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Table des matières1 Systèmes centrés 2
1.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Plans focaux et foyers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Plans principaux et points principaux . . . . . . . . . . . 41.2.3 Points nodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Formules de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Formules de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 Constructions à l’aide des trois rayons particuliers . . . . 51.4.2 Construction àl’aide des foyers secondaires . . . . . . . . . 6
1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gullstrand . . . . 7
2 Dioptres 82.1 Loi de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Lentilles 113.1 Lentilles épaisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Relations de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Miroirs 144.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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1 Systèmes centrésUn système centré est formé de plusieurs surfaces réfringentes ou réfléchis-
santes (dioptres ou miroirs), telles que l’ensemble présente une symétrie autourd’un axe de révolution Oz, l’axe optique (cela signifie que leurs axes sont confon-dus).
Dans l’ensemble de ce cours, on se place bien sûr dans l’approximation deGauss, ce qui signifie qu’on considère que les angles d’incidence des rayons sontfaibles et que leurs points d’incidence sont proches de l’axe optique.
Figure 1 – Système centré placé entre un milieu d’indice n et un milieu d’indicen′.
1.1 VergenceLa vergence est un paramètre qui caractérise les propriétés de focalisation
d’un système centré. Il s’agit d’une grandeur algébrique, homogène à l’inversed’une longueur, et elle s’exprime en dioptries (δ).
Si V > 0, le système est convergent. Un rayon arrivant parallèlement à l’axeoptique émerge en se rapprochant de l’axe, pourvu qu’il émerge du même côtéde l’axe optique que le rayon incident.
Si V < 0, le système est divergent. Un rayon arrivant parallèlement à l’axeoptique émerge en s’éloignant de l’axe, pourvu qu’il émerge du même côté del’axe optique que le rayon incident.
Enfin si V = 0, le système est afocal. Un rayon arrivant parallèlement à l’axeoptique émerge toujours parallèle à l’axe.
Figure 2 – Système centré (a) convergent, (b) divergent, (c) afocal.
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1.2 Eléments cardinaux1.2.1 Plans focaux et foyers
Les plans focaux sont deux plans situés dans les espaces objet et image, dontles intersections avec l’axe optique sont les foyers principaux objet F et imageF ′.
Tout rayon incident, issu de F , émerge parallèlement à l’axe optique.Tout rayon incident, parallèle à l’axe optique, émerge en convergent vers F ′.
Figure 3 – Foyers objet et image.
On définit les distances focales image et objet comme étant les quantitésalgébriques suivantes :
f ′ =n′
V(1a)
f = − nV
(1b)
où n et n′ sont les indices des milieux situés avant et après le système. Si lesdeux milieux sont identiques, les distances focales sont opposées.
Si V > 0, on a f ′ > 0 et f < 0, alors que si V < 0, on a f ′ < 0 et f > 0.En pratique, on utilise surtout la distance focale image f ′ pour caractériser lesystème.
Les plans focaux sont également l’ensemble des foyers secondaires objets etimages, FS et F ′S (aussi parfois notés Φ et Φ′). Ces foyers secondaires sont asso-ciés à des faisceaux de rayons lumineux parallèles entre eux mais non parallèlesavec l’axe optique.
Figure 4 – Exemple d’un foyer secondaire image.
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1.2.2 Plans principaux et points principaux
Les plans principaux ou unitaires sont des plans conjugués tels que le grandis-sement transversal γ est égal à l’unité. Le plan principal image est défini commel’ensemble des points où se croisent les rayons incidents parallèles à l’axe avecles rayons émergents correspondants. Le plan principal objet est défini commel’ensemble des points où se croisent les rayons émergents parallèles à l’axe avecles rayons incidents correspondants.
Les intersections de ces plans avec l’axe optique sont notées H et H ′ etobéissent aux relations suivantes :
HF = f (2a)
H ′F ′ = f ′ (2b)
Figure 5 – Points principaux objet et image.
