On traite de la propagation des ondes en régime linéaire

Particule

Multidiffusion et ondes cohérentes un essai de synthèse

Jean-Marc Conoir

UPMC Univ Paris 06, UMR 7190 Institut Jean Le Rond d’Alembert

kkll20 minutes

Bon courage

Direction de propagation

Description microscopique des ondes cohérentes

k̂ k̂

'''

effeffeffiKKK

850 steel rods of 2 mm in the range [120x300 mm]

Concentration c=12.6%

Signal incident Signal transmis

Coda

Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple

Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…

Formalisme basé sur les représentations diagrammatiques

(équation de Dyson & Opérateur de Masse)

Bourret (1962) « approximation bilocale », Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Uriel Frish (1965), …

Théories d’homogénéisation: a

),()(0 kfkrGS

C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible »

Hypothèse de champ lointain

kr

Fonction de forme en champ lointain

nle

1

ISA: Independent Scattering Approximation

Les formules célèbres

Waterman & Truell (1961)

Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)

)(f )0(f

)0(422 fnikkISA

22

2 )(2

)0(2

f

k

nif

k

nikK

WT

dfdd

gk

nfnikk

LM

22

02

2

22 )(2

cot8

)0(4

Est-ce qu’on peut évaluer la nature des approximations effectuées?

Twersky (1964) a «montré» que l’approximation de Foldy consistait à interdire toutes les interactions doubles et supérieures.

1952

2 2 2 ˆ ˆ4 (0) 4 ( , )effk k i n f k i n f k k= - = -

…

2 21

ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 22 1 1 1

ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 2

1ˆ ˆ4 ( , )p p p pk k i n f k k+ = -

La CPA est connue pour être « résistante » quand la concentration augmente. Est-ce qu’on a augmenté le nombre

d’interactions prises en compte?

ppeffkk

lim 0)ˆ,ˆ(

effeffkkf

k̂ k̂

0

0

)1(

0

2222 )()()(2

)0(16 rdrrkJkrHrgi

fnkkLMLMeff

Corrélation Spatiale

: « radial distribution function »

(histogramme du nombre de diffuseurs situés à une distance donnée d’un diffuseur pris au hasard)

)(rg

A.Norris, J.M.Conoir, Multiple scattering by cylinders immersed in fluid: high order approximations for the effective wavenumbers (soumis).

A.Derode, V.Mamou, A.Tourin, Influence of correlations between scatterers on the attenuation of the coherent wave in a random medium, Phys. Rev. E 74 (2006) 036606.

...

cos2)()()()(8

)()(2

cot8

)0(4

2

)(

022

2

2

02

2

22

)(

Teff

TTLL

LTTLTLLT

LLLL

L

LL

LLeff

k

dkkkkffffn

dffdd

gk

nfnikk

Milieux Elastiques

J.M.Conoir, A.Norris, Effective wave numbers and reflection coefficients for an elastic medium containing random configurations of cylindrical scatterers, Wave Motion, 47 (2010) 183-197.

F.Luppé, J.M.Conoir, S.Robert, Coherent waves in a multiply scattering poro-elastic medium obeying Biot’s theory, Waves in Random and Complex Media, 18 (2008) 241-254.

J.M.Conoir, S.Robert, A.El Mouhtadi, F.Luppé, Reflection and transmission at low concentration by depth-varying distribution of cylinders in a fluid-like region, Wave Motion 46 (2009) 522-538.

C.Aristégui, Y.C.Angel, Effective mass density and stiffness derived from P-wave multiple scattering , Wave Motion 44 (2007) 153-164.

conditions de continuité entre un milieu multidiffuseur et un milieu homogène

micro

macro

Masse volumique effective: feff /)(

… and angle dependent ???

ka=0.5

2% on Re,

5% on Im

Métamatériaux ???

feff /),(

F.Luppé, J.M.Conoir, P.Pareige, Dynamic effective properties of a random configuration of cylinders in a fluid (soumis).

Coefficient de viscosité effectif: )(eff

En basse fréquence , on peut assimiler le milieu multidiffuseur à un fluide visqueux

LAUE

1995

Et les bulles ?K.W.Commander, A.Prosperetti, Linear pressure wave in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments, JASA 85 (1989) 732-746.

Wijngaarden (1968-1972), Caflish, Miksis, Ting, Papanicolaou (1985)Keller, Miksis (1980)

moi

DIFFUSION MULTIPLE NON LINEAIRE

Merci pour votre attention