ag

age (ans)

250 20 60 8040

75.0

25.0

65

Fonctionsdappartenanc

jeune entre deux ages ag

age (ans)


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Les grandeurs utilises dans un systme de rglages sont gnralement gnres par des capteurs. Il est ncessaire de convertir ces grandeurs en variables floues. Pour cefaire, on dfinit les deux notions suivantes :

Les fonctions dappartenancesqui permettent de dfinir le degr de vrit de lavariable floue en fonction de la grandeur dentre.

Lesintervalles flousqui dterminent le nombre de variables floues.

Dans lexemple de la Figure II.2, on fait intervenir trois intervalles flous : jeune entre deux age et g . En outre, chaque intervalle fait rfrence une fonctiondappartenance qui permet de dfinir le degr de vrit de la variable flouecorrespondante en fonction de la taille [16].

On peut videmment choisir nimporte quelle forme pour les fonctionsdappartenance [17]. Cependant, en pratique, on utilise trois types de fonctions dfiniescomme suit :

La fonction triangulaire: Elle est caractrise par trois paramtres (a, b, c) ; lessommets du triangle :

( )

= 0,,minmax bc xc

aba x

x (II-1)

Figure II.3 :Fonction triangulaire

La fonction trapzodale: dfinie par quatre paramtres (a, b, c, d) :

( )

= 0,,1,minmaxcd xd

aba x x (II-2)

ba c

1

)( x


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Figure II.4 :Fonction trapzodale

La fonction Gaussienne: dfinie par c et le centre et lpaisseur

( ) ( )( )2 2exp x x c = (II-3)

Figure II.5 :Fonction Gaussienne

Intervalles flous

Ces intervalles dfinissent le nombre de variables floues associes une grandeur dentre. Dans le cas du rglage, trois cinq intervalles savrent suffisants. De faongnrale, ils sont caractriss laide de symboles tels que ceux prsents dans leTableau .1.

a d cb

1

)( x

1

c

2

)( x

0


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Symbole Signification

NG Ngatif grand

NM Ngatif moyen

EZ Ngatif zroPM Positif moyen

PG Positif grand

Tableau 1 : Intervalles flous

Cas particulier : grandeur de sortie

La grandeur de sortie peut tre dfinie laide dun certain nombre dintervallesflous et diverses fonctions dappartenance. Toutefois, en pratique, cette dfinition peutsembler assez lourde et le concepteur (lexpert ) peut choisir dassocier une seule valeur chaque intervalle flou. Par exemple, pour une grandeur cinq intervalles flous, on peut dfinir les valeurs suivantes (Tableau 2) [18] :

Intervalle Valeur en % du maximum

Trs petit 0

Petit 25

moyen 50

grand 75

Trs grand 100

Tableau 2 : Grandeur cinq intervalles flous

III. Ensemble flou

Un ensemble flou est dfini par sa fonction dappartenance. Un point de lunivers

x appartient un ensemble A avec un degr dappartenance, 10 A . La Figure II.6

montre un ensemble de forme triangulaire [19].


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Figure II.6 :Un ensemble flou de forme triangulaire

III.1. Prototype dun ensemble

Un point est un prototype dun ensemble flou si son degr dappartenance cetensemble vaut un [19].

III.2. Oprateurs

Les rgles dinfrence font appel aux oprateurset , ou et non, qui sappliquentaux variables floues. Dans le cas de la logique binaire, ces oprateurs sont dfinis defaon simple et univoque. Dans le cas de la logique floue, la dfinition de ces oprateurs

nest plus univoque et on utilise le plus souvent les relations prsentes dans leTableau 3.

oprateur Opration sur le degr de vrit desvariables

MinimumEt

Produit

MaximumOu

Valeur moyenne

non Complment 1

Tableau 3 : Oprateur binaire et flou

Les oprationsminimumet maximum prsentent lavantage de la simplicit lors ducalcul. Par contre, elles privilgient lune des deux variables. Les oprations de produit

)( x A A

1

0

)( x


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et valeurs moyennessont plus complexes calculer mais elles produisent un rsultatqui tient compte des valeurs des deux variables [20].

