Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

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  • Nombre dOR Rectangles dOr Divine proportion
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  • Avertissement On na pas toujours pu dterminer de faon certaine si les proportions observes dans les uvres architecturales et les ouvrages dart rvlaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce ntait qu'une grille de lecture place a posteriori sur une uvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir tout prix faire apparatre le nombre d'or partout )
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  • Ces limites tant poses, on peut nanmoins prsenter quelques exemples d'oeuvres o le nombre d'or semble jouer un rle important
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  • Partons donc la dcouverte du Nombre dOr
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  • Un petit test : Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux
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  • Retenez bien le n choisi 1 4 5 362
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  • Refaisons le mme test 5 1 3 2 6 4
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  • Les rectangles d'or sont respectivement les n os .
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  • Il parat (*) que ces rectangles sont le plus souvent choisis... Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie. (*) Les rectangles d'or sont respectivement les n os 3 et 4 ! Daprs une tude du Philosophe allemand Gustav Feshner en 1876 Gustav Feshner en 1876
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  • longueur longueur Le rapport ------------- Le rapport ------------- largeur largeur vaut peu prs 1,62 vaut peu prs 1,62
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  • On dsigne gnralement le nombre dor par la lettre grecque en hommage au sculpteur grec Phidias ( 490 430 avant J.C. ) qui dcora le Parthnon Athnes.
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  • La Section dore est une appellation qui remonte 1830. Elle tait appele par les Grecs partage dun segment en moyenne et extrme raison
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  • Principe : Ce principe est sens raliser en architecture, en peinture, en sculpture, les proportions les plus quilibres, les plus harmonieuses Dans un ensemble compos de 2 parties, le tout est la plus grande comme celle-ci est la plus petite.
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  • m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm
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  • m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout
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  • m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande
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  • m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande La plus petite
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  • Un peu de math
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  • abm Le tout La plus grande La plus petite =
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  • abm Le tout La plus grande La plus petite or =
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  • abm On a donc
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  • abm
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  • abm
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  • Rduisons au mme dnominateur = 1 +
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  • 2 - - 1 = 0
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  • Lquation 2 - - 1 = 0 possde deux solutions car
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  • = 1 = = 2 =
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  • Lquation 2 - - 1 = 0 possde deux solutions car = 1 = = 2 = Seule la 1 re solution correspond un point m
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  • Constructions du Nombre dOr
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  • Une construction simple c 1 2 a b
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  • Traons la parallle [ab] par le milieu de [ bc] c 1 2 a b
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  • c 1 2 a b
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  • prenons notre compas c 1 2 a b
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  • c 1 2 a b
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  • c 1 2 a b
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  • Et voil le Nombre dOR ! c 1 2 a b
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  • Et voil le Nombre dOR ! c 1 2 a b
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  • Variante
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  • +
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  • Rectangles dOr b a Considrons un rectangle dOr
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  • Rectangles dOr b a Inscrivons-y le plus grand carr possible
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  • Rectangles dOr b a b a - b Carr
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  • b a b a - b Carr Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu
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  • b a b a - b Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle dOr Carr
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  • En inscrivant successivement le plus grand carr aux rectangles obtenus
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  • Rectangle dor On obtient une succession de rectangles dOr Carr
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  • Rectangle dor On obtient une succession de rectangles dOr Carr
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  • Rectangle dor On obtient une succession de rectangles dOr Carr
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  • Rectangle dor On obtient une succession de rectangles dOr Carr
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  • Rectan gle dor On obtient une succession de rectangles dOr
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  • Spirale des rectangles dOr
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  • La spirale des rectangles d'or est une fausse spirale parce qu'elle est constitue d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont chaque fois situs sur la mme droite et il y a une unique tangente chaque point de raccordement.
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  • Elle tend rapidement vers un centre Z. Le segment de droite qui joint le centre Z un point de la courbe crot en progression gomtrique. La longueur du rayon vecteur est multiplie par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.
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  • Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature
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  • Nautile
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  • modle mathmatique
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  • Quelques repres Historiques
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  • Il y a 10 000 ans Premiers signes de la connaissance par lhomme ( Temple dANDROS dcouvert sous la mer des Bahamas )
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  • 2800 Avant J C : Pyramide de Kheops Selon la lgende, les prtres gyptiens disaient que le carr construit sur la hauteur verticale galait exactement la surface de chacune des faces triangulaires a h
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  • Encore un peu de math H = a.h H a h Daprs Herodote
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  • H a h H = a.h
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  • H a h
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  • H a h
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  • H a h
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  • H a h h - a = a.h
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  • H a h H = a.h h - a = a.h Divisons les deux membres par ah :
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  • H a h H = a.h h - a = a.h Divisons les deux membres par ah :
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  • H a h H = a.h h - a = a.h Divisons les deux membres par ah : Posons
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  • H a h On retrouve lquation qui nous a permis de trouver le nombre dOr
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  • donc la proportion entre la hauteur ( h) d'une face triangulaire et la moiti (a) du ct de la base est gale au nombre d or a h
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  • Pythagore (- 580;-500)
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  • mathmaticien et philosophe grec tait passionn par l'harmonie et les proportions. Son trait sur la musique est clbre. On lui doit la dcouverte de l'irrationalit de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre