MIAS - meefi.pedagogie.ec-nantes.fr · Cours 2 : Calcul des treillis par la MEF durée Activités étudiants enseignant 20 mn Lecture pages 27-28 & 31-32 Bilan de la lecture 40 mn

MIAS Modèles de l'Ingénieur

Appliqués aux Structures

Polycopié pour les options

MSM & MATEPRO

Responsable du cours : Hervé Oudin

Questionnement : Comment, à partir des équations de la MMC, calculer de façon pratique les structures constituées de barres et de poutres.

Objectifs du cours : Passer des équations de la MMC aux modèles de l'ingénieur. Savoir résoudre ces équations dans les cas simples. Comprendre et savoir utiliser les modèles numériques (Éléments Finis) permettant de traiter des problèmes plus complexes.

Les notions abordées : Modèle barre application aux treillis Modèle poutre application aux portiques Notion de modélisation Méthodes et outils d'analyse des résultats d'un modèle éléments finis

Déroulement Répartition : sur la base de 8 demi-journées de 4h (découpées en deux modules de 2h) 8h cours - 14h de TD - 10h de TP (utilisation de MEFtave en TP)

S1 Cours1 : modèle barre - méthodes analytiques TD1 : treillis RDM

S2 TD2 : treillis RDM Cours2 : EF barres & application aux treillis 2D

S3 TD3 : treillis MEF TP1 initiation MEFtave (Matlab) (numérique)

S4 TP2 : applications aux treillis avec MATLAB (numérique) Quiz-TP (20mn)

S5 Cours3 : modèle poutre de Bernoulli TD4 : poutre RDM

S6 TD5 : poutre RDM Cours4 : EF poutre & application aux portiques

S7 TD6 : portiques RDM TD7 : portiques MEF

S8 TP3 : Portiques avec MATLAB (numérique) Quiz-DS (30mn)

Scénario pédagogique des cours

Chaque cours se déroulera sous forme de lectures sur les passages les plus importants du polycopié de cours, lors de chaque lecture vous devez pouvoir dire et présenter :

Ce qu'il faut en retenir (ce qui vous semble essentiel) Ce qui vous semble difficile (questions que vous souhaitez aborder) Ce qui bloque (passage que vous ne comprenez pas)

Ces lectures seront complétées par des exercices de cours illustrant l'utilisation pratique du cours pour résoudre des problèmes simples. Le temps accordé à ces exemples dépendra bien évidemment de l'efficacité de vos lectures, et de votre participation à la co-construction des connaissances lors des phases de bilan de lecture. Il est donc fortement conseillé d'avoir diagonalisé "lecture rapide et attentive aux questions pouvant être posées" le cours avant de venir en amphi.

Cours 1 : le modèle barre, calcul des treillis par la RDM

durée Activités étudiants enseignant

15 mn Lecture pages 7 à 13 du poly Bilan de la lecture

25 mn Application à un exercice de cours Retour sur les questions et illustration de l'utilisation du cours.

30 mn Lecture pages 17 à 25 du poly Bilan de la lecture


Cours 2 : Calcul des treillis par la MEF


20 mn Lecture pages 27-28 & 31-32 Bilan de la lecture


60 mn Application à la colonne Illustration de l'utilisation du cours.

Cours 3 : le modèle poutre, calcul des portiques par la RDM


15 mn Lecture pages 53 à 56 Bilan de la lecture

25 mn Application à un exercice de cours Illustration de l'utilisation du cours.


25 mn Application à un exercice de cours Illustration de l'utilisation du cours.


20 mn Exemple au tableau

Cours 4 : Calcul des portiques par la MEF



40 mn Exercice de cours N° 15 Illustration de l'utilisation du cours.

50 mn Application à un portique Illustration de l'utilisation du cours.

Pour les TD et TP : Chaque thème est abordé en TD de façon analytique pour montrer ce qu'il est possible de traiter à la main et établir des solutions de référence. Les TP sont basés sur des exercices simples à réaliser avec MATLAB. Ces TP sont l'occasion d'utiliser des outils numériques pour voir comment les calculs sont abordés pour des structures plus complexes.

A la fin de chaque TD une feuille de TA "Travail en Autonomie", comportant des questions de cours et un exercice, sera distribuée. L'objectif est pédagogique, ces TA sont un entrainement pour le DS et vous permettront de résoudre vos difficultés au fur et à mesure. Rendu au TD suivant, vous aurez une évaluation pédagogique de votre travail.

Supports du cours :

Sur le site : https://meefi.pedagogie.ec-nantes.fr/MEF/MEF.htm Vous trouverez de nombreux supports qui vous permettrons de travailler en autonomie, et d'approfondir le travail effectué en cours, TD et TP.

Évaluation : EVI : Le quiz-DS de 30 minutes (six questions de cours et deux exercices basiques).

EVC : Le quiz-TP de 20 minutes réalisé par binôme

Ce cours est considéré comme un pré requis indispensable pour nos options Lien direct avec les cours MEF MAS MOSIM FARUP MEMEF MODYN MSCOM :

Table des matières

MODÈLE BARRE............................................................................................................................................................................. 7

Problème de Saint Venant .............................................................................................................................7 Modèle barre .................................................................................................................................................8 Bilan : hypothèses du modèle barre 1D.........................................................................................................9 Votre parcours pédagogique .........................................................................................................................9

MISE EN ÉQUATIONS DES BARRES......................................................................................................................................... 11

Application du PFD.......................................................................................................................................11 Application du PTV.......................................................................................................................................12 Équivalence des principes............................................................................................................................12 Bilan & exercice............................................................................................................................................13 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................14

CALCULS STATIQUE DES TREILLIS PAR LA RDM............................................................................................................... 17

Théorèmes énergétiques de la RDM ...........................................................................................................17 Hyperstaticité...............................................................................................................................................18 Calcul pratique d'un treillis ..........................................................................................................................20 Exercices.......................................................................................................................................................25 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................26

MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES TREILLIS .............................................................................................. 27

L’élément fini barre......................................................................................................................................27 Modèle éléments finis d'un treillis ..............................................................................................................31 Exercices.......................................................................................................................................................35 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................38

MODÈLE POUTRE ........................................................................................................................................................................ 39

Problème de Saint Venant ...........................................................................................................................39 Problème de Saint Venant en flexion ..........................................................................................................40 Bilan : Modèle de Bernoulli des poutres longues en flexion .......................................................................45 Problème de Saint Venant en torsion..........................................................................................................46 Bilan : Modèle des poutres en torsion.........................................................................................................48 Caractéristiques des sections.......................................................................................................................49

MISE EN ÉQUATIONS DES POUTRES EN FLEXION PLANE............................................................................................... 53

Application du PFD.......................................................................................................................................53 Application du PTV.......................................................................................................................................54 Équivalence des principes............................................................................................................................54 Bilan & exercice............................................................................................................................................55 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................57

CALCUL STATIQUE DES PORTIQUES PAR LA RDM............................................................................................................. 59

Rappel : théorèmes énergétiques de la RDM..............................................................................................59 Hyperstaticité...............................................................................................................................................59 Calcul du torseur des efforts de cohésion ...................................................................................................60 Statique des portiques isostatiques.............................................................................................................63 Statique des portiques hyperstatiques........................................................................................................65 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................67

MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES PORTIQUES 2D................................................................................... 69

L’élément fini de flexion plane ....................................................................................................................69 Application aux portiques............................................................................................................................74 Statique des portiques plans simples ..........................................................................................................75 Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................78

TD MIAS "ÉTUDE DES TREILLIS"....................... ................................................................................................................... 79

TD1 : Étude d'un treillis de deux barres.......................................................................................................79 TD2 Étude d'un treillis de six barres ............................................................................................................79 TD3 Modèle éléments finis d'un treillis .......................................................................................................80

TD MIAS "ÉTUDE DES PORTIQUES" ..................................................................................................................................... 81

TD4 : Poutre isostatique en flexion..............................................................................................................81 TD5 Poutre hyperstatique (encastrée – appuyée) ......................................................................................81 TD6 Étude des portiques par la RDM...........................................................................................................82 TD7 Étude d'un portique par les éléments finis ..........................................................................................82

TP MIAS.......................................................................................................................................................................................... 83

TP1 : Prise en main des scripts.....................................................................................................................83 TP2 : Étude numérique des treillis ...............................................................................................................83 TP3 : Étude numérique des portiques 2D....................................................................................................84

PRÉSENTATION DE MEFLAB / MEFTAVE.............................................................................................................................. 85

Analyse des scripts éléments finis ...............................................................................................................85 Description des scripts de données .............................................................................................................89

TA MIAS ......................................................................................................................................................................................... 93

TA1 MIAS "Étude des treillis isostatiques par la RDM" ...............................................................................95 TA2 MIAS "Étude des treillis hyperstatiques"..............................................................................................97 TA3 MIAS "Étude des treillis par la MEF".....................................................................................................99 TA4 MIAS "Étude des poutres, méthodes analytiques" ............................................................................101 TA5 MIAS "Étude des poutres, méthodes analytiques" ............................................................................103 TA6 et 7 "Calcul des portiques" ................................................................................................................105

Modèle barre 7/106

7

Modèle barre L’idée est de rechercher les hypothèses simplificatrices permettant de décrire le comportement tridimensionnel d’un solide élancé par un modèle monodimensionnel. Cette modélisation simplifiée est classiquement présentée et utilisée dans les cours de Résistance des Matériaux « RDM ».

Problème de Saint Venant

Pour justifier les hypothèses du modèle barre, nous utilisons les résultats de l’étude du problème de Saint-Venant qui dans le cadre de l’élasticité tridimensionnelle donne la réponse statique d’un solide cylindrique, de section constante de longueur grande devant la section, chargé uniquement à ses extrémités (les efforts de volume et sur la surface latérale sont nuls).

Le cadre général de l’étude est donc : Solide élancé dont une dimension est grande devant les deux autres on parle de « poutre ». Matériau homogène isotrope élastique. Petites perturbations.

Le problème de Saint Venant en traction est représenté par la figure suivante :

Fox

oz

yo

LSF

0S 1S

Figure 1 : Problème de Saint Venant de l'essai de traction.

Il est aisé de voir que l’état de contrainte

1 0 0

0 0 0

0 0 0

F

Sσ

=

Vérifie les équations d’équilibre statique : ( )=0div σ

Les conditions aux limites sur SL : 0nσ =

Les conditions aux limites sur S0: 0

S

n dS F xσ = −∫

Les conditions aux limites sur S1 1

S

n dS F xσ =∫

L'état de contrainte vérifie les conditions de Beltrami

La loi de Hooke 1 1( ) ( ) 1f Tr

E E

ν νε σ σ σ− += = − +

Nous donne le tenseur des petites déformations du milieu :

1 0 0

0 0

0 0

F

ESε ν

ν

= − −

Soit 6 relations :

Termes diagonaux : ,x

Fu

ES= , , ,y z

Fv w

ES

ν= = −

Ces deux conditions sont vérifiées globalement

Cette condition est vérifiée en tout point de la surface.

Conditions d'intégrabilité du champ de déformation pour un milieu homogène isotrope élastique.

Les équations sont écrites sur l’état non déformé

Milieu homogène isotrope élastique.

Modèle barre 8/106

8

Termes hors diagonale : , , , , , , 0y x z x z yu v u w v w+ = + = + =

Relations que nous pouvons intégrer, le champ de déplacement est déterminé à 6 constantes près qui correspondent aux déplacements d'ensemble de la barre dans l'espace (déplacements rigides).

On trouve en bloquant les déplacements rigides e

xF

u yES

z

νν

= −−

Cette solution rigoureuse nous sert de référence pour le modèle barre.

Modèle barre

Analysons les résultats présentés dans le problème de Saint Venant.

L'hypothèse 1 : l'état de contrainte est uni axial Cette hypothèse est justifiée du fait que la surface latérale n'est pas chargée et que les dimensions de la section sont petites devant la longueur. L'état de contrainte ne peut que s'écarter faiblement de cette forme uni axial lorsque l'on passe à l'intérieur du domaine entre deux points de la surface latérale.

LSoz

yo

0T nσ= =

0 0

0 0 0

0 0 0

xx

Sur SL

σσ

⇒ = 0 0

0 0 0

0 0 0

xxσσ

≅

Figure 2 : État de contrainte dans la section d'une poutre.

Ce modèle monodimensionnel ne représente pas la réalité, car avec ce modèle Les sections droites de normale x

peuvent glisser entre elles.

Il n'y a pas de cohésion sur les facettes de normale y

ou z

Cette hypothèse est cependant justifiée car xx ijσ σ≫ et toutes les équations d'équilibre sont vérifiées.

Les conditions aux limites sur les extrémités sont vérifiées globalement.

C'est "le Principe de Saint-Venant" Dans toute partie du solide suffisamment éloignée de la frontière où sont imposées les conditions

aux limites la solution du problème d’équilibre élastique est indépendante de la distribution de

charge "statiquement équivalente" utilisée.

Statiquement équivalente <==> les torseurs des distributions sont identiques

Ce principe empirique est bien vérifié par l’expérience.

Ce principe donne la possibilité de faire des choix dans la formulation des conditions aux limites. Exemples :

Problèmes équivalents

FF

F

/p F S=

Problème non équivalent

F

Car les conditions aux limites sont hyperstatiques

Figure 3 : Équivalence des conditions aux limites.

Solution complète: e ru u u= +

r

a qz ry

u b rx pz

c py qx

+ −= + − + −

Conditions aux limites équivalentes

isostatique

Modèle barre 9/106

9

Analyse des déformations

Les déformations mesurées dans un essai de traction permettent de déterminer les deux constantes élastiques ( , )E ν dans la zone centrale de l’éprouvette. Les déformations transversales sont

caractéristiques de l’effet Poisson ( )T Lε ν ε= − .

La déformation de la barre conduit à un déplacement axial linéaire en x, et à des déplacements transversaux indépendants de x.

Pour une section de poutre ( , )a b≪ ℓ , le changement de forme de la section sera négligeable devant le

déplacement axial

,

F

ES a ba b F

a b ES

ν

∆ =⇒ ∆ ∆ ∆∆ ∆ = = −

ℓ

ℓℓ ≫

Bilan : hypothèses du modèle barre 1D

Petits déplacements & petites déformation (HPP)

Section invariante ( , ) ( , )0 M t x t oS S u u x≡ ⇒ = et ,xx xuε =

État de contrainte uni axial

Milieu isotope homogène élastique ,xx xx xE Euσ ε= =

En intégrant les contraintes sur la section nous obtenons

xxx uE , =σ

x C xuESN , =

x

0=CM

Torseur résultantContraintes Figure 4 : État de contrainte sur la section d'une barre.

La loi de comportement intégrée des barres : N ES ux= ,

N est l'effort normal dans la barre

Votre parcours pédagogique

Si vous avez rencontré des difficultés pour comprendre ce chapitre, c'est que les pré-requis du cours de MMC vous posent problème. Vous avez quatre documents de cours mis à votre disposition sur le site consultez les.

Nous proposons deux documents supplémentaires pour compléter vos connaissances, un sur l'essai de traction, et un sur les critères de plasticité, ils sont à votre disposition.

La suite logique de ce chapitre concerne la mise en équations des barres par le PFD et le PTV

Modèle barre 10/106

10

Mise en équations des barres 11/106

11

Mise en équations des barres Les quatre champs inconnus de la « MMC » sont :

Champs vectoriels Champs tensoriels

u

: Déplacements

f

: Forces ε : Déformations

σ : Contraintes

Les relations entre ces champs peuvent être représentées par la figure suivante

Relat ionsgéométriques

Relationsgéométriques ( )f uε =

T nσ=

( )E ε( )σΣ

( )F f

( )U u

< Lois de comportement >

< Pr incipe de la dynamique >

( )Dσ ε=

Lois de compor tementgénéralisée

Figure 1 : Relatio ns entre les ch amps de la MMC.

Dans le premier document de cours nous avons établi la loi de comportement généralisée du modèle barre.

H1 : déplacement axial ( , ) ( , ) M t x t ou u x= ==> ,xx xuε =

H2 : état de contrainte uni axial xx xxEσ ε=

D'où la définition de l'effort normal N ES ux= ,

Pour terminer la mise en équations des barres, nous pouvons écrire une des deux formes du principe de la mécanique que vous avez vues en MMC :

Le PFD : qui donne un système d'équations aux dérivées partielles (formulation locale). Le PTV : qui est sa forme intégrale ou forme variationnelle et est une forme énergétique globale des équations du mouvement.

Application du PFD

Nous allons écrire les équations de Newton f ma=

pour une tranche d’épaisseur dx de la barre

Le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre) fait apparaitre l'effort normal (torseur des efforts de cohésion)

L'équation de résultante dynamique dans la direction x

donne : N dN N fdx Sdx uρ+ − + = ɺɺ

Soit , xN f S uρ+ = ɺɺ

Compte tenu de la loi de comportement intégrée, l'équation locale est :

] [ ( ), ,0, x x

x Su ESu fρ∀ ∈ − =ɺɺℓ

x

N dN+

dx

N

f

Les conditions aux limites aux extrémités de la barre peuvent être,

en déplacement imposé : ( )d tu u= ,

ou en force imposée : , ( )x d tESu N= .

Ces 2 conditions permettent de fixer les deux constantes d'intégration en x


12

Pour déterminer la réponse dynamique en temps, il faudra se donner les deux conditions initiales:

( , 0) ( )

( , 0) ( )

o

o

x x

x x

u u

u u

= = ɺ ɺ

Application du PTV

Nous allons écrire le principe des travaux virtuels u W Aδ δ δ∀ =

pour une barre chargée sur sa longueur et à ses extrémités. 0

Fo

f

ℓF

ℓ( , )x tu

Le travail virtuel des quantités d’accélération est : o

A Su u dxδ ρ δ= ∫ℓ

ɺɺ

Le travail virtuel des efforts se décompose en travail virtuel des efforts de cohésion et celui des efforts extérieurs soit :

Pour les efforts de cohésion 0 0

: int xx xx xx xxS

W dV dS dx ES dxδ σ δ ε σ δε ε δε= − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ℓ ℓ

D

Soit , , int x xo

W ESu u dxδ δ= −∫ℓ

Pour les efforts extérieurs + + ext o oo

W f u dx F u F uδ δ δ δ= ∫ℓ

ℓ ℓ

Le PTV conduit à l’équation intégrale suivante :

, , + + + x x o oo o o

u Su u dx ESu u dx f u dx F u F uδ ρ δ δ δ δ δ∀ = −∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓɺɺ

C’est la forme variationnelle du problème.

Les deux derniers termes correspondent au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités du barreau. Dans le cas ou la condition aux limites porte sur le déplacement, l’effort à l’extrémité est une inconnue du problème. Pour déterminer l'équation du mouvement il faudra tenir compte des conditions aux limites en déplacements. Restreindre le choix des déplacements virtuels à des champs virtuels admissibles, permet d'éliminer l'effort de liaison inconnu de la forme variationnelle.

Si ( )d tu u= respectée alors 0uδ = et le F uδ est éliminé de la Formulation

Le travail des efforts de cohésion intWδ peut s'exprimer à partir de la variation de l'énergie de déformation

de la barre int dW Eδ δ= −

avec ( )2,2 : d x

o

E dV ES u dxσ ε= =∫ ∫ℓ

D

Équivalence des principes

Partons du PFD pour retrouver le PTV. La démarche, présentée de façon générale dans le cours de MMC est utilisée ici dans le cas particulier du modèle barre, sur des équations mono dimensionnelles.

