-
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
Méthode de Boltzmann sur Réseau
Document rédigé par Olivier BONNEFOYMail : [email protected]
Version : 2.2 du May 5, 2021Dernière version : ici
mailto:[email protected]://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/LBM-EMSE.pdf
-
Une mise à jour de ce document pourra bientôt être téléchargée
sur :http://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/LBM-EMSE.pdf
2
http://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/LBM-EMSE.pdf
-
Introduction
Le présent document est une courte introduction à la méthode de
Boltzmann sur réseau (Lattice Boltz-mann Method ou LBM en anglais)
destinée aux étudiants de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de
Saint-Etienne. Il présente l'équation de Boltzmann (physique
statistique), sa discrétisation dans l'approximationBGK et sa mise
en oeuvre numérique. Par construction, la méthode de Boltzmann sur
Réseau se prête bienà une parallélisation sur de gros clusters.
La méthode de Boltzmann sur Réseau est de plus en plus utilisée
pour décrire le comportement de �uidesen écoulement, qu'ils soient
incompressibles ou compressible. Par une expansion de
Chapman-Enskog, elleconduit à l'équation d'Euler à l'ordre 1 et à
l'équation de Navier-Stokes à l'ordre 2. Son principal avantageest
qu'elle permet de décrire assez facilement des écoulements à
surface libre, des écoulements dans desmilieux complexes (milieux
poreux), des écoulements avec transferts de chaleur (conduction,
convection etchangements de phase), ainsi que des écoulements de
mélanges multi-constituants.
Dans le domaine des mathématiques, cette méthode permet
également de résoudre des équations auxdérivées partielles,
linéaires ou non-linéaires, telles que les équations de Laplace, de
Korteweg-de Vries-Burgers, de Burgers-Huxley,. . .
Bonne lecture.
Olivier Bonnefoy
Nota Bene : ce document est en cours d'élaboration. Il peut
évidemment comporter des inexactitudes ou des
erreurs. Merci de bien vouloir en avertir l'auteur
([email protected]). Il vous en sera reconnaissant et intégrera
vos
remarques dans les mises à jour (voir adresse en
couverture).
i
mailto:[email protected]
-
Introduction
ii
-
Contents
1 Equations de base 11.1 Théorie cinétique des gaz . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2
Fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Sens physique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 2
1.3 Moments hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Dé�nition . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 31.3.2 Sens physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Equation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Opérateur de collision
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 4
1.5.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5.2 Approximation BGK . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 5
1.6 Distribution à l'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.1 Expression
exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 51.6.2 Expression approchée . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Discrétisation 92.1 Equation de Boltzmann discrète . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2
Condition de synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Equation de Boltzmann sur
réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 102.4 Calcul des coe�cients de pondération . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Equations à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Astuces . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 132.4.3 Exemple du schéma D2Q5 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Schémas classiques de discrétisation des vitesses . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Passage du
microscopique au macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 162.7 Couplage avec les transferts thermiques .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7.1 Equation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7.2 Résolution par deux
fonctions de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 182.7.3 Couplage thermo-convectif, approximation de Boussinesq
. . . . . . . . . . . . . . . . 182.7.4 Interaction �uide-structure
ou bien �uide-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3 Analyse dimensionnelle 213.1 Ecoulements athermiques . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213.2 Ecoulements thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Synthèse des
grandeurs adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 233.4 Méthode de calcul . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Mise en oeuvre numérique 254.1 Algorithme . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 254.2 Gestion d'une force volumique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Schéma générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Schémas principaux de la
littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
iii
-
Introduction
4.2.3 Autres schémas de la littérature . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Conditions aux limites
périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 314.4 Conditions aux limites de Symétrie/Glissement . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Conditions aux
limites de type "Paroi solide" (généralités) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 31
4.5.1 Informations manquantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.2 Interpolations et
extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 32
4.6 Conditions aux limites en densité pour une paroi solide . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6.1 Paroi solide à
mi-chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 334.6.2 Paroi solide à position quelconque . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Conditions aux limites en température (ou concentration)
pour une paroi solide . . . . . . . . 344.7.1 Condition de
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 344.7.2 Condition de Neumann . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Annexes 375.1 Vitesses du son . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2
Opérateurs vectoriels et tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.2 Produit tensoriel . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 385.2.3 Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.3.1 Nabla d'un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 395.2.3.2 Nabla d'un vecteur . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Méthodes de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3.1 Quadratures de
Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 395.3.2 Quadratures de Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Expression des moments à l'équilibre . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4.1 Quelques primitives
et intégrales utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 415.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4.3 Généralisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 43
5.4.3.1 Moment d'ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 435.4.3.2 Moment d'ordre 1 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4.3.3
Moment d'ordre 2 (=tenseur des contraintes) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 435.4.3.4 Moment d'ordre 3 . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4.3.5 Moment d'ordre 4 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6 Travaux pratiques 456.1 Mise en place du code . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Statique des �uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Ecoulement de Couette
entre deux plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526.2.3 Lid-driven cavity �ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Guide du programmeur (établi pour faciliter le travail de
débogage) . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Pour aller plus loin .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 54
6.4.1 Tourbillons de Taylor-Green . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4.2 Instabilité de
Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 57
7 Brouillons 597.1 Conditions aux limites . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1 Paroi solide plane : pression et/ou vitesse imposée (Zou
& He) . . . . . . . . . . . . . 597.1.2 Corners . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 617.1.3 Paroi solide quelconque : plane/courbe et
immobile/mobile . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Conditions aux limites thermiques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.1 Condition de type
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 65
7.3 Couplage solide-�uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Coder en python . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 66
iv
-
Chapitre 1
Equations de base
1.1 Théorie cinétique des gaz
Dans ce qui suit, on considère un gaz parfait. Son équation
d'état peut s'écrire :
p = ρ.R̃T avec R̃ ≡ RM̃
(1.1)
où R̃ est dé�ni comme le quotient de la constante des gaz
parfaits R=8,314 J.mol−1.K−1 par la masse molaireM̃ .
Comme cela est détaillé en annexe (page 37), la vitesse du son
adiabatique vs dans un gaz parfait est égaleà :
vs =
√γ.R̃T (1.2)
où le coe�cient adiabatique γ ≡ Cp/Cv est de 5/3 pour un gaz
monoatomique et 7/5 pour un gaz diatomiquetandis que la vitesse du
son isotherme cs est égale à :
cs =√R̃T (1.3)
Dans la très grande majorité des ouvrages de mécanique des
�uides, le vocable "vitesse du son" désigne lavitesse du son
adiabatique. Toutefois, dans la communauté scienti�que
s'intéressant à la Méthode de Boltz-mann sur Réseau, ce même
vocable désigne la vitesse du son isotherme. Nous adopterons cette
deuxièmedé�nition dans ce document.
Un écoulement dont la vitesse caractéristique est ~v sera
quali�é de (quasi) incompressible si le nombre deMach Ma est
su�samment faible devant l'unité (typiquement inférieur à 0,3).
Classiquement, on dé�nit lenombre de Mach en utilisant la vitesse
du son adiabatique :
Ma ≡ ||~v||vs
(1.4)
1.2 Fonction de distribution
1.2.1 Dé�nition
Considérons un système constitué d'un grand nombre N de
particules.
On note F(~x,~c,t) la fonction de distribution en nombre à une
particule. Par dé�nition, la grandeur
F(~x,~c,t).d~x.d~c
1
-
Chapitre 1. Equations de base
représente la probabilité de trouver une particule ayant une
vitesse comprise entre ~c et ~c+d~c dans le volumed~x autour de ~x
. Dans un espace de dimension D, la grandeur F s'exprime en
L−2D.TD. On a la relation defermeture : ∫
F(~x,~c,t).d~x.d~c = 1
La densité de particules, c'est-à-dire le nombre de particules
par unité de volume, de dimension L−D, estnotée n(~x,t) et est
dé�nie par :
n(~x,t) ≡∫F(~x,~c,t).d~c (1.5)
On a évidemment ∫n(~x,t).d~x = 1
Si les particules ont toutes la même masse mp, alors on dé�nit
la fonction de distribution massique àune particule fpar :
f ≡ N.mp.F (1.6)
En dimension D, la grandeur f s'exprime en M.L−2D.TD. Autrement
formulé, la grandeur :
f(~x,~c,t).d~x.d~c
représente la valeur espérée de la masse des particules ayant
une vitesse comprise entre ~c et ~c + d~c et setrouvant dans le
volume d~x autour de ~x. Selon la dimension spatiale D du système
étudié, on a : pour D = 1 : d~c ≡ dcx d~x ≡ dxpour D = 2 : d~c ≡
dcx.dcy d~x ≡ dx.dy
pour D = 3 : d~c ≡ dcx.dcy.dcz d~x ≡ dx.dy.dz(1.7)
1.2.2 Sens physique
La masse volumique m̃ est souvent notée ρ. Elle est égale à
:
ρ =
∫f(~x,~c,t).d~c d'où ρ = N.mp.n (1.8)
La quantité de mouvement volumique est notée ~̃p. Elle est liée
à la vitesse macroscopique ~v et est égale à :
~̃p =
∫f(~x,~c,t).~c.d~c avec ~̃p = ρ.~v (1.9)
L'énergie cinétique volumique ẽcin est égale à :
ẽcin =
∫1
2.f(~x,~c,t). ||~c||
2.d~c avec ẽcin =
1
2ρ.~v 2 (1.10)
1.3 Moments hydrodynamiques
A partir de la fonction de distribution massique à une particule
f(~x,~c,t) qui est une information de naturemicroscopique de type
all-inclusive (elle est très riche en informations), on peut
calculer quelques grandeursmacroscopiques (mesurables) relatives au
�uide, comme la masse volumique locale, la vitesse macroscopique,.
. .
2
-
1.3. Moments hydrodynamiques
1.3.1 Dé�nition
Le moment (continu) M (n) d'ordre n d'une fonction de
distribution f est :
M (n) ≡∫f.~cn.d~c (1.11)
L'expression ~cn peut également s'écrire ~c~c . . .~c~c (n
termes) ou encore ~c⊗~c⊗ ...~c⊗~c (n termes). Il s'agit duproduit
dyadique (appelé encore produit tensoriel, voir page 38). En
d'autres termes, le moment d'ordre n
est un tenseur d'ordre n dont les termes scalaires M(n)α,β,...
sont :
M(n)α,β,... ≡
∫f. cα.cβ ...︸ ︷︷ ︸n termes
.d~c (1.12)
où les indices α, β, γ , . . . prennent leur valeur dans {x, y,
z} lorsqu'on travaille en dimension 3.
