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. éC()lt~ J)(.)I\/cec~lr-'iquô de Chlèô
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• •
OJET DE FIN D' UDES
•TITRE:
Au t e u r -=--=~_--J-..:.--="':"'=:"":""':"=__
Génie--!-..!!:...!:::.:~~~ _
Da te ,-.--~:....I::--~~---r--
,
ECO L E POL Y T E C H N l QUE
SEN E GAL
D E T HIE S
DETERMINATION DE LA LONGUEUR DE MELANGE
AU VOISINAGE DE LA PAROI D'UNE COUCHE
LIMITE TURBULENTE SOUMISE A UN GRADIENT
DE PRESSION DEFAVORABLE
o
par
SAIBA FAINKE
sous
la direction de V. NGUYEN-DUY
Département de Génie Mécanique
JUIN 1978
REM E Rel E MEN T S
/Je tiens tout d'abord à exprimer ici ma profonde reconnais-
sance à mon Directeur de Projet Monsieur Vinh NGUYEN-DUY qui m'a
initié au problème de la longueur de mélange et qui In'a constamment
guidé et soutenu tout au long de cette étude.
Je ne saurais non plus oublier Madame Suzanne YOUNG à qui
j'adresse mes sincères remercielnents pour avoir bien voulu dactylo-.
graphié ce texte avec beaucoup de soins.
Enfin, je remercie l'équipe de la bibliothèque pour seS
pr~ts de livre de longue durée, le service audiovisuel, pour l'impres
sion de Ce texte, et toutes les personnes de prés ou de loin, de par
leurs conseils, leurs suggestions pertinantes et constructives m'ont
aidé pour la réalisation de cette étude.
, '
REM E Rel E MEN T S
Je tiens tout d'abord à oxp r i rnc r ici Ill;} profonde reconnais
sance à mon Directeur cie Proj o t Monsicu[- Vinh NGl1YEN-DUY qui m'a
initié au problème de la longueur cie n,élaTlgt' et qui m'a constamment
gui déc. t sou te nu t 0 u t Clu long clcee t te é tu li c •
Je ne saurai s non plus oub l i er rbdarnc Su z anue YOUNG à qui
j1adresse mes sincères remerciements pour avoir lie n voulu dactylo
graphié ce texte aveC beaucoup de soins.
Enfin, je remercie l'~quire de la biblioth~que pour ses
prêts de livre de longue durée, le service .iud Lov l s uo l , pour l'impres
sion de ce texte, et t ou t es les po r so nncs de p r o s ou de loin, de par
leurs conseils, leurs suggestions pertinantcs et constructives m'ont
aidé pour la réalisation de cette étude.
TABLE DE MATIERES
Page
SOMMAI RE. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • i
TABLES DE NOTATION................................................ ii
l NTRODUCTI ON. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1
CHAPITRE l
CHAPITRE II
II
Considérations théoriques •••••••••••••••••••••••••••
Détermination de la longueur de mélange •••••••••••••
1 Les mesures de Cf ••••••••.•••••.•.••••.•••.•••••.•
2
8
9
11-1-1 Le tube de Preston......................... 10
11-1-2 La balance à élément flottant.............. 12
11-1-3 La méthode de Dickinson.................... 12
CONCLUSION •••••••••••••••••••••••
d(UN)d (YN)
II 2 Calcul de
................................. 16
ANNEXE... •••••••••••• •••• . • ••• •• .•• •• .••• •• .• •••• •• •• •••• •• •• •••• • 17
BIBLIOGRAPHIE.. •• •••••• •• •••••• •• ••• • •••••• •••• •••• •• •••••••••• ••• 24
TABLES DE DONNEES................................................. 27
TABLES D'APPROXIMATION (Profils complets, profils partiels)....... 35
TABLEAUX DES RESULTATS. . . 38
DISTRIBUTION DE 1/0- vs
pour les stations de 1 à 8••••••• 46
s o M M A l R E
i
A partir des mesures de frottement pariétal et des lissages
numériques précis de profils de vitesse moyenne, nOus avons calculé
la longueur de mélange pour une couche limite turbulente soumise au
gradient de pression adverse modéré.
Il ressort de nos calculs qu'au voisinage de la paroi,
l'expression Prandtl-Karman 1 -- 0.4 y est bien vérifiée. Ceci
implique une universalité de la loi de la paroi.
ii
TABLES DE NOTATIONS
fonction universelle de Dickinson.
~.! ~ U 22 7 e
coefficient de frottement = --L::=--.......,.-
d diamètre extérieur du tube de Preston
D diamètre de l'élément flottant
n exposant de la loi en puissanced(1og y)d I l og u )
p pression statique locale
q* pression dynamique enregistrée par le tube de Preston
U, V, W composante de vitesse moyenne locale
U', V', W'
Ue
composantes turbulentes de vitesse
vitesse de frottement ~ \I"~o~
épaisseur de la couche limite
A
épaisseur de déplacement ~~(l - u~ ) dy
coefficient de gradient de pression .(~)y=O
viscosité dynamique
viscosité cinématique
1
L
u= uq;
=~
masse volumique
frottement pariétal
contrainte tangentielle
contrainte tangentielle turbulente
longueur de mélange
longueur de dissipation.
iii
l N T R 0 DUC T ION
Cette étude a pour but de vérifier l'équation de la longueur
de mélange au voisinage de la paroi qui s'écrit
1 Ky
Où K est la constante "universelle" de Von Karman pris égale à 0.40
Les calculs de 1 s'effectuent à partir des mesures soignées
de vitesse moyenne êt de frottement pariétal résultant d'une étude
exp~rimentale de NCÙYEN-DUY (1) dans une couche limite turbulente sou
mise aux gradients de pression adverses modérés.
Nous avons divisé l'étude en trois parties principales:
Dans un premier chapitre, intitulé "Considérations théoriques"
nous allons définir d'une manière théorique la notion de lon
gueur de mélange, et les termes qui s'y rattachent.
- Le deuxième chapi tre inti tulé "Détermination de la longueur
de mélange" nOus permettra de faire une brève révision des
différentes méthodes de détermination du frottement pariétal
pour nous rendre compte de leur degré de précision.,Le lecteur trouvera également dans ce chapitre, un résumé des
différentes techniques de lissage numérique. Nous avons rete
nu pour nOs calculs la technique de lissage exponentiel qui
nOUS permet de calculer la dérivée première du profil de vites
se et de déduire par la suite la longueur de mélange.