1.2.3 Points nodaux
Il s’agit de deux points conjugués sur l’axe optique, N et N ′, tel qu’un rayonincident passant par N émerge de N ′ parallèlement à sa direction initiale.
Figure 6 – Points nodaux.
On a la relation suivantes :
HN = H ′N ′ = f + f ′ (3)
Ainsi, si les deux milieux extrêmes sont de même indice, les points nodauxsont confondus avec les points principaux.
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1.3 Formules de conjugaison1.3.1 Formules de Descartes
On considère un système centré transformant un objet AB situé au pointA en une image A′B′ située au point A′. La relation de Descartes, qui relie laposition de l’objet p = HA à la position de l’image associée p′ = H ′A′, est unerelation de conjugaison avec origine aux sommets. Elle s’écrit :
n′
p′− n
p= V (4)
Si les milieux extrêmes sont identiques, la relation se simplifie :
1
p′− 1
p=
1
f ′
Le grandissement transverse, défini comme γ = A′B′
AB, s’exprime :
γ =n
n′p′
p(5)
1.3.2 Formules de Newton
La formule de Newton est une relation de conjugaison avec origine aux foyers.Elle relie les quantités σ = FA et σ′ = F ′A′ de la façon suivante :
σσ′ = ff ′ (6)
Si les milieux extrêmes sont identiques, elle se réduit à :
σσ′ = −f ′2
Le grandissement s’écrit quand à lui :
γ = −σ′
f ′(7)
1.4 Constructions géométriquesLa construction géométrique est indispensable pour visualiser et vérifier les
résultats obtenus par le calcul.
1.4.1 Constructions à l’aide des trois rayons particuliers
On considère toujours un objet AB avec A sur l’axe optique et B en dehors,son image associée sera A′B′. Pour diminuer les risques d’erreur, il est préférablede tracer les trois rayons particuliers suivants :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l’axe optique émerge à partir du planprincipal image à la même hauteur, en passant par le foyer image F ′.
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2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement àl’axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la mêmehauteur que l’intersection du rayon incident avec le plan principal objet.
3. Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement àlui-même à partir du point nodal N ′.
Figure 7 – Construction géométrique de l’image A′B′ associée à l’objet ABgrâce aux trois rayons particuliers décrits ci-dessus.
1.4.2 Construction àl’aide des foyers secondaires
Lorsqu’on veut tracer l’évolution d’un rayon quelconque à travers un systèmeoptique, ou retrouver le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque,les foyers secondaires images ou objets sont très utiles.
Dans le cas où on cherche le rayon émergent associé à un rayon incidentquelconque, on trace alors le rayon parallèle au rayon incident, mais passant parle point nodal objet N . Celui-ci émerge avec le même angle par rapport à l’axeoptique à partir du point nodal image N ′, et croise le plan focal image au foyersecondaire image F ′S . Il est alors possible de tracer le rayon émergent à partirdu plan principal image, à la même hauteur que le croisement entre le rayonincident et le plan principal objet, et passant par le foyer secondaire image F ′S .
Figure 8 – Construction du rayon émergent associé à un rayon incident quel-conque (en bleu), à l’aide du foyer secondaire image. On s’est placé dans le casparticulier où les milieux extrêmes sont de mêmes indices et où donc les pointsnodaux objet et image sont confondus avec les points principaux objet et imagerespectivement.
Si on cherche le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, ils’agit de la même opération en sens inverse. On trace alors le rayon parallèle
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au rayon émergent, mais passant par le point nodal image N ′. Celui-ci arrivesur le système avec le même angle par rapport à l’axe optique jusqu’au pointnodal objet N , et croise le plan focal objet au foyer secondaire objet FS . Il estalors possible de tracer le rayon incident recherché arrivant sur le plan principalobjet, à la même hauteur que le croisement entre le rayon émergent et le planprincipal image, et passant par le foyer secondaire objet FS .