Déformée et vitesse de déformation initiales de la barre

,xx xuε =


13

L'équation locale ] [, 0 0,xxSu ESu f xρ − − = ∀ ∈ɺɺ ℓ

Est équivalente à ,0

( ) 0 xxP Su ESu f dx Pρ − − = ∀∫ℓ

ɺɺ

Remarque : si u est une solution approchée du problème cette forme intégrale représente le résidu pondéré de l’équation locale sur le domaine.

Effectuons une intégration par partie du terme en ,xxu

, , , ,00 0

xx x x xP ES u dx P ESu P ES u dx = − ∫ ∫ℓ ℓ

ℓ

Nous obtenons

, , , 00 0 0

+ x x xP P S u dx P ES u dx P ESu P fdxρ ∀ = + ∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ

ℓɺɺ

Introduisons les conditions aux limites en force aux extrémités de la barre

( , ) ( , ), o t o to xF N ES u= − = −

( , ) ( , ), t txF N ES u= + =ℓ ℓℓ 0

Fo

ℓF

ℓ0N Nℓ

D'où le PTV : , ,0 0 0

+ x x o oP P S u dx P ES u dx P F P F P fdxρ∀ = + +∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓɺɺ

Bilan & exercice

Le PFD donne un système d’équations aux dérivées partielles (EDP), c'est une formulation locale

PFD ] [ ,

0,

0xxx Su ESu f

x x

ρ ∀ ∈ − = = =

ɺɺℓ

ℓ

équation locale :

2 conditions aux limites en et en

Il est utilisé pour rechercher la solution analytique d'un problème.

Les conditions initiales ne servent que pour résoudre l'équation différentielle en temps Réponse dynamique d'une structure.

Le PTV est la forme variationnelle du problème, c'est une formulation globale (notion d'énergie)

, , + + + x x o oo o o

u Su u dx ESu u dx f u dx F u F uδ ρ δ δ δ δ δ∀ = −∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓɺɺ

Sera utilisé pour rechercher les solutions numériques du problème. Solutions approchées

Vous devez être capable d'écrire ces deux formulations pour un problème donné.


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Tous les exercices de cours sont corrigés sur le site, mais il faut chercher les réponses aux questions avant de consulter le corrigé.

Exercice 1 : Mise en équations d’un barreau en traction Objectifs : Savoir écrire les conditions aux limites pour une barre,

Résoudre un problème simple en statique, Pouvoir écrire le PTV et savoir passer du PTV au PFD.

1- Écriture des conditions aux limites.

Donnez les différentes conditions aux limites homogènes possibles pour une barre.

Donnez les conditions aux limites correspondantes aux trois figures ci-dessous.

xo

x = ℓF

kxo

0x =

xo

0x =

M

2- Application du PFD.

g

x

ℓ

Écrire le système d'EDP de ce problème

Intégrer l'équation différentielle en statique

Tracer le diagramme de l'effort normal (analyse type RDM)

3- Application du PTV. Pour le problème représenté par la figure ci-dessous

k

xo0x = x = ℓ Pour un champ de déplacements virtuels cinématiquement admissible.

Donner l’expression du PTV en ne considérant que la barre. Retrouver cette expression en considérant la barre et le ressort.

4- Équivalence des principes. Donner l’expression du PFD et passez au PTV (application directe du cours). Partir du PTV pour retrouver l'équation locale et toutes les CL du problème.

Démarche inverse à celle présentée en cours Si avec la correction vous n'arrivez pas à comprendre la réponse à une question, c'est que des éléments du cours ou des pré-requis vous manquent. Revoyez le cours et n'hésitez pas à poser la question à votre enseignant, il pourra vous aider à résoudre la difficulté.

Pour assimiler le cours il faudra traiter des exercices non corrigés.


Pour des problèmes simples la solution analytique servira de référence pour tester différentes méthodes de résolution approchées. L'utilisation des méthodes d'approximation pour résoudre des problèmes de l'ingénieur pour lesquels il n'existe pas de solution analytique reste bien l'objectif du cours.


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Le chapitre sur les solutions analytiques en dynamique peut donc être abordé en dehors du parcours pédagogique, vous pouvez passer directement aux méthodes d'approximation sur le modèle barre, quitte à revenir plus tard sur la réponse dynamique des barres si vous en avez besoin.

Parcours possibles Recherche de la solution analytique de la réponse dynamique d'une barre

Recherche d'une solution approchée de la réponse d'une barre Étude de la réponse statique d'un treillis par la RDM Étude des treillis par la MEF

Ces différents thèmes sont proposés dans le menu du site.


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RDM : Calcul en statique des treillis 17/106

17

Calculs statique des treillis

par la RDM

Définition

Un treillis est une structure constituée d'un assemblage de barres articulées entre elles, ces articulations sont les nœuds de la structure. Les charges extérieures sont supposées appliquées aux nœuds de la structure. Les éléments du treillis ne travaillent donc qu'en traction compression.

Pour que parler de treillis, il faut que les charges sur les éléments du treillis soient faibles devant les charges nodales. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte la flexion des éléments, nous parlerons de portiques.

L'objectif de ce chapitre est de vous initier au calcul analytique de la réponse statique d'un treillis bidimensionnel. Ces calculs permettent d'obtenir très rapidement l'état de contrainte (effort normal) dans les éléments d'une structure simple. La connaissance de l'effort normal dans les éléments du treillis permet de vérifier que la structure reste dans le domaine élastique, et qu'il n'y a pas d'instabilité (étude du flambement). Utile pour le pré dimensionnement, savoir effectuer ces calculs analytiques permet d'assimiler l'utilisation des outils d'analyse qui sont utilisés lors des calculs numériques.

Pour les treillis plus complexes (géométrie, forte hyperstaticité, ou cas de chargement multiples) ou pour les études dynamiques, la méthode des éléments finis présentée dans le chapitre suivant, permettra d'effectuer les calculs numériques.

Dans ce chapitre nous ne traitons que des problèmes statiques

Théorèmes énergétiques de la RDM

Nous énonçons les trois principaux théorèmes énergétiques couramment utilisés pour les calculs statiques. La démonstration de ces théorèmes est basée sur l'existence de l'énergie de déformation élastique. Vous trouverez ces démonstrations dans tous les ouvrages de résistance des matériaux. Nous nous attacherons d'avantage à leur utilisation dans le cadre du calcul pratique des structures.

Les trois théorèmes peuvent se déduire de l'écriture du principe des travaux virtuel en statique

0int extW Wδ δ+ =

Soit en utilisant l'énergie de déformation élastique : ext dW Eδ δ=

L'énergie élastique emmagasinée est égale à l'énergie fournie pour déformer la structure depuis son état initial jusqu'à son état final, c'est le travail des forces extérieures appliquées à la structure.

Théorème de Maxwell - Betty Le travail d'un système de force 1F dans le déplacement produit par un système de force 2F est égal

au travail du système de force 2F dans le déplacement produit par le système de force 1F .

Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : (1 2) (2 1)W W→ = →

Où 1 2 2 1 F Fδ δ=

L'intérêt de ce théorème est historique (1864-1872) on trouve ce théorème de réciprocité dans d'autres domaines de la physique (électricité, électromagnétisme, fonctions de transfert). Du point de vue


18

mécanique ce théorème de réciprocité énonce la symétrie de l'opérateur "raideur" liée à l'existence de l'énergie de déformation élastique. Castigliano (1873) l'a utilisé dans la démonstration de son théorème. Illustration du théorème de Maxwell-Betty

Fx = ℓx a=

1

Fau

ES=

Q2 ?u =

La solution du problème 1 est connue : 1

Fau

ES=

Appliquons le théorème de Maxwell-Betty

2 1

FaFu Qu Q

ES= = ==> 2

Qau

ES=

Résultat prévisible

Théorème de Castigliano. La dérivée partielle de l'énergie de déformation de la structure par rapport à un effort est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort.

Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : dF

E

Fδ∂ =

∂

Ce théorème est très pratique, puisqu'il permet de calculer le déplacement d'un point de la structure sans avoir à intégrer les équations différentielles locales. Pour calculer le déplacement d'un point qui n'est pas chargé on introduit une charge fictive X dans la direction souhaitée.

0

( , )dX

X

E F X

Xδ

=

∂ = ∂

Ménabréa a eu l'idée d'utiliser le théorème de Castigliano pour déterminer les inconnues hyperstatiques d'un problème. Cette utilisation particulière porte le nom de théorème de Ménabréa.

Théorème de Ménabréa. Pour une structure hyperstatique de degré N, les N inconnues hyperstatiques iX minimisent

l'énergie de déformation élastique de la structure.

Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : [ ] ( , )1, 0d i

i

E F Xi N

X

∂∀ ∈ =∂

L'intérêt est évident puisque ce théorème permet de construire le système matriciel des N équations pour déterminer les N inconnues hyperstatiques.

Ce théorème peut être vu comme l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange, puisqu'il consiste à couper les liaisons hyperstatiques pour faire apparaitre soit des efforts internes soit des efforts de liaison. On calcul alors l'énergie de déformation en fonction de ces inconnues. Pour respecter les liaisons coupées il faut écrire que le travail de l'effort de liaison est nul, c'est le théorème de Ménabréa.

Hyperstaticité

La première question à se poser lorsque l'on aborde le calcul statique d'une structure treillis est celle de l'hyperstaticité de la structure.

Dans un premier temps il faut considérer l'hyperstaticité "extérieure" c'est à dire l'ensemble des liaisons cinématiques qui bloquent les mouvements d'ensemble de la structure. Si la structure possède des mouvements rigides (champ de déplacement non nul n'entrainant pas de déformation de la structure) il faudra tenir compte de ces mouvements d'ensemble dans le bilan des inconnues du problème.


19

Pour la grande majorité des structures les liaisons cinématiques sont généralement surabondantes (structures portantes de type; ponts, pylônes, grues, etc.) et le problème est hyperstatique extérieur. Cependant pour certains problèmes les conditions aux limites ne font intervenir que des chargements extérieurs (conditions naturelles), le modèle possède alors un ou plusieurs modes rigides dont il faudra tenir compte dans le bilan des inconnues du problème.

Exemples : Hyperstaticité extérieure

F

F

ℓ

ℓ

une structure uniquement soumise à un ensemble de charges formant un torseur nul (condition d'équilibre). N'ayant aucune liaison cinématique, cette structure aura selon la dimension de l'espace physique : 1 déplacement rigide pour un problème monodimensionnel, 3 déplacements rigides pour un problème bidimensionnel, et 6 déplacements rigides pour un problème tridimensionnel.

La structure ci-contre possède donc 3 mouvements rigides (problème plan)

F

ℓ

ℓ

A

Ce problème est équivalent au précédent il ne comporte plus qu'un mode rigide

Nous avons introduit deux conditions aux limites cinématiques ( ) 0Au =

.

Le mouvement rigide restant est la rotation par rapport au point A.

L'équilibre de la structure permet de vérifier AR F= −

, le problème est bien

équivalent.

F

ℓ

ℓ

A B

Ce problème est équivalent aux précédents Le mouvement rigide de rotation est bloqué par la condition d'appui en B. Ce problème est un problème isostatique équivalent au problème initial.

Les déformations et les contraintes de ces trois problèmes sont identiques. Ce qui change ce sont les constantes d'intégration qui apparaissent dans le calcul du champ de déplacement.

Il existe plusieurs problèmes isostatiques équivalents (non unicité de la solution du problème initial)

Ayant le degré d'hypostaticité extérieure (nombre de mouvements d'ensemble possibles) on peut déterminer le degré d'hyperstaticité d'une structure treillis par un simple dénombrement des nœuds et des barres.

Un treillis est une structure discrète constituée de bN barres reliés entre elles aux nN nœuds de la

structure.

Pour calculer la réponse statique du treillis nous disposons des équations d'équilibre de chaque nœud, le

nombre d'équations dépend donc de la dimension de l'espace physique. Soit 2 nN équations pour un

problème bidimensionnel (3 nN équations dans le cas tridimensionnel).

Le bilan des inconnues naturelles du problème sont :

L'effort normal dans chaque barre du treillis soit eN inconnues.

Les efforts au niveau des conditions aux limites cinématiques,

A ces inconnues naturelles (efforts) il faut ajouter le nombre de mouvements d'ensemble s'il y en a. Ce qui est équivalent à ajouter le nombre de liaison pour définir un problème isostatique extérieur.


20

Le degré d'hyperstaticité de la structure treillis est donné par le nombre d'inconnues moins le nombre d'équations

Les structures industrielles sont en général fortement hyperstatiques, car cela leur assure de la raideur supplémentaire et donc une meilleure stabilité (au détriment du poids). Pour les structures hyperstatiques la distribution des efforts internes et externes dépend de la géométrie et des matériaux. La résolution de ces problèmes est de ce fait plus complexe et fera appel aux théorèmes énergétiques.

Dans le cas d'une structure isostatique la répartition des efforts ne dépend que de la géométrie, ce type de problème se résout "assez simplement" en utilisant les équations d'équilibre.

Si la structure est hypostatique (degré d'hyperstaticité négatif) au moins un élément conserve une ou plusieurs possibilités de mouvement. Du point de vue mécanique le système n'est pas stable on ne peut pas le traiter en statique. En général cette situation est dû à une erreur de modélisation car un système hypostatique est un mécanisme, et ne peut pas être modélisée en statique sauf à considérer des mouvements stationnaires ce qui impose des liaisons cinématiques.

Exemple : Hyperstaticité d'une structure

F

F

ℓ

ℓ

Cette structure possède 4 nœuds, le problème est plan, nous disposons donc de 8 équations d'équilibre. Il y a 3 mouvements rigides, et 5 barres donc 5 efforts intérieurs inconnus, soit un total de 8 inconnues.

Cette structure est isostatique, les efforts dans les barres ne dépendent que da la géométrie, ils sont indépendants des caractéristiques mécaniques des barres (section, matériau)

Si on ajoute une barre sur l'autre diagonale la structure sera hyperstatique de degré 1. Sa rigidité sera plus élevée, et la distribution des efforts interne dépendra des caractéristiques mécaniques des barres.

Exercice 5 : degré d'hyperstaticité des structures treillis Objectifs : Dénombrer les inconnues principales d'une structure treillis.

1- Déterminer le degré d'hyperstaticité des six structures représentées ci-dessous

F

A B

F

A B

F

A B

F

A B

F

A B

C

F

A B

C

Calcul pratique d'un treillis

Deux situations sont donc à envisager, le cas des structures isostatiques et le cas des structures hyperstatiques. La méthodologie à adopter face à ces deux situations est différente. Dans les deux cas les


21

calculs conduirons à la détermination de l'effort normal dans les barres du treillis. Ayant ces efforts nous verrons comment utiliser ces résultats pour dimensionner la structure, et calculer sa déformation.

Cas des structures isostatiques

La méthode de Cramona consiste à écrire l'équilibre des nœuds de la structure, elle a l'avantage d'être systématique est simple.

Pour être efficace il faut partir d'un nœud ou le nombre d'inconnues est égale au nombre d'équations (2 en bidimensionnel, 3 en 3D). Ce qui permet de résoudre au fur et à mesure les équations du système sans avoir à construire le système complet des équations du problème avant de le résoudre.

Historiquement cette méthode a longtemps été utilisée pour effectuer le pré dimensionnement graphique des treillis. Pour appliquer cette méthode il faut juste être attentif à l'orientation des efforts normaux au niveau des coupes lorsque l'on isole un nœud, l'effort normal est orienté suivant la normale extérieure à la coupe, il est positif en traction et négatif en compression.

2N

1N C

Fα

xo

yo

2N

1N C

F

α

Les deux équations d'équilibre du nœud donnent:

1 2

2

cos 0

sin 0

N N

F N

αα

− − =− − =

soit : 1

11

2

tan

sin

N F

N F

αα

−

−

= = −

Pour 0F > et 0 / 2α π< <

L'effort 1 0N > la barre "1" est en traction

L'effort 2 0N < la barre "2" est en compression

Il est possible de visualiser graphiquement le calcul 1 2 0N N F+ + =

sur un dessin à l'échelle de la structure, c'est le pré dimensionnement graphique.

2N entrant dans la barre c'est une compression

Ce type de calcul analytique est très rapide, il suffit alors de passer au nœud suivant. Sachant que

1 2( , )N N sont maintenant connus en fonction du chargement.

Analyse du calcul

Nous venons de voir que l'état de contrainte dans la structure ne dépend que de la géométrie, la loi de comportement du matériau n'intervient pas dans le calcul des efforts intérieurs d'une structure isostatique.

Si l'on écrit toutes les équations d'équilibre on obtiendra aussi les efforts au niveau des appuis, il sera alors possible de vérifier l'équilibre global de la structure.

En pratique, on peut utiliser les équations d'équilibre global pour déterminer les efforts aux appuis sans passer par l'équilibre des nœuds. Les équations globales ne sont pas indépendantes des équations nodales.

Exemple

h

Fxo

yo

h

A

B

C

Analyse

2 Barres ==> 2 inconnues internes 1 2( , )N N

CL ==> 4 inconnues efforts de liaison ( , )A AX Y et ( , )B BX Y

Soit 6 inconnues pour 6 équations le problème est isostatique

Équilibre du nœud C ==> 1

2

2N F

N F

=

= −

On connait les efforts dans les barres, on donc passer au post-traitement. 2N

1N

C

F


22

L'équilibre du nœud A donne 0

A

A

X F

Y

= =

et celui du nœud B B

B

X F

Y F

= − =

Les 3 équations d'équilibre 0A BX X+ = ; 0A BY Y F+ − = ; et 0BhX hF− − = sont vérifiées.

Cas des structures hyperstatiques

Si la structure est hyperstatique les équations d'équilibre ne permettront pas de résoudre directement le problème. On peut procéder par coupure pour faire apparaitre autant d'inconnues que le degré d'hyperstaticité. Il est alors possible de calculer les contraintes dans les barres en fonction du chargement

extérieur et des inconnues iX des coupures.

On calcule alors la déformation de la structure et pour chaque barre coupée on devra écrire

l'équation de compatibilité des déplacements en calculant ( , )

jii

i i

F XX

ES

∆ =ℓℓ

Nous voyons ici que la solution dépend directement des caractéristiques mécaniques des barres pour calculer la déformation de la structure et écrire les équations de compatibilités.

En résolvant ce système nous pourrons alors calculer les iX .

Il est beaucoup plus rapide d'effectuer ces calculs en utilisant le théorème de Ménabréa.

