Université Joseph FourierLicence de Physique 3ème année

Optique Physique

Jacques DEROUARD, ProfesseurJuin 2009

Contents

1 Généralités sur l'optique physique : Nature physique et out-ils mathématiques de représentation de la lumière 11.1 "Optique" et "Photonique" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La lumière: une onde électromagnétique solution des équa-

tions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Dans le vide: ondes se propageant à la vitesse c . . . . 21.2.2 Dans un milieu "diélectrique": la vitesse de propaga-

tion des ondes dépend de la "constante diélectrique"du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Propagation de la lumière dans le cas général . . . . . 51.3 Le champ lumineux peut être le plus souvent représenté par

une seule quantité ψ(t, ~r) ("approximation scalaire") . . . . . 51.4 Toute onde peut être considérée comme la superposition d'ondes

monochromatiques planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Solutions "monochromatiques" (ou "harmoniques") . . 71.4.3 Décomposition en ondes planes monochromatiques . . 7

1.5 Energie et éclairement asssociés à l'onde lumineuse sont pro-portionnels à l'amplitude au carré |ψ0|2 de la vibration . . . . 8

1.6 Outils mathématiques de représentation des ondes monochro-matiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.1 Représentation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2 Représentation géométrique par " phaseur " . . . . . . 12

1.7 Superposition de sources lumineuses: addition des champs ouaddition des éclairements? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.1 Superposition de deux champs? . . . . . . . . . . . . . 121.7.2 Energie et éclairement en présence du champ généré

par deux sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Les rayons lumineux matérialisant le transport de l'énergie

sont les lignes de champ du vecteur de Poynting, et sont per-pendiculaires aux surfaces d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Un cas particulier important d'ondes: les ondes sphériques . . 16

1

2 Phénomènes de diraction: introduction, phénomènes fon-damentaux 192.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Decription mathématique approchée: principe d'Huyghens-

Fresnel ou "comment déduire ψ(t, ~r) à partir de ψ(t, ~rΣ) sursurface Σ" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Théorème intégral de Kirchho . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Principe d'Huyghens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Conditions de Fraunhoer: z très très grand devant d ("dirac-tion à l'inni") . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Diraction de Fraunhoer par une ouverture rectangulaireéclairée par onde plane en incidence normale: l'onde est dirac-tée suivant les angles ±λ/d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Cas particulier où b →∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Cas d'une fente large, a, b >> λ . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Diraction par une ouverture circulaire éclairée par onde planeen incidence normale: l'onde est diractée suivant les angles±1, 22λ/d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Synthèse de ces résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Fonction d'étalement de point et limite de résolution des in-

struments d'optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7.1 Exemple: cas d'un objectif photographique . . . . . . 392.7.2 Critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7.3 Exemple: Microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Faisceaux gaussiens: propagation, propriétés, manipulation 433.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Résolution de l'équation de propagation: existence d'ondes de

prol d'amplitude gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.1 Equation approchée pour onde "pseudoplane" . . . . . 443.2.2 Résolution: onde sphérique d'extension limitée=rayon

de courbure complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.3 Rayon de courbure, taille, et divergence de l'onde . . . 463.2.4 Amplitude et phase de l'onde . . . . . . . . . . . . . . 483.2.5 Expression nale de la solution . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1 Propagation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Focalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.3 Elargissement de faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Transformation d'un faisceau gaussien par passage à traversune lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.1 Déphasage introduit par lentille . . . . . . . . . . . . . 52

2

3.5.2 Modication d'une onde sphérique . . . . . . . . . . . 533.5.3 Modication d'une onde gaussienne . . . . . . . . . . . 54

3.6 Propagation d'un faisceau gaussien dans un système optiquecentré: utilisation du formalisme des "matrices ABCD" . . . . 55

4 Optique de Fourier, et diérents problèmes de diraction 584.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Outils et concepts mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Transformée de Fourier d'une fonction d'une variable . 594.2.2 Transformation de Fourier de fonctions de plusieurs

variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.4 "Fonction" de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.5 "Peigne" de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.6 La Transformée de Fourier de la fonction "Porte" est

un sinus cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.7 La Transformée de Fourier d'une gaussienne de largeur

σ est une gaussienne de largeur 1/σ . . . . . . . . . . 644.2.8 La Transformée de Fourier de la fonction "disque" est

un Bessel cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Evolution de l'onde diractée avec l'objet diractant . . . . . 654.4 Théorème des écrans complémentaires (ou de Babinet): gure

de diraction par des trous identique à gure de diraction pardes grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Diraction par un ensemble d'objets identiques . . . . . . . . 674.5.1 Exemple: Deux fentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5.2 Diraction par un grand nombre d'objets identiques

disposés de façon quelconque: gure de diraction pra-tiquement la même que pour une seule particule . . . 70

4.5.3 Diraction par un grand nombre d'objets identiquesdisposés de façon ordonnée: la gure de diractionmontre la structure de l'arrangement spatial . . . . . . 73

5 Optique de Fourier, suite: Application à la diraction pardes structures périodiques; Réseaux 755.1 Introduction: Structures périodiques et optique . . . . . . . . 755.2 Réseau d'amplitude en transmission: Diraction par un réseau

inni de fentes nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1 Diraction d'une onde plane en incidence normale . . 785.2.2 Diraction d'une onde plane en incidence oblique . . . 79

5.3 Diraction par réseau inni de fentes de largeur nie . . . . . 815.4 Diraction par réseau limité de fentes de largeur nie . . . . . 825.5 Diraction par un réseau de phase . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3

6 Optique de Fourier, suite: Application à l'imagerie et aultrage spatial. 876.1 Plan de Fourier et plan focal: l'onde dans le plan focal s'identie

à la Transformée de Fourier de l'onde du plan source si celui-ciest dans le plan focal objet de la lentille . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Imagerie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Filtrage spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4 Application à l'imagerie d'objets transparents: Strioscopie et

contraste de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4.1 "Strioscopie": ltrage par un point absorbant . . . . . 926.4.2 Contraste de phase: ltrage par un "point de phase" . 93

7 Optique et propagation de la lumière dans les milieux anisotropes 967.1 Milieux anisotropes: Scalaire pas valable, retour à Maxwell . 967.2 Expérience fondamentale: la propagation des rayons lumineux

ne suit pas la loi de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3 Equations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans la

matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3.1 Ondes, charges et champs: Poynting n'est parallèle au

vecteur d'onde que si la densité de charge électriqueest nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3.2 Polarisation de la matière et vecteur induction électrique1017.3.3 Milieu diélectrique isotrope: propagation ordinaire . . 1027.3.4 Milieu diélectrique anisotrope: propagation anormale 104

7.4 Propagation en fonction de la direction de la polarisation etde celle du vecteur d'onde: Ellipsoïde des indices et autressurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.4.1 Ellipsoïde des indices: directions de polarisation priv-

ilégiées et leur indice en fonction de la direction duvecteur d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4.2 Surface des indices: indices en fonction de la directiondu vecteur d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.4.3 "Surface radiale" (surface d'onde): construction deHuygens et réfraction des rayons . . . . . . . . . . . . 111

4

Chapter 1

Généralités sur l'optiquephysique : Nature physique etoutils mathématiques dereprésentation de la lumière

1.1 "Optique" et "Photonique"La "Photonique" est le nom donné aux sciences et technologies traitant dela production, la détection, la manipulation et l'utilisation du rayonnementlumineux.

Les applications sont innombrables: Tant dans les objets qui nous en-tourent, dont bon nombre utilisent la lumière (lecteur DVD, écran LCD, ap-pareil photo, microscopes, imprimante laser, internet, hologrammes, éclairage...),ont été fabriqués avec (microprocesseurs, DVD...) ou grâce à la lumière (cfBTP et les télémètres laser). Sans compter la compréhension des mécan-ismes de la vision chez les êtres vivants et les eets biologiques de la lumière(dont les applications médicales). Enn la lumière est une sonde très puis-sante pour explorer la matière: ainsi la spectrophotomètrie est utilisée dansles laboratoires d'analyse, mais aussi en astrophysique (détermination de latempérature et de la composition des étoiles, leur mouvement, la présence deplanètes extrasolaires...); l'analyse de la lumière diusée par la matière ren-seigne sur la taille, la disposition et et la forme des particules qui la compose.J'oublie exprès les applications militaires, qui ne sont pas en reste...

L'"optique" est la partie de la "photonique" qui concerne plus partic-ulièrement l'étude de la propagation de la lumière. C'est ce dont ce cours vatraiter. Il fait suite aux cours des années antérieures :

1

L1 : propagation de la lumière dans systèmes optiques en vue de laformation des images : "rayons lumineux" et optique géométrique

L2 : optique "physique" : nature ondulatoire et électromagnétique de lalumière, interférences, polarisation

L3 : optique encore plus "physique" : conséquences de la nature ondu-latoire de la lumière sur sa propagation, et applications. Interaction avec lamatière et propagation dans des milieux matériels anisotropes.

Au delà de ses applications en "photonique", ce cours empruntera, in-troduira et illustrera des concepts utilisés dans de nombreux domaines dela Physique (électromagnétisme, acoustique, mécanique quantique...). Enparticulier le concept de "transformation de Fourier", qui fait l'objet d'unebonne partie du cours de maths de L3, apparaîtra très fréquemment dans cecours d'optique.

Livres généraux de références :

• E. Hecht "Optique" (Traduction française de la 4ème édition) PearsonEducation, 2005

• J.P. Perez "Optique, fondements et applications", 6ème édition, Dunod,2000

• G. Chartier "Manuel d'Optique", Hermes, 1977

• NB vision optique très originale R.P. Feynman "Lumière et matière",InterEditions, 1987, réédité collection "Points" (ed. Seuil)

1.2 La lumière: une onde électromagnétique solu-tion des équations de Maxwell

L'électromagnétisme est basé sur le concept de "champs" électrique et mag-nétique, vecteurs fonctions de l'espace et du temps au moyen desquels s'exprimentles actions sur la matière. Les lois de l'électromagnétisme s'expriment math-ématiquement sous la forme des équations de Maxwell, dont les champs sontsolutions.

1.2.1 Dans le vide: ondes se propageant à la vitesse c

Dans le vide, les équations de Maxwell peuvent être combinées pour donnernaissance à l'" équation de propagation " :

∆ ~E − µ0ε0∂2 ~E

∂t2= 0 (1.1)

idem pour ~B plus

2

Figure 1.1: Propagation suivant le sens des z croissant.

~rot ~E = −∂ ~B

∂t(1.2)

et µ0ε0 = 1/c2 où c= vitesse de la lumièreNoter que l'Eq. 1.1 comprend en fait 3 équations, une pour chaque

composante de ~ELes solutions à ces équations de propagation incluent des "ondes électro-

magnétiques", dont la lumière fait partie.Un cas particulier simple est celui d'une onde ne dépendant que de z et

où une seule composante, mettons Ex est non nulle. Alors Eq. 1.1 se réduità:

∂2Ex

∂z2− 1

c2

∂2Ex

∂t2= 0 (1.3)

qu'on peut réécrire sous la forme

(∂Ex

∂z− 1

c

∂Ex

∂t).(

∂Ex

∂z+

1c

∂Ex

∂t) = 0 (1.4)

dont on peut facilement vérier que Ex = f(z− ct) ou Ex = g(z + ct), ou lasomme Ex = f(z − ct) + g(z + ct) sont solutions (f et g étant des fonctionsquelconques)

On voit que f(z − ct) correspond à une fonction de z ayant une certaineforme à t = 0, et qui à instant t > 0 à la même forme déplacée de δz = ct(cf Fig.1.1)

3

NB Ce type d'équation n'est pas propre à l'optique et l'électromagnétisme(cf acoustique et ondes en mécanique: Helmoltz, a eu une contribution im-portante dans ce domaine, avant Maxwell)

1.2.2 Dans un milieu "diélectrique": la vitesse de propaga-tion des ondes dépend de la "constante diélectrique"du matériau

Le problème n'est a priori pas évident car la matière condensée est constituéed'une multitude de "particules élémentaires" chargées. En fait on simplie leproblème en considérant (cf cours d'électromagnétisme) un "champ moyen"(moyenne sur un volume grand devant la taille des molécules constituantle matériau), qui obéit alors aux mêmes équations que ~E dans le vide àcondition de remplacer ε0 par ε0.εr où εr est la "permittivité", ou "constantediélectrique" du matériau.