IV. Partitionnement

Le dcoupage du domaine de dfinition dune variable en sous-ensembles flous

est appel partitionnement. Ces ensembles sont nots1 A , 2 A [19].

IV.1. Partition flou forte

La partition de la variable i X sera appele une partition floue forte si :

1)(, = x X x j

Ai i j [19].

Figure II.7 :Exemple de partition floue forte

V. Rgle floue

Une rgle floue est de la forme SI je rencontre telle situation ALORS jen tiretelle conclusion. La situation, appele prmisse ou antcdent de la rgle, est dfinie par une combinaison de relations de la forme Aest x pour chacune des composantes du

vecteur dentre. La partie conclusion de la rgle est appele consquence, ou encoresimplement conclusion [19].

V.1. Types de rgles

On distingue deux types de rgles floues

Mamdani

Une rgle floue de typeMamdani,dont la conclusion est un ensemble flou s'crit :iqqii p pi C est y ET C est y ALORS Aest x ET ET Aest xSI ...... 1111 o i ji j C et A sont

1

0

43 51)( x

x

2


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des ensembles flous qui dfinissent le partitionnement des espaces d'entre et desortie [19].

Takagi-Sugeno

Dans le modle deSugenola conclusion de la rgle est nette. Celle de la rglei pour la sortie j est calcule comme une fonction linaire des entres :

pi jp

i j

i j

i j

i j x p x p x p p y ++++= ...22110 , note aussi : )( x f y i ji j =

La valeur numrique de la sortie de ce modle est donne par :

=

== M

M

l l

l l l y y

1

1

(II-4)

o l est le degr de vrit du lme rgle floue ALORS SI qui peut tre obtenu

par :

)(...)( 11 p A Ai x xw i pi = (II-5)

o )( j A xi j est le degr d'appartenance de la valeur j x l'ensemble floui j A [19].

Remarque :Pour une rgle donnei , son degr de vrit pour un exemple, galement

appel poids, et not iw , rsulte d'une opration de conjonction des lments de la

prmisse .

Ou bien :

( ) ( ) ( ){ 1 21 2min , , ,...l nn A A A x x = (II-6)

Lorsque 0lj p = pour j = 1, 2,,n, le systme est dit Modle flou TS dordre zro

ou systme flou consquence singleton. Ainsi la valeur numrique de la sortie de cemodle sera donne par :


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=

== M

M

l l

l l l b

y

1

1

(II-7)

Pour un choix de fonction dappartenance Gaussienne de la forme :

( ) ( )( )( )2exp l l i ii il i A x x c = (II-8)

Et en utilisant lquation II-7, la sortie du systme flou sera donne par :

( )( )( )( )( )( )

2

21 1

1 1

exp( )exp

M

l l i ii

M l l i ii

n

l l i

n

l i

b x c y f x

x c

= =

= =

= =

(II-9)

Pour toutes les simulations nous allons utiliser le modle flou de TS dordre 0(modle singleton) dont la sortie est dfinie par lquation II-9 pour la modlisation dessystmes non linaires [19].

V.2. Rgle incomplteUne rgle floue sera dite incomplte si sa prmisse est dfinie par un sous-

ensemble des variables d'entre seulement. La rgle, SI 2 x est 12 A ALORS y est 2C

est incomplte car la variable1 x n'intervient pas dans sa dfinition. Les rgles

formules par les experts sont principalement des rgles incompltes. Formellement,une rgle incomplte est dfinie par une combinaison implicite de connecteurs logiques

ET et OU oprant sur l'ensemble des variables. Si l'univers de la variable1

x est dcoup

en 3 sous-ensembles flous, la rgle incomplte ci-dessus peut aussi s'crire de la faon

suivante : 1 2 3 11 1 1 1 1 1 2 2 2( )SI x est A OU x est A OU x est A ET x est A ALORS y est C [19].

VI. Interface de fuzzification

Les oprateurs utiliss dans la commande floue agissent sur des sous-ensemblesflous. Par consquent, il est ncessaire de transformer les variables non floues provenant

du mode extrieur en des sous-ensembles flous. Pour se faire, on utilise un oprateur dit


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de fuzzification qui associe une mesure de la variable0 x une fonction d'appartenance

particulire )(0 x x .