Calcul de l'énergie de déformation élastique de la structure

2

2

02

i

d ii i i

NE dx N

ES ES = =

∑ ∑∫ℓ ℓ

L'effort normal est uniforme dans chaque barre i du treillis

Application du théorème de Ménabréa

Pour un treillis hyperstatique de degré N nous aurons à écrire [ ] ( , )1, 0d i

i

E F Xi N

X

∂∀ ∈ =∂

D'après ce qui précède jdj

j ji i

NEN

X X ES

∂∂ = ∂ ∂ ∑

ℓ où les jN sont des fonctions de ( , )iF X

Exemple

1

h F

h

A

B

C

2

3

Analyse

3 Barres ==> 3 inconnues internes 1 2 3( , , )N N N

CL ==> 6 inconnues efforts de liaison ( , , , )A A B B C CX Y X Y X Y

Soit 9 inconnues pour 8 équations le problème est hyperstatique de degré 1

Équilibre du nœud chargé ==>

31

312

02 2

02 2

NNF

NNN

− − = + + =

2N

1N

C

F3N

Choisissons 3N comme inconnue hyperstatique ==> 1 3

2 3

2

2

N N F

N F N

= +

= − −

3 3 33

2 2( 2) ( 2)( 2)dE h h hN F F N N

N ES ES ES

∂ = + + − − − +∂

Le théorème de Ménabréa 3

0dE

N

∂ =∂

==> 3(2 2 2) (2 2) 0N F+ + + = soit 3 / 2N F= −


23

D'où 1

2

22

FN F

N F F

= − = − +

==> 1

2

/ 2

0

N F

N

=

= La barre 2 ne sert à rien ! (pour ce chargement)

On connait les efforts dans les barres, on donc passer au post-traitement.

Utilisation des résultats - post-traitement

Vérification à la limite élastique

Pour que la structure reste dans le domaine élastique, il faudra satisfaire un critère de dimensionnement du type :

eii

NR

S<

En pratique, une structure doit satisfaire durant toute sa durée d'exploitation des conditions de fiabilité et durabilité appropriées. Pour cela des coefficients de sécurité partiels, définis par des normes (Eurocodes), seront appliqués d'une part sur les caractéristiques des matériaux et d'autre part sur les sollicitations. De plus il faut considérer différentes combinaisons d'un grand nombre de cas de chargement (avec leurs coefficients), dont les effets se combinent entre eux. Ce n'est plus aussi simple!

Si l'on atteint la limite élastique dans une barre celle ci plastifie sur toute sa section et sur toute sa longueur (l'état de contrainte est uniforme dans les barres), et si l'on considère que l'écoulement plastique se fait sans écrouissage il y aura ruine plastique de la barre. Si la structure est isostatique, elle deviendra hypostatique, il y aura ruine plastique du treillis. Si la structure treillis est fortement hyperstatique nous aurons une réserve de sécurité plastique par rapport au chargement maximal élastique (il faudra plastifier n barres, n étant le degré d'hyperstaticité). Sachant que l'énergie de déformation absorbée dans les déformations plastiques est beaucoup plus importante que l'énergie de déformation élastique, la réserve de sécurité passive d'un treillis hyperstatique peut être très importante.

Vérification au flambement

Le flambement élastique est une instabilité beaucoup plus sévère car une barre qui flambe n'absorbe plus d'énergie (instabilité). Le flambement est un phénomène brutal qui se produit sous de forte charge de compression. Les aspects théoriques sur le flambement sont présentés dans le chapitre sur les poutres en flexion. Le critère d'instabilité par flambement élastique d'un treillis est

relatif à la charge critique d'Euler cF définie par

22cc

EIF π=

ℓ

Pour les structures treillis la longueur de flambement cℓ est la longueur des barres

entre les nœuds.

Le critère d'instabilité est de la forme. 0i i ciN N F∀ < <

En pratique on cherchera à avoir Max cN F≪ pour avoir une réserve de sécurité plastique.

Soit pour une barre donnée 22e

EISR π≪

ℓ

Regroupons les caractéristiques matériaux et les caractéristiques mécaniques entre elles.

22

e

S E

I Rπℓ

≪

Nous utilisons ce type de critère pour illustrer nos calculs dans les exercices, MAIS ...

I est le moment quadratique de la section droite, c'est une donnée géométrique caractéristique de la section.

eiR limite élastique conventionnelle du matériau de la barre i

2 /S Iℓ est un coefficient adimensionnel caractéristique

de l'élancement de la barre.


24

Plus la barre est élancée plus le risque de flambement élastique est important.

Introduisons le rapport I

iS

= qui est le rayon de giration de la section droite.

Plus le rayon de giration est élevé plus la matière est éloignée du centre de la section droite

Barre de section circulaire R R

4 2/ 4I R S Rπ π= = ==> / 2i R=

Tube creux d'épaisseur e << R R>>e

3 2I R e S Reπ π≅ ≅ ==> / 2i R≅

Le rapport 2S

i Iλ = =ℓ ℓ

caractérise l'élancement de la barre.

Avec ces notations, la condition pour éviter le flambement élastique e cSR F< conduit à e

E

Rλ π<

Cette relation donne par exemple la longueur maximale de la barre en fonction du matériau et de la section, pour que le flambement n'ait pas lieu dans le domaine élastique.

Calcul de la déformée

Pour chaque barre du treillis nous pouvons calculer son allongement à partir de l'effort normal en utilisant la loi de comportement du matériau.

Pour une barre AB : ABAB AB

N

ESε ∆ = =

ℓ

ℓ==> ( ). B A AB

AB

Nu u e

ES − =

ℓ

Nous disposons donc de bN relations entre les déplacements nodaux ( 2 nN inconnues), or nous

avons aussi les p conditions aux limites.

Si la structure est isostatique 2 n bN p N= +

si la structure est hyperstatique 2 n bN p N< +

==> Nombre d'équations supérieur ou égale au nombre d'inconnues déplacements, nous pouvons déterminer la déformée complète du treillis.

La démarche consiste à partir des conditions aux limites, pour de proche en proche utiliser la compatibilité des déformations et des déplacements aux nœuds de la structure.

Ces calculs peuvent devenir longs si le nombre de barres et de nœuds est important

Exemple

h

Fxo

yo

h

A

B

C

Pour la barre AC : ACN F= − ==> AC

Fh

ES∆ = −ℓ or 0Au =

==> C

Fhu

ES= −

Pour la barre BC : 2BCN F= − ==> 2 2

2BC

F h Fh

ES ES∆ = =ℓ

or ( ). BC C B BCu u e∆ = − ℓ avec 0Bu =

et

1/ 2

1/ 2BCe

= −

==>( )

22

C Cu v Fh

ES

−=

il faut alors utiliser la compatibilité des déplacements C

Fhu

ES= −

pour trouver ( )2 2 1C

Fhv

ES= − +

ABe

Direction unitaire

de la barre de A vers B


25

Si l'on fait le bilan des équations utilisées 2 Lois de comportement (une par barre)

4 conditions aux limites pour un total de 6 inconnues ( , )i iu v

Utilisation du théorème de Castigliano

Il est beaucoup plus rapide d'utiliser le théorème de Castigliano si l'on cherche le déplacement d'un point particulier de la structure.

dF

E

Fδ∂ =

∂ ou pour les charge fictive

0

( , )dX

X

E F X

Xδ

=

∂ = ∂

Exemple

h

Fxo

yo

h

A

B

C

h

Fxo

yo

h

A

B

CX

2 2( ) ( 2 ) 2

2 d

F h F hE

ES ES

−= + ==> (1 2 2)dE Fh

F ES

∂ = +∂

La charge est orientée vers le bas ==> ( )1 2 2dC

E Fhv

F ES

∂= = − +∂

−

On a retrouvé très rapidement le résultat précédent

Si l'on veut calculer par Castigliano le déplacement horizontal du point C, il faut introduire une charge fictive X horizontale.

Il faut reprendre le problème 1

2

2N F

N X F

=

= − ==> ( )dE h

X FX ES

∂ = −∂

Pour 0X = on retrouve C

Fhu

ES= −

Exercices

Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.

Exercice 6 : étude d'un treillis de deux barres Objectifs : Approche "RDM" pour les structures isostatiques.

Notions de critères de dimensionnement (limite élastique, flambement) Calcul du champ de déplacement (géométrique et Castigliano).

F

/ 6π

3/h = ℓ

32 /L = ℓ

A

B xo

yo

Cℓ

Barres de section S

et de module d’Young E

1. Montrer que cette structure est isostatique.

2. Calculer l’effort normal dans les barres ainsi que les réactions aux appuis.

3. En déduire la charge maximale que peut supporter cette structure pour rester dans le domaine élastique.

4. pour quelle valeur de la portée maximale Maxℓ y a-t-il un risque de

flambement élastique ?

5. Calculer la déformation de la structure

6. Vérifier les résultats en utilisant le théorème de Castigliano.


26

Exercice 7 : étude d'un treillis de six barres Objectifs : Approche "RDM" pour les structures hyperstatiques.

h

F

F

h

1. Montrer que cette structure est hyperstatique.

2. Simplifier le modèle en tenant compte des symétries.

3. Utiliser le TH de Ménabréa pour calculer les efforts dans les barres.

4. En déduire l'allongement de la diagonale chargée. À partir des déformations Retrouver ce résultat à partir de Castigliano.

Les barres sont de section S et de module d’Young E

Pour assimiler le cours il faut traiter des exercices non corrigés.


Ayant appliqué les techniques de calculs analytiques sur des cas simples, vous avez vu comment exploiter les résultats des calculs. Il est naturel de voir comment aborder ces problèmes numériquement par la méthode des éléments finis, pour pouvoir s’attaquer a des problèmes plus complexes.

MEF : Calcul des treillis 27/106

27

Modèle éléments finis

pour l'étude des treillis Un treillis est constitué d'éléments barres qui ne travaillent qu'en traction compression. Nous allons utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous débutons par la présentation de l'élément fini barre, en détaillant le calcul des matrices élémentaires permettant d'exprimer le principe des travaux virtuel sous forme matricielle. Puis nous verrons comment utiliser ces résultats pour modéliser des treillis bidimensionnels

L’élément fini barre

Approximation : Considérons un élément de longueur eℓ

Le repère local de l'élément est orienté du nœud i vers le nœud j. ji (e)

iu ju

x

Les deux variables nodales sont les déplacements notés ( , )i ju u dans la direction x

Le champ de déplacement sur l'élément sera construit sur une approximation polynomiale à deux paramètres de la forme

( )1( , ) 1 2

( )21 ,

tx t

t

au a a x x

a

= + =< >

L'approximation nodale sera construite en identifiant les déplacements nodaux à la valeur de l'approximation soit :

en x = 0 (0, ) ( ) 1t tiu u a= =

en ex = ℓ ( , ) ( ) 1 2e et tju u a a= = +ℓ ℓ nous en déduisons

a u

au ui

j i

e

1

2

=

=−

ℓ

D’où l'approximation nodale ( )

( , )( )

1 , ti

x ttje e

ux xu

u

=< − >

ℓ ℓ

Cette approximation sera notée : eu N U= < >

Les fonctions d’interpolation de l’approximation nodale sont :

Nx

x

e1( ) = −1

ℓ vérifie

==

0

1

)(1

)(1

j

i

N

N

N11

10x/le

Nx

x

e2 ( ) =

ℓ vérifie

==

1

0

)(2

)(2

j

i

N

N

x/le

N2

1

10

La notion d'approximation nodale est fondamentale dans la méthode des éléments finis, elle permet d’utiliser des variables qui ont un sens physique, et sur lesquelles nous pourrons directement imposer les valeurs données par les conditions aux limites de type cinématique.

Approximation linéaire du champ de déplacement

Ici les paramètres ia n'ont pas de sens physique

Les paramètres ,i ju u ont ici un

sens physique


28

Expression matricielle des énergies élémentaires

Nous devons calculer, le travail des quantités d'accélération ainsi que le travail des efforts intérieurs et celui des efforts extérieurs associé à notre élément, en utilisant l'approximation nodale.

Le travail des quantités d'accélération est : e

eo

A Su u dxδ ρ δ= ∫ℓ

ɺɺ

Utilisons l’approximation nodale du champ des déplacements eu N U= < >

Le terme . TT T

e eu u u u U N N Uδ δ δ= = < > < > ɺɺɺɺ ɺɺ

On peut alors sortir les variables nodales de l'intégrale e

T Te e e

o

A U N S N dx Uδ δ ρ= < > < >∫ℓ

ɺɺ

[ ] Te e e eA U M Uδ δ= ɺɺ avec [ ]

eT

eo

M N S N dxρ= < > < >∫ℓ

Nous venons de définir la matrice masse élémentaire, le calcul de l'intégrale se fait analytiquement, on trouve :

[ ] 2 1

1 26e

e

SM

ρ =

ℓ

Le travail des efforts intérieurs est : , , e

int x xo

W ESu u dxδ δ= − ∫ℓ

Pour ce calcul utilisons l'expression de l'énergie de déformation : ( )2,2

e

d xo

E ES u dx= ∫ℓ

Utilisons l'approximation nodale , ,2 e

T Td e x x e

o

E U N ES N dx U= < > < >∫ℓ

Soit pour chaque élément [ ] 2 T

d e e eE U K U= avec [ ]

−−

=11

11

ee

ESK

ℓ

Le travail des efforts extérieurs est : + + ext ie i je jo

W f u dx F u F uδ δ δ δ= ∫ℓ

Pour la densité de charge f appliquée sur l'élément nous devons tenir

compte de l'approximation nodale pour exprimer le travail virtuel.

( )

0

e

xeW f u dxδ δ= ∫ℓ

Compte tenu de l’approximation ( ) ( )

0

e

T Tx xe eW U N f dxδ δ= < >∫

ℓ

Nous pouvons effectuer le calcul de l'intégrale si la répartition de charge sur l'élément est connue.

Pour une charge f Cte= . On trouve Te e eW Uδ δ φ= , avec 2

2

e

ee

fφ

=

ℓ

ℓ

Ce calcul permet de calculer les charges nodales équivalentes au sens de l’approximation à une charge volumique réelle appliquée à la structure

A titre d'exercice retrouver par le calcul les coefficients de cette matrice

d intE Wδ δ= −

,

2, ,.

x

Tx xu u u=

ieF

f

jeF

(e)i jx


29

Charge réellei j

Charge nodale équivalente

PTVi j

f ef ℓ 2ef ℓ 2

Exemple

xo

ℓ

Objectif : Déterminer une approximation des premières fréquences de résonnance de la barre avec un modèle élément fini.

Tester la méthode avec un modèle à 1 élément

Généraliser à n éléments (maillage régulier)

Modèle à 1 élément fini 1 2

xo

[ ] 2 1

1 26

SLM

ρ =

, et [ ] 1 1

1 1

ESK

L

− = −

sur 1 2u u< >

La condition : 1 0u = Les vibrations de la barre sont modélisées par un système à 1 DDL

2 2 03

SL ESu u

L

ρ + =ɺɺ 1 2 23 1,732

ES ES

SL SLω

ρ ρ= ≅

À comparer à la solution analytique 2 2

1,5712i

ES ES

SL SL

πωρ ρ

= ≅

L’erreur d’approximation 10% sur la première pulsation propre est importante car on utilise une approximation linéaire pour une fonction sinusoïdale.

Modèle à N éléments finis

1 2 3 n+1n Pour tout élément [ ] 1 1

1 1/eES

KL n

−− =

et [ ] 2 1

1 26eSL

Mn

ρ =

Lorsque l'on somme les énergies de chaque élément pour obtenir l'énergie de la structure les matrices élémentaires s'emboitent les unes avec les autres, en effet

Pour l'élément 1 : 2 21 1 1 2 22 ( 2 )d

ESE u u u u= − +

ℓ

Pour l'élément 2 : 2 22 2 2 3 32 ( 2 )d

ESE u u u u= − +

ℓ

Soit pour les deux éléments 2 2 21 2 1 1 2 2 2 3 32 ( 2 2 2 )d

ESE u u u u u u u+ = − + − +

ℓ

Que l'on peut écrire sous forme matricielle [ ] 1 22 T

dE U K U+ =

Avec [ ]1 2

1 1 0

1 1 1 1

0 1 1

ESK +

− = − + − −

ℓ sur 1 2 3

TU u u u= < >

c'est l'assemblage.

En généralisant aux n éléments on obtient une matrice ( 1, 1)n n+ + , mais il faut tenir compte de la

condition d'encastrement du premier nœud, tous les termes 1u sont nuls, la matrice assemblée réduite

est une matrice carrée de dimension n


30

Matrice raideur assemblée réduite ( 1 0u = ): [ ]

2 1

1 2 1

1 2 1

1 \ \

\ \ \

\ 2 1

1 1

nESK

L

− − − − − = −

− −

De même pour l'énergie cinétique

Matrice masse [ ]

4 1

1 4 1

1 4 1

1 \ \6

\ \ \

\ 4 1

1 2

SLM

n

ρ

=

Pour le calcul des pulsations propres (voir fichier MAPLE sur le site)

Avec n=2

1 2

2 2

1,61

5,63

ES

SL

ES

SL

ωρ

ωρ

≅

≅

à comparer à 2

1,571 4,712 iES

etSL

ωρ

=

Pour n=3

1 2

2 2

3 2

1,589

5,196

9,426

ES

SL

ES

SL

ES

SL

ωρ

ωρ

ωρ

≅

≅ ≅

2

1,571 4,712 et 7,854 analES

SLω

ρ=

La convergence est lente (éléments de degré 1) Avec la matrice modale calculée dans Maple vous pouvez tracer les modes sur la solution analytique, si le premier mode peut être assez rapidement approché par des segments, il faudra un maillage très fin pour approcher la déformée modale des modes supérieurs.


31

Modèle éléments finis d'un treillis

La démarche générale pour traiter un problème par une modélisation éléments finis est la suivante : Analyse du problème choix de discrétisation (définition des inconnues) Boucle sur les éléments Calcul des matrices élémentaires et charges généralisées Assemblage & C. Limites équation matricielle à résoudre Résolution déformée de la structure et efforts aux appuis Post-traitement contraintes dans les barres et efforts aux nœuds.

Pour un treillis bidimensionnels

αxo

yo

j

i

(e) xju

jujv

Soit une barre formant un angle α avec l’axe ox

du repère global.

Pour effectuer l'assemblage nous devons exprimer le déplacement axial u en fonction de ses composantes sur la base globale ( ,u v ).

uu

vC S

u

v=< >

=< >

cos sinα α α α

Appliquons ce changement de base aux nœuds de l’élément

0 0

0 0

i

i i

j j

j

u

u vC S

u uC S

v

α α

α α

=

Reportons ce changement de base dans l'expression de l'énergie de déformation. 1 1

1 1

Te e

e

ESU U

− − ℓ

0 0 0 01 1

2 0 0 0 01 1

Ti i

Ti i

dj je

j j

u u

v vC S C SESE

u uC S C S

v v

α α α α

α α α α

− = −

ℓ

Nous en déduisons l’expression de la matrice raideur élémentaire sur les variables i i j ju v u v< >

Ce n'est que la première ligne d'un changement de base classique.

C Su u

S Cv vα α

α α

= −


32

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

−−

=AA

AAESK

eeℓ

avec [ ]

=

2

2

ααα

ααα

SSC

SCCA

Dans le cas bidimensionnel il est possible de mener les calculs à la main.

Ce n'est plus le cas pour les structures tridimensionnelles, c'est pourquoi nous les traiterons exclusivement du point de vue numérique.

Assemblage et résolution

Pour chaque élément de la structure nous avons :

[ ] [ ] iee e e e e

je

Fe M U K U

Fφ

∀ + = +

ɺɺ

L'assemblage consiste à sommer les énergies élémentaires 0

e

eD

=∑∫ ∫ℓ

Pour les efforts nodaux l'équilibre d'un nœud quelconque donne 0i iee

F F− =∑

Les iF représentent les efforts extérieurs appliqués aux nœuds de la structure. Se sont soit des

charges données soit des efforts aux appuis (conditions cinématiques) qui sont des inconnues du problème.

