Module_géométrie_plane.pdf

République Tunisienne Ministère de l’Education

Direction Générale des Programmes et de la Formation Continue Direction de la Formation Continue

1

Projet de module de formation

Discipline : Mathématiques

Intitulé du module :

La géométrie plane au collège et au lycée

Elaboré par :

Les inspecteurs de mathématiques :

Taoufik Charrada , Abderrahmen Mimouni, Hédi Gassar , Youssef Tlili ,

Houcine Fajraoui , Mounir Hlioui, Mohamed Fkih, Néjib Jazia,

Ali Béji Hammas , Salah Marzougui , Béchir Salem Sghaier

Février 2015



2

Pourquoi ce thème de formation?

Nous avons choisi ce thème de formation pour les raisons qui suivent :

Les élèves trouvent de plus en plus de difficultés pour assimiler les contenus de

la géométrie plane programmés (non analytique essentiellement) aux dépens de

ceux qui traitent de l’algèbre ou de l’analyse. Les démonstrations des propriétés, les

constructions et la détermination de lieux géométriques constituent

essentiellement les parties de l’enseignement de la géométrie que les élèves

n’approuvent pas en général.

Nos programmes officiels de géométrie plane n’explicitent pas clairement les

approches recommandées pour présenter les concepts proposés. En l’absence de

documents d’accompagnement des programmes, les concepteurs des manuels

scolaires proposent leurs approches, sans toutefois les expliciter eux aussi (dans des

brochures, par exemple). Résultat : L’enseignement de la géométrie dépend alors du

savoir-faire de l’enseignant, de son expérience et de son degré de

professionnalisme, et les élèves sont loin d’avoir la même formation, voire la

formation souhaitée.

La place de la géométrie plane (non analytique) dans nos programmes est de

plus en plus amoindrie : Les situations-problèmes qui favorisent le développement

d’aptitudes non calculatoires manquent de plus en plus et d’un niveau

d’apprentissage à un niveau supérieur.

.



3

Objectifs généraux de la formation

Nous visons par le présent module trois objectifs essentiels :

Actualiser et consolider les connaissances des enseignants qui se rapportent à la

géométrie plane (la géométrie du triangle, la géométrie des quadrilatères, la

géométrie du cercle et les transformations planes) afin de leur permettre de

maîtriser les contenus scientifiques figurant dans les programmes officiels.

Permettre aux enseignants d’approfondir leurs connaissances en la matière et

de maîtriser des notions plus larges que celles figurant dans les programmes

officiels.

Amener les enseignants à transférer les aptitudes développées au cours de cette

formation dans leurs pratiques en classes.

Outre ses apports théoriques, ce module de formation peut aussi constituer un

support d’accompagnement pédagogique adressé aux enseignants en vue de leur

sensibiliser sur la manière de présenter le contenu proposé au programme officiel .

On soulèvera soulever la question de l’utilisation des T.I.C en géométrie plane : Les

apports et les conseils pour une utilisation raisonnée.



4

Descriptif de la formation

Afin d’adopter une approche constructiviste , nous avons opté pour des activités de

formation basées sur la résolution de problèmes, la communication interactive et sur

l’expérience des participants. Ce qui facilite le transfert et aura un impact sur la

pratique enseignante.

Planification des activités

Le contenu de ce module de formation est reparti en deux journées de formation en

mode présentiel avec un suivi de formation en mode non présentiel.

Évaluation de la formation

Pour le suivi de l’acquisition des compétences visées par la formation et de l'impact de

cette dernière sur les pratiques des participants, ce guide intègre en annexe des grilles

d'évaluation relatives à chaque journée de formation. Ce sont des évaluations, des

productions écrites par les enseignants participants aux activités présentielles et à

distance, de la formation et des fiches qu'ils doivent remplir et remettre au formateur.



