MÉTHODES DE CALCUL DES PROVISIONS TECHNIQUES EN … · MÉTHODES DE CALCUL DES PROVISIONS TECHNIQUES EN PRÉVOYANCE ARRÊT DE TRAVAIL - CAS PARTICULIER DE LA FONCTION PUBLIQUE Mémoire

MÉTHODES DE CALCUL DES PROVISIONS

TECHNIQUES EN PRÉVOYANCE ARRÊT DE TRAVAIL -

CAS PARTICULIER DE LA FONCTION PUBLIQUE

Mémoire présenté en vue de l’obtention du titre d’actuaire et du master d’actuariat cohabilité entre l’EURIA et Télécom Bretagne

Jean-Baptiste CROGUENNEC

Promotion 2009

2

REMERCIEMENTS

Je tiens, en premier lieu, à remercier Marie-France CABANIS, actuaire et

directeur technique d’Intériale, pour m’avoir accueilli au sein de son service et pour

m’avoir guidé tout au long de mon stage et dans la rédaction de ce mémoire.

Je souhaite également remercier Élise AIMAR, Tiphaine JAMMES et Estelle

PAWLOWSKI, actuaires-statisticiennes au sein de la Direction Technique, avec qui j’ai eu

le plaisir de travailler au cours de mon stage.

Je remercie enfin Herve LE BORGNE, ainsi que l’ensemble des professeurs

de l’EURIA, pour la qualité des enseignements pratiqués.

3

RAPPORT DE STAGE

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SOMMAIRE

INTRODUCTION ..............................................................................5

PARTIE I : PRÉSENTATION DE L’ENTREPRISE ............................6

I. HISTOIRE ............................................................................................. 6 A. La création d’Intériale..................................................................................... 6 B. Les mutuelles fondatrices................................................................................ 6 C. Chiffres clés ...................................................................................................... 7

II. ORGANISATION .................................................................................... 7 III. DIRECTION TECHNIQUE ...................................................................... 8

PARTIE II : TRAVAUX RÉALISÉS................................................10

I. MISSION PRINCIPALE......................................................................... 10 II. MISSION OCCASIONNELLE ................................................................. 10

CONCLUSION................................................................................12

5

INTRODUCTION

Le cursus de l’EURIA prévoit un stage de fin d’études d’une durée de 4 à 6

mois au cours du premier semestre du Master 2 d’Actuariat.

J’ai effectué mon stage du 1er juillet au 19 décembre 2008 à la MGPAT

(Mutuelle Générale des Préfectures et de l’Administration Territoriale) à Toulouse.

Entre temps, le 29 novembre, la MGPAT est devenue officiellement la mutuelle

Intériale, suite à la fusion avec deux autres mutuelles : la MMI et la SMPPN.

J’ai travaillé au sein de la Direction Technique, sous la tutelle de Marie-

France CABANIS, où ma mission était de mettre en place des méthodes de calcul des

provisions techniques dans le domaine de la prévoyance arrêt de travail.

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PARTIE I :

PRÉSENTATION DE L’ENTREPRISE

I. HISTOIRE

A. La création d’Intériale

Partageant une même vision de la protection sociale, trois mutuelles

historiques de la fonction publique, la MGPAT (Mutuelle Générale des Préfectures et de

l’Administration Territoriale, fondée en 1948), la MMI (Mutuelle du Ministère de

l’Intérieur, fondée en 1947) et la SMPPN (Société Mutualiste du Personnel de la Police

Nationale, fondée en 1946) décident de s’unir en juin 2008. Historique, ce

rapprochement donne naissance à la mutuelle Intériale. Combinant "Intérieur" et

"Territoriale", le nom de la nouvelle mutuelle évoque directement ses origines.

Forte de ses 420 000 personnes protégées, Intériale constitue la première

mutuelle du Ministère de l’Intérieur et l’une des plus importantes mutuelles de la

fonction publique territoriale.

B. Les mutuelles fondatrices

Créée en 1947, la MMI regroupe 79 000 adhérents pour 157 000

personnes protégées. Ses adhérents sont des fonctionnaires du Ministère

de l’Intérieur, dont elle est la deuxième mutuelle, et relèvent

essentiellement de la police nationale. Son siège social est établi à Paris,

au Ministère de l’Intérieur, et son siège administratif se trouve à Lille. La

MMI a intégré le Groupe Initiatives Mutuelles (UGIM) en juillet 2006.

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Fondée en 1946, la SMPPN compte 33 000 adhérents et 65 000

bénéficiaires. Ses adhérents sont pour l’essentiel des fonctionnaires du

Ministère de l’Intérieur, dont elle est la 3e mutuelle. Comme la MMI,

elle dispose d’un réseau national constitué de délégués et de

conseillers. Son siège social est situé à Pantin.

Créée en 1948, la MGPAT représente 102 000 adhérents et 200 000

bénéficiaires. Ses adhérents sont des agents du ministère de

l’Intérieur relevant de l’administration préfectorale, et de la fonction publique

territoriale. Ses adhérents bénéficient d’un réseau national de sections locales. Son siège

social se trouve à Toulouse. La MGPAT est membre de l’Union de groupe mutualiste

Humavie depuis mars 2007.

C. Chiffres clés

Au 31/12/2008 :

• Nombre d’adhérents : 220 000

• Nombre de bénéficiaires : 420 000

• Cotisations brutes : 200 M€

• Prestations brutes : 160 M€

• Marge de solvabilité : 480 %

• Fonds propres : 178 M€

II. ORGANISATION

Le groupe Intériale est constitué :

• d’Intériale, pour l’activité santé et caution,

• d’Intériale Prévoyance, union de prévoyance,

• d’Intériale Solidarité, union ayant en charge l’action solidaire,

• d’Intériale Filia, dédiée à la protection des non-fonctionnaires,

• d’Intériale Loisirs (association loi 1901), dédiée à l’activité vacances.

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Intériale adhère à la Fédération nationale de la Mutualité française, à la

Mutualité Fonction publique, à l’Union Groupe Initiatives Mutuelles et à l’Union de

groupe mutualiste Humavie.

Selon les règles de démocratie qui fondent la mutualité, Intériale fonctionne

sur la base de la délégation. Pour la période 2008-2010, sa gouvernance est assurée par

un conseil d’administration de 43 membres. Plus de 500 collaborateurs, répartis entre

son réseau de proximité et les sites de gestion de Lille, Paris et Toulouse, travaillent au

service de ses adhérents.

Intériale dispose d’un réseau national d’agences, y compris dans les

départements d’outre-mer. Ses adhérents bénéficient également des services du centre

d’appels et du site Internet.

III. DIRECTION TECHNIQUE

La Direction Technique a pour mission de réaliser des études actuarielles et

statistiques. Les actuaires et statisticiens qui la composent sont chargés :

• de l’élaboration des tarifs et de la réalisation d’études tarifaires en santé et en

prévoyance sur l’offre individuelle,

• de la tarification des contrats collectifs et de la rédaction des parties techniques

lors des réponses aux appels d’offre,

• de la réalisation d’études statistiques sur le portefeuille de contrats,

• de la mise en place d’un suivi rigoureux de l’activité technique d’assurance

(réalisation de tableaux de bord, suivi des ratios prestations sur cotisations),

• de la réalisation d’études prospectives sur le portefeuille (budget technique,

études de rentabilité),

• du calcul des provisions techniques en santé et en prévoyance,

• de la relation avec l’Autorité de Contrôle des Assurances et des Mutuelles

(ACAM),

• de participer à l'élaboration et au suivi des budgets prévisionnels sur les postes

techniques (cotisations, prestations et provisions),

9

• de participer aux travaux liés à l'arrêté des comptes ainsi qu'à la production des

états et documents règlementaires (états ACAM, rapport de solvabilité, compte

de résultat, rapports d’activité),

• du développement d’outils statistiques nécessaires à la fiabilisation et à

l’optimisation des analyses.

10

PARTIE II :

TRAVAUX RÉALISÉS

I. MISSION PRINCIPALE

L’objectif de mon stage était de mettre en place différentes méthodes de

calculs des provisions techniques afin de répondre aux exigences des nouvelles normes

Solvency II. J’ai travaillé exclusivement sur des données de prévoyance, mais ces

méthodes pourront également être appliquées aux données de santé.

J’ai commencé par étudier des rapports de missions effectuées par des

cabinets de conseil en actuariat pour les trois mutuelles fondatrices d’Intériale. A l’aide

de ces rapports et des fichiers fournis, j’ai déterminé la méthode de calcul utilisée pour

le provisionnement « tête par tête ».

Ensuite j’ai mis en place plusieurs méthodes se basant sur les prestations des

années précédentes, qu’elles soient déterministes, comme la méthode de Chain Ladder,

la méthode de London Chain et la méthode des moindres carrés de De Vylder, ou

stochastiques comme le modèle de Mack et le Bootstrap.

Toutes ces méthodes, que j’ai programmées à l’aide de Visual Basic For

Applications pour Excel (VBA), seront développées dans la partie « Mémoire ».

II. MISSION OCCASIONNELLE

A partir des données des remboursements effectués par la mutuelle sur une

année en santé, j’ai, en binôme avec une autre personne de la Direction Technique, mis

en place des études statistiques destinées à la tarification des contrats collectifs. Pour

chaque type d’acte médical (exemples : lentilles, radiologie, prothèses auditives, …),

11

nous avons effectué une analyse descriptive du montant restant à charge après le

remboursement de la sécurité sociale, c'est-à-dire la base du remboursement par la

mutuelle. Pour cette étude, nous avons ventilé les actes médicaux selon l’âge (plus ou

moins de 18 ans) et le contrat de l’assuré (formule de base ou formule améliorée), puis

selon sa catégorie (salarié MGPAT, fonctionnaire de préfecture, autre). Nous avons

également étudié le montant de frais réels moyen par formule, ainsi que le montant du

ticket modérateur.

Le remboursement d’un acte médical :

Pour chaque acte médical, la Sécurité Sociale établit un tarif de convention

qui sert de base à son remboursement. Ce remboursement s’exprime en pourcentage du

tarif de convention. Le ticket modérateur, qui correspond à la différence entre le tarif de

convention et le remboursement de la Sécurité Sociale, et l’éventuel dépassement

pratiqué par le professionnel de santé sont à la charge de l’assuré. Tout ou une partie de

ce montant restant à charge peut faire l’objet d’un remboursement de la part d’un

organisme complémentaire (une mutuelle, une institution de prévoyance, ou une

compagnie d’assurance).

Montant de Frais Réels

Remboursement de la Sécurité Sociale Ticket modérateur Dépassement

Montant restant à charge

Tarif de convention

12

CONCLUSION

Je suis très satisfait de ce stage de fin d’études effectué au sein de la

Direction Technique d’Intériale, qui fût ma première expérience professionnelle dans le

monde de l’assurance et de l’actuariat.

Sur le plan professionnel, j’ai pu découvrir le fonctionnement de la

prévoyance arrêt de travail dans la fonction publique, ainsi que diverses méthodes de

calcul des provisions techniques en assurance non-vie.

Sur le plan personnel, je me suis rendu compte que l’esprit de la mutualité

me correspondait plutôt bien, et j’envisage fortement de continuer à travailler dans ce

domaine à l’avenir.

13

MÉMOIRE

14

RÉSUMÉ

Afin d’être en mesure de faire face à leurs engagements futurs, les assureurs

doivent constituer des provisions techniques. Les nouvelles normes Solvency II vont

notamment réglementer le niveau de provisionnement des assureurs européens, afin de

réduire leur risque de faillite et de préserver les droits des assurés.

L’objectif de ce mémoire est de présenter différentes méthodes de calcul de

ces provisions dans le cadre de la garantie « arrêt de travail ». Il existe deux grandes

catégories de méthodes, déterministes et stochastiques, qui répondent à des objectifs

différents.

Solvency II impose de calculer le plus précisément possible le montant des

provisions à l’aide d’une méthode déterministe, et d’y ajouter une marge tenant compte

de l’incertitude liée au risque, calculée grâce à une méthode stochastique.

Ce mémoire à également pour but d’étudier le cas particulier de l’arrêt de

travail dans la fonction publique et de son provisionnement.

Mots clés : provisions, incapacité, invalidité, tête par tête, Chain Ladder, London Chain,

De Vylder, Value at Risk, Tail Value at Risk, Mack, Bootstrap, fonction publique.

15

ABSTRACT

In order to be able to honour their future commitments, insurance

companies have to settle technical reserves. The new standards Solvency II will notably

regulate the reserve level of European insurance companies, in order to lower their

bankruptcy risk and to safeguard assured people’s rights.

The purpose of this paper is to lay out various methods of calculating these

reserves within the framework of “sick leave” cover. There are two main categories of

methods, deterministic and stochastic, which meet different goals.

Solvency II imposes to calculate the reserves as accurately as possible with

the help of a deterministic method, and to add a margin considering the uncertainty

linked to the risk, calculated thanks to a stochastic method.

The other aim of this paper is to study the particular case of sick leave in the

civil service and its way of reserving.

Key words : reserves, temporary disability, permanent disability, head by head, Chain

Ladder, London Chain, De Vylder, Value at Risk, Tail Value at Risk, Mack, Bootstrap,

civil service.

16

SOMMAIRE

INTRODUCTION ............................................................................18

PARTIE I : PRÉSENTATION DE L’ARRÊT DE TRAVAIL EN

FRANCE ........................................................................................19

I. DÉFINITIONS ET RÈGLEMENTATION .................................................. 19 A. L’incapacité .................................................................................................... 19 B. L’invalidité ..................................................................................................... 20 C. Règlementation............................................................................................... 20

II. PRESTATIONS..................................................................................... 21 A. Prestations de la Sécurité Sociale ................................................................. 21 1) Arrêt de travail résultant d’une maladie ou d’un accident de la vie privée 21

a) Incapacité................................................................................................ 21 b) Invalidité ................................................................................................. 23

2) Arrêt de travail résultant d’un accident de travail ou d’une maladie professionnelle .................................................................................................... 24

a) Incapacité................................................................................................ 24 b) Invalidité ................................................................................................. 25

B. Prestations de l’employeur............................................................................ 26 C. Prestations de l’assureur ............................................................................... 27

PARTIE II : MÉTHODES DÉTERMINISTES DE CALCUL DES

PROVISIONS TECHNIQUES ...........................................................28

I. PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE »............................................. 28 A. Assurés en invalidité ...................................................................................... 29 1) Provision de maintien en invalidité ............................................................ 29 2) Provision en cas de décès d’un assuré en invalidité ................................... 30

B. Assurés en incapacité..................................................................................... 31 1) Provision de maintien en incapacité ........................................................... 31 2) Provision de passage d’incapacité en invalidité ......................................... 31 3) Provision en cas de décès d’un assuré en incapacité .................................. 32

17

II. MÉTHODE DE CHAIN LADDER ........................................................... 35 A. Les triangles des règlements ......................................................................... 35 B. Les coefficients de développement................................................................ 36 C. Application numérique.................................................................................. 37 D. Avantages, inconvénients et variantes ......................................................... 40

III. MÉTHODE DE LONDON CHAIN........................................................... 43 A. Présentation de la méthode ........................................................................... 43 B. Application numérique.................................................................................. 44

IV. MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS DE DE VYLDER ........................... 45 A. Présentation de la méthode ........................................................................... 45 B. Application numérique.................................................................................. 47

PARTIE III : MÉTHODES STOCHASTIQUES DE CALCUL DES

PROVISIONS TECHNIQUES ...........................................................49

I. INDICATEURS DE RISQUE ................................................................... 49 A. Value at Risk .................................................................................................. 49 B. Tail Value at Risk .......................................................................................... 50 C. Exemple........................................................................................................... 51

II. MODÈLE DE MACK ............................................................................ 53 A. Présentation de la méthode ........................................................................... 53 B. Application numérique.................................................................................. 57

III. LE BOOTSTRAP ................................................................................... 62 A. Principe général ............................................................................................. 62 B. Application au calcul des provisions ............................................................ 63 C. Application numérique.................................................................................. 65

PARTIE IV : CAS PARTICULIER DE LA FONCTION PUBLIQUE ...75

I. PRÉSENTATION DE L’ARRÊT DE TRAVAIL DANS LA FONCTION PUBLIQUE ................................................................................................. 75 II. PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE »............................................. 77

A. Méthodes utilisées .......................................................................................... 77 B. Méthode proposée .......................................................................................... 78

CONCLUSION................................................................................84

BIBLIOGRAPHIE ...........................................................................86

ANNEXES ......................................................................................87

18

INTRODUCTION

En mai 2009, les nouvelles normes Solvency II, qui visent à réformer la

réglementation européenne du monde de l’assurance, mises en œuvre par la

Commission Européenne par l’intermédiaire du CEIOPS1, ont été approuvées par le

Parlement Européen. L’un des objectifs de cette directive est de réglementer le niveau

des provisions techniques des entreprises d’assurance européennes. Contrairement à la

directive précédente, Solvency I, qui exigeait un calcul de ces provisions en prenant des

hypothèses prudentes, Solvency II quantifie cette prudence grâce à la notion de marge

de risque ou « risk margin », qui vient s’ajouter au « Best Estimate », le montant de

provision attendu et évalué au plus juste, pour former le montant total de la provision à

constituer. Le « Best Estimate » correspond à la valeur actuelle nette de l’ensemble des

flux futurs : les règlement des sinistres, déclarés ou non, les coûts de gestion et les

commissions en sortie, et les éventuelles primes en entrée. La marge de risque permet

quant à elle de couvrir la volatilité de la sinistralité et le risque de sous-évaluation de

celle-ci.

Dans ce mémoire, nous étudierons différentes méthodes de calcul de ces

provisions en prévoyance arrêt de travail. Cette garantie, fréquemment souscrite, permet

aux assurés tombant en incapacité de travail ou en invalidité de compenser leur perte de

revenu en complétant les prestations, assez faibles, versées par la Sécurité Sociale, et

ainsi de conserver un niveau de ressources suffisant. Après une présentation générale de

l’arrêt de travail en France, nous passerons en revue diverses méthodes déterministes

qui permettent de calculer les provisions techniques en « Best Estimate », puis des

méthodes stochastiques permettant d’évaluer les provisions techniques avec marge de

risque. Enfin, nous nous attarderons sur la particularité du fonctionnement et du

provisionnement de l’arrêt de travail dans la fonction publique.

1 Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors

19

PARTIE I :

PRÉSENTATION DE L’ARRÊT DE TRAVAIL

EN FRANCE

I. DÉFINITIONS ET RÈGLEMENTATION

L’arrêt de travail est une période pendant laquelle le salarié se voit dans

l’impossibilité d’exercer son activité professionnelle à la suite d’une maladie ou d’un

accident de la vie privée, d’un accident du travail ou d’une maladie professionnelle. Il

doit être prescrit par un médecin qui aura constaté cette incapacité.

A. L’incapacité

On parle d’incapacité, ou d’incapacité temporaire, lorsque l’arrêt de travail

n’est pas définitif. On peut distinguer l’incapacité temporaire totale (ITT), durant

laquelle le salarié est dans l’impossibilité absolue, complète et continue de travailler, de

l’incapacité temporaire partielle (ITP), durant laquelle le salarié peut reprendre

partiellement son activité avec accord de la Sécurité Sociale. Dans les deux cas, la

Sécurité Sociale verse des indemnités journalières (réduites pour l’ITP), après un délai

de carence de trois jours. Ce délai permet de réduire le risque d’aléa moral, qui veut que

les personnes modifient leur comportement dès lors qu’elles se savent assurées. Dans le

cas de l’arrêt de travail, il permet donc de dissuader les assurés de recourir à un arrêt de

complaisance. La durée maximale de l’état d’incapacité est de trois ans, après quoi

l’assuré peut être classé en invalidité s’il est toujours dans l’impossibilité d’exercer son

activité.

20

B. L’invalidité

On parle d’invalidité, ou d’incapacité permanente, lorsque la maladie ou

l’accident qui a occasionné l’arrêt de travail entraîne une réduction de la capacité de

travail. L’état d’invalidité est apprécié soit après consolidation ou stabilisation de l’état

de santé, soit à l’expiration de la période d’invalidité.

Dans le cas des maladies et accidents de la vie privée, la Sécurité Sociale

définit trois types d’invalidité :

Catégorie Définition

1ère catégorie Invalides capables d’exercer une activité rémunérée

2e catégorie Invalides absolument incapables d’exercer une activité professionnelle quelconque

3e catégorie Invalides incapables d’exercer une profession et

dans l’obligation de recourir à l’assistance d’une tierce personne pour effectuer les actes ordinaires de la vie

Dans le cas des maladies professionnelles et des accidents du travail, la

Caisse d’Assurance Maladie détermine un taux d’incapacité permanente, après avis du

médecin conseil. Ce taux dépend de la nature de l’infirmité, de l’état général, de l’âge,

des facultés physiques et mentales, et des aptitudes et qualifications professionnelles de

l’assuré. Le montant de la pension d’invalidité versée par la Sécurité dépend de ce taux.