1.3.2 Sens physique
Moment d'ordre 0 : d'après la dé�nition des moments et
l'équation 1.8, on établit que :
M (0) = ρ (1.13)
Moment d'ordre 1 : d'après la dé�nition des moments et
l'équation 1.9, on établit que :
M (1) = ρ.~v (1.14)
Des équations 1.13 et 1.14, on déduit que la vitesse
macroscopique ~v du �uide peut se calculer par :
~v =M (1)
M (0)(1.15)
A titre d'illustration, en dimension 3, le moment d'ordre 1 est
égal au vecteur suivant :
M (1) ≡
∫f(~x,~c,t).cx.d~c∫f(~x,~c,t).cy.d~c∫f(~x,~c,t).cz.d~c
Moment d'ordre 2 : le moment d'ordre 2 est une matrice. A titre
d'illustration, en dimension 3, le tenseurdes contraintes est
représenté par une matrice 3× 3 :
M (2) ≡
∫f.cx.cx.d~c
∫f.cx.cy.d~c
∫f.cx.cz.d~c∫
f.cy.cx.d~c
∫f.cy.cy.d~c
∫f.cy.cz.d~c∫
f.cz.cx.d~c
∫f.cz.cy.d~c
∫f.cz.cz.d~c
(1.16)
Ses termes sont homogènes à une contrainte (en Pascal). Pour
cette raison, il est souvent appelé tenseurdes contraintes. En
supposant l'équilibre réalisé localement, on peut démontrer la
relation suivante (voiréquation 5.22 en page 43) :
M (2) = ρ.~v ⊗ ~v + p.I (1.17)où I est la matrice identité en
dimension D et p la pression donnée par l'équation d'état 1.1. En
dimension3, son expression développée est :
M (2) =
p 0 00 p 00 0 p
+ ρ.vx.vx vx.vy vx.vzvy.vx vy.vy vy.vzvz.vx vz.vy vz.vz
avec p = ρ.R̃T3
-
Chapitre 1. Equations de base
Par ailleurs, d'après les équations 1.10 et 1.16, on établit que
:
ecin =1
2.tr(M (2)
)(1.18)
Comme les molécules d'un gaz parfait n'interagissent pas à
distance (énergie potentielle nulle), l'énergietotale volumique
etot est égale à l'énergie cinétique volumique ecin :
etot = ecin (1.19)
1.4 Equation de Boltzmann
L'équation de Boltzmann décrit le comportement d'un gaz
parfait1. Plus précisément, elle régit l'évolutiontemporelle de la
densité massique à une particule. Il s'agit d'une équation
cinétique.
∂f
∂t+ ~c.∂xf + ~g.∂cf = B (1.20)
où ~g est la force gravitationnelle par unité de masse et B
l'opérateur de collision, parfois aussi appeléintégrale de
collision2.
En l'absence de forces à distance, on a :∂f
∂t+ ~c.∇f = B (1.21)
ce qui peut aussi s'écrire en faisant apparaitre la dérivée
particulaire :
Df
Dt= B (1.22)
Cette équation signi�e que la fonction de distribution associée
à une parcelle de matière, que l'on suit danssa trajectoire, varie
dans le temps sous l'e�et des collisions.
1.5 Opérateur de collision
1.5.1 Propriétés
S'il n'y a pas de collision (par exemple pour les gaz
interstellaires), alors B = 0 et l'équation de Boltzmannsans
gravité (équation 1.21) se réduit à l'expression suivante qui est
une équation de convection pure etsimple (ni di�usion, ni terme
source) :
∂f
∂t+ ~c.∂xf = 0 (1.23)
Pour un �uide terrestre, le terme de collision n'est pas nul.
Plusieurs modèles physiques sont possibles pourdécrire les
collisions. Ils conduisent à des expressions diverses et variées de
l'opérateur B. Toutefois, tous lesmodèles ne sont pas possibles.
Ils doivent en e�et posséder les deux propriétés énoncées
ci-dessous.
Propriété n°1 : l'opérateur de collision B est tel que la
distribution à l'équilibre est la distribution
deMaxwell-Boltzmann.
Propriété n°2 : l'opérateur de collision B est tel que, lors
d'une collision, il y a conservation de la masse,des trois
composantes de la quantité de mouvement et de l'énergie. Cela se
traduit mathématiquement par :∫
ψk.B.d~x.d~c = 0 pour k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} avec
masse : ψ0 = 1qté de mvt : ψ1,2,3 = cx, cy, czénergie : ψ4 =
~c
2(1.24)
1Notons d'emblée que, même si l'équation d'état est celle d'un
gaz parfait, on pourra modéliser correctement l'écoulementd'un
�uide newtonien quelconque (liquide ou gaz réels).
2D'autres notations sont rencontrées dans la littérature comme Q
ou bien Ω. Comme ces deux dernières ont un sens di�érentdans ce qui
suit, on a choisi B comme l'initiale de Birth (terme source).
4
-
1.6. Distribution à l'équilibre
1.5.2 Approximation BGK
Au prix de quelques hypothèses, l'opérateur de collision peut
s'écrire :
B =1
m
∫σ |~c1 − ~c|
[f2
(~̃c, ~̃c1
)].dΩ.d~c1 (1.25)
où f2 désigne la fonction de distribution à deux particules.
Cette expression décrit assez précisément la réa-lité des
collisions mais sa nature intégrale donne à l'équation de Boltzmann
un caractère intégro-di�érentiel,ce qui la rend particulièrement
di�cile à résoudre, même numériquement. On cherche donc une
expressionapprochée de cet opérateur qui facilite les calculs mais
qui possèdent les deux propriétés énoncées dans lasection
précédente.La manière la plus simple a été proposée par Bhatnagar,
Gross et Krook et porte le nom d'approximationBGK. Elle consiste à
dire que chaque collision change la fonction de distribution f
d'une quantité proportion-nelle à l'écart entre la distribution
actuelle f et la distribution à l'équilibre f (eq) . On dé�nit donc
l'opérateurde collision BGK par :
BBGK ≡ C.[f − f (eq)
](1.26)
où C est une constante caractéristique du �uide. L'équation de
Boltzmann 1.20 indique que l'opérateur decollision BBGK a la
dimension de f divisée par un temps. Par conséquent, C est homogène
à l'inverse d'untemps que l'on notera τ et que l'on appellera temps
de relaxation.
Pour un système uniforme, les gradients spatiaux sont nuls et
donc, en l'absence de forces volumiques, on a :
∂f
∂t= C.
[f − f (eq)
]Le fait que le système soit stable nous apporte une information
supplémentaire. Considérons une perturbationpositive appliquée à un
système à l'équilibre (f > f (eq)). Le système étant stable, f
doit diminuer dans letemps pour retourner à sa valeur à l'équilibre
f (eq). On a donc ∂f∂t < 0. Il s'ensuit que la constante C
estnégative. On peut donc écrire l'opérateur de collision sous la
forme :
BBGK ≡−1τ.[f − f (eq)
](1.27)
On véri�e que cette expression possède les deux propriétés en
début de section. L'opérateur de collision étantdevenu linéaire,
l'équation de Boltzmann n'est plus intégro-di�érentielle mais se
réduit à une EDP.
∂f
∂t+ ~c.∇f = −1
τ.[f − f (eq)
](1.28)
Cette équation est fortement non linéaire car la distribution à
l'équilibre dépend de la masse volumique, dela vitesse et de la
température (voir ci-dessous). Toutefois, cette non-linéarité est
tolérable car le calcul def (eq) est local dans l'espace physique
(ie. la valeur de f (eq) en ~x ne dépend que de grandeurs évaluées
en ~x).
1.6 Distribution à l'équilibre
1.6.1 Expression exacte
Le second principe de la thermodynamique annonce qu'un système
fermé, laissé libre, évolue vers un étatd'équilibre. La traduction
de ce principe en physique statistique prend le nom de théorème H
de Boltz-mann. Ce théorème stipule que la grandeur appelée fonction
H ou entropie thermodynamique décroît aucours du temps :
H(t) ≡∫f. ln f.d~x.d~c est telle que H(t) 6 0 (1.29)
Cela signi�e qu'un système fermé, laissé libre, évolue vers un
état d'équilibre. Plus précisément, on peutmontrer que la
distribution asymptotique est la distribution de Maxwell-Boltzmann.
En l'absence de champ
5
-
Chapitre 1. Equations de base
de force extérieur, cette distribution de Maxwell-Boltzmann
devient la distribution de Maxwell, parfois notéef (M). La théorie
cinétique des gaz nous indique qu'elle est proportionnelle à
l'exponentielle du ratio de deuxénergies : l'énergie cinétique et
l'énergie thermique.
f (eq) = K0. exp
(− 12mp(~c− ~v)2kBT
)où mp est la masse d'une particule et kB = 1, 381.10
−23 J.K−1 la constante de Boltzmann. Comme la
constante des gaz parfaits R et la masse molaire M̃ sont toutes
deux liées à la constante d'Avogadro NA3,
on peut remplacer le ratio kB/mp par R̃ :
f (eq) = K0. exp
(−(~c− ~v)2
2.R̃T
)Dans un système à l'équilibre, les grandeurs sont uniformes
spatialement et stationnaires temporellement.Ces aspects se
manifestent par le fait que l'expression de f (eq) ne fait
intervenir ni ~x ni t. La valeur de la"constante" de
proportionnalité K0 est donnée par l'équation 1.8 en page 2 que
l'on décline ici :
ρ =
∫f (eq).d~c
Par conséquent, en dimension 3, on peut écrire :
ρ = K0.
∫ +∞−∞
exp
(−(cx − vx)2
2.R̃T
).dcx.
∫ +∞−∞
exp
(−(cy − vy)2
2.R̃T
).dcy.
∫ +∞−∞
exp
(−(cy − vy)2
2.R̃T
).dcz
Connaissant la valeur de chacune des intégrales (équation 5.18a
en annexe), on peut donner le résultatgénéral :
ρ = K0.(
2πR̃T)D/2
et en déduire l'expression exacte de la fonction de distribution
à l'équilibre :
f (eq) =ρ(
2πR̃T)D/2 . exp(−(~c− ~v)22.R̃T
)(1.30)
où D représente la dimension spatiale (2 ou 3 dans la plupart
des cas), ~c la vitesse d'une particule et ~v lavitesse
macroscopique du �uide4.
1.6.2 Expression approchée
Dans une implémentation numérique, le calcul d'une exponentielle
est très coûteux en temps. On cherchedonc bien souvent une
expression approchée, à base de polynômes par exemple. Pour
l'exponentielle �gurantdans l'expression de la fonction de
distribution à l'équilibre (équation 1.30), on a :
exp
(−(~c− ~v)2
2R̃T
)= exp
(−~c 2 + 2~c.~v − ~v 2
2R̃T
)= exp
(−~c 2
2R̃T
). exp(z) avec z ≡ 2.~c.~v − ‖v‖
2
2R̃T
La variable z étant proportionnelle à la norme de ~v, l'argument
de la deuxième exponentielle est proche de
zéro lorsque la vitesse ~v est su�samment petite devant√R̃T . On
peut alors e�ectuer un développement
limité :
exp(z) = 1 + z +1
2z2 +O(z3) pour z � 1
3On a R = kB .NA et M̃ = mp.NA.4On peut noter qu'une autre
expression de f (eq) sera obtenue si la dé�nition de f n'est pas
celle que nous avons adoptée dans
l'équation 1.6. Lorsque la grandeur f est telle que m
=∫f.d~x.d~p où ~p ≡ mp.~c est la quantité de mouvement, alors ρ
=
∫f.d~p
et la constante pré-exponentielle devient égale à ρ/(mp.
√2πR̃T
)D.
6
-
1.6. Distribution à l'équilibre
A l'ordre 2 en ~v on trouve que :
exp
(−(~c− ~v)2
2R̃T
)≈ exp
(−~c 2
2R̃T
).
