Nombres, opérations, calculs, équations 2nde

I. Calcul Rappel. Tout nombre réel peut s'écrire sous une infinité de formes à l'aide des opérations. Exemple : 7 = 2 + 5 = 12 – 5 = 3, 5 × 2 … "Définition". • Calculer un nombre réel, c'est transformer sa forme. • S'il intervient dans un problème, c'est écrire ce nombre sous une forme adaptée au problème. • En dehors de tout problème, c'est écrire ce nombre sous une forme "réduite", "simplifiée", c'est-à-dire, le plus souvent, sous une forme qui utilise le moins de signes possible.

Exemples : a) Soit A = 12 – 7 + . Le nombre A est-il plus grand que 5 ? Je calcule A. A = 5 + . Or > 0, donc A > 5.

b ) Calculer B = 25 – 8 + 4. Cette forme nécessite l'écriture de 6 signes. B = 25 – 8 + 4 = 17 + 4 = 21. Cette nouvelle forme nécessite l'écriture de 2 signes. On la dira "réduite". c) Le nombre C = 14 × 123 456 789 123 + 21 est-il un multiple de 7 ? Un multiple de 7 est un nombre entier qui peut s'écrire comme produit de 7 par un autre nombre entier. Je calcule C. C = 7 × 2 × 123 456 789 123 + 7 × 3 = 7 × (2 × 123 456 789 123 + 3). Donc C est un multiple de 7.

II. Opérations • II.1. Addition J'ai 3 billes dans une poche et 2 billes dans l'autre. Si je compte ensemble les billes que j'ai, j'obtiens la somme de 2 et de 3, notée 2 + 3. Par calcul, 2 + 3 = 5. DA1. Définition. L'addition est l'opération qui à deux nombres réels a et b leur associe un nouveau nombre réel appelé leur somme et noté a + b. a + b est la somme de a et de b. a et b sont les termes de la somme. Exemple : 256 + 15 est la somme de 256 et de 15. 256 et 15 sont les termes de cette somme. Par calcul, cette somme peut s'écrire 271 ou 250 + 21… PA1. Propriétés. Quels que soient les nombres réels a, b et c, • a + b = b + a • (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c • a + 0 = 0 + a = 0. Ces propriétés permettent, par exemple, de calculer des sommes de nombres réels sans tenir compte de l'ordre des termes. Exemple : 65 + 57 + 35 = 65 + 35 +57 = 100 + 57 = 157.

• II.2. Soustraction DS1. Définition. Soient a et b deux nombres réels. La différence entre a et b est le nombre réel d tel que la somme de b et de d soit égale à a. b + d = a. On note d = a – b. Exemple. 3 + (–5) = –2. Donc –5 est la différence entre –2 et 3. 3 est aussi la différence entre –2 et –5. La différence (– 1) – (–3) est le nombre d tel que (– 3) + d = – 1. C'est 2. Donc (– 1) – (– 3) = 2. DS2. Définition. La soustraction est l'opération qui à deux nombres réels a et b leur associe leur différence. a et b sont les termes de la différence. Remarque. Les propriétés de l'addition ne sont pas vraies pour la soustraction. 7 – 3 ≠ 3 – 7. 10 – ( 7 – 3) = 10 – 4 = 6 et (10 – 7) – 3 = 3 – 3 = 0. Donc 10 – ( 7 – 3) ≠ (10 – 7) – 3. 0 – 2 ≠ 2 – 0. DO1. Définition. Soit b un nombre réel. L’opposé du nombre b est le nombre réel qu’il faut ajouter à b pour obtenir zéro. On le note opp(b). b + opp(b) = 0.

PO1. Propriété. Quel que soit le nombre réel b, opp [opp (b)] = b.

