Les géomètres représentent, au moyen d'équations auxdifférences partielles, les conditions générales de l'équilibreet du mouvement des fluides., Ces équations ont été déduitesde divers principes, qui supposent tous que les mole'cules dufluide sont susceptibles de prendre les unes par rapport auxautres des mouvements quelconques, sans opposer aucune

résistance, et de glisser sans effort sur les parois des vasesdans lesquels le fluide est contenu. Mais les différences con-

sidérables:, ou totales, que présentent dans certains-cas leseffets naturels avec les résultats des théories connues, indi-

quent la nécessité de recourir à des notions nouvelles, etd'avoir égard à certaines actions moléculaires qui se mani-festent principalement dans les phénomènes du mouvement.On sait, par exemple, que, dans le cas où l'eau s'écoule horsd'un vase par un long tuyau d'un petit diamètre, le cal-

MEMOIRE

SUR LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES;

PAR M. NAVIER.

Lu à l'Académie royale des Sciences le 18 mars 1822.

I. Notions préliminaires.

390MÉMOIRE SUR LES LOIS

cul conduit à attribuer à ce iluide une vitesse d'écoulement

qui surpasse beaucoup celle que l'on observe, et qui est sou-

mise à des lois différentes.

Nous considérons ici un fluide incompressible, et nous

nous représentons ce corps comme un assemblage de points

matériels, du molécules, placées à des distances très-petites

les unes des autres, et susceptibles de changer presque li-

brement de position les unes par rapport aux autres. Une

pression est exercée sur la surface du fluide, et pénètre dans

l'intérieur du corps. Elle tend à rapprocher les parties, qui

résistent à cette action par des forces répulsives qui s'éta-

blissent entre les molécules voisines. Si le fluide est en re-

pos, chaque molécule est en équilibre, en vertu de ces forces

répulsives et des forces étrangères, telles que la pesanteur,

qui peuvent agir sur elle; et c'est en cela que consiste l'état

du corps.Si le fluide est en mouvement, ce qui suppose, en géné-

ral, que les molécules voisines s'approchent ou s'éloignent

les unes des autres, il nous paraît naturel d'admettre que les

forces répulsives dont il vient d'être question sont modifiées

par cette circonstance. Nous concevons en effet que, dans

l'état de repos du fluide, les molécules voisines se sont pla-

cées à des distances respectives déterminées par la condition

d'uné destruction mutuelle des forces de répulsion et de

compression ce qui a déterminé la grandeur du volume oc-

cupé par le corps^ en raison de la température et de la pres-

sion extérieure à laquelle il estsoumis: Or, tous les phé-

nomènes indiquent que tes 'actions ^exercées; de ^molécule à

molécule, dans l'intérieur des corps, varient avec la.distance

des molécules; que si l'on -veut diminuer la distance des

parties, on fait naître une force de répulsion; que si l'on

DU MOUVEMENT X>ES FLUIDES.3o,I

veut augmenter cette distance, on fait naître une force d'at-

traction. Un liquide résiste beaucoup moins qu'un solide à

un effort qui tend à écarter les parties voisines les unes des au-

tres, mais l'expérience prouve que la résistance à Técarte-

ment n'est pas nulle. Nous admettrons d'après ces con-

sidérations, que, dans un fluide en mouvement, deux molé-

cules qui s'approchent l'une de l'autre se repoussent plus

fortement, et que deux molécules qui s'éloignent l'une de

l'autre se repoussent moins fortement qu'elles ne le fe-

raient si leur distance actuelle ne changeait pas; et nous

prendrons pour principe, dans les recherchessuivantes, que

par l'effet du mouvement d'un fluide, les actions répulsivesdes molécules sont augmentées ou diminuées d'une quantité

proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'ap-

prochent ou s'éloignent les unes des autres.

Il s'établit de même, dans l'état d'équilibre, des actions

répulsives entre les molécules du fluide et celles des paroissolides dans lesquelles il est contenu.Ces actions doivent être

également modifiées dans l'état de mouvement, et nous sup-

poserons encore qu'elles sont augmentées ou diminuées de

quantités proportionnelles aux vitesses avec lesquelles chaquemolécule du fluide s'approche ou- s'éloigne de chaque molé-cule immobile appartenant à la. paroi.

IL Equations de. T équilibre des fluides.

Pour exprimer les conditions de l'équilibre d'une portionde fluide conformément aux notions établies ci-dessus, on

considérera une molécule placée au point M dont les coor-

données sont x, j, z; et une molécule placée au point M'

$g2MÉMOIRE SUR LES lois

très-voisin du premier, dont les coordonnées sont #'+.«,

.y-i z +y- On nommera p la distance des deux points, en

sorte que p=VV +6a +yr. La force répulsive qui s'établit

entre ces deux molécules dépend de la situation du point M.,

puisqu'elle doit balancer la pression, qui peut varier dans

les diverses parties du fluide. Elle dépend de la distance p,

et, comme toutes les actions moléculaires, décroît très-ra-

pidement quand cette distance augmente. On désignera cette

force par la fonction /(p), à laquelle on attribuera cette

propriété, et qui doit être regardée aussi comme dépendantedes coordonnées a?, j, z. Cela posé, chaque molécule M du

fluide-est sollicitée par des forces semblables, émanant de

toutes les molécules M' qui l'entourent. Nous supposons éga-lement cette molécule sollicitée par des forces accélératrices

dont les composantes, dans le sens de chaque axe, seront

désignées par P, Q, R, ces lettres représentant les valeurs

desforces, données en unités de poids, et rapportées à l'unité

de volume. Il s'agit dé trouver les conditions de l'équilibre

entre toutes ces forces, et pour cela d'exprimer la somme de

leurs moments, et d'égaler cette somme à zéro.

Si, le fluide étant supposé en équilibre, on imprime au

système un mouvement très-petit, par l'effet duquel la mo-

lécule M soit déplacée dans le sens de chaque axe des quan-

tités Sa?, £j, §z, que nous regardons comme des fonctions

de x, y, z, la molécule M' sera déplacée dans les mêmes

^directions des quantités

d$x dlxp d§x

*x + ~dX-* + -dTè + -7T^dx x d~ dz y

d§r dly p dly~V+–~K+-–-ë+,–Y.,dx d "J~

,)

DU MOUVEMENT DES FLUIDES. -%3

i«a3. 5o

'Par conséquent, 8 a, 8 ~~ydésignant les accroissements des

-distances a; ë, y qui ont lieu par 1'.e, ,ffet,de.,cemouvement,,~ona

Mais on a

doncP p

p.xa'-B-~ y~a~-F-~dz ay+'d,~a~-I-

ds~~a-1- dz ~y~=p~-+~~+-+~~+~+-oy,

'd~z d8z d$z

Le produi~,f (p) y représente le moment de la forcer e )agissant entre les deux molécules M, M', considérée commeétant appliquée au point M, plus le moment de la même forceconsidérée comme étant appliquée au point M'. Nous pren-drons d'abord la somme des produits semblables, donnés parles forces qui agissent entre la molécule M et toutes celles quil'entourent et nous remarquerons qu'il existe autour du pointM huit points, situés tousà la même distance p,et pourlesquelsles coordônnées relatives(1., y ont des valeurs qui diffèrentdeux à deux seulement par le signe de l'une des coordon-

nées. Donc, en ajoutant d'abord les huit valeurs du produit

8z.f.d8za+dyz~+dfzz

ô~-h–,–M-+-–,–6+–.–Y.i~x dy~ dz Yv

~;a'd$xa+dr~x~+d$.x.æ

ô<x===–,–ot-t-–,–5-)-–;–y~dx dy dz

~d$yu-d$y~+d$,yx dy, dz y5

,_dSz~+d$z~~d8z zd .x dy d z y'

_a~a-1-ys~ÿ$y,

d'.xay'+'d~°Y-i""~zy

3û,4MÉMOIRE SUR tES LOIS

y(p) • £pqui répondent à ces huit points, il viendra

8./(PW^ g*£g».g*jv,\P C dx

« +d,y -t- d z y~"Y" ~F°~Yj

Il ne reste plus qu'à intégrer par rapport à a, 6, y, dans l'é-

tendue du huitième de sphère où ces quantités n'ont que des

valeurs positives. Pour cela on changera ces coordonnées en

coordonnées polaires, et désignant par ty l'angle du rayon p

avec sa projection sur le plan des a ë par 9 l'angle que forme

cette projection avec l'axe des a, on aura

a= pCOS. ^COS.ç r

ê=pcos.i]/ sin.<p,

y==psin.

Substituant ces valeurs dans l'expression précédente mul-

tipliant par l'élément de volume d%.d<\ dy p2eos.4, et in-

tégrant entre les limites convenables, il vient

T7co

2 2 dp x 3 a dOy'

8 fdi p3/(p)/^é/2d9 (^cos.^ .cos.-ç + fecos.sin.>

o 0 0 y,

4- -j-^sin.34'-cos- +

oubiçn, parce que jV^cos^– |, J^.sin.cos.^jj,0 0

1

df,eos.'<?= rf<p.sln.>=7,~0 "0

83~~

7 3~~ /~c ~jr~~z\ 8.r^jo^p.p/(p).^+̂r+̂)-00

Posant maintenantfo ^P-pYCp)™/7'

en désignant par

DU MOUVEMENT DES FLUIDES.3g5

5o.y50,' )

p une quantité qui ne dépend pas de la distance p, mais

seulement des coordonnées x,y, z qui déterminent la situa-

tion de la molécule M, et qui mesure la résistance opposée à

la pression qui tend à rapprocher les parties du fluide, on

aura définitivement

d~x

p C dx+

dy + dzP\dx~dy~dz)

pour l'expression de la somme des moments des forces agis-sant entre la molécule M et toutes celles qui l'entourent.

Pour obtenir maintenant l'expression de la somme des

moments de toutes les forces répulsives existantes entre les.

molécules du fluide, on devra multiplier l'expression pré-cédente par l'élément de volume dx dy dz, et intégrer par

rapport à x, y, z dans toute l'étendue du fluide. Il suit de

là que l'équation exprimant les conditions de l'équilibre du

système est ,

oJ.IJ~lxd,yd.zCp~`~~+ddÿ~p~Q~R~.

Nous remarquerons ici que, par le calcul précédent, on

prend deux fois la somme des mêmes moments des forces

intérieures; puisque la somme des moments des deux forces

agissant suivant la ligne p, représentée par /"(p)'VSp, est

comptée par rapport à la molécule M et par rapport à la

molécule M'. Mais cela est indifférent pour le résultat, puis-

que le facteur ±., qu'il faudrait appliquer au premier terme

de l'équation, peut être supposé compris dans la quantité p,dont la valeur absolue dépend toujours de la grandeur dés

forces appliquées au fluide.