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Déroulement de la 1ère séance de formation

Intitulé de la formation : Géométrie plane Durée : 6 heures Présentation de la séance …………………. 15 mn

Tache1………………………………………. 1h30

Tache 2 …………………………. 1h30

Pause ………………………………………… 15 mn

Tache 3……………………… .. 2 h

Evaluation de la séance de formation ……… 30 mn

Clôture

Déroulement de la 2ème séance de formation

Intitulé de la formation : Les transformations planes Durée : 6 heures Présentation de la séance …………………. 15 mn

Tache1………………………………………. 1h30

Tache 2 …………………………. 1h30

Pause ………………………………………… 15 mn

Tache 3……………………… .. 2 h

Evaluation de la séance de formation ……… 30 mn

Clôture



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Déscriptif de la 1ère séance de formation Public visé : Enseignants de mathématiques au collège et au lycée.

Durée de la formation : 6 heures.

Moyens didactiques : Le tableau, vidéo projecteur

Documents : Document 1

Objectifs: Au terme de cette formation, les participants seront capables de :

Reconnaitre les théorèmes fondamentaux de la géométrie plane et la géométrie

euclidienne ( géométrie du triangle, géométrie des quadrilatères, géométrie du

cercle, …) .

Tâche 1 : Identifier les représentations des participants concernant les

théorèmes fondamentaux de la géométrie plane .

Activité 1: (1h30)

Étape1: Demander aux participants de rappeler individuellement puis en groupe

les théorèmes fondamentaux de la géométrie plane et la géométrie euclidienne.

Étape2: Animer une discussion en plénière sur les productions des participants.

Tâche 2 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans

l’identification des droites remarquables dans un triangle.

Activité 2: (1h30 heures)



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Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre un exercice

concernant les droites remarquables dans un triangle.

Étape2: Animer ensuite une discussion en plénière sur les productions des

participants.

Étape3: Faire un exposé (diapositif 3) qui met l'accent sur les procédures qu’on

peut utiliser dans la résolution des problèmes liés aux droites remarquables dans

un triangle

Tâche 3 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans

l’identification des propriétés d’un quadrilatère.

Activité 3: (2 heures)

Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre les exercices

proposés.


participants

Étape3: Utiliser le rétroprojecteur et faire un exposé ( diapositif 2) qui met

l'accent sur les méthodes qu’on peut utiliser pour résoudre des problèmes de

géométrie liés aux quadrilatères.

Evaluation de la séance ( grille ) ( 30 mn )



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Déscriptif de la 2ème séance de formation Public visé : Enseignants de mathématiques au collège et au lycée.

Durée de la formation : 6 heures.

Moyens didactiques : Le tableau, vidéo projecteur

Documents : Document 2

Objectifs: Au terme de cette formation, les participants seront capables de :

Reconnaitre la définition de l’objet « transformation plane » et les différents types de

transformation ( translation, symétrie, rotation, isométrie, déplacement,…) et leurs

propriétés

- S’approprier différentes méthodes utilisées dans la détermination des lieux

géométriques.

- S’approprier les procédures utilisées dans les constructions géométriques

Tâche 1 : Identifier les représentations des participants concernant les

transformations planes .

Activité 1: (1h30)

Étape1: Demander aux participants de rappeler individuellement puis en groupe

les définitions et les propriétés des différentes transformations planes.

Étape2: Animer une discussion en plénière sur les productions des participants.

Étape3: Evoquer une généralité sur les transformations planes .

(Exposé , diapositif 1)



9

Tâche 2 : Exposer les méthodes utilisées dans les constructions

géométriques

Activité 2: (1h30 )

Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre les exercices

proposés.


participants

Étape3: Utiliser le rétroprojecteur et faire un exposé (Exposé E1, diapositif 2)

qui met l'accent sur les méthodes qu’on peut utiliser dans les constructions

géométriques.

Tâche 3 : faire reconnaitre aux enseignants les procédures utilisées dans la

résolution des problèmes liés aux transformations planes ( alignement de points,

concours de droites, recherche de lieux géométriques, …)

Activité 3: (2 heures)

Étape1: ( en groupes ) : Demander aux participants de résoudre un exercice

lié aux transformations planes.


participants.

Étape3: Faire un exposé (diapositif 3) qui met l'accent sur les procédures

qu’on peut utiliser dans la résolution des problèmes liés aux transformations

planes.

