Module SN908

Simulation des Procédés de Fabrication Mise en forme et Crash

Damien Soulat, Jean-Luc Daniel

Sommaire

Introduction p.1 Chapitre 1. Introduction sur le Processus de Mise en forme p.3 1.Principes p.3 2.Données nécessaires pour une opération de mise en forme p.5 2.1 Calcul analytique p.7 2.2 Comportement des Matériaux p.7 2.2.1 Essai de traction p.8 2.2.2 Courbes limites d’emboutissage p.9 2.2.3 Influence de l’anisotropie p.11 3. Exemples de presses et de pièces obtenues par mise en forme p.12 4. Autres Procédés : Hydroformage, aquadraw,.. p.13 4.1 Introduction p.13 4.2 Différents procédés d’hydroformage p.13 4.2.1.Formage hydromécanique avec membrane p.13 4.2.2.Formage hydromécanique avec joint d’étanchéité p.15 4.3. Procédé de type Aquadraw p.15 4.3.1.Principe p.16 4.3.2.Formage Aquadraw d’une pièce axisymétrique p.16 Chapitre 2. Intérêt de la simulation numérique et synthèse des produits existants p.19

1.Introduction p.19 1.1.Couplage essais/calculs p.19

2. Synthèse sur les logiciels existants p.20 2.1.Avantages, inconvénients p.21 3. Exemples d’applications p.21

3.1. Méthodes inverses p.21 3.1.1 Principe p.21 3.1.2 Avantages-inconvénients p.22 3.1.3 Exemples d’Applications SIMEX p.22 3.1.4 Exemples d’Applications ISOPUNCH p.25 3.2. Exemple d’application de mise en forme avec un logiciel généraliste p.27 3.3. Comparaisons de logiciels explicites sur la coupelle Twingo p.27 3.3.1 Validation expérimentale p.27 3.3.2 Modélisation numérique p.28 3.3.3 Comparaison Calculs-expériences p.29

Chapitre 3. Formulation du problème en dynamique et Méthodes d’intégration en temps p.33 1. Formulation variationnelle du problème de dynamique et discrétisation p.33 1.1 Equation du mouvement p.33 1.2 Formulation variationnelle p.34 1.3 Discrétisation éléments finis p.34 2. Intégration temporelle des équations de la dynamique p.35 2.1 Introduction p.35 2.2 Généralités sur l’intégration directe p.36 2.3 Méthodes explicites p.36 2.4 Méthodes implicites p.37 2.4.1.Une méthode implicite à un pas, les méthodes de Newmark. p.37 2.5 Stabilité- Comparaison des schémas implicites, explicites. p.38 2.5.1 Exemple unidimensionnel. Méthode explicite. p.38

2.5.2 Exemple unidimensionnel. Méthode implicite. p.40 2.5.3 Comparaison Méthode implicite-explicite. p.41 2.6 Organigramme récapitulatif, d’un logiciel explicite : PAM-STAMP. p.42 Chapitre 4 : Eléments finis de coques pour la simulation des procédés p.45 1. Eléments finis de coques p.45

1.1 Introduction p.45 1.2 Rappels sur les éléments finis de coques. p.45 1.2.1 Hypothèses de Mindlin/Reissner p.45 1.2.2 Géométrie p.46 1.2.3 Cinématique et taux de déformations p.46 1.2.4 Element de coque à 4 nœuds p.49 1.2.5 Définition du repère local de l’élément p.50 1.2.6 Calcul des déformations dans le repère local de l’élément p.51 2. Récapitulatif des Etapes. Schéma de Résolution. p.53 2.1 Opération sur les nœuds. p.53 2.2 Opération sur les éléments. p.54

3 Influence des modes de Hourglass p.57 3.1 Rappel de la méthode de Gauss pour l’intégration sur un volume. p.57

3.2 Calcul des déformations p.57 3.3 Contrôle des modes à énergie nulle. p.59 Chapitre 5. Rappels sur le comportement des matériaux p.61 1. Introduction p.61 2. rappels sur les comportements élastiques p.61 2.1 comportement isotrope p.61 2.2 comportement orthotrope p.61 3 Comportements élastoplastiques. p.62 3.1 Rappels-définitions. p.62 3.2 Critères p.64 3.3 Loi de plasticité et dépendance du taux de déformation p.65 Chapitre 5-Bis. Compléments sur le comportement des matériaux p.67

1. Emboutissabilité d’une tôle p.67 1.1 Introduction p.67 1.2 Principe de l’essai d’emboutisage en croix p.67 1.3 Applications : Embouti en croix p.68

2. Loi de comportement pour les très hautes vitesses de déformations p.71 2.1 Application : la formation de CGN p.71 2.2 Mécanismes et caractéristiques des matériaux p.72 2.3 Limites du modèle de Johnson-Cook p.72 2.4 Techniques expérimentales p.74 Chapitre 6. Modélisation de la mise en forme des matériaux composites p.77 1. Introduction - Rappels p.77 1.1 Constituants dans les matériaux composites p.77 1.2 Procédés de fabrication des pièces composites p.77 1.3 Exemples et Applications en Aéronautique p.78

2. Détails de trois procédés de fabrications p.78 2.1. Procédé R.T.M. p.78 2.2 Drappage de préimprégnés ou procédés SMC p.79

2.3 Thermoformage des thermoplastiques p.80 3. Spécificités de la mise en forme des composites p.82

4.Simulation du préformage des tissus secs p.82 4.1. Approche Géométrique p.82 4.2 Approche mécanique par éléments finis p.83 5.Simulation de la mise en forme lors du thermoformage p.84 5.1. Loi de comportement p.84 5.2 Glissement interpli et reconsolidation p.86 Annexe-Chapitre 7. Le Contact en explicite p.89 1. Introduction p.89 2. Prise en compte des conditions de contact. p.89 3. La condition de non pénétration. p.89 4. Le frottement p.90 4.1 Introduction p.90 4.2 Modèles de frottement p.90 4.2.1 Modèle de Coulomb p.90 4.2.2 Modèle de Coulomb-Orowan. p.91 4.2.3 Modèle de Shaw. p.91 4.2.4 Modèle de Tresca. p.92 4.2.5 Conclusion sur les modèles de frottement p.92 5. Formulation variationnelle et résolution. p.92

5.1.Introduction. p.92 5.2 La méthode de pénalisation. p.93 5.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange. p.93 5.4 Méthode du Lagrangien perturbé. p.93 5.5 Méthode du Lagrangien augmenté. p.94

6. Représentation des surfaces en contact. p.95 7. Petit et grand glissement. p.96 8 Détection des conditions de contact. p.97 9 Le contact dans les codes explicites. p.101 10. Problèmes et conseils. p.103 10.1 Représentation des outils. p.103 10.2 Représentation des surfaces esclaves. p.106 10.3 Conditions initiales. p.106 10.4 Procédures particulières. p.107 11. Conclusion. p.109

Introduction La simulation des procédés de mise en forme ou du crash relève de nouvelles applications de la méthode des éléments finis en calculs des structures. Par l’amélioration des méthodes de résolution et le développement de logiciels dédiés à la simulation de ces procédés industriels, il a semblé utile aux intervenants de ce cours de refaire un point théorique sur l’ensemble des connaissances nécessaires à la compréhension des phénomènes et à l’utilisation de ces logiciels. Ces notions comme le comportement des matériaux , le contact, l’intégration temporelle, les éléments finis de coques, etc… sont décrites en application à la simulation de la mise en forme, sachant que les algorithmes en Crash sont identiques. Ce polycopié est destiné aux étudiants de 5ième année de Polytech’Orléans. Il n’est qu’un recueil écrit de l’enseignement donné en cours et ne dispense pas de la présence aux cours. Cet enseignement étant complété par des séances de travaux pratiques sur des logiciels explicites de mise en forme ou de Crash.

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Chapitre 1 : Introduction sur les Processus industriels

1. Principes Une grande variété de pièces peuvent être élaborées (concues) par des opérations de mise en forme. Les 2 composantes de base pour les outils servant dans les opération de mise en forme sont le poinçon (punch) et la matrice (die). Des formes simples, comme des coupelles peu profondes peuvent être obtenues par utilisation de ces outils de base. Le principe est décrit par la figure 1 :

Figure 1 : Différentes étapes de la mise en forme (a,b,c,d). Poinçon – matrice Le poinçon entame sa descente (b), des plis commencent à se former ils vont continuer à augmenter d’importance jusqu’au point où les centres des rayons poinçon et matrice sont au même niveau (c). L’ébauche aura tendance au point E à avoir une épaisseur plus importante que le jeu laissé entre la poinçon et la matrice. Il se produit un laminage de la matière qui doit théoriquement ramener le flan à son épaisseur initiale. Le poinçon poursuivant sa descente, l’observation révèle (d) : • de A en E, une augmentation progressive de l’épaisseur • et de E en F, une partie laminée d’épaisseur constante. A l’extérieur de l’entrée de la matrice, l’ébauche forme des plis, qui devraient en principe être supprimées par laminage. Plus le poinçon s’enfonce dans la matrice, plus ces plis prennent d’importance et dans certaines zones, au lieu de se résorber par laminage, ils se superposent (figure2)

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Figure 2 : formation et superposition des plis

L’opération de descente se poursuivant, le laminage réduira les 3 épaisseurs en une seule, la pièce ainsi obtenue sera défectueuse. Cette configuration la plus simple, appelée « outil simple effet » comprend 2 pièces principales la matrice et le poinçon. On doit donc arrêter l’opération avant le formage de plis trop prononcés pour être résorbés, ce qui limite la profondeur d’emboutissage Une autre solution peut-être envisagée : c’est d’empécher la formation des plis. Pour cela on dispose autour du poinçon une pièce de forme annulaire « S » appelée serre-flan, presse-flan ou bague de pression (blankholder). Cette pièce est amenée au contact du flan avant le début de l’opération et y est maintenue pendant toute l’opération avec une pression appropriée. C’est ce qu’on appelle l’outillage « double effet », le serre-flan assure le contrôle de l’écoulement du métal afin de prévenir la formation de plis sur la pièce finie.

Figure 3 Principe avec serre-flan ou principe double effet

On classe les méthodes de formage selon le mode d’action du serre-flan. La mise en forme est dite par « Expansion » lorsque le métal situé entre la matrice et le serre-flan est bloqué (figure 4 a). Et on parlera de formage par retreint lorsque le métal peut s’écouler pour alimenter la hauteur de la pièce (figure 4 b).

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Figure 4. Formage par expansion (a). Formage par retreint (b)

Pour des méthodes avec outillage double effet, la presse hydraulique est équipée de bras indépendants l’un pour piloter le poinçon , l’autre pour le serre-flan.(figure 5)

Figure 5 : Outillage double effet 2. Données nécessaires pour une opération de mise en forme En plus de la presse et des équipements, les variables nécessaires à connaître pour une opération de mise en forme sont les suivantes :

Epaisseur initiale du flan Rapport d’emboutissage

Le rapport d’emboutissage (rapport entre diamètre du flan sur diamètre du poinçon) pour des pièces axisymétriques, caractérise le changement de forme lors du processus de mise en forme. A ce coefficient est associé le rapport d’emboutissage limite (ou LDP Limit Drawing Ratio) qui définit le rapport maximal entre diamètre du flan sur diamètre du poinçon afin que l’opération de mise en forme puisse se faire sans défaut.

Distance entre le poinçon et la matrice De manière générale cette distance est de 7 à 14 % plus grande que l’épaisseur initiale. Ce choix va influer sur l’épaississement de la coupelle finale. Si cette distance est trop petite, le flan sera percé par le poinçon Remarque : Attention pour la simulation élément finis, cette distance interviendra dans l’algorithme de contact

Rayons matrice, poinçon Les rayons de coins du poinçon et de la matrice sont très importants, s’ils sont trop petits ils vont générer des fissures dans les coins, s’ils sont trop grand, le flan n’épousera pas au mieux la forme des outils et des plis se formeront.

Présence de joncs ou de serre flan

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Les joncs (drawbead) sont utilisés pour controler (réguler l’écoulement du flan dans la matrice, ils sont nécessaire pour la mise en forme de pièces non symmétriques ou de « boite carrée ». Leur influence sur la forme finale est significative comme le montre la figure 6 :

Flan initial (tissus)

Serre flan

Poinçon hémisphérique

Figure 6 Mise en forme par un poinçon hémisphérique

Position of the drawbead

without drawbead

with drawbead

Forme finale du flan avec ou sans jonc Le processus de mise en forme peut être réalisé sans serre flan , sous la condition que le flan soit assez épais afin d’éviter les plis.

Nombre de passes ou d’opérations de mise en forme Certaines pièces (conteneur,…) sont trop difficiles à obtenir en une seule opération de mise en forme, pour celles-ci plusieurs passes sont nécessaires.

Vitesse du poinçon, effort sur le serre flan Attention à l’effort (ou pression) sur le serre flan, une valeur trop forte nécessite un emboutissage (effort sur le poinçon) plus puissant qui peut déchirer les flans de la coupelle, à contrario si la force n’est pas assez élevée des plis peuvent apparaître.

Frottement et lubrification des outils au niveau des interfaces La lubrification des outils au niveau des interfaces de contact permet, à faible effort, d’accroitre la faisabilité de la mise en forme, de réduire l’usure des outils. (évite l’arrachement du métal ; diminue la force résultante due au frottement)

Loi de comportement du flan La loi de comportement du matériau constituant le flan est nécessaire et ce comportement influe sur la qualité (géométrique) de la pièce obtenue.

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2.1. Calcul analytique, détermination des paramètres géométriques et mécaniques pour la mise en forme

En complément de l’apport de la simulation numérique par la méthode des éléments finis des processus de mise en forme (simulation du procédé), un certain nombre de formules et de calculs formels existent qui permettent de déterminer des paramètres technologiques comme la géométrie des outils, la géométrie du flan initial par rapport à la forme finale souhaitée, ou des caractéristiques mécaniques telles que les efforts à appliquer (sur serre flan ou le poinçon) ou le type de matériau à utiliser.

Ainsi on peut trouver dans la littérature un certains nombre de formules (empiriques) déterminant ces paramètres. Le site Internet suivant (http://www.htw-dresden.de/~manufact/ote/tzueb1e.htm) permet ainsi le calcul direct de ces paramètres, à partir des données de l’exemple ci-dessous :

Figure 7 géométrie des outils (a)forme de la coupelle souhaitée (b)

Géométrie des outils La géométrie des outils (tools) requis pour la mise en forme dépend du diamètre et de l’épaisseur du flan, mais aussi du rayon de la matrice et du diamètre du poinçon Le diamètre requis pour la matrice peut-être calculé en utilisant la formule empirique suivante:

rz = die radius s = blank thickness d0 = blank diameter d1 = cup diameter

La distance entre le poinçon et la matrice peut-être calculée par la formule suivante:

u = clearance s = blank thickness x = material factor steel 0,07 aluminum 0,02 nonferrous material 0.04

D’autres calculs analytiques et formules empiriques peuvent être trouvées dans des Fiches Techniques du CETIM 2.2. Comportement des matériaux

Aux différentes étapes de la mise en forme, le flan est soumis à des états de contraintes. Sur la portion A

(figure 8) les contraintes de tensions sont dues aux efforts, pour le flan résultant des parois de la matrice, les contraintes de compression proviennent de la pression du serre flan. Sur la portion B, les contraintes sont

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principalement de tensions longitudinales ce qui produit un allongement principal dans la direction longitudinale (sans changement dans la largeur) et ce par la présence du poinçon.

Figure 8 Quelques modes de déformations principaux pour le matériaux

Les opérations d’emboutissage qui soumettent le métal à des efforts d’allongement et de compression conjugués sont facilités par :

• Une limite élastique aussi basse que possible • Une charge de rupture très éloignée de la limite élastique (ou aussi haute que possible) • Un taux d’alongement très important.

Remarque. L’ensemble de ces caractéristiques définit la plasticité du métal. 2.2.1 Essai de traction sur éprouvette

Une éprouvette est soumise à un essai de traction. Soit L0, la longueur initiale de l’éprouvette, et L longueur de l’éprouvette après rupture. Sur un diagramme effort-déformation (figure 9), on observe les phases successives suivantes :

Figure 9 : Essai de traction

L’allongement relatif A % =100*((L – L0)/ L0) La charge unitaire est le quotient de la charge par la section initiale de l’éprouvette.

• Entre les points O et A une phase élastique où la déformation est réversible • De A à B une déformation permanente homogène, appelée déformation plastique • De B à C la déformation plastique se localise dans une petite portion de l’éprouvette et n’est plus

homogène. C’est la striction. On aboutit à la rupture en C. Le point A est la limite d’élasticité, le point B correspond à la charge maximale et est appelée résistance à la traction ou résistance à la rupture.

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A l’aide des essais de traction, on détermine 2 caractéristiques intrinsèques du matériau : le coefficient d’écrouissage et le coefficient d’anisotropie. Le coefficient d’écrouissage traduit la propriété du matériau à répartir les déformation sur toute la surface du flan, donc à subir la déformation à l’expansion. Le coefficient d’anisotropie normale est défini par le rapport des déformations (en épaisseur et en largeur) d’une éprouvette de traction après sollicitation 2.2.2 Les déformations – Coubes Limites d’emboutissage Si on analyse les déformations intervenant dans une opération d’emboutissage, on détermine 3 déformations principales que l’on peut définir (figure 10) :

Figure 10 : longueurs initiales et finales

ε1 est la plus grande déformation principale dans le plan de l’échantillon :

ε1 = (l1 – l0 )/l0 ε2 est la plus petite déformation principale dans le plan de l’échantillon

ε2 = (l2 – l0 )/l0 Et par définition, on a : ε1 < ε2 ε3 est la déformation principale en épaisseur :

ε3 = (e1 – e0 )/e0 Ces déformations sont additives, et par ailleurs on a la conservation du volume au cours de la déformation, soit :

ε1 + ε2 + ε3 = 0 Considérons le cas de l’emboutissage d’une coupelle (figure 11) :

Figure 11 : déformations principales

Par convention : ε1 sera toujours dans le sens radial ε2 sera toujours dans le sens circonférentiel ε3 sera toujours dans le sens de l’épaisseur. Remarque 1. La seule connaissance de ε1 et de ε2 permet de définir entièrement le système Remarque 2. Le coefficient d’anisotropie normale est définie dans ce cas par r = ε2 / ε3 Si l’on représente (figure 12), en abscisse ε1 et ε2 en ordonnée, on peut déduire les principales sollicitations auxquelles sera soumis un échantillon :

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• Expansion equi biaxiale la droite ε1 = ε2 • Traction plane la doite ε2 = 0 • Traction uni-axiale la droite ε2 = - ((1 + r) / r) * ε1 • Expansion la partie correspondant à ε2 > 0 • Retreint la partie correspondant à ε2 < 0

Figure 12 : courbes limites de formage Chaque région du plan correspond à un type de sollicitation de l’échantillon Les déformations limites rencontrées dans la pratique sont ainsi représentées. Dans le diagramme des déformations principales, l’ensemble des points limites atteints, forme une courbe appelée courbe limite de formage ou FLD (forming Limit Diagram) (Figure 13 pour un acier extra doux de 1 mm d’épaisseur)

Figure 13 Courbe limite d’emboutissage pour un acier extra doux

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La zone entre la courbe de striction et la courbe de rupture, étant la zone critique de déformation, est à éviter pour garantir de bons résultats. 2.2.3 Influence de l’anisotropie sur la faisabilité de l’opération d’emboutissage L’anisotropie du métal est une conséquence des propriétés métallurgiques de la tôle mais aussi du traitement qu’elle a subi, comme par exemple le laminage. Le coefficient d’anisotropie normale est donc définie comme le rapport entre les déformations dans la largeur et les déformations dans l’épaisseur, soit dans le cas de la coupelle (figure 11) r = ε2 / ε3 Cette valeur caractérise la résistance à l’amincissement. Si celle-ci est élevée la déformation dans le sens de la largeur l’emporte sur la déformation dans l’épaisseur. Ce coefficient permet de juger l’aptitude de la tôle à s’opposer à l’amincissement , plus il est élevé plus le métal sera susceptible de subir l’emboutissage profond. Ce coefficient dépend du sens de prélèvement de l’éprouvette. Ainsi, pour caractériser de manière satisfaisante l’anisotropie du matériau, il est nécessaire de la mesurer à 45°, 90 ° et dans le sens du laminage (figure 14)

Figure 14 directions de mesure du coefficient d’anisotropie

On definit alors l’anisotropie normale du matériau par la valeur moyenne de ces 3 valeurs, soit : rav = (r0 + 2r45 + r90)/4 L’influence de l’anisotropie matérielle sur la faisabilité de l’opération de mise en forme est illustrée sur la figure 15, par la courbe rav en fonction du coefficient limite d’emboutissage (LDP : Limit drawing ratio)

Figure 15 : influence de l’anisotropie sur la faisabilité de la mise en forme

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3. Exemples de pièces obtenues par des opérations de mise en forme - Presses

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4. Autres Principes : Rubber forming, hydroformage, aquadraw 4.1. Introduction Les procédés de mise en forme hydromécanique reposent sur une idée déjà expérimentée au début du siècle, mais leur développement et utilisation industrielle n’est cependant que très récent. La caractéristique commune des procédés d’hydroformage est d’utiliser un fluide (contre pression) en lieu et place d’une matrice, supprimant de cette façon des coûts d’outillage sur la partie matrice (60% de gains sur les coûts d’outillage). Les atouts de ce procédé sont cependant plus importants, les procédés de formage hydromécanique permettent d’améliorer l’emboutissabilité des pièces en supprimant le frottement nuisible de la tôle sur la matrice. Ceci permet d’obtenir en particulier :

• Amélioration de l’emboutissabilité • Meilleure répartition des déformations • Amélioration de la qualité des surfaces de la tôle

Dans le même ordre de principe on peut citer le procédé de « Rubber forming » qui consiste à remplacer l’outillage métallique de la matrice par un matériau flexible (caoutchouc, membrane de polyurethanes…). Par le fait que la surface du flan n’est pas en contact avec un métal (surface dure et rigide), elle est protégée de dommages provenant de ce contact 4.2. Différents procédés d’hydroformage 4.2.1. Formage hydomécanique avec membrane Les premières presses spéciales avec lesquelles la pression d’un fluide peut-être appliquée sur la tôle par l’intermédiaire d’une membrane élastique sont apparues au début des années 50. La figure 16 illustre le procédé, on notera le fait que le fluide confiné permet d’appliquer une pression uniformément répartie sur l’embouti. Les pressions atteintes peuvent être très importantes et entrainent l’utilisation de presse hydrauliques de forte puissance. Il est possible de controler les niveaux de pression atteints tout au long du déplacement du poinçon par un système de régulation.