En intégrant par parties le premier terme de l'équation

396MEMOIRE SUR LES LOIS

précédente, elle se changera en

o^[(P-ï)^ + (Q-|)^+(R-^)^J J'0 =:f-ffdxdydz.[(P- dz) ~x -i- dz

^Jjdjdz{p'hx'–p'^x'');–fjdxdz{p'hy'–p'y')

–jjdxdy{p'iz'–p"U")x

en marquant d'un et de deux accents les lettres représentant

les quantités appartenant aux limites dés intégrales.

On a donc en premier lieu, pour les conditions de l'équi-

fibre d'un point quelconque dé l'intérieur du fluide, les,

équations indéfinies

dP t> dP ri dP – R–==f,–=~<–~=Jn,dx df X7rfz 7

qui signifient que les expressions des forces P, QVR don-

nées en fonction de a?,j, z, doivent être respectivement les

différentielles partielles prises par rapport à x,, à y, L-z,-

d'une même fonction p de ces coordonnées. La différentielle

complète de cette fonction est donc 1

dp–Vdœ+ Qdy+Rdz,

et l'on a par conséquent

p = f(Pdx 4- Q dy + Rdz) -t const.

formule où la fonction sous lesigne /doit

être nécessaire-

ment susceptible d'une intégration exacte, pour que le fluide

soumis à l'action des forces représentées par P, Q, R, puisse

demeurer en équilibre.

DU MOUVEMENT DES FLUIDES.%7

Si aucune force n'était appliquée aux points intérieurs du

fluide, la valeur de p devrait être constante dans toute l'éten-

due de ce corps.En second lieu, à l'égard des points appartenant à la sur-

face, si l'on désigne par lf m, n les angles que forme un

plan tangent à la surface mené au point dont les coordon-

nées sont #, z, avec les plans des yz, des xz et des xy,et par ds* l'élément différentiel de la surface, on pourra

remplacer d ydz par dsi cos. dxdz par ds* cos. m, et

dxdy par ds% cos. n{ Voyez la Mécanique analytique,1re partie, section VII, art. 29 et3o)i La partie de l'équa-tion qui est relative à ces points devient donc

©'==g'rfj» [(p'coW.Sx1– p" QO5.1"Jx")+(p'cos.mr .8y'– /?"cos. m" .Sy")o = c~s [(~co&–cos.r.)+(jp'cos.–~cos.)

+(p'cos.n'.$z'–p"cos,n".$z")].

On en conclut que dans la partie de la surface qui est libre,où les variations des coordonnées de chaque point sont en-

tièrement indéterminées, on doit avoir p -'o. Ainsi, la

figure que doit afïecter cette partie de la surface est donnée

en termes finis par l'équation

0= ((Pdx +Qdy+ Rd z) + const.

Féquatiori différentielle est

oz='Pdx-Ç[dy + '&.dz,

en sorte que la résultante des forces P, Q, R agissant sur

chaque molécule du fluide placée à la surface^ libre, doit

être dirigée suivant la normale à cette surface.

3o,8MÉMOIRE SUR EE& LOTS

Dans la partie où la surface du fluide est formée par une

paroi solide et fixe, les molécules qui s'y trouvent placéesne pouvant se mouvoir dans le sens de la paroi, on a entre

les variations è-xr fry,.$z la relation

o = Sx cos. l + §y cos. m+ $z cos. n

en vertu de laquelle les termes de l'équation précédente dis-

paraissent d'eux-mêmes en sorte qu'il n'existe aucune con-

dition particulière relative à cette partie de la surface.

Les lois de l'équilibre des fluides énoncées ci -dessus,

sont conformes à celles que les géomètres ont établies d'a-

près le principe de l'équilibre des canaux, ou en supposantle fluide décomposé en éléments rectangulaires infiniment

petits, et exprimant que chacun de ces éléments, soumis à

l'action des pressions exercées sur ses faces, et des forces

accélératrices appliquées aux molécules, doit être en équi-libre. La considération des forces répulsives que la pression

développe entre les molécules, dont M. de Laplace avait déjàdéduit les équations générales du mouvement des fluides, r

dans le XIIe livre de la Mécanique céleste, paraît dépendre

plus immédiatement des notions physiques que l'on peut se

former sur la nature de ces corps.

III. Expressions des forces provenant des actions mo-

léculaires qui ont lieu dans l'état de mouvement..

Si, dans l'état de mouvement d'un fluide, les forces ré-

pulsives existantes entre les molécules ne subissaient aucune,

altération, les conditions du mouvement se déduiraient de

DU MOUVEMENT DES FLUIDES.3qq

celles de t équilibre en exprimant, conformément aux prin-cipes de la

mécanique, que les forcesaccélératrices auxquel-les sont dus les mouvements de chaque particule sont

égales à la résultante des forces qui agissent sur cette parti-cule, et qui se détruisent mutuellement dans l'état d'équilibre.En désignant par u, v,,ç.~les vitesses parallèles aux axes des:1:,des y et des z,'à la fin du,temps t, de la molécule situéedans le point dont les coordonnées sont x,,y, z, et par p ladensité du fluide, on aurait ainsi les trois équations

p du i2'u du ~M\

d.~ P~,dt~uâx+vc~yy~dz~

0_nY~7~ dv~dy-P

C~t+u~x

+vdy,+(Xrdz.J'~-P~+"~+~+~).

R––.Y~ drro\R-P-P

,dw dw

1- vv afp dz̀Pdt,-Ii~~c;,x-I·vd~-f.-Glv~z)·

On devrait avoir également ~=o dans tous les points de lasurface libre du fluide. Il

faudrait exprimer que les molecules contiguës aux parois solides ne peuvent se mouvoirque dans le sèns de ces parois. Enfin l'on doit joindre auxéquations précédentes celle qui exprime que le volume desparties du fluide est invariable, qui est

_du dv dw

dx±d .Y +~z~

Mais, d'après les notions exposées ci-dessus, il est né'ces=saire d'admettre l'existence de nouvelles forces moléculaires,qui sont

développées par l'état de mouvement du fluide. Larecherche

de pressions analytiques de ces forces est le

principal, que 1'0 ,'proposé dans la compositionde ce me

Considérons toujours,, molécules très-voisines M, M'.

^OO MÉMOIRE SUR LES LOIS

Les vitesses de la molécule M dans le sens des axes «tant

UyVAWïcelles de la- molécule M' sont au mêmeinstant

du du p du

M+dxa+dfZ+Tzt>dv dv fi dv

'V + dlca+Tyt + Tz^dw dwp dw

.̀w-f-d.~x«+d~d--d~y~

en négligeant les puissances supérieures des coordonnées

«, ê, y, qui sont toujours supposées extrêmement petites. On

a donc

a/duduadu \.Z(d<v~dvdv\

PCdx«+d.Y~+a'zYJ±PCd'x«±d.Y~+d~YJp(~"+~ +P~·yd.war~drv\-V+.

PCd x:«-.i- d~ +d~7 Jd df dzV

pour la différence des vitesses des molécules placées aux points

M M' estimées suivant la ligne MM' en sorte qu'en vertu

du principe que nous avons adopté, il s'établit entre -ces

deux molécules une action proportionnelle à la quantité V.

Si nous multiplions cette quantité par une fonction /( P )

de la distance des molécules qui ait la propriété de diminuer

avec une rapidité extrême quand paugmente à partir de zéro,

et de devenir nulle dès que | a une valeur sensible l'expres-

sion /(,p). V représentera la force qui existe entre deux mo-

lécules quelconques du.fluide. Il s'agit de prendre les mo-

ments des forces semblables dans toutel^^ndue de la

masse. Considérant donc le dans so^fe de m6ure

vement, nous supposerons^^fcn

d01111^^1 système

une impulsion par l'effet de la e les vitesses actuelles

DU MOUVEMENT DES FLUIDES. Kfaï

i8a3. 5i

'u\ f, waient varié respectivement des quantite's £w,£e, àto.TLe

produit des forces qui seraient appliquées à la molécule Ml

dans le sens des axes multipliées respectivement par ces va-

riations, représenteront les inoments de ces forces, et l'on

aura de même/"(p). V£ V pour la somme du moment de la

forcej^p^V, considérée comme agissant de M' sur M, et du

^moment de la même forcé considérée comme agissant de M

sur M'. L'expression précédente de V donne

s. a. fldu 8 du' Hdu g Ad-v èdv. $dv

p\dx a d/y dz p J i^jr rfz 'y

•' y/Sdw Sdwp Hdw

p dx-a

.djy dz. 'y

et par. conséquent le moment des forces intérieures prove-nant des actions mutuelles des-deux molécules M et M' est

exprime par

/p r /'du du o du V £>f8-v dv a dvcz

K ~K+-~6+-~Y)+g(~K+~6+~Yp~L \x' ~z'y \<if.c ~z'y

m dw& dw

($d,~cSdac- ~M Sdv

.~a dx: ",+ dyv + dz Y~ f~C-dx `~ d, -i- .d-z Y)

fhdw h-dw~ t§dw

+ï(o^a+-^g^^v-r Y

ft II faut donc prendre la somme des quantités semblables

pour toutes les molécules du fluide, considérées deux. à

,deux, afin de la faire entrer dans l'équation générale quidonnera les lois du mouvement. Pour y parvenir nous pren-drons d'abord la somme de ces moments pour les actions ré-

ciproques exercées entre la molécule M et toutes celles qui

4°fi. W^QIR^.Sp.RLES LOIS

l'avoine, ntj; puis nous ajouterons les sommes semblables

q^isgçqm^fournies, par, tous les ppints du fluide.

Afin, d'^ffeetufîï; 4e la manière la plus simple la première

inte'gratipn, qui dpit être faite autour.du point M nous re-

marquerons,, commeci-dessus, que l'on peut distinguer avec

lç point M', dppt. le%çpprdoiinçes çiomptées du point M sont

«, g,_y, sept autres, points situés à la mjêmevdistance p du

point M^ dont les coordonnées auront les. mêmes; valeurs

absolues, mais des signes différents.La formule précédente

représentera les valeurs des moments relatifs aux actions ré-

ciproques du p/oint M et de l'un quelconque de ces huit

points, en donnant dans cette formule à «,g,y les signes quiconviennent à chacun d'eux. Si l'on ajoute ensuite les huit

valeurs que l'on obtiendra ainsi, les termes contenant des

puissances paires des coordonnées a, ë,y se trouveront mul-

tipliés par 8 et les termes contenant des puissances im-

paires de ces mêmes coordonnées se seront détruits récipro-

quement. Cetje circonstance est une suite nécessaire de ce

que les,valeurs correspondantes aux huit points dont il s'agit,considérées deux à deux, diffèrent seulement par le signede l'une des coordonnées. La sommecherchée sera <|onc, en

effectuant la multiplication indiquée^ *?