C. Règlementation

La loi Évin, datée du 31 décembre 1989, vise à renforcer la sécurité des

opérations de prévoyance, qu’elles soient individuelles ou collectives. Ce texte aborde

principalement quatre thèmes :

- le maintien des garanties décès en cas d’arrêt de travail,

- le maintien des garanties en cours en cas de rupture du contrat de

prévoyance,

21

- la constitution de réserves et de provisions mathématiques garantissant

les engagements à long terme,

- l’établissement des comptes de résultat.

Ces obligations concernent les organismes d’assurance complémentaire, à

savoir les institutions de prévoyances, les mutuelles et les compagnies d’assurances.

La loi du 8 août 1994 complète et renforce la loi Évin, et vise à aligner la

législation française sur les directives européennes. Elle impose la séparation juridique,

comptable et financière des activités de retraite complémentaire et de prévoyance, ainsi

que le contrôle des opérations de prévoyance. Elle impose également la revalorisation

future des prestations en cours de service et le maintien de la garantie décès pour les

personnes en arrêt de travail lors du changement d’assureur.

Le décret du 17 juillet 2001 réaffirme le maintien des garanties décès,

prestation annexe à la garantie arrêt de travail introduite par la loi Évin, et le rend

obligatoire à compter du 1er janvier 2002. Les assurés entrant en incapacité ou en

invalidité conservent donc leur couverture décès, tout en étant exonéré du paiement des

cotisations relatives à cette garantie.

II. PRESTATIONS

A. Prestations de la Sécurité Sociale

1) Arrêt de travail résultant d’une maladie ou d’un accident de la vie privée

a) Incapacité

L’assuré est indemnisé sous la forme d’indemnités journalières (IJ), à la

condition qu’il exerce une activité professionnelle au moment de son arrêt. De plus,

l’interruption de l’activité professionnelle doit être constatée par la prescription d’un

arrêt de travail signée par un médecin, et peut faire l’objet d’un contrôle.

22

Pour être indemnisé pendant les six premiers mois de son arrêt de travail,

l’assuré doit remplir l’une des deux conditions suivantes :

- son salaire total sur les six mois précédant l’arrêt doit être supérieur ou

égal à 1 015 fois le SMIC horaire1 ;

- son temps total de travail sur les trois mois civils précédant l’arrêt doit

être supérieur ou égal à 200 heures.

Pour être indemnisé au-delà des six premiers mois d’arrêt de travail, l’assuré

doit être salarié depuis au moins un an au moment de son arrêt de travail, et remplir

l’une des deux conditions suivantes :

- son salaire total sur les douze mois précédant l’arrêt doit être supérieur

ou égal à 2 030 fois le SMIC horaire, dont au moins 1 015 fois le SMIC

horaire durant les six premiers mois ;

- son temps total de travail sur les douze mois civils précédant l’arrêt doit

être supérieur ou égal à 800 heures, dont au moins 200 heures durant les

trois premiers mois.

Le calcul de l’indemnité journalière fait appel à la notion de tranches de

salaires définies par la Sécurité Sociale. La première tranche TA correspond à la part du

salaire comprise entre 1 € et une fois le PMSS2, soit entre 1 € et 2 859 € par mois pour

2009. Le montant de l’indemnité journalière est alors égal à :

150% 3 '

90IJ salaireTAsur les mois précédant l arrêt= × × .

Le montant de l’IJ est donc limité au PASS3 / 720, soit 47,65 € pour 2009. Si l’assuré

possède au moins trois enfants à charge, ce montant est majoré à compter du 31e jour

d’arrêt :

2 1 3 '

3 90IJ salaireTAsur les mois précédant l arrêt= × × ,

montant limité au PASS / 540, soit 63,53 € pour 2009. Enfin, une revalorisation est

prévue lorsque la durée de l’arrêt dépasse trois mois.

1 Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance : salaire horaire en dessous duquel aucun salarié ne peut être payé, réévalué au minimum tous les ans au 1er juillet, égal à 8,71 € au 1er juillet 2008. 2 Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale, revalorisé chaque année en fonction de l’évolution des salaires, conformément aux règles prévues par le code de la Sécurité Sociale. Égal à 2 859 € pour 2009. 3 Plafond Annuel de la Sécurité Sociale, égal à 12 fois le PMSS, soit 34 308 € pour 2009.

23

Les indemnités journalières perçues sont soumises à la CSG1 au taux de

6,2 % et à la CRDS2 au taux de 0,5 %, ainsi qu’à l’impôt sur le revenu, et valident les

droits à la retraite.

b) Invalidité

L’assuré est indemnisé sous la forme d’une rente versée mensuellement à

terme échu, jusqu’à ses 60 ans, la pension de vieillesse prenant le relais à la date

anniversaire. Les conditions d’ouverture des droits sont les suivantes :

- une capacité de travail réduite d’au moins des 2/3,

- une ancienneté au moment de l’arrêt de travail d’au moins un an,

- un salaire total sur les douze mois précédant l’arrêt supérieur ou égal à

2 030 fois le SMIC horaire, dont au moins 1 015 fois le SMIC horaire

durant les six premiers mois.

Le montant de la rente correspond au produit du taux de pension et du

salaire de base. Le taux de pension dépend de la catégorie d’invalidité, et le salaire de

base mensuel est égal à 1/12 de la moyenne des dix meilleures tranches TA des salaires

annuels.

Catégorie Montant mensuel de la

pension Montant mensuel minimum en 2009

Montant mensuel maximum en 2009

1ère catégorie 30% du salaire de base 262,77 € 857,70 €

2e catégorie 50% du salaire de base 262,77 € 1 429,50 €

3e catégorie 50% du salaire de base + majoration forfaitaire pour tierce personne

262,77 € + 1 029,10 €

1 429,50 € + 1 029,10 €

Une allocation supplémentaire d’invalidité (ASI) peut être versée selon les

ressources annuelles de l’assuré :

1 Contribution Sociale Généralisée 2 Contribution au Remboursement de la Dette Sociale

24

Au 1er avril 2009 : Personne seule (célibataire, veuf, divorcé)

Couple (marié, concubin, pacsé)

Plafond de ressources annuelles à ne pas dépasser pour le versement de l'allocation

7 859,08 € 13 765,73 €

Montant mensuel maximal susceptible d'être versé en fonction des ressources du ménage

376,69 € 621, 59 €

La rente perçue est revalorisée chaque année au 1er janvier, soumise à la

CSG au taux de 6,6 % et à la CRDS au taux de 0,5 %, ainsi qu’à l’impôt sur le revenu, à

l’exception de la majoration forfaitaire pour tierce personne. En cas de modification de

l’état d’invalidité, la pension peut être revalorisée et l’assuré peut être classé dans une

autre catégorie.

2) Arrêt de travail résultant d’un accident de travail ou d’une maladie professionnelle

Contrairement aux maladies et accidents de la vie privée, il n’y a ici aucun

délai de carence, et les indemnités sont versées au 1er jour d’arrêt. Le risque d’aléa

moral est ici quasiment nul, car l’accident de travail ou la maladie professionnelle doit

être constatée par un médecin du travail.

a) Incapacité

L’assuré en incapacité reçoit des indemnités journalières, dont le montant

dépend de son salaire journalier de base. Ce dernier est égal à 1/30 du dernier salaire

mensuel brut, limité à 0,834% du PASS, soit 286,13 € pour 2009.

Durant les 28 premiers jours d’arrêt, l’assuré perçoit une indemnité

journalière d’un montant égal à 60% de son salaire journalier, qui est donc limité à

171,68 € en 2009. Après cette période, le montant de l’indemnité passe à 80% du salaire

journalier, limité à 228,90 € en 2009.

25

Comme dans le cas précédent, les indemnités journalières perçues sont

soumises à la CSG au taux de 6,2 % et à la CRDS au taux de 0,5 %, et valident les

droits à la retraite, mais ne sont pas soumises à l’impôt sur le revenu.

b) Invalidité

Si le taux d’incapacité permanente de l’assuré est inférieur à 10%, il perçoit

une indemnité forfaitaire en capital, dont le montant varie selon la valeur de ce taux,

comme présenté dans le tableau ci-après. Cette indemnité n’est soumise ni à la CSG, ni

à la CRDS, ni à l’impôt sur le revenu.

Taux d’incapacité permanente

Montant de l’indemnité au 1er septembre 2008

1% 381,29 €

2% 619,71 €

3% 905,57 €

4% 1 429,26 €

5% 1 810,59 €

6% 2 239,39 €

7% 2 715,64 €

8% 3 239,92 €

9% 3 811,63 €

Si le taux d’incapacité permanente de l’assuré est supérieur ou égal à 10%,

il perçoit une rente annuelle viagère, dont le montant est égal au produit du salaire

annuel de base par un taux de rente. Le salaire annuel de base est égal à la somme des

douze salaires mensuels précédant l’arrêt. Le taux de la rente est égal au taux

d’incapacité permanente réduit de moitié pour la partie de ce taux ne dépassant pas 50%

26

et augmenté de moitié pour la partie supérieure à 50%. Illustrons ceci par deux

exemples :

• si le taux d’incapacité permanente est égal à 30%, le taux de la rente

sera de 1

30% 15%2

× = ;

• si le taux d’incapacité permanente est égal à 70%, le taux de la rente

sera de ( )1 350% 70% 50% 55%

2 2× + − × = .

Cette rente, dont le montant est revalorisé chaque année au 1er janvier, n’est

soumise ni à la CSG, ni à la CRDS, ni à l’impôt sur le revenu. En outre, dans le cas où

le taux d’incapacité dépasse 80% et oblige l’assuré à recourir à l’assistance d’une tierce

personne pour effectuer les actes ordinaires de la vie, le montant de la rente est majoré

de 40%.

Le montant de la rente est susceptible de varier de deux façons : la première,

fondée sur des motifs économiques, se traduit par la revalorisation périodique des

rentes ; la seconde, basée sur la constatation d’une modification de l’état d’incapacité de

l’assuré, donne lieu à l’engagement de la procédure de révision qui peut aboutir, soit au

maintien de la rente, soit à la suppression de celle-ci, soit à la modification de son taux.

B. Prestations de l’employeur

L’Accord National Interprofessionnel de Mensualisation du 10 décembre

1977, obligatoire pour tous les salariés, prévoit un complément d’indemnisation par

l’employeur. Les risques couverts par cet accord sont la maladie et l’accident, qu’ils

soient de nature professionnelle ou non.

L’assuré doit réunir quatre conditions pour pouvoir prétendre à percevoir

ces prestations :

- avoir au moins trois ans d’ancienneté dans l’entreprise,

- fournir un certificat médical dans les 48 heures suivant l’arrêt,

- être pris en charge par la Sécurité Sociale,

- effectuer ses soins en France ou dans l’Union Européenne.

27

Les prestations sont versées dès le premier jour d’arrêt en cas d’accident du

travail ou de maladie professionnelle, alors que dans les autres cas, un délai de carence

de dix jours est appliqué. La durée d’indemnisation dépend de l’ancienneté de l’assuré

dans l’entreprise au moment de son arrêt, et est divisée en deux parties d’égales durées :

une première durant laquelle l’employeur complète l’indemnisation de la Sécurité

Sociale à hauteur de 90% du salaire brut, et une seconde à hauteur de 2/3 du salaire brut.

Les durées d’indemnisations sont synthétisées dans le tableau suivant :

Ancienneté 90% du salaire brut 2/3 du salaire brut

Entre 3 et 8 ans 30 jours 30 jours






33 ans et plus 90 jours 90 jours

C. Prestations de l’assureur

Nous pouvons constater que les prestations versées par la Sécurité Sociale et

l’employeur sont faibles, ce qui fait que les assurés se retrouvent avec des ressources

d’un niveau insuffisant s’ils tombent en arrêt de travail. C’est pourquoi ils font appel à

une couverture supplémentaire, de manière individuelle ou collective, par le biais d’un

organisme d’assurance complémentaire, afin de conserver un niveau de vie satisfaisant

en cas d’arrêt de travail.

Les couvertures varient selon les assureurs, qui peuvent inclure une période

de franchise ou une durée maximale d’indemnisation dans les contrats. En général, les

garanties sont exprimées en pourcentage du salaire de l’assuré, et dépendent de son

degré d’incapacité ou d’invalidité.

28

PARTIE II :

MÉTHODES DÉTERMINISTES DE CALCUL

DES PROVISIONS TECHNIQUES

Bien que les nouvelles normes Solvency II introduisent le provisionnement

avec marge de risque, les méthodes déterministes de calcul des provisions techniques ne

sont pas obsolètes, car la marge de risque et la provision en « Best Estimate » doivent

être calculées de manière indépendante. Les méthodes déterministes présentées dans

cette partie permettent de calculer cette provision en « Best Estimate ». On abordera ici

les deux principaux types de provisions techniques :

- les Provisions Mathématiques (PM), qui représentent la valeur actuelle probable des

prestations futures de l’assureur au titre des événements survenus antérieurement à

la date d’inventaire, calculées à l’aide d’une méthode « tête par tête » ;

- les Provisions Pour Sinistres à Payer (PSAP), qui représentent la valeur estimative

des sinistres pas encore réglés à la date d’inventaire, calculées à l’aide d’une

méthode basée sur la cadence des règlements.

I. PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE »

La provision mathématique d’une garantie est égale à la différence entre la

valeur actuelle probable des engagements futurs de l’assureur et la valeur actuelle

probable des engagements futurs de l’assuré. Ce calcul est effectué à la date de clôture

de l’exercice.

Habituellement en assurance de groupes, l’assuré s’engage à verser une

prime unique en début d’exercice, ses engagements futurs sont donc nuls en fin

29

d’exercice. En revanche, l’assureur doit faire face aux prestations dues à un événement

survenu au cours de l’exercice et qui seront réglées pendant une durée qui peut être très

longue. Dans notre cas, la provision mathématique est donc égale à la valeur actuelle

probable des engagements futurs de l’assureur.

L’actualisation des flux futurs est effectuée suivant la méthode des intérêts

composés. Le taux technique utilisé reste constant sur toute la période, et doit être au

maximum égal à 75% du TME1, sans pouvoir dépasser 4,50%. Puis, chaque flux est

probabilisé : il est multiplié par sa probabilité de survenance, estimée à la date de calcul

de la provision. Ces probabilités sont données par les tables réglementaires du BCAC2 :

la loi de maintien en incapacité, la loi de maintien en invalidité, la loi de passage

d’incapacité en invalidité. Toutefois, il est possible pour un assureur d’utiliser des tables

établies par ses soins et certifiées par un actuaire indépendant.

A. Assurés en invalidité

1) Provision de maintien en invalidité

L’assuré en invalidité percevra un terme de rente d’invalidité en fin d’année

s’il est toujours dans cet état, tant que la garantie est en cours. La provision

mathématique de maintien en invalidité pour une prestation annuelle d’invalidité en

service d’1 € est donc définie par la formule suivante :

( )

1

( ; )( ; ) (1 )

( ; )

dj aINV

INVj c INV

l x jPM x a i

l x a− −

= +

= × +∑

où :

x = âge (en années) d’entrée en invalidité

a = ancienneté en invalidité, durée en années entre la date d’entrée en

incapacité et la date de calcul (comprise entre 0 et 39 années)

i = taux technique annuel

d = durée en années entre la date d’entrée en invalidité et la date de fin du

contrat (en général, et au maximum, égale à 60-x)

c = max(a ; b)

1 Taux Moyen des Emprunts de l’État français, calculé sur base semestrielle 2 Bureau Commun des Assurances Collectives

30

b = franchise éventuelle, durée en année entre la date d’entrée en invalidité

et la date d’effet des garanties

( ; )INVl x j = effectif des personnes entrées en invalidité à l’âge x et toujours

en invalidité au terme de j années, déterminé grâce à une loi de maintien en invalidité.

2) Provision en cas de décès d’un assuré en invalidité

Le capital décès sera versé au cours de l’année j si l’assuré en invalidité est

toujours dans cette état en début d’année j et qu’il décède entre les dates j et j+1, si

l’année j est incluse dans la période de garantie. On part de l’hypothèse qu’en moyenne

les décès ont lieu en milieu d’année. La provision mathématique pour un capital de 1 €

versé en cas de décès d’un invalide, est définie donc par la formule suivante :

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )1 1

2; ; 1;

; 1; ;

DC DCdj aINV INVINVDC

INV DCj c INV INV

l x j l x jl x jPM x a i

l x a l x a

− − − +

=

− += × × +∑

où :

x = âge (en années) d’entrée en invalidité

a = ancienneté en invalidité, durée en années entre la date d’entrée en

incapacité et la date de calcul (comprise entre 0 et 39 années)


d = durée en années entre la date d’entrée en invalidité et la date de fin du

contrat (en général, et au maximum, égale à 60-x)

c = max(a ; b)

b = franchise éventuelle, durée en année entre la date d’entrée en invalidité


( ; )INVl x j = effectif des personnes entrées en invalidité à l’âge x et toujours

en invalidité au terme de j années, déterminé grâce à une loi de maintien en invalidité.

( ; )DCINVl x j = effectif des personnes entrées en invalidité à l’âge x et toujours

en vie au terme de j années, déterminé grâce à une loi de mortalité en invalidité.

31

B. Assurés en incapacité

1) Provision de maintien en incapacité

L’assuré en incapacité percevra un terme de rente d’incapacité en fin de

mois s’il est toujours dans cet état, tant que la garantie est en cours. La provision

mathématique de maintien en incapacité pour une prestation mensuelle d’incapacité en

service d’1 € est donc définie par la formule suivante :

12

1

( ; )( ; ) (1 )

( ; )

j adINC

INCj c INC

l x jPM x a i

l x a

− −

= +

= × +∑

où :

x = âge (en années) d’entrée en incapacité

a = ancienneté en incapacité, durée en mois entre la date d’entrée en

incapacité et la date de calcul (comprise entre 0 et 35 mois)


d = durée en mois entre la date d’entrée en incapacité et la date de fin du

contrat (en générale égale à 36 mois)

c = max(a ; b)

b = franchise éventuelle, durée en mois entre la date d’entrée en incapacité


( ; )INCl x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et toujours

en incapacité au terme de j mois, déterminé grâce à une loi de maintien en incapacité.

2) Provision de passage d’incapacité en invalidité

L’assuré en incapacité percevra une rente annuelle d’invalidité à partir du

mois j, s’il passe d’incapacité en invalidité au cours de ce mois j. La provision

mathématique de passage d’incapacité en invalidité, dite provision technique

d’invalidité en attente, pour une prestation annuelle d’invalidité en service d’1 € est

définie donc par la formule suivante :

( )( )

( )1 1

12;

( ; ) 1 ;0; 12

d j a

PASS INVj c INC

s x j jPM x a i PM x

l x a

− + − −

=

= × + × +

∑

où :


32






c = max(a ; b)



( );INCl x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et toujours

en incapacité au terme de j mois, déterminé grâce à une loi de maintien en incapacité

( );s x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et qui

deviennent invalides au cours du je mois, déterminé grâce à une loi de passage

d’incapacité en invalidité

;012INV

jPM x

+

est déterminé par interpolation linéaire avec les valeurs

entières encadrant 12

jx + . En notant « int » la fonction partie entière, on peut écrire :

;0 int ;012 12INV INV

j jPM x PM x

+ = + +

int int 1 ;0 int ;012 12 12 12INV INV

j j j jx x PM x PM x

+ − + × + + − +

3) Provision en cas de décès d’un assuré en incapacité

Le capital décès sera versé au cours du mois j si l’assuré en incapacité est

toujours dans cette état en début de mois j et qu’il décède entre les dates j et j+1, si le

mois j est inclus dans la période de garantie, ou s’il passe en invalidité et qu’il décède

durant cette période. La provision mathématique pour un capital de 1 € versé en cas de

décès d’un incapable, est définie par la formule suivante :

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )

( )

1

12

12

1

; ; 1;; 1

; ;

; 1 ;0

; 12

DC DCd j aINC INCINCDC

INC DCj c INC INC

d j aDCINV

j c INC

l x j l x jl x jPM x a i

l x a l x a

s x j ji PM x

l x a

− − −

=

− −

= +

− += × × +

+ × + × +

∑

∑

33

où :







c = max(a ; b)



( ; )INCl x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et toujours

en incapacité au terme de j mois, déterminé grâce à une loi de maintien en incapacité.