- Les valeurs calculées dans le deuxième chapitre seront confron
tées directement à l'expression semi-théorique de Von Karman
nous permettant ainsi de dégager certaines conclusions.
page 1
CHAPITRE r
CONSIDERATIONS THEORIQUES
L'expérience montre qu'en régime turbulent, l'énergie dissipée
est beaucoup plus considérable que celle qui résulterait de la seule
viscosité par application de la formule de Newton.
Boussinesq (cf [2.] ) a expliqué l'accroissement des tensions
tangentielles par l'échange continuel de particules résultant de la tur
bulence et provoquant une variation de la quantité de mouvement et, par
suite une résistance supplémentaire à l'écoulement.
Pour comprendre comment dans le régime turbulent un effort
tangentiel peut s'exercer entre deux couches en mouvement par un simple
échange latéral de quantité de mouvement, indépendamment de ce qui peut
être da au contact mutuel et au glissement relatif, Bakhmeteff 'a donné
l'image matérielle suivante.
Considérons deux corps A et B éloignés l'un de l'autre et se
mouvant chacun d'un mouvement de translation parallèlement à Ox et dans
le même sens. Soient UA et UB
leur vitesse respective. Supposons UA'">' UB
et désignons par U' = UA - UB
[ B ]111
1111
page 2
page 4
On peut le calculer en faisant l'hypothèse simplificatrice sui
vante. Soient deux couches de fluide en mouvement séparées par une sur
face S et supposons (,ue pour toutes les molécules en contact de part et
d'autre de cette surface 3, les vitesses r c r.rt i.vo s soient uniformément
U' dans le sens de l'écoulement et V' dans le sens transversal.
Pendant chaque seconde la masse échangée à travers l'unité de
surface de S et ~ V' ; l'accroissement correspondant de quant i t â de mou
verœnt dans le sens de l'écoulement est !>V'U', de sorte que l'effort
tangentiel qui en résulte est égal, par unité de surface à
a-c = ~ U'V'
et en moyenne, pendant une intervalle de temps fini
U'V' représentant la moyenne du produit des fluctuations de la vitesse ins
tantanée dans le sens longitudinal (U') et dans le sens transversal (V').
Une telle dissipation d'énergie résultant d'un échange latéral
de quantité de mouvement) existe toujours dans l'écoulement d'un fluide
réel en régime laminaire ou turbulent, mais dans le cas du régime lami
naire, les particules mises en jeu sont les molécules du fluide entraf
nant un échange de quantité de mouvement à l'échelle moléculaire, dans
le cas d'un régime turbulent, à ce processus à l'échelle moléculaire se
superpose un échange de quantité de mouvement entre particules fluides de
volume plus ou moins important c'est-à-dire à une échelle beaucoup plus
grande et les phénomènes d'origine visqueuse sont alors masqués par ceux
d'origine turbulente.
On peut appliquer le même raisonnement à un écoulement continu
en régime turbulent dans lequel la vitesse moyenne Ü est distribuée sui
vant une certaine loi lT (y), y représentant la distance à la paroi.
page 5
--- - -Oi
A travers un plan 001 parallèle à la direction générale de l'é
coulement, existe un échange transversal de particules avec des vitesses
transvessales ! V'. Il s'agit de relierV~ à la vitesse longitudinale
différentielle U' que le mouvement d'agitation va transferer à la couche
En 1925, Prandtl et Von Karman défini ssent dans Ce but la lon-
gueur de mélange l, qui est la distance du plan 001
à un autre plan PP1
telle qu'une particule soumise à l'impulsion transversale V' et partant
du plan PP1
puisse atteindre la couche 001 et participer ensuite au mou
vement de cette couche 0°1- Au delà de la distance l, les particules
issues de PP1
n'ont plus d'action sur le mouvement du plan 001•
Cette hy
pothèse de la longueur de mélange est analogue à celles que les physiciens
appellent l'hypothèse du libre parcours moyen des molécules dans la théorie
cinétique des gaz.
Examinons l'influence sur la couche 00 1 de ce double courant de
particules: celles qui proviennent de PP1 et qui atteingent O~l' et celles
qui quittent 001
pour atteindre PP1
(i) Les particules provenant de pp! situé à la distance 1 ont une
vitesse V' dirigée vers 001) et comme leur composante U' de
fluctuation est nulle en moyenne, elles parviennent en 00,avec leur vitesse moyenne lTe, c'est-à-dire une vitesse relati-
ve négative
teur.
ü =dU
-1 . Elles exercent donc sur 001 un effort retardady
page 6
dU- v' 1 dy(1)
(ii) Les particules quittant: 001 vers PP1
ont une vitesse
transversale v' et une composante U' ; elle parvien
nent en PP1
avec une vitesse relative positive
Ü Üe = + 1 dUc1y
effort accélérateur
Elles exercent donc sur PP1
un
ac + (/ v' 1dU"".) dy
La couche 001, d'où elles sont parties subit évidemment
par réaction un effort égal et de signe contraire, soit
ct. = -,f v' 1dtrdy
(2)
L'identité des équations (1) et (2) montre que cette
équation est donc valable pour les deux types de parti
cules.
La différence des vitesses longitudinales des deux plans
001, et PP1
est alors
De = U' = 1 dÜdy
Pour relier U' et v', on applique le principe de continuité ou
de conservation de la masse à un volume élémentaire du fluide ; en som
me, s'agissant d'un fluide incompressible, les variRtions de flux dans
la direction longitudinale (u') et dans la direction transversale (v'),devant être égales, il faut bien que U' et v' soient du même ordre de
grandeur.
•
page 7
Cela revient à dire qu'il existe entre U' et v' une correla
tion statistique régulière, ce qui explique que le produit ü"'i';T, so it
en moyenne constant en fonction du t.emp s s Soit CC = SiJTVT la valeur
moyenne qui en résulte pour la tension tangentielle due à la turbu
lence.
Von Karman admet donc que la composante transversale v' de
on peut écrire :
c'est-à-dire que v' est aussi propor-même forme que luidlf .dy ; par SUIte,
la vitesse instantanée qui est provoquée par l'existence du gradient
1 dU a lady
tionnelle à 1
Le facteur de proportionnalité étant inclus dans le paramètre 1
(longueur de mélange).
Cette expression
(3)
constituent l'équation de Prandtl.
Pour aller plus loin, il serait nécessaire de relier 1 à
l'écoulement moyen, seul intéressant dans la pratique Car seul
défini à partir des mesures expérimentales.
On peut le faire au moyen de certaines hypothèses dont la
validité est appuyée sur l'expérience.
C'est en particulier ce qu'a fait Prandtl en supposant qu'au
voisinage de la paroi la longueur de mélange est proprotionnelle à la
distance de la paroi
1 Ky (4)
Les expériences de Nikuradse (1930), (cf[3J ) sur des
tuyaux lisses ont montré qu'assez près de la paroi (y L..O.l R), on
avait 1 = 0.4 y. La constante K appelée encore constante de Von Karman,
est aussi trouvé égal à 0.4 pour le Cas des couches limites turbulen-
tes.
CHAPI l'RE II
DETERMINATION DE LA LONGUEUR DE MELANGE
Comme nous avons déjà developpé au chapitre II, l'équation de
Prandtl s'écrit
(JT 2 ~_2
L. =J 1 (~)OY
De cette équation, on peut déduire pour la longueur de mélan-
ge
En introduisant u etdl dans la fonnule précédente, on obtiente
uJ-;;2--e e
1 = u a(u/u )e e
Oë)(yll()
En posantcr;
.! ç u 22./ e
CfU'u
eUN YN
page 8
Page 9
On peut écrire une nouvelle formule pour 1.
1 = u e \{ëfï2u e Q(UN)tf O(YN)
et1
s =g(UN)
(YN)
(5)
Il en résulte de l'expression (5) que la longueur de mélan
ge peut-~tre déterminée à partir des mesures du frottement pariétal
(Cf) d d é r i vé ., d f i 1 d' (~ )et es erlvees premleres u pro l e vltesse ~ •
Voyons brièvement comment le frottement pariétal Cf a été, 1 d' . , .,"(UN) 1 l'mesure et comment a e r rvea pr erm e r e ë)(YN) est Ca cu ee.
11-1 Les mesures de Cf
D'après la thèse de NGUYEN-DUY [iJ ,le frottement pa
riétal a été déterminé par 3 méthodes principales
- le tube de Preston (éc:uations de V.C. Patel)
- la balance à élément flottant
- méthode de Dickinson
Les résultats de Cf et des profils de vitesse se trouvent à la
page 27.
...
page 10
II 1-1 Le tube de Preston
Le tube de Preston a été utilisé pour la première fois par
Preston lui-même. Cette méthode est l'une des plus simples pour déter
miner le frottement pariétal~o; elle consiste à utiliser un pitot
simple de section circulaire, de diamètre extérieur d posé Sur la sur
face.
_LL
Le tube de Preston:
Preston a fait l'hypothèse suivante:
la pression dynamique q* (différence
entre la pression totale et la pres
sion statique locale enregistrée par
le tube dépend seulement de S, u,
GCO' et d, et après une simple ana
lyse dimensionnelle, il écrit :
= (6)
Les essais expérimentaux effectués dans un tuyau de 2" de
diamètre (soit~ cm) aveC des valeurs d~O calculées à partir du
gradient de pression statique longitidunal lui Ont permis d'exprimer
F par :
1 erOog --,,--="
4= 1.396 + 0.875 log (7)
Un complément a l'étude de Preston ~ été réalisé d'une
manière assez complète en 1962 par V.C. Patel (Cf [.4-) à Cambridge. En
expliquant le désaccord entre les chercheurs principalement par les me
sures non précises dé7/:0 et l'effet de déplacement c.u i entratnent par
la suite une dispersion des cOnstantes trouvées et en les corrigeant,
cet auteur a proposé de nouvelles formules pour le tube de Preston,
page Il
fonnules qui ont été confirmées récemment par Dickinson et Ozarapoglu
(Cf ( 5]) avec des valeurs mesurées au moyen de la balance à élément
flottant :
1y* = 2 x* + 0.37
2 3y* = 0.8287 - 0.1381 x* + 0.1437 x* - 0.006 x*
y* + 2 log (1.95 y* + 4.1) = x* 5. 6(x*( 7.6
avec y*erO d
2
log ~\1?4;J V··
x* log * d2
q
Pour les écoulements avec gradient de pression longitidunal, Patel
a suggéré qu ! On peut uti li ser le coefficient â = ~- ~ comme cri tèreU", dx
quant aux limites et erreurs possibles sur l'emploi du tube de Preston.
Gradient de pression adverse
4(.250-erreur max 3 10
erreur max 6 10
o <D. <.. 0.01
o <, D.< 0.015
~. dJ./ (. 200
~. d
V
erreur max 3 10
erreur max 6 10
Gradient de pression favorable------------------------------
Vez; • ddA<o0>6< -0.005 ïJ 0d
Uti[ • cldA(O0) ~ > -0.007 <200
2J dx
page 12
II - 1-2 La balance à élément flottant
Cette méthode consiste à "peser" directement le frottement
pariétal en introduisant un élément de surface dans le plan de la pa
roi, de telle sorte qu'il puisse bouger librement dans la direction de
l'écoulement sous l'effet des forces de frottement locales.
