Modèles Non Linéaires et Prévisions › deg › masters › ESA › CH › SlideCDC.pdfModèles Non Linéaires et Prévisions G. Colletaz, C. Hurlin Introduction, Motivations Objectifs

Modèles Non Linéaires etPrévisions

G. Colletaz, C. Hurlin

Introduction,Motivations

Objectifs et Plan

Modèles Univariés NonLinéaires

Comment Construire unePrévision dans un ModèleNon Linéaire ?Prévision Ponctuelle

Méthodes de SimulationNumérique

Densité de Prévision

Intervalles de Confiance

Comment Evaluer unePrévision dans un Modèlenon Linéaire ?Evaluation des PrévisionsPonctuelles

Les Tests de Diebold etMariano (1995)

Les Tests Non-Paramétriquesde Prévisions de Régime

Evaluation des Intervalles deConfiance

Evaluation des Densités dePrévisions

Tests de SpécificationCorrecte

Tests de Comparaison deDensités Conditionnelles MalSpécifiées

Le test de Bao, Lee etSaltoglu (2004)

Conclusion

Modèles Non Linéaires et Prévisions

Gilbert Colletaz Christophe Hurlin

Laboratoire d’Economie d’Orléans

2006




Objectifs et Plan














Conclusion

Modèles Non Linéaires et Prévision

I Constat : Depuis quelques années, la prise en compte de lanon linéarité et plus spécifiquement de l’existence dephénomènes de changement de régimes tend à modifierprofondément les approches de l‘économétrie appliquée à lamacroéconomie et à la finance.

I Il est reconnu que la plupart des séries économiques etfinancières présentent des dynamiques non linéaires, desphénomènes de changement de régimes, des asymétries, desdistributions multimodales.

I Etant donné qu’il est impossible de rendre compte de cesphénomènes à partir des modèles linéaires autorégressifsusuels de type ARMA ou VAR, on a nécessairementrecours à des processus non linéaires capables de reproduireces caractéristiques.




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion


Alors doit-on nécessairement utiliser des modélisations nonlinéaires lorsque l’on cherche à faire de la prévision enéconomie et en finance ?

La réponse à cette question dépend fondamentalement de :1. De la forme de la non linéarité retenue (choix du modèle

non linéaire)2. De la définition de la prévision que l’on souhaite

retenir (construction de la prévision)3. De la manière dont on souhaite évaluer cette prévision

(évaluation de la prévision)




Objectifs et Plan














Conclusion



La réponse à cette question dépend fondamentalement de :

1. De la forme de la non linéarité retenue (choix du modèlenon linéaire)

2. De la définition de la prévision que l’on souhaiteretenir (construction de la prévision)

3. De la manière dont on souhaite évaluer cette prévision(évaluation de la prévision)




Objectifs et Plan














Conclusion




non linéaire)

2. De la définition de la prévision que l’on souhaiteretenir (construction de la prévision)





Objectifs et Plan














Conclusion





retenir (construction de la prévision)





Objectifs et Plan














Conclusion





retenir (construction de la prévision)3. De la manière dont on souhaite évaluer cette prévision

(évaluation de la prévision)




Objectifs et Plan














Conclusion


L’utilisation de modèles non linéaires conduit à un profondrenouvellement de la problématique de la prévision et enparticulier sur deux points :

I La définition de la prévisionI L’évaluation de la prévision

Exemple : Que cherche-t-on à prévoir dans un modèle nonlinéaire à changement de régime ?

I le régime futur de la dynamique de la sérieI ou le niveau de la série elle même




Objectifs et Plan














Conclusion



I La définition de la prévision

I L’évaluation de la prévision






Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Définition de la Prévision

Si l’on cherche à prévoir le niveau de la série à partir d’unmodèle non linéaire, que devient la prévision ?

1. Une prévision ponctuelle définie comme l’espérance de laprévision (notion de point moyen) ?

2. Un intervalle de confiance éventuellement non symétriqueet non continu ?

3. Une densité de prévision qui permettrait de réveler leséventuelles asymétries et autres aspects multi-modaux de ladistribution de la prévision ?




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Evaluation de la Prévision

De la même façon comment évaluer mon modèle nonlinéaire de prévision ?

1. Doit-on se contenter de valider la prévision ponctuelle etde la comparer par exemple à celles issues des modèleslinéaires simples ?

2. Doit on évaluer la validité des intervalles de confiance ?Mais comment évaluer la validité d’un intervalle deconfiance ?

3. Doit on évaluer la validité de la densité de prévision ?(auquel cas la comparaison les modèles linéaires devient sansfondement)

4. Doit on évaluer la validité absolue de la prévision ousimplement comparer des prévisions issues de modèlesconcurrents tous potentiellement mal spécifiés ?




Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion

Objectif

I L’objectif de notre rapport est de proposer unesynthèse de l’abondante littérature techniqueconsacrée aux modèles non linéaires et aux modèles àchangement de régimes qui a pour objectif d’éclairerles différentes dimensions du débat sur l’apport de cesmodèles à la prévision.

I Afin de répondre à la question "doit-on utiliser desmodèles non linéaires pour prévoir ?" on doit clairementdéfinir :

1. Les modèles univariés non linéaires utilisés à des fins deprévision (Partie 1)

2. Comment construire une prévision dans un modèle nonlinéaire ? (Partie 2)

3. Comment évaluer une prévision dans un modèle nonlinéaire ? (Partie 3)




Objectifs et Plan














Conclusion

Objectif









Objectifs et Plan














Conclusion

Objectif









Objectifs et Plan














Conclusion

Objectif









Objectifs et Plan














Conclusion

Objectif









Objectifs et Plan














Conclusion

Rappel sur les Processus Linéaires

yt = µ+∞∑

i=0ψjut−i

où ut ∼ i.i.d (0, σ2u)

Dans ce cadre la modélisation de référence est celle des processusARMA(p,q) de Box-Jenkins

φ(L)(yt − µ) = θ(L)ut

avecI φ(L) = (1− φ1L− · · · − φpLp)

I θ(L) = (1− θ1L− · · · − θqLq)

I Ljyt = yt−j

Si φ(L) est inversible alors

yt = µ+ φ(L)−1θ(L)ut




Objectifs et Plan














Conclusion


yt = µ+∞∑

i=0ψjut−i




avecI φ(L) = (1− φ1L− · · · − φpLp)

I θ(L) = (1− θ1L− · · · − θqLq)

I Ljyt = yt−j






Objectifs et Plan














Conclusion


yt = µ+∞∑

i=0ψjut−i




avecI φ(L) = (1− φ1L− · · · − φpLp)

I θ(L) = (1− θ1L− · · · − θqLq)

I Ljyt = yt−j






Objectifs et Plan














Conclusion


yt = µ+∞∑

i=0ψjut−i




avecI φ(L) = (1− φ1L− · · · − φpLp)

I θ(L) = (1− θ1L− · · · − θqLq)

I Ljyt = yt−j






Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus Bilinéaires

L’écriture précédente peut être perçue comme étant un casparticulier d’une structure plus complexe dans laquelle yt estsimplement fonction des aléatoires u présente et passées :

yt = f (ut , ut−1, ut−2, . . .)

dans laquelle on impose la linéarité de la fonction f .

Si on considère maintenant f comme étant une fonctioninconnue dérivable alors un développement de Taylor à l’ordre 2va mener à :

yt =

p∑i=1

φiyt−i +

q∑j=0

θjut−j +m∑

i=1

s∑j=1

βĳyt−iut−j

correspondant à un processus bilinéaire noté BL(p, q,m, s)




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus Bilinéaires

L’écriture précédente peut être perçue comme étant un casparticulier d’une structure plus complexe dans laquelle yt estsimplement fonction des aléatoires u présente et passées :

yt = f (ut , ut−1, ut−2, . . .)

dans laquelle on impose la linéarité de la fonction f .Si on considère maintenant f comme étant une fonctioninconnue dérivable alors un développement de Taylor à l’ordre 2va mener à :

yt =

p∑i=1

φiyt−i +

q∑j=0

θjut−j +m∑

i=1

s∑j=1

βĳyt−iut−j

correspondant à un processus bilinéaire noté BL(p, q,m, s)




Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus TARMA

On peut également envisager une non linéarité de f parmorceaux, morceaux qui ne correspondent pas nécessairement àdes découpages successifs de l’axe du temps mais repérés par lesvaleurs d’une variable indicatrice supposée exogène. Sur chaquemorceau la variable est supposée être gouvernée par un ARMAspécifique.

Par exemple dans un modèle à deux régimes :

yt =

φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i + u1t +

∑q1j=1 θ1ju1,t−j si xt−d = x1

φ20 +∑p2

i=1 φ2iyt−i + u2t +∑q2

j=1 θ2ju2,t−j si xt−d = x2




Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus TARMA

On peut également envisager une non linéarité de f parmorceaux, morceaux qui ne correspondent pas nécessairement àdes découpages successifs de l’axe du temps mais repérés par lesvaleurs d’une variable indicatrice supposée exogène. Sur chaquemorceau la variable est supposée être gouvernée par un ARMAspécifique.Par exemple dans un modèle à deux régimes :

yt =

φ10 +


∑q1j=1 θ1ju1,t−j si xt−d = x1

φ20 +∑p2


j=1 θ2ju2,t−j si xt−d = x2




Objectifs et Plan














Conclusion

Il est également possible de considérer que le signal n’est pasdirectement révèlé par une indicatrice mais fait intervenir desparamètres inconnus. Ainsi, le support de la variable de transitionpeut être découpé en segments de bornes inconnues.Dans un modèle à deux régimes on aura ainsi :

yt =

φ10 +


∑q1j=1 θ1ju1,t−j si xt−d ≤ c

φ20 +∑p2


j=1 θ2ju2,t−j si xt−d > c

où x est la variable de transition et c le seuil de transition(threshold).




