1 Mtrologie Jean-Marie De Conto Bibliographie: Christophe Bindi
- Dictionnaire pratique de la mtrologie AFNOR (dition 2006)- ISBN
2-12-460722-7 Aot 2009 2 La mtrologie Science de la mesure Connatre
une grandeur par un procd: le mesurage Le rsultat obtenu entach
dune erreur Lie au principe et au dispositif de mesure Lie aux
appareils, lenvironnement et loprateur Estimer et majorer (au
minimum) les erreurs: calculs dincertitude (A ou B) Modlisation du
procd de mesure ou estimation statistique ou connaissance a priori
Avoir une rfrence dfinie (talon) Type A: calcul dcart-type (par
exemple), votre charge Type B: donne de lappareil Organisation
requise dans lentreprise 3 Qui va utiliser la mtrologie? Contrle de
fabrication Ne pas trop livrer de pices non-conformes Ne pas
rejeter trop de pices conformes Estimer le risque en fonction du
rsultat de la mesure Savoir dfinir ses besoins en matriel de mesure
Laboratoire Mesures fines. Ex: mesurer une frquence de rsonance
avec 5 chiffres significatifs (prise en compte des drives en temps,
en temprature) Mesurer la constante de Planck avec 10 chiffres
Multiplier les mesures et rduire lincertitude par moyenne Besoin de
calculs parfois difficiles Estimer les incertitudes sur des
processus complexes et non modlisables (mthodes empiriques) Besoin
dchange entre laboratoires Besoin de normalisation 4 Parenthse:
units 5 Grandeurs et units 6 7 8 9 Principes fondamentaux 10 Petit
prambule On considre une grandeur alatoire (une variable alatoire)
X Elle est en gnral caractrise par sa moyenne et son cart-type o
Les valeurs se distribuent alatoirement autour de . Leur dispersion
autour de la valeur moyenne est mesure par o Exemple: loi uniforme
sur [0,1] =0.5 o=0.5/\3 XXX11 Un exemple:ampremtre On insre un
ampremtre 7 chiffres dans un circuit (gamme 0-1A). On relve
0.516923A. Comment estimer raisonnablement lerreur commise? Combien
vaut elle? Comment amliorer le rsultat? On fait 3 mesures
successives de 0.511294, 0.522917 et 0.505114 A. Que faire pour
amliorer le rsultat? Incertitude? On ne peut PAS rpondre dans le
premier cas car on ne connat ni lampremtre ni lenvironnement On na
aucune ide de lerreur systmatique (mauvais zro) Dans le second cas,
on peut estimer la fluctuation des valeurs, qui peut provenir de
lenvironnement: ce nest pas parce que lampremtre est parfait que
les valeurs ne fluctuent pas Mesure=appareil+environnement+oprateur
12 Moralit Effectuer une mesure de courant correcte demande La
connaissance parfaite de lappareil et de son environnement La
dtermination (comment?) de lerreur systmatique La connaissance ou
la dtermination de la fluctuation statistique des mesures
(dispersion, cart-type olu sur la valeur lue). olu pourra tre estim
exprimentalement. Cest une constante indpendante du nombre de
mesures!. Si possible, de faire la moyenne de plusieurs mesures
M1..MN et destimer la fluctuation statistique de cette moyenne NuNM
MMluMNo=+ +=1Il ny a pas derreur! 13 Un second exemple: mesure de
rsistance On lit I=0.5A avec une incertitude de 0.001A et V=3V avec
une incertitude de 0.02V Incertitude sur R? I V 222422222221V I RV
I RuIuIVuuVRuIRuIVR+ =|.|
\|cc+|.|
\|cc== Formule de propagation des incertitudes 14 Un dernier
exemple On talonne un manomtre suppos linaire Vlu=f(Pref) On fait
passer une droite V=aPref Pref est entach dune incertitude Vlu
galement On doit donc dduire (cf TDs) lincertitude sur a Quand on
utilise le manomtre, on relve une tension Vmes (entache dune
incertitude) et lon dduit Pmes par Pmes=Vlu/a On dduit lincertitude
sur Pmes grce la loi de propagation connaissant les incertitudes
sur a et V 05101520253035400 2 4 6 8 10 12 14BBAy = m2 * M0Error
Value0,15137 2,6301 m2 NA 26,211 ChisqNA 0,95177 RV=f(P) 2224221V a
PuauaVu + ==2xxya15 Processus de mesure La mesure ne se borne pas
la lecture dun appareil Les erreurs proviennent Des performances de
lappareil (moyens) Du mode opratoire (mthode) Du personnel
(main-duvre) De lenvironnement (milieu) Du mesurande (matire)
Analyse ncessaire par une personne comptente 16 Votre but: une
mesure prcise? Ex: mesurer x (valeur vraie=4) Faible dispersion:
FIDELITEBon centrage: JUSTESSE 17 La bonne mesure doit tre juste et
fidle Le terme prcision nexiste pas en mtrologie 18 Que faire?
