Modélisation mathématique en épidémiologie

'. . Chapitre" 3

Modélisation mathématiqueen épidémiologie

1. Des modèles statistiques aux modèles scientifiques 160

2.Changements globaux, conservation et santé 163

3. Les modèles en compartiments 164

4. La force d'infection 166

5. Propriétés à l'équilibre 168

6. L'immunité de groupe 170

7.L'âge moyen à l'infection 171

8. Propriétés dynamiques 173

9.Inclure la démographie 175

10.La périodicité des épidémies 177

l1.Synchronie et extinction 179

12.Conclusion 181

159

Partie 1 Changements environnementaux et santé

1. Des modèLes statistiques aux modèLesscientifiques

Il est un fait que les mathématiques sont de plus en plus présentes en science,jusque dans les sciences dites « molles » comme celles de la vie. Si la forte composante mathématique des sciences physiques n'est un secret pour personne, nombrede personnes découvrent souvent avec effroi qu'ils devront « faire des maths »

dans le cadre de leurs études sur les plantes ou les animaux. La réalité du biologiste d'aujourd'hui est donc, pour beaucoup, loin de l'image idyllique du naturaliste observant sur le terrain. Au-delà de ces possibles déceptions, le caractèreabstrait des mathématiques les rend hostile à beaucoup de personnes, opposantainsi une résistance hermétique à la moindre équation 1. Alors, pourquoi servir lesmathématiques à toutes les sauces, jusque dans des domaines où on ne les attendait pas a priori? Est-ce un phénomène de mode ou une réelle nécessité? Entoute honnêteté, on ne peut pas exclure le phénomène de mode. En effet, le caractère réputé difficile des mathématiques évoqué ci-dessus fait que celles-ci impressionnent et par là inspirent une certaine forme de respect; elles rendent tout desuite une étude plus sérieuse ou un chercheur plus savant-', Ainsi, il arrive que lesmathématiques soient effectivement utilisées sans aucune nécessité particulière,simplement pour donner au discours une apparence plus scientifique. Au-delà dece phénomène de mode, le but de ce chapitre est toutefois de convaincre que siles mathématiques sont de plus en plus utilisées, c'est aussi et surtout parce qu'elles sont réellement utiles à la démarche scientifique en général, à la biologie et lasanté en particulier,jusque pour le praticien ou le décideur. En décortiquant quelques modèles simples couramment utilisés, ce chapitre veut également montrerque la modélisation mathématique n'est pas aussi difficile qu'elle paraît, pour peuque l'on surpasse notre aversion pour les équations. Nous verrons qu'il suffit, pourcela, de comprendre ce que les équations signifient.

Passée une étape d'observation et de description indispensable, le scientifiqueveut comprendre comment la nature fonctionne. Pour cela, il pose des questionset essaie d'y répondre. Tout l'art de la science consiste essentiellement à poser lesbonnes questions. Une bonne question est une question à laquelle on peut répondre et dont la réponse est le moins triviale possible. L'approche expérimentale estla démarche scientifique par excellence (Hilborn et Mangel, 1997). Partant d'unequestion, on élabore un dispositif expérimental nous permettant de répondre au

1 Un arbitre de journal scientifique me recommandait de réduire au maximum le nombre d'équationsdans un des mes articles, argumentant que je perdais 20 % des lecteurs à chaque équation.

2 « Il doit être vraiment très bon parce que je n'ai rien compris à son exposé ", phrase entendue à la sortied'un séminaire très mathématisé.

160

Chapitre 3 Modélisation mathématique en épidémiologie

mieux à celle-ci. Les mesures effectuées au cours de cette expérience constituentun jeu de données sur lequel des tests statistiques simples nous donneront laréponse à notre question de départ. La théorie statistique a développé des outilstrès efficaces pour autant que les jeux de données analysés soient de bonne qualité. Toute la difficulté de cette approche réside donc dans l'élaboration d'un dispositif expérimental équilibré et contrôlant pour un maximum de facteurs, nouspermettant de générer des jeux de données de la meilleure qualité possible.

L'approche expérimentale décrite ci-dessus représente la démarche idéale à adopter. Malheureusement, en réalité, bien des facteurs nous éloignent de cet idéal. Eneffet, les expériences ne se déroulent pas toujours comme on le souhaite et ilarrive fréquemment que nos jeux de données soient criblés de valeurs manquantes.Il faut pour cela utiliser des outils statistiques plus sophistiqués permettant degérer de telles données manquantes. D'autres fois, il arrive même que les questions pertinentes émergent a posteriori, une fois l'expérience réalisée. Les donnéescollectées ne permettent pas de répondre directement à la question et il est inconcevable de recommencer l'expérience, ne serait-ce que pour des raisons de coût.Par ailleurs, beaucoup de données en biologie ne sont pas générées par expérienceet sont collectées directement sur le terrain. La première particularité de ce typede données est qu'elles ne sont pas, par nature, reproductibles. La deuxième particularité de ces données est que les variables mesurées le sont plus par leur facilitéque par leur pertinence. Malgré ces défauts, ces données contiennent une information dont nous voudrions tirer le maximum.

Les modèles mathématiques s'avèrent être d'une aide très précieuse pour tous lescas exposés ci-dessus où l'on sort d'un dispositif expérimental rigoureux (Hilbornet Mangel, 1997 ; Clark 2007; Bolker, 2008). Dans toutes ces situations, fréquentes en science, les modèles mathématiques nous permettent de combler les manques d'observations et de tendre .vers une compréhension globale du problème,malgré des données partielles. De même qu'un paléontologue reconstitue un squelette de dinosaure à partir de fragments d'os, qu'un archéologue restaure unemosaïque romaine ou une statue grecque à partir de quelques éléments partiels, lebiologiste peut espérer tendre vers une compréhension globale d'un système dontil ne peut mesurer que quelques variables. Les données constituent la partie émergée de l'iceberg. Les modèles mathématiques nous permettent de tirer le maximum d'information des données disponibles pour avoir accès à la partie immergéede l'iceberg, non directement observable. Selon les situations, la partie émergée del'iceberg est plus ou moins importante. Elle est maximale dans les dispositifs expérimentaux idéaux. Dans de telles situations, des modèles statistiques permettentde répondre directement à la question posée. Les modèles statistiques estimentdes relations simples (linéaires ou non) entre différentes variables observées et testent la significativité de ces relations. Le point fort des modèles statistiques est lié

161

/


à leur pouvoir d'inférence conféré par les tests d'hypothèses. Ces tests d'hypothèses sont performants dès que l'on se situe dans un cadre bien rigoureux. Le pointfaible des modèles statistiques est lié à ce cadre qui impose des relations entrevariables extrêmement simples (souvent linéaires). Ces relations sont essentiellement descriptives et ne permettent en aucun cas d'accéder à une compréhensionmécanistique du système (i.e. savoir comment le système fonctionne).