Objectifs et Plan














Conclusion

Il est également possible de considérer que le signal n’est pasdirectement révèlé par une indicatrice mais fait intervenir desparamètres inconnus. Ainsi, le support de la variable de transitionpeut être découpé en segments de bornes inconnues.Dans un modèle à deux régimes on aura ainsi :

yt =

φ10 +


∑q1j=1 θ1ju1,t−j si xt−d ≤ c

φ20 +∑p2


j=1 θ2ju2,t−j si xt−d > c

où x est la variable de transition et c le seuil de transition(threshold).




Objectifs et Plan














Conclusion

La généralisation à un nombre quelconque, K , de régimes estimmédiate pour donner un TARMA(K ; p1, . . . , pK , q1, . . . , qK )

yt =K∑

k=1

φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt +

qk∑j=1

θkjuk,t−j

×I(xt−d ∈ Ri)

où ukt est un bruit blanc de variance σ2k pour k = 1, · · · ,K . Les

segments Ri =]ci−1, ci ] forment une partition de l’espace desréels conformément aux valeurs des paramètres de seuil ci telsque −∞ = c0 < c1 < · · · < cK = +∞. Enfin I() est une fonctionindicatrice prenant la valeur 1 si xt−d ∈ Ri et 0 sinon.




Objectifs et Plan














Conclusion

La généralisation à un nombre quelconque, K , de régimes estimmédiate pour donner un TARMA(K ; p1, . . . , pK , q1, . . . , qK )

yt =K∑

k=1

φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt +

qk∑j=1

θkjuk,t−j

×I(xt−d ∈ Ri)

où ukt est un bruit blanc de variance σ2k pour k = 1, · · · ,K . Les

segments Ri =]ci−1, ci ] forment une partition de l’espace desréels conformément aux valeurs des paramètres de seuil ci telsque −∞ = c0 < c1 < · · · < cK = +∞. Enfin I() est une fonctionindicatrice prenant la valeur 1 si xt−d ∈ Ri et 0 sinon.




Objectifs et Plan














Conclusion

Si dans la structure précédente la variable de transition estl’expliquée elle-même, alors le processus est dit Self-Exciting. UnSETARMA(K ; p1, . . . , pK , q1, . . . , qK ) s’écrira donc :

yt =K∑

k=1

φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt +

qk∑j=1

θkjuk,t−j

×I(yt−d ∈ Ri)




Objectifs et Plan














Conclusion

Si dans la structure précédente la variable de transition estl’expliquée elle-même, alors le processus est dit Self-Exciting. UnSETARMA(K ; p1, . . . , pK , q1, . . . , qK ) s’écrira donc :

yt =K∑

k=1

φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt +

qk∑j=1

θkjuk,t−j

×I(yt−d ∈ Ri)




Objectifs et Plan














Conclusion

La difficulté de préciser les propriétés de ces processus (conditionsde stationarité par exemple) et les difficultés d’estimationexpliquent que les travaux utilisent des cas simplifiés que sont

I Les TMAI et surtout les TAR




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus TMA

Structure composée uniquement de processus MA sur chacun dessous-ensembles disjoints définis par la variable de transition.

Par exemple, un SETMA(2, q1, q2, d) s’écrit donc comme :

yt =

q1∑i=1

δ1iut−i +

q2∑j=1

δ2i I(yt−d ≤ c)ut−i + ut

Si yt−d > c alors le coefficient de ut−i est δ1iSi yt−d ≤ c alors le coefficient de ut−i est δ1i + δ2i




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus TMA

Structure composée uniquement de processus MA sur chacun dessous-ensembles disjoints définis par la variable de transition.Par exemple, un SETMA(2, q1, q2, d) s’écrit donc comme :

yt =

q1∑i=1

δ1iut−i +

q2∑j=1






Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus TMA

Structure composée uniquement de processus MA sur chacun dessous-ensembles disjoints définis par la variable de transition.Par exemple, un SETMA(2, q1, q2, d) s’écrit donc comme :

yt =

q1∑i=1

δ1iut−i +

q2∑j=1






Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus TARIls sont, dans cette famille de processus, les plus courammentutilisés sans doute en raison de relative facilité d’estimation.Un SETAR a deux régimes a pour écriture :

yt =

φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i + u1t si yt−d ≤ c

φ20 +∑p2

i=1 φ2iyt−i + u2t si yt−d > c

Pour l’estimer on a besoin :I de définir une grille de recherche pour c usuellement calée

sur les observations de y elle-même et telle que cmin et cmaxlaissent suffisamment de points dans les régimes extrêmes(trimming),

I de définir une grille de recherche sur l’entier d : dmin, dmax ,I d’appliquer les OLS sur les deux sous-échantillons créés pour

les valeurs de c et d prises dans les grilles,I de sélectionner le modèle optimal parmi l’ensemble des

ajustements réalisés, par exemple au moyen d’un critère detype AIC.




Objectifs et Plan














Conclusion


yt =

φ10 +


φ20 +∑p2




I de définir une grille de recherche sur l’entier d : dmin, dmax ,

I d’appliquer les OLS sur les deux sous-échantillons créés pourles valeurs de c et d prises dans les grilles,

I de sélectionner le modèle optimal parmi l’ensemble desajustements réalisés, par exemple au moyen d’un critère detype AIC.




Objectifs et Plan














Conclusion


yt =

φ10 +


φ20 +∑p2





les valeurs de c et d prises dans les grilles,

I de sélectionner le modèle optimal parmi l’ensemble desajustements réalisés, par exemple au moyen d’un critère detype AIC.




Objectifs et Plan














Conclusion


yt =

φ10 +


φ20 +∑p2





les valeurs de c et d prises dans les grilles,I de sélectionner le modèle optimal parmi l’ensemble des

ajustements réalisés, par exemple au moyen d’un critère detype AIC.




Objectifs et Plan














Conclusion

Pour autant les propriétés de ces processus sont complexes. Ence qui concerne par exemple les conditions de stationarité, seulesdes conditions suffsiantes sont connues dans le cas généralSETAR(k, p1, . . . , pK ; d) : maxk

∑pi |φki | < 1. Or on sait que ces

conditions peuvent être beaucoup trop restrictives.

Illustration dans le cas particulier où p1 = . . . = pK = 1. Cettecondition suffisante se traduit par maxk |φk1| < 1. Ce quiéquivaut à imposer la stationarité de chacun des AR(1)constituant le SETAR.Or dans un SETAR à deux régimes les conditions nécessaires etsuffisantes sont connues pour des processus de longueur 1 :φ11 < 1, φ21 < 1 et φ11φ21 < 1. Ainsi

yt =

−2 yt−1 + ut si yt−1 ≤ 0

0.6 yt−1 + ut si yt−1 > 0

C’est un processus stationnaire bien que l’un des régimes soitgouverné par un AR explosif.Par ailleurs ici en l’absence de constantes on a E [yt ] > 0




Objectifs et Plan














Conclusion



conditions peuvent être beaucoup trop restrictives.Illustration dans le cas particulier où p1 = . . . = pK = 1. Cettecondition suffisante se traduit par maxk |φk1| < 1. Ce quiéquivaut à imposer la stationarité de chacun des AR(1)constituant le SETAR.

Or dans un SETAR à deux régimes les conditions nécessaires etsuffisantes sont connues pour des processus de longueur 1 :φ11 < 1, φ21 < 1 et φ11φ21 < 1. Ainsi

yt =

−2 yt−1 + ut si yt−1 ≤ 0

0.6 yt−1 + ut si yt−1 > 0





Objectifs et Plan














Conclusion



conditions peuvent être beaucoup trop restrictives.Illustration dans le cas particulier où p1 = . . . = pK = 1. Cettecondition suffisante se traduit par maxk |φk1| < 1. Ce quiéquivaut à imposer la stationarité de chacun des AR(1)constituant le SETAR.Or dans un SETAR à deux régimes les conditions nécessaires etsuffisantes sont connues pour des processus de longueur 1 :φ11 < 1, φ21 < 1 et φ11φ21 < 1. Ainsi

yt =

−2 yt−1 + ut si yt−1 ≤ 0

0.6 yt−1 + ut si yt−1 > 0





Objectifs et Plan














Conclusion




yt =

−2 yt−1 + ut si yt−1 ≤ 0

0.6 yt−1 + ut si yt−1 > 0

C’est un processus stationnaire bien que l’un des régimes soitgouverné par un AR explosif.

Par ailleurs ici en l’absence de constantes on a E [yt ] > 0




Objectifs et Plan














Conclusion




yt =

−2 yt−1 + ut si yt−1 ≤ 0

0.6 yt−1 + ut si yt−1 > 0





Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus globalement stationnaires possédant descomposantes non-stationnaires peuvent être employés utilementdans certaines configurations.

Exemple du processus à trois régimes avec corridor inactifSa structure est la suivante :

yt =

φ1yt−1 + ut si yt−1 ≤ c1yt−1 + ut si c1 < yt−1 ≤ c2φ2yt−1 + ut si yt−1 > c2

Si |φ1| < 1 et |φ2| < 1 alors le processus est stationnaire mêmes’il est localement non stationnaire. Applications :

I prise en compte des coûts de transaction en financeI cointégration avec réponse asymétrique aux chocs




Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus globalement stationnaires possédant descomposantes non-stationnaires peuvent être employés utilementdans certaines configurations.Exemple du processus à trois régimes avec corridor inactifSa structure est la suivante :

yt =







Objectifs et Plan














Conclusion

Les processus globalement stationnaires possédant descomposantes non-stationnaires peuvent être employés utilementdans certaines configurations.Exemple du processus à trois régimes avec corridor inactifSa structure est la suivante :

yt =







Objectifs et Plan














Conclusion

Le MTAR

Dans un SETAR la variable de transition est constitué du niveauretardé de l’expliquée. Dans un processus de type MomentumTreshold AutoRegressive on va considérer la variation retardéede l’expliquée. Soit :

yt =K∑

k=1

(φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt

)I(∆yt−d ∈ Ri)

Deux arguments sont avancés en faveur de cette formulation

I un argument statistique : lorsque la série stationnairepossède une racine proche de l’unité (near unit root process)il peut être préférable de considérer la série en différences.

I un argument économique : les agents peuvent porter plusd’attention à l’amplitude des variations qu’au niveaului-même (par exemple dans le cas des taux d’intérêt, destaux de change ou des prix des actifs financiers en général).