1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gull-strand
On considère l’association de deux systèmes centrés, indicés 1 et 2, séparéspar un millieu d’indice n. On introduit la distance optique : e = H ′1H2. Lavergence du système total s’exprime grâce à la formule de Gullstrand :
V = V1 + V2 −e
nV1V2 (8)
Il en découle l’expression suivante pour la distance focale du système total :
f ′ = −f1f2∆
(9)
avec ∆ = F ′1F2.
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2 DioptresUn dioptre est une surface séparant deux milieux homogènes d’indices diffé-
rents.Pour rappel, l’indice de réfraction d’un milieu est défini par n = c
v où c estla vitesse de la lumière dans le vide, et v celle de la lumière dans le milieu enquestion. Par exemple, l’indice de l’air vaut pratiquement 1, l’indice de l’eau estde 1.33 et celui du verre est de 1.5.
Figure 9 – Dioptre sphérique de sommet S et de centre C.
2.1 Loi de Snell-DescartesAu niveau du dioptre, on assiste à un phénomène de réfraction, ou bien dans
certains cas, à un phénomène de réflexion totale interne. Ceci peut être calculégrâce à la loi de Snell-Descartes.
Figure 10 – Réfraction au niveau d’un dioptre.
On considère un dioptre séparant un milieu d’indice n1 d’un milieu d’indicen2 (voir figure 10). Un rayon incident formant un angle i1 avec la normale audioptre, ressort avec un angle i2 par rapport à la normale, selon la relation :
n1 sin i1 = n2 sin i2 (10)
On remarque que si n2 > n1, alors i2 < i1.Pour trouver l’expression de l’angle limite de réflexion totale, on pose i2 =
90◦ et n1 > n2 (d’après la remarque précédente, il ne peut y avoir réflexiontotale que dans cette condition). On obtient alors :
ilim1 = arcsin
(n2n1
)(11)
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2.2 VergenceOn considère un dioptre sphérique séparant un milieu d’un indice n d’un
second milieu d’indice n′. Ce dioptre a pour sommet S et pour centre C, eton définit le rayon de courbure du dioptre comme étant la grandeur alébrique :R = SC. La vergence est donnée par la formule suivante :
V =n′ − nR
(12)
Figure 11 – A gauche, schéma d’un dioptre convergent (V > 0), à droite celuid’un dioptre divergent (V < 0).
On peut parler de dioptre convexe ou concave en considérant toujours le côtésur lequel arrivent les faisceaux lumineux. Un dioptre convexe est arrondi versl’extérieur, alors qu’un dioptre concave est arrondi vers l’intérieur. Par exemple,sur la figure 11, le dioptre de gauche est convexe alors que le dioptre de gaucheest concave. Cependant, un dioptre convexe n’est pas forcément convergent.En effet, si un dioptre convexe air/verre est convergent, un dioptre verre/airconvexe est divergent.
Les distances focales objet et image sont définies comme étant :
f = − nV
(13a)
f ′ =n′
V(13b)
Ces expressions peuvent être retrouvées en appliquant la relation de conju-gaison à une image à l’infini dont l’objet associé est F , et à un objet à l’infinidont l’image associée sera F ′.
On remarque que les distances f et f ′ ne seront jamais égales car n et n′sont différents par définition même du dioptre.
Dioptre plan Dans le cas du dioptre plan, le rayon de courbure est infini.Ainsi la vergence est nulle, et les foyers sont rejetés à l’infini. Le système estdonc afocal.
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2.3 Eléments cardinauxLes points principaux, H et H ′, sont confondus au sommet S du dioptre.
Ainsi, les distances focales objet et image correspondent aux distances SF etSF ′ respectivement.
On remarque également que les points nodaux, N et N ′, sont confondusavec le centre C du dioptre, ce qui signifie qu’un rayon passant par C garderala même inclinaison par rapport à l’axe optique en tranversant le dioptre.