Le déplacement de l'élément flottant peut-être traduit par
la force F qui agit sur ce dernier au moyen d'un étallonnage. On peut
écrire :
avec S étant la surface de l'élément flottant o
Bien que théoriquement simple, cette méthode présente des
difficultés expirementales à cause des faibles forces mises en jeu et
surtout dans le Cas du gradient de pression adverseo Pour de plus am
ples détails sur cette méthode, les lecteurs peuvent se référer aux
références suivantes; [.-1.]; (6]; (1); l s J; [~]
II - 1-3 La méthode de Dickinson
La loi déficitaire classique de la paroi s'écrit
u - ue ( 9)
Townsend (Cf [fi]) a proposé une forme de cette loi qui
tient compte des conditions en amont:
u - uh(y/ b )e
~
u - uh (y/ L ) h (y/L)e (10)ou =
u~ lJl'/~ g1
où L est une longueur arbitraire et Uest l a vitesse de frottement corres-
Po n d a n t à une position Xl en amont, de 1 x ; la fonction' ~ estg = --indépendant de y et est reliée aux conditions en ~mont de la U~l
couche limite.
page 13
y uDe l'équation (10) et de ~ = A + B log Y-I Dickinson a
montrét '11 que la loi de la paroi peut prendre la forme suivante :
( 11)
où n est l'exposant local de la loi en puissanceo
d(log y) u .!. du(12)n= -
d( log u ) y • dy
U+.!.. du +
ou n =y+ • dy +
et A(n) est une fonction "universelle"
L'analyse des données expérimentales comprenant des mesures
directes du frottement pariétal à partir d'une balance à élément flot
tant, a permis à Dickinson de formuler une expression linéaire de A(n)
pour des valeurs de n::> 7
A(n) = 0.9 (n + ln 10) ( 13)
Par ai lIeurs, en égalant U+ et sa première dérivée du +dans les équations (11) et il a montré que qand les valeurs
dy +
de n sont grandes, on peut écrire
e eCn +
D(14)
ce qui est en accord aveC la forme expérimentale (13)
Comme l'équation de la sous-couche visqueuse U+ = ~+ est un
ca~ particulier de l'équation (11) qui implique n = 1 et A(n) = 1,
Dickinson a par la suite utilisé les données expérimentales de
Comte-Bellot pour compléter la formulation numérique de A(n) qu'il
écrit.
page 14
0.9 (ri + ln 10) 4.4' n
11
1010
2-0.24 n + 2.88 n - 2.03=Mn)
Ainsi, l'expression de A(n) fournit en liaison aveC l'équation
(11), une méthode "universe !le" semf-cemp f r Lque de détennination du frot
tement pariétal à partir des mesures de vitesse, précises, dans n'impor
te quelle partie de la région gouvernée par la loi générale à la paroi.
Les résultats obtenus aveC Ces trois méthodes sont très con
cordants (à ~ 2 % près) ce qui démontre la précision de détenniantion
du frottement pariétal.
Utilisant la méthode de Dickinson, Long(CfC:1()J1 a mis au point
un programme en langage FORTRAN IV permettant de détenniner le frottement
pariétal et plusieurs autres grandeurs concernant la couche limite au mo
yen de profil de vitesse moyenne. Il a essayé deux techniques de lissage
numérique
(i) la représentation du profil de vitesse par une expression
polynomiale d'ordre k
UN = C +1
C2 YN.................... + ~ + 1y.k
où UNuu
eet YN
(ii) La représentation du profil de vitesse par une expression
exponentielle
UN = A + B EX pCC YN) + D EXP (G.YN)
page 15
La technique de lissage exponentiel donne des résultats
satisfaisants, mais son emploi exige la connaissa.nce de cinq valeurs
initiales de A, B, C, D, G, dont la détermination est souvent fasti
dieuse, de telle sorte qu'elles impliquent une convergence des solu
tions vers celles avec des erreurs moyennes plus petites.
Nous retenons dans notre étude, la technique de lissage
exponentiel qui permet de lisser le profil mesuré par l'équation
où Pl' P2,
P3,
P4, Ps sont des valeurs initiales ou arbitraires de
A, B, C, D et G calculées directement dans le programme modifié de
NGUYEN.
Nous ne décrirons pas ici les détails de cette technique qui
sont déjà bien explicités dans la thèse de NGUYEN ti:1, seulement
nous donnons quelques exemples dans les tables 67 et 83 pour montrer
la précision obtenue de la méthode. Dans ces tableaux les valeurs lis-
sées du profil de vitesse concordent avec celles mesurées et on remar
que de l'erreur moyenne ne dépasse guère 1 % dans tous les cas.t
Pour la technique de lissage exponentiel, la dérivée première
~(UN) se calcule donc simplement par la formule :Ô(YN)
d (UN)() (YN)
CON C LUS ION
Il ressort de notre étude que
(1) La longueur de mélange 1 peut bien prendre
la forme 1 = Ky au voisinage de la paroi
(y/O ~O. 40) comme suggéré par Prandtl.
(2) La constante de Von Karman k = 0.40 est
vérifiée pour toutes les statiOns.
Ceci implique l'existence d'une loi univer
selle de la paroi.
page 16
CONTRIBUTION AU PROGRAM~1E !'()Ul\ IlF'}1~~'~lJ~~~0~FIW'1"l'EMENTPAHIETAL
PAR LA METHODE DE DICKIN:.Jl 1U
On a vu que léi]o; ,J,' LI f (Jl"'\, d'ar6:::~ Lilckinson [1J,
peut bien p r e nd re 1: forme': ~ U J Irv- .. A(rI,) 1--~Vtt ~ 'J
où n = ~/--CTj~-y ,y
ou
et
d(log y)=
d(log u)
n10v l,J - l----~ ~~~.•. - ~ - ~-- - ----
10p: 10 - l'-'
l~n~;J.G
A(n)-
I~. 4 <n
LIé q u il t. l 0n (A. 1) peu tau :' :J 1 :3 1 (, cri r e c 0 mm e :
UI(, _ { U./Ut. 1%-+1U - A(n> [ .1.-. u. ~ ] y)\, )
• b ~La mf,thoclc Je D1ck1n:;on CUt1:;\:;Lc donc à déterminer
l'e xpo san t n de la fa ç 0 n la; \l u s p r:,', (: 1:; (' fi 0 S s t b le et par 1a sul t e
page 17
Dan s s on t.tav a l J orl g ; l 'il , l ,• • 1
page 18
c:[} c u l ô n à
Ens ui te) 11 a p r- o p o s é d e r'( ' rnpl:l c e r c ...·. ' '' , r: :11 :: fa0 t 1ct J e u x pa r
r e exp l'es s i 0 rl a Il 0 1 Yt .l q u (; d l:; ; p r 0 f' l 1 :.; ..1 ' . • \ i " " ,. t.. ( Ci'" • 1 • • • _ J. • [~OJ ) e t
la dérivée p r-e mI è r-e d e c e t Le: c' y. I ) r·( ':3 ~ · l ~l : ! " 1 Ion c t ! r de y n ous
permettra d e d{· t('rn:t ~I ~ - r il ( l' . g . (·q n . !\ . : ) .