L'assemblage consiste à se donner un ordre de rangement des variables nodales dans le vecteur des inconnues globales du système. En pratique (à la main) nous utilisons l'ordre lexicographique pour simplifier l'écriture. La machine (calculateur) utilisera sa propre numérotation pour optimiser la vitesse de traitement et la taille mémoire utile en fonction des algorithmes de résolution qu'il utilisera pour traiter les équations, ces opérations sont transparentes pour l'utilisateur.

En statique nous utiliserons une décomposition du système matriciel en déplacements inconnus (nœuds ou les charges sont données) et déplacements imposés (les charges sont alors inconnues).

[ ] [ ][ ] [ ]

11 12

21 22

i d

d i

U FK K

U FK K

=

Le premier bloc d'équations nous donne le vecteur des déplacements nodaux inconnus:

[ ] [ ] 1

11 12 i d dU K F K U−= − C’est le système réduit

En reportant dans le second nous obtenons le vecteur des efforts de liaison inconnus:

1 122 21 11 12 21 11 i d dF K K K K U K K F− − = − +

Dans les exercices très souvent les déplacements sont imposés nuls, ce qui simplifie les écritures et les

calculs [ ] 1

11 i dU K F−= puis [ ] 21 i iF K U=

Post-traitement

Pour effectuer le dimensionnement d'une structure nous avons besoin de calculer l'état de contrainte dans la structure, pour un treillis cela revient à calculer l'effort normal dans les éléments.

Nous utilisons la loi de comportement intégrée :

, , ( )x x e j ie

ESN ES u ES N U u u Cte= = < > = − =

ℓ

L'état de contrainte est constant dans chaque élément fini

Les ieF sont les efforts du nœud i sur les

éléments e (effort appliqué à l'élément)

D'où le signe moins pour avoir les efforts des éléments sur le nœud.


33

En statique, pour des treillis chargés aux nœuds le modèle éléments finis ne nécessite qu'un élément par barre du treillis, il donnera la solution analytique exacte. Ce n'est évidemment pas le cas ni pour une colonne chargée par son poids propre, ni pour les problèmes de dynamique, ou la solution exacte se décompose sur une base de fonctions sinusoïdale (cf chapitre sur les solutions analytiques pour les barres) . Dans le cas bidimensionnel, l’état de contrainte sur un élément est donné par :

( )j i

j ij ie e

u uES ESN u u C S

v vα α− = − = < > − ℓ ℓ

Exemple

a

xo

yo

F

2a

a

2a1 2

3 3u

3v

2u

a

F

2a1X1Y 2Y

1

3

2

[ ]

1

1

2

2

3

3

0

0

0

0

0 X

Y

Y

u

u

v

K

F

=

(1)

(2) (3)a

xo

yo2a

1 2

3

1

a

3

1u

1v

3u

3v

45α = °

2

a

3 3u

3v

135α = °2u

2v

Analyse

Nous avons 3 nœuds à 2 variables par nœuds ( , )i ju u les déplacements

du nœud dans le plan. Modèle à 6 degrés de liberté

1 1 2 2 3 3

TU u v u v u v=

vecteur des déplacements nodaux

Les conditions aux limites :

Appui au nœud 1 : 1

1

0

0

u

v

= =

soit deux efforts inconnus : 1

1

X

Y

Appui glissant au nœud 2 : 2 0v = soit un effort inconnu : 2Y

Le travail virtuel des efforts donnés et inconnus appliqués à la structure conduit à l’expression du vecteur des forces nodales :

1 1 20 0T

YF X Y F=

pour 2 3 30 0 0T

u uU v=

Nous avons donc 6 inconnues pour 6 équations

Les équations 3,5, et 6 nous permettent de déterminer le champ de déplacement de la structure (sa déformation).

Les équations 1, 2 et 4 nous donnerons les efforts aux appuis en fonction de ces déplacements.

Calculons la matrice raideur [K] de cette structure.

Pour l’élément 1 (1,2) 12a

21u 2u

1 1 21 1

sur 1 12

ESK u u

a

− = −

Pour l’élément 2 (1,3) 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 12

1 1 1 1

ESK

a

− − − − = − − − −

1 1 3 3 sur u v u v

Pour l’élément 3 (2,3) 3

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 12

1 1 1 1

ESK

a

− − − − = − − − −


34

2 2 3 3 sur u v u v

L’énergie de déformation totale de la structure est la somme des énergies de déformation de chaque élément, l’assemblage des matrices consiste à ranger chaque terme dans une matrice globale définie sur

le vecteur 1 1 2 2 3 3

TU u v u v u v=

D’où la matrice globale

[ ]

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

11 1 1

0

0 0

02 0 0

1 1 1 1

2 2

2

1 1 1

1 1 1 1

2ESK

a− −

− −− + −

=

− −−

−

+ −

−

−

−−

+

− +−

−

L’équation matricielle [ ] K U F= à résoudre est la suivante :

2

2

3

3

1

1

01 2 1 1

1 2 001

01 2 1 0

01 1 0

2 0 102 0 0 1

1 1 1

1 1 1

2 1 1

0 1 1

1 1 1

0 2

X

Y

ES

a

v

Y

u

u F

+ − − = − − − − −

− − −− −

+ −

−− −

Pour résoudre nous tenons compte des conditions aux limites cinématique ce qui réduit le système à 3 équations. Ce système réduit est :

2

3

3

1 2 1 1 0

1 2 02

1 0 2 0

u

u

v

ESF

a

+ − − =

2

3

3

21

(1 )2 2

2 2

F au

ES

Fu a

ES

F av

ES

= = +

= −

Nous pouvons alors calculer les efforts aux appuis

( )( )

( )

1 2 3 3

1 3 3

2 2 3 3

2 ( )2

2

2

ESX u u v

aES

Y u va

ESY u u v

a

= − − + = − + = − + −

1

1

2

/ 2

/ 2

X F

Y F

Y F

= − = − = +

Post-traitement Calculons l'effort normal dans les éléments

les termes de la matrice K1 sont en bleu la matrice K2 sont en rouge la matrice K3 sont en vert

Les 3 équations donnant les déplacements nodaux sont en bleu Celles permettant de calculer les efforts sont en rouge

L’équilibre global de la structure est vérifié

/ 2F−

1 2

F

/ 2FF−

Allure de la déformée 3u

1 2

F

2u

L’équilibre de chaque nœud est vérifié

(1)

(2) (3)

/ 2F−

F

/ 2FF−

1N 1N

2N2N

3N3N


35

, xN ES u= ==>

( )

( )

( )

1 2

2 3 3

3 3 2 3

/ 22

/ 22

/ 22

ESN u F

aES

N u v Fa

ESN u u v F

a

= = = + =

= − − − = −

Remarques

Tous les calculs sont systématiques et la démarche suivie sera toujours la même en statique. Facilité de programmation de ce type de solution Seule l’analyse, du problème et des résultats, reste à la charge de l’ingénieur.

La matrice raideur du système réduit était inversible " det( ) 0K ≠ " car les conditions aux limites en

déplacement bloquaient tous les modes rigides de la structure. Problème statique bien posé

Les efforts calculés aux appuis équilibrent parfaitement le chargement. Les résidus d'équilibre sont nuls, car nous travaillons sur la solution analytique de l'équation matricielle. Dans le cas d’une résolution numérique ces résidus doivent tendent vers zéro (erreur

numérique).

Les contraintes calculées sur les éléments équilibrent de façon exacte (aux résidus près) les charges nodales. Ceci est vrai dans ce cas particulier « calcul statique d’un treillis chargé aux nœuds » car l’approximation utilisée représente le champ exact de la solution analytique « effort normal constant dans chaque élément de la structure ». Erreur de discrétisation qui est nulle

En post – traitement il est possible d’isoler un à un chaque élément de la structure pour écrire l’équation matricielle de l’équilibre de l’élément. Ces calculs permettent de déterminer les efforts internes aux nœuds de la structure, nous en donnons des exemples dans les exercices de cours.

Exercices



36

Exercice 8 : Modélisation EF d'une colonne sous son poids propre Objectifs : Notion d'erreur de discrétisation, et analyse des résultats EF. Étude de convergence en affinant le maillage.

= 6hg

x

ℓ

1- Établir l'équation matricielle d'un modèle à un élément fini Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts) Tracer les résultats sur l'élément (déplacement & efforts)

2- Construire le modèle utilisant deux éléments finis identiques Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts) Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts)

3- Modèle à 3 éléments, pour affiner le maillage dans la zone la plus contrainte nous utilisons 3 éléments de longueur h, 2h, et 3h.

Déduire des calculs précédents l'équation matricielle du modèle. Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts)

Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le nombre d'éléments et densifié le maillage dans la zone la plus chargée. Cette méthode dite « h convergence » demande en général un nombre élevé d'éléments finis.

La figure suivante présente les résultats d’un modèle éléments finis en contraintes planes. Pour quantifier l’erreur relative à cette discrétisation, la démarche est identique à celle de cet exercice, elle est basée sur l’analyse de la discontinuité du

champ des contraintes entre deux éléments adjacents.

en MPa

Dans cette section le diagramme des contraintes est le suivant

VMσ solution cherchée

solution éléments finisconstante par morceau

145

83

62

Discontinuité

L’erreur est beaucoup trop importante. Ce modèle n’est pas satisfaisant, il faut affiner le maillage


37

Exercice 9 : Utilisation d'éléments finis de degré deux Objectifs : Amélioration de la convergence en augmentant le degré de l'approximation

= 6hg

x

ℓ

Pour approximation polynomiale du second degré de la forme.

2 2( , ) 0 1 2 1 , , x t iu a a x a x x x a= + + = < >

Nous devons utiliser un élément fini à 3 nœuds, et

construire l'approximation nodale sur 1 2 3u u u< > x

1

1u2

3u2u3

l

1- Déterminer les fonctions d'interpolation nodale de cet élément de degré 2.

2- Calculer la matrice raideur élémentaire correspondante.

3- Calculer la force généralisée due au poids propre de cet élément.

4- Déduire des calculs précédents les résultats avec un modèle à 1 élément fini de la colonne.

Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le degré de l’approximation élémentaire. Cette méthode dite « p convergence » est en général beaucoup plus rapide, elle nécessite moins d’éléments finis.

Les figures suivantes illustrent les deux choix d’améliorations possibles d’un modèle numérique dont l’erreur liée à un maillage grossier est trop importante.

En affinant le maillage localement

"h" convergence

En utilisant des éléments de degré 2

"p" convergence

Exercice 10 : Étude d’un treillis symétrique de trois barres Objectifs : Techniques de mise en œuvre de la méthode des éléments finis, changement de base, assemblage, résolution, calcul des efforts, et vérification des équations d'équilibre.

h

h

F

Considérons le treillis de trois barres ci-contre Modélisation.

Préciser la numérotation de vos éléments et de vos nœuds. Définissez vos vecteurs globaux :

U vecteur des déplacements nodaux ( , )i iu v

DF vecteur force généralisé associé aux efforts donnés

IF vecteur force généralisé associé aux efforts inconnus

Calcul de la matrice raideur Exprimer la matrice raideur de chaque élément sur ses variables nodales.


38

En déduire l'expression de la matrice raideur assemblée complète. Extraire la matrice raideur réduite.

Résolution statique - Efforts aux appuis Déterminer la déformée statique, et représenter l'allure de la déformée. Calculer les efforts aux appuis, et vérifier l'équilibre global de la structure.

Post traitement Calculer les contraintes sur chaque élément, puis vérifier l'équilibre du nœud qui est chargé. Isoler une des barres à 45° de la structure, et calculer les efforts extérieurs sur cet élément. Retrouver les résultats précédents.

Utiliser la symétrie Préciser le nouveau maillage en tenant compte de la symétrie. Calculer la matrice raideur réduite et retrouver la solution en déplacement.

Exercice 11 : Modélisation EF du treillis de l'exercice 7 Objectifs : Élimination des mouvements d'ensemble, et prise en compte des symétries.

F

F

ℓ

ℓ

Nous cherchons la réponse statique du treillis de 6 barres, en utilisant un modèle éléments finis.

1. Pourquoi ce problème est-il mal posé ?

2. Définir un modèle EF de la structure qui soit bien posé.

3. Simplifier le modèle en tenant compte des symétries.

4. Déterminer la déformé statique et les efforts dans les barres Validez vos résultats.

Pour assimiler le cours il faut traiter des exercices non corrigés.


Ce thème de cours sur l'étude des treillis et des barres en élasticité linéaire est terminé. Vous avez vu :

Les hypothèses du modèle et les équations qui en découlent. Les méthodes de résolution analytique de problèmes monodimensionnels en statique (dynamique). Les méthodes de résolution analytique de problèmes bidimensionnels : treillis simples en statique. L'utilisation de la méthode des éléments finis pour les structures plus complexes.

Nous abordons les mêmes thématiques pour des problèmes de flexion : Étude des poutres et l'application au calcul des portiques.

Hypothèses du modèle poutre 39/106

39

Modèle poutre

Ce modèle est basé sur l'hypothèse d'un état de contrainte anti-plan 0 0

0 0

xx xy xz

xy

xz

σ σ σσ σ

σ

=

Comme pour le modèle barre (traction) nous utilisons les résultats de l’étude du problème de Saint-Venant Pour justifier les hypothèses du modèle poutre. Deux problèmes sont présentés dans ce qui suit :

• Problème de flexion

• Problème de torsion

Les résultats présentés permettront en appliquant le principe de superposition à la flexion, traction, et torsion de modéliser les portiques tridimensionnels.

Problème de Saint Venant Solide cylindrique élancé dont une dimension est grande devant les deux autres. Matériau homogène isotrope élastique. Chargement statique aux extrémités conduisant à des petites perturbations.

Le problème de Saint Venant est représenté par la figure suivante :

1e

2e

3e 0R

L

0S1SLS0C

1C

0M

1R

1M

Problème de Saint Venant

Dans toute partie du solide suffisamment éloignée des frontières S0 et S1 où sont imposées les conditions aux limites la solution du problème d’équilibre élastique sera indépendante de la distribution de charge "statiquement équivalente" utilisée.

Le cylindre est à l'équilibre 0 1

0 1 1 1

0

0

R R

M M Le R

+ =

+ + Λ =

Convention :

Le torseur des efforts agissant sur une section droite d'une poutre est dit torseur des efforts de cohésion ou torseur des efforts intérieurs, ce torseur est défini par rapport à la normale extérieure à la facette (convention de la MMC, section située à l'intérieur du milieu)

Ce torseur du point de vu mécanique représente le torseur des actions extérieures exercées sur la facette considérée.

Notation : " et équivalence des notations" en bleu "RDM" en rouge "Eurocodes"

2

,.,. 3zn

y

N

V

V

N

TR

T

= = =

Effort normal

Effort tranchant

Effort tranchant

,.,.

1

2

3

y

fn

t

f

z

M

MM

M

M

M M

= = =

Moment de Torsion

Moment de flexion

Moment de flexion

Nous utilisons l'une ou l'autre de ces notations

Pas de chargement sur LS

Pas de charge volumique

On travaille sur l'état non déformé de la structure


40

Problème de Saint Venant en flexion

Pour traiter un problème de flexion, nous appliquons sur les frontières définies par les surfaces oS et 1S

des efforts dont le torseur est équivalent un couple de flexion suivant une direction 3e

orthogonale à la

direction 1e

de la "poutre", ces conditions sont représentées par la figure suivante :

1e

M

M−

Pb flexion

3e

3e

( ) 0

( ) 0 3

0

M

So

Mo

So

R T dS

M C M T dS M e

= =

= Λ = −

∫

∫

( ) 1

1

( ) 1 1 3

1

0

M

S

M

S

R T dS

M C M T dS M e

= =

= Λ = +

∫

∫

Principe de St – Venant Nous adoptons la démarche en contrainte qui consiste à écrire :

Équation locale : ( ) 0div σ =

et les conditions aux limites sur oS , 1S , LS

Équations de compatibilité ,, , ,

( )0

1 1ij

ij l l ij i j j i

Trf f f

σ νσ δν ν

∆ + + + + =+ −

La loi de comportement 1 1( ) ( ) 1f Tr

E E

ν νε σ σ σ− += = − +

Et intégrer les 6 relations ( ) / 2T

H Hε = + avec H gradu=

Résolution

Les 3 équations d'équilibre , , ,

,

,

0

0

0

xx x xy y xz z

xy x

xz x

σ σ σσσ

+ + = = =

Dans 1 , ( , )ctxx x f y zσ = d'où 0 1( , ) ( , )xx f y z f y z xσ = +

Les 6 équations de compatibilité (Beltrami)

Permettent de définir les conditions sur 0 1( , )f f pour pouvoir intégrer les déformations

Pas de charge de volume ,(1 ) ( ) 0ij ijTrν σ σ+ ∆ + = soit ,(1 ) 0ij xx ijν σ σ+ ∆ + =

Pour i j= (1,2,3):,

,

,

(1 ) 0

0

0

xx xx xx

xx yy

xx zz

ν σ σσσ

+ ∆ + = = =

et pour i j≠ (4,5,6):,

,

,

(1 ) 0

(1 ) 0

0

xy xx xy

xz xx xz

xx yz

ν σ σν σ σ

σ

+ ∆ + = + ∆ + = =

Éq 2&3 0 1,f f sont des fonctions de degré 1 en y et z soit : 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

f a b y c z d yz

f a b y c z d yz

= + + + = + + +

L'équation 1 est alors vérifiée

L'équation 6 0 1 0d d= = soit 0 1 0 0 1 1xx a a x b y c z b xy c xzσ = + + + + +

Il reste à satisfaire : 1

1

(1 ) 0

(1 ) 0xy

xz

b

c

ν σν σ

+ ∆ + = + ∆ + =

pour les équations 4 & 5 de Beltrami

Et , , 1 1 1 0xy y xz z a b y c zσ σ+ + + + = pour l'équation d'équilibre

Eq 2 &3

( , )xy xzσ σ sont indépendantes de x

6 conditions de Beltrami


41

Utilisons la condition aux limites sur S1 : 1

( )

1

1

0

0 0

xy

SM

S xz

S

dS

T dSdS

σ

σ

=

= ⇒ =

∫∫

∫

Les contraintes de cisaillement étant indépendantes de x, les conditions sur So sont identiques

Choix : pour imposer le moment de flexion nous n'utiliserons que la contrainte normale 1

0

0xy

xzS

σσ

= =

Principe de St – Venant : ce choix n'altère pas la solution

Les contraintes de cisaillement étant indépendantes de x 0

0xy

xz

σσ

= =

partout

L'Hypothèse "état de contrainte anti-plan" ==> état de contrainte uni axial en flexion

La condition surface LS non chargée est alors vérifiée.