Figure 16 Formage hydromécanique avec membrane

Exemple d’application de simulation numérique du procédé de formage hydromécanique avec membrane Une pression uniforme est appliquée sur une faces de la tôle, cette pression varie en fonction de la course du poinçon. La géométrie est illustrée sur la figure (figure 17) pour le formage d’un dôme. Le modèle numérique conduit sous PAM-STAMP se compose du poinçon et du serre-flan parfaitement rigide, le matériau étant un acier classique d’épaisseur initiale de 0.81 mm.

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Figure 17 : formage hydromécanique avec membrane, géométrie et modèle numérique 3 cycles de pression, fonction de la course du poinçon sont étudiés, correspondant à un niveau de pression faible, moyen et élevé (figure 18).

Figure 18 : Cycles de pression en fonction de la course du poinçon

Les résultats, numériques et expérimentaux sont regroupés dans la figure 19. On constate, hormis une très bonne corrélation avec l’expèrience, que les plis importants obenus à faible pression disparaissent progressivement pour des contre-pressions importantes. Ce résultat illustre une des difficultés de l’emboutissage hydromécanique qui est la définition de la régulation en pression.

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Figure 19 : Comparaison aves les résultats expérimentaux 4.2.2. Formage hydomécanique avec joint d’étanchéité et régulation de pression Ce procédé est illustré sur la figure (figure 20) est se caractérise par un contact direct entre le fluide et le flan, un joint disposé sous le serre flan permet d’assurer l’étanchéité. La contre pression du fluide est engendrée par le déplacement du poinçon et sa valeur est régulée pendant toute la course.

Figure 20 Formage hydromécanique avec joint d’étanchéité et régulation de pression

4.3.Procédé de type AQUADRAW.

Figure 21 Formage hydromécanique de type AQUADRAW

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4.3.1.Principe. Le principe de fonctionnement du procédé d’hydroformage type aquadraw (Figure 21) peut être décomposé en 3 étapes :

Etat initial la cavité matrice est remplie d’eau (eau + émulsion d’huile) et un effort serre flan est appliqué sur la tôle

Etat transitoire : la descente du poinçon provoque la montée en pression dans la cavité qui entraine un soulèvement du serre-flan avec éventuellement formation d’un bourrelet autour du poinçon.

Etat stationnaire : Un film d’eau se crée sous le flan supprimant ainsi tout contact avec la matrice. La création du film d’eau sous le flan (effet AQUADRAW) est l’effet recherché qui permet d’obtenir une bonne qualité de surface (absence de rayures) tout en améliorant l’emboutissabilité. Le système AQUADRAW avec régulation de pression est utilisé au japon pour des pièces de moyenne production comme des phares ou des pièces légères pour l’aéronautique. Pour ces pièces, l’utilisation de ce processus permet d’améliorer la conformité des emboutis et d’optimiser les déformations rendant ainsi possible l’utilisation de tôles aluminium de faible épaisseur. Son utilisation est désormais étendue à la production de pièces automobiles de carosserie. 4.3.2.Formage AQUADRAW d’une pièce axisymétrique. La géométrie des outils d’emboutissage de la pièce modélisée est illustrée sur la figure 22.

Figure 22 : Discrétisation des outils Rayon Matrice 8mm, Rapport d’emboutissage (rapport diamètre du flan sur diamètre poinçon): 2,5 ; Jeu poinçon-matrice : 3 mm. Acier XES épaisseur 1,5 mm, orthotrope Cet exemple permet de mettre en évidence les avantages de l’emboutissage hydromécanique par rapport aux techniques plus classiques. En effet un procédé d’emboutissage classique en une seule phase ne permet pas d’obtenir un tel rapport d’emboutissage (2,2 au maximun pour un acier de type XES). La difficulté réside dans le fait qu’il devient impossible de contrôler l’effort serre-flan de façon d’une part à éviter la rupture et d’autre part éviter la formation de plis sous serre-flan. Ces difficultés sont illustrées sur les figures 23 et 24 par les résultats de simulation d’emboutissage classique pour des efforts serre-flan respectivement de 5 et 6 tonnes. Pour un effort de 5 tonnes des plis apparaissent sous serre-flan à une profondeur de 160 mm. Pour un effort de 6 tonnes, une rupture est obtenue juste après le rayon poinçon pour une profondeur de 110 mm.

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Figure 23 Emboutissage classique Force SF 5 tonnes Figure 24 Force SF 6 tonnes, contours d’épaisseur

formation des plis Ce même exemple est maintenant utilisé pour la simulation en AQUADRAW. L’effort serre-flan est fixé à 20 tonnes et seul un quart de la structure est modélisé, par raison de symétrie du problème. La pression nominale dans la cavité matrice, correspondant à l’établissement du régime AQUADRAW est atteinte après moins de 20 mm de course du poinçon. La figure 25 montre un détail du flan sur le rayon matrice lorsque la pression atteint son maximum. On remarque la formation d’un bourrelet qui disparaît rapidement avec la descente du poinçon. (Pression nominale 410 bars).

Figure 25 : Hydroformage, position de la tôle à la pression maximum

La suppression du contact tôle-matrice permet d’emboutir sans difficulté à une profondeur de 200 mm. La figure 26 montre les répartitions d’épaisseur en fin d’emboutissage.

Figure 26 Hydroformage, contours d’épaisseur-profondeur d’emboutissage 200 mm

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On remarque tout particulièrement que le pic d’amincissement que l’on rencontre en emboutissage classique dans la zone de l’arrondi du poinçon disparaît. Par ailleurs l’effet de l’anisotropie del’acier est très prononcé. Cet effet vérifié expérimentalement s’explique par le fait que les efforts de serrage s’appliquent uniformément sur le flan et ne se concentrent pas dans les régions d’épaississement du flan comme dans le cas d’un emboutissage classique.

Chapitre 2. Interet de la simulation numériques et produits existants 1.Introduction Les moyens de simulation sont un outil de mise au point permettant de réduire le nombre de protoypes et d’essais intermédiaire très couteux. La simulation numérique de procédés de fabrication tel que le forgeage, l’emboutissage, la fonderie, la plasturgie,.. est la suite logique des applications de calculs de structures et est devenue possible grâce à l’évolution des moyens informatiques à bas prix et au développement des algorithmes adaptés prenant en compte les grandes déformations (dans les lois de comportement matériau et les grandes vitesses de déformations mises en jeu) ainsi que le contact entre la pièce et l’outil. Complémentarité entre moyens de calculs et essais en particulier dans la phase de validation. La simulation devient un outil supplémentaire pour l’ingénieur qui permet d’étudier la faisabilité d’une gamme de fabrication et d’obtenir des informations supplémentaires et notamment les déformations plastiques et contraintes résiduelles associées souvent difficiles à obtenir expérimentallement.

ESSAIS

PROTOTYPE

FABRICATION

SIMULATION (E.F.)

CONCEPTION

Figure 27 Simulation éléments finis dans la mise au point d’un produit Les prototypes sont souvent réalisés en résine, surtout pour les outils pour permettre une première adaptation des formes et des passes pour obtenir une pièce conforme en ce qui concerne l’aspect (plis, strictions, rupture) et les formes(côtes fonctionnelles, volumes). 1.1.Couplage Essais-Calculs. L’utilisation des logiciels de calculs passe obligatoirement par une validation à l’aide des résultats d’essais, et des essais sont nécessaires comme :

Caractérisation de la loi de comportement de la tôle, coefficient de frottement Permettent de déterminer les caractéristiques intrinsèques des matériaux ainsi que les coefficients de frottement entre la pièce te les outils qui modifient fortement les résultats obtenus.

Réalisation d’essais de pièces simples et mesure de l’épaisseur de la tôle et de sa variation à différentes sections de la pièce

Pemet la validation du logiciel et en particulier d’affiner les données comme les coefficients de frottement, le jeu entre la pièce et la matrice et les données «numériques » nécessaires au bon déroulement des calculs. En raison de la complexité des algorithmes, il est nécessaire d’opérer le bon choix de certains paramètres qui améliorent la convergence des méthodes.

Réalisation d’essais de pièces réelles et contrôle de sa conformité. La finesse des validations dépend de la capacité des moyens de mesure, sachant que les résultats de calculs sont souvent plus riches et en nombre plus importants que ceux disponibles par des essais. Ces résultats peuvent être résumés comme suivant :

Forme de la pièce Efforts sur les outillages (nécessaire pour le choix des presses) Variation d’épaisseur Distribution de la déformation plastique et des contraintes dans la pièce

19

Détection de la striction, amincissement ou rupture dans la tôle Déformation non désirée, plis …..

En cas de détection d’anomalies de forme ou de ruptures par le calcul, il est nécessaire de modifier soit la gamme, soit les serres-flans, ou les jeux… et de relancer des calculs pour obtenir des résultats satisfaisants. Cette démarche peut-être réalisée dans la phase de dessin de la pièce à l’aide de progiciels de calculs avec un temps de réponse rapide grâce à l’utilisation de méthodes simplifiées. Remarque Intérêt des méthodes simplifiées à ce stade. De nombreuses études (ou stages ingénieurs) ont pour objet de tester des méthodes simplifiées proposées par des logiciels « plus simple » (par exemple sans prise en compte du contact) et d’analyser les résultats obtenus avec ceux fournis par les logiciels éléments finis, pris comme référence (Nastran, Abaqus,…), et ce dans une optique d’étude de faisabilité. 2 .Synthèse sur les logiciels existants Dans les 8 dernières années et en raison de la demande de l’industrie automobile dans le domaine de la simulation des procédés, et en particulier de l’emboutissage de nombreux logiciels ont été développés et sont utilisés par les industriels. Par ailleurs en sus des logiciels ce sont des méthodes de résolution qui se sont améliorées et qui ont abouti soit au développement de logiciels dédiés (pour l’emboutissage, le forgeage, etc….) soit à enrichir les logiciels généralistes (ABAQUS, MARC, ANSYS) d’options permettant de simuler ces procédés. Parmi ces logiciels (généralistes ou dédiés) on distingue 4 catégories de méthodes ou modèles éléments finis :

Méthode simplifiée implicite (modèle coque 3D) Méthode elasto-plastique implicite (modèle coque 3D) Méthode élasto-plastique implicite (modèle 2D ou 3D) Méthode élasto-plastique explicite (modèle coque 3D).

La majorité des logiciels utilise la méthode complète élasto-plastique explicite (méthode 4). Elle est similaire à la méthode de dynamique rapide utilisée dans les logiciels de simulation de Crash. La méthode simplifiée implicite (méthode 1) est basée sur la méthode des éléments finis de coque et plus particulièrement sur l’approche inverse. A partir de la forme finale de la pièce emboutie (forme CAO, maillée), on détermine les positions de points matériels dans la tôle non-déformée. Cette méthode permet d’éviter une procédure incrémentale nécessaire dans une analyse élasto-plastique et dans le traitement du contact. Des calculs sont réalisés en linéaire avec un temps de réponse rapide par rapport aux modèles plus complets (méthodes 2, 3 et 4). Les méthodes 2 et 3 sont très similaires, la méthode 3 étant utilisée dans des applications qui sont plus proches du forgeage que de l’emboutissage. Logiciels généralistes : ABAQUS (standard/explicite), société HKS MARC(implicite et explicite), société Marc Inc ANSYS (implicite et explicite avec Ansys-LSDyna), société Ansys Inc. Logiciels dédiés PAM-STAMP( ESI, PAM-FORM , PAM-CRASH) : explicite LS-DYNA (produits : Dynaform, Fast-Form) : explicite, société Livermore Software Technology Corporation (Dynalis en France) RADIOSS (explicite, Mecalog) Forge2 (Tansvalor, CEMEF) implicite SIMEX (Symtech: approche inverse) ISOPUNCH (Sollac, approche inverse) OPTRIS (Dynamic Software) explicite

20

2.1.Avantages-inconvénients :

On peut citer, portabilité (Unix-PC) et compatibilité (ouverture) avec autres logiciels, soit de CAO, soit en pré-postraitement 3. Exemples d’applications 3.1. Méthodes inverses (Isopunch+Symex) 3.1.1. Principes Le point de départ de la simulation inverse est le modèle élément fini de la pièce emboutie. L’algorithme de la simulation inverse permet à l’utilisateur de déterminer la position des nœuds de la pièce emboutie sur le flan initial. Cette méthode ne prend pas en compte le chemin (ou l’histoire) de la déformation, puisque le chemin de la

21

déformation est approché par des lignes droites. En fait on ne connaît par cette approche les deux configurations extrèmes de la pièce : le flan initial (dont on connaît l’épaisseur, par exemple) et la pièce finale dont on ne connaît pas l’état de contraintes et de déformations Puisque la caractéristique de cette méthode est que le modèle EF est construit à partir de la pièce emboutie, les inconnues sont réparties entre le flan initial de la tôle (résultat du calcul par la méthode inverse) et la pièce emboutie.

Notons que la notion de contact entre la tôle et l’outil est alors pris en compte seulement au travers de modèles simplifiés. 3.1.2. Avantages-Inconvénients Dans les bureaux d’études des informations telles que la direction d’emboutissage, la surface serre-flan, la pression serre-flan ne sont pas définies. A ce stade, on ne cherche pas à prévoir si la pièce est réalisable mais à mettre en évidence les zones qui poseront problèmes lors de l’emboutissage afin d’anticiper d’éventuelles modifications le plus tôt possible dans la chaine de conception. C’est plutôt une analyse géométrique de la forme de la pièce pour estimer les déformations nécessaires à sa mise en forme qu’une réelle simulation du process d’emboutissage. C’est dans cet esprit (méthode plus liée au bureau des conceptions qu’au bureau des calculs) que les méthodes simplifiées ont été développées. Chacune des simplifications (approximation du chemin des déformations et contact) est une source d’erreurs de calculs qui sont estimées de l’ordre de 10 à 15 %. Néanmoins, dans la phase de conception de pièces ce manque de précision peut-être compensé par l’avantage principal de ce type de méthode qui est la vitesse de calcul 3.1.3. Exemples d’Application- Symex (d’autres exemples sont disponibles sur le site Internet de la société SIMTECH)

22

Définition de la forme optimale du serre-flan pour la mise en forme du support moteur de la Laguna (amincissement de la pièce réduit de 20 à 10 %)

Mur arrière de la cabine de l’IVECO de fiat, prévoir les plis et ruptures qui seront éliminer lors de la simulation par la présence de serre-flan

23

Aile de la Safrane, les zones non-tendues qui représentent le principal problème de cette pièce peuvent être éliminées grâce à une répartition appropriée de joncs de retenue

Coupelle de la clio, maillage (~7000 éléments ; ~5000 nœuds, 15 minutes sur une Silicon Graphics par la méthode inverse pour obtenir les variations d’épaisseurs. Epaisseu initiale du matériau 2 mm.

24

3.1.4. Exemples d’Application- Isopunch Développé par Sollac, ISOPUNCH est un logiciel basé sur la méthode des éléments finis utlisant une approche inverse. L’application détaillée ici concerne un tablier de véhicule automobile qui se situe entre le comprtiment moteur et l’habitacle. Réalisé auparavant en acier XES de 0.75 mm, l’objectif est de l’emboutir avec un acier HLE d’épaisseur de 0.4 mm. Précisons qu’il sera nécessaire d’adapter la géométrie car les défauts constatés seront amplifiés par l’utilisation de faible épaisseurs.

La géométrie est récupérée de la CAO, et le maillage réalisé contient de l’ordre de 11 821 éléments.

Les résultats du calcul (qui dure de l’ordre de 5min.) sont le contour du flan initial et les variations d’épaisseurs

25

Ces résultats permettent de mettre en évidence les zones qui poseront problèmes lors de l’emboutissage, soit :

les amincissements conséquents et très localisés pouvant conduire à la striction, et par les valeurs de déformations (qui ne sont qu’approximées) de larges zones en compression qui se

traduiront par des plis Compte tenu de la faible épaisseur et de la nuance d’acier visée, la géométrie est modifiée pour rechercher une meilleure homogénéité (adoucissement des formes) et une nouvelle analyse est effectuée. La comparaison des variations d’épaisseurs entre la géométrie initiale et la géométrie modifiée montre que les modifications vont dans le sens d’une meilleur emboutissabilité.

26

3.2 Exemple avec un logiciel généraliste Exemple avec MARC, dans cette simulation du processus de mise en forme d’un rail en forme de S. Les résultats sont en déformation plastiques permanentes (d’autres exemples sont disponibles sur le site Internet de MARC)

3.3. Comparaison de Logiciels explicites sur la Coupelle twingo. Objectif : Etude lancée par Renault de comparaison des résultats obtenus pour la simulation numérique de la mise en forme de la coupelle avant de la fixation d’amortisseur de la Twingo. Les résultats présentés ont été obtenus avec les logiciels Abaqus, dyna3D, optris, Pam-Stamp et radioss. Tous ces logiciels utilisent une formulation dynamique explicite, ils intègrent les aspects des grandes transformations elasto-plastiques et le contact avec frottement entre la tôle et les outils. La tôle a été modélisée en coques, et les outils sont supposés parfaitement rigides. Les résultats ont été comparés avec des résultats expérimentaux. 3.3.1. Validation expérimentale

Choix de la pièce La coupelle avant de la Twingo a été choisie pour la simplicité de sa définition CAO et la difficulté de son emboutissage. En effet 2 passes ont été nécessaires pour obtenir une pièce conforme au cahier des charges.

La première passe : correspond à la descente de la matrice qui applique dans un premier temps un contre effort pour équilibrer l’effort de serrage de 400 KN. Puis la matrice poursuit sa descente. Deuxième passe : conformation

27

L’opération de conformation correspond au fait que l’embouti est chaussé sur le poinçon de conformation, la matrice descend et imprime à l’embouti sa forme finale.

Essais expérimentaux Pour mesurer les épaisseurs au cours de l’emboutissage la matrice a été stoppée à différentes profondeurs. Ces mesures d’épaisseurs ont été réalisées par ultrasons sur les profils notés P1, P2, C1, C2

Par ailleurs des mesures d’avalement, effort d’emboutissage en fonction de la descente, effort de serrage et vitesse de poinçon ont été réalisés. 3.3.2. Modélisation numérique Le maillage de l’outillage comprend 20754 éléments, cet outillage est considéré parfaitement rigide. Le flan (1.98 mm d’épaisseur) est discrétisé par 9975 éléments coques quadrangulaires.

Il est constitué d’un acier HLE de loi de comportement élasto-plastique, dont les caractéristiques sont les suivantes :

Module d’Young : E=206800 Mpa Coefficient de Poisson Nu=0.29

28

Masse volumique rho=0.782E-05 kg/mm3 Limite d’élasticité σy=276 Mpa Loi d’écrouissage de Swift σ=K(εp +ε0)n

Avec K=624 Mpa, ε0=0.007, n=0.176 Coefficients de Lankford

Frottement modélisé par la loi de Coulomb et un coefficient de 0.15 Chargement : Première passe : on applique une pression sur la surface du serre-flan égale à 0.88 Mpa (qui correspond à un effort de serrage de 400 Kn, cette phase étant suivi par un déplacement imposé de la matrice. La conformation (deuxième passe est obtenue par le déplacement de la matrice jusqu’au Point Mort Bas. La vitesse des matrices est fixée à 10m/s. 3.3.3 Comparaison calcul-expériences

Avalement Figure maillage déformée de la pièce après conformation.

Le contour de l’embouti expérimental est presque confondu avec les contours de l’embouti calculés par les différents logiciels testés. Sur un avalement de l’ordre de 40 mm l’erreur relative entre ces 2 contours est de l’ordre de 5 à 8%.

Ce résultat montre que le contact avec frottement entre la tôle et les différents outillages sont bien gérés par ces logiciels de calcul.

Effort d’emboutissage

29

La figure montre une comparaison entre l’évolution de l’effort d’emboutissage mesuré et ceux calculés. Après la stabilisation de l’effort de serrage tous les logiciels donnent des résultats qui coïncident avec les valeurs expérimentales, sauf en fin d’emboutissage où les écarts deviennent importants. Ce résultat montre que la loi constitutive implémentée dans ces logiciels reflète correctement le comportement de l’embouti en terme de contrainte.

Epaisseurs Comparaison entre les épaisseurs mesurées sur l’embouti de la préforme et celles calculées avec les logiciels

30

Le trait plein indique l’épaisseur initiale de la tôle. Sur les profils P1 et P2 l’erreur relative ne dépasse pas les 5%

31

Sur les 2 profils C1 et C2 l’erreur est plus satisfaisante que sur les profils précédents (inférieure à 5%)

32

Chapitre 3 : Formulation du problème en dynamique et Méthodes d’intégration

temporelle

1. Formulation variationnelle du problème de dynamique et discrétisation 1.1 Equation du mouvement Soit un solide déformable occupant un domaine Ωt à l’instant t et un domaine Ω0 à l’instant t0, soumis à une densité surfacique t sur une partie Γt de sa frontière, la partie complémentaire Γu étant soumise à un champ de déplacement imposé U, le cas échéant une densité de force volumique b peut-être appliquée sur Ωt. (figure)

Γt

Γu

Ω0

Ωt

x3

x2

x1 Les théorèmes généraux de la mécanique des milieux continus conduisent aux équations du mouvement locales. Soit un point M appartenant au domaine, il est repéré par les coordonnées (x, t) dans la configuration courante (soit dans Ωt) et par (X, t) dans la configuration initiale (soit dans Ω0). Si l’on se place dans la configuration courante l’équation locale du mouvement du point matériel M ainsi que les conditions limites et intiales sont alors :

)1(

0tàvv;uuΓsuru

surtndansabdiv

00

u

t

t

====

Γ=σΩρ=+σ

U

r

Où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy et a est l’accélération du point matériel considéré, donnée par :

)2()t,x(ut

a2

∂∂

=

Le problème est un problème continu dont les solutions recherchées sont le champ de déplacement, et les contraintes, on se place dans l’hypothèse où la solution en terme de fonctions est impossible à trouver par résolution du système d’équations différentielles. Si l’on ne peut pas trouver la solution exacte, on utilise une méthode approchée, par exemple la méthode des éléments finis. Pour cela, dans une première étape on va remplacer le système d’equations différentielles initial par une équation intégrale.