PO2. Propriété. Quels que soient les nombres réels a et b, opp (a + b) = opp (a) + opp (b). Exemples : • – 3 – (x + 7) = – 3 + opp (x + 7) = – 3 + opp (x) + opp (7) = – 3 + (– x) + (– 7) = – 10 + (– x) = – 10 – x. • – x – 4 = opp (x) + opp (4) = opp (x + 4) = – (x + 4). PS1. Propriété. Quels que soient les nombres réels a et b, soustraire le nombre b au nombre a revient à ajouter au nombre a l'opposé du nombre b. a – b = a + opp(b). Exemples. 12 – (– 4) = 12 + opp(– 4) = 12 + 4 = 16. 7 – 9 = 7 + opp(9) = 7 + (– 9) = – 2

• II.3. Multiplication Soit A = 2 + 2 + 2 + 2 + 2. A est la somme de 5 termes égaux à 2. On dit aussi que A est le produit de 2 par 5 noté 2 × 5. 2 × 5 se lit “2 multiplié par 5”. Par calcul, 2 × 5 = 10 = 4 + 6… DM1. Définition. La multiplication est l'opération qui à deux nombres réels a et b leur associe un nouveau nombre réel appelé leur produit et noté a × b. a × b est le produit de a et de b. a et b sont les facteurs du produit. Exemple. 7 × 4 est le produit de 7 par 4. 7 et 4 sont les facteurs du produit. Par calcul, 7 × 4 peut s'écrire 28 ou 14 × 2… PM1. Propriétés. Quels que soient les nombres réels a, b et c, • a × b = b × a • (a × b) × c = a × (b × c) = a × b × c. • a × 1 = 1 × a = a. • a × 0 = 0 × a = 0.

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PM2. Propriété. Quels que soient les nombres réels a, b et c, a × (b + c) = a × b + a × c. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition. Conséquence . Soient a, b et c trois nombres réels. a × (b – c) = a × (b + opp(c)), d’après la propriété PS1. D’où, a × (b – c) = a × b + a × opp(c), d’après la propriété de distributivité. Donc, a × (b – c) = a × b + a × ((–1) × c), d’après la propriété PO3. D’où, , a × (b – c) = a × b + (–1) × (a × c), d’après la propriété PM1. Donc, a × (b – c) = a × b + opp (a × c), d’après la propriété PO3. D’où a × (b – c) = a × b – a × c, d’après la propriété PS1. PO3. Propriété. Quel que soit le nombre réel b, (– 1) × b = opp (b). On note – b l’opposé de b.

PM3. Propriété. Quels que soient les nombres réels a, b et c, a × (b – c) = a × b – a × c. On dit que la multiplication est distributive par rapport à la soustraction. Exemples. Soit x un nombre réel. 3 × (x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. 4 × x – 7 × x = x × (4 – 7) = – 3x. PM4. Propriété (double distributivité). Quels que soient les nombres réels a, b, c et d : (a + b) × (c + d)= a × c + a × d + b × c + b × d. Exemple. Soir x un nombre réel. (x + 3) (x + 2) = x × x + x × 2 + 3 × x + 3 × 2 = x2 + 5x + 6. DM2. Définition. Développer un produit c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.

Exemples. Développer l’expression : X = (x – 2)(3x + 1) où x est un nombre réel. X =

X = DM3. Définition. Factoriser une somme c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit.

Exemples. Factoriser l’expression : , où x est un nombre réel.

• II.4. Division DD1. Définition. Soient deux nombres réels a et b avec b ≠ 0. Le quotient de a par b est le nombre réel q qui, multiplié par b, donne a. b × q = a. Exemple. 2 × 2, 5 = 5. Donc le quotient de 5 par 2 est égal à 2, 5. Le quotient de 5 par 2, 5 est égal à 2. DD2. Définition. La division est l'opération qui à deux nombres réels a et b (b ≠ 0) leur associe un nouveau nombre réel appelé leur

quotient et noté a : b ou . est le quotient de a et de b. a est le dividende du quotient, b est le diviseur du quotient.

Remarques. Les propriétés de la multiplication ne sont pas vraies pour la division. 5 : 2 ≠ 2 : 5. (10 : 5) : 5 = 2 : 5 = 0, 4. 10 : (5 : 5) = 10 : 1 = 10. Donc (10 : 5) : 5 ≠ 10 : (5 : 5). 1 : 4 ≠ 4 : 1. PD1. Propriété. On obtient un quotient égal à un quotient donné de nombres réels, en multipliant ou en divisant son dividende et son diviseur par un même nombre réel non nul.

Quels que soient les nombres réels a, b et k avec b≠ 0 et k ≠ 0,

Exemples.

PD2. Propriété. Soient a, b et k des nombres réels avec k ≠ 0,

.