Objectifs et Plan














Conclusion

Le MTAR

Dans un SETAR la variable de transition est constitué du niveauretardé de l’expliquée. Dans un processus de type MomentumTreshold AutoRegressive on va considérer la variation retardéede l’expliquée. Soit :

yt =K∑

k=1

(φk0 +

pk∑i=1

φkiyt−i + ukt

)I(∆yt−d ∈ Ri)

Deux arguments sont avancés en faveur de cette formulationI un argument statistique : lorsque la série stationnaire

possède une racine proche de l’unité (near unit root process)il peut être préférable de considérer la série en différences.

I un argument économique : les agents peuvent porter plusd’attention à l’amplitude des variations qu’au niveaului-même (par exemple dans le cas des taux d’intérêt, destaux de change ou des prix des actifs financiers en général).




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus STAR

Les processus TAR permettent donc dans une certaine mesure deraconter une histoire économique. Ils n’en présentent pas moinscertains défauts notamment sur deux points :

I La discontinuité du processus au niveau du seuil compliquel’estimation et les tests.

I Ils peuvent gébérer des révisions de prévisions peu crédibles.Une faible variation des conditions initiales est susceptibled’entraîner la substitution d’une équation par une autrenotamment lorsque y est proche du seuil c.

La solution est d’autoriser une transition douce entre les régimes.




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus STAR

Les processus TAR permettent donc dans une certaine mesure deraconter une histoire économique. Ils n’en présentent pas moinscertains défauts notamment sur deux points :

I La discontinuité du processus au niveau du seuil compliquel’estimation et les tests.

I Ils peuvent gébérer des révisions de prévisions peu crédibles.Une faible variation des conditions initiales est susceptibled’entraîner la substitution d’une équation par une autrenotamment lorsque y est proche du seuil c.

La solution est d’autoriser une transition douce entre les régimes.




Objectifs et Plan














Conclusion

Le processus STAR (Smooth Transition AutoRegression)applique pour ce faire une fonction de pondération sur lesdiverses équations.Dans le cas simple à une seule fonction de transition G(), onaura ainsi :

yt =(φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i

)× (1− G(xt ; θ)]+(

φ20 +∑p2

i=1 φ2iyt−i)× G(xt ; θ) + ut

où G() est une fonction continue de paramètres θ telle que0 ≤ G() ≤ 1 et xt une variable de transition stationnaire.Deux interprétations sont possibles :

I un STAR est un modèle à seuil à deux régimes chacun étantassocié aux valeurs extrêmes de la fonction de transition ,G(xt , θ) = 0 et G(xt , θ) = 1, avec une transition continuede l’un des régimes vers l’autre.

I un STAR est constitué d’un continuum de régimes, celui envigueur étant déterminé par une valeur particulière de lafonction de transition et donc de la variable de transition xt




Objectifs et Plan














Conclusion


yt =(φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i

)× (1− G(xt ; θ)]+(

φ20 +∑p2


où G() est une fonction continue de paramètres θ telle que0 ≤ G() ≤ 1 et xt une variable de transition stationnaire.

Deux interprétations sont possibles :I un STAR est un modèle à seuil à deux régimes chacun étant

associé aux valeurs extrêmes de la fonction de transition ,G(xt , θ) = 0 et G(xt , θ) = 1, avec une transition continuede l’un des régimes vers l’autre.





Objectifs et Plan














Conclusion


yt =(φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i

)× (1− G(xt ; θ)]+(

φ20 +∑p2


où G() est une fonction continue de paramètres θ telle que0 ≤ G() ≤ 1 et xt une variable de transition stationnaire.Deux interprétations sont possibles :

I un STAR est un modèle à seuil à deux régimes chacun étantassocié aux valeurs extrêmes de la fonction de transition ,G(xt , θ) = 0 et G(xt , θ) = 1, avec une transition continuede l’un des régimes vers l’autre.





Objectifs et Plan














Conclusion

Remarque : l’équation du STAR

yt =(φ10 +

∑p1i=1 φ1iyt−i

)× (1− G(xt ; θ)]

+(φ20 +

∑p2i=1 φ2iyt−i

)× G(xt ; θ) + ut

peut également être ré-écrite comme :

yt = β0t + β1tyt−1 + β2tyt−2 + · · ·+ βptyt−p + ut

avecp = max(p1, p2),βit = φ1,i × [1− G(xt ; θ)] + φ2,i × G(xt ; θ).Ainsi le modèle STAR peut être également vu comme un AR àcoefficients variables. En conséquence le modèle STAR estlocalement linéaire lorsque la variable de transition xt estconstante.




Objectifs et Plan














Conclusion

Dans la quasi-totalité des travaux le choix de la fonction depondération G() s’effectue entre deux formulations :

I Soit selon une fonction de type logistique, pour donner lemodèle LSTAR (Logistic STAR), qui dans sa version la plussimple a pour expression :

G(xt ; θ) = L(xt ; γ, c) = [1 + exp (−γ(xt − c))]−1, γ > 0

I Soit selon une fonction de type exponentielle pour donner lemodèle ESTAR (Exponential STAR),

G(xt ; θ) = E (xt ; γ, c) = 1− exp[−γ(xt − c)2] , γ > 0

Dans les deux cas le paramètre de pente γ détermine le rythmede la transition entre les régimes.




Objectifs et Plan














Conclusion

Le processus LSTAR

G(xt ; θ) = L(xt ; γ, c) = [1 + exp (−γ(xt − c))]−1, γ > 0

On vérifie immédiatement :I L(c; γ, c) = 0.5I limγ→0 L(xt ; γ, c) = 0.5I limγ→∞ L(xt ; γ, c) = 1 si xt > cI limγ→∞ L(xt ; γ, c) = 0 si xt < c

Les deux dernières propriétés signalent que le processus TAR estun cas particulier d’un STAR obtenu pour des valeurs élevées ducoefficient de pente γ.




Objectifs et Plan














Conclusion

Une Illustration Graphique

Fig.: Fonction de transition d’un LSTAR pour c = 0




Objectifs et Plan














Conclusion

Le processus ESTAR

G(xt ; θ) = E (xt ; γ, c) = 1− exp[−γ(xt − c)2] , γ > 0

Du fait de la forme quadratique le comportement de la fonctionde transition sera différent de celui caractéristique du LSTAR. Onaura ici une forme en U.

I E (c; γ, c) = E (xt ; 0, c) = 0I limx→±∞ E (x ; γ, c | γ 6= 0) = limγ→∞ E (xt ; γ, c | xt 6=

c) = 1Cette caractéristique souligne que le processus ESTAR est plutôtadapté à l’ajustement de systèmes possédant un corridor central(même si le ESTAR ne dégènère pas en un TAR à trois régimes)




Objectifs et Plan














Conclusion

Une Illustration Graphique

Fig.: Fonction de transition d’un ESTAR pour c = 0




Objectifs et Plan














Conclusion

Les Processus à sauts de Markov

Dans les processus de la famille TARMA la variable de transitionest observée. On peu imaginer de faire dépendre le régime envigueur d’une variable d’état inobservée st .Au moins deux arguments peuvent être avancés en faveur decette modification :

I Le cas trivial où effectivement l’indicatrice du régime n’estpas observée,

I Lorsque le changement de régime est lié à un ensemble decauses dont la prise en compte complexifierait trop l’écriturede la transition.




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion

Le modèle fondateur est dû à Hamilton qui envisage un processusautorégressif d’ordre 4 sur le taux de croissance trimestriel duPIB américain :

4yt−µ(st) = φ1(4yt−1−µ(st−1))+· · ·+φ4(4yt−4−µ(st−4))+ut

où ut est un bruit blanc gaussien de variance constante σ2u, et

donc ici seule l’espérance est autorisée à changer.

La variable latente µ(st) est supposée obéir à un processus deMarkov ergodique en temps discret à deux états de la formest = 0 si on est en expansion à la date t , st = 1 si on est enrécession.Avec, par exemple, un taux de croissance moyen positif enexpansion et négatif en récession, on aura :

µ(st) =

µ0 > 0 si st = 0

µ1 < 0 si st = 1




Objectifs et Plan














Conclusion




donc ici seule l’espérance est autorisée à changer.La variable latente µ(st) est supposée obéir à un processus deMarkov ergodique en temps discret à deux états de la formest = 0 si on est en expansion à la date t , st = 1 si on est enrécession.

Avec, par exemple, un taux de croissance moyen positif enexpansion et négatif en récession, on aura :

µ(st) =

µ0 > 0 si st = 0

µ1 < 0 si st = 1




Objectifs et Plan














Conclusion




donc ici seule l’espérance est autorisée à changer.La variable latente µ(st) est supposée obéir à un processus deMarkov ergodique en temps discret à deux états de la formest = 0 si on est en expansion à la date t , st = 1 si on est enrécession.Avec, par exemple, un taux de croissance moyen positif enexpansion et négatif en récession, on aura :

µ(st) =

µ0 > 0 si st = 0

µ1 < 0 si st = 1




Objectifs et Plan














Conclusion

Le processus générant l’état inobservable est défini par unensemble de probabilités de transition constantes :

pĳ = Pr(st+1 = j | st = i , st−1 = k, . . .) = Pr(st+1 = j |st = i),

avec pĳ + pii = 1 ∀i , j , k ∈ 0, 1

Il s’agit donc bien d’un processus de Markov : la probabilité quele système soit dans l’état j en t + 1 ne dépend que de l’état oùil se trouve en t et est indépendante de son histoire antérieure




Objectifs et Plan














Conclusion

Le processus générant l’état inobservable est défini par unensemble de probabilités de transition constantes :

pĳ = Pr(st+1 = j | st = i , st−1 = k, . . .) = Pr(st+1 = j |st = i),

avec pĳ + pii = 1 ∀i , j , k ∈ 0, 1Il s’agit donc bien d’un processus de Markov : la probabilité quele système soit dans l’état j en t + 1 ne dépend que de l’état oùil se trouve en t et est indépendante de son histoire antérieure




Objectifs et Plan














Conclusion

Cette structure de base est susceptible d’être amendée surplusieurs aspects :

I La variance du bruit peut dépendre du régime, soitσ2

ut= σ2(st),

I On peu lever l’hypothèse de constance des probabilités detransition. Par exemple pour les faire dépendre de la duréepassée dans les divers états,

I Alors que dans la version précédente un changement d’étatprovoque un saut immmédiat de la série vers son nouveauniveau, un ajustement graduel peut être pris en compte vial’écriture

4yt = φ0(st) + φ14yt−1 + · · ·+ φp4yt−p + ut ,

I Les valeurs des coefficients autorégressifs peuvent égalementdépendre de l’état défini par st .