DU MÔUVÈMESTT DES FLUIDES. 4o3

iSSIUIl

5r.

$ f~-P~ ~'ù~dzt 4 du e~du

a 1:dic Sd'ü

Cette addition étant faite, il ne reste plus qu'à intégrerdans la huitième partie de la sphère dont le point M est le

centre, où les valeurs de a,ë,y sont positives. A<;et effet, on

changera ces coordonnées en d'autres coordonnées polaires,et désignant par ty l'angle du rayon p avec sa projection sur

le plan des aë, et par cpl'angle que forme cette projectionavec l'axe des « on aura

)

valeurs qui devront être substituées dans la formule pré-cédente. Ori la multipliera ensuite par l'expression 4

~.(Ê~S~/M ,“ dv, $du

t -T-–<X6'-t-

–– ––– ? 5+

Wj «&e dx dj J

fdw <Sdut-

dw §&u i Ad2 dx Y dx dz Y )

d_u $dv. a dû $ïl~dx -T–

Ct 6--1- –r–

Kt))

--ti

/K~~ .4_ A

~r~+~+-Y~+

~~n~ ds~,$dv 2

\r~ Y+~J'+

dutdw &2yl du tdw ,N~J+

Ydvhdw a dv §dw ^.Ad,y di Y dz d,y Y Jfdwhdw 2 dwZdwp%x dtp&dfi>À\

Xd^-d^^y + djr-dj-^+u-dT^)!

à=p COS.<|)COS.<p}

€ =p cos.tj>sin. «p

a y=psin. 5

4<>4 < M MO I R E SU IL LE S L O IS

dp-d~d~p2cos. de l'élément du volume dans--le- nouveau

système de coordonnées/et on intégrera par rapport à p et

â de o àet par rapport à ;p (3'0 à oo En- faisant abstrac-

tion du facteur en on au~adzabord

4' '.1. ~COS.4t~4COS. .1.- 5.1; -t 4 ==eos.~sin.4

ix''6~GOS.~==<!OS.sin.~<pCOS/<p,y

a~yacos.c~=cos.3~~sin.2~[~-éos,

~2~acos. ¢ cos.3 sin.z sin.

Multipliant chacune de ces quantités par <~~(p ,et iititégrant

entre les limites indiquées, on trouve pour la valeur com-

mune des trois premières intégrales ôet pour la valeur

=

commune des trois dernières Par censéquent si nous po-

sons00

_8~T`,30,/ 0 d P p4.Î ~P~rr.0

fa somme des moments de toutes les actions exercées réci-

proquement entre la molécule M et celles qui l'avoisinent se

trouvera exprimee-par

du ~`du- du $du du ~M ~du dv $'du d`s.r~$du. dw $dudx +rly d,y^. ~.dz dz~ +dy dx +dx dy dz d.z + dz'- dzd dx z dx x x dz x ~Z' dzZ

du $dv c~u~dv~ dm$dv- dv$dv dv $dv dw_Sdv dw ~dv~M~M S~ ~~1~ ~~?'

dx dy d,Y d.x tXx dx 3 d,,r dy +- dz Wz+ d,y~ dz dz dy

~M~~ du~drw dv~:dw i_vô'dw dw~dcr! dwSdw dwddw1;

dx. dz +dz dx +d,y ct!z +dz d,ÿ +dx dx +dy dy +3dz dza~Z"Z'?~Z'Z<~Z~Z;

II faut maintenant prendre la sommedes quantités semf

blables à la précédente pour tous les points de la masse dw

DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 4°5

fluide. On y parviendra en remarquant que, pour tous les

points compris dans-un élément rectangulaire infiniment pe-tit, dont les dimensions sont dx,dy,dz, les valeurs de ces

quantités ne difïêrent.pas; d'où il résulte que la somme de

ces quantités, pour tous les points compris dans l'élément,s'obtient en multipliant l'expression précédente par le vo-

lume dx dy dz. Il ne restera plus qu'à intégrer par rap-

port à x,y,z dans toute l'étendue de la masse du fluide.On pourrait d'ailleurs remarquer ici v comme dans leIfe paragraphe, que l'on prend deux fois la somme des mo-

ments dont il s'agit, et que pour une entière exactitude,on doit regarder le facteur > comme étant compris dans laconstante e, en outre des facteurs écrits ci-dessus.

Nous venons de trouver l'expression de la somme des mo-

ments des forces provenant des actions réciproques des mo-

lécules du fluide nous allons passer maintenant à la re-

cherche de la somme des moments des forces provenantdes actions exercées entre les molécules du fluide et celles

des parois solides. r

Considérons à cet effet un point BÏ appartenant à la sur-

face de séparation du fluide, et de sa paroi, dont les coor-

données sont œ\y\z; et où les valeurs des vitesses du fluide,dans Le. sens de chaque axe, sont w, v\w. Considérons en-suite une molécule mdu fluide, placée très-près du point M,dans le point m dont les coordonnées sont x-hu,y+§,z+y.Les valeurs des vitesses de la molécule m, dans le sens de“

chaque axe, seront,

du du fi duM +

–– a:+

-,– 6 -t- – Y<u dx dy dz'11

dv d-v “ dvv+ 7û«+djZ + T,rr

4o6 MÉMOIRE SUR LES LOIS

dw dw e dww+•-T–«+-3-6+-7-y,w â~ dy âz Y~

-en négligeant les puissances supérieures des quantités a, g, y,

qui sont supposées extrêmement petites. La vitesse avec la-

quelle la molécule m s'éloigne du point M, est donc égale

à

-(aMP + ë'y+yw),,

en négligeant toujours les termes du second ordre en a, g, y

par rapport aux termes du premier ordre; et cette formule re-

présente également la vitesse avec laquelle la molécule m du

fluide s'éloigne de toutes les molécules de la paroi solide qui

sont situées dans le prolongement de la ligne in M. Il suit

de là, et duprincipe que nous avons énoncé, que les actions

réciproques exercées entre la molécule m du fluide et une

molécule quelconque de la paroi située dans le prolongement

de la ligne m-Mvsont toutes proportionnelles à la quantité

précédente. Elles ne'diffèrent les unes des autres qu'à raison

de l'inégalité des distances entre m et les molécules dont il

s'agit.Si d'ailleurs les molécules du fluide reçoivent une impul-

sion, en vertu de laquelle les vitesses de là molécule ttî, dans

le sens de chaque axe, augmentent des quantités tu,lv.,§w,

la vitesse de cette molécule, dans le sens de la ligne mM,

aura augmenté de la quantité

~(K~M+6~'u+Y~).

Doncles moments des actions réciproques entre la molécule m,

et l'une quelconque des molécules de la paroi situées sur le

DU MOUVEMENT DES F1UIDES. 4°7

prolongement de la ligne toM, sont proportionnels à

–(KM+g~+Y~).(K~M+g~+Y~).

Ainsi, pour avoir la somme des moments fournis par toutes

les actions dont il s'agit, il faudrait, multiplier l'expression

précédente par une fonction de la distance p' supposée entre,la molécule m et une molécule de la paroi, puis intégrerdepuis p'==P jusqu'à p'=oo Or, en faisant cette opération,on doit nécessairement trouver pour résultat l'expressionprécédente multipliée par une fonction de p, qui décroisse

très-rapidement quand p augmente à partir de o, et devienne

nulle quand p acquiert une valeur sensible. Car l'action dela molécule m sur celles de la paroi est nécessairement as-

sujettie a cette condition. Donc, en représentant par F (p)une telle fonction on doit prendre

– p-t (xU '-tr.&v-ïy.W.).^a$ U-h&lv + y£w)

pour l'expression de la somme des moments des, actionsexercées entre la molécule ra du fluide, et celles des moléçujjesde la paroi qui se trouvent dirigées suivant la ligne mM.Nous allons maintenant prendre la somme des moments

semblables fournis par toutes les molécules du fluide situéesdans le voisinage du point M. Nous obtiendrons de cette ma-nière la somme dès moments de toutes les actions récipro-

ques, entre les molécules du fluide et de la paroi, qui sont

dirigées suivant des lignes passant par le point M: il nerestera plus qu'à ajouter les sommes semblables fournies

par tous les points de la surface du fluide.Il s'agit donc d'abord d'intégrer l'expression précédente

Jû8 MÉMOIRE SUR LES LOIS

dans l'étendue du fluide qui se trouve à une très-petite dis-

stance du point M. Cette intégrale doit généralement se pren-

dre d'une manière différente lorsque la paroi est plane, et

lorsqu'elle est courbe^ mais ayant supposé précédemment

le rayon de la sphère d'activité des actions moléculaires

assez petit pour qu'il fût permis de négliger, dans l'éten-

due de :cette sphère, les quarrés des distances «, ë, 7 par

rapport à leurs premières puissances., nousdèvons admettre,

comme une suite de cette hypothèse, que la surface de la

paroi ( sauf les arêtes ou les points singuliers ) se confond

avec son plan tangent dans l'espace où l'intégration doit s'ef-

fectuer. Ainsi supposant que l'on ait mené par le point M à

la-surface,.de la paroi un plan tangent, nous prendrons l'in-

tégrale dont il s'agit dans la demi-sphère dont le point Mest

le centre, et qui est terminée par ce plan. Pour fixer la di-

rection du. plan tangent mené par le point M, soit MN la

direction de la normale à la surface passant par ce point

nous désignerons par r l'angle P M« que la projection de

cette normale sur le plan des a fait avec1'axedes a, et par s

l'angle NMP que la normale elle-même fait avec sa projec-

tion.