33

1.2 Formulation variationnelle On suppose que la solution, en champ de déplacement, du problème initial se trouve dans un espace que l’on appelle cinématiquement admissible. Cet espace regroupe toutes les solutions potentielles du problème, que l’on nommera par η . Dans cet espace (qui est un espace vectoriel) η =0 sur Γu . Soit η un champ de déplacement homogène (potentiellement solution), en multipliant l’équation par η et en intégrant celle-ci sur Ωt , on obtient :

)3(0dV)abdiv(t

∫Ω

=ρ−+ση

En utilisant le théorème de Green:

)4(div)(:).(div x ση+η∇σ=ησon obtient :

)5(adVbdVdV)(divdV)(:t

tt t

x∫ ∫∫ ∫Ω

ΩΩ Ω

ρη=η+ση+η∇σ−

En utilisant le théorème de la divergence, et puisque η =0 sur Γu :

)6(adVbdVdS)t(dV)(:t

tt t

sx∫ ∫∫ ∫

ΩΩ

Γ Ω

ρη=η+η+η∇σ−

L’intérêt d’une équation intégrale réside dans le fait que le domaine d’étude Ωt par la méthode des éléments finis va être remplacé (ou maillé) par un ensemble d’éléments. Chacune des intégrales va pouvoir alors se dissocier en une somme sur l’ensemble des éléments constituant le maillage d’intégrales élémentaires. 1.3 Discrétisation éléments finis. La seconde approximation, dans la méthode des éléments finis (après l’étape de maillage : qui constitue une approximation de la géométrie de l’étude), consiste à approximer le champ de déplacement sur chacun des éléments, c’est à dire pour un élément du maillage, on pose :

ii

ii

a)x(N)x(a

)7(u)x(N)x(u

=

=

Où ui et ai désignent respectivement les composantes du vecteur des déplacements nodaux et les composantes du vecteur des accélérations nodales. Ni(x) étant la matrice des fonctions d’interpolation. Par définition de l’approximation éléments finis, on suppose que le champ de déplacement (respectivement des accélérations) s’écrit comme une approximation polynomiale, dont les inconnues sont les déplacements nodaux (respectivement les accélérations nodales). La méthode des éléments finis conduit à choisir le champ de déplacement test (potentiellement solution) de la même manière, soit :

)8()x(N)x( ii η=η

Le gradient symmétrisé de cette fonction test s’écrit alors :

)9(B))x(( iL

sx η=η∇

où BL désigne la matrice d’interpolation des déformations.

34

Après assemblage sur tous les éléments du maillage, on obtient :

)10(0F)u(FaM extn

intn =−+

où M, Fint et Fext sont respectivement la matrice masse, effort interne et effort extérieur tandis que an et un sont les vecteurs globaux des déplacements nodaux et des accélérations nodales. :

)11(dStNdVbNF

dVBF

dVNNM

e

ete

e

text

e

eL

tint

e

e

t

ee

e

e

∑∫∑∫

∑∫

∑∫

ΓΩ

Ω

Ω

+=

σ=

ρ=

On introduit un terme Cvn pour tenir compte de l’amortissement du système. Cette matrice C étant (le plus souvent) une combinaison linéaire de la matrice masse et de la matrice de rigidité. Dans un cadre plus général on ajoute un terme à l’équation qui représente les efforts engendrés par le contact et le frottement. Si ce terme est noté Fc, l’équation devient alors :

)12(0FF)u(FvCaM cext

nint

nn =−−++ Remarque1 : Le système matriciel obtenu a la taille du modèle élément fini, pour σ (tenseur des contraintes) il est courant d’adopter la notation vectorielle, telle que :

),,,,,( yzxzxyzzyyxxt σσσσσσ=σ

an est un vecteur d’accélération nodale, soit si k est le nombre de nœuds du maillage :

)13()a,a,a,...,a,a,a(a zkykxk1z1y1xt

n = Remarque2 : En statique (on ne l’on parle plus d’équations du mouvement mais de l’équation d’équilibre classique), les quantités temporelles n’ont pu lieu d’être par conséquent les termes d’accélérations et d’amortissement disparaissent. Les inconnues recherchées solution du système initial dépendent des variables d’espace mais aussi des variables temporelles (du temps). C’est un problème couplé mais non linéaire. Par rapport au système d’équations differentielles initial, il faut intégrer sur ces variables d’espace mais aussi sur le temps. La discrétisation du domaine d’étude, via l’étape de maillage, et l’approximation polynomiale des champs de déplacements et accélérations « règle » en quelque sorte l’intégration en espace, par contre ces équations doivent être intégrées en temps. 2. Intégration temporelle des équations de la dynamique. 2.1 Introduction. Il est devenu courant de calculer la réponse de structures soumises à des chargements transitoires. Le résultat est une prédiction de déplacement, vitesse, accélération et de l’histoire des contraintes en fonction du temps aux nœuds et éléments du modèle élément fini. Si le système est linéaire, 2 approches sont disponibles : la superposition modale et l’intégration temporelle directe. La superposition modale emploie l’information fournie par l’analyse modale linéaire et exprime la réponse de la structure en fonction de la série de modes propres, cette méthode est d’une grande efficacité si ce sont les modes à basse fréquence qui sont dominants, par contre elle requiert le calcul d’une partie importante des modes propres si les composantes des fréquences les plus élevées sont excitées par un chargement tel qu’un

35

impact. Par ailleurs elle dispose du désavantage de tronquer la série des modes propres qui est une série infinie ce qui peut entrainer des erreurs importantes sur la réponse. Ces limitations peuvent être aisément surmontées en utilisant les méthodes d’intégration directe, car ces algorithmes ne sont pas limités aux seuls systèmes linéaires. Par contre les paramètres de ces méthodes doivent être ajustés en fonction de la stabilité du schéma et de la précision requise, et notamment le pas de temps. En effet l’opérateur d’intégration temporelle directe est construit par différences finies sur le temps, et le pas de temps est alors un paramètre fondamental ; sa taille est lié non seulement au contenu en fréquences de l’excitation, mais aussi à la discrétisation spatiale en éléments finis, car il est lié à la vitesse de propagation d’une onde dans le maillage élément fini. 2.2 Généralités sur l’intégration directe. Les méthodes d’intégration directe sont basées sur une discrétisation temporelle par différences finies, dont le résultat conduit à approximer les déplacements et les vitesses à l’instant n+1 en fonction des déplacements, vitesses et accélérations aux instants précédents tn, tn-1, tn-2, …., et sur la valeur de l’accélération à l’instant n+1. La forme générale de cette approximation est la suivante :

)14()t...,u,a,v,a,v,u(gatu

)t...,,a,v,a,v(hatv

1n1n1nnnn1n2

1n

1n1nnn1n1n

∆+∆β=

∆+∆α=

−−−++

−−++

Où h est une fonction linéaire des vitesses et des accélérations aux instants précédents tandis que g est une fonction linéaire des déplacements, des vitesses et des accélérations aux instants précédents ; α et β sont des paramètres d’intégration. Chaque forme particulière des fonction g et h détermine une méthode d’intégration particulière, ainsi :

On parle de méthodes d’intégration temporelle à un seul pas si f et g ne font intervenir que des grandeurs à l’intant tn.

Alors que l’on parle de méthodes à pas multiples si dans les fonctions f et g apparaissent des grandeurs autres que les grandeurs à l’instant tn.

Les méthodes d’intégration temporelle directe se divisent en 2 catégories : les méthodes implicites et les méthodes explicites. 2.3 Méthodes explicites. Si dans l’équation (14) les paramètres α et β sont nuls, la méthode est explicite dans la mesure où les déplacements et les vitesses sont calculées en fonction des quantités connues aux instants tn, tn-1, tn-2 . L’équation (14) prend alors la forme suivante :

)15()t...,u,a,v,a,v,u(gu

)t...,,a,v,a,v(hv

1n1n1nnnn1n

1n1nnn1n

∆=∆=

−−−+

−−+

La méthode explicite la plus utilisée dans le calcul des structures en dynamique transitoire est la méthode des différences finies, définie par :

)16(atvtuu

atvv

n2

nn1n

nn1n

∆+∆+=

∆+=

+

+

Et l’équation d’équilibre (12) (sans les efforts de contact) est alors écrite à l’instant tn+1 , soit :

)17(0F)u(FvCaM ext1n

int1n1n1n 1n1n

=−++ ++++ ++

L’accélération à l’instant tn+1 étant calculée selon :

36

)18()F)u(FvC(Ma ext1n

int1n1n

11n 1n1n +++−

+ +−−=++

Dans certaines applications (et donc logiciels) est utilisée une procédure d’intégration légèrement différente, en écrivant l’équation (17) non pas au temps tn+1 mais au temps tn, soit :

)19(0F)u(FvCaM extnn

intnnn n

=−++ Il en résulte que l’accélération l’instant tn est donnée par :

)20()F)u(FvC(Ma extn

intnn

1nn n

+−−= −

Et on termine par le calcul du déplacement et de la vitesse par les relations (16) au temps tn : On peut également utilisé le schéma suivant :

)21(vtuu

atvv

2/1nn1n

né/1n2/1n

∆+=∆+=

++

−+

qui s’avère plus efficace au niveau algorithmique, dans ce cas la vitesse est calculée sur une configuration intermédiaire. Remarque. Les méthodes explicites ne sont pas itératives et la résolution de l’équation (17) devient triviale dans le cas où la matrice de masse est diagonale. 2I.4 Méthodes implicites. La méthode est qualifiée d’implicite si dans l’équation (14) les deux paramètres α et β ne sont pas nuls. Les déplacements, vitesses et accélérations ne sont plus des grandeurs indépendantes. La résolution du système doit se faire en même temps pour les 3 grandeurs, à l’instant tn+1 et par les 3 équations ci-dessous :

)22(0F)u(FvCaM ext1n

int1n1n1n 1n1n

=−++ ++++ ++

)23()t...,u,a,v,a,v,u(gatu

)t...,,a,v,a,v(hatv

1n1n1nnnn1n2

1n

1n1nnn1n1n

∆+∆β=

∆+∆α=

−−−++

−−++

2.4.1.Une méthode implicite à un pas, les méthodes de Newmark. Les méthodes de Newmark sont basées sur le développement limité suivant de la vitesse et du déplacement :

)24()a2a)21((

2tvtuu

)aa)1((tvv

1nn

2

nn1n

1nnn1n

β+β−∆

+∆+=

γ+γ−∆+=

++

++

γ et β sont des paramètres d’intégration, le choix de ces paramètres conditionne la précision et la convergence de la méthode. Selon leurs valeurs on obtient diverses méthodes répertoriées ci-dessous : γ β Méthode explicite de Newmark 0 0 Méthode des différences finies 1/2 0

37

centrales Méthode de Fox et Godwin 1/2 1/12 Méthode de l’accélération linéaire 1/2 1/6 Méthode de l’accélération moyenne 1/2 1/4 Etape de résolution par la méthode de Newmark En posant :

)25(a)

21(tvtuu

a)1(tvv

n2

nn1np

nn1np

β−∆+∆+=

γ−∆+=

+

+

On peut obtenir des équations (24) les expressions des accélérations et des vitesses à l’instant tn+1:

)26()uu(

tvv

)uu(t

1a

1np

1np

1n1n

1np

1n21n

−∆βγ

+=

−∆β

=

++++

+++

En remplaçant an+1 et vn+1 par leurs expressions dans l’équation d’équilibre (22), on obtient :

)27(0F)u(F)uu(Ct

vC)uu(Mt

1)u(R ext1n

int1n

p1n1n

pp21nD 1n1n1n

=−+−∆βγ

++−∆β

= +++++ +++

Cette équation n’est que fonction de l’inconnue up

n+1 (par sa définition (25) vpn+1 s’exprime qu’en fonction de

quantité à l’instant tn, donc des quantités connues), par contre elle est non-linéaire, il est donc nécessaire d’utiliser un schéma de résolution de type Newton-Raphson pour la résoudre. Le schéma de Newton-raphson consiste (briévement) à itérer jusqu’à minimiser le résidu RD(u n+1), c’est à dire à résoudre par une succession d’itérations (dénotée par un exposant i) l’équation suivante:

)28()u(Ru)))u(R(u

( 1ni

D1ni

uuD 1ni ++=

−=∆∂∂

+

La résolution de l’équation (28) conduit à la correction des déplacements, et on déduit des équations (26) les corrections des vitesses et des accélérations. Remarque.

Les méthodes implicites nécessitent donc la linéarisation de l’ensemble des équations non linéaires du mouvement, qui conduit à une suite d’équations résolues itérativement afin d’asssurer l’équilibre du système à l’instant considéré.

A l’oppposé les méthodes explicites ne nécessitent pas cette linéarisation, et permet d’obtenir une succession d’équations découplées. La résolution, en terme de temps de calcul est donc négligeable par rapport au temps nécessaire pour résoudre le système fortement couplé du système d’équations des méthodes implicites.

2.5 Stabilité- Comparaison des schémas implicites, explicites. 2.5.1 Exemple unidimensionnel. Méthode explicite. Soit un système masse-ressort, constitué d’une masse, noté m, d’un ressort de rigidité k et soumise à un effort extérieur F(t) (système à un degré de liberté):

38

F(t) mk

L’équation du mouvement est :

tdxdm 2

2

+

Soit l’axe de discrétisation en temps suivant ∆tn

tn-1/2

tn tn-1

Supposons que l’on connaisse les quantitésL’équilibre dynamique à l’instant tn s’écrit :

)tdxd(m n2

2

Comme les quantités au second membre d(d2x/d2t)n et appliquer le schéma aux différen

ddx(txx

)dtdx()

dtdx(

kxF(m)tdxd(

2/1nn1n

2/1n2/1n

n1

n2

2

∆+=

=

−=

++

−+

−

On montre que le schéma est conditionnellem

km2t n <∆

Où m est la masse nodale, k la rigidité ouconsidéré. Remarque1.Attention au choix de ∆t, soit :

tttttt

n1n2/1n

2/1n2/1nn

−=∆−=∆

++

−+

Remarque2. Equivalence avec un système d’

(Fxk =

:

tn+1

∆tn+1/

xn et (d

kxFn−=

e l’égalices cent

)t

dd(t

)

2/1n

n

n

∆+

+

ent stab

)32(

l’effort

)33(

une barr

)29()t

temps t

/2

tn+1

2

x/dt)n-1/2. Les quantités recherchées sont xn+1 et (dx/dt)n+1/2.

)30(n

té sont connues, on peut résoudre l’équation (30) obtenir rées, soit :

)31()tx

n2

2

le si :

nécessaire pour obtenir un déplacement unitaire au nœud

e à 2 noeuds (1 degré de liberté) :

39

Soit une barre de longueur L, de section S, constitué d’un matériau de Module Young E et de masse volumique ρ; la rigidité axiale (équivalence avec la rigidité d’un ressort) est k=ES/L. Le nœud extrémité de la barre a une masse nodale m telle que : m= ρ SL/2

Barre Masse-ressort

E, S, ρ, L

Le critère de stabilité de la solution s’écrit alors dans ce cas (et valable que pour une barre) :

)34(cL

EL

EL

km2tt c =

ρ

=ρ

==∆<∆

Où l’on définit par c la vitesse du sound dans le matériau constituant la barre :

)35(Ecρ

=

Exemple pour une barre en acier , de longueur L=10 mm, E= 2.1011 N/m2 , ρ = 7.8 103 kg/m3 :

∆tc = 2 µs Les pas de temps en explicite doivent être petits (de l’ordre de µs) et par ailleurs on voit que la condition de stabilité du schéma dépend de la taille des éléments. Pour des éléments massifs, L est une longueur caractéristique de l’élément. *Pour des cubes à 8 nœuds cette longueur caractéristique est définie par : Le = Ve/Amax Où Ve est le volume de l’élément et Amax la surface maximale parmi toutes les faces. *Pour un tétraèdre à 4 nœuds Le est l’altitude la plus petite. *Pour une coque Le est calculée de la manière suivante :

)L)1(,L,L,Lmax(A*)1(L

4321e β−

β+=

où A est la surface, β=0 pour une coque à 4 nœuds, β =1 pour une coque à 3 nœuds, et Li désigne la longueur des arètes. Pour la définition du pas de temps, il y a une boucle afin de définir le minimun sur tous les éléments de ce pas de temps élémentaire, minimun qui sera pris comme pas de temps. 2.5.2 Exemple unidimensionnel. Méthode implicite. Considérons la même équation différentielle :

)36(Fxktdxdm 2

2

=+

40

Et l’espace de discrétisation en temps comme suit :

tn-1 tn tn+1 temps t Si l’on connaît les quantités xn et (dx/dt)n. Les quantités recherchées sont xn+1 et (dx/dt)n+1. L’équilibre dynamique à l’instant tn+1 s’écrit :

)37(Fkx)tdxd(m 1n1n1n2

2

+++ =+

Où xn+1 est inconnue. Une résolution directe pour (d2x/d2t)n+1est impossible. On peut par conséquent utiliser le schéma suivant et substituer soit :

)39(t

))dtdx()

dtdx((

)tdxd(

et

)38(t

)xx()dtdx(

n1n

1n2

2

n1n1n

∆

−=

∆−

=

+

+

++

Soit en substituant (38) dans (39), obtenir :

)40()t(

)xx2x()tdxd( 2

1nn1n1n2

2

∆−−

= −++

En remplaçant dans l’équation (37) :

)41()xx2()t(

mFx)k)t(

m( 1nn21n1n2 −++ −∆

−=+∆

Ces équations peut-être résolues pour les déplacements inconnus au temps tn+1 ,

)42())xx2()t(

mF()k)t(

m(x 1nn21n1

21n −+−

+ −∆

−+∆

=

Les autres variables étant obtenues par les relations (38) et (39): Ce schéma étant indépendant de la valeur de ∆t, il est appelé inconditionnellement stable. 2.5.3 Comparaison Méthode implicite-explicite. De manière classique, l’intervalle de temps, ∆t, doit être 100 à 1000 fois supérieure dans une analyse implicite que dans une analyse explicite. Dans le cas général (hormis le cas d’1 ddl), k et m sont des matrices, soit notées [k] et [m] : Autant [m] peut-être diagonale, [k] n’est en pratique jamais diagonale Une analyse implicite nécessite l’inversion de matrice où [k] apparaît au dénominateur. Par ailleurs la solution d’une suite d’équations non-linéaires nécessite des itérations et un critère de convergence.

41

Alors qu’une analyse explicite ne nécessite ni itérations, ni inversion de matrice. Par contre les méthodes implicites peuvent résoudre des problèmes statiques (abus de langage).Dans ce cas on ne parle bien évidemment pas de dépendance temporelle mais de réactualisation des quantités inconnues d’un incrément à l’autre. (taille des incréments remplace la notion de taille de pas de temps) Le tableau suivant compare les avantages et inconvénients des méthodes implicites et explicites

Explicite Implicite Phénomènes Physiques Dynamique transitoire rapide

Réponses oscillatoires Chargement dynamiques élevés et

comportement fortement non-linéaire

Problèmes statiques ou dynamique lente

Réponses aux fréquences basses Chargement simples et

comportement modéremment non-linéaire

Taille du pas de temps petit Elevé (facteur 100 ou 1000) Inversion de Matrice Simple pour des matrices de masse

diagonale Inversion obligatoire de la matrice

de rigidité Itérations non oui

A contrario des méthodes explicites, qui semblent idéales par rapport à ce tableau, il faut insister sur le problème de la stabilité et notamment vis-à-vis de la taille des éléments ce qui nécessite leplus souvent des maillages très raffinés afin d’avoir des éléments très petits. 2.6 Organigramme récapitulatif, PAM-Stamp, méthode explicite.

tn-1/2 tn+1/2

fen

tn+1

xn+1 vn+1/2 an

fin

σn σn-1

xn

εn-1/2

vn-1/2

∆tn-1/2

∆tn temps t tn-1

tn

∆tn+1/2

42

Légende : Résultats t : temps, ∆t, incrément de temps, x position, v : vitesse, a l’accélération, ε déformations, σ : contraintes, fi : effort interne et fe efforts extérieurs. Remarque le passage de σn à σn+1 n’a pas été détaillé pour le moment, on y reviendra dans le chapitre comportement.

43

44

Chapitre 4 : Eléments finis de coques pour la simulation des procédés 1. Eléments Finis de Coques. 1.1 Introduction

Les problèmes complexes sont encore longs (en terme de temps de calculs) à traiter par la simulation numérique il est par conséquent nécessaire lorsque l’on veut faire des simulations d’envergure d’utiliser des éléments à bas degré d’interpolation (Triangle P1, élément Q4, etc…). Mis en sus de l’utilisation de ces éléments, il est nécessaire d’y associer des techniques particulières par exemple à intégration réduite. 1.2 Rappels sur les éléments finis, application aux éléments finis de coques. On appelle éléments isoparamétriques quand les coordonnées spatiales et le champ de déplacements sont interpolées par les mêmes fonctions d’interpolation, soit :

)1(x)s,r(Nx

u)s,r(Nui

i

ii

=

=

Où r,s sont les coordonnées dans les l’élément de référence, Ni sont les fonctions d’interpolation, ui et xi sont respectivement les composantes nodales du vecteur déplacement et du vecteur position du nœud i. Les champs de vitesses et d’accélérations sont approximés de la même manière, soit :

)2(a)s,r(Na

v)s,r(Nvi

i

ii

=

=

La discrétisation par éléments finis, dans une formulation en déplacement, en dynamique transitoire, consiste à utliser une approximation nodale, les inconnues du problème sont les valeurs nodales des composantes des vitesses et des accélérations. La discrétisation conduit (cf chap.2) à :

)3(0F)u(FvCaM extn

intnn =−++

où M, Fint et Fext sont respectivement la matrice masse, effort interne et effort extérieur tandis que an et un sont les vecteurs globaux des déplacements nodaux et des accélérations nodales. :

)4(dSNtdVbNF

dVBF

dVNNM

e

ete

e

text

e

eL

tint

e

e

t

ee

e

e

∑∫∑∫

∑∫

∑∫

ΓΩ

Ω

Ω

+=

σ=

ρ=

1.2.1 Hypothèses de Mindlin/Reissner

Dans les cas traités de mise en forme on travaille en 3D, par contre le flan dispose souvent d’une géométrie telle que ses dimensions dans le plan sont nettement supérieure à l’épaisseur, on utilise une hypothèse de coques. Ces hypothèses sont les suivantes :

45

L’épaisseur de la coque est une fonction de x,y et z est compris entre –t/2 et t/2 Les sections intiallement droites et orthogonales au plan moyen, restent droites mais pas forcément

orthogonales au plan moyen. La vitesse transverse ne varie pas au travers de l’épaisseur.