Il en résulte des ondes se propageant à la vitesse c′ = 1/√

ε0εrµ0 = c/noù n =

√εr, est donc l'"indice de réfraction" du milieu.

Exemples

• Verre: εr ∼ 7, √εr ∼ 2, 6 mais n ∼ 1, 5...

• Eau εr ∼ 80, √εr ∼ 9 mais n ∼ 1, 3...

Ceci illustre la variation de εr, et donc de n, avec la fréquence (la couleurdans la gamme visible) du rayonnement, car la permittivité "électrostatique"à ν = 0 peut être très diérente de la permittivité aux fréquences optiques.Ce phénomène de "dispersion" (dont le nom provient du phénomène bienconnu de la dispersion de la lumière blanche par un prisme) est lié à la"réponse de la matière" à l'application d'un champ électrique et comprendplusieurs contributions, liées à l'existence de plusieurs types de particules(électrons, ions...) qui ont chacun des comportements diérents; A bassefréquence toutes les particules sont mobilisés par le champ. Dans la gammedes rayonnements visibles, il n' y a guère que les électrons qui sont mis enmouvement (les ions plus lourds sont "gelés") et ordinairement l'indice croîtavec la fréquence (décroît avec la longueur d'onde), comportement qualiéde "dispersion "normale". (cf Hecht, 3.5.1, ou Chartier, chapitre 8).

La notion de permittivité suppose le milieu "isotrope" et "linéaire". Ceciest valable pour la plupart des milieux amorphes (verres, liquides, gaz...)dans les conditions habituelles où l'intensité du rayonnement n'est pas trèsforte. Il y a des situations où ce n'est pas le cas: milieux cristallins (milieux"biréfringents", cf TP et suite de ce cours), rayonnements lasers intenses (cfcours "optique et laser" de M1).

4

1.2.3 Propagation de la lumière dans le cas généralUne situation physique comprend

• des sources (émetteurs de rayonnement)

• de la matière :-particules diusantes-"obstacles" absorbants ou rééchissants-milieux matériels diélectriques (On se désintéressera dans ce cours duchamp dans les milieux absorbants ou rééchissants, qu'on supposeranul)

L'obtention des solutions correspondantes de l'équation de propagationest un problème mathématiquement dicile: en général il n' y a pas desolution "analytique" (exprimable en termes de fonctions mathématiquessimples comme cos, log etc...) Mais cela ne veut pas dire que la solutionn'existe pas (sinon c'est que la Nature n'existerait pas!).

Ni même qu'on ne peut pas la calculer:-il existe des méthodes numériques (" codes de calculs ", logiciels com-

merciaux)-on peut utiliser des représentations simpliées et incomplètes de la réalité

physique, qui conduisent à des équations dont les solutions sont une bonneapproximation de ce qu'on à calculer.

En pratique on ne cherche pas la solution générale et complète d'uneéquation, on cherche la solution à un problème!

L'une des approximations les plus importantes que nous considéreronsdans ce cours pour décrire la propagation de la lumière est le "principed'Huyghens-Fresnel". Elle sera étudiée en détail dans le chapitre suivant.L'application de ce principe en optique repose généralement sur une représen-tation simpliée du champ lumineux connue sous le nom d'approximationscalaire, que nous allons maintenant présenter.

1.3 Le champ lumineux peut être le plus souventreprésenté par une seule quantité ψ(t, ~r) ("ap-proximation scalaire")

Le champ électrique est un vecteur avec 3 composantes, idem pour ~B. L'équationde propagation étant la même pour toutes les composantes, on à envie dedire que la forme mathématique de la solution de l'équation de propagationest à un facteur près la même pour toutes les composantes, qu'on symbolisepar la quantité ψ. Cela est eectivement proche de la réalité dans un très

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grand nombre de situations. Cette représentation du champ électromagné-tique par une seule fonction ψ(~r, t) est connue sous le nom d' "approximationscalaire". On l'utilisera presque toujours.

Ceci n'est pas valable si la vitesse de propagation dépend de la directiondu champ (c'est le des des milieux anisotropes tels que les cristaux, cf plustard).

Cette approximation revient à dire aussi que les "conditions aux lim-ites" imposées lors de l'interaction de la lumière avec la matière sont lesmêmes pour toutes les composantes à la fois des champs magnétique et élec-trique. Ce qui n'est pas exact (cf par exemple en électrostatique au voisinaged'un conducteur la composante tangentielle du champ est nulle, mais pas lacomposante normale). D'une façon générale cette description n'est pas val-able très près des surfaces matérielles, avec des conséquences visibles sur lesphénomènes de réexion de la lumière sur les surfaces rééchissantes (cf TPet cours électromagnétisme). Elle n'est pas valable non plus lorsque le champélectromagnétique varie beaucoup sur des distances de l'ordre de la longueurd'onde, par exemple au voisinage du point focal d'un objectif de microscope:Cf J.D. Jackson, "Electrodynamique classique", (3ème ed. Dunod, 2001),ch. 10. 1

Dans toute la suite, sauf lorsqu'on s'intéressera explicitement à l'état depolarisation du champ et à sa propagation dans les milieux anisotropes, ondécrira donc le champ électromagnétique par cette seule vibration scalaire ψobéissant à l'équation

∆ψ − n2

c2

∂2ψ

∂t2= 0 (1.5)

1.4 Toute onde peut être considérée comme la su-perposition d'ondes monochromatiques planes

Les équations de Maxwell et l'équation de propagation (Eq.1.1) qui s'endéduit pour les champs ~E et ~B (et aussi bien sûr pour l'Eq.1.5 pour le champscalaireψ) ont pour propriété fondamentale d'être "linéaires", et d'avoir dessolutions du type onde propagative monochromatique plane:

1.4.1 LinéaritéSi le champ ψ1(r, t) et le champ ψ2(r, t) sont solutions, alors ψ1+ψ2 "superpo-sition cohérente des champs 1 et 2" est également solution (Rigoureusement

1A noter que l'on parle beaucoup de "nanophotonique", relative à l'étude del'interaction de la lumière avec des structures "nanométriques", donc plus petites ou del'ordre de la longueur d'onde (qui est typiquement de quelques centaines de nm). Ladescription de ces eets relève réellement de l'électromagnétisme dans sa formulation, laplupart des représentations classiques utilisées en optique physique se révélant le plussouvent inapplicables dans ce cas.

6

Figure 1.2: Exemple de décomposition d'une fonction quelconque (ici unefonction créneau) en somme d'oscillations monochromatiques de fréquencesdiérentes

valable aussi, ainsi que la suite de cette section, pour les solutions des équa-tions de Maxwell).

1.4.2 Solutions "monochromatiques" (ou "harmoniques")L'Eq. 1.5 admet des solutions "monochromatiques":

ψ(t;~r) = ψ0(~r) cos(φ(~r)− ωt) (1.6)

avec le cas particulier important des ondes planes monochromatiques sepropageant suivant Oz:

ψ(t; x, y, z) = ψ0 cos(ω

c(z − ct)) (1.7)

ou plus généralement suivant la direction dénie par le vecteur d'onde ~k denorme2 |~k| = ω/c:

ψ(t;~r) = ψ0 cos(~k.~r − ωt) (1.8)

1.4.3 Décomposition en ondes planes monochromatiquesInversement, la linéarité implique que toute onde ayant une dépendance tem-porelle quelconque peut être considérée comme superposition (en général

2dans un milieu diélectrique d'indice n remplacer c par c/n

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compliquée) d'ondes monochromatiques (cf cours de Maths, série de Fourieret transformation de Fourier et Fig.1.2):

ψ(t;~r) =∑ωi

ψ0(ωi;~r) cos(φ(ωi;~r)− ωit) (1.9)

ou plus généralement

ψ(t;~r) =∫

ψ0(ω,~r) cos(φ(ω,~r)− ωt)dω (1.10)

Cette propriété s'étend à la dépendence spatiale: toute onde monochroma-tique de fréquence ω ayant une dépendence spatiale quelconque peut aussiêtre représentée comme superposition d'ondes planes monochromatiques:

ψ(t;~r) =∫

ψ0(~k) cos(~k.~r − ωt)dkxdkydkz (1.11)

où on notera que les variables kx, ky, kz ne sont pas indépendantes, puisque|~k| = ω/c.

Ce type de décompositions est l'outil mathématique numéro un pourdécrire les phénomènes de diraction des ondes. La relation entre ψ(t)et ψ0(ω), et entre ψ(~r) etψ0(~k) traduit le concept de "transformation deFourier".

1.5 Energie et éclairement asssociés à l'onde lu-mineuse sont proportionnels à l'amplitude aucarré |ψ0|2 de la vibration

Ce qu'on détecte en optique ce n'est en général pas directement les champs~E ou ~B, ce sont le plus souvent des photons, énergie prélevée sur le champlumineux.

Deux types de situations (cf Fig.1.5):

• cf caméra: la lumière collectée par l'objectif est focalisée sur les dif-férents pixels où sont générés des électrons proportionnellement auxnombre de photons incidents. On est alors sensible au ux de la lu-mière incidente, c'est le cas le plus fréquent.

• cf cas de molécules uorescentes en solution, ou des grains d'argent ensupsension dans une émulsion photographique: l'eet (nombre de pho-tons émis ou nombre de grains impressionnés par unité de temps) estsensible à la densité locale de photons (indépendante de leur directionde propagation).

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Figure 1.3: Deux types de schémas de détecteurs lumineux. a.: Une sur-face photosensible intercepte le ux lumineux incident qu'elle convertit enun signal électrique. b.: Des molécules absorbent le rayonnement indépen-damment de sa direction incidente, qu'elle convertissent en rayonnementde uorescence qui peut être détecté. Une émulsion photographique fonc-tionne de manière un peu similaire en ce sens que des microcristaux d'iodured'argent absorbent le rayonnement indépendemment de sa direction et sontconvertis en argent métallique, idem pour les résines photosensibles utiliséesdans la fabrication de masques pour la gravure de microstructures.

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Pour un champ électromagnétique E(r, t), B(r, t) dans le vide (ou dansl'air, peu diérent du vide), les lois de l'électromagnétisme montrent l'existenced'une densité d'énergie électromagnétique

U =ε0E

2

2+

B2

2µ0= UE + UB (1.12)

Pour une onde assimilable localement à une onde plane propagative (casle plus courant), on montre que B = E/c = E.

√(µ0ε0) d'où UE = UB

et U = 2UE (J/m3) On a alors un "ux d'énergie" I (éclairement W/m2)suivant la direction de propagation correspondant à la longueur du vecteurde Poynting ~S = ~E ∧ ~B/µ0 qui vaut I = Uc (cf (J/m3).m/s=(J/s)/m2)également proportionnel à la densité d'énergie locale d'énergie U .

En fait en optique le détecteur ne suit pas les oscillations rapides de Eet B, il est sensible à l'énergie reçue pendant un intervalle de temps ∆t enpratique très long devant la période caractéristique d'oscillation du champ.Cette énergie est donc proportionnelle à la quantité:

∫ T+∆t

TU(t)dt

qui lorsqu'on divise par ∆t donne la "valeur moyenne" de U autour del'instant T :

< U >(T )=1

∆t

∫ T+∆t

TU(t)dt (1.13)

Pour un champ monochromatique E = E0(r) cos(ωt− φ(r)), on a alors

< U >=< 2UE >=< ε0E2 >= ε0E

20(r)2

Noter que si la phase uctue avec le temps -ce qui est le cas- en principe çacomplique: En eet cette phase est le plus souvent la somme d'une quantitéstationnaire et d'une quantité uctuante (φ(r) + θ(t)). Mais comme ∆t >>2π/ω, en fait ça ne change rien.

D'une façon générale on admettra alors que détecteur est sensible soitau ux d'énergie (éclairement I) soit dans certains cas à la densité localed'énergie électromagnétique, les deux étant proportionnels à < E2 >= E2

0/2,soit en fait à l'amplitude module carré |ψ0|2 de la vibration scalaire représen-tant le champ.