DU MOUVEMENT DES FLUIPES. 4°9

i8a3. 52

Il

Cela posé, nous allons d'abord changer les coordonnées

«, g, y en d'autres coordonnées rectangulaires, ë'r y', dont

les axes seront dirigés comme il suit. La normale MN est

l'axe des y'. Menant par le point M un plan perpendiculaire

à cette normale, l'intersection MO de ce plan avec le plan

des a g est'l'axe des «'.Enfin l'intersection MQ du plan per-

pendicùlaire dont on vient de parler avec le plan contenantles lignes MP, MN, My, est l'axe des g'. En adaptant à ces

suppositions les formules connues pour la transformation

des coordonnées rectangulaires, nous aurons

« = – a sin.r+g/cos.rsin.iy + y'cos.rcos.,y,

g= acos.r+ë'sin.rsin. JHH-y'sin.rcos.^'l," \)

y= g'cOS.^ -– y'sin.

et ces valeurs, substituées dans l'expression précédente, la

changeront -en

1p. [ar(, – Wsin.r+'y cos.)+ë'(«CQS.Tsin.^+'ysin.>>sin.^+«' cos. ^) +

y'(wcos.rcos.^+i)àin.rcos.^ – wsin.^)]x

[Y( – $usin>r+Svcos,r)+ê'(£iicos.rsin.s+§'vsm.rsin.s+Swcos.3)+

yÇSucos.rcos.s+Sv&m.rcos.s – âwsin.,y)].•fa

expression qu'il faut intégrer pour toutes les valeurs de a'

et ê', et pour les valeurs positives seulement de y'. Cette

opération se simplifiera en remarquant que si l'on considère

quatre points placés symétriquement, pour lesquels y' est

positif, mais dont les autres coordonnées a' et g' différent

deux à deux par le signe; et qu'on ajoute les valeurs, que

prendrait l'expression précédente en ces quatre points, il ne

restera dans le résultat de l'addition que les termes affectés

4lO MEMOIRE SDR LES T.O'ÏS'

des puissances paires de a' et g', termes qui se trouveront

multipliés par 4; Ainsi, effectuant la multiplication indiquée, ytout se réduit à intégrer la quantité

4 ·F ~P)a~2 (u ~in,'r Wsin, r ~rc4 (?)/a: (Msin/y– sin. cos. y')~M .i' .–4.

~(p)

,rcsin.rcos.r'+v~cos.'r ) fivy,,¡..p

~sin.~co~.r+~GOS.~)~~)i

g~ (Mcos.~siti.+~sin.~cos.A'sin.t- ~cos.~sin.~c<os.~)~M

(Ksm.ycos.sin.~+'usm/~sin.~+<~sIn.sin.~cos.~)~T

.(u si~r. r cos. r s~n:'s + v sin: r'sin:'s + wsm, r~m,scos, s ) ~v

(Mcos.7'sin.~coa~-)--T-'§in.~Mn,ps~+~cos~~)~w

'(Mcos.~ços.~+~sin.rcos.~cos.~–~cos.~sin.~cos.~)~M'u

.2

(Msin,vcQs.rcQS.t-~sm/~cos/~–(~sin.7°sm.ycos.~)~~

.(–Mcos.~sin.~cos~–~sin.rsin.~cos.~+(~sin.~)~w

dans rétendue du huitième de sphère où «r, S' et y' ont des

valeurs positives.`

Pour y parvenir nous substituerons, comme ci-dessus,

les coordonnées polaires p.,<J*et -"9-aux coordonnées rectan-

gulaires eu posant

oé'^ipCOS^COS.-cp,'~°

êA==pcos.^sin. 9,.

y' =p sin. 4*^

Mettant doirc ces valeurs dans l'expression précédente, et

multipliant par l'élément de volume d çdtydf p* cos.f,Bous aurons à prendre d'abord les trois intégrales

''ffdtydy.eosJfyçàs'Sy, Éfd$d<çt.c0s.3<\>:$m.*<pT

II d <|i dy sjn.2 ;<]( cos.

DU MOUVEMENT DESFLtTIDES. 41 1

5a.

entre les limites oet;, et nous trouverons pour leùf valeur

commune, Substituant cette valeur à la place dé x\ .€'

et y'' posant

.•' o~0

et ayant égard aux réductions qui s'opèrent, il viendra défi-nitivement

E(M~M+~~+M'~w) (

pour l'expression cherchée de la somme des moments detoutes les actions qui s'exercent entre les molécules de la pa-roi et du fluide, suivant des directions qui passent par; lé

point M de la surface de séparation du fluide et de k paroi.La lettre E représente une constante dont la valeur sera don-née par l'expérience, d'après la nature de la. paroi et du

fluide, et qui peut être regardée comme là mesure de leuraction réciproque., On prendra ensuite la somme des mo-ment's de toutes les actions semblables, en multipliant l'ex-

pression précédente par l'élément ds* de la surface dufluide,et intégrant dans toute l'étendue de cette surface.

Il résulte detout ce qui précède, qu'en admettant les prin-cipes énoncés dans l'article ier de ce Mémoire, réquâtîoïigénérale exprimant l'égalité à zéro delà sommedes momentsdes forces appliquées aux molécules d'un fluide incompres-sible, dans l'état de mouvement, est

•' »

1

^l% MÉMOIRE SUR LES LOIS

+'Sdst.iE(uèu + viv+'wè'w).

Le signe S désigne une intégration effectuée dans toute l'é-

tendue de la. surface du fluide, en faisant varier la quantité E

suivant la nature des corps avec lesquels cette surface est en

contact. Il est inutile de tenir compte des termes relatifs-à

l'équilibre des points de cette surface, puisque, pourvu que

l'on ait p o dans les points appartenant à la partie où la

surface est libre, ces termes disparaissent.

En passant dans le second terme de l'équation précédente

le d devant le S, et effectuant les intégrations par parties,

ce terme se changera en

O= c~xd dz P -dpCdu

d u du

du\~.=~M~ dx.r P d t ù dx -t- 'v d~" + cx~ il J 8 uo

fffdxllydz [p d~x d~t dx 4- woU

~Q-'~-PCdt+udx+~dv+~dzlJSwdy ,r, dt dxy dz

[R-Ë~dz+

dx+ V,- + w- ~w

c~ c~z 3du.$du+du~dû+du$du+dvSdac d_v$_du dw~du d_JV8_du

–6/n~3~~+~~+~+~~+~~+ dz dx + dx dz

_du$dvdu $dv. dv$dv ~lv$dv dv ~dv dw ~dv dw$plv

ilàx dy .+dy dx +dx dx +3dy dy +dz dz +dy dz dz d,y~

du$~dw ~+~+~~+3~~dx ciz +dz dx +dy dz ± dz d,y +dx dx + dy dy +Jdz dz

/7~7 d z u. d' u d' u d~ v ~d' rx~ 1 $ z~

ejjjdxdydz (3 j^ + %p + j^ + 2 dx dy + -» dxdzj~z¿

CZ·d x dy + d x' -I- 3. d~ d z' -I- 2 d, d z l

v

CZ dxdz +2 dydz -dx'-± d,y~' + 3 dZ' J

DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 1\\$

/7~ ~'f~ r il zG' d v' r d_u' d f-V'

+~~ ~3~) ~+-y,-x,)~'v'+ Cdz'-f- d~.x) S~

7"~ .r/~M' ~~M' ~1

J t~dx'dz~L~d,y'dx'Jsu~± \dx'+~3 ~'+dz')~`vr+Cd~r± d,y')~aX~+~~ ~+~~ +~+.3~+~~ +~+~~

du' < d u' d v' d w' 'i

` dic" d_~jz" dw" rr du" + ~+~+3~~J

r dz.'3

dit" d,?,"

dw"u

(dur' d fr (adu" d ri i,]aJJdy' ~d2~l ~3~+~+~)~ +~+~)~ +(~+~)~ J

e du" cZv" dw" vit-l- dv" dw°

~dx'~dz" [Cd~" -i- dx")~ZG"I-

Cdx"-I-

~J dy," + d~) b~1l+, C~z" -I- ~r" ) W 1~+~)~. +~+3~+~)~ +,(~+~~ J

.r/"7 rry,r. du"

dw" 'p dw° dû" 'dv"' dw"e 1~ d

LC~zv 'i" d xr'~!) u+ Cd z" + d y~") +dya:-1- 3 dz" ) If]~+~~ + (~+~;)~ +(~+~+~)~ J

en marquant par un trait les quantités qui se rapportent à

la première limite des intégrales, et par deux traits celles

qui se rapportent à la seconde limite. Nous remarquerons

d'abord que l'équation de continuitéque, l'équation de continuité'

;du d-v dw_

'd~ + dz ~o~

à laquelle les valeurs de u, v, (~ doivent satisfaire dans toute

étendue du fluide, donne, ~n la différentiant successivement

par rapport à x, à ~-et à z,

~.Mdav daw

\.dx2 + dxd,y + d.xdz- <-dau dav daww y

axd,y ~`dy.a ± drdz=°'.d2u d2 d2

`

dxdz+,dydz'+ dza o~

D'après ces relations, l'expression précédente se réduit à

4l4 MfiaélRE StfR LES LOTS

y/y~ jt~ 2 ~1d:x7~ d dx ± d, +~dz Sv7u-\.t~x't' d~ .-I d z

S'~-t-t~ d~ dz'

+~d,d~z de' ~a;x,zc .-i_.C~f-d1~`d

-i-+~ ~+~+~~j

/Tjr/~M' “ ~.?/

+~~ ~)~~2~~+(~+~

+JJ dx~d'Y ~~dz'x'')Su -~°:Cd2+ ~)~+2dz ~$w'~+~ ~~+~~ +~J

dy' dz'~ LC2 ~r, etc:

On voit donc en premier lieu que lès équations indéfinies

du mouvement du Huide deviendront respectivement

d du d zc du: du1 dau dau ~K\

~.r ~< ~.r ~jr ~z/ \r' az

d dv dv <~ d'v d'v

d~PCd~-i-u~y+~d~wdz~âx'~'a~+âz'

-n ~p <~ < /M'ddw.

dw dwdw daw

daw

d2wRidz-PCdt+udx+vdy-I-dz~ E.~dxx+dy~+dz'

En second lieu à l'égard des conditions qui se rapportent

aux points de la surface du fluide, si l'on désigne., comme

on l'a fait plus haut, par 7,/M,Kles angles que le plan tan-

gent à la surface forme avec les plans des yz, des xz et des

a?y/siron remplace dydz par d.sa ços: l; d.xdz par d s' c.os. m,

dxdy par ..ds' cos. n et les doubles signes d'intégration

relatifs à dydz, dxdz, dydz par le signe S relatif à ds': il

sera nécessaire, pour que les termes affectés des quantités

8u, Sw,8cr~soient respectivement réduits à zéro, que l'on ait,

pour chacun des points de la surface du fluide, les équations

déterminées

DU MOUVEMENT DMS FLUIDES. 4l5

EK + s_[co,2g+coS.m(^+g) + Gos.,(*+g)]=o;

E[ du dv

d.v

Cdv d~E. + ,[coSj(|+0+co,m.2g + co,n(g+^)] = o,

~c~~+aCcos.lCd~d~l`l-cas.zn~dz+d ).+cos:ri~:2 dzl-o.

La valeur de la constante E doit varier suivant la nature des

corps avec lesquels le fluide est en contact, et( ce qui est

physiquement impossible ) s'il y avait un espace vide au-dessus de la portion libre de la surface du fluide, ces équa-tions devraient encore être satisfaites pour les points appar-tenant à cette portion, en y supposant È– o.

Les équations précédentes peuvent encore être simplefiées. En ejfet les moMcules du fluide continues à la paroine pouvant se mouvoir dans une direction perpendiculairea la sunace r on a la relation

>o = u. cos. l+v: cos. m+m. cos. n y

en vertu de r laquelle eille^se réduisent à

Ew+ 1 (cosj. -h eos.m .$-+- cos.