Evaluation de la séance ( grille ) ( 30 mn )



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Document 1

Géométrie du triangle On considère un triangle ABC . On note a = BC, b = AC, c =AB et A’, B’, C’ les milieux respectifs des segments [BC], [AC], [AB]. Médiatrices d’un triangle

Définition : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points du plan qui sont équidistants des extrémités du segment. C’est aussi la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Définition : Les médiatrices d’un triangle ABC sont les médiatrices des segments [AB], [AC] et [BC]. Médianes d’un triangle

Définition On appelle médiane d’un triangle toute droite passant par un sommet et le milieu du

côté opposé. Avec nos notations, les médianes du triangle ABC sont les droites (AA’),

(BB’) et (CC’).

Hauteurs d’un triangle Définition La hauteur issue de A (resp B et C) est la droite passant par A (resp B et C) et

orthogonale au côté opposé [BC] (resp [AC] et [AB]).

Bissectrices d’un triangle

Définition On définit les bissectrices intérieures et extérieures du triangle ABC issues de A de la manière suivante :



11

- La bissectrice intérieure issue du sommet A du triangle ABC est l’axe de l’unique symétrie échangeant les demi - droites [AB) et [AC) - La bissectrice extérieure issue du sommet A du triangle ABC est l’axe de l’unique

symétrie échangeant des demi – droites [AB) et [AC’’) où AC'' AC Remarque : On définit de même les bissectrices intérieures et extérieures issues des sommets B et C

Théorème des milieux Le segment joignant les milieux de deux

côtés d’un triangle, est parallèle au troisième côté et de longueur la moitié de sa longueur.

Si une droite passe par le milieu de l’un des côtés d’un triangle et parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Médiatrices Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit. On a : OA = OB = OC.

Médianes Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, centre de gravité du triangle.

On a :2 2 2

AG AA' ; BG BB' ; CG CC'3 3 3

.



12

Hauteurs Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, l’orthocentre du triangle.

Bissectrices Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit. On a : OA = OB = OC.

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : 2 2 2BC AB AC .

Réciproquement Si ABC est un triangle tel que

2 2 2BC AB AC alors ABC est un triangle rectangle en A.

Triangle rectangle et cercle circonscrit ABC un triangle et I le milieu du côté BC .

Les propositions suivantes sont équivalentes : a) Le triangle ABC est rectangle en A.

b) BC

AI2

c) Le côté BC est un diamètre du cercle

circonscrit. d) I est le centre du cercle circonscrit au

triangle ABC.



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Le théorème d’El Kashi Soit ABC un triangle. On pose : a BC, b AC et c AB. On

a :

2 2 2a b c 2bccosA

2 2 2b a c 2accosB

2 2 2c a b 2abcosC

Loi du sinus

Soit ABC un triangle. On pose : a BC, b AC et c AB.

On a : a b c

sin A sin B sin C

Relations métriques dans un triangle rectangle Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. On a :

2 2 2

2

2

2

BC AB AC

AH.BC AB.AC

AH HB.HC

AB BH.BC

AC CH.CB

Aire d’un triangle Soit ABC un triangle. On désigne par S son aire et par R le rayon de son cercle circonscrit. On pose : a BC, b AC et c AB.

On a : 1 1 1

S absin C bcsin A acsin B.2 2 2

a b c abc

2R2Ssin A sin B sin C

Triangles isométriques Si deux triangles ont un côté égal

compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.

Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux alors ils sont isométriques.

Si deux triangles ont trois côtés respectivement égaux ils sont isométriques.



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Théorème des bissectrices Soit ABC un triangle. On désigne par I le point d’intersection de la bissectrice

intérieure de l’angle A et le côté BC .

On a : IB AB

IC AC .

Le cercle d’Euler (ou cercle des 9 points) Dans un triangle ABC, les 9 points suivants sont sur un même cercle, appelé cercle d’Euler :

Les milieux des côtés du triangle : M1, M2 et M3.

Les pieds des hauteurs du triangle : H1, H2 et H3.

Les milieux des segments joignant l’orthocentre à chacun des sommets du triangle : E1, E2 et E3.

