Méthodologie de pré-dimensionnement de …theses.insa-lyon.fr/publication/2006ISAL0085/these.pdf · Introduction ... dimensionnement d’un dispositif analogique performant n’est

N° d’ordre 2006ISAL0085 Année 2006

Thèse

Présentée devant

L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenir

Le grade de docteur

Ecole doctorale : Electronique, Electrotechnique et Automatique.

Spécialité : Génie électrique

Par

HELALI Hassan

Pour une soutenance le 24 Novembre 2006

Méthodologie de pré-dimensionnement de convertisseurs de puissance :

Utilisation des techniques d’optimisation multi-objectif et prise en compte

de contraintes CEM

Jury

M. COSTA François Professeur M. SCHANEN Jean Luc Professeur M. MOREL Hervé Directeur de recherche Mme. SLAMA-BELKHODJA Ilhem Professeur M. BEN AMMAR Faouzi Maître de conférence (HDR) M. BEN HADJ SLAMA Jaleleddine Maître de conférence Membre invité : M. BERGOGNE Dominique

2

Remerciements

Arrivant au terme de ce travail de thèse, je tiens à adresser ma gratitude envers tous ceux qui

m’ont aidé et soutenu.

Je tiens à remercier particulièrement M Hervé MOREL. Au-delà de l’aspect scientifique, je

lui suis reconnaissant pour ses qualités humaines. Après cette expérience, je reconnais que le

savoir seul n’est pas suffisant pour encadrer et motiver les jeunes chercheurs. Des

remerciements aussi sincères vont à M Dominique Bergogne, Mme Ilhem Slama-Belkhodja et

M Jaleleddine Hadj Slama.

C’est avec un grand plaisir que je remercie M François Costa, M Jean Luc Schanen et M

Faouzi Ben Ammar qui ont accepté de faire partie de mon jury de thèse.

Des remerciements aussi chaleureux vont à mes collègues du CEGELY avec qui j’ai partagé

ces années de travail, je pense à tout(e)s les doctorant(e)s ainsi qu’au personnel permanent (la

liste est longue et je suis sûr qu’ils vont se reconnaître facilement).

Je réserve la fin de mes remerciements à ma famille pour leur soutien quotidien.

3

A mon père, ma mère,

mon frère et ma sœur.

Table des matières

4

Table des matières

Introduction générale............................................................................................................... 7

Chapitre I. Modélisation et conception des systèmes de puissance. .................................... 9

I. Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance..................................... 10

1. Problématique de la conception des systèmes de puissance ........................................ 10

2. Le pré-dimensionnement en électronique de puissance............................................... 12

3. Approche de pré-dimensionnement par optimisation .................................................. 13

4. Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité .................................... 19

II. Modélisation en électronique de puissance...................................................................... 20

1. Modèles et choix de composants.................................................................................. 20

2. Câblage et performances de la technologie SMI.......................................................... 32

III. Cas d’étude : Application............................................................................................. 35

1. Considérations de conception....................................................................................... 35

2. Formulation du problème d’optimisation..................................................................... 45

IV. Conclusion.................................................................................................................... 46

Chapitre II. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites ...... 47

I. La CEM dans les convertisseurs de puissance ................................................................. 48

1. Généralités.................................................................................................................... 48

2. Normes CEM en électronique de puissance................................................................. 49

3. Etude phénoménologique............................................................................................. 53

II. Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale ....................................................... 54

1. Méthode indirect .............................................................................................................. 54

2. Méthodes directes : modélisation analytique ................................................................... 59

III. Mise en équation systématique basée sur la causalité........................................................ 64

Table des matières

5

1. Modélisation unifiée : graphe des liens........................................................................ 64

2. Mise en équation systématique : Analyse de causalité ................................................ 68

3. Graphe des liens commuté ........................................................................................... 71

IV. La méthode proposée : description et validation ............................................................... 72

1. Principe et Atouts de la méthode proposée .................................................................. 72

2. Description de la méthode et exemple pédagogique.................................................... 73

3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série) ...................................... 79

V. Conclusion........................................................................................................................ 91

Chapitre III. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement .. 93

I. Introduction........................................................................................................................... 94

II. Utilisation des techniques uni-objectifs............................................................................... 96

1. Les algorithmes génétiques .............................................................................................. 96

2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN............................ 97

3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues............................................... 98

4. Convertisseurs optimisés................................................................................................ 102

5. Validations de la conception .......................................................................................... 104

6. Conclusion...................................................................................................................... 104

III. Les techniques d’optimisation multi-objectif................................................................... 105

1. Définitions...................................................................................................................... 105

2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs ........................ 108

IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif................................................................. 126

1. Introduction .................................................................................................................... 126

2. Description de la méthode.............................................................................................. 126

3. Exemple pédagogique .................................................................................................... 129

4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V ............................................... 131

Table des matières

6

V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM.................................................... 136

VI. Conclusion ....................................................................................................................... 137

Conclusion générale ............................................................................................................. 139

Bibliographie......................................................................................................................... 142

Résumé et mots clés.............................................................................................................. 147

Introduction générale

7


Dans le cas de l’électronique de puissance, la conception des convertisseurs peut être

dégrossie à l’aide du pré-dimensionnement. Ce dernier permet surtout d’assurer la

fonctionnalité souhaitée ainsi que le respect des principales spécifications décrites dans le

cahier des charges. Dans ce cadre nous n’avons pas besoin de modéliser les différents

phénomènes (électrique, thermique, CEM, dynamique, ….) avec grande précision, par contre

la rapidité et la simplicité des modèles sont importantes.

Les convertisseurs de puissance couvrent de plus en plus de domaines d’applications, Ceci

implique des environnements de fonctionnement différents, allant des utilisations domestiques

(grand public) aux applications à exigence de fiabilité élevées (aéronautique); Suivant

l’application pour laquelle est dédié le convertisseur, un ou plusieurs objectifs de pré-

dimensionnement sont souvent spécifiés et doivent être optimisés.

La conception de convertisseurs de puissance fait intervenir en général un nombre important

de variables de conception ainsi que plusieurs contraintes physiques contradictoires et de

nature différente. Dans de tels cas, le raisonnement humain seul n’est plus suffisant, car il

devient difficile de percevoir tous les couplages et de comprendre comment agir pour

améliorer les objectifs choisis. Cette complexité du problème conduit naturellement à

l’utilisation de techniques d’optimisations robustes destinées à faciliter la détermination des

meilleures solutions (solutions optimales). Dans le cas où l’on cherche à optimiser un seul

objectif, on utilise des techniques d’optimisation dites uni-objectifs, dans le cas de plusieurs

objectifs simultanés on fait appelle aux techniques multi-objectifs.


8

Des études antérieures ont montrés l’apport des techniques uni-objectifs dans le cas de la

conception des convertisseurs de puissance, nous présenterons une fois de plus l’utilisation de

ces techniques ainsi que l’apport des techniques multi-objectifs dans ce type d’applications.

Autant la solution à un problème uni-objectif est simple à imaginer, autant le cas multi-

objectifs reste assez délicat. Ceci est dû aux conflits qui existent entre les différents objectifs à

optimiser simultanément. Généralement la solution à un problème multi-objectifs se ramène à

un compromis entre les différents objectifs et toute la complexité consiste à trouver le

meilleur compromis.

Dans ce travail nous proposons d’optimiser un hacheur abaisseur de tension, typique pour des

applications automobiles, suivant plusieurs objectifs simultanément.

Ce cas a été choisi car il pose assez peu de problèmes de modélisation en se limitant à des

composants unipolaires (VDMOS et diode Schottky) tout en restant assez réaliste.

Dans le premier chapitre nous allons présenter les différentes spécifications de conception, le

cahier des charges ainsi que les modèles utilisés pour représenter le comportement du

hacheur. Sachant qu’une grande contribution de notre travail concerne la modélisation des

perturbations électromagnétiques (EM), nous y avons consacré tout le chapitre 2. Dans ce

dernier nous allons présenter les différentes méthodes de prédiction des perturbations EM et

nous allons proposer une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM

conduites. Dans le chapitre 3, nous présenterons l’utilisation des techniques d’optimisation

uni-objectif et multi-objectif pour l’exemple d’étude.

Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance

9

Chapitre I

Modélisation et conception des systèmes de puissance.

I. Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance..................................... 10

1. Problématique de la conception des systèmes de puissance ........................................ 10

2. Le pré-dimensionnement en électronique de puissance............................................... 12

3. Approche de pré-dimensionnement par optimisation .................................................. 13

4. Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité .................................... 19

II. Modélisation en électronique de puissance...................................................................... 20

1. Modèles et choix de composants.................................................................................. 20

2. Câblage et performances de la technologie SMI.......................................................... 32

III. Cas d’étude : Application............................................................................................. 35

1. Considérations de conception....................................................................................... 35

2. Formulation du problème d’optimisation..................................................................... 45

IV. Conclusion.................................................................................................................... 46


10

I. Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance

1. Problématique de la conception des systèmes de puissance

Actuellement, la conception de systèmes de puissance ou même plus généralement de

systèmes analogiques se base sur « l’art du compromis », c'est-à-dire l’accommodation d’un

grand nombre de contraintes, la plupart conflictuelles. Il est ainsi communément admis que le

dimensionnement d’un dispositif analogique performant n’est pas un processus purement

algorithmique et qu’il requiert l’incorporation d’heuristiques, c'est-à-dire un ensemble de

règles basées sur l’expertise. Pour une même fonctionnalité, il existe souvent plusieurs

topologies de circuit susceptibles de répondre de manière optimale au jeu de performances

demandées et de manière moins performante suivant d’autres critères non explicitement

spécifiées. La nature pluridisciplinaire des systèmes de puissance fait intervenir en général

plusieurs compétences dans différents domaines plus au moins pointus. C’est ce qui fait

l’intérêt mais aussi la difficulté du Groupement de Recherche ISP [GDR04].

Ceci va à l’encontre de l’avancée technologique de la majorité des Systèmes et Technologies

de l’Information de la Communication, qui recourt à des alimentations qui seront de plus en

plus intégrées pour des raisons de volume, de fiabilité ou de coûts. Plus généralement, les

systèmes micro-électroniques ont connu une expansion industrielle exceptionnelle puisque

l’on peut estimer que, depuis 1963, la production double tous les ans. Un des éléments de ce

succès se trouve dans la maîtrise de la conception des systèmes sur puce « Systems-On-

Chip » (SoC). Cette démarche, appelé plutôt « flot de conception », permet de réduire

considérablement le temps de conception tout en garantissant des performances d’intégration

et de fonctionnement incomparable. La figure 1.1 décrit les étapes de la conception d’un

circuit intégré.


11

Fig. 1.1. « Flot de conception » général de système en micro-électronique, sera considéré comme exemple à suivre dans notre démarche

de dimensionnement pour les systèmes de puissance .

Dans un « flot de conception » on trouve d’une manière générale trois principales étapes: La

première consiste à réaliser un schéma électrique qui satisfait aux exigences, à partir d’un

cahier des charges précis. On parle de « conception fonctionnelle » du circuit. L’étape

suivante consiste à dessiner le circuit, le « placement-routage ». Cette opération consiste à

définir l’emplacement et les dimensions des éléments. Elle se fait en dessinant les différents

masques qui seront utilisés par le fabricant. La dernière étape, le « test », consiste à tester le

circuit après son intégration à l’aide de simulations précises.

Le rêve serait d’appliquer une telle démarche dans le cas de systèmes de puissance et de

pouvoir ainsi, comme en micro-électronique, fabriquer un circuit fonctionnel du premier coup

[GDR04].

Conception fonctionnelle

Placement-routage

Test : simulation


12

2. Le pré-dimensionnement en électronique de puissance

Le pré-dimensionnement en électronique de puissance permet de dégrossir le problème de

conception des convertisseurs de puissance. Il permet surtout d’assurer la fonctionnalité

souhaitée ainsi que le respect des principales spécifications décrites dans le cahier des

charges. Dans ce cadre nous n’avons pas besoin de modéliser les différents phénomènes

(électrique, thermique, CEM, dynamique, ….) avec grande précision; par contre la rapidité et

la simplicité des modèles sont importantes.

Par analogie avec la micro-électronique, le pré-dimensionnement en électronique de puissance

se situe dans la phase de « conception fonctionnelle ». Au cours de cette étape, les différentes

spécifications de fonctionnement que doit remplir le convertisseur, sont décrites par des

modèles analytiques. En électronique de puissance la phase de « placement routage » est

partiellement incluse dans la « conception fonctionnelle ». Il n’est pas possible de séparer

complètement les deux étapes comme c’est le cas en micro-electronique. Ceci est dû au fort

couplage multi-physique qui existe en électronique de puissance. En effet, la géométrie

intervient dans plusieurs phases du pré-dimensionnemet des systèmes de puissance. A titre

d’exemple, elle intervient en thermique pour fixer le chemin de propagation de la chaleur et

en CEM pour fixer le chemin de propagation des perturbations électromagnétiques ainsi que

les boucles de courant.

En micro-électronique, le « test » permet de réduire le nombre de prototypes durant la phase

de conception. En électronique de puissance, cette tâche reste très délicate vu le couplage

multi-physique ainsi que la complexité des modèles des composants semi-conducteurs. Pour

représenter le comportement réel des composants de puissance on a souvent recourt à des

simulations fines. On peut distinguer entre deux niveaux de finesse des modèles des

composants de puissance, un premier niveau à l’aide de simulations de type circuit, comme

SABER, SIMPLORER, SPICE, PACTE, qui reste suffisamment valable dans le cas de


13

composants unipolaire. Dans le cas de composants bipolaires et surtout en régime de forte

injection, les simulations de type circuit sont moins adaptées et on a recours à des modèles

plus précis à l’aide de simulation de type éléments finis, comme ISE-DESIS, SYNOPSYS-

MEDICI. Ce type de simulation permet de retrouver fidèlement le comportement réel des

composants de puissance. Dans [Gar05], des simulations de type éléments finis on été

utilisées pour extraire les paramètres de conception de diodes bipolaires (diode PiN). Une

modélisation précise du système de test (montage hacheur) au niveau du câblage, des

instruments de mesure (sondes de tension et de courant) ainsi que des éléments actifs

(MOSFET et Diode PiN), a permis de retrouver par simulation les commutations réelles en

fort niveau d’injection. Malgré la précision qu’offre ce type de simulation, elle reste non

attractive dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement global de systèmes de

puissance. En effet ce type de simulation et surtout celles de type éléments finis réclame la

description complète de la structure des composants, les dopages des couches et dimensions

géométriques, impliquant ainsi des ressources importantes en termes de temps calculs et de

moyens informatiques.

3. Approche de pré-dimensionnement par optimisation

3.1. Le pré-dimensionnement suivant objectif(s)

Actuellement, les convertisseurs de puissance couvrent une large gamme de domaine

d’application. Ceci implique des environnements de fonctionnement différents, allant des

utilisations domestiques (grand public) aux applications à exigence de fiabilité élevées

(aéronautique).

Suivant l’application pour laquelle est dédié le convertisseur, un objectif de pré-

dimensionnement est souvent spécifié et optimisé. Les contraintes de fonctionnement

dépendent aussi de l’application.


14

L’objectif de pré-dimensionnement peut être unique ou multiple. Dans certaines applications,

il est indispensable d’optimiser plusieurs objectifs en même temps. Par exemple en

aéronautique, on cherche à minimiser la masse et l’encombrement en même temps et ceci

pour des contraintes de fonctionnement et de fiabilité assez sévères.

Ainsi, le pré-dimensionnement des convertisseurs de puissance peut être formulé en un

problème d’optimisation contraint uni-objectif ou multi-objectif.

Les méthodes d’optimisation uni-objectif sous contraintes consistent à minimiser (ou

maximiser) une fonction objectif suivant des contraintes spécifiques reliant les différentes

variables de la fonction. Dans le cas multi-objectif, plusieurs fonctions souvent conflictuelles,

sont à optimiser simultanément. Dans ce cas on parle de vecteur de fonctions coût.

La prise en compte des contraintes d’optimisation permet le respect des spécifications de

fonctionnement du convertisseur. Ces contraintes sont exprimées directement à partir du

cahier des charges du convertisseur à l’aide de modèles analytiques. Les différents paramètres

de conception (composants, technologie, fréquence de découpage,…) sont utilisés en tant que

variables d’optimisations. L’algorithme d’optimisation manipule ces variables afin de

retrouver la combinaison permettant d’avoir le convertisseur optimal suivant l’objectif(s)

fixé(s) tout en respectant toutes les contraintes de fonctionnement. Un exemple de

transformation d’un problème de pré-dimensionnement de convertisseurs de puissance en un

problème d’optimisation contraint est présenté sur le tableau suivant :

Tab. 1.1. Principe de description d’un problème de pré-dimensionnement d’un convertisseur de puissance en un problème d’optimisation contraint

Fonction(s) objectif(s) Variables d’optimisation Contraintes

Surface

Coût en euros

Rendement

Masse

Composants

Technologie

Fréquence de découpage

Electrique

Thermique

CEM

Dynamique


15

3.2. Etat de l’art

Dans certains travaux antérieurs une telle démarche a été suivie pour concevoir des

convertisseurs de puissances. Dans [Bus01] et [Her01] des techniques d’optimisation uni-

objectifs à base d’algorithmes génétiques ont été utilisées pour réduire le coût d’une structure

boost avec PFC (Correction de Facteur de Puissance) en prenant en compte des contraintes

de conception thermiques, électriques et CEM. Dans [Lar02] le volume total d’une structure

Flyback en mode PFC a été optimisé à l’aide de techniques uni-objectif de type gradient sous

les mêmes contraintes définies précédemment. On trouve aussi dans la littérature des

applications industrielles impliquant ce type de démarche de conception de convertisseurs de

puissance. Dans [Jou02], le volume d’une structure hacheur réversible, pour des applications

automobiles, a été optimisé suivant des contraintes électriques, thermiques et CEM. Un outil

de dimensionnement, LAMPE, a été développé afin d’automatiser cette tâche. Cet outil se

base sur des techniques d’optimisation uni-objectif de type gradient.

Les convertisseurs ainsi optimisés dans ces travaux sont excellents suivant un seul critère (le

volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) mais pas forcément très bons suivant les

autres. Ceci est surtout dû aux conflits entre les différents objectifs à optimiser lors de la

conception des systèmes de puissance. Dans [Reg03] une contribution démontre le fort

potentiel de l’utilisation des techniques d’optimisation multi-objectifs dans le cas d’une

chaîne de traction de type véhicule électrique a été présentée. La technique d’optimisation

utilisée permet de fournir un ensemble de solutions efficaces parmi lesquels le concepteur

devra choisir la meilleure solution à retenir. Cette intervention humaine pose un réel problème

lors de l’utilisation des techniques d’optimisation multi-objectif, car elle fait que la solution

dépend fortement du choix personnel du concepteur.


16

3.3. Particularités du pré-dimensionnement en électronique de puissance

Le problème de pré-dimensionnement en électronique de puissance présente certaines

particularités concernant la nature des paramètres mis en jeu. En effet, en électronique de

puissance, nous avons un mélange de variables continues (comme par exemple la fréquence

de découpage) et discrètes (comme par exemple les composants discrets). De même, pour les

fonctions objectifs, nous avons des coûts continus tel que le rendement et des coûts discrets

comme la masse des composants.

La plupart des méthodes d’optimisation nécessitent des expressions analytiques des fonctions

coût à optimiser. Ainsi à notre connaissance, dans tous les travaux antérieurs, des techniques

d’interpolation sont utilisés pour déterminer des expressions analytiques pour les fonctions

coûts à partir des coûts réels discrets. Ceci ne permet pas une mise à jour simple de la liste de

composants car elle oblige le concepteur à recalculer les fonctions coût à chaque fois qu’il

veut rajouter un nouveau composant.

Nous avons fait le choix de prendre en compte les valeurs discrètes pour les coûts ainsi que

toutes les caractéristiques (valeurs, dimensions géométrique,…) des composants utilisés,

fournis directement auprès des fournisseurs et fabricants. Tous ces paramètres sont stockés

dans une base de données qui alimentera l’outil d’optimisation en coûts et en variables

d’optimisation. Nous avons utilisé une technique qui permet de mélanger ces paramètres avec

ceux qui sont de nature continue.

Ce choix permet d’une part la mise à jour en composants et d’autre part d’éviter les erreurs

d’interpolation que nous présenterons dans le chapitre 3.

3.4. Choix de la méthode d’optimisation

Le choix de la méthode adéquate pour l’optimisation des convertisseurs de puissance doit

tenir compte des particularités du pré-dimensionnement en électronique de puissance. Ces

particularités sont surtout la nature mixte (discret/continue) des paramètres d’optimisation


17

ainsi que des coûts, présentés dans le paragraphe précédent, auquel est rajouté la nécessité de

prise en compte de contraintes d’optimisation. Certaines méthodes ne permettent pas cette

dernière fonctionnalité.

Ce choix est d’autant plus difficile vu que la solution du problème dépend fortement de

l’algorithme qu’utilise la méthode. Ceci fait que certaines méthodes sont plus robustes que

d’autres et ont moins de mal pour retrouver l’optimum absolu (global) de la fonction à

optimiser.

Nous rencontrons dans la littérature deux classes d’algorithmes d’optimisation qui se

distinguent par la manière de chercher la solution : les algorithmes déterministes et les

algorithmes stochastiques [Cul94].

Les premiers dirigent la recherche de la solution en se basant sur des propriétés

mathématiques ce qui les rend rapide. Dans cette famille on distingue les méthodes indirectes,

qui nécessitent le calcul des dérivées premières voire des dérivées secondes, et les méthodes

directes ne nécessitant aucun calcul de dérivée. Cependant toutes les méthodes directes

présentent l’inconvénient de pouvoir être piégées par un minimum local. Pour essayer de

remédier à ce problème, une solution consiste à tester plusieurs valeurs initiales des

paramètres d’entrée, sans aucune garantie.

Les secondes parcourent l’espace des solutions d’une manière aléatoire, ce qui rend la

convergence lente, notamment pour les modèles numériques. De plus, la précision de

convergence est inconnue, mais ils ont l’avantage de ne pas être piégé par un optimum local

et ne requièrent pas la connaissance de propriétés mathématiques. Ils sont aussi bien adaptés

pour prendre en compte des variables ainsi que des fonction coûts discretes. Le tableau 1.2

présente les propriétés de quelques méthodes d’optimisation [Mor03].

Ainsi, les méthodes stochastiques sont mieux adaptées que les méthodes déterministes pour

résoudre des problèmes d’optimisation en électronique de puissance. Elles permettent de


18

répondre à toutes les particularités des problèmes de pré-dimensionnement en électronique

de puissance.

Parmi ces méthodes, on trouve les algorithmes génétiques qui seront détaillés au chapitre 3.

Nous avons utilisé ces techniques pour résoudre le problème de pré-dimensionnement. Nous

avons aussi traité le cas multi-objectif en proposant une nouvelle démarche qui permet de

retenir la meilleure solution parmi l’ensemble des solutions fournies par la résolution du

problème multi-objectif. Tous les détails sur l’utilisation des techniques d’optimisation, uni-

objectif et multi-objectifs, ainsi que la méthode que l’on propose sont fournis dans le

chapitre3.

Type Catégorie nom Prise en

compte des

contraintes

Calcul des

dérivées

premières

Calcul des

dérivées

secondes

Recherche

du

minimum

global

Méthode de

Relaxation

Oui

Méthode du

gradient

Oui

Méthode de

gradient

conjugué

Oui

Méthode de

Newton

Oui Oui

pénalisation Oui Oui

Descente

Primale-duale Oui Oui

déterministe

Programmati

on linéaire

simplexe

Oui

Recuit simulé Oui Oui

stochastique

génétique Oui Oui

Tab. 1.2. Classification des principales méthodes d’optimisation


19

4. Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité

4.1. Démarche de pré-dimensionnement

Nous proposons une démarche de pré-dimensionnement générale, pouvant s’appliquer à

n’importe quel structure de puissance. Cette démarche permet d’optimiser plusieurs

performances en même temps à l’aide de techniques d’optimisation multi-objectifs robustes (à

base d’algorithmes génétiques) et fournit en sortie une unique solution au problème, la plus

proche de l’objectif idéal (l’objectif idéal est formé par l’ensemble des objectifs optimisés

indépendamment des autres). Des contraintes de conception, permettant de garantir un

fonctionnement respectueux de l’environnement réel, sont prises en compte à l’aide de

modèles analytiques que nous avons développés. Ces contraintes sont surtout de type

électriques, thermiques et CEM.

Cette démarche prend en compte l’aspect discret et continu des paramètres d’optimisation

(variables et coûts) à l’aide d’une base de données de composants. Cette base de données est

déterminée directement à partir des données fournies par les fabricants, permettant ainsi une

mise à jours de la liste de composants simple et rapide.

4.2. Exemple traité : hacheur série

Nous avons traité le cas d’un hacheur série 42 V/14 V en technologie SMI (Substrat

Métallique Isolé) typique pour des applications automobiles. La démarche retenue a été

appliquée pour optimiser la surface, le coût en euro ainsi que le rendement en même temps,

suivant des contraintes électriques, thermiques et CEM. Le choix de cette structure est fait

pour démontrer d’une part la faisabilité de notre démarche et d’autre part, l’apport des

techniques d’optimisation surtout multi-objectifs dans le cas de la conception de

convertisseurs de puissance, pour des applications réelles. Nous développerons dans la suite,


20

plus de détails sur le cahier des charges ainsi que les différentes considérations de conception

et modèles utilisés lors de notre étude.

II. Modélisation en électronique de puissance

La conversion d’énergie en électronique de puissance nécessite au minimum deux phases

complémentaires, le découpage et le stockage d’énergie. Ces deux tâches sont rendues

possible à l’aide de composants spécifiques de l’électronique de puissance (composants de

puissance actifs et passifs).

Le découpage est assuré par des interrupteurs de puissance à base de semi-conducteurs. On

trouve des interrupteurs à commutation commandée (MOSFET, IGBT,…) nécessitant une

commande et d’autres à commutation naturelle (diodes PiN, Schottky,…)

Le stockage d’énergie s’effectue dans des composants passifs, dits de stockage d’énergie, les

condensateurs et les inductances.