» Jfi) ==o

E~+~cos.t-cos.+cos.=o,EV+f

c~s~l'4.$+c'Os'dyfcos.n.; =o.~

Ew+E~r.as. l -t' co~irz ° d + cos:n ~zo.

Dans un point ou la paroi serait perpendieulai^e à l'axe (

des s ^n aurait simplement

du. dv_EM+^^=O,EV + e^=O.~z Ev + o.

4l6 MÉMOIRE SUR LES LOIS

Si elle était perpendiculaire à l'axe des j,x s • –

du dw

Ew + s 5p=o»Ew.+

e dï=0y dy

et si elle était perpendiculaire à l'axe des x

dv t-, • <a?wE~+e-=0,.b.W+s-==0.a~ x x'

On peut, d'après ce qui précède, se former une notion

exacte de la nature des constantes s et E. Concevons une

portion de fluide reposant sur un plan, et dont, toutes les

molécules se meuvent suivant des lignes parallèles entre elles

et à ce plan. Admettons que les vitesses des molécules du

fluide comprises dans une même couché parallèle au plan

soient égales entre elles; et que les vitesses de chaque cou-

che, à mesure qu'elles sont plus éloignées du plan, aug-

mentent progressivement et uniformément, en sorte que

deux couches dont la distance est égale à l'unité linéaire

ont des vitesses dont la différence est aussi égale à l'unité li-

néaire. Dans cette hypothèse la constante e représenté en

unités de poids la résistance provenant du glissement de

deux couches quelconques l'une sur l'autre, pour une éten-

due égale à l'unité superficielle.Si de plus on suppose que la vitesse de' la,couche en con-

tact avec le plan formant une paroi fixe est égale à l'unité

linéaire, la constante E représente en unités de poids la

résistance provenant du glissement de cette couche sur la

paroi, pour une étendue égale à l'unité superficielle.

DUMOUVEMENTDES FLUIDES.417

i8a3. ;- 53

IV. Applications des résultats précédents.

«* Écoulement d'un fluide par un tuyau rectiligne dont la

section est rectangulaire.

On considère un tuyau dont les parois sont formées par

quatre plans parallèles aux plans des xy et des.xz. L'axe du

tuyau se confond avec l'axe des x, qui forme avec l'horizon

un angle 9. Toutes les molécules du fluide sont supposéesse mouvoir suivant des directions parallèles à l'axe du tuyau.On a donc ici v==o, w=o; et désignant par g la

vitesse quela gravité imprime aux corps pesants dans l'unité de temps,

P=f^in.6,Q===ovR=pg>cos.e) en supposant que les x et

les zpositives sont comptées de haut en bas. L'équation de

continuité se réduit à = o ce qui apprend que u est

fonction de y et z seulement, ou que toutes les molécules

situées sur une même ligne parallèle à l'axe du tuyau doi-

vent à chaque instant avoir les mêmes vitesses. Les équationsindéfinies deviennent

dp du fd*u d'u\P~'siri.8- dx

Pdt~.d,yy' +dz' P^in.6-^=:?3J-*(–;+–),

= o,dy 7

dpP^cos.6^–p,

et l'on doit y satisfaire dans toute l'étendue du fluide. Il

faut de plus, en désignant par b la demi-largeur, et par c la

demi-épaisseur du tuyau, que l'on ait

4(8 MÉMOIRE SUf. LES LOIS

^{i-j-i-o o quand ^r?==:±^i

Ett + s ~==o quand f== ±c.

La valeur de la pression est indépendante dey, en sorte

qu'elle est la même pour tous les points situés sur une même

ligne horizontale perpendiculaire à.faxe du tuyau. Nommons

a la distance fixe ou variable de l'extrémité supérieure de la

portion de fluide contenue dans le tuyau à l'origine des ,x,

la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide,

a et a étant mesures sur l'axe. Désignons par Z et Z' les hau-

teurs dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux

deux extrémités du fluide pour les points situés dans l'axe,

pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que

l'on 'ait p==?g-Zquand oc=a,z – o;etp = pg\ U quandx=

a+ a.rz^=o^U expression

P = 9g.Z – ?g(Z.– V)~^+ p^.3cos.9-

satisfait à ces conditions, aussi bien qu'à la tuoisième deséqua-

tions indéfinies. En substituant cette expression dans la pré-

mière de ces équations, et posant C=«siû.Ô + Z– Z' il

viendra

_du-_P6'~dd~u d-U

Pdt a ~d.2'±dz')~

La quantité représente la différence de niveau des extrémi-

tés supérieures des lignes Z et Z- supposée® portées verti-

calement aux deux extrémités du fluide, La question se

réduit maintenant à trouver une expression de u qui satis-

fasse en même temps à cette équation-, aux àeax. équationsdéterminées écrites ci-dessus et à l'état initiât du, iluïée.

DU MOUVEMENTDES FLUIDES. 4X9

53.

Ori satisfait à réq^tiâtïôti précédente au moyen de l'èx-

prëssïôrt• '•.•- '• '

u=*yQT?cos.Tn.y.cQS.7iz.e ç\m-n ^+ C^Qcos. my.cps.nz,

m, n étant des nombres quelconques, P représentant un

coefficient arbitraire, et Q un coefficient déterminé par la

condition

= £)§ Q (m* + 7i') cos. my cos. «z.

En substituant ensuite ï'expreission de « dans les deux équa-tions déterminées, et faisant dans la première y=dzb, et

dansja seconde z==±e, il en résulte les équations

m&.tang. mb= –

'• " .'' ' '&&- .-n c tang. n c = – ,

qui donneront chacune pour m et 7^ une infinité de valeurs

au moyen desquelles on formera les termes desr séries quientrent dans l' expression'.de U\ II ne reste plus qdâ déter-

miner les coefficients de ces térnïes, qufe riotis aroris re-

présentés par P et Q.Pour trouver d'abord^les .coefficients re-

présentés par Q, on multipliera l'équation dont ils dépen-dent par dydzco&.m y.cos.n' z, et l'on intégrera par rap-

port à y entre les limites o et b, et par rapport à z entre

les limites o et c ce qui donnera v

P~ pjS'v-§±i dyf dz. cos.m'y. cos. n'z –

m%à- S*J°b

° ' ' •

OO (pi?+ïif)l dyf dz.cos.my. ços. m'y. côs.TizïCOS.nz;~0 ~0

^2OMÉMOIRE SUR LES LOIS

c

Or on démontre que, les nombres m',n' étant supposés

assujettis, comme les nombres m, n, aux équations détermi-

nées précédentes la valeur de l'intégrale double indiquée

dans le second membre sera o si m' diffère de m, ou si.nf

diffère de n; mais que, dans le cas où m'=m et »'=-», la

valeur de cette intégrale est

zm b+sm.amb 3«-c + sin. o.nc

Xm 4 » n

(Voyez la TIiéoHe delà chaleur,, page 399). D'un autre côté

la valeur de l'intégrale doublé indiquée dans. le. premier

membre est alors -Si»* ™iff L'équation précédente se ré-membre est alors L equation précédente se ré-m n

duit donc à

pg~ sin.mbsin.~ “

)' 2mb-E-sin.2rnb,anc-f-sin.zncn

t. a.' m n v\ ^w 4»

ce qui donne la valeur de chacun des coefficients représen-

tés par Q. Quant aux autres coëfficients, ils se détermineront

de la même manière^par la considératiop de l'état initial du

fluide. Si l'on désigne par <p(/,z) la vitesse initiale du filet

de fluide dont la position est fixée par les coordonnées^

on devra avoir

?(j,2)=sgS(P^-Q)cos.mjcos.nz.

Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouve-

ment initial du fluide, ce mouvement s'approche continuel-

lement d'un même état régulier et permanent, entièrement

indépendant de cet état initial, et dont la nature est exprimée

par l'équation r

DU MOUVEMENT DES FXUÏD^S. 4^ï\

4_~4 P ~'in.'W b sm n c cos. '°"" nz4'4'?ëX'd C sïn. mè.sin.nc. cos.mjz-eos.riz"-•-

U~~ e.a- -w '(!»"-+rea").(am£-f-sirii2tw£)(2bc 4£sin.a rt fâ):?

On forme les termes-de la série en donnant successivement

à mrn toutes lés valeurs qui satisfont aux équations déter-

' , Eè t Eemmees transcendantes m b tang. mb – –, ne tang. n ç ==–

6.' 1. $.

Dans aucun cas le véritable mouvement du fluide, après un

temps déterminé, ne différera sensiblement de celui qui est

représenté par cette équation.Pour trouver la vitesse moyenne des filets du fluide il

faut multiplier l'expression précédente par :dydz:, intégrer

dans toute l'étendue de la section transversale dit tuyadr, et

diviser par l'aire de 'èette section: transversale. En nommant

cette vitesse U, on a donc o

|-t 4-4-P^^O D sin. mb.sin^neÈ.a.èc OOmn(m'-+-n''j(2mê-+-sin.2rni>) (a«c+sin.2«c)

Cette valeur de U donne le mouvement auquel tend con-

tinuellement une masse de fluide placée dans un tuyau rec-

tiligne incliné, formant avec l'horizon i un angle dont "le

sinus est-. Cottime la sblùtibn précédente né tient pas_C!-

compte de la modification que pourraient apporter à oe

mouvement les effets qui -ont lieu aux extrémités de la

colonne de fluide, elle ne peut d'ailleurs s'appliquer en

général qu'au cas où le tuyau est assez gros pour que ces

effets puissent être Inégligés. Mais s'il s'agit d'un tuyau éta-

blissant la communication entre deux vases l'a formule

précédenteidpnne la loi du mouyemen{ lors même que la

grosseur de ce tuyau?<esjfc>très-petitë puisque lés effets: ca-

pillaires dont il s'agit disparaissent alors entièrement. Dans

423 Tffii MOI RE S UR EBS 1 0 1S>

ce dernier cas,, représente la longueur du tuyau, et la

fdistance verticale: des sMfàûës.de 1'ç.audaiîs lés deux vasesou ce qu'on appelle communément la charge d'eau.

Si la largeur et là hauteur du tuyau étaient très-petites,

les premières valeurs dès quantités hift^ric, données parles

équaffonsrdltèrmihêes, seraient à trè^-pëù près y – \î.