À l'opposé, nous avons des situations où il n'existe absolument aucune donnée.C'est par exemple le cas dès que l'on s'intéresse aux très longues durées. En l'absence de données, nous sommes réduits au raisonnement pur. Dans de tellessituations, les mathématiques apparaissent comme un outil précieux dans lamesure où elles constituent un langage permettant de raisonner de la façon laplus concise, la plus rigoureuse et la plus efficace possible.'. Le point fort de telsmodèles dits scientifiques (par opposition aux modèles statistiques décrits ci-dessus), est qu'ils permettent d'expliciter dans les moindres détails les mécanismes defonctionnement du système et par là, d'en identifier les éléments clés. Le pointfaible de ces modèles est leur absence de lien avec toute forme de données réelles,leur conférant souvent une valeur strictement spéculative.

Entre ces deux extrêmes existe tout un gradient de situations où les données peuvent se marier plus ou moins bien avec les modèles scientifiques (Hilborn etMangel, 1997 ; Clark, 2007 ; Bolker, 2008). C'est un domaine de recherche trèsfertile aujourd'hui que d'essayer de combiner les avantages des modèles statistiques (inférence) et des modèles scientifiques (mécanismes). Ce chapitre traite desmodèles qui se trouvent entre ces deux extrêmes. Nous allons nous intéresser auxmodèles mathématiques et leur lien avec les données.

L'écologie de la santé et la biologie de la conservation sont deux disciplines où lamodélisation s'avère extrêmement utile (Bailey, 1975 ; Anderson et May, 1991 ;Diekmann et Heesterbeek, 2000 ; Keeling et Rohani, 2007 ; Guégan et Choisy,2008). En effet, dans ces deux domaines l'expérimentation est souvent impossible- ne serait-ce que pour des raisons éthiques - et la modélisation s'avère alors uneaide précieuse à la prise de décision. Nombre de sujets traités par ce livre impliquent des travaux de modélisation mais nous ne pouvons naturellement pas tousles traiter dans un seul chapitre. Nous avons choisi de nous intéresser ici uniquement à l'écologie des maladies infectieuses (c'est-à-dire les maladies causées pardes parasites, qu'ils soient virus, bactéries, champignons, protozoaires, helminthes, etc.). Ce choix est motivé par la relative simplicité des modèles utilisés, l'assez bonne maturité de leur théorie et le fait qu'ils sont très probablement les plusutilisés dans le cadre de ce livre (voir en particulier la partie 2). Enfin, les activitésde l'épidémiologie et de la biologie de la conservation gravitent toutes, autour du

3 Écrire sous forme d'équations aide à penser correctement: « dépourvu de ces moyens, on erre vainement dans un labyrinthe obscur J) (Galilée).

162


phénomène d'extinction (voir paragraphe 7.3). L'une cherche à le maximiser (épidémiologie qui vise à éradiquer les maladies infectieuses) tandis que l'autre cherche à le minimiser (biologie de la conservation) (Earn et al., 1998). Ainsi, lesconcepts abordés par les deux disciplines sont très similaires et les résultats dechacune peuvent contribuer à l'avancement de l'autre.

2. Les questions déterminent les modèlesLe cycle parasitaire peut être plus ou moins compliqué mais implique, dans tousles cas, trois étapes indispensables (figure 27). La première est l'infection au coursde laquelle le parasite pénètre à l'intérieur de (ou s'accroche sur) son hôte. Ladeuxième est la multiplication où le parasite se reproduit (sexuellement ouasexuellement) à l'intérieur de (ou sur) son hôte. La dernière est la propagationoù les descendants du parasite quittent leur hôte pour en infecter d'autres. Cestrois étapes sont toutes nécessaires au cycle de vie du parasite.

Cela ne veut pas dire pour autant que l'on doit nécessairement modéliser ces troisétapes pour comprendre le fonctionnement des maladies. En effet, de façon générale, le choix de ce que l'on modélise dépend plus des questions que l'on se poseque de la réalité du système d'étude. Imaginez par exemple que vous vous intéressiez à la sévérité des maladies causées par des helminthes (vers intestinaux). Lasévérité de ces maladies dépend étroitement du nombre de parasites qu'un hôtehéberge. Or, le nombre de vers est très variable d'un individu à l'autre (Brown etal., 2002). Les causes de cette variabilité sont multiples mais essentiellement liées

FIG. 27 Les trois étapes minimales d'un cycle parasitaire: l'infection au cours de laquellele parasite colonise un individu hôte, la multiplication au cours de laquelle leparasite se reproduit à l'intérieur de (ou sur) l'hôte, et la propagation au cours delaquelle des parasites nouvellement produits quittent leur individu hôte pourcoloniser de nouveaux hôtes.

infection multiplication propagation

•

•• ••• ••• • • • ••• • •••••.~.. ~ ----... . '""'-.. .. '".. \ .•

163


à la complexité des relations entre le parasite et le système immunitaire de l'hôte.La conséquence importante de cette variabilité est que si l'on s'intéresse à la sévérité de maladies à helminthes, nous devons modéliser non seulement les processus d'infection/propagation inter-hôte mais aussi le processus de multiplicationparasitaire intra-hôte (Cornell, 2005). Les maladies pour lesquelles une telle

variabilité entre infections existe sont généralement appelées maladies macroparasitaires parce que souvent causées par des parasites de grande taille 4. De tellesmaladies sont en contraste avec les maladies dites microparasitaires (souventvirus, bactéries) caractérisées par une multiplication intra-hôte très forte et trèsrapide (Nowak et May, 2000) impliquant une très faible variabilité d'une infection à l'autre. Pour de telles maladies, il n'apparaît donc pas nécessaire de modéliser explicitement la multiplication parasitaire intra-hôte puisque, globalement,elle est la même d'un individu hôte à l'autre. Une information qualitative surl'état clinique des individus hôtes s'avérera donc suffisant pour comprendre lefonctionnement de nombre de maladies dites microparasitaires. Étant donné que

les modèles microparasitaires sont plus simples que les modèles macroparasitaires, nous nous restreindrons, dans la suite, à ces premiers. À noter encore une foisque la distinction microparasite/macroparasite est purement subjective et dépendplus de la question posée que de la maladie étudiée (Anderson et May, 1991).