2.4 Relation de conjugaisonLa relation de conjugaison de Descartes (voir 1.3.1) appliquée au dioptre
sphérique s’écrit :
n′
p′− n
p=n′ − nR
(14)
où ici p = SA et p′ = SA′.Le grandissement s’exprime toujours :
γ =n
n′p′
p(15)
Cas du dioptre plan La relation de conjugaison devient :
n
p=n′
p′
et le grandissement vaut : γ = 1.
2.5 Constructions géométriquesOn considère un objet AB avec A sur l’axe optique et B en dehors, son
image associée sera A′B′. Les trois rayons particuliers à tracer dans le cas dudioptre sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l’axe optique émerge en passant parle foyer image F ′.
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement àl’axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre C du dioptre ressort parallèlementà lui-même.
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3 LentillesUne lentille est formée de deux dioptres sphériques qui délimitent un milieu
d’indice n. Dans ce cours, nous considèrerons le cas de lentilles plongées dansl’air.
Figure 12 – Schéma d’une lentille d’indice n composée de deux dioptres desommets S1 et S2.
Il existe 6 types de lentilles, différenciées par les formes des deux faces.
Figure 13 – Les différents types de lentilles. 1 : lentille biconvexe, 2 : lentilleconvexe-plan, 3 : ménisque convergent, 4 : lentille biconcave, 5 : lentille plan-concave, 6 : ménisque divergent.
3.1 Lentilles épaissesLors de l’étude d’une lentille épaisse, on la considère comme l’association de
deux dioptres, air/verre, puis verre/air, de rayons de courbures R1 et R2. Onutilise donc la relation de conjugaison de Descartes pour le dioptre deux fois,en faisant attention à la distance séparant les deux sommets des dioptres, notéegénéralement e = S1S2. On peut également calculer la vergence de la lentillegrâce à la formule de Gullstrand et trouver la position des éléments cardinauxde celle-ci.
3.2 Lentilles mincesUne lentille est considérée mince lorsque son épaisseur est petite devant les
rayons de courbures de ses faces, ainsi que devant la différence des rayons decourbures, soit : e � R1, R2, |R2 − R1|. Les sommets des deux diotpres sontalors confondus au point O appelé le centre de la lentille.
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3.2.1 Vergence
La vergence d’une lentille mince est donnée par :
V = (n− 1)(1
R1− 1
R2) (16)
On peut retrouver cette formule grâce à la formule de Gullstrand, en négli-geant le dernier terme contenant l’épaisseur e.
Lorsque V > 0, la lentille est convergente, c’est-à-dire qu’elle transforme unobjet réel situé à l’infini en une image réelle située en aval de la lentille. LorsqueV < 0, la lentille est divergente, elle tranforme un objet réel situé à l’infini enune image virtuelle située en amont de la lentille.
Figure 14 – A gauche, schéma d’une lentille mince convergente (V > 0), àdroite celui d’une divergente (V < 0).
Remarque Contrairement aux dioptres, les propriétés de convergence ou dedivergence des lentilles sont intrinsèques, elles ne changent pas en fonction dusens de propagation de la lumière.
3.2.2 Eléments cardinaux
Comme on considère des lentilles minces plongées dans l’air, les distancesobjet et image focales sont définies par :
f = − 1
V(17a)
f ′ =1
V(17b)
Dans le cas de la lentille mince, les points principaux et nodaux sont confon-dus avec le centre O (ce qui n’est pas le cas pour une lentille épaisse). On a doncles relations : f = OF et f ′ = OF ′.
3.2.3 Relations de conjugaison
Formule de Descartes Pour une lentille mince, la relation de conjugaisonde Descartes est la suivante :
1
p′− 1
p=
1
f ′(18)
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avec p = OA et p′ = OA′. Le grandissement vaut simplement :
γ =p′
p(19)
Formule de Newton La formule de Newton garde la même forme :
σσ′ = ff ′ (20)
avec cette fois f = OF et f ′ = OF ′. Le grandissement reste aussi : γ = −σ′
f ′ .