2-Programm e d e L (;! l ~ [1ol
utili sant la 1l /· t h oJe ù e IH d: W " '11 , Long ~lOJ a mis
au point un progra mme ' n l a ngJ.ge FOH'l' !\/U r J : ' t~ rrr1(.: t t Lln t de dé -
concernant la c o u c h e limi t e a u moy e n d u ; '1' , :'1} d e vit e s s e moyen-
ne. Deux méthod . d ' a pp r o x l rr:' l t l o f! o nt: - j ' li (' :;: ; a y { e ::; p a r cc dernier:
l a pre mi è ]' t' c on s 1. s t e à r: t: p r (.:,; c n t l: r l l ' 1JT' 1 )
expression poly n omi a l e d ' o r-ôr-e k :
i J0 v ite ss e par une
UN _ . + C., . YN + + (' ' .f ~ l: ( A. 6 )' 1 . . "k + I . 1
U yoù UN -. c t YN - --
U(: ~
et lase con de p Cl. l'un E- exp r cs s i o n e x !)(\ Il .: n ~ . 1. (: l I ( ~ :
UN ,_ A + u. e x p ( C . y N ) + D , " x p ( (j , yN ) ( fl. . ï )
Il l ' L ' :~ ::-; ..H· t d e s e s r è r. u l t n t ' : 'I l l! ' l ' a pp r o x i ma t l o n expo-
nentielle f o urn il d e s r ê s u L t a t. o . ; ::1 L1 ::; 1','1 1 ~;':trl t S , t an d i que
l'appro x i rn a t i on ; ,H ) l :/ nom 1 r e cl0 n fi e p l Y' f v s d e :~ val e urs den
négatives à c aU 2, C de la d I s t o r- t.L . n de :', po i n t s e x p é r ime n t a ux du
page 19
De plus, la val eur e sti mé e dt, Ut '1:11' 1( , :: V"c Le c hangemen t d' ordre
du p olynô me et o n ne p o u t 1' :1.' :i ' , V ( i i ' " ;': \ 11 ' ! ()! 'l" q U(' l c s t l e
meilleur ch e i x de k . C ' (' ~: ·:. ! 'J' l l ' ,' , ' L L ·' r " : . ': ~l r , l ' au'J I.: UI' a pré s en -
té le prog r a mme av ec 1 .:1 ~~ " ul t: 1 ,,):~ :..:j L, l \ t : ' cil' l' a i,' (: l ' app ro ximat ion
exp onenti e ll e U ' q n . iL'!) d u Jl [ ' 0 ('1 1 ! j ' >l' I I ! l l\ , ; I ~ CH: v Lt e u c c . Ce
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( cf. ta h 1 c 107) . Nt1 t 0 r; :; l '?Jl 1(' r!le 111. 1jl ll '
va l CUI' s i n 1 Lt a Il ' ~:; d ' un .- il ,a t i;''1' (' '1\l , 1t ' . : - ;, ," ! .. J :.U ' '-' S s a y e r a ve c
les n ouve a u x pI'O g l' , lIi :r l l ~ : ; A, !' . L . n (1 L::; U I, -l u l t. 1.;;; c ho i cI r- proches
de c el l e s d é j à t rou v ôc s ;H U ' Litl v, [-i '] : ~ Il : ' l.lt!C' ~'éJrnme va r i é d e
c on fi.. -... u r a t L or r s d ' 6 c ou ' pm " : l
v i t e s ae de la s t a l .l n "'; ( I)U:: , U c t. a u ! lf l l ] t , d e t r-ot c es sa is par
tât on nement, l a c o n vcrge n ' e :l l' f",a r a .. t . d "u u e ma n Lè r- e s u rp re na n te
p ou r li i ' :i v il l e u r: ;. LIl t ~ Ct I e 3 il, ~ 1 . ( , 1\ - - , 'l , c . ·- I . 3:' , D :;: - I . 0 e t
G - - ()7. Ce :.; v a .l l ' u r s .: ; ) l t p : l ' 1: ; ~ I I
pro f i l s c ornp Le t. u d l v t t \. ' :; :' l-· m y ~ ' nr t ' ( f ' r . t' l b l " ~' rl ' a p p r o x i ma t i o n
r'ty ,t ' d r, po u r l e s pro-
: 1' 0 l , ma t s e n r;éné r a l
page 21
tant en y a J a u ta n t :
(1) Une n ouvel l e P ; t 'L\ v d ar l ~'. L'_' p t'L ~: I' ;l r.1nl'~ p rLn c l p a I
l'approxirnat .1 on (it: ' ~; p io I'Ll r . ! I:ll ' tl- - - , j " ' .J Il ; ' ~~ . ' ',' p a r :
b i t i- a i r -c s d e A, n, C, 1J , , ' C.
De s cr i p t i on e/, r '~' r' ,'ll" 'IL' 1:( If !" o c! e ( cf. ~f~~ ) :
- On ::; u p p o s e l n l t La L r-rnc n t :
UN 1 - 1, 0 + F;J , c x p ( P3 . YlIî
du 1')'( ,(" 1 1 r:n;' - KN'l' /, ',
- Eli s U i 1 c' 0 Il po :.;~ :
UN'2 ca l ,0 + l ';: , L ' Xl ' ( !' l ' y n ) + l ' ! J : Xp ( r J . y N)
pt Or: c a lc u le P4 e t. PS d c' 1." ]] 1' ~ ;( Jl·te q ue l u c ourbe
p a s ~; L' rar d e u x p () '1n t ~.; 1 - ? r " ' ; ', pro c h e de la paroi
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pag rcô 22
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· c l s s e s ( d x ) 11 : (> : J u x .