1.2.2 Géométrie La position d’un point M est définie à partir de la position du point associé sur la surface moyenne de la coque et de sa position sur le vecteur pseudo-normal X. (ce vecteur est définie en chaque noeud pour assurer la description de l’élément de la surface), soit :

)5()M(X2h)H(x)M(x ξ+=

M

H

ξ = −1

ξ = 1

ξ = 0

X

Surface moyenne

1.2.3 Cinématique et taux de déformations Le déplacement du point M de la coque est la somme du déplacement du point correspondant sur la ligne moyenne H et du déplacement résultant de la rotation de la pseudo-normale, soit :

)6(MH)H(u)M(u θ∧+= Remarque. Dans le cas des méthodes explicites le pas de temps est choisie petit, le champ de déplacement est associée au champ de vitesse via ce facteur de pas de temps. La cinématique est donc définie par :

φφ ),(rotationsdevitessesdes

)V,V,V(nstranslatiodevitessesdes

yx

zyx

En suivant ces hypothèses, on montre que le champ de vitesse de n’importe quel point M d’un élément de coque est :

)7()y,x(V)z,y,x(V

)y,x(z)y,x(V)z,y,x(V

)y,x(z)y,x(V)z,y,x(V

0zz

x0yy

y0xx

=

φ−=

φ+=

où Vx0,Vy0, V z0 , sont les vitesses de translations du plan moyen et φy et φx les vitesses de rotations du plan moyen :

46

Les composantes des taux de déformations étant défini par :

)8()xv

xv

(2/1di

ji

j

iij ∂

∂+

∂∂

=

ces composantes sont alors égales:

)9(

d2d2

d2d2

zd2d2

zddzdd

0xzxz

0yzyz

xy0xyxy

yy0yyyy

xx0xxxx

=

=

κ−=

κ−=κ−=

Avec :

)10(

xv

d2

yv

d2

xv

yv

d2

yv

d

xv

d

yz

0xz

xz

0yz

yx0xy

y0yy

x0xx

φ+∂∂

=

φ−∂

∂=

∂

∂+

∂∂

=

∂

∂=

∂∂

=

Qui représentent les taux de déformations du plan moyen de la coque, et :

)11(

)xy(

y

x

xyxx

xyy

yxx

∂φ∂−∂φ∂−=κ

∂φ∂=κ

∂φ∂−=κ

Qui sont les vitesses de courbures (dûes aux rotations) du plan moyen.

47

On peut écrire ces quantités sous forme de matrice des vitesses de déformations (au niveau d’un élément), comme suit (en adoptant la notation vectorielle) :

flexionntcisaillememembrane

)12(),,;d2,d2;d2,d,d( xyyyxx0xz0yz0xy0yy0xxT κκκ=ε

Remarques : L’hypothèse de coques reposent sur le fait que σzz =0 , dans le cas de matériau élastiques isotrope, on

peut en déduire les déformations dans la dimension de l’épaisseur par :

)13()(1 yyxxzz ε+ε

ν−ν

−=ε

Dans le cas de coques très fines les déformations de cisaillement transverses sont négligeables :

)14(0yzxz ≅ε=εAssociée à la matrice des contraintes, on calcule les efforts résultants sur l’élément par :

flexionntcisaillememembrane

)15()m,m,m;f,f;f,f,f(f xyyyxxxzyzxyyyxxTe =

Avec :

x

z

y

fxy

fyy

fyy

fxx

fxx

)16(

dzf

dzf

dzf

2/t

2/txyxy

2/t

2/tyyyy

2/t

2/txxxx

σ=

σ=

σ=

∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

fxx, fyy, fxy représentent les efforts normaux (ou de membrane, dans le plan)

48

fxz

fyz

x

z

)17(dzf

dzf

2/t

2/tyzyz

2/t

2/txzxz

σ=

σ=

∫

∫+

−

+

−

y

fxz, fyz représentent les efforts de cisaillement transverses

z

x

y

myy

myy

mxx

)18(

dzzm

dzzm

dzzm

2/t

2/txyxy

2/t

2/tyyyy

2/t

2/txxxx

σ=

σ=

σ=

∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

mxx

mxz, myz représentent les moments résultants. σij, désignent les composantes du tenseur des contraintes. Ces composantes des efforts sont calculées le long de l’épaisseur de la coque. L’intégrale est approximé sur le nombre de points d’intégration choisi dans l’épaissseur. 1.2.4.Element de coque à 4 noeuds Les éléments de coques à 4 nœuds s’appuient sur les notions théoriques développées ci-dessus (champ de déplacement, et champ de déformations), soit Mindlin/Reissner théorie

N3(1,1)

N2(1,-1) N1(-1,-1)

N4(-1,1)

s

r

N2 N1

N3N4

z

y

x

L’équation (1) pour les coordonnées spatiales, correspond à dire que pour n’importe quel point M (x,y,z) appartenant à l’élément fini, ses 3 coordonnées s’écrivent de la manière suivante, en fonction des 12 coordonnées nodales, et fonction d’interpolation bilinéaires Ni :

)19(

zyx

zyxzyx

N00N00N00N000N00N00N00N000N00N00N00N

zyx

4

4

4

2

2

2

1

1

1

4321

4321

4321

=

M

49

Les fonctions d’interpolations sont les suivantes :

)20(1s1et1r1avec

)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N

4

3

2

1

<<−<<−

+−=++=−+=−−=

Remarque. Cet élément quadrangulaire à 4 nœuds est utilisé en 2D. De même il existe des éléments de coque sur une géométrie triangulaire (avec des fonctions d’interpolation linéaire). Cet élément dispose d’un point d’intégration dans le plan, et d’un nombre variable (choisie par l’utilisateur) de points d’intégration à travers l’épaisseur de l’élément. En chaque nœud : 5 inconnues (ou degré de liberté) :

Vitesse de translation : (Vx, Vy, Vz) Vitesse de rotation : φx, φy

Conformément au schéma explicite utilisé on recherche les quantités suivantes :

Position (x, y, z) à l’instant tn+1…. Vitesses, soit (Vx, Vy, Vz, φx, φy) à l’instant tn+1/2….

Le vecteur élémentaire inconnue est constitué des inconnues nodales (vitesses) , soit:

)21(),,v,v,v,....,,,v,v,v(u 4y4x4z4y4x1y1x1z1y1xT φφφφ=

Comme l’élément est isoparamétrique le champ de déplacement (vitesse : termes de rotation et de translation) recherché de n’importe quel point M appartenant à l’élément, s‘écrit à l’aide des mêmes fonctions d’interpolations et des 20 inconnues nodales (5 ddl/nœuds* 4 nœuds):

)22(

NNNNNNNN

vNvNvNvNv

vNvNvNvNvvNvNvNvNv

4y43y32y21y1y

4x43x32x21x1x

4z43z32z21z1z

4y43y32y21y1y

4x43x32x21x1x

φ+φ+φ+φ=φφ+φ+φ+φ=φ

+++=

+++=+++=

C’est à dire sous forme matricielle:

[ ]( )

[ ] ( ) 1x20:uet20x5:Navec

)23(uNv

vv

y

x

z

y

x

=

φφ

Les fonctions d’interpolations dans les expressions (23) ou (24), sont évalués au point d’intégration dans le plan. 1.2.5 Définition du repère local à l’élément

50

Précisons par ailleurs que les calculs élémentaires sont conduits dans un repère local à l’élément défini de sorte à ce que les hypothèses de coques (Mindlin/Reissner) soient valables.(le repère se déformant avec l’élément, on peut faire l’analogie avec un treillis de barres en tarction-compression). Dans PAM-STAMP, ce repère local est calculé dans une phase d’initialisation, ou plutôt la matrice de passage qui permet de passer des quantitées exprimées dans le repère global à ces mêmes quantitées dans le repère local. Pour PAM-STAMP le système de repère local à la coque est défini comme suit :

N2

N3 N4

N1 e1

xl

e2

yl

zl

e3

xg

zg

yg

(xg, yg, zg) représentant le repère global (dans lequel sont fournis les coordonnées des nœuds), le repère local à l’élément est défini par (e1, e2, e3) , 3 vecteurs de base pour des coordonnées locales (xl, yl, zl).(indice l pour local) Dans ce repère N1 est le point d’origine (donc en coordonnées locales, x1, y1 , z1 =0) (e1, e2, e3) sont calculés de la manière suivante, avec la notation que (N1N2) représente le vecteur entre les nœuds N1 et N2 :

)24()4N2N()3N1N()4N2N()3N1N()e( 3MM ∧

∧=

)25()e))(e).(2N1N(()2N1N()e))(e).(2N1N(()2N1N(

)e(33

331

MM −−

=

et

(e2) = (e3) ^ (e1) La matrice de passage R entre le repère local et le repère global est constitué des composantes des vecteurs de cette base, et par conséquent :

[ ] )26(zyx

Rzyx

g

T

l

=

1.2.6 Calcul des déformations dans le repère local de l’élément. Le calcul des taux de déformation se fait dans le repère local à l’élément (pour satisfaire hypothèse de coques) Le calcul des déformations implique l’évaluation au point d’intégration des dérivées des fonctions d’interpolation, soit d’après la relation (10) et par exemple :

51

)27(v)xN(v)xN(v)xN(v)xN(

)vNvNvNvN(xxvd

4x43x32x21x1

4x43x32x21x1x0xx

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+++∂∂=∂∂=

Le point d’intégration dans le plan (et sur la surface moyenne) est au centre de l’élément, soit dans l’élément de référence à la position : r=s=0 En ce point, les fonctions d’interpolations prennent la valeur : N1 = N2 = N3 = N4 = ¼ Et leurs dérivées prennent les valeurs suivantes :

)28(

4/1s/N4/1s/N

4/1s/N4/1s/N4/1r/N

4/1r/N4/1r/N

4/1r/N

4

3

2

1

4

3

2

1

=∂∂=∂∂

−=∂∂−=∂∂−=∂∂

=∂∂=∂∂−=∂∂

Pour calculer dxx0 dans l’expression (27), détaillons le calcul du premier terme :

)29()xN(B 111 ∂∂=

)30(y/Nx/N

s/ys/xr/yr/x

s/Nr/N

1

1

1

1

∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

Soit en posant J le déterminant de la matrice Jacobienne (transformation géométrique entre l’élément traité et l’élément de référence), et en inversant la relation (30), on obtient :

)31(s/Nr/N

r/xs/xr/ys/y

)J/1(y/Nx/N

1

1

1

1

∂∂∂∂

∂∂∂∂−∂∂−∂∂

=

∂∂∂∂

Avec J déterminant de la Jacobienne. Remarque L’élément considéré est un élément de coque à 4 nœud qui dispose d’un point d’intégration au centre de l’élement (qu’on appelle point de Gauss). On montre dans ce cas que J=1/4A, A étant l’aire de l’élément.(ou A=4J) (cf paragraphe 3 de ce même chapitre) Or au point d’intégration considéré (r=s=0)

)32(4/1s/N4/1r/N

1

1

−=∂∂−=∂∂

Par conséquent :

52

)33()s/yr/y(J/1)xN(B 111 ∂∂−∂∂=∂∂=Or d’après l’interpolation géométrique en position (19) et puisque ces quantitées sont exprimées dans le repère local de l’élément (pour lequel N1 est l’origine, x1, y1 , z1 =0) :

)34(yNyNyNyxNxNxNx

443322

443322

++=++=

Par conséquent :

)35()yy)(A2/1()xN(B 42111 −=∂∂= 2. Récapitulatif des Etapes. Schéma de Résolution. Dans la phase de résolution le programme dispose d’une boucle externe sur les cycles de temps, qui s’incrémente et s’arrète au temps déterminé par l’utilisateur. Les caractéristiques de cette phase sont entre autre:

L’utilisation d’un schéma explicite pour l’intégration en temps. La définition d’un pas de temps stable : ∆t

Dans cette boucle un certains nombre d’opérations est réalisé qui peut dissocié en des opérations sur les quantité nodales (aux nœuds ou plus spécifiquement qui concernent les degré de liberté) et qui sont calculées dans une boucle sur chacun des nœuds de l’élement, et des quantités élémentaires qui tournent sur les éléments. 2.1 Opération sur les nœuds. Dans cette boucle à partir de la connaissance des efforts internes et externes au temps tn, les opérations aboutissent à la détermination des coordonnées au temps tn+1 et des vitesses au temps tn+1/2 . Un incrément de temps pour l’élément stable ayant été déterminé par :

)36()3t

L,1min(cLkt e =∆

Où L est une longueur caractéristique de l’élément, c la vitesse du son dans le matériau (=(E/ρ)1/2), k un coefficient et t l’épaisseur. Cette formule exprime le fait que le pas de temps dans l’élément doit être plus petit que le temps mis par une onde (de compression ou de flexion) pour traverser l’élément. Pour les opérations sur les nœuds, on dissocie les quantitées calculées pour les 3 ddl de translations des quantités calculées sur les 2 ddl de rotation

(1) Efforts nodaux. En dissociant les composantes des efforts qui portent sur les ddl de translations (effort) et celles qui portent sur les ddl de rotation (moments), on somme sur ces ddl les efforts internes et exterieurs, soit

)37(mmmetfff inextninextn −=−= (2) Calcul des accélérations et des termes de rotations

)38(etm/fa nnn α=(3) Impose les conditions aux limites où il y en a :

)39(0et0a nn =α=

(4) Mises à jours des vitesses (translations et rotations) par différences centrées :

53

)40(tettavv nn2/1n2/1nnn2/1n2/1n ∆α+φ=φ∆+= −+−+

(5) Mises à jour de la position

)41(tvxx 2/1n2/1nn1n +++ ∆+= (6) Calcul de l’énergie cinétique , à l’aide des vitesses v, de la masse m, du tenseur principal d’inertie et des

rotations

)42()()(I)2/1()v()v(m)2/1(E TT2/1n

C φφ+=+

Remarque. Les quantités comme l’accélération sont calculées dans le repère global (pour lequel l’équation du mouvement à un sens), par contre pour les termes de rotation, ils sont calculés dans le repère principal d’inertie (étape non détaillée), puis retransformer dans le repère global (via des matrices d’inertie). 2.2 Opération sur les éléments. Les opérations sur les éléments sont réalisées au sein d’une boucle sur l’ensemble des éléments à l’intérieur de laquelle, les étapes sont les suivantes dans le cas d’un élément coque à 4 nœuds :

(1) Calcul du pas de temps stable pour l’élément, à partir de la connaissance des positions des nœuds (xn+1), calcul de la longueur caractéristique de l’élément L et calcul du pas de temps stable (formule (37))

(2) Mis à jour du système du repère local à l’élément, à partir de la connaissance des positions des nœuds (xn+1), Calcul du nouveau repère local (formules (24) et (25)) et de la matrice de passage R n+1

(3) Transformations des quantités nodales dans le repère local de l’élément.Tansforme les coordonnées xn+1, les composantes de translations des vitesse vn+1/2 et les composantes de rotations φn+1/2 dans le repère local de l’élément, par :

[ ] )43(zyx

Rzyx

g

T

l

=

[ ] )44(

v

vv

R

v

vv

gz

y

xT

lz

y

x

=

(4) Définition des vitesses nodales de l’élément. On définit un matrice unicolonne de longueur 20 (4

nœuds, 5 ddl/nœud) :

)45(),,v,v,v,....,,,v,v,v(u 4y4x4z4y4x1y1x1z1y1xT φφφφ=

(5) Vitesse de la surface moyenne. Les vitesses en chaque point d’intégration du plan moyen de la coque

sont obtenues (dans le repère local) en fonction des vitesses en chaque nœud, par :

[ ]( )

[ ] ( ) 1x20:uet20x5:Navec

)46(uNv

vv

y

x

z

y

x

=

φφ

54

Où [N] est la matrice d’interpolation constituée des valeurs des fonctions (bilinéaires) d’interpolation de l’élément au point d’intégration considéré.

(6) Calcul des vitesse de déformation du plan moyen (ε0) (formule 12). Les vitesses de déformation de la

surface moyenne de l’élément (dans le repère local) sont obtenus par :

1x2020x55x81x8)47()u()N()()( 0 β=ε

avec β-opérateur donné par :

)48(

y/x/0000y/000

x/000010x/00

01y/00000x/y/

000y/00000x/

∂∂−∂∂∂∂

∂∂−∂∂

−∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

=β

(détail des opérations données par les formules de (27) à (35))

(7) Mise à jour de l’épaisseur de l’élément. A partir des vitesses de déformation de la surface moyenne de l’élément, remise à jour de l’épaisseur, grâce à l’hypothèse de contraintes planes :

)49()t1(h)h( 2/1nzz0n1n ++ ∆ε+= Avec:

)50()1/)(( xx0yy0zz0 ν−νε+ε−=ε

(8) Calcul du taux de déformation de vitesse . A partir des vitesses de déformation de la surface moyenne et de la coordonnée en z, calcul du taux de déformation Dn+1/2, en chaque point d’intégration de l’épaisseur par les formules (9). (calculé dans le repère local de l’élément)

(9) Calcul des contraintes au point d’intégration. En chaque point d’intégration on cherche à obtenir à partir de la connaissance de : Dn+1/2 et σn, les nouvelles quantités σn+1.

Remarque Dans la formulation classique en petite déformation, les contraintes sont reliées aux déformations par l’intermédiaire de la matrice de rigidité :

[ ] [ ][ ]ε=σ C Dans le domaine des grandes déformations, 2 options sont possible :

[ ] [ ][ ]εεσ=σ ,(Cou

55

[ ]

∂ε∂

εσ=

∂σ∂

t,(C

t où la matrice de rigidité est non-linéaire. Ces formulations sont appelées lagrangien total ou lagrangien réactualisé, où l’une utilise une mesure des contraintes et des déformations et l’autre des dérivées temporalles des contraintes et des déformations. Ces choix nécessitent la connaissance du comportement (C). dans Pam-Stamp est utilisé l’option en lagrangien réactualisé et la réactualisation des contraintes se fait par :

)51(t)D)(C()( n2/1n2/1n1n σ+∆=σ +++

(10) Calcul de l’énergie interne. Par :

∫ ∫ σ∆=A t

int )52(dtdAtDdE

et

)53(dEE intt

int ∫=

(11) Calcul des résultantes des contraintes . A partir de la connaissance des composantes des contraintes,

on calcule les composantes, à travers l’épaisseur, des efforts résultants pour l’élément, notés fet (formules 15 à 18)

(12) Calcul des efforts nodaux pour l’élément. On intègre dans le plan de l’élément, les efforts résultants pour des efforts nodaux, soit :

)1x8()8x5()5x20(1x20

)54(dA)f()()N(f et

A

t β= ∫

Pour un point d’intégration dans le plan, cette expression devient :

)55()m,m,f,f,f,...,m,m,f,f,f()f(avec)f()()N(A)f(

4yy4xx4zz4yy4xx1yy1xx1zz1yy1xxt

ett

=

β=

(13) transformation des efforts nodaux dans le repère global.

[ ] )56(

f

ff

R

f

ff

lzz

yy

xx

gzz

yy

xx

=

et

[ ] )57(

0

mm

R

m

mm

l

yy

xx

gzz

yy

xx

=

(14) Assemblage. On somme les contributions provenant de tous les éléments pour chacun des nœuds.

56

3. Influence des modes de Hourglass

Pour le calcul des intégrales (ou des dérivées, par exemple, calcul des déformations), sont utilisées des méthodes numériques approchées, comme la méthode Gauss, où les dérivées (respectivement les intégrales) d’une fonction ne sont calculées qu’à partir de la valeur de la fonction en un nombre réduit de point (appelé point de gauss). 3.1 Rappel de la méthode de Gauss pour l’intégration sur un volume. Si g est une fonction définie sur un volume V d’un élément, et n le nombre de points d’intégration dans cet élément, on note par J, le Jacobien de la transformation géométrique entre l’élément concerné et l’élément de référence, dans le repère (r,s,t) ; l’intégrale de g sur V :

∫ ∫ ∫∫ −− −

=1

1

1

1

1

1V

)58(gJdrdsdtgdV

est approximé par :

)59(wwwJg lkj

n

1j

n

1k

n

1ljkl∑∑∑

= = =

où wj, wk, wl sont des poids pondérateurs et :

)60()r,r,r(gg lkjjkl = valeur de la fonction g au point considéré. Application au Jacobien de la transformation entre un élément de coque à 4 nœud et l’élément de Référence : L’élément de coque à 4 nœud dispose d’un point de Gauss, sa surface A est définie par :

)61(wJwdrdsdAA1

1

1

1

1

1i

1

1j21

A∫ ∫ ∑∑∫ −

− = =

===

Or Pour 1 point de Gauss w1=w2=2, par conséquent A=4*J 3.2 Calcul des déformations pour un élément quadrangulaire à 1 point d’intégration. Dans l’élément quadrangulaire les fonctions de base, N s’écrivent :

)62(1s1et1r1avec

)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N)s1()r1(4/1N

4

3

2

1

<<−<<−

+−=++=−+=−−=

L’élément étant isoparamétrique, elles servent à l’interpolation en position et en déplacement ; cette équation peut s’écrire :

)63(

rssr1rssr1rssr1rssr1

41N

−+−+++−−++−−

=

57

Ou encore :

)64(4rs

4s

4r

41N 21 Γ+Λ+Λ+Σ=

Avec les 4 vecteurs de bases qui sont donnés par :

[ ][ ][ ]

[ ] )65(nulleénergieàesmodlespour1111

ntcisaillemedeesmodlespour1111

,ncompressiotractiondeesmodlespour1111

,rigidescorpsdeesmodlespour1111

T

T2

T1

T

−−=Γ

−−=Λ

−−−=Λ

=Σ

Les 4 vecteurs de déformation de base étant orthogonaux entre eux. La représentation de ces vecteurs de déformation de bases sont donnés ci-dessous. Cette représentation est relative à une seule direction, en l’occurrence r, il en existe 4 autres dans la direction s :

Γ ∆2 ∆1 Σ

N3(1,1)

N2(1,-1)N1(-1,-1)

N4(-1,1)

s

r

N2 N1

N3 N4

Les modes de corps rigides sont éliminés lorsque sont imposées des conditions aux limites. Par contre les modes à énergie nulle (ou modes de Hourglass) sont des modes de déplacement qui engendrent des déformations nulles ; En effet, si l’on reprend le calcul des déformations dans le repère local de l’élément, la matrice B, s’écrit de la manière suivante :

)66(BBBBBBBB

B0B0B0B00B0B0B0B

B

1424132312221121

24232221

14131211

=

Avec :

58

)67(

By/NBy/NBy/NBy/NBx/NBx/NBx/N

Bx/N

244

233

222

211

144

133

122

111

=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂

En reprenant le même calcul que celui opéré pour B11, (formules 30 à 36), on montre que dans le repère local à l’élément, avec un point d’intégration (au centre de l’élément),les composantes de la matrice B s’écrivent :

)68(

B)x)(A/1(B)xx)(A2/1(

B)x)(A/1(B)xx)(A2/1(

B)y)(A/1(B)yy)(A2/1(

B)y)(A/1(B)yy)(A2/1(

243

2342

223

2142

143

1342

123

1142

==−

=−=−−

=−=−

==−

Pour le mode de déformation à énergie nulle, représenté sur la figure, et dans la direction r, ça correspond au champ de déplacement suivant (pour les 4 nœuds sommets de l’élément):

)69(

u1u1

u1u1

4

3

2

1

=−=

=−=

Puisque B11=B13, B12=-B14 et B21=-B23, B22=-B24 , le calcul des déformations associée à ce type de déplacement montre que : ε = [B][u]=0

Le problème est que ce type de déplacement peut, quantitativement, augmenter de manière considérable, sans que l’énergie puisse en être affectée (puisque les déformations associées sont nulles), et par conséquent qu’il y ait des efforts (calculés à partir de l’énergie interne) qui les empèchent de croître. Autant ces éléments sont intéressants puisque l’intégration réduite permet de gagner en temps de calcul autant il est nécessaire de pouvoir controler ces modes à énergie nulle. 3.3 Contrôle des modes à énergie nulle. La méthode employée pour controler ces modes à energie nulle, consiste à appliquer des efforts artificiels, soit de raideur, ou d’amortissement, de sorte que ces efforts conjugués aux vitesses (ou déplacement) de Hourglass résistent à ces modes parasites. Pour un élément quadrangulaire, on obtient les composantes des vitesses de Hourglass, en projetant chaque degré de liberté sur la base de Hourglass, soit :

59

[ ] [ ]

[ ]

−

−

−−=

ΓΓ=ΓΓ=

11

11

.)1111).(uuuu(

qqqq

)70()()()u()()).(u()q(

4321

4

3

2

1

T

Connaissant la projection des vitesses dans la base des modes de Hourglass, on peut artificiellement ajouter des efforts nodaux qui résistent à ces modes, par :

)71(

qqqq

.Qk

ffff

4

3

2

1

4

3

2

1

−=

Où : Q est une viscosité articielle, et q est une mesure de la rigidité de la plaque (ou coque) Notons que ces efforts, n’entrent pas dans le calcul de l’energie totale.