( ; )s x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et qui

deviennent invalides au cours du je mois, déterminé grâce à une loi de passage

d’incapacité en invalidité

( ; )DCINCl x j = effectif des personnes entrées en incapacité à l’âge x et toujours

en vie au terme de j années, déterminé grâce à une loi de mortalité en incapacité

;012

DCINV

jPM x

+




;0 int ;012 12

DC DCINV INV

j jPM x PM x

+ = + +

int int 1 ;0 int ;012 12 12 12

DC DCINV INV


+ − + × + + − +

C. Application numérique

Nous utiliserons ici les tables publiées par le BCAC : les tables de maintien

en invalidité, de maintien en incapacité et de passage d’incapacité en invalidité datant

de 1996, et les tables de décès en invalidité et de décès en incapacité datant de 2002.

Nous retenons un taux d’actualisation de 3%.

34

Considérons tout d’abord un assuré en invalidité depuis 3 ans, et entré dans

cet état à l’âge de 53 ans. Il perçoit une rente mensuelle d’invalidité de 1 415 €, et a

souscrit à une assurance décès pour un capital de 50 000 €. Au titre de cet assuré, la

provision mathématique de maintien en invalidité est de 62 193 €, et la provision

mathématique en cas de décès est de 2 651 €, soit une provision totale de 64 844 €.

Considérons maintenant un assuré en incapacité depuis 11 mois, et entré

dans cet état à l’âge de 48 ans. Il perçoit une rente mensuelle d’incapacité de 2 053 €, et

le montant de l’éventuelle rente d’invalidité est le même, et a souscrit à une assurance

décès pour un capital de 50 000 €. Au titre de cet assuré, la provision mathématique de

maintien en incapacité est de 25 848 €, la provision mathématique de passage en

invalidité est de 53 812 €, et la provision mathématique en cas de décès est de 13 717 €,

soit une provision totale de 93 377 €.

Considérons enfin une population de 2 518 assurés en arrêt de travail, dont

2 124 en incapacité et 394 en invalidité.

En ce qui concerne les assurés en invalidité, à l’arrêt s’étale entre 26 et 63

ans, l’ancienneté en arrêt entre 1 et 35 mois, et le montant des rentes d’incapacité entre

512 et 4 064 €. 106 d’entre eux ont souscrit à une assurance décès, pour des capitaux

s’étalant entre 32 000 et 100 000 €. La provision mathématique globale de maintien en

invalidité est de 37 433 017 €, et la provision mathématique globale en cas de décès en

invalidité est de 381 371 €.

En ce qui concerne les assurés en incapacité, l’âge à l’arrêt s’étale entre 22

et 64 ans, l’ancienneté en arrêt entre 3 et 11 années, et le montant des rentes d’invalidité

entre 911 et 4 048 €. 294 d’entre eux ont souscrit à une assurance décès, pour des

capitaux s’étalant entre 40 000 et 100 000 €. La provision mathématique globale de

maintien en incapacité est de 34 050 299 €, la provision mathématique globale de

passage en invalidité est de 49 104 788 €, et la provision mathématique globale en cas

de décès en incapacité est de 6 308 880 €.

La provision mathématique totale est donc de 127 278 355 €.

Cette méthode est précise mais assez longue à mettre en œuvre, car il faut

calculer la provision au titre de chaque assuré en arrêt de travail, après un long

35

retraitement de la base de données. Il existe des méthodes basées sur les cadences de

règlements, permettant de calculer la provision globale. La plus connue et la plus

utilisée est la méthode de Chain Ladder.

II. MÉTHODE DE CHAIN LADDER

A. Les triangles des règlements

La méthode de Chain Ladder consiste à prévoir les règlements futurs grâce

aux règlements des années précédentes. La sinistralité est représentée par les triangles

des règlements (également appelés triangle de run-off). On distingue le triangle des

règlements non-cumulés :

1,1Y 1,2Y … 1, 1nY − 1,nY

2,1Y 2,2Y … 2, 1nY −

… …

1,1nY − 1,2nY −

,1nY

et le triangle des règlements cumulés :

1,1C 1,2C … 1, 1nC − 1,nC

2,1C 2,2C … 2, 1nC −

… …

1,1nC − 1,2nC −

,1nC

Les notations utilisées sont les suivantes :

n = nombre maximal d’années nécessaires pour clore un sinistre et le régler

en totalité,

i = indice des années de survenance des sinistres (i = 1, …, n),

j = indice des années de développement ou de déroulement (j = 1, …, n),

36

,i jY = montant des sinistres survenus l’année i et payés après j années de

développement, c’est-à-dire à l’année i+j,

,i jC = montant cumulé des sinistres survenus l’année i et payés en j années

de développement, c'est-à-dire entre l’année i et l’année i+j : , ,1

j

i j i kk

C Y=

=∑ .

Ces triangles peuvent se lire de trois manières différentes :

- les lignes correspondent aux années de survenance i des sinistres,

- les colonnes aux années de développement j,

- les diagonales aux années calendaires i+j.

Le but de la méthode de Chain Ladder est d’estimer les règlements futurs et

de compléter les triangles afin de calculer le montant des provisions :

1,1C 1,2C … 1, 1nC − 1,nC

2,1C 2,2C … 2, 1nC − �2,nC

… … … …

1,1nC − 1,2nC − … �1, 1n nC − − �

1,n nC −

,1nC �,2nC … �

, 1n nC − �,n nC

1,1Y 1,2Y … 1, 1nY − 1,nY

2,1Y 2,2Y … 2, 1nY − �2,nY

… …

1,1nY − 1,2nY − �1, 1n nY − − �

1,n nY −

,1nY �,2nY �

, 1n nY − �,n nY

B. Les coefficients de développement

Le principe de la méthode de Chain Ladder est de considérer que la cadence

des paiements dépend de coefficients de développement jλ (également appelés link-

ratios) qui dépendent uniquement de l’année de développement j. Cela revient à

supposer que les ( ), 1,...,i j j nC

= sont liés par le modèle suivant :

37

, 1 ,i j j i jC Cλ+ = × pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

Ce modèle repose sur 2 hypothèses sous-jacentes :

H1 : les années de survenances sont indépendantes,

H2 : la cadence des règlements est régulière.

Sous ces deux hypothèses, les coefficients de développement sont estimés

de la façon suivante :

ɵ, 1

1

,1

n j

i ji

j n j

i ji

C

C

λ

−

+=−

=

=∑

∑ pour { }1,..., 1j n∈ −

Ensuite, grâce à ces coefficients, on évalue la partie inférieure du triangle

des règlements cumulés :

� ɵ ɵ( ), 1 1 , 1...i j n i j i n iC Cλ λ− + − + −= × × × pour { } { }2,..., , 2,...,i n j n i n∈ ∈ − +

La provision au titre de l’année de survenance i, notée iR , s’estime en

calculant la différence entre le montant cumulé prévu à l’année n et le dernier montant

cumulé connu :

� � �,, , 1

2

n

i i ji n i n ij n i

R C C Y− += − +

= − = ∑ pour { }2,...,i n∈

Enfin, le montant total R de la provision se calcule en faisant la somme des

provisions au titre des différentes années de survenance i, { }2,...,i n∈ :

� � �( ) �,, , 1

2 2 2 2

n n n n

i i ji n i n ii i i j n i

R R C C Y− += = = = − +

= = − =∑ ∑ ∑ ∑


Considérons le triangle des règlements non-cumulés suivant :

38

année de déroulement année de survenance 1 2 3 4 5 6 7

2001 213 478 151 906 166 525 162 818 83 171 13 827 3 466

2002 275 937 201 243 153 211 157 261 76 794 19 243

2003 315 587 167 189 108 479 116 876 66 157

2004 244 545 161 798 124 819 111 989

2005 266 352 186 128 130 165

2006 283 460 153 017

2007 244 101

On calcule donc le triangle des règlements cumulés :


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288

2004 244 545 406 343 531 162 643 151

2005 266 352 452 480 582 645

2006 283 460 436 477

2007 244 101

Avant d’aller plus loin, commençons par vérifier les hypothèses sous-

jacentes au modèle de Chain Ladder.

La première hypothèse d’indépendance des années de survenance peut être

mise en défaut en cas de changement dans l’organisation de l’équipe de gestion des

sinistres, ou en cas de facteur d’inflation. Ceci ne peut pas être vérifié directement à

partir des données, mais doit être confirmé par les gestionnaires, ce qui est le cas pour

notre exemple.

Vérifions graphiquement la seconde hypothèse de régularité de la cadence

des paiements. Pour chaque année de déroulement j , les points de coordonnées

( ), , 1,i j i jC C + doivent être sensiblement alignés sur une droite passant par l’origine. Nous

le ferons ici uniquement pour la première année de développement ( 1j = ), la

vérification sera présentée dans l’annexe 1 pour les autres années.

39

Plaçons les points de coordonnées ( ),1 ,2,i iC C pour i allant de 1 à 6 sur un

graphique, et traçons la droite de régression passant par l’origine :

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

0 100000 200000 300000 400000

Points ,1 ,2( , )i iC C Droite de régression contrainte

On observe que les points sont relativement peu éloignés de la droite de

régression, on valide donc l’hypothèse de régularité de la cadence pour la première

année (mais également pour les années suivantes comme on peut le constater sur les

graphiques en annexe). On peut donc appliquer la méthode de Chain Ladder.

On commence par estimer les coefficients de déroulement :

j 1 2 3 4 5 6

ɵjλ 1,639 1,313 1,240 1,103 1,020 1,004

(Exemple : ɵ 1,5 2,5 3,54

1,4 2,4 3,4

777898 864446 7742881,103

694727 787652 708131

C C C

C C Cλ

+ + + += = =

+ + + +)

Ces coefficients de développement nous permettent ensuite de compléter la

partie inférieure du triangle des règlements cumulés :

40


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689 887 558

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288 789 879 793 337

2004 244 545 406 343 531 162 643 151 709 542 723 829 726 998

2005 266 352 452 480 582 645 722 636 797 232 813 285 816 845

2006 283 460 436 477 573 006 710 680 784 043 799 830 803 331

2007 244 101 399 973 525 084 651 244 718 471 732 938 736 147

(Exemple : � ɵ7,2 1 7,1 1,639 244101 399973C Cλ= × = × ≃ )

Ce qui nous donne les provisions suivantes :

Année de survenance

i

Estimation du montant du règlement total

�,i nC

Montant déjà réglé

, 1i n iC − +

Provision �

iR

2001 795 191 795 191 0

2002 887 558 883 689 3 869

2003 793 337 774 288 19 049

2004 726 998 643 151 83 847

2005 816 845 582 645 234 200

2006 803 331 436 477 366 854

2007 736 147 244 101 492 046

Total 5 559 407 4 359 542 1 199 865

La méthode de Chain Ladder nous donne donc un montant total de la

provision technique à constituer de 1 199 865 €.

D. Avantages, inconvénients et variantes

La méthode standard de Chain Ladder présente l’avantage d’être simple à

appliquer et à comprendre, les paramètres utilisés sont facilement estimables et

interprétables. Elle sert également de base aux méthodes stochastiques d’estimation des

provisions techniques.

Le premier inconvénient de cette méthode est qu’elle ne fait aucune

hypothèse sur la loi suivie par les coûts et les fréquences des sinistres, et elle ne fournit

donc pas une estimation robuste du montant des provisions. De plus, comme toutes les

41

méthodes déterministes, elle ne permet pas d’évaluer la précision de l’estimation

obtenue.

La sensibilité de la méthode aux dernières années de développement est un

autre inconvénient. En effet, tout d’abord, les derniers coefficients se calculent à l’aide

de peu d’années d’observations (notamment une seule année pour ɵ 1,1

1, 1

nn

n

C

Cλ −

−

= ),

l’incertitude de l’estimation est donc non négligeable. Et ensuite, les montants des

dernières colonnes sont ceux dont l’estimation s’effectue avec le maximum de

coefficients de développement (par exemple � ɵ ɵ, 1 1 ,1...n n n nC Cλ λ −= × × × se calcule grâce à

1n − coefficients), l’incertitude de l’estimation est donc démultipliée.

En outre, cette méthode ne peut s’appliquer que si la cadence de règlements

reste globalement la même d’une année sur l’autre. Elle ne peut donc pas être mise en

œuvre en cas de changement – au niveau de la réglementation ou au niveau de la

gestion des sinistres par l’entreprise – susceptible de modifier le schéma habituel de

déroulement des sinistres.

Il existe d’autres manières de calculer les coefficients de développement :

• Moyenne arithmétique : ɵ( ) , 1

1 ,

1 n jA i jj

i i j

C

n j Cλ

−+

=

=− ∑ pour { }1,..., 1j n∈ −

Application numérique :

j 1 2 3 4 5 6

ɵ( )A

jλ 1,645 1,319 1,241 1,104 1,020 1,004

Ce qui donne un montant de provision de 1 212 317 €, soit environ 1% de

plus que la méthode standard.

• Moyenne géométrique : ɵ1/( )

( ) , 1

1 ,

n jn jG i j

j

i i j

C

Cλ

−−

+

=

= ∏ pour { }1,..., 1j n∈ −


j 1 2 3 4 5 6

ɵ( )G

jλ 1,643 1,317 1,240 1,103 1,020 1,004

42

Ce qui donne un montant de provision de 1 207 391 €, soit environ 0,6% de


• Pondération : ɵ( ) , 1

,1 ,

,1

1 n jP i jj i jn j

i i ji j

i

C

Cλ ω

ω

−+

−=

=

=

∑

∑ pour { }1,..., 1j n∈ −

Cette méthode de la pondération permet, par exemple, de remédier au

problème de la sensibilité du modèle aux années récentes, en accordant un poids plus

important aux années plus anciennes. On peut également accorder plus d’importance

aux années récentes si l’on observe une tendance dans l’évolution des coefficients de

déroulement. Dans ce cas on peut, par exemple, utiliser des poids en progression

géométrique : ( ) 1

, 1i

i j Rω−

= +

Remarques :

• si , ,i j i jCω = , on retrouve le calcul par la méthode standard ;

• si tous les ,i jω ont la même valeur, on retrouve le calcul par la moyenne

arithmétique.


Prenons des poids en progression géométrique, avec une raison 3%R = .

Nous obtenons le triangle des poids et les coefficients de développement suivants :

année de déroulement année de survenance 1 2 3 4 5 6

2001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

2002 1,030 1,030 1,030 1,030 1,030

2003 1,061 1,061 1,061 1,061

2004 1,093 1,093 1,093

2005 1,126 1,126

2006 1,159

j 1 2 3 4 5 6

ɵ( )P

jλ 1,643 1,317 1,240 1,103 1,020 1,004

43

Ce qui donne un montant de provision de 1 206 060 €, soit environ 0,5% de


On peut également ajouter une composante affine au modèle standard de

Chain Ladder : c’est la méthode de London Chain

III. MÉTHODE DE LONDON CHAIN

A. Présentation de la méthode

Contrairement à la méthode de Chain Ladder, la cadence des paiements ne

dépend pas uniquement des coefficients de développement jλ , mais également d’une

composante constante jα . On suppose donc ici que les ( ), 1,...,i j j nC

= sont liés par le

modèle suivant :

, 1 ,i j j i j jC Cλ α+ = × + pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

Les hypothèses sous-jacentes à ce modèle restent les mêmes que pour la

méthode de Chain Ladder, mais celle de régularité des paiements est légèrement

différente. Pour chaque année de déroulement j, les points de coordonnées ( ), , 1,i j i jC C +

doivent toujours être sensiblement alignés sur une droite, mais celle-ci ne doit pas

nécessairement passer par l’origine. Le principe de la méthode de London Chain est de

déterminer les valeurs des coefficients jλ et jα tels que les écarts entre les montants

cumulés réels ( , 1i jC + ) et ceux prédits par le modèle ( ,j i j jCλ α+ ) soient minimisés. Pour

cela, on utilise la méthode des moindres carrés :

ɵ �( ) ( )2, 1 ,1

, argminn j

j j i j j i j ji

C Cλ α λ α−

+=

= − × −

∑

La solution est la suivante (la démonstration est présentée dans l’annexe 2) :

ɵ

( )

( ) ( )

( ) ( )1, , 1

1

2( )2,

1

1

1

n jj j

j ji j i ji

j n jj

ji ji

C C C Cn j

C Cn j

λ

−

++=

−

=

× − ×−

=−

−

∑

∑ pour tout { }1,..., 2j n∈ − et ɵ 1,

1

1, 1

nn

n

C

Cλ −

−

=

44

� ɵ( ) ( )

1j j

j j j jC Cα λ+= − × pour { }1,..., 2j n∈ − et � 1 0nα − =

où ( )

,1

1 n jj

j i ji

C Cn j

−

=

=− ∑ et

( )1 , 1

1

1 n jj

j i ji

C Cn j

−

+ +=

=− ∑

Le calcul de la provision d’effectue ensuite de la même manière que dans la

méthode de Chain Ladder.

B. Application numérique

Reprenons l’exemple précédent. A priori, lorsque l’hypothèse de régularité

des paiements de la méthode de Chain Ladder est vérifiée, il n’est pas nécessaire de

vérifier celle de la méthode de London-Chain. En effet, si les points de coordonnées

( ), , 1,i j i jC C + sont sensiblement alignés sur une droite passant par l’origine, ils le seront

également sur une droite n’ayant pas cette contrainte, et l’approximation sera d’ailleurs

meilleure. Nous allons toutefois tracer cette droite de régression non-contrainte pour

montrer qu’elle constitue une meilleur approximation que la droite de régression

contrainte, et car il faut le faire si les hypothèses de la méthode de Chain Ladder ne sont

pas vérifiées (cf. Annexe 1).

On commence par estimer les coefficients ɵ jλ et � jα :

j 1 2 3 4 5 6

ɵjλ 1,165 0,750 1,111 1,002 1,063 1,004

�jα 126 113 245 710 73 848 74 157 -34 852 0

Ces coefficients nous permettent de calculer la partie inférieure du triangle

des règlements cumulés :


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689 887 558

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288 787 889 791 338

2004 244 545 406 343 531 162 643 151 718 380 728 482 731 672

2005 266 352 452 480 582 645 721 153 796 512 811 504 815 057

2006 283 460 436 477 573 206 710 666 786 008 800 342 803 846

2007 244 101 410 599 553 789 689 095 764 400 777 383 780 786

45

(Exemple : � ɵ �7,2 1 17,1 1,165 244101 126133 410599C Cλ α= × + = × + ≃ )

Ce qui nous donne les provisions suivantes :


i


�,i nC


, 1i n iC − +

Provision �

iR

2001 795 191 795 191 0 2002 887 558 883 689 3 869 2003 791 338 774 288 17 050 2004 731 672 643 151 88 521 2005 815 057 582 645 232 412 2006 803 846 436 477 367 369 2007 780 786 244 101 536 685

Total 5 559 407 4 359 542 1 245 906

La méthode de London Chain nous donne donc un montant total de la

provision technique à constituer de 1 245 906 €, soit environ 4% de plus que la méthode

de Chain Ladder.

Si les hypothèses de la méthode de London Chain ne sont pas vérifiées, on

peut utiliser la méthode des moindres carrés de De Vylder.

IV. MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS DE DE VYLDER


Contrairement aux méthodes de Chain Ladder et de London Chain, la

méthode des moindres carrés de De Vylder ne se base pas sur le triangle des règlements

cumulés, mais sur le triangle des règlements non-cumulés ( ),i jY . Elle suppose que les

montants de ce triangle sont liés par le modèle suivant :

,i j j iY r p= ×

46

où :

ip est le montant total des règlements correspondant aux sinistres survenus

au cours de l’année i

jr est la proportion de ces montants ip qui est réglée au cours de la je année

de déroulement (1

1n

ij

r=

=∑ )

Le principe de cette méthode est de déterminer les vecteurs ( ) { }1,...,i i np

∈ et

( ) { }1,...,j j nr

∈ de telle sorte que la somme des carrés des écarts entre les montants réels

( ,i jY ) et ceux prédits par le modèle ( j ir p× ) soit minimisée :

�( ) ( )1 2

,1 1

, argminn n i

j i j j iii j

r p Y r p− +

= =

= − ×

∑∑ɵ

La solution est la suivante (la démonstration est présentée dans l’annexe 3) :

�

( )

( )

1

,1

1 2

1

n i

j i jj

i n i

j

j

r Y

pr

− +

=− +

=

×

=∑

∑

ɵ

ɵ

et

�( )�( )

1

,1

1 2

1

n j

i jii

j n j

ii

p Yr

p

− +

=− +

=

×=∑

∑ɵ

Étant donné que les vecteurs �( ){ }1,...,

ii n

p∈

et ( ){ }1,...,

jj n

r∈

ɵ dépendent l’un de

l’autre, il faut commencer par définir un vecteur ( ){ }

(0)

1,...,j

j n

r∈

ɵ initial tel que (0)

1

1n

j

j

r=

=∑ ɵ .