Remarques. • Dans le calcul d'une somme ou d'une différence de deux fractions (ou de deux quotients), si les dénominateurs ne sont pas égaux (ou si les diviseurs ne sont pas égaux), on remplace les fractions (ou les quotients) par des fractions égales (ou des quotients égaux) de même dénominateur (ou de même diviseur) et on se ramène ainsi à la propriété précédente. • Ce dénominateur commun est un multiple des deux dénominateurs donnés.

Exemples. . .

PD3. Propriété. Le produit de deux fractions (ou quotients) est égal à la fraction (ou au quotient) qui a pour dénominateur le produit des deux dénominateurs (ou de deux diviseurs) et pour numérateur le produit des deux numérateurs (ou des deux dividendes).

Soient a, b, c et d des nombres avec b ≠ 0 et d ≠ 0,

Exemples : .

DI1. Définition. Soit b un nombre réel non nul. L'inverse du nombre b est le nombre réel tel que le produit de ce nombre par b est égal à

1. On le note inv(b) ou .

(x + (−2))(3x +1)

x × 3x + x ×1+ (−2)× 3x + (−2)×1= 3x2 + x + (−6x)+ (−2) = 3x2 − 5x − 2

Y = 3x2 −15x Y = 3x × x − 3x × 5 = 3x(x − 5)

ab

ab

ab= a × kb× k

= a ÷ kb ÷ k

.

156= 5× 32× 3

= 15÷ 36 ÷ 3

= 52.

ak+ bk

= a + bk

.

125+ 25= 14

5; 13

7− 57= 87; − 12,7

4+ 5,5

4= − 7,2

4

A = 23+ 76

23= 2× 22× 3

= 46donc A = 4

6+ 76= 11

6B = − 2,5

3,2− 11,6

= − 2,53,2

− 23,2

= − 4,53,2

ab× cd= a × cb× d

.

78× 52= 7 × 58× 2

= 3516

; − 2,33,2

× 31,1

= − 6,93,52

1b

b× inv(b) = b× 1b= 1.

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Exemple. L'inverse de 4 est 0, 25 ou . En effet, . L'inverse de En effet, . L'inverse de

est – 8 car .

PI1. Propriété. Soit b un nombre réel non nul. L'inverse de l'inverse de b est égal à b. inv(inv(b)) = b.

En effet, . PD4. Propriété. Soient a et b deux nombres réels avec b ≠ 0. Le quotient de a par b est égal au produit de a par l'inverse de b.

=

Exemples. .

III. Puissances d'un nombre DP1. Définition. • Soient a un nombre réel et n un entier naturel supérieur ou égal à 1. "a puissance n" est le nombre réel, noté défini

par ce produit comportant n facteurs.

• Soit a une nombre réel différent de 0 et n un entier naturel supérieur ou égal à 1,

Exemple. ;

Remarques. Quel que soit le nombre réel a, Par convention, quel que soit le nombre réel a non nul, PP1. Propriétés. • Soient a un nombre réel non nul et m et n deux entiers relatifs, a m × a n = a m+ n.

• Soient a un nombre réel non nul et m et p deux entiers relatifs,

Exemples. 25 × 23 = 28 ; 34 = 33 × 3 ;

Remarques. Soit a un nombre réel non nul et m un entier relatif. De plus, Donc l'inverse de

est . L'inverse du nombre a peut aussi s'écrire .

PP2. Propriétés. • Soient a et b deux nombres réels non nuls et m un entier relatif.

• Soient a et b deux nombres réels non nuls, et m un entier relatif.

Exemples.

IV. Racines carrées

DR1. Définition. Soit a un nombre réel positif. est le seul nombre réel positif dont le carré est égal à a. se lit "racine carrée de a".

Conséquences. Si a désigne un nombre réel positif, • ≥ 0 ; • = a ; ; si a est un nombre réel négatif,

Exemples.

PR1. Propriété. a est un nombre réel quelconque donné.

Si a < 0, l'équation n'admet aucune solution.

Si a = 0, l'équation admet une seule solution : le nombre 0.

Si a > 0, l'équation admet deux solutions : les nombres opposés .

Exemples. Résoudre l'équation 7 > 0, donc l'équation a deux solutions :

Résoudre l'équation – 4 < 0, donc l'équation n'a pas de solution.