Le choix de l'oprateur de fuzzification dpend de la confiance que l'on accorde

aux mesures effectues. Ainsi si la mesure0 x est exacte, le sous-ensemble flou0 A doit

tre reprsente par un fait prcis. Par consquent, on utilise comme oprateur defuzzification la transformation singleton. La fonction d'appartenance du sous-ensemble

flous 0 A est alors dfinie par:

00000 0)(;1)(,: x xSi x x xSi xU U x x x ===

La Figure .II-8 montre l'aspect de cette fonction d'appartenance.

Figure.II-8:Mthode de fuzzification pour une mesure exacte

Ainsi, le sous ensemble floues0 A ralis par cette mthode de fuzzification ne

comprend que l'lment0 x .

Par contre, si la mesure de la variable est incertaine, par exemple cause de bruit,

le sous-ensemble flou0 A doit tre reprsente par un fait imprcis. On utilise alors une

mthode de fuzzification qui associe la variable mesure0 x une fonction

d'appartenance telle que, par exemple:

-

=

00 1;0max)( x x

x x

0 x

1

0

)( x

x


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La reprsentation graphique de cette fonction est reprsente par La Figure .II-9.

Ce sous-ensemble flou comprend donc la mesure0 x avec une appartenance unit et les

valeurs voisines de0 x avec une appartenance inversement proportionnelle l'cart avec

0 x .

La base du triangle ( ) est fonction de l'importance relative des erreurs de

mesures. En effet, plus elles sont importantes, plus la mesure de la variable0 x devient

imprcise, et donc, plus le triangle doit s'largir [21]-[22].

Figure. II-9:Mthode de fuzzification pour une mesure incertaine

VII. Dffuzification

Les valeurs obtenues lors de la combinaison des rgles appliques aux intervallesflous de la variable de sortie dfini une fonction dappartenance. Il sagit de convertir cette information en une grandeur physique. Plusieurs faons de faire peuvent treenvisages mais, en pratique, on utilise surtout les deux mthodes suivantes :

Dfuzzification par calcul du centre de gravit.

Dfuzzification par calcul du maximum[18].

VII.1. Dffuzification par calcul du centre de gravit

Il sagit de calculer le centre de gravit de la fonction dappartenance de lavariable de sortie :

0 x

1

)( x


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Figure.II-10 :Centre de gravit de grandeur de sortie

Le calcul du centre de gravit prsent dans la Figure. II-10 permet dobtenir uneseule valeur pour la grandeur de sortie. Son calcul est, cependant, relativementcomplexe puisquil ncessite le calcul dune intgrale, ou dans le cas simple defonctions dappartenance en raies, dune somme pondre [18].

Le dfuzzificateur dtermine le centre de gravit y de B et utilise cette valeur

comme sortie du FLS (Fuzzy Logic System) [18]. Le centre de gravit est donn par :

( )

( )S

S

B

B

y y dy y

y dy

=

(II-10)

OS reprsente le support de B. LorsqueS est discrtis, nous obtenons :

( )

( )1

1

L

i i B

i L

i Bi

y y

y y

=

=

=

(II-11)

VII.2. Dffuzification par calcul du maximum

Il sagit de la faon la plus simple, du point de vue du volume de calcul, pour effectuer la dfuzzification. Tout dabord, la grandeur de sortie doit tre normalise (en pour-cent par exemple) et la dfinition des intervalles flous doit se rsumer une

valeur : par exemple petit correspond 0 et moyen 0,5 (fonctions

0

1

Degr de vrit de lavariable floue

Grandeur de sortie

Centre de gravit


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dappartenance en forme de raies). Lopration de dfuzzification consiste prendredabord le minimum entre la valeur produite par la rgle concerne et la valeur de lavariable floue de sortie. La valeur de sortie est dfinie par la valeur maximale desvariables floues de sortie [18].

VIII. Algorithme de rtro-propagation lidentification floue

Soit un systme de paire entre-sortie donne par :

;,),,( RV d RU xd x pn p p p notre tche est de dterminer un systme logique

flou )( x f dans la forme de lquation II.3, et dajuster les paramtresl b ,cl i , l i de

telle sorte que le critre :

( )2)(21 x f d J = (II-12)

soit minimis, afin de dterminer un systme flou )( x f sous la forme de lquation II.7

pour un couple dentre-sortie( )d x, donn [23].

Pour lajustement des paramtresl

b selon lalgorithme dadaptation paramtrique:

k l l l

b J k bk b

=+ )()1( (II-13)

o M l ,...,2,1= , ,...,2,1,0=k ( )( x f sera not par f ).

Daprs la Figure. II.11, on dduit que f (et par consquent J ) dpend seulement

de l b travers A, o B A f = , =

= M l

l l b A

1 ,

=

= M l

l B1

, tel que l est donn par

lquation II-5 :

Alors, en drivant J par rapport l b on aura :

( ) ( ) l l l B f d b A

A f f d

b J

1 =

= (II-14)


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Do :

l l Be

b J

= (II-15)

Substituant (II-14) dans (II-13), on obtient lalgorithme dajustement desl b commesuit :

l l l

Bek bk b +=+ )()1( (II-16)

o M l ,...,2,1= , 0,1,2, ...k =


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Figure. II.11 :Reprsentation en couches dun systme flou

B A f =

M b1b

f

A B

1 M

xn x1

1couche

2couche

3couche

x

( )( ) 22

exp l il ic x=


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Pour lajustement des paramtrescl i on a :

( 1) ( )l l i i l i

k J k k c cc

+ =

(II-17)

o M l ,...,2,1= , ,...,2,1,0=k ni ,...,2,1=

Daprs la Figure. II.11, on remarque que f (et par consquent J ) dpend seulement de

cl i travers l , donc :

( )c

f f d c

J l i

l

l l i

=

(II-18)

Nous avons :

( ) ( ) ( ) ( )( )2

l l l l

l

B A A B A A B B f B B

= =

B f b f l

l

=

(II-19)

Et nous avons encore :

( )l l

i

l ii

l i

l c xc

2

2 =

(II-20)

Par substitution de (II-19) et (II-20) dans (II-18) on aura :

( )l l

i

l iil

l i

c x f b B

f d c J

2

2 = (II-21)

On obtient alors lalgorithme dajustement des paramtrescl i :

( ) ( )2

2( 1) ( ) ( )l iil l l

i i l l i

d f x ck k b f c c B

+ = + (II-22)


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En utilisant la mme mthode pour les carts types l i des gaussiennes (largeurs),

on obtient lalgorithme dajustement suivant :

( )2

32( 1) ( ) ( )l iil l l

i i l l i

x cek k b f B

+ = + (II-23)

Lalgorithme dapprentissage (II-16), (II-22) et (II-23) excutent une procdure dertro-propagation derreur [23].

Pour lajustement des paramtresl b , lerreur normalise Be est rtro propage

vers la couchel

b ensuite ce dernier est mis jours en utilisant (II-16) ol est lentrede l b (comme cest montr en Figure II. 11).

Pour lajustement des paramtrescl i et l i , lerreur normalise Be ajuste f bl

ensuite l est rtro propag vers lunit de traitement de la couchel dont la sortie est

l ; puiscl i et l i seront mis jours par (II-22) et (II-23).

Pour lidentification de tous les systmes nous avons utilis dans notre mmoire, lemodle flou dcrit par (II-9) avec :

9 La fuzzification singleton.

9 Nombre de rgles floues sont 20 parfois 40, et pour chaque entre on ajuste deux paramtres des fonctions dappartenance dentre correspondante et de sortie(gaussienne, singleton respectivement) qui sont le centre de la partie prmisse et

le centre de la partie consquence.

9 Dfuzzification par la mthode de la moyenne floue (fuzzy mean) [17].

IX. La logique floue et la rejection de perturbation

Lobjectif principal et ncessaire est de trouver (le plant dynamique augment)

qui est appel dans notre mmoire par la fonctioninc f par lequel la commande floue

sera gnr pour la rejection de la perturbation, lapproche de rtro-propagation floue

trois couches permet didentifier leinc f avec des rsultats efficaces.