Ceci nous permet de calculer une première fois le vecteur �( ){ }1,...,

ii n

p∈

puis le vecteur

( ){ }1,...,

jj n

r∈

ɵ et enfin la double somme. Au fur et à mesure des itérations, cette double

somme va tendre vers son minimum, on réitère donc cette opération jusqu’à ce que

l’écart entre deux doubles sommes calculées consécutivement soit suffisamment faible.

En général, une dizaine d’itérations suffisent pour obtenir un résultat satisfaisant. Les

vecteurs �( ){ }1,...,

ii n

p∈

et ( ){ }1,...,

jj n

r∈

ɵ retenus sont ceux calculés lors de la dernière itération

et ils permettent d’évaluer la partie inférieure du triangle des règlements non-cumulés :

� �,i j j iY r p= ×ɵ pour { }2,...i n∈ et { }2,...,j n i n∈ − +

47

La somme de ces montants estimés correspond au montant estimé total de la

provision à constituer :

� �,

2 2

n n

i j

i j n i

R Y= = − +

=∑ ∑

Remarques :

• Le choix des valeurs du vecteur initial ( ){ }

(0)

1,...,j

j n

r∈

ɵ , influe sur les valeurs des

vecteurs �( ){ }1,...,

ii n

p∈

et ( ){ }1,...,

jj n

r∈

ɵ finaux mais pas sur les montants estimés des

règlements � ,i jY et donc pas sur le montant estimé de la provision. Ce choix peut

donc se faire de manière arbitraire, tout en respectant la contrainte (0)

1

1n

j

j

r=

=∑ ɵ ,

le plus simple étant de prendre (0) 1

jrn

=ɵ pour tout { }1,...,j n∈ .

• Il est difficile de conserver la contrainte 1

1n

j

j

r=

=∑ ɵ au fil des itérations. A la fin

de l’algorithme, cette somme est souvent de l’ordre de 0,7.


Appliquons la méthode des moindres carrés de De Vylder au triangle des

règlements non-cumulé utilisé précédemment, et avec le vecteur initial ( ){ }

(0)

1,...,j

j n

r∈

ɵ tel

que (0) 1

jrn

=ɵ pour tout { }1,...,j n∈ . On choisit d’arrêter l’algorithme lorsque l’écart

relatif entre deux doubles sommes calculées consécutivement est inférieur à 10-9. Après

7 itérations, on obtient les � ip et jrɵ suivants :

1 2 3 4 5 6 7

�ip 0,218 0,139 0,111 0,113 0,060 0,013 0,003

jrɵ 1 146 179 1 334 873 1 269 172 1 112 802 1 241 921 1 242 317 1 119 738

48

On peut ainsi compléter la partie inférieure du triangle des règlements non-

cumulés :


2001 213 478 151 906 166 525 162 818 83 171 13 827 3 466

2002 275 937 201 243 153 211 157 261 76 794 19 243 4 037

2003 315 587 167 189 108 479 116 876 66 157 17 029 3 838

2004 244 545 161 798 124 819 111 989 66 631 14 931 3 365

2005 266 352 186 128 130 165 139 866 74 362 16 663 3 756

2006 283 460 153 017 138 320 139 910 74 386 16 669 3 757

2007 244 101 155 768 124 672 126 106 67 046 15 024 3 386

(Exemple : � �7,2 7 2 1119738 0,139 155768Y r p= × = ×ɵ ≃ )

La somme des montants contenus dans le triangle inférieur nous donne la

provision à constituer calculée grâce à la méthode des moindres carrés de De Vylder :

1 209 521 €, soit environ 1% de plus que la méthode de Chain Ladder et 3% de moins

que la méthode de London Chain.

49

PARTIE III :

MÉTHODES STOCHASTIQUES DE CALCUL

DES PROVISIONS TECHNIQUES

Contrairement à Solvency I, système qui préconisait un calcul déterministe

des provisions en prenant des hypothèses prudentes, la directive Solvency II quantifie

cette prudence grâce à la notion de « risk margin ». Les méthodes stochastiques

permettent de calculer un montant de provision avec marge de risque, auquel on

soustrait la provision en « Best Estimate » afin de déterminer cette marge. Pour cela, le

CEIOPS exige un niveau de confiance de 75%, et préconise l’utilisation de la Value At

Risk, mais on peut également se baser sur un intervalle de confiance.

I. INDICATEURS DE RISQUE

A. Value at Risk

La Value at Risk (VaR) au niveau α d’un distribution X , notée

( );VaR X α se définit comme le quantile d’ordre α :

( )( );XF VaR X α α=

où est XF est la fonction de répartition de X . Si XF est strictement croissante, ce qui

est le cas le plus fréquent, la VaR est définie directement par :

( ) ( )1; XVaR X Fα α−= .

50

D’après la définition de la fonction de répartition, on a

( );P X VaR X α α ≤ = . Ceci signifie qu’en provisionnant à hauteur de la VaR,

l’assureur a une probabilité α que la charge des sinistres soit inférieure à la provision,

c’est-à-dire une probabilité α de ne pas subir de perte.

L’inconvénient de la VaR, c’est qu’elle n’est pas sous-additive, c’est-à-dire

que la relation ( ) ( ) ( ); ; ;VaR X Y VaR X VaR Yα α α+ ≤ + n’est pas vérifiée pour toutes

les distributions. Ceci signifie que l’on ne peut pas calculer une VaR totale en sommant

les VaR de plusieurs branches car ce n’est pas prudent.

B. Tail Value at Risk

En poursuivant dans l’optique prudentielle, la question se pose de savoir ce

qui se passe en cas de scénario catastrophe où la charge des sinistres dépasse le niveau

de la VaR, c’est-à-dire en cas de pertes. Une première réponse consiste à calculer la Tail

Value At Risk (TVaR) d’une distribution X au niveau α , notée ( );TVaR X α , une

mesure de risque qui apparaît comme une VaR moyenne sur toutes les probabilités

dépassant le niveau α :

( ) ( )11

; ;1

TVaR X VaR X dα

α ξ ξα

=− ∫ .

Si XF est continue, alors :

( ) ( ) ( ){ }1; ; max ; ;0

1TVaR X VaR X E X VaR Xα α α

α = + × − −

.

La TVaR présente l’intérêt d’être sous-additive, contrairement à la VaR. On

peut donc calculer une TVaR totale en sommant les TVaR de plusieurs branches :

( ) ( ) ( ); ; ;TVaR X Y TVaR X TVaR Yα α α+ ≤ + . Elle est également plus avantageuse que

la VaR, dans le sens où elle permet de prendre en compte le comportement de la queue

de distribution. Cependant, son calcul est plus long et plus difficile à mettre en œuvre.

51

C. Exemple

Loi normale

Calculons la VaR et la TVaR à 75%, 95% et 99,5% d’une variable X

suivant une loi normale d’espérance 100µ = et d’écart-type 20σ = . Pratiquement, le

calcul de la VaR s’effectue aisément, par exemple dans Excel grâce à la fonction

« loi.normale.inverse ». Le calcul de la TVaR est plus compliqué. On peut approximer

le calcul intégral à l’aide de la méthode des trapèzes1, en prenant un pas assez faible

pour que l’approximation soit assez précise, mais pas trop pour que le temps

d’exécution soit raisonnable. On utilise ici une fonction VBA (présentée dans l’annexe

7) avec un pas de 510− .

α 75% 95% 99,50%

( );VaR X α 113,490 132,897 151,517

( );TVaR X α 125,422 141,253 157,831

1 En considérant une subdivision de l’intervalle [ ];a b en n intervalles de pas b a

hn

−= :

( )( ) ( )( )1

0

1

2

nb

ak

f a k h f a k hf x dx h

−

=

+ × + + + ××∑∫ ≃

52

Loi log-normale

Calculons la VaR et la TVaR à 75%, 95% et 99,5% d’une variable X

suivant une loi log-normale d’espérance 100m = , d’écart-type 20s = et de paramètres

µ et σ . Ceci signifie que la variable ( )lnY X= suit une loi normale d’espérance

( )2

2

1ln ln 1 4,58556

2

ss

mµ

= − +

≃ et d’écart-type

2

2ln 1 0,19804

s

mσ

= +

≃ . Ce

sont ces paramètres qui doivent être utilisés comme arguments de la fonction Excel

« loi.lognormale.inverse ». La méthode utilisée pour le calcul de la TVaR est la même

que dans le cas précédent.

α 75% 95% 99,50%

( );VaR X α 112,072 135,817 163,315

( );TVaR X α 126,751 147,948 174,150

Ces mesures de risque, particulièrement la VaR, seront utilisées dans les

méthodes stochastiques, telles que le modèle de Mack ou le Bootstrap, pour déterminer

la marge de risque des provisions.

53

II. MODÈLE DE MACK


Thomas Mack a proposé une méthode paramétrique qui correspond à la

version stochastique de la méthode de Chain Ladder. Elle fournit une estimation de la

moyenne et de l’écart-type pour l’estimateur �R de la variable aléatoire R qui

représente la provision technique à constituer, ce qui va nous permettre de la modéliser

à l’aide d’une loi normale ou log-normale.

Le modèle déterministe de Chain Ladder

, 1 ,i j j i jC Cλ+ = × pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

devient, en stochastique :

, 1 ,i j j i jE C E Cλ+ = × pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

Le modèle de Mack se base sur les mêmes hypothèses que celles de la

méthode de Chain Ladder, à savoir l’indépendance des années de survenance et la

régularité de la cadence des paiements. En stochastique, elles peuvent être exprimées

ainsi :

H1 : pour 'i i≠ , les vecteurs aléatoires ( ) { }, 1,...,i j j nC

∈ et ( ) { }', 1,...,i j j n

C∈

sont indépendants

H2 : , 1 ,1 , ,,...,i j i i j j i jE C C C Cλ+ = × pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

Sous ces 2 hypothèses, les coefficients ɵ jλ , pour { }1,..., 1j n∈ − , calculés

dans la méthode de Chain Ladder, sont des estimateurs sans biais des coefficients de

développement jλ . Ceci nous permet d’affirmer que � iR est un estimateur sans biais de

iR , le « vrai » montant de la provision au titre de l’année de survenance i, pour tout

{ }2,...,i n∈ .

54

Rappel :

• ɵ, 1

1

,1

n j

i ji

j n j

i ji

C

C

λ

−

+=−

=

=∑

∑ pour { }1,..., 1j n∈ −

• � ɵ ɵ( ), 1 1 , 1...i j n i j i n iC Cλ λ− + − + −= × × × pour { } { }2,..., , 2,...,i n j n i n∈ ∈ − +

• � �, , 1i i n i n iR C C − += − pour { }2,...,i n∈ , , , 1i i n i n iR C C − += −

La modèle de Mack fournit donc la même estimation du montant de la

provision que la méthode de Chain Ladder : � � �( ), , 12 2

n n

i i n i n ii i

R R C C − += =

= = −∑ ∑ , et c’est ce

montant qui sera retenu comme moyenne pour la modélisation à l’aide d’une loi

normale ou log-normale.

Il s’agit maintenant de déterminer l’écart-type, c'est-à-dire l’erreur de

prévision. Pour cela on s’intéresse à l’écart moyen entre le montant de la provision au

titre de l’année i iR et son estimateur � iR :

�( ) �( )2i imse Ri E R R D = − , avec { } { }{ }, 1,..., , 1,..., 1i jD C i n j n i= ∈ ∈ − +

(mse = mean squared error : erreur quadratique moyenne)

Pour estimer cet écart, il convient d’ajouter une troisième hypothèse :

H3 : 2, 1 ,1 , ,,...,i j i i j j i jVar C C C Cσ+

= × pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n∈ ∈ −

Nous pouvons alors écrire :

� �( ) ��

ɵ �

212

, 21 ,

,1

1 1nj

i i n n jj n i i jj

k jk

mse R CC C

σ

λ

−

−= − +

=

= × × +

∑∑

55

où :

• � ɵ ɵ( ), 1 1 , 1...i j n i j i n iC Cλ λ− + − + −= × × × pour { } { }2,..., , 2,...,i n j n i n∈ ∈ − +

• par extension, � , 1 , 1i n i i n iC C+ − + −=

• � ɵ

22 , 1

,1 ,

1

1

n ji j

j ji ji i j

CC

n j Cσ λ

−+

=

= × × − − −

∑ pour { }1,..., 2j n∈ −

• ��

�

� �{ }4

2 2 221 3 22

3

min ;min ;n

n n n

n

σσ σ σ

σ

−− − −

−

=

L’écart moyen entre le « vrai » montant total de la provision R et son

estimateur sans biais �R peut alors être estimé ainsi :

� � �( )( ) � �

�

ɵ

2

212

, ,

2 1 1,

1

2

( )

j

n n nj

i i n k n n ji k i j n i

k jk

mse R mse R C C

C

σ

λ−

−= = + = − +

=

= +

∑ ∑ ∑∑

Remarques :

• Pour i n= , la somme sur k des � ,k nC va de 1n + à n . Ce terme est

alors nul.

• Pour la démonstration de ces résultats, nous renvoyons à Mack1.

L’estimation de l’écart type de la variable R (respectivement iR pour

{ }2,...,i n∈ ) est alors � � � �( )( )se R mse R= (respectivement � � � �( )( )i ise R mse R= ).

Nous pouvons désormais construire un intervalle de confiance pour les

variables iR pour { }2,...,i n∈ et R , selon l’hypothèse faite sur leur loi de distribution.

1 Thomas MACK, Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates, ASTIN bulletin vol. 23, 1993

56

Loi normale

Intervalle de confiance au niveau 1 α− pour iR , la provision au titre de

l’année de survenance i , pour tout { }2,...,i n∈ :

� � �( ) � � �( )1 2 1 2;i i i iR q se R R q se Rα α− − − × + ×

Intervalle de confiance au niveau 1 α− pour R , le montant total de la

provision :

� � �( ) � � �( )1 2 1 2;R q se R R q se Rα α− − − × + ×

où 1 2q α− est le quantile d’ordre 12

α− de la loi normale standard.

Loi log-normale

Une variable aléatoire Y suit une loi log-normale de paramètres µ et 2σ si

et seulement si ln( )X Y= obéit à une loi normale ( )2,N µ σ , avec :

[ ]2

exp2

E Yσ

µ

= +

et ( ) ( ) ( )2 2exp 1 exp 2Var Y σ µ σ = − +

Si on suppose que, pour { }2,...,i n∈ , iR suit une loi log-normale de

paramètres iµ et 2iσ , on a alors :

�2

exp2i

i iRσ

µ

= +

et � �( ) ( ) ( )2 2exp 1 exp 2i i i imse R σ µ σ = − +

On en déduit que

� �( )�( )

22

ln 1i

i

i

mse R

Rσ

= +

et �( )� �( )�( )2

1ln ln 1

2

i

ii

i

mse RR

Rµ

= − +

L’intervalle de confiance au niveau 1 α− pour ( )ln iR , qui suit une loi

normale ( )2,i iN µ σ est :

1 2 1 2;i i i iq qα αµ σ µ σ− − − × + ×

57



Donc l’intervalle de confiance au niveau 1 α− pour iR est :

( ) ( )1 2 1 2exp ;expi i i iq qα αµ σ µ σ− − − × + ×

De même, si on suppose que R suit une loi normale de paramètres µ et

2σ , l’intervalle de confiance au niveau 1 α− pour R est :

( ) ( )1 2 1 2exp ;expq qα αµ σ µ σ− − − × + ×

avec � �( )�( )

22

ln 1mse R

Rσ

= +

et �( )� �( )�( )2

1ln ln 1

2i

mse RR

Rµ

= − +

Choix de la loi

De manière générale, on modélise les risques courts comme la branche santé

par une loi normale, et les risques longs comme les branches corporelles par une loi log-

normale car celle-ci possède une queue de distribution plus importante. Dans le cadre

du risque incapacité-invalidité, on se situe à la frontière entre le court et le long terme,

le choix de la loi paramétrique est donc difficile. Cependant, de ce fait, l’écart entre les

deux modélisations est faible, ce qui sera confirmé dans l’application numérique qui va

suivre, et une utilisation erronée de la loi log-normale entraînerait donc un sur-

provisionnement peu conséquent.


Reprenons le triangle des montants cumulés utilisé dans l’application

numérique de la méthode de Chain Ladder. Sous les deux premières hypothèses, qui

sont les mêmes que celle de la méthode de Chain Ladder et qui ont été vérifiées dans la

partie correspondante, le modèle de Mack fournit une même estimation des coefficients

de développement, de la partie inférieure du triangle et du montant de la provision :

58

j 1 2 3 4 5 6

ɵjλ 1,639 1,313 1,240 1,103 1,020 1,004


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689 887 558

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288 789 879 793 337

2004 244 545 406 343 531 162 643 151 709 542 723 829 726 998

2005 266 352 452 480 582 645 722 636 797 232 813 285 816 845

2006 283 460 436 477 573 006 710 680 784 043 799 830 803 331

2007 244 101 399 973 525 084 651 244 718 471 732 938 736 147


i

Provision �

iR

2001 0

2002 3 869

2003 19 049

2004 83 847

2005 234 200

2006 366 854

2007 492 046

Total 1 199 865

Il faut à présent vérifier la troisième hypothèse du modèle, avant de pouvoir

calculer les coefficients �2

jσ . On peut donner une interprétation graphique à cette

hypothèse : pour chaque année de survenance j , { }1,..., 1j n∈ − , les points de

coordonnées ( ), ,,i j i jC B doivent être non-structurés, ɵ

, 1 ,,

,

ji j i ji j

i j

C CB

C

λ+ − ×= étant les

résidus d’une estimation par moindres carrés. Le triangle de ces résidus est le suivant :

59

année de déroulement année de survenance 1 2 3 4 5 6

2001 33,74 86,41 48,01 13,74 -2,08 0,00

2002 47,67 5,72 7,30 -5,09 1,98

2003 -61,11 -61,21 -32,75 -8,25

2004 11,41 -3,58 -21,45

2005 31,09 -16,90

2006 -52,57

(Exemple : ɵ11,2 1,1

1,1

1,1

365384 1,639 21347833,74

213478

C CB

C

λ− × − ×= = ≃ )

Pour 5j = et 6j = , nous ne disposons respectivement que de deux et un

points, il est donc impossible de détecter une quelconque structure. Nous plaçons donc

les points de coordonnées ( ), ,,i j i jC B sur un graphique pour j allant de 1 à 4.

j = 1

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

200000 220000 240000 260000 280000 300000 320000

j = 2

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

350000 370000 390000 410000 430000 450000 470000 490000

j = 3

-40

-20

0

20

40

60

520000 540000 560000 580000 600000 620000 640000

j = 4

-10

-5

0

5

10

15

680000 700000 720000 740000 760000 780000 800000

Nous n’observons pas de structure particulière pour ces points, nous

validons donc cette troisième hypothèse. Nous pouvons dès lors calculer les coefficients

�2

jσ , la variance � �( )mse R et l’écart-type � �( )se R pour le montant de la provision :

60

j 1 2 3 4 5 6

�2

jσ 2 201,204 2 886,350 1 297,118 141,410 8,239 0,480


i

Variance

� �( )imse R

Écart-type

� �( )ise R

2001 0 0

2002 897 579 947

2003 10 226 179 3 198

2004 132 620 386 11 516

2005 1 365 222 375 36 949

2006 4 309 006 412 65 643

2007 5 987 461 973 77 379

Total 14 524 218 303 120 516

Nous pouvons alors déterminer un intervalle de confiance, la Value at Risk

et la Tail Value at Risk pour le montant de la provision R , au niveau de confiance 1 α−

voulu.