60

Chapitre 5. Rappels sur le comportement des matériaux 1. Introduction

Que ce soit pour le flan ou pour les outils, il est nécessaire d’introduire une loi de comportement qui caractérise le matériau qu’on associe au maillage. Hormis les lois classiques (élastiques, orthotropes) la diversité des lois de comportement disponible peut dépendre du logiciel utilisé mais aussi des éléments choisis pour le maillage.

Ainsi pour Pam-Stamp si le flan est maillé en coques, sont disponible 2 modèles de lois de comportement élastoplastiques avec écrouissage et dépendance du taux de déformation. Alors que si le flan est maillé en élément volumique un seul modèle est disponible. Pour les outils maillés en coques 2 modèles de matériaux sont disponibles. Le premier qui est un modèle de « matériau rigide » (pour lequel il est tout de même demandé un module d’Young, une épaisseur, un coefficient de Poisson et une masse volumique, pour le traitement du contact). Mais avec ce modèle il n’est pas possible d’appliquer une pression sur l’outil. Le second modèle qui est un modèle de matériau isotrope élastique pour lequel une pression peut-être appliquée, par exemple pour le serre-flan. 2. Rappels sur les comportements élastiques 2.1. Comportement isotrope

Dans le cas des matériaux élastiques isotropes, les données du module d’Young et du coefficient de Poisson

sont suffisantes pour caractériser la loi de comportement (ne pas oublier de préciser la masse volumique, on est en dynamique…). Rappel le module d’young a une influence sur la vitesse de propagation du son dans le matériau, donc pour la détermination du pas de temps stable.

2.2. Comportement orthotrope.

Des modèles de matériaux composites élastiques ou inélastiques sont disponibles dans les logiciels, attention toute fois à une notion, très importante dans ce cas qui est que les caractéristiques du pli sont données dans les directions matérielles, soit dans la direction des fibres.

Il est donc nécessaire que les fibres soient caractérisées par une orientation. Dans Pam-Stamp, les calculs par exemple de réactualisation des contraintes (cf chapitre précédent) sont réalisées dans le repère local de chaque élément, il sera nécessaire de transformer les contraintes du repère local de l’élément dans le repère matériel des fibres.

Pour un matériau orthotrope, les informations demandées à l’utilisateur sont les paramètres qui entrent

dans la matrice de comportement C, telle que: S=CE

Avec

)1(

G/1000000G/1000000G/1000

000E/1E/E/000E/E/1E/000E/E/E/1

C

31

23

12

3322231113

3332221112

3331222111

l1

ν−ν−ν−ν−ν−ν−

=−

Cl est symmétrique ie que : ν21/E22 = ν 12/E11 etc… L’indice l, exprime que ces quantités sont données dans les directions des fibres (1 la direction des fibres, 2 et 3 directions transverses). Un angle est alors requis pour orienter la fibre par rapport au repère global. Pam-stamp dans son algorithme de résolution déduit de cette orientation une matrice de passage pour chaque élément entre le repère local de cet élement et le repère matériel.

61

3 Comportements élastoplastiques. 3.1 Rappels-définitions.

A faible niveau de contraintes dans un matériau élastoplastiques, les contraintes σij, ne dépendent que de l’état de déformation. Par contre à partir d’une valeur, appelée contrainte seuil (ou limite d’élasticité), notée σy, des déformations plastiques permanentes apparaissent. Cette contrainte seuil évolue lorsqu’augmente les déformations plastiques. Dans un test de tension uniaxiale, on trace une courbe (figure 1) avec en abscisse la déformation unixiale logarithmique et en ordonnée la contrainte réelle obtnue par le rappport de l’effort appliqué sur la section A.

Figure 1 Pour des modèles simple de plasticité comme celui de Von Mises la surface seuil (dans l’espace des contraintes principales) est un cylindre (figure 2).

Figure 2

Lorsqu’on introduit de l’écrouissage isotrope le diamètre du cylindre augmente mais la forme reste circulaire, par contre en écrouissage cinématique le diamètre reste constant mais peut translater dans le plan en fonction du tenseur des déformations plastiques. On parlera alors de modèles de matériaux elastoplastiques avec écrouissage (soit isotrope ou cinématique).

62

Figure 3 Pour un écrouissage isotrope, le centre de la surface seuil est fixé mais le rayon est une fonction des

déformations plastiques. Pour un écrouissage cinématique c’est le rayon de la surface seuil qui est fixé, mais le centre peut

translater dans la direction des déformations plastiques.(Figure 3) Pour des applications de mise en forme, le modèle de comportement le plus utilisé est un modèle élastoplastique avec un critère anisotrope, écrouissage isotrope et dépendance du taux de déformations. Précisons que les effets de l’anisotropie ou de la dépendance vis-à-vis du taux de déformation sont dûes aux propriétés métallurgiques et au traitement subie comme le laminage. Un comportement élastoplastique avec écrouissage isotrope est caractérisé sur la figure 4:

Figure 4

Les différences entre un critère isotrope et anisotrope se visualise sur la figure 5:

Figure 5

63

L’effet de la dépendance du taux de déformation sur la valeur seuil s’exprime par le fait que la courbe de comportement élastoplastique initiale et entrée par l’utilisateur est multipliée par une fonction flux qui dépend du taux de déformation, (figure 6) :

Figure 6 L’anisotropie du métal est une conséquence des propriétés métallurgiques de la tôle mais aussi du traitement qu’elle a subi, comme par exemple le laminage. Cet effet a été introduit dans le chapitre 1 3.2 Critères. Le critère est la valeur à partir de laquelle le matériau passe en plasticité. Différents critères sont disponibles dans Pam-Stamp, critère isotrope, orthotrope ou anisotropie normale. Dans le cas d’un écrouissage isotrope, et d’une hypothèse de contraintes planes soit :

σ13 = σ 23 = σ 33 = 0 Critère isotrope Le critère isotrope (ou Von Mises) est le plus simple :

[ ] 2/1212

22211

211

222 3)()( σ+σ−σ+σ+σ=σ

Critères orthotropes. Il peut être introduit par 2 relations, c’est à dire :

• soit avec les coefficients de Hill :

[ ] 2/12122211

211

222 N)G2(22)GF2(2)2/1( σ+σσ−−σ+σ−+=σ

F,G,N : coefficients de Hill • Soit avec les coefficients de Lankford :

[ ] 2/12122211

211

222 )PR)(1Q2(RP2)1R(P)1P(R))1R(P/1( σ+++σσ−σ++σ++=σ

P, Q, R sont les coefficients deLankford à 0°, 45°, 90°

Critère normal anisotrope. On définit une moyenne des coefficients de Lankford dans le plan, en introduisant :

∑=

=n

1iLil R

n1R

La relation de Hill, s’écrit alors :

64

[ ] 2/1212L2211L

211

222LL )1R2(2R2))1R()1R/1( σ++σσ−σ+σ++=σ

3.3 Loi contrainte-déformation plastique et dépendance du taux de déformation Dans Pam-Stamp, l’introduction de la relation contrainte-déformation plastique peut-être réalisée de 2 manières différentes

• Soit en entrant la valeur seuil s0 et des couples de points [σi, εi],(figure 7) :

Figure 7 Notons que Pam-stamp limite à 7 couples de points la définition de cette courbe, une extrapolation est réalisée à partir du dernier point entré.

• Soit à partir d’un modèle analytique, par exemple la loi de Krupkowsky (ou la loi de Swift)(figure 8) :

n0 )(K ε+ε=σ &

Figure 8 4 modèles sont disponibles, dans Pam-Stamp , pour introduire l’influence du taux de déformation plastique, sur la valeur seuil Ces modèles introduisent une fonction multiplicative de la relation initiale contrainte-déformation plastique, soit :

),(F),(),( εεεεσ=εεσ &&&

Nom du modèle Forme de F Paramètres requis

Cowper-Symonds

D,p

Johnson-Cook

D,p

p/1)D

(1 ε+

&

)D

(pLn1 ε+

&

65

Jones modifié

Du,Dy,εu, εy,A,B

Left shifted

)BA/(1

yuuy

yu ))(D)(D

)((1 +ε

ε−ε+ε−ε

εε−ε+

&

• Les 2 premiers modèles sont indépendant de la déformation (ε) et impliquent une seule translation de la

courbe contrainte-déformation plastique initiallement entrée (figure 9).

Figure 9

• Le modèle de Jones Modifié dépendent des déformations et l’influence du taux de déformation entre les petites ou grandes déformations peuvent être bien pris en compte (figure 10).

Figure 10

• est le taux de déformation de référence avec lequel la courbe initiale a été identifiée refε&

66

Compléments sur le comportement des matériaux 2 Aspects sont définis dans cette partie qui se veut complémentaire au chapitre sur le comportement des matériaux. Ces 2 aspects sont issus de l’expérience acquise en stage par des élèves ingénieurs de l’école. Le premier aspect porte sur la définition de l’emboutissabilité du tôle, le second sur le comportement des matériaux à utiliser lorsque de très fortes vitesses de déformations sont atteintes.

1. Emboutissabilité d’une tôle. 1.1 Introduction

Il est intéressant de pouvoir qualifier et classer des nuances d’acier selon un critère d’emboutissabilité.

L’outil en croix a été mis au point par Renault dans ce but. Non seulement il constitue un test rapide pour qualifier des tôles en emboutissabilité, mais il présente en plus l’intérêt de présenter tous les modes de déformations possibles (rétreint, expansion, traction simple, traction plane, cisaillement…).

En usine, le procédé de l’outil en croix vise à tester les tôles en entrée d’usine. Ainsi, un lot de matière pourra être caractérisé en emboutissabilité rapidement, afin de juger son aptitude pour l’emboutissage selon un procédé défini. Ce test en croix permettra aussi de sélectionner un matériau à partir d’un échantillon avant l’achat des tôles.

Pour atteindre cet objectif, il est nécessaire d’établir une importante base de données, afin de décrire un abaque le plus précis possible. En effet, l’emboutissage en croix constitue une étude comparative de nuances d’acier. Ainsi en fonction de la taille limite de flan pour la rupture lors du test en croix, nous pourrons situer la tôle en question sur l’abaque, et l’associer à un taux de rebut pour le procédé d’emboutissage. Plus la taille de flan sans apparition de ruptures est grande, plus la capacité à s’emboutir de la nuance est importante.

La base de données à établir implique de nombreux essais, pour différentes nuances, épaisseurs, lots de matière, et qui doivent être répétés un grand nombre de fois.

1.2 Principe de l’essai d’emboutissage en croix Grâce à cet outil, la tôle emboutie présente une géométrie formée d’excroissance et de renfoncement,

qui sollicite la tôle selon tous ses modes de déformations. Le principe de l’essai est inspiré du test appelé « latitude de réglage ». Il s’agit d’un test d’emboutissage

classique, réalisé sur une presse de laboratoire. Pour cet essai, la tôle à emboutir est découpée en disques de mince épaisseur, qui constituent les flans. Le flan est serré entre deux couronnes, et il est embouti en son centre par un poinçon. Dans ces conditions, si l’effort de retenue appliqué par les couronnes est adéquat, le flan s’emboutira sous la forme d’une douille d’obus.

Figure 1 : Principe de l’essai

Figure 2 : Défauts

67

Par contre, si l’effort de retenue, c’est à dire le serrage des couronnes, est trop faible, alors des plis se forment sur la collerette, et l’essai s’arrête. De même, si l’effort de retenue est trop important, c’est à dire si le flan est trop serré par les couronnes, alors l’embouti casse et sera décapsulé.

Le principe de ces essais peut être décrit de la façon suivante : Plus un flan est de grande dimension,

plus sa surface de retenue est grande (la taille du poinçon ne varie pas), et par conséquent, le flan cassera pour un plus petit effort. En effet, le flan cassera d’autant plus rapidement que sa surface de retenue est grande. Les résultats du test de latitude sont rassemblés pour être représenté sous forme d’un graphe. Ce graphique représente l’effort serre-flan en fonction du diamètre de flan, et illustre les limites basses et hautes d‘emboutissabilité.

Figure 3 : Graphe de limite d’emboutissabilité Une bonne latitude de réglage implique une bonne emboutissabilité pour la nuance de tôle testée. Cette

méthode se base sur une étude comparative de différentes tôles. Par exemple, sur le graphique suivant, deux tôles ont subi le test dans les mêmes conditions. Le graphique permet d’affirmer que la tôle T1 est plus apte à l’emboutissage que la tôle T2.

Figure 4 comparaison entre 2 tôles.

Plutôt que de travailler en faisant varier le paramètre « effort serre-flan », nous pouvons également fixer cet effort serre-flan, et rechercher progressivement la taille limite du flan avant la rupture. C’est d’ailleurs cette deuxième méthode qui est utilisé pour les essais en croix. En effet, il est plus facile d’usiner des flans aux dimensions voulues, plutôt que de piloter les essais en modifiant l’effort serre-flan. D’autant plus que la maîtrise de la taille de flan est facilitée par son passage à la forme carré.

1.3 Applications : Embouti en croix

L’outil en croix repose très exactement sur le test de latitude de réglage. Le flan n’est plus un disque

mais un carré. Le paramètre variable est la taille de ces flans, l’effort du presse-flan reste le même. L’embouti en croix présente une symétrie d’ordre 4, de l’aspect suivant :

Figure 5 Géométrie de l’outil en croi

68

x Sens de laminageSens de laminage

Nous pouvons constater que la géométrie de cette pièce propose de fortes zones d’avalement de

matières. Ces zones sont plus ou moins sollicitées par des contraintes selon la taille du flan à emboutir. Si la taille de flan est trop petite, et donc l’effort de retient trop faible, alors des fissurations apparaîtront au niveau de la base de l’embouti (figure 6a).

Par contre lorsque la taille de flan devient suffisamment grande, nous observons de la striction au niveau de la zone de traction sur le rayon (figure 6b). Si la taille de flan est augmentée, la striction observée donnera lieue à des ruptures (figure 6c). Normalement, la pièce étant symétrique, les observations doivent être semblables pour les quatre côtés de l’embouti.

Ff

AdlLdnmr

nlq

igure 6a : Risque de fissuration (si flan trop petit) ; 6b zone de forte striction localisée ; 6c rupture si la taille du lan est trop grande

Avant d’être fonctionnel en usine, il est nécessaire d’étoffer la base de donnée de l’outil en croix. ussi, des campagnes d’essai vont être organisées, pour différentes nuances d’acier, pour différentes épaisseurs e flans, dans des conditions équivalentes. Ces études comparatives nous permettrons de définir, en fonction de a taille limite de flan, un abaque reliant la résistance mécanique des flans. ’intérêt du test d’emboutissabilité en croix consiste à qualifier de manière comparative différentes nuances ’aciers. Par conséquent, nous étudions principalement trois nuances HLE pour ces séries d’essais, notées uance 1, 2 et 3. Notons que la nuance 1 est l’acier actuellement utilisée notamment pour la pièce de support oteur de la Clio 2 et de la Kangoo. Les deux autres nuances sont des aciers potentiellement intéressant pour la

emplacer. Cette première campagne menée sur les 3 nuances et pour des épaisseurs de tôles de 2.5 mm(figure 7)

ous amène à la conclusion suivante : parmi les trois nuances testées, la nuance 1 haut de spécification, est argement plus emboutissable que les 2 autres. En effet, elle fissure pour une taille de flan de 90 × 90 mm, tandis ue la nuance 3 qui fissure dès 85 × 85 mm, suivi de près par la nuance 2 à 83 × 83 mm.

Dureté

Taille de flans (mm)

144

175183

90 83 85

0 20 40 60 80

100 120 140 160 180 200

Nuance1 Nuance2 Nuance3

Figure 7 Comparaison des 3 nuances.

69

Pendant cette campagne d’essai, nous pouvons noter (figure 8) que la détection des fissures est très nette et précise. Les différences entre la striction, les amorces de fissures et la rupture se font à la taille de flan près.

Figu

re 8. Détection du seuil de fissuration. Acier HLE, nuance 1, pour un flan de 90*90 mm : 1 seule amorce par échantillon. pour un flan de 91*91 mm : plusieurs fissures par échantillon

70

2. Lois de comportement pour les très hautes vitesses de déformations.

Pour des applications telles que le choc ou les explosifs les mécanismes de déformation et de contraintes dans les matériaux peuvent être forts différents des comportements utilisés pour la mise en forme ou le crash. Au travers d’une application qui est la formation de Charge Génératrice de Noyau, on peut entrevoir ces types de lois.

2.1 L’application : la formation de CGN. Il existe 2 principes types de têtes militaires la charge creuse et la CGN. Ces charges consistent à former un projectile au travers de l’interaction d’un revêtement métallique avec une onde de détonation obtenue à partir d’une charge explosive. La charge CGN est constituée (figure 9) : • D’un revêtement hémisphérique • D’un confinement en acier • D’un chargement explosif

Figure 9 : Eléments constitutifs d’une CGN

Le principe de base est de générer un projectile (dit noyau) par la déformation du revêtement suite à son interaction avec une onde de choc provenant d’une charge explosive (figure 10). On dit alors que le noyau se met en forme. Le projectile est éjecté à des vitesses de l’ordre de 1000 à 3000 m.s-1

Figure 10 Exemple de mise en forme du noyau de CGN Le procédé se décompose en deux phases : • Une phase de mise en vitesse du revêtement produite par les ondes de choc et de détente, lors de

laquelle le revêtement ne se déforme pratiquement pas. • Une phase de mise en forme liée à l’énergie cinétique stockée par le matériau lors de l’étape précédente.

71

La déformation du matériau dépend de ses caractéristiques élastoplastiques. La plus grande difficulté dans cette phase consiste à restituer convenablement l’état thermodynamique du matériau. Les matériaux utilisés pour le revêtement sont le nickel, le tantale ou le fer. On représente dans le tableau 1, pour chacun de ces matériaux, les valeurs de contraintes, de déformations, de vitesses de déformations et d’écarts de températures atteintes lors de cette phase de mise en forme. Nickel Tantale Fer Vitesses de déformation 15 000 à 80 000 1s− 15 000 à 80 000 1s− 15 000 à 80 000 1s− contraintes 750MPA 900MPA 700MPA déformation 130à 260% 125à 310% 130à 260%

T( K)∆ ° 200 à 400 400 à 500 200 à 325 Tableau 1. Les phénomènes atteints.

Le domaine de sollicitation est relativement identique pour les 3 matériaux, notons qu’on est dans le domaines des (très) grandes déformations et des très grandes vitesses de déformations. Par ailleurs du fait des très grandes vitesses de déformations, le matériau n’a pas le temps de dissiper l’énergie, ce qui provoque un échauffement conséquent de celui-ci. 2.2 Les mécanismes et caractéristiques des matériaux. De manière générale 2 régimes de chocs sont à considérer : • les Chocs à faibles vitesses de déformations (de type impact solide-solide) pour lesquels les vitesses des

ondes plastiques sont inférieures aux ondes élastiques. Ce régime crée des ondes de chocs qui s’atténuent rapidement (car dues aux ondes élastiques)

• Les chocs sévères (vitesses de déformations > à 103 1s− ) qui correspondent à des vitesses d’ondes plastiques supérieures aux ondes élastiques.

Notons qu’actuellement il n’est pas possible de prendre en compte, dans les logiciels de simulation, les effets du chocs dans la modélisation de ce type de procédé. Les vitesses de déformations atteintes nécessiteraient un maillage très fin (~2500 éléments/mm) et par ailleurs peu d’étude existent décrivant les modèles d’écoulement de contraintes. La solution consiste à introduire des lois de comportements les plus descriptive des phénomènes atteints (tableau 1). Les lois de comportement permettent de décrire la contrainte d’écoulement en fonction de la déformation plastique. Dans le cas des CGN, il est nécessaire de prendre en compte l’influence de la température et de la vitesse de déformation. La loi la plus utilisée, est associée au modèle de Johnson-Cook qui exprime la contrainte d’écoulement en fonction de la déformation plastique, de la vitesse de déformation plastique et de la température:

n *

0

(A B )(1 Cln )(1 (T ) )εσ εε

= + + −

&

&m

les paramètres A, B et n modélisent l’écrouissage du matériau, C représente la sensibilité à la vitesse de déformation, le coefficient m représente la sensibilité à le température. La vitesse de déformation est normalisée par 1

0 1 sε −=& , le terme T* est calculé par :

* r

f

T TTT T−

=−

, où Tr est la température de référence et Tf la température de fusion.