DMFV 'e t J\ REA,
NOTE: En ce qui conc erne le lis ting d u pro g r a rrune , le
l e c t eu r pourra se r éZ~r~ r à la r é f é r e n c e (1)
Cl] V. NGUYEN-DUY
(2) H. SCHLICHTING
(3) NIKURADSE
(4) V.C. PATEL
(51 J. DICKINSON
v. OZARAPOGLU
Page 24
B l B LlO G R A PHI E
"Mesures dans une couche lirrùte turbu
lente avec gradients de pression
adverses modérés". Thèse de maîtrise,
Univ Laval, Québec. 1972 •
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Mc.GRAW-HILL 1970, P. 475
Voir Schliehting (2), P. 502.
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[9J K.G. WINTER
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la détermination du frottement parié
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(llJ A.A. TOWNSEND
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mic and Transport Propreties, 1962
A.S.M.E. Symposium.
Notes:les rérérencesLl1J,~4~,et \!Slsont donnés ici seulement à titre
d 1indication, elles n'ont pas été utilisées pour ce projet.
RESULTATS DES MESURES
Dans les tables de la page 27 à la page 34, nous trouvons
- les valeurs du frottement pariétal Cf
les valeurs de YN Y/~
- les valeurs de
- les valeurs de Ue
- les valeurs initiales et finales de A)B)C)D,G .
Page 27
1
j
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CAlculAlln~ OF S~I~ nlCTlnN - Ii'.CCIIPAESSlftlf FL('W~
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1NSINSINSINS
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1.421>520.
2.881>1'10.00214
84.4
• nfLT'• nF LT'.• THET'• DEL T' •••
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A~8IF~T TEMPF~ATUAE
UI"IE~T Pllr SSII.EDEN~ ITY"INEMATIC VTSCnSITYPITOT TU~E HEJr.IITDI S.LACFMENT FAC TnpeOU'lnAIIY LAyrR THICK"EHDISPLA:rur~T THTCKNFSS~OME'ITU" THICKNFSSE'lERGY THleKNFSSH OfLU-IrHTA~EY~'Lns NlI~IIF. RASfO r~ TIlE T'FA ICTlO .... vs i oc /TYHICTIO,.. eOEFFICIfNTFHE STHAM VELDt/TY
C()I4MA~O cuOS.
l"ITIAl PAlU"'fHAS •
1.0000 P22 • -0.7(100 PH • -1.)">00 P"4 • -1.0000
, l"Al PARAMETf RS •
PI · 1.01"4 Pl . -o. "> 301> P3 - -3.">149 Plo . -'l.IO'l8 P,,> . ·"7.2b78
"'rA~ EAAnA . 0.00"189
'" . ,0 · 0 K7 . 0 K) . 0 K" . k"> . PITOT . 0.01100 ALPHA . 0.1<;0
VC - 0.00017050
DEl TA . I.b">o orst . 0.0 ~f y • 0.0 CI . 68108.1"> C2 • 1. o
ur · 8".4n UTOAI . 0.0 PTE . 0.0 PSE . 0.0 cv • 0.0
CALCULATIO.. OF SKI" F~ICTION - l"CC"PAfSSIBLE ElnwS
SUT ION 2 POS.I PITOT ~INH
YI UI YN U~ UNS N A UTnp uTO"'I ,,.... LOGY' UN-- LOGY" StOPf
0.011>0 lq.O'174 0.0126 0.41> 3 0.450 1,"0 a.13 0.0111 '1.9 121 1 3. ~"> 1.401 1">.10 ·0. eB 4.9120.01'10 P.I171 n.'1ISC 0.464 0.41>8 1.00 ~.H o.c,JJ7 '1. 'le 51 l3.q 1. ,,>44 15.1>1 -'1."0 4.41>10.02<;0 40. }1,41> 0.118C 0.411 O.HI 6.1\ ~. 1 1 O.Cl<1] O.Cl"n .. Il. q,,> 1.1>24 1<;.1'1 - '1.12 1. 'lB 10.0100 41. 1J/.' 7 0.021 r. 0.4'13 0.492 6.54 '. «« 0.1)1'1 O. qqr 1 14.41 1.6'11 14. KI -\l.bl> 3.5800.04"0 47.14">" O." 711 '1. ,,>nt. 0.">12 fi.'" 1.81 n.'1141 0.'1'1"'" 1". ~ 1 1. P J 1 14.4) -'1.">5 } ...6 ..0.0">00 44. '/441 O. n 111 0.<;11 n.">28 1>.1" 1.1"> O. 1141 l.nn"7 1">. <; 1 I.~B' 1 1... 1 - O. 41> 1.Sl!O. (\1.00 ft". (,'1'1" 0.1''''11 O.V.I n.'4} 6.n '. IlA n,1141 1 • OOO~ I~. q \ 1. 'I~I 1J.'d -0.19 }.lBn.Ol0n ~1.1"n} n, n4~' o, K,/I 0 o.~">~ 6.110 1.bO 0."''"'" 1.00" 1 16. l'l 1. nn Il. " .. - O. \1 1.0010.0~00 41.1'.14 O. nvt ~ n , ~,... 0.~61 ... O} '.4'1 o.n~·' t'). '1'lll4 U.~4 1. n 1~ Il.10 - O.} 1 l.d"O0.1(100 ">1.0An ... 0.1 Il'' 0.">'11 n.">81 <;.1\ 1. }l () • r') ll.n n .l')'l"" 1 1. 1 ~ 1.1111 Il • ~'1 -O.ld 1.1>16O. i s no ">··•• 1l>~4 r..O")~ (1.~11 0.~11 4.91l ~.54 0.1') l" n .....7' 1 ~ ,," 2. \n 1".61 -0.01 1. J" 1O.lnoo 56.~n 1} 0.1211 0.010 0.1.11 4.4A ~.IO () • ,~ i 1~, o , q, \r, 1 ... "> ~ 2.41>1 '1.1>1> 0.1 1 1.1110.7sno <;9. ~~'1o 1. 1 ~ 1 Cl O. 1[;7 0.10"> 4 .12 ">.8"> n.o'( r o , "'111 10.' \ 2. <; 5" A.1I 0.71 1.086O.lOOO 01. Abl '1 n.1 P41 0.111 0.717 4.10 v , 14 o , ()' rll 0.'"111 21.41 1...n 1. Al O. 2 ~ 1)."710.1500 Il •• 2 n II 1. }l41 O. lI. 1 0.16 "> 10.01> ~ .11 1).0 jlll) 1). "110 1 77. 7 ~ 2. " Cl') 7. nn O.)"> n.l'18o ..."no 66 • .'.I)'IQ n.7444 o , ln 0.1'10 10.0'1 'j. 7 , n.OIOI ().A~"l 13.n \ 1.7':17 ".71 0'''1 1).1'1'10.5'100 I,q.tI7A O. 1 o~ A O. P7 1 r..813 4.18 5.90 O. nlll n.qr~~ 74.7'1 1.A">3 <;."~ /).">0 0."'90."'100 11.1219 O. l1,~' fl.IV-,o 0.8"1 4 .... n ".71 n.1"~ O. '1"11 }">.'" 1. 'Ill 1. ~I 0.5d ').5110.10no 1<;.4.' , .. "."7~t O. p'a a .Aql> ".04 ".1>0 0.01'4 1. n'1',n 21.. 11 2. f)r; 7 1. Il 0.1>5 n.41"0.8000 11.1'.4'' 0.10 P"C o.~n 0.q18 ~.~q 1. 1 n 0.1) 1/ \ I.r. .. ?~ H ....... 1.0"~ 1.}4 0.11 0.B9O.'1non 11. "'1"'1 O. ''''1 4
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Table 10
nage 30
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Table 11
page 31
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Table 13
page 32
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Table 18
Page 35
TABLES D'APPROXIMATION
Résultats de l'approximation des profils complets et des
profils partiels de vitesse
UN = u/ Ue
Par l'expression:
V.S YN = Y/Ô
UN = A + B eC•YN + D eG•YN
Valeurs initiales pour le profil complet
A = 1.0
B =-0.7
C =-1.35
D =-1.0
G =-67.0
Pour les profils partiels, les valeurs initiais (et aussi finales)
de ABC D G sont calculées directement par le programme principal.