Pour un niveau de confiance de 75%, comme recommandé par le CEIOPS :

Loi normale

Intervalle de confiance Année de survenance

Moyenne Écart-type Borne inférieure

Borne supérieure

VaR TVaR

2001 0 0 0 0 0 0

2002 3 869 947 2 779 4 958 4 508 5 073

2003 19 049 3 198 15 370 22 728 21 206 23 114

2004 83 847 11 516 70 600 97 095 91 615 98 485

2005 234 200 36 949 191 696 276 705 259 122 281 166

2006 366 854 65 643 291 342 442 367 411 130 450 293

2007 492 046 77 379 403 033 581 058 544 237 590 402

Total 1 199 865 120 516 1 061 229 1 338 501 1 281 152 1 353 053

61

Loi log-normale

Intervalle de confiance Année de survenance

Moyenne Écart-type Borne inférieure

Borne supérieure

VaR TVaR

2001 0 0 0 0 0 0

2002 3 869 947 2 847 4 960 4 422 5 144

2003 19 049 3 198 15 508 22 757 21 022 23 301

2004 83 847 11 516 70 980 97 214 91 091 99 061

2005 234 200 36 949 193 159 277 066 257 146 283 229

2006 366 854 65 643 294 415 442 936 407 054 454 322

2007 492 046 77 379 406 083 581 817 540 113 594 710

Total 1 199 865 120 516 1 063 895 1 339 697 1 277 324 1 357 681

Écart relatif entre les résultats des deux modélisations

Intervalle de confiance Année de survenance Borne

inférieure Borne

supérieure

VaR TVaR

2002 2,45% 0,03% -1,90% 1,41%

2003 0,90% 0,13% -0,87% 0,81%

2004 0,54% 0,12% -0,57% 0,58%

2005 0,76% 0,13% -0,76% 0,73%

2006 1,05% 0,13% -0,99% 0,89%

2007 0,76% 0,13% -0,76% 0,73%

Total 0,25% 0,09% -0,30% 0,34%

Ces résultats confirment le fait que, pour le risque incapacité-invalidité, les

modélisations par une loi normale et par une loi log normale fournissent des résultats

peu différents. Par mesure de prudence, on calculera la marge de risque à l’aide des

deux modélisations, et on retiendra la plus élevée.

Si les hypothèses du modèle de Mack ne sont pas vérifiées, on peut mettre

en œuvre la méthode du Bootstrap.

62

III. LE BOOTSTRAP

A. Principe général

Le bootstrap est une théorie assez récente. La méthode consiste à fabriquer

de l’information à partir de rien. Elle permet de fournir des réponses là où d’autres

méthodes ne sont pas applicables (manque d’informations, calculs impossibles, …). Elle

se base sur le principe du ré-échantillonnage.

Soit ( )1,..., nX X X= un échantillon initial de variables aléatoires réelles

indépendantes et identiquement distribuées. On note θ la variable aléatoire dont on veut

déterminer un intervalle de confiance, et ɵ ( )1,..., nf X Xθ = l’estimation de θ à partir de

l’échantillon initial.

A partir de cet échantillon initial, on construit un échantillon bootstrap. On

effectue un tirage au sort avec remise de n éléments parmi les n variables de

l’échantillon initial, où chaque réalisation a la même probabilité de tirage, qui est donc

1

n. Cet échantillon bootstrap généré est noté ( )1 ,..., nX X X∗ ∗ ∗= . On peut alors estimer

une nouvelle fois θ , mais cette fois à partir de l’échantillon bootstrap :

ɵ ( )1 ,..., nf X Xθ∗ ∗ ∗=

On renouvelle cette procédure B fois afin d’obtenir B échantillons

bootstrap, ( )( ) ( ) ( )1 ,...,k k k

nX X X∗ ∗ ∗= pour { }1,...,k B∈ , à partir desquels on estime B

fois la variable θ : ɵ ( )( )( ) ( )

1 ,...,k

k knf X Xθ

∗ ∗ ∗= pour { }1,...,k B∈ .

À partir de ces B observations, pour B suffisamment grand, on est en

mesure d’estimer la distribution empirique suivie par la variable aléatoire θ , ainsi que

sa moyenne empirique et son écart-type empirique.

Moyenne empirique : ɵ( )

1

1 B k

kBθ θ

∗∗

=

= ∑

63

Écart-type empirique : � ɵ( )2

( )

1

1

1

B k

kBθσ θ θ∗ ∗ ∗

=

= −− ∑

Si la distribution empirique peut être approximée grâce à une loi connue, on

peut fournir un intervalle de confiance pour la variable θ à un certain niveau de

confiance 1 α− .

B. Application au calcul des provisions

On souhaite obtenir un intervalle de confiance pour la variable aléatoire R

qui modélise le montant de la provision technique. Pour cela, on se base sur les

règlements des années précédentes. Cependant, on ne peut pas utiliser directement le

triangle des règlements cumulés car ces variables ne sont pas indépendantes. En effet,

excepté ceux de la première colonne, les montants cumulés dépendent des observations

précédentes. Afin de contourner ce problème de non-indépendance, le ré-

échantillonnage ne s’effectuera pas sur les règlements cumulés mais sur des résidus, qui

seront définis plus tard, calculés à partir de ces observations.

Voici la procédure à suivre :

1. À partir du triangle des règlements cumulés, on calcule les coefficients de

développement de la même manière que dans la méthode de Chain Ladder :

ɵ, 1

1

,1

n j

i ji

j n j

i ji

C

C

λ

−

+=−

=

=∑

∑ pour { }1,..., 1j n∈ −

2. Grâce à ces coefficients et à la diagonale du triangle des règlements

cumulés, c’est-à dire les dernières valeurs observées, on calcule un nouveau triangle,

que l’on appelle triangle prédit des règlements cumulés et que l’on note ( ),i jD , en

procédant par récursion arrière :

, 1 , 1i n i i n iD C− + − += pour { }1,...,i n∈ (sur la diagonale)

64

ɵɵ

, , 1 , 1

1 1i j i j i n in i

jk

k j

D D Cλ λ

+ − +−

=

= × = ×

∏ pour { } { }1,..., 1 , 1,...,i n j n i∈ − ∈ −

3. On décumule le triangle des règlements cumulés ( ),i jC et le triangle

prédit des règlements cumulés ( ),i jD afin d’obtenir le triangle des règlements non-

cumulés ( ),i jY et le triangle prédit des règlements non-cumulés, noté ( ),i jZ :

,1 ,1i iY C= et ,1 ,1i iZ D= pour { }1,...,i n∈

, , , 1i j i j i jY C C −= − et , , , 1i j i j i jZ D D −= − pour { } { }1,..., 1 , 2,..., 1i n j n i∈ − ∈ − +

4. À l’aide de ces deux nouveaux triangles, on calcule le triangle des résidus

de Pearson, noté ( ),i jr :

, ,,

,

i j i ji j

i j

Y Zr

Z

−= pour { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n i∈ ∈ − +

Ces résidus sont indépendants et identiquement distribués, excepté les deux

situés aux extrémités de la diagonale qui sont nuls par construction, et devront dont être

exclus du ré-échantillonnage.

5. Ces résidus sont ensuite ré-échantillonnés aléatoirement avec remise pour

former un triangle des résidus « bootstrap » que l’on note ( ),i jr ∗ . On effectue ensuite le

chemin inverse : on calcule le triangle des règlements non-cumulés « bootstrap »

( ),i jY ∗ :

, , , ,i j i j i j i jY Z r Z∗ ∗= + × { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n i∈ ∈ − +

grâce auquel on détermine le triangle des règlements cumulés « bootstrap » ( ),i jC ∗ :

, ,1

j

i j i kk

C Y∗ ∗

=

=∑ { } { }1,..., , 1,..., 1i n j n i∈ ∈ − + .

Ce triangle nous permet alors de calculer un montant de provision �R∗

« bootstrap » à l’aide de la méthode de Chain Ladder.

65

On réitère B fois cette dernière étape, afin d’obtenir un échantillon de B

observations de la variable R . On peut alors calculer sa moyenne et son écart-type

empirique :

Moyenne empirique : �( )

1

1 B k

k

R RB

∗

=

= ∑

Écart-type empirique : � �( )2

( )

1

1

1

B k

R

k

R RB

σ∗

=

= −− ∑

Pour un nombre d’itérations suffisamment grand (1 000, 10 000, voire

100 000), l’échantillon suit une loi normale. On peut ainsi déterminer la Value at Risk,

la Tail Value at Risk, ainsi qu’un intervalle de confiance au niveau 1 α− pour la

variable aléatoire R :

� �1 2 1 2;R RR q R qα ασ σ− −

− × + ×




Appliquons la méthode du bootstrap au triangle des règlements cumulés

utilisé précédemment. Commençons par rappeler les données ( ),i jC utilisées, ainsi que

les coefficients de déroulements ɵ jλ calculés à l’aide de la méthode de Chain Ladder.


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288

2004 244 545 406 343 531 162 643 151

2005 266 352 452 480 582 645

2006 283 460 436 477

2007 244 101

j 1 2 3 4 5 6

ɵjλ 1,639 1,313 1,240 1,103 1,020 1,004

66

On commence par calculer le triangle prédit des règlements cumulés ( ),i jD

par récursion arrière :


2001 263 680 432 054 567 199 703 479 776 098 791 725 795 191

2002 294 308 482 240 633 083 785 193 866 246 883 689

2003 263 065 431 047 565 877 701 839 774 288

2004 241 067 395 003 518 558 643 151

2005 270 860 443 820 582 645

2006 266 379 436 477

2007 244 101

(Exemple : ɵ ɵ5,1 5,31 2

1 1582645 270860

1,639 1,313D C

λ λ= × = ×

××≃ )

En décumulant ces deux triangles, on obtient le triangle des règlements non-

cumulés ( ),i jY et le triangle prédit des règlements non-cumulés ( ),i jZ :


2001 213 478 151 906 166 525 162 818 83 171 13 827 3 466

2002 275 937 201 243 153 211 157 261 76 794 19 243

2003 315 587 167 189 108 479 116 876 66 157

2004 244 545 161 798 124 819 111 989

2005 266 352 186 128 130 165

2006 283 460 153 017

2007 244 101


2001 263 680 168 374 135 145 136 280 72 619 15 627 3 466

2002 294 308 187 932 150 843 152 109 81 054 17 443

2003 263 065 167 982 134 830 135 962 72 449

2004 241 067 153 935 123 556 124 593

2005 270 860 172 960 138 825

2006 266 379 170 098

2007 244 101

67

Grâce à ces deux triangles, on calcule le triangle des résidus de Pearson

( ),i jr :


2001 -97,76 -40,13 85,36 71,89 39,16 -14,40 0,00

2002 -33,86 30,70 6,10 13,21 -14,96 13,63

2003 102,40 -1,93 -71,76 -51,76 -23,38

2004 7,08 20,04 3,59 -35,71

2005 -8,66 31,66 -23,24

2006 33,10 -41,42

2007 0,00

(Exemple : 1,1

213478 26368097,76

263680r

−= −≃ )

On observe que les deux résidus situés aux extrémités de la diagonale sont

bien nuls. On effectue maintenant B ré-échantillonnages aléatoires avec remise de

toutes les autres valeurs, y compris à la place des deux résidus nuls. Ces ré-

échantillonnages ont été effectués à l’aide d’une fonction VBA basée sur le générateur

pseudo-aléatoire RND() (présentée dans l’annexe 10). Voici un exemple de triangle des

résidus « bootstrap » ( ),i jr ∗ possible :


2001 -33,86 71,89 102,40 -35,71 -1,93 -40,13 -8,66

2002 6,10 20,04 -71,76 -1,93 -51,76 13,21

2003 -14,40 -51,76 71,89 -51,76 39,16

2004 -33,86 -71,76 -35,71 39,16

2005 30,70 3,59 13,21

2006 3,59 -23,24

2007 33,10

À partir de ce triangle, on calcule le triangle des règlements non-cumulés

« bootstrap » ( ),i jY ∗ :

68


2001 246 291 197 873 172 790 123 098 72 097 10 610 2 956

2002 297 615 196 620 122 971 151 355 66 317 19 187

2003 255 678 146 767 161 227 116 876 82 989

2004 224 441 125 779 111 004 138 415

2005 286 840 174 454 143 747

2006 268 234 160 512

2007 260 452

(Exemple : , , , , 263680 ( 33,86) 263680 246291i j i j i j i jY Z r Z∗ ∗= + × = + − × ≃ )

On détermine alors le triangle des règlements cumulés « bootstrap » ( ),i jC ∗ ,

dont on complète la partie inférieure à l’aide de la méthode de Chain Ladder :


2001 246 291 444 164 616 954 740 052 812 149 822 760 825 716

2002 297 615 494 235 617 207 768 562 834 879 854 066 857 135

2003 255 678 402 445 563 672 680 548 763 537 777 351 780 144

2004 224 441 350 220 461 224 599 639 660 285 672 230 674 645

2005 286 840 461 295 605 041 746 922 822 463 837 343 840 351

2006 268 234 428 746 570 523 704 309 775 541 789 572 792 408

2007 260 452 425 720 566 496 699 339 770 067 783 999 786 816

j 1 2 3 4 5 6

ɵjλ∗ 1,635 1,331 1,234 1,101 1,018 1,004

Ce qui nous donne ces montants de provision « bootstrap » par année de

survenance et total :

69


i


�,i nC∗


, 1i n iC ∗− +

Provision

�iR∗

2001 825 716 825 716 0

2002 854 066 857 135 3 069

2003 763 537 780 144 16 606

2004 599 639 674 645 75 006

2005 605 041 840 351 235 310

2006 428 746 792 408 363 663

2007 260 452 786 816 526 364

Total 4 337 198 5 557 215 1 220 018

On choisit d’effectuer 1 000, puis 10 000, puis 100 000 itérations afin de

comparer les résultats. Voici les distributions empiriques obtenues :

• B = 1 000

Densité empirique de la variable provision (1 000 itérations)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

960000 1060000 1160000 1260000 1360000 1460000

Montant

probabilité

Moyenne empirique Écart-type empirique 1 205 795 76 943

70

• B = 10 000

Densité empirique de la variable provision (10 000 itérations)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

940000 1040000 1140000 1240000 1340000 1440000

Montant

probabilité


• B = 100 000

Densité empirique de la variable provision

(100 000 itérations)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

920 000 1 020 000 1 120 000 1 220 000 1 320 000 1 420 000 1 520 000

Montant

probabilité


71

Visuellement, on conjecture que ces trois distributions suivent une loi

normale, nous vérifions ces hypothèses à l’aide du test d’adéquation à une loi de

Kolmogorov-Smirnov sous le logiciel R :

> x1000 = read.table("B=1000.txt") > ks.test(x1000,"pnorm",mean(x1000),sd(x1000)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x1000 D = 0.0376, p-value = 0.1186 alternative hypothesis: two-sided > x10000 = read.table("B=10000.txt") > ks.test(x10000,"pnorm",mean(x10000),sd(x10000)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x10000 D = 0.0151, p-value = 0.02121 alternative hypothesis: two-sided > x100000 = read.table("B=100000.txt") > ks.test(x100000,"pnorm",mean(x100000),sd(x100000)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x100000 D = 0.0137, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: two-sided

Ces tests fournissent des p-values faibles, ce qui nous amène à confirmer

nos hypothèses. Cependant, on constate que plus le nombre d’itérations est élevé, plus

la p-value est faible et plus la densité empirique se rapproche de la densité théorique. En

général 100 000 itérations fournissent déjà un résultat très satisfaisant, et le temps

d’exécution pour créer un échantillon de cette taille est assez conséquent. Nous

calculons donc l’intervalle de confiance, la VaR et la TVaR à l’aide de cet échantillon,

avec un niveau de confiance de 75%, comme préconisé par le CEIOPS :

72

Intervalle de confiance Moyenne Écart-type Borne

inférieure Borne

supérieure

VaR TVaR

1 201 556 77 865 1 073 480 1 329 632 1 329 632 1 362 165

Comparaison avec le modèle de Mack utilisant une hypothèse de distribution normale


inférieure Borne

supérieure

VaR TVaR

0,14% -35,39% 1,15% -0,66% 3,78% 0,67%

Comparaison avec le modèle de Mack utilisant une hypothèse de distribution log-

normale


inférieure Borne

supérieure

VaR TVaR

0,14% -35,39% 0,90% -0,75% 4,10% 0,33%

Excepté pour la valeur de l’écart-type, le bootstrap fournit donc des résultats

peu différents du modèle de Mack, quelle que soit l’hypothèse faite sur la loi de

distribution de la variable provision. Afin d’être le plus prudent possible, on peut

calculer la marge de risque à l’aide de ces deux méthodes, et retenir la plus élevée.

IV. MÉTHODE DES PROXIES


Afin de mettre en place les normes Solvency II, le CEIOPS étudie les

répercussions de ce nouveau système en mettant en œuvre plusieurs études quantitatives

d’impact (QIS, Quantitative Impact Studies) qui permettent de recueillir des retours

73

qualitatifs et quantitatifs auprès des acteurs du marché, ce qui offre la possibilité de faire

évoluer et d’améliorer les directives.

Dans le QIS4, le CEIOPS propose une alternative aux méthodes

stochastiques pour déterminer la marge de risque : la méthode des proxies, qui peut être

mise en œuvre par les assureurs n’étant pas en mesure de calculer la marge de risque à

l’aide d’une méthode stochastique robuste. Cette méthode consiste à appliquer un

pourcentage, qui dépend de la branche d’assurance, au Best Estimate pour approximer

la marge de risque. Dans les spécifications techniques du QIS4, le CEIOPS propose les

pourcentages suivants :

Branche d’assurance non-vie Pourcentage

Accidents du travail 14%

Assurance santé 6%

Accident & Santé 12%

Automobile - RC 13%

Automobile - autres 4%

Marine Aviation Transport 10%

Incendie et risques divers 6%

Responsabilité civile 14%

Crédit & cautions 9%

Protection juridique 5%

Assistance 6%

Divers 15%

Réassurance non proportionnelle. Dommages aux biens 17%

Réassurance non proportionnelle. RC 21%

Réassurance non proportionnelle MAT 19%

Dans notre cas de la prévoyance arrêt de travail, nous utilisons donc

l’approximation suivante :

marge de risque = 14% × Best Estimate

74


Reprenons le triangle des règlements utilisé précédemment pour le calcul de

la Provision pour Sinistre A Payer. Nous retenons comme valeur du Best Estimate la

provision calculée à l’aide de la méthode de Chain Ladder : 1 199 865 €.

Nous obtenons donc une marge de risque de 14% x 1 199 865 = 167 981 €.

La PSAP à constituer est alors de 1 367 846 €.

Comparons ce résultat avec les VaR à 75% obtenues à l’aide des méthodes

de Mack et du Bootstrap.

Modèle de Mack (loi normale)

Modèle de Mack (loi log-normale)

Méthode du Bootstrap

Marge de risque (VaR à 75% - Best Estimate)

81 287 77 459 129 767

Écart avec la méthode des proxies

-51,61% -53,89% -22,75%

Provision avec marge de risque (VaR à 75%)

1 281 152 1 277 324 1 329 632

Écart avec la méthode des proxies

-6,77% -7,09% -2,88%

Pour cet exemple, la méthode des proxies fournit une marge de risque très

éloignée de celles calculées avec le modèle de Mack et le Boostrap. Cependant, étant

donné que le Best Estimate est le même pour chaque méthode, et qu’il occupe une part

importante dans la provision globale, la provision avec marge de risque calculée à l’aide

de la méthode des proxies est assez proche de celle obtenue à l’aide du Bootstrap. Elle

est, en revanche, un peu plus éloignée de celles fournies par la méthode de Mack, quelle

que soit l’hypothèse de loi utilisée. Dans les deux cas, elle fournit un montant de

provision plus élevé, il est donc plus prudent d’utiliser ce résultat dans ce cas.

75

PARTIE IV :

CAS PARTICULIER DE LA FONCTION

PUBLIQUE

Le système de l’arrêt de travail dans la fonction publique fonctionnant

différemment que dans le privé, la méthode du provisionnement « tête par tête »

présentée dans la deuxième partie ne peut pas s’appliquer telle quelle. Les autres

méthodes, elles, se basent sur les triangles des règlements et ne dépendent pas du

système de fonctionnement, et peuvent donc être utilisée de la même manière.

I. PRÉSENTATION DE L’ARRÊT DE TRAVAIL DANS LA FONCTION PUBLIQUE

Dans le régime de la fonction publique, on distingue trois types d’arrêt de

travail :

• le congé maladie ordinaire (CMO),

• le congé longue maladie (CLM),

• le congé longue durée (CLD).

Ces 3 types d’arrêts sont divisés en deux périodes :

• une période de plein traitement durant laquelle la totalité du salaire

de l’agent est prise en charge par l’employeur,

• une période de demi-traitement durant laquelle le salaire de l’agent

est indemnisé par l’employeur à hauteur de 50%, les 50% restant

étant pris en charge par un organisme d’assurance complémentaire.

76

Notons que seul le salaire (plutôt appelé « traitement » dans la fonction

publique) est indemnisé par l’employeur. C’est pourquoi certains assureurs proposent de

garantir les éventuelles primes dont bénéficient, par exemple, les fonctionnaires du

Ministère de l’Intérieur. En contrepartie, l’assureur peut plafonner son indemnisation

mensuelle du demi-traitement.