3. Les modèLes en compartiments

Lépidémiologie s'intéresse essentiellement à la variation du nombre de cas en

fonction du temps (et éventuellement de l'espace). Ceci implique que les modèlesépidémiologiques sont fondamentalement des modèles dynamiques. Dans le casdes maladies microparasitaires, nous venons de voir qu'il n'était pas nécessaire demodéliser explicitement la dynamique intra-hôte des parasites et que la dynamique inter-hôte suffisait. Pour ces maladies, ce n'est donc pas tant la dynamiquedes parasites que l'on modélise mais plus la dynamique des états cliniques desindividus hôtes. Pour ce faire, les modèles en compartiments sont parfaitementadaptés (Anderson et May, 1991 ; Diekmann et Heesterbeek, 2000 ; Keeling etRohani, 2007). Ils consistent à diviser la population hôte en autant de compartiments que d'états cliniques et à connecter ces compartiments entre eux par desflux d'individus. La figure 28 illustre différents types de modèles en compartiments. Le plus simple, le modèle SI, ne contient que deux classes d'individus

4 La complexité des relations entre le parasite et le système immunitaire de son hôte évoquée ci-dessusdépend largement de la taille du parasite qui détermine le nombre d'épi topes visibles par le systèmeimmunitaire de l'hôte.

164


hôtes (figure 28A) : ceux qui ne sont pas infectés par la maladie (compartiment Scomme « susceptible» ou « sain ») et ceux qui sont infectés par la maladie (compartiment I comme « infecté »), Ce type de modèle convient parfaitement pourles maladies incurables (par exemple le SIDA) ou du moins pour des problématiques où on ne s'intéresse pas au phénomène d'immunité acquise (comme c'est lecas dans beaucoup de modèles d'évolution que nous ne traiterons pas ici). Si l'onveut prendre en compte le phénomène d'immunité acquise, il faut alors rajouterun compartiment R (comme recovered en anglais). À noter dans ce cas que l'immunité peut être permanente (comme c'est généralement le cas pour les maladiesvirales) ou temporaire (figure 28B). Dans ce dernier cas, un flux d'individus reliele compartiment R au compartiment S (en pointillés sur la figure 28B). D'autrescompartiments peuvent être rajoutés en fonction de la précision souhaitée du

f;;;---~':;-;;~'I~:;;'~odè~~~~~ompartime-~ts : modèles SI (A). SIR (B) et SEIR (Cl. Les -flèches représentent des flux d'individus entre les différents compartiments

Il représentés par des rectangles. Les flèches noires représentent les processus épi

démiologiques : contamination, guérison (représentée en pointillés car pouvantêtre présente ou non). Les flèches grises représentent les processus démographi- . ,

1)

1 ques : naissances (flèches entrantes) et décès (flèches sortantes). On peut imagi-ner de nombreuses variantes de ces modèles. Par exemple les maladies à trans- 1

mission verticale ii.e. de la mère à l'enfant) auront des flèches entrantes dans lecompartiment l, les maladies mortelles auront des flèches sortantes du comparti- jment l, les maladies à protection maternelle (par les anticorps du lait maternel)

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165

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,/,.:\,,:./ P!'!I'!.ie L'éhangeme~ts environnementaux etsanté

modèle. Par exemple, on peut vouloir tenir compte d'une période de latence entrel'infection d'un individu et sa contagiosité, période correspondant à la multiplication intra-hôte du parasite (voir figure 27). Si l'on veut tenir compte de cettepériode de latence il suffit de rajouter un compartiment E (comme « exposé »)entre les compartiments S et I (figure 28C). Ce compartiment regroupe donc lesindividus infectés mais pas encore contagieux. On peut rajouter encore biend'autres compartiments en fonction du degré de précision souhaité (voir parexemple la légende de la figure 28).

Une fois la structure du modèle spécifiée, il faut l'écrire sous forme mathématiquepour pouvoir travailler avec. Là encore, on peut le faire de différentes façons plusou moins complexes. De manière générale, les modèles déterministes sont plussimples que les modèles stochastiques qui tiennent compte du hasard. Dans uncadre déterministe, les équations différentielles- constituent l'outil mathématiqueidéal pour décrire des modèles en compartiments. Ainsi, le modèle SIR de la(figure 28B) peut être décrit par les trois équations suivantes:

dS/dt = flN - (À+fl)S

dl/dt = ÀS - (Y+fl)I

dR/dt = yI - flR

(la)

(lb)

(Ic)

où t est le temps continu et N = S + l + R est le nombre total d'individus dans lapopulation. Chacune de ces équations décrit les flux d'individus à travers chacundes compartiments du modèle de la figure 28B. Par soucis de simplicité, ce chapitre ne traitera que des modèles mathématiques basés sur des équations différentielles. Nous verrons que, malgré la simplicité de tels modèles, nous pouvons déjàfaire beaucoup de choses intéressantes. Après avoir introduit le concept de forced'infection, nous étudierons successivement les propriétés statiques et dynamiques de ce type de modèle.

4. La force d'infection

Le paramètre clé de notre modèle épidémiologique est la force d'infection À.Cette dernière rend compte du processus de contamination en exprimant la probabilité qu'un individu susceptible contracte la maladie. C'est cette force

5 Une équation différentielle est une équation qui exprime une variation d'une variable en fonction dutemps, des paramètres et éventuellement des autres variables. Par exemple, l'équation la exprime lavariation du nombre de susceptibles S en fonction du temps t (dS/dt). Celle-ci dépend des paramètresfl et À et des variables N et S.

166


d'infection qui fait passer les individus du compartiment S au compartiment Isur la figure 28. Il existe différentes façons d'écrire cette probabilité. Deux d'entreelles sont la transmission densité dépendante où la force d'infection est proportionnelle au nombre de malades I dans la population hôte:

À = pl (2)

et la transmission fréquence dépendante où la force d'infection est proportionnelle à la proportion de malades dans la population:

À = pI/N (3)

La transmission densité dépendante est la règle générale pour les maladies àtransmission environnementale (comme le choléra par exemple) et certainesmaladies à transmission vectorielle (comme la malaria dans les zones à fortedensité d'Anopheles) où le nombre de propagules dépend directement dunombre d'individus infectés. La transmission fréquence dépendante est courante pour les maladies directement transmissibles comme la rougeole ou lesoreillons pour lesquelles le nombre de contacts est fixe. En effet, pour cesmaladies, la transmission se fait par contact rapproché entre un individu susceptible et un individu infecté. Or, le nombre de ces contacts est une quantitéfixe, indépendante de la taille de la population totale et donc du nombre d'individus infectés. Pour ces maladies, c'est donc la proportion de ces contactsfaits avec des individus infectés qui est réellement importante (McCallum et

al., 2001). À noter qu'il existe bien d'autres formes de transmission, en particulier, tous les intermédiaires entre la densité dépendance pure et la fréquencedépendance pure, voir McCallum et al. (2001) pour plus d'information. Quelque soit le type de transmission, noter la présence de la constante de proportionnalité p appelé taux de contact infectieux. Il est important de se rendrecompte que ce paramètre dépend des propriétés intrinsèques non seulementde la population hôte mais également de la maladie. Là encore, il existe denombreuses expressions différentes de p. Une communément utilisée (Keelinget Rohani, 2007)

p= -clog(l-p)

rend particulièrement bien compte de l'influence conjointe de la maladie et de lapopulation hôte où c est le taux de contact entre individus (propriété intrinsèquede la population) et p est la probabilité d'infection au cours d'un contact infectieux (propriété intrinsèque de la maladie).