3.2.4 Constructions géométriques
On considère un objet AB avec A sur l’axe optique et B en dehors, sonimage associée sera A′B′. Les trois rayons particuliers à tracer dans le cas dudioptre sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l’axe optique émerge en passant parle foyer image F ′.
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement àl’axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre O de la lentille ressort parallèle-ment à lui-même.
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4 MiroirsUn miroir est formé d’une surface réfléchissante imposant à la lumière un
changement de sens de propagation.Ainsi, un rayon arrivant sur la surface d’un miroir, qu’il soit plan ou sphé-
rique, avec un angle i1 par rapport à la normale repartira dans le sens op-posé avec un angle i2 = −i1. On peut retrouver cette égalité à partir la loi deSnell-Descartes et en posant n2 = −n1, le changement de signe provenant duchangement de sens de parcours de la lumière.
Figure 15 – Réflexions sur un miroir plan et sur un miroir sphérique.
Important Les quantités algébriques sont évaluées dans le sens de propaga-tion de la lumière. Etant donné qu’il y a réflexion dans le cas du miroir, onva également inverser le signe de ces quantités algébriques selon qu’elles corres-pondent à un rayon incident ou à un rayon réfléchi. Par exemple, la position del’objet sera évaluée dans le sens gauche→ droite, et la position de l’image dansle sens droite→ gauche.
4.1 VergenceOn considère un miroir de sommet S et de centre C, plongé dans un milieu
d’indice n. Comme pour le dioptre on définit le rayon de courbure du miroircomme étant R = SC.
La vergence est définit pour un miroir de la façon suivante :
V = −2n
R(21)
Pour la suite on se place dans le cas particulier mais très fréquent où lemiroir est plongé dans l’air. On a alors :
V = − 2
R(22)
Dans le cas V > 0, le miroir est convergent, dans le cas V < 0, le miroir estdivergent.
Le miroir possède une seule face réfléchissante, qui est donc orientée versles rayons incidents. Cette asymétrie a pour conséquence qu’un miroir concave(R < 0) sera forcément convergent (et vice-versa), et qu’un miroir convexe(R > 0) sera forcément divergent. Ceci n’était pas le cas pour le dioptre.
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Figure 16 – A gauche, schéma d’un miroir mince convergent (V > 0), à droitecelui d’un divergent (V < 0).
Miroir plan Dans le cas d’un miroir plan, le rayon de courbure R est infini,on a donc une vergence nulle. Le système est alors afocal.
4.2 Eléments cardinauxLes expressions des distances focales objet et images sont :
f =R
2(23a)
f ′ = −R2
(23b)
De façon similaire au cas du dioptre, les points principaux d’un miroir sontconfondus avec le sommet S et les points nodaux avec le centre C.
Alors les distances focales valent également f = SF et f ′ = SF ′. On re-marque qu’elles sont de signe opposé mais de même valeur absolue. Etant donnéqu’on évalue de façons opposées les distances algébriques pour les rayons inci-dents et réfléchis, on en déduit que les foyers objet et image sont confondus aucentre de [SC].
Miroir plan Bien évidemment, pour un miroir plan le centre C ainsi que lesfoyers sont rejetés à l’infini.
4.3 Relation de conjugaisonOn considère un miroir plongé dans l’air, de sommet S et de centre C.La relation de conjugaison de Descartes a la forme suivante :
1
p′− 1
p= − 2
R(24)
avec p = SA et p′ = SA′ (quantités algébriques évaluées selon le sens de propa-gation, qui change à la réflexion !).
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Le grandissement s’écrit quand à lui :
γ =p′
p(25)
Miroir plan Pour un miroir plan, la relation de conjugaison devient :
p = p′
et le grandissement γ vaut toujours 1.
4.4 Constructions géométriquesOn considère un objet AB avec A sur l’axe optique et B en dehors, son image
associée sera A′B′. Les trois rayons particuliers à tracer pour trouver l’imageformée par le miroir sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l’axe optique émerge en passant parle foyer image F ′.
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement àl’axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre C du miroir est non dévié.
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