1.6 Outils mathématiques de représentation des on-des monochromatiques

Les ondes monochromatiques sont un élément de base particulièrement im-portant dans la description des ondes physiques, et on est souvent amené à

10

considérer la somme de telles ondes. Pour cela il est commode de raison-ner sur la représentation complexe algébrique ou géométrique de ces ondesmonochromatiques 1.6:

1.6.1 Représentation complexeOn peut en eet réécrire l'expression 1.6 sous la forme3

ψ(t, r) = <e[ψ0 exp(−i(ωt− φ(r))] (1.14)Dans la suite on écrira souvent simplement ψ = ψ0 exp(−i(ωt − φ(r))

sous entendant le fait qu'en réalité la quantité physique mesurée est la partieréelle de cette expression.

Application à la représentation de la somme de 2 ondes de mêmefréquenceCeci permet de représenter la somme de 2 ondes ψ′ et ψ′′ sous la forme

ψ′(t, r)+ψ′′(t, r) = <e[ψ′0 exp(−i(ωt−φ′(r))+ψ′′0 exp(−i(ωt−φ′′(r))] (1.15)

soit plus simplement

ψ′(t, r) + ψ′′(t, r) = <e[exp(−iωt)(ψ′0 exp iφ′(r) + ψ′′0 exp iφ′′(r))] (1.16)

Expression de la valeur moyenne du produit de 2 ondes de mêmefréquenceOn est souvent intéressé à calculer la valeur moyenne dans le temps duproduit de deux vibrations (un cas particulier important est le calcul del'intensité associée à une onde somme de plusieurs composantes).

Soit ψ′(t) = <eZ ′(t) et ψ′′(t) = <eZ ′′(t) où Z ′(t) = Z ′0 exp(−iωt) etZ ′′(t) = Z ′′0 exp(−iωt) avec Z ′0 = ψ′0 exp iφ′ et Z ′′0 = ψ′′0 exp iφ′′.

Alors il est facile de montrer que la valeur moyenne dans le temps duproduit de ψ′ et ψ′′:

< ψ′.ψ′′ >= lim∆t→∞

1∆t

∫ T+∆t

Tψ′(t).ψ′′(t)dt

s'exprime simplement sous la forme:

< ψ′.ψ′′ >=12<e(Z ′.Z ′′∗) =

12<e(Z ′∗.Z ′′) (1.17)

où ∗ désigne le complexe conjugué.3On peut tout aussi bien prendre une représentation du type <e[ψ0 exp(i(ωt− φ(r))],

voire <e[ψ0 exp(i(ωt + φ(r))] c'est une aaire de convention, qu'il faut toutefois garder demanière cohérente

11

Figure 1.4: Représentation de grandeurs oscillantes monochromatiques et deleur somme par des "phaseurs" dans le plan complexe

1.6.2 Représentation géométrique par " phaseur "Une autre représentation commode d'une vibration monochromatique dutype Eq. 1.14 est celle du vecteur du plan complexe associé à z = ψ0 exp iφ,représentation connue sous le nom de "vecteur de Fresnel" ou "phaseur".Dans ce cas la somme des deux vibrations ψ′ et ψ′′ est représentée par lasomme géométrique des vecteurs de Fresnel associés à z′ = ψ′0 exp iφ′ etz′′ = ψ′′0 exp iφ′′ (cf Fig.1.4).

1.7 Superposition de sources lumineuses: additiondes champs ou addition des éclairements?

1.7.1 Superposition de deux champs?Supposons qu'une source 1 donne champ ψ1, et une source 2 donne champψ2. Alors si les source 1 et source 2 allumées en même temps est-ce que lechamp résultant vaut ψ1 + ψ2 ?

Exemples d'une telle situation:

• plusieurs images d'une même source

• plusieurs lampes

• plusieurs lasers

• plusieurs atomes dans une même lampe

12

• champs émis par un même atome à 2 instants successifs

Pas si simple ! Tient au fait que même lorsque sources émettent unrayonnement réputé monochromatique ψ(r, t) = ψ0(r) cos(ωt − φ(r)), c'esten fait ψ(r, t) = ψ0(r) cos(ωt−φ(r)−θ(t)) où θ(t) est une fonction uctuanteavec un temps caractéristique grand devant la période 2π/ω, variant entre0 et 2π d'une manière diérente suivant les sources, qui sont dites alors"incohérentes". Alors la somme ψ1 + ψ2 a une valeur qui uctue, la phaseassociée à z = z1 + z2 uctue entre 0 et 2π, et le module de z1 + z2 uctueentre |ψ10−ψ20| et ψ10 +ψ20 (immédiat à voir en raisonnant sur les phaseursFig.1.4).

Ceci renvoie d'ailleurs au problème assez subtil et délicat de la descrip-tion d'un " champ lumineux ": L'état le plus général d'un champ lumineuxn'est pas descriptible en terme du seul concept de champ électromagnétiqueclassique, c'est une superposition statistique "incohérente" de champs élec-tromagnétiques.

1.7.2 Energie et éclairement en présence du champ générépar deux sources

Si on a deux sources émettant les ondes ψ1 = <ez1 et ψ2 = <ez2 donnant cha-cune les éclairements I1 ∝< ψ2

1 >= (1/2)|z1|2 et I2 ∝< ψ22 >= (1/2)|z2|2,où

z1 = ψ01 exp(iφ1 + iθ1(t)− iωt)

etz2 = ψ02 exp(iφ2 + iθ2(t)− iωt)

l'éclairement résultant I est donné par la moyenne dans le temps 4

I ∝ 12<e[(z1 + z2).(z∗1 + z∗2)] (1.18)

soit, en insérant les expressions de z1 et z2:

I ∝ 12(ψ2

01 + ψ202) + ψ10ψ20 cos[(φ1 + θ1(t))− (φ2 + θ2(t))] (1.19)

ouI = I1 + I2 + 2

√I1I2 cos[(φ1 + θ1(t))− (φ2 + θ2(t))] (1.20)

Noter le 3ème terme qui décrit "l'interférence" des ondes, sensible à ladiérence de phase entre les ondes.

4Suppose que θ1(t) et θ2(t) varient peu sur l'échelle de temps ∆t suivant lequel oncalcule l'éclairement (cf Eq.1.13)

13

Sources cohérentesCe cas correspond au cas où θ1 − θ2 ne varie pas dans le temps, et estobtenu le plus souvent lorsque les 2 sources sont issues d'une seule dont lerayonnement a été dédoublé (cf trou d'Young, miroir de Fresnel, couchesminces...). Dans ce cas les uctuations de θ1 sont recopiées dans θ2. Alors leterme d'interférence n'est pas nul, de telle sorte que l'éclairement résultantdes 2 ondes est diérent en général de la somme des éclairements produitspar chacune des ondes.

Sources incohérentesC'est le cas le plus fréquent où les sources sont indépendantes. Dans ce casle terme d'interférence est tantôt positif, tantôt négatif suivant les valeursuctuantes de θ1 et θ2, et en moyenne fait zéro. Cela revient à dire quele module au carré moyen du phaseur z1 + z2 est alors |z1|2 + |z2

| , et quel'éclairement résultant est la somme des éclairements I = I1 + I2.

1.8 Les rayons lumineux matérialisant le transportde l'énergie sont les lignes de champ du vecteurde Poynting, et sont perpendiculaires aux sur-faces d'onde

Depuis le début de ce chapitre on parle d'onde de lumière. Quel rapport ya-t-il avec le concept plus intuitif et déjà connu de "rayon lumineux"? On vavoir ici que les deux concepts peuvent être regroupés dans le cas très fréquentoù l'amplitude de l'onde varie lentement avec la position.

Physiquement, le rayon lumineux matérialise le trajet suivant lequel sepropage de l'énergie lumineuse émise depuis un point. En électromagnétismele ux d'énergie est donné en grandeur et en direction par le vecteur de Poynt-ing (cf 1.12) ~S = ~E × ~B/2µ0. Cela suggère que les rayons lumineux sontles lignes de champ du vecteur de Poynting. Ce vecteur s'exprime en fonc-tion des champs électrique et magnétique. Dans le cadre de l'approximationscalaire on a vu que l'onde résultant de l'émission d'une source monochro-matique peut être décrite par un champ de vibration du type: (cf Eq.1.14)

ψ(t, ~r) = ψ0(~r) exp[i(φ(~r)− ωt)]

où l'amplitude ψ0 est une quantité réelle. Cette approximation ne donnepas l'expression des champs magnétique et électrique, donc pas le vecteurde Poynting. Comment alors déduire du champ scalaire la trajectoire desrayons lumineux?

14

Figure 1.5: Les rayons lumineux sont parallèles au vecteur d'onde local per-pendiculaire à la surface d'onde.

Dans le cas où on a aaire à une onde plane associée à un vecteur d'onde~k l'électromagnétisme nous dit que le vecteur de Poynting est parallèle à ~k.Par ailleurs il est facile de montrer que dans ce cas ~k = ~gradφ. Cela suggèred'examiner dans le cas général la relation entre le vecteur de Poynting etle gradient de la phase du champ. Dans ce cas général on considère que lapropagation s'eectue dans un milieu non homogène où l'indice varie suivantla position n(~r).

Considérons alors les surfaces φ(~r) = cte qu'on appelle surfaces équiphases,ou surfaces d'onde. Pour une onde "plane" (cf Eq.1.8) elles se réduisent àdes plans parallèles perpendiculaires à la direction de propagation déniepar le vecteur d'onde ~k. Dans le cas général elles sont courbes, mais on peuttoujours dénir le vecteur ~gradφ, qui par dénition est orthogonal à la sur-face d'onde en chaque point. On peut alors montrer à partir des équationsde Maxwell (cf M. Born et E. Wolf, "Principles of Optics") que le vecteurde Poynting ~S est parallèle à ~gradφ. Ceci conrme que les rayons lumineuxsont des lignes orthogonales aux surfaces d'onde. 5

Par ailleurs si l'amplitude ψ0(~r) varie peu sur une distance de l'ordrede la longueur d'onde, (ce n'est en général pas le cas de la phase φ(~r)) on

5Dans notre exposé la "phase du champ" est dénie comme celle du champ scalaireEq.1.14. En fait on peut aussi dénir une phase pour chacune des composantes du champélectromagnétique, les surfaces équiphase du champ électromagnétique s'identiant auxsurfaces équiphase du champ scalaire, pour autant que la description en terme de champscalaire soit valable. C'est le cas comme on l'a dit si l'amplitude du champ varie peu surune distance de l'ordre de la longueur d'onde

15

montre alors ("approximation iconale" ou "eikonale", cf Perez ch17, ch 20-II,Chartier Annexe 3C) que :

| ~gradφ| = ω

c.n (1.21)

où n est la valeur de l'indice de réfraction au point ~r.

Ainsi (Fig.1.5) les rayons lumineux sont des lignes orthogonales aux sur-faces équiphase de l'onde, phase dont la variation est donnée en chaque pointpar un vecteur d'onde local

~gradφ(~r) = ~k = n(~r)ω

c~u

associé à l'onde plane tangente en ~r à la surface équiphase.

Pour nir notons que le long d'un rayon repéré par l'abscisse curvilignes, la variation de la phase de l'onde est donnée par l'intégrale du gradientde φ:

∆φ =∫

dφ

ds.ds

soit∆φ =

∫ω(n/c).ds =

ω

cL =

2π

λL = ω∆t

où on fait apparaître la quantité L =∫

n.ds qui n'est autre que le "cheminoptique" L, le long du rayon, ou L/c =

∫n.ds/c = ∆t qui est le temps de

parcours de la lumière.

1.9 Un cas particulier important d'ondes: les ondessphériques

On considère le cas d'ondes ne dépendant que de la coordonnée radiale r.Ceci inclut le cas de l'émission à partir d'une source ponctuelle placée en O.(En fait en électromagnétisme, l'émission par un dipôle oscillant placé en Oressemble à cette situation, mais le ux émis dépend de la direction).