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X. Conclusion

Dans ce chapitre le systme flou entranable que nous appelons Back-Propagation (rtro-propagation) de Systme flou (BP FS), t utilis comme un

identificateur pour les systmes dynamique non linaires. Il a t prouv que Le BP FSest capable destimer toute vraie fonction continue non linaire. En utilisant le fait queles systmes flous peuvent tre reprsents comme un rseau trois couches,l'algorithme de back-propagation a t dvelopp pour former le systme flou pour identifier des paires entre-sortie dsires. Dans le prochain chapitre on va discuter larelation entre lidentification et la rejection de la perturbation.


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Chapitre III Identification et rejection des perturbations dans les systmes dynamiques

Mmoire de Magister______________________________________________________43

CHAPITRE III

IDENTIFICATION ET REJECTION DES PERTURBATIONS DANS LES SYSTMES

DYNAMIQUES


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I. Introduction

Lidentification et la commande des systmes non linaires ne sont pas des tachestriviales cause de la non linarit qui les caractrise. La commande et lidentification

doivent tre appliqu par un systme capable de parier ce problme, La simulation tendue amontr qu'avec quelque information antrieure propos dun systme non linaire inconnu peut tre contrl, tels identificateurs et contrleurs rsultent en performance satisfaisante [6].

Pour une classe spcifique de systme non linaires, il a t montr que les loisadaptatives donnent la stabilit globale du systme total [10]. Dans ce chapitre, le problmede la rejection de la perturbation est trait, nous illustrons quil existe une grande relation

entre la rejection de la perturbation et lidentification et la commande des systmes nonlinaires sachant que la perturbation considres comme la sortie dune quation diffrentiellelinaire ou non linaire libre.

II . tape de modlisation

II.1.Caractrisation

La premire tape du processus de modlisation consiste faire une hypothse sur lastructure du systme, cest--dire choisir un type de relation mathmatique f liant les

entres et les sorties. Les paramtres structuraux, au dpart inconnus, seront dterminsnumriquement dans ltape suivante dite lidentification.

Dans ce choix de structure, on peut tre guid par :

Une analyse physique conventionnelle du processus.

Les expriences et le rsultat qualitatif de tests simples.Des contraintes de calcul ou des contraintes conomiques.

Cette tape, essentiellement qualitative, nest claire et valide que par le reste de la procdure. Cest souvent la plus difficile ; elle fait appel lexprience [24].

II.2.Identification

L'identification de systme est le processus de dvelopper un modle mathmatique d'unsystme dynamique bas sur les donnes d'entre et de rendement du processus rel. Ceci


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signifie qu'il est possible de prlever l'entre et les signaux de sortie d'un systme etd'employer ces donnes pour produire un modle mathmatique.

Une tape importante dans la conception de systme de commande est le

dveloppement d'un modle mathmatique du systme commander. Afin de dvelopper uncontrleur, il faut quil soit possible d'analyser le systme commander. Cela est accompli enutilisant un modle mathmatique. Un autre avantage d'identification de systme est vident sile processus est chang ou modifi. L'identification de systme permet au vrai systme d'trechang sans devoir calculer les quations dynamiques et modeler les paramtres unedeuxime fois.

L'identification de systme est concerne par les modles dvelopps. La Figure III.1 ci-dessous montre les entres et le rendement d'un systme.

Figure III.1 :Systme montrant l'entre, la perturbation et les signaux de sortie

Dans cet exemple, le modle mathmatique est la bote noire. Il dcrit le rapport entrel'entre et les signaux de sortie. Les systmes prsents dans notre travail sont des processusnon linaires. Des mthodes non linaires employant les rseaux neurologiques et la logiquesfloue, les algorithmes gntiques,, peuvent tre employes. Les tudes dans l'identificationde systme ont dmontr que plusieurs mthodes sont russies en modlisant beaucoup desystmes non linaires parmi eux les rseaux de neurone et la logique floue [25].