(1 +
~c.~v
R̃T+
1
2
(~c.~v
R̃T
)2− ‖~v‖
2
2R̃T
)pour ‖~v‖ petit devant
√R̃T
Comme dans un gaz parfait, la vitesse du son isotherme est égale
à cs =√R̃T (équation 1.3), cette ap-
proximation est valable pour ‖~v‖ � cs ou, ce qui revient au
même pour un écoulement à nombre de Mach(équation 1.4) faible
devant l'unité (typiquement Ma 6 0, 3). En d'autres termes, cette
approximation estvalable lorsque l'écoulement est (quasi)
incompressible.
Tout bien considéré, l'expression approchée de la fonction de
distribution à l'équilibre s'énonce :
f (eq) =ρ
(2πc2s)D/2
. exp
(−~c 2
2c2s
).
(1 +
~c.~v
c2s+
1
2
(~c.~v
c2s
)2− 1
2
‖~v‖2
c2s
)pour Ma 6 0, 3 (1.31)
7
-
Chapitre 1. Equations de base
8
-
Chapitre 2
Discrétisation
2.1 Equation de Boltzmann discrète
Pour pouvoir implémenter numériquement l'équation de Boltzmann,
il faut e�ectuer une discrétisationdes variables continues t, ~x et
~c. Commençons par discrétiser l'espace des vitesses : les
particules possèdentune vitesse qui prend sa valeur dans un
ensemble �ni C ≡ {~c1,~c2, ...,~cQ} de dimension Q. Ces vitesses
~cisont quali�ées de vitesses prédé�nies.
Dans la section 1.3, on avait établi des liens entre les
grandeurs macroscopiques (dont ρ, ~v et etot) et lesdi�érents
moments hydrodynamiques M (n) =
∫f.~cn.dc. Il nous faut donc trouver de nouvelles
expressions,
approchées ou exactes, qui les remplacent lorsque les vitesses
ne prennent que quelques valeurs dans unensemble de dimension
�nie.
Un moyen d'obtenir une valeur approchée d'une intégrale continue
consiste à utiliser la méthode des qua-dratures établie par Gauss
(page 39). Elle stipule qu'il existe un ensemble de Q coe�cients de
pondérationwi tels que, pour tout n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, on ait
l'égalité suivante :∫
f.~cn.dc =
Q∑i=1
wi.f(~x, ~ci, t).~cni ∀n ∈ {0; 1; 2; 3; 4} (2.1)
Pour simpli�er les écritures, on dé�nit la fonction de
distribution discrétisée fi par la relation suivante :
fi(~x, t) ≡ wi.f(~x,~ci, t) (2.2)
Avec cette notation, on peut écrire :
M (n) = M̃ (n) avec M̃ (n) ≡Q∑i=1
fi.~cni (2.3)
où M̃ (n) est le moment discrétisé d'ordre n. Le calcul des
coe�cients wi est repoussé à plus tard. Pourl'instant, il nous su�t
de dire que l'évolution cinétique du système est régie par :
∂fi∂t
+ ~ci.∇fi =−1τ.[fi − f (eq)i
](2.4)
Cette équation est appelée équation de Boltzmann discrète. La
discrétisation à laquelle il est fait réfé-rence est celle de
l'espace des vitesses.
2.2 Condition de synchronisation
Adoptons un maillage spatial structuré : l'espace est découpé en
pavés de forme et taille identiques. Cesformes peuvent être des
hexagones, carrés, triangles, . . . Si les cellules élémentaires
qui servent à paver l'es-pace sont carrées (en 2D) ou cubiques (en
3D), alors ∆x = ∆y = ∆z. Dans tous les cas, on appelle pas de
9
-
Chapitre 2. Discrétisation
réseau1 la plus petite distance entre deux noeuds du
maillage.
On a la liberté de choisir indépendamment les valeurs de ∆x, ∆y,
∆z, ∆t et ~ci. Toutefois, il va s'avérerjudicieux de les corréler.
En e�et, si on arrive à s'assurer qu'une particule se déplace en
sautant d'un noeudde maillage à un autre noeud de maillage pendant
le pas de temps ∆t, on évite le cas où une particule setrouve entre
deux noeuds, ce qui obligerait à réaliser des interpolations. Par
conséquent, les pas d'espace ∆x,∆y et ∆z étant choisis, on fera en
sorte que chaque vitesse ~ci respecte la condition de
synchronisationsuivante :
cix multiple entier de∆x
∆t
ciy multiple entier de∆y
∆t
ciz multiple entier de∆z
∆t
(2.5)
Ainsi, si une particule voyageant à la vitesse ~ci se trouve sur
un noeud à l'instant tk, alors elle se retrouveraforcément sur un
autre noeud du maillage à l'instant tk + ∆t. On dé�nit trois
vitesses de réseau (une pardirection de l'espace) :
crx ≡∆x
∆t
cry ≡∆y
∆t
crz ≡∆z
∆t
(2.6)
Dans le cas particulier d'un maillage de l'espace par des carrés
ou des cubes, alors ces trois grandeurs sontégales à une vitesse cr
dite vitesse de réseau.
2.3 Equation de Boltzmann sur réseau
On peut maintenant discrétiser (en temps et espace) l'équation
de Boltzmann discrète 2.4. Nous choisissonsun schéma implicite pour
assurer une bonne stabilité numérique :
fi (x, y, z, t+ ∆t)− fi (x, y, z, t)∆t
+ cix.fi(x+ ∆x, y, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆x
+ ciy.fi(x, y + ∆y, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆y
+ ciz.fi(x, y, z + ∆z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆z
=−1τ
[fi (x, y, z, t)− feqi (x, y, z, t))]
En vertu de la condition de synchronisation (équation 2.5), on
peut réécrire les trois derniers termes dumembre de gauche.
L'équation précédente devient alors :
fi (x, y, z, t+ ∆t)− fi (x, y, z, t)∆t
+fi(x+ cix.∆t, y, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
+fi(x, y + ciy.∆t, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
+fi(x, y, z + ciz.∆t, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
=−1τ
[fi (x, y, z, t)− feqi (x, y, z, t))]
1Le terme "pas de réseau" est traduit par "lattice spacing" en
anglais.
10
-
2.4. Calcul des coe�cients de pondération
Or, par analogie avec la relation suivante donnant la
di�érentielle totale exacte d'une fonction de plusieursvariables
:
df =∂f
∂x.dx+
∂f
∂y.dy +
∂f
∂z.dz
on a la relation purement mathématique suivante :
fi(x+ cix.∆t, y + ciy.∆t, z + ciz.∆t, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+
∆t)∆t
=fi(x+ cix.∆t, y, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
+fi(x, y + ciy.∆t, z, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
+fi(x, y, z + ciz.∆t, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t+ ∆t)
∆t
Dans ces conditions, on a :
fi (x, y, z, t+ ∆t)− fi (x, y, z, t)∆t
+fi(x+ cix.∆t, y + ciy.∆t, z + ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+
∆t)
∆t
=−1τ
[fi (x, y, z, t)− feqi (x, y, z, t))]
Dé�nissons le temps de relaxation adimensionné τ∗ par la
relation :
τ∗ ≡ τ/∆t (2.7)
En simpli�ant, on établit l'équation de Boltzmann sur réseau
dans l'approximation BGK :
fi(x+ cix.∆t, y + ciy.∆t, z + ciz.∆t, t+ ∆t)− fi(x, y, z, t)
=−1τ∗.[fi(x, y, z, t)− feqi (x, y, z, t)] (2.8)
2.4 Calcul des coe�cients de pondération
2.4.1 Equations à résoudre
Rappelons que les coe�cients wi sont tels que les cinq premiers
moments discrets M̃(n) dé�nis par
l'équation 2.3 donnent la même valeur que les cinq premiers
moments continus M (n), ces derniers étant di-rectement liés aux
grandeurs macroscopiques mesurables telles que la masse volumique
du �uide, sa quantitéde mouvement, son énergie massique, . . .Ce
système de 5 équations doit être véri�é dans tout état du
système.
Cas général : considérons que le système est localement dans un
état d'équilibre, décrit par la fonctionde distribution de
Maxwell-Boltzmann (expression exacte donnée dans l'équation 1.30).
A l'équilibre, on af = f (eq) et les moments continus peuvent se
calculer de manière analytique (voir section 5.4.3). L'expressionde
chacun des termes scalaires des tenseurs est donnée ci-dessous2,
pour une dimension spatiale quelconque(2 ou 3).
M (0,eq) = ρ
M (1,eq)α = ρ.vα
M(2,eq)α,β = ρ.vα.vβ + ρ.R̃T.δαβ
M(3,eq)α,β,γ = ρ.vα.vβ .vγ + ρ.R̃T. [vα.δβγ + vβ .δαγ + vγ .δαβ
]
M(4,eq)α,β,γ,δ = ρ.vα.vβ .vγ .vδ + ρ.(R̃T )
2. (δαβ .δγδ + δαγ .δβδ + δαδ.δβγ)
+ρ.R̃T. [vα.vβ .δγδ + vα.vγ .δβδ + vα.vδ.δβγ + vβ .vγ .δαδ + vβ
.vδ.δαγ + vγ .vδ.δαβ ]
(2.9)
2La grandeur δij représente le symbole de Kronecker : δij est
égal à 1 si i = j et à 0 sinon.
11
-
Chapitre 2. Discrétisation
Par ailleurs, les moments discrétisés à l'équilibre sont dé�nis
par la relation 2.3 qui s'explicite en :
M̃ (0,eq) =
Q∑i=1
f(eq)i
M̃(1,eq)α =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα
M̃(2,eq)α,β =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ
M̃(3,eq)α,β,γ =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ .ciγ
M̃(4,eq)α,β,γ,δ =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ .ciγ .ciδ
(2.10)
Compte-tenu de la dé�nition de la fonction de distribution
discrète fi (équation 2.2) et de l'expressionapprochée de la
fonction de distribution à l'équilibre (équation 1.31), on peut
écrire :
f(eq)i = ρ.Wi.
(1 +
~ci.~v
c2s+
1
2.
(~ci.~v
c2s
)2− 1
2.‖~v‖2
c2s
)(2.11)
où le coe�cient Wi est dé�ni de la manière suivante :
Wi ≡ wi.1
(2πc2s)D/2
. exp
(−‖~ci‖2
2c2s
)
Le coe�cient Wi ne dépend que de la température T (par
l'intermédiaire de cs =√R̃.T ) et du jeu de
vitesses prédé�nies ~ci. Pour un schéma donné, dans
l'approximation d'un écoulement isotherme, il s'agitd'une constante
scalaire. On voit par ailleurs que Wi ne dépend que de la norme de
la vitesse ‖~ci‖. Parconséquent, on aura l'implication :
‖~ci‖ = ‖~cj‖ ⇒Wi = Wj (2.12)
Cas particulier d'un système au repos : lorsque la vitesse
macroscopique ~v du �uide est nulle,
l'équation 2.11 se réduit à f(eq)i = ρ.Wi et le système 2.9 se
simpli�e drastiquement. Après simpli�cation par
ρ, les deux systèmes d'équations (2.9 et 2.10) deviennent :
Q∑i=1
Wi = 1
Q∑i=1
Wi.ciα = 0
Q∑i=1
Wi.ciα.ciβ = c2s.δαβ
Q∑i=1
Wi.ciα.ciβ .ciγ = 0
Q∑i=1
Wi.ciα.ciβ .ciγ .ciδ = c4s.(δαβ .δγδ + δαγ .δβδ + δαδ.δβγ)
(2.13)
où les indices α, β, γ, δ,. . .prennent leur valeur dans
l'ensemble {x, y, z} en dimension 3 et dans l'ensemble{x, y} en
dimension 2. En dimension 1, tous les indices sont égaux à x.