167

Partie 1 Changements environnementaux etsanté

5. Propriétés à L'équilibre

50 Jl Le théorème du seuil

Une des premières questions que l'épidémiologiste se pose est de savoir s'il va yavoir une épidémie ou non. Nous pouvons répondre à cette question de façon trèssimple en examinant le système d'équations différentielles. La première étapeconsiste à traduire notre question sous forme mathématique. Une épidémieimplique que le nombre de malades dans le compartiment l augmente, c'est-àdire qu'il y a plus de nouveaux malades que de nouveaux guéris ce qui, à partir del'équation lb, s'écrit:

À>Y+fl

Dans le cadre d'une transmission densité dépendante (équation 2), on obtient lacondition pour qu'il y ait une épidémie:

(4)

On appelle la quantité ~S/(Y+ u) le nombre de reproduction que l'on note R 6.

Nous avons donc une épidémie dès que R > 1. Ce résultat est connu sous le nomde théorème du seuil et constitue le résultat fondamental en épidémiologie(Anderson et May, 1991 ; Diekmann et Heesterbeek, 2000 ; Keeling et Rohani,2007).

502 Le nombre de reproduction de base Ra

L'équation 4 nous indique que le nombre de reproduction dépend du nombre desusceptibles et n'est donc pas très informatif. On lui préfère souvent sa valeur initiale Ro, appelée nombre de reproduction de base, et qui correspond au nombred'infections secondaires suite à l'introduction d'un individu infecté dans unepopulation hôte entièrement constituée d'individus susceptibles (Anderson etMay, 1991). Si de telles situations ne sont pas fréquentes, le Ro est toutefois unemétrique intéressante dans la mesure où elle permet de comparer différentesmaladies entre elles (voir Tableau 6).

6 À ne pas confondre avec le nombre de guéris R. Selon le contexte, il n'y a pas d'ambiguïté entre cesdeux notions qui, de façon malheureuse, ont la même notation.

168


rTAB~;-, ~;Ie~~s-~~s- ~~. d~ qu~~ques~~I~di~~In;ectieuse-;-h-u~;i~~~t anim~~;-;i~~i-q~~-1; leur couverture vaccinale critique Pc (équation 6) 1r-----M~-I~di~ --y ---Espè~e-hÔ;;---r----- --11

0- - - - - -r -;~-1~1/Ro-- ---j

r:~;,~~-==-~~-=r~::~i:~::~~'....i;::.;:;--~--_=f,:~: =---~1 :. : _

PDVb 1Phoques 2-3 1°,50-0,67 1

Tuberculose 1Bovins 2,6 ~ 0,62

1Grippe 1Homme - 3·4 1°,67-0,75 ,

li~.::::_~~~:e~se __-l~~~=_=_= 3,5-4,_5__ - J:-0-,7-1-.0-,7-~-----_r-11Variole .__~mme 3,5-6 1°,71-0,83 1

'-Va'~~e-I-Ie-- .--~ ---1 Ho;:;;~~- -- -----T1-0--1-2- ----1-0-,9-0-.0-,9-2- - - --

Rougeole 1 Homme 116-18 1°,94-0,95

Coqueluche 1 Homme 116-18 1°,94-0,95

1a Felin Immunodeftency Virusi b Phocine Distemper Virus

L'expression du Ro se déduit de celle du R dans laquelle le nombre de susceptiblesS est remplacé par la taille de la population totale N :

(5)

ou alors

R = RoS/N

Par définition, à l'équilibre R = 1 donc Ro peut alors être estimé simplementcomme l'inverse de la proportion s" de susceptibles à l'équilibre, cette dernièrepouvant être estimée par sérologie dans la population:

R, = l/s*

L'équation 5 montre que le Ro dépend du taux de contact infectieux p. Commep dépend non seulement des propriétés de la maladie mais aussi de la population hôte considérée (voir paragraphe 4), il est à noter que le Ro n'est en aucuncas une caractéristique d'une maladie donnée mais d'une maladie donnée dansune population hôte donnée. Ainsi, une même maladie pourra avoir deux Rodifférents dans deux populations hôtes différentes et deux maladies différentespourront avoir deux Ro différents dans une même population hôte (Anderson etMay, 1991).

169

Partie 1 Changementsenvironnementaux et santé

6. L'immuntté de groupe

Une fois que l'on connaît les conditions d'émergence d'une épidémie on veut naturellement être en mesure d'empêcher les épidémies d'émerger. La vaccination est lemoyen de lutte le plus couramment utilisé contre les épidémies de maladies infectieuses (Anderson et May, 1991 ; Diekmann et Heesterbeek, 2000 ; Keeling etRohani, 2007). Une couverture vaccinale de p% réduit de nombre (ou la proportion) de susceptibles de 1-p. La questi on est alors de déterminer la couverture vaccinale empêchant le démarrage d'une épidémie. Nous avons vu précédemment queR > 1 est la condition nécessaire à une épidémie. Nous n'aurons donc pas d'épidé mie dès que R < 1, soit Ros* < 1 ou encore Ro (l-p) < 1. Nous en déduisons que lacouverture vaccinale minimale à appliquer pour empêcher une épid émie est

Pc = 1 - l /Ro (6)

Le résultat intéressant de cette équation est qu'il n'est pas nécessaire de vaccinertous les individus d'une population pour la protéger contre une maladie. Cette propriété émergente est connue sous le nom d'immunité de groupe et découle directement du théorème du seuil (Anderson et M ay, 1985 ; McLean et Blower, 1993).Plus une maladie a un Ro élevé, plus il faudra vacciner d'individus pour empêcher

fIG.29 Couverture minimale de vaccination Pc en fonction du Ro• voir équation 6.

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5 la 15 20

taux de reproduction basal

170


une épidémie. La figure 29 illustre la relation entre la couverture vaccinale critiquePc et le Ro de l'équation 6 et le tableau 61iste les Pc de différentes maladies.

