INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013

MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz etondes de chocSommaire1 Ecoulements compressibles et dynamique des gaz 2

1.1 Ecoulements à densité variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Ecoulements compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable 32.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.4 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.5 Comportement de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Atteinte du régime supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Solution préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Condition d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Calcul des valeurs d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Détermination des conditions critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Ondes de choc 63.1 Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Onde de choc droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Conditions de part et d’autre du choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Relation d’Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Onde de choc oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.1 Conditions de part et d’autre du choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2 Relation d’Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Notions d’acoustique 84.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Théorie linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Equation de Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

1 Ecoulements compressibles et dynamique des gaz

1.1 Ecoulements à densité variableLa variation de densité du gaz est uniquement contrôlé par la variation de température.

On a donc pour P = P0 +∆P,∆PP0

<< 1.

La loi d’état donne ρ = ρ0T0

T(P≈ cte).

1.2 Ecoulements compressiblesIl y a un fort couplage entre la pression, la densité et le champ de vitesse.La loi d’état reste P = ρrT .La distinction entre les deux régimes d’écoulement des gaz se fait par les phénomènes acoustiques.

1.3 Nombre de MachUn déplacement dans un gaz génère une onde de pression qui va précéder celui-ci pour informer le milieu aux alentours. Ces ondesde pression sont des ondes acoustiques, du son.

Célérité du son : c =

√√√√(∂P∂ρ

)S

=√

γrT

Nombre de Mach : M =uc=

Energie cinétiqueEnergie interne

12

Le mur du son est à M = 1, le bruit qui retentit est lié au choc contre l’air : l’objet va plus vite que l’information signalant sonpassage.

Le chapitre suivant montre quedρ

ρ=−M2 du

u2 .

Classification des écoulements :

M << 1 (M < 0,3) densité variableM < 1 subsoniqueM = 1 soniqueM ≈ 1 transsoniqueM > 1 supersoniqueM > 5 hypersonique

1.4 Grandeurs thermodynamiques

Rapport des chaleurs spécifiques : γ =CP

CVet CP−CV = r

Energie interne : Ei = E0i +

T∫T0

CV dT

Enthalpie : h = h0 +T∫

T0

CPdT

Entropie : s = s0 +T∫

T0

CPdTT− r ln

(PP0

)

2

2 Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable

2.1 Considérations générales2.1.1 Hypothèses

Ecoulement confiné

Ecoulement stationnaire

Ecoulement sans dégagement de chaleur : pas de réaction exothermique ou endothermique

Mélange à proportions constantes : r constante

Ecoulement isentropique : pas de frottement importantCette condition introduit l’Equation de Laplace Pρ−γ = cte

De même, elle pose pour l’enthalpie dh =CPdT =1ρ

dP

Viscosité négligée : L’écoulement est unidimensionnel

Gravité négligée

Les variations de section vont modifier toutes les grandeurs aérodynamique et thermodynamiques qui caractérisent l’écoulement.On va donc chercher à obtenir des relations entre ces grandeurs et la section.

2.1.2 Conservation de la masse

Première forme intégrale

∫V

(dρ

dt+∇ ·(ρ−→u )dV

)= 0

Seconde forme intégrale (Green-Ostrogradsky)∫V

dρ

dtdV −

∫∂V

dQ̇m = 0 avec dQ̇m =−ρ−→u ·−→n dS

Pour une conduite non non poreuse, on a∣∣Q̇m

∣∣= ρ(x)u(x)S(x) = cte =⇒ par différenciation,dρ

ρ+

duu+

dSS

= 0

2.1.3 Conservation de la quantité de mouvement

Théorème d’Euler : ∑k

−→Fk =−

∫∂V

−→u dQ̇m

Equation d’Euler : ρudu =−dP pour un fluide stationnaire

En utilisant la formule d’une onde de pression et le nombre de Mach, on a M2 duu=−

dρ

ρ

2.1.4 Conservation de l’énergie

En considérant l’écoulement isentropique, la conservation de l’énergie révèle l’équation de Saint-Venant (équivalente compressible

de l’équation de Bernoulli) :12

u2 +Φ+γ

γ−1Pρ= cte

2.1.5 Comportement de l’écoulement

La précédente relation donneduu=

1M2−1

dSS

, qui epxrime ceci :

M < 1 M > 1

Divergent :dSS

> 0duu< 0

duu> 0

Convergent :dSS

< 0duu> 0

duu< 0

3

2.2 Atteinte du régime supersonique2.2.1 Solution préliminaire

Pour accélérer un écoulement confiné jusqu’à une vitesse supérieure àcelle du son, il faut utiliser une tuyère convergente divergente. M < 1 M > 1M = 1

col sonique

La loi d’état après différenciation donnantdPP

=dρ

ρ+

dTT

, on peut établir les relations suivantes :

dρ

ρ=−M2 du

u=

1γ

dPP

=1

γ−1dTT

=M2

1−M2

dSS

2.2.2 Condition d’arrêt

Définition : La condition d’arrêt caractérise l’écoulement quand il est ramené au repos. Elle correspond aux propriétés du fluidequand le vitesse est nulle. L’écoulement étant isentropique, c’est la référence qui serait obtenue dans un réservoir sous pressionet contenant le fluide qui alimente la conduite. La condition d’arrêt est aussi appelée condition totale, condition de réservoir oucondition isentropique.

