Universite Catholique de Louvain

MECA1855 - Thermodynamique et Energetique

Professeur : Miltiadis Papalexandris.

Notes supplementaires en transfert de chaleur

Il y a trois modes de transfert de chaleur.

La conduction se realise a l’echelle microscopique, sans deplacement macroscopique de

matiere. Elle resulte des interactions entres des particules voisines. Pour les fluides, ces inter-

actions sont les collisions entre particules. Pour les solides ces interactions sont les vibrations

du reseau atomique. De plus, dans les metaux et les semi-conducteurs la conduction de

chaleur peut aussi se realiser par les electrons libres du corps.

La convection se realise par le combinaison des interactions entres particules a l’echelle

miscroscopique et le mouvement macroscopique d’un fluide en presence de gradients de

temperature. La convection de chaleur le long d’une interface solide-fluide ou fluide-fluide

est particulierement importante pour des applications technologiques.

Le rayonnement est la transmisison d’energie electromagnetique par un corps dont la

temperature est superieure du zero.

La loi du Fourier est une loi phenomenologique pour la conduction de chaleur. Selon

cette loi, le flux de chaleur q (chaleur transferee par unite de surface et par unite de temps)

en un point est une fonction lineaire du gradient de temperature en ce point :

q = −k∇T . (1)

Dans cette equation, k est le coefficient de conduction de chaleur, i.e., la conductibilite du

milieu.

Considerons un corps non-deformable au repos en absence de reactions chimiques, de

changement de phase et d’echange de masse entre le corps et son exterieur. Appelons V le

volume du corps et A sa frontiere. Evidement, V = cte. et A = cte. De plus, appelons e

l’energie interne specifique du corps. On suppose que e ne depend qu’a la temperature. Par

consequant, son differentiel total est donne par

de = c dT , (2)

c etant la chaleur massique du corps. De plus, etant donne que le corps est non-deformable

et qu’il est au repos, la vitesse de chaque point materiel du corps est egale a zero :

u = 0 . (3)

1

Ceci implique que l’energie cinetique du corps est egale a zero. Par consequant, le corps ne

peut echanger que de la chaleur avec son exterieur. Ceci signifie que le bilan d’energie du

corps prend la forme suivante,

∂

∂t

∫V

ρ e dV = −∫A

q · n dA +

∫V

qr dV . (4)

Dans cette equation, ρ est la masse volumique du corps, n est le vecteur unitaire et perpen-

diculaire a la surface A. Finalement, qr est la chaleurajoute au corps par des sources ou des

fuites d’energie : par exemple, par une resistance electrique.

Etant donne que le volume du corps est constant, nous constatons que la derivee tem-

porelle du cote gauche de l’equation peut etre mise a l’interieur de l’integrale. De plus, pour

l’integrale du flux de chaleur, on peut utiliser le theoreme de divergence. On arrive alors a∫V

∂

∂t(ρ e) dV = −

∫V

∇ · q dV +

∫V

qr dV . (5)

Cette equation doit etre valable pour un volume arbitraire, ce qui implique que

∂

∂t(ρ e) = ∇ · q + qr . (6)

Si nous introduison la loi de Fourier, equation (1), en equation (6) nous arrivons a

∂

∂t(ρ e) = ∇ · (k∇T ) + qr . (7)

De plus, si nous tenons compte de l’equation de continuite (conservation de la masse) et de

l’equation (3), nous arrivons a

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0 =⇒ ∂ρ

∂t= 0 . (8)

De plus, le combinaison des equations (2) et (3) resulte a

de = c dT =⇒ de

dt= c

dT

dt=⇒ ∂e

∂t= c

∂T

∂t. (9)

(La derivee materielle da/dt d’une quantite a est defini par la relation : da/dt = ∂a/∂t+ u ·∇a).

Finalement, le combinaison des equations (7)–(9) resulte a

ρ c∂T

∂t= ∇ · (k∇T ) + qr . (10)

Pour le cas special, k = cte., la derniere relation resulte a

ρ c∂T

∂t= k∇2T + qr . (11)

Cette equation s’appelle equation de diffusion thermique. Elle est une equation aux derivees

partielles parabolique.

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