Les équations de Beltrami (4 & 5) 1 1 0b c= = et l'équation d’équilibre 1 0a =

Finalement l'état de contrainte :

0 0

0 0 0

0 0 0

xxσσ

=

avec 0 0 0xx a b y c zσ = + +

C’est une des hypothèses de base du modèle de l’ingénieur « modèle poutre en flexion »

Satisfait : Les équations d'équilibre et les conditions de Beltrami

Les conditions aux limites sur LS : ( ) 0M nσ =

0 1

( )

/

0M

S S

T dS=∫

dans les directions tangentielles

Il reste à satisfaire les conditions suivantes sur 0S ou 1S

Résultante : 1

0xx

S

dSσ =∫

Moment :

1

0 0

0 0

0

xx

S

y dS

z M

σ Λ =

∫ soit 1

1

0

xx

S

xx

S

z dS

y dS M

σ

σ

=

− =

∫

∫

Soit le système d'équations :

0 0 0

20 0 0

20 0 0

0

0

S S S

S S S

S S S

a dS b ydS c zdS

a zdS b yzdS c z dS

a ydS b y dS c yzdS M

+ + =

+ + =− − − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

En notant G le centre de surface, G

S

ydS Sy=∫ et G

S

zdS Sz=∫

La ligne des centres de surface est appelée fibre moyenne

En notant I l'opérateur quadratique de la section droite : 2yy

S

I z dS= ∫ , yz

S

I yz dS= ∫ et 2zz

S

I y dS= ∫

Car le problème est indépendant de x

Il reste

1

0xx

S

dSσ =∫

à vérifier.

Vous pouvez vérifier que sur la facette de normal

x− vous retrouvez la même relation.


42

Le système à résoudre s'écrit :0

0

0

0

0

G G

G zz yz

G yz yy

S Sy Sz a

Sy I I b M

Sy I I c

= −

En pratique nous choisirons l'origine en G ce qui nous conduit à :

0

0

0

0 0 0

0

0 0zz yz

yz yy

S a

I I b M

I I c

= −

I(G,S) Moments quadratiques de la section droite en G

D'où la solution : 0

20

0

0

/

/yy yy zz yz

yz

a

b MI avec I I I

c MI

= − ∆ ∆ = −

∆

Et l'état de contrainte 2

( )xx yy yzyy zz yz

MyI zI

I I Iσ = − +

−

Cette solution est la solution du problème lorsque le moment de flexion n'est pas appliqué suivant une des directions principales de la section droite. Il y aura alors flexion dans les deux plans principaux de la section droite on parle de flexion déviée.

Pour étudier la flexion plane la direction 3e

doit être une direction principale de la section droite.

La matrice des moments quadratique exprimée sur la base 2 3( , )e e

est donc diagonale.

Le système est alors 0

33 0 3

22 0

0 0 0

0 0

0 0 0

S a

I b M

I c

= −

==> 3

33xx

My

Iσ = − flexion dans le plan 1 2( , )e e

Ayant traité le problème dans un plan principal de la section droite, il est simple de reprendre ce qui

précède dans le second plan principal avec un moment de flexion 2M dans la direction 2e

La contrainte axiale est alors : 2

22xx

Mz

Iσ = flexion dans le plan 1 3( , )e e

La flexion déviée est la superposition de ces deux flexions planes, elle a lieu si le moment de flexion n'est pas appliquée sur une des directions principales de la section droite. Dans ce cas la contrainte axiale est donnée par

1e

3M3M−

3e

3e

2e

2e

2M2M−

32

22 33xx

MMz y

I Iσ = −

L'axe neutre est défini par 3 22

2 33

M Iz y

M I=

Grandeur non intrinsèque, qui est fonction du chargement

La contrainte xxσ est maximale sur les points de la section les plus éloignée de l'axe neutre.

Pour terminer la résolution du problème d'élasticité, nous revenons au problème de flexion plane dans le

plan 1 2( , )e e

avec 2e

direction principale de la section droite.


43

En flexion plane

3

33xx

My

Iσ = − 1e

3M3M−

compression

3e

3e

traction

x

3

33xx

My

Iσ = −

Le champ de déplacement associé à cette flexion plane, est obtenu en intégrant l'état de déformation de la poutre que nous calculons avec la loi de comportement du matériau.

Pour un matériau homogène isotrope élastique : 1

( ) 1TrE E

ν νε σ σ+= − +

1 0 0

0xx

Esym

σε νν

= − −

Posons 3

33

M

EIα =

xx

yy zz

y

y

ε αε ε αν

= − = =

Soit pour le champ de déplacement : (1,2,3) ,

,

,

x

y

z

u y

v y

w y

ααναν

= − = =

et (4,5,6) , ,

, ,

, ,

0

0

0

y x

z x

z y

u v

u w

v w

+ = + = + =

Il faut intégrer ces 6 relations

(1,2,3) 1

21

1

( , )

/ 2 ( , )

( , )

u yx u y z

v y v x z

w yz w x y

ααναν

= − +⇔ = + = +

dans (4,5,6) 1, 1,

1, 1,

1, 1,

0y x

z x

z y

u v x

u w

v w z

α

να

+ =

⇒ + = + = −

1( , )u y z et 1( , )w x y dans (5) 1, 1, 1( )z xu w f y= − = ( ) ( )1 1 2

( ) ( )1 1 3

y y

y y

u f z f

w f x f

= + = − +

Reportons dans (4) 1, 1, 1 2x yv x u x b z bα α= − = − − d'où 2( )1 1 2/ 2 zv x b xz b x fα= − − +

Puis dans (6) 1, 1 ,y zw z b x fνα= − + − soit : 1 3 1 ,zb x b z b x fνα− + = − + −

Il faut donc que 1 0b = , 3zf z bνα= − −

Finalement : 23/ 2 of z b z cνα= − − + D'où :

1 1 2 22 2

1 2 3

1 1 3 3

/ 2 / 2 o

u a z a b y

v z x b x b z c

w a x a b y

να α= + +

= − + − − + = − + +

Et la solution complète :

1 2 2

2 2 22 3

1 3 3

( ) / 22 o

u yx a z a b y

v y z x b x b z c

w yz a x a b y

ααν α

αν

= − + + + = − + − − +

= − + +

Analyse de cette solution

La solution générale fait apparaître les 6 déplacements d'ensemble (modes rigides) de la structure.

Ces modes rigides sont définis par o o

o o

o o

u p x u qz ry

v q y v rx pz

w r z w py qx

+ − + Λ = + − + −

3e

Direction principale

Avec ( )yi i if a b y= +

Fonctions de degré 1


44

On identifie les modes rigides 2 3 2 1 2

1 2 3

3 2 3 3 1

o o

a b x a a z b y

c a y c b x b z

a b z a b y a x

+ + + Λ = − − − + −

Une solution particulière est alors donnée par

2 2 2( ) / 22

u yx

v y z x

w yz

ααν α

αν

= − = − +

=

Cette solution particulière pouvait être obtenue rapidement Elle correspond aux déplacements en x= 0 bloqués

Recherche direct de la solution particulière : Choix ( 0) 0xu = = 1 0u =

dans (5) 1, 0xw = Choix ( 0) 0xw = = 1 0w =

dans (4 & 6) 1,

1,

x

z

v x

v z

ανα

=⇒ = −

2 21 ( )

2v x z Cte

α ν= − +

choix ( , 0) 0x zv = = 2 21 ( )

2v x z

α ν= −

Analyse de cette solution particulière : 2 2 2( ) / 22

u yx

v y z x

w yz

ααν α

αν

= − = − +

=

La déformée de la fibre moyenne " ( , ) (0,0)y z = " est donnée par 2 / 2v xα=

C’est la flèche de la poutre M

C'est la déformée d'une poutre encastrée – libre (choix de la solution particulière) Il y a bien équivalence avec le problème posé

M MM−

Les déformées sont identiques

Le déplacement "u yxα= − " correspond à la rotation des sections droites, c'est

l'hypothèse de Bernoulli : toute section droite reste droite et orthogonale à la fibre moyenne.

( ) ( ) ( ) ( )M G Gu u GM et rot uθ θ= + Λ =

Pour ( ) ( ) 2 G xu v e= , 3 xv eθ =

et , xu y v yxα= − = −

xo

n

M

G

Section droiteenG

Les termes restants 2 2

0

( )2

y z

yz

αν

αν

−

correspondent à la déformation des sections

Ce sont des termes du second ordre ,y z x≪

3e

2e

G

Traction

Compression

Cette analyse est celle faite par Bernoulli qui à proposé le modèle des poutres longues utilisé en "RDM"


45

Bilan : Modèle de Bernoulli des poutres longues en flexion

Petits déplacements & petites déformation (HPP)

Section invariante 0S S≡ et toute section droite reste droite et orthogonale à la fibre moyenne

( ) ( ) ( ) ( )M G Gu u GM et rot uθ θ= + Λ =

État de contrainte uni axial :

0 0

0 0 0

0 0 0

xxσσ

=

Ces deux hypothèses sont inconsistantes car on ne peut pas passer de l'une à l'autre en utilisant les lois de comportement du matériau. En face de ces contradictions internes on doit adopter une solution de compromis. Ce compromis permet de déterminer la réponse statique ou dynamique de structures complexes composées d'un assemblage de poutres ou de barres. La réponse obtenu avec le modèle simplifié de Bernoulli donne des informations globales sur la déformée et la répartition des contraintes maximales dans la structure. Cette réponse est tout à fait acceptable lorsque les éléments structuraux sont élancés. Elle néglige cependant le phénomène de gauchissement des sections droites associé à l'existence des efforts tranchants (contraintes de cisaillement).

Il est possible d'appliquer des coefficients de forme qui dépendent de la géométrie des sections pour améliorer le modèle de Bernoulli en passant au modèle de Thimoshenko qui autorise une rotation non orthogonale à la ligne moyenne des sections droites.

En tout état de cause ces deux modèles ne permettent pas de remonter sérieusement à l'état de contrainte réel dans la structure au voisinage des assemblages et de points d'application des chargements. Seul un modèle tridimensionnel de ces assemblages peut donner une représentation de l'état de contrainte dans ces zones. Les Normes (Eurocodes) donnent des règles de vérification et de validation des sections à partir des informations sur les efforts généralisés fournis par un modèle poutre de la structure.

En flexion plane dans le plan 1 2( , )e e

: ( ) ( ) 2 G xu v e= et , 3 xv eθ =

,

( , ) ( , )

0

x

M t x t

yv

u v

−=

D'où , xx xxy vε = − en petite déformations

Et pour un milieu isotope homogène élastique : , xx xx xxE E yvσ ε= = −

En intégrant les contraintes sur la section nous obtenons le torseur des efforts de cohésion

xxxx vEy , −=σ

x G

3

3 3 ,

xx xx

S

Mf M z

avec M y dS EI vσ

=

= − =∫

x

0

=RTorseur résultant en GContraintes

y

y

État de contrainte sur la section d'une poutre en flexion plane

1 2( , )e e

.

D'où la loi de comportement intégrée dans le plan 1 2( , )e e

: 23 3 ,

xM EI v=

En flexion plane dans le plan 1 3( , )e e

attention aux signes

Avec 2

3

S

I y dS= ∫

Moment quadratique principal

par rapport à l'axe 3( , )G e


46

( ) ( ) 3 G xu w e= et , 2 xw eθ = −

,

( , )

( , )

0x

M t

x t

zw

u

w

−=

d'où , xx xxz wε = − et xx xxEσ ε=

La loi de comportement intégrée dans le plan 1 3( , )e e

: 22 2 ,

xM EI w= −

I Flexion Déviée

Une poutre chargée dans une direction qui n'est une direction principale de la section droite se déformera dans les deux directions principales, on parle de flexion déviée. Pour calculer la réponse de la structure on procédera par superposition.

La contrainte axiale sera donnée par : 32

2 3xx

MMz y

I Iσ = −

Elle est nulle sur la droite d'équation 3 22

2 33

M Iz y

M I= axe neutre

La contrainte est maximale sur les lieux les plus éloignés de l'axe neutre

Problème de Saint Venant en torsion

Le phénomène de torsion non encore étudié apparaitra dans les structures tridimensionnelles, et lorsque la direction du chargement ne passe pas par le centre de rotation de la section droite (centre de torsion) il y aura alors superposition de flexion et de torsion.

Pour traiter ce problème nous allons adopter une approche en déplacement, nous utilisons le principe de St-Venant pour traiter le problème équivalent d'une poutre encastrée à l'origine ce qui permet d'éliminer les constantes associées aux mouvements rigides.

1e

MPb équivalent

1e

M-M

L'expérience montre que le champ de déplacement comporte deux termes qui peuvent s'exprimer en fonction du taux de rotation des sections droites "α ".

( ) ( , ) 1 1 P y zu e x e CPϕα α= + Λ

Le terme 1 x e CPα Λ

traduit la rotation par rapport au centre de rotation C, elle est linéaire en x

Le terme ( , ) y zα ϕ caractérise le gauchissement des sections que l'on suppose proportionnel à la

rotation des sections.

Nous devons résoudre le système d'équation

Équation locale : ( ) 0div σ =

Avec ( ) 1 2

( ) / 2T

Tr

H H

σ λ ε µε

ε

= + = +

Conditions aux limites :

Sur LS : ( ) 0M nσ =

Avec 2

2

S

I z dS= ∫

par rapport à l'axe 2( , )G e

/d dxα = Ω taux de rotation des sections

La condition sur oS : ( ) 0Pu =

est vérifiée si (0) 0α =


47

Sur 1S :

( ) 1 1

1

( ) 1 1 1 1

1

0

M

S

M

S

R e dS

M C M e dS M e

σ

σ

= = = Λ = +

∫

∫

Partons de

( , ) ( , )

( ) ( , ) 1 1

0

0 0

0 0

y z y z

P y z

x

u e x e CP y xz

z xy

α ϕ α α ϕα ϕ α α

α

= + Λ = + Λ = −

, ,0

0

0

y z

H z x

y x

αϕ αϕα α

α α

= − −

, ,0 ( ) ( )2 2

0 0

0

y zz y

sym

α αϕ ϕ

ε

− +

=

Le tenseur des déformations correspond à du glissement pur dans les plans xy et xz

Puis ( ) 1 2 2Trσ λ ε µε µε= + =

0

0 0

0

xy xz

sym

σ σσ

=

avec :,

,

( )

( )xy y

xz z

z

y

σ αµ ϕσ αµ ϕ

= − = +

L'état de contrainte est un état anti-plan de cisaillement pur Et il est indépendant de x

Les équations d'équilibre ( ) 0div σ =

conduisent à 1 équation , , 0xy y xz zσ σ+ = , ,( ) 0yy zzαµ ϕ ϕ+ =

Soit 0ϕ∆ =

ϕ est donc une fonction harmonique

Pour déterminer cette fonction, il faut exprimer les CL sur LS : ( ) 0M nσ =

Posons

0

y

z

n n

n

=

sur LS : ( ), ,( ) ( ) 0y y z zz n y nαµ ϕ ϕ− + + =

En notant que ,

,

0

y

z

gradϕ ϕϕ

=

, , .y y z zn n grad nϕ ϕ ϕ+ =

n

2e

3e

xC

t

Et que

0

CP y

z

=

et

0

z

y

t n

n

= −

. z yyn zn CP t− + =

La condition ( ) 0M nσ =

sur LS conduit à : . . grad n CP tϕ =

C'est une condition de flux en effet . CP tn

ϕ∂ =∂

La fonction ϕ est solution du problème de Neumann sur la section.

0

. .

sur S

grad n CP t sur S

ϕϕ

∆ =

= ∂ Le problème est que l'on ne connaît pas C

En pratique on choisit un point de référence, et ϕ est définie à une constante près

( ) 0Tr ε =

La transformation est iso-volume

on retrouve l'équation de Navier 0u∆ =


48

On peut noter que . 0S S

dS grad n dϕ ϕ∂

∆ = =∫ ∫

ℓ Les équations sont cohérentes

Il nous reste à écrire les CL sur 1S :

( ) 1 1

1

( ) 1 1 1 1

1

0

M

S

M

S

R e dS

M C M e dS M e

σ

σ

= = = Λ = +

∫

∫

• Calculons ( ) 1 1 , 2

1 1, 3

0 0

( ) 0

( )

M y

S Sz

R e dS z dS V

y V

σ ϕϕ

= = − = = +

∫ ∫

La condition 2 0V = ,

1 1

y

S S

dS zdSϕ =∫ ∫ Or 3

1

. S

zdS SCG e=∫

représente la position de G / C

En pratique on connaît la position de G (centre de la surface)

On en déduit donc la position de C centre de torsion / G / ,

1

1C G y

S

z dSS

ϕ= − ∫

De même pour 3 0V = / ,

1

1C G z

S

y dSS

ϕ= ∫

La démarche consiste donc à déterminer la fonction ϕ solution du Pb de Neumann

Puis à calculer la position du centre de torsion connaissant le centre de surface

• Calculons ( ) 1 1 1

1 1

0 0

0

0

t

M xy

S Sxz

M

M C M e dS y dS

z

σ σσ

= Λ = Λ =

∫ ∫

avec ,

,

( )

( )xy y

xz z

z

y

σ αµ ϕσ αµ ϕ

= − = +

Soit 2 2 , ,

1 1

( ) ( ) t z y

S S

M y z dS y z dS Jαµ ϕ ϕ αµ

= + + − = ∫ ∫

Analyse : /d dxα = Ω c'est le taux de rotation des sections

Gµ = est le module de glissement 2(1 )G Eµ ν= = +

On pose 2 2 , ,

1 1

( ) ( )z y

S S

J y z dS y z dSϕ ϕ= + + −∫ ∫ moment quadratique de torsion

La loi de comportement intégrée de torsion : , t xM GJ θ=

Il faut déterminer la fonction de gauchissement ϕ solution du problème de Neumann pour pouvoir

calculer J .

Bilan : Modèle des poutres en torsion

Petits déplacements & petites déformation (HPP) : Section invariante 0S S≡

( ) ( , ) , 1 , 1 M y z x xu e x e CMϕ θ θ= + Λ

0

0 0

0

xy xz

sym

σ σσ

=

avec :, ,

, ,

( )

( )xy x y

xz x z

z

y

σ θ µ ϕσ θ µ ϕ

= − = +

La fonction de gauchissement ϕ est solution du problème de Neumann0

. .

sur S

grad n GP t sur S

ϕϕ

∆ =

= ∂


49

Le centre de torsion est alors donné par / ,

1

1C G z

S

y dSS

ϕ= ∫ et / ,

1

1C G y

S

z dSS

ϕ= − ∫

Avec G centre de surface

La loi de comportement intégrée de torsion est notée , t xM GJ θ=

Avec 2 2 , , , ,

1 1 1

( ) ( ) ( )z y o y z

S S S

J y z dS y z dS I z y dSϕ ϕ ϕ ϕ

= + + − = − − ∫ ∫ ∫

avec 2 2

1

( )o

S

I y z dS= +∫

( )2

1

o

S

J I grad dSϕ= − ∫

Ne dépend que des caractéristiques géométriques de la section droite.

oJ I≤ le calcul approché rapide consiste à prendre oJ I≈

Caractéristiques des sections

La surface S dSΣ

= ∫∫ et le centre de surface

1

:1

G

G

y y dSS

G OG

z z dSS

Σ

Σ

== =

∫∫

∫∫

Les moments statiques par rapport aux axes :

Oz G

Oy G

H S y y dS

H S z z dS

Σ

Σ

= =

= =

∫∫

∫∫

y

z

GGz

Gy

2e

3e

α

Σ

Permettent de définir la position du centre de surface En G les moments statiques sont nuls

Opérateur des moments quadratiques ( , )yy yz

O Syz zz

I II

I I

=

Les moments quadratiques : 2 2yy zzI z dS I y dS

Σ Σ

= =∫∫ ∫∫

Le produit quadratique : yzI yz dSΣ

= ∫∫

Théorème de Huygens 2

( , ) ( , ) 2G G G

O S G S

G G G

z y zI I S

y z y

= +

Repère principal d'inertie 2 3( , , )G e e

tel que 2( , )

3

0

0G S

II

I

=

diagonale

Les valeurs principales sont données par :

2

2

2 2yy zz yy zz

yz

I I I II

+ − ± +

La direction principale par : 2

tan(2 ) yz

yy zz

I

I Iα =

−

Le moment quadratique polaire 2 3o yy zzI I I I I= + = +

Les rayons de giration /i ii I S= et les modules élastiques 1 1 2max/W I d= et 2 2 1max/W I d=

Voir annexe1 pour la démonstration

Toujours positifs

Un axe de symétrie est une direction principale de la section

Moments de la surface / axes Attention aux indices

2 2 3 3/ /xx MaxM W M Wσ ≤ +


50

Caractéristique de deux sections élémentaires

2e

3e

h

b

G

S bh= 3

2 12

bhI =

3

3 12

hbI = et 2 2( )

12o

bhI h b= +

En torsion 3J hbβ= et 2

tMax

M

hbτ

α= (la figure donne l'allure de la répartition du cisaillement)

Maxτ

/h b 1 1.5 2 3 4 6 10 ∞

α 0.208 0.231 0.246 0.264 0.282 0.299 0.313 0.333

β 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.313 0.333

2e

3e

rG

2S rπ= 4

2 3 4

rI I π= = et

4

2o

rI π=

En torsion 0ϕ = Il n'y a pas de gauchissement

oJ I= et 3

2t tMax

M Mr

J rτ

π= = La répartition de cisaillement est ortho-radiale

Exercice 1 : Caractéristiques des sections droites Objectifs : Calculer les caractéristiques mécaniques d'une section composée

Pour les sections suivantes calculer la surface, la position du centre de surface, les moments quadratiques principaux.

r h=

e

eh

b

e

h

b

e

e

h

b

e

h

b

e

Classer les profilés par leur rapport "masse/ raideur" en supposant e h≪ et b h=

Exercice 2 : Flexion déviée Objectifs : Déterminer la base principale des moments quadratiques L'axe neutre et le lieu des contraintes maximales

Soit une poutre console dont la section est un profilé en L

Fe

h

b

ey

z

Gx

O

Données numériques en mm:

39 19 2h b e= = =

Déterminer la position du centre de surface de la section On donnera l'expression exacte puis l'expression approchée en supposant ,e h b≪

Déterminer la matrice des moments quadratiques en G de la section.

Déterminer les moments principaux et les directions principales

Déterminer l'équation de l'axe neutre pour le chargement F appliqué suivant l'axe ( , )G z

416 ( / )3,36 1

3 12

b b h

hβ

= − −


51

Le site suivant : http://www.mecatools.free.fr/mecatools.html

Permet de calculer les caractéristiques mécaniques des principales sections que l'on rencontre

Ce petit document de 11 pages : http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/doc/sections.pdf Est un très bon point de départ si vous avez à déterminer les caractéristiques mécaniques des sections droites des poutres

Sur ce site : https://books.google.fr/ vous trouverez le livre Mécanique des matériaux - Page 139 de Charles Massonet et Serge Cescotto qui traite la torsion des poutres du point de vue théorique Enfin les caractéristiques des produits industriels pour les profilés Arcelor Mittal

http://sections.arcelormittal.com/fr/produits-services/gamme-de-produits.html

Annexe 1 : Expressions de 2 2 , ,( ) ( )z y

S S

J y z dS y z dSϕ ϕ

= + + − ∫ ∫

, ,( )o y z

S

J I z y dSϕ ϕ= − −∫ soit 1( ).o

S

J I grad CP e dSϕ= − Λ∫

simple à vérifier

Utilisons les relations vectorielles suivantes :

1 1 1 1( ). ( ). ( ). .( )S S S S

grad CP e dS CP e dS CP e dS CP e dSϕ ϕ ϕ ϕΛ = ∇ Λ = ∇Λ = ∇ Λ∫ ∫ ∫ ∫

Appliquons le TH de la divergence

1 1.( ) ( ). . S S S

CP e dS CP e n d CP t dϕ ϕ ϕ∂ ∂

∇ Λ = Λ =∫ ∫ ∫

ℓ ℓ

Les CL sur ϕ : . . grad n CP tϕ =

1( ). . S S

grad CP e dS grad n dϕ ϕ ϕ∂

Λ =∫ ∫

ℓ

Th de la divergence ( ) 1( ). ( ) . )S S S

grad CP e dS div grad dS grad grad dSϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΛ = = ∆ +∫ ∫ ∫

Or 0ϕ∆ = ( )2

o

S

J I grad dSϕ= − ∫

Cas des sections symétriques pleines

n

2e

3e

C

C∈ éléments de symétrie de la section

On montre que

2

21

( )0

dR

AJ π

θθ

π≅

∫ à comparer à 3

( ) o

S

I r drdθ θ= ∫

Cas des sections à une paroi mince

2e

3e

C

On montre que 2

1

( )

4

dse s

C

AJ ≅

∫

L’hypothèse du calcul consiste à considérer que la répartition de cisaillement est constante sur l’épaisseur.


52

Mise en équations des poutres 53/106

53

Mise en équations des poutres

en flexion plane

Nous avons établi dans le chapitre précédent la loi de comportement généralisée du modèle poutre.

H1 : modèle de Bernoulli )( )()( )(GurotetGMGuMu =Λ+= θθ

Soit en flexion plane θ = v zx o, d'où

,

( , )

0

x

M t

y v

u v

− =

==> εxx x

y v= − , 2

H2 : état de contrainte uni axial σ εxx xxE=

Le calcul du torseur des efforts de cohésion sur une section droite permet de définir le moment de flexion.

M EI vf x=

, 2

I est le moment quadratique de la section droite de la poutre.

Application du PFD

Nous allons écrire les équations de Newton f ma=

pour une tranche d’épaisseur dx de la poutre

Le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre) fait apparaitre le torseur des efforts de cohésion, l'effort tranchant est associé aux contraintes de cisaillement qui s'opposent au glissement des sections.

Les équations de résultante et de moment dynamique sont :

( ) 02 2f f f

T dT T fdx Sv dx

dx dxT dT M dM M T

ρ+ − + = + + + − + ≅

ɺɺ

dMfMf +

x

Mf

T

dTT +dx

f

Soit

] [ ,

,

0, f xx

f x

x Sv M f

T M

ρ∀ ∈ + =

= −

ɺɺℓ

Compte tenu de la loi de comportement intégrée, l'équation locale est : ] [ 4,0,

xx Sv EIv fρ∀ ∈ + =ɺɺℓ

Les conditions aux limites aux extrémités de la poutre peuvent être,

en déplacement imposé : ( ) ( )d dv v t ou tθ θ= =

ou en force imposée : ( ) ( )d dT T t ou Mf Mf t= =

Ces 4 conditions permettent de fixer les quatre constantes d'intégration en x

Pour déterminer la réponse dynamique en temps, il faudra se donner les deux conditions initiales:

( , 0) ( )

( , 0) ( )

x xo

x xo

v v

v v

= = ɺ ɺ

On néglige le moment dynamique de rotation des sections.

Déformée et vitesse de déformation initiales de la poutre


54

Application du PTV

Nous allons écrire le principe des travaux virtuels u W Aδ δ δ∀ = pour une poutre chargée sur sa longueur et à ses extrémités. 0 M

ℓ

oMoF F

ℓ

ℓ

f

x

y

Le travail virtuel des quantités d’accélération est : o

A Sv v dxδ ρ δ= ∫ℓ

ɺɺ

Le travail virtuel des efforts se décompose en travail virtuel des efforts de cohésion et celui des efforts extérieurs soit :

Pour les efforts de cohésion 0

: int xx xxS

W dV dS dxδ σ δ ε σ δε= − = −∫ ∫ ∫ℓ

D

Soit , ,0

int xx xxW EIv v dxδ δ= −∫ℓ

Pour les efforts extérieurs + + + + ext o o o oo

W f v dx F v F v M Mδ δ δ δ δθ δθ= ∫ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

Le PTV conduit à l’équation intégrale suivante :

, , + + + + + xx xx o o o oo o o

v Sv v dx EIv v dx f v dx F v F v M Mδ ρ δ δ δ δ δ δθ δθ∀ = −∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓɺɺ

C’est la forme variationnelle du problème.

Les quatre derniers termes correspondent au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités de la poutre. Dans le cas ou les conditions aux limites portent sur les déplacements, les efforts de liaison sont des inconnues du problème. Pour déterminer l'équation du mouvement il faudra tenir compte des conditions aux limites en déplacements.

Restreindre le choix des déplacements virtuels à des champs virtuels admissibles, permet d'éliminer les efforts de liaison inconnus de la forme variationnelle.

Si ( )tdv v= respectée alors 0vδ = et le F vδ est éliminé de la Formulation

Si ( )tdθ θ= respectée alors 0δθ = et le Mδθ est éliminé de la Formulation

Le travail des efforts de cohésion intWδ peut s'exprimer à partir de la variation de l'énergie de déformation

de la poutre int dW Eδ δ= −

avec ( )2,

0

2 : d xxE dV EI v dxσ ε= =∫ ∫ℓ

D

Équivalence des principes

Dans le chapitre sur la mise en équation des barres nous Partions du PFD pour retrouver le PTV. Nous allons ici faire la démarche inverse. Partons du PTV et transformons l’équation intégrale pour retrouver le PFD (équation locale) et les conditions aux limites du problème.


2, xx x

y vε = −

xx xxEσ ε=


55

Effectuons deux intégrations par partie du terme , , xx xxo

EIv v dxδ∫ℓ

, , , 2 , 3, ,0 0

xx xx x xx xo

EIv v dx v EI v v EI v dxδ δ δ = − ∫ ∫

ℓ ℓℓ

, , , 2 3 4, , ,0 0 0

xx xx x x x xo

EIv v dx v EI v v EI v v EI v dxδ δ δ δ = − + ∫ ∫

ℓ ℓℓ ℓ

Reportons dans : , , + + + + + xx xx o o o oo o o


ℓ ℓ ℓ ℓɺɺ

En regroupant les termes : ( ) ( ) ( )( ) ( )4

3 2, ,

,

3 3, ,

+

+

o ox xo ox

ox x

v F EI v M EI v

v v Sv EIv f dxv F EI v M EI v

δ δθδ δ ρ

δ δθ

− +∀ + − = + −

∫ℓ

ℓ ℓℓ ℓ

ɺɺ

Le choix 0vδ ≠ de sur ] [0,ℓ nous donne l’équation locale : 4,0

xSv EIv fρ + − =ɺɺ

Le choix de 0ovδ ≠ et 0vδ = sur ] ]0,ℓ , nous donne la condition aux limites en force en 0x =

( )3, 0 0o x x

F EI v=

− = o oF T= −

De la même façon

Pour ( ), 0x ovδ ≠ ( )2, 0

o f ox xM EI v M

== − = −

Pour 0vδ ≠ℓ ( )3,

x xF EI v T

== − =ℓ ℓ

ℓ

Pour ( ), 0xvδ ≠ℓ

( )2, fx x

M EI v M=

= =ℓ ℓℓ

Vous devez être capable de faire la démonstration dans les deux sens PTV ⇔PFD.

Bilan & exercice

Le PFD donne un système d’équations aux dérivées partielles (EDP), c'est une formulation locale

PFD : ] [ 4,0,

0 x

x Sv EIv f

x x

ρ ∀ ∈ + =

= =

ɺɺℓ

ℓ

équation locale :

4 conditions aux limites : 2 en et 2 en

Il est utilisé pour rechercher la solution analytique d'un problème.

Les conditions initiales ne servent que pour résoudre l'équation différentielle en temps Réponse dynamique d'une structure.

Le PTV est la forme variationnelle du problème, c'est une formulation globale (notion d'énergie)

, , + + + + + xx xx o o o oo o o


ℓ ℓ ℓ ℓɺɺ

Sera utilisé pour rechercher les solutions numériques du problème. Solutions approchées

Vous devez être capable d'écrire ces deux formulations pour un problème donné.

Fait apparaître les conditions aux limites en rotation et moment

Fait apparaître les conditions aux limites en flèche et force

Cette condition tient compte de l’orientation de la normale extérieure au domaine


56


Exercice 3 : Mise en équations d’une poutre en flexion plane Objectifs : Savoir écrire les conditions aux limites pour une poutre,

Résoudre un problème simple en statique, Pouvoir écrire le PTV et savoir passer du PTV au PFD.

Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le matériau est supposé homogène isotrope élastique 1- Écriture des conditions aux limites

Exprimer les 4 conditions aux limites homogènes suivantes :

extrémité libre

encastrée

appui simple

appui glissant

Exprimer les 3 conditions aux limites non homogènes suivantes :

F

k

M, I

2- Mise en équations par le PFD Donnez le système d’équations correspondant au problème ci-dessous

A BPb de flexionMf

g

Déterminer la solution analytique en statique, pour 0M = .

Calculer la déformée de la poutre Déterminer le diagramme du moment de flexion

3- Application du PTV. Pour le problème représenté par la figure ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

g

yo

xo

M

(ρ , E, I, S) tΓ

Peut-on transformer le PTV pour retrouver l'équation locale et les conditions aux limites.

Exercice 4 : Mise en équations poutre "encastrée-masse en bout" Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations.

Intéressons-nous aux vibrations dans son plan principal de la poutre droite de longueur ℓ représentée par la figure ci contre. La masse M en bout de poutre est supposée ponctuelle

Mℓ

Mise en équations Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème. Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque. Formulation variationnelle En partant du système d'EDP du problème retrouver la forme intégrale du PTV.


57

Exercice 5 : Mise en équations d'un arbre en torsion Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations.

Intéressons-nous aux vibrations en torsion de l'arbre de longueur ℓ auquel est appliqué un couple moteur via un engrenage d'inertie en rotation I . Le problème est représenté par la figure ci contre.

ℓ

MΓ

Mise en équations Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème. Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque.

Retrouver les équations locales en partant du PTV.

Votre parcours pédagogique Solution analytique pour la réponse dynamique d'une poutre. Solution approchée pour le calcul des poutres. Étude de la réponse statique d'un portique par la RDM. Étude des portiques par la MEF.

Ces différents thèmes sont proposés dans le menu du site, dans ce poly nous passons directement à l'étude des portiques par la RDM puis par la MEF.


58

RDM : Étude des portiques par la RDM 59/106

59

Calcul statique des portiques

par la RDM Un portique bidimensionnel est constitué d'éléments poutres qui travaillent en traction & flexion. Un portique tridimensionnel est constitué d'éléments poutres qui travaillent en traction - torsion & dans les deux plans principaux de flexion.

L'objectif de ce chapitre est de vous initier au calcul analytique de la réponse statique d'un portique bidimensionnel. Ces calculs permettent, pour des structures simples, d'obtenir analytiquement les diagrammes des efforts internes qui permettent de vérifier que la structure reste dans le domaine élastique, et qu'il n'y a pas d'instabilité (étude du flambement). Utiles pour le pré dimensionnement, savoir effectuer ces calculs analytiques permet d'assimiler l'utilisation des outils numériques.

Pour les portiques plus complexes (géométrie, forte hyperstaticité, ou cas de chargement multiples) ou pour les études dynamiques, la méthode des éléments finis présentée dans le chapitre suivant, permettra d'effectuer les calculs numériques.

Dans ce chapitre nous ne traitons que des problèmes statiques

Rappel : théorèmes énergétiques de la RDM

Comme pour l'étude des treillis nous utiliserons les trois théorèmes énergétiques de la statique.

Théorème de Maxwell - Betty (1 2) (2 1)W W→ = → Le travail d'un système de force 1F dans le déplacement produit par un système de force 2F est égal

au travail du système de force 2F dans le déplacement produit par le système de force 1F .

Théorème de Castigliano. 0

( , )dX

X

E F X

Xδ

=

∂ = ∂

La dérivée partielle de l'énergie de déformation de la structure par rapport à un effort est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort.

Théorème de Ménabréa. [ ] ( , )1, 0d i

i

E F Xi N

X

∂∀ ∈ =∂

Pour une structure hyperstatique de degré N, les N inconnues hyperstatiques iX minimisent

l'énergie de déformation élastique de la structure.

Hyperstaticité

La première question à se poser lorsque l'on aborde le calcul statique d'une structure est celle de l'hyperstaticité de la structure.

Dans un premier temps il faut considérer l'hyperstaticité "extérieure : he " c'est à dire l'ensemble des liaisons cinématiques qui bloquent les mouvements d'ensemble de la structure. Pour effectuer un calcul statique ce degré d'hyperstaticité extérieur sera positif ou nul (sinon il faut éliminer les mouvements d'ensemble).

Le degré d'hyperstaticité d'un portique plan sera obtenu en calculant he + hi -mi avec hi hyperstaticité intérieure (3 fois le nombre de boucles fermées d'éléments) mi nombre de mobilité des liaisons intérieures (0 , 1 ou 2)


60

Exemples

A

B

Objectif : Déterminer le degré d'hyperstatisme de ces portiques.

Ce portique est hyperstatique extérieur de degré 3

6 inconnues de liaison pour 3 équations d'équilibre

0A A A AS

T X Y M→

= et 0B B B BS

T X Y M→

=

liaison pivot

A

BC

La liaison pivot en C libère une mobilité, Le moment de flexion pour les deux éléments du portique sera nul en C.

Le portique est hyperstatique de degré 2

Boucle fermée

A

BC

La boucle fermée ajoute 3 inconnues hyperstatiques intérieures, ce portique est donc hyperstatique de degré 5.

Ne calculez pas ce type de structure à la main, utilisez la MEF

Appui simple

A

BC

L'appui simple en B possède deux mobilités donc une seule inconnue de liaison, ce portique est hyperstatique extérieur de degré 1, comme nous libérons une mobilité intérieur, ce portique est isostatique.

Le calcul, à la main, de cette structure est simple.

C

Rotule

A B

Structure isostatique (3 inconnues : 2 en A et 1 en B), pour ce type de structure il est simple d'obtenir la solution analytique directement par la RDM.

Calcul du torseur des efforts de cohésion

Si la structure est isostatique, il est possible d'exprimer le torseur des efforts de cohésion en tout point (sur tous les éléments de la structure) en fonction de la géométrie et du chargement. Et c'est la première chose à faire, car connaissant les efforts intérieurs il est possible de dimensionner la structure.

Si la structure est hyperstatique de degré n il faudra utiliser n inconnues hyperstatiques pour exprimer les efforts intérieurs puis calculer l'énergie de déformation en fonction de ces efforts pour pouvoir appliquer le Théorème de Ménabréa. Nous présenterons d'autres outils applicables sur les cas simples hyperstatiques mais ce qu'il faut retenir c'est que

Si une structure est hyperstatique:

• Le torseur des efforts intérieur dépend de n inconnues hyperstatiques

• La répartition des efforts intérieurs est fonction des matériaux (elle dépend des déformations)

Dans le chapitre de modélisation nous avons présentés le modèle de St Venant - Bernoulli, nous rappelons ici les résultats obtenus avec les conventions de la MMC (normale orientée vers l'extérieur du milieu considéré)


61

Modèle poutre

1e

2e

3e

S

G

G est le centre de surface, ils définissent la ligne moyenne de la poutre

La direction 1e

est la normale extérieure de la section considérée.