Justesse (ex: tarage dune balance): On lobtient par talonnage ou
vrification sur une rfrence (dtermination du facteur de
correction). Attention: un coefficient de correction a lui-mme une
incertitude, que lon devra intgrer au bilan final Fidlit Cas dune
seule mesure: il faut connatre la dispersion (lcart-type) sur une
mesure. Il sagit alors en gnral dune incertitude de type B. Cas de
plusieurs mesures: On dtermine la dispersion en calculant
lcart-type oexp exprimental su N mesures. On prend la moyenne des N
valeurs comme rsultat final Lincertitude sur la moyenne est oexp
/\N 19 Mesures et incertitudes sur une grandeur G, pour un
appareillage suppos juste G fluctue alatoirement autour de sa
moyenne m avec un cart-type (une dispersion) oG On estime m
(inconnue) grce la moyenne exprimentale et oG grce lcart-type
exprimental oE La moyenne exprimentale, considre comme mesure
finale, a aussi une dispersion statistique. Lincertitude sur la
moyenne est donc lcart-type denot (ici) u NuNG G G GmNG GGEMGNENoo
o== + + ==+ +=22 21211) ( ) ( Pourquoi N-1 et pas N? GG20 Autrement
dit: ne pas confondre Pour rduire lincertitude on fait N mesures
Lcart-type exprimental estime la dispersion des mesures. Sa valeur
se stabilise vers la dispersion vraie (non-nulle) de G quand N
grandit Ce nest donc pas une incertitude Lincertitude sur la
moyenne est donne par Elle tend vers zro avec N 1) (2= NG
GiEoNuEo=oE G21 Niveau de confiance Lincertitude est,
mathmatiquement, lcart-type o (ou u) de la loi statistique de
lerreur commise. La connaissance de la loi de probabilit associe
donne le niveau de confiance On ne peut pas chiffrer un risque si
on ne connat pas la loi de probabilit de lerreur!! Lincertitude ne
donne PAS la loi. Cas uniforme, on a 57.7% dans o et 100% dans \3o
Cas gaussien, on a 68% dans o et 99.7% dans 3o Lassertion on a
99.7% dans 3o est une stupidit. Il faut connatre la loi de
probabilit 22 Le cas particulier de la moyenne des mesures Thorme
Centrale Limite: Si lon ralise N mesures dune grandeur G,
indpendantes et de mme loi, la moyenne de ces N mesures converge
vers une Gaussiennedont lesprance (la moyenne) est celle de G et la
variance est celle de X divise par N. Autrement dit, quand on
travaille sur la moyenne des mesures, on sait que celle-ci converge
vers une loi gaussienne (N>30) Pour N plus petit, pour G
normale, la moyenne suit une loi de Student 23 Niveau de confiance
quand on sait que la loi est gaussienne (ou N>30) Intervalle de
confiance n%: +-koE k=facteur de confiance ou dlargissement 24 Si G
semble suivre une loi normale, la moyenne des mesures suit une loi
de Student. Plus prcisment: G est une variable alatoire gaussienne
Quelle est la loi de distribution de la loi normalise X mesure
lerreur commise sur lestimation de m Pour N=2, cest une
distribution de Lorentz Pour N grand, cest une gaussienne Pour N
petit, cest la loi de Student Nm GXEmm22ooo==25 Degrs de libert: Nb
chantillons-1 Loi de Student 26 Loi de Student Estimer lincertitude
quand on ne connat pas les lois statistiques est difficile. On fait
donc des hypothses et/ou des majorations. Rgle de base pour toute
mesure: comprendre ce que lon mesure Nota: ici x correspond G 27
Autres lois Garantir un niveau de confiance nest possible que si
lon connat les lois de probabilit Gauss: pas de pb Gauss avec peu
dchantillons: Student (facteur correctif) Sinon: estimer les lois
et les rapprocher de lois connues TD: que valent les coefficients