Les vaîéïîrà siuvUritës'dEëâinêmës q'uàtïtïïés différeraient très-

peu dés' nombres x, ^t^Stc, Ainsi,dans ce casses valeurs

qu'il faudrait attribuer aux nombres ôï,rt, seraient respective1

yc~ c –– L~

rtombEes.de chacune d© des stoites étant, dans l'hypothèse

dont ii- s'agit^trèsf+graaïésjpac rapport ai»» premiers tous les

termes de la valeur de IL à raisondu facteur ,'Z" N.peu-7 mn {m' + n'y r

vent être négligé$5$àr rapport au premier. On a donc sim-

plemerit• ': - U=~Îij2. lC:

['- ;Miu. ¥+& .•;. ,

et si la seetioa dujtuyasi est un quarrédomt b représente iW

demi-côté, l'expression de la vitesse moyenne est

U-P8:~ÓJCj.OC2

Écoulement d'un fluide par un tuyau rectiligne dont la

section est circulaire.

La solution donnée précédënïmënt pour le câis d̂'un tuyau

rectangulaire apprend que l'étaf constant dôïM le 'fluide S'ap-

proche continuellement-, et dont son mouvement né! différé

1

D U cMO.HVEMEiN'T.: DES-jFl-InOES. 4^0

pas>spnsibfomeï*t;aïi b&at Mua leertain/teitipsi,; «@»si§te #&ce que iesRjwfesses des filets cpû; flpdé ideepoisseiftt #pçsbl'axe du tuyau jusqu'aux parois, et sonfeégalfispjbuieaiesMhU

placés symétriquement par! TàppsDiiti aitx «pknsrparallèlesaux parois cp£pu>supposerait saienés; par met:&& Aij&si^.si lésvitesses initiales ont été imprimées de manière que cettecondition se trouve satisfaite, la hiême condition subsistera

pendant toute la durée du mouvement; II est évident qtoecette circonstance ne petit être partîculieré(;ài la forme ree-

tangulaire et que, pour un tuyau cylindf^e 1'éjat cèns|^du fluide doit être tel que les vitesses des filets décroissent

depuis l'axe du tuyau jusqu'à h paroj^ et soient égales pourtous les filets situés à la même distance de cet axe. Nous

supposerons do*e, pour plus de sânap&ité, et ennous boimapjau cas où les vitesses initiales seraient aussi égales pjaiK-lesfilets situés à la même distance de l'axe que la vitesse u estseulement |bnctkwpt 4u rayop yai^aHe «^df chaque couchecylindrique du fluide.

Dans ce cas y 'ï'équâti©»diffieiiéfflftiëlîe employée eMess^s

deviendra, comme l'on sait

i4u ££Ç /d*u i(tu\ '"' 1dt « TeUr1 + ^J

et on n'aura plus que la seule équation çjétermjnée,r

EM+e–==0.>

qui devra subsister pour > valéW^=!E^rï appelant R le

rayon du tiiyaù, L'identité de œs défe équatioiis avec cellesdont dépend là recHerché du mouvement de la chaleur dans

un cylindre, lorsque, dans l'état initial les points situés à la

^J; MEMOIRE STO'IES LOIS

même distance de l'axé ont des températures égales, per-

met d'employer ici la solution exposée dans le Cnapitre VI

de ïa Théorie de la chaleur.

Pour trouver d'abord une valeur particulière de u qùi sa-

tisfasse aux équations précédentes, mous supposerionsdonc

w~

u==s .e~ m étant un nombre quelconque, et une

fonction de r. En substituant dans l'équation indéfinie, où

nous faisons pour le moment abstraction du terme cons-

tant 1&-2", il viendra

M I~–~+-T-;+--T-==0,

équation dont dépend la fonction s. On satisfait à cette équa-

tion au moyen de la série

5,M 4 ?K' r 6- M4 'l'8 1e..c~==t-–+~–+ a.l .6.8

dont la;somme est donnée par l'intégrale définie

s=\f dq.cos.(r\sin,qy

Si maintenant on substitue la valeur de u dans l'équation

déterminée 5M + |?=o, et,que l'on fasse r=R, il vient

EC-m.R1 m'.Rs ~_RL_l_~––etc~==

lVI~7v"7:^2V47~~632%4'.()' s5 22.4a.8a J

2mR 4~R'.6~Ê~–~–-+etc.-y~––4'

s' ~.4'.6'.8~.

ou bien `

DU MOUVEMENT DES FLUIDES, 4^5

icro ti-ucDSUS. 1 Il. 1 1

ï8a3. Il 54

~~° dq, cos. CP~ sin q) dq sin.~q sm. ~R~ sl,n;. q.)

pour la condition à laquelle doit satisfaire le nombre repré-senté par m. L'une ou l'autre de ces équations, qui sont iden-

tiques, donnera pour Mune infinité de valeurs.En s'assujettissant à prendre les nombresréprésentés par m

parmi ces valeurs, l'expression cherchée de la vitesse Men 7'et t sera donc

mt

zc=:~P:s.'é p ,+ SQ.s;`

P et Q représentant des coëmcients constants les coéffi-

cients Qétant déterminés par la condition que l'on ait, de-

puis r o jusqu'à 7'===R,

(c~-S~

et les coëfficients Ppar la condition <p( r)étant, au com-

mencement du mouvement, la vitesse de la couche cylindri-

que de fluide dont le rayon est on ait, depuis r-o jusqu'àr- R a y

p("")~8(p+QJ.s.

Il s'agit donc de trouver généralement l'expression du coëf-

ficient A d'un terme quelconque du second nombre, dans

1, équation

'(~=g'

`

la fonction .y, ainsi queles nombres /? qui entrent dans cettefonction, et dont les diverses valeurs servent à composer lestermes de la série SAs, étant assujettis aux conditions énon-

cées ci-dessus.

4^X f^fcÉWMRBirSUR CESittOiS' s:

Pour, parvenir, on multipliera chaque membre de le-

ofuatiopprécédente pat "dr^ < représentant «ne fonction

de s-, et l'on intégrera depuis r=o jusqu'à r=R; ce quidonnëra*mir/ °- s':r;;1;J'1 ?;ri '"• 'rV-••< vit•• • y,ix •-

"•j.'pj4r<>fif)===^àj v..dr.<t.s, ;,; •;

J 0 •* O

Maïs à cause de l'équation dont dépend la valeur de s.

Ci Ê f'i /d*s i ds\~dl c s j'~r â ~.dr r-~l ~y

et^ëomme, en mtegfant par parties, on â

~<r ~?~.fdi'âra=adr drs~~d-~dras~dr dr dr ,r J dr

fa xds '"VV 7% dVldr.G--r=~°s – -Jar-j^s, s,

iV^S-ifOi) «i'oô , V, •ï-.i: .

m r jJ fs"-I-

ds do f'v ds e, dû -–/ ety.cj'==( -~+T––) –{ -~+(1-– ) -'<-Vo Vr rfr Jr /o \.r dr dr Jn

:G/"^(^a;

les parenthèses affectées des signes o et R indiquant Les va-

leurs que prennent les quantités comprises dans ces paren-

thèses, lorsqu'on fait r==o,r–R. Supposons maintenant

qTOte^ricWôtfd ^bitàs'suîeïtieoà éaïiMire'lf éqUation'!

m

Ï^Tr + dp–0' .o-;L-»;v;

D U MOUVEMENT DÉS S FLUIDE S.427J 1-1

1- 54.

on aura, au, Heirdç Pe^ïation précédentes r,; ' – '; »' ).; 'i7-- ''s s

~dr.a.S~ _tls 'ds .` s ds ds

Or ii fcnctioft^satisfait "^etïveinetïrà i^qtiâtiôri qù^l'où

~n~d~r,onipre~~=~t~t,vaïeur^e dans Téquatipn dont il

s'agit, ^Ile devient

't-4.i-"p^^2c,ir

c^st-à-dire^tiatioii; même dont dépend là fonction Jr en

changeant seuIeinentTW en w. “

Nousdésignerons par ^(v/i/Jla action de r qui sa-

tisfait à l'équationE

Zrt. !I a S I. yd S -“

E't'dr' r dT~o~"–

et Par :(v^i) > fonction de r qui satisfait à l'équation.

$ I. ds..l,o

r~r~

Ens^tfeaMdoim; | (^v^i Tiaip^GeJè et

rT(v/2-r).à la place de « il viendra°

C~l'.Q.f- mr nr `,~ 3 `

Vs < R

Z2$MÉMOIRE SUR LES LOIS

~=~(~~)~(~o.

u"' ~:WC"/~R).W'C-0R)"J'

Si l'on suppose d'ailleursle nombre n pris dans laverie

des valeurs; représentées par m,les fonctions

W( \/™ r ) i

y f\ri feront également assujetties à satisfaire, pour la

1 1" ;r R" â 1, ,EE s +' d

= o d'oûvaleur particulière *= R* à l'équation + ^.=o,

d'où

résulte

,R) _(~R),

.J" -~(~~)

Le second membre de l'équation précédente est donc nul

sauf le cas particulier où l'on aurait n=m, dans lequel la

valeur de ce second membre se présente sous laforme j-

j^our Couver dans ce cas cette valeur, soit ^=\. -

&

v – y/ L'équation précédente devien|

'1

E

u.~fu.R~.v~~–~(~'R-)~'(~Ldr. a S ===^ix – – rr. – r y».-»» ~r"

• • « ' • • - "' .-'

différentiant les deux termes de la fraction par rapport à v,

et faisant ..ensuite ? = [*, >1 vient a rA

d r. a s.2 [îLRf;W'(¡LR)Y"1Jf{¡iR~ .Jf'{j1R)~u.R'Y(~R).W'~(II.R)]',

:)ol ) ,.2H/ 'l' ass~

Or la fonction ¥ .(|*r) étant, pour la valeur r=Jl, assujettie

DU MOUVEMENT DES FI.t/lDES. 4^9

aux équations

m S + a +. I d S U., oL'f. !ba lY"+ (~ lY"i' R'l~l'~ = O

Es+. dr-o~

d'où l'on déduit

E, E~

R

l'équation précédente se change en

~R, R~2 v 2 B'1

.. . -: *vo - :' :

ou, en nommant S la valeur que prend- s quand r=R, et

remplaçant (/. par la valeur y –,

RdT.çs=R~2 ~lCI-i-me).

/orf^'=M>-+«> •.-•;

Il résulte de ce qui précède, qu'en prenant pour c la fonc-

tion r.s, le coefficient A se trouvera déterminé par l'é-

quation~R E°'\

f rfr,rf.?C) = A.S1±.(i-h.|i),

d'oùV" " : •"• - ' "

•.