Les directions 2 3( , )e e

sont les directions principales de la section

Tous les vecteurs sont exprimés sur la base 1 2 3( , , )b e e e=

Le torseur des efforts de cohésions est défini par sa résultante et son moment : ( )2 2

3 3

t

G f

fb b

N M

R T M M

T M

= =

Les notations des Eurocodes sont 1 2 1 2 3 N V V et M M M

Les lois de comportement intégrées s'écrivent respectivement : variables Lois de comportement Traction u , xN ES u=

Torsion xθ , t xM GJ θ= avec 2(1 )G E ν= +

Flexion 1 2( , )e e

,, z xv vθ = 3 3 , xxM EI v= et 2 3, xT M= −

Flexion 1 3( , )e e

,, y xw wθ = − 2 2 , xxM EI w= − et 3 2,xT M=

En pratique pour les calculs à la main, nous traiterons quasiment que des problèmes plans pour lesquels une figure en deux dimensions suffit. De plus pour simplifier nous nous placerons systématiquement dans

le plan 1 2( , )e e

.

1e N

T

2e

fM

La base 1 2 3( , , )b e e e= est orthonormée directe

Pour une facette quelconque c'est l'orientation de la normale extérieure qui définie l'orientation de cette base 2e

1e

3e

Ces conventions étant rappelées, le torseur des efforts sur une facette quelconque peut se calculer de trois façons équivalentes du point de vue théorique, mais différentes dans la pratique et la "facilité" des calculs.

• on exprime le torseur de toutes les actions extérieures exercées par le reste de la structure sur la facette considérée (on utilise la formule de transport des torseurs)

( )( ) ( ) PP

M G M P R PG= + Λ∑

et G PP

R R=∑

• on exprime l'équilibre de la partie de structure que l'on a conservée, ce qui permet d'exprimer le torseur des efforts de cohésion en fonction des actions sur cette partie de la structure.

( )1

( ) ( ) 0PP S

M G M P R PG∈

+ + Λ =∑

et 1

0G PP S

R R∈

+ =∑

• on exprime l'équilibre de la partie de la structure que l'on a coupé, ce qui donne par le théorème de l'action réaction la valeur algébrique du torseur des actions de cohésion sur notre facette (il faut changer le signe de la normale).

( )2

( ) ( ) 0PP S

M G M P R PG∈

− + + Λ =∑

et 2

0G PP S

R R∈

− + =∑

Selon la géométrie et le chargement du problème une des options peut s'avérer beaucoup plus simple d'écriture, il faut donc faire un choix réfléchi avant de se lancer dans les calculs.

1e

2e

3e

SG1S

partie coupée

2S

GR

GM

partie conservée 1e

2e

3e

S

G1S


62

Exemple : la poutre console

Fℓ

A B

C'est l'exemple le plus simple que l'on puisse traiter, il permet de comprendre le principe de calcul du torseur des efforts de cohésion sur une section droite de la poutre.

Objectifs : Comparer les méthodes mises en oeuvre.

Cette structure est isostatique, 3 inconnues de liaison 0A A A AS

T X Y M→

= pour 3 équations

d'équilibre par le PFD, nous pouvons donc calculer les efforts en A.

Si l'objectif est d'obtenir les diagrammes des efforts intérieurs il n'est pas nécessaire de passer par ce calcul en effet :

a- Effectuons une coupe à l'abscisse s le torseur en G des actions extérieures à l'élément de poutre considéré se réduit à

Sur [ ],A B [ ]( )

( )

( )

0

0,

( )

s

s

sf

N

s T F

M F s

=∀ ∈ = = −

ℓ

ℓ

F

sAB

1

2 3

b- Écrivons les équations d'équilibre de la partie coupée

[ ]( )

( )

( )

0 0

0, 0

( ) 0

s

s

sf

N

s T F

M F s

− + =∀ ∈ − + =− + − =

ℓ

ℓ

Nous retrouvons les mêmes résultats. Mais attention aux signes, la

normale à la facette de la partie considérée est 1e−

Fs

AB

1

23

c- Écrivons maintenant l'équilibre de la partie conservée

[ ]( )

( )

( )

0

0, 0

0

s A

s A

sf A A

N X

s T Y

M M Y s

+ =∀ ∈ + = + − =

ℓ sAB

1

2 3AYAM

AX

Il faut avoir préalablement calculé le torseur des efforts de liaison en utilisant les équations d'équilibre de la structure complète.

0

0

0

A

A

A

X

Y F

M F

= + = + = ℓ

soit

0A

A

A

X

Y F

M F

= = − = − ℓ

d'où

( )

( )

( )

0

( )

s

s

sf

N

T F

M F s

= = = − ℓ

On retrouve les mêmes résultats

Cette dernière méthode est ici la plus longue

Dans tous les cas nous avons obtenu le diagramme du moment de flexion sur la poutre

La contrainte est maximale à l'encastrement :

FℓF

ℓ

( )xx MaxMax

F Fy

I Wσ = =ℓ ℓ

Pour calculer la flèche nous devons intégrer l'équation différentielle : 2, f x

M EI v= en utilisant les

conditions aux limites qui sont : (0, ) 0tv = et (0, ), 0txv =

On trouve 2( ) (1 )

2 3x

F xv x

EI= −ℓ

ℓ soit

3

( )3Max

Fv v

EI= =ℓ ℓ

Le module élastique W est fonction de la géométrie de la section.


63

Nous aurions pu appliquer le théorème de Castigliano dB

Ev

F

∂=∂

avec 2 2

0

( )2 d

F sE ds

EI

−= ∫ℓ

ℓ

On retrouve de façon très rapide 3

3B

Fv

EI= ℓ

Remarques : On vérifie bien ( ) ,s f sT M= − , et en A :

(0)

(0)

(0)

A

A

A f

X N

Y T

M M

= − = − = −

le signe "-" vous l'avez compris vient de l'orientation de la normale

L'exemple précédent nous à permis de voir les différentes options de calcul du moment de flexion exercée sur une section d'une poutre. Dans l'exercice suivant le calcul est un peu plus complexe puisque nous avons une charge répartie. L'intérêt de l'exercice est aussi de faire le lien avec l'approche mathématique qui consiste à intégrer l'équation différentielle des mouvements. Approche difficilement applicable à des structures plus complexes.

Exercice 11 : Étude d'une poutre sous son poids propre Objectifs : Établir le système "EDP" du problème.

Faire le lien avec l'approche "RDM" Calcul de la contrainte axiale maximale (dimensionnement).

A BPb de flexion

g

Raideur EI

Masse linéique Sρ

1. Écrire le système "EDP" de ce problème

2. Calculer la déformée "flèche" de la poutre En déduire la valeur au centre

3. Tracer le diagramme du moment de flexion Retrouver ce résultat par une analyse directe "RDM"

Statique des portiques isostatiques

Pour un portique isostatique la démarche à suivre est celle que nous venons de présenter, il faut juste adapter son analyse à la géométrie et aux efforts exercés sur la structure, ce sont des calculs de géométrie sur les torseurs équivalents.

Une méthode consiste à choisir son sens de parcours de la structure, ce qui permet de définir la base locale (1,2,3) sur chaque élément du portique. Il reste à exprimer sur cette base locale le torseur des efforts

agissant sur la section considérée, ce qui donne les valeurs de 1 2 1 2 3 N V V et M M M

Traitons un exemple simple ou la géométrie de la structure est bidimensionnelle avec des efforts tridi.

Exemple : poignée de porte bloquée

0x

0z

0y

Q

b

F

a

A

B

C

Cette structure est isostatique,

6 inconnues de liaison 0A A AST R M

→=

et 6 équations d'équilibre :

0

0

0

A

A

A

X

Y Q

Z F

= + = − =

et

0

0

0

Ax

Ay

Az

M bF

M aF

M aQ

− = + = + =

Il n'est pas utile de connaître A AR M

pour construire les diagrammes.


64

Nous utiliserons le sens de parcours et les bases locales définies par la figure suivante

Sur [ ],A B [ ]0,s b∀ ∈ la facette est de normale 0y

Sur [ ],B C [ ]0,s a∀ ∈ la facette est de normale 0x

Calculons sur la base 0b le torseur exercé par le chargement en C sur

une facette courante située à l'abscisse s : ( ) ( ) s Cf sM G C F= Λ

Sur AB : [ ]0,s b∀ ∈

( )

0 0

( )

0

0

sf

b b

a F b s

M b s Q aF

F aQ

− − = − Λ = −

Sur BC : [ ]0,s a∀ ∈ ( )( )

0 0

( )

0 0

0

0

sf

b b

a s

M Q F a s

F Q a s

− = Λ = − − −

0x

0z

0y

Q

F

1e

2e

3e

C

A

B3e

2e1e

Il faut alors faire un changement de base pour passer de l'expression des torseurs sur la base 0b à la

base 1 2 3( , , )sb e e e= . Ici les changements de base peuvent se faire à vue, il n'est pas utile de passer par les

matrices de passage.

Sur AB 1 2 3 0 0 0( , , ) ( , , )e e e y x z≡ − d'où [ ]0,s b∀ ∈ ( )( ) ( )0s sf

bs bs

Q aF

R M F b s

F aQ

= = − −

Sur BC 1 2 3 0 0 0( , , ) ( , , )e e e x y z≡ d'où [ ]0,s a∀ ∈ ( )

( )( ) ( )

0 0

s sf

bs bs

R Q M F a s

F Q a s

= = − − −

Ces résultats permettent de tracer les diagrammes des efforts intérieurs

Sur AB : N Q= , tM aF= , ( )2M F b s= − ; 3M aQ=

Sur BC : 0tN M= = , ( )2M F a s= − ; ( )3M Q a s= −

Tous ces résultats étaient prévisibles à partir de la figure.

C

A B

Q

N

C

A B

aF

tM

C

A B FaFb

2M

C

AaQ

3MB

Effort normal Moment de torsion Flexion / 2e

Flexion / 3e

Ces diagrammes permettent de déterminer les contraintes maximales sur chaque élément.

Calculons le déplacement du point C, nous pourrions intégrer les lois de comportement en partant du point A ou les conditions aux limites sont connues et en écrivant les conditions de continuité au point B. Ces calculs sont longs et il est beaucoup plus rapide d'utiliser le théorème de Castigliano.

Rappelons qu'en flexion en ne tenant pas compte de l'énergie de déformation associée à l'effort tranchant (modèle de Bernoulli) l'énergie de déformation d'un portique tridimensionnel comprend 4 termes ; la traction, la torsion, et les deux flexions planes :

2 22232

2 3

2 td

S S S S

M MMNE ds ds ds ds

ES GJ EI EI= + + +∫ ∫ ∫ ∫ et : d d

C c

E Ev w

Q F

∂ ∂= = −∂ ∂

Il faut préciser les caractéristiques des sections des éléments AB et BC à ce niveau


65

Élément AB : fer rond de rayon R ==> 42 3 / 4I I I Rπ= = = , 2S Rπ= , 4 / 2J Rπ=

Élément BC : plat de dimensions (2R, e) ==> ,S J ne servent pas et 32

2

3I eR= 3

3 6

RI e=

22 2

20 0

( ) ( )b a

dE a b F FF b s ds a s ds

F GJ EI EI

∂ = + − + −∂ ∫ ∫ ==>

2 3 3

2

( )3 3C

a b b aw F

GJ EI EI= − + +

2 2

30 0

( )b a

dE b Q FQ a ds a s ds

Q ES EI EI

∂ = + + −∂ ∫ ∫ ==>

2 3

3

( )3C

b a b av Q

ES EI EI= + +

Analyse de ces résultats :

• La flèche w est due à la (torsion + flexion) de l'élément AB + flexion de BC

• La flèche v est due à la traction de AB, la rotation en B de l'élément AB et de la flexion de BC

• Les deux charges sont découplées

A faire, introduire une charge fictive X en C pour calculer le déplacement Cu

On trouve 2

2C

abu Q

EI= −

Pour les portiques isostatique la méthode sera toujours la même, il faut faire attention à l'orientation de la facette et de sa base locale.

Si la charge est ponctuelle, le moment de flexion vari linéairement

( )( )sfM F s= −ℓ

F

sA B

ℓ

Si la charge est uniforme la variation sera quadratique

( ) ( ) ( )2( )

2 2sf

s pM p s s

−= − = −

ℓℓ ℓ s

A B

ℓ

p

Si la charge varie linéairement le moment de flexion sera un polynôme cubique.

Exercice 12 : Étude d'un portique isostatique Objectifs : Calcul analytique "RDM" d'un portique plan isostatique.

Diagramme des efforts intérieurs calcul de la déformée. Application de Castigliano

F

ℓ

h

1. Calculer les efforts à l'appui

2. Tracer les diagrammes de ( , , )fN T M

3. Calculer la déformée de la structure.

4. Retrouver le déplacement vertical du point d’application de la force par Castigliano

Statique des portiques hyperstatiques

Pour un portique hyperstatique il faut dans un premier temps choisir les inconnues hyperstatiques, un bon choix peut simplifier de façon significative les calculs.

Il est conseillé alors d'utiliser le théorème de Ménabréa. D'autre méthodes existent elles sont basées sur la connaissance à priori de solutions de référence que l'on trouve dans les ouvrages spécialisés sur le calcul des portiques, l'utilisation de ces résultats permet d'éviter un certain nombre de calculs. De nos jours ces


66

méthodes sont rendues obsolètes du fait de la méthode des éléments finis qui donne avec un minimum d'effort la réponse de la structure. Nous nous intéressons donc ici aux structures hyperstatiques simples qui permettent de comprendre la démarche et de savoir mener les calculs analytiques dans les cas élémentaires, ce qui n'est pas inutile.

Exemple : structure est hyperstatique de degré 1

F

A B

ℓ ℓ ℓ

C D

F

A B

ℓ ℓ ℓ

C D

AY

AX

BY CY

4 inconnues de liaison A A B CX Y Y Y

pour 3 équations d'équilibre :

0

0

2 3 0

A

A B C

B C

X

Y Y Y F

Y Y F

= + + + = + + =ℓ ℓ ℓ

Prenons CY comme inconnue hyperstatique :

0

2

3 2

A

A C

B C

X

Y F Y

Y F Y

= = + = − −

Exprimons le moment de flexion

Sur CD : [ ]2 ,3s∀ ∈ ℓ ℓ ( ) (3 )sfM s F= −ℓ

Sur BC : [ ], 2s∀ ∈ ℓ ℓ ( ) (3 ) (2 )sf CM s F s Y= − + −ℓ ℓ

Sur AB : [ ]0,s∀ ∈ ℓ ( ) (3 ) (2 ) ( )( 3 2 ) 2sf C C CM s F s Y s F Y sF sY= − + − + − − − = +ℓ ℓ ℓ

Appliquons le théorème de Ménabréa : 33

10

Ld

C Co

E MM dx

Y EI Y

∂ ∂= =∂ ∂∫

M3 3 / CM Y∂ ∂

[ ]0,s∀ ∈ ℓ 2 CsF sY+ s

[ ],2s∀ ∈ ℓ ℓ (3 ) (2 ) Cs F s Y− + −ℓ ℓ (2 )s−ℓ

[ ]2 ,3s∀ ∈ ℓ ℓ (3 )s F−ℓ 0

D'où 0d

C

E

Y

∂ =∂

==> 2 2

2 2 2

0 0

2 (3 )(2 ) (2 )CF s ds s s ds Y s ds s ds

+ − − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

3/ 2 9

2 / 3 4CY F F= − = −

Ayant il suffit de reporter dans les expressions précédentes pour obtenir le diagramme du moment de flexion et les efforts aux appuis.

Utilisons la méthode de superposition pour retrouver ce résultat et voir le lien entre Ménabréa et Castigliano

1 2PB PB PB⇔ + avec ( ) ( )1 2 0C Cv v+ =

Les deux problèmes 1 et 2 sont isostatiques

Pour pouvoir calculer Cv dans le problème 1 nous

introduisons une charge fictive X en C

L'effort de liaison en B pour chaque problème est

==> 1 2 3BY X F= − −

Et 2 2BY P= −

P

A B

ℓ ℓ ℓ

C D

F

A B

ℓ 2ℓ

C DPB1

PB2

+


67

Appliquons Castigliano pour calculer les flèches en C

PB1 M3 3 /M X∂ ∂

[ ]0,s∀ ∈ ℓ 2sF sX+ s

[ ],2s∀ ∈ ℓ ℓ (3 ) (2 )s F s X− + −ℓ ℓ (2 )s−ℓ

[ ]2 ,3s∀ ∈ ℓ ℓ (3 )s F−ℓ 0

D'où ( )10

dC

X

Ev

X =

∂ = ∂ ==>

2 32

( )1

0

32 (3 )(2 )

2C

F Fv s ds s s ds

EI EI

= + − − =

∫ ∫ℓ ℓ

ℓ

ℓℓ ℓ

PB2 M3 3 /M P∂ ∂

[ ]0,s∀ ∈ ℓ sP s

[ ],2s∀ ∈ ℓ ℓ (2 )s P−ℓ (2 )s−ℓ

D'où ( )2d

CE

vP

∂ =∂

==> 2 3

2 2( )2

0

2(2 )

3C

P Pv s ds s ds

EI EI

= + − =

∫ ∫ℓ ℓ

ℓ

ℓℓ

En écrivant ( ) ( )1 2 0C Cv v+ = on retrouve 9

4P F= −

A moins de connaitre les résultats de PB1 ou PB2 la méthode est plus longue

Nous vous proposons de terminer ce chapitre par deux exercices de cours que vous devez pouvoir faire.

Exercice 13 : Étude d'un portique hyperstatique Objectifs : Calcul d'un portique plan hyperstatique (utilisation du TH de Ménabréa).

F

ℓ ℓ

ℓ

On négligera l'énergie de

déformation à l'effort normal

1. Montrer que cette structure est hyperstatique de degré 3.

2. Utiliser la symétrie pour simplifier le problème.

3. Utiliser le TH de Ménabréa pour calculer les efforts aux appuis

4. Tracer le diagramme du moment de flexion sur la structure

5. Calculer la flèche au centre.

Exercice 14 : Étude d’une poutre chargée en son centre Objectifs : Système hyperstatique.

Calculer de la réponse statique d'une poutre encastrée appuyée chargée en son centre. La structure est hyperstatique.

Calculer les efforts aux appuis Tracer le diagramme des efforts intérieurs. Calculer la déformée de la poutre

Montrer que l'on peut retrouver ces résultats en appliquant le théorème de superposition.

ox

yo

ℓ

A BC


Ayant appliqué les techniques de calculs analytiques sur des cas simples, vous avez vu comment exploiter les résultats des calculs. Il est naturel de voir comment aborder ces problèmes numériquement par la méthode des éléments finis, pour pouvoir s’attaquer a des problèmes plus complexes.