L'égalité des moments d'ordre impairest systématiquement observée
lorsque l'ensemble C des vitesses prédé�nies est symétrique par
rapport àl'origine, c'est-à-dire lorsqu'on a l'implication ~ci ∈ C
⇒ −~ci ∈ C.
12
-
2.4. Calcul des coe�cients de pondération
2.4.2 Astuces
Quelques remarques peuvent être formulées qui faciliteront la
résolution du système d'équations. Toutd'abord, on peut écrire
l'égalité des moments d'ordre 2 pour (α, β) = (x, x), pour (α, β) =
(y, y) et pour(α, β) = (z, z) puis ajouter membre à membre les
résultats. En généralisant à une dimension spatiale Dquelconque, on
obtient l'égalité suivante :
Q∑i=1
Wi.||~ci||2 = D.c2s (2.14)
En répétant le même processus, on montre que l'égalité des
moments d'ordre 4 implique :
Q∑i=1
Wi.||~ci||4 = D.(D + 2).c4s (2.15)
Les grandeurs cs et cr étant toutes les deux des vitesses, il
existe une constante sans dimension k telle que :
c2r ≡ k.c2s (2.16)
2.4.3 Exemple du schéma D2Q5On désigne par DDQQ le schéma LBM
qui modélise l'écoulement d'un �uide en dimension D et qui
discrétisel'espace des vitesses en Q valeurs prédé�nies. Le schéma
D2Q5 peut être illustré par la �gure 2.1. Les vitesses
Figure 2.1 : Schéma D2Q5 : quatre vecteurs de norme c et un
vecteur nul.
prédé�nies sont :
~ci ≡ cr.~ei avec (~e1, . . . , ~e5) =(
1 0 −1 0 00 1 0 −1 0
)(2.17)
L'équation 2.12 permet de dire qu'il n'y a que deux valeurs
distinctes dans l'ensemble {W1, . . . ,W5}. Plusprécisément, on
note A = W1 = W2 = W3 = W4 et B = W5. L'égalité des moments d'ordre
0 s'exprimeainsi :
4A+B = 1
L'égalité des moments d'ordre 2 donne lieu à 2D équations
scalaires. Pour (α, β) égal à (x, y) ou (y, x), onobtient 0 = 0.
Pour (α, β) égal à (x, x) ou (y, y), elle devient :
A.4c2r = 2c2s
L'égalité des moments d'ordre 4 ne donne un cas non trivial que
dans une con�guration. Pour (α, β, γ, δ)égal à (x, x, x, x) ou (y,
y, y, y), elle devient :
A.4c4r = 6.c4s
13
-
Chapitre 2. Discrétisation
On a donc trois équations et trois inconnues. Le résultat est le
suivant :W1 = W2 = W3 = W4 =
1
6
W5 =1
3
c2r = 3.c2s
(2.18)
2.5 Schémas classiques de discrétisation des vitesses
Le tableau 2.1 recense les jeux de vecteurs prédé�nis pour les
schémas classiquement utilisés.
Schéma Vecteurs prédé�nis ~eiD1Q3
(1 −1 0
)D1Q5
(1 −1 2 −2 0
)D2Q4
(1 0 −1 00 1 0 −1
)D2Q5
(1 0 −1 0 00 1 0 −1 0
)D2Q7
(1 1/2 −1/2 −1 −1/2 1/2 00√
3/2√
3/2 0 −√
3/2 −√
3/2 0
)D2Q9
(1 0 −1 0 1 −1 −1 1 00 1 0 −1 1 1 −1 −1 0
)D3Q15
1 −1 0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 00 0 1 −1 0 0 1 −1 1 −1 −1 1 −1
1 00 0 0 0 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 0
D3Q19
1 −1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 0 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 1 1 −1 −1
0 0 0 0 1 −1 1 −1 00 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 0
Table 2.1 : Vecteurs prédé�nis ~ei pour les schémas classiques
DDQQ. On a la relation ~ci ≡ cr.~ei.
Le schéma D3Q15 présente "a checkerboard invariant" [46]. En
e�et, la quantité de mouvement du �uidepeut présenter des motifs
réguliers n'ayant pas de signi�cation physique réelle. Pour cette
raison, lorsqu'ona besoin de faire des simulations en dimension 3,
c'est le schéma D3Q19 qui est retenu la plupart du temps.
Les schémas D2Q7 et D2Q9 semblent similaires si l'on regarde les
résultats. Le premier nécessite moinsd'espace mémoire pour stocker
ses états tandis que le second permet d'utiliser un maillage
cartésien, ce quiest une structure de données plus simple.
Figure 2.2 : Discrétisation des vitesses selon les schémas D2Q4,
D2Q5, D2Q7 et D2Q9.
Le tableau 2.2 donne la valeur de la constante k dé�nie par
l'équation 2.16 pour di�érents schémas commu-nément rencontrés dans
la littérature.
14
-
2.5. Schémas classiques de discrétisation des vitesses
Figure 2.3 : Discrétisation des vitesses selon le schéma
D3Q19.
Figure 2.4 : Autres schémas d'ordre plus élevés.
15
-
Chapitre 2. Discrétisation
Schéma kD1Q3 3D1Q5 1D2Q4 2D2Q5 3D2Q7 3D2Q9 3D3Q15 3D3Q19 3
Table 2.2 : Constante k = c2r/c2s pour les schémas classiques
DDQQ.
2.6 Passage du microscopique au macroscopique
En utilisant une expansion de Chapman-Enskog, on peut montrer
que l'équation de Boltzmann conduità l'équation d'Euler lorsque
l'expansion est faite au 1er ordre en Mach et à l'équation de
Navier-Stokeslorsqu'elle est faite au 2nd ordre. De manière
similaire, on peut montrer que l'équation de Boltzmann surréseau
conduit également à l'équation de Navier-Stokes. On ne le fera pas
ici mais citons tout de même lesrésultats intermédiaires qui
émergent.
Choix du pas de temps ∆t. Pour un maillage donné (∆x et k
imposés), une diminution du pas detemps ∆t implique une
augmentation de la vitesse de réseau cr ≡ ∆x∆t et donc de la
vitesse du son (duréseau) cs =
cr√k. Par conséquent, pour une vitesse d'écoulement ~v donnée,
une diminution du pas de temps
conduit à une diminution du nombre de Mach Ma ≡ vvs . Pour
simuler un écoulement (quasi)-incompressible,il faut donc choisir
un pas de temps quasiment égal à zéro. Cela générerait des temps de
calcul prohibitifs. Acontrario, pour simuler un écoulement tel que
les e�ets de compressibilité commencent juste à se
manifester(Macrit ≈ 0, 3), il faut choisir un pas de temps tel que
:
MaLBM = Macrit
Puisque l'on peut écrire :
MaLBM ≡‖~v‖vs
=‖~v‖cs.√γ
=‖~v‖(
cr/√k).√γ
=‖~v‖ .√k
cr.√γ
=‖~v‖ .√k
(∆x/∆t) .√γ
=‖~v‖ .∆t
∆x.
√k
γ
On en déduit le pas de temps critique ∆tcrit :
∆tcrit ≡ Macrit.∆x
‖~v‖.
√γ
kavec Macrit ≈ 0, 3 (2.19)
Dans la pratique, pour minimiser le temps de calcul tout en
restant dans le domaine des écoulementsincompressibles, on choisit
le pas de temps égal au pas de temps critique :
∆topt = ∆tcrit
Choix du temps de relaxation τ . On peut montrer qu'il existe un
lien entre le temps de relaxation(grandeur microscopique) et la
viscosité cinématique (grandeur macroscopique) ν. Il s'énonce :
ν =
(τ∗ − 1
2
).c2s.∆t (2.20)
où ν ≡ µ/ρ désigne la viscosité cinématique en m2.s−1 et τ∗ le
temps de relaxation adimensionné (équation2.7 en page 11). En
d'autres termes, pour modéliser l'écoulement d'un �uide de
viscosité ν donnée, il faut
16
-
2.7. Couplage avec les transferts thermiques
choisir le temps de relaxation adimensionné τ∗ à l'aide de la
relation suivante :
τ∗ =1
2+
k.ν
c2r.∆t(2.21)
où cr désigne la vitesse de réseau. On désigne par ν∗ la
viscosité cinématique adimensionnée :
ν∗ ≡ ν(∆x)2
∆t
(2.22)
Avec cette notation, on peut écrire le lien micro-macro sous la
forme :
τ∗ =1
2+ k.ν∗ (2.23)
Cette relation montre que le temps de relaxation augmente
lorsque le �uide est plus visqueux (i.e le systèmemet davantage de
temps à revenir à son état d'équilibre). Lorsque le temps de
relaxation adimensionnéτ∗ s'approche de 12 , la viscosité tend vers
zéro, ce qui signi�e que le �uide modélisé s'approche du
�uideparfait (sans viscosité). A cause des instabilités numériques,
il est recommandé de ne pas choisir un tempsde relaxation réduit
trop proche de 0, 5 mais de développer un modèle de turbulence
adéquat.
Calcul des grandeurs macroscopiques. Elles sont calculées par
les moments :
ρ =
Q∑i=1
f(eq)i
ρ.vα =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα
Παβ =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ
Qαβγ =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ .ciγ
Rαβγδ =
Q∑i=1
f(eq)i .ciα.ciβ .ciγ .ciδ
(2.24)
On a vu dans l'équation 1.17 que Π = ρ.(~v⊗~v+R̃T.I). Dans le
cas où le champ de température est considéréuniforme et constant,
les deux seuls moments qu'il est nécessaire de calculer sont ceux
d'ordre 0 et 1. Onpeut dresser une cartographie en pression en
calculant le moment d'ordre 2.
2.7 Couplage avec les transferts thermiques
2.7.1 Equation analytique
L'équation de convection-di�usion régit l'évolution de la
température T et s'énonce :
∂T
∂t+∇ · (T.~v) = ∇ · (DT .∇T ) (2.25)
où la di�usivité thermique DT est liée à la conductivité
thermique λ, la masse volumique ρ et la capacitécalori�que massique
cp par la formule :
DT ≡λ
ρ.cp(2.26)
17
-
Chapitre 2. Discrétisation
2.7.2 Résolution par deux fonctions de distribution
On adopte l'approche de Zhang [30] inspirée de l'approche de
Ladd [11]. Il s'agit de calculer, de manièreautonome, l'évolution
d'un champ scalaire passif. Pour cela, on dé�nit une fonction de
distribution gi dontl'évolution est dictée par :
gi(x+ cix.4t, y + ciy.4t, z + ciz.4t, t+4t) = gi(x, y, z,
t)−1
τ∗T.[gi(x, y, z, t)− g(eq)i (x, y, z, t)] (2.27)
où τT est un temps de relaxation [s] associé au transfert
thermique et dé�ni par :
τ∗T ≡τT∆t
La distribution à l'équilibre de gi a la même forme que la
distribution à l'équilibre de fi (voir équation 2.11en page 12), en
remplaçant ρ par T :
g(eq)i = T.Wi.
[1 +
~ci.~v
c2s+
1
2.
(~ci.~v
c2s
)2− 1
2
‖~v‖2
c2s
](2.28)
Les coe�cients de pondération Wi sont donnés dans le tableau 2.4
en page 15. Les schémas DDQQ pourfi et gi peuvent être identiques.