Le tableau et le schéma suivant décrivent l’enchaînement de ces trois types

d’arrêt ainsi que les durées de ces 2 périodes :

Type d’arrêt Durée maximale

de l’arrêt Durée maximale du plein traitement

Durée maximale du demi-traitement

CMO 12 mois 3 mois 9 mois

CLM 36 mois 12 mois 24 mois

CLD 60 mois 36 mois 24 mois

Au moment de son arrêt de travail, l’agent est classé en CMO. Pendant trois

mois, il est donc indemnisé à plein traitement par son employeur, puis à demi-traitement

par son employeur et l’assureur pendant 9 mois. Entre le 6e et le 12e mois d’arrêt, une

commission médicale se prononce sur la nature de la maladie de l’assuré et, selon sa

pathologie et son état de santé, et décide, soit de le laisser en CMO, soit de le passer en

CLM, voire en CLD directement.

77

Ce passage est à effet rétroactif, c’est-à-dire que le CLM ou le CLD ont

pour date de début la date initiale de l’arrêt. Comme on le constate sur le schéma ci-

dessus, la période de demi-traitement du CMO est incluse dans la période de plein

traitement du CLM et du CLD. Donc, si au bout de 12 mois de CMO, l’agent est classé

en CLM ou CLD, l’assureur a indemnisé la moitié du traitement pendant 9 mois alors

que l’employeur aurait dû le prendre en charge en totalité. L’employeur doit donc

rembourser à l’assureur ces 9 mois de demi-traitement.

De même, le passage en CLD avant la fin des 36 mois de CLM est à effet

rétroactif, et l’assureur se voit rembourser les montants déboursés au titre de la période

de demi-traitement du CLM.

A la fin du CLD, ainsi qu’à la fin du CMO et du CLM si l’agent est toujours

en arrêt et que la commission médicale décide de ne pas le classer dans un congé de

gravité supérieure, il peut bénéficier du régime de congé pour disponibilité pendant

lequel il perçoit des prestations en espèces de la Sécurité Sociale. Cette « disponibilité

d’office » est d’une durée maximum de 3 ans.

II. PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE »

A. Méthodes utilisées

Pour les salaries du privé, les assureurs calculent en général les provisions

mathématiques à l’aide des tables réglementaires du BCAC. Cependant, ces tables sont

spécifiques aux salariés et ne peuvent pas être utilisées telles quelles pour les

fonctionnaires, dont la sinistralité est différente. Par exemple, les arrêts de travail des

fonctionnaires du Ministère de l’Intérieur ou du Ministère de la défense sont plus

risqués et plus graves que ceux des salariés. De plus, du fait d’un mécanisme de l’arrêt

de travail différent de celui définit par la Sécurité Sociale, la méthode de

provisionnement « tête par tête » vue précédemment ne peut pas être utilisée de la

même manière.

78

Toutefois, certains cabinets conseils, chargés d’évaluer les provisions

mathématiques par des assureurs complémentaires, tentent de se ramener au cas

classique en effectuant quelques modifications. Tout d’abord, ils classent les assurés en

arrêt de travail en incapacité ou en invalidité selon le type d’arrêt ou bien selon la durée

entre la date d’arrêt et la date d’inventaire :

- incapacité : assurés en CMO ou en CLM ; invalidité : assurés en CLD,

ou bien

- incapacité : assurés en arrêt depuis moins de 36 mois ; invalidité : assurés

en arrêt depuis plus de 36 mois.

Ensuite, ils modifient les tables de maintien en incapacité et en invalidité afin de tenir

compte des différences de sinistralité. Par exemple, pour une population de

fonctionnaires du Ministère de l’Intérieur, si on considère que la sinistralité est

supérieure de 30% à celle d’une population de salariés, on peut créer une nouvelle table

de maintien en incapacité ( )* ;INCl x a à partir de la table du BCAC ( );INCl x a :

( ) ( ) ( ) ( )* * ; 1 ;; ; 1

130%INC INC

INC INC

l x a l x al x a l x a

− −= − −

Ils utilisent ensuite cette loi et la formule classique pour calculer la provision de

maintien en incapacité. En ce qui concerne l’invalidité, on peut considérer que, pour

cette même population, les arrêts sont d’une telle gravité que la probabilité pour que les

assurés guérissent est très faible, et que leur seule possibilité de sortie de l’état

d’incapable est de décéder. Ils utilisent alors une table de mortalité à la place d’une loi

de maintien en invalidité.

B. Méthode proposée

Ces méthodes actuellement utilisées ne permettent pas d’évaluer au plus

juste les provisions mathématiques, nous proposons donc ici une autre méthode. Elle

nécessite toutefois un volume de données historiques assez conséquent afin que

l’assureur puisse établir ses propres tables, qui devront être validées par un actuaire

indépendant. Les tables nécessaires sont les suivantes :

- une loi de maintien en CMO

- une loi de mortalité en CMO

- une loi de passage de CMO en CLM

79

- une loi de passage de CMO en CLD

- une loi de maintien en CLM

- une loi de mortalité en CLM

- une loi de passage de CLM en CLD

- une loi de maintien en CLD

- une loi de mortalité en CLD

Considérons la garantie suivante :

Durée de l’arrêt

CMO CLM CLD

0 à 3 mois

- 100% des primes

- maintien de la garantie décès

3 à 12 mois

-50% du salaire brut

- 100% des primes


- 100% des primes


12 à 36 mois


- 100% des primes


- 100% des primes


36 à 60 mois


- 100% des primes


Pour cette garantie, le montant de provision au titre de chaque assuré en

arrêt de travail est calculé ainsi :

80

Assurés en CLD

( )

60 6012 12

max 37; 1 1

59

( ; ) ( ; )( ; ) (1 ) (1 )

2 ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; 1)

( ; ) ( ; )

j a j a

CLD CLDCLD

j a j aCLD CLD

DC DCCLD CLD CLD

DCj a CLD CLD

l x j l x jTPM x a i P i

l x a l x a

l x j l x j l x jC

l x a l x a

− − − −

= + = +

=

= × × + + × × +

− ++ × ×

∑ ∑

∑1

12(1 )j a

i− + −

× +

où :

x = âge (en années) d’entrée en CLD (donc d’entrée en arrêt de travail en

raison de l’effet rétroactif)

a = ancienneté en CLD, durée en années entre la date d’entrée en CLD et la

date de calcul (comprise entre 0 et 59 mois)


T = montant du traitement brut avant l’arrêt

P = montant des primes avant l’arrêt

C = montant du capital décès garanti

( );CLDl x j = effectif des personnes entrées en CLD à l’âge x et toujours en

CLD au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de maintien en CLD

( );DCCLDl x j = effectif des personnes entrées en CLD à l’âge x et toujours en

vie au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de mortalité en CLD

Assurés en CLM

( )

36 3612 12

max 13; 1 1

13512

( ; ) ( ; )( ; ) (1 ) (1 )

2 ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; 1)(1 )

( ; ) ( ; )

j a j a

CLM CLMCLM

j a j aCLM CLM

j aDC DCCLM CLM CLM

DCj a CLM CLM

CLM


l x a l x a

l x j l x j l x jC i

l x a l x a

s

− − − −

= + = +

− + −

=

= × × + + × × +

− ++ × × × +

+

∑ ∑

∑

( )( )

( ) ( )( )( )35

12;

1 ;0 max min ;13 ; 1; 12 2

j aCLD

CLDj a CLM

x j j Ti PM x j j a

l x a

− −−

=

× + × + − × − +

∑

81

où :

x = âge (en années) d’entrée en CLM (donc d’entrée en arrêt de travail en

raison de l’effet rétroactif)

a = ancienneté en CLM, durée en années entre la date d’entrée en CLM et la

date de calcul (comprise entre 0 et 35 mois)





( );CLMl x j = effectif des personnes entrées en CLM à l’âge x et toujours en

CLM au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de maintien en CLM

( );DCCLMl x j = effectif des personnes entrées en CLM à l’âge x et toujours en

vie au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de mortalité en CLM

( );CLM CLDs x j− = effectif des personnes entrées en CLM à l’âge x et qui

passent en CLD au cours du je mois, déterminé grâce à la loi de passage de CLM en

CLD

;012CLD

jPM x

+




;0 int ;012 12CLD CLD

j jPM x PM x

+ = + +

int int 1 ;0 int ;012 12 12 12CLD CLD


+ − + × + + − +

82

Assurés en CMO

( )

12 1212 12

max 4; 1 1

11112

( ; ) ( ; )( ; ) (1 ) (1 )

2 ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; 1)(1 )

( ; ) ( ; )

j a j a

CMO CMOCMO

j a j aCMO CMO

j aDC DCCMO CMO CMO

DCj a CMO CMO

CMO


l x a l x a

l x j l x j l x jC i

l x a l x a

s

− − − −

= + = +

− + −

=

−

= × × + + × × +

− ++ × × × +

+

∑ ∑

∑

( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

11

12

12

12

1

;1 ;0 max min ;4 ; 1

; 12 2

;1 ;0 max min ;4 ; 1

; 12 2

j aCLM

CLMj a CMO

j aCMO CLD

CLDj a CMO

x j j Ti PM x j j a

l x a

s x j j Ti PM x j j a

l x a

− −

=

− −−

= +

× + × + − × − +

+ × + × + − × − +

∑

∑

où :

x = âge (en années) d’entrée en CMO

a = ancienneté en CMO, durée en années entre la date d’entrée en CMO et

la date de calcul (comprise entre 0 et 11 mois)





( );CMOl x j = effectif des personnes entrées en CMO à l’âge x et toujours en

CMO au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de maintien en CMO

( );DCCMOl x j = effectif des personnes entrées en CMO à l’âge x et toujours en

vie au terme de j mois, déterminé grâce à la loi de mortalité en CMO

( );CMO CLMs x j− = effectif des personnes entrées en CMO à l’âge x et qui

passent en CLM au cours du je mois, déterminé grâce à la loi de passage de CMO en

CLM

( );CMO CLDs x j− = effectif des personnes entrées en CMO à l’âge x et qui

passent en CLD au cours du je mois, déterminé grâce à la loi de passage de CMO en

CLD

83

;012CLM

jPM x

+




;0 int ;012 12CLM CLM

j jPM x PM x

+ = + +

int int 1 ;0 int ;012 12 12 12CLM CLM


+ − + × + + − +

;012CLD

jPM x

+




;0 int ;012 12CLD CLD

j jPM x PM x

+ = + +

int int 1 ;0 int ;012 12 12 12CLD CLD


+ − + × + + − +

84

CONCLUSION

Nous avons vu dans ce mémoire que les méthodes de calcul des provisions

techniques sont variées, mais elles ne répondent pas toutes au même objectif, et, bien

que ce soit globalement le cas pour nos données, elles ne fournissent pas forcément des

résultats équivalents.

Parmi les méthodes déterministes qui permettent de calculer le « Best

Estimate », le CEIOPS recommande l’application de la méthode de Chain Ladder, mais

il ne s’agit pas pour autant de la méthode la plus adaptée dans tous les cas. Les

hypothèses sous-jacentes ne sont pas vérifiées par tous les triangles de règlements, et il

faut alors s’orienter vers une autre méthode, comme celle de London Chain dont les

hypothèses sont moins contraignantes, ou celle des moindres carrés de De Vylder qui ne

se base sur aucune hypothèse particulière.

En ce qui concerne le provisionnement « tête par tête », il s’agit d’une

méthode précise à condition de posséder population d’assurés suffisamment grande,

mais plus coûteuse en temps car elle nécessite de nombreux traitements de la base de

données. Dans le cas des agents de la fonction publique, cette méthode nécessite , en

outre, soit une adaptation approximative au cas général, soit la création de tables

spécifiques, ce qui requiert, de plus, de posséder des historiques de sinistres

conséquents, et de faire appel à leur validation par un actuaire indépendant.

Toutefois, aucune de ces méthodes ne permet d’évaluer la volatilité des

provisions, qui sert à calculer la marge de risque, c’est pourquoi on fait alors appel aux

méthodes stochastiques. Le modèle de Mack est la plus simple à mettre en œuvre, mais,

de même que pour la méthode de Chain Ladder, les hypothèses sous-jacentes peuvent

85

ne pas être vérifiées. De plus, le choix de la distribution servant à modéliser la variable

provision peut constituer un autre problème dans certains cas. La méthode du Boostrap,

quant à elle, ne souffre pas de ces contraintes, mais est beaucoup plus complexe et plus

longue à mettre en œuvre.

Il faut cependant veiller à ne pas utiliser les méthodes stochastiques les yeux

fermés, et préférer mettre en œuvre des méthodes plus simples et moins coûteuses en

temps quand cela est possible. C’est le cas de la méthode des proxies, qui permet de

déterminer la marge de risque de manière très rapide, à partir de la valeur retenue pour

le Best Estimate.

86

BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages et publications

• CHARPENTIER Arthur & DENUIT Michel, Mathématiques de l’Assurance Non-

Vie - Tarification et provisionnement, Economica, 2005

• MACK Thomas, Distribution-free calculation of the standard error of Chain

Ladder reserve estimates, ASTIN bulletin vol. 23, 1993

• INSTITUTIONS FINANCIÈRES DE LA COMMISSION EUROPÉENNE, Spécifications

techniques du QIS4 (MARKT/25/05/08), 2008

Supports de cours

• JANSSEN Jacques, Processus stochastiques en assurance non-vie, 2009

• PICARD Clément, Mathématiques des assurances IARD, 2009

• MOEGLIN Alain, Mathématiques des Assurances Vie, 2007

• FIESCHI Gérard, Les Opérations de Prévoyance en France, 2008

Mémoires d’actuariat

• SAUVET Clélia, Quelle modélisation stochastique des provisions techniques

prévoyance et non-vie ?, ISFA, 2006

• MONTANT Eni Walley, Évaluation des IBNR en assurance non-vie : étude d’une

méthode alternative, EURIA, 2008

• DUPLOUY Sébastien, Étude et modélisation de la sinistralité d’un portefeuille de

prévoyance individuelle, EURIA, 2008

Sites internet

• www.securite-sociale.fr

• www.ceiops.org

87

ANNEXES

88

TABLE DES ANNEXES

ANNEXE 1 : VÉRIFICATION DE L’HYPOTHÈSE DE CADENCE RÉGULIÈRE

DES RÈGLEMENT.......................................................................................... 89

ANNEXE 2 : MÉTHODE DE LONDON CHAIN : SOLUTION DE L’ÉQUATION

DES MOINDRES CARRÉS ............................................................................... 92

ANNEXE 3 : MÉTHODE DE DE VYLDER : SOLUTION DE L’ÉQUATION DES

MOINDRES CARRÉS ...................................................................................... 94

ANNEXE 4 : PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE » : CODE VBA........... 96

ANNEXE 5 : MÉTHODE DE CHAIN LADDER : CODE VBA........................ 100

ANNEXE 6 : MÉTHODE DE LONDON CHAIN : CODE VBA....................... 103

ANNEXE 7 : MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS DE DE VYLDER : CODE

VBA........................................................................................................... 106

ANNEXE 8 : VALUE AT RISK ET TAIL VALUE AT RISK : CODE VBA...... 110

ANNEXE 9 : MODÈLE DE MACK : CODE VBA......................................... 112

ANNEXE 10 : MÉTHODE DU BOOTSTRAP : CODE VBA ........................... 117

89

ANNEXE 1 :

VÉRIFICATION DE L’HYPOTHÈSE DE

CADENCE RÉGULIÈRE DES RÈGLEMENT

Commençons par rappeler le triangle des montants cumulés ( ){ }{ }

, 1,...,71,...,8

i j ij i

C∈∈ −

utilisé dans les applications numériques des différentes méthodes :


2001 213 478 365 384 531 909 694 727 777 898 791 725 795 191

2002 275 937 477 180 630 391 787 652 864 446 883 689

2003 315 587 482 776 591 255 708 131 774 288

2004 244 545 406 343 531 162 643 151

2005 266 352 452 480 582 645

2006 283 460 436 477

2007 244 101

La méthode de Chain Ladder et le modèle de Mack reposent notamment sur

l’hypothèse que la cadence des règlements est régulière. Vérifions donc que, pour

chaque année de développement j, les points de coordonnées ( ), , 1,i j i jC C + sont

sensiblement alignés sur une droite de régression contrainte passant par l’origine.

Afin de vérifier l’hypothèse de la méthode de London Chain, nous

ajouterons sur les différents graphiques la droite de régression n’ayant plus la contrainte

de passer par l’origine. Nous pourrons également constater qu’elle passe plus près des

points que la droite de régression contrainte.

90

Il n’est pas nécessaire de tracer les droites de régression pour la dernière

année de développement j=6 car on n’a que le point ( )1,6 1,7,C C à placer, et la droite de

régression contrainte passe par ce point et par l’origine.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

0 100000 200000 300000 400000

Points ,1 ,2( , )i iC C Droite de régression contrainte Droite de régression non-contrainte

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000


91

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000


0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000


-100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000


92

ANNEXE 2 :

MÉTHODE DE LONDON CHAIN : SOLUTION

DE L’ÉQUATION DES MOINDRES CARRÉS

L’équation des moindres carrés à résoudre pour estimer les coefficients jλ

et jα pour { }1,..., 1j n∈ − est : ɵ �( ) ( )2, 1 ,1

, argminn j

j j i j j i j ji

C Cλ α λ α−

+=

= − × −

∑ .

Premier cas : { }1,..., 2j n∈ −

La somme atteint sa valeur minimum lorsque les dérivées partielles par

rapport à jλ et jα pour { }1,..., 1j n∈ − sont nulles :

( )

( )

2

, 1 ,1

2

, 1 ,1

0

0

n j

i j j i j jij

n j

i j j i j jij

C C

C C

λ αλ

λ αα

−

+=

−

+=

∂− × − = ∂

∂ − × − = ∂

∑

∑, pour { }1,..., 1j n∈ −

ɵ �( )ɵ �( )

, , 1 ,1

, 1 ,1

2 0

2 0

n j

j ji j i j i ji

n j

j ji j i ji

C C C

C C

λ α

λ α

−

+=

−

+=

− × × − × − =

− × − × − =

∑

∑, pour { }1,..., 1j n∈ −

( ) ɵ ( ) �

� ɵ

2, , 1 , ,

1 1 1

, 1 ,1 1 1

0n j n j n j

j ji j i j i j i ji i i

n j n j n j

j ji j i ji i i

C C C C

C C

λ α

α λ

− − −

+= = =

− − −

+= = =

× − × − × =

= − ×

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑, pour { }1,..., 1j n∈ −

Dans la seconde équation, � jα est indépendant de i , donc � �

1

( )n j

j j

i

n jα α−

=

= − ×∑ .

93

Posons ( )

,1

1 n jj

j i ji

C Cn j

−

=

=− ∑ et

( )1 , 1

1

1 n jj

j i ji

C Cn j

−

+ +=

=− ∑ . Nous avons alors :

� ɵ( ) ( )

1j j

j j j jC Cα λ+= − × , pour { }1,..., 1j n∈ −

Nous remplaçons donc � jα par son expression dans la première équation :

( ) ɵ ( ) ɵ( )( ) ( ) ( )21, , 1 ,

1 1

( ) 0n j n j

j j jj j j j ji j i j i j

i i

C C C C C n j Cλ λ− −

++= =

× − × − − × × − × =∑ ∑

ɵ ( ) ɵ ( ) ( )2( ) ( ) ( )2

1, , , 11 1

( ) ( )n j n j

j j jj j j j ji j i j i j

i i

C n j C C C n j C Cλ λ− −

++= =

× − × − × = × − − × ×∑ ∑

ɵ

( )

( ) ( )

( ) ( )1, , 1

1

2( )2,

1

1

1

n jj j

j ji j i ji

j n jj

ji ji

C C C Cn j

C Cn j

λ

−

++=

−

=

× × − ×−

=× −

−

∑

∑, pour { }1,..., 1j n∈ −

Second cas : 1j n= −

L’équation à résoudre est alors la suivante :

ɵ �( ) ( ){ }21 1 1, 1 1, 1 1, argminn n n n n nC Cλ α λ α− − − − −= − × −

Le minimum est atteint lorsque les dérivées partielles par rapport à 1nλ − et

1nα − sont nulles :

( )( )( )( )

2

1, 1 1, 1 11

2

1, 1 1, 1 11

0

0

n n n nn

n n n nn

C C

C C

λ αλ

λ αα

− − −−

− − −−

∂ − × − =∂

∂ − × − =∂

ɵ �( )ɵ �( )

1 1, 1 1, 1, 1

1 11, 1, 1

2 0

2 0

n ni n n n

n nn n

C C C

C C

λ α

λ α

− −− −

− −−

− × × − × − =− × − × − =

Or , 1 0i nC − ≠ , donc nous avons deux fois la même équation :

ɵ �1 11, 1, 1 0n nn nC Cλ α− −−− × − =

Nous avons une équation et deux inconnues, donc une infinité de solutions. Nous

retenons la plus simple :

ɵ 1,1

1, 1

nn

n

C

Cλ −

−

= et � 1 0nα − =

94

ANNEXE 3 :

MÉTHODE DE DE VYLDER : SOLUTION

DE L’ÉQUATION DES MOINDRES CARRÉS

L’équation des moindres carrés à résoudre pour estimer les coefficients jr et

ip pour { }1,...,i n∈ et { }1,...,j n∈ est la suivante :

�( ) ( )1 2

,1 1

, argminn n i

j i j j iii j

r p Y r p− +

= =

= − ×

∑∑ɵ

La double somme atteint sa valeur minimum lorsque les dérivées partielles

par rapport à jr et ip sont nulles pour { }1,...,i n∈ et { }1,...,j n∈ . Afin d’éviter des

problèmes de notations, nous dériverons par rapport à kr et hp pour { }1,...,k n∈ et

{ }1,...,h n∈ , et nous reviendrons aux notations habituelles à la fin du calcul. Pour

dériver par rapport à kr , nous modifions l’expression de la double somme ainsi :

( )1

2

,1 1

n jn

i j j ij i

Y r p− +

= =

− ×∑ ∑ . Au lieu d’être parcouru par ligne puis par colonne, le triangle

des montants non-cumulés ,i jY est parcouru par colonne puis par ligne.