Objectifs et Plan














Conclusion



ut= σ2(st),








Objectifs et Plan














Conclusion



ut= σ2(st),








Objectifs et Plan














Conclusion



ut= σ2(st),








Objectifs et Plan














Conclusion

Le Processus ACR

Proposé récemment, un de ses intérêts est d’offrir une écritureenglobante des processus SETAR, STAR et autorégressifs àchangement de régime markovien.Dans sa version la plus simple qu’est l’ACR(1), il s’écrit :

yt = ρst yt−1 + ut

où st est une indicatrice binaire prenant ses valeurs dansl’ensemble 0, 1, ρ un réel et ut un bruit blanc gaussien.

Cette équation est couplée à une hypothèse relative à laprobabilité de l’état décrit par st qui est supposée dépendreuniquement de la valeur passée de la variable expliquée y :

Pr(st = 1 | yt−1, ut) = Pr(st = 1 | yt−1) = P(yt−1)




Objectifs et Plan














Conclusion

Le Processus ACR

Proposé récemment, un de ses intérêts est d’offrir une écritureenglobante des processus SETAR, STAR et autorégressifs àchangement de régime markovien.Dans sa version la plus simple qu’est l’ACR(1), il s’écrit :

yt = ρst yt−1 + ut

où st est une indicatrice binaire prenant ses valeurs dansl’ensemble 0, 1, ρ un réel et ut un bruit blanc gaussien.Cette équation est couplée à une hypothèse relative à laprobabilité de l’état décrit par st qui est supposée dépendreuniquement de la valeur passée de la variable expliquée y :

Pr(st = 1 | yt−1, ut) = Pr(st = 1 | yt−1) = P(yt−1)




Objectifs et Plan














Conclusion

I L’équation précédente montre la proximité de l’ACR avec lesprocessus à sauts markoviens. Une différence importante estque la probabilité associée à un état de la nature, st , est unefonction explicite de la variable y .

I Un cas particulier de SETAR à 3 régimes peut être dérivé enposant :

P(yt) =

1 si |yt | > c > 0

0 sinonCe qui mène à :

yt =

ρyt−1 + ut si |yt | > c > 0yt−1 + ut sinon

I Le rapport avec les processus à transition douce est illustréen supposant une forme logistique sur la probabilité dest = 1 :

log[

P(yt)

1− P(yt)

]= δ0 + δ1 f (yt)

d’où on dérive finalement :

∆yt = b ×

exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

1 + exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

× yt−1 + εt




Objectifs et Plan














Conclusion



P(yt) =

1 si |yt | > c > 0


yt =



log[

P(yt)

1− P(yt)

]= δ0 + δ1 f (yt)


∆yt = b ×

exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

1 + exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

× yt−1 + εt




Objectifs et Plan














Conclusion



P(yt) =

1 si |yt | > c > 0


yt =



log[

P(yt)

1− P(yt)

]= δ0 + δ1 f (yt)


∆yt = b ×

exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

1 + exp [δ0 + δ1f (yt−1)]

× yt−1 + εt




Objectifs et Plan














Conclusion

Construire une Prévision : Généralités

De façon générale il existe trois principales formes de prévision :I les prévisions ponctuellesI les intervalles de confianceI la densité de prévision




Objectifs et Plan














Conclusion

Construire une Prévision : Modèles Linéaires

Dans le cas des modèles linéaires (ARMA, VAR) seules les deuxpremières formes de prévisions sont généralement utilisées.

I Les intervalles de confiance symétriques et continusrendent compte de l’incertitude autour de la prévisionmoyenne.

I La fonction de densité de la prévision est rarement, voirejamais reproduite : pas d’asymétrie ou de multi modalité.




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion

Construire une Prévision : Modèles NonLinéaires

Dans le cas des modèles non linéaires les trois formes deprévisions retrouvent toutes leurs justifications et leur intérêt.

I L’information contenue dans la seule prévision ponctuelleest totalement réductrice dans le cas d’un modèle nonlinéaire susceptible par exemple de générer des asymétries.

I Les intervalles de confiance associés aux prévisionspeuvent alors être non symétriques voire même discontinus

I La fonction de densité de la prévision peut révéler desasymétries ou des aspects multi-modaux




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Prévision Ponctuelle

La prévision ponctuelle (linéaire ou non linéaire) traduit unenotion de prévision au «point moyen».

Soit un modèle non linéaire de la forme :

yt = F (yt−1, θ) + εt (1)

où εt i .i .d .(0, σ2

ε

)I On appelle skeleton, l’espérance conditionnelle du processus

yt , i .e. F (yt−1, θ) .

I Soit y t+h|t le prédicteur optimal de yt+h compte tenu del’ensemble d’information disponible à la date t, noté Ωt :

y t+h|t = E [yt+h | Ωt ] h ≥ 1 (2)




Objectifs et Plan














Conclusion




yt = F (yt−1, θ) + εt (1)

où εt i .i .d .(0, σ2

ε

)

I On appelle skeleton, l’espérance conditionnelle du processusyt , i .e. F (yt−1, θ) .


y t+h|t = E [yt+h | Ωt ] h ≥ 1 (2)




Objectifs et Plan














Conclusion




yt = F (yt−1, θ) + εt (1)

où εt i .i .d .(0, σ2

ε


yt , i .e. F (yt−1, θ) .


y t+h|t = E [yt+h | Ωt ] h ≥ 1 (2)




Objectifs et Plan














Conclusion




yt = F (yt−1, θ) + εt (1)

où εt i .i .d .(0, σ2

ε


yt , i .e. F (yt−1, θ) .


y t+h|t = E [yt+h | Ωt ] h ≥ 1 (2)




Objectifs et Plan














Conclusion


La prévision à l’horizon d’une période (h = 1) correspondtoujours au skeleton (E [εt+1| Ωt ] = 0) :

y t+1|t = F (yt , θ) (3)

En revanche, pour un ordre de prévision h > 1, dans laplupart des modèles non linéaires, il n’existe pas de formuleanalytique pour la prévision ponctuelle.

I Méthode Analytique de Calcul de Prévision PonctuelleI Modèle Moyenne Mobile à Seuil TMAI Modèle à Changement de Régime Markovien.

I Méthode Numérique de Calcul de la PrévisionPonctuelle

I Modèles à Seuils (TAR, STAR, SETAR, MTAR etc..)




Objectifs et Plan














Conclusion



y t+1|t = F (yt , θ) (3)








Objectifs et Plan














Conclusion



y t+1|t = F (yt , θ) (3)








Objectifs et Plan














Conclusion



y t+1|t = F (yt , θ) (3)








Objectifs et Plan














Conclusion


Dans le cas des modèles à seuil, il existe cinq méthodesnumériques alternatives d’approximation ou de simulationpermettant d’obtenir les prévisions ponctuelles :

Méthode de simulation par Monte-Carlo Méthode de simulation par Bootstrap Méthode dite ”Naïve” ou méthode dite ”du

Skeleton” Méthode Normal Forecast Error (NFE) Méthode dite de l’Estimation Dynamique.




Objectifs et Plan














Conclusion


Dans le cas des modèles à seuil, il existe cinq méthodesnumériques alternatives d’approximation ou de simulationpermettant d’obtenir les prévisions ponctuelles :

Méthode de simulation par Monte-Carlo Méthode de simulation par Bootstrap Méthode dite ”Naïve” ou méthode dite ”du

Skeleton” Méthode Normal Forecast Error (NFE) Méthode dite de l’Estimation Dynamique.




Objectifs et Plan














Conclusion

Monte Carlo et Bootstrap

Considérons un modèle autorégressif d’ordre 1 de typeSTAR(1, 1, 1) :

yt = F (yt−1, θ) + εt (4)

F (yt−1, θ) = (φ1,0 + φ1,1yt−1)× [1− G (yt−1; γ, c)]

+ (φ2,0 + φ2,1yt−1)× G (yt−1; γ, c) (5)

où θ désigne l’ensemble de paramètres, εt i .i .d .(0, σ2) et G (.)

désigne la fonction logistique.

Prévision à l’horizon h = 1

y t+1|t = E [yt+1|Ωt ] = F (yt , θ) (6)




Objectifs et Plan














Conclusion


Considérons un modèle autorégressif d’ordre 1 de typeSTAR(1, 1, 1) :

yt = F (yt−1, θ) + εt (4)

F (yt−1, θ) = (φ1,0 + φ1,1yt−1)× [1− G (yt−1; γ, c)]

+ (φ2,0 + φ2,1yt−1)× G (yt−1; γ, c) (5)

où θ désigne l’ensemble de paramètres, εt i .i .d .(0, σ2) et G (.)

désigne la fonction logistique.


y t+1|t = E [yt+1|Ωt ] = F (yt , θ) (6)




Objectifs et Plan














Conclusion



y t+2|t = E [yt+2|Ωt ] = E [F (yt+1, θ)|Ωt ] (7)

Tout le problème tient alors au fait que l’opérateur linéaireespérance ne peut pas être interchangé avec la fonction nonlinéaire F (.).