Le centre Ω du cercle d’Euler est le milieu du segment OH , où O est le centre du

cercle circonscrit et H est l’orthocentre du triangle ABC. La droite (OH) est appelée droite d’Euler.



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Constructions géométriques élémentaires

Les constructions géométriques peuvent se classer en différents types : Constructions à la règle et au compas :

Médiatrice d’un segment.

Bissectrice d’un angle aigu.

Parallèle ou perpendiculaire à un droite passant par un point donné.

Cercle circonscrit à un triangle.

cercle inscrit dans un triangle.

Constructions utilisant l’algèbre :

a et b étant deux réels strictement positifs

a b

ab

a b



16

a

4 a

ab



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Moyenne arithmétique 2ab

a b

2DE.xDO DB ab

D’où a b

DE ab2

Par suite 2ab

DEa b

Constructions faisant intervenir des transformations :

Des translations.

Des rotations.

des symétries orthogonales.

Des homothéties. Constructions des coniques:

Construction point par point d’une parabole.

Construction point par point d’une ellipse.

Construction point par point d’une hyperbole.



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Exercices de mise en œuvre

Exercice 1 ABC un triangle rectangle en A et tel que AB 3 et AC 4 . H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer BC, AH, BH et CH. Exercice 2 ABC un triangle rectangle en A. H la hauteur issue de A. Sachant que AH 2 et BH 2.5 , calculer les côtés du triangle. Exercice 3 ABC un triangle. H et K les pieds des hauteurs issues de A et B. Montrer que les points A, B, H et K sont sur un même cercle. Exercice 4

ABC un triangle non rectangle et le cercle de diamètre [BC].

Le cercle recoupe la droite (AC) en I. On désigne par K le projeté orthogonal de A sur (BC) et H le point d’intersection des droites (AK) et (BI). Montrer que (CH) est perpendiculaire à (AB). Exercice 5 RESQ et RAUQ sont deux carrés. Montrer que EQA est un triangle rectangle. Exercice 6 1) Soit C un cercle de centre O et A un point extérieur à C. Le cercle de diamètre [OA] coupe C en I et J. Montrer que les droites (AI) et (AJ) sont tangentes au cercle C. 2) Construire la ou les tangentes issues d’un point donné à un cercle donné. Exercice 7 (le théorème des bissectrices) Soit ABC un triangle.

On désigne par I le point d’intersection de la bissectrice intérieure de l’angle A et le côté BC .

Montrer que IB AB

IC AC .

Exercice 8 Soit ABC un triangle. On désigne par G, H et O respectivement le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.



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La droite (OH) est appelée la droite d’Euler. Montrer que G appartient à la droite d’Euler et que GH 2OG . Exercice 9 (les lunules d’Hippocrate) Dans la figure ci-contre on a un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5. Un demi-cercle est construit sur chaque côté du triangle. Déterminer l’aire des deux lunules. Exercice 10 On donne un triangle vérifiant la propriété : L’un des angles est divisé en 4 angles isométriques respectivement à l’aide de la hauteur, la bissectrice et la médiane (voir figure). Déterminer la valeur de cet angle.

Exercice 11 a- Montrer que le milieu d'un segment joignant le centre du cercle inscrit et le centre

d'un cercle exinscrit est situé sur le cercle circonscrit.

b- Montrer que le milieu d'un segment joignant les centres de deux cercles

exinscrits est situé sur le cercle circonscrit.

Exercice 12 Soit ABC un triangle.

a)Montrer qu’il existe un cercle passant par les milieux des côtés, les pieds des

hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH], [CH]. (on l’appelle le cercle d’Euler du

triangle ABC).

b) Montrer que son centre est le milieu de [OH], et que OH 3OG OA OB OC .

La droite passant par O, G et H est appelée droite d’Euler.

Exercice 13 Montrer que dans un triangle équilatéral la somme des distances aux trois côtés d’un

point M situé à l’intérieur du triangle ne dépend pas de M. (indication : utiliser deux

rotations de centre le centre du cercle circonscrit au triangle).



