Module 1 : Résolution d’un problème du premier degré : inéquations

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MODULE 1 : RESOLUTION D’UN PROBLEME DU PREMIER DEGRE : INEQUATIONS

Classe : 2nde bac pro Inéquations du premier degré à 1inconnue

Objectifs :

Traduire un problème à l’aide d’une inéquation

Résoudre une inéquation

Critiquer une solution et rendre compte

Lycé

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Chabanne

Ma

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atiques

Année 2

012-2

013

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Module 1 : Résolution d’un problème du premier degré : inéquations P R O B L E M E D U 1 E R D E G R E

I. Activités d’approche

Activité 1 :

Enoncé :

Répondre aux questions suivantes :

1. Donner une définition du mot intervalle

2. Quel est le plus grand nombre existant mathématiquement ?

3. Quel est le plus petit nombre existant mathématiquement ?

4. Enoncer les différents types d’intervalles existants en utilisant des exemples ?

5. Représenter ces intervalles sur un axe gradué

Remarque : L’objectif de cette activité est d’expliquer à vos camarades la notion d’intervalle

Résolution :

Activité 2 :

Enoncé :

Répondre aux questions suivantes :

1. Comment mathématiquement écrit-on qu’un nombre a est positif ?

2. Comment mathématiquement écrit-on qu’un nombre b est négatif ?

3. Que signifie classer une liste de nombre par ordre croissant ?

4. Que signifie classer une liste de nombre par ordre décroissant ?

5. Placer sur un axe gradué les points dont l’abscisse est la suivante :

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6. Comparer les abscisses des points A et C ; des points A et D ; des points B et C

7. Donner une méthode pour pouvoir comparer 2 nombres dans les 3 types de cas précédents en

utilisant les mots « partie entière et partie décimale »

8. Classer par ordre décroissant la liste de nombres suivants : 25 ;-2 ; 23 ;-2,1 ;-2,108 ;

-2,2 ;-2 ;11

Remarque : Il faudra savoir expliquer comment mathématiquement on classe les nombres

mathématiquement en utilisant la notation mathématique

Résolution :

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Activité 3 :

Enoncé :

Répondre aux questions posées :

1. Un nombre a est tel que 4<a<6

Donner un encadrement des nombres suivants

a. a+3

b. -6a

c. a-10

d. 1-3a

2. Un nombre b est tel que -2<b<5

a. b+3

b. -6b

c. b-10

d. 1-3b

3. Enoncer les règles de calculs sur les inégalités

Résolution :

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Activité 4 :

Traduire les énoncés ci-dessous à l’aide d’une inéquation, en précisant quelle grandeur représente

l’inconnue x

1. Un rectangle est tel que la mesure de sa longueur a 20cm de plus que sa largeur , comparer la

largeur et la longueur

2. Au premier trimestre Paul a obtenu 11,7 et 13 aux 2 premiers devoir de mathématiques. Avec

quelle note au 3ème devoir aura-t-il une moyenne supérieure à 12 ?

Résolution :

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II. Méthode de résolution

1. Nombre relatifs et notion d’intervalle

a. Nombres relatifs Exemple : bulletin météorologique : Aujourd'hui, il fait 11°C à Tunis, 7°C à Toulouse, -3°C à Paris, -21°C à Montréal.

Définition : Les nombres négatifs et les nombres positifs forment l'ensemble des nombres relatifs. Exemples :

0 est un nombre à la fois positif et négatif -3,14 est un nombre négatif 4,5 est un nombre positif -3,14 et 4,5 sont des nombres relatifs.

b. Repérage sur une droite graduée

Chaque point d'une droite graduée est repéré par un nombre relatif : son abscisse. Le point O est le milieu du segment [DE]. Les points D et E sont situés à la même distance de O (OD = OE = 2). Les nombres relatifs -2 et 2 sont dits opposés.

c. Comparaison de nombres relatifs

c1. Comparaison de nombres relatifs de signes contraires

-3,8 < 2,5

Propriété : Si deux nombres relatifs sont de signe contraire, alors le plus petit est le nombre négatif.

c2. Comparaison de nombres relatifs de même signe

si les nombres relatifs sont positifs

2,6 3,5 4,7 2,4

si les nombres relatifs sont négatifs

-6 -3,5

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Propriété : Si deux nombres relatifs sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro.

d. Notion d’intervalle

On appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec

):

Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.

2. Règles de calculs

a. Addition et soustraction

Propriété : Lorsque l'on ajoute (ou on soustrait) le même nombre à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Exemples : Si a 4, alors a + 3 4 + 3, donc a + 3 7 Si b < 8, alors b - 5 < 8 - 5, donc b -5 < 3

b. Multiplication et division

Propriété : Lorsque l'on multiplie (ou on divise) par un nombre strictement positif chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Exemple : si 3b < -5, alors

soit

Propriété : Lorsque l'on multiplie (ou on divise) par un nombre strictement négatif chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de sens contraire.

Exemple : si -6b < 7, alors

soit

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3. Méthode de résolution d’une inéquation

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs dont l'inconnue vérifie l'inégalité. Exemple : Résoudre l'inéquation 4x < 6 C'est trouver toutes les valeurs de x pour que 4x < 6 soit vérifiée. 4 × 2 = 8 et 8 > 6, donc 2 ne vérifie pas l'inégalité. Ici, on isole x dans le premier membre en neutralisant le 4:

donc On peut représenter graphiquement ces solutions :

La partie hachurée correspond aux solutions. Exemple : Résoudre l'inéquation -3y + 1 16 On isole d'abord -3 y en neutralisant +1 : -3y + 1 - 1 16 – 1

donc -3y 15

On isole ensuite y neutralisant -3 :

Donc

La partie hachurée correspond aux solutions.

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Année 2012-2013

L.P Pierre André Chabanne

Seconde

Devoir de mathématiques 2

Matériels autorisés :

* Règle graduée

* Calculatrice

Consignes :

* Ne rien inscrire sur l’énoncé car celui-ci ne sera pas corrigé

* A la fin de l’épreuve, rendre votre copie et coller l’énoncé partie exercice

* Tout résultat correct non justifié comptera pour la moitié des points

* La note finale comportera un point de présentation au maximum

Questions de cours : Résoudre ces équations

a) x + 3 = 6 b) x + 5 = -6 c) x + 3 = -8

d) x - 4 = 2 e) x - 8 = 10 f) x - 1 = -4

Exercice 1 :

1. Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110 €. Le téléphone coûte 100 € de plus que l'étui.

Quels sont les prix du téléphone et de l'étui ?

2. Le collège Picasso a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, le collège

Renoir achète le même livre 1,20 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus.

Quel est le prix d'un livre acheté par le collège Picasso?

Exercice 2 :Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants :

a. [-2 ;5]

b. ]3 ;4[

c. ]-1 ;3]

d. [-2 ;4[

Exercice 3 :Résoudre les inéquations suivantes et décrire sur une droite graduée l'ensemble solution :

a. 4x+3<7x.

b. 4(x+3)>7x.

c. 4x+3 7x+8.

d. 4x+3 7(x+8).

e. 4(x+3)>7(x+8).