7. L'âge moyen à l'infection

Nous avons vu comment des équations mathématiques très simples nous permettent non seulement de connaître les conditions d'émergence d'une épidémiemais aussi de lutter contre les épidémies. En pratique, les couvertures critiques Pcmises en évidence au paragraphe précédent sont extrêmement difficiles à atteindre. En conséquence, la vaccination a très souvent comme effet de simplementréduire le nombre de malades, sans jamais atteindre l'éradication totale. On peutalors se demander s'il est toujours bon de vacciner. En effet, pour des raisons pastoujours connues, il est reporté que la sévérité de certaines maladies (comme larubéole, la varicelle, etc.) augmente avec l'âge (Anderson et May, 1983). Il apparaît donc intéressant d'exprimer l'âge moyen à l'infection et d'explorer comment ilpeut être affecté par la vaccination.

D'après l'équation lb, le nombre de nouveaux malades d'âge a est ÀS(a). Lenombre de nouveaux malades, quel que soit l'âge est donc la somme du nombre

ÀS(a) sur tous les âges: f;ÀS(a)da 7. Donc, la probabilité qu'un individu malade

soit d'âge a est p(a)=ÀS(a)/(f;ÀS(a)da). L'âge moyen A à l'infection est donc lasomme de tous les âges a pondérés par cette probabilité p(a) :

A =f;ap(a)da = f;aÀS(a)/(f;ÀS(a)da)

Ceux qui savent résoudre les intégrales montreront aisément que, lorsque le tauxde natalité/mortalité f.l ne dépend pas de l'âge,

A = lI(À+f.l) -l/À

(Anderson et May, 1991). Ce résultat nous montre que l'âge moyen à l'infectionaugmente lorsque la force d'infection diminue. Or la vaccination a justementpour but de diminuer la force d'infection (figure 30A). Elle aura donc commeeffet secondaire d'augmenter l'âge moyen à l'infection (figure 30C). Donc, si lasévérité de la maladie augmente avec l'âge (figure 30B), la vaccination augmentera la sévérité de la maladie pour les individus qui attraperont la maladie malgréla politique de vaccination.

La somme intégrale f;À-S(a)da exprime simplement la somme des À-S(a) lorsque a varie de façoncontinue de 0 à 00. On aurait pu tenir exactement le même raisonnement en considérant des sommesdiscrètes (i.e. par classes d'âge) au lieu de de continues. Nous aurions alors remplacé f;À-S(a)da parI;ÀS(a).

171


~ffi~ Rela~o~-entr~;;;;:vacci;~~mbre ~ cas: âge moy;n-à l'in7ecti~nombre de cas graves pour une maladie dont la sévérité augmente avec l'âge. . /L" traits pleins indiquent les prédictions théoriques à partir d' modèles methé- -1matiques comme ceux présentés dans ce chapitre. Les points noirs indiquent lesobservations empiriques.

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couverture vaccinale couverture vaccinaleJ

Dans cette situation particulière d'une vaccination contre une maladie dont lasévérité augmente avec l'âge, nous sommes donc confrontés à un dilemme: d'uncôté, la vaccination diminue le nombre de malades (à défaut de le réduire à 0) ; del'autre, la vaccination augmente la sévérité de la maladie parmi les personnescontractant la maladie malgré la vaccination. Dans ces conditions, on peut alorsse demander s'il est véritablement bon de vacciner. La réponse est qu'il est bon devacciner dès que les effets positifs de la vaccination (diminution du nombre demalades) dépassent les effets négatifs (augmentation de la sévérité). Pour cela, ilsuffit d'exprimer le nombre absolus de cas graves (qui tient compte non seulement du nombre de malades mais aussi de la sévérité de la maladie) et de comparer sa valeur avant et après vaccination (Anderson et May, 1983). C'est ce qui estfait sur la figure 30D. Cette figure montre qu'en deçà d'une valeur seuil Vc de couverture vaccinale, les effets négatifs (augmentation de la sévérité) dépassent leseffets positifs (diminution du nombre de malades) et qu'au-delà de ce seuil, latendance s'inverse. Ainsi, dans une telle situation (augmentation de la sévéritéavec l'âge à l'infection), une politique vaccinale ne peut être recommandée que sil'on est certain d'assurer une couverture vaccinale minimum (Anderson et May,1983). À noter que sans notre modèle mathématique nous aurions été bien incapable d'obtenir ce résultat pourtant fondamental d'un point de vue pratique.

172


8. Propriétés dynamiques

Jusqu'à présent nous avons raisonné à l'équilibre, faisant abstraction du temps etdonc des dynamiques épidémiques. La raison à cela est que les questions que nousnous posions ne faisaient pas appel aux dynamiques épidémiques. Si maintenantnous nous intéressons spécifiquement aux dynamiques d'épidémies nous devonsréintroduire la dimension temporelle dans notre modèle. La dynamique de notresystème peut être connue en résolvant le système d'équations différentielles la-le.Or, aussi simple que celui-ci puisse être, il est déjà trop compliqué pour être résoluanalytiquement. Nous avons donc recours pour cela à des algorithmes de résolution numérique. Leur principe est simple mais en-dehors du sujet de ce chapitre.Ils sont, par ailleurs, implémentés dans la plupart des logiciels mathématiques.

La résolution du système d'équations différentielles la - lc avec Il = 0 nous donneles courbes dynamiques de la figure 31. On peut chercher les valeurs des paramètresdu modèle qui minimisent l'écart entre la courbe théorique et les valeurs observées.Ceci peut se faire en maximisant numériquement la vraisemblance de notre modèler----- --- .. ---- ---------------------- -----------------------1

FIG. 31 Dynamique du modèle SIR sans démograph,ie. Ici N = 763 individus, ~ = 1,66/jouret 1/y =2,2 jours, donnant un Ra de 3,652. A t =0, S = N - 1, 1= 1 et R = O. Lespoints noirs représentent des données des cas de grippe dans un établissement ,scolaire anglais en 1978 (données issues de la quatrième édition du BritishMedical Journal). Les paramètres ~ et y du modèle ont été estimés par maximisation de la vraisemblance (voir encadré 1). La courbe noire est le nombre d'infectés l, la courbe en gris, le nombre de susceptibles (S) et la courbe en tirets le

1 nombre d'immuns (R).---------------------------

- - - -(])VlVlroU(])

=>CT'ro

..cuVlcro

-0Vl....,C

~C(])

~

~..Cl

1 g1111

L ~

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oolO

oo~

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o

o 5 10

temp (jours)

173

-

15 20

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-, .: / ·'\i, f/,,\~/--(, ,j,

,: l ,)

./ _ . \ ~ '- _R~rti~; '--êh~ng~fI1eQts environnementaux etsanté1", ,. ~/'

(voir encadré 1). Les valeurs des paramètres qui maximisent cette vraisemblancesont les estimations du maximum de vraisemblance. À noter que cette approche,couplant modèle mathématique et données par l'intermédiaire de la vraisemblance,nous permet d'estimer des grandeurs (par exemple le nombre de susceptibles engris et d'immuns en tirets sur la figure 31) pour lesquelles nous n'avons absolumentaucune donnée. C'est un exemple de mise à jour de la partie immergée de l'icebergdont nous parlions au paragraphe 2 (Hilborn et Mangel, 1997; Bolker,2008).