Le laplacien en coordonnées sphériques pour une fonction ψ ne dépendantque de r se réduit à:

∆ψ =∂2ψ

∂r2+

2r

∂ψ

∂rsoit

∆ψ =1r

∂2rψ

∂r2

et l'équation de propagation se réduit alors à:

∂2rψ

∂r2− 1

c2

∂2rψ

∂t2= 0

16

Figure 1.6: Onde sphérique divergent à partir du point O pris comme originedes coordonnées. Les surfaces équiphase (surface d'onde) en bleu sont descercles de centre O. En chaque point on peut dénir un vecteur d'onde localqui est ici de norme constante, de direction radiale.

dont les solutions, sontrψ+ = f(r−ct): propagation suivant r croissant, onde divergente à partir

de r = 0ou rψ− = g(r + ct): propagation suivant r décroissant, onde convergente

vers r = 0Noter la décroissance de ψ en 1/r qui assure que le ux de l'énergie

intégré sur sphère rayon r est indépendant de r, et donc que l'énergie seconserve lors de la propagation. Pour des ondes monochromatiques

ψ+ =1rψ0 cos[

ω

c(r − ct) + φ0] = ψ0

cos(kr − ωt + φ0)r

ψ− = ψ0cos(−kr − ωt + φ0)

r

avec k = ω/cOn peut regrouper les deux cas sous la forme

ψ = ψ0cos(φ− ωt)

r

où la phase φ = ±kr, donc

~gradφ = ±k ~ur

17

ce qui indique que les surfaces d'onde sont des sphères de centre 0 (cfFig.1.6).Les rayons lumineux suivant lesquels se propage l'énergie leur sontperpendiculaires, ce sont comme on s'y attendait des droites issues de O.L'onde ψ+ correspond au cas d'une onde divergente, associée à l'émissiond'une source ponctuelle placée en O. L'onde convergente correspond au casd'une onde qu'on focalise en O, situation pouvant être réalisée au moyend'un système optique (lentille ou miroir).

Représentation complexe

ψ = <e[ψ0exp(i(±kr − ωt + φ0))

r] (1.22)

Expression paraxialeAu voisinage de l'axe Oz on remarque que r =

√z2 + x2 + y2 vaut approxi-

mativementr ∼ z +

(x2 + y2)2z

et donc

ψ ∼ ψ0 exp(−iωt)exp(±ikz)[exp(±ik(x2 + y2)/2R)]

R(1.23)

où l'on a fait apparaître le rayon de courbure R = z de la surface d'onde auvoisinage de r = z, expression qui contient l'onde plane comme cas limiteR =→ ∞ (cf Fig.1.6. Remarquer que R est une quantité qui peut êtrepositive ou négative.

18

Chapter 2

Phénomènes de diraction:introduction, phénomènesfondamentaux

2.1 ExemplesOn s'intéresse ici à la propagation de la lumière en présence d'obstaclesopaques. Suivant la théorie "géométrique" on a des sources lumineuses quiémettent des "rayons" se propageant en ligne droite (si indice du milieu ho-mogène) et qui sont simplement bloqués par la présence d'objets absorbants.Ceci explique la formation de phénomènes d'ombre "géométrique". Cepen-dant une observation attentive montre l'existence de phénomènes bizarrestout près de la limite ombre-lumière (cf Fig.2.1): la limite ombre-lumièren'est pas nette, l'éclairement oscille avant de s'annuller totalement, mon-trant des "franges" (cf Fig.2.2).

D'autres phénomènes impliquant la lumière sont inexplicables par l'optiquegéométrique. Par exemple:

• "Arcs en ciel" observés sur CD et DVD (Fig.2.3);

• Déviation des rayons X (et aussi des électrons, des neutrons...) par lescristaux. Ce phénomène s'apparente au précédent (cf cours de cristal-lographie;

• Taille et aspect d'un spot obtenu en focalisant un faisceau laser aumoyen d'une lentille (cf prochains cours);

• Taille et aspect de l'image d'une étoile au foyer d'un téléscope (cfFig.2.4);

• Taille et aspect de l'image d'une molécule uorescente observée avecun microscope (cf Fig.2.5)

19

Figure 2.1: Observation de l'ombre projetée d'une main éclairée par un fais-ceau lumineux assimilable à une onde plane (tiré de E. Hecht, Optique,Pearson Education, 2005).

Figure 2.2: Observation du détail de l'ombre projetée du bord d'un écranéclairé par un faisceau lumineux assimilable à une onde plane.

20

Figure 2.3: Aspect d'un CD-ROM éclairé en lumière blanche: de la lumièreest diusée dans diérentes directions suivant sa couleur, ce qui permetd'observer ses diérentes composantes spectrales. Ce phénomène rappellela dispersion de la lumière par un prisme, mais son explication est complète-ment diérente.

Comme on le verra, la description de ces phénomènes doit prendre encompte la nature ondulatoire de la lumière pour décrire correctement sapropagation.

Dans un premier temps on va considérer une situation simple où on est enprésence d'une onde de caractéristiques connues, générée par un émetteur,ayant été éventuellement déformée (ou mise en forme) après traversée dediérents milieux ou composants optiques. On interpose un écran opaquepercé d'ouvertures, des obstacles transparents ou absorbants. Le problèmeposé est de savoir quel est le champ lumineux obtenu au delà.

Exemples :1. Un point source au foyer d'une lentille " parfaite ", génère une onde

"pratiquement plane". On interpose un écran percé d'un trou carré ou cir-culaire. Quelle est la distribution de l'éclairement qui en résulte?

2. Un point lumineux (étoile, molécule uorescente) est observé au moyend'un objectif optique parfait (sans aberrations géométriques notables), dediamètre d. Quelle est la forme et la taille de l'image de ce point objet (c'estce qu'on appelle la "fonction d'étalement de point")?

Pour répondre à ces questions on est amené à résoudre l'équation depropagation en présence d'obstacles.

Il y a d'autres situations semblables en physique (acoustique, mécaniquequantique...). C'est un problème mathématiquement dicile.

21

Figure 2.4: Aspect de l'image de l'étoile "NGC188" observée au moyen dutéléscope spatial Hubble. La forme et la taille de ce spot-image n'est pas liéeà la taille et à la forme de l'étoile, qui est en fait trop éloignée pour qu'onpuisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde, caractéristiquedu téléscope (crédit photo Hubble Space Telescope). Le schéma optiquecorrespond à l'observation au moyen d'une lentille, plus facile à représenter,alors que le téléscope spatial utilise une optique à base de miroirs, mais celane change pas fondamentalement les eets physiques liés à la diraction del'onde incidente par l'ouverture limitée de l'optique d'observation.

22

Figure 2.5: Aspect de l'image de molécules uorescentes isolées détectées parlaser lumière de uorescence qu'elles émettent lorsqu'elle sont éclairées par unlaser sous microscope. La forme et la taille de ces spots-image n'est pas liéeà la taille et à la forme des molécules, qui sont en fait trop petites pour qu'onpuisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde, caractéristique dumicroscope utilisé (crédit photo J/ Jacak, G.J. Schütz et al, 2005).

2.2 Decription mathématique approchée: principed'Huyghens-Fresnel ou "comment déduire ψ(t, ~r)à partir de ψ(t, ~rΣ) sur surface Σ"

2.2.1 Théorème intégral de KirchhoSi on connaît ψ(~r, t) pour l'ensemble des positions ~r appartenant à une sur-face fermée Σ, alors on peut exprimer ψ(~r0, t) pour tout point de l'espace ~r0 àl'intérieur de la surface (cf Fig.2.6). Cela généralise le concept dejà présent enoptique géométrique, où la connaissance de la direction des rayons composantun faisceau lumineux sur une surface sut pour connaître la trajectoire deces rayons dans le reste de l'espace.

Un cas limite est celui où la surface est un plan d'extension innie sé-parant l'espace en deux parties, illustrant une notion assez intuitive qui estque le champ se propageant en aval d'une région de l'espace découle dece qu'il y a en amont. Mais pas besoin de connaître le champ dans toutela région amont pour savoir ce qu'il y a en aval: Contrôler l'amplitude etla phase de la vibration lummineuse suivant un plan sut pour générern'importe quelle onde se propageant au delà. On verra plus loin en exemplele cas de l'eet d'une lentille divergente (convergente) sur une onde plane).

23

Figure 2.6: Expression de ψ à l'intérieur du volume limité par la surface Σen fonction de la valeur de ψ sur la surface Σ (cf Eq.2.2.1)

Mathématiquement cela revient aussi à dire que la solution d'une équationdiérentielle est déterminée par les "conditions initiales", ou, plus générale-ment, par les "condition aux limites" 1.

Pour une onde monochromatique se propageant dans le vide, pour laque-lle k = ω/c cela donne:

ψ(~r0, t) =14π

[∮

Σ

eik|~r0−~r|

|~r0 − ~r|−−→gradψ.d

−→S −

∮

Σψ(~r)−−→grad(

eik|~r0−~r|

|~r0 − ~r| ).d−→S ]e−iωt

(2.1)Il s'agit d'une propriété mathématique propre à l'équation diérentielle depropagation (cf Hecht, 10-4). Mathematiquement c'est exact, mais en pra-tique pas commode à utiliser du tout.

2.2.2 Principe d'Huyghens-FresnelBien avant Kirchho, Huyghens puis Fresnel avaient imaginé sans justica-tion mathématique une méthode pour calculer la propagation de la lumièreconsidérée comme une onde, et non comme la juxtaposition de rayons lu-mineux associés à la trajectoire de particules de lumière.

Suivant Huyghens, la surface d'onde (ou surface équiphase d'une phasedonnée) est obtenue en prenant l'enveloppe des surfaces equiphase de mêmephase correspondant à des "ondelettes" émises depuis depuis une surfaceplacée en amont (Fig.2.7). Cette formulation décrit convenablement la prop-agation de la lumière dans des milieux innis homogènes, et sa déviation aupassage d'un milieu à un autre.

1Autre situation mathématiquement analogue: équation de Laplace, (ou de Poisson)en électrostatique: le potentiel V est parfaitement déterminé partout si on se donne ladistribution du potentiel sur un ensemble de surfaces (en particulier des conducteurs).

24

Figure 2.7: Ondelettes d'Huyghens et construction de la surface d'onde àt > 0 à partir de la surface d'onde à t = 0.

Fresnel complète cette idée en suggérant que les ondelettes doivent in-terférer entre elles, et précise la valeur de l'amplitude des ondelettes. Le"principe d'Huyghens-Fresnel" s'énonce alors de la façon suivante:

Soit ψ(~r, t) l'onde, supposée monochromatique, sur une surface Σ d'extensioninnie. Alors ψ(r0) s'exprime comme la somme ("l'interférence") d'ondesshériques émises depuis tous les points ~r avec une amplitude proportionnelleà celle de ψ(~r, t) et une phase identique à celle de ψ(~r, t).

Alors le champ en un point P (X,Y, z) est donné par (cf Fig.2.8)

ψ(P ) =∫

ΣKψ(Q)

eikQP

QPdxdy (2.2)

où ψ(Q) est donc le champ au point Q(x, y) dans l'ouverture de taille d, etK un coecient ne dépendant pas en première approximation 2 de Q et deP.

2Pour être cohérent avec Kirchho il faudrait prendre K ∝ −i(cos θ + cos θi)/(2λ)où θ et θi sont respectivement les angles d'inclinaison par rapport à la normale à Σ dela direction d'émission de l'ondelette et de la normale à la surface d'onde incidente (cfHecht 10.4). Noter que pour θi = θ + π le coecient K ("facteur d'obliquité") s'annulle,traduisant le fait qu'il n' y a pas d'onde émise vers l'arrière.

25

Figure 2.8: Géométrie correspondant à l'Eq.2.2.2.

Dans le cas du calcul de la lumière transmise par un écran percé d'ouvertureson prend pour surface Σ le plan de l'écran, et on complète ce principe parles hypothèses suivantes:

Hypothèses supplémentaires• 1. Juste derrière l'écran ψ = 0. Semble raisonnable.

• 2. Dans le plan de l'écran à l'intérieur des ouvertures ψ est le mêmeque si il n'y avait pas d'écran. Nettement moins évident!: Clairementil doit se passer des choses " au voisinage " du bord des ouverturesoù le rayonnement interagit avec la matière. Mais à condition que lesouvertures soient assez grandes devant la distance caractéristique quidénit ces " voisinages " l'expérience de la vie courante suggère que ceseets sont petits. On imagine que cette distance caractéristique doitêtre de l'ordre de λ.

• 3. Les deux cas précédents peuvent se généraliser au cas où le planΣ contient des parties absorbantes ou réfringentes. Donc d'une façongénérale on écrira que l'onde ψ(x, y) juste après le plan Σ est le produitde l'onde incidente ψi(x, y) par une "fonction d'ouverture" T (x, y); Lecas 1 correspond à T = 0, Le cas 2 correspond à T = 1. Et pour unelame d'indice n, épaisseur e atténuant l'amplitude d'un facteur t < 1on aura T = t exp(ikzne) où kz est la projection du vecteur d'ondeincident sur la normale à Σ.

Rappellons que ce "principe" n'est qu'une approximation de la réalitéphysique, dont le domaine de validité n'est pas facile à préciser. Clairement,

26

le domaine de la "nanophotonique" actuellement en plein développementqui concerne l'étude de la propagation de la lumière dans et au voisinagede structures de l'ordre ou plus petites que la longueur d'onde λ sort dudomaine de validité de cette approximation. On avait déjà souligné ce pointdans le chapitre précédent en indiquant que "l'approximation scalaire" étaitégalement en défaut dans ce cas et que l'étude de ces situations passait parla résolution numérique des équations de Maxwell.

Sa formulation peut être considérée comme "un truc" dont la principalejustication est que 1) elle est mathématiquement simple, et 2) elle est enaccord avec l'expérience dans un grand nombre de situations pratiques. Ona pu montrer depuis que dans le cas de la propagation dans un milieu ho-mogène, l'Eq.2.2.2 peut être déduite de l'expression du théorème intégral deKirchho Eq.2.2.1 moyennant certaines hypothèses (cf Hecht 10-4 et noterelative à l'Eq.2.2.2) sur la valeur du coecient K.

L'utilisation de cette formule implique d'exprimer QP . La suite de ladiscussion va porter sur l'expression qu'on va prendre pour QP .

Soit z la distance entre Σ et le plan d'observation où se trouve P . Icion va se placer à des distances z beaucoup plus grandes que la taille del'ouverture d, et considérer des points P répartis sur une extension latéralepetite devant z, situation connue sous le nom de "conditions paraxiales".Dans ces conditions on pourra prendre 1/QP ∼ 1/z. Par contre l'argumentde l'exponentielle demande un examen plus précis.

Dénissons les coordonnées x, y; z = 0 de Q dans le plan Σ et X,Y, zcelles de P dans le plan d'observation.

Alors

QP = z[1 +(X − x)2 + (Y − y)2

z2]1/2 ∼ z +

(X − x)2 + (Y − y)2

2z(2.3)

En substituant cette expression dans l'Eq(2.2.2) on obtient

ψ(P ) =eikz

z

∫

ΣKψ(x, y)eik

(X−x)2+(Y−y)2

2z dxdy (2.4)

En posantkx = k

X

zet

ky = kY

z

l'équation précédente devient

ψ(P ) =eikz

zexp(ik(X2+Y 2)/2z)

∫

ΣKψ(x, y). exp[−i(kxx+kyy))]. exp[i

k(x2 + y2)2z

]dxdy

(2.5)

27

En pratique on prendra K ∼ constante.On remarque que le facteur exp(ik(X2 + Y 2)/2z) est de module 1 et

n'intervient donc pas dans la répartition de l'éclairement qui est proportion-nel à |ψ|2. Egalement pour eikz/z qui est une constante pour une distance zdonnée.

2.3 Conditions de Fraunhoer: z très très granddevant d ("diraction à l'inni")

Diraction de FresnelLe cas où z n'est pas très très grand devant d conduit à des calculs compliqués(cf Hecht 10.3 ou Perez 30.II) à cause du facteur exp(ik(x2 + y2)/2z) dansl'intégrale et correspond à ce qu'on appelle la "diraction de Fresnel", qu'onne traitera pas dans ce cours. Ce cas correspond en particulier à la diractionpar le bord d'un écran (Figs.2.1 et 2.2).

Diraction de FraunhoerSupposons maintenant qu'on se place très loin de Σ, z >> d, de telle sorteque exp(ik(x2 + y2)/2z) ∼ 1. Cela nécessite d2 << λ.z (soit d/λ << z/d).3Ces conditions correspondent à ce qu'on appelle les "conditions de Fraun-hoer" ou "diraction à l'inni". Cette situation correspond en fait à untrès grand nombre de situations expérimentales et à l'intérêt de simplierconsidérablement l'Eq.2.5.

Rappelons que ces deux cas, diraction de Fresnel et diraction de Fraun-hoer reposent eux-même sur la validité de l'Eq.2.5 qui comme on l'a men-tionné n'est valable que si λ << d.

Dans les conditions de Fraunhoer l'Eq.2.5 se réduit à

ψ(X, Y ) ∝∫

Σψ(x, y). exp[−i(kxx + kyy)]dxdy (2.6)

Notons ~k le vecteur d'onde de composantes4 kx et ky suivant les directionsx et y. Si O est le point origine dans le plan Σ l'Eq.2.6 peut alors se réécrire:

ψ(X, Y ) ∝∫

Σψ(Q). exp(−i~k. ~OQ)dxdy (2.7)

Les composantes de ~k peuvent également s'exprimer au moyen des angles(en fait de leur sinus) que font avec l'axe Oz les projections de ce vecteurdans les plans xOz et yOz:

3cf λ = 500nm, d=0,1mm, z = 100mm alors d/λ = 200 et z/d = 10004La composante suivant z s'en déduit puisque k2

x + k2y + k2

z = k2

28

sinα =kx

k(∼ α ∼ X

zdans les conditions paraxiales)

etsinβ =

ky

k(∼ β ∼ Y

zdans les conditions paraxiales)

ce qui permet de réécrire l'Eq.2.6 sous une troisième forme:

ψ(X,Y ) ∝∫

Σψ(Q). exp(−ik(αx + βy))dxdy (2.8)

Dans tous cas on note que P (X, Y ) est directement relié à ~k, ou demanière équivalente à α et β: l'onde diractée peut être considérée commeune superposition d'ondes planes et on recueille en P celle dont le vecteurd'onde est ~k. L'onde diractée sera alors caractérisée indiéremment par lesamplitudes qu'on notera ψ(X, Y ), ψ(~k), ou ψ(α, β).

La signication physique de l'approximation de Fraunhoer est expriméesur la Fig.2.9. Elle revient à dire que les diérents rayons QP obtenus enprenant diérents points Q à l'intérieur de l'ouverture de Σ peuvent êtreconsidérés comme pratiquement parallèles, faisant des angles α et β pra-tiquement identiques.

Une situation très souvent rencontrée expérimentalement est celle où leplan d'observation est le plan focal d'une lentille. Dans ce cas on recueille aupoint P du plan focal l'onde plane émise suivant une direction donnée par laposition du point P (cf Fig.2.9), de telle sorte que les conditions de validitéde l'approximation de Fraunhoer sont automatiquement satisfaites.

D'une façon générale, le calcul de la diraction de Fraunhoer revient àcalculer d'abord l'amplitude de l'onde diractée suivant la direction déniepar un vecteur d'onde ~k, auquel sont associés les angles α et β. L'amplitudedans le plan d'observation s'en déduit ensuite en associant à ces angles lescoordonnées X = fα ou X = zα, et Y = fβ ou Y = zβ, suivant les 2 casreprésentés sur la Fig.2.9.

Cas où l'onde incidente est planeSi l'onde incidente sur le plan Σ est plane, caractérisée par le vecteur d'onde~ki, de composantes kix = kαi et kiy = kβi alors:

ψi(Q) ∝ exp(i~ki. ~OQ)

et doncψ(Q) ∝ T (x, y). exp(i~ki. ~OQ)

où l'on fait apparaître la fonction de transmission T dans le plan Σ de tellesorte que

29

Figure 2.9: Géométrie de la diraction de Fraunhoer. a.: La distance entrele plan Σ et le plan d'observation est assez grande pour que les diérentsrayons QiP puissent être considérés comme parallèles. b.: L'interpositiond'une lentille donne au plan focal les caractéristiques d'un plan d'observation"à l'inni", les rayons émis des points Qi étant tous parallèles par dénition.

ψ(~k) ∝∫

ΣT (x, y). exp(−i(~k − ~ki). ~OQ)dxdy (2.9)

Dans la suite on aura sauf spécication contraire ~ki perpendiculaire à Σdonc ψi(Q) = constante sur Σ, αi = βi = 0 et donc 5:

ψ(~k) ∝∫

ΣT (xQ, yQ). exp(−i~k. ~OQ)dxQdyQ (2.10)

Remarquer qu'il n'y a pas d'approximation dans cette formule autre quecelle du principe d'Huyghens-Fresnel, l'approximation de Fraunhoer dis-cutée plus haut consistant à identier ψ(~k) et ψ(P ). Cette formule fonda-mentale s'énonce de la façon suivante:

L'onde diractée dans la direction dénie par le vecteur d'onde ~k a uneamplitude donnée à un facteur près par la transformée de Fourier spatiale de

5Dans le cas où l'onde incidente est oblique, l'Eq.2.9 peut se réécrire en fonction desangles α et β sous la forme

ψ(α, β) =

∫

Σ

T (x, y). exp[−ik(α− αi)x + (β − βi)y]dxdy

où on note queψαi,βi(α, β) = ψαi=0,βi=0(α− αi, β − βi)

Cela indique que la gure de diraction est identique à celle observée dans le cas où l'ondeincidente est normale, mais se trouve simplement décalée angulairement suivant les anglesd'incidence αi et βi.

30

la fonction de transmission T .

On reviendra longuement sur ce concept de "Transformée de Fourier" quisera par ailleurs traité en détail dans le cours de maths.

2.4 Diraction de Fraunhoer par une ouverturerectangulaire éclairée par onde plane en inci-dence normale: l'onde est diractée suivant lesangles ±λ/d

On considère donc une ouverture rectangulaire de taille a× b (a,b de l'ordrede d) percée dans un écran opaque éclairé par une onde plane en incidencenormale (Fig.2.10). L'amplitude de l'onde diractée dans la direction déniepar les composantes kx et ky du vecteur d'onde ~k est donc donnée par

ψ(kx, ky) ∝∫

Σexp(−ikxx + kyy))dxdy (2.11)

soit

ψ(kx, ky) ∝∫ b/2

−b/2

∫ a/2

−a/2exp(−ikxx + kyy))dxdy

qui se factorise en deux intégrales indépendantes:

ψ(kx, ky) ∝∫ b/2

−b/2exp(−ikxx)dx×

∫ a/2

−a/2exp(−ikyy)dy

se calculant aisément:

ψ(kx, ky) ∝ 1−ikx

[exp(−ikxb/2)−exp(ikxb/2)]× 1−iky

[exp(−ikya/2)−exp(ikya/2)]

soit:

ψ(kx, ky) ∝ [sin(kxb/2)

kxb/2]× [

sin(kya/2)kya/2

] (2.12)

ou en introduisant les variables u = kya/2 et v = kxb/2:

ψ(kx, ky) ∝ [sin(v)

v]× [

sin(u)u

] (2.13)

Dans les conditions de validité de l'approximation de Fraunhoer, ladistribution d'éclairement I(X, Y ) est ∝ |ψ(kx, ky)|2, et s'obtient en faisantcorrespondre les coordonnées X et Y aux composantes kx et ky:

31

Figure 2.10: Géométrie de la diraction de Fraunhoer d'une onde planemonochromatique par une fente rectangulaire.

• si l'écran d'observation est à une distance z très grande, alors X = zα,Y = zβ où α = kx/k et β = ky/k; donc kx = kX/z, ky = kY/z;u =kya/2 = πaY/(λz), v = kxb/2 = πbX/(λz)

• si l'écran d'observation est dans le plan focal d'une lentille de focalef travaillant dans les conditions de Gauss, alors X = fα, Y = fβ oùα = kx/k et β = ky/k; donc kx = kX/f , ky = kY/f ; u = kya/2 =πaY/(λf), v = kxb/2 = πbX/(λf)

Dans les deux cas la distribution d'éclairement s'exprime au moyen de lafonction | sin(u)/u|2 représentée sur la Fig.2.11.

2.4.1 Cas particulier où b →∞Dans ce cas qui correspond à celui d'une fente ne verticale la fonction| sin(kxb/2)/(kxb/2)|2 n'est non nulle que pour kx ∼ 0: on n'observe alorsd'éclairement que sur l'axe horizontal X = 0. L'éclairement suivant la direc-tion OY est donné alors par la fonction | sin(u)/u|2 avec u = kya/2.