1. Modèles et choix de composants

1.1. Interrupteurs de puissance : les semi-conducteurs

1.1.1. Choix des composants

Actuellement, il existe un grand nombre de composants à base de semi-conducteur assurant la

fonction d’interrupteur. Tous ces composants fonctionnement en commutation entre deux

états, ouvert (ou bloqué) et fermé (ou passant). La fermeture (ou mise en conduction) désigne

le basculement de l’état bloqué à l’état passant, et l’ouverture (ou blocage), le basculement

inverse.

Il est possible de distinguer deux familles de composants à base de semi-conducteurs, suivant

les phénomènes physiques présents lors du fonctionnement. On parle de composants bipolaire

et unipolaire [Let1]:


21

• Composants bipolaires, comme la diode PIN et le transistor bipolaire : ils mettent en

jeu l’effet de modulation de conductivité qui permet de réduire autant que possible la

chute de tension à l’état passant. Par contre, ceci dégrade les performances

dynamiques à l’ouverture et la fermeture. Le principe est l’injection, dans la base, de

porteurs (électrons/trous), qui réduisent la résistivité dès que leur concentration

devient notablement supérieure à celle des porteurs normalement présents

(phénomène de forte injection).

• Composants unipolaire, exemple la diode Schottky, transistor MOS : au contraire des

précédents, ne mettent en jeu qu’un seul type de porteurs, les majoritaires de la région

de base. Ainsi, la résistivité intrinsèque de la région de base n’est pas modulée et

intervient pleinement dans la chute de tension. Il en résulte que l’emploi de ce type de

composants est plutôt réservé aux applications de basse tension (jusqu’à quelques

centaines de volts). Ce sont des composants plus rapides que les bipolaires.

Le choix de composants est souvent délicat, car la réduction de la chute de tension à l’état

passant s’accompagne par une dégradation des performances dynamiques et nécessite ainsi

l’utilisation de modèles physiques complets et précis.

Dans le cas du pré-dimensionnement d’un hacheur basse tension (42 /14V), il est préférable

d’utiliser des composant unipolaires. Ce choix permet de réduire les pertes dans les

composants tout en évitant la nécessité de modèles physiques précis. Nous avons utilisé des

transistors MOSFET et des diodes Schottky en Silicium. De nouveau matériaux existent et

permettent de pousser la limite en température des semi-conducteurs, notamment le Carbure

de Silicium (SiC) qui constitue une thématique assez développée au CEGELY. Les

composants à base de SiC peuvent monter à des températures de 300 °C par rapport à 175 °C

pour ceux à base de Si.


22

Ces valeurs de températures maximales sont des limites conseillées par les fabricants afin de

limiter le courant de fuite en régime bloqué. La majorité des composants de puissance sont

capables d’assurer leurs fonctions d’interrupteur jusqu'à des températures de jonction plus

grande que ces limites.

1.1.2. Modèles de composants à semi-conducteurs

Pour représenter le comportement des composants à base de semi-conducteurs, différents

modèles avec plusieurs niveaux de précisions existent dans la littérature. Suivant les

phénomènes que l’on cherche à modéliser dans le système (CEM, pertes, dynamique,

stabilité, …), on choisit le niveau adéquat pour le modèle. Nous avons représenté sur le

tableau 1.3, une classification des différents niveaux de modèles de composants semi-

conducteurs (bipolaire et unipolaire). Cette classification montre le niveau du modèle en

fonction des phénomènes pris en compte par le composant, de sa validité pour le calcul des

pertes ainsi que son degré de précision sur le spectre des perturbations électromagnétiques

conduit dans le système.


23

Tab. 1.3 Les différents niveaux de modèles des composants semi-conducteurs

On peut distinguer cinq niveaux, allant du plus simple (Idéal) au plus fin (Electro-thermique) :

• Le modèle Idéal, Switch (Sw), est basé sur des commutations idéales. Il représente

grossièrement le comportement des interrupteurs de puissances. Suivant la commande,

le composant se comporte comme un circuit ouvert ou bien comme un circuit fermé

(court circuit). D’un point de vue énergétique, ce modèle peut être remplacé par une

source de courant nulle lorsqu’il est ouvert et par une source de tension nulle lorsqu’il

est fermé. Aucune caractéristique n’est déterminée à l’aide de ce modèle. Son schéma

équivalent est représenté sur la figure suivante :

Modèle

(niveau)

Idéal Statique Dynamique Bipolaire Electro-

thermique

Phénomènes

considérés

2 états Résistance

et

modulation

Effet

capacitif,

parasites

Prise en compte

de la forte

injection

Auto-

échauffement

Pertes Non conduction • conduction

• commutation

pour les

composants

unipolaires

• conduction

• commutation

pour les

composants

bipolaires

• Conduction

• Commutation

• Aire de

sécurité

Conséquence

sur le spectre

conduit

Précis

jusqu'à

20 Mhz

Précis

jusqu'à

20 Mhz

Précis au delà

de 20 Mhz

pour les

composants

unipolaires

Précis au delà

de 20 Mhz

pour les

composants

bipolaires

Précis au delà

de 20 Mhz

pour tous les

composants


24

Fig. 1.2. Modèle équivalent d’un interrupteur idéal Sw

C’est le modèle le plus simple qui est à la base de l’analyse des convertisseurs

statiques (Henri Foch). Malgré sa simplicité, ce modèle a été largement utilisé dans la

modélisation moyennée des convertisseurs de puissance, les modèles moyens. Ces

derniers sont des modèles simples et rapides à simuler et permettent bien de décrire la

fonction conversion d’énergie. Ils représentent le convertisseur par un gain (variable

ou fixe). De nombreux travaux ont permis de développer et d’appliquer de tels

modèles [Lau98], [All00]. Dans [Amm02], une démarche de construction

systématique de modèles moyens a été proposée et appliquée pour différentes

structures de puissance. Ce modèle a été aussi utilisé pour prédire les perturbations

électromagnétiques conduites [Sch93], [Teu97]. La précisons obtenue à l’aide de ce

modèle est assez bonne jusqu'à des fréquences suffisamment haute du spectre, 20 Mhz

[Rev03] (la norme CEM conduite va jusqu'à 30 Mhz pour les application

automobiles). Le grand obstacle dans l’utilisation de ce modèle est le calcul des pertes,

car par nature ce modèle n’a pas de pertes.

• Le modèle statique permet de prendre en compte la chute de tension à l’état passant et

les courants de fuites. Il peut être basé sur l’élément Sw avec une résistance série ron,

un seuil Von, voire une résistance en parallèle rf pour représenter les courants de fuites,


25

Fig. 1.3. Ce niveau de modèle correspond aussi au modèle analytique de la jonction

PN ou du canal d’un MOSFET. Ce modèle permet le calcul des pertes en conduction,

par contre il ne prend pas en compte les pertes en commutation. La figure 1.4, montre

la caractéristique statique en direct d’une diode Schottky.

Fig. 1.3. Modèle statique, rf est la résistance qui permet de prendre en compte les courants de fuites.

I

ron

Von V

Fig. 1.4. Caractéristique statique en direct d’une diode, Von es la chute de tension à l’état passant.

• Le modèle dynamique ajoute par rapport au modèle statique les capacités intrinsèques

(Cj) au composant et les éléments inductifs extérieurs (Le), voir Fig. 1.5.a.

Fig. 1.5.a. Modèle dynamique


26

Ce modèle offre une bonne précision dans le calcul des pertes, en commutation et par

conduction, dans les composants unipolaire. La figure 1.5.b. présente un modèle

dynamique de MOSFET utilisé dans [But04] pour les simulations exactes des pertes

globales.

Fig. 1.5.b. Modèle dynamique classique d’un MOSFET. [But04] a montré la bonne qualité du calcul des

pertes en conduction et en commutation.

Un modèle dynamique de MOSFET similaire, Fig. 2.9 a été utilisé dans [Pop99] pour

prédire les perturbations électromagnétiques conduite dans les convertisseurs de

puissance. Ce modèle a permis de calculer le spectre conduit pour des fréquences au

delà de 20 MHz.

• Le modèle Bipolaire prend en compte les phénomènes de forte injection dans la base

des dispositifs bipolaire. Ce type de modèle est basé sur la résolution des équations

des semi-conducteurs, qui sont fortement non linéaires. Cette dernière est assez lourde

et fait appel à des méthodes numérique délicates, comme les éléments finis (FEM).

Ces derniers nécessitent la description complète de la structure interne des dispositifs.

La structure des bipolaires est généralement complexe, la figure 1.6 montre l’exemple

de la structure interne d’un transistor bipolaire [let2]. Les équations des semi-

conducteurs sont ensuite calculées pour chaque point du maillage. La précision des

résultats, ainsi que la convergence des méthodes numérique dépendent étroitement da


27

la finesse du maillage. Ceci fait que cette méthode est lente et nécessite beaucoup de

ressources informatiques.

Fig. 1.6. Structure interne d’un transistor bipolaire [Let2]

Il existe certains travaux dans la littérature, [Mor94/2] [Stro94] [Let98] qui ont

approximés ces équations. Par exemple [Mor94/2] utilise la méthode d’approximation

variationelle sans avoir recours au maillage (Mesh-less). Les méthodes numériques

utilisées sont lourdes à mettre en œuvre et nécessitent une technicité particulière.

Le modèle ‘bipolaire’ permet de prédire les formes d’onde des courants et des tensions

lors des commutations, offrant ainsi une grande précision pour le calcul des pertes par

conduction et en commutation dans les composants bipolaires.

Malgré la précision qu’offre ce modèle, il n’est pas utile dans le cadre du pré-

dimensionnement des convertisseurs de puissance basse tension.

• Le modèle électrothermique prend en compte la dérive des caractéristiques en fonction

de l’auto-echauffement dans les composants. L’auto-echauffement est dû aux pertes

dans les semi-conducteurs. Le principe de ce modèle est de considérer la température

comme variable dans les équations semi-conducteur, au même titre que les courants

ou les tensions. Il se base sur la discrétisation de l’équation de la chaleur faisant ainsi

intervenir des méthodes numériques, différences finis et éléments finis. Dans


28

[Amm99] est montré que les méthodes de type élément fini sont beaucoup plus

efficaces que les différences finies dans le cas d’une impulsion de courte durée. Elles

nécessitent beaucoup moins de nœuds de calcul pour une précision comparable. Un

schéma thermique équivalent est déterminé suite à la discrétisation et implanté ensuite

dans un logiciel de simulation électrique type circuit, exemple (Saber, Pspice,

Simplorer, Pacte, …) pour assurer le couplage électro-thermique. La figure 1.7 ;

montre le schéma équivalent du modèle thermique obtenu par différences finies.

Fig. 1.7. Modèle thermique équivalent obtenu par discrétisation du

système à l’aide de la méthode des différences finies.

Ces méthodes n’aboutissent pas à des modèles analytiques et font intervenir des

méthodes numériques assez délicates. Elles ne sont pas adaptées pour le pré-

dimensionnement des convertisseurs de puissance.

La modélisation électrothermique permet la détermination des « aires de sécurité » du

composant, c'est-à-dire des domaines tension-courant à l’intérieur desquels le point de

fonctionnement doit demeurer [Let0]. Cette notion est introduite pour des raisons de

fiabilité, car une possibilité de destruction de composants est une augmentation très

élevé de la densité de courant ou une très forte dissipation locale de puissance [Let0].

Après cette brève description des différents niveaux des modèles d’interrupteurs de puissance,

il en découle que les modèles Idéal ou statique sont bien adaptés au pré-dimensionnement des

convertisseurs de puissance. Ils présentent le meilleur compromis rapidité-précision. Ce type


29

de modèles permet de représenter la fonctionnalité du système ainsi que de prédire les

perturbations électromagnétiques conduites jusqu’au des fréquences assez hautes (20 Mhz).

Néanmoins, il n’est pas valable pour le calcul des pertes en commutation et un modèle

dynamique est nécessaire.

Dans ce travail, nous avons utilisé un modèle d’interrupteur idéal pour représenter les

phénomènes électromagnétiques ainsi que la modélisation fonctionnelle du système. Les

pertes on été modélisées à l’aide d’un modèle dynamique simplifié.

1.3. Composants passifs

1.3.1. Choix et dimensionnement

De nombreuses technologies de condensateurs existent sur le marché et sont destinées

chacune à des applications particulières. Pour des applications en électronique de puissance,

trois grandes familles sont utilisées : les condensateurs électrolytiques, utilisés généralement

pour le filtrage d’une tension continue, leur principale caractéristique est une grande valeur de

capacité. La deuxième famille est formée par les condensateurs céramiques, utilisés surtout en

haute fréquence pour l’accord ou le découplage en haute tension, ainsi que le filtrage de sortie

des alimentations à découpage. La dernière famille, est générale formée par les condensateurs

à films plastiques. Le choix de la technologie dépend fortement de la fonction que doit

remplir le condensateur mais aussi d’autres paramètres exprimés généralement d’une manière

implicite dans le cahier des charges ou lors du dimensionnement de la structure de puissance,

tel que la capacité souhaitée, la tension supportée, la valeur efficace du courant traversant et la

température. La Fig. 1.8, montre les différentes technologies de condensateurs pour des

applications en tension continue, et leurs domaines d’utilisation en fonction de la tension, de

la capacité et du courant [Mou0].


30

Fig. 1.8. Technologies des condensateurs en tension continue [Mou0].

Nous avons fait le choix d’utiliser des condensateurs électrolytiques pour le filtrage de la

tension d’entrée et des condensateurs céramiques pour le filtre de sortie.

Le dimensionnement des inductances nécessite plus de précautions, car celui-ci fait intervenir

des aspects multi-physiques tels les phénomènes magnétiques qui permettent de prendre en

compte la saturation. Le choix du matériaux magnétique, des dimensions du circuit ainsi que

de la perméabilité relative et du nombre des spires permet d’obtenir la valeur L désirée en

évitant la saturation et en limitant les pertes dans l’inductance à des valeurs acceptables.

Face à la complexité de cette tâche, de nombreux travaux dans la littérature proposent des

méthodes de dimensionnement pour les éléments magnétiques, tel que la méthode dite du

produit des aires présentée dans [Fer99].


31

Contrairement à certains travaux de conception de convertisseur de puissance [Bus01],

[Her01] et [Lar02] et [Jou02], qui dimensionnent leurs propres inductances, nous avons fait le

choix d’utiliser des composants standard commercialisés. Ceci nous permet d'utiliser

directement les caractéristiques fournies par les constructeurs, tels que les modèles des pertes,

la masse ainsi que les dimensions. D’ailleurs ce choix ne se limite pas aux composants

magnétiques mais il est valable aussi pour tous les composants que nous avons utilisés.

1.3.2. Modèles de composants passifs : « Modèles constructeurs »

Comme tous les composants, les éléments passifs ne sont pas parfaits et possèdent des

éléments parasites. Suivant les phénomènes qu’on cherche à décrire, on choisi les éléments

parasites à prendre en compte dans la description du modèle équivalent. Dans le cadre du pré-

dimensionnent de structure de puissance, les modèles dit «modèles constructeurs » sont

suffisants pour décrire les principaux phénomènes lors de la conception (phénomènes

électriques, thermiques et CEM). En plus de leurs simplicités, se sont des modèles fournis par

les fabricants, permettant ainsi de gagner du temps en terme de dimensionnement et

caractérisation de composants.

Le condensateur est représenté par un simple modèle R-L-C série, qui donne entière

satisfaction sur toute la plage de fréquence considérée. Dans notre travail nous avons identifié

le modèle R-L-C série pour plusieurs condensateurs de filtrage à l’aide du pont d’impédance

HP4194A. Les paramètres des modèles (R, L, et C) ont été utilisés dans la base des données

des composants pour identifier les différents condensateurs. La figure 1.9 montre l’exemple

d’un condensateur de capacité 407 µF.


32

Fig 1.9. Comportement fréquentiel d’un condensateur électrolytique. Le modèle série R-L-C donne une bonne précision sur toute la gamme de fréquence. La mesure est faite à l’aide du pont d’impédance HP4194A

L’inductance bobinée est représentée par une inductance idéale en série avec une résistance de

perte par effet joule RDC. Les pertes totales dans l’inductance sont constituées à la fois de par

les pertes par effet joule dans RDC et des composantes qui dépendent de la fréquence et de la

variation du flux, tel que les pertes dans le noyau (pertes par hystérésis, pertes par courant de

Foucault) [Zen04].

Les « modèles constructeurs » ont été largement utilisés dans la littérature pour la conception

des convertisseurs de puissance. [Sch99] utilise de tels modèles et montre leur efficacité pour

prédire les performances CEM sur différents montages (Flyback, Forward).

2. Câblage et performances de la technologie SMI

2.1. Le câblage en électronique de puissance

D’une manière générale, le câblage (ou connectique) désigne le réseau d’interconnections

entre les différents composants d’un dispositif électrique. Il désigne également les liaisons


33

entre ce dispositif et le monde extérieur (câbles d’alimentation, câbles de liaison à la charge,

fils de commande…). Dans le domaine des convertisseurs de puissance, le câblage suscite

un intérêt tout particulier. Du fait des brusques variations de courant et de tension

auxquelles sont soumises ces liaisons, elles ne peuvent plus être considérées comme de

simples équipotentielles. Leurs comportements s’apparente plutôt à un assemblage de type

R, L, C. De nombreux travaux ont montré l’influence du câblage sur les performances des

convertisseurs, des exemples sont présentés dans [Rou99]. Des outils spécifiques pour le

calcul des éléments parasites dus à la connectique sont disponibles. Parmi eux, le logiciel

INCA (Inductor Calculation) développé au Laboratoire d’Electrotechnique de Grenoble. Cet

outil permet d’obtenir un schéma électrique équivalent (inductances et résistances) à partir

de la saisie de la géométrie des interconnections. Grâce à la méthode analytico-numérique,

PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) [Rue96] et [Cla96], sur laquelle est basé cet

outil, il offre une bonne précision même dans le cas de structure 3D d’interconnexions et

permet de générer automatiquement des composants "connectiques" vers des simulateurs de

circuit type SPICE ou SABER. A notre connaissance il n’existe pas encore d’outil général

permettant de calculer les capacités parasites dans le cas de l’électronique de puissance. Il

faut noter aussi que la connectique dépend fortement de la technologie utilisée, (PCB, SMI

ou DBC). Nous présentons dans le paragraphe qui suit les propriétés spécifiques de la

technologie SMI que nous avons adoptée.

2.2. Le câblage en technologie SMI

En basse tension lorsque l’énergie à dissiper devient importante, on a souvent recours à la

technologie SMI, qui en plus de ces bonnes performances thermiques, présente certaines

particularités au niveau du câblage. Le SMI est un empilement de trois couches de natures

différentes, Fig. 1.10. La chaleur s’évacue à travers le substrat vers un radiateur. La couche


34

de cuivre pour la réalisation des pistes est isolée de la base métallique par un diélectrique

mince avec une faible résistance thermique. La base est généralement en aluminium

permettant une bonne tenue mécanique ainsi qu’une faible résistance thermique. Les

composants sont montés en surface sur la couche de cuivre.

Fig. 1.10. Structure de la technologie SMI.

D’un point de vue câblage, cette structure a l’avantage de réduire les inductances parasites (du

fait de l’effet d’image apporté par le substrat métallique), par contre les capacité entre pistes

et le substrat d’aluminium sont beaucoup plus importantes qu’avec du circuit imprimé 1.6 mm

d’épaisseur [Sch94]. Cet aspect capacitif est bénéfique pour réduire les surtensions à

l’ouverture des composants semi-conducteurs, par contre il offre en même temps un chemin

aux perturbations conduites de mode commun.

Dans [Bog88], plusieurs modèles analytiques sont proposés pour calculer la capacité entre

une piste et un plan de masse, en tenant compte des effets de bord et de l’épaisseur de la piste.

Ces formulations sont à l’origine destinées aux lignes micro-ruban. Ainsi, elles ne

s’appliquent qu’au cas des pistes rectangulaires, de longueurs pouvant être considérées

infinies. Cependant, dans le cas de l’électronique de puissance, les pistes sont en général

larges et courtes et ces formulations ne peuvent être utilisées en l’état. Des adaptations de ces

modèles dans le cadre de l’électronique de puissance sont proposées dans [Sch94]. Ces

corrections prennent en compte les effets de bord aux extrémités des pistes et permettent de

calculer la capacité formée par une plaque de forme plus complexe au dessus d’un plan de


35

masse. Une formulation empirique plus simple est proposée dans [But04], une série de motifs

de test a été réalisée sur un SMI. Les capacités parasites de ces différents motifs ont été

mesurées au pont d’impédance HP4194A. La mesure a montrée que la capacité surfacique est

presque constante et de l’ordre de 70 pf/cm². Dans cette étude les effets de bord ont été

négligés vu que les pistes sont de formes proche du carré, avec des surfaces de plusieurs cm²

et une épaisseur de diélectrique inférieure à 100 µm. Ceci reste tout à fait légitime dans notre

cas d’étude. Cette formule servira surtout dans l’étude des perturbations électromagnétiques

(CEM) dans le chapitre 2.

III. Cas d’étude : Application

1. Considérations de conception

1.1. Conception fonctionnelle et cahier des charges

1.1.1. Conception fonctionnelle

La structure utilisée pour réaliser la fonction abaisseur de tension continue 42V / 14V est

représentée sur la Fig1.11. Il existe deux modes de conduction [Fer99]: le Mode de

Conduction Discontinu (MCD), quand le courant dans l’inductance s’annule et le Mode de

Conduction Continu (MCC), quand le courant inductif est toujours positif.

Fig. 1.11. Hacheur abaisseur de tension


36

Le principe de fonctionnement de cette structure est assez simple. Suivant la commande,

l’interrupteur K, se trouve dans deux états possibles (le régime permanent est supposé établi).

Entre 0 et αT (T est la période de découpage et αT le temps de conduction), l’interrupteur K

est fermé et il y a transition de l’énergie depuis l’alimentation vers la charge, pendant cette

phase l’énergie est stockée dans l’inductance L. Entre αT et T, la charge est débranchée de

l’alimentation et il y a décharge de L dans la charge R. Les formes d’ondes simplifiées

obtenues en conduction continue sont représentées sur la Fig1.12.

Fig. 1.12. Formes d’ondes en conduction continue. Obtenues en régime établi à l’aide de modèle d’interrupteur idéal


37

La notion de modèle moyen permet d’écrire une expression reliant, en régime établi, la

tension moyenne de sortie à la tension moyenne d’entrée, comme suit [Amm02] :

Vs= α Ve (equ.1.1)

1.1.2. Cahier des charges

A travers le cahier des charges, sont fixées les différentes contraintes que doit respecter les

convertisseurs de puissance afin de garantir un fonctionnement normal dans un

environnement spécifique. La description d’un cahier des charges peut aller du plus simple,

en considérant le minimum de phénomènes à prendre en compte, jusqu’au plus détaillé en

fixant le fonctionnement du convertisseur avec des contraintes sévères et de nature différente.

Lors de la description de notre cahier des charges, nous avons pris en compte les contraintes

les plus importantes qu’un convertisseur doit remplir pendant son fonctionnement dans un

environnement réel. Ce sont des contraintes de type électrique, thermique et CEM. Ce choix a

été inspiré d’un exemple réel de pré-dimensionnement d’une structure similaire pour des

applications automobiles, traité dans [Jou02]. Le cahier des charges retenu est présenté sur le

tableau suivant :

Electrique Thermique CEM

Ve= 42 V

Vs= 14 V

Is= 8A

∆(Vs)max = 400 mV

MCC

Tambmax = 50°C

Tjmax = 175°C

EN55022 :

Classe A

Classe B

Tab. 1.4 Cahier des charges retenu.


38

Avec : Ve : Tension d’entrée (continue)

Vs : Tension de sortie (continue)

Is : Courant de sortie moyen

∆(Vs)max: Ondulation maximale sur la tension de sortie

MCC : Mode de Conduction Continu

Tambmax: Température ambiante maximale

Tjmax

: Température de jonction maximale

EN 55022 : Normes générique pour domaines résidentiels, commerciaux et

l’industrie légère, voir paragraphe 1.3

Pour chaque contrainte de pré-dimensionnement, soit chaque phénomène pris en compte, des

modèles analytiques sont nécessaires pour le décrire. Ces modèles sont développés dans la

suite de ce chapitre.

1.2. Spécifications électriques

Comme montrées dans le cahier des charge retenu, Tab.1.4, les spécifications électriques

permettent de fixer un taux d’ondulation maximal pour la tension de sortie ainsi qu’un

fonctionnement en mode de conduction continu. Nous rappelons juste que cette étude peut

aussi s’appliquer au MCD en adaptant les modèles de calcul.

L’ondulation du courant inductif, ∆I, fixe le mode de conduction continu si ∆I < 2*Is.

Dans [Fer99], l’ondulation du courant inductif (∆I) et l’ondulation de la tension de sortie

(Vs) sont déterminées à partir des formes d’ondes, il est démontré que :

Avec :VsVeα = rapport cyclique, f : fréquence de découpage.

)2.1.equ(²fCL8Ve )α-1(α

=∆Vs

)3.1equ(f L

Ve )α-1(α=∆I


39

Ces équations ont été utilisées dans le choix des composants. La liste des condensateurs et des

MOSFET est établie en fonction de la tension de service.

Tension maximale du MOSFET : Vdsmax = Ve, Tension maximale aux bornes du

condensateur : Vcmax=Vs + (1/2)*∆Vs.

La base de données des inductances est choisie en fonction de la valeur (Henry) et du courant

de saturation.

Un facteur de sécurité (x2) a été utilisé pour les différents calibres de tension/courant pour le

choix des composants.

1.3. Spécification électromagnétique : CEM

La CEM est devenue un critère incontournable dans la conception des convertisseurs. Les

normes imposées sont garantes de l’aptitude d’un système à fonctionner dans son

environnement de façon satisfaisante et sans produire de perturbations électromagnétiques

intolérables pour les appareils du voisinage.

Deux types de perturbations peuvent être distingués suivant leurs modes de propagations. Les

perturbations conduites qui se propagent par conduction électrique (plan de masse,

câblages,…) et les perturbations rayonnées qui se propagent par un champ électromagnétique.

Ces perturbations sont quantifiées par le niveau des harmoniques des grandeurs électriques.