I~CADRÉ 1 1 Le maximum de vraisemblance ~(

La vraisemblance est un outil statistique puissant qui permet de coupler desmodèles mathématiques à des jeux de données. Elle exprime la probabilité d'observer les données, pour un modèle et des valeurs de ses paramètres donnés.Dans le cas de la figure 31, le jeu de données disponible est le vecteur" d contenant le nombre de cas de grippe observés pour chaque jour de surveillance (icidu jour 3 au jour 14). Ainsi dl l ) est le nombre de cas de grippe le jour 3, d(2) est lenombre de cas de grippe le jour 4 et, de façon générale, d(i) est le nombre de casde grippe le jour i + 2. Le modèle utilisé est le modèle SIR des équations la à tcen fixant le paramètre 1-1 à O. Il nous reste donc deux paramètres: le taux decontact ~ et le taux de guérison y. Pour des valeurs données de ces deux paramètres, notre modèle nous prédira un nombre de malades pour chaque jour. Le butest de trouver les valeurs de ~ et de y pour lesquelles les prédictions du modèlesont les plus proches des données observées. Il faut donc minimiser l'écart entreles prédictions du modèle et les données. On appelle généralement cet écart uneerreur. Cet écart est exprimé comme la probabilité d'observer les données sachantle modèle. Pour exprimer cette probabilité nous devons donc connaître la distribution de probabilité des erreurs. Choisissons, par exemple, une distribution normale d'écart-type cr. La probabilité d'observer d(i) cas de grippe le jour i sachantle modèle SIR, la distribution d'erreur normale et les valeurs des paramètres ~, yet cr s'écrit alors:

L(d(i)I~,y,cr)=1/(2ncr2)1/2exp((d(i) -li(~,y))2/2cr2).

li(~'Y) est le nombre d'infectieux prédit par le modèle SIR au jour ; et pour lesvaleurs de paramètres ~ et y. En faisant l'approximation que le nombre de malades le jour i ne dépend pas du nombre de malades le jour ;-1, on peut alors exprimer la probabilité d'observer le jeu de données total sachant le modèle SIR, ladistribution d'erreur normale et les valeurs des paramètres ~, y et cr :

En pratique, on considère souvent le logarithme de la vraisemblance LLqui a pouravantage de transformer les produits" en somme:

LL(dl~,y,cr)=Li=,'2Log(L(d(i)I~,y,cr))

a Un vecteur est un tableau unidimentionel. Les vecteurs sont généralement notés en gras. d(i) est unnombre, c'est le iième élément du vecteur d.

b Les produits sont noté avec le symbole n ainsi n,.1' 2l (d(i)IP,y,<Y) signifie l(d(l)IP,y,<Y) x l(d(2)IP,y,<Y)

x ... x L(d(3)IP,y,<Y). Les sommesquant à elles sont notées avec le symbole L

174


Cette vraisemblance, ou ce logarithme de vraisemblance, dépend de trois paramètres : /3, y et cr. La figure de l'encadré représente cette vraisemblance en fonction dedeux de ces trois paramètres.

L _L'idée est de trouver conjointement les valeurs de ces trois paramètres qui maximisent la vraisemblance. Ces valeurs seront les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres. Trouver ces valeurs peut se faire numériquement. Il existeune variété d'algorithmes d'optimisation efficaces pour ce genre de tâche. Nombred'entre eux sont inclus dans les logiciels de mathématique. Noter enfin que nousavons exprimé ici une vraisemblance pour une structure d'erreurs normale. Nousaurions pu choisir une toute autre distribution de probabilité, comme la loi lognormale ou gamma par exemple. La démarche aurait été exactement la même.

9. IncLure La dêmoqraphle

Le modèle utilisé jusqu'à présent (i.e. sans démographie: fl = 0) convient parfaitement pour étudier une épidémie. Si l'on veut étudier une succession d'épidémiessur le long terme il est important de complexifier le modèle en y incluant ladémographie (fl > 0). En effet, le taux de natalité permet de reconstituer la partiesusceptible de la population sur laquelle se propage la maladie. Les nouvelles prédictions de notre modèle sont montrées en noir sur la figure 32. Nous observonsbien une succession d'épidémies mais celles-ci sont d'importance décroissantejusqu'à l'atteinte d'un équilibre endémique, ce qui est en parfait contraste avec ce

175

Partie1 Changements environnementaux et santé

,--- --_ ..~---_.- .-.-.----- ----. -·-------·---_·_-·--------------------liFIG. 32 Dynamique du modèle SIR avec démographie. En noir, le modèle SIR (équations• 1a-1c et 7) avec ~, = °et en gris le même modèle avec ~1 = 0,01. l'encart montre"

Iles dynamiques sur le long terme. Les paramètres du modèle ont des valeurs -1correspondantes à la rougeole.

___ 4 __• • __~__ .~_. " .• _

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~_ n 100 104 108IIAAAànn"nnAÔononoonnnnn'V~!y vvv·vvvvvuvvvvvvvvv~

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1

1 0

1 0 5 10 15 20 25 301! temps (années)1 . . _

que l'on observe dans la nature (par exemple figure 33) où des épidémies d'importance comparable se succèdent. À l'évidence, notre modèle manque encored'un ingrédient.

Il s'avère que la stabilité de l'équilibre endémique est faible ce qui veut dire quede faibles perturbations suffisent pour entretenir la récurrence des épidémiessur le long terme. Il existe différentes façons d'inclure de telles perturbations.Le plus simple est d'introduire une variation sur le taux de contact infectieux ~.