PR2. Propriété. Quels que soient les nombres a et b réels positifs, Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.

Exemples.

14

4× 0,25 = 4× 14= 1 − 3

7est − 7

3. − 3

7× (− 7

3) = 1

− 18

− 18× (−8) = 1

inv(b)× b = 1

ab

a × inv(b) = a × 1b.

−2 ÷ 23= −2× inv(2

3) = −2× 3

2= −3 ; − 2

5÷ 6 = − 2

5× inv(6) = − 2

5× 16= − 1

15;

− 27

− 314

= − 27× inv(− 3

14) = − 2

7× (−14

3) = 4

3

an ,

an = a ×…× a,

a−n = 1an

.

(−2)3 = (−2)× (−2)× (−2) = −8 2−4 = 124 =

12× 2× 2× 2

= 116

.

a1 = a. a0 = 1.

am

ap = am−p.

54

5= 54

51 = 54−1 = 53 ; 23

25 = 23−5 = 2−2 = 122 .

am

am= am−m = a0 = 1. 1

am= a0

am= a0−m = a−m.

am a−m a−1

am × bm = (a × b)m.

am

bm = ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟m

.

5−3 × 2−3 = (5× 2)−3 = 10−3 = 0,001. 104

54 = 105

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

= 24 = 16.

a a

a ( a )2 a2 = a a2 = −a.

0 = 0 ; 1 = 1; 25 = 5.

x2 = ax2 = a

x2 = a a et − a .

x2 = 7. 7 et − 7.

x2 = −4.

a × b = a × b.

3 × 12 = 3×12 = 36 = 6. 200 = 100× 2 = 100 × 2 = 10 2.

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PR3. Propriété. Quels que soient les nombres réels a et b positifs, avec b non nul, Le quotient de deux racines carrées est égal à

la racine carrée du quotient.

Exemple.

Remarque. Si a et b sont des nombres réels strictement positifs, sont deux nombres différents.

V. Identités remarquables Propriété. Soient a et b deux nombres réels, • = • • = (a + b)(a – b).

Exemples. • Développer les expressions suivantes où x est un nombre réel quelconque : A = =

B = C =

• Factoriser les expressions suivantes. D =

E =

VI. Équations VI. 1. Rappels Une équation a les mêmes solutions que toutes les équations obtenues : • en ajoutant ou en retranchant un même nombre réel aux deux membres de l'équation ; • en multipliant ou en divisant par un même nombre réel non nul les deux membres de l'équation. On appellera équations équivalentes des équations admettant les mêmes solutions. Pour cela on utilisera le symbole ⇔ qui, placé entre

deux équations, signifie que ces deux équations sont équivalentes. Par exemple, on écrira, dans la résolution dans ℝ de l'équation (E) 2x – 1 = 3 , (E) ⇔ 2x – 1 + 1 = 3 + 1 ; (E) ⇔ 2x = 4 ; (E) ⇔ 2x ÷ 2 = 4 ÷ 2 ; (E) ⇔ x = 2. D'où S = { 2 }.

VI.2. Équation-produit nul

Définition. Toute équation dans ℝ du type P(x) × Q(x) = 0 où P(x) et Q(x) sont des expressions algébriques est appelée équation-produit ou équation-produit nul.

Exemple. Soit l'équation dans ℝ : (E) (3x + 5)(2 – 5x) = 0. L'équation (E) est une équation-produit nul. Propriété. Un produit de facteurs réels est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

ab= a

b.

2127

= 3× 73× 9

= 79= 7

9= 7

3.

a + b et a + b

(a + b)2 a2 + 2× a × b+ b2 (a − b)2 = a2 − 2ab+ b2 a2 − b2

(x + 2)2 x2 + 2× 2× x + 22 = x2 + 4x + 4.

(3x − 5)2 = (3x)2 − 2× 3x × 5+ 52 = 9x2 − 30x + 25. (4x − 3)(4x + 3) = (4x)2 − 32 = 16x2 − 9.

4x2 −12x + 9 = (2x)2 − 2× 2x × 3+ 32 = (2x − 3)2.

25x2 −16 = (5x)2 − 42 = (5x − 4)(5x + 4).

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