2.3 Les limites du modèle de Johnson-Cook.

Des essais ont été réalisés pour recaler les coefficients du modèle de Johnson-Cook, la loi étant comparée à des résultats expérimentaux. On reporte sur la figure 11, ces résultats obtenus pour le fer, pour différentes vitesses de déformations. On constate qu’à forte vitesses de déformations le modèle de Johnson-Cook ne permet plus de corréler aux essais expérimentaux, car les phénomènes visqueux ne sont pas pris en compte.

72

Figure 11a Modèle isotherme pour 17 s ,T 20 Cε −= = °& Figure 11b Modèle adiabatique pour 1130 s ,T 20 Cε −= =& °

Figure 11 c Modèle adiabatique pour 14200 s ,T 20 Cε −= = °&

Pour des vitesses supérieures à , on représente sur la figure 12 la réponse du modèle de Johnson-Cook

14200 s ,T 20 Cε −= =& °

Figure 12 Limites du modèle de Johnson Cook.

73

Le modèle montre ses limites il n’est pas possible de modéliser à la fois le domaine thermiquement activé (à basse vitesse) et le domaine visqueux (à haute vitesse) L’idée consiste donc à modifier le modèle initial en ajoutant un terme, fonction de la puissance de la vitesse de déformation pour décrire le régime visqueux à partir d’un certain seuil de vitesse de déformation.

pn *

0 v

(A B )(1 Cln D )(1 (T ) )ε εσ εε ε

= + + + −

& &

& &m

Les coefficients D et p représentent la sensibilité de la contraintes aux hautes vitesses de déformations. 2 modèles ont été calés à partir de cette expression (à partir de l’identification des paramètres D et p) et on représente sur la figure 13, ces modèles comparativement à des résultats expérimentaux

Figure 13 Modèles définis à partir de Johnson-Cook modifié.

2.4 les techniques expérimentales. La calibration et la validation des modèles de lois de comportement nécessitent la réalisation d’essais expérimentaux en fonction de la vitesse de déformation et de la température. Pour calibrer ces modèles (identification des paramètres dans les lois) des essais classiques de compression, traction ou torsion sont utilisés.

Figure 14 type d’essais en fonction de la vitesse de déformation

74

Pour les essais sont réalisés à partir de machines conventionnelles. 110 sε −<&

Pour les essais de type Kolsky-Hopkinson sont utilisés. 2 3(10 ;10 ) sε −∈& 1

1Pour atteindre des données à des vitesses dans le domaine de 104 s− les techniques utilisent des types d’impact direct à barre d’Hopkinson Dans le domaine de , on citera les essais de Taylor, d’expansion de sphères et d’anneaux. 3 6(10 ;10 ) sε −∈& 1

2.4.1 Essai de type Kolsky-Hopkinson.

échantillon Barre de sortie Barre d’entrée Projectile Pont de Jauge 2Pont de Jauge 1

Figure 15 Principe de l’essai Kolsky-Hopkinson Cet essai est basé sur la propagation d’ondes dans un échantillon en compression situé entre 2 barres. Un impacteur est envoyé avec une certaine vitesse sur la barre d’entrée. L’impact génère une onde de choc élastique qui se propage en direction de l’éprouvette. A l’interface barre d’entrée/éprouvette, une partie de l’onde est réfléchie alors que l’autre partie est transmise à l’éprouvette puis à la barre de sortie. Les déformations réfléchies et transmises sont mesurées à l’aide de jauges de déformations et permettent d’en déduire la vitesse de déformation, la contrainte en fonction des caractéristiques géométriques des barres. 2.4.2 Essai d’impact direct à la barre d’Hopkinson.

Figure 16. Schéma de l’essai d’impact en compression

Cet essai permet d’acquérir des réponses en compression dans le domaine . Un échantillon du matériau est placé contre une barre d’Hopkinson. Le chargement s’opère à l’aide d’un impacteur propulsé par un canon à gaz à des vitesses variant entre 20 à 100 m/s.

3 4(10 ;10 ) sε −∈& 1

La vitesse de l’impacteur est mesurée 30 mm avant l’impact à l’aide de 2 lasers. Des jauges de déformations permettent de mesurer la déformation élastique de la barre, puis de remonter aux déformations et contraintes dans l’échantillon.

75

Figure 17 Essai direct d’impact en compression. Eprouvette avant essai (diamètre 9 mm) et éprouvettes testées à 7500 et 16 000 s-1

2.4.3 Essai de taylor. Le principe de l’essai de Taylor consiste à projeter sur une cible massive et très dure un échantillon cylindrique à faces planes à des vitesses comprises entre 50 et 500 m/s. Cet essai permet d’atteindre des vitesses de déformations très élevées 4 6(10 ;10 ) sε 1−∈& . L’échantillon se déforme en patte d’éléphant(figure 18).

Figure 18 Essai de Taylor et déformation en forme de pattes d’éléphants.

76

Chapitre 6. Modélisation de la Mise en forme Matériaux et structures composites.

1. Introduction - Rappels

1.1 Constituants dans les matériaux composites. Les plastiques renforcés ou matériaux composites sont toujours constitués de 2 matériaux principaux :le renfort, la matrice auxquels sont associées différents adjuvants ***le renfort :matériaux fibreux : les fibres sont disposées : * en mèche continue (ou roving) et on distingue fibres courtes et fibres longues * en mat (ou non tissé) : nappes de fibres (longue ou courte) * en tissu ***la matrice (polymères), pour lesquelles on distingue 2 types (dissociation chimique) les matrices thermodurcissables (polyesters, époxydes, phénoliques, etc…) :après durcissement plus de fusion possible, on ne peut qu’usiner le matériau. La solidification est irréversible et les matrices thermoplastiques (polyamide, polycarbonate, polyester saturé, etc..), la mise en œuvre est réversible. Notons qu’il existe des matrices organiques mais aussi des matrices métalliques, dans ce cas on parle de CMM (Composite à Matrice Métallique) ***Adjuvant produits nécessaire à la polymérisation de la résine ou bien à l’obtention de caractéristiques spécifiques (résistance au feu, à la température par exemple). 1.2 Procédés de fabrication des pièces composites.

Les procédés de fabrication des pièces composites sont nombreux (Techniques de l’ingénieur : « Mise en Œuvre des composites, méthodes et matériels », A 3 720). Une dissociation est faîte en fonction :

• Des séries à réaliser : *Petites ( moins de 1 000 pièces/an) *moyennes ( 1 000 à 15 000 pièces/an) *Grandes (> 15 000 pièces/an)

• Des dimensions de la pièce *très petites (surface développée de quelques cm2) *petites (surface développée inférieure à 1 m2) *moyenne (surface développée de 1 à 5 m2) *grandes (surface développée > 5 m2). Procédés pour les thermodurcissables : On utilise la terminologie de LCM (Liquid Composite Moulding), à l’intérieur duquel on dissocie 2 grandes familles : L’injection par transfert de résine (RTM et dérivés) et l’infusion par infiltration de résine : RTM (Resin Transfer Molding) VARTM (Vacuum Assisted Resin Transfer Molding) CRTM (Compression Resin Transfer Molding) RTM Light (Resin Transfer Molding Light) FASTRAC (FAST Remotely Actuated Channeling) LRI (Liquid Resin Infusion) SCRIMP (Seemann Composites Resin Infusion Molding Process) VARI/VARIM (Vacuum Assisted Resin Infusion Molding) RFI (Resin Film Injection)

77

Les points communs à toute cette famille de procédés sont : Un moule à l’intérieur duquel est injectée une résine (liquide), soit à température ambiante (injection), soit à plus chaud (infusion) et sous pression. Cette résine est soit chargée (en fibres courtes, par exemple), soit pure et elle vient sur une préforme de renfort. Les paramètres qui différencient tous les procédés sont : *La vitesse d’injection (ou d’infusion) *Le contrôle de la pression *La nature du moule (souple, avec membrane, etc…) *Le front d’injection (Longitudinal ou Transverse) A ne pas confondre avec la famille des SMC (Sheet Compound Molding) classifié ici comme pré-imprégnés ou le matériau se présente sous forme de feuilles (renfort+ matrice) mis en forme sous compression et à chaud. Pour les composites à matrices thermoplastiques, par mi les procédés on s’intéressera au thermoformage 1.3 Exemples et Applications en aéronautique Hurel-Hispano 95% pièces composites sont réalisés en pré-imprégnés Développement d’aubes en composites RTM, développement d’inverseur de poussés en composite. **EADS 65-70% pièces composites sont réalisés en pré-imprégnés 15-20% pièces composites sont réalisés en RTM le reste thermoplastique Actuellement avions civils 35 à 40% de la masse totale d’un avion en composite, porte pour le moment sur pièces de structures secondaires ou tertiaires. Hélicoptères 65% de la masse totale en composite. Actuellement insertion des composites dans les pièces de structures primaires (les plus chargées). Exemples : Longeron d’aileron de l’A380 : pièce de 3 m de long, 15-20 mm d’épaisseur, réalisé en RTM, pièces avec intégration de fonctions, résine epoxy chargé à 60% de fibres. La pièce la plus longue actuellement est la poutre ventrale de l’A340/A500/A600 une pièce de 17 m de long, fabriquée en composite. On va s’intéresser plus spécifiquement aux 3 procédés cités : drappage des pré-imprégnés (ou procédé SMC), Procédé RTM et le thermoformage des thermoplastiques. 2. Détails des trois procédés 2.1 Procédé RTM Détail du procédé :

78

Phase de mise en forme du renfort sec, puis injection de résine, refroidissement, démoulage, polymérisation *** Quelques chiffres sur le RTM (Procédés pour les matrices thermodurcissables)

Procédés par injection : Injection d’une résine dans un moule contenant soit une préforme de renfort (emboutissage du renfort sec puis injection), soit d’une résine chargé de fibres, puis polymérisation de la résine. C’est le procédé le plus utilisé Injection à basse pression RTM et HS-RTM (RTM à grande vitesse) Injection à haute pression (RIM (Reaction - injection molding), R-RIM, S-RIM)

RTM HS-RTM RIM R-RIM S-RIM Basse Pression (0.1 à 0.4 Mpa) Haute Pression (10 à 20 Mpa)

Renfort Préforme (tissus, mat) Pas de renfort Renforcé fibres courtes

Préforme

Temps de cycle (min.)

2 à 30 1 à 3 < 2 < 2 < 2

Module d’Young en flexion des

pièces obtenues (Mpa)

> 4 000 > 20 000 < 1 000 < 2 000 > 4 000

*** Avantages/inconvénients Moyenne série (long), une résine de faible viscosité (0.1 à 1 Pa.s) à température ambiante est injectée par une pompe basse pression dans un moule chauffé, fermé contenant la préforme de renforts. Avantages : 2 étapes essentielles La mise en forme du renfort puis l’injection,

Le taux de renfort et leurs directions sont connus Bon état de surface Bonne connaissance et maîtrise de l’épaisseur Formes complexes peuvent-être obtenues « Assez rapide » (problème du temps de la polymérisation) Automatisation possible.

Le gros inconvénient est le temps de polymérisation qui empêche le développement de ce procédé pour des longues séries. Les points à maîtriser sont la mise en forme du renfort puis l’injection, ** Comparaison des propriétés mécaniques d’une pièce (RTM) à partir de résines polyester avec 55% de masse de renfort

Mat de verre Tissus de verre 0-90°

Contrainte à la rupture en flexion (Mpa)

270 320

Module d’Young en flexion (Mpa)

15 000 19 000

Allongement à la rupture en flexion (%)

2.4 3.7

2.2. Le Drappage de préimprégnés, ou procédé SMC

79

principe général du drappage ou de la dépose des pré-imprégnés.

1. On applique un agent démoulant sur le moule 2. On dépose le pré-imprégné 3. on met sous pression (sous vide, en autoclave)

L’ensemble est ensuite compacté pour éliminer l’air entre les couches puis cuit en autoclave pour permettre la réaction de polymérisation de la résine qui solidifie la pièce. *** Exemple d’application Demi capot tronconique de 1,50 m de long sur lequel sont drappées 8 couches de pré imprégnés de 0,7 mm. Résine époxy et renfort tissé de carbone. Résumé des étapes de la dépose manuelle pour chaque flan *Chauffage du capot par eau chaude, la dépose s’opère à une température de 40 °C *Dépose du flan sur le capot par l’opératrice *Fixation du flan aux extrémités avant-arrière du capot par toile collante *Efforts exercés à l’aide de grattoir pour retirer les plis *Mise sous pression de l’ensemble capot-flan pour faire le vide, le flan étant recouvert d’une couverture(pendant ½ heure) Inconvénients des pré-imprégnés stockage, temps de cycle etc…. Exemple : le drapage automatisé de préimprégnés permet de traiter plusieurs dizaines de kg/h et même parfois beaucoup plus alors que le drapage manuel ne permet pas de dépasser, en cadence maximale, 2 à 3 kg/h ; par contre la machine ne peut pas travailler dans des zones complexes. Applications secteurs navals, aéronautiques

2.3.Mise en forme des composites thermoplastiques ou thermoformage

Face à ces difficultés, les composites à fibres continues et à matrice thermoplastique (CFRTP) apparaissent comme une alternative prometteuse et en plein essor. avantages/thermodurcissables Les avantages proposés par les composites à matrice thermoplastique notamment par rapport aux matrices thermodurcissables sont :

Cycle de mise en forme plus court • • • •

•

Propriétés mécaniques égales (voir supérieures notamment pour la résistance à l’impact) Une durée de vie illimitée donc une plus grande facilité de stockage Un aspect réversible des transformations ce qui permet des réparations de la structure notamment par soudage Un recyclage des produits.

80

Les procédés de mise en forme dans ce cas dérivent fréquemment de ceux utilisés dans le cas de tôles métalliques. Principe général comme leurs noms l’indiquent, les composites à résine thermoplastique nécessitent un chauffage préalable pour atteindre un état suffisamment fluide de la résine et les rendre aptes à une mise en forme correspondant à la géométrie définitive de la pièce à réaliser. Ils se solidifient après refroidissement. Principe détaillé trois phases principales.

1. L’imprégnation du renfort qui consiste en l’association des différents constituants et la réalisation de l’unité de base manipulée : le monopli.

2. La pré-consolidation qui consiste à réaliser un empilement de monoplis aux orientations souhaitées puis à lui appliquer un cycle de température et de pression de façon à obtenir un laminé sans la moindre présence de vides aux interfaces.

3. Le thermoformage durant lequel le laminé est transformé en une structure à géométrie plus complexe. Durant cette phase, il est chauffé de façon à rendre fluide la matrice pour permettre la déformation du renfort.

La phase de mise en forme doit maintenant consister à transformer la plaque plane laminée obtenue après pré-consolidation en une structure ayant une géométrie complexe développable ou non. Plusieurs techniques de mise en forme existent, certaines dérivent d’ailleurs des méthodes utilisées dans le cas de flan métallique. La plupart présente un cycle de mise en forme à cinq phases :

1. Phase de chauffage : La préforme est chauffée par infra-rouges à une température supérieure à la température de fusion de la matrice afin que celle ci soit suffisamment ramollie pour permettre la déformation.

2. Phase de formage : La plaque est mise en forme. La technique la plus fréquente est l’emboutissage du produit entre un système poinçon matrice monté sur une presse.

3. Phase de re-consolidation : La pièce est ensuite refroidie sous pression jusqu’à une température permettant la stabilité dimensionnelle.

4. Phase de démoulage : La pièce est enfin démoulée et poursuit son refroidissement à l’air libre.

Exemple de matériaux : les matériaux utilisés en aéronautique, on peut citer en premier lieu l’APC2 que l’on trouve sous la forme de nappe unidirectionnelle et unicouche directement pré-imprégnée. Ces nappes peuvent être la

81

combinaison de fibres de carbone (type AS4) avec une matrice PEEK (polyétheréthercétone), ou PEI (polyéterimide) ou PPS (polysulfure de phénylène). D’autres produits plus courants sont utilisés pour des applications non structurales. C’est le cas du Twintex commercialisé par la société Vetrotex. Le Twintex est réalisé par la technique du « co-mingling » et se présente soit sous forme de roving, soit sous forme de tissu. Ses composants sont les fibres de verre mêlées à des fibres de polypropylène (PP), ou de polyamide (PA) ou de polyéthylène téréphtalate (PET).

3. Spécificités de la mise en forme des composites. La mise en forme (et dépose dans le cas des pré imprégnés) est présente dans les 3 procédés cités ci-dessous, mais dans des conditions différentes : Dans le cas du RTM on met en forme un renfort sec (sans résine) Dans le cas du SMC ou drappage des préimprégnés, on dépose un renfort avec une résine non polymérisée sur une surface (ou moule) Dans le cas des themoplastiques on emboutit renfort+résine (également fluide) Différences avec l’emboutissage « classique » des tôles (métalliques) *Comportement du matériau, modes de déformations Rappel loi de comportement utilisée pour les métallique: élastoplasticité avec dépendance de la vitesse de déformation et éventuellement anisotrope (laminage). pour les composites ça dépend de la présence ou non de la résine *Les conditions du procédé : dynamique mais pas dynamique rapide (Crash), mais plutôt quasi-statique Pour le thermoformage Prise en compte de la température est nécessaire *Outillage. Pour une opération d’emboutissage : poinçon, matrice, serre-flan outillage complémentaire notamment pour le RTM, ou il faut une pré-tension du renfort sec sinon, le flan fléchit sous son poids propre avant le début du procédé. L’effort serre-flan est beaucoup plus faible. *Les conditions d’acquisitions sont également différentes il est difficile soit à cause de la température soit à cause de la flexibilité des renforts d’utiliser les jauges et capteurs « traditionnels ». *Réflexion intense sur l’outillage (souvent le poste le plus coûteux lors de la mise en forme) notamment sur le développement d’outils en matériaux composites : outillage avantages inconvénients métallique Longévité, révision Vitesse de chauffe, dilatation

différentielle, Masse composite Dilatation, légèreté, vitesse de

chauffe, homogénéisation thermique

Fragilité, durée de vie limité, prix

4. Simulation de la mise en forme du préformage des tissus secs.

Dans un premier temps, on s’intéresse dans ce paragraphe aux différentes méthodes qui permettent de simuler la mise en forme des renforts secs. La première étape du procédé RTM, ainsi que le SMC sont concernés. Rappelons que pour ce paragraphe, et plus spécifiquement la résine n’est pas présente.

4.1 Approche ou géométrique

82

L’hypothèse de base est que les mèches sont inextensibles, les fils de chaîne et de trame peuvent changer d’angle mais pas glisser en translation. On définit le renfort par un ensemble de points (intersection chaîne - trame). Pour commencer, on dépose un nœud sur la surface à drapper (moule) La surface de l’outil doit être définie, soit analytiquement, soit par facettes planes ou de degrés supérieurs, soit par des « panneaux » courbes . Pour initier le drapage suivant le schéma de la figure, il est nécessaire de positionner un premier nœud et de fixer deux directions initiales de dépose (chaîne et trame). Il s’agit en général des axes de symétrie s’ils existent. Le résultat du drapage dépend de ces directions. Les nœuds suivants sont placés sur le principe suivant la position d’un nœud C peut être déterminée si celles de deux de ses voisins (A et B) sur le filet sont déjà connues. AC et BC ont des longueurs connues (distance entre 2 nœuds reste identique à celle du tissu non déformé). Le fil reliant 2 nœuds suit la distance la plus courte : pour une surface courbe : la géodésique, pour un plan : c’est une droite. C est défini comme l’intersection des deux géodésiques issues de A et B et qui se coupent en C en vérifiant ces longueurs. Ceci constitue un petit problème, en général non-linéaire qui peut être résolu très rapidement. Si la méthode du filet conduit à des outils logiciels rapides (dont de nombreux sont commercialisés), les très fortes hypothèses utilisées restreignent l’utilisation de cette méthode. En effet le résultat est identique quel que soit le matériau utilisé. Or, bien souvent le résultat de la mise en forme dépend des caractéristiques mécaniques du renfort. Par ailleurs la présence de conditions cinématiques(effort sur les outils) n’est pas prise en compte

4.2 Approche ou méthode mécanique par éléments finis. Les inconvénients sont les inconvénients classiques de la méthode des éléments finis, dépendance de la méthode vis-à-vis du maillage, ainsi que la connaissance nécessaire de la loi de comportement. Par ailleurs seront traitées dans cette section les choix d’algorithmes de résolution en dynamique, ainsi que les choix de modélisation. 4.2.1. Comportement mécanique des renforts tissés Les modes de déformations prépondérants des tissés dans le plan peuvent se résumer principalement par : * Allongement des fibres (et diminution des (de l’)ondulations)

83

* Variation angulaire (distorsion ou cisaillement). Les hypothèses suivantes sont considérées :

non-glissement entre les réseaux chaîne et trame du renfort considéré Les allongements restent faibles dans la direction des mèches, mais correspondent à des

énergies de déformations importantes compte tenu de la grande rigidité des fibres dans cette direction.

La rigidité de flexion d’un tissé est faible, puisqu’on ne se positionne dans le cas de matériaux épais ou composés de fibres rigides

Le mode de déformation principal relève de la déformation de cisaillement plan. Cette déformation est due à une rotation des mèches autour des points de superposition des réseaux chaîne trame (effet treillis). Rien n’empêche cette rotation relative dans la structure du tissé qui se comporte comme un système à quatre barres. Les déformations peuvent être très grandes mais correspondent à des efforts très faibles, au moins jusqu’à un angle limite de blocage. A partir de cet angle, les mèches sont en contact ce qui provoque une augmentation de l’effort et donc de la rigidité de cisaillement. En pratique, c’est à partir de cet angle que les plissements apparaissent dans le renfort tissé La détermination expérimentale du comportement relève principalement de deux essais

a) Essais de traction biaxiale, autant un essai sur une mèche donne un comportement linéaire (comme un fil), le même essai sur un tissé donne une courbe non-linéaire. La non-linéarité dépend du rapport de déformation dans les 2 directions. Ce comportement est du aux ondulations. Le comportement en tension est alors traduit par des surfaces de comportement ou la tension dans une direction dépend des déformations dans les 2 directions.

b) essais de cadre de cisaillement. L’étude en cisaillement se réalise à l’aide d’un banc expérimental de cadre de cisaillement classique sur lequel est monté un système optique de caméra qui permet de suivre le champ de déplacement des mèches au cours de l’essai. La courbe de comportement montre une rigidité très faible jusqu’à un angle de blocage qui induit une rigidité importante. (courbe effort – déformation de cisaillement). Cette étude est corrélée avec des simulations de cisaillement à l’échelle de la maille. 5. Simulation de la mise en forme lors du thermoformage. Trois aspects essentiels se dissocient de la simulation de la mise en forme des renforts secs : La loi de comportement qui doit inclure le comportement de la résine, la modélisation du glissement inter-pli, la simulation de l’étape de re-consolidation. 5.1 Loi de comportement. Approches basées sur les modèles IFRF.