Notation
OBS = valeur expérimentale de UN
PRED = valeur trouvée par l'approximation
DIFF = PRED OBS
IND = YN
\
PROFIL COMPLET DE VITESSE
CAlCUUTlnl'ol Of' SKIN FRICTION - INC(fl4PRfSSllllE fLOWS
STATION ~ POS.l PITOT ~INH
Page 36
Il • 31
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PA"AIIETEP.S 1.032501 -0.5'13361 -).011061 -0.21118 -1 H.9060 "EAN ERROR 0.00501988
08S PREO OIFF INIl
0.398344 0.3'12561 -0.005183 0.0105210.402)08 0.40'1130 0.001423 0.0125440.424010 0.42118~ 0.003114 0.0150H0.441186 0.441245 0.00005'1 0.0111>02O.~53016 0.452714 -0.000242 0.0?01120.463405 0.462413 -0.00099) 0.0221.610.~71)21 0.410636 -0.0006'11 0.02~l'10
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0.518361 0.511931 -0.000424 0.9419510.531694 0.526066 -0.005629 0.0510100.568010 0.561594 -0.004436 0.0183000.595196 0.591996 0.002200 0.1015910.651201 0.1.'19380 0.008119 0.154173O. 101 C~q 0.112092 0.011003 0.1041550.74517' 0.757156 0.011184 0.255))60.825816 0.819605 0.00 )129 0.151.5000.88t-89? 0.881881 -0.004010 0.4'11661O. 91 ~"H 0.904019 -0.0091>06 0.50U450.912250 0.92711.9 -0.010CBO 0.55/111260.'>411151 0.911156 -0.01099'" 0."0940110.900n 0.951140 -0.0119 J'? 0.6'199'100.91.71.0' 0.961"H -0.0!')""Ib9 0.1105110.974'6'" 0.912504 -0.00181.1 0.7611530.971617 0.9~091~ 0.nn)16) 0.11111"0.'>81191 0.'188B8 0.0010"1 0.81>211"10.98"1111 0.9'14508 0.OOH70 0.91l89110.'187963 0.99987'1 0.0119 Il 0.9634110
FINAL PARAMfTERS 1.012498 -0.591546 -1.011041 -0.222180 -116.910673
l'IUI'ol ERROR 0.00501.4 SUM E~ROR 0.000205
CALCULATln~ nc S~I~ FRICTIJN - TNCO~PP~SSIBL( FLOWS
STATIO~ 6 POS.l ~lTJT VI~H
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-3.813031-5.691202
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-153.2346 M~AN fA;J; O.0~6025~3
-130.231° ~~AN E~~~~ 0.02033597
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TABLEAUX DES RESULTATS
Page 38
Ô(UN) "ÙUpage 39
YNÔ(YN)
-- 1(rnm) 11 dat0.0126 4.904 2999.28 0.294 0.00697
0.0150 4.456 2725.25 0.333 0.00768
0.0180 3.979 2433~ 91 0.361 0.00859
0.0210 3.581 219à.39 0.402 0.00955
0.0271 2.960 1810.52 0.486 0.01155
0.0331 2.531 1547.73 0.568 0.01351
0.03 91 2.225 1360.57 0.647 0.01537
0.0452 2.001 1228.19 0.716 0.01703
0.0512 1.840 1125.25 0.782 0.01859
0.0633 1.626 994.29 0.885 0.02104
0.0935 1.363 833.52 1.056 0.02510
0.1237 1.210 743.04 1.184 0.02815
0.1539 1.086 664.36 1.324 0.03148
0.1841 0.976 597.25 1.473 0.03503
0.2143 0.878 537.06 1.638 0.03895
0.2444 0.790 483 .13 1.821 0.04330
0.3048 0.639 390.72 2.252 0.05334
0.3652 0.517 315.98 2.785 0.06620
STATION 2 POS 1
~ ôU page 40
YN -- l (mm) 1/6"b(YN) '"Or
0.0114 6.580 3543.32 0.229 0.00495
0.0136 6.631 3032.18 0.267 0.00578
0.0164 4.680 2520.05 0.322 0.00696
0.0191 3.974 2140.67 0.379 0.00819
0.0240 3.079 1658.05 0.489 0.01060
0.0601 1.523 820.24 0.988 0.02137
0.0850 1.375 740.75 1.095 0.02368
0.0900 1.352 728.14 1.113 0.024080
0.0970 1.322 711.93 1.138 0.02463
0.1125 1.259 678.06 1.195 0.02585
0.1675 1.061 571.63 1.417 0.03066
0.2224 0.895 482.16 1.681 0.03636
0.3323 0.637 . 342 092 2.364 0.05112
0.4422 0.453 243.90 3.323 0.07188
0.6620 0.229 123.37 6.657 0.19903
0.5521 0.322 173.46 4.672 0.1421
0.7719 0.163 87.74 9.235 0.3950
•0.9916 0.082 44.40 18.254 0.3950
STATION 3 POS 1
O(UN) ~tJ page 41YN
O(YN)-- 1 (mm) 1/6°t
0.0105 9.336 4453.88 0.168 0.00335
0.0125 7.738 3691.54 0.203 0.00405
0.0151 6.145 2931.63 0.256 0 000509
0.0176 5.005 2388.01 0.314 0.00625
0.0201 4.152 1980.73 0.378 0.00618
0.0227 3.1+89 1664.73 0.451 0.00897
