Mouvement et forces - WordPress.com

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Mouvement et forces

I. Forces usuellesUne force est une action mécanique qui peut modifier le mouvement ou la forme

d’un solide. Pour étudier plus facilement leurs effets, on modélise les actions mécaniques par un outil mathématique : le vecteur.

I.1. Force d’interaction gravitationnelle• Entre deux corps de masse mA et mB

F⃗ A /B=−F⃗B / A=−G mA mB

AB2A⃗BAB

• Cas particulier : le poidsUn objet à la surface de la Terre a aussi une force d’interaction gravitationnelle avec celle-ci. Dans ce cas, elle est appelée poids de l’objet et alors :

P⃗=F⃗T /A=G mA mT

RT2 u⃗=mA g⃗

où u⃗ est un vecteur unitaire dirigé vers le centre de la Terre et g=9,81m . s−2

Exercice 1 : Si l’objet est à une altitude h, comment s’exprime la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur l’objet ? Exprimer la nouvelle valeur de g en fonction de h

I.2. Force électrique

Dans un champ électrique E⃗ , une particule chargée de charge q (en Coulomb) est soumise à une force électrique F⃗ telle que :

F⃗=q E⃗

• Si q<0 , cas de l’électron par exemple, F⃗ et E⃗ sont colinéaires et de sens opposés.

• Si q>0 , cas du proton, E⃗ et F⃗ sont colinéaires et de même sens.

I.3. Réaction du support

Un objet posé sur un support est soumis de sa part à deux réactions :• Réaction normale, perpendiculaire au support

Cours de Term_Spé:Physique-Chimie. Chapitre6 : Mouvement et forces

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• Réaction tangentielle, parallèle au support et, le cas échéant s’oppose au mouvement. Il s’agit d’une force de frottement.

La somme de ces deux composantes est appelée réaction du support.

I.4. Poussée d’Archimède

« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède »

Exercice 2 : Un parachutiste expérimenté a le projet de s’élever à une altitude de 40km au moyen d’un ballon sonde gonflé à l’hélium. Arrivé à cette altitude, il envisage de sauter de la capsule du ballon pour effectuer un saut, d’abord en chute libre, avec l’ambition de battre un record de vitesse, puis en parachute afin de regagner la terre ferme en douceur.On suppose qu’au décollage le système {ballon+capsule+sauteur}, étudié dans un référentiel terrestre considéré galiléen, n’est soumis qu’à son poids et à la poussée d’Archimède.Soit

• m : la masse du sauteur et de son équipement• m’ : masse de la capsule• m’ ’ : masse du ballon• V : volume du ballon• ρ : masse volumique de l’air au sol• g : accélération de la pesanteur au sol

On donne m’+m’ ’=750 kg ; V=800m ³ ; ρ=1,20kg .m−3 ; g=9,81m . s−2

1. Calculer la valeur de la poussée d’Archimède FA s’exerçant sur le ballon au sol.

2. Calculer le poids P ₁ de l’ensemble {ballon +capsule}, puis exprimer P₂ le poids du sauteur avec son équipement.

3. Quelle relation entre les forces assurent le décollage du ballon ?4. Établir l’expression littérale de la relation que doit vérifier la masse m pour

réussir le décollage, en fonction de m’, m’’, ρ et V. En déduire la valeur de cette masse, notée m*, qui ne doit pas être atteinte.


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II. Seconde loi de Newton

Les lois du mouvement de Newton ont été énoncées dans son ouvrage « Philosophiae naturalis principa mathematica » en 1687. Il s’agit en fait des principesà la base de la grande théorie de Newton concernant le mouvement des corps, théorie que l’on nomme aujourd’hui mécanique newtonienne ou encore mécanique classique.

II.1. Centre de masse d’un système

Le centre de masse d’un système est le point auquel on associe toute la masse du système par simplification. Il exerce autour de lui le même champ de gravitation que le système lui-même.Pour un solide de masse volumique homogène cela correspond au centre géométrique.