E [F (yt+1, θ)|Ωt ] 6= F [E (yt+1|Ωt) ; θ] (8)

Conséquence 1 : il n’existe pas de relation récursive simpleentre la prévision à des horizons successifs :

y t+2|t 6= F(y t+1|t ; θ

)(9)




Objectifs et Plan














Conclusion





E [F (yt+1, θ)|Ωt ] 6= F [E (yt+1|Ωt) ; θ] (8)


y t+2|t 6= F(y t+1|t ; θ

)(9)




Objectifs et Plan














Conclusion





E [F (yt+1, θ)|Ωt ] 6= F [E (yt+1|Ωt) ; θ] (8)


y t+2|t 6= F(y t+1|t ; θ

)(9)




Objectifs et Plan














Conclusion


Conséquence 2 : si l’on souhaite prévoir la valeur de yt+2conditionnellement à l’information disponible à la date t ilconvient d’évaluer la quantité :

y t+2|t = E[F(y t+1|t + εt+1; θ

)∣∣Ωt]

(10)

soity t+2|t =

∫ ∞

−∞F(y t+1|t + εt+1; θ

)f (ε) dε

où f (ε) désigne la fonction de densité du choc εt+1.

I Il n’est généralement pas possible de dériver une expressionanalytique de cette intégrale

I Nécessité de de recourir à des méthodes numériquesfondées sur des simulations pour l’évaluer.




Objectifs et Plan














Conclusion


Conséquence 2 : si l’on souhaite prévoir la valeur de yt+2conditionnellement à l’information disponible à la date t ilconvient d’évaluer la quantité :

y t+2|t = E[F(y t+1|t + εt+1; θ

)∣∣Ωt]

(10)

soity t+2|t =

∫ ∞

−∞F(y t+1|t + εt+1; θ

)f (ε) dε

où f (ε) désigne la fonction de densité du choc εt+1.

I Il n’est généralement pas possible de dériver une expressionanalytique de cette intégrale

I Nécessité de de recourir à des méthodes numériquesfondées sur des simulations pour l’évaluer.




Objectifs et Plan














Conclusion


Prévision Ponctuelle par Méthode de Simulation deMonte-Carlo :

I On simule N tirages indépendantsε(1)t+1, .., ε

(i)t+1, .., ε

(N)t+1

dans la distribution supposée des résidus

I La prévision ponctuelle de yt+2, notée yMCt+2|t , est alors

définie par la quantité moyenne :

yMCt+2|t =

1N

N∑i=1

y (i)t+2|t =

1N

N∑i=1

F(y t+1|t ; θ

)+ ε

(i)t+1 (11)

I Bootstrap : idem avec N tirages indépendants avec remiseε(1)t+1, .., ε

(i)t+1, .., ε

(N)t+1

des résidus historiques




Objectifs et Plan














Conclusion




(i)t+1, .., ε

(N)t+1




yMCt+2|t =

1N

N∑i=1

y (i)t+2|t =

1N

N∑i=1

F(y t+1|t ; θ

)+ ε

(i)t+1 (11)


(i)t+1, .., ε

(N)t+1





Objectifs et Plan














Conclusion




(i)t+1, .., ε

(N)t+1




yMCt+2|t =

1N

N∑i=1

y (i)t+2|t =

1N

N∑i=1

F(y t+1|t ; θ

)+ ε

(i)t+1 (11)


(i)t+1, .., ε

(N)t+1





Objectifs et Plan














Conclusion


I Les méthodes de prévision ponctuelle par simulation(Bootstrap ou Monte-Carlo) permettent d’obtenir en sousproduit un ensemble de réplications qui autorisentl’estimation de la distribution conditionnelle de laprévision g (yt+h|Ωt) .

I La densité de prévision fournit bien plus D’information audécideur que la seule espérance de cette distributionreportée dans le cas de la prévision ponctuelle.

I les éventuelles asymétries de la distribution conditionnellede la prévision

I les aspects multi-modaux (rares en économie) de cettedensité

I Exemple : prévision d’inflation avec une densité deprévision présnetant une skewness positive. On sait que leserreurs associées à la prévision ponctuelle ont une plus forteprobabilité d’être positives que négatives.




Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion

Densité de Prévision (suite)

I Techniquement, les simulations Monte Carlo ouBootstrap y (i)

t+h|t peuvent être considérées comme desréalisations de la distribution conditionnelle théoriqueg (yt+h|Ωt)

I A partir de ces N réalisations, on peut construire unestimateur à noyau de la densité conditionnelle par lestechniques usuelles de l’économétrie non paramétriques

g(

y (i)t+h|t

∣∣∣Ωt

)=

1N

N∑j=1

K

y (i)t+h|t − y (j)

t+h|t

λ

(12)

où K (.) désigne une fonction kernel et λ est un paramètrede lissage (bandwidth parameter).




Objectifs et Plan














Conclusion

Densité de Prévision (suite)

I Techniquement, les simulations Monte Carlo ouBootstrap y (i)

t+h|t peuvent être considérées comme desréalisations de la distribution conditionnelle théoriqueg (yt+h|Ωt)

I A partir de ces N réalisations, on peut construire unestimateur à noyau de la densité conditionnelle par lestechniques usuelles de l’économétrie non paramétriques

g(

y (i)t+h|t

∣∣∣Ωt

)=

1N

N∑j=1

K

y (i)t+h|t − y (j)

t+h|t

λ

(12)

où K (.) désigne une fonction kernel et λ est un paramètrede lissage (bandwidth parameter).




Objectifs et Plan














Conclusion

Intervalle de Confiance

I Dans le cadre d’un modèle linéaire, l’intervalle deconfiance sur la prévision est symétrique autour de laprévision ponctuelle.

I Dans le cas d’un modèle non linéaire, l’intervalle deconfiance sur la prévision peut être :

I (i) symétrique ou non symétriqueI (ii) continu ou non continu suivant la forme de la densité

conditionnelle g (yt+h|Ωt).




Objectifs et Plan














Conclusion

Intervalle de Confiance

I Dans le cadre d’un modèle linéaire, l’intervalle deconfiance sur la prévision est symétrique autour de laprévision ponctuelle.

I Dans le cas d’un modèle non linéaire, l’intervalle deconfiance sur la prévision peut être :

I (i) symétrique ou non symétriqueI (ii) continu ou non continu suivant la forme de la densité

conditionnelle g (yt+h|Ωt).




Objectifs et Plan














Conclusion

Intervalle de ConfianceHyndman (1996) propose trois principales méthodes :

I Intervalle de confiance symétrique et continu autour dey t+h|t tel que :

P[y t+h|t − ω ≤ yt+h ≤ y t+h|t + ω

∣∣Ωt]

= 1− α (13)

I Intervalle de confiance continu (pas nécessairementsymétrique) entre les quantiles g−1 (α/2) et g−1 (1− α/2)de la distribution conditionnelle g (yt+h|Ωt) :

P[g−1 (α/2) ≤ yt+h ≤ g−1 (1− α/2)

∣∣Ωt]

= 1− α (14)

I La troisième méthode revient à envisager un intervalle deconfiance non nécessairement symétrique et nonnécessairement continu. (High Density Region, HDR ) telleque :

HDRα = yt+t | g (yt+h|Ωt) ≥ w (15)

Pr (yt+t ∈ HDRα|Ωt) = 1− α (16)




Objectifs et Plan














Conclusion




∣∣Ωt]

= 1− α (13)


P[g−1 (α/2) ≤ yt+h ≤ g−1 (1− α/2)

∣∣Ωt]

= 1− α (14)



Pr (yt+t ∈ HDRα|Ωt) = 1− α (16)




Objectifs et Plan














Conclusion




∣∣Ωt]

= 1− α (13)


P[g−1 (α/2) ≤ yt+h ≤ g−1 (1− α/2)

∣∣Ωt]

= 1− α (14)



Pr (yt+t ∈ HDRα|Ωt) = 1− α (16)




Objectifs et Plan














Conclusion

High Density RegionDéterminer un seuil 0 < w < 1 tel que la densitéconditionnelle de la prévision sur la HDR soit toujourssupérieure à ce seuil (forte vraisemblance de la zone) et quela probabilité que la variable yt appartienne à l’HDR soiteffectivement égale à 1− α%.




Objectifs et Plan














Conclusion


I Lorsque la densité conditionnelle de la prévision g (yt+h|Ωt)est symétrique et unimodale, les trois intervalles deconfiance coïncident.

I Seule la troisième approche fondée sur la HDR permet à lafois de révéler l’asymétrie et l’aspect multi-modal de ladistribution de la prévision.

I De plus, on peut montrer que cette méthode conduittoujours à l’intervalle de confiance présentant la plus faibleamplitude (ou une amplitude identique à celles des autresintervalles dans le cas d’une distribution continue etsymétrique).




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion

Méthodes d’Evaluation des Prévisions

I Comment valider une prévision ?

I On peut se contenter de tester la validité de la prévisionmoyenne (exemple : une prévision d’inflation de 2%)

I Mais si la densité de prévision est symétrique autour de 2%,alors que dans le faits il y a deux fois plus de chances quel’inflation soit supérieure à 2% qu’elle soit inférieure à 2% :doit on conclure que la prévision est pour autant bonne ?

I D’où une prise en compte de plus en plus importantede l’incertitude autour de la prévision ponctuelle

I Tests de validité des intervalles de confiance(Christoffersen, 1998)

I Tests de validité des densités des prévision (Corradi etSwansson, 2004)




Objectifs et Plan














Conclusion











Objectifs et Plan














Conclusion











Objectifs et Plan














Conclusion











Objectifs et Plan














Conclusion











Objectifs et Plan














Conclusion

Une Diversité d’Approches

1. Première opposition entre techniques d’évaluation desprévisions ponctuelles (et par intervalle de confiance) etd’autre part les méthodes d’évaluation des densités deprévision.

I Dans le cas des premières, les tests de validation sont fondéssur des fonctions de pertes associées aux erreurs deprévisions (ou aux séquences de violations).

I Dans le cas de l’évaluation des densités de prévisions, lestests de validation portent sur l’adéquation entre ladensité conditionnelle de prévision et la densité duDGP.

2. Deuxième opposition entre l’évaluation des prévisions sur lapériode d’estimation du modèle (in sample) à l’évaluationhors période d’estimation (out of sample).




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Une Diversité d’Approches (suite)

3. Troisième opposition entre évaluation absolue et évaluationrelative des prévisions.

I Première approche : les tests admettent pour hypothèsenulle la validité des prévisions d’un modèle.