0.0252 3.014 1478.81 0.521 0.01040
0.0277 2.656 1266.97 0.591 0.011788
0.0302 2.385 1137.99 0.659 0.013120
0.0328 2.179 1039.80 0.721 0.01436
0.0378 1.907 909085 0.824 0.01640
0.0429 1.742 831.31 0.902 0.01797
0.0480 1.641 783.03 0.957 0.01907
0.0530 1.576 751.99 0.997 0.01986
STATION 4 POS 1
YN 1 (mm)
page 42
0.0099 8.184 3509034 0.198 0.00370
0.0118 6.809 2919.70 0.238 0.00443
0.0141 5.879 2521.05 0.274 0.0051.3
0.0165 5.082 2179.39 0.318 0.00593
0.0189 4.430 1899.89 0.364 0.00680
0.0213 3.897 1670.96 0.414 0 000774
0.0236 3.476 1490.54 0.464 0.00868
0.0260 3.114 1335.50 0.518 0.00969
0.0284 2.818 1208.22 0.573 0.01070
0.0308 2.574 1103.62 0.628 0.01172
0.0355 2.214 949.19 0.728 0.01363
0.0402 1.966 824.89 0.820 0.01534
0.0450 1.790 767.61 0.902 0.01685
0.0497 1.669 715.77 0.966 0.01807
0.0735 1.397 599.08 1.155 0.02159
0.0972 10288 552.30 1.253 0.02342
0.1447 1.129 483 .31 1.429 0.02671
0.1921 0.993 425.98 1.624 0.03036
STATION 5 POS 1
YN'DuOY
l ( TTUll)
page 43
0.0093 10.308 4113.88 0.163 0.002886
0.0111 8.672 3460.99 0.194 0.00343
0.0134 7.011 2798.18 0.240 0.00424
0.0156 5.778 2306.21 0.291 0.00515
0.0179 4.768 1902.93 0.353 0.00624
0.0201 4.034 1610.00 0.417 0.00737
0.0224 3.430 1368.81 0.490 0.00867
0.0246 2.973 1186.38 0.565 0.0100
0.0269 2.615 1043.27 0.643 0.01138
0.0291 2.341 934.34 0.718 0.01270
0.0336 1.951 77 8.83 0.861 0.01524
0.0381 1.711 682.93 0.982 0.OP38
0.0426 1.562 623.42 1.076 0.01903
0.0471 1.467 585.33 1.146 0.02314
0.0696 1.285 513.06 1.307 0.02453
0.0920 1.212 483.83 1.387 0.02586
0.1145 1.150 459.00 1.462 0.02724
0.1370 1.092 435.73 1.540 0.0302
STATION 6 POS 1
YN'1(UN)Ô(YN)
()uÔY
l ( mm)
page 4
0.0085 12.358 4410.76 0.147 0.0023 6
0.0101 10.402 3712.48 0.174 0.00280
0.0122 8.350 2980.21 0.217 0.00349
0.0142 6 . 828 2437.09 0.2 66 0.00427
0.0162 5. 635 2011.36 0.322 0.00517
0.0183 4. 659 1662.87 0.389 0.00627
0.0203 3.934 1404.20 0.461 0.00741
0.0224 3.340 1192.29 0.543 0.00873
0.0244 2.9OC 1034.82 0.625 0.01000
0 . 0 26 4 2.552 911.102 0.710 0.011 42
0.0305 2.056 733.84 0. 880 0.01 418
0.0346 1.751 624.95 1.036 0.016 65
0.0387 1.562 557.49 1.161 0.01867
0.0428 1.443 515.15 1.256 0.02019
0.0632 1.240 442. 42 1.463 0.02352
0.0836 1.178 420.31 1.539 0.02476
0.10LJ.Ü 1.129 403.02 1.606 . 0.02582
0.1244 1.083 386. 76 1. 673 0.02690
STATION 7 POS 1
YN vuôY l (mm) 1/ S
page 45
0.0080 9.957 3267.63 0.189 0.00286
0.0095 8.668 2844.31 0.218 0.00330
0.0115 7.239 2375.81 0.157 0.00464
0.0134 6.139 2014.50 0.305 0.00630
0.0172 4.506 1478.66 0.417 0.00839
0.0211 3.395 1113.60 0.554 0.01010
0.0240 2.819 925.02 0.667 0.0130
0.0288 2.181 715.81 0.862 0.01530
0.0326 1.861 610.75 1.010 0.01900
0.0403 1.496 490.83 1.256 0.02340
0.0595 1.217 399.28 1.545 0.02485
0.0788 1.145 375.86 1.640 0.02582
0.0980 1.102 361.64 1.704 0.02676
0.1172 1.063 348.93 1.768 0.02872
0.1557 0 0991 325.12 1.896 0.03083
0.1942 0.923 302.93 2.036 0.03300
0.2326 0.860 282.31 2.185 0.03550
0.2711 0.802 263.04 2.344 0.03810
STATION 8 POS 1
DISTRIBUTION DE 1/~ EN FONCTION DE Y/b DANS UNE
COUCHE LIMITE POUR LES STATIONS t à 8.
0.16
6
7:
8
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+ STAT. 5
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OJ.2
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3
4
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o STAT. 2
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'TIPl.oro
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DISTRIBUTION DE l~ EN FONCTION ~~/cr
1 ---------