Processus non linaires

Lidentification dun processus consiste dterminer un modle. La construction de cemodle est effectue en deux tapes :

uentre

on perturbati

y sortie

v


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a. tape qualitative

Elle consiste fixer les formes des quations qui dcrivent le processus. On propose lesmodles suivants :

9 Modle 1

[ ])1(),...,1(),()()1(1

0++=+

=

mk uk uk u g ik yk y in

i (III-1)

9 Modle 2

[ ]

=

++=+1

0)()1(),...,1(),()1(

m

ii ik unk yk yk y f k y (III-2)

9 Modle 3

[ ] [ ])1(),...,1(),()1(),...,1(),()1( +++=+ mk uk uk u g nk yk yk y f k y (III-3)

9 Modle 4

[ ])1(),...,1(),();1(),...,1(),()1( ++=+ mk uk uk unk yk yk y f k y (III-4)

o )(k u est lentre du systme identifier et )(k y sa sortie, les fonctions f et g sont

supposes drivables par rapport a leurs arguments [17].

b. tape quantitative

Elle consiste dterminer les valeurs numriques des paramtres (poids desconnexions) qui interviennent dans le modle didentification. On doit dfinir un critre quiexprime quantitativement lcart entre le systme et le modle. Ce critre devra tre minimis[26].


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III. La procdure didentification de systme

Fondamentalement, l'identification de systme est ralise en ajustant les paramtres dumodle jusqu' ce que le rendement du modle soit semblable au rendement du vrai systme.

Ci-dessous, au Figure III-2, un organigramme expliquant le procd d'identification desystme [25].

Figure III. 2 :Organigramme du procd d'identification du systme

Il y a trois tapes principales du procd d'identification dun systme.

1) Produire des donnes exprimentales d'entre-sortie du processus.2) Choisir une structure modle pour employer. Par exemple le modle suivant

correspond la structure ARX

)()()(. t vt But y A +=

Conceptionexperimental

DonnesMettre le choix

du modleChoix du

critreconvenable

Calculer le modle

Validation dumodle

rviser NON

Connaissance a priori

OK Utilisation


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3) les paramtres A et B seront ajusts jusqu' ce que le rendement modle soitsemblable au rendement du processus. Dans l'identification, il n'y a aucune structuremodle parfaite employer. Les modles peuvent tre dvelopps en utilisantl'intuition de technologie oula connaissance prioridu processus [25].

IV . Mthodes indirectes

IV.1.Identification de processus

Nous entamons cette classification par une prsentation des mthodes d'identification de processus. Il ne s'agit pas proprement parler de mthodes de commande, mais plutt d'une premire phase ncessaire dans les approches indirectes. Par identification d'un processus,nous entendons l'entranement d'un rseau, reproduire une fonction donnant les sorties oul'tat du processus partir des entres qui lui sont appliques.

Le principe gnral de l'identification est simple et consiste placer en parallle lemodle didentification et le processus identifier, comme le montre la Figure III.3. Lemodle didentification reoit en entre la commande)(k u applique et ventuellement la

sortie )1( k y prcdente du processus. Il est entran produire la nouvelle sortie (ou le

nouvel tat) )(k y du processus, cette mthode d'identification est souvent appele mthode

srie-parallle. Elle est aussi souvent considre comme plus stable car le modledidentification est rgulirement ((recalcul)) en utilisant l'tat rel du processus, donn par :

( )1(,...),1(),();1(,...),1(),()1( ++=+ mk uk uk unk yk yk y f k y (III-5)

Par opposition la mthode parallle prsente au Figure III.4. Dans cette derniremthode, le modle didentification ne reoit pas en entre la sortie relle )1( k y du

processus mais la sortie )1( k y qu'il a lui-mme prdite au pas de temps prcde.

Cette approche sera dintrt si la boucle donnant l'tat du systme est remplace par une connexion rcurrente du modle didentification. Ce dernier est alors libre de dvelopper sa propre reprsentation de l'espace des tats du processus. Elle est donne par [17]:

( )1(,...),1(),();1(,...),1(),()1( ++=+ mk uk uk unk yk yk y f k y (III-6)


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Figure III.3 : Identification de processus par la mthode srie-parallle.

Figure III.4 : Identification de processus par la mthode parallle.