2/ dr.rs.f(r)

A.=.Rls~ I+E~ i)m è~

' /•'"e/

*

Dans le cas particulier. dont il s'agit ici, où les coefficients Q

43ft MEMOIRE SU» ILES LOIS

doivent être déterminés de manière que l'on ait

i,Q~

nous avons ?(r) = M?>A:=Qto. Là formule précédente

`

donne doncdonne donc •R :.A/J.ï-y^

“ 2/dr.rs

-V.:Q^^ -T^ r: ~,r

" wR'-S" fï J-V~M6/E

et par conséquent la-portion de la valeur de u qui représenteles vitesses constâatés que le fluide tend toujours à prendre

quel qu'ait été son état initial et qu'il a acquises sensible-

ment après un certain temps, est

y R

M––J~Q: È, c~O~S~.+~) Me

ou bien \î7Tv' ,r"7" ""

m R' m R~ M3, R6~~Ëi3~~r;o- g3 y.s:8'+etc. f.

V y.

E m R' m'2 R4 R6 Ra V

77dE t2* 6~a'.4~ ~4*.6'

Pour déduire démette-expression celle de la vitesse moyenne

TT 't fU, il faut prendre l'intégrale – d<pj dr.ru^R

jp dr^ru. On aura donc`

_r

~'K' 7~'R4 ~3 R6 2

U – Pg'^q "7 '!»•»' im-3.a'. 4' TF4.2'.4'.63"f'et:c- >

mtj 23 t» aa.4" ta 2a.4*.61+

DU MOUVEMENT DES F~UÎDES. 43i,1. _1- 1.- 8- 1 "d

Un formera les termes de la série du second inembre ^enmettant pour»* h suite munie des -^âïeurs ^m sàtis&ït àl'équation tramspendante écrite ei-desstik J

Cette valeur de U exprimé la vitesse de t'éeoulemeiit del'eau par un tuyau cylindrique qui établit k communication

entre deux vases^ « étant k longueùrjfc 4uyâu etiÇ la charged'eau. Si l'on suppose le diamètre du tuyau très-petit, la

première valeur de msera. tres-pètite eté^ale à toutes

les autres valeurs seronttrès-grandes par rapport à celle-ci,

Il en résulte que l'expression de U lorsque le rayon dutuyau est très-petit, se réduit à

.y tt– p^ r 'vv "

' - ":. '2-e/ .= '- .ou simplement a"r': . u=M5.

-i' :s".

-':v^'

• :' " E« ? ,• -

En comparant cette expression à celle trouvée précédeih-ment pour,un tuyau quarré; on voit que la vitesse moyenneprend la même valeur dans des tuyaux quarrés ou cylindri-ques lorsque leur grosseur est la même et très^petîte. Cesrésultats apprennent d'ailleurs que k valeur de la vitesse estalors sensiblement indépendante de l'action mutuelle des parties du fluide, c'est-à-dire de ce qu'on nommeordinairementla cohésion, ou k' viscosité du fluide cette valeur dépendpresque uniquement deTadEérenee qui existe entre Je fluideet sa paroi et elle est d'autant plus grande que cette adhérenceest plus petite. Lorsque les tuyaux sont très-petits, la vitessemoyenne:augmëntev toutes choses égales d'ailleursr^ropôr-tionnellement au diamètre; mais elle tend à augmenter dtfns

432 MÉMOIRE SOR LES LOIS

i-–une proportion plus rapide, à mesure que la grandeur du

diamètre augmente elle-même et alors l'influence de la co-

hésion du fluide se fait de,plus en plus sentir,, et finit par dé-

terminer seule lorsque le diamètre devient très-grand, la vi-

tesse moyenne du fluide.

La théorie précédente est entièrement d'accord avecles résul-

tats principaux des curieuses expériences de M. Girard sur

l'écoulement de divers fluides par des tubes capillaires. On en

conclut d'abord, comme ces expériences l'avaient indiqué, que

la vitesse moyenne, lorsque le mouvement est linéaire, est

toujours proportionnelle au rapport^, résultat tout- à -fait

contraire aux idées reçues, puisqu'on pensait que cette pro-

portionnalité ne devait avoir lieu que pour des vitesses très-

petites. Cet accord prouve que la supposition d'une action

proportionnelle à la vitesse, entre la paroi et le fluide, est

exacte, dans l'étendue att moins des vitesses soumises à l'ob-

servation. vOn conclut aussi de cette théorie, que la vitesse d'un

y

même liquide, coulant dans des tubes de même matière,

mais de, diverses grosseurs augmente avec la grosseur du

tube, conformément à l'indication donnée par l'expé-

rience (i).

(i) M. Girard trouve que les résultats de ses expériences, lorsque les

tuyaux sont assez longs pour que le mouvement y soit devenu linéaire,

sont représentés par la formule

CIU – -JJ-,

ji étant la vitesse moyenne, D le diamètre du tuyau, l sa longueur, et h

la charge d'eau. Cette formule ne diffère en rien de celle à laquelle nous

./-

DU MOUVEMENT DES FLUIDES.433

–––ItK~~veitict~

18^3. 55

parvenons pour le cas d'un tuyau dont le diamètre est extrêmement petitLe coefficient a, dans la formule de M. Girard, est la quantité que nousavons désignée" par E, divisée par la masse p de l'unité de volume.

Ifcresulte des expériences donULs:agit,qU'à:ia température de. i2° en-

viron, la valeur du coefficient a ou l pour 1W coulant dans lé cuivréest environ o,oo23 pour un tuyau Me o™;bor83 de diamètre; et environP,oo^7 pour un tuyau, de o-oo2o6 de diamètre. L'inégalité de ces valeurs,si elle ne provient ,pâs: de quelque différence dans l'état de la surface desdeux tuyaux, indique que leurs diamètres ne^ont pas assez petits pour

qu'on puisse leur appliquer rigoureusement la formuleF=t^

On

peut^presumer aussx que les tuyaux n'étaient pas encore, assez longs pourque le mouvement

y fût parfaitement linéaire, etqu'en les Allongeant

davantage, onaurait trouvé pour, le.cpèfficientE des valeurs plus petites

etq«, auraient offert moins de différences. dajïs des tuyaux de diamètresoLiiterents..

Quoi qu'il en soit, les expériences apprennent que la valeur depour l'eau coulant sur le'cuivrer est un peu moindre^ que o}oo^3 la tem-

Perature étant i2-> environne mètre etk seconde, sexagésimale étant l'unitélinéaire et l'unité de tewps^On^ donc. E = e x o,oO23, ou, prenant le

kilogramme pour unité de poids,E =^.o,oo2 3, La quantité E repré-

senteen. unités 4epoids., commeon l'a dit ci-dessus ,• la résistance néces-saire pour surmpnterlefrottenaent dune couche de fluide coulant sur une

paroi solide avec une vitesse égale à l'unité linéaire, l'étendue de cettecouche étant égale à l'unité superficielle. Donc la résistance provenant dufrottement d'une couche d'eau d'un mètre quarré de surface coulant surda cuivre avec unevitesse d'un mètre par seconde, à la température de

I2«est d'environ de kilogramme. Onpeut juger par là que les frottements

résultants des mouvements des fluides ont des valeurs très-sensibles, eton ne peut être surpris de l'influence considérable qu'ils ont dans plusieurscas sur les circonstances du mouvement, r

La théorie dont ils'âgîtapprenant que la vitesse, lorsque

le diamètre du tuyau r est extrêmementpetit, ne dépend

434 M.ÉM01KE StTft LES XuGIS

que de l'action .réciproque du fluide de la paroi. on ne peut

être étonne de: voit? le mêmefluide couler avec des vitesse^

très-différentes dans des tuyaux capillaires de diverses ma-

tières l'eau, par exemple, couler trois ou quatre fois moins

^ite dans le verre que dans 1er cuivre.

On ne peut, être étonné non plus; de^voir uiv fluide tel

que l'alcôoly dootde* molécules sont moins adhérentes entre

elles; que ne l#;g@îitrcelles-de l'eau efeeelles de l'huile de té-,

rébenthwe coule» néanmoins plassléntemênt; que ces deux

deniieps liqiaide&ïd^nsides. tubes; de verre* On en conclura

seulement qwl!alco©l adhère plus fortement auverre que

ne le font l'eaii et Fhuilè de térébenthine;

A l'égard des différences que présente l'écoulement â'um

mêmefluide dans un mêmetufce Gapillaire,isousdiverses tem-

pératures, elles s'expliquent naturellement en admettant

que ^l'action [de la paroi sur, le fluide diminue généralement

à mesure que la; température s'élève. Les expériences mon-

trent d'ailleurs, que- top» les fluides- né suivent pas à cet

égard la mëpa& loi. On voit par exemple que si l'on fait

eoulep TieaU; elun©^ dissolution de nitrate de potasse daps

lé verre, le premier fluide coufe plus lentement quand là

température est au-dessous de a5o degrés environ tandis qu'il

coule plus vite quand la température ;est plus élevée on^

conçoit en eftet que ^élévation de la température peut dé-

terminer daiis certains eas entre la matière du lïq|iide et

celle de la paroi, un commencementd'aetio,n cjMmiqj^ qa*

balance l'effet de la chaleur, et en vertu duquel il se mani-

teste une adhésion plus grande.

II paraît, d'après les résultats précédents, que l'écoulement

d'un fluide dans un tuyau d'un très-petit diamètre offre un.

DU MOUVÈJlÈNt DÉS FLUIDES. /$5

55.

âeà ïàèïïlenré ixioferis qûël'on puisse employer pour se for-ïriëf Tidéé de Mgrandeur de ^adhérence qui s'établit entre

la surface des corps solides et les liquides qui lès "mouillent,

©n sait que rdbsèrvation dés-phetiômèBes capillaires, dont•M: de Lâpkee a donne la théorie, fait Adonnâttrel'adhé-

sion des moléeulëé fluides entre ëlIes,fOn peut conclure des

expériences dé/MrGajiÉussac, ra^porteesdâns le Supplémentau:Xe livre de là Mécanique céleste, les poids qui seraient né-cessaires pour fo&prejune colonne d'eaur d'alcool voud' huiledé térébenthine, d'un diamètre donné, «n la tirant par ses

extrémités opposées. Laforce qu« ces jK>ids Tîiësureraient nedoit pas être confondue avec celle désignée ci-dessus par la

constante&; mais' il est très-vraisemblableque ces deux forces

conservent tés mêmesrapports dans divers luides. Il paraît

difficile qMwtà présent d'exécuter des expériences dont

on puisse conclure avec une exactitude suffisante la valeurde la constante e parce que l'écoulement dans des tUyau^d'un très>petit diamètre n'est point^jropre à; faire connaîtrecette valeur; et parce que avec des tuyaux plus gros,, Wn

pourrait difficiletnënt être assuré que le mouvement fût exac-

tement linéaire.