On peut montrer que la résolution numérique de cette équation
permet derésoudre l'équation de convection-di�usion 2.25. De
manière analogue à la relation entre ρ et les fonctionsde
distribution fi (équation 2.24 en page 17), on peut établir un lien
entre les grandeurs microscopiques giet la grandeur macroscopique T
:
T =
Q∑i=1
gi (2.29)
Le lien entre la di�usivité thermique DT et le temps de
relaxation adimensionné τ∗T est donnée par la formule
suivante, en tout point similaire à l'équation 2.21 en page 17
:
τ∗T =1
2+ k.D∗T avec D
∗T ≡
DT∆x2/∆t
(2.30)
2.7.3 Couplage thermo-convectif, approximation de Boussinesq
Il est possible d'établir un couplage : le champ de température
in�ue sur le champ de masse volumique (quiin�uera sur le champ de
vitesse). Au premier ordre, la masse volumique dépend de la
température selon :
ρ ≈ ρ0. [1− βV . (T − T0)] (2.31)
où βV est le coe�cient de dilatation thermique volumique3 à
pression constante dé�ni par :
βV ≡−1ρ.
(∂ρ
∂T
)p
(2.32)
L'approximation de Boussinesq consiste à utiliser ρ partout
(équation de continuité et équation de conser-vation de la quantité
de mouvement) sauf dans le terme de force volumique de l'équation
de quantité demouvement, où l'on remplace ρ.~g par ρ0. [1− βV . (T
− T0)] .~g.
2.7.4 Interaction �uide-structure ou bien �uide-particule
Il faut ici calculer les forces que le �uide exerce sur le
solide. Il y a deux catégories de méthodes :"momentum exchange"
(Ladds, page 48 de la thèse de Xu, page 130 de Tao-2017) ou bien
"stress integration"
3Pour les matériaux isotropes, les coe�cients de dilatation
volumique et linéaire sont liés par l'équation βV = 3.βL.
18
-
2.7. Couplage avec les transferts thermiques
(article 2009-Xia). En fonction de la force totale et du couple
total s'exerçant sur le solide, il est possible de
calculer sa vitesse ~Vs et sa vitesse angulaire ~Ωs par
intégration de la seconde loi de Newton :M.d
~Vsdt =
~Ftot
I.d~Ωsdt =
~Ttot
où M et I sont respectivement la masse et le moment d'inertie du
solide. Pour un disque plein en 2D, cesgrandeurs sont
respectivement : M = ρs.πR
2
I = ρs.π2
19
-
Chapitre 2. Discrétisation
20
-
Chapitre 3
Analyse dimensionnelle
3.1 Ecoulements athermiques
Le nombre de Reynolds Re permet de comparer la contribution
relative de deux phénomènes dans l'écou-lement du �uide : la
di�usion de quantité de mouvement par frottement visqueux (temps
caractéristique
τvisc ≡ L2
ν ) et la convection de quantité de mouvement (temps
caractéristique τconv ≡LV ) :
Re ≡ τviscτconv
d'où Re =V.L
ν=ρ.V.L
µ(3.1)
Un nombre de Reynolds très petit devant l'unité signi�e que les
frottements visqueux jouent un rôle prépon-dérant devant l'inertie
(écoulements rampants) tandis qu'un nombre de Reynolds très grand
devant l'unitésigni�e que les e�ets inertiels sont prédominants
(écoulements turbulents). La valeur de transition entre lesdeux
régimes d'écoulement augmente lorsque l'e�et d'un con�nement
géométrique augmente. Dans une ca-nalisation cylindrique, par
exemple, l'écoulement reste laminaire (dominé par la viscosité)
jusqu'à des valeursde Reynolds proches de 2300.
Le nombre de Mach permet de prévoir si les e�ets de
compressibilité jouent un rôle dans l'écoulement. Cenombre est
dé�ni comme le ratio du temps caractéristique de propagation d'une
onde sonore τson ≡ Lvs etdu temps d'advection de la matière τconv ≡
Lv :
Ma ≡ τsonτconv
d'où Ma =V
vs(3.2)
On peut montrer que lorsque la grandeur Ma2 est très petite
devant l'unité (ce qui revient à Ma < 0, 3),l'écoulement peut
être considéré comme incompressible. Dans le cas contraire, il
s'agit d'un écoulementcompressible et les équations de
Navier-Stokes ne sont plus valables.
3.2 Ecoulements thermiques
Le nombre de Prandtl Pr dépend uniquement du matériau. Il est
dé�ni par :
Pr ≡ τthermτvisc
d'où Pr =ν
DT(3.3)
Le nombre de Prandtl peut être vu comme le ratio du temps
caractéristique de la di�usion de chaleur
τtherm ≡ L2
DT(avec DT la di�usivité thermique [m
2.s−1]) sur le temps caractéristique de la di�usion de
quantité de mouvement τvisc ≡ L2
ν (avec ν ≡ µ/ρ la viscosité cinématique [m2.s−1]). Par
conséquent, pour
Pr� 1, les e�ets thermiques sont faibles et le comportement du
�uide est essentiellement hydrodynamique("température uniforme et
gradients de vitesse"). Pour Pr � 1, les processus de di�usion de
la chaleurpilotent le mouvement du �uide ("gradients de température
et vitesse uniforme"). Le nombre de Prandtl est
21
-
Chapitre 3. Analyse dimensionnelle
environ 0,001 pour les métaux liquides, 0,7 pour l'air, 2 pour
l'eau et 1000 pour des huiles visqueuses.
Le nombre de Rayleigh Ra est dé�ni par :
Ra ≡(τthermτArch
).
(τviscτArch
)d'où Ra =
βV .g.∆T.L3
ν.DT(3.4)
où il apparaît le temps caractéristique de la poussée
d'Archimède τArch ≡√
Lg′ . Dans cette expression, le
terme g′ ≡ βV .∆T.g fait intervenir deux composantes : la
gravité g et la dilatation thermique βV .∆T oùβV ≡ 1ρ .
(∂ρ∂T
)pest le coe�cient de dilatation thermique isobare [K−1]1, g
l'intensité de gravitation, ∆T la
di�érence de température à l'origine de la convection naturelle,
L une hauteur caractéristique, ν la viscositécinématique et DT la
di�usivité thermique. Lorsque le nombre de Rayleigh est inférieur à
une valeur critique(de l'ordre de 2000), le transfert thermique se
fait par la conduction uniquement. Quand il dépasse cettevaleur
critique, le �uide se met en mouvement et l'on parle alors de
convection naturelle ou de convectionlibre, par opposition à la
convection forcée.
Le nombre de Grashof Gr est parfois trouvé dans la littérature
:
Gr ≡(τviscτArch
)2d'où Gr =
βV .g.∆T.L3
ν2(3.5)
On remarquera la relation Ra = Pr.Gr.
Le produit des nombres de Rayleigh et de Prandtl mériterait un
nom spéci�que. Il est égal à :
Pr.Ra ≡(τthermτArch
)2d'où Pr.Ra =
βV .g.∆T.L3
D2T(3.6)
Cette manière de présenter les choses, et plus particulièrement
le nombre sans dimension Pr.Ra, montre d'unepart que la poussée
d'Archimède est la force motrice, proportionnelle au gradient de
température ∆T/H etd'autre part, qu'elle est contrecarrée ou
ralentie par deux phénomènes : la conduction thermique essaie
degommer les écarts de température et le frottement visqueux
ralentit la mise en mouvement. Pour un �uidedonné, une augmentation
du gradient de température ∆T/H conduit à un temps caractéristique
τArch plusfaible et donc à une grande valeur du produit Pr.Ra, ce
qui signi�e que le couplage thermo-hydraulique estfort (apparition
de rouleaux de convection). Par contraste, pour une force motrice
donnée, un �uide trèsvisqueux (ν élevé) et/ou très bon conducteur
de chaleur (κ élevé) aura un produit "Pr.Ra" faible, ce quisigini�e
qu'il est capable de transférer un grand �ux de chaleur sans se
mettre en mouvement (faible couplagethermo-hydraulique).
Le nombre de Nusselt permet de comparer la convection de chaleur
à la conduction de chaleur. Considéronsun �ux de chaleur à travers
une interface solide-�uide de normale unitaire ~n. La densité de
�ux de chaleurtotale ~qtot est la somme d'une contribution
convective ~qconv et d'une contribution conductive ~qconv :
~qtot ≡ ~qconv + ~qcond avec
~qconv ≡ ρ.cp.T.~v~qcond ≡ −λ.∇T
En toutes circonstances, le transfert conductif existe. En
revanche, le transfert convectif peut être présent(�uide en
mouvement) ou bien absent (�uide au repos). On peut dé�nir le
nombre de Nusselt Nu pour
1Par dé�nition, on a βV ≡ 1ρ .(∂ρ∂T
)p, ce qui implique βV =
1V.(∂V∂T
)p. Pour un matériau isotrope, le coe�cient de dilatation
thermique isobare volumique est le triple du même coe�cient
linéaire : βV = 3.βL où l'on a βL =1L.(∂L∂T
)p. Pour un gaz
parfait, on peut montrer que βV =1T.
22
-
3.3. Synthèse des grandeurs adimensionnées
quanti�er l'importance relative de la convection sur la
conduction :
Nu ≡ 1 + qconvqcond
avec
qconv ≡ ‖~qconv‖qcond ≡ ‖~qcond‖
(3.7)
Lorsque le �uide est au repos, le transfert thermique se fait
uniquement par conduction (Nu = 1). Quand ily a un mouvement
convectif, le transfert thermique est amélioré (Nu > 1). Par
conséquent, on a :
Nu = 1 +1
DT.
∣∣∣∣ ~v.~n∇T.~n∣∣∣∣ (3.8)
Parfois, on dé�nit un coe�cient d'échange thermique global h
[W/m2] par la relation :
Nu ≡ h.Lλ
(3.9)
où L représente la dimension caractéristique du système.
3.3 Synthèse des grandeurs adimensionnées
Connaissant le pas d'espace et le pas de temps, on peut dé�nir
les grandeurs adimensionnées suivantes :
Grandeur dimensionnée Grandeur adimensionnée
Vitesse de réseau [m/s] cr ≡ ∆x∆t
Vitesse du son (isotherme) [m/s] cs ≡√
(∂p∂ρ )T c∗s ≡ cs∆x
∆t
= 1√k
Temps de relaxation [s] τ = ∆t2 +k.νc2r
τ∗ ≡ τ∆t =12 + k.ν
∗
Viscosité cinématique [m2/s] ν = (τ − ∆t2 ).c2rk ν
∗ ≡ ν(∆x)2
∆t
Masse volumique [kg/m3] ρ ρ∗ ≡ ρ1(∆x)3
Vitesse du �uide [m/s] ~v ~v∗ ≡ ~v∆x∆t
Vitesses prédé�nies [m/s] ~ci ~c∗i ≡ ~ci∆x
∆t
Accélération de pesanteur [m/s2] ~g ~g∗ ≡ ~g∆x(∆t)2
Nombre de Mach (isotherme) [-] Ma ≡ ‖~v‖vs
Nombre de Reynolds [-] Re ≡ ‖~v‖.Lν
23
-
Chapitre 3. Analyse dimensionnelle
3.4 Méthode de calcul
Considérons un �uide réel en écoulement dans un système réel. On
peut dé�nir un certain nombre degrandeurs adimensionnées :
Re ≡ V.Lν
Ra ≡ βV .∆T.g.L3
ν.DT
Ma ≡ Vvs
(3.10)
Au lieu de simuler le système réel (un �uide réel dans une
géométrie réelle), le code informatique va simulerle comportement
d'un système similaire, ou presque :
Similitude géométrique :LLBMDLBM
=LrDr
Similitude d'écoulement :ReLBM = Rer
Similitude thermique :RaLBM = Rar
Similitude "acoustique" :MaLBM = Mar
Dans la pratique, on va renoncer à la similitude de vitesse de
son car elle conduirait à des temps de calculprohibitifs. On va
imposer MaLBM = constante = Malim quelle que soit la valeur de Mar.
