Méthode des déterminants ou méthode de Cramer. · Gabriel Cramer était un mathématicien français(1704-1752) qui a mis au point en 1750 une méthode très eﬃcace pour résoudre

A IMPRIMER, PUIS À COLLER DANS LE CAHIER DE COURS. DÉBUT DU COURS.

Méthode des déterminants ou méthode de Cramer.

Définition :

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est une

écriture de la forme

ax+ by = c

a′x+ b′y = c′

L’accolade signifie « et ». Les deux lignes doivent être simultanément satisfaites.

Exemple :

4x+ 5y = 542x+ 9y = 92

Le couple (1;10) est-il solution du système ?

Ligne 1, je remplace x par 1 et y par 10. Est-ce que ça donne 54 ? 4× 1 + 5× 10 = 54 OKLigne 2, je remplace x par 1 et y par 10. Est-ce que ça donne 92 ? 2× 1 + 9× 10 = 92 OK

Donc le couple (1;10) est solution de ce système (Attention ! dans un couple, il y a un ordre dans lesparenthèses ! C’est d’abord x, puis y).

La méthode des déterminants ou méthode de Cramer.

Gabriel Cramer était un mathématicien français(1704-1752) qui a mis au point en 1750 une méthodetrès efficace pour résoudre un système. Bien sûr, il ne connaissait pas le mot déterminant et encoremoins sa notation avec des barres verticales. Mais ses calculs revenaient à calculer des déterminants.

Considérons le système suivant

ax+ by = c

a′x+ b′y = c′avec a , 0, a′ , 0,b , 0,b′ , 0, ab′ − a′b , 0.

Multiplions la première ligne par a′ et la seconde par a :ax+ by = c

a′x+ b′y = c′équivaut à

aa′x+ a′by = a′c

aa′x+ ab′y = ac′

En conservant L1 et en faisant L2 −L1 en seconde ligne :

équivaut à


(ab′ − a′b)y = ac′ − a′c

équivaut à


y =ac′ − a′cab′ − a′b

=

∣∣∣∣∣∣a c

a′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a′

b b′

∣∣∣∣∣∣Multiplions la première ligne par b′ et la seconde par b :ax+ by = c

a′x+ b′y = c′équivaut à

ab′x+ bb′y = b′c

a′bx+ bb′y = bc′

En faisant L1 −L2 en première ligne et en conservant la seconde ligne :

équivaut à

(ab′ − a′b)x = b′c − bc′

a′bx+ bb′y = bc′

équivaut à

x =

b′c − bc′

ab′ − a′b=

∣∣∣∣∣∣ c b

c′ b′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a′

b b′

∣∣∣∣∣∣a′bx+ bb′y = bc′

Commentaires de monsieur MEBIROUK : Les calculs ci-dessus n’ont aucune utilité pour vous. Ilssont très techniques. Ne vous attardez pas dessus ! C’est un passage qui n’est pas important.

On peut montrer qu’une seule condition sur les 5 est nécessaire et suffisante et que le x et le y trouvéssont solutions, à savoir que ab′ − a′b , 0 :Méthode des déterminants :

Pour résoudre le système

ax+by =ca′x+b′y =c′

avec ab′ − a′b , 0.

1) On calcule D le déterminant de la colonne des x et de la colonne des y : D =∣∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣∣.2) On calcule Dx le déterminant de la colonne des résultats et de la colonne des y :

Dx =∣∣∣∣∣ c bc′ b′

∣∣∣∣∣ et x =Dx

D.

3) On calcule Dy le déterminant de la colonne des x et de la colonne des résultats :

Dy =∣∣∣∣∣a ca′ c′

∣∣∣∣∣ et y =Dy

D.

Résoudre les systèmes suivants :{4x+5y = 102x+7y = 1

D =∣∣∣∣∣4 52 7

∣∣∣∣∣ = 4× 7− 2× 5 = 18

Dx =∣∣∣∣∣10 5

1 7

∣∣∣∣∣ = 10× 7− 1× 5 = 65, donc x =Dx

D=

6518

.

Dy =∣∣∣∣∣4 102 1

∣∣∣∣∣ = 4× 1− 2× 10 = −16, donc y =Dy

D=−1618

=−89

.

S ={(65

18;−89

)}

−3x−y = 42x−5y = −6

D =∣∣∣∣∣−3 −1

2 −5

∣∣∣∣∣ = −3× (−5)− 2× (−1) = 17

Dx =∣∣∣∣∣ 4 −1−6 −5

∣∣∣∣∣ = 4× (−5)− (−6)× (−1) = −26, donc x =Dx

D=−2617

.