Ces modèles (« Ideal Fibre Reinforced Fluid ») tentent à considérer le matériau composite comme un milieu continu constitué de fibres inextensibles et d’une résine visqueuse ou viscoélastique. A partir de cette approche, différentes mutations ont eu lieu sur ce modèle qu’on résume ci-dessous. a) Renfort unidirectionnel A l’origine, ce model continu (Ideal Fiber Reinforced Newtonian Fluid) modélise le comportement d’un matériau composite unidirectionnel lors de sa mise en forme. La direction du renfort est caractérisée par le vecteur unitaire a (figure 7).

84

a X2

X1

Figure 7. renfort unidirectionnel La loi de comportement de ce milieu constitué d’un fluide Newtonien renforcé par une fibre, avec les hypothèses d’inextensibilite dans la direction de la fibre, et d’incompressibilité peut s’écrire, en notation indicielle, dans un système des coordonnées cartésiennes, de la manière suivante:

ij ij i j T ij L T i k kj j k kiσ = -P + Ta a + 2 D + 2( - )(a a D + a a D )δ η η η (1) Le tenseur des contraintes de Cauchy est donc constitué d’une pression hydrostatique (P), conséquence de l’hypothèse cinématique d’incompressibilité, d’une tension (T) dans la direction de la fibre, issue de l’hypothèse d’inextensibilité de celle-ci, et d’une partie déviatorique qui dépend des propriétés et du taux de déformation du matériau. Les deux hypothèses cinématiques se traduisent par : Pour l’incompressibilité : (2) ii 11 22 33D D D D= + + = 0Pour l’inextensibilité : Tr ou ( ) 0=AD i j ija a D 0= (3) La loi de comportement (1) peut s’écrire sous forme matricielle en tridimensionnelle, dans un repère orthonormé :

211 1311 11 1

222 2322 22 2

33 3333

12 1213 23 44 1 2

13 1355 56

23 2356 66

E 0 0 E 0 0 D P Ta0 E 0 E 0 0 D P Ta

D0 0 E 0 0 0 P2DE E 0 E 0 0 Ta a2D0 0 0 0 E E 02D0 0 0 0 E E 0

σσσσσσ

− + − +

−= +

(4)

Les coefficients de la matrice de viscosité ( ) ne dépendent que de ijE Lη et Tη et des composantes de a.

Ce modèle ne dépend que de deux paramètres Lη et Tη relatifs au cisaillement le long et transversalement à la fibre et qui peuvent être identifiés par des tests à partir de tests de cadre de cisaillement . b) Renfort bidirectionnel. Afin d’étudier les renforts tissés, a étendue le modèle de Rogers à un milieu composé d’un fluide incompressible renforcé par deux familles de renforts dont les directions sont définies par les vecteurs a et b et par l’angle entre les fibres (figure 8) Φ

φ b

a X2

X1

Figure 8. renfort bidirectionnel Sur les mêmes hypothèses d’incompressibilité (pression hydrostatique P) et d’inextensibilité des renforts (tensions notées T et a bT , Tr( ) Tr( ) 0= =AD BD ), l’équation (1) équivaut alors :

a b 1 2 3= -P + T + T + 2 + 2 ( + + + ) + 2 ( + )η ησ I A B D AD DA BD DB CD DCη (5) où C est définie par :

1 ( )(2

+C = ab ba a.b) (6)

85

dont les composantes : ij i j j i k k1C = (a b + a b )a b2

(7)

Dans le cas où les renforts sont positionnées dans le plan 1-2, soit que les composantes l’expression matricielle de la loi de comportement (5) peut-être écrite sous la forme

suivante : 3 3a = b = 0

2 211 1311 11 a 1 b 1

2 222 2322 22 a 2 b 2

33 3333

12 1213 23 44 a 1 2 b

13 1355 56

23 2356 66

E 0 0 E 0 0 D P T a T b0 E 0 E 0 0 D P T a T b

D0 0 E 0 0 0 P2DE E 0 E 0 0 T a a T2D0 0 0 0 E E2D0 0 0 0 E E

σσσσσσ

− + +

− + + −= +

+

1 2b b00

(8)

Les coefficients de la matrice de viscosité ( ) ne dépendent que de ijE 1η , 2η et 3η et des composantes

des vecteurs a et b. Ce modèle contient trois paramètres indépendants de viscosités 1η , 2η et 3η dont les deux premiers sont relatifs au cisaillement le long et transversalement à chacune des fibres. La viscosité 3η contribue aux composantes de contraintes si seulement si les fibres ne sont pas orthogonales (si a est perpendiculaire à b, soit a.b=0, alors C=0). Ce paramètre est donc relié à la variation angulaire (variation de Φ ) entre les renforts lors de la déformation. L’équation (5) est l’écriture la plus générale pour le calcul du tenseur des contraintes, qui est linéaire en fonction du taux de déformation D. A ce modèle, est associée une forme simplifiée, appelée fluide visqueux contraint (constrained viscous fluid). Cette forme consiste à considérer que les composantes du tenseurs des contraintes ne sont fonction que du taux de déformation et indépendantes de la direction des fibres, soit à considérer dans (5) que 2 3 0η η= = . Cette forme simplifiée ne dépend plus que d’un seul paramètre 1η . Cette forme simplifiée concerne des plaques de thermoplastiques (renforcés par un renfort bidirectionnel) dont la viscosité est importante (cas des CFRTP). c) Evolution de ces modèles.

• Expression des viscosités. Les viscosités décrites dans ces modèles peuvent être des constantes ou fonction du taux de déformation, par une loi puissance du type :

n 10 ( 2tr( ))η η −= DD (9)

où les coefficients m et n sont identifiés à partir d’essais expérimentaux sur l’APC2 à 360°. Une loi basée sur les modèle de Carreau a été identifiée expérimentalement du type :

2 (n 1) / 20 (1 ( ) )η η λγ −= + & (10)

où la viscosité dépend du taux de déformation de cisaillement et d’une constante temps ( λ ). A ces modèles de loi de viscosités, les évolutions récentes prennent en compte l’influence de la température qui est nécessaire dans la mise en forme des thermoplastiques. Ainsi la viscosité initiale

0η présente dans les équations (9) et (10) est fonction de la température. 5.2 Glissement interpli et Reconsolidation La modélisation du glissement inter-pli peut-être réalisée par plusieurs approches, par éléments finis : *** Superposition d’éléments de coque en contact visqueux entre elles *** Définition d’un élément de coque multicouche avec loi de glissement aux interfaces. Le procédé de fabrication d’un laminé thermoplastique à fibres longues contient une phase de re-consolidation des différents plis. Cette étape est absolument nécessaire afin de résorber les porosités

86

issues des étapes du procédé. La modélisation du procédé doit permettre de décrire tant le glissement inter-pli que les déformations dans chaque pli et être capable de simuler cette phase de re-consolidation. Dans les codes de simulation de l’emboutissage la tôle emboutie est généralement modélisée par des éléments finis succès de coques compte tenu de la géométrie mince de celle-ci. L’hypothèse de base de contrainte normale nulle dans l’élément de coque s’avère justifiée pour des étapes classiques d’emboutissage. Néanmoins cette hypothèse doit-être contestée lorsque la pièce mince est soumise à une compression, selon la direction transverse, c’est à dire à du pincement. C’est le cas pour le procédé de mise en forme des CFRTP lors de la phase de re-consolidation. La solution consiste dans le développement d’un élément finis de coque à pincement permettant le calcul des contraintes normales transverses pendant tout le procédé. Exemple de cinématique d’élément de coque avec pincement

x x y

y y x

z z

ˆ ˆz zβu = u + zθu = u - zθu = u + zβ

= − × +

3 3u u e θ e

u :

L’expression des déformations (linearisées) donne alors :

13m f 13 1322 22 22 33ct ctp

23m f 23 2312 12 12

2ε 2ε 2εε = ε + ε ; = + ; ε = β

2ε 2ε 2ε2ε 2ε 2ε

m f11 11 11 ct ctpε ε ε

en ayant posé :

m f11 x,1 11 y,1m f22 y,2 22 x,2

m f12 y,1 x,2 12 x,2 y,1

ct ctp,1z,1 y13 13

ct ctp,2z,2 x23 23

ε u ε θε = u ; ε = z -θ2ε u + u 2ε -θ + θ

βu + θ2ε 2ε= ; = z

βu -θ2ε 2ε

Dans le cas de la modélisation de l’étape de reconsolidation la composante de l’effort extérieur exercé sur le degré de liberté de pincement est l’effort de contact du flan pincé soit entre les outils ou entre les autres plis. Dans ces situations on s’intéresse alors à l’évolution au cours du procédé de la composante de contrainte normale au pli, comme indicateur de la re-consolidation et la résorption des porosités.

87

88

Chapitre 7 Contact 1. Introduction.

Le contact est le phénomène moteur de l'emboutissage comme de nombreux autres procédés de mise en forme. Il doit également être pris en compte dans les calculs de crash, comme dans celui de certaines structures et assemblages. C'est cependant un phénomène complexe, en particulier, au niveau des calculs, c'est souvent sa prise en compte dans les simulations qui pose les plus grosses difficultés numériques. C'est pourquoi dans les calculs de structures complexes, il doit être évité partout où c'est possible. Par exemple deux pièces assemblées de telle sorte qu'aucun mouvement relatif n'est permis entre elles (boulonnage, rivetage …) doivent être modélisées comme un seule et même pièce même si les matériaux sont différents. Le contact entre deux pièces ne devra être pris en compte dans les calculs que si le mouvement relatif entre les deux composantes est possible ou qu'une apparition ou une perte de contact est possible, et que cela ait une influence sur le résultat de l'étude. 2. Prise en compte des conditions de contact. Trois types de méthodes sont utilisés dans les codes de calcul par éléments finis : méthodes points à points, méthodes intégrales et méthodes des éléments de contact. Dans les méthodes points à points, on étudie la position de chaque nœud du maillage afin de lui imposer si nécessaire un déplacement qui soit conforme à la surface de contact. Les conditions de contact sont donc formulées en fonction des seules déplacements des nœuds de la structure. Dans les formulations intégrales, elles sont prises en compte de manière globale dans la formulation variationnelle du problème. La fonctionnelle énergie totale du système :

∫ ∫∫ ⋅−⋅−=V S

S

V

V dVufdVuFdVuWuG ρ)()(

est modifiée afin de prendre en compte explicitement les conditions de contact : cS ttcS nnyn dSutdSutuGuuuF

cc∫∫ ++= )(),,(

où est la surface de contact, t la pression de contact, t la cission de frottement, u et u les déplacements normaux et tangentiels au contact.

cS n t n t

Les éléments de contact sont utilisés comme interface entre deux pièces en contact. On les appelle parfois éléments de peau ou éléments frontières. Les conditions de contacts sont exprimées au travers la formulation de ces éléments. 3. La condition de non pénétration.

cγ 1Ω

2Ω Soit cγ la surface de contact entre les solides 1Ω et 2Ω . On note la normale à )(xn cγ :

)()(

)(xx

xnc

c

γγ

∇∇

=

89

Soit la surface de Ω susceptible d’entrer en contact avec 1Γ 1 2Ω et 2Γ la surface de Ω susceptible d’enter en contact avec

2

1Ω . La condition de non pénétration de 2Ω dans 1Ω s’exprime par le fait que pour tout point de 2M 2Γ de coordonnées on ait : 2x

0)( 12 ≥⋅−= nxxg où sont les coordonnées du point de 1x 1M 1Γ le plus proche du point , et n est la normale extérieure à Γ en .

2M

1 1M

2x

2Γ

2Ω

1Γ

n

1x

1Ω

Cette condition, compte tenu du fait que (où u est le déplacement depuis la position initiale ) peut s’écrire :

uxx += 0

0x0)( 012 ≥−⋅−= gnuug

avec nxxg ⋅−= )( 0

1020

Bien que souvent appelée « gap initial » cette valeur dépend en général du déplacement u . 4. Le frottement. 4.1 Introduction.

Le frottement est une force apparaissant à l’interface entre deux solides en contact et qui s’oppose au mouvement relatif de glissement entre ces deux solides. L’intensité de cette force dépend de plusieurs facteurs tels que la pression de contact, la vitesse de glissement, l’aire de la surface de contact, la rugosité de chaque surface, la dureté et la nature des matériaux en présence, la lubrification, ...

Des lois complexes ont été établies par les tribologues pour prendre en compte ces différents paramètres mais elles ne sont que rarement utilisées dans les codes de calcul généralistes où on leur préfère des lois simplifiées. 4.2 Modèles de frottement 4.2.1 Modèle de Coulomb. Il définit une relation entre la composante tangentielle d’effort surfacique de contact (la cission de frottement) et la vitesse de glissement v :

tt

t

0=< tnt valorsttsi µ (adhérence)

0>−= tt

tnt vsi

vv

tt µ (glissement)

90

nt est la composante normale de l’effort surfacique de contact (pression de contact).

nt

nt

tttV

µ est un coefficient de frottement moyen caractéristique des paramètres autres que la pression de contact. En général :

5.001.0 << µ lubrification en film épais sans lubrification 4.2.2 Modèle de Coulomb-Orowan. Extension du modèle de Coulomb, il limite la cission de frottement à la valeur de la contrainte d’écoulement de cisaillement (pour les pressions élevées).

t

tsnt v

vtMint ),( σµ−=

4.2.3 Modèle de Shaw. Prend en compte l’évolution de la surface de contact réelle.

t

tst v

vt ασ−=

8.0

321

=ΓΓ

=Htn

c

rα

pression de contact réduite

Surface de contact réelle rΓ

Surface de contact apparente cΓ

H est la dureté Brinell du matériau.

91

4.2.4 Modèle de Tresca.

t

tst v

vmt σ−=

où m est un coefficient de frottement moyen : 85.003.0 << m

lubrification en film épais sans lubrification 4.2.5 Conclusion sur les modèles de frottement

Dans la plupart des codes de calcul, le frottement suit un modèle simplifié (Coulomb ou Tresca). Ces lois sont parfois étendues afin de prendre en compte l’aspect anisotrope du frottement. Exemples : - Abaqus : - frottement de Coulomb-Orowan

-µ peut être défini en fonction de la vitesse de glissement, de la pression de contact, de la température... - possibilité d’un coefficient de frottement statique et d’un coefficient de frottement dynamique - frottement anisotrope :

nt1µ

2τ

nt2µ

1τ - Pamstamp : Coefficient de Coulomb.

5. Formulation variationnelle et résolution. 5.1.Introduction.

La résolution classique d’un problème de mécanique des milieux continus réside en la minimisation de l’énergie potentielle ( )uΠ . A ce problème classique, il convient d’ajouter la condition de contact. Pour simplifier, on supposera ici :

- une formulation en petits déplacements - un comportement élastique - une formulation point à point - un contact bilatéral - un des deux solides en contact rigide indéformable et fixe - la normale indépendante du déplacement (condition de contact linéaire) - un contact sans frottement.

L’énergie potentielle est :

∫∫ ∫ ΓΩ Ω⋅−⋅−=Π udStudVfdVuu )(:

21)( εσ

soit, compte tenu de )(: uC εσ = (comportement élastique) et de u (discrétisation par sous domaines et interpolation nodale) et après avoir fait apparaître les matrices de rigidité et de second membre classiques :

enuN ⋅=

FuKuuu Tnn

Tn −=Π

21)(

92

la condition de contact (supposé bilatéral) devient pour chaque nœud de cγ :

00 =⋅→=⋅ jjTjj unnu ce qui peut être mis sous la forme générale :

0== nT

m uGg Le problème devient donc :

0)( =Π nT uGconditionlaavecuMinimiser

Quatre méthodes peuvent être employées pour résoudre ce problème : la méthode de pénalisation et trois méthodes utilisant des multiplicateurs de Lagrange. 5.2 La méthode de pénalisation. Consiste à minimiser la fonctionnelle :

nTT

nnn uGGuuu2

)()( µ+Π=Π′

où µ est un réel positif appelé coefficient de pénalisation. Le minimum de )( nuΠ′ est atteint pour : zéroàCAuD nnnun

ηη ∀=Π′ 0))((

nnTT

nTnn

Tn uGGFKu ηµηηη ∀=+−⇒ 0

soit : FuGGK n

T =+ )( µ la condition de contact n’est obtenue exactement que pour ∞→µ . Cependant des valeur très grandes entraînent un mauvais conditionnement de la matrice du système. Il faut donc choisir une valeur suffisamment importante pour que l’approximation faite sur la condition de contact soit acceptable mais qui ne perturbe pas la résolution du système. 5.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange. On minimise :

nTT

mnmn uGuu λλ +Π=Π′ )(),( où mλ est la matrice des m multiplicateurs de Lagrange (coefficients réels) avec m égal au nombre de conditions de contact. Le minimum est atteint pour :

zéroàCAuD

etuD

nmnmmn

nmnu

m

n

ηγηγλ

ηλ

λ ,0)),((

0)),((

∀=Π′

=Π′

soit :

=

=+−

0

0)(

nTT

m

mnTn

uG

GFKu

γ

λη

=

⇒

00Fu

GGK

m

nT λ

La solution garantit le respect des conditions de contact. De plus, autre avantage, on montre que la valeur des multiplicateurs de Lagrange correspond à la pression de contact à la liaison conjuguée. Par contre la taille du problème est augmentée et la présence de valeurs nulles sur la diagonale de la matrice du système nécessite certains aménagement pour la résolution. 5.4 Méthode du Lagrangien perturbé. Afin de supprimer les termes nuls sur la diagonale du système précédant, on modifie la fonctionnelle énergie totale du système par :

93

mTmn

TTmnmn uGuu λλ

µλλ

21)(),( −+Π=Π′

avec 0>µ , ce qui entraîne :

=

=+−

mnT

mn

uG

GFKu

λµ

λ1

0

On retrouve alors : 0=+− n

Tn uGGFKu µ

soit l’équation obtenue avec la pénalisation. L’inconvénient de cette méthode réside toujours dans le choix de la valeur de µ , mais elle permet de calculer les efforts de contact par la détermination des multiplicateurs de Lagrange. 5.5 Méthode du Lagrangien augmenté. On minimise ici la fonctionnelle :

nTT

nnTT

mnmn uGGuuGuu2

)(),( µλλ ++Π=Π′

avec 0>µ . Le problème peut être vu comme le suivant :

Minimiser avec la condition nTT

mn uGu λ+Π )(0=n

T uG traitée par méthode de pénalisation.

Si on note les multiplicateurs de Lagrange solutions du problème, et que l’on cherche à calculer cette solution par une procédure itérative, le problème s’exprime par :

*nλ

nTkT

mT

mnTkT

mn uGuGuMinimiser )()( * λλλ −++Π soit :

00)( * àCAGGFKu nkmm

Tn

km

Tn

Tnn

Tn ηλληληηη ∀=−++−

ce qui peut être rapproché du problème initial : 00 àCAuGGGFKu nn

TTn

km

Tn

Tnn

Tn ηµηληηη ∀=++−

On obtient ainsi la relation :

mnTk

mm uG )(* µλλ =− La solution du problème est donc obtenue par résolution du système :

km

kn

T GFuGGK λµ −=+ )( avec actualisation des multiplicateurs de Lagrange à chaque itération par :

kTkm

km uGµλλ +=+1

Avantages : - pas d’augmentation du nombre d’inconnues du système à résoudre.

- la condition ∞→µ n’est pas nécessaire à la convergence de la méthode de résolution (la valeur n’influe que sur la rapidité de la convergence du système itératif) - c’est l’utilisateur qui fixe la précision des résultats sur les multiplicateurs de Lagrange (critère d’arrêt sur l’équation de réactualisation).

Inconvénient : Ajout d’une procédure itérative, cependant les problèmes pratiques de contact sont toujours itératifs (la surface de contact n’est en général pas connue à l’avance et les problèmes sont non linéaires, donc traité par une méthode de Newton).

94

6. Représentation des surfaces en contact. Les procédures de contact mettent en présence deux corps délimités par une surface externe, laquelle peut être évolutive (pour les problèmes de pénétration, ou de simulation d’usinage avec copeaux par exemple). On peut classer les modélisations du contact en trois groupes, selon le représentation qui est faite des contacteurs en présence :

- Contact déformable-déformable (assemblages de deux pièces) - Contact déformable-indéformable (emboutissage ou autre processus de mise en forme

avec outillage) - Self-contact (crash, joint caoutchouc)

Pour les corps déformables, la surface est en général définie par des cotés d’éléments 2D ou des surfaces d’éléments 3D. Elle peut également être définie par un ensemble de nœuds délimitant un volume (exemple : représentation du fluide dans un processus d’hydroformage). En général les outillages dans les processus de mise en forme sont considérés comme indéformables. La représentation peut alors prendre plusieurs formes selon les logiciels. 1. Droites, arc de cercles, ellipses ... en 2D ou morceaux de parallélépipèdes, sphères, tores...en 3D 2. Splines, B-Splines, polynômes de Bernstein ... en 2D, carreaux de Bézier, Nurbs ... en 3D 3. Segments 2D ou facettes 3D La première méthode est la plus simple et la plus efficace pour la gestion des conditions de contact. Malheureusement elle est limitée à des géométries d’outillages simples, surtout en 3D. La deuxième méthode met en œuvre les outils mathématiques utilisés en CAO, toutes les géométries de contacteurs peuvent donc être représentées. Ces outils de formulation complexe entraînent cependant des calculs longs et répétitifs (méthodes d’interpolation polynomiales). Leur grande précision de la géométrie entraîne aussi des problèmes de stabilité du processus de résolution. La dernière solution est la plus employée à l’heure actuelle, les outils de maillage utilisés permettent une facettisation correcte des contacteurs et les temps de calculs sont plus courts que lors d’une représentation polynomiale. Abaqus utilise les méthodes 1 et 3. Pour la première méthode, les mots clés LINE et CIRL permettent de définir les segments et des arcs de cercle en 2D. Ces entités peuvent être utilisées pour générer des outils 3D grâce aux commandes CYLINDER et REVOLUTION. Pamstamp utilise les facettes 3D. Un contacteur rigide peut se déplacer (poinçon), et on peut lui imposer des efforts (pression serre-flan). Ceci est fait en lui associant un nœud de référence possédant les degrés de liberté classiques. Ce nœud doit être situé au centre de gravité si une masse ou des efforts d’inertie sont attachés au contacteur. Sinon sa position n’a d’importance que si on lui applique une rotation ou si des moments réactifs autour d’un axe doivent être calculés.