( )

( )

12

,1 1

1 2

,1 1

0

0

n jn

i j j ij ik

n n i

i j j ii jh

Y r pr

Y r pp

− +

= =

− +

= =

∂− × =

∂

∂ − × = ∂

∑ ∑

∑∑ , pour { }1,...,k n∈ et { }1,...,h n∈

95

� �( )�( )

1

,1

1

,1

2 0

2 0

n j

ki ji ii

n i

j ji j hj

p Y r p

r Y r p

− +

=

− +

=

− × × − × =

− × × − × =

∑

∑

ɵ

ɵ ɵ

, pour { }1,...,k n∈ et { }1,...,h n∈

�( ) �( )

( ) � ( )

1 1 2

,1 1

1 1 2

,1 1

0

0

n j n j

ki ji ii i

n i n i

j ji j hj j

p Y r p

r Y p r

− + − +

= =

− + − +

= =

× − × =

× − × =

∑ ∑

∑ ∑

ɵ

ɵ ɵ

, pour { }1,...,k n∈ et { }1,...,h n∈

�( )�( )

�

( )

( )

1

,1

1 2

1

1

,1

1 2

1

n j

i jii

k n j

ii

n i

j i jj

h n i

j

j

p Yr

p

r Y

pr

− +

=− +

=

− +

=− +

=

×

= ×

=

∑

∑

∑

∑

ɵ

ɵ

ɵ

, pour { }1,...,k n∈ et { }1,...,h n∈

�( )�( )

�

( )

( )

1

,1

1 2

1

1

,1

1 2

1

n j

i jii

j n j

ii

n i

j i jj

i n i

j

j

p Yr

p

r Y

pr

− +

=− +

=

− +

=− +

=

×

= ×

=

∑

∑

∑

∑

ɵ

ɵ

ɵ

, pour { }1,...,j n∈ et { }1,...,i n∈

96

ANNEXE 4 :

PROVISIONNEMENT « TÊTE PAR TÊTE » :

CODE VBA

Les tables à sélectionner doivent se présenter sous la forme d’un tableau à

double entrée, les âges se trouvant dans la première colonne et les mois ou années

d’ancienneté dans la première ligne.

Fonction de recherche dans un tableau à double entrée :

Public Function RECH_VH(Plage As Range, critereV As Variant, critereH As Variant) As Variant Dim col As Range Dim lign As Range Set col = Plage.Columns(1) Set lign = Plage.Rows(1) RECH_VH = Evaluate("SumProduct((" & Plage.Worksheet.Name & "!" & col.Address & "=" & critereV & ") * (" & Plage.Worksheet.Name & "!" & lign.Address & "=" & critereH & ") * (" & Plage.Worksheet.Name & "!" & Plage.Address & "))") End Function

97

Loi de maintien en invalidité :

Public Function LxInval(TableInval As Range, X As Integer, A As Integer) As Double LxInval = RECH_VH(TableInval, X, A) End Function

Loi de maintien en incapacité :

Public Function LxIncap(TableIncap As Range, X As Integer, A As Integer) As Double LxIncap = RECH_VH(TableIncap, X, A) End Function

Loi de passage d’incapacité en invalidité :

Public Function s_Passage(TablePassage As Range, X As Integer, A As Integer) As Double s_Passage = RECH_VH(TablePassage, X, A) End Function

Loi de mortalité en invalidité :

Public Function LxInvalDC(TableMortInval As Range, X As Integer, A As Integer) As Double LxInvalDC = RECH_VH(TableMortInval, X, A) End Function

Loi de mortalité en incapacité :

Public Function LxIncapDC(TableMortIncap As Range, X As Integer, A As Integer) As Double LxIncapDC = RECH_VH(TableMortIncap, X, A) End Function

98

Provision de maintien en invalidité :

Public Function PMinv(TableInval As Range, X As Integer, A As Integer, i As Double) As Double Dim S As Double Dim j As Integer S = 0 For j = A+1 To 60 - X S = S + ((1 + i) ^ (-(j - A))) * LxInval(TableInval, X, j) / LxInval(TableInval, X, A) Next j PMinv = S End Function

Provision de maintien en incapacité :

Public Function PMinc(TableIncap As Range, X As Integer, A As Integer, i As Double) As Double Dim S As Double Dim j As Integer S = 0 For j = A+1 To 36 S = S + ((1 + i) ^ (-(j - A) / 12)) * LxIncap(TableIncap, X, j) / LxIncap(TableIncap, X, A) Next j PMinc = S End Function

Provision de passage d’incapacité en invalidité :

Public Function PMpass(TableIncap As Range, TableInval As Range, TablePassage As Range, X As Integer, A As Integer, i As Double) As Double Dim P As Double Dim S As Double Dim j As Integer S = 0 For j = A To 35 P = PMinv(TableInval, Int(X + j / 12), 0, i) + ((X + j / 12) - Int(X + j / 12)) * (PMinv(TableInval, Int(X + 1 + j / 12), 0, i) - PMinv(TableInval, Int(X + j / 12), 0, i)) S = S + ((1 + i) ^ (-(j + 1 - A) / 12)) * (s_Passage(TablePassage, X, A) / LxIncap(TableIncap, X, A)) * P Next j PMpass = S End Function

99

Provision en cas de décès d’un assuré en invalidité :

Public Function PMinvDC(TableInval As Range, TableMortInval As Range, X As Integer, A As Integer, i As Double) As Double Dim S As Double Dim j As Integer S = 0 For j = A To 59 - X S = S + ((1 + i) ^ (-(j - A + 1 / 2))) * (LxInval(TableInval, X, j) / LxInval(TableInval, X, A)) * (LxInvalDC(TableMortInval, X, j) - LxInvalDC(TableMortInval, X, j + 1)) / LxInvalDC(TableMortInval, X, A) Next j PMinvDC = S End Function

Provision en cas de décès d’un assuré en invalidité :

Public Function PMincDC(TableIncap As Range, TableInval As Range, TablePassage As Range, TableMortIncap As Range, TableMortInval As Range, X As Integer, A As Integer, i As Double) As Double Dim P As Double Dim S1 As Double Dim S2 As Double Dim j As Integer S1 = 0 S2 = 0 For j = A To 35 P = PMinvDC(TableInval, TableMortInval, Int(X + j / 12), 0, i) + ((X + j / 12) - Int(X + j / 12)) * (PMinvDC(TableInval, TableMortInval, Int(X + 1 + j / 12), 0, i) - PMinvDC(TableInval, TableMortInval, Int(X + j / 12), 0, i)) S1 = S1 + ((1 + i) ^ (-(j - A) / 12)) * (LxIncap(TableIncap, X, j) / LxIncap(TableIncap, X, A)) * (LxIncapDC(TableMortIncap, X, j) - LxIncapDC(TableMortIncap, X, j + 1)) / LxIncapDC(TableMortIncap, X, A) S2 = S2 + ((1 + i) ^ (-(j - A) / 12)) * (s_Passage(TablePassage, X, A) / LxIncap(TableIncap, X, A)) * P Next j PMincDC = S1 + S2 End Function

100

ANNEXE 5 :

MÉTHODE DE CHAIN LADDER : CODE VBA

• Méthode standard

Public Sub ChainLadder() Dim n As Integer Dim i As Integer Dim j As Integer Dim lambda() As Double Dim somme1() As Double Dim somme2() As Double Dim C() As Double Dim Ri() As Double Dim R As Double Dim TriangleCumule As Range Dim debut_triangle As Range Set TriangleCumule = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des montants cumulés", Type:=8) R = 0 n = TriangleCumule.Rows.Count If TriangleCumule.Columns.Count <> n Then MsgBox ("Erreur de Dimension") Exit Sub End If ReDim lambda(n - 1) ReDim somme1(n - 1) ReDim somme2(n - 1) ReDim C(n, n) ReDim Ri(n) ' Calcul des coeffients de développement For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 0 somme2(j) = 0

For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TriangleCumule.Cells(i, j)

somme2(j) = somme2(j) + TriangleCumule.Cells(i, j + 1) Next i lambda(j) = somme2(j) / somme1(j)

Next j

101

' Triangle des règlements cumulés complété For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 C(i, j) = TriangleCumule.Cells(i, j) Next j Next i For i = 2 To n For j = n - i + 2 To n C(i, j) = C(i, j - 1) * lambda(j - 1) Next j Next i ' Calcul de la provision For i = 1 To n Ri(i) = C(i, n) - C(i, n - i + 1) R = R + Ri(i) Next i ' Affichage des résultats dans excel Set debut_triangle = TriangleCumule.Cells(1, 1) debut_triangle.Offset(n + 1, 0).Value = "coefficients de développement" debut_triangle.Offset(n + 4, 0).Value = "triangle des règlements cumulés complété" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 1).Value = "provision par année" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 1).Value = "provision totale" For j = 1 To n - 1 debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).Value = lambda(j) debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" Next j For i = 1 To n For j = 1 To n debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).Value = C(i, j) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).Value = Ri(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next i debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).Value = R debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" End Sub

102

• Variantes pour le calcul des coefficients de développement

o Moyenne arithmétique

Remplacer la partie en gras par :

For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TriangleCumule.Cells(i, j + 1) / TriangleCumule.Cells(i, j) Next i lambda(j) = somme1(j) / (n - j) Next j

o Moyenne géométrique

Remplacer la partie en gras par :

For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 1 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) * TriangleCumule.Cells(i, j + 1) / TriangleCumule.Cells(i, j) Next i lambda(j) = somme1(j) ^ (1 / (n - j)) Next j

o Pondération

Ajouter « Dim TrianglePoids As Range » au début et remplacer la partie en gras par :

Set TrianglePoids = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des poids", Type:=8) If TrianglePoids.Columns.Count <> n - 1 Or TrianglePoids.Rows.Count <> n - 1 Then MsgBox ("Erreur de Dimension") Exit Sub End If For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 0 somme2(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TrianglePoids.Cells(i, j) somme2(j) = somme2(j) + TrianglePoids.Cells(i, j) * TriangleCumule.Cells(i, j + 1) / TriangleCumule.Cells(i, j) Next i lambda(j) = somme2(j) / somme1(j) Next j

103

ANNEXE 6 :

MÉTHODE DE LONDON CHAIN :

CODE VBA

Public Sub LondonChain() Dim n As Integer Dim i As Integer Dim j As Integer Dim lambda() As Double Dim alpha() As Double Dim somme1() As Double Dim somme2() As Double Dim somme3() As Double Dim somme4() As Double Dim C() As Double Dim Ri() As Double Dim R As Double Dim TriangleCumule As Range Dim debut_triangle As Range Set TriangleCumule = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des montants cumulés", Type:=8) R = 0 n = TriangleCumule.Rows.Count If TriangleCumule.Columns.Count <> n Then MsgBox ("Erreur de Dimension") Exit Sub End If ReDim lambda(n - 1) ReDim alpha(n - 1) ReDim somme1(n - 1) ReDim somme2(n - 1) ReDim somme3(n - 1) ReDim somme4(n - 1) ReDim C(n, n) ReDim Ri(n) ' calcul des coeffcients lambda et alpha

104

For j = 1 To n - 2 somme1(j) = 0 somme2(j) = 0 somme3(j) = 0 somme4(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TriangleCumule.Cells(i, j) somme2(j) = somme2(j) + TriangleCumule.Cells(i, j + 1) somme3(j) = somme3(j) + TriangleCumule.Cells(i, j) * TriangleCumule(i, j + 1) somme4(j) = somme4(j) + (TriangleCumule.Cells(i, j)) ^ 2 Next i lambda(j) = ((somme3(j) / (n - j)) - (somme1(j) / (n - j)) * (somme2(j) / (n - j))) / ((somme4(j) / (n - j)) - (somme1(j) / (n - j)) * (somme1(j) / (n - j))) alpha(j) = somme2(j) / (n - j) - lambda(j) * somme1(j) / (n - j) Next j lambda(n - 1) = TriangleCumule.Cells(1, n) / TriangleCumule.Cells(1, n - 1) alpha(n - 1) = 0 ' triangle des règlements cumulés complété For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 C(i, j) = TriangleCumule.Cells(i, j) Next j Next i For i = 2 To n For j = n - i + 2 To n C(i, j) = C(i, j - 1) * lambda(j - 1) + alpha(j - 1) Next j Next i ' calcul de la provision For i = 1 To n Ri(i) = C(i, n) - C(i, n - i + 1) R = R + Ri(i) Next i ' Affichage des résultats dans excel Set debut_triangle = TriangleCumule.Cells(1, 1) debut_triangle.Offset(n + 1, -1).Value = "lambda" debut_triangle.Offset(n + 2, -1).Value = "alpha" debut_triangle.Offset(n + 4, 0).Value = "triangle des règlements cumulés complété" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 1).Value = "provision par année" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 1).Value = "provision totale" For j = 1 To n - 1 debut_triangle.Offset(n + 1, j - 1).Value = lambda(j) debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).Value = alpha(j) debut_triangle.Offset(n + 1, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)"

105

Next j For i = 1 To n For j = 1 To n debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).Value = C(i, j) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).Value = Ri(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next i debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).Value = R debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" End Sub

106

ANNEXE 7 :

MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS DE

DE VYLDER : CODE VBA

Public Sub DeVylder() Dim n As Integer Dim q As Integer Dim i As Integer Dim j As Integer Dim SommeProduits1() As Double Dim SommeCarres1() As Double Dim SommeProduits2() As Double Dim SommeCarres2() As Double Dim p() As Double Dim r() As Double Dim S(10000) As Double Dim Y() As Double Dim provision As Double Dim Triangle As Range Dim debut_triangle As Range Dim type_ecart As String Dim ecart_R As Double Dim ecart_A As Double Set Triangle = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des règlements non cumulés", Type:=8) n = Triangle.Rows.Count If Triangle.Columns.Count <> n Then MsgBox ("Erreur de dimension") Exit Sub End If q = 0 S(0) = 1 provision = 0 ReDim SommeProduits1(n) ReDim SommeCarres1(n) ReDim SommeProduits2(n)

107

ReDim SommeCarres2(n) ReDim p(n) ReDim r(n) ReDim Y(n, n) For j = 1 To n r(j) = 1 / n Next j type_ecart = Application.InputBox("Quel type d'écart entre deux doubles sommes consécutives ? Absolu (A) ou relatif (R) ?") If type_ecart = "R" Then ecart_R = Application.InputBox("Valeur de l'écart relatif entre deux doubles sommes consécutives en dessous duquel on arrête l'itération") Do q = q + 1 S(q) = 0 For i = 1 To n SommeProduits1(i) = 0 SommeCarres1(i) = 0 For j = 1 To n + 1 - i SommeProduits1(i) = SommeProduits1(i) + Triangle.Cells(i, j) * r(j) SommeCarres1(i) = SommeCarres1(i) + r(j) * r(j) Next j p(i) = SommeProduits1(i) / SommeCarres1(i) Next i For j = 1 To n SommeProduits2(j) = 0 SommeCarres2(j) = 0 For i = 1 To n + 1 - j SommeProduits2(j) = SommeProduits2(j) + Triangle.Cells(i, j) * p(i) SommeCarres2(j) = SommeCarres2(j) + p(i) * p(i) Next i r(j) = SommeProduits2(j) / SommeCarres2(j) Next j For i = 1 To n For j = 1 To n + 1 - i S(q) = S(q) + (Triangle(i, j) - p(i) * r(j)) * (Triangle(i, j) - p(i) * r(j)) Next j Next i Loop While Abs((S(q) - S(q - 1)) / S(q - 1)) > ecart_R ElseIf type_ecart = "A" Then ecart_A = Application.InputBox("Valeur de l'écart absolu entre deux doubles sommes consécutives en dessous duquel on arrête l'itération") Do q = q + 1 S(q) = 0

108

For i = 1 To n SommeProduits1(i) = 0 SommeCarres1(i) = 0 For j = 1 To n + 1 - i SommeProduits1(i) = SommeProduits1(i) + Triangle.Cells(i, j) * r(j) SommeCarres1(i) = SommeCarres1(i) + r(j) * r(j) Next j p(i) = SommeProduits1(i) / SommeCarres1(i) Next i For j = 1 To n SommeProduits2(j) = 0 SommeCarres2(j) = 0 For i = 1 To n + 1 - j SommeProduits2(j) = SommeProduits2(j) + Triangle.Cells(i, j) * p(i) SommeCarres2(j) = SommeCarres2(j) + p(i) * p(i) Next i r(j) = SommeProduits2(j) / SommeCarres2(j) Next j For i = 1 To n For j = 1 To n + 1 - i S(q) = S(q) + (Triangle(i, j) - p(i) * r(j)) * (Triangle(i, j) - p(i) * r(j)) Next j Next i Loop While Abs(S(q) - S(q - 1)) > ecart_A Else MsgBox ("Erreur de saisie") Exit Sub End If For i = 1 To n For j = 1 To n Y(i, j) = p(i) * r(j) Next j Next i For i = 2 To n For j = n + 2 - i To n provision = provision + Y(i, j) Next j Next i Set debut_triangle = Triangle.Cells(1, 1) debut_triangle.Offset(n + 2, -1).Value = "rj * pi" debut_triangle.Offset(2 * n + 4, -1).Value = "rj" debut_triangle.Offset(n + 1, n + 1).Value = "pi" debut_triangle.Offset(2 * n + 3, n + 1).Value = "provision" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, -1).Value = "Yij - rj * pi" debut_triangle.Offset(3 * n + 5, n + 1).Value = "S" For i = 1 To n For j = 1 To n debut_triangle.Offset(n + 1 + i, j - 1).Value = Y(i, j)

109

debut_triangle.Offset(n + 1 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j debut_triangle.Offset(n + 1 + i, n + 1).Value = p(i) debut_triangle.Offset(n + 1 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" For j = 1 To n - i + 1 debut_triangle.Offset(2 * n + i + 6, j - 1).Value = (Triangle.Cells(i, j) - r(j) * p(i)) ^ 2 debut_triangle.Offset(2 * n + i + 6, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j Next i For j = 1 To n debut_triangle.Offset(2 * n + 4, j - 1).Value = r(j) debut_triangle.Offset(2 * n + 4, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" Next j debut_triangle.Offset(2 * n + 4, n + 1).Value = provision debut_triangle.Offset(3 * n + 6, n + 1).Value = S(q) debut_triangle.Offset(2 * n + 4, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(3 * n + 6, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" MsgBox ("Nombre d'itérations : " & q) End Sub

110

ANNEXE 8 :

VALUE AT RISK ET TAIL VALUE AT RISK :

CODE VBA

Ces fonctions seront utilisée dans le code du modèle de Mack et celui du Bootstrap.