En réalité, cettehypothèse n'a pas d'in�uence sur le comportement
hydrodynamique du �uide tant que l'écoulement du �uideréel est
subsonique.
En notant que la distance caractéristique LLBM est égale au
produit du nombre N de cellules par la taille∆x d'une maille, les
conditions de simulation sont :
LLBM = N.∆x
VLBM .LLBMνLBM
= Rer
VLBMcs,LBM
= 0, 3 avec cs,LBM =γ
k.∆x
∆t
νLBM = (τ∗ − 1
2).
∆t
k.∆x2
∆t2
Pour faciliter l'écriture du code, on décide de �xer le pas
d'espace et le pas de temps :
∆x = 1
∆t = 1
Pour un nombre de rangées N choisi arbitrairement, on peut
calculer les grandeurs suivantes :
VLBM = 0, 3γ
k.∆x
∆t
νLBM =N
Rer.VLBM .∆x
τ∗LBM =1
2+ k.
νLBM∆x2/∆t
24
-
Chapitre 4
Mise en oeuvre numérique
La grandeur fi(x, y, t) sera traitée par l'élément suivant de la
matrice f :
f(nx, ny, nt, i) avec
x(nx) ≡ (nx− 1).∆xy(ny) ≡ (ny − 1).∆yt(nt) ≡ (nt− 1).∆t
et
nx ∈ {1....Nx}ny ∈ {1....Ny}nt ∈ {1....Nt}i ∈ {1....Q}
(4.1)
4.1 Algorithme
A l'instant t , on considère l'état du système connu.
C'est-à-dire qu'en chaque noeud, on connaît la valeurde fi pour i ∈
{1...Q}. On cherche à connaître l'état du système à l'instant
suivant t + ∆t. Pour cela, onutilise l'équation de Boltzmann sur
réseau dans l'approximation BGK (équation 2.8) que l'on peut
ré-écrire :
fi(x+ cix.∆t, y + ciy.∆t, t+ ∆t) = fi(x, y, t)−1
τ∗.[fi(x, y, t)− feqi (x, y, t)] (4.2)
Cette équation suggère une résolution numérique en deux
étapes.
Etape de collision En chaque noeud (x, y), on calcule la
fonction de distribution discrète post-collisionque l'on note
fposti :
fposti (x, y, t) = fi(x, y, t)−1
τ∗.[fi(x, y, t)− f (eq)i (x, y, t)] pour i ∈ {1...Q} (4.3)
Ce calcul est local : la valeur de fposti ne dépend que des
valeurs de fi et de f(eq)i au noeud (x, y) considéré.
Cela permet d'envisager une parallélisation massive du code de
calcul, avec le gain de temps associé. On
peut véri�er que, par construction mathématique, fposti (x, y,
t) est plus proche de f(eq)i (x, y, t) que ne l'était
fi(x, y, t). Physiquement cela signi�e que le système relaxe
vers l'équilibre au cours des collisions entreparticules. On
considère que l'étape de collision est instantanée et se déroule
immédiatement après l'instantt (donc bien avant t+ ∆t).
Etape de transfert La fonction de distribution discrète
post-collision est propagée aux noeuds voisins :
fi(x+ cix.∆t, y + ciy.∆t) = fposti (x, y, t) (4.4)
Cette équation est associée à une vision "émission" : la
grandeur fposti associée à un noeud (x, y) est envoyée(a�ectée) au
noeud voisin (x + cix.∆t, y + ciy.∆t). Cette vision est celle qui
est retenue dans la suite dudocument. Toutefois, dans les Travaux
Dirigés, on adoptera la vision "réception" en décalant les
indicesspatiaux :
fi(x, y, t+ ∆t) = fposti (x− cix.∆t, y − ciy.∆t, t) (4.5)
25
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
Dans ce cas, la valeur de fi associée à un noeud (x, y) est
reçue du noeud voisin (x− cix.∆t, y − ciy.∆t).
Quel que soit le choix réalisé, durant l'étape de transfert, les
particules (et donc les fi qui représentent leurmasse volumique
partielle) voyagent à vitesse �nie. Grâce à la condition de
synchronisation, au bout du pasde temps ∆t, elles se retrouvent
exactement sur un noeud voisin.
On peut donner une représentation graphique de cet algorithme.
Pour ce faire, nous choisissons le schémaD2Q9. La �gure 4.1 montre
les noeuds d'un maillage de l'espace. Ces noeuds sont occupés par
le �uide. A
Figure 4.1 : Illustration des deux étapes : collision et
transfert (vision "émission").
titre d'exemple, on considère la direction i = 5.
sur la �gure de gauche : la �èche part du noeud (x,y). Sa
longueur représente la valeur de f5 en cenoeud à l'instant t (juste
avant la collision) ;
sur la �gure centrale : la �èche part du noeud (x,y). Sa
longueur représente la valeur de fpost5 en cenoeud à l'instant t+
(juste après la collision)
sur la �gure de droite : la �èche part du noeud (x, y) pour
aller au noeud (x′, y′) = (x+cix.∆t, y+ciy.∆t).
Puisque i = 5 et ~c5 =
(c5xc5y
)= cr.
(11
), on a : (x′, y′) = (x + cr.∆t, y + cr.∆t). En utilisant la
condition de synchronisation (équations 2.5 et 2.6 en page 10),
on trouve que (x′, y′) = (x+ 1.∆x, y +1.∆y). La longueur de cette
�èche représente la valeur de f5 en ce noeud à l'instant t+ ∆t
(juste aprèsle transfert). Cette valeur est égale à f5
post : il s'agit d'un simple transfert.
Si l'on représente chaque direction par une couleur di�érente,
le schéma complet du transfert est donné surla �gure 4.2. De
manière générale, l'algorithme est représenté sur la �gure 4.3.
Figure 4.2 : Illustration de l'étape classique de transfert
(vision "émission").
26
-
4.1. Algorithme
Figure 4.3 : Algorithme de LBM.
27
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
4.2 Gestion d'une force volumique
Le �uide peut être soumis à une force volumique ~F en [N.m−3] à
cause du champ gravitationnel ou électro-magnétique notamment.
Cette force volumique peut s'écrire comme le produit de la masse
volumique ρ parune accélération notée ~g :
~F = ρ.~g d'où ~F ∗ = ρ∗.~g ∗
Pour l'implémenter numériquement, plusieurs options sont
décrites ci-dessous. On pourra se référer auxreviews de Buick [1],
Li [14] et Mohamad [20].
4.2.1 Schéma générique
Quelle que soit l'option particulière retenue, les équations à
résoudre sont décrites ci-dessous. Elles font inter-venir un terme
supplémentaire ωi dans l'expression de l'opérateur de collision Ωi
et propose une expressionmodi�ée de la vitesse macroscopique ~v du
�uide (mesurable expérimentalement).
Collision pour f :
f posti = fi + Ωi avec Ωi = −
1
τ∗ν. (fi − f eqi ) + ωi
f eqi = ρ.Wi.
[1 + k.
(~ci · ~u eq
c2r
)+k2
2.
(~ci · ~u eq
c2r
)2− k
2.
(~u eq
cr
)2](4.6)
Collision pour g :
g posti = gi + Ω
′i avec Ω
′i = −
1
τ∗θ. (gi − g eqi ) + ω
′i
g eqi = T.W′i .
1 + k′.(~ci · ~u′ eqc2r
)+k′2
2.
(~ci · ~u′
eq
c2r
)2− k
′
2.
(~u′
eq
cr
)2(4.7)
Transfert pour f (réception) : fi(x, y, t+ ∆t) = fposti (x−
cix.∆t, y − ciy.∆t) (4.8)
Transfert pour g (réception) : gi(x, y, t+ ∆t) = gposti (x−
c
′ix.∆t, y − c′iy.∆t) (4.9)
Calcul des moments :
M0 =
Q∑i
fi
~M1 =
Q∑i
fi.~ci
M ′0 =
Q′∑i
gi
(4.10)
On notera l'équation dimensionnelle : [~F] = [vitesse].[Fi] =
[N.m−3] ainsi que [ωi] = [∆t.Fi] = [m
−3].
28
-
4.2. Gestion d'une force volumique
4.2.2 Schémas principaux de la littérature
Schéma Dimensionné(~F = ρ.~g
)Adimensionné
(~F ∗ = ρ∗.~g ∗
)
Shan et Doolen ~v =[~M1 +
12 .∆t.
~F]/M0 ~v
∗ = ~M∗1 /M∗0 +
12 .~g∗
[23] ~u eq =[~M1 + τν . ~F
]/M0 ~u
eq∗ = ~M∗1 /M∗0 + τ
∗ν .~g∗
~u′eq
=[~M1 + τθ. ~F
]/M0 ~u′
eq∗= ~M∗1 /M
∗0 + τ
∗θ .~g∗
Martys ωi = 0 ω∗i = 0
[19] ω′i = 0 ω′∗i = 0
~v =[~M1 +
12 .∆t.
~F]/M0 ~v
∗ = ~M∗1 /M∗0 +
12 .~g∗
Guo ~u eq =[~M1 +
12 ; ∆t.
~F]/M0 ~u
eq∗ = ~M∗1 /M∗0 +
12 .~g∗
[7] ωi = Wi.(1− 12τ∗
). ~F ·
[~ci−~vcs
+ (~ci·~v).~cic3s
].∆tcs ω
∗i =
(1− 12τ∗
).k.Wi.ρ
∗. (~g ∗ · ~c ∗i )
Table 4.1 : Di�érentes manières d'implémenter une force
volumique ~F . On note que ρ∗ = M∗0 =∑f∗i .
On notera que l'équation donnant la vitesse macroscopique
(mesurable expérimentalement) ~v du �uide peut
se ré-écrire ρ.~v =( ~M1)+( ~M1+ ~J)
2 . Ceci montre que la quantité de mouvement ρ~v du �uide est la
moyenne de
la quantité de mouvement avant collision ( ~M1) et de la
quantité de mouvement après collision ( ~M1 + ~J) où
la grandeur ~J est l'impulsion, c'est-à-dire la quantité de
mouvement supplémentaire que la force volumiquecommunique au
�uide.
La valeur de l'accélération ~g dépend du système étudié. En
notant ~g0 l'accélération de la pesanteur (||~g0|| =9, 81 m.s−2),
on peut :
� mettre un �uide en mouvement (écoulement de Poiseuille ou
autour d'un obstacle) avec :
~g = ~g0 soit ~g∗ = ~g ∗0
� étudier les phénomènes thermo-convectifs en utilisant
l'approximation de Boussinesq (équation 2.31 enpage 18) :
~g = ~g0. [1− βV . (T − T0)] soit ~g ∗ = ~g ∗0 . [1− β∗V . (T ∗
− T ∗0 )]
Lorsqu'on veut étudier le début de l'instabilité de
Rayleigh-Bénard, il s'avère pratique d'avoir un état
initialcaractérisé par une masse volumique uniforme dans l'espace.
