MN_4_equations_non_linéaires

7/30/2019 MN_4_equations_non_linaires

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EquationsNonLinaires Equationslinaires,nonlinaires

n es

gu re

c e

e

rouver

a

so u on

e

qua on

n a re

a x

=

o

ae

sontconnusetxestlinconnue.Oncrita*x=b etchaquemembredelexpressionestdivispara:

a*x=b a\a*x =a\b x=a\b (divisiongauche,mldivide(a,b) enMatlab)

x*a=b x*a/a

=

b/a

x

=

b/a (divisiondroite,,mrdivide(a,b) enMatlab)

4

7

*211

2113

42

72113

2

1

321

321

x

x

xxx

xxx

1911119 3321 xxxx

44.3

34.2

.

19

4

111

211 \

3

2

1

x

x

Quefaireavecunsystmenonlinairecommeceluici:4)(

7)sin(11)log(32

121

21

xxabsx

xx

1

Desmthodesadaptesdoiventtremisesenuvre.


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EquationsNonLinaires Mthodedelabissection(dichotomie)

Trouverles

zros

de

fonctions

non

linaires,

les

valeurs

relles

tellesquef()=0

Avantage:lalgorithmenutilisequedes

2

va ua ons e a onc on


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EquationsNonLinaires MthodedeNewton

Cettemthode sappliquedesquationsdutype pourlesquelleson

peutcalculerouestimerladrivedef: f(x).

Soitx1

unevaleurinitialeapproche delaracine inconnue:x1 = +h,ona

etcomme

onentirelestimationdehlaquantitajouterx1 poursapprocherde etgnrerunevaleurx2 =x1 +h:

Onendduitlamthode:

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EquationsNonLinaires MthodedeNewton,interprtationgomtrique

f(x)

xn xn+1 xn+2 x

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EquationsNonLinaires MthodedeNewton,convergence,arrt

Lamthodeneconvergepastoujours

f(x)

x1 x2

x3 .

lexemplecicontreil

existeun

changement

xuneoscillationdestermesxn

5


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EquationsNonLinaires MthodedeNewton:contrlesurlersidu

e(k) =erreur=|x(k) |rsidu=f(x(k))

rsidu

rsidu

|f(x)|>>1 (gauche)critretroprestrictif:alorsquelerreurestfaible,les

itrationsse

poursuivent

puisque

le

rsidu

est

grand.

|f(x)|


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EquationsNonLinaires MthodedeNewton:systmesdquationsnonlinaires

Lamthode

Newton

peut

sappliquer

la

rsolution

dunsystmedeplusieursquationsnonlinaires:

Apartirduncoupledevaleursapproches(x1,y1)dunesolution(,)dusystme,onpeutdterminerdeuxaccroissements

h

et

k

donner

x1 ety1 demanireceque:

Endveloppant

en

1er ordre,

ilvient:

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EquationsNonLinaires MthodedeNewton:systmesdquationsnonlinaires

, :

Sousformematricielle,enposantJlamatriceJacobienne: (x1,y1)=

),(),(

11

11

),( 11 yxgyxf

khJ

yx

),(

),(\

11

11

),(

1

1

2

2

11 yxg

yxfJ

y

x

y

xyx

),(1 nnnn yxfxx ),(

),(

1 nn

yx

nn yxgyynn

8

npeutnoter e aoncon ens e vector e e : 1 nnnn


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EquationsNonLinaires MthodedeNewton:rsum

Onveut:f(x+h)=f(x)+h.f(x)=0 h= f(x)/f(x)

1, 2 1 1, ,

Rn Rn

0);;(

);;(

)( 2

1

zyxf

zyxf

y

x

FXF

);;(3 zyxfz

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EquationsNonLinaires fzero,poignedefonction

Lafonctionfzero rsoutlesquationsnonlinairesdutype:mafonction(x)=0.Ellepossde2entres:a)unepoigne*delafonctiondontonrecherchelezroetb)une

0 .annulemafonction.

>>fzero('cos',

2)

%

ou

crire:

fzero(@cos,

2)= .

Onpeutvidemmentaffecterlasortieunenouvellevariable:>> un zero de cos = fzero cos 2 % ceci rsout: cos x =0_ _ _

un_zero_de_cos

=1.5708

Essayonsavecmafonction function =mafonction x>>u=fzero(@mafonction,2)u=1

>>u=fzero(@mafonction,

10)

y=x.^21;end

u= 1.0000 %ces2dernirescommandesrsolvent:x.^21=0

*Une oi neestunt edevariabledsi nantlesfonctions.Elleestconstruiteena outantun@davant lenomdelafonction ouenlacrantcommeunefonctionanonyme.


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EquationsNonLinaires fzero,fonctionsparamtres

Leschosespeuventsecompliquersilafonctioncibleestparamtre,etpossdedoncplusduneentre

functiony=mafonction(p,x)y=x.*cos(x)+p;

en

ne aon u ser zero qu n accep eque es onc on uneseu een r e es ecrerunefonctionanonymeenfixantdabordlavaleurduparamtre:>>p=5;

,

>>ezplot(mafonction2,

[10,

2])

>>grid

mafonction(p,x)

,ans= 5.3125>>fzero(mafonction2,0)

ans = 3.02175

0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2x


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EquationsNonLinaires fzero, options,optimset

Enralit,fzeropeutpossder2ou3entres:>>x=fzero(fun,x0,options)

>>options=optimset(@fzero)options=

,exempledindiquerquelletolrancelarecherche

du

zro

doit

tre

ralise.