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Exercice 14 Soit ABC un triangle équilatéral, et M un point du plan. Montrer que :

MA+MB MC si et seulement si M est sur l’arc AB du cercle circonscrit au triangle.

(Indication : utiliser la rotation de centre A et qui envoie B sur C).

Exercice 15 Point de Fermat (ou de Torricelli) : Soit ABC un triangle acutangle (c'est-à-dire sans angle obtus). Montrer qu’il existe un

unique point, intérieur au triangle qui minimise la quantité MA+MB+MC et que

ˆ ˆ ÂMB BMC CMA . Montrer que c’est le point de concours des droites joignant un

sommet au sommet du triangle équilatéral construit à l’extérieur du côté opposé.

Exercice 16 Droite de Simson et droite de Steiner : a) Montrer qu’un point est sur le cercle circonscrit si et seulement si ses projetés

orthogonaux sur les côtés du triangle sont alignés. On appelle leur droite la droite de

Simson du point.

b) Montrer que les symétriques d’un point du cercle circonscrit par rapport aux côtés

sont alignés sur une droite passant par l’orthocentre (cette droite est appelée la droite

de Steiner du triangle).

Exercice 17

Montrer que les bissectrices d’un triangle coupent les médiatrices des côtés opposés

sur le cercle circonscrit.

Exercices 18 Construire des segments de longueur et de direction données joignant deux cercles donnés Exercice 19 Soit dans le plan deux droites D et D ' sécantes en un point I . Construire un triangle équilatéral direct IMM ' tel que M soit sur D et M ' sur D ' . Exercice 20 Construire un cercle passant par un point A donné et tangent à deux droites D et D ' sécantes en O. Le point A ne se trouvant ni sur D , ni sur D ' .



21

Exercice 21 Construire un triangle de périmètre minimum inscrit dans un triangle ayant trois angles aigus. Exercices 22 Soit D une droite et f un point non situé sur D . Construire point par point la parabole de foyer F et de directrice D. donner une construction de la tangente en un point Ade la parabole (P) . Exercices 23 Construire point par point une ellipse de foyers F et F ' et de grand axe 2a. Exercices 24 Construire point par point une hyperbole de foyers F et F ' et de longueur 2a

Indications pour les exercices :

Exercice 11 a) Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures. Leurs points

d'intersection sont les centres I, I1, I2, I3 des cercles inscrit et exinscrits, tangents aux

trois côtés du triangle.

On note O1 le milieu de [II1], situé sur la bissectrice intérieure (AI), et les angles

ˆBAC 2a , ÂBC 2b et ˆBCA 2c .

I, centre du cercle inscrit, est à l'intersection des bissectrices intérieures (BI) et (CI).

I1, centre d'un cercle exinscrit, est à l'intersection des bissectrices extérieures de (BI1)

et (CI1). Les bissectrices intérieures et extérieures sont perpendiculaires, d'où les

angles 1ÎBI et 1

ÎCI sont droits. Le quadrilatère BICI1 est inscriptible dans le cercle de

diamètre [II1] de centre O1 passant par B et C.

Dans ce cercle, le double de l'angle inscrit 1ÎI C est égal à l'angle au centre 1

ÎO C , angle

égal à 1ÂO C . Le supplémentaire de la somme des angles aigus de ÎAC est l'angle

1Î IC = a + c.



22

Dans le triangle rectangle I1IC, l'angle 1ÎI C est le complémentaire de

1Î IC , d'où

1ÎI C =

2

- (a + c).

1ÂO C=

1ÎO C = 2 1

ÎI C = 2 (2

- (a + c)) = 2b car la somme 2(a + b + c) des angles de ABC

est égale à π. On a donc 1ÂO C = ÂBC , le point O1 est situé sur le cercle circonscrit.

Exercice 12

Soit h l’homothétie de centre G et de rapport 1

2 Elle envoie les sommets du triangle

sur les milieux des côtés opposés, et le cercle circonscrit sur le cercle recherché, dont

le rayon est R

2 . Elle envoie les hauteurs du triangle ABC sur les hauteurs du triangle

MNP formé par les milieux des côtés, qui ne sont autres que les médiatrices du

triangles ABC donc O est l’orthocentre de MNP et H est envoyé sur O. Ceci démontre

que 3OH OG et que le centre du cercle d’Euler est le milieu de [OH].