• Si l’on approxime la variable provision par une loi normale :

o Value at Risk

Public Function VaR_normale(probabilite As Double, esperance As Double, ecart_type As Double) As Double VaR_normale = Application.WorksheetFunction.NormInv(probabilite, esperance, ecart_type) End Function

o Tail Value at Risk

Public Function TVaR_normale(probabilite As Double, esperance As Double, ecart_type As Double) As Double Dim i As Double Dim S As Double S = 0 For i = probabilite To 0.99998 Step 0.00001 S = S + (VaR_normale(i, esperance, ecart_type) + 0.5 * (VaR_normale(i + 0.00001, esperance, ecart_type) - VaR_normale(i, esperance, ecart_type))) * 0.00001 Next i S = S + VaR_normale(0.99999, esperance, ecart_type) * 0.00001 TVaR_normale = S / (1 - probabilite) End Function

111

• Si l’on approxime la variable provision par une loi log-normale :

o Value at Risk

Public Function VaR_lognormale(probabilite As Double, esperance As Double, ecart_type As Double) As Double Dim mu As Double Dim sigma As Double sigma = Sqr(Application.WorksheetFunction.Ln((ecart_type ^ 2) / (esperance ^ 2) + 1)) mu = Application.WorksheetFunction.Ln(esperance) - 0.5 * (Application.WorksheetFunction.Ln((ecart_type ^ 2) / (esperance ^ 2) + 1)) VaR_lognormale = Application.WorksheetFunction.LogInv(probabilite, mu, sigma) End Function

o Tail Value at Risk

Public Function TVaR_lognormale(probabilite As Double, esperance As Double, ecart_type As Double) As Double Dim i As Double Dim S As Double S = 0 For i = probabilite To 0.99998 Step 0.00001 S = S + (VaR_lognormale(i, esperance, ecart_type) + 0.5 * (VaR_lognormale(i + 0.00001, esperance, ecart_type) - VaR_lognormale(i, esperance, ecart_type))) * 0.00001 Next i S = S + VaR_lognormale(0.99999, esperance, ecart_type) * 0.00001 TVaR_lognormale = S / (1 - probabilite) End Function

112

ANNEXE 9 :

MODÈLE DE MACK : CODE VBA

Public Sub mack() Dim n As Integer Dim i As Integer Dim j As Integer Dim k As Integer Dim l As Integer Dim lambda() As Double Dim somme1() As Double Dim somme2() As Double Dim C() As Double Dim Ri() As Double Dim sigma2() As Double Dim mse_Ri() As Double Dim ICi() As Double Dim VaRi() As Double Dim TVaRi() As Double Dim MUi() As Double Dim SIGMAi() As Double Dim S1 As Double Dim S2 As Double Dim S3 As Double Dim S4 As Double Dim S5 As Double Dim S6 As Double Dim R As Double Dim mse_R As Double Dim ICinf As Double Dim ICsup As Double Dim VaR As Double Dim TVaR As Double Dim MU As Double Dim SIGMA As Double Dim TriangleCumule As Range Dim debut_triangle As Range Dim NC As Double Dim quantile As Double Dim loi As String

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Set TriangleCumule = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des règlements cumulés", Type:=8) NC = Application.InputBox("Niveau de confiance") quantile = Application.WorksheetFunction.NormInv(1 - (1 - NC) / 2, 0, 1) loi = Application.InputBox("Quelle loi de distribution ? Normale (N) ou Log-Normale (L) ?") R = 0 n = TriangleCumule.Rows.Count If TriangleCumule.Columns.Count <> n Then MsgBox ("Erreur de Dimension") Exit Sub End If ReDim lambda(n - 1) ReDim somme1(n - 1) ReDim somme2(n - 1) ReDim C(n, n) ReDim Ri(n) ReDim sigma2(n - 1) ReDim mse_Ri(n) ReDim ICi(n, 2) ReDim VaRi(n) ReDim TVaRi(n) ReDim MUi(n) ReDim SIGMAi(n) ' Calcul des coefficients de développement For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 0 somme2(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TriangleCumule.Cells(i, j) somme2(j) = somme2(j) + TriangleCumule.Cells(i, j + 1) Next i lambda(j) = somme2(j) / somme1(j) Next j ' Triangle des règlements cumulés complété For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 C(i, j) = TriangleCumule.Cells(i, j) Next j Next i For i = 2 To n For j = n - i + 2 To n C(i, j) = C(i, j - 1) * lambda(j - 1) Next j Next i ' Calcul de la provision For i = 1 To n Ri(i) = C(i, n) - C(i, n - i + 1) R = R + Ri(i) Next i

114

' Calcul des coeffients sigma² For j = 1 To n - 2 S1 = 0 For i = 1 To n - j S1 = S1 + C(i, j) * (C(i, j + 1) / C(i, j) - lambda(j)) ^ 2 Next i sigma2(j) = S1 / (n - j - 1) Next j sigma2(n - 1) = Application.WorksheetFunction.Min(sigma2(n - 2) ^ 2 / sigma2(n - 3), Application.WorksheetFunction.Min(sigma2(n - 3), sigma2(n - 2))) ' Calcul de la variance par année mse_Ri(1) = 0 For i = 2 To n S3 = 0 For k = n - i + 1 To n - 1 S2 = 0 For j = 1 To n - k S2 = S2 + C(j, k) Next j S3 = S3 + sigma2(k) / (lambda(k) ^ 2) * (1 / C(i, k) + 1 / S2) Next k mse_Ri(i) = C(i, n) ^ 2 * S3 Next i ' Calcul de la variance totale mse_R = 0 For i = 2 To n S6 = 0 For j = i + 1 To n S6 = S6 + C(j, n) Next j S5 = 0 For k = (n - i + 1) To (n - 1) S4 = 0 For l = 1 To n - k S4 = S4 + C(l, k) Next l S5 = S5 + 2 * sigma2(k) / (lambda(k) ^ 2) / S4 Next k mse_R = mse_R + C(i, n) * S5 * S6 + mse_Ri(i) Next i ' Intervalle de confiance, VaR, TVaR ICi(1, 1) = 0 ICi(1, 2) = 0 VaRi(1) = 0 TVaRi(1) = 0 If loi = "N" Then For i = 2 To n ICi(i, 1) = Ri(i) - quantile * mse_Ri(i) ^ 0.5 ICi(i, 2) = Ri(i) + quantile * mse_Ri(i) ^ 0.5

115

VaRi(i) = VaR_normale(NC, Ri(i), mse_Ri(i) ^ 0.5) TVaRi(i) = TVaR_normale(NC, Ri(i), mse_Ri(i) ^ 0.5) Next i ICinf = R - quantile * mse_R ^ 0.5 ICsup = R + quantile * mse_R ^ 0.5 VaR = VaR_normale(NC, R, mse_R ^ 0.5) TVaR = TVaR_normale(NC, R, mse_R ^ 0.5) ElseIf loi = "L" Then For i = 2 To n MUi(i) = Application.WorksheetFunction.Ln(Ri(i)) - 0.5 * (Application.WorksheetFunction.Ln((mse_Ri(i)) / (Ri(i) ^ 2) + 1)) SIGMAi(i) = Sqr(Application.WorksheetFunction.Ln((mse_Ri(i)) / (Ri(i) ^ 2) + 1)) ICi(i, 1) = Exp(MUi(i) - quantile * SIGMAi(i)) ICi(i, 2) = Exp(MUi(i) + quantile * SIGMAi(i)) VaRi(i) = VaR_lognormale(NC, Ri(i), mse_Ri(i) ^ 0.5) TVaRi(i) = TVaR_lognormale(NC, Ri(i), mse_Ri(i) ^ 0.5) Next i MU = Application.WorksheetFunction.Ln(R) - 0.5 * (Application.WorksheetFunction.Ln((mse_R) / (R ^ 2) + 1)) SIGMA = Sqr(Application.WorksheetFunction.Ln((mse_R) / (R ^ 2) + 1)) ICinf = Exp(MU - quantile * SIGMA) ICsup = Exp(MU + quantile * SIGMA) VaR = VaR_lognormale(NC, R, mse_R ^ 0.5) TVaR = TVaR_lognormale(NC, R, mse_R ^ 0.5) Else MsgBox ("Erreur de saisie") Exit Sub End If ' Affichage des résultats dans excel Set debut_triangle = TriangleCumule.Cells(1, 1) debut_triangle.Offset(n + 1, 0).Value = "coefficients de développement" debut_triangle.Offset(n + 4, 0).Value = "triangle des règlements cumulés complété" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, 0).Value = "coefficients sigma²" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 1).Value = "provision par année" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 3).Value = "variance par année" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 4).Value = "écart-type par année" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 1).Value = "provision totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 3).Value = "variance totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 4).Value = "écart-type total" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 6).Value = "borne inf par année" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 7).Value = "borne sup par année" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 8).Value = "VaR par année" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 9).Value = "TVaR par année" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 6).Value = "borne inf totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 7).Value = "borne sup totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 8).Value = "VaR totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 9).Value = "TVaR totale" For j = 1 To n - 1 debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).Value = lambda(j)

116

debut_triangle.Offset(2 * n + 7, j - 1).Value = sigma2(j) debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" Next j For i = 1 To n For j = 1 To n debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).Value = C(i, j) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).Value = Ri(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 3).Value = mse_Ri(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 4).Value = mse_Ri(i) ^ (1 / 2) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 6).Value = ICi(i, 1) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 7).Value = ICi(i, 2) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 8).Value = VaRi(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 9).Value = TVaRi(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 3).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 4).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 6).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 7).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 8).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 9).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next i debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).Value = R debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 3).Value = mse_R debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 4).Value = mse_R ^ (1 / 2) debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 6).Value = ICinf debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 7).Value = ICsup debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 8).Value = VaR debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 9).Value = TVaR debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 3).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 4).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 6).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 7).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 8).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 9).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" End Sub

117

ANNEXE 10 :

MÉTHODE DU BOOTSTRAP : CODE VBA

• Première étape : création de l’échantillon

Public Sub BootStrap() Dim n As Integer Dim B As Long Dim i As Integer Dim j As Integer Dim i_B As Integer Dim j_B As Integer Dim k As Integer Dim lambda() As Double Dim somme1() As Double Dim somme2() As Double Dim C() As Double Dim Ri() As Double Dim D() As Double Dim Y() As Double Dim Z() As Double Dim rp() As Double Dim rp_B() As Double Dim Y_B() As Double Dim C_B() As Double Dim lambda_B() As Double Dim somme1_B() As Double Dim somme2_B() As Double Dim Ri_B() As Double Dim R As Double Dim R_B As Double Dim TriangleCumule As Range Dim debut_triangle As Range Set TriangleCumule = Application.InputBox("Sélectionner le triangle des montants cumulés", Type:=8) Set debut_triangle = TriangleCumule.Cells(1, 1) B = Application.InputBox("Nombre d'itérations") R = 0 n = TriangleCumule.Rows.Count

118

If TriangleCumule.Columns.Count <> n Then MsgBox ("Erreur de Dimension") Exit Sub End If ReDim lambda(n - 1) ReDim somme1(n - 1) ReDim somme2(n - 1) ReDim C(n, n) ReDim Ri(n) ReDim D(n, n) ReDim Y(n, n) ReDim Z(n, n) ReDim rp(n, n) ReDim rp_B(n, n) ReDim Y_B(n, n) ReDim C_B(n, n) ReDim lambda_B(n - 1) ReDim somme1_B(n - 1) ReDim somme2_B(n - 1) ReDim Ri_B(n) ' coefficients de développement For j = 1 To n - 1 somme1(j) = 0 somme2(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1(j) = somme1(j) + TriangleCumule.Cells(i, j) somme2(j) = somme2(j) + TriangleCumule.Cells(i, j + 1) Next i lambda(j) = somme2(j) / somme1(j) Next j ' triangle des règlements cumulés complété For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 C(i, j) = TriangleCumule.Cells(i, j) Next j Next i For i = 2 To n For j = n - i + 2 To n C(i, j) = C(i, j - 1) * lambda(j - 1) Next j Next i ' calcul de la provision For i = 1 To n Ri(i) = C(i, n) - C(i, n - i + 1) R = R + Ri(i) Next i ' triangle cumulé prédit For i = 1 To n D(i, n - i + 1) = C(i, n - i + 1) Next i

119

For i = 1 To n For j = n - i To 1 Step -1 D(i, j) = D(i, j + 1) / lambda(j) Next j Next i ' triangle non-cumulé et triangle non-cumulé prédit For i = 1 To n Y(i, 1) = C(i, 1) Z(i, 1) = D(i, 1) Next i For i = 1 To n - 1 For j = 2 To n - i + 1 Y(i, j) = C(i, j) - C(i, j - 1) Z(i, j) = D(i, j) - D(i, j - 1) Next j Next i ' triangle des résidus de Pearson For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 rp(i, j) = (Y(i, j) - Z(i, j)) / Sqr(Z(i, j)) Next j Next i ' début de la phase itérative For k = 1 To B R_B = 0 For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 rp_B(i, j) = 0 Y_B(i, j) = 0 C_B(i, j) = 0 Next j Next i For j = 1 To n - 1 lambda_B(j) = 0 Next j For i = 1 To n Ri_B(i) = 0 Next i ' triangle des résidus de pearson "bootstrap" For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 ' on tire au hasard un numéro de ligne et un numéro de colonne entre 1 et n-1 '(on écarte les résidus nuls situés aux extrémités de la diagonale : rp(1,n) et rp(n,1)) ' si la case correspondante est dans le triangle supérieur on garde la valeur, sinon on recommence

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Do i_B = Int(Rnd() * (n - 1) + 1) j_B = Int(Rnd() * (n - 1) + 1) Loop While i_B + j_B > n + 1 rp_B(i, j) = rp(i_B, j_B) Next j Next i ' triangle non cumulé "bootstrap" For i = 1 To n For j = 1 To n - i + 1 Y_B(i, j) = Z(i, j) + rp_B(i, j) * Sqr(Z(i, j)) Next j Next i ' triangle cumulé "bootstrap" For i = 1 To n C_B(i, 1) = Y_B(i, 1) Next i For i = 1 To n - 1 For j = 2 To n - i + 1 C_B(i, j) = C_B(i, j - 1) + Y_B(i, j) Next j Next i ' coefficients de développement "bootstrap" For j = 1 To n - 1 somme1_B(j) = 0 somme2_B(j) = 0 For i = 1 To n - j somme1_B(j) = somme1_B(j) + C_B(i, j) somme2_B(j) = somme2_B(j) + C_B(i, j + 1) Next i lambda_B(j) = somme2_B(j) / somme1_B(j) Next j ' triangle cumulé bootstrap complété For i = 2 To n For j = n - i + 2 To n C_B(i, j) = C_B(i, j - 1) * lambda_B(j - 1) Next j Next i ' calcul de la provision "bootstrap" For i = 1 To n Ri_B(i) = C_B(i, n) - C_B(i, n - i + 1) R_B = R_B + Ri_B(i) Next i ' Affichage de l'échantillon sur excel debut_triangle.Offset(7 + ((k - 1) Mod 25000), (2 * n + 2) + Int((k - 1) / 25000)).Value = R_B

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debut_triangle.Offset(7 + ((k - 1) Mod 25000), (2 * n + 2) + Int((k - 1) / 25000)).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next k ' affichage des calculs intermédiaires sur excel debut_triangle.Offset(n + 1, 0).Value = "coefficients de développement" debut_triangle.Offset(n + 4, 0).Value = "triangle des règlements cumulés complété" debut_triangle.Offset(n + 4, n + 1).Value = "provision par année" debut_triangle.Offset(2 * n + 6, n + 1).Value = "provision totale" debut_triangle.Offset(2 * n + 9, 0).Value = "triangle des règlements cumulés prédit" debut_triangle.Offset(2 * n + 9, n + 1).Value = "triangle des règlements non-cumulés prédit" debut_triangle.Offset(-1, n + 1).Value = "triangle des règlements non-cumulés" debut_triangle.Offset(3 * n + 11, 0).Value = "triangle des résidus de pearson" debut_triangle.Offset(4 * n + 13, 0).Value = "exemple de triangle des résidus de pearson bootstrap" debut_triangle.Offset(5 * n + 15, 0).Value = "triangle des règlements non-cumulés bootstrap" debut_triangle.Offset(6 * n + 17, 0).Value = "triangle des règlements cumulés bootstrap complété" debut_triangle.Offset(7 * n + 19, 0).Value = "coefficients de développement bootstrap" debut_triangle.Offset(6 * n + 17, n + 1).Value = "provision bootstrap par année" debut_triangle.Offset(7 * n + 19, n + 1).Value = "provision bootstrap totale" debut_triangle.Offset(6, 2 * n + 2).Value = "échantillon" For j = 1 To n - 1 debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).Value = lambda(j) debut_triangle.Offset(n + 2, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" debut_triangle.Offset(7 * n + 20, j - 1).Value = lambda_B(j) debut_triangle.Offset(7 * n + 20, j - 1).NumberFormat = _ "_-* #,##0.000 _€_-;-* #,##0.000 _€_-;_-* ""-""??? _€_-;_-@_-" Next j For i = 1 To n For j = 1 To n debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).Value = C(i, j) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(6 * n + 17 + i, j - 1).Value = C_B(i, j) debut_triangle.Offset(6 * n + 17 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).Value = Ri(i) debut_triangle.Offset(n + 4 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(6 * n + 17 + i, n + 1).Value = Ri_B(i) debut_triangle.Offset(6 * n + 17 + i, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" For j = 1 To n - i + 1

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debut_triangle.Offset(2 * n + 9 + i, j - 1).Value = D(i, j) debut_triangle.Offset(2 * n + 9 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 9 + i, n + j).Value = Z(i, j) debut_triangle.Offset(2 * n + 9 + i, n + j).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(i - 1, n + j).Value = Y(i, j) debut_triangle.Offset(i - 1, n + j).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(3 * n + 11 + i, j - 1).Value = rp(i, j) debut_triangle.Offset(3 * n + 11 + i, j - 1).NumberFormat = "0.00" debut_triangle.Offset(4 * n + 13 + i, j - 1).Value = rp_B(i, j) debut_triangle.Offset(4 * n + 13 + i, j - 1).NumberFormat = "0.00" debut_triangle.Offset(5 * n + 15 + i, j - 1).Value = Y_B(i, j) debut_triangle.Offset(5 * n + 15 + i, j - 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" Next j Next i debut_triangle.Offset(7 * n + 20, n + 1).Value = R_B debut_triangle.Offset(7 * n + 20, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).Value = R debut_triangle.Offset(2 * n + 7, n + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" End Sub

• Seconde étape : étude de l’échantillon

Public Sub Etude() Dim echantillon As Range Dim debut_echantillon As Range Dim NC As Double Dim quantile As Double Dim col As Integer Dim nombre As Long Dim moyenne As Double Dim ecart_type As Double Dim ICinf As Double Dim ICsup As Double Dim VaR As Double Dim TVaR As Double Set echantillon = Application.InputBox("Sélectionner l'échantillon de la variable provision", Type:=8) Set debut_echantillon = echantillon(1, 1) col = echantillon.Columns.Count NC = Application.InputBox("Niveau de confiance") quantile = Application.WorksheetFunction.NormInv(NC, 0, 1) nombre = WorksheetFunction.Count(echantillon) moyenne = WorksheetFunction.Average(echantillon) ecart_type = WorksheetFunction.StDevP(echantillon) * nombre / (nombre - 1) ICinf = moyenne - quantile * ecart_type ICsup = moyenne + quantile * ecart_type VaR = VaR_normale(NC, moyenne, ecart_type)

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TVaR = TVaR_normale(NC, moyenne, ecart_type) ' Affichage des résultats dans excel debut_echantillon.Offset(0, col + 1).Value = "moyenne" debut_echantillon.Offset(0, col + 2).Value = "écart-type" debut_echantillon.Offset(0, col + 3).Value = "IC borne inf" debut_echantillon.Offset(0, col + 4).Value = "IC borne sup" debut_echantillon.Offset(0, col + 5).Value = "VaR" debut_echantillon.Offset(0, col + 6).Value = "TVaR" debut_echantillon.Offset(1, col + 1).Value = moyenne debut_echantillon.Offset(1, col + 2).Value = ecart_type debut_echantillon.Offset(1, col + 3).Value = ICinf debut_echantillon.Offset(1, col + 4).Value = ICsup debut_echantillon.Offset(1, col + 5).Value = VaR debut_echantillon.Offset(1, col + 6).Value = TVaR debut_echantillon.Offset(1, col + 1).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_echantillon.Offset(1, col + 2).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_echantillon.Offset(1, col + 3).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_echantillon.Offset(1, col + 4).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_echantillon.Offset(1, col + 5).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" debut_echantillon.Offset(1, col + 6).NumberFormat = "_(* #,##0_);_(* (#,##0);_(* ""-""_);_(@_)" End Sub

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MÉTHODES DE CALCUL DES PROVISIONS TECHNIQUES EN … · MÉTHODES DE CALCUL DES PROVISIONS TECHNIQUES EN PRÉVOYANCE ARRÊT DE TRAVAIL - CAS PARTICULIER DE LA FONCTION PUBLIQUE Mémoire