La norme impose à certaines grandeurs électriques d’avoir un niveau d’harmonique inférieur

à une limite généralement exprimée en dBµV (equ.1.4.). Ces limites dépendent du domaine

d’application de l’appareil, la Fig 1.13 montre les limites imposées par la norme européenne

EN 55022 qui spécifie les niveaux hautes fréquences des émissions conduites et rayonnées

applicables dans les domaines résidentiels, commerciaux et l’industrie légère. L’équivalent

international est la norme CIPSR16 [Nor87].


40

)10

x(log20=)x(dBµV

610 _ (equ.1.4)

Fig. 1.13.Niveaux des perturbations conduites et rayonnées fixés par la norme EN55022.

Classe A : appareil destiné au secteur industriel Classe B : appareil destiné au secteur hospitalier et domestique

Dans la pratique, la CEM intervient souvent dans les dernières phases du développement, bien

que le bon sens demande d’intégrer la CEM dés le début de la conception. Il a été déjà montré

que plus l’on tarde à intégrer la CEM dans le flot de conception, plus le coût global est élevé.

Afin de prendre en compte la CEM dans le dimensionnement de la structure et de l’intégrer

dans la boucle l’optimisation, il est important de pouvoir estimer le spectre (niveaux des

harmoniques) à l’aide de modèles analytiques. Ceci permettra de valider ou non la conformité

du dispositif par rapport aux normes, avant sa réalisation et ainsi économiser les coûts élevés

engendrés par une modification en phase de prototypage.

Certains travaux antérieurs ont déjà proposés des modèles analytiques pour prédire le spectre

CEM conduit, [Sch93], [Pop99]. Face à certaines limitations et difficultés de mise en œuvre

de ces méthodes, nous avons proposé une nouvelle méthode. Cette méthode utilise des

interrupteurs idéaux, et se base sur l’analyse de causalité des graphes de liens. Elle permet de


41

développer de manière systématique des modèles analytiques pour prédire les perturbations

électromagnétiques conduites

Vu qu’une grande contribution de notre travail concerne la modélisation CEM, nous avons

consacré le chapitre 2 pour décrire notre méthode.

1.4. Spécifications thermiques

Les contraintes thermiques visent surtout à s’assurer que la température de jonction des semi-

conducteurs reste en dessous d’une limite maximale qui garantie la fiabilité des composants.

Suivant le milieu de fonctionnement du convertisseur, la température ambiante est fixée. Pour

certaines applications et lorsqu’on part d’un milieu « chaud », on ne dispose pas d’une marge

suffisante entre l’ambiante et la limite sur la jonction pour réaliser le refroidissement naturel

des semi-conducteurs, par exemple la température ambiante pour des applications automobile

est de 95 °C [Jou02].

Le calcul de la température de jonction ainsi que le dimensionnement du radiateur, si

nécessaire, nécessite le calcul des pertes dans le système. Un modèle thermique est ainsi

déterminé en prenant en compte les pertes dans le montage ainsi que les différents chemins de

propagation de la chaleur. Ce modèle permet de relier la température de jonction aux pertes

dans le système.

1.4.1. Modèles des Pertes

Les pertes prises en compte dans ce travail sont : les pertes dans le MOSFET, les pertes dans

les inductances ainsi que les pertes dans la diode Schottky. Les modèles des pertes sont tous

pris à partir des données du constructeur :

• Les pertes dans la diode Schottky (Pd) sont surtout les pertes par conduction, vu son faible

recouvrement. Ces pertes sont approximées par le modèle suivant :

)-(1IVP dd α= (equ. 1.5)


42

• Les pertes dans les inductances sont formées par les pertes par effet joule et celle dans le

noyau. Le modèle utilisé est le suivant [Pul06] :

2.232

55.01DCRMSIND ∆I)K(fK+RI²=P , (equ.1.6)

PIND=P par effet joule + P dans le noyau

• Les pertes dans le MOSFET sont formées par les pertes en conduction et les pertes en

commutation. Pour prendre en compte les pertes en commutation, il est nécessaire d’utiliser

un modèle dynamique pour le MOSFET.

Le modèle des pertes utilisé est [IRF1] :

fRoutinDSONMOS tIV21I²RP +=α , (equ. 1.7)

PMOS= P Conduction + P commutation

Ce modèle est basé sur des commutations simplifiées, Fig.1.14, il donne une approximation

grossière des pertes en commutation et une bonne précision sur les pertes en conduction en

supposant que la résistance RDSON varie peu. Ce modèle est surtout utile pour l’analyse

quantitative de la répartition des pertes dans le MOSFET. Il permet de savoir quand les pertes

IRMS valeur RMS du courant de sortie

RDC résistance DC de l’inductance

K1, K2 facteurs de pertes dans le noyau

∆I ondulation du courant inductif

RDSON résistance du MOSFET en conduction

tR temps de descente du courant, supposé constant

Vd chute de tension directe de la diode

α rapport cyclique


43

en commutation deviennent plus importantes que les pertes en conduction. Les pertes en

commutation sont constituées par celle à l’ouverture de l’interrupteur et celle à sa fermeture.

Dans notre cas nous avons négligé les pertes de commutation à la fermeture, (equ. 1.7)

Fig. 1.14. Pertes en conduction et par commutation dans le MOSFET. Modèle approximatif des commutations.

1.4.2. Modèle thermique

Le modèle thermique est statique. Il prend en compte les résistances thermiques, la

technologie SMI et le radiateur.

En technologie SMI, le radiateur est modélisé différemment, car la base métallique permet

de répartir la chaleur et de faire office de radiateur dans certaines limites. Lorsque c’est

nécessaire, le radiateur est fabriqué sur mesure pour s'adapter aux dimensions mécaniques

du circuit SMI et pour fournir la résistance thermique requise. Le diélectrique est un

mélange de polymère et de céramique ce qui donne à la technologie SMI son excellente


44

propriété électrique d'isolement et une faible résistance thermique (RthI). La densité de

résistance thermique est de 0.06 (°C.cm²)/W pour le diélectrique à hautes températures

(jusqu’a 140 °C), déterminée à partir du catalogue du fabricant [Ber04].

Fig. 1.15: Schéma thermique

Fig. 1.16 : Modèle thermique

La figure 1.15 montre le schéma thermique. Des simplifications sont faites : direction

verticale de la chaleur, pas d’échange thermique entre les composants et l’ambiante, la base

métallique est isotherme. Ceci permet de déduire le modèle thermique de la figure 1.16.

A l’aide de ce modèle, la température de jonction du MOSFET peut s’exprimer comme

suit :


45

ambcjMOSIMOSPISTESdiodeLMOSj T+)Rth+(RthP+)RthP+P+P+(P=T (equ. 1.8)

Avec: ambalRthRth −= Sans radiateur.

ambhsRthRth −= Avec radiateur

2. Formulation du problème d’optimisation

Suivant le principe énoncé dans le tableau Tab.1.1, nous avons défini le problème

d’optimisation suivant :

Fonctions objectifs à optimiser :

• S, Surface du circuit : somme des surfaces des composants plus une constante qui

correspond à l’écart minimal entre les différents composants.

• C, Coût en euros du circuit : somme des coûts des composants (actifs, passifs) plus

celui du radiateur.

• M, Masse du circuit : somme des masses des composants, du SMI et du radiateur.

• r, Rendement : calcul des pertes dans le MOSFET, l’inductance et la diode.

Variables d’optimisation :

• Composants passifs de stockage d’énergie : L (µH), C (µF)

• Eléments du filtre CEM (inductances et capacités)

• Composant actif: MOSFET

• Epaisseur du cuivre du circuit (SMI)

• Radiateur (résistance thermique)

• Fréquence de découpage (20 kHz-500 kHz)

Toutes les données concernant les composants sont fournies par les constructeurs.

Contraintes :

• Ondulation sur la tension de sortie : ∆Vs< ∆Vsmax

• Conduction Continue : ∆I < 2 Is


46

• Température du MOS : Tj < Tjmax

• Norme CEM : EN55022, classe A et B

Ces contraintes sont décrites par les modèles analytiques développés dans le paragraphe

« considérations de conception ». Le modèle pour la CEM est décrit dans le chapitre 2.

IV. Conclusion

Le compromis précision rapidité dans le choix des modèles des composants de puissance reste

très difficile à faire. Néanmoins, dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement de

convertisseurs de puissance, la précision n’est pas primordiale, par contre des modèles

analytiques simples sont nécessaires.

L’optimisation des convertisseurs de puissance, consiste à transformer un problème de pré-

dimensionnement en un problème d’optimisation contraint. C’est à l’aide des modèles

analytiques que seront décrites les différentes contraintes d’optimisation qui permettront de

satisfaire le cahier des charges imposé par le concepteur.

Le modèle d’interrupteur idéal permet de décrire les phénomènes électriques et CEM (détails

dans le chapitre 2) pris en compte dans le pré-dimensionnement de structure de puissance. Ce

modèle ne prend pas en compte les pertes dans les composants, par nature. Aussi, avons-nous

utilisé un modèle de pertes lors du dimensionnement thermique.

La nature mixte (discret/continu) des paramètres du pré-dimensionnement des convertisseurs

de puissance implique certaines particularités dans le choix de la méthode d’optimisation. Les

algorithmes génétiques sont bien adaptés pour ce problème. Ils permettent de mélanger des

variables d’optimisation continues et discrètes ainsi que la prise en compte de fonction coûts

discrètes. La prise en compte de coûts discrets permet d’éviter les erreurs d’interpolation ainsi

que la mise à jour simple de la liste des composants.

Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites

47

Chapitre II.

Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites

I. La CEM dans les convertisseurs de puissance ................................................................. 48

1. Généralités.................................................................................................................... 48

2. Normes CEM en électronique de puissance................................................................. 49

3. Etude phénoménologique............................................................................................. 53

II. Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale ....................................................... 54

1. Méthode indirect .............................................................................................................. 54

2. Méthodes directes : modélisation analytique ................................................................... 59

III. Mise en équation systématique basée sur la causalité........................................................ 64

1. Modélisation unifiée : graphe des liens........................................................................ 64

2. Mise en équation systématique : Analyse de causalité ................................................ 68

3. Graphe des liens commuté ........................................................................................... 71

IV. La méthode proposée : description et validation ............................................................... 72

1. Principe et Atouts de la méthode proposée .................................................................. 72

2. Description de la méthode et exemple pédagogique.................................................... 73

3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série) ...................................... 79

V. Conclusion........................................................................................................................ 91


48

I. La CEM dans les convertisseurs de puissance

1. Généralités

1.1.Origine des perturbations électromagnétiques dans les convertisseurs de puissance.

Le convertisseur statique, par son fonctionnement en découpage, produit des variations

brusques de tension et de courant. Ces variations sont à l’origine de parasites, appelés

perturbations électromagnétiques, qui se propagent de manière involontaire au sein du circuit

et/ ou vers son extérieur. Ces perturbations s’ajoutent aux signaux utiles et nuisent au

fonctionnement normal du circuit et celui des appareils du voisinage. Ainsi, chaque système

peut être vu comme émetteur ou récepteur des perturbations, on parle d’émission et de

susceptibilité.

Deux types de perturbations peuvent être distingués suivant la nature de leurs propagations.

Les perturbations conduites se propagent par conduction électrique (plan de masse,

câblages,…) et les perturbations rayonnées se propagent par champ électromagnétique. Dans

notre étude nous nous limiterons à l’étude des perturbations conduites.

1.2.Mode commun et mode différentiel

Les perturbations conduites peuvent se propager suivant deux modes différents, le mode

commun et le mode différentiel. Lorsque les courants parasites circulent en parcourant les

liaisons dans le même sens, en se refermant par équipotentielle, on parle de mode commun.

Dans le cas ou les courants circulent en sens inverse on parle de mode différentiel.

Une définition classique, très souvent utilisée, des tensions et courants de mode commun

(Vmc, imc) et de mode différentiel (Vmd, imd) est exprimée par les équations (equ 2.1) et (equ

2.2). Ces formules sont déduites à partir de la figure 2.1 :

Vmd = V1-V2 imd= i1-i2 (equ 2.1)

Vmc = (V1+V2)/2 imc=(i1+i2)/2 (equ 2.2)


49

Fig. 2.1. Modes de propagation des perturbations conduites

Certains travaux [Rev03], [Pop99], ont montrés que le mode commun peut se recombiner en

mode différentiel, suivant la symétrie électrique du montage.

Dans ce chapitre avons choisi de considérer les perturbations directement, sans se soucier de

leurs modes de propagation, afin d’éviter tout problème de définition ou de conversion de

modes. Ces derniers peuvent être déduits par la suite par combinaisons des perturbations.

2. Normes CEM en électronique de puissance

2.1.Réglementations en électronique de puissance

Historiquement, les premières normes CEM sont nées dans les années 1930 pour protéger la

radiodiffusion. Plus tard, les industriels ont proposés des normes afin d’améliorer la

protection de leurs matériels. Une rationalisation des différentes normes issues de plusieurs

secteurs d’activités industriels s’est produite dans les années 1980 [Cha1]. Principalement, les

normes internationales pour la protection des émissions radioélectriques sont gérées par le

Comité International Spécial des Perturbations Radioélectrique (CISPR).

Par nature, les normes CEM peuvent se diviser en deux catégories. La première définie les

niveaux tolérés d’émission conduite ou rayonnée. La deuxième définie la susceptibilité

électromagnétique des équipements. Dans [Cos1] est présenté un tableau qui résume les


50

principales normes d’émission concernant les équipements intégrant les convertisseurs de

puissance. Nous allons nous intéresser à la norme européenne EN 55022 qui spécifie les

niveaux hautes fréquences des émissions conduites et rayonnées applicables dans les

domaines résidentiels, commerciaux et l’industrie légère, le niveau des limites imposé par

cette norme est présenté sur la figure Fig. 1.13.

L’objectif des normes ne se limite pas à fixer les niveaux de tolérance en fonction des

domaines d’application, mais elle va jusqu'à la spécification des conditions et moyens de

mesures afin d’assurer des mesures reproductibles et fiables. Il s’agit de caractériser aussi

précisément que possible l’environnement de mesure en conduit et en rayonné (mesure en

espace libre, en chambre anéchoique, support des appareils, …), les conditions de mesures

(longueurs de câbles, distances des appareils, hauteur,…) ainsi que la calibration et le réglage

des appareils de mesures utilisés [Cos1]. La figure 2.2 présente les différentes conditions de

mesures normatives en conduit [Cha1].

Fig. 2.2 Conditions de mesure normative des perturbations conduites [Cha1]

Une description plus détaillée de certains éléments de mesures normalisées, présentées sur la

figure Fig. 2.2, est abordée dans les paragraphes qui suivent.


51

2.2.Le Réseau Stabilisateur d’Impédance de Ligne RSIL

Le RSIL est équivalent à un filtre inséré entre le réseau d’alimentation et l’entrée de

l’équipement sous test. Son rôle est multiple, il permet d’isoler l’équipement sous test du

réseau d’énergie, de fixer l’impédance prescrite aux points de mesure et de canaliser les

perturbations conduites vers le récepteur de mesure. Par ces différentes tâches, le RSIL assure

ainsi la reproductibilité des mesures.

Il existe plusieurs structures de RSIL, chacune est fixée par la norme relative au domaine

d’application. Le point commun à toutes les structures est l’impédance équivalente, qui va de

5 Ω à 10 Khz jusqu'à 50 Ω à 30 Mhz.

Le RSIL normatif est un filtre à double cellule [Cha1]. Dans la littérature, une structure

simplifiée, qui donne entière satisfaction sur toute la plage fréquentielle, est souvent utilisée.

Son schéma est présenté par la figure suivante.

Fig. 2.3. Structure simplifiée du RSIL, C1=1 µF, Ln=5 µH, Cn=100 nF, R= 50 Ω

Le condensateur C1, par sa forte valeur, permet de détourner les perturbations issues du

réseau. L’inductance Ln, par sa forte valeur aussi, empêche le courant issu de l’équipement

sous test de revenir au réseau et canalise son passage dans la branche comportant Cn et ZN.

Le condensateur Cn permet de filtrer la puissance (BF) et ne laisse le passage qu’aux


52

perturbations (HF) vers l’impédance de mesure Zn. Dans notre cas, cette impédance est

l’entrée 50 Ω du récepteur de mesure, que nous avons représenté sur la figure 2.3 par une

résistance R.

2.3. Analyseur de spectre

Les normes CEM imposent que les mesures doivent se faire avec un récepteur à détection

crête, quasi-crête ou en valeur moyenne (analyseur de spectre, mesureur de champ, …). Ce

récepteur est constitué d’un filtre sélectif dont la bande passante est fixée par la norme et

dépend de la fréquence de mesure, cette bande passante à 6 dB est de [Cha1]:

- 300 Hz pour les fréquences comprises entre 9 et 150 Khz.

- 10 Khz pour les fréquences comprises entre 150 Khz et 30 Mhz.

L’analyseur de spectre est l’appareil préférentiel utilisé pour la mesure en CEM. La structure

simplifiée de cet appareil est représentée sur la figure suivante.

Fig. 2.4. Structure d’un analyseur de spectre [Cos1]

Dans [Cos1] sont présentés les principaux points à prendre en considération lors de

l’utilisation d’un analyseur de spectre pour des mesures CEM. Un résumé de ces points est le

suivant :

- La résolution : c’est la bande passante du filtre d’analyse (filtre sélectif), elle est fixée


53

par la norme et dépend de la fréquence de mesure, présentée précédemment. Lorsque la

bande est étroite, le filtre va sélectionner un seul harmonique dans sa bande de mesure.

Dans le cas de bande large, ce sont plusieurs harmoniques qui sont sélectionnés.

- Le mode de détection : il existe plusieurs modes de détection, le mode crête, quasi crête

et moyen. Le choix du mode est imposé par les recommandations du CISPR.

Comme tout appareil, l’analyseur de spectre n’est pas idéal et son utilisation conduit a des

sources d’erreurs. Dans [Rev03], des simulations et des mesures du filtre sélectif sont

comparées et ont montrée que ce dernier est susceptible de modifier considérablement le

spectre dans le cas d’une tension modulée. Il est montré que le spectre subit des modifications

de forme et d’amplitude importante suivant la largeur de bande du filtre dans le cas d’une

tension modulée sinusoïdalement.

Notre cas d’étude ne fait pas intervenir des tensions modulées. Nous utiliserons ainsi

l’analyseur de spectre HP 8560A comme récepteur de mesure.

3. Etude phénoménologique

Une étude très souvent utilisée en CEM pour mettre en évidence les différents phénomènes

mis en jeu, est l’étude phénoménologique. Elle consiste à identifier le problème en trois

parties : les sources, le chemin et la victime.

Les sources des perturbations sont les commutations des interrupteurs de puissance. Ces

commutations sont à l’origine des brusques variations de tensions et courants qui donnent lieu

aux perturbations électromagnétiques. Le chemin de propagation comporte toute les

connexions entre le convertisseur et l’extérieur (réseau d’alimentation et/ ou sa charge), les

connexions internes entre les divers composants du convertisseurs ainsi que leurs éléments

parasites, et les capacités parasites entre certains potentiels flottants et la référence de

potentiel (la terre). Ces capacités sont approximées à l’aide de l’expression fournis dans le

paragraphe II.2.2 du chapitre 1.


54

La victime est normalement l’extérieur du convertisseur, le réseaux d’alimentation et/ ou la

charge. Par contre le RSIL, intercalé entre l’extérieur et le circuit, canalise les perturbations

conduites vers son impédance fixe R, Fig. 2.5. Ainsi, la victime devient cette impédance R,

qui en pratique constitue l’entrée 50 Ω de l’analyseur de spectre.

Fig. 2.5. Etude phénoménologie en CEM

II. Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale

D’un point de vue général, on peut distinguer deux classes de méthodes d’estimation

spectrale. La différence se situe dans le domaine de calcul du spectre. La première classe se

base sur un calcul du spectre directement dans le domaine fréquentiel, on parle de méthode

directe. Dans la deuxième classe, le spectre est déduit suite à des simulations temporelles,

appelée méthode indirecte.

1. Méthode indirect

1.1. Principe

Les méthodes indirectes sont basées sur une simulation temporelle du système suivi d’une

analyse fréquentielle des signaux simulés, le spectre des perturbations n’est déterminé qu’une

fois le calcul temporel effectué. Dans le cas des composants unipolaires, des simulations de


55

type circuit sont suffisante pour retrouver des formes d’onde temporelle assez précise. Dans le

cadre d’une étude de la CEM, cela implique aussi une caractérisation complète du circuit

d’étude (éléments parasites des composants, câblages) ainsi que la prise en compte des

capacités parasites entre potentiels flottants et la référence. Plus généralement, le circuit à

simuler doit comporter les éléments parasites des composants et du circuit susceptible de

contribuer dans les perturbations.

L’analyse fréquentielle est généralement faite à l’aide d’une transformée de fourrier rapide

(FFT). Pour que cette analyse soit cohérente, trois conditions sont nécessaires, mais pas

forcément suffisantes. La première consiste à ce que le régime permanent soit établi. La

seconde impose que le pas de simulation (∆t) soit choisi en fonction de la plage de fréquence

désirée en respectant les critères de Nyquist- Shannon (equ. 2.3) relatif à l’échantillonnage

(pour couvrir une plage d’étude de 30 Mhz le pas de simulation doit être inférieur à 17 ns). La

dernière condition impose que la fenêtre temporelle (Tétude) sur laquelle est réalisée la FFT

doit correspondre à un multiple entier de la période réelle du signal considéré (voir Fig. 2.6),

dans le cas contraire des harmoniques supplémentaires peuvent apparaître [Rev04]. Nous

montrerons dans la suite, qu’il est aussi important de choisir la technique de fenêtrage adaptée

dans le calcul de la FFT.

Fig. 2.6. Signal temporel simulé dans la méthode indirecte

Tétude = N. T

Régime établi Régime transitoire

T


56

xdeentièrepartie=E(x)où,)T*E(F

Tétude21

=∆tétudemax

(equ. 2.3)

1.2. Limitations de la méthode indirecte

L’étude CEM dans le cadre de l’électronique de puissance implique certaines particularités de

la structure d’étude, notamment le rajout du RSIL et /ou du filtre d’entrée. Ces éléments font

intervenir des constantes de temps beaucoup plus importantes que le pas de simulation, qui est

généralement très faible et limité par la plage de fréquence d’étude. Ceci fait augmenter le

régime transitoire et rend le temps de calcul assez long.

Malheureusement les simulations sont très longues et on rencontre des fois des problèmes de

convergence. Le système d’équations générées par le « solveur » lors d’une simulation de

type circuit, comporte en général des équations algébriques à résoudre en parallèle avec les

équations d’état du système. Ceci peut avoir comme conséquence des problèmes de

convergence du système algébrique.

Le temps de simulation prohibitif ainsi que les problèmes de convergence font que cette

méthode est non pratique pour l’analyse de sensibilité, qui permet d’analyser les phénomènes

et d’y remédier.

1.3. Influence de la technique de fenêtrage

Dans la littérature [Rev04], il a été montré que la durée de la fenêtre d’étude influe peu sur le

spectre, sous condition que ça corresponde à un multiple entier de la période réelle. Par

contre, dans la théorie du traitement de signal, il a été montré que le type de fenêtre utilisé

joue un rôle très important dans l’analyse FFT [Har78]. Dans cette partie nous proposons de

démontrer l’effet du type de fenêtre sur le spectre CEM prédit par la méthode indirecte.

Suivant la forme de spectre (précision) que l’on cherche à obtenir, on peut choisir des fenêtres

de différentes formes (Rectangulaire, Hanning, Blackman, Flattop,...), voir Fig. 2.7.


57

Fig. 2.7 Exemples de fenêtres.

Une fenêtre est caractérisée par :

- La largeur de son lobe principal, elle fixe la résolution de l’analyse, c’est-à-dire

l’aptitude à pouvoir séparer deux fréquences proches l’une de l’autre

- Les amplitudes des lobes secondaires, ils fixent la dynamique de l’analyse, c'est-à-

dire l’aptitude à mesurer les amplitudes très différentes de deux composantes de

fréquence relativement éloignées l’une de l’autre

Pour un nombre d’échantillons N fixé, la fenêtre rectangulaire est celle qui donne la meilleure

résolution, la largeur du lobe principale est égale à 2/(Tétude*N). La fenêtre rectangulaire ne

permet pas, par contre, d’obtenir une meilleure dynamique car ces lobes secondaires

décroissent très lentement. Pour obtenir une meilleure dynamique on choisit des fenêtres avec

lobes secondaires plus faible, tel que la fenêtre de Hanning, Blackman, Flattop…

Sachant que le norme impose des contraintes sur l’amplitude du spectre, il est plus intéressant

d’évaluer avec le plus de précision l’amplitudes des harmoniques sur une plage de fréquence

assez large que de chercher à distinguer les fréquences les une des autres. Ainsi, il est plus

judicieux d’utiliser la fenêtre Flattop, qui propose la meilleure dynamique grâce à son gain

constant en fréquentiel.

Fenêtre rectangulaire Fenêtre de Hanning

T T


58

Nous avons appliqué la méthode indirecte à l’exemple pédagogique du paragraphe IV.2.1 en

utilisant deux types de fenêtres (rectangulaire et Flatopp) pour le même signal temporel

simulé. Les spectres retrouvés sont comparés au spectre exact sur la figure ci dessous.

Fig. 2.8. Comparaison entre les spectres estimés par la méthode indirecte suivant deux techniques de fenêtrage et le spectre exact.

On remarque le type de fenêtre utilisée pour la FFT joue un rôle important sur la précision du

spectre estimé. La fenêtre Flattop donne une meilleure précision sur l’amplitude du spectre

que la fenêtre rectangulaire (l’erreur relative maximale entre le spectre exact et celui évalué à

l’aide d’une fenêtre Flattop est de 40 %, par rapport à une erreur relative maximale de 60 %

lors de l’utilisation d’une fenêtre rectangulaire).

1.4. Conclusion

Les méthodes indirectes ne sont pas bien adaptées aux problèmes d’optimisation des

convertisseurs de puissance, car elles ne permettent pas la formulation de modèles analytiques


59

des spectres CEM. Plus généralement, elles sont mal adaptées aux problèmes de pré-

dimensionnement de structure de puissance, car elles impliquent des simulations temporelles

assez pointues et extrêmement complexes à mettre en oeuvre ainsi que de ressources

informatiques considérables et des temps de calcul onéreux. D’un autre coté, les résultats

fournis par cette méthode sont assez sensibles au signal temporel utilisé, ainsi qu’à la

technique de fenêtrage utilisée. Malgré tous ces inconvénients, cette méthode est souvent

utilisée comme référence pour valider les méthodes analytiques, que nous allons présenter

dans la suite.