Maintenant considérons l’homothétie de centre H et de rapport 1

2qui envoie le cercle

circonscrit sur un cercle de rayon R

2centré au milieu de [OH], c’est-à-dire sur le cercle

d’Euler. Elle envoie les symétriques de H par rapport aux côtés (qui sont sur le cercle

circonscrit)

sur ses projetés : ce sont les pieds des hauteurs, et ils sont sur le cercle d’Euler. De

même, elle envoie les sommets sur les milieux de [AH], [BH], [CH].

Exercice 13 Soit O le centre du triangle, N et P les images de M par les rotations de centre O et

d’angles 2

3

et

2

3

. Alors :

d(M;AB) + d(M;BC) + d(M;CA) = d(M;AB) + d(P;AB) + d(N;AB) = 3d(O;AB).



23

4) Soit N l’image de M par la rotation de centre A qui envoie B sur C.

Alors MA + MB = MN + NC MC par l’inégalité triangulaire (remarquer que ANM est

équilatéral). L’égalité a lieu si et seulement si N est sur le segment [CM], c’est-à-dire si

2ˆ ˆ3

ANC AMB

, c’est-à-dire si M est sur l’arc AB.

Exercice 21 Soit ABC un triangle n’ayant que des angles aigus. Soit A' ,B' et C' trois points appartenant respectivement au segments BC , CA et AB

On note p le périmètre de A'B'C' ; p A'B' B'C' C'A'

Soit 1A et 2A les symétriques de

A'par rapport aux droites (AC)et

(AB) .

On a 1 2p A B' B'C' C'A

Par symétrie : 1 2AA AA AA' , de

plus 2 1A AA 2 BAC .

L’angle BAC étant aigu , la droite

1 2(A A )coupe les segments AB et

AC .

Le point A' étant donné, le périmètre p est minimum si 1A , B' et C' sont

alignés c'est-à-dire p = 1 2A A .

Cherchons la position de A' sur BC tel que 1 2A A

soit minimum. Le triangle 1 2AA A est isocèle, 1 2A A est minimum

quand AA' est minimum d’où A' est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC . Construction :



24

Document 2

Transformations planes Isométries, Déplacements, antidéplacements

Homothéties, Similitudes. On note P le plan affine euclidien et on suppose que P est orienté dans le sens direct.

Définition Une transformation plane est une bijection du plan dans lui-même.

Exemples de transformations planes :

Une symétrie orthogonale S est transformation plane ; sa réciproque est S elle-

même.

Une translation de vecteur u est une transformation plane ; sa réciproque est la

translation de vecteur u .

une rotation de centre I et d’angle est une transformation plane ; sa réciproque est

la rotation de centre I et d’angle - .

Isométries planes

Définition

Une isométrie du plan est une application du plan dans lui-même qui conserve les

distances.

Remarque : Dans la suite le mot isométrie désignera une isométrie plane ( ou du plan).

Théorème

Une isométrie est une transformation plane ; la réciproque d’une isométrie est une

isométrie.

Théorème

Soit f une application du plan dans lui-même.



25

f est une isométrie si et seulement si f conserve le produit scalaire.

Démonstration :

Soit f une isométrie et soient A, B, C des points du plan et soit 'A , 'B et 'C leurs images

respectives par f.

D’une part : B'C' BC ; A'C' AC et B'C' BC

d’autre part

2 22 2 2 2 2B'C' B'C' A 'C' A'B' A'C' A'B' 2A'B'.A 'C' AC AB 2AB.AC

d’où A'B'.A'C' AB.AC et par conséquent f conserve le produit scalaire.

Réciproquement Soit f une application du plan qui conserve le produit scalaire.

Soit M et N deux points du plan d’images respectives M'et N ' .

2 2M'N' M'N'.M'N' MN.MN MN d’où f est une isométrie.

Conséquence

La relation : 2 2 2BC AB AC 2ABxACcos BAC montre qu’une isométrie conserve les

angles géométriques.