Cette fonction montre un maximum central égal à 1 pour suivi d'une séried'oscillations s'atténuant de plus en plus (cf Fig.2.12): Le premier maximumsecondaire est obtenu pour u = ±3π/2 et vaut [sin(3π/2)/(3π/2)]2 ∼ 1/20de telle sorte que la majorité de l'éclairement est concentrée entre les deuxpremiers minima nuls situés de part et d'autre du maximum central pouru = ±π, soit ky = ±2π/a, α = ±2π/(ka) = ±λ/a, Y = ±2πz/(ka) =±zλ/a ou Y = ±2πf/(ka) = ±fλ/a.

32

Figure 2.11: Graphe de la fonction | sin(u)/u|2 intervenant dans l'éclairementde la gure de diraction par une fente éclairée par une onde plane monochro-matique.

Figure 2.12: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondantà la gure de diraction par une fente ne verticale éclairée par une ondeplane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variableréduite u reliée à la coordonnée Y = [fλ/(πa)]u (cf texte).

33

Figure 2.13: Figures de diraction de Fraunhoer observées dans le cas defentes rectangulaires quelconques.

2.4.2 Cas général

I(X, Y ) ∝ [sin(u)(u)

]2 × [sin(v)(v)

]2

avec u = kya/2, v = kxb/2. La gure de diraction à la forme d'une espècede croix/damier. Chacune des branches de la croix rappelle la gure dediraction par des fentes nes respectivement verticale et horizontale delargeur a ou b. (cf Fig.2.13)

2.4.3 Cas d'une fente large, a, b >> λ

Dans ce cas l'éclairement est concentré en une région de l'espace de taillepetite: l'onde plane incidente n'est que faiblement diractée autour de α, β ∼0 et se retrouve focalisée au foyer de la lentille.

Noter que dans tous les cas l'éclairement observé ne ressemble pas dutout à l'ouverture, et que la taille de la partie éclairée varie en raison inversede la taille de l'ouverture

2.5 Diraction par une ouverture circulaire éclairéepar onde plane en incidence normale: l'onde estdiractée suivant les angles ±1, 22λ/d

On considère maintenant une ouverture circulaire de rayon r = d/2. Ce n'estplus aussi simple que le cas de l'ouverture rectangulaire, car on va tomber

34

Figure 2.14: Géométrie de la diraction de Fraunhoer d'une onde planemonochromatique par un trou circulaire.

sur des intégrales qui ne s'expriment en fonction d'aucune fonction mathé-matique élémentaire. D'où l'introduction de certaines "fonctions spéciales",les "fonctions de Bessel.

On eectue un changement de variables cartésiennes x, y -> polaire ρ, φ,kx, ky -> kθ, Φ adapté à la symétrie du problème (cf Fig.2.14):

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ

,dxdy = ρdρdφ

kx = kθ cosΦ, ky = kθ sinΦ

avec kθ = k. sin θEn substituant ces expressions dans l'Eq.2.6 on obtient:

ψ(kθ,Φ) ∝∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cos(φ− Φ)]ρdρdφ

Par symétrie, cette intégrale ne doit pas dépendre de Φ, qu'on peut prendreégal à zéro, et ψ ne dépend que de l'angle θ que fait le vecteur d'onde avecl'axe Oz:

ψ(kθ) ∝∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cosφ]ρdρdφ

Dans cette expression on voit apparaître une première intégrale du type:∫ 2π

0exp(it cosφ)dφ

35

qui est égale à 2πJ0(t), où J0 est la " fonction de Bessel " d'ordre zéro.Il existe toute une famille de "fonctions de Bessel" possédant un tas depropriétés mathématiques, et reliées entre elles par diérentes relations (cfcours de maths, et graphe, cf Fig.2.15. Ainsi la "fonction de Bessel d'ordreun" J1 est reliée à J0 par la relation:

∫ T

0tJ0(t)dt = TJ1(T )

Faisant le changement de variable t = kθρ, et quelques réductions algébriqueson en tire alors que

∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cosφ]ρdρdφ = 2πr2 J1(kθr)

kθr

de telle que nalement

ψ(kθ) ∝ J1(kθr)kθr

(2.14)

Comme dans le cas de la diraction par une fente, l'éclairement dans leplan d'observation est obtenu en faisant correspondre les coordonnées po-laires q,Φ des points de ce plan avec la composante kθ ou l'angle θ auxquelselles sont associées. Par symétrie la distribution de l'éclairement a la symétriede révolution, ne dépendant que de la distance q à l'axe Oz dans le pland'observation, et donc

I(q) ∝ |J1(u)u

|2

où u = kθr

De manière assez similaire à la fonction | sinu/u|2 rencontrée dans le casde la diraction par une fente, la fonction |J1(u)/u|2 présente un maximumpour u = 0 suivi d'oscillations amorties (cf Fig.2.16), le premier minimumse produit pour u = 3, 832... correspondant à kθ = 3, 83/r, soit pour θ ∼sin θ = 3, 83/(kr) = 0, 61λ/r = 1, 22λ/2r, donc pour q = 1, 22zλ/2r dans lecas d'un écran placé à grande distance du trou, ou q = 1, 22fλ/2r dans lecas d'un écran placé dans le plan focal d'une lentille de focale f .

On observe donc dans le plan d'observation une tache circulaire (cf Fig.2.17)portant le nom de "disque d'Airy" la majeure partie de l'éclairement étantconcentrée dans un rayon q0 correspondant au premier anneau noir associéà u = 3, 832..., soit pour kθ = 3, 832/r, ou

θ0 ∼ sin θ0 = 3, 832/(kr) = 0, 61λ/r = 1, 22λ/d

où on a introduit d = 2r diamètre de l'ouverture circulaire, soit:

q0 = 1, 22zλ/d

36

Figure 2.15: Graphes de quelques fonctions de Bessel Ji(u) intervenant dansle calcul de la gure de diraction par une fentr circulaire.

ouq0 = 1, 22fλ/d

dans le cas ou le plan d'observation est le plan focal d'une lentille.Noter que si le "disque d'Airy" est circulaire "par symétrie", il ne faut

pas le confondre avec l'image de l'ouverture circulaire.

2.6 Synthèse de ces résultatsConclusion : Que ce soit pour une ouverture rectangulaire de côté a oucirculaire de rayon r, on voit que la tache de diraction observée dans leplan focal d'un syst-ème optique de focale f a une taille qui vaut environ2fλ/a dans le premier cas, et 2, 44fλ/d dans le 2ème cas.

Dans tous les deux cas on voit que le faisceau diracté est dispersé dansun intervalle angulaire de l'ordre de 2λ/d où d est la taille de l'ouverturediractante.

Chaque fois qu'on veut localiser le rayonnement dans une petite régionde l'espace, il en résulte une divergence δθ qui varie inversement proportion-nellement à la taille d de la région de localisation, le produit δθ× d étant del'ordre de la longeur d'onde. On en verra un autre exemple dans le cas desfaisceaux gaussiens qui seront étudiés dans le prochain cours.

37

Figure 2.16: Graphe de la fonction |J1(u)/u|2 intervenant dans l'éclairementde la gure de diraction par un trou éclairé par une onde plane monochro-matique.

Figure 2.17: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondantà la gure de diraction par une ouverture circulaire éclairé par une ondeplane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variableréduite u reliée à la coordonnée q = [fλ/(π2r)]u (cf texte).

38

2.7 Fonction d'étalement de point et limite de ré-solution des instruments d'optique

2.7.1 Exemple: cas d'un objectif photographiqueUn objectif photographique forme l'image de points objets éloignées situésà une distance D, sur le détecteur situé dans un plan d'observation à unedistance D′. On peut assimiler cet objectif à un système de 2 lentilles et d'undiaphragme circulaire (cf Fig.2.18): la première transforme l'onde sphériqueémise par un point objet en une onde plane, qui subit une diraction de typeFraunhoer par le diaphragme, l'onde diractée étant ensuite focalisée par ladeuxième lentille de focale f dans le plan du détecteur. La situation est trèssemblable dans le cas de l'oeil, où le détecteur est la rétine. Ainsi l'imaged'un point objet n'est pas un point mais un spot dont le prol porte le nomde "fonction d'étalement de point" ("point spread function" ou "PSF" enanglais).

La taille de ce spot est ultimement xée par les phénomènes de dirac-tion. En pratique il arrive fréquemment qu'elle soit plus grande à cause desaberrations géométriques se produisant avec des optiques imparfaites. Pourun objectif parfait le rayon δ du spot est donné par focale×rayon angulairedu disque d'Airy, soit

δ = f × 1, 22λ

doù d est le diamètre du diaphragme de l'objectif.

Exemple λ =550nm; f =35mm; d =12.5mm (ouverture à f/2,8); Alorsδ =1,9µm

Remarquer bien sûr que si l'on ferme le diaphragme pour une raison ouune autre la taille du spot de diraction augmente et la dénition est moinsbonne.

Exercice: Vérier si le nombre de pixels annoncés par les constructeursd'appareils photo numériques est bien un critère de qualité.

2.7.2 Critère de RayleighAinsi dans tous les cas, pour tous les systèmes d'imagerie optiques, l'imaged'un point est un spot. Par conséquent 2 points objets seront facilement dis-tinguables ("résolus") si leurs images sont séparées d'une distance supérieureà la taille des spots. La limite de résolution des instruments d'optique estsouvent donnée en suivant le "critère de Rayleigh": deux points objets serontréputés distinguables si les centres des spots-images sont séparés d'une dis-tance au moins égale au "rayon" de chacun des spots (pour système limitépar diraction on prend pour "rayon" le rayon du premier anneau noir) (cfFig.2.19).

39

Figure 2.18: Fonctionnement schématique d'un objectif d'appareil photo:L'image d'un point se formant dans le plan focal d'observation est un spotrésultant de la diraction de Fraunhoer à travers le diaphragme circulairede diamètre d.

Figure 2.19: Critère de Rayleigh et limite de séparation de deux objets.

40

2.7.3 Exemple: MicroscopeOn considère un objectif de microscope dont la "pupille" a un diamètre d, etdont on observe les images au moyen d'une "lentille de tube" de focale f ′ (cfFig.2.20). La diraction forme un spot image de rayon 1, 22f ′λ/d. Suivantle critère de Rayleigh deux points objets espacés de δ seront séparés si leursimages sont espacées de δ′ > 1, 22f ′λ/d.

δ′ est relié à la distance δ entre les points objets (espace objet) via la"relation d'Abbe" (ou "condition des sinus") (cf Perez 3-II)

nδ sin θ = n′δ′ sin θ′

où θ et θ′ sont les angles que fait avec l'axe optique un rayon issus du pointobjet et où n et n′ sont respectivement les indices des milieux dans lesquelsse trouvent la préparation observée (espace objet) et le détecteur (espaceimage). En général n′ = 1. Par contre on utilise parfois des "objectifs àimmersion" où la préparation est immergée dans un milieu d'indice n oùbaigne l'objectif.

Pour le rayon passant juste au bord de la pupille l'angle θ′ vaut θ′m =d/2f ′ auquel est associé un certain angle θm dans l'espace objet.

Les images seront donc séparées si

δ >1

n sin θm

d

2f ′

soitδmin =

1, 22f ′λd

= 0, 61λ

n sin θm

La quantité n sin θm porte le nom d'"ouverture numérique" de l'objectif,dont c'est une caractéristique xée par le constructeur. Plus cette ouverturenumérique est grande, plus l'image sera lumineuse, car l'objectif capte unegrande partie de la lumière émise par l'objet. Et plus petit sera δmin doncplus grand sera le "pouvoir séparateur".

D'où l'intérêt des "objectifs à immersion" prévus pour baigner dansun milieu d'indice n > 1, permettant d'avoir une ouverture numériquesupérieure.

Exemples

Objectif à sec ouverture numérique = 0,6 θm = sin−1(0, 6) = 37o

λ =550nm; δmin = 0, 56µm.

Objectif à immersion dans huile n = 1, 5ouverture numérique = 1,4 θm = sin−1(1, 4/1, 5) = 69o

λ =550nm; δmin = 0, 24µm.

41

Figure 2.20: Fonctionnement schématique d'un microscope: L'image d'unpoint se formant dans le plan focal d'observation est un spot résultant de ladiraction de Fraunhoer à travers le diaphragme circulaire de diamètre d.