2. Méthodes directes : modélisation analytique

2.1. Principe

L’objectif de ces méthodes est de proposer des modèles analytiques qui permettent le calcul

directement du spectre. Suivant le schéma sur lequel se base l’étude CEM, on peut distinguer

entre deux méthodes. La première se base sur des schémas équivalents et la seconde prend en

compte le circuit réel.

2.2. Méthodes des sources équivalentes

Les premières méthodes de modélisation analytique se basent sur le schéma conventionnel

d’étude de la CEM, l’étude phénoménologique : identification des sources de perturbations,

du chemin de propagation et de la victime.

Les sources de perturbations sont constituées par la cellule de commutation, celle-ci est

remplacée par des sources de tensions et de courants pour former un schéma CEM équivalent.

Chaque mode de propagation est remplacé par une source équivalente, le mode commun est

remplacé par une source de tension et le mode différentiel par une source de courant. Les

formes d’ondes de ces générateurs sont choisies trapézoïdales, afin de rendre compte des

commutations non idéales des éléments actifs. Le chemin de propagation est formé par les


60

composants passifs, les pistes du convertisseur et les capacités parasites. La victime est

généralement constituée par le RSIL du coté de l’alimentation, mais ce peut être aussi celui

du coté de la charge.

Malgré les résultats satisfaisants de cette méthode, celle-ci reste non totalement rigoureuse sur

le plan théorique [Pop99], [Rev04], et le choix des sources des perturbations reste heuristique.

Elle demande beaucoup de savoir-faire ainsi qu’une bonne connaissance de la structure de

puissance et des mécanismes mis en jeu dans l’étude de la CEM (sources et chemins de

propagation).

Deux approches ont été proposées suivant cette méthode, par fonction transfert et matricielle.

La principale différence entre ces deux approches est la séparation ou pas des deux modes de

propagation, mode commun et différentiel.

2.2.1. Approche par fonction de transfert

Cette première approche consiste à dissocier le mode commun du mode différentiel en

établissant une fonction de transfert pour chaque mode [Sch93]. Cette dichotomie, suppose

qu’il n’y a aucune interaction entre les deux et que leurs chemins de propagation sont

indépendants. Dans [Rev04] est montré qu’il existe un fort couplage entre ces les deux modes

de propagation et que suivant la symétrie électrique du montage le mode commun peut se

recombiner en mode différentiel et inversement. Cette approche trouve beaucoup de

limitations pour traiter des systèmes complexes. Par contre, dans le cadre d’une approche de

conception globale de circuits simples elle reste attractive, grâce à sa simplicité.

2.2.2. Approche matricielle

Dans cette approche, un seul schéma équivalent est utilisé pour traiter le mode commun et le

différentiel en même temps [Rev04]. Les sources des perturbations sont toujours des sources

de tension et courant équivalentes, par contre la mise en équation est globale, elle prend en


61

compte les deux schémas équivalents. Cette approche prend en compte également les

impédances représentant la charge ou la connectique, qui étaient négligées dans le cas

précédent pour simplifier le calcul des fonctions de transfert.

Une procédure basée sur des calculs matriciels a été établie et permet d’avoir une

représentation matricielle minimale [Rev04]. Cette procédure reste assez laborieuse,

complexe et nécessite beaucoup de savoir faire.

2.3. Méthodes des variables d’états

La deuxième méthode, plus récente, repose sur la représentation des convertisseurs par

variables d’états [Pop99]. Elle se base sur le schéma réel du circuit et ne fait pas intervenir des

hypothèses de sources équivalentes. L’interrupteur n’est plus considéré comme idéal, Fig.2.9,

il comporte certains éléments parasites, tel que la capacité à l’état ouvert (Cj) évaluée sous

forte tension (Coss s’il s’agit toujours d’un MOSFET [Pop99]) et les inductances de câblage

interne et/ ou externe (Le). Ceci a permis d’avoir une meilleure précision que les anciennes

méthodes surtout en haute fréquence (au delà de 20 Mhz).

Fig. 2.9. Modèle d’interrupteur permettant de prédire les perturbations électromagnétiques conduite avec

précision au delà de 20 Mhz [Pop99].

A chaque topologie de la structure, suivant l’état des interrupteurs, est associée une matrice

d’état. La mise en équation se base sur la méthode nodale et donne lieu au système

d’équations d’état suivant :

)N,...,1(∈k,t<t<t),t(UB+)t(xA=dt

)t(dxswk1_kkkk

k (equ 2.4)


62

)t(UD+)t(xC=)t(y kkkk (equ 2.5)

Ou Nsw est le nombre d’intervalles entre les commutations pendant une période (T). A, B, C et

D sont des matrices constantes par morceau. U (t) est la tension d’entrée.

La résolution du système est déterminée en premier lieu en temporel à l’aide d’un calcul

matriciel. Les solutions sont exprimées à l’aide de formules faisant intervenir des

exponentiels de matrice. La forme générique des solutions exprimant le vecteur d’état xk et

des sorties y k, est la suivante :

τd).τ(U.B.e+)t(x.e=)t(x k

t

t

)τt(A1kk

)tt(Ak ∫

1_k

_k

_1_k

_k (equ. 2.6)

)t(U.D+)τd).τ(U.B.e+)t(x.e(.C=)t(y kk

t

t

)τt(A1kk

)tt(Akk ∫

1_k

_k

_1_k

_k (equ.2.7)

Une boucle d’optimisation permet de trouver les conditions initiales qui garantissent d’obtenir

le régime permanent du système. Ce dernier est calculé à partir des contraintes liées à la

continuité des variables d’état (equ. 2.8) et de la condition de périodicité (equ.2.9)

)t(x=)t(x k1+kkk (equ.2.8)

)T(x=)0(x SWN1 (equ.2.9)

Le spectre CEM est par la suite déduit à partir de la transformée de Laplace de la variable de

sortie y comme suit :

∑ ∫∑SW k

1_k

_SW N

1=k

t

t

ptk

N

1=kk dt.e).t(y=)p(Y=)p(Y (equ.2.10)

∑ ∫ ∫SWN

1=k

kt

1_kt

pt_kk

t

1_kt

)τ_t(kA1_kk

)1_k

t_t(kAk dt.e)t(U.D+)τd).τ(U.B.e+)t(x.e(.C=)p(Y

L’amplitude de l’harmonique de rang n du spectre de sortie, Sn, est donnée par l’expression

suivante :


63

).T

)pi.(n.i.2(Y.

T2

=Sn (equ.2.11)

Cette méthode nécessite moins de savoir faire que le première méthode, car elle ne considère

pas des schémas équivalents CEM. Elle permet aussi l’estimation du spectre en haute

fréquence. Par contre son principal inconvénient est l’aspect fastidieux de la mise en

équations pour aboutir à la construction de la matrice d’états ainsi que le calcul matriciel

lourd utilisé pour retrouver les solutions du système d’état et ces conditions initiales.

2.4. Conclusion

Les méthodes directes sont beaucoup mieux adaptées aux problèmes d’optimisation et de pré-

dimensionnement des convertisseurs de puissance que la méthode indirecte.

Elles sont beaucoup plus rapides, en supposant le fonctionnement du convertisseur en régime

établi alors que les méthodes indirectes doivent en revanche passer par une simulation

transitoire afin d’arriver au régime établi. Elles permettent aussi une souplesse d’intégration

dans des processus d’optimisation par la formulation modèle analytique.

Néanmoins les méthodes directes proposées dans la littérature demandent en général

beaucoup de savoir faire que ce soit sur le plan « phénomènes CEM » mis en jeu lors de la

détermination des sources des perturbations, ou sur la mise en équation du système et sa

résolution. Cette dernière tâche reste laborieuse et demande un calcul fastidieux et ne

s’applique qu’au cas par cas. Dans la suite nous proposons une nouvelle méthode de

modélisation analytique qui systématise la mise en équation et simplifie considérablement le

calcul du spectre directement en fréquentiel. Cette méthode est générale et peut s’appliquer de

la même manière pour toutes les structures des convertisseurs.


64

III. Mise en équation systématique basée sur la causalité

1. Modélisation unifiée : graphe des liens

L’outil graphe des liens est un langage de représentation graphique à vocation multi-physique

qui permet à l’aide d’une modélisation unifiée d’afficher explicitement la nature des échanges

de puissance dans le système, tel que les phénomènes de stockage, de transformation et de

dissipation d’énergie et de mettre en évidence la nature physique et la localisation des

variables d’états.

Cet outil a été défini initialement en 1959 au MIT (Boston, USA) par Paynter [Pay61] et

formalisée par Karnopp et Rosenberg en 1975 [Kar90]. Cette méthodologie est entrée en

Europe à la fin des années 1970 par le Pays Bas (université de Twente), puis en France. Cet

outil, appelé aussi «bond graph» est maintenant régulièrement utilisé par de nombreuse

entreprises, en particulier dans l’industrie automobile (PSA, Ford,…), et pénètre également

l’aéronautique (Airbus) ou l’électrochimie (Hélion) [Rob1]. C’est aussi une technique utilisée

dans l’équipe depuis 1988 [Mor03/1].

Un des grands apports de l’utilisation des graphes des liens est la causalité physique. C’est le

respect de la relation cause-à-effet définit par Spinoza en 1675 [Mor03], l’effet a

nécessairement lieu après la cause.

D’un point de vue pratique, le graphe des liens offre une vision graphique très structurée, en

permettant d’établir des règles allant de la construction de modèles à leur mise en équation, ce

qui permet de guider le concepteur dans la démarche souvent complexe de modélisation puis

de l’analyse: aspect systématique dans la mise en équation d’un système. En plus, le modèle

graphe de lien est évolutif, ce qui permet aisément d’affiner le modèle (en fonction des

hypothèses de modélisation retenues) par simple ajout de nouveaux éléments (pertes

thermique, effet d’inertie, …) sans avoir à reprendre la démarche depuis le début : c’est

l’exemple de l’étude de sensibilité.


65

Un récapitulatif des principales caractéristiques qui permettent l’adaptabilité de ce langage

dans l’étude de phénomènes multi-physique complexes est [Bou1] :

- Une approche énergétique qui permet une décomposition du système étudié en sous-

systèmes puis éléments qui échangent de la puissance et qui structurent la procédure de

modélisation.

- Une terminologie unifiée pour les domaines physiques, fondée sur la notion d’analogie entre

phénomènes

- Une représentation graphique pour visualiser les transferts de puissance, mais aussi de

causalité.

- Une souplesse inhérente qui permet de faire évoluer le modèle en ajoutant des phénomènes

négligés.

- Une écriture systématique des équations mathématiques issues du modèle « bond graph »

sous forme d’équation différentielle (système d’état).

- Un support pour une analyse structurelle des propriétés du modèle en vue de la conception

de systèmes de surveillance ou de commande.

1.1. Représentation unifiée

Le graphe des liens est basé sur une expression énergétique unifiée de la dynamique des

systèmes. Un système est divisé en sous-systèmes puis éléments, et le graphe des liens

indique comment l’énergie est échangée entre ces éléments. Le modèle d’un sous-système

indique comment l’énergie est stockée, modifiée ou dégradée à l’intérieur du bloc.

Dans cette représentation, des notions communes à toutes disciplines sont à définir :

1.1.1. Notion de lien, d’effort et de flux

L’outil bond graph illustre les transferts énergétiques dans un système en utilisant la notion

de liens de puissance. Un lien de puissance est symbolisé par une demi-flèche, dont


66

l’orientation indique le sens conventionnel de l’écoulement de l’énergie. Considérons deux

composants A et B d’un système physique, une énergie qui transite de A vers B, est

représentée par une demi- flèche dont le sens est de A vers B, voir Fig. 2.10.

Chaque lien véhicule deux variables simultanément : l’effort e et le flux f, dont le produit

représente la puissance instantanée transférée. Cette puissance est positive si l’écoulement

d’énergie réelle suit le sens de la demi-flèche. Le lien est connecté entre deux ports, un port de

sortie du composant A et un port d’entrée du composant B. Il impose que les variables (f, e)

imposées par les ports soient identiques. Dans ce cas on dit qu’il y a identification des

variables correspondantes de port de même type. De plus un composant ne peut pas imposer

le flux et l’effort en même temps, c’est la notion de causalité.

Une représentation bond graph permet de mettre en évidence quatre informations, (Fig.2.10) :

- La liaison physique entre les deux systèmes par le lien.

- Le type d’énergie utilisé par la nature des variables (f, e)

- Le sens d’écoulement de l’énergie par le sens du lien

- La causalité par le trait causal, vu au paragraphe suivant.

Fig. 2.10. Représentation graphique unifiée d’un graphe de lien.


67

Cette représentation est unique et suivant le domaine d’étude on attribue les variables de flux

et d’effort respectives. Le tableau suivant, Tab.2.1, présente les variables dans quelques

domaines physiques courants:

Domaine physique Variable de flux Variable d’effort Electrique Courant i Tension u Thermique Flux entropique Température absolue

Hydraulique Débit volumique Pression absolue Mécanique de translation Vitesse longitudinale Force

Mécanique de rotation Vitesse angulaire Couple Magnétique Dérivée de flux Force magnétomotrice Chimique Flux molaire Potentiel chimique

Tab. 2.1. les variables de flux et d’effort des principaux domaines physiques [All1].

1.1.2. Les éléments

Des composants élémentaires sont définis de manière unique pour les différents domaines

physique. Ils sont généralement classés en fonction de leurs comportements par rapport aux

deux principes de la thermodynamique et au principe de continuité spatiale de l’énergie.

Suivant ces principes, on peut distinguer entre trois types de composants, représenté ci-

dessous avec des exemples dans le domaine électrique :

- Composants de stockage d’énergie (énergétique) : comme le condensateur et la self.

- Composants irréversible (entropique) s’il produit de la chaleur : comme la résistance.

- Composants source (créateur) s’il produit ou supprime de l’énergie : comme les sources de

tension ou de courant.

Un composant élémentaire ne peut être à la fois que énergétique, entropique ou créateur.

Les autres éléments sont soit des contraintes ou des jonctions. Les contraintes sont des

éléments à deux ports de transformation de l’énergie, comme les transformateurs. Ils sont

particulièrement utiles dans la description des systèmes multi-domaines. Les jonctions

permettent de réaliser des assemblages, dans le domaine électrique la jonction 1 correspond à

la loi des mailles et la jonction 0 correspond à la loi des nœuds, voir Tab.2.2.


68

2. Mise en équation systématique : Analyse de causalité

2.1. L’analyse de causalité

L’analyse de causalité est une méthode graphique qui permet de vérifier si le système

d’équation d’un graphe de lien peut se mettre sous la forme d’une EDO (Equations

Différentielles Ordinaires). Dans ce cas le système est dit « causal». Un système causal

respecte par définition la relation de cause-à-effet, qui dans l’étude de la CEM peut être

interprétée par la notion de source – chemin - victime. L’effet est la source des perturbations

et la cause est la victime. Entre autre, l’analyse de causalité permet de [Rob1] :

- Introduire explicitement la distinction entre cause et effet physique, distinction absente dans

le plupart des représentations courantes;

- Donner des règles de bonne association entre les éléments : un conflit de causalité signale

une association non physiquement acceptable.

- Mettre en évidence les interactions au sein des systèmes physiques.

- Offrir des possibilités en terme d’analyse systémique

- Structurer la formulation mathématique issue des modèles bond graph : mise en équation

d’état systématique.

Dans une démarche de mise en équation du système, il est nécessaire d’écrire les variables et

les équations associées. Par contre, si l’on cherche juste de vérifier si le système est causal, il

est possible de se contenter d’une méthode purement graphique.

Un composant élémentaire peut être représenté par un modèle à variable d’état (equ.2.12 et

equ 2.13) : il suffit que chaque variable de port du composant, variables flux et effort, soit

l’une des variables d’entrée U ou de sortie Y.

Un modèle à variable d’état s’écrit sous la forme suivante :


69

2.13)(equU)(X,g=Y

2.12)(equU)(X,h=dtdX

Des règles de causalité existent pour séparer la connaissance des variables de port d’un

composant, flux et effort. Ces règles consistent en l’affectation de traits causaux du coté du

port qui impose le flux, après assemblage complet des éléments du système. Ceci permet la

formulation de l’équation d’état par l’identification des variables d’entrée et de sortie.

Le modèle à variable d’état décrit la causalité d’un composant : Il est connu qu’une variable

d’entrée (U) ne peut pas être en avance sur une variable de sortie (Y).

Le tableau suivant montre les équations d’états de certains composants élémentaires en

électronique de puissance, formulées à l’aide de l’analyse de causalité :

Type d’élément

Nom, Symbole Représentation graphique

Variabled’entrée

Variable de sortie

Modèle à variables d’états

Source d’effort, Se

f e e = e(t) Sources

Source de flux, Sf

e f f = f(t)

Capacité, C

f e )x(e=e,f=

dtdx

Stockage

Inductance, L

e f )x(f=f,e=

dtdx

f e e = R.f Entropique

Résistance, R

e f

Re

=f

Jonction 0, 0 f1, f2, f3, e4

e1, e2, e3, f4

e1 = e2 = e3 = e4 f4 = -f1-f2+f3

Jonctions

Jonction 1, 1 e1, e2, e3, f4

f1, f2 f3, e4

f1 = f2 = f3 = f4 e4 = -e1-e2+e3

Tab. 2.2 Equations d’états de composants élémentaires linéaires


70

1.Appliquer la causalité des sources (éléments Se et Sf)

2.Appliquer la causalité des éléments à stockage d’énergie (C, L, et les

composants qui ont des équations d’état)

3.Propager la causalité à travers les jonctions et les transformateurs, puis les

résistances

4.Itérer le point 3

L’algorithme s’arrête si :

- Tous les traits causaux sont placés : le graphe de lien est causal ;

- Faute de causalité : une équation de sortie permet de déduire une variable

déjà connue;

- Indétermination : aucune nouvelle équation de sortie n’est applicable car il

manque des traits causaux et certaines variables de port ne sont donc pas

connues.

2.2. Algorithme de mise en équation

L’affectation des traits causaux ainsi que l’écriture des équations d’états pour les différents

composants (analyse de causalité) suivent un algorithme bien spécifique. Dans [kar90] est

présenté un algorithme qui ne prend en compte que les composants élémentaires.

Une extension, fort utile en électronique de puissance, est présentée dans [All1]. L’algorithme

proposé est appelé Analyse de Causalité Algébrique (ACA), voir Fig. 2.11. Il prend en

compte tous les composants en les identifiants dans tous les cas par des équations d’états. Il

permet la mise en équation systématique en EDO (équation d’états) minimale.

Fig. 2.11. Synthèse de l’algorithme de l’Analyse de Causalité Algébrique [All1]

D’un point de vue mathématique, la représentation par graphe des liens et celle de la méthode

nodale (kirchoff) utilisent les mêmes équations caractérisant le système. En revanche la

technique de mise en équation est différente. La méthode nodale ne se soucie pas de la


71

causalité des composants, et aboutit ainsi à un système d’équations algébriques et

différentielles. La résolution d’un tel système est très délicate et la solution n’est pas toujours

garantie. Par contre l’analyse de causalité permet d’aboutir à un système d’Equation

Différentielle Ordinaire (EDO), dans le cas d’un système causal. Il n’existe aucune équation

algébrique à résoudre simultanément. Ce système d’équation (EDO) possède généralement

une solution explicite.

3. Graphe des liens commuté

Le découpage en électronique de puissance fait que certains composants se trouvent dans

différents états lors du fonctionnement du système. Ce changement d’état implique un

changement de causalité dans les composants et notamment des interrupteurs.

La notion de graphe des liens commuté permet de prendre en compte le changement d’état

dans au moins un composant [All1] dans un système de puissance. C’est le cas des systèmes

de puissance basés sur le modèle d’interrupteur idéal. Nous utiliserons les graphes des liens

commutés lors de notre étude, vu que cette dernière se base sur des interrupteurs idéaux.

L’analyse de causalité d’un graphe des liens commuté consiste en l’analyse de causalité de

chaque combinaison d’état. Chaque composant est ainsi représenté par plusieurs équations

d’états, chacune correspond à une combinaison. Dans la plupart des cas il est possible de

regrouper ces équations en une seule (EDO) à l’aide de fonction de discrimination des états,

voir exemple de (equ. 2.17). La figure Fig. 2.12, montre le graphe des liens commuté d’un

hacheur série en conduction continue [All1].


72

Fig. 2.12. Graphe des liens commuté d’un hacheur série en conduction continue [All1]

IV. La méthode proposée : description et validation

1. Principe et Atouts de la méthode proposée

Nous proposons d’appliquer l’analyse de causalité des graphes de liens pour la mise en

équation du convertisseur de puissance. Cette technique permettra une mise en équation

systématique et plus souple que celle utilisée dans les autres méthodes tel que dans [Pop99].

Elle permet aussi de généraliser et de formaliser l’étude de la CEM, car par définition un

système causal est un système physique réel qui respecte la relation de cause-à-effet. Dans

l’étude de la CEM la causalité peut être interprétée par la notion de source – chemin - victime.

L’effet est la source des perturbations et la cause est la victime, souvent le RSIL.


73

La mise en équation peut être aussi faite automatiquement à l’aide de logiciels de simulation

se basant sur des graphes des liens, comme PACTE. Cette technique a été présentée dans le

paragraphe précédent.

La structure d’étude considérée par notre méthode est le circuit réel, nous n’aurons pas à

déterminer des schémas équivalents en CEM. Ceci permet de généraliser la méthode, ainsi

que d’éviter toute hypothèse non forcement justifiée concernant les sources équivalentes,

notion de sources de mode commun et mode différentiel.

Des relations réccurentes reliant les différents coefficients de fourrier des signaux seront

déduites à partir des équations d’états du système à l’aide de quelques propriétés de base de la

série de Fourrier. Ainsi le spectre sera calculé à l’aide de relations simples, sans avoir recours

à des transformées de Laplace, ni de calcul de valeurs initiales.

2. Description de la méthode et exemple pédagogique

2.1.Exemple pédagogique et spectre de référence

Nous avons choisi comme exemple pédagogique, une structure très idéalisée de hacheur série,

Fig.2.13. Ce choix permet d’avoir des formes d’ondes idéales dont on peut calculer le spectre

analytiquement de manière exacte. Ceci est le cas pour le courant à travers l’inductance.

En considérant des interrupteurs idéalisés et une forte valeur d’inductance, le courant inductif

a une forme de dent de scie [Fer99]. En limite de conduction continue, ce courant a la forme

d’un triangle, Fig. 2.13. Une simulation temporelle plus fine, sous SABER, nous a permis de

vérifier cette forme d’onde, voir Fig. 2.14.


74

Fig. 2.13. Exemple pédagogique Fig. 2.14. Courant inductif

Par définition, les coefficients de la série de Fourier C(n), d’un signal f(t) de période T sont

[Ana03] :

T)pi.(2

=ωavec,ω) n. exp(-i..f(t)T2

=C(n) ∫T

0 (equ.2.14)

Les coefficients de la série de Fourier exacts A(n) du signal triangulaire sont retrouvés en

appliquant la définition :

]np.2.

T-

n.p2

[*T

))pi.ncos(-1(.I.4=)n(A 222 ; (equ. 2.15)

Le spectre exact normalisé, S(n), (en dBµV) est retrouvé à l’aide des amplitudes des

coefficients de la série de Fourier :

dBµVen,120+))n(A(log.20=)n(S 10 (equ.2.16)

Ce spectre servira comme référence, pour une première validation de notre méthode.

2.2.Application de la méthode et spectre estimé

Afin de pouvoir mettre en équations le circuit à l’aide de l’analyse de causalité, il faut

commencer par déterminer le graphe des liens de structure étudiée.


75

Le graphe des liens correspondant au circuit de l’exemple pédagogique (Fig. 2.13) est le

suivant :

Fig. 2.15. Graphe des liens simplifié de l’exemple pédagogique

L’analyse de causalité appliquée au graphe de lien permet la mise en équations du système

sous forme d’un modèle d’état. Vu que le circuit ne comporte qu’un seul élément de stockage

d’énergie, le système sera décrit par une seule équation d’état [Kar90].

Sachant que nous utilisons la notion d’interrupteur idéal, ce dernier change de causalité selon

son état. Quand il est ouvert, il impose un courant nul. Quand il est fermé, il impose une

tension nulle à ses bornes. Les changements d’état de l’interrupteur sont instantanés. Pour

rendre compte de ces changements de causalité, on utilise les graphes de liens commutés.

Dans notre cas, hacheur série idéal en conduction continue, on se trouve avec deux états, donc

deux graphes de liens commutés, voir Fig. 2.16.


76

Etat 1 : Entre 0 et T/2 Etat 2 : Entre T/2 et T

* Interrupteur K Fermé : Vk=0

* La diode est bloquée Id=0

* Interrupteur K ouvert: Ik=0

* La diode est passante Vd=0.

Fig. 2.16. graphe de liens commutés de l’exmple pédagogique

L’analyse de causalité des graphes de liens commutés pour les deux états, permet la mise en

équations suivante :

La tension aux bornes de l’inductance Vl est :

Vl= Vin-Vout

L’équation d’état est :

Vout-Vin=dtdI

L=Vl

La tension aux bornes de l’inductance Vl est :

Vl= -Vout

L’équation d’état est :

-Vout=dtdI

L=Vl

Sachant que nous avons toujours un seul élément de stockage d’énergie (l’inductance L) pour

les deux graphes des liens commutés, le système peut être décrit par une unique équation

d’état :

=h(t) avec Vout,-h(t)=dtdI

L=VlT/2 < t < 0 Vin,

T < t < T/2 0, (equ.2.17)

h(t) est une fonction de discrimination des états, elle permet de rendre compte des deux états

du système. Cette fonction décrit le découpage, ainsi elle peut être considérée comme la

source des perturbations. Elle est aussi considérée comme la cause de perturbation suivant

l’analyse de causalité. Nous appellerons cette fonction, fonction de découpage.