Remarque

Une isométrie conserve les angles géométriques, mais pas nécessairement les angles

orientés.

Théorème

Une isométrie transforme trois points alignés en trois points alignés.

Démonstration

Soit f une isométrie et soient A, B, C des points alignés du plan et soit 'A , 'B et 'C leurs

images respectives par f.

On suppose que B AC

Les points étant alignés , on a : AC =AB + BC d’où A'C' A'B' B'C' .



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Théorème

L’image d’une droite par une isométrie est une droite.

Théorème

L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique.

Théorème

Toute isométrie transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.

Toute isométrie transforme deux droites perpendiculaires en deux droites

perpendiculaires.

Déplacements - Antidéplacements

Définition

On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les angles orientés de vecteurs

et antidéplacement toute isométrie qui n’est pas un déplacement.

Théorème

Une isométrie est soit un déplacement, soit un antidéplacement.

Propriétés

La composée de deux déplacements est un déplacement.

L’inverse d’un déplacement est un déplacement .

La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement

L’inverse d’un antidéplacement est un antidéplacement.

La composée de deux antidéplacements est un antidéplacement.

Théorème

Un déplacement est la composée de deux symétries orthogonales.

Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale soit la composée de trois

symétries orthogonales.



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Théorème

Un déplacement est soit l’identité, une translation, une rotation .

Un antidéplacement est soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissante.

Théorème

Soient t A, B , C et D quatre points du plan tels que AB = CD et AB 0.

Alors, il existe un seul déplacement qui transforme A en C et B en D.

Alors, il existe un seul antidéplacement qui transforme A en C et B en D.

Tableau de classification

Ensemble de

points fixes

Nature décomposition

P Identité : Id P S oS

Rotation : ( , )R 'S oS ; '

Symétrie axiale : S S

Translation : u

t 'S oS ; / / '

Symétrie glissante :

D Du uS ot t oS ; u est un vecteur

directeur de D

"o 'o ; / / ' et "

Compositions

la composée de deux rotations est soit une rotation, soit une translation.

La composée de deux translations est une translation.



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La composée d’une symétrie et d’une translation est soit une symétrie , soit une

symétrie glissante.

La composée d’une rotation et d’une translation est une rotation.

Homothéties

Définition

Etant donné un point O du plan et un réel k non nul, on appelle homothétie de centre

O et de rapport k, la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel

que OM' kOM .

Notation : une homothétie h de centre O et de rapport k est noté : h(O,k).

Théorème

Pour toute homothétie h de centre O et de rapport k, si M et N ont pour images M' et

N ' par h , alors M'N' kMN et M'N' k MN .

Théorème

Toute homothétie est déterminée par la donnée de deux points distincts et leurs images. Démonstration C’est clair si M' M ou N' N , car on dispose du centre O de h et le rapport se déduit

de OM' kOM .

Si ce n’est pas le cas, le réel k est déterminé par M'N' kMN . par ailleurs O est le point d’intersection des droites (MM') et (NN') si elles sont distinctes. Si ce n’est pas le cas,

on peut trouver le point O comme étant l’unique point de la droite (MM') vérifiant

OM' kOM .

Théorème

Toute homothétie transforme trois points alignés en trois point alignés.



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Théorème

L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

Théorème

L’image d’un cercle par une homothétie est un cercle.

Théorème ( caractérisation d’une homothétie)

Soit k un réel non nul et différent de 1.

Une transformation f est une homothétie de rapport k, si et seulement si , pour tous

points M et N , M'N' kMN où M' f (M) et N' f (N) .

Similitudes planes

Définition On appelle similitude plane, toute transformation du plan qui conservent le rapport de distances. Théorème Pour tout similitude f, il existe un unique réel strictement positif k ( appelé rapport de la similitude f) tel que pour tous points A et B d’images A ' et B' ; A'B' kAB . Démonstration Il suffit de fixer deux points distincts C et D avec pour images C' et D'

et noter A'B' C'D'

kAB CD

.