Dy =∣∣∣∣∣−3 4

2 −6

∣∣∣∣∣ = −3× (−6)− 2× 4 = 10, donc y =Dy

D=

1017

.

S ={(−26

17;1017

)}Interprétation géométrique.

d : ax+ by + c = 0 et d′ : a′x+ b′y + c′ = 0.

Un vecteur directeur de d est ~u(−ba

)et un vecteur directeur de d′ est ~u′

(−b′a

)Les droites d et d′ sont sécantes si et seulement si ~u et ~u′ ne sont pas colinéaires

si et seulement si det(~i,~j)

(~u, ~u′) =∣∣∣∣∣−b −b′a a′

∣∣∣∣∣ = −b × a′ − a× (−b′) = −a′b+ ab′ = ab′ − a′b , 0

La méthode des déterminants sert donc à trouver les coordonnées du point d’intersection de deuxdroites sécantes.

FIN DU COURS

PARTIE 1 : EXERCICES À FAIRE DANS LE CAHIER D’EXERCICESExercice 1 :Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites d : 4x − 5y + 1 = 0 et d′ : 7x+ 11y + 3 = 0.

Exercice 2 :Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites d : −x+ 2y − 4 = 0 et d′ : −3x − y − 5 = 0.

Exercice 3 :Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites d : −x+ y = 0 et d′ : −11x+ y − 1 = 0.

Exercice 4 :Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites d : 0.5x − 0.1y + 1 = 0 etd′ : 0.7x − y − 0.9 = 0.

Exercice 1 :4x−5y = −17x+11y = −3

D =∣∣∣∣∣4 −57 11

∣∣∣∣∣ = 4× 11− 7× (−5) = 79

Dx =∣∣∣∣∣−1 −5−3 11

∣∣∣∣∣ = −1× 11− (−3)× (−5) = −26, donc x =Dx

D=−2679

.

Dy =∣∣∣∣∣4 −17 −3

∣∣∣∣∣ = 4× (−3)− 7× (−1) = −5, donc y =Dy

D=−579

.

S ={(−26

79;−579

)}Exercice 2 :−x+2y = 4−3x−y = 5

D =∣∣∣∣∣−1 2−3 −1

∣∣∣∣∣ = −1× (−1)− (−3)× 2 = 7

Dx =∣∣∣∣∣4 25 −1

∣∣∣∣∣ = 4× (−1)− 5× 2 = −14, donc x =Dx

D=−14

7= −2.

Dy =∣∣∣∣∣−1 4−3 5

∣∣∣∣∣ = −1× 5− (−3)× 4 = 7, donc y =Dy

D=

77

= 1.

S ={(− 2;1

)}Exercice 3 :−x+y = 0−11x+y = 1

D =∣∣∣∣∣ −1 1−11 1

∣∣∣∣∣ = −1× 1− (−11)× 1 = 10

Dx =∣∣∣∣∣0 11 1

∣∣∣∣∣ = 0× 1− 1× 1 = −1, donc x =Dx

D=−110

= −0.1.

Dy =∣∣∣∣∣ −1 0−11 1

∣∣∣∣∣ = −1× 1− (−11)× 0 = −1, donc y =Dy

D=−110

= −0.1.

S ={(− 0.1;−0.1

)}Exercice 4 :0.5x−0.1y = −1

0.7x−y = 0.9

D =∣∣∣∣∣0.5 −0.10.7 −1

∣∣∣∣∣ = 0.5× (−1)− 0.7× (−0.1) = −0.43

Dx =∣∣∣∣∣−1 −0.10.9 −1

∣∣∣∣∣ = −1× (−1)− 0.9× (−0.1) = 1.09, donc x =Dx

D=

1.09−0.43

.

Dy =∣∣∣∣∣0.5 −10.7 0.9

∣∣∣∣∣ = 0.5× 0.9− 0.7× (−1) = 1.15, donc y =Dy

D=

1.15−0.43

.

S ={(−1.09

0.43;−1.150.43

)}

PARTIE 2 : EXERCICES À FAIRE DANS LE CAHIER D’EXERCICESMaintenant, je vais vous indiquer quelles sont les compétences à avoir pour l’instant. Pour chaquecompétence, je donnerai un exemple détaillé ou plusieurs, puis un exercice à faire.

• COMPÉTENCE 1 : Je suis capable de donner un vecteur directeur à partir d’une équationcartésienne de droite.Exemple : d : 4x − 5y − 13 = 0.Ici, a = 4,b = −5, c = −13.