77

En utilisant quelques propriétés de base de la transformée de Fourier, (equ.A.1 et equ.A.2), on

peut remonter à la relation qui relie les coefficients de Fourier des différents signaux de

l’équation d’état, (equ.2.18).

Propriété 1.

En connaissant les coefficients de la série de Fourier, Cn(f), d’une fonction f(t), on peut

déduire ceux de sa dérivée Cn(df/dt) [Ana03]:

Cn(df/dt)=i*n*w*Cn(f) (equ.A.1)

Propriété 2.

Les coefficients de la série de Fourier constituent une application linéaire [Ana03] :

Cn(a*f+b*g)=a*Cn(f)+b*Cn(g), (equ.A.2)

En utilisant les propriétés 1 et 2, on déduit la relation suivante :

Cv(n)-Ch(n)=CI(n).ω.n.i.L (equ.2.18)

Avec : CI(n) les coefficients de Fourier du courant I

Ch(n) les coefficients de Fourier de la fonction h(t)

Cv (n) les coefficients de Fourier de la tension Vout

Ch(n) et Cv(n) sont calculés d’une manière exacte en utilisant la définition de la série de

Fourier, (equ.2.14). A partir des expressions de Ch(n) et de Cv(n) ainsi que de la relation les

reliant à CI(n), (equ 2.18), on peut remonter à une expression analytique de CI(n).

L’amplitude de CI(n), permet de retrouver le spectre estimé :

dBµVen,120+))n(CI(log.20=)n(1S 10

2.3.Validation de la méthode : comparaison du spectre estimé au spectre exact

En comparant les deux spectres, estimé par notre méthode et le spectre exact, on trouve qu’ils

coïncident sur toute la plage de fréquence d’étude (30 MHz). Cette plage couvre toute la

norme relative aux perturbations conduites.


78

Fig. 2.17. Comparaison des spectres : estimé et exact

2.3. Algorithme de la méthode proposée

L’organigramme de la figure Fig. 2.18 résume les différentes étapes qu’il faut suivre lors de

l’utilisation de la méthode proposée.

Fig. 2.18. Algorithme de la méthode proposée


79

3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série)

3.1. Cas d’application

Nous avons appliqué la méthode proposée dans le cas d’un hacheur série réel (42/14 V-8A),

Fig. 2.20. Le convertisseur a été réalisé en technologie SMI (voir Fig. 2.19) suivant le cahier

des charges du tableau, Tab.1.4, énoncé dans le premier chapitre. Pour la validation de la

méthode, les contraintes CEM n’ont pas été prises en compte lors du pré-dimensionnement du

convertisseur, ainsi on s’attend bien à ce que les perturbations générées par le circuit ne

respectent pas les niveaux tolérés par la norme. Par contre, toutes les conditions de mesures

normatives ont été considérées, tel que la prise en compte du RSIL, voir Fig. 2.19. Nous avons

aussi pris en compte les différents éléments parasites susceptibles de contribuer aux spectres

des perturbations électromagnétiques, tel que les capacités parasites (Cp1 et Cp2) entre

potentiels flottants et la référence (le plan de masse), l’inductance de câblage (L) entre

l’alimentation et le RSIL et l’inductance série (esl) du condensateur d’entrée ainsi que sa

résistance série (esr), voir Fig. 2.20.

Fig. 2.19. Convertisseur Buck réalisé en technologie SMI. A gauche les deux bras du RSIL et

à droite en haut la commande et au milieu le circuit de puissance.


80

Fig. 2.20. Schéma complet du hacheur sous test.

Les valeurs des éléments du RSIL sont les suivants : L1 = 5 µH, C1 = 1µF, R1 = 10 mΩ,

C=100 nF et R= 50 Ω. Le filtre de sortie est constitué d’une inductance d’une valeur

Ls = 18 µH et d’une capacité de valeur Cs= 47 µF.

Les éléments parasites du condensateur d’entrée ont été déterminés suite à sa caractérisation

au pont d’impédance HP4194A voir Fig.1.9 Le modèle série a permis de retrouver le

comportement fréquentiel du condensateur sur toute la plage d’étude (jusqu'à 30 Mhz) à l’aide

des valeurs suivante : C = 407 µF, esl = 15 nH, esr = 50 mΩ.

La capacité surfacique Cp a été considérée comme constante. Sa valeur est évaluée à l’aide de

l’expression fournie dans le paragraphe VI.2.2 du chapitre 1, Cp =70 pF/cm². L’inductance

Lp1 peut représenter le chemin du courant dans le plan de masse correspondant à l’élément

Cp1, sa valeur a été approximé à 20 pH. L’inductance de câblage (L) a été approximée à l’aide

d’une expression analytique issue de la théorie des lignes, qui permet de calculer l’inductance

linéique des conducteurs de formes simples [Cos1]. Dans le cas de notre application

l’inductance linéique est approximée à L = 0.1µH/cm, et a été évaluée pour une longueur de 8

cm.


81

3.2. Application de la méthode

Normalement pour un système causal (sans aucune simplification), la dimension du modèle

d’état est égale au nombre d’éléments de stockage d’énergie (inductances et capacités) dans le

circuit traité [Kar90], [All1], dans notre cas nous avons 13 éléments, voir Fig. 2.20. Suivant

l’hypothèse des interrupteurs idéaux et avec une forte valeur d’inductance de sortie, le filtre

de sortie peut être remplacé par un générateur de courant en forme de dent de scie [Fer99].

Ceci nous permet de simplifier deux équations du système d’états. La dimension du système

d’état passe de 14 à 12, voir Fig. 2.21. Ainsi, le circuit traité est le suivant :

Fig. 2.21. Circuit traité

En utilisant les techniques de simplification des graphes des liens [Mor03] nous aboutissons au

graphe des liens du circuit traité suivant, Fig 2.22 :


82

Fig. 2.22. Graphe des liens simplifié du circuit traité.

Le fonctionnement du hacheur impose deux états pour les interrupteurs K et D. L’application

de l’analyse de causalité pour chaque état donne lieu à un graphe des liens commuté et un

système d’équations spécifique pour chaque état.

L’état 1 du système (0 < t < α T) est lorsque l’interrupteur K est ouvert et D est fermé, dans ce

état l’interrupteur K impose un courant nul tant dis que la diode D impose une tension nulle a

ses bornes. Le graphe des liens commuté correspondant à cet état est représenté sur la figure

Fig. 2.23. Les équations d’états relatifs à cet état sont regroupées dans le système d’équation

(S1).

L’état 2 du système (α T < t < T) est lorsque l’interrupteur K est fermé et D est ouvert, cette

fois ci l’interrupteur K impose une tension nulle a ces bornes et la diode D impose un courant

nul. Le graphe des liens commuté correspondant à cet état est représenté sur la figure Fig.2.24.

Les équations d’états relatifs à cet état sont regroupées dans le système d’équation (S2).


83

Fig.2.23. Graphe des liens commuté relatif à l’état 1, K ouvert et D fermé.

Fig.2.24 Graphe de lien commuté relatif à l’état 2, K fermé et D ouvert.


84

1_

2L_1Lp_Lf44C1Lp

1

Lff_

Cf_

2L41Lp4Lf4_

4_

4C_

2CpLf

Lff_

Cf_

2L41Lp4_

Lf444C2L

1L1_

L12Cp_1C1L

2C1C_

L21_2L21L1L

_2Cp3

_3C

3Lf_1L

12p

1Lp1

1p

Lff

2L_1Lp_Lf4

4

2Cp3

3C3

_33

L_2L2

2

1L_L1

1

Vcp)III+)t(Sf(R+V=dt

dILp

IRVIR+IR+IR)t(SfRVV=dt

dILf

IRVIR+IRIR+)t(SfR+V=dt

dI2L

IRIR+VV=dt

dI1L

V+VI)R+R(IR+IR+E=dt

dIL

)t(SfV)R1

(V)R1

(+II=dt

dVcpC

I=dt

dVcpC

I=dt

dVcCf

III+)t(Sf=dt

dVcC

V)R1

(+V)R1

(=dt

dVcC

II=dt

dVcC

II=dt

dVcC

1_

2Cp1Lp

1

Lff_

Cf_

Lf_

1L33C2CpLf

2C_

L_

2L2Cp2L

Lf31L31_

L13C_1C1L

2C1C_

L21_2L21L1L

4C4

2C4

_2L_1Lp_Lf

12p

1Lp1

1p

Lff

4C4

_2C

4

44

Lf_

1L3

3

L_2L2

2

1L_L1

1

VcpV=dt

dILp

IRV)II(R+V+V=dt

dILf

V)II(2R_V=dt

dI2L

IR+I)R+R(IR+VV=dt

dI1L

V+VI)R+R(IR+IR+E=dt

dIL

V)R

1(+V)

R1

(III=dt

dVcpC

I=dt

dVcpC

I=dt

dVcCf

V)R

1(V)

R1

(=dt

dVcC

II=dt

dVcC

II=dt

dVcC

II=dt

dVcC

(S1)

(S2)


85

L’ensemble des équations retrouvées à l’aide de l’analyse de casualité dans les deux états, (S1)

et (S2), sont toutes des Equations Différentielles Ordinaires (EDO) et possèdent ainsi des

solutions explicites.

Sachant qu’il s’agit toujours des mêmes variables d’états dans les deux topologies, les deux

systèmes d’équations d’états, (S1) et (S2), peuvent se mettre sous la forme d’un seul système

(S) qui rend compte des deux états. Ce système est formé par des Equations Différentielles

Ordinaires (EDO).

2Cp_

1_

2L_1Lp_Lf44C1Lp

1

Lf3__

1L3_

Lff_

Cf_

2L41Lp4Lf4_

4_

4C_

2CpLf

L22Cp_

2C_

2L21Lp4_

Lf444C2L

Lf3_

1L_

1_

L1_

3C__

2Cp_1C1L

2C1C_

L21_2L21L1L

1Lp__

2L___2Cp

3

_3C

31LLf

22p

1Lp1

1p

Lff

_4C

4

_2C

4

_2L_1Lp_Lf

44

_4C

4

__2C

42Cp

33C

3

_33

L_2L2

2

1L_L1

1

V)Ah1(+Vcp)III+)t(Sf(AhR+AhV=dt

dILp

IR)Ah1(IR)Ah1(+IRVIAhR+IAhR+IAhR)t(SfRAhVV=dt

dILf

IR+V)Ah1(+VIR)Ah+1(+AhIRAhIR+)t(AhSfR+AhV=dt

dI2L

IR)Ah1(+I))Ah1(+R(IRV)Ah1(AhVV=dt

dI1L

V+VI)R+R(IR+IR+E=dt

dIL

I)Ah1(I)Ah1()t(AhSfV)R1

(AhV)R1

(Ah+AhI+I=dt

dVcpC

I=dt

dVcpC

I=dt

dVcCf

)Ah1(V)R1

(+)Ah1(V)R1

(AhIAhIAhI+)t(AhSf=dt

dVcC

)Ah1(V)R1

()Ah1(V)R1

(+AhV)R1

(+VAh)R1

(=dt

dVcC

II=dt

dVcC

II=dt

dVcC

Tα<t<0,1T<t<Tα,0=)t(Ah

Ah(t) est la fonction de découpage, elle est considérée comme la cause des perturbations car

elle décrit le découpage de l’énergie.

En utilisons les propriétés de la transformée de Fourrier, (equ.A.1 et equ.A.2), et le système

d’équation (S) on peut déduire les relations entre les différents coefficients de Fourriers des

(S)


86

signaux. Ces relations forment un système d’équation linéaire (Sn) de x équations à x

inconnues.

)n(V))n(Ah1(+)n(Vcp(n))I)n(I+)n(Sf(R)n(Ah+)n(V)n(Ah=)n(I]R)n(AhLp)n(p[

)n(IR)Ah1(+)n(IR)n(V

)n(IR)n(Ah+)n(IR)n(Ah+)n(SfR)n(V)n(Ah)n(V=)n(I)]n(IR)Ah1(+R)n(Ah+Lf)n(p[

)n(IR+

)n(V)n(Ah)n(V)n(AhIR)n(AhIR+)n(AhSfR+)n(AhV=)n(I]R))n(Ah+1(2L)n(p[

)n(IR)Ah1(+)n(IR)n(AhV+)n(AhV)n(V=)n(I]))n(AhR(+1L)n(p[

)n(V+)n(V)n(IR+)n(IR=)n(I])R+R(+L)n(p[

)n(I)Ah1()n(I)Ah1()n(AhSf)n(V)R1

(Ah+)n(AhI+)n(I=)n(V])R1

(Ah+)n(C)n(p[

)n(I=)n(VC)n(p)n(I=)n(CfV)n(p

)Ah1)(n(V)R1

()n(AhI)n(AhI)n(AhI+)n(AhSf=)]Ah1(V)R1

(C)n(p[

))n(Ah1)(n(V)R1

())n(Ah1)(n(V)R1

(+Ah)n(V)R1

(=)n(V]Ah)R1

(+C)n(p[

)n(I)n(I=)n(VC)n(p

)n(I)n(I=)n(VC)n(p

2Cp_

1_

2L_

Lf44C1Lp4_

1

1L3_

Lff_

Cf_

2L41Lp44_

4C_

2CpLfLf3_

4

L2

2Cp_

2C_

1Lp4_

Lf444C2L2_

Lf3_

L1_

3C2Cp_

1C1L_

1

2C1C_

2L21L1L21

1Lp__

2L___

3C3

1LLf2Cp32p

1Lp1Cp1p

LfCf

_2C

4

_2L

_1Lp

_Lf

_4C

4_4

_4C

4

__2C

42Cp

33C

33

L_

2L2C2

1L_

L1C1

Avec : n le rang de l’harmonique,

T

nπ2=)n(p

X(n) le nième coefficient de Fourrier du signal X

3.3. Comparaison par rapport à la mesure

Les mesures des perturbations électromagnétiques ont été effectuées au Laboratoire

d’Electrotechnique de Grenoble (LEG). Nous avons utilisé l’analyseur de spectre HP8560A

disponible comme récepteur de mesure.

Suite à des mesures normatives, nous avons comparé sur la figure Fig.2.25 le spectre prédit

par notre méthode (modèle analytique) et celui mesuré sur le bras bas du RSIL.


87

Fig. 2.25. Comparaison du modèle par rapport à la mesure. L= 0.8 µH, Cp1= 300 pF, Cp2= 70 pF, Cf = 407 µF, esl 15= H, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH

Le modèle analytique permet de prédire le spectre des perturbations avec une bonne précision

jusqu'à des fréquences assez hautes du spectre, 20 Mhz. Au delà de cette valeur les

commutations non idéales des interrupteurs interviennent dans le spectre [Rev03], [Pop99].

L’écart entre le spectre mesuré et le spectre prédit est dû au modèle d’interrupteur idéal que

nous avons considéré dans notre méthode qui ne prend pas en compte des commutations

réelles. Cela est naturellement visible qu’aux hautes fréquences.

3.4. Analyse de sensibilité

Grâce aux modèles analytiques il est très simple de faire une analyse de sensibilité qui permet

d’évaluer l’effet de certains éléments du circuit sur le spectre CEM. Nous avons choisis

d’analyser l’effet des éléments suivant : les capacités parasites (Cp) et l’inductance parasite

(esl) du condensateur d’entrée.


88

3.4.1. Effet de la capacité Cp sur le spectre

Afin d’analyser l’effet de la capacité Cp2 sur le spectre, nous avons comparé le spectre mesuré

par rapport a celui prédit par le modèle analytique pour deux valeur de Cp2 tout en fixant la

valeur de Cp1= 300 pF.

Fig. 2.26. Comparaison du modèle par rapport à la mesure pour deux valeurs de Cp2. En bleu Cp2= 70 pF, en rouge Cp2= 150 pF.

Cp1=300 pF, L= 0.8 µH, Cf = 407 µF, esl =15 nH, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH.

La figure ci-dessus montre que la valeur de la capacité Cp2 n’intervient sur le spectre qu’en

haute fréquence, à partir de 10 Mhz.

3.4.2. Effet de l’inductance parasite (esl) sur le spectre

Afin d’analyser l’effet de l’inductance parasite (esl), nous avons comparé le spectre mesuré

aux spectres prédits à l’aide de la méthode proposée avec et sans prise en compte du esl.


89

Fig. 2.27. Comparaison du modèle par rapport à la mesure avec (en bleu) et sans (en rouge) prise en compte du esl (esl = 15nH dans ce dernier cas).

L= 0.8 µH, Cp1= 300 pF, Cp2 = 70 pF, Cf = 407 µF, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH.

La figure ci-dessus montre que l’inductance parasite du condensateur d’entrée intervient

pleinement sur le spectre à partir des basses fréquences. Ceci montre l’importance de sa prise

en compte lors de la modélisation des phénomènes électromagnétiques.

3.5. Comparaison par rapport à la méthode indirecte

Malgré les différents inconvénients que présente la méthode indirecte pour traiter des

problèmes de pré-dimensionnement des convertisseurs de puissance (voir paragraphe. II.1),

celle-ci reste toujours une méthode de référence par rapport à laquelle on peut valider les

modèles analytiques. Bien évidemment, ceci est au détriment d’un bon réglage des paramètres

de simulations (pas de temps de simulation), d’un bon choix de la technique de fenêtrage et

d’un temps de simulation assez long.


90

Nous avons réalisé des simulations temporelles sous SABER, en utilisant les modèles « type

circuit » d’interrupteur correspondants aux composants utilisés dans la pratique. Sachant que

nous utilisons des MOSFET et des diodes Schottky, les modèles circuits de ces éléments sous

SABER sont suffisamment précis. Le pas de simulation est inférieur à 17 ns, afin de couvrir

toute la plage de fréquence de la norme (30 Mhz), calculé à l’aide de la formule equ.2.3. La

FFT est calculée en utilisant une fenêtre Flattop afin d’avoir une meilleure précision sur

l’amplitude du spectre (voir paragraphe II.1.3).

Nous avons représenté sur la figure Fig.2.28 les spectres obtenus, par la mesure, à l’aide du

modèle analytique et celui issus de la méthode indirecte.

La comparaison entre les différents spectres, montre que la méthode indirecte est plus précise

que le modèle analytique en hautes fréquences (à partir de 20 Mhz). Ceci s’explique par le

modèle dynamique de l’interrupteur utilisé dans les simulations temporelles qui permet de

rendre compte des commutations réelles. Dans la méthode proposée les commutations sont

négligées par l’utilisation de modèles idéaux pour les interrupteurs.

Par contre le temps de calcul ainsi que les ressources informatique nécessaire pour la méthode

indirecte sont beaucoup plus grandes que ceux de la méthode proposée. A titre indicatif, la

simulation temporelle a durée plus de huit heures alors que le modèle analytique a permis de

prédire le spectre en moins d’une minute sur un PC équipé d’un processeur AMD de

fréquence 1 GHz et de 256 Mo de RAM.


91

Fig. 2.28. Comparaison entre les spectres retrouvés à l’aide de la méthode Indirectes, du modèle analytique et celui mesuré.

V. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons proposé une méthode de prédiction des perturbations

électromagnétiques conduites générées par les convertisseurs de puissance. La méthode

fournie des modèles analytiques qui permettent d’agir avant la réalisation des convertisseurs

et ainsi réduire le coût élevé engendré par non la prise en compte de contraintes de CEM dans

la phase de conception. Elle se base sur l’analyse de causalité des graphes de liens.

L’utilisation des graphes des liens donne à la méthode un aspect général permettant de traiter

toute structure de puissance et évite la nécessité de savoir faire particulier lors de l’étude de la

CEM. L’analyse de causalité permet une mise en équations systématique du système, qui

trouve tout son intérêt dans le cas de système complexe.


92

Cette méthode a été validée dans le cas d’un hacheur série réel. La comparaison du spectre

prédit par rapport à celui mesuré à l’aide d’un analyseur de spectre, a montré que la méthode

permet de prédire les perturbations avec une très bonne précision jusqu'à des fréquences assez

élevées du spectre, 20 Mhz. Au delà de cette valeur le modèle d’interrupteur idéal utilisé dans

notre méthode ne permet plus de reproduire les perturbations électromagnétiques réel. Ceci

peut être amélioré par l’utilisation de modèle plus précis qui permet de rendre compte des

commutations réelles des composants de puissance dans notre méthode. Néanmoins dans le

cadre du pré-dimensionnement la précision offerte par la méthode proposée reste

suffisamment satisfaisante, d’autant plus que les spectres prédits surestiment le spectre réel en

hautes fréquences, entre 20 Mhz et 30 Mhz.

Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement

93

Chapitre III.

Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement

I. Introduction........................................................................................................................... 94

II. Utilisation des techniques uni-objectifs............................................................................... 96

1. Les algorithmes génétiques .............................................................................................. 96

2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN............................ 97

3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues............................................... 98

4. Convertisseurs optimisés................................................................................................ 102

5. Validations de la conception .......................................................................................... 104

6. Conclusion...................................................................................................................... 104

III. Les techniques d’optimisation multi-objectif................................................................... 105

1. Définitions...................................................................................................................... 105

2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs ........................ 108

IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif................................................................. 126

1. Introduction .................................................................................................................... 126

2. Description de la méthode.............................................................................................. 126

3. Exemple pédagogique .................................................................................................... 129

4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V ............................................... 131

V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM.................................................... 136

VI. Conclusion ....................................................................................................................... 137


94

I. Introduction

Lorsque le concepteur d’un système désire améliorer certaines performances particulières, la

complexité du problème conduit naturellement à l’utilisation de techniques d’optimisations

destinées à faciliter la détermination des meilleures solutions (solutions optimales). La

conception de convertisseurs de puissance fait intervenir en général un nombre important de

variables de conception ainsi que plusieurs contraintes physiques de nature différentes. Dans

de tels cas, le raisonnement humain seul n’est plus suffisant, car il devient difficile de

percevoir tous les couplages et de comprendre comment agir pour améliorer les critères

choisis. L’utilisation des techniques d’optimisation se révèle alors très efficace pour aider le

concepteur dans sa démarche et lui permettre de mieux appréhender le comportement

complexe des systèmes.

Dans ce chapitre nous allons présenter l’utilisation des techniques d’optimisation uni-objectif

et multi-objectif dans la conception de convertisseurs de puissance. Nous présenterons la

différence entre ces deux techniques ainsi que les principales méthodes d’optimisation multi-

objectifs. L’association de deux d’entre elles nous a permis de développer une nouvelle

démarche d’optimisation multi-objectif, qui permet d’éliminer leurs faiblesses respectives.

Cette démarche multi-objectif ainsi que des techniques d’optimisation uni-objectifs, à bases

d’algorithmes génétiques, ont été appliqués à un exemple d’étude avec des spécifications

réelles. Cet exemple est un hacheur série 42/14 V en technologie SMI (Substrat Métallique

Isolé) typique pour des applications automobiles, voir Fig.1.11. Les différentes considérations

de conception ainsi que les modèles utilisés, concernant les aspects électriques et thermiques,

ont été déjà détaillés dans le chapitre 1 (paragraphe III.1). Pour des raisons de clarté, nous

avons choisis de simplifier le problème d’optimisation en ignorant les contraintes CEM. Ceci

permet de focaliser ce chapitre sur l’apport des techniques d’optimisation, uni-objectif et


95

multi-objectifs, dans la conception des convertisseurs de puissance. Néanmoins, des

optimisations sous contraintes CEM seront présentées au niveau du chapitre 4.

Dans ce qui suit nous nous limiterons à rappeler le cahier des charges considéré ainsi que le

problème d’optimisation traité.

Electrique Thermique

Ve= 42 V

Vs= 14 V

Is= 8A

∆(Vs)max = 400 mV

MCC

Tambmax = 50°C

Tjmax = 175°C

Tab3.1. Cahier des charges du hacheur à optimiser.

Avec : Ve : Tension d’entrée (continue)

Vs : Tension de sortie (continue)

Is : Courant de sortie moyen

∆(Vs)max: Ondulation maximale sur la tension de sortie

MCC : Mode de Conduction Continu

Tambmax: Température ambiante maximale

Tjmax

: Température de jonction maximale

Suivant le principe de transformation du problème de pré-dimensionnement en un problème

d’optimisation sous contraintes, énoncé dans le tableau Tab.1.1, nous avons défini le

problème d’optimisation suivant :

Tab.3.2. Problème d’optimisation traité

Fonctions objectifs Variables d’optimisation Contraintes

Surface [cm²]

Coût en euros [€]

Rendement [ ]

Masse [g]

Composants passifs : L (µH) et C (µF)

Composant actifs : MOSFET

Fréquence de découpage : f (Khz)

Radiateur : R (°C/W)

Electrique : ∆Vs< Vsmax

∆I < 2*Is

Thermique : Tj < Tjmax


96

Les variables d’optimisation sont un mélange de variables continues (fréquence de découpage

et radiateur) et discrètes (composants passifs et actifs). Les contraintes de conception sont de

type électrique et thermique.

Les contraintes électriques permettent de fixer un taux d’ondulation maximal pour la tension

de sortie (Vsmax) ainsi qu’un fonctionnement en mode de conduction continue. Ce dernier est

fixé à l’aide d’une contrainte sur l’ondulation du courant inductif (∆I)

Les modèles utilisés pour décrire l’ondulation de la tension de sortie ainsi que celle du

courant inductif, sont des modèles analytiques définis par les équations (equ.1.2) et (equ.1.3).

Les contraintes thermiques visent à s’assurer que la température de jonction du MOSFET

reste au dessous de la limite maximale fixée par le fabricant qui garantie sa fiabilité. La

température de jonction est décrite par le modèle analytique de l’équation (equ.1.8).

Les fonctions objectifs que l’on vise à optimiser sont la surface, la masse, le rendement et le

coût en euro. Les modèles des fonctions objectifs sont développés dans la suite de ce chapitre.

II. Utilisation des techniques uni-objectifs

1. Les algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques sont des techniques d’optimisation stochastiques qui tentent

d’imiter les processus d’évolution naturelle des espèces et de la génétique. Ils agissent sur une

population d’individus assujettis à une sélection darwinienne : les individus (ou parents) les

mieux adaptés à leurs environnement survient et peuvent se reproduire. Ils sont alors soumis à

des mécanismes de recombinaisons analogues à ceux de la génétique. Des échanges de gènes

entre parents résultent de la création de nouveaux individus (ou enfants), qui permettent de

tester d’autres configurations de l’espace de recherche [Sar99].