II.2. Référentiel Galiléen

Les lois de Newton sont énoncées dans le cadre de référentiels galiléens. Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie est vérifié dans celui-ci. Cela implique qu’un référentiel est galiléen s’il est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

Les référentiels usuels sont :


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Exercice 3 : Parmi les référentiels précédents, lequel proposeriez vous pour étudier :• Le mouvement d’une balle de tennis• Le mouvement de l’ISS autour de la Terre• La trajectoire de Neptune autour du Soleil

II.3. Énoncé de la seconde loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces est égale au produit de la masse de l’objet par l’accélération de son centre de masse :

∑ F⃗ ext=m a⃗

II.4. ApplicationsII.4.1. Cas d’un chute libre sans vitesse initiale

Définition du problèmeOn considère une bille de masse m lâché depuis le haut d’un immeuble de hauteur H sans vitesse initiale

Mise en place• Référentiel :Terrestre supposé galiléen• Définition du système :{bille}• Définition des axes: O l’origine du repère est au sol et k⃗ est un vecteur

unitaire dirigé vers le haut• Bilan des forces : P⃗=m g⃗

• Conditions initiales : v⃗0=0⃗ et O⃗M ₀=H k⃗

• Seconde loi de Newton : ∑ F⃗ ext=m a⃗

et comme la seule force qui s’applique ici est le poids, P⃗=m a⃗ et enfin g⃗= a⃗

Équations horaires du mouvementD’après la seconde loi de Newton appliquée à ce mouvement de chute libre dans un référentiel galiléen, on a :

a⃗= g⃗

On écrivant dans le repère choisi, on obtient a⃗=−g k⃗Et comme l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse, on en déduit :

v⃗=(−g t +C ₁) k⃗La constante C₁ est déterminée grâce aux conditions initiales sur la vitesse et vaut 0.

v⃗=−g tDe plus la vitesse étant la dérivée de la position, on en déduit :

O⃗M=(−12

g t 2+C2) k⃗

La constante C₂ est déterminée grâce aux conditions initiales sur la position et vaut H.


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On peut alors écrire l’équation horaire de la position (une seule équation car le mouvement est rectiligne): z (t)=−1

2g t2+H

Exercice 4 : Pour la situation de précédente de la chute de la bille déterminer la durée de la chute en fonction de la hauteur de l’immeuble.

II.4.2. Cas d’un chute libre avec vitesse initiale

Définition du problèmeOn considère une balle de tennis de masse m lancée avec une vitesse initiale V₀ incliné de α par rapport à l’horizontal.Mise en place

• Référentiel : Terrestre supposé galiléen• Définition du système :{balle de tennis}• Définition des axes :

• Bilan des forces : P⃗=m g⃗

Les frottements seront négligés• Conditions initiales :

Sur la vitesse on aura V⃗ 0{V 0cosαV 0sinα

et sur la position O⃗M ₀(0h)• Seconde loi de Newton : ∑ F⃗ ext=m a⃗ et comme la seule force qui s’applique ici

est le poids, P⃗=m a⃗ et enfin g⃗= a⃗

Équations horaires du mouvementD’après la seconde loi de Newton, on a a⃗= g⃗

On écrivant dans le repère choisi, on obtient a⃗=( 0−g)Et comme l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse, on en déduit :

v⃗( C ₁−g t+C2)

Les constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales sur la vitesse et on obtient :


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v⃗( v0 cosα−g t+V 0sinα)

De plus la vitesse étant la dérivée de la position, on en déduit :

O⃗M( v0 cosα t+C3

−12

g t2+V 0 sinα t+C4)Les constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales sur la position et on obtient :

O⃗M( v0 cosα t−12

g t2+V 0 sinα t+h)Exercice 5: Pour la situation de la balle de tennis, déterminer l’équation de la trajectoire z (x) puis expliquer comment vous pourriez déterminer la flèche et la portée d’une telle trajectoire.

III. Mouvement des satellites et des planètes

En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe, mesures qui étaient très précises pour l'époque. Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du Soleil, mais il s'appuyait sur le mouvement circulaire uniforme, hérité de l'antiquité grecque, et les moyens mathématiques n'étaient pas si différents de ceux utilisés par Ptolémée pour son système géocentrique.