1 génératrice

1 CIRCL

1 LINE

2 LINE + 1CIRCL

CYLINDER REVOLUTION

95

La plupart des logiciels utilisent le concept de surfaces maîtres/esclaves. La condition de non pénétration impose alors aux seuls nœuds de la surface esclave à rester en dehors du volume défini par la surface maître.

Vide

Pénétration des nœuds de la surface maître

Non pénétration des nœuds de la surface esclave

Surface maître

Surface esclave

Le maillage des surfaces en contact (spécialement de la surface esclave) est très important si l’on veut éviter les problèmes géométriques tels que pénétration de la surface rigide ou vide entre les deux surfaces. Dans le cas d’un contacteur rigide, il doit toujours constituer la surface maître. Dans le cas de deux surfaces déformables la surface maître est généralement la surface la plus rigide ou celle ayant le maillage le moins dense dans les cas de rigidités équivalentes. Pour deux surfaces équivalentes, le choix n’est pas simple, mais il faut noter que certains logiciels permettent de définir deux contacts différents où les surfaces jouent une fois le rôle de surface maître et une fois celui de surface esclave, ceci au prix d’un coût de calcul plus élevé et de possibles difficultés numériques. Afin de déterminer si un nœud de la surface esclave a pénétré ou non le domaine défini par la surface maître, celle ci doit être orientée. L’orientation des surfaces est liée au logiciel (pour Abaqus et Pamstamp la normale doit être orientée vers l’extérieur, vers la surface esclave). Il convient donc de vérifier lors de la définition des contacteurs que ceux ci sont correctement orientés, en particulier si on a généré certaines parties du maillage à l’aide de symétries, miroir, etc. 7. Petit et grand glissement. Dans certains calculs, on peut tenir compte du faible mouvement relatif des deux pièces en présence pour simplifier l’équation de non pénétration. Si les surfaces en présence glissent peu l’une par rapport à l’autre, et s’il n’y a ni perte de contact ni amorce de contact au cours du pas de temps (ou si elles restent limitées) une hypothèse de petits glissements peut être employée. L’hypothèse de non pénétration est :

nxxgavec

gnuug

⋅−=

≥−⋅−=

)(

0)(01

020

012

pour un nœud de la surface esclave initialement sur la surface maître : 00 =g0

. Si l’on considère une surface maître immobile : u et la condition devient :01 = 2 ≥⋅= nug . La condition imposée par la procédure correspond à )0( =n

T uG 02 =⋅ nu , soit à imposer un déplacement nul dans la direction de la normale n. Dans une hypothèse de petits glissements seuls les nœuds initialement en contact sont gérés dans les procédures de contact. Un nœud en contact est un nœud de la surface esclave qui a pénétré ou qui est sur la surface maître. Un nœud qui vient en contact au cours du calcul n’est pas détecté, de même la condition de contact reste active durant le calcul même si le nœud s’écarte de la surface maître.

96

Déplacement ‘correct’

*

Le nœud est astreint à se déplacer sur ce plan

n

Déplacements possibles n Ce type de procédure n’est valable que dans les codes implicites et les conditions de contact sont généralement remises à ce jour à chaque début d’incrément (elles restent constantes durant tout le processus itératif). L’avantage est un gain de temps au vu de la mise à jour des conditions et une plus grande stabilité de la convergence étant donné que les conditions aux limites ne sont pas modifiées durant l’incrément. L’inconvénient est un moindre respect des conditions de contact. 8 Détection des conditions de contact. Avant d’imposer une quelconque condition de contact, il convient pour chaque nœud de la surface esclave, d’évaluer sa position par rapport à la surface maître. Cette phase permet de déterminer si le point se trouve à l’intérieur, à l’extérieur ou sur la surface du contacteur, mais aussi à quel point de la surface maître il est relié et quelle y est la normale. Cette phase fait appel à des notions géométriques de base mais les stratégies mise en place sont nombreuses. Elles sont liées à la représentation de la surface maître (facettes, carreaux de Bézier, ...) mais aussi à la définition de la normale à cette surface ou du point ‘le plus proche’ sur la surface maître.

Surface maître

x

x Surface esclave x

x

1 n

2

97

On propose ici une méthode de détection du contact pour les surfaces maîtres facettisées et son extension aux carreaux de Bézier.

n P

x

y

z

P1

34

2

*

1

ZY

X

Partant d’un point et d’une facette plane ( de normale ),,( ZYXP )4,3,2,1 nr , il est aisé de définir un repère orthonormé ),,( 21 ntt rrr

1P

et les coordonnées de P dans ce repère. La coordonnée z indique de quel coté du plan se trouve le point P (selon le signe de z et la convention sur l’orientation de la normale) et est le point le plus proche de P sur le plan contenant la facette. La condition de contact ne sera effective que quand on aura vérifié que est bien dans les limites de la facette. Cette manière de procéder suivant la normale à la facette n’est pas la meilleure car elle laisse des zones de l’espace inatteignables. Ce qui peut être vérifié sur l’exemple suivant en 2D :

),, zyx

1P

(

1nr2nr

4

P2

P

D2 D1

P1

3

2 1

Le point P a pénétré le contacteur délimité par les segments 1 et 2. Il est projeté sur la droite D1 contenant le segment 1 en , or ce point est hors segment 1, la condition de contact n’est donc pas retenue. De même le point , son projeté suivant

1PP

1P

2 2nr sur la droite D2 , est hors segment 2 et n’est donc pas retenu. Ainsi ce point, comme tous ceux contenus dans la zone 3, faute de trouver un projeté, ne sera pas pris en compte comme point ayant pénétré le contacteur. Autre problème, les points situés dans la zone 4 sont candidats au contact sur les deux segments.

98

Pour palier à ces problèmes dus à la discontinuité des normales, on préfère interpoler celles-ci à partir de leur valeur nodale, calculée par moyenne des segments, facettes ... dont le nœud participe.

D2 D1

De cette manière l’espace est découpé en ‘zones d’influence’ ne laissant pas de zone de l’espace non visitée. La position d’un point P de l’espace peut être définie par la position de son point de référence sur la facette et d’une quantité située dans la direction de la normale interpolée. Ce qui donne :

1PPP1

))(,( iiiP ndXNX ζηξ +=

où ),( ηξiN sont le fonctions d’interpolation classiques, les coordonnées des nœuds de la facette,

d est la distance , sont les normales nodales et iX

PP1 in 1±=ζ détermine de quel coté de la facette se trouve le point P. Dans cette équation, les inconnues sont ηξ , et ζ qui permettent de calculer :

iiP XNX ),(1

ηξ=

ii nNn ),( ηξ=

et 2,

2,

2, )()()( P

iP

iP

i zzNyyNxxNd −+−+−=

Le système est non linéaire à 3 équations et 3 inconnues, et est classiquement résolu par une méthode de Newton. La résolution de ce système en fait une procédure un peu plus longue mais elle permet de déterminer immédiatement si le point se trouve sur la facette ou à l’extérieur, en effet la facette est limitée par :

1P

≤≤−≤≤−

1111

ηξ

si elle est carrée

≤−−≤≤≤≤≤

1101010

ηξηξ

si elle est triangulaire

Autre avantage de la méthode, la normale étant interpolée, le passage d’un nœud d’une facette à la voisine ne change pas radicalement la condition de non pénétration et donc perturbe moins la convergence du processus de résolution, ce qui peut s’avérer crucial lorsque ce changement concerne, en même temps, un nombre de points important. La méthode peut facilement être étendue aux carreaux de Bézier. Un carreau de Bézier est une surface définie par la fonction P :

99

=→

→×=

∑∑= =

n

i

m

j

mj

niij vBuBPvuPvu

RP

0 0

3

)()(),(),(

]1,0[]1,0[

Les sont les pôles du carreau, c’est à dire un ensemble de points servant à la définition du carreau

(ensemble appelé réseau de contrôle). Ils sont au nombre de (ijP

)1)(1 ++ mn , n et m représentant le

nombre de points dans les directions u et v. est le polynôme de Bernstein : niB

inini uu

ininuB −−−

= )1()!(!

!)(

avec , entier , i entier 10 ≤≤ u n 1> [ ]n,0∈ . On démontre que :

( ) )]()([)( 111

' uBuBnuB ni

ni

ni

−−− −=

(hors cas particulier n=2, i=0 et i=n). Cette formule est utilisée pour le calcul de la normale au carreau :

vvuP

uvuP

vvuP

uvuP

vuN

∂∂

Λ∂

∂∂

∂Λ

∂∂

=),(),(

),(),(

),(

pour obtenir :

)()()(),( 1,

1

0 0,1 vBuBPPn

uvuP m

jniji

n

i

m

jji

−−

= =+∑∑ −=

∂∂

et )()()(),( 1,

0

1

01, vBuBPPm

vvuP m

jniji

n

i

m

jji

−

=

−

=+∑∑ −=

∂∂

Un point de l’espace peut être vu en fonction de son projeté sur la surface du carreau de Bézier, plus une quantité selon la normale en ce point du carreau :

),(),( vudNvuPX P ζ+= 222 )()()( P

zP

yP

x zPyPxPd −+−+−=

Ici aussi, on retrouve un système de trois équations à trois inconnues (u, v et ζ ). La condition définit à elle seule l’appartenance de la solution au carreau, cependant ceux-ci

sont rarement utilisés dans leur totalité. On utilise en fait des restrictions de carreaux, c’est à dire que l’on définit un ensemble de couples ( correspondant à autant de points déterminant la frontière externe de la partie utilisée du carreau.

[ ] [ 1,01,0),( ×∈vu ]

),vu

100

Un carreau peut compter deux restrictions incluses l’une dans l’autre, la deuxième limitant alors un trou au sein de la première (exemple : un serre-flan). Une procédure supplémentaire doit alors être mise en place pour déterminer si la solution trouvée appartient bien à la restriction, et si elle n’est pas dans un trou. 9 Le contact dans les codes explicites. La prise en compte des problèmes de contact dans les codes explicites ne peut être envisagée sous la forme précédemment décrite. Le nombre de pas de calcul étant très élevé (en raison de la condition de stabilité du processus d’intégration temporelle) il ne peut être question d’un processus de résolution itératif à chaque pas de temps. Les procédures sont basées sur une méthode dite de prédiction-correction. Le calcul est effectué dans un premier temps sans prendre en compte les conditions de contact. Dans un second temps cette solution est corrigée pour supprimer toute violation des conditions d’intériorité. Considérons pour commencer le contact d’un solide déformable et d’un solide indéformable fixe (dans l’incrément). La résolution du système détermine les accélérations en chaque nœud. L’utilisation de la méthode des différences centrées (par exemple) détermine les vitesses et les déplacements nodaux. Enfin les coordonnées de chaque nœud sont obtenues par :

PP uxx += 0 )( pP afu =

où l’indice p dénote la prédiction. A ce niveau les points ayant pénétré les outils, la position de leur projeté sur la surface maître, ainsi que les normales aux contacteurs sont calculés par une méthode qui n’a rien de spécifique au schéma d’intégration explicite (la rapidité de la méthode est cependant un critère de choix important).

nr

d

Me

M

outil

Mc

Exemple le point initialement en position M se trouve en Me à la fin de la procédure de résolution. Son projeté sur la surface maître est en Mc, soit à une distance d dans la direction . La force nécessaire pour déplacer le point de M

nr

e en Mc est :

2

1t

ndmF∆

⋅⋅=rr

t∆ est le pas de temps est m est la masse au nœud considéré. La correction en accélération qu’il faut apporter à la solution pour satisfaire l’équation de non pénétration est :

rcamF r

⋅=

soit : ntdc rr

2a∆

= rr

L’accélération totale, solution du problème, est cP aaa r+= et les vitesses et accélérations

deviennent : cP atvv rrr

⋅∆+=

101

cP atuu rrr⋅∆+= 2

Dans le cas où la surface maître est déformable ou mobile, les efforts doivent être partagés entre les deux surfaces. En fin du processus de résolution, quatre nœuds sont détectés pénétrant la surface maître. La force nécessaire au retour de chaque point sur la surface de maître est :

iii

i ntdm

F rr⋅

∆⋅

= 2

Ces forces servent d’abord à calculer la réponse de la surface maître, pour cela les efforts appliqués sur la surface maître sont assemblés sur ses nœuds, ainsi que les masses des points ayant pénétré :

1Rr

4Rr

2Rr

3Rr

1+nM Fr

nM Fr

Assemblage

Mn-1

*Mn *Mn+1

Mn+2

m4 m3 m2 m1

Mn-1

Mn Mn+1

Mn+2

La correction sur l’accélération des nœuds de la surface maître est alors calculée :

r

i

iM

corrMaitrei M

Fa

*r

=

La correction sur l’accélération des nœuds de la surface esclave est obtenue en tenant compte de celle des nœuds de la surface maître par :

corrMaitreoj

i

iecorrEsclavi a

mF

a Prr

rr

+=

corrMaitreojaPr

r étant l’accélération de correction au point projeté du nœud i sur la surface maître. Elle est

calculée en fonction des accélérations de correction des nœuds de la surface maître.

102

Prise en compte du frottement :

Mc

Me

M

g

outil

Soit un point initialement en M, estimé en Me après résolution et corrigé en Mc après prise en compte du contact. On définit le glissement de ce point par :

MMMMg ccrrv ⋅−= )( n⋅nr

La force de résistance à ce glissement est :

2

1t

gmFgl ∆−=

r

Si on note nR la réaction normale au contact en Mc, la forc

ncr RF µ=

soit, en notant m la masse du point et na sont accélération

ncr amF µ=

On appellera donc effort de frottement au point M la quantit

min( cr

gl

glfr F

F

FF ⋅=

soit en terme d’accélération : cffr amF ⋅=

où ),min( 2t

ga

g

ga ncf ∆

⋅−= µ est la correction à appo

compte des conditions de frottement. 10. Problèmes et conseils. 10.1 Représentation des outils. Parce qu’ils sont souvent issus de modèles CAO, il conreprésentant les outils, non seulement la direction de lasurfaces : absence de trous, de chevauchements, de nœudsvérification est de tracer le contour de la surface. Dans automatiques permettant de « nettoyer » les surfaces is(procédure Heal dans Abaqus).

103

n

e de frottement ne peut être supérieure à :

normale :

é :

), glF

rter sur le terme d’accélération pour tenir

vient de vérifier la validité des surfaces normale mais aussi la continuité de ces en double ... Pour cela un bon moyen de certains logiciels il existe des procédures sues de CAO lors de leur chargement

Pas d’intersection si l’alignement n’est pas « parfait »

Surface esclave Risque de pénétration par le coté

Surface maître

Surface maître

Il ne faut pas hésiter à prolonger un peu les surfaces de contact pour éviter des problèmes de glissement dans le vide ou de pénétration (certains logiciels utilisent cette option par défaut). Ne spécifier que les surfaces des contacteurs réellement utiles au contact afin d’éviter des projections sur de mauvaises parties des outils.

Risque de projection

Il faut représenter les outils en utilisant des surfaces lissées, même si les normales sont interpolées :

L’influence se fait sentir sur tout le segment : le nœud ne peut glisser correctement.

Dans le cas de normales interpolée, le même problème existe (en moins prononcé) si l’on met un rayon entre les deux segments. Il existe deux solutions pour remédier à ce problème. La première consiste à imposer localement la normale :

Normales

104

Dans le cas où le logiciel ne permet pas d’imposer localement les normales, on peut couper les segments droits pour limiter l’influence de l’interpolation de normale :

Influence limitée

Si la normale n’est pas interpolée, il faut absolument mettre un rayon pour éviter des problèmes dus à une discontinuité trop importante des normales : Un nœud parvenant en ce

point risque d’être bloqué. Autre exemple :

Risque important de blocage

Certains codes lissent automatiquement les surfaces (exemple Abaqus avec l’option grands glissements). Si l’on souhaite modéliser un angle droit dans ce cas (ou dans celui où l’interpolation des normales est utilisée) il faut séparer les surfaces composant cet angle :

Surface maître n° 1 Surface maître n° 2

Il peut être nécessaire d’imposer localement les normales aux surfaces maîtres, en particulier pour pouvoir respecter les conditions de symétries :

Solution respectant la géométrie

Zone non couverte Axe de symétrie

105

10.2 Représentation des surfaces esclaves. Le maillage des surfaces esclaves doit être suffisamment fin pour pouvoir ‘coller’ à la géométrie de la surface maître, sans laisser de zones remplies, ni de zones de pénétration de la surface maître.

Pénétration

Zone non remplie

Esclave

Maître

Ceci peut entraîner un blocage du calcul :

Maître Les éléments finis d’ordre deux (ou plus) peuvent poser des problèmes dans le calcul des réactions de contact. En particulier dans le cas de contact entre deux surfaces déformables. La raison en est la non uniformité de ces réactions entre nœuds situés aux coins d’un élément et nœuds situés au milieu d’un coté de l’élément. Ceci peut entraîner des pertes de contact des nœuds médians et des oscillations dans l’estimation des efforts réactifs. Les logiciels du marchés proposent pour la plupart maintenant des solutions à ce problème. 10.3 Conditions initiales.

Les conditions de contact sont des conditions aux limites sur les déplacements, elles empêchent donc les déplacements de corps rigide, c’est pourquoi il est important de positionner initialement les différentes pièces de sorte à ce que les contacts soient effectifs (ce problème n’en est généralement pas un pour les logiciels en formulation explicite). De même il ne faut pas oublier de neutraliser les degrés de liberté en rotation sur les contacteurs rigides quand il ne sont pas effectifs. Le frottement empêche lui aussi des mouvements de corps rigides mais il faut pour cela que le contact soit effectif et la pression de contact non nulle (ce qui n’est pas le cas initialement quand la tôle est juste posée sur la matrice par exemple). Dans les cas particuliers où le contact ne peut initialement supprimer tous les mouvements de corps rigide, il convient d’imposer dans un premier temps des conditions aux limites sur la pièce concernée, et de les retirer ensuite dès que les conditions de contact sont suffisantes pour prendre le relais. Au contraire, des pénétrations initiales, mêmes faibles, peuvent bloquer le calcul dès le premier incrément. Afin d’éliminer ces problèmes de convergence, il est préférable d’ajuster les surfaces de contact l’une sur l’autre : Dans Pamstamp : il existe une procédure de positionnement automatique des surfaces de contact permettant de venir tangenter les outils sur le flan. Dans Abaqus : la procédure ADJUST sert à éliminer les petites pénétrations dues aux imprécisions numériques lors des procédures de dessin et de maillage.

106

Zone d’ajustement (définie par l’utilisateur)

Elimination des seules intériorités initiales (ADJUST = 0 )

Ajustement complet (ADJUST > 0 )

Ces ajustements sont purement géométriques, ils interviennent avant le premier incrément de calcul et n’entraînent aucune valeur de déformation. 10.4 Procédures particulières.

Afin de simplifier les procédures de contact, l’hypothèse de petits glissements peut être utilisée dans certains cas. Dans le cas de deux surfaces en contact, ne pouvant ni glisser ni se séparer, la formulation en contact collant simplifie encore plus les calculs. Dans ce cas les nœuds de la surface esclave sont astreints à rester sur la surface maître et ne peuvent en décoller. Il existe également des procédures qui linéarisent la condition de non pénétration : La relation entre distance à la surface maître et pression de contact est en ‘tout ou rien’ et donc fortement non linéaire : si le contact n’est pas effectif, la distance avec la surface maître ne peut être que positive (pas de pénétration tolérée) et dans ce cas la pression de contact (effort transmis entre les deux surfaces) est nulle. Dés que le contact est effectif, la distance est maintenue nulle et la pression de contact n’est pas limitée, jusqu’à libération (pour pression négative). Ce processus fortement non linéaire peut causer de forte difficultés de convergence et mener à un arrêt des calculs. Deux solutions sont utilisées :

Hard contact

Pression de contact

Distance avec la surface maître

107

Petite pénétration admise avant transmission des efforts

Légère tension admise avant séparation

Modified hard contact

Cette solution évite les oscillations lorsqu’un point ‘hésite’ entre contact et non contact, en lui offrant une zone de pénétration avant de le déclarer en contact (ce qui compense les erreurs de précision sur la position du point) et une possibilité de ‘tension‘ de contact avant de l’estimer candidat au décollement et donc de libérer la condition de non pénétration. Ces zones tampons ne font cependant que limiter l’effet de non linéarité du processus, c’est pourquoi une linéarisation exponentielle de la relation est utilisée pour les cas les plus délicats :

0ρ

C

Softened contact

Dans ce cas la pression de contact évolue exponentiellement dès que le point s’approche à moins d’une distance C de la surface maître. De même, elle diminue progressivement lorsque le point s’en éloigne. La difficulté dans ce genre de formulation réside en la définition des paramètres C et 0ρ . Dans les procédures explicites, c’est l’amortissement dynamique associés aux procédures de contact qui permet de réguler efficacement les oscillations de calcul. Il existe également des procédures spéciales pour certains types de calculs particuliers. Dans le cas de la simulation du frettage par exemple, une procédure simplifiée consiste à considérer une forte intériorité initiale et de la supprimer progressivement durant la procédure de calcul. Cette procédure spéciale a pour nom ‘contact interference’ dans Abaqus.

108

Position finale

Position intermédiaire

Début du calcul Valeur de pénétration

Si la valeur de pénétration n’est pas identique pour tous les nœuds, la procédure ‘contact interference, shrink’ doit être utilisée. Il est également possible de ramener les points pénétrant selon une direction particulière à la place d’une projection suivant la normale. 11. Conclusion. Les éléments donnés dans ce chapitre ne sont pas présents dans tous les logiciels du marché, de même la liste des outils n’est pas exhaustive. Les stratégies employées par les concepteurs de codes de calculs sont trop particulières pour que l’on puisse toutes les aborder ici, d’autant plus qu’elles évoluent régulièrement. L’objectif est donc une compréhension globale des procédures utilisées pour résoudre les problèmes de contact, afin que chacun puisse résoudre au mieux les problèmes rencontrés lors de calculs mettant en œuvre le contact. Seule la lecture attentive de la documentation relative à chaque code de calcul permettra d’atteindre cet objectif.

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