de Student pour une loi uniforme? 28 exemples Figures p 170 etc 29
Ex: Approximation grossire dune gaussienne Ainsi que (un caf qui
trouve)?????? 30 Incertitudes et tolrances Incertitude: garantit
que la valeur est dans un intervalle avec un niveau de confiance
donn Tolrance = zone de valeurs acceptables Rapport
Incertitude/Tolrance=U/T Entre (valeur maximale) et 1/10. 31
Exemple: Fabriquer des barres de 400mm+-0.9mm Un paramtre U/T petit
permet La rduction du nombre de pices dclares non-conformes Une
amlioration du processus de fabrication Figure 3.4 32 Dcision lors
dun contrle 33 Incertitudes: La ralit du terrain Il est
indispensable de sadapter son environnement A lIUT: utilisation
stricte des rgles (but pdagogique) Au laboratoire (notamment
dtalonnage ou dessais): idem En entreprise:Parfois difficile de
bien estimer toutes les incertitudes, problmes (parfois), de
moyens, de temps ou de comptences Estimations plus sommaires fautes
de moyens Estimations plus sommaires pour des aspects scurit
(majoration+facteur de scurit) Ncessit de comprendre finement ce
que lon fait afin de simplifier efficacement sans pour autant
commettre une erreur majeure valeur ajoute Exemple: mesure de
charge de llectron,calcul de vide, dpaisseur de bton etc. On fait
des simplifications quand on a compris le cas gnral!!! 34
Composition des incertitudes (loi dite de propagation) Grandeurs
non-corrles Grandeurs corrles Cas dune distribution suppose
non-normale: Loi de Student avec un nombre de degrs de libert
efficace (formule de Welch-Satterhwaite, annexe G de NF ENV 13005)
2122) (iniiuxyy u=||.|
\|cc=ij j i ijnini jijj iiniir u u kkxyxyuxyy u=cccc+||.|
\|cc= = + = = 1 121222 ) (35 La formule de propagation revisite
Thorme: lapplication brutale de la formule conduit des stupidits 36
La vraie rponse La cl: les fluctuations de la grandeur de sortie
sont dues celles des grandeurs dentre, de moyenne suppose nulle
(justesse) et dcart-type donn La loi de distribution de lerreur
nest pas forcment connue 22222) , (y x syfxfyyfxxfsdyyfdxxfdsy x f
so o o||.|
\|cc+|.|
\|cc=Acc+ Acc= Acc+cc==37 Une application intelligente sur la
rgression linaire y=ax (1) Formule de base et incertitude (2) Ou
encore ( )22222222xyauxyxuuxxya + = =( ) + = + = + =i i i i ii i i
i i idx ax y dy x da xdx y dy x dx x a da xxy x a22222( ) ( ) ( )(
) + = + + = + = 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 222 2 2224 4 2y u u x u xx a
xy a y u u x u ax y u x u xx y ax y x y aIci, (1) reste le plus
simple, mais a ne dure pas 38 Rgression parabolique pour curiositcf
document Rgressions et incertitudes 39 Quelques exemples simples
Incertitude de lecture dun voltmtre aiguille On suppose lerreur
uniforme entre deux graduations On apprcie la demi-graduation a Loi
uniforme sur [-a,a] a=demi-graduation 3 / a = o3 /) (0 ) (1 ) (] ,
[ sur2 / 1 ) (2 2___2 2___2 2a x xx dx x n xx dx x xndx x na a a x
nxaaaaaa= === == =}}}o40 Et si je faisais plusieurs mesures ? La
dispersion, mesure par lcart-type exprimental, inclut les deux
erreurs. Donc je nai plus de soucis lecture mesurande lue e x x + +
=41 Fabrication de pices de 500mm0.19mm Pied coulisse gradu au
dixime (pas malin!) UNE Mesure: 500.15mm a=0.05mmu=0.029mm10% de
risques= 500 500.15 500.18 u u\3 500.19 500.2 500.1 42 Autre
exemple (idiot?) Je mesure une longueur de 600 mm avec une rglede
500 mm gradue au mm. Incertitude? 4 . 0 3 / 2 5 . 035 . 035 . 029 .