Grandeurs d’arrêtVitesse d’arrêt : u = 0 Pression d’arrêt : P = PiTempérature d’arrêt : T = TiDensité d’arrêt : ρ = ρiEnthalpie d’arrêt : h = hi

ligne isentropiqueEcoulement

aval P, T , ρ , hRéservoir Pi,Ti, ρi, hi, u

2.2.3 Calcul des valeurs d’arrêt

Les conditions d’arrêt sont calculées ainsi :

Température d’arrêt

Conservation de l’énergie totale : hi = h(x)+12

u2(x)

Deuxième Loi de Joule : CpTi =CpT (x)+12

u2(x)

Expression en ratio :Ti

T (x)= 1+

u2(x)2CpT (x)

Expression finale :Ti

T (x)= 1+

γ−12

(u(x)c(x)

)2

=⇒Ti

T= 1+

γ−12

M2 avec Cp =γr

γ−1et c2 = γrT

Pression et densité d’arrêt

Par l’équation de Laplace, on a :Pi

P=

(1+

γ−12

M2

) γ

γ−1et

ρi

ρ=

(1+

γ−12

M2

) 1γ−1

Ces relations sont tabulées en fonction du nombre de Mach.Par exemple, à θ = 298,15K :

Gaz Masse molaire M Rapport des chaleurs spécifiques γ Constante massique du gaz parfait r Chaleur spécifique Cp

Air 28,96kg.kmol−1 1,400 287J.kg−1.K−1 1004J.kg−1.K−1

4

2.2.4 Détermination des conditions critiques

La section au col sonique est la section critique S∗.

Le débit massique dans la conduite est donné par Q̇m = ρSu =

(PrT

)SM (γrT )1/2 = S

(Pi√γrTi

)γM

(1+

γ−12

M2(x)

)− γ +12(γ−1)

Pour le Mach à l’ordre de l’unité, on a Q̇∗m = ψ∗S∗(

Pi

ci

)avec ψ∗ = γ

(2

γ +1

) γ +12(γ−1)

Le régime sonique n’est obtensible que dans le col sonique, c’est donc le débit maximal dans la conduite.

On a finalementSS∗

=1M

(2

γ +1

(1+

γ−12

M2

)) γ +12(γ−1)

M

SS∗

1

1

5

3 Ondes de choc

3.1 ObservationOn observe dans les fluides des discontinuités qui se développent sur de très faibles épaisseurs. Ces discontinuités sont le lieu devariations brutales de la densité, de la pression et de la vitesse du fluide. Elles s’organisent sur des distances de l’ordre de 10 microns,ce qui est de l’ordre du libre parcours moyen des molécules.

En supersonique, l’augmentation de la vitesse va s’accompagner d’une diminution de la pression. En sortie de tuyère, une brutalere-compression du fluide s’organise pour raccorder les deux conditions (écoulements dans la conduite et extérieur). : c’est l’onde dechoc. On peut aussi chercher à créer une tuyère accordée, c’està-dire que l’ensemble est défini pour avoir la même pression ambianteque celle de sortie de tuyère.

Plusieurs ondes de choc sont généralement nécessaires pour le raccordement :

P = P0

P = P0Onde de glissement

Onde de détente

M = 1P<<P0

M > 1P < P0 Disque de Mach

Onde de chocdroite

Onde de chocoblique

3.2 Onde de choc droite3.2.1 Conditions de part et d’autre du choc

AmontP1, T1, ρ1, M1

Ecoulement isentropique

saut d’entropie

Choc

AvalP2, T2, ρ2, M2Ecoulement isentropique

Un choc droit est une recompression brutale, elle vérifie : P1 < P2 ρ1 < ρ2 T1 < T2 M1 > M2

3.2.2 Relation d’Hugoniot

Conservation de la masse : Sur une surface S de choc fixée, on a∣∣Q̇m

∣∣= ρ1u1S = ρ2u2S

On aρ1

ρ2=

u2

u1=

M2c2

M1c1ou

P2

P1=

M1

M2

(T2

T1

)12

par la loi d’état.

Conservation de la quantité de mouvement :∣∣Q̇m

∣∣(u2−u1) = (P1−P2)S

On a en introduisant le nombre de Mach, la relationP2

P1=

1+ γM21

1+ γM22

Conservation de l’énergie : h1 +u2

1

2= h2 +

u22

2On passe ici par la conservation de l’énergie totale, car le choc casse la continuité isentropique, on ne peut donc pas utiliserSaint-Venant. Seule l’énergie totale est conservée.