I Deuxième approche : d’autres tests reposent sur uneévaluation relative des prévisions issues de deuxmodèles ou plus généralement d’un nombre fini de modèlespotentiellement mal spécifiés.

I Exemple : Le test de Diebold et Mariano (1995)




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Plan de la Section

Nous allons à présent successivement présenter quelques testsrelevant des différentes méthodes d’évaluation appliquées aux :

I Prévisions ponctuellesI Prévisions par intervalle de confianceI Densités de prévision




Objectifs et Plan














Conclusion

Prévisions Ponctuelles

L’évaluation des prévisions ponctuelles se fait traditionnellementsur la base de critères construits à partir d’une séquenced’erreurs de prévisions.

I Le critère usuel est l’estimateur de la variance de l’erreurde prévision, MSFE (Mean Squared Forecast Error)

MSFE =1m

m∑j=1

(y T+h+j|T+j − yT+h+j

)2=

1m

m∑j=1

ε2T+h+j|T+j

(17)où y T+h+j|t+j désigne la prévision à l’horizon h réaliséeconditionnellement à l’information disponible en T + j .




Objectifs et Plan














Conclusion


L’évaluation des prévisions ponctuelles se fait traditionnellementsur la base de critères construits à partir d’une séquenced’erreurs de prévisions.

I Le critère usuel est l’estimateur de la variance de l’erreurde prévision, MSFE (Mean Squared Forecast Error)

MSFE =1m

m∑j=1

(y T+h+j|T+j − yT+h+j

)2=

1m

m∑j=1

ε2T+h+j|T+j

(17)où y T+h+j|t+j désigne la prévision à l’horizon h réaliséeconditionnellement à l’information disponible en T + j .




Objectifs et Plan














Conclusion


I Autre critère : la moyenne des erreurs absolues MAFE(Mean Absolute Forecat Error) ou MAE (Mean AbsoluteError) :

MAFE =1m

m∑j=1

∣∣y T+h+j|T+j − yT+h+j∣∣ = 1

m

m∑j=1

∣∣εT+h+j|T+j∣∣

(18)

I Naturellement, le modèle qui possède le plus petit critèreMSFE et/ou MAFE est celui qui présente les meilleurespropriétés prédictives

=⇒ Comment comparer ces critères pour deux modèles Aet B concurrents ?




Objectifs et Plan














Conclusion


I Autre critère : la moyenne des erreurs absolues MAFE(Mean Absolute Forecat Error) ou MAE (Mean AbsoluteError) :

MAFE =1m

m∑j=1

∣∣y T+h+j|T+j − yT+h+j∣∣ = 1

m

m∑j=1

∣∣εT+h+j|T+j∣∣

(18)

I Naturellement, le modèle qui possède le plus petit critèreMSFE et/ou MAFE est celui qui présente les meilleurespropriétés prédictives

=⇒ Comment comparer ces critères pour deux modèles Aet B concurrents ?




Objectifs et Plan














Conclusion

Diebold et Mariano (1995)

I Diebold et Mariano (1995) ont proposé trois statistiquespermettant de tester l’hypothèse nulle selon laquelledeux modèles concurrents présentent les mêmesqualités prédictives.

I La grande force de leur démarche repose sur le fait que cesstatistiques peuvent être appliquées à partir d‘un grandnombre de critères (MSFE , MAE , etc.) ou de fonctions deperte économique

I La distribution asymptotique est établie sous deshypothèses très générales : erreurs de prévisions nonnormales, de moyenne non nulle, éventuellementauto-corrélées et même corrélées entre elles.




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion

Le Test de Diebold et Mariano (1995)

I Soient deux modèles A et B fournissant m prévisionssuccessives à l’horizon h.

I Soit g (εt+h) une fonction de perte associée à l’erreur deprévision εt+h.

L’hypothèse nulle du test de Diebold et Mariano (1995) est queles deux modèles présentent en moyenne des qualitésprédictives identiques au sens de g (.) :

H0 : E (dt) = E[g(ε t+h|t,A

)− g

(ε t+h|t,B

)]= 0 (19)




Objectifs et Plan














Conclusion






)− g

(ε t+h|t,B

)]= 0 (19)




Objectifs et Plan














Conclusion






)− g

(ε t+h|t,B

)]= 0 (19)




Objectifs et Plan














Conclusion


I La statistique (usuelle) de Diebold et Mariano

DM =d√

var(d) =

dσd,0/

√m

d−→m→∞

N (0, 1) (20)

où σ2d,0/m où σ2

d,0 désigne la variance de long terme dudifférentiel de perte dt .




Objectifs et Plan














Conclusion

Remarques sur le Test de Diebold et Mariano

Remarque 1 : Ce test ne peut pas être appliqué lorsque lesmodèles A et B sont emboîtés (nested models).

L’intuition est la suivante : supposons que les paramètres desdeux modèles soient connus et que les données soient généréespar le modèle le plus restreint, les prévisions fournies par les deuxmodèles sont alors strictement identiques et la distance dt estnulle. Dans ce cas, la distribution asymptotique de la statistiqueDM ne peut plus être établie sous l’hypothèse nulle.

Clark et McCracken (2001) proposent un test alternatifapplicable aux modèles emboîtés ou non.




Objectifs et Plan














Conclusion

Remarques sur le Test de Diebold et Mariano

Remarque 2 : Harvey, Leybourne et Newbold (1997)montrent que cette statistique DM a tendance sur petitséchantillons à être oversized. Ces rejets à tort sont encore plusfréquents lorsque l’horizon h de la prévision augmente.

C’est pourquoi les auteurs ont proposé en conséquence uneversion modifiée de cette statistique qui permet de corriger cedéfaut. Pour le reste, la logique du test est exactement le mêmeque celle du test de Diebold et Mariano (1995).




Objectifs et Plan














Conclusion

Le Test de Pesaran et Timmerman (1992)

I Une façon alternative d’évaluer la qualité d’un modèle deprévision à changement de régimes consiste précisément àétudier sa capacité à prévoir les régimes futurs, quidans le cas de modèle STAR dépendent du niveau anticipéde l’endogène.

I Test de Pesaran et Timmermann (1992).Soit un modèle STAR à deux régimes admettant pourfonction de transition G (st ; γ, c), où st désigne une variablede transition. On pose :

r T+j+h|T+j =

1−1

si G(s T+j+h|T+j ; γ, c

)> 0.5


)≤ 0.5

(21)

où s T+j+h|T+j désigne la prévision de la variable detransition à l’horizon h réalisée conditionnellement àl’information disponible à la date t + h.




Objectifs et Plan














Conclusion



I Test de Pesaran et Timmermann (1992).

Soit un modèle STAR à deux régimes admettant pourfonction de transition G (st ; γ, c), où st désigne une variablede transition. On pose :

r T+j+h|T+j =

1−1


)> 0.5


)≤ 0.5

(21)





Objectifs et Plan














Conclusion



I Test de Pesaran et Timmermann (1992).Soit un modèle STAR à deux régimes admettant pourfonction de transition G (st ; γ, c), où st désigne une variablede transition. On pose :

r T+j+h|T+j =

1−1


)> 0.5


)≤ 0.5

(21)





Objectifs et Plan














Conclusion

I La variable r T+j+h|T+j peut être interprétée comme laprévision du régime à l’horizon h obtenue à partir de laprévision de la variable de transition s T+j+h|T+j .

I On note r T+j+h|T+j la variable dichotomique définie commedans l’équation (21), à l’exception près que cette prévisionde régime est établie à partir de l’observation de la variablede transition sT+j+h et non de sa prévision comme dans lecas précédent.

I On définit alors un ratio de succès RS par la fréquenced’observations d’une prévision r T+j+h|T+j conforme à laprévision r T+j+h|T+j , obtenue sur m périodes successives :

RS =1m

m∑j=1

I(r T+j+h|T+j × r T+j+h|T+j > 0

)(22)




Objectifs et Plan














Conclusion




RS =1m

m∑j=1


)(22)




Objectifs et Plan














Conclusion




RS =1m

m∑j=1


)(22)




Objectifs et Plan














Conclusion


L’idée du test consiste alors à mesurer la distance entre leratio de succès d’un modèle et le ratio de succès que l’onobtiendrait dans le cas où les prévisions de régimes établiesrespectivement sur la base de l’observation de la variablede transition et de sa prévision seraient indépendammentdistribuées.




Objectifs et Plan














Conclusion

Le Test de Pesaran et Timmerman

Sous l’hypothèse d’indépendance, le ratio de succès devient :

RSIND = P P + (1− P)(

1− P)

(23)

où les probabilités P et P sont définies par :

P =1m

m∑j=1

I(r T+j+h|T+j = 1

)P =

1m

m∑j=1

I(r T+j+h|T+j = 1

)(24)




Objectifs et Plan














Conclusion


I L’hypothèse nulle du test est :

H0 : RS = RSIND (25)

La statistique de test est égale à :

TR =RS − RSIND√

var (RS)− var (RSIND)(26)

I Sous l’hypothèse nulle, Pesaran et Timmermann (1992)montrent que cette statistique est asymptotiquementdistribuée selon une loi normale centrée réduite.




Objectifs et Plan














Conclusion


I L’hypothèse nulle du test est :

H0 : RS = RSIND (25)

La statistique de test est égale à :

TR =RS − RSIND√

var (RS)− var (RSIND)(26)

I Sous l’hypothèse nulle, Pesaran et Timmermann (1992)montrent que cette statistique est asymptotiquementdistribuée selon une loi normale centrée réduite.




Objectifs et Plan














Conclusion

Christoffersen (1998)

I Constat de Christoffersen (1998) : (i) on ne doit pas selimiter à la validation de la seule prévision ponctuelle or (ii)il n’existe pas de critère ou de test permettant d’évaluer laqualité des intervalles de confiance associés à ces prévisions.

I Même démarche de Diebold et Mariano (1995) =⇒Utilisation d’une approche de type Model Free

I Différence essentielle :I Diebold et Mariano proposent des tests de comparaison de

modèles fondés sur les prévisions ponctuellesI Christoffersen propose différents tests de l’hypothèse nulle

de validité d’un intervalle de confiance de prévision




Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion










Objectifs et Plan














Conclusion

Comment juger de la validité d’un intervalle deconfiance ?

