UTC - Catalogue des UVs 2003-2004 1

MQ03 Mcanique des Vibrations I

Description brve : Cette UV donne les bases de la rponse vibratoirelibre dun systme discret 1 ou 2 degrs de libert. Le systme peut treamorti ou non. Elle donne aussi la rponse force de tel systme lorsquilest soumis une excitation harmonique.Niveau conseill : GM01 GSM01Mots cls : Vibrations, systmes discrets, Oscillateur harmonique, D-composition modaleResponsable automne : P. WAGSTAFFResponsable printemps : M. BEN TAHAR

AutomnePrintemps

C 34 hTD 34 hTP 20 h

valuation automne : mdian, final et TPsvaluation printemps : mdian, final et TPsOuvrage de rfrence : Poly + rfrences bibliographiques sur le site de lUV.Informations spcifiques :

Motivations : pourquoi lUV

Laspect vibratoire est un aspect primordial dans ltude des systmes mcaniques. Eneffet, dans un grand nombre dapplications industrielles, le systme est soumis des excita-tions qui le font vibrer. Cette tude est assez complexe dans le cas gnrale. Cette complexitpeut avoir pour origine le systme lui-mme ou/et lexcitation. Pour sinitier ltude des r-ponses dynamiques dun systme, il est ncessaire de faire des hypothses simplificatrices surle systme et/ou sur lexcitation. Pour le systme, il est souvent possible, dans une premire ap-proximation, de le considrer form par un assemblage dlments simples (masse ponctuelleou rpartie rigide, ressort linaire sans masse, amortisseur comportement bien identifi). Pourlexcitation, il est souvent possible de la considrer avec une dpendance sinusodale en temps.La dernire hypothse simplificatrice est que lexcitation ne provoque quun petit mouvement(rotation et/ou translation) du systme : on parlera de comportement linaire ou linarisation.Cest sous ces diffrentes hypothses, trs simplificatrices, que linitiation ltude des vibra-tions des systmes mcaniques est faite en MQ03. On parlera de ltude des systmes discrets( un ou plusieurs degrs de libert) soumis une excitation sinusodale en temps. On mon-trera que mme sous ces hypothses, les problmes quon peut rsoudre sont trs nombreuxet que ces simplifications nentravent en rien la gnralit des concepts tudis. Il est aussi remarquer que ltude de la rponse vibratoire de systmes mcaniques complexes, lorsquelleest faite par une approche numrique, aboutie un systme discret quivalent au systme rel.Tous ces commentaires montrent lutilit de MQ03, dans le cursus de formation de lingnieur.

Objectifs de lUV

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- Etablir et rsoudre lquation dun oscillateur harmonique ( 1DDL) amorti ou non libreou soumis une excitation sinusodale. - Etablir et rsoudre le systme dquations dun os-cillateur harmonique ( 2DDL) amorti ou non libre ou soumis une excitation sinusodale parune mthode directe. - Etablir les quations de mouvement laide des quations de Lagrange.- Calculer les frquences propres et les modes propres dun systme 2 DDL. - Calculer larponse dun systme 2 DDL par une mthode de superposition modale.

Rsultats attendus de lUV

- Ecrire lquation du mouvement vibratoire dun systme discret 1 DDL - Trouver lasolution de cette quation dans le cas dune excitation harmonique - Ecrire lquation du mou-vement vibratoire dun systme discret 2 DDL - Trouver la solution directe de ce systmequation dans le cas dune excitation harmonique - Connatre la notion de frquences propreset de modes propres - Trouver la solution par superposition modale de ce systme dquationsdans le cas dune excitation harmonique

Programme de lUV

RappelsCinmatique dun solide, Quantits cinmatique dun point, Relations entre les vitesses de

deux points dun mme solide, Relations entre les acclrations de deux points dun mmesolide, Mouvement plan dun solide, Centre instantan de rotation, Cintique dun solide,Moment dinertie dun solide par rapport un axe, Matrice dinertie, Thorme de Huy-ghens, Principe fondamental de la dynamique, Premire loi de Newton ou principe de linertie,Deuxime loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique, Expression du principefondamental de la dynamique dans un repre non galilen, Equation diffrentielle linaire dusecond ordre coefficients constants, La solution gnrale de lquation sans second membre,Solution de lquation diffrentielle avec second membre (non homogne), Annexe : Rsolu-tion dune quation diffrentielle de second ordre, Cas homogne, Discussion des diffrentessolutions, Cas dquation non homogne : Dtermination de la solution particulire, Dcom-position sur la base de lexcitation, cas particulier dune excitation harmonique en temps,

Oscillateur harmonique libre non amortiIntroduction : exemples doscillateurs harmoniques, Caractristiques communes, Equation

de mouvement, Cas de la masse accroche un ressort lastique, Cas de larbre en torsion,Cas de la poutre en flexion, Cas du bouchon, Cas de nanomtre , Pendule simple, Rponse deloscillateur libre non amortie, Cas gnral, Assemblage de ressorts, Mouvement doscillationdans un repre non galilen,

Mthode dnergieDfinition de lnergie cintique, Thorme de lnergie, Puissance dune force applique

solide, Thorme de lnergie cintique, Energie potentielle : nergie potentielle de pesanteur,nergie potentielle lastique due un ressort, Application : Mthode de Rayleigh,

Oscillateur harmonique libre amortiIntroduction, Amortissement visqueux, Dcrment logarithmique, Dtermination expri-

mentale de lamortissement, Energie dissipe par cycle, Oscillateur amorti par frottement so-

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lide : (amortissement de type Coulomb), Amortissement structural : analogie avec un amortis-sement visqueux, Dtermination exprimentale du coefficient damortissement structural,

Rponse une force dexcitation sinusodaleCas dun oscillateur non amorti, Phnomne de rsonance, Phnomne de battement, Im-

pdance mcanique complexe, Bilan nergtique :Puissance de la force excitatrice, Puissancedissipe par frottement, Facteur de qualit,

Rponse une exicitation par dplacement sinusodal impos1er cas : w0 w principe du sismographe, 2me cas : w wn : principe dacclromtre,Oscillations libres dun systme deux degrs de libertEquations dquilibre, Solutions harmoniques, Phnomne de battement, Applications des

conditions aux limites particulires,Prsentation matricielle dun systme 2 D.D.L.Prsentation des quations dquilibre : application au cas doscillateurs harmoniques libre

et sans amortissement, Problme aux valeurs propres : Equation caractristique, dterminationdes vecteurs propres, proprit dorthogonalit des modes, Intrt de lapplication du problmeaux valeurs propres, Notion de couplage, Proprits de lquation aux valeurs propres : Formede la solution gnrale Annexes, Rappels sur le Problme aux valeurs propres

Rponse force dun systme 2 D.D.L. : excitation harmoniqueEquations du mouvement, Recherche dune solution, Impdance mcanique, Amortisseur

dynamique de vibration,Systme N degrs de libert - Equations de LagrangeNotion de coordonnes gnralises, Principe de Hamilton, Equation de Lagrange, Dfini-

tion du Lagrangien, Introduction de la notion du multiplicateurs de Lagrange,Rponse dun systme 2 D.D.L. par la mthode de superposition modalePrincipe, Prsentation du principe sous forme matricielle, Normalisation par rapport [M]

des vecteurs propres, Amortissement de Rayleigh,

Connaissances pralables requises ou souhaites

- Connaissance de base cinmatique de solide - Connaissances de base de calcul matriciel

cDAE UTC Juin 2003