L’algorithme génétique diffère fondamentalement des autres méthodes dans la recherche de

l’optimum :


97

• Il utilise un codage des paramètres de la fonction à optimiser et non les paramètres eux

même.

• Il agit sur un ensemble de configurations et non sur un point unique.

• Il n’utilise que les valeurs de la fonction à optimiser, pas sa dérivée ni une autre

connaissance auxiliaire.

• Il utilise des règles de transitions probabilistes (non déterministes).

Le principe de cette méthode consiste à partir d’une population de N solutions du problème

représentées par des individus. Cette population choisie aléatoirement est appelée population

parent. Le degré d’adaptation d’un individu à l’environnement est exprimé par la valeur de la

fonction coût f(x), où x est la solution que l’individu représente. On dit qu’un individu est

d’autant mieux adapté à son environnement que le coût de la solution qu’il représente est plus

faible. Au sein de cette population, intervient alors la sélection au hasard d’un ou deux

parents, qui produisent ensuite une nouvelle solution, à travers les opérateurs génétiques, tels

que le croisement et la mutation. La nouvelle population, obtenue par le choix de N individus

parmi les populations parents et enfants, est appelée génération suivante. En itérant ce

processus, on produit une population plus riche en individus mieux adaptés [Sar99].

2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN

Le pré-dimensionnement en électronique de puissance fait intervenir certaines particularités

lors du choix de la méthode d’optimisation. Ces particularités sont surtout la nature mixte

(discret/continu) des paramètres d’optimisation ainsi que des coûts, présentés dans le

paragraphe I.3.3 du chapitre 1, auquel est rajouté la nécessité de prise en compte de

contraintes d’optimisation ainsi que de robustesse (convergence) pour la recherche du

minimum global. Les algorithmes génétiques par leur nature stochastique semblent être bien

adaptés pour répondre à toutes ces particularités. En plus de la prise en compte de variables

discrètes et continues, ils permettent aussi de prendre en compte un grand nombre de


98

contraintes et ils ont l’avantage de ne pas être piégés par un optimum local et ne requièrent la

connaissance d’aucune propriété mathématique. C’est pour ces avantages que nous avons fait

le choix d’utiliser les algorithmes génétiques pour résoudre notre problème d’optimisation de

convertisseurs de puissances. Plus précisément, nous avons utilisés un outil d’optimisation à

base d’algorithmes génétiques, DARWIN [Dar00].

DARWIN est un outil dédié aux ingénieurs pour les aider dans leurs démarches

d’optimisation de problèmes complexes. Il permet d’optimiser une ou plusieurs fonctions

objectifs et de prendre en compte un grand nombre de contraintes et de variables

d’optimisation. Cet outil a été utilisé dans certains travaux antérieurs pour l’optimisation de

convertisseurs de puissance suivant un seul objectif. Par exemple dans [Bus01] et [Her01]

DARWIN a été utilisé pour réduire le coût d’une structure Boost avec PFC en prenant en

compte des contraintes de conception thermiques, électriques et CEM, la fonction objectif

optimisée etait une fonction continue obtenue par interpolation de données discrètes.

3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues

La plupart des méthodes d’optimisation nécessitent des expressions analytiques des fonctions

coût à optimiser. Ainsi des techniques d’interpolation sont communément utilisées pour

déterminer des expressions analytiques pour les fonctions objectifs à partir des coûts réels

discrets, [Bus01], [Her01], [Lar02], [Jou02]. Ceci n’est pas le cas des algorithmes génétiques

qui permettent très bien d’optimiser des fonctions coûts discrètes et continues. Plus

précisément DARWIN permet de gérer des bases de données ainsi que des modèles

analytiques.

A l’aide de DARWIN nous avons pu réaliser deux types d’optimisations pour un même

objectif d’optimisation. Dans le premier type, la fonction objectif à optimiser est une fonction

discrète obtenue par sommation de données discrètes stockées dans une base de donnée. Dans

le second type, la fonction objectif est une fonction continue obtenue par interpolation de


99

données discrètes. Cette procédure a été répétée pour différents objectifs d’optimisation (la

surface, la masse et le coût en euros), à chaque fois un seul objectif est traité.

Une confrontation des résultats d’optimisation suivant les deux types de fonctions objectifs,

discrètes et continues, est présentée sur la figure Fig.3.2.

3.1. Fonctions objectif discrètes

Les fonctions objectifs discretes (la surface S, le coût en euro C et la masse M), sont

déterminées en faisant la somme de tous les coûts individuels pris à partir d’une base de

données, comme suit :

• S, Surface du circuit : somme des surfaces des composants plus une constante qui

correspond à l’écart minimal entre les différents composants. S est exprimée en cm².

• C, Coût en euros du circuit : somme des coûts des composants (actifs, passifs) plus

celui du radiateur. C est exprimé en €.

• M, Masse du circuit : somme des masses des composants, du SMI et du radiateur. M

est exprimée en gramme.

L’exemple suivant montre la fonction objectif masse totale du convertisseur (M)

rdSMI

N

1=ii M+M+M=M ∑ [gr]

Avec N : le nombre des composants, Mi : masse du composant i (1< i < N), MSMI : la masse

du substrat SMI et Mrd : la masse du radiateur.

Le radiateur est décrit par sa résistance thermique Rthr. Le coût en € (Crd) ainsi que la masse

(Mrd) sont exprimés en fonctions de Rthrd en tenant compte des données des fabricants. La

surface est la même que celle du circuit imprimé SMI.

)Rth0,3869exp(64,607 ambrdrd −−=C

amb-rdrd Rth/200=M .


100

3.2 Fonctions objectifs continues

Ici, les fonctions objectifs continues sont obtenues par interpolation des données discrètes, la

surface, le coût en euros et masse. L’exemple suivant montre l’interpolation effectuée pour

déterminer une expression de la surface de l'inductance [cm²] en fonction de sa valeur L [µH],

à partir des données des fabricants.

Fig. 3.1. Interpolation de fonction coût de l’inductance

Cet exemple montre l’erreur possible causée par l'interpolation des fonctions coûts. La forte

discontinuité est due à la nature discrète des dimensions du noyau magnétique, dans ce cas

seul deux tailles sont disponibles.

Le rendement (η ) est une fonction coût continue par nature, son expression est déterminée à

partir du calcul des pertes dans le MOSFET (PMOS), l’inductance (PIND) et la diode (Pd).

dMOSIND P+P+P+IoutVoutIoutVout

=Pertes+sortiedepuissance

sortiedepuissane=η (equ. 3.1)

Cette expression est évaluée en régime établi

3.3. Confrontation des coûts discrets et interpolés

Les résultats des différentes optimisations avec des fonctions coûts discrètes et continues,

dans le cas des différents objectifs d’optimisation, sont regroupés dans le tableau, Tab.3.3.

0123456789

0,3

0,5

0,9

1,1

1,3

1,6

1,9

2,4

2,6

3,2

4,3

4,5

6,4

9,8

12,8

18,1

Variable d'optimisation L [µH]

Coû

t : S

urfa

ce [c

m²]


101

Tab.3.3. Résultats d’optimisations uni-objectifs

Sur le tableau, Tab.3.3, on remarque que les solutions obtenues à l’aide de fonctions objectifs

interpolées et discrètes pour le même objectif d’optimisation sont différentes. Ceci montre

que les fonctions objectifs interpolées peuvent mener à des erreurs significatives sur la

solution optimale.

Une comparaison entre les résultats des optimisations (coûts optimaux) avec des fonctions

objectifs discrètes et interpolées est présentée sur la figure, Fig. 3.2.

La figure Fig. 3.2 montre que l'utilisation des fonctions objectifs discrètes produit de

meilleures conceptions (coûts plus faibles) que celles obtenue par interpolations des

données. Ceci montre l'intérêt de prendre en considération des fonctions coûts discrètes dans

l’optimisation des convertisseurs de puissance.

L’utilisation de fonctions coûts interpolées constitue d’une part une source d’erreur dans la

recherche de l’optimum global et d’autre part ne permet pas une mise à jour simple de la liste

de composants car elle oblige le concepteur de recalculer les fonctions coûts à chaque fois

qu’il veut rajouter un nouveau composant. Ainsi, dans la suite du travail nous n’utiliserons

que des fonctions objectifs discrètes.

L : [µH], C : [µF], f : [kHz], Rthrd : [°C/W], ∆V : [V], ∆I : [A], Tj : [°C], MOS : IRFxxs

Coûts interpolés (continus) Coûts discrets

Variables d’optimisation Contraintes Variables d’optimisation Contraintes

Objectif

d’optimisation Coûts

L C MOS f Rthr ∆V ∆I Tj

Coûts

L C MOS f Rthr ∆V ∆I Tj

Surface [cm²] 7,4 1.3 22 520 500 14.2 0.16 14 130 6,7 2.6 4.7 520 500 10 0,38 7 105

Coût [€] 5,8 3,2 4,7 520 500 19 0,3 5,8 133 4,34 18,1 4.7 3710 220 6,2 0,28 2.3 124

masse[g] 14,9 1,3 22 520 500 12,7 0,16 14,3 130 11,4 2,6 22 520 408 12 0,12 8,8 96

rendement 0,92 12,8 47 520 70 5,8 0,39 10,4 72


102

Fig. 3.2. Confrontation entre coûts optimaux avec fonctions discrètes et continues

4. Convertisseurs optimisés

Après avoir montré l’importance de la prise en compte de fonction objectif discrète lors de

l’optimisation de convertisseurs de puissance, nous allons nous intéresser dans la suite à

analyser les solutions des optimisations suivant les différents objectifs dans le cas discret.

4.1. Résultats des optimisations

Les résultats des différentes optimisations à l’aide de fonctions objectifs discrètes sont

représentés dans le tableau Tab. 3.4.

Suite aux différentes optimisations, nous avons trouvé que pour chaque objectif

d’optimisation le convertisseur conçu est différent des autres, malgré que l’on ait gardé dans

tout les cas le même cahier des charges ainsi que les mêmes variables et contraintes

d’optimisation. Le premier convertisseur est le plus compact, le deuxième est le plus

économique, le troisième le plus léger et le dernier a le meilleur rendement. Ce qui traduit

bien la notion de minimisation.


103

Coûts

Surface : S [cm²], coût : C [€],

masse :M [g], rendement : r [ ]

Design

L :[µH ], C :[µF ], f :[kHz ],

Rthr :[°C/W ], M0S: IRFxxs

Objectif à

optimiser

S C M r L C MOS f Rthr

Convertisseurs :

Surface 6,7 6 12 0.78 2.6 4.7 520 500 10 Convertisseur 1

Coût 10.2 4,34 63.5 0.84 18,1 4.7 3710 220 6,2 Convertisseur 2

Masse 9 7.4 11.4 0.82 2,6 22 520 408 12 Convertisseur 3

Rendement 9.3 7.8 59 0.92 12,8 47 520 70 5,8 Convertisseur 4

Tab. 3.4. Résultats d’optimisation avec fonctions coûts discrètes

4.2. Discussion

Si on cherche à faire un choix parmi ces quatre convertisseurs, le meilleur choix s’effectuera

suivant l’application, par exemple le convertisseur le plus léger sera choisi pour les

applications aéronautiques, néanmoins il est clair qu’un convertisseur de taille plus réduite

peut être aussi avantageux pour ce même type d’application.

Ainsi, un meilleur convertisseur sera conçu d’une manière multi-critéres, ceci est possible à

l’aide d’optimisation multi-objectif. Certes on n’aura pas un convertisseur optimal sur tous les

objectifs simultanément, mais cela permettra d’avoir un convertisseur présentant les

meilleures alternatives, ou, à la limite, donnera le choix au concepteur parmi des solutions

efficaces.

La résistance thermique (Rthr) a été choisie pour des raisons de simplicité pour décrire le

modèle thermique et aussi comme variable d’optimisation. Ici le rendement ne dépend pas du

Rthr et l’algorithme d’optimisation a choisi une valeur arbitraire. Toutefois un modèle plus

précis des pertes notamment en fonction de la température fournirait une dépendance de Rthr

sur le rendement.


104

5. Validations de la conception

Afin de vérifier les différentes considérations (modèles) pris en compte dans la conception,

développé dans le chapitre 1, nous avons réalisé la conception du convertisseur optimal en

coût en € avec fonctions coûts discrètes (convertisseur 2), Fig. 3.3.

Des mesures expérimentales ainsi que des simulations temporelles, à l’aide du logiciel

« SABER », nous on permis de vérifier le respect des différents aspects du cahier des charges

(Tab. 1.1). L’exemple de la tension de sortie est montré sur la figure 3.4.

Fig. 3.3 Convertisseur optimal Fig. 3.4. Tension de sortie en coût « discret » en € simulation et mesure

Sur la figure 3.4, on remarque bien que l’ondulation sur la tension de sortie est proche de

400 mV et que la valeur moyenne de la tension de sortie est proche de 14 V.

Une vérification thermique a été effectuée. La température du boîtier du MOSFET en

fonctionnement nominal mesurée avec un thermocouple, diffère seulement de 10 % par rapport à

la température calculée à l’aide du modèle thermique utilisé.

6. Conclusion

L’utilisation des techniques d’optimisation uni-objectif permet de concevoir des convertisseurs

qui sont très bons suivant un seul critère (le volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...)

par contre moyennement satisfaisant suivant les autres. Ceci est surtout dû aux conflits entre les


105

différents objectifs à optimiser lors de la conception des systèmes de puissance. Dans le

domaine industriel, de nombreux secteurs sont concernés par des problèmes complexes

comportant plusieurs objectifs à optimiser simultanément. La meilleure solution à ces problèmes

consiste à définir un compromis entre les différents objectifs, ceci est possible grâce à l’emploi

des techniques d’optimisations multi-objectifs que nous allons traiter dans la suite de ce

chapitre.

III. Les techniques d’optimisation multi-objectif

1. Définitions

Les problèmes d’optimisation multi-objectifs entrent dans la catégorie des problèmes

d’optimisation vectoriels, qui cherchent à optimiser plusieurs composantes d’un vecteur

fonction coût. L’optimisation multi-objectifs possède ses racines dans le 19iéme siècle dans

les travaux en économie de Edgeworth et Pareto [Par96]. Certaines définitions sont

nécessaires à la poursuite de l’exposé.

1.1. Formulation d’un problème d’optimisation multi-objectifs

Un problème d’optimisation vectoriel contraint peut être exprimé de la façon suivante :

On cherche à déterminer les solutions vérifiant :

C∈xavec,F(x)Min=F(y)que telC∈y

C est l'espace de recherche de solutions, lorsqu'elles existent, les frontières de C définissent

les contraintes du problème de minimisation.

F est le vecteur de fonctions coût à optimiser définie dans l'espace C,

F(x) = (f1(x), f2(x), …, fn(x)), avec 2n ≥ . L’opérateur ‘Min’ doit permettre la minimisation

simultanée des composantes du vecteur F. Cet opérateur n’a pas le sens commun de

minimisation car celui-ci n’est vrai que dans le cas uni-objectifs, nous allons présenter sa

signification propre dans le cas multi-objectif dans la suite de ce chapitre.


106

x X Y x x U Z x

f2

f1

1.2. Notion de non-dominance et optimalité Pareto

Définition 1 :

Un point y de C domine un point z de C si et seulement si tous les fonctions objectifs de y ont

une valeur inférieure à celle de z et au moins l’une de ces valeurs est strictement inférieure à

celle de z, ceci peut être formulé comme suit :

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )zk<ykque teln1∈k∃etzi≤yin1∈i∀ ff,...,ff,,...,

Un point z de l’ensemble C est non dominé s’il n’existe aucun élément dans C qui le domine.

Fig. 3.5. Illustration du principe de non-dominace dans l’espace des objectifs f1 et f2 sont les fonctions objectifs

Dans l’espace à deux dimensions représenté sur la figure Fig. 3.5, on considère quatre

solutions X, Y, Z, U, on remarque que :

X est dominé par Y et Z

U est dominé par Z

Y et Z sont non-dominés

Définition 2 :

Un point x est une solution Pareto-optimale si et seulement si il n’existe pas de point y qui le

domine. L’ensemble des points non-dominées est appelé ensemble des solutions Pareto-

optimales.

La définition de solutions Pareto-optimales découle donc directement de la notion de

dominance. Elle signifie qu’il n’est plus possible d’améliorer l’un des objectifs sans détériorer

les autres.


107

1.3. Surface de compromis ou frontière de Pareto

Dans le cas de problème à plusieurs objectifs, la solution ne se résout pas en une unique

solution comme le cas uni-objectif, mais à un ensemble de solutions ou plutôt un ensemble de

candidats présentant chacun des alternatives différentes (les x et les o sur la figure 3.6).

Parmi cet ensemble il existe des solutions qui sont meilleures que les autres. Meilleures dans

le sens où elles ne peuvent plus être améliorées sur un objectif sans détériorer les autres. Ce

sont les solutions Pareto-optimale. L’ensemble des solutions Pareto-optimale constitue la

surface de compromis, appelée aussi frontière de Pareto.

Sur la figure 3.6, on représente un cas de problème bi-objectif (f1 et f2), on remarque que tout

les o sont dominés par les x, donc la surface de compromis, où la frontière de Pareto, est

constituée par les x.

Fig. 3.6. Frontière de Pareto,

f1 et f2 sont les deux fonctions objectifs. Les x sont les solutions Pareto-optimales et les o sont les points dominés

Dans la section 2.1, nous allons présenter des exemples pédagogiques montrant comment est

déterminée la frontière de Pareto pour des problèmes réels.

1.4. Algorithmes génétiques et optimisation multi-objectifs

L’utilisation des algorithmes génétiques dans le cas multi-objectifs, consiste à appliquer le

principe de non-dominance à l’opérateur de sélection [Eng98].

f2

o o o x o o o o o x o o o o x o o o o x o o o o x o o o o x o o o o x o o o x o o o x f1


108

Sachant que la fonction objectif n’est plus scalaire, on ne peut plus ordonner la population.

Par contre, en appliquant le principe de non-dominance, on génère un sous-ensemble

d’individus non-dominé, ce sous-ensemble aura le rang 1. Ces individus sont ensuite enlevés

de la population, et l’ensemble suivant d’individus non-dominé est identifié et on lui attribue

le rang 2. Ce processus est réitéré jusqu'à ce que tous les individus de la population aient un

rang, comme indiqué sur la figure 3.7.

La sélection des parents, se fera alors de préférence parmi les individus des sous ensemble de

rang le plus faible.

Fig. 3.7. Classement d’une population

2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs

Dans le cas général, la résolution de problèmes d’optimisation multicritères qui vise à établir

un compromis entre plusieurs critères, met en œuvre des mécanismes d’optimisation ainsi que

des mécanismes de prise de décision dans lesquels intervient un décideur humain.

Le domaine de la prise de décision multicritère distingue à cet égard trois schémas possibles

de combinaison de ces deux mécanismes complémentaires [Tal99]:

- les approches "a priori" dans lesquelles le décideur intervient en amont du processus

d’optimisation, pour définir la fonction d’agrégation des différents critères.

Sous ensemble de rang 1

x o * x o * x o * x o * x o * x o x

f2

f1




109

-les approches "a posteriori" font intervenir le décideur en aval du processus d’optimisation,

en lui présentant des solutions Pareto optimales, voire des solutions non dominées sur

lesquelles il exerce son choix final.

- les approches "interactives" combinent de manière cyclique et incrémentale les deux

mécanismes mentionnés : le décideur définit des préférences qui sont prises en compte au

cours du processus de résolution du problème.

En se basant sur ces trois schémas possibles de coopération entre solveur du problème et

décideur final, les approches utilisées pour la résolution des problèmes multi-objectifs

peuvent être classées en trois catégories :

- la transformation vers un problème uni-objectif consiste à combiner les divers critères en les

pondérant. Ces méthodes sont de type "a priori". Dans cette catégorie, citons les méthodes

d’agrégation, E-contrainte et la programmation par but.

- les approches non-Pareto utilisent des opérateurs qui traitent séparément les différents

critères. Citons les algorithmes génétiques à sélection parallèle, à sélection lexicographique

ou basée sur une reproduction multisexuelle. Il s’agit principalement d’approches de type “a

posteriori ”.

- les approches Pareto utilisent directement la notion de non-dominance dans leurs processus

de recherche. Ces approches appartiennent également aux approches de type "a posteriori".

Pour les problèmes à deux objectifs de petites tailles, il existe des méthodes exactes

permettant de résoudre ce type de problème, tels que « branch and bound », l’algorithme A*

et la programmation dynamique.

Dans le cas de problème de grandes tailles et/ou des problèmes avec un nombre de critères

supérieurs à deux, des méthodes heuristiques sont nécessaires, elles ne garantissent pas de

trouver de manière exacte l’ensemble des solutions Pareto optimales, mais une approximation

de cet ensemble.


110

Plusieurs adaptations de métaheuristiques (techniques heuristiques) ont été proposées dans la

littératures pour la résolution de problème multi-objectifs : recuit simulé [Eng98], la

recherche tabou [Gan96] et les algorithmes évolutionnaires (algorithmes génétiques [Sri95],

stratégies évolutionnistes [Kur91]).

2.1. Approches Pareto et exemples pédagogiques

2.1.1. Approches Pareto

Les approches Pareto utilisent directement la notion de dominance. Elles visent à atteindre

deux buts : d’une part converger vers la frontière Pareto optimale et d’autre part obtenir des

solutions diversifiées –i.e. réparties sur toute cette frontière.

Contrairement aux méthodes d’agrégation, ces approches fournissent un ensemble de

solutions et non une solution unique.

Cette idée a été introduite initialement dans les algorithmes génétiques par Goldberg [Gol89].

2.1.2. Exemples pédagogiques

Dans ce qui suit, nous allons présenter quelques exemples pédagogiques permettant de

simplifier l’explication de la résolution des méthodes d’optimisation multi-objectifs suivant

l’approche Pareto et surtout la frontière de Pareto et son analyse.

Sachant que la frontière de Pareto est constituée par les solutions Pareto optimales, il convient

de commencer par des exemples simples permettant de montrer comment sont déterminées les

solutions Pareto-optimales. Par la suite nous proposons des exemples expliquant comment on

peut construire la frontière de Pareto et analyser ces différents paysages. Un exemple d’un

problème en génie électrique sera traité.

2.1.2.1. Détermination des solutions Pareto optimales

Dans cette partie nous allons présenter comment déterminer les solutions Pareto optimales par

une simple analyse des fonctions objectifs.


111

-4 -2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

10

12

f2

f1

fonc

tions

obj

ectif

s

variable d'optimisation : x

0 2 4 6 8 10 12

2

3

4

5

6

7

8

x = - 4

f 2

f1

Considérons deux fonctions objectifs (f1 et f2) qui varient en fonction d’une variable x.

Il existe deux types de représentations des fonctions (f1 et f2), soit l’allure des objectifs : f1 et f2

en fonction de x (courbes à droite de chaque figure), ou dans le plan des objectifs : f2 en

fonction de f1 (courbes à gauche de chaque figure).

Suivant la tendance de ces deux fonctions ont peut déduire les solutions Pareto-optimales à

partir de la représentation dans le plan des fonctions ou dans le plan des objectifs.

Trois cas de tendances possibles peuvent se présenter :

• 1er cas : tendances non contradictoires

Fig. 3.8. Cas de tendances non contradictoires

A chaque fois que l’on cherche à améliorer un point x suivant un objectif, on l’améliore

forcément sur le deuxième objectif (Fig. 3.8). Tous les points x sont dominés par le point

x = -4. Donc les solutions Pareto optimales sont réduites à l’unique solution x = -4. Cette

solution constitue le minimum atteint simultanément par les deux fonctions.

Ainsi, les solutions dont la tendance des fonctions objectifs est non contradictoire sont des

solutions non Pareto optimales, la seule solution Pareto optimale est le minimum atteint

simultanément par ces deux fonctions.


112

-4 -2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

10

12 f2 f

1

fonc

tions

obj

ectif

s


0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

f 2f1

• 2 éme cas : tendances contradictoires

Fig. 3.9. Cas de tendances contradictoires

Pour tous les points x, à chaque fois que l’on cherche à améliorer suivant un des objectifs, on

dégrade forcément le deuxième objectif (Fig. 3.9). Toutes les solutions x sont non-dominées.

Ainsi, les solutions dont la tendance des fonctions objectifs est contradictoire sont des

solutions Pareto optimales

• 3 éme cas : Multiples tendances

Fig. 3.10. Cas de tendances multiples

Zone 2Zone 1

0 2 4 6 8 10 12

7

8

9

10

11

12

13

f 2

f1

Zone 2Zone 1

-4 -2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

10

12

14

f2

f1

fonc

tions

obj

ectif

s



113

Dans ce cas, on se trouve avec deux tendances différentes (Fig. 3.10) :

La zone 1 est une zone de contradiction des objectifs, donc toutes les solutions appartenant à

cette zone sont des solutions Pareto optimales.

La zone 2 est une zone de non contradiction des objectifs, donc aucune des solutions

appartenant à cette zone n’est Pareto optimale.

Ainsi, l’ensemble des solutions Pareto optimale est constitué par les solutions de la zone 1.

D’une manière générale, l’ensemble des solutions Pareto optimale, est constitué par les

solutions pour lesquels les différents objectifs ont des tendances contradictoires.

2.1.2.2. Détermination et analyse de la frontière de Pareto :

La frontière de Pareto est la représentation de l’ensemble des solutions Pareto optimales dans

le plan des objectifs (f1 en fonction de f2).

Démarche à suivre pour déterminer la frontière de Pareto :

Après avoir identifié la zone de contradiction des objectifs sur la représentation dans le plan

des fonctions, on peut déduire l’ensemble des solutions Pareto optimales, comme présenté

dans les exemples précédents. Par la suite, il suffit de représenter cet ensemble dans le plan

des objectifs pour avoir la frontière de Pareto. Dans certains cas, il est possible de déterminer

la frontière de Pareto à partir de l’analyse de la représentation dans le plan des objectifs, et

cela en identifiant la zone de contradiction directement sur ce plan.

Dans ce qui suit nous allons appliquer notre démarche sur des exemples pédagogiques de

problèmes d’optimisation multi-objectif simples (deux objectifs et une variable), pour monter

comment est déterminée la frontière de Pareto ainsi que l’analyse de ces différents paysages.