68

MEF : Étude des portiques par la MEF

69

Modèle éléments finis

pour l'étude des portiques 2D Un portique bidimensionnel est constitué d'éléments poutres qui travaillent qu'en traction & flexion. Nous allons utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous présentons l'élément fini poutre de flexion plane, en détaillant le principe de calcul des matrices élémentaires conduisant à la forme matricielle du principe des travaux virtuel. Nous verrons alors comment utiliser ces résultats pour modéliser des portiques bidimensionnels

L’élément fini de flexion plane

Approximation :

L’élément fini « poutre » utilise comme variables nodales la flèche et sa dérivée première (rotation de la section droite), il fait partie de la famille des éléments de type l'Hermite. i x

y

iθjθ

ivjv

ℓ j

Considérons un élément de longueur ℓ

Le repère local orthonormé lié à l'élément, a pour direction x

l'axe de la poutre orienté de i vers j, et pour direction y

un vecteur du plan principal d'inertie de la section droite.

Les quatre variables nodales sont les déplacements notés ( ) ( ) ( ) ( )t t t ti i j jv vθ θ< >

Pour identifier nos quatre variables nodales, nous utilisons une approximation polynomiale cubique de la forme :

( )1

( )22 3( , )

( )3

( )4

1

t

thx t

t

t

a

av x x x

a

a

=< >

Par identification des variables nodales avec l’approximation de la flèche et de la rotation aux noeuds, nous obtenons la relation matricielle suivante :

( , )( ) ( )1

( ) ( )( , ) 22 3( ) ( )3( , )

2 ( )( ) 4( , )

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

ho tt ti

ht to ti

ht tj t

tt hj t

vv a

av av

a

θ θ

θ θ

=

ℓ

ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

Inversons cette relation et reportons le résultat dans l'expression de l'approximation, nous obtenons :

( )

( )( , ) 1 2 3 4 ( )

( )

ti

tihx t e e tj

tj

v

v N U N N N Nv

θ

θ

= < > = < >

Avec les fonctions d'interpolation suivantes :

Approximation de degré 3 à 4 variables


70

N s s s

N s s s1

3

( )

( )

= − += −

1 3 2

3 2

2 3

2 3 où x

s =ℓ

N1 et N3 représentent la déformée d'une poutre bi - encastrée pour laquelle on impose un déplacement unité à une des deux extrémités

1

10

( )1N s ( )3N s

xs =ℓ

+−=+−=)(

)2(32

)(4

32)(2

sssN

ssssN

ℓ

ℓ

N2 et N4 représentent la déformée d'une poutre encastrée à une extrémité. Pour laquelle on impose une rotation unité à l'autre extrémité.

110

1 s( )2N s

( )4N s

Principe des travaux virtuels

Partons de u W Aδ δ δ∀ = avec ( )2

,

2

+ + + +

L

o

L

int d d xx

o

L

ext o o L L o o L L

o

A Sv v dx

W E avec E EI v dx

W f v dx F v F v M M

δ ρ δ

δ δ

δ δ δ δ δθ δθ

=

= − = =

∫

∫

∫

ɺɺ

La poutre pouvant être modélisée par plusieurs éléments finis nous calculerons les énergies sur chaque élément puisque l'approximation nodale est une approximation élémentaire.

Matrice raideur élémentaire

L'énergie de déformation associée à notre élément est ( )2,2 d xx

o

E EI v dx= ∫ℓ

Utilisons l’approximation nodale du champ des déplacements , , xx xx ev N U= < >

Le terme ( ) 2, , , , ,

TT Txx xx xx e xx xx ev v v U N N U= = < > < >

En reportant dans l'énergie de déformation, pour chaque élément nous obtenons l'expression matricielle de l'énergie de déformation élémentaire :

, ,0

2 [ ] [ ] T T

d e xx xx eE U N EI N dx U= ∫ℓ

La matrice raideur associée est [ ]0

[ ] [ ] TeK B EI B dx= ∫

ℓ

avec [ ] ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2

6 2 6 2 1 2 , 2 3 , 1 2 , 1 3xxB N s s s s= < > = < − + − + − − + >

ℓ ℓℓ ℓ

Tout calcul fait on trouve : [ ]2 2

2 2

3

, , ,

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

i i j j

e

sur v v

EIK

θ θ< >

−

−− − −

−

=

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

Cette matrice n'est pas adimensionnelle car vet θ n'ont pas la même dimension.

Pour que les coefficients de la matrice soient adimensionnels il faut travailler sur les variables v et θℓ

A titre d’exercice calculez le terme (1,2) de cette matrice



71

[ ] 3

, , ,

12 6 12 6

6 4 2

12 6 12 6

6 2 6 4

6

i i j j

ze

sur v v

EIK

θ θ< >

− −= − − −

− ℓ ℓ

ℓ

Matrice masse élémentaire

Le travail virtuel des quantités d'accélération : o

A Sv v dxδ ρ δ= ∫ℓ

ɺɺ

De la même façon en utilisant l’approximation nodale du champ des déplacements, l'expression

matricielle pour un élément est : 0

T T

e e eA U N S N dx Uδ δ ρ= < > < >∫ℓ

ɺɺ

D'où la matrice masse élémentaire est [ ]

, , ,

13 11 9 1370 42035 210

11 13420 140210 105

9 13 13 1170 420 35 210

13 11420 140 210 105

1 1

1 1i i j j

e

sur v v

M S

θ θ

ρ

< >

−

−

−

− − −

= ℓ ℓ

ℓ

Vecteur force généralisée élémentaire

Soit un élément poutre chargé par une densité linéique d'efforts transversaux f

Le travail virtuel de ces efforts est

f

i x

y

jℓ

[ ]0 0

. f eT T

W f v dx U N f dxδ δ δ= =∫ ∫ℓ ℓ

Pour une densité de charge uniforme nous obtenons :

2

2

( )

0

2

12

2

12

= e

Txd e

F f N dx f

= < > −

∫

ℓ

ℓℓ

ℓ

ℓ

1

f

2Charge réelle f=Cte

1 2

Charge nodale équivalente

PTV

2/1 ℓf=ϕ

12/21 ℓfM =

2/2 ℓf=ϕ

12/22 ℓfM −=

Vecteur force généralisée nodale

Lorsqu'un chargement est appliqué sur un nœud de la structure le travail virtuel des charges s'exprime

directement sur les variables nodales concernées : + ext i i i iW F v Mδ δ δθ=

Les valeurs de iF et iM se mettent directement dans le vecteur des charges extérieures

Cette expression peut vous permettre de simplifier vos calculs numériques.

On peut calculer ce terme à partir de l'énergie cinétique.

f s'exprime en N/L

Il faut se donner la fonction ( )xf .

Pour le champ de pesanteur f gSρ= −

La prise en compte d'une charge répartie sur un élément ne consiste pas à appliquer

simplement des efforts fl/2 aux noeuds.


72

Exemple

x

y F

ℓ

1 2

2θ2v1Y

1M

ℓ

Objectif : Déterminer la réponse statique de la poutre avec un modèle élément fini.

Modèle à 1 élément fini

Ce modèle comporte 4 variables : >=< 2211 ,,, θθ vvX T

Les conditions aux limites : 1 1( , ) (0,0)v θ =

2 déplacements inconnus : 2 20,0, ,TIX v θ=< >

2 efforts inconnus : 1 1, ,0,0TIF Y M=< >

La charge conduit à : 0,0, ,0TDF F=< − >

Le PTV appliqué à l'élément nous donne l'équation matricielle 2 2

2 2

1

13

2

2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

0

0

0

Y

MEI

v F

θ

−

−− − −

−

= −

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

Les équations donnant la déformée sont : 22

32

12 6

6 4 0

v FEI

θ−

−

− =

ℓ

ℓ ℓℓ==>

32

2

1/ 3

1/ 2

v F

EIθ

= −

ℓ

ℓ

C'est la solution exacte de la RDM

Les équations donnant les efforts à l'encastrement sont :

22 1

32 1

12 6

6 2

v YEI

Mθ−

−

=

ℓ

ℓ ℓℓ==> 2

1

1

12 6

6 2

1/ 3

1/ 2

Y FF

M F

−

−

= − =

ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

On vérifie les équations d'équilibre de la structure

Dans cet exemple le modèle élément fini donne la solution exacte car celle-ci est un polynôme d'ordre 3 comme l'approximation utilisée.

Pour calculer l’état de contrainte sur les éléments, le diagramme du moment de flexion et celui de l'effort tranchant, nous utilisons la loi de comportement intégrée.

Pour chaque élément nous écrirons :

2

3

, ,

, ,

v

v

f xx ex

xxx ex

M EI EI N U

T EI EI N U

= = < > = − = − < >

Rappel :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2,

6 2 6 2 1 2 , 2 3 , 1 2 , 1 3

xN s s s s< > = < − + − + − − + >

ℓ ℓℓ ℓ

3 3 2 3 2,

12 6 12 6 , , ,

xN< > = < − >

ℓ ℓ ℓ ℓ

Exemple

x

y F

ℓ

Tracer le diagramme des efforts intérieurs

( ) ( )1

3

2

1/ 36 21 2 1 3 ( 1)

1/ 2fF

M EI s s F sEI

− = < − − + > = − −

ℓℓ

ℓℓℓ

1

3

3 2

1/ 312 6

1/ 2

FT EI F

EI

− −= − < > = − −

ℓ

ℓℓ ℓ

On retrouve la solution analytique

On vérifie bien que 1

( 0) 1xfM M= = −

Vous notez que le moment de flexion Mf est linéaire et que l’effort tranchant est constant par élément.


73

Exercice 15 : Étude d’une poutre sous son poids propre Objectifs : mise en œuvre de la méthode des éléments finis, et illustrer la notion d'erreur liée à l'approximation.

Nous cherchons la réponse statique sous son poids propre de la poutre sur appuis représentée par la figure ci contre.

A BPb de flexion

g

Modèle à 1 élément.

Déterminer la matrice raideur, et le vecteur force généralisé associé au poids propre.

Écrivez le système réduit des équations, calculez les déplacements nodaux.

Calculer la flèche au centre de la poutre, comparer à la solution analytique

4

( / 2)5

384

gSv

EI

ρ= −ℓ

ℓ

Calculer les efforts aux appuis, et vérifier l'équilibre global de la structure.

Calculer les efforts sur l'élément, tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de flexion, comparer à la solution analytique.

Modèle à 2 éléments.

Déterminer la matrice raideur assemblée complète.

Déterminer le vecteur force généralisé associé au poids propre de la structure.

Écrivez le système réduit des équations, calculez les déplacements nodaux et comparer à la solution analytique.

Calculer les efforts aux nœuds, comparer à la solution analytique.

Calculer les efforts sur l'élément et tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de flexion, et comparer à la solution analytique.

Comparer à la solution analytique..

Répondez aux mêmes questions

Prise en compte de la symétrie

Utiliser la symétrie pour simplifier le modèle

Calculer la matrice raideur et retrouver la solution du modèle à 2 éléments.

Exercice 16 : Études statique et dynamique d’une poutre Objectifs : Illustrer la notion d'erreur liée à l'approximation.

Nous cherchons la réponse statique de la poutre sur appuis représentée par la figure ci contre.

Modèle à 1 élément.

Déterminer la matrice raideur. le vecteur force généralisé associé à la charge

ox

yo

ℓ

A BC

Calculer la réponse statique, les efforts aux appuis et tracer le diagramme des efforts sur l’élément.

Comparer à la solution analytique :


74

EI

Fv C

3

768

7)(

ℓ−= , EI

FC

2

128

1)(

ℓ−=θ , EI

FB

2

32

1)(

ℓ=θ

( ) 3 /16f AM F= ℓ , ( ) 5 / 32f CM F= ℓ

Que pensez-vous de ce modèle, est-il satisfaisant ?


Calculer la réponse statique, les efforts aux appuis et tracer le diagramme des efforts sur les éléments. Justifier les résultats de ce modèle.

Réponse dynamique : Calcul des fréquences propres de la structure

Modèle à 1 élément fini

Modèle à deux éléments finis (vous pouvez utiliser Matlab ou Maple)

Comparer à la solution analytique :

41 42,15ℓS

EI

ρω = , 2 4

49,96 EI

Sω

ρ=

ℓ , 3 4

104,3 EI

Sω

ρ=

ℓ

Les solutions analytiques des poutres sont données sur le site

Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé. Pour assimiler le cours il faut aussi traiter des exercices non corrigés.

Application aux portiques

Pour calculer les portiques nous devons utiliser un élément poutre tridimensionnel. Cet élément est obtenu par superposition des trois modèles suivants :

• le modèle de traction,

• le modèle de torsion,

• le modèle de flexion.

variables Caractéristiques mécaniques

Traction u ,ES Sρ

Torsion xθ ,GJ Iρ avec 2(1 )G E ν= +

Flexion ( , ,x o y

) , zv θ ,zEI Sρ

Flexion ( , ,x o z

) , yw θ ,yEI Sρ

L'élément fini poutre tridimensionnel est un élément à deux noeuds et 6 degrés de liberté par nœud.

Les 12 degré de liberté sont définis sur la base locale de l'élément.

( , , , , , ) ( , , , , , )T

e x y z i x y z jU u v w u v wδ θ θ θ θ θ θ= < >

La matrice (12*12) du modèle tridimensionnel est obtenue par superposition des quatre matrices élémentaires elle est donnée à titre indicatif. :

yo

bo

zo

xe

xo

j

i

e

ze

ye

u

w

vθx

θz

θy

La flexion se décompose en deux problèmes de flexion plane dans les deux plans principaux de la section droite de la poutre.


75

Il est clair que nous ne manipulerons pas ces matrices manuellement, d'autant que pour effectuer l'assemblage d'une structure portique il faut effectuer un changement de base pour exprimer toutes les matrices élémentaires sur une base globale.

Il faut passer aux calculs numériques MEFlab, Cast3M ou Abaqus

Statique des portiques plans simples

Manuellement nous ne traiterons que le cas simple de portique plan ayant des éléments d’axe x

ou y

pour éviter le changement de base, et souvent pour simplifier le modèle nous négligeons les déformations dues à l'effort normal dans les éléments.

Matrice raideur élémentaire d'un modèle traction - flexion

On pose : 2

3

/

/

ES S

IEIα = =ℓ ℓ

ℓ [ ]

2

2 2

2

3

, , , , ,

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 4 0 6 2

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 2 0 6 4i i i j j j

e

sur u v u v

EIK

θ θ

α α

α α

< >

−

−

− − −−

− = −

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

2

3

/

/

ES S

IEIα = =ℓ ℓ

ℓ Élancement de la poutre

Pour α → ∞ on tend vers la solution obtenue en négligeant les déformations de traction

Pour un élément horizontal (orienté de i vers j suivant la direction des x)

La base locale et la base globale correspondent, la matrice raideur est

celle donnée juste avant sur , , , , ,i i i j j ju v u vθ θ< >

i x

y

iθjθ

ivjv

ℓ jiu ju


76

Pour un élément vertical (orienté de j vers i suivant la direction des y)

La base locale correspondra à la base globale, on retrouvera la même matrice raideur :

[ ]2

2 2

2

3

, , , , ,

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 4 0 6 2

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 2 0 6 4j j j i i i

e

sur v u v u

EIK

θ θ

α α

α α

< >

−

−

− − −−

− = −

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

Mais attention à l’ordre des variables élémentaires

i x

y

ℓ

j

jvjθ

ju

iθiv

iu

Exemple

Fℓ

ℓ

1

2 33u2u

2θ2v

Fℓ

ℓ

1

2θ

22u

32u

Objectif : Déterminer la réponse statique de ce portique.

Modèle à 2 éléments finis

Ce modèle est suffisant pour obtenir la solution exacte du problème. C’est un

modèle à 4 variables 2 2 2 3, , ,u v uθ< >

Il conduit à résoudre un système de 4 équations, pour simplifier ce modèle nous allons négliger les déformations dues à l'effort normal dans les éléments.

Cette hypothèse permet d'écrire deux équations de liaison : 2

3 2

0v

u u

= =

Le modèle ne comporte plus que 2 variables

Calculons directement les matrices élémentaires sur ces 2 variables.

Pour l’élément 1 (2-1) : [ ]1 23

12 6

6 4

EIK

=

ℓ

ℓ ℓℓ

Pour l’élément 2 (2-3) : [ ]2 23

0 0

0 4

EIK

=

ℓℓ

D'où le système réduit des équations : 223

2

12 6

6 8 0

u FEI

θ

=

ℓ

ℓ ℓℓ ==>

3

2

2

2

2

15

1

10

Fu

EIUF

EIθ

==

= −

ℓ

ℓ

Allure de la déformée

u θ u

C'est la solution exacte de la RDM

Calcul des réactions


77

Élément 1 : (2-1)

M21

1

2R21

M11

R11

EI

u R

M

R

M

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

3

2 2

2 2

21

21

11

11

12 6 12 6

6 4 2

12 6 12 6

6 2 6 4

6

0

0

−−

− − −−

=

θ

< >= < − >R M R M F21 21 11 11 1 0 4 1 0 6, ,ℓ ℓ

Élément 2 : (2-3)

M22

32

R22M32

R32

EI

R

M

R

M

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

3

2 2

2 2

22

22

32

32

12 6 12 6

6 4 2

12 6 12 6

6 2 6 4

6

0

0

0

−−

− − −−

=

θ

< >= < − − − >R M R M F22 22 32 32 0 6 0 4 0 6 0 2, , , ,ℓ ℓ

Ce modèle ne nous donne pas toutes les composantes d’effort car nous avons négligé les allongements des éléments.

Pour calculer la composante verticale de l’effort au noeud 1, nous pouvons écrire les équations d'équilibre de la structure.

Efforts aux appuis

- 0,2

-

- 0,6

FℓF

F0,6Fℓ

0,6F

F

Exercice 17 : Étude d’un portique Objectifs : mise en œuvre de la méthode des éléments finis, changement de base, assemblage, résolution, calcul des efforts aux appuis, calcul des contraintes dans les éléments, et calcul des efforts aux nœuds internes.

Intéressons-nous à la réponse statique du portique plan représenté par la figure ci-contre.

On ne néglige pas l'effet de l'effort normal 3 DDL par nœuds ( iii vu θ,, ).

On posera 3

/

/

ES

EIα = ℓ

ℓ


ℓ

ox

yo

ℓf

A

Définissez vos vecteurs globaux : U IF (bilan inconnues – équations)

Déterminer la matrice raideur assemblée réduite. le vecteur force généralisé associé à la pression linéique.

Pour 2α =

Déterminer la déformée statique (déplacements nodaux).

Calculer les efforts aux appuis, et vérifier les équations d’équilibre global de la structure.

Pour chaque élément calculer les efforts (contraintes) au point A et analysez les discontinuités.


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Pensez-vous que votre modèle est satisfaisant ? (justifier votre réponse)

Proposer un modèle plus satisfaisant, pensez-vous pouvoir résoudre ce modèle à la main ?


Pour aller plus loin vous pouvez utiliser les supports pédagogiques proposés pour traiter numériquement des structures portiques plus complexes avec au choix :

• Cast3M

• MEFlab (Matlab)

• Abaqus ou tout autre code EF industriel

Les aspects théoriques suivants peuvent aussi vous intéresser pour approfondir vos connaissances :

• Le flambement des poutres et des portiques

• La plasticité des poutres et des portiques (rotule plastique)

• Caractéristiques des poutres composites

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MIAS - meefi.pedagogie.ec-nantes.fr · Cours 2 : Calcul des treillis par la MEF durée Activités étudiants enseignant 20 mn Lecture pages 27-28 & 31-32 Bilan de la lecture 40 mn