Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

n DEFINITIONS

uCo : structure cinématique de référence(= la structure de départ complètement fixée);

um : degré d’indétermination cinématique(= le nombre de blocages simples à effectuer);

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n DEFINITIONS

uCo : structure cinématique de référence(= la structure de départ complètement fixée);

um : degré d’indétermination cinématique(= le nombre de blocages simples à effectuer);

1

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n DEFINITIONS

uCo : structure cinématique de référence(= la structure de départ complètement fixée);

um : degré d’indétermination cinématique(= le nombre de blocages simples à effectuer);

1

2,3,4

Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

n DEFINITIONS

uCo : structure cinématique de référence(= la structure de départ complètement fixée);

um : degré d’indétermination cinématique(= le nombre de blocages simples à effectuer);

1

2,3,4 5,6,7

m= 7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

uDj (j=1 à m) : inconnues cinématiques;(= les déplacements des nœuds struct. réelle);

D2

D3

D4 D7

D5D6

D1

P2P3 P7

u Pi (i=1 à m) : forces extérieures agissant aux nœuds et associées aux déplacements Di;

n DEFINITIONS

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n REMARQUES

u i et/ou j désignent donc un DDL (3 par nœud);

u outre les forces Pi , il existera des forces extérieures agissant entre les noeuds;

n BUT DE LA METHODE DES DEPLACEMENTS

uDéterminer les m inconnues cinématiquesd’une structure d’indétermination cinématique m !

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Définition du coefficient de rigidité kij :

u la réaction produite au blocage i dans la direction i par un déplacement unitaire Dj =1 exercé au blocage j dans la direction j;

u donné par le théorème du déplacement unité :

dsdsdv

dsdv

'GAdsdsdu

dsdu

EAdsdsd

dsd

EIkj

Strij

Strij

Stri

ij

+

+

φ

φ

= ∫∫∫

u en vertu du th. de Betty-Maxwell, kij = kji

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METHODE DES DEPLACEMENTSn Exemple :

1

2,3,4 5,6,7

D2D3 D5D6

x

y

D1

D4

D7

D2 =1

k52

k42

k12

D4 =1

k14

k44

k64

k74

k24

k34

k22

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METHODE DES DEPLACEMENTSn Exemple :

1

2,3,4 5,6,7

D2D3 D5D6

x

y

D1

D4

D7

D1 =1

k21

k41

k11

D6 =1

k76k46

k36

k66

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METHODE DES DEPLACEMENTSn Définition du coefficient kiP :

u la réaction produite au blocage i dans la direction i par les forces extérieures appliquées entre les nœuds;

u donné par le théorème du déplacement unité :

n Les kij et kiP se déterminent dans la structure cinématique de référence et se rapportent à lastructure entière, donc en axes globaux !

dsdsdv

dsdv

'GAdsdsdu

dsdu

EAdsdsd

dsd

EIkP

StriP

StriP

Stri

iP

+

+

φ

φ

= ∫∫∫

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METHODE DES DEPLACEMENTSn Exemple :

k4P k6Pk7Pk3P

1

2,3,4 5,6,7

D2D3 D5D6

x

y

D1

D4

D7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

1

2,3,4 5,6,7

x

y

D3 =1

k33

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

D3

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

D4 =1

k34

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

1

2,3,4 5,6,7

D4

k34.D4

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

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METHODE DES DEPLACEMENTS

D6 =1

k34.D4

k36

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

D6

k34.D4

k36.D6

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

Dehard 2002

METHODE DES DEPLACEMENTS

D7 =1

k34.D4

k36.D6

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

k37

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METHODE DES DEPLACEMENTS

D7

k36.D6

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

k34.D4

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

k37.D7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

k3P

n Equation générale de la méthode des déplacements

Dans la structure cinématique de référence, soit le blocage i (=3) :

P3

k34.D4

k36.D6

k33.D3

1

2,3,4 5,6,7

x

y

Pk37.D7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

uAu blocage i dans la direction i, on a, au total:u les réactions produites par chaque déplacement

inconnu Dj , soit kij.Dj et au total : Σ kij.Dj

k34.D4

k36.D6

k3P

k33D3

1

2,3,4 5,6,7

x

yP3k37.D7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

u la réaction produite par les forces extérieures appliquées entre noeuds, soit kiP ;

u une éventuelle force extérieure Pi ;

k34.D4

k36.D6

k3P

k33D3

1

2,3,4 5,6,7

x

yP3k37.D7

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METHODE DES DEPLACEMENTS

n Equation générale de la méthode des déplacements

uToutes ces réactions et forces sont repérées dans le système d’axes globaux !

k34.D4

k36.D6

k3P

k33D3

1

2,3,4 5,6,7

x

yP3k37.D7

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METHODE DES DEPLACEMENTSn Equation générale de la méthode des déplacements

Pour que la structure cinématique de référence représente la structure réelle, il faut donc :

iiP

m

1j

jij P k D.k =+∑=

pour i=1, 2, …m

= expression de l’équilibre des noeuds

u Sous forme matricielle : [ ]{ } { }P DK =

avec [K] : matrice de rigiditéde la structure (axes globaux)