)= ~u

(54

).

Exercice compétence 1 :Pour chaque droite, donner un vecteur directeur.1) d : 3x+ 7y − 1 = 0.2) d : −9x − 8y + 3 = 0.3) d : −x − y + 17 = 0.4) d : 3y = 5x − 10.5) d : 4x = −0.2y.

• COMPÉTENCE 2 : Je suis capable de calculer une équation cartésienne de droite.

.Exemple 1 : calculer une équation cartésienne de d =< A(10;−4), ~u(71

)>.

M(x;y) ∈ d équivaut à−−−→AM

(xM − xAyM − yA

)et ~u

(71

)sont colinéaires équivaut à

∣∣∣∣∣x − 10 7y + 4 1

∣∣∣∣∣ = 0 équivaut à

1× (x − 10)− 7× (y + 4) = 0 équivaut à x − 10− 7y − 28 = 0 équivaut à x − 7y − 38 = 0..Exemple 2 : calculer une équation cartésienne de d =< A(−3;−9),B(−5;0) >.

M(x;y) ∈ d équivaut à−−−→AM

(xM − xAyM − yA

)et−−→AB

(xB − xAyB − yA


∣∣∣∣∣x+ 3 −2y + 9 9

∣∣∣∣∣ = 0

équivaut à 9× (x+ 3)− (−2)× (y + 9) = 0 équivaut à 9x+ 27 + 2(y + 9) = 0 équivaut à 9x+ 27 + 2y + 18 = 0équivaut à 9x+ 2y + 45 = 0.Commentaires de monsieur MEBIROUK : Je précise à chaque fois la formule pour calculer lescoordonnées d’un vecteur. Elle n’est pas obligatoire. C’est juste pour rappeler à certains commenton procède pour calculer les coordonnées d’un vecteur. Ce n’est peut-être pas évident pour tout lemonde.Exercice compétence 2 :Pour chaque droite, donner une équation cartésienne.

1) d =< A(−5;−1), ~u(101

)>.

2) d =< A(−9;−7), ~u(−4−3

)>.

3) d =< A(100;1),B(−27;2) >.

• COMPÉTENCE 3 : Je suis capable de calculer les coordonnées d’un point appartenant à unedroite dont je connais une équation cartésienne..Exemple 1 : d : x+ 11y − 18 = 0. Donner les coordonnées d’un point A de d.Il s’agit d’éliminer soit le x, soit le y. Ici, il vaut mieux éliminer le y.y = 0 donne x − 18 = 0, donne x = 18. Donc A(18;0) ∈ d..Exemple 2 : d : −9x − 4y + 4 = 0. Donner les coordonnées d’un point A de d.Il s’agit d’éliminer soit le x, soit le y. Ici, il vaut mieux éliminer le x.

x = 0 donne −4y + 4 = 0, donne y =−ba

=−4−4

=44

= 1 (on aurait pu le trouver de tête ! ! !). Donc

A(0;1) ∈ d.Exercice compétence 3 :Pour chaque droite, donner les coordonnées d’un point qui lui appartient.1) d : x+ 13y − 7 = 0.2) d : 10x − 29y − 20 = 0.3) d : 7x+ 11y − 1 = 0.

• COMPÉTENCE 4 : Je suis capable de représenter graphiquement une droite dans un repère.

.Exemple 1 : d =< A(−5;2), ~u(61

)>.

.Exemple 2 : d : 2x − 5y − 8 = 0.Il nous faut un point et un vecteur directeur.


)= ~u

(52

).

y = 0 donne 2x − 8 = 0, donne x =−ba

=82

= 4 (on aurait pu le trouver de tête). Donc A(4;0) ∈ d.

Exercice compétence 4 :

Dans le même repère ci-dessous, représenter : d =< A(−3;1), ~u(−3−2

)> et d′ : −x − 4y + 7 = 0.

• COMPÉTENCE 5 : Je suis capable de calculer les coordonnées du point d’intersection de deuxdroites à partir de leur équation cartésienne..Exemple : calculer les coordonnées du point d’intersection des droites d : 4x − 5y + 1 = 0 etd′ : −3x+ 11y − 4 = 0.On fait passer les nombres à droite :

{4x−5y = −1

−3x+11y = 4J’applique la méthode des déterminants :1) Je commence par calculer le déterminant de la colonne des x et de la colonne de y. On l’appelleD.