En effet, pour de nombreuses maladies, ce taux est sujet à une variabilité saisonnière. Par exemple, pour les maladies infantiles 8 transmises essentiellementdans les cours de récréation, cette variabilité est le fruit de l'alternance de vacances (faible ~) et de périodes scolaires (fort ~) au cours d'une année (Fine etC1arkson, 1982). À nouveau, il existe différentes façons de rendre compte decette variabilité mais la plus communément utilisée est simplement une fonction sinusoïdale:

(7)

où ~o est la valeur moyenne de ~ et ~1 et la moitié de l'amplitude des oscillationsautour de cette valeur moyenne. Cette fois-ci, les prédictions de notre modèle

8 On appelle maladies infantiles les maladies comme la rougeole, la coqueluche, les oreillons, la varicelle,etc. pour lesquelles l'âge moyen à l'infection est très faible, Généralement 90 % des personnes contractent la maladie avant l'âge de 20 ans. Le faible âge moyen à l'infection de ces maladies (toutes microparasitaires) s'explique par une forte contagiosité (forte force d'infection et fort ~) et une immunitépermanente (comme c'est le cas pour presque toutes les maladies virales et nombre de maladiesbactériennes) _

176


semblent plus en accord avec ce que l'on observe dans la nature (en gris sur lafigure 32 à comparer avec la figure 33).

,--_~ ----------._--------------_._-FIG. 33 1 Dynamique de la rougeole en Angleterre, avant vaccination (1948-1966), La

courbe noire représente le nombre de cas de rougeole, celle en gris, le nombre.de naissances (données issues de Bjernstad et et., 2002 et Grenfell et al., 2002).

~0<1J01:::J 00 0>- 0(1) 0

-0 MVlro

0u<1J

00-0 0

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E 00c

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co (1),-1 -0

<1J0 >-0 .00 E0 0\0 c,-1

1950 1955 1960 1965

'L années 1_____... . ... . . J

10. La périodicité des épidémies

Il est notable que de nombreuses maladies apparaissent dans les populations defaçon plus ou moins périodique. Ainsi les épidémies de grippe apparaissent tousles hivers, celles de rougeole apparaissent typiquement tous les ans ou tous lesdeux ans, celles de coqueluche tous les trois ou quatre ans. Il apparaît importantde comprendre la périodicité des épidémies pour au moins deux raisons.Premièrement parce qu'une maladie très périodique est plus prévisible et doncplus contrôlable qu'une maladie d'apparence plus aléatoire. Deuxièmement, sinous sommes en mesure d'identifier les causes de cette périodicité, nous pouvonsespérer pouvoir agir sur celles-ci afin de diminuer le nombre de cas.

JlO. Jl L'effet du climat

Pour de nombreuses maladies à transmission environnementale ou vectorielle, lapériodicité est liée à des facteurs climatiques (Craig et al, 1999 ; Pascual et al,2000; Cazelles et al, 2005, 2006; de Magny et al, 2008). Par exemple, dans le casdu choléra, une augmentation de température des eaux favorise la prolifération de

177

Partie1 Changements environnementaux etsanté

zooplancton sur lequel se nourrissent les copépodes qui hébergent la bactérieVibrio cholerae responsable, chez l'homme des épidémies de choléra (Pascual et al.,

2000 ; de Magny et al, 2008). De façon similaire, l'augmentation de la température et de l'humidité atmosphériques stimule la dynamique des Anopheles et augmente la vitesse de développement des Plasmodium (agents responsables de lamalaria chez l'homme) au sein des Anopheles (Craig et al, 1999). Ces effets peuvent être mis en évidence simplement en corrélant les nombres de cas avec desdonnées météorologiques (Cazelles et al, 2005, 2006). Une façon plus puissantede procéder est de développer un modèle mathématique décrivant les possibleseffets de chaque facteur et, pour des conditions météorologiques données, de comparer les prédictions du modèle avec les données observées. Cette deuxième approche a pour avantage de nous permettre d'identifier précisément les mécanismes enjeu et leur importance relative (Craig et al, 1999 ; Pascual et al, 2000 ; de MagnyetaI., 2008).

1Ct2 L'effet de La démographie et de La vaccination

De nombreuses maladies sont indépendantes des facteurs climatiques et présentent toutefois une périodicité très prononcée. C'est le cas notamment des maladies infantiles mentionnées précédemment. Les maladies infantiles, comme presque toutes les maladies virales et la plupart des maladies bactériennes, sontcaractérisées par une immunité permanente. Comme nous l'avons vu au paragraphe 5.1, une épidémie décline dès que R < 1 suite à la déplétion des individussusceptibles (voir équation 4). Pour qu'une nouvelle épidémie puisse démarrer ilfaut donc attendre que le nombre de susceptibles réaugmente jusqu'à ce queR > 1. Dans le cas des maladies à immunité permanente ceci ne peut être réaliséque par les nouvelles naissances. On peut donc s'attendre intuitivement à ce quela durée entre deux épidémies dépende du taux de natalité et/ou de la couverturevaccinale. C'est effectivement ce qui est prédit par notre modèle. La figure 34montre que lorsque l'on décroît la force d'infection de notre modèle, c'est plus lapériodicité des épidémies qui s'allonge que l'amplitude des épidémies qui diminue (Earn et al, 2000). Plus la périodicité des épidémies est importante, moinscelles-ci sont prévisibles. À l'extrême, lorsque la périodicité des épidémies tendvers l'infini, il n'y a plus aucune régularité détectable et les épidémies sont alorstotalement imprévisibles (Olsen et Schaffer, 1990). On comprend alors l'importance pratique d'être en mesure de prédire la périodicité des épidémies. En particulier, si la vaccination a un effet positif en diminuant le nombre de malades, ellea aussi un effet négatif qui est celui d'augmenter la périodicité des épidémies etdonc leur prévisibilité.

178


FIG. 34 Effet de la force d'infection sur la périodicité des épidémies. Ici la force d'infectionÀ. est contrôlée par le taux de contact infectieux moyen ~o (voir équat ions 2, 3et 7). Pour chaque valeur de ~o (axe des abscisses), la dynamique du modèle estéchantilonnée tous les ans (axe des ordonnées). Ainsi, un seul trait signifie que ladynamique est annuelle, deux traits signifient qu'elle est bisannuelle, etc. D'aprèsEarn et al., 2000.

10-3

10-4

z:<,......

10-5Q)ucQ) 10-6

"'0'uC...... 10-7

10-8

0 250 500 750 10001250150017502000

Taux de contact moyen ~o

11. Synchronie et extinction

L'importance de la périodicité des épidémies devient encore plus marquée lorsquel'on s'intéresse à la dynamique spatiale des maladies (Grenfell et al., 2001). Lespopulations d 'hôtes sont généralement structurées en populations plus ou moinsconnectées entre elles par des flux d'individus (figure 35). En écologie, on parle destructure en métapopulation (i.e. population de populations) où chaque population est une sous-population de la métapopulation totale (Hanski et Gaggiotti,2004). Les populations humaines structurées en villes connectées par diversesvoies de communications (r éseaux routiers, ferroviaires , fluviaux, aériens) constituent typiquement des métapopulations (Grenfell et Harwood, 1997). Le conceptde contamination entre un individu infectieux et un individu susceptible que nousavons étudié jusqu'à présent peut alors être transposé à l'échelle de sous-populations (figure 35). Ainsi, une sous-population contenant des individus infectieuxest dite infectieuse (I, sous-population rouge sur la figure 35). Une sous-population ne contenant pas d'individus infectieux est soit susceptible (S, sous-population bleue sur la figure 35) si le nombre de susceptibles est au-dessus du seuil critique (R > 1), soit immune (R, sous-population noire sur la figure 35) si le nombrede susceptibles est au-dessous du seuil critique (R < 1). Une population susceptible peut être contaminée par une population voisine infectieuse.