Display:'notify'MaxFunEvals:[]

MaxIter:[]

Pourconnaitrelesoptionsdisponiblesavecfzero,onutiliselacommandeoptimset.Onvoitquepardfaut fzero recherche le zro dune fonction

TolFun:[]TolX:2.2204e016

jusquune

tolrance

gale

eps(1).

Pourchan erlesvaleursdeceso tions,ilfaututiliserlasyntaxesuivantepouroptimset:options=optimset(old_opt,param',value)

Ainsi,pour

changer

la

tolrance,

on

crira:

_ Display:'notify'MaxFunEvals:[]

>>new_opt=optimset(options,'tolx',1e6)Onpourraparlasuiteexcuterfzeroaveclesnouvellesoptionsquonluipassera:

TolFun:[]TolX:1.0000e006

>>x=fzero(fun,x0,new_opt)


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EquationsNonLinaires Exercice:erreurdelamthodededichotomie

Enobservantquelerreurestborne:

le

nombre

ditrations

minimal

qui

garantisse: .


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EquationsNonLinaires Exercice:Volumedungazrel

Onconsidreledioxydedecarbone(CO2),pourlequela=0.401Pa.m6 etb=42.7106 m3.

DonnerlevolumeoccupparN=1000molculesdeCO2

latempratureT=300Ket

. . . . .

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EquationsNonLinaires Exercice: matricejacobienne

:function [J,

y0]=jacobimatrice(fun,

x0)

%JacobimatricecalculelamatricejacobienneJdela%fonctionfunvalueau%pointx0.y0=fun(x0).funestunepoignedefonction.%ExemplepourunefonctionR^3==>R^2:%>>f=@(x)[x(1)*x(2)^2+x(3);x(1)*x(3)^2x(2)];

%

>>

x0

=

[1,

2,

3];%[J,y0]=jacobimatrice(f,x0)

CalculersamatricejacobienneJF(X).EndduireJ 1 2 .

%J=% 4 4 1% 9 1 6%y0=

Lafonctionjacobimatricecicontrevaluenumriquementlamatrice

% 7%

7

y0=fun(x0);n=length(x0);m=length(y0);

jacobiennedunefonctionfun.Etudierchaquelignedecettefonction.

Appliquerla

la

fonction

F

dfinie

au

J=zeros(m,n);dx =x0/1000+eps;

fork=1:n

x0p=x0;x0m=x0;

dessusetvrifierlersultatobtenupourJF([1;2]).

x0p(k)=x0p(k)+dx(k);x0m(k)=x0m(k)dx(k);J(:,k)=(fun(x0p)fun(x0m))/2/dx(k);

endPourquoiatiltajout eps dans

ladfinition

de

dx ?

end


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EquationsNonLinaires Exercice: crireunefonctionnewton

crire

ET

tester

la

fonction

NEWTON

dcrite

par

laide.

Elle

fera

appel

la

fonction

jacobimatricetudieplushautdanscechapitre.

unct on x,n ter =newton ,x ,to x,max ter

%trouvelasolutionparlamthodedeNewton

%dun

systme

dquations

non

linaires

pouvant

se

mettre

sous

la

forme

=

%X=valeurtellequef(X)=0TOLXprs

'

%%F=poignedelafonction

=

%TOLX=tolrancesurl'incrment:sinorm(x(k)x(k1))


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EquationsNonLinaires Exercice: modifierunefonctionnewtonfunction[x,niter]=newton(f,x0,tolx,maxiter)%trouvelasolutionparlamthodedeNewton%dunsystmedquationsnonlinairespouvant%semettresouslaforme%f(x)=0 ofestunefonctiondeR^ndansR^n% X = valeur telle ue f X = 0 TOLX rs

Modifierla

fonction

newton

ci

contre

de

faon

ce

quellerenvoielevecteurx=[x0,x1,...,xn]desitrationssuccessivesetox0 estlavaleurinitialeetxn estlasolutiontolxprs.

%NITER=nombred'itrationseffectues%%F=poignedelafonction

%X0

=

valeur

initiale

des

itrations

'

newtonpeutellersoudrex^31=0?(voirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale_de_Newton)

x0=x0(:);

= o rancesur ncr men :%sinorm(x(k+1)x(k))


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EquationsNonLinaires Exercice:Recherchedunevaleurinitiale

Objectif:rsoudre

le

systme

ci

contre,

avec

la

mthode

de

Newton.

Onprendratolx=1012

2

1yx 2

Soit f1(x,y)=x2 2xy 2=0

f2(x,y)=x+y2 +1=0

Selonla

valeur

initiale

donne

lalgorithme

itratif,

la

convergence

vers

la

solution

peutchouer.Demme,onnesaitpassiilexistezro,uneouplusieurssolutions..

a) Reprsenterlasurfacez(x,y)=f1

2(x,y)+f2

2(x,y)enutilisantlesfonctionsmeshgrid2 2

.

1 , 2 , dduireuneestimationdelaoudessolutions.

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initiale(s).


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EquationsNonLinaires Exercice:applicationspourlafonctionnewton.m

a)Rsoudrelesystmecidessous,aveclamthodedeNewton.Onprendratolx=106.2x

1

x2

=exp(x1)

x + 2x = ex x

b TrouverlamatriceXtelle ueX*X*X= 21

43

Sol: X=

161.1290.1

..

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