V.Rejection de la perturbation

V.1.Problmatique

Soit un systme dans labsence dune perturbation externe :

( ) ( ) ( )11 , p pk f x k u k + =

( ) ( )1 p y k h x k = (III-7)

o n p k x )( est ltat du systme linstantk , )(k u est lentre applique linstant

k et )(k y est la sortie observe linstantk . On peut dcrire le systme par lquation

aux diffrences suivante :

Systme

1 z

Modle didentification)( k y

)(k y)(k u

ye

+

Systme

1 z

Modle didentification)( k y

)(k y)(k u

ye

+


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[ ])(),()1( 1 k U k Y F k y =+ (III-8)

o [ ]T n nk yk yk yk Y )1(),...1(),()( += et [ ]T n nk uk uk uk U )1(),...,1(),()( +=

La perturbation externe est reprsente par lquation suivante :

[ ])()1( 2 k x f k x vv =+

[ ])()( 2 k xhk v v= (III-9)

o pv k x )( est ltat de la perturbation gnr de systme et )(k v est la sortie

correspondante. Dsormais )(k v cest la perturbation considr comme la sortie de systmedynamique libre, telle que cette perturbation donne par lquation (III-9) soit reprsent par une forme autorgressive dcrite par :

[ ])()1( 2 k V F k v =+

o [ ]T pk vk vk vk V )1(),...,1(),()( +=

Si )(k v est considr aussi comme ente externe du systme donne par lquation (III-7)

alors le systme global peut tre reprsent par :

)(),(),()1( 3 k vk uk x f k x p p =+

[ ])()1( 2 k x f k x vv =+

[ ])()( 2 k xhk v v=

)()( 1 k xhk y p= (III-10)

Une reprsentation quivalente de III-11 est :

[ ])(),()1( 040 k uk x f k x =+


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[ ])()()( 041 k xhk xhk y p == (III-11)

o [ ] pnT vT p x x x += ,0 est ltat de tout le systme, telle que l'entre et la sortie totales du

systme sont les mmes que la perturbation libre.

Lobjectif principal est de suivre la sortie d'un modle de rfrence. Le dernier est

reprsent par la paire entre-sortie{ })(),( k yk r m , o )(k ym reprsente la sortie dsire. En

d'autres termes, l'objectif thorique est de dterminer la commande dentre afin que l'erreur

1( ) ( ) ( )e k y k y k

= soit borne et tend asymptotiquement vers zro. Cependant, dans de

nombreux cas pratiques, cependant, nous ne pouvons que dessayer de minimiser l'erreur au

sens indiqu dans [3].

Le problme de la rejection de la perturbation, a t tudi largement dans le caslinaire. Le problme gnral de cas non linaire, comme donn dans lquation (III-10) et(III-11) (aussi bien que dans (III-13) de la forme entre-sortie) est un problme complexe.Pour cela, les mthodes dveloppes pour les systmes linaires seront tendues aux tels cas[3].

Dans ce mmoire, afin de considrer toutes les formes possibles des systmes, nousutilisons les modles donns ci-dessous :

tape 1

[ ] [ ]

=

+++=+1

0)()()1(),...,()1(

n

j j jk v jk unk yk y f k y

=

=+1

0)()1(

p

i iik vk v (III-12)

tape 2

[ ] [ ])()()1(),...,()1( 0 k vk unk yk y f k y +++=+

[ ])1(),...,()1( +=+ pk vk v g k v (III-13)


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tape 3

[ ] [ ]

==

+++=+1

00)()()1(),...,()1(

n

j j

n

iii jk v jk unk yk y f k y

=

=+1

0)()1(

p

ii ik vk v (III-14)

Dans la prsentation donne dans ltape 1, la fonction f est inconnue, et aprs la rejection

de la perturbation elle devient augment, dans la simulation nous lavons appelinc f ou (plant

dynamique augment ADP) et doit tre estim. La logique floue Fs et les rseaux neuronaux(MNN ) peuvent tre utiliss pour le modle de l'identification, depuis que les paramtresajustables contribuent linairement la sortie [1].

Un cas spcial o la perturbation peut tre dcrit par un modle non linaire estconsidr dans ltape 2. Dans ce cas, la sortie )1( +k y dpend explicitement de )(k u

seulement et pas sur ses valeurs passes.

Finalement, dans ltape 3, le problme gnral de la rejection de la perturbation est

considr o la sortie )1( +k y dpend explicitement de )(k u et de ses valeurs passes. La perturbation linaire est encore suppose additive [3].