42

Chapter 3

Faisceaux gaussiens:propagation, propriétés,manipulation

3.1 IntroductionDe nombreuses sources laser émettent des faisceaux très directifs d'extensionlatérale très petite. La directivité de ces faisceaux rappelle le comporte-ment d'une onde plane, caractérisée par un vecteur d'onde ~k. Cependant lechapitre précédent nous a appris que toute onde d'extension latérale limitéeà une taille d diverge, se répartissant suivant un intervalle angulaire ∼ ±λ/d:la taille de l'onde augmente donc proportionnellement avec la distance par-courue (L'éclairement doit alors diminuer en raison inverse du carré de cettetaille et de cette distance, pour que le ux total d'énergie transportée par lefaisceau soit conservé).

On va voir que ce type de comportement peut être décrit par des solutionsparticulières de l'équation de propagation telles que l'intensité suivant unplan soit donné par une fonction de Gauss. Ces "ondes gaussiennes" ontde fait un comportement qui tantôt rappelle celui d'une onde plane, tantôtrappelle celui d'une onde sphérique. Leur étude va également illustrer ce quise passe au point de focalisation d'un faisceau par une lentille, à la base denombreuses applications des lasers.

3.2 Résolution de l'équation de propagation: exis-tence d'ondes de prol d'amplitude gaussien

On s'intéresse donc à l'équation de propagation

∆ψ − 1c2

∂2ψ

∂t

2

43

Figure 3.1: Variation de l'amplitude d'une onde gaussienne en fonction dela distance à l'axe.

qui pour une onde monochromatique se réduit à

∆ψ + k2ψ = 0 (3.1)et nous cherchons les solutions ayant dans le plan z = 0 un prol d'amplitude(cf Fig.3.1):

ψ(x, y, z = 0, t) = ψ0 exp(−iωt) exp(−r2/w20) (3.2)

où r =√

(x2 + y2)On voit que l'intensité (∝ ψ2) est divisée par e2 = 7, 4 lorsque r = w0 (cf

Fig.3.2). Un calcul d'intégration élémentaire montre que 86% de l'énergieest concentrée dans un cercle de rayon w0.

D'après le chapitre précédent la connaissance de ψ en z = 0 sut pourdéterminer la fonction dans tout l'espace. Pratiquement on peut obtenirl'expression de ψ pour toute valeur de z en appliquant Huyghens-Fresnel (cfPerez ch 31).

Ici nous allons considérer une approche diérente, consistant à chercherdirectement les solutions de l'équation de propagation satisfaisant la con-dition Eq.3.2, suivant l'exposé du livre de Dangoisse, Hennequin, Zehnlé-Dhaoui "Les lasers", Dunod, (chapitre 2).

3.2.1 Equation approchée pour onde "pseudoplane"On se dit qu'un cas limite est celui d'une onde plane se propageant suivantz. On cherche alors ψ sous la forme

ψ(r, z) = u(r, z) exp(ikz) exp(−iωt) (3.3)

44

Figure 3.2: Variation de l'intensité d'une onde gaussienne en fonction de ladistance à l'axe.

où k = ω/c et où u est une fonction que l'on cherche, et dont on se dit qu'elledoit varier moins vite que exp(ikz) avec la position, ce qui veut dire que

|du/dz

u| << |d(eikz)/dz

eikz|

soit|du

dz| << k|u|

On supposera que u satisfait une condition du même type, mais plus con-traignante encore, portant sur la dérivée seconde:

|d2u

dz2| << k|du

dz| (3.4)

L'équation de propagation 3.1 se réécrit en coordonnées cylindriques en sup-posant que la solution ne dépend pas de l'angle polaire dans le plan xOy(symétrie de révolution):

1r

d

drrdψ

dr+

d2ψ

dz2+ k2ψ = 0

ce qui donne en insérant l'expression de ψ du type Eq.3.3:

1r

d

drrdu

dr− k2u + 2ik

du

dz+

d2u

dz2+ k2u = 0

Si on suppose que u varie peu avec z on peut négliger suivant la condition3.4 le terme d2u/dz2 et cette équation se réduit à:

1r

d

drrdu

dr+ 2ik

du

dz= 0 (3.5)

45

3.2.2 Résolution: onde sphérique d'extension limitée=rayonde courbure complexe

Cherchons u sous la forme

u = A(z) exp(ikr2

2R(z)). exp(− r2

w2(z)) (3.6)

où R(z) est une fonction a priori quelconque, de même que w(z) et A(z).Si R est réel, l'expression de ψ rappelle l'expression d'une onde sphériqued'extension latérale limitée à une distance de l'ordre de w.L'astuce consiste à dénir un rayon de courbure complexe:

1Q(z)

=1

R(z)+ i

2kw2(z)

(3.7)

ce qui permet de réécrire l'Eq.3.6 sous la forme:

u = A(z) exp(ikr2

2Q) (3.8)

Reportant cette expression dans l'équation de propagation Eq.3.5 on obtient:

A

Q+

dA

dz+ i[

kr2A

2Q2(1− dQ

dz)] exp(i

kr2

2Q) = 0

d'où on voit qu'une condition susante pour que u satisfasse cette équationest que:

dQ

dz= 1 (3.9)

etdA

dz= −A

Q(3.10)

3.2.3 Rayon de courbure, taille, et divergence de l'ondeL'Eq.3.9 implique

Q = z + C

où C est une constante déterminée par l'expression Eq.3.2 de ψ(r, z) pour z =0 comparée à l'expression 3.6, qui implique par ailleurs w = w0, 1/R(0) = 0,d'où:

C = Q(0) = −ikw2

0

2= −izR

où on a posézR =

kw20

2(3.11)

46

Comme k = ω/c = 2π/λ, on tire

zR =πw2

0

λ

Ainsi1Q

=1

(z − izR)=

1R(z)

+ i2

kw2(z)

Identiant parties réelles et imaginaires on obtient les deux équations suiv-antes:

z

(z2 + z2R)

=1

R(z)

izR

(z2 + z2R)

= i2

kw2(z)

d'où l'on tire les deux expressions:

R(z) = z(1 +z2R

z2) (3.12)

etw2(z) =

2(z2 + z2R)

kzR

ou encore en utilisant l'Eq.3.11:

w2 = w20(1 + z2/z2

R) (3.13)

L'Eq.3.12 dénit le rayon de courbure de la surface d'onde à la distance zde l'origine, tandis que l'Eq.3.13 caractérise la taille du faisceau: Ainsi doncnotre solution correspond bien à une onde d'extension latérale limitée dontla section w croît faiblement avec z pour z << zR puis augmente ∝ z lorsquez >> zR (cf Fig.3.3).

En même temps le rayon de courbure de la surface d'onde est inni pourz = 0, décroît puis réaugmente suivant R ∝ z pour z >> zR (cf Fig.3.4).La longueur zR porte le nom de "Longueur de Rayleigh". La quantité w0

caractérisant la rayon minimum du faisceau est le souvent appelée "waist".

Si une onde ressemble à une onde plane pour z << zR, elle se comporte pourz >> zR comme une onde sphérique divergente d'extension limitée par uncône, de demi angle de divergence:

θ =w0

zR=

2kw0

=2λ

π.2w0(3.14)

Cette expression résume les propriétés d'un faisceau gaussien en reliantdivergence, longueur d'onde et taille minimum de faisceau. Noter que la

47

Figure 3.3: Variation du rayon w du faisceau gaussien avec la position zsuivant la direction de propagation.

valeur de l'angle de divergence rappelle la diraction par une ouverture detaille ∼ 2w0 pour laquelle le premier minimum angulaire est à 1, 22λ/2w0 :comparer 1,22 avec 2/π = 0, 64, c'est la même valeur à un facteur 2 près dûaux conditions un peu diérentes (le faisceau gaussien s'étend en fait un peuau delà de w0).

3.2.4 Amplitude et phase de l'ondeL'Eq.3.10 se réécrit en fonction de Q sous la forme

dA

dz= −A

Q= − A

(z − izR)

dont les solutions sont lnA = − ln(z − izR) + cte, soit

A =exp(cte)(z − izR)

qu'on peut mettre sous la forme

A =K

(1 + iz/zR)

ou encoreA = K

w0

w(z)exp iφ(z) (3.15)

carw0

w(z)= | 1

(1 + iz/zR)|

48

Figure 3.4: Variation du rayon de courbure réel R du faisceau gaussien avecla position z suivant la direction de propagation.

et1φ(z) = arg( 1

(1 + iz/zR)) = − arctan(z/zR) (3.16)

3.2.5 Expression nale de la solutionFinalement, l'expression de ψ est la suivante :

ψ = Kw0

w. exp(−r2/w2). exp[ik(z+r2/2R2)] exp[−i arctg(z/zR)]. exp(−iωt)

(3.17)où R(z) et w(z) sont données par les Eqs.3.12 et 3.13. Noter que cetteexpression est solution de l'équation de propagation aussi bien pour z > 0 quepour z < 0: Formellement R(z) > 0 pour z > 0 décrit une onde divergente,et R(z) < 0 pour z < 0 décrit une onde convergente (cf Fig.3.5).

3.3 Discussion• Le facteur w0/w assure que le ux intégré sur la section du faisceau est

conservé (de telle sorte que éclairement fois aire = (amplitude)2 × w2

soit constante)

• Le premier facteur de phase décrit une onde de rayon de courbure R.

• Le deuxième facteur de phase correspond à ce qu'on appelle la "phasede Gouy": il indique que lorque z passe de −∞ à +∞, (c'est à direquand après focalisation une onde sphérique convergente se transformeen une onde sphérique divergente), cette phase varie de π.

1Rappelons que arg(Z) = arctan(=m(Z)<e(Z)

)

49

Figure 3.5: Allure d'un faisceau gaussien. Sur une distance de l'odrde de zR

autour de la position où le rayon du faisceau atteint son minimum, les sur-faces d'onde sont planes. Au delà l'onde est assimilable à une onde sphériqueavec des surfaces d'onde sphériques.

3.4 ExemplesConsidérons le cas d'un laser He-Ne rouge de longueur d'onde λ = 633nm,délivrant un faisceau de diamètre typique de l'ordre du mm, soit w0 =0, 5mm.

D'après l'Eq.3.11 on a zR = 1, 25m: le faisceau semble garder une tailleconstante sur une distance de l'ordre du m.

3.4.1 Propagation libreAu delà de cette distance zR le faisceau diverge suivant un demi-angle quid'après l'Eq.3.14 vaut θ = 0, 4mrad. Ainsi, sur une distance de 10m, lediamètre du faisceau passe de 2w0 =1mm à 2w =8mm.

Si on envoyait ce faisceau en direction de la lune, située à environ 300000km,soit 3.108m, il couvrirait à l'arrivée un cercle de diamètre 240km! L'expériencea, et est toujours, réalisée non pas avec un laser He-Ne, mais avec un laserdélivrant des impulsions ultra-courtes: On détecte l'impulsion de lumièrerééchie sur un réecteur placé sur la lune par les astronautes américainslors des missions Apollo, ce qui permet de déterminer précisément la dis-tance terre-lune (et surtout ses variations) en mesurant le temps séparantl'émission de l'arrivée de l'écho, exactement comme avec un radar.

De façon à réduire la divergence du faisceau et augmenter l'intensité dusignal on transforme (cf ci-dessous) le faisceau laser initial en un faisceaugaussien de diamètre minimum plus grand. Prenons ainsi 2w0 = 1m au lieude 1mm alors la divergence est diminuée d'un facteur 1000 et le diamètre dufaisceau à 300000km est réduit du même facteur 1000 à "seulement" 240m.L'éclairement au niveau de la lune est lui augmenté d'un facteur 10002 = 106.

50

3.4.2 FocalisationSupposons maintenant qu'on place une lentille de focale f = 10mm à lasortie du laser où le rayon du faisceau est w0 = 0, 5mm. Un raisonnementsimple consiste à assimiler à ce niveau l'onde laser à une onde plane, dont onimagine qu'elle est transformée en une onde sphérique convergeant au foyer.Une étude plus approfondie conduit à dire que l'onde gaussienne initialeest transformée en une autre onde gaussienne de demi-angle de divergenceθ′ ∼ w0/f .

Cette onde gaussienne va se propager vers le foyer de la lentille en ré-duisant son diamètre jusqu'à la taille 2w′0 = 2λ/(πθ′) (cf Eq.3.14), soit iciθ′=0,05rd, et 2w′0=8,0µm.