Les deux premières lois de Kepler sont publiées en 1609 et la troisième en 1618.

En 1687, s'appuyant sur les travaux de Galilée, Kepler et Huygens, Isaac Newton découvre la loi de la gravitation qui lui permet d'expliquer les trois lois de Kepler.

III.1. Les lois de Kepler

III.1.1.Première loi de Kepler (= loi des orbites)

Toutes les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers.

III.1.2.Deuxième loi de Kepler (=loi des aires)


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Pendant des intervalles de temps Δ t égaux la planète balaye des surfaces 'S'

égales de l'ellipse.

Lorsque

Δ t=t ₃−t ₂=t ₁−t ₀ on a S₁ =S₂

III.1.3. Troisième loi de Kepler (=loi des périodes)

Soit T la période de révolution de la planète autour du soleil, et 'a' la longueur du

demi-grand axe de l'ellipse. La période de révolution au carré divisée par le demi-

grand axe 'a' au cube est une constante.

T 2

a3=constante

III.2.Mouvement circulaire dans une base de Frenet

N⃗ et T⃗ sont les deux vecteurs définissant la base de Frenet. Ils sont tous les

deux liés au point M et sont donc mobiles (ils suivent le point M).

N⃗ est le vecteur unitaire dirigé vers le centre la

trajectoire et T⃗ est le vecteur unitaire tangent à la

trajectoire (dans le sens du mouvement).

En terminale, on admettra que dans une telle base, le

vecteur accélération s’écrit :

a⃗= v ²R

N⃗+ dvdt

T⃗

III.3. Vitesse d’un satellite en mouvement circulaire uniforme

Considérons le mouvement d’un satellite de masse m en mouvement circulaire uniforme

à une altitude h autour de la Terre de masse M T et de rayon RT


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Dans le référentiel géocentrique supposé Galiléen la seconde loi de Newton s’applique

et donc on a :

Σ F⃗ ext=m a⃗

La seule force qui s’exerce sur le satellite peut s’écrire ⃗FO /S=G m M T

(RT+h) ²N⃗

et dans la base de Frenet l’accélération s’écrit a⃗= v ²RT+h

N⃗+ dvdt

T⃗ , en remplaçant, on

obtient :

G m M T

(RT+h) ²N⃗=m( v ²

RT+hN⃗+ dv

dtT⃗ )

Comme le mouvement est uniforme, la vitesse est constante et donc : dvdt

=0

G m M T

(RT+h) ²N⃗=m

v ²RT+h

N⃗

En simplifiant sur N⃗ et m, on obtient : G MT

(RT+h) ²= v ²

RT+h

en isolant v, on trouve : v ²=G M T

(RT+h)

et enfin : v=√ G M T

(RT+h)

C’est à dire que la vitesse d’un satellite en rotation autour de la Terre ne dépend que

de l’altitude de celui-ci.


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III.4. Période et 3ème loi de Kepler

On note T la période du satellite, c’est à dire la durée pour que le satellite effectue

une rotation complète autour de la Terre. La distance parcourue est alors de

2Π(RT+h) . On peut alors écrire la vitesse v=2Π(RT+h)

T.

D’après le paragraphe précédent v=√ G M T

(RT+h), en remplaçant on obtient alors :

T=2Π(RT +h)

√ GMT

(RT+h)

=2Π√(RT+h)²∗√ (RT+h)GMT

=2Π√(RT+h)3

GMT

Remarque : On peut alors écrire T ²=4Π ²(RT+h)3

GMT

et donc T ²

(RT+h)3= 4Π ²

GMT

ce qui

valide la troisième loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme

Exercice 6 : On donne la masse de la Terre M T=5,972∗1024 kg le rayon de la Terre

RT=6371km et la constante de gravitation universelle G=6,67∗10−11m ³ .kg−1. s−2

Déterminer l’altitude à laquelle doit se situer un satellite en rotation autour de la

Terre pour être géostationnaire.


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