02 2222122 12 1= =|.|
\|+|.|
\|= + == = + =xx x xx xx x xoo o oo o43 Puisque lexemple est
idiot, quel est le niveau de confiance si lerreur sur chaque mesure
est uniforme? La densit de probabilit de la somme de deux VA
continues est le produit de convolution de leurs densits de
probabilits * = -a/2 a/2 -a/2a/2 -aa 6 / a = oJai gagn un caf? 44
Mesure de la moyenne dun d Moyenne vraie: 3.5-Ecart-type vrai: 1.7
Essais: 3,3,5,4,4,2,4,5,4,6,3,5,4,1,5,1,5,2,4,5 Cinq premires
valeurs Moyenne exp: mE= 3.8, oE=0.836, o=0.37 (incertitude type)
mE1.14o [3.37 4.22] avec 68% de NC mE2.13o [34.6] avec 90% de NC
Dix premires Moyenne exp: mE= 4, oE=1.11, o=0.35 (incertitude type)
mE1.06o [3.65 4.35] avec 68% de NC mE1.83o [3.354.64] avec 90% de
NC Vingt valeurs Moyenne exp: mE= 3.75, oE=1.41, o=0.31
(incertitude type) mE1.03o [3.44 4.06] avec 68% de NC mE1.73o
[3.214.28] avec 90% de NC Les dix dernires: mE= 3.5, oE=1.65,
o=0.52 (idal!) 45 Prsentation des rsultats Mesurande, incertitude
type ou incertitude et coefficient largissement) M=100.02147g et
u=0.36 mg M=100.02147(36)g M=100.02147(0.00036)g
M=(100.021470.00036)g risque de confusion M= (100.021470.00072)g et
k=2 Faire les calculs avec la prcision maximale (attention au cumul
darrondis!) 46 Chiffres Ex: on trouve M=12.783997342 g et
u=0.0673176 g Pour M on garde les chiffres exacts+les deux entachs
derreur avec les rgles darrondi. Pour u on garde le 1er chiffre non
nul et le suivant major Ici: M=12.784(0.068)g 47 Estimation concrte
de lincertitude: deux mthodes Norme NF ENV 13005 (guide pour
lexpression de lincertitude de mesure) ou GUM Norme NF ISO 5725-1 6
(Exactitude justesse et fidlit- des rsultats et mthodes de mesure)
ou 5725 48 GUM Notion issue de la mtrologie Modlisation du
processus de mesure Estimation de lincertitude de mesure (grandeur
de sortie) partir des incertitudes des grandeurs dentre Besoin de
connatre toutes les sources derreurs possibles (grandeurs
dinfluence, talonnage, erreurs de lecture) Difficile cependant
mettre en uvre dans le cas dessais. Il faut pouvoir modliser
mathmatiquement le processus, ce qui peut tre difficile ou
impossible 49 5725 Issu du monde des essais Quantification de la
qualit dune mthode dessai par des comparaisons exprimentales
interlaboratoires Mthodes et dmarche : fascicule de documentation
FD X 07-021 (Normes fondamentales. Mtrologie et applications de la
statistique. Aide la dmarche pour lestimation et lutilisation de
lincertitude des mesures et des rsultats dessais) 50
Caractristiques 51 GUM 52 A titre dillustration: extrait de la
norme ENV13005 53 Estimation des incertitudes de type A Estimation
exprimentales des incertitudes/erreurs Rptition des mesures et
rduction de lincertitude Pour k sries de mesures, on a la variance
cumule OU talonnage dbouchant sur une loi mathmatique
(ventuellement empirique) obtenue par moindres carrs ( ) ( )( ) ( )
1 11 112 21 12 + + + + =kk kN NN N o oo54 Estimation des
incertitudes de type B Quand on ne peut pas (ou ne veut pas) valuer
les incertitudes de manire exprimentale Rsultat de mesures
antrieures Spcifications fabricant Exprience de ses instruments
Donnes issues de documents dont les certificats dtalonnage Domaine:
Incertitudes dues aux grandeurs dinfluence Rsolution de lappareil
talonnage Besoin: Connaissance de ltendue des grandeurs utilises
Connaissance des lois de distribution statistiques 55 Exemples de
lois et de leur domaine dapplication 56 Mthodologie Rduction des
erreurs alatoires et systmatiques Dtermination du modle mathmatique
de lerreur. Exemple de lampremtre Ex: Cv est une correction de
calibre du voltmtre, avec son incertitude (donns par le certificat
dtalonnage) C0 est la diffrence entre valeur lue et valeur estime:
correction obtenue par plusieurs mesures et moyenne ampremtre Re Ie
I R U I lu eR eV eeC C C I I CC RC UI+ = =++=0 0Introduction de
lampremtre dans le systme (rsolution, impdance etc) talonnage
mesure Ue 57 Les 5M 58 Incertitude type A Calcul des valeurs
moyennes sur I et V, avec les incertitudes exprimentales (coef de
Student 1.05 pour 68.27% de niveau de confiance) 59 Corrections 60
Incertitude de type B sur les corrections Concerne Voltmtre, Shunt
et Ampremtre Voltmtre(exemple): Certificat dtalonnage donne une
incertitude de 5 10-5Vmes +0.7V pour k=2 u(Cvtal)=2.9 V Rsolution 1
V rectangulaire 1 V /12=0.6 V = u(Cvdrive) etc 61 ( )2 2 2 22222
220) (I RVC Ia C RC VcIRIR eV eIu u u uRVRu uC uI CR CC IC RC UC C
C+ + + ++=