I L’idée de base consiste à évaluer si les observationsex-post de la variable prévue sont à l’exterieur desintervalles construits ex-ante dans une proportion égaleau niveau de risque nominal considéré.

⇒ Notion de couverture conditionnelle

I Soit une séquence d’observations ytTt=1 d’un processus yt .

I Soit une séquence d’intervalle de confiance, pour un niveaude risque de α% associées au prévisions hors périoded’estimation (out of sample) de yt

I On note respectivement L t|t−1 (α) et U t|t−1 (α) les bornesinférieures et supérieures de ces intervalles de confiancesuccessifs pour t = 1, ..,T .




Objectifs et Plan














Conclusion

Comment juger de la validité d’un intervalle deconfiance ?

I L’idée de base consiste à évaluer si les observationsex-post de la variable prévue sont à l’exterieur desintervalles construits ex-ante dans une proportion égaleau niveau de risque nominal considéré.

⇒ Notion de couverture conditionnelle

I Soit une séquence d’observations ytTt=1 d’un processus yt .

I Soit une séquence d’intervalle de confiance, pour un niveaude risque de α% associées au prévisions hors périoded’estimation (out of sample) de yt

I On note respectivement L t|t−1 (α) et U t|t−1 (α) les bornesinférieures et supérieures de ces intervalles de confiancesuccessifs pour t = 1, ..,T .




Objectifs et Plan














Conclusion

Couverture Conditionnelle

I La variable indicatrice de violation prend la valeur 1lorsque la réalisation ex-post de yt n’est pas comprise dansl’intervalle de confiance prévus ex-ante conditionnellement àl’information disponible en t − 1 :

It =

1

0

si yt /∈[L t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

]si yt ∈

[L t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

] (27)

I Définition : la séquence des intervalles de confianceL t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

Tt=1 satisfait la propriété de

couverture conditionnelle par rapport à l’ensembled’information Ωt−1 si et seulement si :

E [ It |Ωt−1] = α ∀t = 1, ..,T (28)




Objectifs et Plan














Conclusion

Couverture Conditionnelle

I La variable indicatrice de violation prend la valeur 1lorsque la réalisation ex-post de yt n’est pas comprise dansl’intervalle de confiance prévus ex-ante conditionnellement àl’information disponible en t − 1 :

It =

1

0

si yt /∈[L t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

]si yt ∈

[L t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

] (27)

I Définition : la séquence des intervalles de confianceL t|t−1 (α) ,U t|t−1 (α)

Tt=1 satisfait la propriété de

couverture conditionnelle par rapport à l’ensembled’information Ωt−1 si et seulement si :

E [ It |Ωt−1] = α ∀t = 1, ..,T (28)




Objectifs et Plan














Conclusion

Couverture Non Conditionnelle

I Définition : Couverture non conditionnelle (Kupiec,1995)

E [It ] = α ∀t = 1, ..,T (29)

I Christoffersen (1998) propose trois tests de ratio devraisemblance : un test de couverture non conditionnelle,un test d’indépendance des violations et un test decouverture conditionnelle.




Objectifs et Plan














Conclusion

Couverture Non Conditionnelle

I Définition : Couverture non conditionnelle (Kupiec,1995)

E [It ] = α ∀t = 1, ..,T (29)

I Christoffersen (1998) propose trois tests de ratio devraisemblance : un test de couverture non conditionnelle,un test d’indépendance des violations et un test decouverture conditionnelle.




Objectifs et Plan














Conclusion

Test de Couverture Non Conditionnelle

I Exemple : au test de l’hypothèse nulle de couverturenon conditionnelle H0 : E [It ] = α correspond unestatistique LRUC vérifiant :

LRUC = −2 [log L (α, It)− log L (π, It)]d−→

T→∞χ2 (1) (30)

où L (α, It) et L (π, It) désignent respectivement lavraisemblance de la séquence ItT

t=1 sous l’hypothèse nulleet sous l’hypothèse alternative E [It ] = π 6= α :

L (α, It) = (1− α)n0 αn1 (31)

L (π, It) = (1− π)n0 πn1 (32)

avec π = n1/ (n0 + n1) l’estimateur du maximum devraisemblance de π avec n1 =

∑Tt=1 It et n0 = T − n1.




Objectifs et Plan














Conclusion

Evaluation des Densités de Prévision

I Les test de validité des intervalles de confiance reviennentfinallement à évaluer la validité de la fonction de répartitionde la prévision sur un segment donné

I Les tests récents proposent de pousser la logique jusqu’aubout et de tester la validité de l’ensemble de la densité(conditionnelle) de la prévision

I On retrouve ici deux approches :I Tests de spécification correcteI Tests de comparaison de densités potentiellement mal

spécifiées




Objectifs et Plan














Conclusion





spécifiées




Objectifs et Plan














Conclusion





spécifiées




Objectifs et Plan














Conclusion

Tests de Spécification Correcte

I Test pionnier : le test de Diebold, Gunther et Tay(1998) qui repose sur la transformation probabiliste(probability integral transform) de Rosenblatt (1952).

I Soit ft (y |Ωt−1, θ0) la densité conditionnelle desprévisions (à l’horizon h = 1) de la variable yt obtenue dansle modèle de référence (AR, SETAR, ou autre)conditionnellement à l’ensemble d’information Ωt−1disponible à la date t − 1 et où θ0 désigne un ensemble deparamètres connus.

I Soit ytTt=1 la séquence des réalisations de la variable y sur

la période d’évaluation des prévisions du modèle.




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion

Diebold, Gunther et Tay (1998)

I Sous l’hypothèse que la distribution conditionnelle desprévisions associée à ce modèle correspondeeffectivement au processus générateur des données,alors les variables transformées :

zt = Ft (yt |Ωt−1, θ0) =

∫ yt

−∞ft (u |Ωt−1, θ0 ) du t = 1, ...,T

(33)sont identiquement et indépendamment distribuéesselon une loi uniforme sur [0, 1] .

ztTt=1 i .i .d .U[0,1] (34)

I Conséquence : une manière évidente d’évaluer si laspécification de la densité conditionnelle des prévisions estcorrecte revient à tester l’adéquation de la distribution desvariables transformées zt à une loi uniforme.




Objectifs et Plan














Conclusion

Diebold, Gunther et Tay (1998)

I Sous l’hypothèse que la distribution conditionnelle desprévisions associée à ce modèle correspondeeffectivement au processus générateur des données,alors les variables transformées :

zt = Ft (yt |Ωt−1, θ0) =

∫ yt

−∞ft (u |Ωt−1, θ0 ) du t = 1, ...,T

(33)sont identiquement et indépendamment distribuéesselon une loi uniforme sur [0, 1] .

ztTt=1 i .i .d .U[0,1] (34)

I Conséquence : une manière évidente d’évaluer si laspécification de la densité conditionnelle des prévisions estcorrecte revient à tester l’adéquation de la distribution desvariables transformées zt à une loi uniforme.




Objectifs et Plan














Conclusion

Analyse GraphiqueDiebold, Gunther et Tay (1998) proposent ainsi de comparer surun même graphique la fonction de répartition empirique desvariables transformées et la fonction de répartition théorique dela loi uniforme, i .e. la droite à 45.




Objectifs et Plan














Conclusion

Tests de Specification Correcte

I Exemples d’applications : Diebold, Gunther et Tay (1998)(management des risques financiers), par Diebold, Tay etWallis (1998) (prévisions d’inflation), par Clements et Smith(2000) (prévisions sur la production et le chômage).

I Clements et Smith (2001) évaluent la capacité respectived’un modèle de type marche aléatoire et d’un modèle detype SETAR à générer une densité de prévisionconditionnelle correcte pour le taux de change DM - Dollaret yen- Dollar.

I La fonction de répartition empirique associée aux variablestransformées construites à partir des prévisions obtenues parun modèle de type marche aléatoire diffère sensiblementd’une droite à 45.

I En revanche, il n’existe pratiquement pas de différence aveccette droite dans le cas de prévisions générées par unmodèle SETAR.




Objectifs et Plan














Conclusion

Tests de Specification Correcte

I Exemples d’applications : Diebold, Gunther et Tay (1998)(management des risques financiers), par Diebold, Tay etWallis (1998) (prévisions d’inflation), par Clements et Smith(2000) (prévisions sur la production et le chômage).

I Clements et Smith (2001) évaluent la capacité respectived’un modèle de type marche aléatoire et d’un modèle detype SETAR à générer une densité de prévisionconditionnelle correcte pour le taux de change DM - Dollaret yen- Dollar.

I La fonction de répartition empirique associée aux variablestransformées construites à partir des prévisions obtenues parun modèle de type marche aléatoire diffère sensiblementd’une droite à 45.

I En revanche, il n’existe pratiquement pas de différence aveccette droite dans le cas de prévisions générées par unmodèle SETAR.




Objectifs et Plan














Conclusion

I Extensions : construction de tests prenant en comptel’erreur d’estimation des paramètres du modèle

I L’erreur d’estimation sur les paramètres "pollue"l’estimation de la densité de prévision et doncl’évaluation de cette densité

I Tests de Bai (2003) cf. Rapport ; Hong et Li (2004) etCorradi et Swanson (2005b)




Objectifs et Plan














Conclusion

Tests de Comparaison de Densités

I Les tests précédents admettent pour hypothèse nulle laspécification correcte de la densité conditionnelle deprévision. Approche alternative : comparer un ensemblede modèles de prévisions potentiellement mal spécifiés.

I Il s’agit alors de repérer parmi un ensemble de modèlesconcurrents, le modèle qui donne la densité de prévision laplus proche possible de la "vraie" densité de prévision.




Objectifs et Plan














Conclusion


I Cette idée de comparer les qualités prédictives de deuxmodèles concurrents potentiellement mal spécifiés setrouvait déjà dans les tests de comparaisons de prévisionsponctuelles proposés par Diebold et Mariano (1995).Deux différences :

I Les tests fondés sur des prévisions ponctuelles permettentde comparer uniquement des modèles pris deux à deux. Al’inverse les tests de comparaison fondés sur les densités deprévision permettent de comparer un ensemble fini deN ≥ 1 modèle(s) à un modèle pris comme référence.