179

Partie1 Changementsenvironnementaux etsanté

FIG. 35 Str ucture en métapopu lati on . Les peti ts ronds plei ns repr ésent ent des individusrépart is dans tr ois sous-populations (grands cercles) de la métapopulation (l'ensemble). Les couleurs rend ent compte de l' état clinique des individus et des souspopul ati ons : bleu pour les susceptib les (SL rouge po ur les infect ieux (1 ) et noirpour les im muns (R). Les flèches repr ésent ent des flu x d'i nd ivid us entre les sous populati ons de la métapopu lation .

o comprend alors que ce ph énomène aura d'aut ant plus de chance s de se pro

duire que les sous-popula tions ne sont pas dans le même état (S, l ou R) enmême temps (Earn et al., 1998) . D'où l'importance d'étudier et d'être en mesure

de prédire la synchronie des épidém ies entre chaque sous-population de la métapopulation (G renfell et H arwood, 1997, Grc nfell et al., 200 1) : plus les épidémiesseront synchrones, plus l'extinction globale (i.e. à l'échelle de toute la métapopu larion) sera fa ile à atteindre. Dans le cas contraire , chaque exti nction locale seratrès facilement suivie d'un phénomène de recolonisation de la maladie à partird 'une popu lation voisine infectée.

Nous avons vu au paragraphe précéde nt que la vaccination tendait à augme nter lapériodicité des épidémies (E arn et al., 2000 , figure 34). Or, la prob abilité de synchro nie diminue lorsque la périodicité des épidémies augmente (Earn et al.,2000) 9. Donc la vaccination, si elle diminue le nombr e de malades, a aussi poureffet d'augmenter la périodicité des épidémi es et donc de diminuer la synchro nieentre sous-populations, ce qui dim inue d'a utan t les chances d'obtenir une

" Une maladie annuelle sera parfai tement synchrone entre deux sous-populations . Un e maladiebisannue lle aura 1 chance sur 2 d 'être synchro ne entre deux sous-populations. Une malad ie trisannuelle aura 1 chance sur 3 d 'être synchrone entre deux sous- populations, etc.

180


éradication globale de la maladie (qui est pourtant le but initial de la vaccination).Cet enchaînement de mécanismes diminuant l'efficacité de la vaccination permetde comprendre pourquoi l'éradication totale des maladies est difficile à atteindreen pratique.

12. ConcLusionCette section couvre les notions de bases que l'on rencontre en modélisation, engénéral, et épidémiologique, en particulier. Comme annoncé dans l'introduction,cette partie ne présente que des modèles extrêmement simples et n'utilise que desmathématiques élémentaires de niveau lycée. Et pourtant, ces quelques équationssimples nous ont permis de mettre en évidence une multitude de notions extrêmement importante en épidémiologie, tant pour le théoricien que pour le praticien (Keeling et al., 2001 ; Halloran et al., 2002 ; Lipsitch et al., 2003 ; Fergusonet al., 2003, 2005 ; Longini, 2005). Certains des résultats étaient intuitifs - ce quiest toujours rassurant -, d'autres l'étaient beaucoup moins, révélant ainsi toute lapuissance de l'approche mathématique. Habilement couplés à des données par lebiais de la vraisemblance, ces modèles nous permettent d'explorer la partie invisible de la nature (voir figure 31 en particulier).

Les modèles sont une représentation simplifiée de la nature. Ils sont donc, parnature, faux (Hilborn et Mangel, 1997). Ils sont toutefois utiles dans le sens où ilsnous permettent d'étudier la nature, trop compliquée pour notre cerveau. Toutl'art de la modélisation réside dans le choix de ce que notre modèle doit représenter et de ce dont il doit faire l'omission. Ce choix dépend de deux facteurs: premièrement, de la question posée; la figure 31 étudie une seule épidémie, sur uneéchelle de temps courte (quelques semaines). À cette échelle, les phénomènesdémographiques (naissance, décès) sont négligeables. Nous les avons donc omis(fl = 0). Au contraire, sur la figure 32, nous nous intéressons à la succession desépidémies sur le long terme (quelques décennies). À cette échelle, les phénomènes démographiques ne sont plus négligeables et doivent donc être intégrés dansle modèle (fl > 0). À cette occasion, nous nous sommes même rendu-compte quel'approximation d'un taux de contact infectieux Pconstant ne pouvait plus suffireet qu'il fallait introduire une variation temporelle sur ce taux de contact à traversl'introduction d'un nouveau paramètre (l'équation 7). Ce critère de la questionposée orientant le niveau de complexité est la règle générale, quelque soit le typede modèle. Pour les modèles basés sur des données comme ceux que nous avonsétudiés ici, la qualité du jeu de données oriente également le niveau de complexité 10. Des modèles trop complexes par rapport à la richesse des données

10 La complexité d'un modèle est son nombre de paramètre.

181

poseront des problèmes de sur-paramétrisation (chaque paramètre en trop introduisant une variabilité qui ne peut être expliquée par les données) et des modèlespas assez complexes par rapport à la richesse des données poseront des problèmesde sous-paramétrisation (les paramètres du modèle ne suffisent pas pour expliquer la variabilité des données). La richesse des données accumulées dans ledomaine de l'écologie et de la santé ne faisant que croître, les chercheurs élaborent aujourd'hui des modèles de plus en plus compliqués permettant de répondreà des questions de plus en plus défiantes. Si nous n'avons pas traité de tels modèles dans ce chapitre, les principes de bases sont globalement les mêmes que ceuxabordés, ce n'est globalement que le nombre d'équations qui augmente.

Choisy Marc. 1.

Changements environnementaux et santé

: 3. Modélisation mathématique en

épidémiologie.

In : Gauthier-Clerc M. (dir.), Thomas F.

(dir.), Guégan Jean-François (préf.).

Ecologie de la santé et biodiversité.

Bruxelles : De Boeck, 2010, p. 159-182.

(Licence Master Doctorat : Biologie).

ISBN 978-2-8041-3508-9

Documents

Modélisation mathématique en épidémiologie