L’unicité est claire puisque, si A et B sont distinctes , kAB k 'AB entraine k k ' . Exemples Les isométries sont des similitudes de rapport 1 Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport k .

Propriétés La composée de deux similitudes de rapports k et k ' est une similitude de rapport kxk '.

L’inverse d’une similitude de rapport k est la similitude de rapport1

k.



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Théorème toute similitude de rapport k est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie. Théorème Toute similitude transforme trois points alignés en trois points alignés. Toute similitude transforme une droite en une droite. Toute similitude transforme un segment en un segment. Toute similitude transforme un cercle de rayon r en un cercle de rayon kr. Similitudes directes et indirectes Définition Une similitude directe est la composée d’une homothétie et d’une rotation. Une similitude indirecte est la composée d’une homothétie est d’une symétrie orthogonale. Conséquences La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe. La composée d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. L’inverse d’une similitude directe est une similitude directe. L’inverse d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. Théorème : Pour toute similitude directe et pour touts points A, B et C distincts deux à deux

d’images A',B'et C' , on l’égalité A'B',A 'C' AB,AC 2 .

Théorème Pour toute similitude indirecte et pour touts points A, B et C distincts deux à deux

d’images A',B'et C' , on l’égalité A'B',A 'C' AB,AC 0 2 .

Conséquences Une similitude directe transforme un angle orienté de vecteurs en un angle orienté de même mesure. Une similitude indirecte transforme un angle orienté de vecteurs en un angle orienté de mesure opposée.



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Théorème : Pour toute similitude directe et pour touts points A, B , C et D distincts deux à deux

d’images A',B' , C' et D' , on l’égalité AB,A'B' CD,C'D' 2 .

AB,A'B' 2 est appelé l’angle de la similitude .

Théorème Toute similitude de rapport k différent de 1 admet un seul point fixe . ce point fixe est appelé le centre de cette similitude. Théorème Toute similitude directe f de centre O et de rapport k s’écrit d’une façon unique

O,k) (O, ) (O, ) (O,k)f h or r oh ( une telle écriture est appelée forme réduite de f).

Le centre, le rapport et l’angle sont les éléments caractéristiques d’une similitude directe. Théorème Soit f une similitude directe de centre O et de rapport k et d’angle .

Alors, pour tout point M du plan distinct de O, d’image M' par f ;

OM ' kOM

OM,OM ' 2

Théorème Toute similitude indirecte f de centre O et de rapport k s’écrit d’une façon unique

O,k) (O,k)f h oS S oh ; O ( une telle écriture est appelée forme réduite de f).

Le centre, le rapport et l’axe sont les éléments caractéristiques d’une similitude indirecte. Théorème Soit f une similitude indirecte de centre O et de rapport k et d’axe . Alors, pour tout point M du plan distinct de O, est la bissectrice intérieure du secteur

OM,OM' .

Théorème Si f est la similitude indirecte de centre O et de rapport k et d’axe . Alors, fof est l’homothétie de centre o et de rapport k2.



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Exercices de mise en œuvre Exercice 1 Etant donné deux droites D et D' , existe-t-il des translations qui transforment D en D' ? Exercice 2 On considère une droite D , un point A de cette droite et r un réel strictement positif. Un cercle ( C ) de centre O de rayon r , passant par A, recoupe la droite D en un point M. La médiatrice de [AM] coupe ce cercle En P et Q. On demande de déterminer l’ensemble des points O, l’ensemble des points P et Q et l’ensembles des orthocentres H des triangles APM et AQM. Exercice 3 Soit ABC un triangle , M, N et P respectivement des points sur (BC) , (CA) et (AB) et distincts des sommets du triangle. Soit , et trois réels définis par

MB MC , NC NA et PA PB .

Montrer que M , N et P sont alignés si et seulement si, 1 .

Exercice 3 Soit un parallélogramme ABCD . Par un point du plan on mène la parallèle à (AD) qui coupe (AB) en M et (CD) en N, puis la parallèle à (AB) qui coupe [AD] en P et [BC] en Q. Montrer que les droites (AQ) , (BN) et (DQ) supposées bien définies et deux à deux sécantes ont un point commun