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Méthode d’Euler…Méthode d’Euler…
… … utilisée en physique pour utilisée en physique pour tracer une courbe qui tracer une courbe qui s’approche de la courbe s’approche de la courbe théoriquethéorique
Il s’agit de tracer la courbe Il s’agit de tracer la courbe G = f(t) où G est une G = f(t) où G est une grandeur qui peut être :grandeur qui peut être :
soit la vitesse v d’un solide
soit la tension uC aux bornes d’un condensateur
soit l’activité A d’un échantillon radioactif
t
AuCv
Cette courbe est tracée Cette courbe est tracée pas à paspas à pas, , c’est-à-dire que, c’est-à-dire que,
partant de partant de GG00 à la date à la date tt0 0 ……
il faut calculer G1 à partir de G0 …
puis G2 à partir de G1puis G3 à partir de G2
et etc …
t
G
G0
t0
G1
G2
G3
t
G
G0
t0
G1
G2
G3
G0 est la valeur de la grandeur à la date t0G1 est la valeur de la grandeur à la date t1avec t1 = t0 + Δ t
t1Δ t
et G1 = G0 + ΔG0
Δ G0
et G2 = G1 + ΔG1
avec t2 = t1 + Δ t
G2 est la valeur de la grandeur à la date t2
t2
Δ t
Δ G1
Δt est le pas et ne varie pas
ΔG est l’accroissement de la grandeur G entre deux dates, ΔG varie…
Δ G2
Δ t
t
G
Gi
Gi+1
Comment calculer ΔG à chaque instant : t1 puis t2 …?
… en utilisant l’équation différentielle quiest de la forme : G’(t) = dG/dt = a . G + b
C’est là que le physicien fait une approximation, et écrit que, si Δt est un intervalle de temps suffisamment petit :
ΔG
Δt≈
dG
dt= a . G + b
et donc ΔG = ( a.G + b) Δt
Δ t
Δ G
Ce qui donne finalement :
ΔG0 = ( a G0 + b) Δt
et donc G1 = G0 + ΔG0
puis ΔG1 = ( a G1 + b) Δt et donc G2 = G1+ ΔG1
puis ΔG2 = ( a G2 + b) Δt
G0
G3 = …..
C’est une méthode itérative !
Il faut connaître la valeur initiale G0
Il faut fixer un pas Δt assez petit
Les valeurs de a et b sont fournies dans l’équation différentielle
Reprenons l’ensemble sous forme de tableau :
Δt
Δt
et etc…
DateDate Valeur de GValeur de G ΔΔG = ( a.G + b ) . G = ( a.G + b ) . ΔΔtt
tt00 GG00ΔΔGG00 = ( a. = ( a.GG00 + b ) . + b ) . ΔΔtt
tt11 GG11 = = GG00 + + ΔΔGG00
ΔΔGG11 = ( a. = ( a.GG11 + b ) . + b ) . ΔΔtt
tt22 GG22 = = GG11 ++ ΔΔGG11
ΔΔGG22 = ( a. = ( a.GG22 + b ) . + b ) . ΔΔtt
tt33 GG33 = = GG22 ++ ΔΔGG22
ΔΔGG33 = ( a. = ( a.GG33+ b ) . + b ) . ΔΔtt
Δt
Je calcule G0
On calcule
ΔG0
On part de G0On calcule G1
…
…puis ΔG1On calcule G2
…
…puis ΔG2
après avoir fixé le pas Δt …
On calcule G3 …
Reste à appliquer cette méthode pour tracer :
t
A ou N
t
uC
t
v
Décroissance radioactive :
dN/dt = - λ N ( dA/dt = - λ A )
Charge d’un condensateur :
duC /dt = - uC/RC + E/ RC
Vitesse limite de chute :
dv/dt = a v + b
Équation différentielle :
Valeur initialeReport des points après calcul
A vous d’appliquer la méthode d’Euler
Les anabacs regorgent d’exemplesBon courage !