Le trois diffrentes tapes sont considres en dtail dans la section suivante :

Problme de la rejection de la perturbation

Quand une perturbation externe est prsente, le systme total est dcrit par les quations

suivantes :

[ ] [ ])()()()()1(0

k vk u z Dk Y f k yn

iii ++=+

=

)()()1( k v z Rk v =+ (III-15)

NB: La perturbation doit tre dans la forme auto rgressif :

)1()()1( 21 +=+ k vk vk v


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o

)1(1

110 ...)( +++= p p z z z R

Cela implique que la perturbation est gnre comme la sortie dquation diffrentielle.Il est suppos que la perturbation est born cest dire que le polynme:

)(1)( 11 z R z z R = est stable.

De lquation (III-15), on tire

[ ] )()()()1()()(1

k u z Dk Y f k yk v z D N

i

ii += =

, k

do on dduit :

)1()()()()( = k v z R z Dk v z D

[ ]

[ ]

-

++

+

-

=

=

=

)()()()1(

...)1()()1()(

11

110

pk u z D pk Y f pk y

k u z Dk Y f k y

N

iii p

N

ii

(III-16)

La sortie du systme donne par (III-15) peut alors scrire comme suit :

[ ] )()()()()()1( k u z Dk y z Rk Y f k y N

iii ++=+

[ ] )()()()1( k u z Dk Y f k y N

iii +=+ (III-17)

O le systme (III-17) devient un plant dynamique augment (ADP) par le degr (p) telleque :

[ ]( ) ( ), ( 1),..., ( 1)T Y k y k y k y k p n= + , ( 1) N p N = + , ( 1) N p N p= + +


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1 ( 1)0 1 1( ) ... . ( )n pn p D z z z D z + + = + + + doit tre stable. 0 0 = . D'o, la mme

procdure peut tre utilise pour la commande adaptative des systmes dans la prsence des perturbations libres pour assurer que l'erreur d'asservissement tend ver zro.

V.2. tape 1

Un problme plus gnral est considr ici, avec la sortie de systme linstant 1+k dpend linairement de l'entre )(k u . En particulier, le systme avec la perturbation additive,

dcrit par l'quation diffrentielle suivante, est considre:

[ ] [ ])()()()()1( k vk u z Dk Y f k y ++=+

)()()1( k v z Rk v =+ (III-18)

o )(k u et )(k y sont, respectivement, l'entre et la sortie du systme linstantk .

)(k Y , )( z D et )( z R sont dfinis prcdemment. La non linarit f du systme est suppose

inconnue. Cependant, tant que les nombres entiersn et p et les coefficients{ } 1, 1i i n = et

{ 0, 1i i p = sont supposs connus.

Dans ce cas, le systme compos peut tre dcrit par une reprsentation entre-sortie enliminant )(k v de (III-18).

Noter cela:

[ ] )()()()1()()( ik u z Dik Y f ik yik v z D += (III-19)

(III-18) peut tre crit comme :

[ ] =

++=+ p

ii ik v z Dk u z Dk Y f k y

11 )()()()()()1( (III-20)

D'o la reprsentation entre-sortie du systme dans la prsence de la perturbation devient :

)()()()1( k u z Dk Y f k y +=+ (III-21)


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O:

[ ]T n pk yk yk yk Y )1(),...,1(),()( +=

[ ] [ ] [ ]))()1(()()(1

1=

++= p

ii ik Y f ik yk Y f k Y f

[ ] i pn

ii z z R z z D z R z D z D

+

=

===1

0

11 )(1)()()()( (III-22)

Comme le montre lquation (III-21), la reprsentation entre-sortie rsultante dans la

prsence de la perturbation est augmente par pcomparer avec le systme perturbation librecorrespondant. Sachant que0 est suppos connu et diffrent de zro, comme dcrit dans la

section prcdente, la commande dentre peut tre calcule pour obtenir la rponse dsire.

Le problme considr dans les trois tapes est que la fonction non linaire f (ADP) n'est

pas connue, et par

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Mémoire(AOUICHE ABDELAZIZ)_2