6

En introduisant les chaleurs spécifiques, on aT2

T1=

1+γ−1

2M2

2

1+γ−1

2M2

1

Grandeurs totales : On peut considérer que par la conservation de l’enthalpie totale uniquement, seule la température totale estconservée, à l’inverse de la pression et de la densité totales.

Les relations précédentes mènent à M22 =

M21 +

2γ−1

2γ

γ−1M2

1 −1

La relation est bijective, on peut aussi remarquer que limM2

1→+∞

M22 =

γ−12γ

(la relation ne se vaut plus en hypersonique, les gaz

devenant ionisés)

On obtient les trois relations suivantes :

P2

P1=

2γ

γ +1M2

1 −γ−1γ +1

ρ2

ρ1=

(γ +1)M21

2+(γ−1)M21

M21 =

(γ +1)P2 +(γ−1)P1

2γP1

3.3 Onde de choc oblique3.3.1 Conditions de part et d’autre du choc

Les ondes de choc obliques apparaissent au niveau des rampes de compression (un changement d’orientation de la paroi).

Ecoulement incident−→u1

−→τ

−→n

α

β

δ

−→u2

Ecoulement réfléchi

Dans le repère associé au choc :

−→u1 = u1n−→n +u1τ

−→τ

= u1 sin(α)−→n +u1 cos(α)−→τ

−→u2 = u2n−→n +u2τ

−→τ

= u2 sin(β )−→n +u2 cos(β )−→τ

3.3.2 Relation d’Hugoniot

Conservation de la masse : ρ1u1 = ρ2u2

Conservation de la quantité de mouvement : on projette suivant −→n et −→τsuivant −→n : P1 +ρ1u2

1n = P2 +ρ2u22n

suivant −→τ : ρ1u1τ u1n = ρ1u2τ u2n

Conservation de l’énergie : h1 +u2

1n +u21τ

2= h2 +

u22n +u2

2τ

2

Dans la direction normale au choc : u1n > u2nDans la direction tangentielle : u1τ = u2τ

Il y a donc déviation de l’écoulement vers l’onde de choc

Dans la direction normale au choc, les relations obtenues pour les chocs droits sont toujours valables, il suffit de remplacer M1

pas M1n =u1n

c1= M1 sin(α)

Ainsi :

P2

P1=

2γ

γ +1M2

1 sin2(α)−γ−1γ +1

ρ2

ρ1=

(γ +1)M21 sin2(α)

2+(γ−1)M21 sin2(α)

T2

T1=

(2γ

γ +1M2

1 sin2(α)−γ−1γ +1

)(γ−1γ +1

+2

(γ +1)M21 sin2(α)

)

7

4 Notions d’acoustique

4.1 IntroductionIl existe trois méthodes pour la résolution des problèmes d’acoustique en mécanique des fluides :

• La Théorie linéaire, avec des équations spécialisées pour l’acoustique basées sur la propagation des ondes de pression

• L’Equation de Lighthill, qui permet de simuler l’acoustique tridimensionnelle sans résoudre le couplage direct avec le champde vitesses.

• l’Aéroacoustique qui recherche la solution complète à partir des équations de la mécanique des fluides avec l’acoustique.

4.2 Théorie linéaire

Hypothèse adiabatique :dPdρ

=1

ρXavec X la compressibilité adiabatique.

Démarche :Equations-bilans :

∂ρ

∂ t+

∂ρu∂x

= 0

∂u∂ t

+u∂u∂x

=−1ρ

∂P∂x

dPdρ

=1

ρX

Linéarisation :

P = P0 +ψP1(x, t)

ρ = ρ0 +ψρ1(x, t)

u = u1(x, t)

ψ � 1

Equation d’onde : Après réécriture des équations-bilans, on trouve l’équation d’onde suivante :

∂ 2P1

∂ t2 − c2 ∂ 2P1

∂x2 = 0 avec c =

√1

ρX

Helholtz : Soit P1 = Peiωt et k =ω

c=

2π

λle nombre d’onde. On a

∂ 2P∂x2 + k2P = 0.

La résolution de cette équation pour une géométrie donnée permet de déterminer les modes acoustiques auxquels le systèmeest susceptible de répondre.

4.3 Equation de LighthillIl s’agit d’abord de représenter l’acoustique à travers une équation pour la densité ou la pression.En cherchant à retrouver une expression similaire à partir des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvementgrâce à quelques multiplication, dérivation et divergence, on obtient :

∂ 2ρ

∂ t2 − c20∇

2ρ =

∂ 2Ti j

∂xi∂x javec Ti j = ρuiu j−σi j +

(P− c2

0ρ)

δi j

Cette équation permet aux logiciels de mécanique des fluides spécialisés dans les écoulements incompressibles de simuler la propa-gation d’une onde acoustique, sans considérer explicitement la compressibilité du gaz.

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