D =∣∣∣∣∣ 4 −5−3 11

∣∣∣∣∣ = 4× 11− (−3)× (−5) = 29

2) Si je veux trouver x, je remplace la colonne des x par la colonne des résultats, mais je laisse enplace la colonne des y. Je dois donc calculer le déterminant de la colonne des résultats et de lacolonne des y. On l’appelle Dx.

Dx =∣∣∣∣∣−1 −5

4 11

∣∣∣∣∣ = −1× 11− 4× (−5) = 9, donc x =Dx

D=

929

.

3) Si je veux trouver y, je remplace la colonne des y par la colonne des résultats, mais je laisse enplace la colonne des x. Je dois calculer le déterminant de la colonne des x et de la colonne desrésultats. On l’appelle Dy .

Dy =∣∣∣∣∣ 4 −1−3 4

∣∣∣∣∣ = 4× 4− (−3)× (−1) = 13, donc y =Dy

D=

1329

.

4) J’ai fini. Je conclus.

S ={( 9

29;1329

)}Exercice compétence 5 :Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites d : −9x+ 3y + 1 = 0 et d′ : −2x − y + 7 = 0.

• COMPÉTENCE 6 : Je suis capable de mobiliser ces cinq compétences dans un même exercice..Exemple :

d : −2x+ 5y − 5 = 0 et d′ =< C(8;−1), ~u′(

2−3

)>.

1) Représenter graphiquement d et d′.2) Calculer une équation cartésienne de d′.3) Prouver que les droites d et d′ sont sécantes.4) Calculer les coordonnées de leur point d’intersection.Pour le 1) :


)= ~u

(−5−2

).

x = 0 donne 5y − 5 = 0, donne y = 1. Donc A(0;1) ∈ d.

Pour le 2) :

M(x;y) ∈ d′ équivaut à−−−→CM

(xM − xCyM − yC

)et ~u′

(2−3


∣∣∣∣∣x − 8 2y + 1 −3


−3× (x − 8)− 2× (y + 1) = 0 équivaut à −3x+ 24− 2y − 2 = 0 équivaut à −3x − 2y + 22 = 0.Pour le 3) :Calculons le déterminant des vecteurs ~u et ~u′ :∣∣∣∣∣−5 2

2 −3

∣∣∣∣∣ = −5× (−3)− 2× 2 = 11 , 0, donc ~u et ~u′ ne sont pas colinéaires, donc d et d′ sont sécantes.

Pour le 4) :{−2x+ 5y − 5 = 0−3x − 2y + 22 = 0{−2x+5y = 5−3x−2y = −22

D =∣∣∣∣∣−2 5−3 −2

∣∣∣∣∣ = −2× (−2)− (−3)× 5 = 19

Dx =∣∣∣∣∣ 5 5−22 −2

∣∣∣∣∣ = 5× (−2)− (−22)× 5 = 100, donc x =Dx

D=

10019

.

Dy =∣∣∣∣∣−2 5−3 −22

∣∣∣∣∣ = −2× (−22)− (−3)× 5 = 59, donc y =Dy

D=

5919

.

S ={(100

19;5919

)}Exercice compétence 6 :

d : 4x − 3y − 12 = 0 et d′ =< C(−5;−1), ~u′(−24

)>.

1) Représenter graphiquement d et d′.2) Calculer une équation cartésienne de d′.3) Prouver que les droites d et d′ sont sécantes.4) Calculer les coordonnées de leur point d’intersection.

CORRECTIONExercice compétence 1 :1) d : 3x+ 7y − 1 = 0.Ici, a = 3,b = +7, c = −1.


)= ~u

(−73

).

2) d : −9x − 8y + 3 = 0.Ici, a = −9,b = −8, c = +3.


)= ~u

(8−9

).

3) d : −x − y + 17 = 0.Ici, a = −1,b = −1, c = +17.


)= ~u

(1−1

).

4) d : 3y = 5x − 10.Il faut se ramener à du = 0. Passons le 3y à droite par exemple.d : 5x − 3y − 10 = 0.Ici, a = 5,b = −3, c = −10.


)= ~u

(35

).

Et si un élève décide de tout passer à gauche ?d : −5x+ 3y + 10 = 0.Ici, a = −5,b = +3, c = +10.


)= ~u

(−3−5

).

5) d : 4x = −0.2y.Il faut se ramener à du = 0. Passons le −0.2y à gauche par exemple.d : 4x+ 0.2y = 0.Ici, a = 4,b = +0.2, c = 0.


)= ~u

(−0.2

4

).

Et si un élève décide de tout passer à droite ?d : −4x − 0.2y = 0.Ici, a = −4,b = −0.2, c = 0.