Pour chaque problème traité nous allons vérifier notre démarche à l’aide d’un outil

d’optimisation multi-objectif à base d’algorithmes génétiques, DARWIN [Dar00].

Cet outil permet de résoudre des problèmes d’optimisation multi-objectifs contraints et

permet de fournir une approximation de la frontière de Pareto.


114

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f2

f1

fonc

tions

obj

ectif

s f

varaible d'optimisation x-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

1

2

3

4

f2

f1

fonc

tions

obj

ectif

s f

variable d'optimisation x

On propose de résoudre les problèmes bi-objectifs suivants :

Problème 1 Problème 2

f1(x) = x ² f1(x) = x 4

et f2 (x) = (x-1) 2 et f2 (x) = (x-1) 4

Avec x variant dans l’intervalle [-1, 2] pour les deux problèmes

Sur les représentations dans le plan des fonctions (figure 12 et 13), on peut identifier la zone

de contradiction des différents objectifs, si elle existe.

Fig. 3.11. Représentation de l’allure Fig. 3.12. Représentation de l’allure des objectifs du problème 1 des objectifs du problème 2

On remarque pour les deux problèmes que la zone de contradictions des deux objectifs, donc

l’ensemble des solutions Pareto optimale, est situé dans l’intervalle des x appartenant à [0 1].

La représentation de cet ensemble dans le plan des objectifs donne la frontière de Pareto,

portion des courbes tracées en rouge sur les figures 3.13 et 3.14.

Zone de contradiction

Zone de contradiction


115

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

f 1

f2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f 1

f2

Fig. 3.13. Représentation dans le plan Fig. 3.14. Représentation dans le plan des objectifs du problème 1 des objectifs du problème 2

Pour le problème 3 et 4, la frontière de Pareto peut être déduite directement à partir de la

représentation dans le plan des objectif, car seule les portions tracée en rouge sur les figures

13 et 14 constituent des zones de contradiction des objectifs : ce sont les frontières de pareto.

Le problème 1 a été introduit par Schaeffer pour évaluer et comparer les performances des

algorithmes [Sch85].

A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve les mêmes frontières de Pareto que celle

déterminée à l’aide de notre démarche, pour les problèmes 1 et 2 (figure 15 et 16).

Fig. 3.15. Frontière de Pareto du problème 1, résultat obtenu avec DARWIN [Dar00].

Frontière de Pareto Frontière de Pareto


116

Fig. 3.16. Frontière de Pareto du problème 2, résultat obtenu avec DARWIN [Dar00].

Comme le montre les figures 3.15 et 3.16, pour les deux problèmes on trouve des frontières

de Pareto convexes. Par contre pour la même plage de variation de la frontière de Pareto [0 1],

on remarque que celle du deuxième problème est plus convexe que celle du premier. Cette

différence est due essentiellement à l’allure des fonctions objectifs correspondant (figures

3.11 et 3.12).


117

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

f2

f1

fonc

tions

obj

ectif

s f

variable d'optimisation x0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

f1

f2

fonc

tions

obj

ectif

s f

variable d'optimisation x

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0Problème 4

Problème 3

f1

f2

Problème 3 Problème 4

f1(x) = x1/2 f1(x) = x1/4

f2(x) = (1-x2)1/2 f2(x) = (1-x2)1/4

Avec x variant dans l’intervalle [0, 1] pour les deux problèmes

Fig. 3.17. Représentation de l’allure Fig. 3.18. Représentation de l’allure des objectifs du problème 3 des objectifs du problème 4

Les cassures sur les courbes des figures 3.17 et 3.18 sont dues à la discrétisation.

L’examen des deux représentations dans le plan de fonctions, montre que toutes les solutions

x sont Pareto optimales, ainsi la frontière de Pareto est constituée par les représentations dans

le plan des objectifs pour chaque problème comme représenté sur la figure 3.19.

Fig. 3.19. Représentation dans le plan des objectifs des problèmes 3 et 4


118

En examinant directement les représentations dans les plans des objectifs des deux problèmes

(Fig. 3.19), on remarque que les deux objectifs sont toujours en contradiction, ainsi la

frontière de Pareto pour chacun des deux problèmes est tout simplement sa représentation

respective dans le plan des objectifs.

A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve les mêmes frontières de Pareto que celle

déterminé à l’aide de notre démarche, pour les problèmes 3 et 4 (figures 3.20 et 3.21).

Fig. 3.20. Frontière de Pareto du problème 3, obtenue à l’aide de DARWIN.

Fig. 3.21. Frontière de Pareto du problème 4, obtenue à l’aide de DARWIN.

Dans ces deux cas on trouve des frontières de Pareto concaves.


119

Sur la figure 3.21 on remarque aussi que, pour la même plage de variation [0 1], la frontière

de Pareto du problème 4 est plus concave que celle du problème 3.

D’une manière générale le paysage concave/convexe et le degré de concavité/convexité

dépendent essentiellement, de l’allure des fonctions objectifs du problème à optimiser. De

plus, pour les approximations le degré de concavité/ convexité dépend aussi des algorithmes

utilisé [Bar03], [Tal99].

Les performances des métaheuristiques diffère suivant que celle-ci soit concave ou convexe.

Par exemple, l’utilisation des méthodes d’agrégation est plus efficace lorsque la structure est

convexe que dans le cas où la frontière est concave. Le principal avantage des approches

Pareto est qu’elles sont capables de générer des solutions Pareto optimales dans les portions

concaves de la frontière de Pareto.

2.1.2.3 Un exemple en Electronique de Puissance : élévateur de tension continue

Dans cette partie nous allons traiter un problème élémentaire en électronique de puissance,

hacheur élévateur de tension continue, dont le montage est proposé sur la figure 3.22.

Fig. 3.22. Montage d'un hacheur élévateur de tension

Le fonctionnement de ce circuit est le suivant :

Pendant la fermeture de l’interrupteur, l’énergie est stockée dans l’inductance L.

Pendant l’ouverture de l’interrupteur, il y a décharge de l’inductance L dans la charge R.

Cette décharge n’est possible que pour Vs > Ve, d’où on a un élévateur de tension.


120

Dans la suite du manuscrit et afin d’éviter toute source de confusion, nous allons utiliser f

pour désigner la fréquence de découpage, F pour les fonctions objectif à optimiser et F pour

designer un vecteur de fonction objectif.

• Dans [Fer99], l’ondulation sur la tension de sortie (∆Vs) est déterminée à partir des

formes d’ondes. Il est démontrer que dans le cas de conduction continue son expression est

(equ. 3.2)

Avec : α : le rapport cyclique, α)(1

VeVs−

= et C R α)(1

Ve αK−

=

• Les pertes (Q) du montage, sont approximées à la quantité d’énergie perdue à chaque

commutation de l’interrupteur E0 multipliée par la fréquence de découpage f :

Q = E0 f

Sachant que E0 et K sont toujours positifs, on déduit que les pertes et l’ondulation sont deux

objectifs antagonistes : si on cherche à réduire les pertes, il faut prendre une faible valeur de f,

ce qui donnera une l’ondulation sur la tension de sortie assez élevée.

Ainsi on est en présence d’un problème d’optimisation bi-objectif (F1, F2) suivant :

K=Vs∆=

E=Q= 0

fF

fF

1

1 E0 et K > 0

Avec f la variable d’optimisation.

Calcul de K :

Supposant que le rapport cyclique est α = 0.5.

Avec un condensateur C d’une capacité de 100 µF et une résistance de charge R=1 kΩ, on

trouve une valeur de k suivante :

K = 50 [V S-1]

Supposons que la quantité d’énergie perdue à chaque commutation est : E0 = 5µJ

ffK

=CR α)(1

Veα=∆Vs


121

0 1 2 3 4 50,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

DV

s (V

)

Q (W)

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

Q

DVs

fonc

tions

obj

ectif

s

variable d'optimisation : f en Khz

Frontière de Pareto

Si on considère une plage de fréquence f qui varie de 10 à 100 kHz, on peut tracer d’allure des

objectifs du problème, Fig. 3.23

Fig. 3.23. Allure des objectifs en fonction de la fréquence

A l’aide de cette représentation on remarque que toutes les solutions f sont Pareto-optimales.

Ainsi par passage à la représentation dans le plan des objectifs on obtient directement la

frontière de Pareto, comme représentée sur la figure 3.24.

Fig. 3.24. Frontière de Pareto


122

A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve la même frontière de Pareto que celle

déterminée à l’aide de notre démarche pour ce problème (Fig. 3.25).

Fig. 3.25. Frontière de Pareto à l’aide de l’outil d’optimisation

2.1.3 Conclusion

Une analyse de l’allure des fonctions objectifs ainsi que de la représentation dans le plan

objectifs permet de déterminer les solutions Pareto-optimales ainsi que la frontière de Pareto.

Le plus grand avantage des approches Pareto est qu’elles sont capables de générer des

solutions Pareto optimales dans les portions concaves de la frontière de Pareto, par contre la

détermination de cette frontière (ou l’ensemble des solutions Pareto-optimales) n’est qu’une

première phase dans la résolution pratique du problème, qui nécessite dans un deuxième

temps le choix d’une solution à partir de cette frontière suivant les préférences choisies par le

décideur, celle-ci peut être différente d’un décideur à un autre et ce choix est d’autant plus

difficile que le nombre d’objectifs est plus élevé. A partir d’un nombre d’objectif supérieur à

2, il devient assez difficile d’interpréter ou même de représenter la frontière de Pareto.


123

2.2. Approche par transformation du problème vers l’uni-objectif

Dans la résolution des problèmes multi-objectifs, plusieurs méthodes traditionnelles

transforment ces problèmes en problèmes uni-objectifs. Parmi ces méthodes on trouve les

méthodes d’agrégation ainsi que les méthodes de programmation par but (goal programming).

2.2.1. Méthode d’agrégation

Cette méthode consiste à combiner les différents fonctions coût fi du problème en une seule

fonction objectif F généralement de façon linéaire. Le problème peut être formulé de la

manière suivante :

C∈x

λ=(F(x)min ∑n

1=iii )F (equ.3.3)

Où les poids [ ] 1λet1,...,0λ1i ii =∈ ∑ =

n .

Différents poids fournissent différentes solutions et les résultats obtenus dépendent fortement

des paramètres choisis en fonctions des préférences associées aux objectifs, préférences

choisies par un décideur humain.

Dans le cas d’objectifs qui n’ont pas la même dimension physique, il est nécessaire de

normaliser les différents objectifs en transformant l’équation précédente comme suit :

∑n

1=iiiiλc=F(x) F ,

Où les ci sont des constantes de mise à l’échelle, généralement égales à ( ) ,*F x

1

i où x* est la

solution optimale associées à l’objectif Fi. Dans ce cas le vecteur est normalisé par rapport au

vecteur idéal.

L’avantage de ces approches est la production d’une seule solution et ne nécessitent donc pas

l’interaction avec le décideur. Cependant, la solution trouvée, peut ne pas être acceptable.


124

L’espace de recherche est réduit de façon prématurée avant que des informations suffisantes

soient disponibles.

L’autre problème avec cette approche est la détermination des poids à priori, sans avoir des

connaissances sur le problème traité.

2.2.2. Programmation par but

Dans cette méthode, le décideur doit définir des buts ou références qu’il désire atteindre pour

chaque objectif. Ces valeurs sont introduites dans la formulation du problème, le transformant

en un problème uni-objectif. Par exemple, la fonction coût peut intégrer une norme pondérée

qui minimise la distance par rapport aux buts. Le problème peut être formulé de la manière

suivante [Sri95], [Tal99], [Cha03] :

C∈x

)z(x)( =F(x) (min p1pn

1=jjj∑ )F (equ. 3.4)

Où ∞≤≤ p1 , et z est le vecteur de référence (but) ou le vecteur idéal. La norme utilisée est la

métrique de Tchebycheff (Lp-métrique). Généralement p =2, dans ce cas on a une métrique

euclidienne.

Cette méthode est reconnue comme très efficaces et facile à implémenter, par contre une

sélection arbitraire du vecteur de référence peut ne pas être désirable, puisqu’un mauvais

vecteur de référence peut aboutir à une solution qui n’est pas Pareto optimale.

Ce type d’approche trouve une solution non-dominée si le but est choisi dans le domaine

réalisable. Cependant, le décideur est chargé de choisir le vecteur but associé à chaque

objectif, ce qui est une tâche difficile sans connaître la structure de l’espace de recherche. Si

le domaine réalisable n’est pas facile à approcher, la méthode peut être inefficace.

L’inconvénient majeur de cette méthode est l’absence éventuelle de pression de sélection des

solutions générées. Par exemple, si on a deux solutions qui ont la même valeur pour un


125

objectif et des valeurs différentes pour l’autre objectif (forcément non Pareto-optimales), elles

peuvent avoir le même coût. L’algorithme de recherche ne peut donc pas les différencier dans

la résolution du problème.

2.2.3. Méthode E-contraintes

Une autre façon de transformer un problème d'optimisation multi-objectif en un problème

simple objectif est de convertir n-1 des n objectifs du problème en contraintes et d’optimiser

séparément l'objectif restant [Tal99]. Le problème peut être reformulé de la manière suivante

k

j j

min F (x)x Cs.c F (x) , j=1,...n, j kε

⎧⎪ ∈⎨⎪ ≤ ≠⎩

Où ε = (ε 1,…,ε k-1, ε k+1,…,ε n)

La connaissance a priori des intervalles appropriés pour les valeurs εi est requise pour tous les

objectifs. Pour définir des valeurs adéquates pour εi, le vecteur idéal (x*) doit être calculé

pour déterminer les bornes inférieures. On aura donc

ε i ≥ Fi (x*), i = 1,…,k-1, k+1, n

La génération de plusieurs solutions pareto-optimales nécessite de multiples exécutions de

l’algorithme avec différentes contraintes εi, ce qui est un exercice coûteux en termes de calcul.

Par contre, cette approche a l'avantage de ne pas être trompée par les problèmes non

convexes.

2.3. Conclusion

La transformation du problème multi-objectif en un problème uni-objectif nécessite la

connaissance a priori du problème traitée. L’optimisation d’un problème multi-objectif peut

garantir l’optimalité Pareto de la solution mais ne fournit qu’une seule solution. Ces méthodes

sont sensibles au paysages de la frontière de Pareto (convexité, discontinuité, ..) ainsi qu’au


126

poids et aux vecteurs de références. Les solutions obtenues dépendent fortement de ces

paramètres.

IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif

1. Introduction

A notre connaissance, il n’existe aucune méthode d’optimisation multi-objectifs efficace et

adaptée pour tout les types de problèmes.

L’approche Pareto est bien adaptée aux problèmes dont on n’a pas de connaissance a priori,

elle fournie un ensemble de solutions (solutions Pareto-optimales) toutes aussi efficaces les

unes que les autres, et ne nécessite qu’une seule résolution du problème. Par contre elle

nécessite toujours l’intervention du décideur, pour le choix final de la solution. Ce choix est

d’autant plus difficile que le nombre d’objectifs est plus élevé. Toutefois une grosse partie du

travail de conception est fait et le concepteur n’a plus qu’à choisir une solution parmi les

solutions Pareto-optimales.

L’approche par transformation vers l’uni-objectif, notamment la programmation par but,

permet de générer une solution unique, par contre l’efficacité de cette solution dépend

fortement de la connaissance a priori de certains paramètres du problème, tel que le vecteur

but ainsi que le domaine de recherche. Dans certains cas, deux solutions (non Pareto-

optimales) peuvent être confondues par l’algorithme de résolution.

Afin d’éliminer les inconvénients de ces deux types de méthodes, nous allons les associer en

une unique, qui permettra d’une part de fournir une seule solution au problème et d’autre part

de garantir sa Pareto optimalité

2. Description de la méthode

Notre approche consiste à appliquer un post-processing à l’ensemble des solutions Pareto-

optimales obtenues au préalable à l’aide de l’application de l’approche Pareto au problème


127

d’optimisation multi-objectif. Ce post-processing consiste en la méthode de programmation

par but qui permet de sélectionner la solution Pareto-optimale la plus proche de l’objectif

idéal. L’objectif idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres

(uni-objectifs). Cet objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les

différents objectifs ne sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même

solution.

Dans le cas de frontières de Pareto convexes, la solution Pareto-optimale la plus proche de

l’objectif idéale correspond à une projection orthogonale, d’où son unicité. Dans le cas

contraire, il est possible d’avoir plusieurs solutions Pareto-optimales qui sont situées à la

même distance par rapport à l’objectif idéal. Dans tout les cas que nous avons traités, nous

n’avons rencontrés que des fonctions convexes. Si jamais nous tomberions dans le cas

concave avec plusieurs solutions Pareto-optimales à distance égale de l’objectif idéal, nous

aurons à choisir une solution parmi cet ensemble.

Plusieurs méthodes hybrides ont été développées, dans [Cha03] la méthode de programmation

par but a été utilisée pour évaluer la Pareto optimalité des solutions non dominées, par contre

notre approche consiste à utiliser la programmation par but pour évaluer les solutions Pareto

optimales déjà générées par une approche Pareto.

Organigramme

Notre méthode se base sur trois principales étapes. La première consiste à faire des

optimisations uni-objectifs, à l’aide d’algorithmes génétiques, suivants les différents objectifs

pris séparément. Les solutions suivant les différentes optimisations uni-objectifs forment ainsi

l’objectif idéal. La deuxième étape consiste à appliquer l’approche Pareto au problème en

considérant les différents objectifs simultanément. La dernière étape consiste à appliquer la

méthode de « programmation par but » comme suit : le but à atteindre est l’objectif idéal et

l’espace de recherche est constitué par l’ensemble des solutions Pareto-optimales fourni au


128

préalable par une approche Pareto. Afin de tenir compte de la dimension physique des

différents objectifs, nous les avons normalisés par rapport à l’objectif idéal.

La métrique utilisée dans la méthode de « programmation par but » est euclidienne (p=2),

(equ.3.4). Sur le plan de Pareto, cette métrique correspond à la distance entre les solutions

Pareto optimales et le vecteur idéal.

Un test est effectué juste après la première étape, pour vérifier si la solution aux problèmes

uni-objectifs pris séparément n’est pas la même. Auquel cas il n’est plus nécessaire

d’appliquer des techniques multi-objectifs, car les fonctions ne sont pas contradictoires et

atteignent leurs minimum en même temps. La solution ainsi retenue est celle commune à

toutes les optimisations uni-objectifs.

Cette démarche peut être décrite par l’organigramme de la figure, Fig. 3.26, suivante :

Fig. 3.26. Organigramme de la démarche d’optimisation retenue

Approche Pareto : Solutions Pareto optimal

Optimisations uni-objectifs à base d’AG : Vecteur idéal

Solution unique pour tous les objectifs ?

Post-Processing : Programmation par but

Solution retenue

Calcul de la distance entre les solutions Pareto optimal et le vecteur idéal

Détermination de la distance

minimale

Normalisation du plan Pareto


129

Commentaire :

Une solution optimale suivant tous les objectifs individuellement (objectif idéal), est rarement

possible, ceci à cause des contradictions qui existent généralement entre les différents

objectifs. Par contre, cette démarche constitue la meilleure manière de se rapprocher de cet

objectif, et de le prendre en compte. Cette démarche peut s’adapter facilement à des situations

différentes, elle est très utile surtout dans le cas d’un nombre d’objectifs supérieur à deux, où

l’interprétation de la frontière de Pareto devient très difficile. Le seul inconvénient de cette

démarche c’est qu’elle est un peu lourde en terme de nombre de résolution du problème, par

contre elle garantie l’unicité de la solution.

3. Exemple pédagogique

Nous avons appliqué notre démarche au problème de l’élévateur de tension continue, présenté

dans la section III.2.1.2.3.

La valeur optimale de l’ondulation sur la tension de sortie (∆Vs min = 0,5 V) est obtenue pour

f = f max = 100 Khz, par contre les pertes minimales (Q min= 50 mW) sont déterminées pour

f = f min = 10 khz, ainsi la solution est différente pour les deux objectifs optimisés séparément.

Ainsi, l’objectif idéal est formé par le couple (∆Vs min, Q min).

Après avoir déterminé les solutions Pareto optimales à l’aide d’une approche Pareto, nous

avons normalisé le plan Pareto par rapport à l’objectif idéal (∆Vs min, Q min), suivant les axes

respectifs.

Vu que l’on est dans un repère orthonormé, la distance entre les solutions Pareto-optimales et

le l’objectif idéal est déterminé comme suit :

( ) ( )2

min

2

min QQ-Q

+vs∆

vs∆-vs∆=d

minmin;


130

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

1

2

3

4

5

Objectif idéal

Solution retenue1,5817

0,15

805

d2d

min

d1

DV

s (V

)

Pertes : Q(W)

En calculant la distance (d) pour chaque solution Pareto-optimale, nous avons trouvé que la

plus petite valeur de (d) est dmin = 400.0026. Cette distance correspondant au couple d’objectif

suivant : (∆Vs = 1.5817 V, Q = 0.15805 mW,).

La distance minimale peut être vérifiée directement sur la figure 3.27.

Fig. 3.27. Distance des solutions Pareto optimales par rapport à l’objectif idéal.

La distance minimale, d min, correspond à la solution de coordonnée : fréquence f =31.61 kHz.

Parmi toutes les fréquences qui vont de 10 kHz à 100 kHz, c’est la fréquence de 31, 6 kHz qui

sera retenue comme la solution pour ce problème.

Ainsi, malgré que le problème soit assez simple, sa solution n’est pas prévisible par un simple

calcul.

Ceci montre bien l’intérêt des méthodes d’optimisation multi-objectif ainsi que l’efficacité de

la démarche que nous avons proposée pour résoudre ce type de problème.

Dans cet exemple (n=2), il est possible de déterminer la meilleure solution géométriquement

sur la frontière de Pareto sans utiliser la méthode de distance, mais ceci est d’autant plus

difficile que le nombre d’objectifs est élevé.


131

D’une manière générale, pour un nombre d’objectifs n 2≥ (F1, F2,…, Fn) et un nombre de

variables m 1≥ (x1, x2,…, xm), la distance entre chaque solution Pareto-optimale et l’objectif

idéal (Fimin) (avec i ∈ [1, n]) dans le plan Pareto normalisé (par rapport à cet objectif) est la

somme quadratique des différents objectifs normalisés :

( ) ( ) ( )2

min3

min33

2

min2

min22

2

min1

min11 -

++-

+-

=dF

FF...

FFF

FFF

(equ. 3.5)

Cette formule est obtenue par des projections orthogonales successives des solutions sur un

plan bi-dimensionnel d’objectifs.

4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V

Afin de monter l’intérêt ainsi que l’avantage de notre démarche d’optimisation multi-objectif

par rapport aux méthodes uni-objectif, dans le cas de conception de convertisseur de

puissance, nous allons l’appliquer dans notre cas d’étude (hacheur série 42 /14 V) présenté

dans l’introduction de ce chapitre. Les objectifs à optimiser simultanément sont, la surface, le

coût en euros et le rendement. Nous avons gardé les mêmes paramètres d’optimisation, la

même technologie ainsi que le même cahier des charges que ceux utilisés dans le cas uni-

objectif.

L’objectif idéal est déterminé à l’aide des résultats d’optimisation uni-objectifs, présentés

dans la section II.4. A partir du tableau (Tab. 3.4), nous avons vu que les solutions aux

problèmes uni-objectifs sont différentes et qu’une solution qui réunie les performances

optimaux suivant tout les objectifs en même temps (convertisseur idéal) ne peut pas exister

réellement. Cet objectif idéal est ainsi définit comme objectif à atteindre et composé par le

triplet de coûts optimaux issus des optimisations uni-objectifs. Les composantes de ce vecteur

sont les suivantes : S = 6,7 cm², C = 4,34 € et r = 0,92.


132

L’application de l’approche Pareto à l’aide de l’outil DARWIN, donne lieu à neuf solutions

Pareto optimales (A1, A2, …, A9) représentées sur la figure Fig. 3.28.

Après normalisation du plan Pareto par rapport au vecteur idéal, nous avons calculé la

distance entre les solutions Pareto-optimales et le vecteur idéal en utilisant l’équation

(equ. 3.5), Tab 3.5. La distance la plus faible est celle correspondant à la solution A1, voir

Tab 3.5. Ainsi cette solution est retenue comme meilleure solution, elle correspond au triplet

(S = 6,7 cm², C = 5,25 € et r = 0,8).

Nous avons représenté la frontière de Pareto de la figure 3.28 sur deux plans, suivant le plan

(surface, coût) sur la figure 3.29.a et le plan (coût, rendement) sur la figure 3.29.b.

En examinant la frontière de Pareto en 3D, Fig. 3.28, ainsi que ces deux projections suivant

deux plans, Fig. 3.29.a et Fig. 3.29.b, on remarque que la solution retenue (A1) présente bien

les meilleures alternatives.

Point A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

Distance d 0,244 0,648 0,282 1,094 1,092 1,319 1,184 1,328 1,338

Tab. 3.5. Distances entre les solutions Pareto-optimales et l’objectif idéal.


133

6 8 10 12 14 164,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

A5A6

A9

A3

A8A7

A4

A2

A1C [e

uros

]

S [cm²]

Fig. 3.28. Frontière de Pareto en 3D et solutions Pareto-optimales issue de Darwin [Dar00]

Fig. 3.29.a. Projection de la frontière de Pareto suivant le plan (surface, coût en €),

en rond l’objectif idéal et en triangle les solutions pareto-optimales.

A1

A2

A3

A9

A6

A4

A8

A5

A7


134

6 8 10 12 14 16

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

A8

A6 A9

A7A5

A4

A3

A2

A1

r [ ]

S [cm²]

Fig. 3.29.a. Projection de la frontière de Pareto suivant le plan (surface, rendement), en rond l’objectif idéal et en triangle les solutions pareto-optimales.

A partir du tableau des résultats des optimisations uni-objectif (Tab. 3.3) et les coordonnées

du triplet d’objectif optimal retrouvé par notre méthode, on peut déduire que :

Par rapport au convertisseur le plus petit, pour une même surface nous avons nous avons

gagné 14 % en coût en euros et 2.5 % en rendement.