I Dans le cas des tests de Diebold et Mariano, la comparaisonest établie sur la base d’une fonction de perte calculée àpartir des erreurs de prévisions ponctuelles. A l’inverse, dansle cas des tests de comparaison de densités, lacomparaison s’établit sur la base de l’ensemble de ladistribution conditionnelle des prévisions.




Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion








Objectifs et Plan














Conclusion

I Ces tests, relativement récents, autorisent ainsi une sorte desynthèse entre la littérature sur les tests de comparaison desprévisions ponctuelles à la Diebold et Mariano (1995) et lalittérature sur les tests de spécification correcte des densitésconditionnelles de prévision.




Objectifs et Plan














Conclusion

Bao, Lee et Saltoglu (2004)

I Le test de Bao, Lee et Saltoglu (2004) est fondé sur lecritère d’information de Kullback-Leibler (1951) qui permetde mesurer la distance entre deux densités conditionnelles.

I Soit ft (yt , θ) = ft (y |Ωt−1, θ) la densité conditionnelle desprévisions à l’horizon h = 1 de la variable yt obtenue dans lemodèle (AR, SETAR, ou autre) conditionnellement àl’ensemble d’information Ωt−1 disponible à la date t − 1 etoù θ désigne un ensemble des paramètres de ce modèle.


la période d’évaluation des prévisions du modèle. Onsuppose que les observations yt ont été générées selon unDGP associé à une densité conditionnelle, inconnue, notéeϕt (yt) = ϕt (y |Ωt−1).




Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion









Objectifs et Plan














Conclusion


I On dit que la densité de prévision est correctement spécifiéesi et seulement si pour une valeur θ0 des paramètres on a :

ft (yt , θ0) = ϕt (yt) ∀yt (35)

I Dans ce contexte, la mesure de la distance entre lavraie distribution ϕt (yt) et la densité conditionnelle deprévision du modèle ft (yt , θ0) doit permettre de”classer” les modèles du plus proche au plus éloigné duDGP et donc de choisir un modèle optimal.




Objectifs et Plan














Conclusion


I On dit que la densité de prévision est correctement spécifiéesi et seulement si pour une valeur θ0 des paramètres on a :

ft (yt , θ0) = ϕt (yt) ∀yt (35)

I Dans ce contexte, la mesure de la distance entre lavraie distribution ϕt (yt) et la densité conditionnelle deprévision du modèle ft (yt , θ0) doit permettre de”classer” les modèles du plus proche au plus éloigné duDGP et donc de choisir un modèle optimal.




Objectifs et Plan














Conclusion


I Plus précisément, la distance entre un modèle et la vraiedensité est définie comme le minimum en θ du critèred’information de Kullback-Leibler :

I (ϕ : f , θ∗) = E [lnϕt (yt)− ln ft (yt , θ∗)] ≤ I (ϕ : f , θ) ∀θ

(36)où θ∗ désigne la pseudo vraie valeur de θ qui minimiseI (ϕ : f , θ) . Ce critère peut être estimé par :

I(ϕ : f , θ

)=

1T

T∑t=1

[lnϕt (yt)− ln ft

(yt , θ

)](37)

où θ désigne l’estimateur du paramètre θ∗.

I Sur la base du critère I (ϕ : f , θ∗) , ils serait donc possiblethéoriquement de comparer différents modèles et dechoisir le modèle le plus proche de la vraie distributionconditionnelle des données.

I Problème : on n’observe pas la vraie densité ϕt (yt) .




Objectifs et Plan














Conclusion





I(ϕ : f , θ

)=

1T

T∑t=1


(yt , θ

)](37)

où θ désigne l’estimateur du paramètre θ∗.I Sur la base du critère I (ϕ : f , θ∗) , ils serait donc possible

théoriquement de comparer différents modèles et dechoisir le modèle le plus proche de la vraie distributionconditionnelle des données.





Objectifs et Plan














Conclusion





I(ϕ : f , θ

)=

1T

T∑t=1


(yt , θ

)](37)

où θ désigne l’estimateur du paramètre θ∗.I Sur la base du critère I (ϕ : f , θ∗) , ils serait donc possible

théoriquement de comparer différents modèles et dechoisir le modèle le plus proche de la vraie distributionconditionnelle des données.





Objectifs et Plan














Conclusion


I Soit zt les variables transformées telle que

zt =

∫ yt

−∞ft(

u, θ)

du =

∫ yt

−∞ft (u) du (38)

Si le modèle est correcte, les variables ztTt=1 sont

i .i .d . U[0,1]. Soit xt le fractile normal associé à ut :

xt = Φ−1 (ut) (39)

où Φ (.) désigne la FR de la loi normale. Si le modèle estcorrectement spécifié, les variables xtT

t=1 sontidentiquement distribuées selon une loi N (0, 1) .




Objectifs et Plan














Conclusion


I Bao, Lee et Saltoglu (2004) partent du résultat deBerkowitz (2001) :

ln[ϕt (yt)

ft (yt)

]= ln

[pt (xt)

φ (yt)

](40)

où pt (.) désigne la densité conditionnelle des variablestransformées xt et φ (.) désigne la densité d’une loi normalecentrée réduite.

I Toute l’idée du test de Bao, Lee et Saltoglu consistealors à substituer à la mesure de la distance entreϕt (yt) (inconnue) et ft (yt) , la mesure de la distanceentre la densité pt (xt) et celle de loi normale centréeréduite.




Objectifs et Plan














Conclusion


I Bao, Lee et Saltoglu (2004) partent du résultat deBerkowitz (2001) :

ln[ϕt (yt)

ft (yt)

]= ln

[pt (xt)

φ (yt)

](40)

où pt (.) désigne la densité conditionnelle des variablestransformées xt et φ (.) désigne la densité d’une loi normalecentrée réduite.

I Toute l’idée du test de Bao, Lee et Saltoglu consistealors à substituer à la mesure de la distance entreϕt (yt) (inconnue) et ft (yt) , la mesure de la distanceentre la densité pt (xt) et celle de loi normale centréeréduite.




Objectifs et Plan














Conclusion

Bao, Lee et Saltoglu (fin)

I Plus la densité conditionnelle de prévision estcorrectement spécifiée, plus la distributionconditionnelle pt (.) des variables xt sera proche d’uneloi normale. Ils proposent ainsi un critère de distance définipar :

I(ϕ : f , θ

)=

1T

T∑t=1

[ln pt (xt)− lnφ (xt)] (41)




Objectifs et Plan














Conclusion

Bao, Lee et Saltoglu (fin)

I La difficulté consiste alors à postuler une distributionconditionnelle pt (.) assez générale pour les variables xt .Lesauteurs retiennent une distribution de typeseminonparamétrique (SNP) de densité

pt (xt) =1σ

p(

xt − ρ′Xt−1σ

, ζ

)(42)

qui dégénère en une loi N (0, 1) si et seulement si ρ = 0,σ = 1 et ζ = 0. Sous ces hypothèses, le critère d’informationse ramène à l’expression suivante :

I(ϕ : f , θ

)=

1T

T∑t=1

ln[

1σ

p(

xt − ρ′Xt−1σ

, ζ

)]− lnφ (xt)

(43)




Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion

I Il est largement reconnu que la plupart, si ce n’est la trèsquasi-totalité, des séries économiques et financières sontissues de processus générateur de données présentantde fortes non linéarités (asymétries ou plus rarementmultimodalités)

I Pour autant, ce n’est pas parce qu’il existe desasymétries et plus généralement des non linéaritésdans le processus générateur des données économiqueset financières, que le recours à des modèles nonlinéaires à des fins de prévision se trouve justifié.

I Tout dépend de la forme de non linéarité utilisée (choix dumodèle), de la forme de la prévision retenue (ponctuelle oupar densité) et de la manière dont on cherche à évaluercette prévision.




Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion







Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion







Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion

Les modèles non linéaires sont-ils utiles en matière deprévision ?

I Exemple : Stock et Watson (1999) montrent sur unecentaine de séries que l’utilisation de modèles àchangements de régime de type STAR n’apporte pasgrand-chose en termes de prévision par rapport aux modèleslinéaires de type ARIMA, lorsque l’on retient comme critèrede comparaison les seules prévisions ponctuelles.

I Il y a alors une distinction très nette entre d’une partl’apport indéniable de ces modèles en matière d’ajustementdes données in sample et d’autre leur apport plutôt faible enterme de prévision ponctuelle out of sample.




Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion

Les modèles non linéaires sont-ils utiles en matière deprévision ?

I Exemple : Stock et Watson (1999) montrent sur unecentaine de séries que l’utilisation de modèles àchangements de régime de type STAR n’apporte pasgrand-chose en termes de prévision par rapport aux modèleslinéaires de type ARIMA, lorsque l’on retient comme critèrede comparaison les seules prévisions ponctuelles.

I Il y a alors une distinction très nette entre d’une partl’apport indéniable de ces modèles en matière d’ajustementdes données in sample et d’autre leur apport plutôt faible enterme de prévision ponctuelle out of sample.




Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion

I Mais si la prévision est envisagée sous la forme d’uneHDR ou sous la forme d’une densité, les prévisions issuesdes modèles à seuil permettent alors de rendre compte del’asymétrie autour des prévisions ponctuelles, ce que nepeuvent pas faire les modèles linéaires.

En ce sens, leur apport devient essentiel.




Objectifs et Plan














Conclusion

Conclusion

I Mais si la prévision est envisagée sous la forme d’uneHDR ou sous la forme d’une densité, les prévisions issuesdes modèles à seuil permettent alors de rendre compte del’asymétrie autour des prévisions ponctuelles, ce que nepeuvent pas faire les modèles linéaires.

En ce sens, leur apport devient essentiel.

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Modèles Non Linéaires et Prévisions › deg › masters › ESA › CH › SlideCDC.pdfModèles Non Linéaires et Prévisions G. Colletaz, C. Hurlin Introduction, Motivations Objectifs