)= ~u

(0.2−4

).

Exercice compétence 2 :

1)M(x;y) ∈ d équivaut à−−−→AM

(xM − xAyM − yA

)et ~u

(101


∣∣∣∣∣x+ 5 10y + 1 1


1× (x+ 5)− 10× (y + 1) = 0 équivaut à x+ 5− 10y − 10 = 0 équivaut à x − 10y − 5 = 0.


(xM − xAyM − yA

)et ~u

(101


∣∣∣∣∣x+ 9 −4y + 7 −3


−3× (x+ 9)− (−4)× (y + 7) = 0 équivaut à −3x − 27 + 4(y + 7) = 0 équivaut à −3x − 27 + 4y + 28 = 0équivaut à −3x+ 4y + 1 = 0.


(xM − xAyM − yA

)et−−→AB

(xB − xAyB − yA


∣∣∣∣∣x − 100 −127y − 1 1

∣∣∣∣∣ = 0

équivaut à 1× (x − 100)− (−127)× (y − 1) = 0 équivaut à x − 100 + 127(y − 1) = 0 équivaut àx − 100 + 127y − 127 = 0 équivaut à x+ 127y − 227 = 0.Exercice compétence 3 :1) Il vaut mieux éliminer le y.y = 0 donne x − 7 = 0, donne x = 7. Donc A(7;0) ∈ d.2) Il vaut mieux éliminer le y.

y = 0 donne 10x − 20 = 0, donne x =−ba

=2010

= 2 (on aurait pu le trouver de tête). Donc A(2;0) ∈ d.

3) Aucun des deux choix n’est préférable à l’autre. Disons que je vais éliminer le y.

y = 0 donne 7x − 1 = 0 donne x =−ba

=17

. Donc A(17

;0) ∈ d.

Exercice compétence 4 :Pour la droite d, on place A, puis ~u.Pour la droite d′, il nous faut un point et un vecteur directeur.

Un vecteur directeur de d′ est ~u(−ba

)= ~u′

(4−1

).

y = 0 donne −x+ 7 = 0 donne x =−ba

=−7−1

=71

= 1 (on aurait pu le trouver de tête). Donc A′(7;0) ∈ d.

Exercice compétence 5 :{−9x+3y = −1−2x−y = −7

D =∣∣∣∣∣−9 3−2 −1

∣∣∣∣∣ = −9× (−1)− (−2)× 3 = 15

Dx =∣∣∣∣∣−1 3−7 −1

∣∣∣∣∣ = −1× (−1)− (−7)× 3 = 22, donc x =Dx

D=

2215

.

Dy =∣∣∣∣∣−9 −1−2 −7

∣∣∣∣∣ = −9× (−7)− (−2)× (−1) = 61, donc y =Dy

D=

6115

.

S ={(22

15;6115

)}Exercice compétence 6 :1) :


)= ~u

(34

).

y = 0 donne 4x − 12 = 0 donne x =−ba

=124

= 3. Donc A(3;0) ∈ d.

2) :

M(x;y) ∈ d′ équivaut à−−−→CM

(xM − xCyM − yC

)et ~u′

(−24


∣∣∣∣∣x+ 5 −2y + 1 4


4× (x+ 5)− (−2)× (y + 1) = 0 équivaut à 4x+ 20 + 2(y + 1) = 0 équivaut à 4x+ 20 + 2y + 2 = 0 équivaut à4x+ 2y + 22 = 0.3)Calculons le déterminant des vecteurs ~u et ~u′ :∣∣∣∣∣3 −24 4

∣∣∣∣∣ = 3× 4− 4× (−2) = 20 , 0, donc ~u et ~u′ ne sont pas colinéaires, donc d et d′ sont sécantes.

4){4x − 3y − 12 = 04x+ 2y + 22 = 0{4x−3y = 124x+2y = −22

D =∣∣∣∣∣4 −34 2

∣∣∣∣∣ = 4× 2− 4× (−3) = 20

Dx =∣∣∣∣∣ 12 −3−22 2

∣∣∣∣∣ = 12× 2− (−22)× (−3) = −42, donc x =Dx

D=−4220

= −2.1.

Dy =∣∣∣∣∣4 124 −22

∣∣∣∣∣ = 4× (−22)− 4× 12 = −136, donc y =Dy

D=−136

20= −6.8.

S = {(−2.1;−6.8)}

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Méthode des déterminants ou méthode de Cramer. · Gabriel Cramer était un mathématicien français(1704-1752) qui a mis au point en 1750 une méthode très eﬃcace pour résoudre