Par rapport au convertisseur le plus économique, nous avons perdu 18 % de coût en euros, par

contre, en même temps, nous avons gagné 40 % de taille et 6 % en rendement.

Par rapport au convertisseur qui a le rendement le plus élevé, nous avons perdu 15 % en

rendement, par contre, en même temps, nous avons gagné 38 % de taille et 48 % en coût en

euros.

Sur la figure 3.30, nous avons représenté, en rond les solutions suite aux différentes

optimisations uni-objectif, en carré la solution fournie par notre méthode et en étoile l’objectif

idéal.


135

Fig. 3.30. Intérêt de notre démarche dans la conception des convertisseurs

En examinant la figure 3.30, on peut déduire que la solution fournie par notre méthode est la

plus proche de l’objectif idéal parmi toutes les solutions proposées.

Le convertisseur correspondant à la solution retenue par notre démarche est conçue comme

suit :

L=2,6 µH

C= 4,7 µF

Mos : IRFU 3910s et diode : 12CWQ06FN.

f = 476,8 kHz et Rth= 8,7 °C/W


136

V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM

Dans la plupart des cas, les perturbations électromagnétiques (EM) générées par les

convertisseurs de puissance sans filtre dépassent largement les limites imposées par les

normes en vigueurs. Dans ce cas, il est indispensable de considérer la norme CEM comme

une contrainte de conception à prendre en compte dès la phase de pré-dimensionnement du

système. Pour cela, il est nécessaire de pouvoir prédire les perturbations EM avec une bonne

précision. Comme nous l’avons présenté dans le chapitre 2, il existe plusieurs méthodes de

prédiction des perturbations EM, par contre seule les méthodes analytiques sont intéressantes

dans le cadre de l’optimisation et la conception des systèmes. Dans le même chapitre (2) nous

avons proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM

conduites, basée sur l’analyse de causalité des graphes de liens, que nous avons validée

expérimentalement. Cette méthode a permis d’obtenir une bonne correspondance entre les

spectres prédits et la mesure jusqu'à des fréquences hautes du spectre des perturbations

conduites. Ainsi, il est tout a fait possible d’utiliser cette méthode pour optimiser le

convertisseur avec prise en compte des contraintes CEM.

Dans la pratique, ceci consiste à rajouter un filtre CEM entre le RSIL et l’entrée du

convertisseur et de considérer la norme EN 55022 comme nouvelle contrainte au problème

d’optimisation, les perturbations électromagnétiques conduites générées par le système

doivent être au dessous des limites imposées par cette norme, et les éléments du filtre font

partie des variables d’optimisation. La prise en compte des contraintes CEM dans le problème

d’optimisation se traduit par une comparaison de l’amplitude de chaque raie du spectre, des

perturbations sur les deux bras du RSIL, par rapport à la limite imposée par la norme pour la

fréquence correspondante. Grâce à l’utilisation d’une base de donnée pour les fonctions


137

objectifs, il est possible d’ajouter les coûts des différents éléments du filtre avec les coûts du

convertisseur de manière simple par sommation directe.

L’optimisation du filtre CEM avec l’ensemble du convertisseur ainsi que la prise en compte

des contraintes CEM dès le début de la conception font partie de la notion d’optimisation

globale.

Le problème d’optimisation devient alors le suivant :

Tab. 3.5. Problème d’optimisation globale

Toutefois nous n’avons pas eu le temps suffisant pour traiter complètement cet aspect. Cela

fera parti de notre prospective.

VI. Conclusion

Les techniques d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui

sont très bons suivant un seul critère (le volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...)

par contre moyennement satisfaisant suivant les autres. La plupart des applications

industrielles constituent des problèmes complexes avec plusieurs objectifs à optimiser

simultanément. Pour cela il est nécessaire d’utiliser des techniques d’optimisation multi-

objectifs.

Ce travail, nous à permis de simplifier la compréhension des méthodes de résolution des

problèmes d’optimisation multi-objectif, souvent présentées de manière ’ambigue’.

Fonctions objectifs Variables d’optimisation Contraintes

Surface [cm²]

Coût en euros [€]

Rendement [ ]

Masse [g]

Composants passifs : Ls (µH) et Cs (µF)

Composant actifs : MOSFET

Fréquence de découpage : f (Khz)

Radiateur : R (°C/W)

Eléments du filtre

Electrique : ∆Vs< Vsmax

∆I < 2*Is

Thermique : Tj < Tjmax

CEM: Norme EN 55022


138

A travers des exemples pédagogiques nous avons montré comment construire la frontière de

Pareto, ainsi que son analyse.

Nous avons aussi proposé une démarche d’optimisation multi-objectif hybride. L’application

de cette démarche sur un exemple élémentaire en électronique de puissance nous a permis de

montrer que même dans le cas d’un problème simple, la solution à un problème

d’optimisation multi-objectifs n’est pas prévisible par un simple calcul.

La démarche de pré-dimensionnement que nous avons proposée permet de fournir au

concepteur des solutions optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution

optimale suivant plusieurs objectifs simultanément. Le choix de la solution adéquate devient

alors très facile pour le concepteur.

Dans ce chapitre nous avons optimisé les performances d’une structure hacheur abaisseur de

tension suivant des contraintes de fonctionnement électrique et thermique et ceci à l’aide de

modèles simples. La démarche d’optimisation que nous avons proposée peut très bien

s’appliquer à n’importe quelle structure de puissance à condition d’avoir des modèles

analytiques assez précis. L’effort ainsi demandé se concentre sur la modélisation des

différents phénomènes physiques à prendre en compte. Ceci a été le cas pour prendre en

compte les contraintes de compatibilité électromagnétique dans l’optimisation du hacheur. De

notre coté nous avons investi un effort important pour développer des modèles analytiques

permettant de prédire les perturbations électromagnétiques générées par le hacheur, voir

chapitre 2. Ces modèles pourrons être utilisés pour concevoir des convertisseurs qui

respectent les normes CEM.

Conclusion générale

139


Le compromis précision rapidité dans le choix des modèles des composants de puissance reste

très difficile à faire. Néanmoins, dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement de

convertisseurs de puissance, la précision n’est pas primordiale, par contre des modèles

analytiques simples sont nécessaires. Grâce à de tels modèles, il est possible de transformer le

problème de conception de convertisseurs de puissance en un problème d’optimisation

contraint. Ainsi, les différentes spécifications du cahier des charges sont décrites comme

contraintes au problème d’optimisation. Parmi les spécifications les plus sévères, on trouve

les normes CEM. La modélisation analytique des perturbations électromagnétiques a été

traitée dans peu de travaux antérieurs, par contre, seules des démarches applicables au cas par

cas ou faisant intervenir un calcul fastidieux ont été proposées. Dans ce travail nous avons

proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM conduites

générées par les convertisseurs de puissance. Cette méthode se base sur l’analyse de causalité

des graphes des liens. L’utilisation des graphes des liens permet une approche générale

permettant de traiter toute structure de puissance et évite la nécessité d’un savoir faire

particulier lors de l’étude de la CEM. L’analyse de causalité permet une mise en équations

systématique du système, qui trouve tout son intérêt dans le cas des systèmes complexes.

Cette méthode est très utile pour le concepteur car en plus d’être automatisable, elle permet

une étude de sensibilité très simple grâce au modèle analytique auquel qu’elle produit.

La méthode proposée a été validée dans le cas d’un hacheur série réel. La comparaison du

spectre prédit par rapport à celui mesuré a montré que la méthode a une bonne précision

jusqu'à des fréquences assez élevées du spectre, jusqu'à 20 Mhz. Au delà de cette valeur le


140

modèle d’interrupteur idéal utilisé dans notre méthode ne permet plus de reproduire les

perturbations électromagnétiques réelle. Ceci peut être amélioré par l’utilisation de modèles

plus précis qui permet de rendre compte des commutations réelles des composants de

puissance dans notre méthode

Dans ce travail nous avons traité l’optimisation d’un hacheur abaisseur de tension suivant un

seul objectif (uni-objectif) et suivant plusieurs objectifs simultanément (multi-objectif). Les

techniques d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui sont

très bons suivant un seul critère (la surface ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) par

contre moyennement satisfaisant suivant les autres critères. Les techniques d’optimisation

multi-objectifs, quant à elles, fournissent plusieurs solutions, laissant le concepteur face à un

problème de choix. Nous avons proposé une démarche d’optimisation multi-objectif qui

permet de fournir une unique solution qui est la plus proche de l’objectif idéal. L’objectif

idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres (uni-objectifs). Cet

objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les différents objectifs ne

sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même solution.

La démarche de pré-dimensionnement que nous avons proposée se base sur l’utilisation de

technique uni-objectif ainsi que deux techniques multi-objectifs. Elle permet de fournir au

concepteur des solutions optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution

optimale suivant plusieurs objectifs simultanément. Le choix de la solution adéquate, par le

concepteur, se fait alors en comparant un nombre réduit de solutions optimisées.

Dans ce travail nous avons aussi montré que l’utilisation de fonctions objectifs discrètes, à

l’aide de base de données, permet de faciliter toute modification du problème d’optimisation,

tel que la prise en compte des contraintes CEM.

La méthodologie proposée peut très bien s’appliquer à n’importe quelle structure de puissance

à condition de développer les modèles analytiques. Ainsi, la difficulté de conception se réduit


141

au développement de modèles représentant les différents phénomènes physiques à prendre en

compte.

Publications relatives à ces travaux :

Conférences internationales :

• H. Helali, D. Bergogne, J. Ben Hadj Slama, H. Morel, P. Bevilacqua, B. Allard, O. Brevet : Power converter's optimisation and design. Discrete cost function with genetic based algorithms. 11 th European Conference on Power Electronics and applications (EPE’05), Dresden, Septembre 2005.

• H. Helali, H.Morel, D. Bergogne: Power converter design methodology. Uses of

multiple objectives techniques for optimization of a (42/14 V) buck converter. International Conference on Integrated Power Electronics Systems 2006 (CIPS’06), Naples, Juin 2006.

Conférences et colloques nationaux :

• H. Helali : Optimisation de convertisseur de puissance, analyse et conception. Journées de Jeunes Chercheurs en Génie Électrique (JCGE'05), Montpellier, Juin 2005.

• H. Helali, D. Bergogne, H.Morel. Optimisation multi-objectifs pour la conception de convertisseurs de puissance : Application au cas d’un hacheur 42/14 V. Groupement De Recherche (GDR): Intégration de Systèmes de Puissance ISP3D, Lyon, Septembre 2005.

• H. Helali, H. Morel, D. Bergogne, J.L. Schanen, J.M. Guichon : Méthode de calcul de

spectres CEM à base de graphes de liens. Application au hacheur série. Electronique de Puissance du Futur (EPF’06), Grenoble, juillet 2006.

Publication en cours de rédaction :

• H. Helali, H. Morel, D. Bergogne, B. Allard, J.L. Schanen: Switching Mode Power Supply EMI prediction using bond graph analysis causality. IEEE Transactions on Transactions on power electronics.

Bibliographie

142

Bibliographie

[All00] Bruno Allard, « Contribution aux méthode et outils de conception des systèmes

(intégrés) de puissance ». Habilitation à diriger des recherches en sciences, Villeurbanne :

l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, Lyon, 2000, 150 p.

[All1] Bruno Allard et Hervé Morel, « Utilisation des graphes de liens en électronique de

puissance ». Techniques d’ingénieur, D 3 064.

[Amm02] Kayçar Ammous, « Contribution à la construction systématique des modèles

moyens de convertisseurs de puissance ». Thèse Villeurbanne : l’Institut National des

Sciences Appliquées de Lyon, 2002, 189 p.

[Amm99] A. Ammous, S. Ghedira, B. Allard, H. More land D. Renault, « Choosing a

Thermal Model for Electrothermal Simulation of Power Semiconductor Devices ». IEEE

Transactions on power electronics, Mars 1999, Vol 14, NO 2.

[Ana03] K. Kpalma, V. Haese-Coat, « Traitement numérique du signal, théorie et

applications : informatique industrielle ». Paris : Ellipses, 2003

[Bar03] V. Barichard. «Approches hybrides pour les problèmes multiobjectifs ». Thèse de

doctorat informatique, d'Angers : 2003.

[Ber04] The Berquist Compagny, «Thermal solutions for surface mount power Application ».

Thermal Clad selection guide. 2004.

[Bog88] Eric Bogatin, « Design rules for Microstrip capacitance ». IEEE Transactions on

components, Hybrids and manufacturing technology, 1988, Vol 11, n°3, p253-259,

Septembre.

[Bou1] B.O. Bouamama, G. Dauphin-Tanguy, « Modélisation par bond graph : Eléments de

base pour l’énergétique ». Techniques d’ingénieurs, BE 8 280.

[Bus01] Sergio Busquets-Monge, « Application of optimization techniques to the design of a

boost power factor converter ». Thèse de doctorat de l’Institue Polytechnique de Virginia,

Blaksburg, 2001, 173 p.

[But04] Cyrill Buttay, « Contribution à la conception par simulation en électronique de

puissance : application à l’onduleur basse tension », Thèse de l’Institut National des Sciences

Appliquées de Lyon, Lyon, 2004, 208 p.

Bibliographie

143

[Cha03] W.C. Chang, A. Sutcliffe, R. Neville, « A distance function-based multi-objective

evolutionary algorithm (DFBMOEA)».Genetic and Evolutionnary Computation Conference,

Chicago, Illinois, 2003.

[Cha1] Guy-Gérard Champiot, « Compatibilité électromagnétique : Normalisation,

réglementation et mesure ». Techniques d’ingénieurs, D1 310.

[Cla96] E. Clavel, « Vers un outil de conception du câblage : le logiciel InCa » Thèse de

doctorat de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1996.

[Cos1] François Costa, Gérard Rojat, « CEM en électronique de puissance : Sources de

perturbations, couplage, SEM ». Techniques d’ingénieurs, D3 290

[Cos2] François Costa, Gérard Rojat, « CEM en électronique de puissance : Réduction des

perturbations, simulation ». Techniques d’ingénieurs, D3 292.

[Cul94] J. C. Culioli, « Introduction à l’optimisation ». Paris : Ellipses, 1994.

[Dar00] Phoenix integration, « Optimisation software DARWIN » [en ligne]. Disponible sur :

<http://www.phoenix-int.com/products/Darwin.html> (consulté le 01.03.2004).

[Eng98] P. Engrand.P, X. Mouney. « Une methode originale d'optimisation multi-objectif =

An original multi-objective optimisation method ». Collection de notes internes de la DER-

EDF, Mathematiques, informatique, telecommunications, 98NJ00005, Clamart, 1998.

[Fer99] J.P. Ferrieux, F. Forest, « Alimentation à découpage, convertisseur à résonances »,

3ième édition, Paris : Dunod, 1999.

[Gan96] X. Gandibleux, N. Mezdaoui, A. Freville, «A tabou search procedure to solve multi-

objective combinatoirial optimization ». R. caballero, F. Ruiz, and R. Steuer, editor, second

International Conference on Multi-objective Programming and Goal programming

MOPGP’96, pages 291-300, Torremolinos, Spain, May 1996.

[Gar05] Hatem Garrab, B. Allard, H. Morel, K. Ammous, S. Ghedira, A. Amimi, K. Besbes et

J.M. Guichon, « On the extraction of PiN Diode Design Parameters for Validation of the

Integrated Power Converter Design ». IEEE Transaction on power Electronics, 2005, Vol. 20,

NO. 3, Mai.

[GDR04] Groupement De Recherche Intégration de Système de Puissance, GDR n° 2084.

Rencontre des 12 et 13 Mai 2004. Montpellier, Mai 2004.

[Gol89] D.E. Goldberg, «Genetic algorithms in search, optimisation, and machine learning ».

London : Addison-Wesley, 1989.

[Har78] F.J. Harris, « On the use of windows for harmonic analysis with discrete Fourier

transform». Proc. IEEE, 1978, Vol. 66, pp. 51-83.

http://www.phoenix-int.com/products/Darwin.html

http://cridoc.insa-lyon.fr:8080/loris/jsp/search/search_reference.jsp?sourceTable=UNIMARC&table=COLLECTION&key=3845

http://cridoc.insa-lyon.fr:8080/loris/jsp/search/search_reference.jsp?sourceTable=UNIMARC&table=COLLECTION&key=3845

Bibliographie

144

[Her01] E. Hetz, « Thermal and EMI Modelling and analysis of a boost PFC Circuit Designed

Using a genetic-based optimization algorithm ». Thèse de doctorat de l’Institue Polytechnique

de Virginia, Blacksburg, 2001, 141 p.

[IRF1] International Rectifier, Power MOSFET, application notes N° 936A.

[Jou02] Ludovic Jourdan, « Stratégie de pré-dimensionnement de convertisseurs statiques:

Application à une alimentation 42V-14V réversible pour l’automobile ». Thèse de doctorat de

l’Université Joseph Fourier, Grenoble 2002, 198 p.

[Kar90] D.C. Karnopp, D.L Margolis, R.C Rosenberg, « System dynamics : a unified

approach ». Second Edition, New York : Wiley-Interscience, 1990.

[Kur91] F. Kursawe, «A variant of evolution strategies for vector optimization ». H.P.

Schwefel and R. Manner, editors, parallel problem Solving from Nature, Vol 496 of Lecture

Notes in Computer Sciences, 1991, Vol. 496, pages 193-197.

[Lar02] Cherif Larouci, « Conception et optimisation de convertisseurs statiques pour

l’électronique de puissance Application aux structures à absorption sinusoïdale ». Thèse de

doctorat de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble 2002, 193 p.

[Lar03] C. Larouci, J. P. Didier, E. Grunn, M. Selvez, « Volume optimisation of static

converters under electromagnetic compatibility, loss and temperature constraints; Application

to a 42V-14V DC-DC converter for the automative domain ». 24th international PCIM

conference, Nuremberg, 2003.

[Lau98] Philippe Lautier, « Modélisation des convertisseurs à découpage pour la conception

et la commande : application à l’onduleur ». Thèse de l’Institut National des Sciences

Appliquées de Lyon, Lyon, 1998, 176 p.

[Let0] P. Leturcq, « Composants semi-conducteurs de puissance : caractères propres ».

Techniques d’ingénieurs, D3 100.

[Let1] P. Leturcq, « Composant semi-conducteurs de puissance bipolaire. Partie 1».


[let2] P. Leturcq, « Composant semi-conducteurs de puissance bipolaire. Partie 2».


[Let98] Ph. Leturcq, M.O. Berraies, J. P. Laur, P. Austin, « Full dynamic power bipolar

device models for circuit simulation ». IEEE Proceeding Power Electronics Specialists

Conference, PESC 89, Vol 2, pp. 1695-1703, Mai 1989.

[Mor03] H. Morel et B. Allard, « Modélisation et simulation numérique des systèmes

analogiques », Villeurbanne : INSA Lyon-CEGELY-Cours DEA, 2003, 75 p.

Bibliographie

145

[Mor94/1] Hervé Morel, «Modélisation et simulation des composants et des systèmes

électronique de puissance», Habilitation à diriger des recherches en sciences, l’Institut

National des Sciences Appliquées de Lyon, Lyon, 1994.

[Mor94/2] H. Morel, S. H. Gamal, J. P. Chante, « State variable modelling of the power pin

diode using an explicit approximation of semiconductor device equations: a novel approach ».

IEEE Transactions on power electronics, 1994, Vol 9, NO 1, Janvier.

[Mou0] Gérard Mouriès, « Condensateurs utilisés en électronique de puissance ». Techniques

d’ingénieurs, D3 280.

[Nav91] M. J. Nave, « Power Line Filter Design for Switched-Mode Power Supplies ». New

York : Van Nostrand Reinhold, 1991.

[Nor87] Comité International Spécial des Perturbations Radioélectriques. « Spécification pour

les appareils et les méthodes de mesure des perturbations radioélectriques », 1987.

[Par96] Cours d’économie politique, Lausanne : Rouge, 1896.

[Pay61] H. Paynter, « Analysis and design of engineering systems ».Cambridge: MIT press,

1961.

[Pop99] Radu-Mugur Popescu, « Vers de nouvelles méthodes de prédiction des performances

CEM dans les convertisseurs d’électronique de puissance ». Thèse de doctorat de l’Institut

National Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1999, 172 p.

[Pul06] Pulse. « A technitrol company, Power magnetics » [en ligne]. Disponible sur :

<http://www.pulseeng.com/products/datasheet.aspx?Datasheet_Id=309> (consulté le

10.04.2004).

[Reg03] Jérémie Regnier, « Conception de systèmes hétérogènes en génie électrique par

optimisation évolutionnaire multicritère ». Thèse de l’Institue National Polytechnique de

Toulouse, Toulouse, 2003, 310 p.

[Rev03] Bertrand Revol, « Modélisation et optimisation des performances CEM d’une

association variateur de vitesse-machine synchrone ». Thèse de l’Université Joseph Fourier,

Grenoble 2003, 275 p.

[Rev04] B. Revol, J. Roudet, P. Loizelet, « Modèle CEM d’un actionneur

Electromécanique ». Revue Internationale de Génie Electrique, 2004, Vol 7 n° 3-4.

[Rob1] X. Roboam, S. Astier et H. Foch, G. Fontès, G. Gandanegara, H. Piquet, R. Saisset, B.

Sareni, C. Turpin, « Graphes de liens causaux pour systèmes à énergie renouvelable,

partie 1 ». Techniques d’ingénieurs D 3 970.

http://www.pulseeng.com/products/datasheet.aspx?Datasheet_Id=309

Bibliographie

146

[Rou99] J. Roudet, J-L. Schanen, E. Clavel, « Importance des interconnexions en électronique

de puissance. Modélisation et caractérisation expérimentale ». Revue internationale de génie

électrique, tome 2, n°1, p.55-89, 1999.

[Rue96] A. E. Ruehli, « Partial element equivalent circuit (PEEC) method and its application

in the frequency and time domain ». IEEE international symphosium on EMC, pp. 128-133,

Santa Clara, 1996.

[Sar99] Bruno Sareni, « Méthode d’optimisation multimodales associées à la modélisation

numérique en électromagnétisme ». Thèse de doctorat de l’Ecole Centrale de Lyon, Ecully,

1999, 210 p.

[Sch85] D. Schaffer, « Multiple Objective Optimisation with Vector Evaluated Genetic

Algorithm ». The First International Conference on Genetic Algorithm, pages 93-100, 1985.

[Sch93] R. Scheich, « Caractérisation et prédétermination de perturbation conduites dans les

convertisseurs d’électronique de puissance ». Thèse de doctorat de l’Institut National

Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1993.

[Sch94] Jean-Luc Schanen, « Intégration de la compatibilité Electromagnétique dans la

conception de convertisseurs en électronique de puissance ». Thèse de doctorat de l’Institut

National Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1994, 147 p.

[Sch99] Jean Schutz, « Méthode de conception d’une alimentation à découpage ». Thèse de

doctorat de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1999, 188 p.

[Sri95] N. Srinivas and K. Deb, «Multiobjective optimization using non-dominated sorting in

genetic algorithms». Evolutionary Computation, 1995, Vol 2, no 8, pages 221-248.

[Str94] Antonio G. M. Strollo, « A new SPICE subcircuit model of power P-I-N diode ».

IEEE Transactions on power electronics, 1994, Vol 9, NO 6, Novembre.

[Tal99] Talbi E-G, « Méta-heuristiques pour l'optimisation combinatoire multi-objectif: état

de l'art ». Rapport Technique CNET, Université de Lille, Octobre 1999.

[Teu97] W. Teulings, « Prise en compte du câblage dans la conception et la simulation des

convertisseurs de puissance : Performance CEM ». Thèse de doctorat de l’Institut National

Polytechnique de Grenoble, Grenoble 1997, 184 p.

[Ver03] Christophe Vermaelen, « Contribution à la modélisation et la réduction des

perturbations conduites dans les systèmes d’entraînement à vitesse variable». Thèse de

l’Ecole Normale Supérieure de Cachan, Cachan 2003.

[Zen04] H. Zenker, A. Gerfer, B. Rall, « trilogie des inductances ». 3 éme édition

waldenburg: Swiridoff Verlag, 2004.

.

147

Résumé et mots clés

Le pré-dimensionnement permet de dégrossir le problème de conception des convertisseurs de

puissance. Il permet d’assurer la fonctionnalité du système ainsi que le respect des principales

spécifications définie dans le cahier des charges. Le pré-dimensionnement est très utile pour

l’optimisation des performances des systèmes. Dans ce cadre la précision n’est pas primordiale, par

contre des modèles analytiques simples sont nécessaires.

Parmi les spécifications les plus sévères on trouve les normes de Compatibilité ElectroMagnétiques.

Dans ce travail, nous avons proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations

électromagnétiques conduites générées par les convertisseurs de puissance. Cette méthode se base sur

l’analyse de causalité des graphes des liens et permet d’aboutir de manière systématique à des modèles

analytiques suffisamment précis. La méthode proposée a été validée expérimentalement. Cette

méthode est très utile pour le concepteur car en plus d’être automatisable, elle permet une étude de

sensibilité très simple grâce au modèle analytique auquel elle aboutie. Dans ce travail nous avons traité l’optimisation d’un hacheur abaisseur de tension suivant un seul

objectif (uni-objectif) et suivant plusieurs objectifs simultanément (multi-objectif). Les techniques

d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui sont très bons suivant un

seul critère (la surface ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) par contre moyennement satisfaisant

suivant les autres. Les techniques d’optimisation multi-objectifs quand à elles fournissent plusieurs

solutions, dont le choix de la meilleure solution est souvent difficile. Nous avons proposé une

démarche d’optimisation multi-objectif qui permet de fournir l’unique solution, la plus proche de

l’objectif idéal. L’objectif idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres

(uni-objectifs). Cet objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les différents

objectifs ne sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même solution. La démarche

de pré-dimensionnement que nous avons proposée permet de fournir au concepteur des solutions

optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution optimale suivant plusieurs objectifs

simultanément. Le choix de la solution adéquate devient alors très facile pour le concepteur.

Mots clés :

Convertisseurs de puissance, Conception, Optimisation, Compatibilité ElectroMagnétiques, Graphe

des liens.

Documents

Méthodologie de pré-dimensionnement de …theses.insa-lyon.fr/publication/2006ISAL0085/these.pdf · Introduction ... dimensionnement d’un dispositif analogique performant n’est