Les recherches précédentes lae s'appliquent pas aux cas

où les fluides coulent dans des parois qu'elles ne sont pas

susceptibles de mouiller; par exemple au cas du mercure

•coulant 'dans le_verre. On se tromperait si l'on croyait pou- r

voiîr adapter à des cas semblables les formules précédentesen y supposant Ë nul. Il conviendrait plutôt-alors de con-

sidérer l'action des parois comme opposant au glissementde la couche extrême du fluide une résistance analogue au

frfâtïèïnënr des' bè^rpSîsëMdes"glissants les Unssur les autres.

436 MEMOIRE SUR LES LOIS

Une circonstance très "-remarquable v observée par M. Gi-

rard, et qui consiste en ce que l'écoulement du mercure

dans un tuyau capillaire de verre s'arrête dé Jui-Hiênrë

lorsque le niveau du fluide dans le réservoir est descendu

à une certaine hauteur au-dessus de l'orifice du tube, paraît

indiquer manifestement que la résistance provenant du glis^-

sèment sur la paroi/ par laquelle le mouvement du fluide

se trouve ici modifié est dépendante, comme le frottement

des corps solides, de l'intensité de la pression.

Mouvement linéaire dans un lit découvert.

Considérons une masse de fluide coulant dans un lit rec-

tangulaire dirigé en ligne droite, et d'une longueur indé-

finie admettons que le mouvement du fluide soit linéaire/,

c'est-à-dire que toutes les molécules se meuvent suivant des

lignes droites parallèles aux plans qui forment les parois du

lit. Les équations différentielles seront les mêmes que dans

la question du mouvement dans un tuyau, c'est-à-dire qu'en

supposant le mouvement uniforme, on aura

idp- d'u d'u idp= i – ~~e a-^=^in.8+e(^+̂)J-^=ov-cos.8-

La pression ne variant point avec y, il s'ensuit nécessaire-

ment que la section de Ia surface du fluide, par un plan pa-

rallèle au plan dés 'yzr est Horizontale. Cette surface est donc

plane. En la prenant pour le plan des a?j, la valeur de la

pression sera

p^gzcostMPgz co~. .[' “

cardansia question dont il s'agit, lés quantités représentées

DUMOCVEJfcENTttES FLUIDES. 43»7

ci-dèssuJ^pajrfiZ et Z^soj^de la pression Mraosphérçquè/lué/iu^^ la-

quelle l'expression deaen/,z doit satisiaif e,- e&td&nccspn-.pletnent.'};.«. ;••• ',ï-Iï wvi-ïvofff>ri;:

g'sit7.6 ~Iw=éCdy, -1~-dz~ J ti:

À l'égard dés -conditions relative^ au^phjnts des parois,en désignant toujours par l là demi-largeur du lit, on devra

avoir commeci-dessus • Vî .r; ,%ijV; ;1

;5 Ew-h^=ro; quand /==:£.&« ;v

Sinous,npfll.nip|js e la profondeur du lit, et si nous regar-

dons comme nulle la résistance qui provient du flottementde la surface supérieure de l'eau contre la couche d'air quiest en contact avec elle îious devronsavoir

rl ù `

,T ~– o quand ZF=o, :

du[ E^-f-^– -±=o quand z==c. > j

On voit facilement, d'après cela, que l'expression de Mtrouvée ci-dessus pour le cas du tuyau,

4-4-g"sin.9 ç\ ç\ sin. 7ti l> siîi. ne. cos. inf cos. nze UU(nf + rf) (?.mb + sm.o.mb)(2«c+sin.2»(?)

convient à laiquestion dont il s'agit présentement, avec cette

seule différence que l'axe dés ce, au lieu de passer par te7

centre des sections transversales, passe ici par le milieu de

leur côté supérieur Sin.6 est la pente dé la surface dufluide,h la detoi-tarfejir du lit, ç sasprofondeurr Là; plus grande

08.nMéM®iaiBisuRaC'E3viJ0r'S lu

vitesse ësïeeilekUî: filefrsifaë imlmÉifeaxièïaisuWâ6i4ufluide

€é les ^itélsesi$inSifl^M4^pjfrtk* lùfeàcéf $ûiMf&mmw&qu'on

S!lIppp(jc1'Ie!tn:$Jpa.1'Õ1S."6 ``--`-K -o.3-b..p~~i.

La vitesse moyenne U est également exprimée, '«omrne

dans le cas du tuyaH^ ^a^ fe-£^ifa|ik i «

in =r-sin mb~.sxn s.nc ~sr W."c O C5 mn'hré~rê\ {'imb- siii. 2 wz^)(a «<?4-si«.2 re c):f' no/M o!1-r; ; im:j': A;;î::f ^.oo^oMii^Bv•

On s'est beaucoupoccupé de rechéfefe'è^-par'f expérience

le rapport qui existe entre la vitesse moyenne, et celle qui

a lieu à la surface et toi kà.iliëii1Mfit eïqui èé Ja plus grande

de toutes. Cette dernière vitesse se déduit de l'expression

ptecetlëntfe1 de Hl en~f~isant y`'.= o; .z-o ,a:én ~s9~i~t~'c~ri en la

MÉfi^yoii^ –A î:; !;i:; - -M"

•"'

y_4-4gpsinJ>Q yii, t-Jfg'in.-j#i -s: :e OO(nï'ri') (imb+sm. zmb) (a«c + sin. inc)

Si nous supposons" tfafe^Mf^ et ^-extrêmement petits,

cas dans lequel les paeaïièœsi^leiirsrâl m et' à sont\/ S_¡~ e:

VA–, et les séries se réduisent sensiblement à leurs premiers':1~!0! -i- (, :i'

termes, nous trouvons >àrfortipeu-près;c

='– f' :vr,

ainsi ^leruappoi* desadeuxvTtesàes^ ïeiné# die^enir ^gal à l?u-

ditéiqua^ddes^merisions du lit >diminuBiit daiplusen plus;

iLoEâiiïîêmeiqne £ «fc»[n©d!snt'>pas/très4pettts^ le^apport

deiBâ Wlxliffêneçeli ^ées&hwéfeë?pPeiïïïérs^«»«9^desMsériëSi

On>peut considërey cew^pporfecomriîë tè^Tés^xâkioh peu

nu M«ByÈfiE.N/3t;»ËS;F<Iï^BIÏIES'43^

près par la foramile- ,«.

Usii1.m3.siii. n'a ` l!

'V > tn,b. n c • -'i

dans laquelle on mettrait pour m, n les plus petijesrvaleursqui satisfont aux équations dont dépendent ces quantités., Si

l'on suppose b et c très-grands ces valeurs sont4-•

on a donc alors à peu près° ` ~i~ `

~=='==o,~o53'j'

Si l'on supposeb très-grand, et-e très-petit, on aura w=

~==\ i donne-» = – ce qui donne :);

~'°?636~

Onsuppose ordinairement = o,,8; et d'après l'autçHté

de Duhmat, on regarde ce rapport ©ohmi»pôuvaïit-^appli-quer à dififéeejnftsHtSy dmit* le^ sections^, transversales n'au-raient point la même figure et lés ^^efoesA dimensions abso-lues. Les résultats précédents montrent qu'effectivement la

valeur o 8 tient une aorte d« milieu ratrelei va^rs extrêmesdû rapport âiJtttïr'ô'agîï; mais ioiiCTl^coric|ntiqû^ ce^^valeuèpeuvent varier

sérisïtyiémërit avec ïa gràndéur^et?la propor-tion des deux dimensions de la section.

Il est essentiel de remarquer d'ailleurs, qu'en admettantl'exactitude dW expériences connues sur le mouvement uni-forme de l'eau dans les canaux découverts et les tuyaux ser-vant à la conduite des eaux, il résulte de la nouvelle théorie

^4© MÉMOIRE iSUR LÈS LO:is

exposée dans ce Mémoire, que la supposIMoiïcd'tin mouvie-

ment linéaire n'est point propre à représenter complètement

les phénomènes de ce mouyémënt3 l;exception des cas où

le diamètre des tuyaux est très-petit. Nous remarqueronsM3i à, s ,1.¡~i ~i ,}:iuM'qVeW entreprenant de résoudre'exactement là ^xiëstion

&n¥ii^ap^/ïï>rieucô'nyie^raît pomilife supposer !Ë==o à

la surfaoe? supérieure du fluidîeu Il^kudrait éprendre > en coû-

sidération l'action qui s'établit à, çeijtë;surfe9!Ç:entr^i^ir;e,t

l'eau et le mouvement que l'eau doit -communiquer aux

couches d'air qui reposent sur elle.

Dans le cas où l'on aurait ainsi à considérer l'action mu-

tuelle de deux. couches .formées de; deux ^fluideij; .différentsî,

glissant l'une sur l'autre parallèlement à leur plan de sépa-

ration, on -verra facilement, par les principes établis dans ce

Mémoire, qu'en nommant mla vitesse dans le premier fluide,

et u' la vitesse dans lé secondfluide les conditions relatives

à la surface de contact seraient

1:" ,j ;'f' >

-^(u-ïrU)- .>=; y S,n. itfa*^gl ,'au fau

r.<r, !v ~lury et par conséquent s -rS.^eF~u,u d o,^.rMu.)-t;f -dir^R? - ; .; '! "*<>>

e' désignant la valeur que prend e dans le second .fluide, ett't'y~' ~1a valeur cfueprep4 P, dans. !'– et

è'taa, nouveau coefficient proportionnel à, Vactionréciproque

des molécules de l'un des fluides sur celles de l'autre,T-jtor.i' m?-.

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•rMÉM<3IRE^ .?££

Sur la Théorie du- magnétisme en mouvement;

Par M. POISSGW. ;v-

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"- Luà l'AcadémiedesSciences,le ïojuilleti.8%6- -<-•

Dans les dëuxr Mémoiresque f ai lus prededemmerit ài'À'ca-

de'tnie j'ai Gonside'Fé l'actiori des eôrps aimantés par in-

fluence, lorsque les fluides boréal et austral sont parvenus

dans leur intérieur à l'état d'équilibrée Je me^propose main-tenant d'étendre au cas du mou^ëmeïa't là ttiéorié que j'ai

exposée en détail- dans le premier dé SèëâMémoires théorie

qui attribue les pnéhbmèïies màgnëtîqueé à deux fluides

iijapôndérabfëà;, contenus l'un et l'autre en égale 'quantitédans les cbrps suséeptibles d'ainlàntatiori f dont les particules

n'éprouvent jamais que die très-petits déplacements et sont

soumises à une action mutuelle en ï'aisoii-inveTse du carré

des distâïicësy répulsive entre celles dniri même,fluide, et

attractive entre les molécules de l'un des fluides et éelles

de l'alitrë. -v" i'-V; ;• '' ^< '

Coulomb avait; pensé que tous les corps peuvent dbhher

d es, signesd^ima-titation^ .«t que cette pf dpriété né provenaitt

pas d'une petite proportion de fer qui entrerait dans leur