Pour cela, il faut tout d'abord soustraire lacontribution
hydrostatique, ce qui se fait en ne gardant que le terme −~g0.βV
.∆T et en omettant le terme~g0. Il faut ensuite soustraire la
contribution liée à l'existence d'un pro�l initial de température
linéaire (étatconductif) :
T0 = Tchaud + (Tfroid − Tchaud) .z − zbas
zhaut − zbasavec
T = Tfroid pour z = zhautT = Tchaud pour z = zbas29
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
soit
T ∗0 = 1− z∗ avec
T ∗ ≡ T − Tfroid
Tchaud − Tfroid∈ [0; 1]
z∗ ≡ z − zbaszhaut − zbas
∈ [0; 1]
En résumé, en prenant ~g ∗ = −~g ∗0 .β∗V . [T ∗ − (1− z∗)],
l'accélération est uniformément nulle, ce qui conduit àun champ de
densité uniforme dans l'espace à l'instant initial. Il est alors
facile d'imposer une perturbationsinusoïdale pour évaluer si elle
s'amortit ou s'ampli�e avec le temps.
4.2.3 Autres schémas de la littérature
Le tableau 4.2 présente di�érentes manières d'implémenter une
force volumique. à véri�er.
Nom ~J1/2 ~ueq ωi
Martys ~J1/2 = τ∗.∆t. ~F
~M1M0
0~J∗1/2 = τ
∗.ρ∗.~g ∗
Luo 0~M1M0
ωi = Wi.~F .~cic2s.∆t
ω∗i = k.Wi.ρ∗. (~g ∗ · ~c ∗i )
Guo ~J1/2 =12 .∆t.
~F ~u eq =~M1+~F .(∆t/2)
M0ωi = Wi.
(1− 12τ∗
).~Fcs·[~ci−~vcs
+ (~ci·~v).~cic3s
].∆t
~J∗1/2 =12 .ρ∗.~g ∗ ~u eq∗ =
~M∗1 +12 .ρ∗.~g ∗
M∗0ω∗i =
(1− 12τ∗
).k.Wi.ρ
∗. (~g ∗ · ~c ∗i )
Shan 12 .∆t.~F
~M1M0
Wi.~F .~cic2s.∆t
Ginzbourg 12 .∆t.~F
~M1+τ. ~FM0
0
Buick 12 .∆t.~F
~M1+~F/2M0
Wi.12τ .
~F .~cic2s.∆t
Table 4.2 : Di�érentes manières d'implémenter une force
volumique ~F telle que ~F = ρ.~g.
On peut faire les commentaires suivants :
� Martys : utilisé notamment en 1995 par Shan & Doolen [23]
et en 1996 par Martys [19]. Il s'agit dela méthode n°2 dans la
revue de Buick[1].
� Luo : parfois quali�é de "lumped-forcing" en anglais et
proposé en 1993 par Luo [18]
� Guo : parfois quali�é de "split-forcing scheme" en anglais et
proposé en 2002 par Guo [7]. Il permet deretrouver l'équation de
continuité et l'équation de conservation de la quantité de
mouvement (Navier-Stokes) avec une convergence d'ordre 2. Dans sa
revue, Li [14] semble dire que le schéma proposé en2006 par Wagner
[27] est identique à celui de Guo.
� Shan : schéma proposé en 1995 par Shan et Doolen [23] (voir la
revue de Buick [1])
� Ginzburg : schéma proposé en 1994 par Ginzburg [6] et repris
par He en 1997 [8] (voir la revue deBuick [1])
� Buick : schéma proposé en 2000 par Buick et Greated [1]. Ils
disent que ce schéma (méthode n°4 dansleur article) converge à
l'ordre 2 vers les équations de Navier-Stokes, contrairement aux
schémas deShan et Ginzburg qui ont un terme résiduel
30
-
4.3. Conditions aux limites périodiques
4.3 Conditions aux limites périodiques
Pour les conditions périodiques, la fonction matlab rem, donnant
le reste après division euclidienne, peutêtre avantageusement
utilisée. En notant E la fonction donnant la partie entière, sa
dé�nition est :
rem(x, y) ≡ x− y.E(xy
)
Figure 4.4 : Gestion des conditions aux limites périodiques dans
le cas d'un schéma D2Q9.
4.4 Conditions aux limites de Symétrie/Glissement
Il s'agit de deux conditions identiques. Le gradient de vitesse
s'annule lorsqu'on s'approche du plan desymétrie (glissement).
Cette condition est illustrée graphiquement sur la �gure 4.5 en
page 31 pour les troisdirections qui posent problème.
Figure 4.5 : Gestion des conditions aux limites de symétrie dans
le cas d'un schéma D2Q9.
4.5 Conditions aux limites de type "Paroi solide"
(généralités)
4.5.1 Informations manquantes
La �gure 4.6 montre les di�érents types de noeuds �uides à
proximité immédiate d'une paroi solide et indiqueleur dénomination.
On comprend que certaines informations seront manquantes. Plus
précisément, dans lecas d'un schéma D2Q9, le tableau 4.3 donne
l'indice i correspondant aux valeurs de φi inconnues (fi ou
gi),pour lesquelles divers algorithmes ont été proposés dans la
littérature.
31
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
Figure 4.6 : Dénomination des noeuds �uides à proximité
immédiate d'une paroi solide : B,D,H,G etDH,HG,GB,BD.
Code Position du noeud i de φi connus i de φi inconnusD Droite
1,2,4,5,8,9 3,6,7H Haut 1,2,3,5,6,9 4,7,8G Gauche 2,3,4,6,7,9
1,5,8B Bas 1,3,4,7,8,9 2,5,6DH Droite-Haut 1,2,5,9 3,4,6,7,8HG
Haut-Gauche 2,3,6,9 1,4,5,7,8GB Gauche-Bas 3,4,7,9 1,2,5,6,8BD
Bas-Droite 1,4,8,9 2,3,5,6,7
Table 4.3 : Noeuds connus et inconnus pour la condition aux
limites de type "Paroi solide" dans un schémaD2Q9 dé�ni sur la
�gure 2.2 en page 14.
4.5.2 Interpolations et extrapolations
Lorsque la position de la paroi est quelconque (q < 1/2), on
est amené à réaliser des interpolations et desextrapolations. On
utilise les notations présentées sur la �gure 4.7 en page 33 :
l'interface solide-�uide estnoté "w" et le noeud �uide le plus
proche de cette dernière est noté "f".
Ordre 1 : on utilise l'équation de la droite passant par les
noeuds f et � pour écrire :
φw = (1 + q) .φf − q.φ�
Pour le cas particulier où la paroi est à mi-chemin entre deux
rangées de noeuds (q < 1/2), le noeud w sesuperpose avec le
noeud m. On a alors :
φm =1
2. [3.φf − φ�] (4.11)
Ordre 2 : on utilise l'équation de la parabole passant par les
noeuds f, � et �f :
φw =1
2. [φf. (1 + q) . (2 + q)− 2.φ�.q. (2 + q) + φ�f.q. (1 + q)]
(4.12)
32
-
4.6. Conditions aux limites en densité pour une paroi solide
Figure 4.7 : Notations utilisées pour les interpolations et
extrapolations.
Pour le cas particulier où la paroi est à mi-chemin entre deux
rangées de noeuds, le noeud w se superposeavec le noeud m. On a
alors :
φm =1
8. [15.φf − 10.φ� + 3.φ�f] (4.13)
4.6 Conditions aux limites en densité pour une paroi solide
4.6.1 Paroi solide à mi-chemin
Figure 4.8 : Gestion d'une paroi solide à mi-chemin dans le cas
d'un schéma D2Q9.
On présente ici la méthode de rebond à mi-chemin, étendue par
Ladd au cas des parois mobiles. Dans sesarticles séminaux [11, 12],
il considère une interface solide-�uide située exactement entre
deux rangées oucolonnes de noeuds (la distance entre la paroi
solide et le noeud �uide le plus proche est égale à ∆x/2). Onnote
~vw ≡ vw,x.~ex + vw,y.~ey la vitesse de la paroi solide. Il
démontre que :{
Vision émission : fopp(i)(x, y, t+ ∆t) = fposti (x, y, t)
−∆fi
Vision réception : fi(x, y, t+ ∆t) = fpost
opp(i)(x, y, t) +∆fi(4.14)
33
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
où opp(i) désigne la direction opposée à la direction i (par
exemple, 1 et 3 sont deux directions opposéesdans le schéma D2Q9)
et où ∆fi dépend de la constante k dé�nie par l'équation 2.16 en
page 13 selon :
∆fi ≡ ρWi.2k.~ci.~vwc2r
(4.15)
Lorsque la vitesse de la paroi est nulle, cette condition aux
limites peut s'interpréter de la manière suivante :la grandeur
fposti associée au noeud (x,y,z) est envoyée dans la direction i de
manière classique mais à l'instantt+ ∆t2 , la particule porteuse de
l'information percute l'interface solide-�uide et sa vitesse change
de direction.Elle retourne sur ses pas et, à l'instant t + ∆t, se
retrouve sur le noeud d'où elle était partie. Pour cetteraison,
cette condition aux limites est appelée "rebond à mi-chemin"
(half-way bounce-back en anglais)1.Cette méthode présente une
convergence d'ordre 2 en temps et en espace (comme le schéma BGK
dans lebulk du �uide). Lorsque la paroi est en mouvement, le terme
∆fi n'est pas nul. La �gure 4.9 inspirée de Laddillustre le fait
que le mouvement de la surface a tendance à diminuer le volume du
�uide (donc augmenter samasse volumique/pression) ou à o�rir
davantage de volume (donc diminuer sa masse
volumique/pression).Pour approfondir et faire le lien avec
l'invariance Galiléenne, on pourra consulter la page 22 de Wagner
[28].
Figure 4.9 : In�uence de la vitesse de la paroi sur la condition
aux limites auprès d'une paroi solide.
4.6.2 Paroi solide à position quelconque
Calcul de la vitesse à la frontière d'un solide. On considère
une particule P solide dont la vitesse detranslation est notée ~Up
et la vitesse de rotation est notée ~Ωp. La vitesse d'un point w
situé à la surface dela particule solide est donnée par :
~vw = ~Up + ~Ωp ∧ (~rw − ~rp) (4.16)
4.7 Conditions aux limites en température (ou concentration)
pourune paroi solide
4.7.1 Condition de Dirichlet
Pour une paroi solide plane et immobile, la condition de
Dirichlet (température imposée à la paroi) estrelativement facile à
implémenter. On s'appuiera sur la �gure 4.10 et l'on désigne par k
la direction associéeà la distribution inconnue. On rappelle tout
d'abord le lien entre la température et les distributions gi
1Si l'interface solide-�uide ne se situe pas à une distance ∆x/2
de la première colonne de noeuds �uides, mais se superposeà cette
première colonne, alors on distingue les noeuds intégralement dans
le domaine �uide et les noeuds sur la frontièresolide-�uide. Le
traitement est un peu di�érent et l'ordre de convergence est
dégradé : il n'est alors égal qu'à 1. Cette méthodeest appelée
"rebond standard" ou "rebond complet" (standard bounce-back en
anglais)
34
-
4.7. Conditions aux limites en température (ou concentration)
pour une paroi solide
Figure 4.10 : Notations utilisées pour les conditions aux
limites auprès d'une paroi solide plane.
(équation 2.29 en page 18) :
Tf =
Q∑i=1
gi(xf ) d'où Tf = gk(xf ) +
Q∑i=1i6=k
gi(xf )
Par ailleurs, connaissant la température Tw imposée à la paroi
et la température T� calculée au noeud �, onpeut réaliser une
interpolation d'ordre 1 grâce à l'équation 4.11 en page 32 et
écrire :
Tf =1
3. [2.Tw + T�] (4.17)
A l'ordre 1, il s'ensuit que la distribution inconnue est :
gk(xf , t+ ∆t) =1
3. [2.Tw + T�]−
Q∑i=1i 6=k
gi(xf , t+) (4.18)
A l'ordre 2, on peut utiliser l'équation 4.13 et écrire :
gk(xf , t+ ∆t) =1
15. [8.Tw + 10.T� − 3.T�f]−
Q∑i=1i 6=k
gi(xf , t+) (4.19)
Idéalement, je pense que les températures T� et T�f doivent être
évaluées juste après la collision qui seproduit à t+. Peut-être que
l'erreur n'est pas trop grande si on prend la valeur de ces
températures à l'instantprécédent t ... Des schémas plus complexes
sont nécessaires lorsque la paroi solide est en mouvement
et/oucourbe.
Gestion des coins. Dans les angles, le nombre d'informations
inconnues augmente et le problème devientplus ardu. On a les deux
équations suivantes sous la main :
Tf =
Q∑i=1
gi(xf , t+)
Tf =13 . [2.Tw + T�]
A titre d'exemple, étudions le coin en haut à gauche avec un
schéma D2Q5. Lorsque les deux parois sontde type Dirichlet
(températures Ttop et Tleft), la température de l'angle à
l'intersection des deux interfacesphysiques peut être dé�nie par Tw
≡ (Ttop + Tleft) /2. Logiquement, le noeud �uide � est le noeud le
plusproche de f situé sur la diagonale reliant ce dernier à l'angle
physique où la température est Tw. Pour résoudrele système qui
comporte 3 inconnues (g1, g2 et Tf), il faut une troisième
équation. On peut choisir l'une ouautre hypothèse ou encore
d'autres, plus sensées physiquement :
Hypothèse n°1 : g1 = g2
Hypothèse n°2 :g1g2
=Tleft − TfTtop − Tf
35
-
Chapitre 4. Mise en oeuvre numérique
4.7.2 Condition de Neumann
Pour une condition aux limites de type Neumann, la densité de
�ux de chaleur est imposée :
qinw ≡ ~qw.~nin avec ~qw ≡ −λ. (∇T )w
où ~nin est le vecteur unitaire normal à l'interface
solide/�uide et dirigé vers l'intérieur du domaine �uide.Par
construction, la densité de �ux de chaleur qinw est positive si la
chaleur entre dans le domaine �uide etnulle si l'interface
solide/�uide est adiabatique.
La stratégie est de se ramener à une condition de Dirichlet. On
peut en e�et calculer le gradient de tempé-rature avec un schéma
aux di�érences �nies. Pour une interface solide/�uide située à
mi-chemin entre deuxrangées de noeuds, on a :
Paroi droite : qinw = +λ.(∂T∂x
)w
avec(∂T∂x
)w
=Tw−Tf∆x/2 d'où Tw = Tf +
∆x2 .
qinwλ
Paroi sup. : qinw = +λ.(∂T∂y
)w
avec(∂T∂x
)w
=Tw−Tf∆y/2 d'où Tw = Tf +
∆y2 .
qinwλ
Paroi gauche : qinw = −λ.(∂T∂x
)w
avec(∂T∂x
)w
=Tf−Tw∆x/2 d'où Tw = Tf +
∆x2 .
qinwλ
Paroi inf. : qinw = −λ.(∂T∂y
)w
avec(∂T∂x
)w
=Tf−Tw∆y/2 d'où Tw = Tf +
∆y2 .
qinwλ
Dans le cas particulier où les mailles sont carrées (∆x = ∆y),
l'équation suivante résume tous les casparticuliers et donne la
température à la paroi Tw qui respecte le �ux de chaleur imposé
q
inw :
Tw = Tf +∆x
2.qinwλ
(4.20)
où Tf est la température du noeud �uide le plus proche de la
paroi. Il su�t ensuite d'implémenter unecondition aux limites de
Dirichlet avec la nouvelle valeur de la température Tw ainsi
trouvée.
36
-
Chapitre 5
Annexes
5.1 Vitesses du son
La vitesse du son est la vitesse d'une onde sonore se propageant
dans un milieu continu (solide, liquide ougaz). En réalité, la
propagation d'une onde sonore est un phénomène isentropique car à
la fois réversible (pasde gradient de vitesse à l'extérieur de la
vague proprement dite) et adiabatique (les gradients thermiquessont
non nuls dans l'onde mais nuls à l'extérieur). Par conséquent, la
dé�nition classiquement utilisée pour lavitesse du son est
adiabatique. On la notera ici vs. C'est d'ailleurs, la vitesse du
son adiabatique qui intervientdans la dé�nition du nombre de Mach,
permettant de caractériser l'in�uence de la compressibilité du
�uide :
Ma ≡ ||~v||vs
Dans la communauté scienti�que s'intéressant à la Méthode de
Boltzmann sur Réseau, toutefois, il estd'usage de dé�nir la vitesse
du son comme celle résultant d'un processus isotherme. On la notera
alors cs.Cette dé�nition permettra de simpli�er les expressions
analytiques.
Vitesse du son isotherme cs. On dé�nit la vitesse du son
isotherme cs par la dérivée partielle de lapression p par rapport à
la masse volumique ρ, à température T constante :
cs ≡
√(∂p
∂ρ
)T
(5.1)
Vitesse du son adiabatique vs. On dé�nit la vitesse du son
adiabatique vs par la dérivée partiellede la pression p par rapport
à la masse volumique ρ, à entropie S constante :
vs ≡
√(∂p
∂ρ
)S
(5.2)
Lien entre les deux vitesses du son. Les compressibilités
isotherme κT et adiabatique κS sont dé�niespar :
κT ≡1
ρ.
(∂ρ
∂p
)T
et κS ≡1
ρ.
(∂ρ
∂p
)S
On peut donc écrire : (∂p
∂ρ
)S
=1
κS.1
ρ=κTκS.
1
ρ.κT=κTκS.
(∂p
∂ρ
)T
La relation de Reech s'énonce κTκS =cpcV. Par conséquent, en
notant ce rapport γ le coe�cient adiabatique,
on a la relation suivante, valable pour un matériau quelconque
(solide, liquide, gaz) :
vs =√γ.cs (5.3)
37
-
Chapitre 5. Annexes
Cas particulier du gaz parfait. Dans le cas particulier du gaz
parfait de masse molaire M̃ , l'équationd'état pV = NRT permet
d'établir que : cs =
√R̃.T
vs =
√γ.R̃.T
avec R̃ ≡ RM̃
(5.4)
Le coe�cient adiabatique γ vaut 5/3 pour un gaz parfait
monoatomique et 7/5 pour un gaz parfait di-atomique. Il est à noter
que la vitesse du son dépend très peu de la pression mais qu'elle
peut variersigni�cativement avec la température. Elle sera
constante lorsque le système modélisé sera athermique.
Cas des �uides usuels. Pour l'air à 25°C, on a ρ = 1, 184
kg.m−3, γ = 1, 4, vs = 343 m.s−1, cs = 289
m.s−1 et κT = 1, 003.10−5 Pa−1. Pour l'eau à 20°C, on a ρ = 998,
2 kg.m−3, γ = 1, 0066, vs = 1483 m.s
−1,cs = 1478 m.s
−1 et κT = 4, 589.10−10 Pa−1.
5.2 Opérateurs vectoriels et tensoriels
5.2.1 Produit scalaire
Le produit scalaire entre deux vecteurs ~u et ~y est noté avec
un point central :
~u · ~v = ux.vx + uy.vy + uz.vz
5.2.2 Produit tensoriel
En dimension 2, le produit tensoriel (=dyadique) du vecteur ~u
par le vecteur ~v est égal à :
~u⊗ ~v =(uxuy
)⊗(vxvy
)≡[ux.vx ux.vyuy.vx uy.vy
]En dimension 3, le produit tensoriel du vecteur ~u par le
vecteur ~v est égal à :
~u⊗ ~v =
uxuyuz
⊗ vxvy
vz
≡ ux.vx ux.vy ux.vzuy.vx uy.vy uy.vzuz.vx uz.vy uz.vz
5.2.3 Nabla
Etant donné trois grandeurs scalaires x1, x2, x3 notées ~x =
x1x2x3
de manière condensée, l'opérateur nablanoté ∇~x s'écrit de la
manière suivante :
∇~x =
∂∂x1∂∂x2∂∂x3
Dérivation par rapport à la position La plupart du temps, le
vecteur ~x est le vecteur position ~r = xy
z
. Dans ce cas, on utilise la notation ∇ sans préciser la base de
dérivation :
∇ = ∇~x =
∂∂x∂∂y∂∂z
38
-
5.3. Méthodes de quadrature
Dérivation par rapport à la vitesse Parfois, la dérivation
partielle se fait par rapport au vecteur vitesse~v. L'opérateur est
alors :
~∇~v =
∂∂vx∂∂vy∂∂vz
5.2.3.1 Nabla d'un scalaire
Pour un scalaire f , la grandeur ∇f est un vecteur appelé
gradient :
∇f =
∂f∂x∂f∂y∂f∂z
5.2.3.2 Nabla d'un vecteur
Pour un vecteur ~u, la grandeur ∇ · ~u est un scalaire appelé
divergence. Il s'agit d'un produit scalaire :
∇ · ~u =
∂∂x∂∂y∂∂z
· uxuy
uz
= ∂ux∂x
+∂uy∂y
+∂uz∂z
5.3 Méthodes de quadrature
Les règles de quadrature sont des formules qui permettent de
calculer la valeur approchée de l'intégraled'une fonction. On
distingue deux grandes familles.
5.3.1 Quadratures de Newton-Cotes
Considérons l'intégrale suivante :
I ≡∫ ba
f(x).dx (5.5)
où [a, b] est un intervalle de R et f(x) une fonction continue.
Newton-Cotes proposent d'utiliser l'approxi-mation suivante : ∫
b
a
f(x).dx ≈n∑i=1
wi.f(xi) (5.6)
où les n noeuds xi sont équidistants xi ≡ a + i.(b − a)/n et les
poids wi (ou coe�cients de quadrature)donnés par :
wi =
∫ ba
n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
.dx (5.7)
Une quadrature de Newton-Cotes à n points fournit la valeur
exacte de l'intégrale lorsque la fonction f estun polynôme d'ordre
inférieur ou égal à n− 1.
Il existe notamment deux cas particuliers bien connus :
la méthode des trapèzes (n = 1), on a w0 =b−a
2 et w1 = w0.
la méthode de Simpson 1/3 (n = 2), on a w0 =b−a
6 , w1 = 4.w0 et w2 = w0.
39
-
Chapitre 5. Annexes
5.3.2 Quadratures de Gauss
Considérons le cas particulier où la fonction f à intégrer se
met sous la forme :
f (x) = ω (x) .g(x)
où ω