Selon l'Eq.3.11 ce faisceau gardera cette taille minimum sur une distancede l'ordre de z′R = πw′0

2/λ, soit ici z′R = 321µm, et prolongera sa propagationau delà en divergeant (cf Fig.3.6).

Bien remarquer que la taille minimum du faisceau focalisé est proportion-nelle à λ, d'où l'intérêt de disposer de sources laser de longueur d'onde deplus en plus courtes pour graver et lire des CD (780nm), puis DVD 650nm),et HD-DVD (405nm pour les HD-DVD "Blu-Ray"). De plus cette taille estinversement proportionnelle à la focale f de la lentille de focalisation.

Ces eets de focalisation ont de multiples applications. En dehors deslecteurs-graveur optiques, mentionnons l'injection de lumière dans les bresoptiques utilisées en télécommunications, l'imagerie microscopique de uo-rescence, l'usinage laser...

3.4.3 Elargissement de faisceauEn complément du paragraphe précédent on imagine que l'action d'unelentille convergente de focale f ′ > f placée de telle sorte que son foyer setrouve au vosinage du point de taille minimum 2w′0 du faisceau focalisé, vadonner lieu à une onde gaussienne de taille minimum 2w′′0 = f ′θ′ = (f ′/f)w0

au niveau de la lentille. D'où une divergence θ′′ réduite par rapport aufaisceau initial dans le facteur f/f ′ (cf Fig.3.6).

3.5 Transformation d'un faisceau gaussien par pas-sage à travers une lentille

Dans le paragraphe précédent 3.4.2 nous avons estimé simplement l'eetd'une lentille convergeante sur un faisceau gaussien en assimilant le faisceauincident au cas limite d'une onde plane et le faisceau sortant au cas limited'une onde sphérique (et la réciproque en 3.4.3).

51

Figure 3.6: Focalisation et élargissement d'un faisceau gaussien par passageà travers des lentilles convergentes. Cette image n'est valable qu'à conditionque la distance zR du faisceau focalisé soit petite devant la focale f deslentilles (cf texte).

Cela supposait implicitement que les distances zR et z′R étaient respec-tivement très grande et très petite devant la focale de la lentille, et que l'ondeincidente avait sa taille minimum 2w0 à proximité de la lentille.

Cette situation est heureusement assez fréquente. Le cas général nécessiteun développement plus élaboré.

Pour cela on va être amener à s'intéresser à la modication du rayon decourbure d'une surface d'onde au passage d'une lentille mince. Comme onva le voir ceci est relié à la variation de phase imposée par la traversée de lalentille, qui dépend de la position radiale. Cela va également illustrer le faitque l'état de l'onde sur une surface détermine son état partout ailleurs, ceque traduit le principe d'Huyghens-Fresnel, et que modier sa phase revientà modier sa propagation au delà de cette surface.

3.5.1 Déphasage introduit par lentilleConsidérons une lentille convergente. Soit e(r) l'épaisseur de la lentille à ladistance r de son centre, et n l'indice du verre. Le déphasage δφ(r) subi parl'onde (supposée avoir une incidence faible sur le dioptre) au passage de lalentille au voisinage de la distance r vaut k × chemin optique, soit:

δφ(r) = k[ne(r) + (e0 − e(r))] = k[(n− 1)e(r) + e0]

où e0 = e(0).Un calcul de géométrie permet ensuite d'exprimer e en fonction de e0 et

du rayon de courbure des dioptres de la lentille (cf Fig.3.7). Pour une lentille

52

Figure 3.7: Géométrie d'une lentille plan-convexe.

plan convexe de rayon de courbure Rl on a par exemple e(r) ∼ e0 − r2/2Rl

(pour une lentille mince on a r << Rl. Par ailleurs la focale f de la lentilles'exprime sous la forme 1/f = (n− 1)/Rl où Rl est le rayon de courbure etn l'indice de la lentille. On en tire:

δφ(r) = cte− kr2

2f(3.18)

On peut montrer que cette relation est valable pour n'importe quellelentille mince, où d'ailleurs f peut être considéré comme algébrique et estnégatif pour une lentille divergente (Pour une lentille de rayons de courbureR1 et R2 on a 1/f = (n−1)(1/R1+1/R2), où d'une façon générale les rayonssont des quantités positives ou négatives suivant que le diopte est convexeou concave cf par exemple Perez ch8).

3.5.2 Modication d'une onde sphériqueRappelons l'expression d'une onde sphérique monochromatique dans les con-ditions paraxiales relativement à l'axe Oz se propageant dans le sens des zcroissant (cf n du ch. I):

ψ(t; r, z) = ψ0 exp(−iωt)exp(ikR) exp(+ikr2/R)

R

où R désigne le rayon de courbure de la surface d'onde en z, qui vaut R =z − z0 si l'onde est centrée en z = z0, x = 0, y = 0.

Soit donc maintenant une telle onde incidente sphérique caractérisée parune surface d'onde de rayon de courbure R0 à l'abscisse z. Sa répartition dephase dans le plan z s'exprime sous la forme:

φ(r) = φ0 +kr2

2R0

53

Plaçons une lentille en mince en z. Juste après passage de la lentille larépartition de phase devient φ′(r) = φ(r) + δφ(r), soit d'après 3.5.1:

φ′(r) = φ0 +kr2

2R0+ cte− kr2

2f= φ′0 +

kr2

2(

1R0

− 1f

) = φ′0 +kr2

2R′

Cette nouvelle répartition de phase correspond à celle d'une surface d'ondesphérique de rayon R′ tel que:

1R′ =

1R0

− 1f

(3.19)

Exemple:Prenons R0 = ∞. Après passage de la lentille on a

1/R′ = −1/f

ce qui correspond à une onde sphérique de rayon de courbure R′ = −fnégatif donc convergeant vers un point situé sur l'axe à la distance f dela lentille, en accord avec la transformation d'une onde plane en un ondesphérique convergent au point focal de la lentille. Plus généralement, on voitque l'Eq.3.19 traduit la formule d'imagerie des lentilles minces.

Mais qu'en est-il d'une onde gaussienne?

3.5.3 Modication d'une onde gaussienneConsidérons un certain faisceau gaussien de taille w et de rayon R0 en z = 0juste avant une lentille de focale f . Il est caractérisé par un rayon de courburecomplexe Q0 valant:

1Q0

=1

R0+

2i

kw2

D'après ce qui précède, juste après la lentille on a une nouvelle onde gaussi-enne, dont le rayon de courbure vaut R′ donnée par l'Eq.3.19, et dont lataille en z = 0 est inchangée (la répartition d'intensité n'est pas changéedans le plan de la lentille). Cette nouvelle onde est donc caractérisée par unnouveau rayon de courbure complexe Q′

0 en z = 0, dont la relation avec Q0

est donné par la même équation que pour les ondes sphériques Eq.3.19:1

Q′0

=1

R0− 1

f+

2i

kw2=

1Q0

− 1f

(3.20)

La variation de Q′(z) lors de la propagation libre de l'onde en milieuhomogène est simplement donnée par l'équation déduite de l'Eq. 3.9:

Q′(z) = Q′(0) + z (3.21)

54

Le rayon de courbure et la taille du faisceau à toute position z sont alorsobtenus à partir des parties réelle et imaginaire de Q′(z), suivant la dénitionEq.3.7 du rayon de courbure complexe:

R′(z) =1

<e(1/Q′)(3.22)

w′(z) =

√2

k=m(1/Q′)(3.23)

La position où le faisceau atteint sa taille minimum w′(z) = w′0 estobtenue en écrivant que pour cette position R′(z) = ∞, soit <e(Q′(z)) = 0.

Par exemple, si le faisceau incident à son waist sur la lentille, w(0) =w′(0) = w0, R0 = ∞, on a:

1Q′(0)

=2i

kw20

− 1f

=1

izR− 1

f

On en déduit facilement d'après l'Eq.3.21:

Q′(z) =[z + izR(1− z/f)]

(1− izR/f)

Le faisceau prime sera focalisé en z′0 tel que <e(Q′(z′0)) = 0 ce qui donne:

z′0 =f

1 + (f/zR)2

On remarque que z′0 = f seulement si f << zR. C'était le cas dansl'exemple traité au 3.4.2

Dans le cas où l'onde gaussienne incidente n'a pas son waist au niveaude la lentille, on peut obtenir des formules générales donnant la position duwaist "image" en fonction de la focale de la lentille et de la position et de lataille du "waist objet".

Ces formules sont assez compliquées et c'est seulement dans les cas limitesoù les distances de Rayleigh zR et z′R sont petites devant la focale de la lentillequ'on peut considérer que le "waist image" se trouve à la position de l'imagedu point où se trouve le "waist objet" de l'onde incidente, et appliquer pourcela les formules des lentilles minces.

3.6 Propagation d'un faisceau gaussien dans un sys-tème optique centré: utilisation du formalismedes "matrices ABCD"

Le formalisme général pour traiter ce cas est celui des "matrices ABCD".On sait que dans les conditions paraxiales un rayon est caractérisé en un

55

point d'abscisse z le long de l'axe optique par sa distance a et son angled'inclinaison α par rapport à l'axe. Les lois de l'optique géométrique parax-iale permettent de calculer la transformation d'un rayon se propageant àtravers une suite de milieux optiques sous la forme d'une relation matricielle:

(a′

α′

)=

(A BC D

)(aα

)(3.24)

où l'eet de chaque milieu est caractérisé par une matrice de telle sorte que:(

A BC D

)=

(An BnCn Dn

)...

(A2 B2C2 D2

)(A1 B1C1 D1

)

Ainsi la propagation sur une distance ∆z dans un milieu homogènes'exprime simplement par la relation:

(a′

α′

)=

(1 ∆z0 1

)(aα

)(3.25)

Le passage d'une lentille de focale f s'exprime par:(

a′

α′

)=

(1 0

−1/f 1

)(aα

)(3.26)

Ces relations se transposent aux ondes en remarquant que le rapport a/αn'est rien d'autre que le rayon de courbure de la surface d'onde associée àce rayon au point considéré (rappelons que les rayons sont perpendiculairesaux surfaces d'onde).

Or la relation 3.24 donne

a′

α=

Aa + Bα

Ca + Dα

SoitR′ =

AR + B

CR + D

La transformation des faisceaux gaussiens dans les systèmes optiquescentrés s'obtient alors en remarquant que cette relation s'étend aux rayonsde courbure complexes Q, puisque la variation linéaire du rayon de courbureavec la distance sur l'axe optique, valable pour des ondes sphériques, estégalement valable pour des ondes gaussiennes (cf Eq.3.21):

Q′ =AQ + B

CQ + D

Comme dans le cas du passage d'une lentille, le rayon de courbure et la tailledu faisceau à toute position z sont alors obtenus à partir des parties réelleet imaginaire de Q′(z), suivant la dénition Eq.3.7 du rayon de courburecomplexe:

1Q(z)

=1

R(z)+ i

2kw2(z)

56

Figure 3.8: Caractérisation d'un rayon dans un système centré au moyen deses coordonnées paraxiales.

57

Chapter 4

Optique de Fourier, etdiérents problèmes dediraction

4.1 IntroductionDans le chapitre 2 on a exposé les bases de la théorie de la diraction et onles a appliquées à la description de quelques cas simples.

On va maintenant poursuivre la discussion et s'attaquer à la descriptionde quelques situations un peu plus compliquées:

Exemples• Variation de la gure de diraction avec le déplacement ou la modi-

cation des objets diractants

• Diraction par des particules opaques au lieu de diraction par desouvertures

• Diraction par un ensemble d'objets identiques.-Ceux-ci peuvent être distribués au hasard: écran diusant, particulesdéposées, nuage...-Ou disposées régulièrement: "réseau", modulation périodique-Quelle dépendance en fonction de leur nombre

• Diraction par des objets transparents réfringents

La réponse à ces questions va être grandement facilitée par l'utilisationd'un outil mathématique qui s'appelle la "transformation de Fourier".

58

Rappelons en eet le résultat fondamental de la théorie de la diraction"à l'inni":

ψ(~k) ∝∫

Σψ(Q). exp(−i~k. ~OQ)dxdy (4.1)

que l'on peut expliciter

ψ(~k) ∝∫

Σψ(x, y). exp(−ikxx− ikyy)dxdy (4.2)

et qui s'énonce

L'onde diractée dans la direction caractérisée par le vecteur d'onde ~k aune amplitude proportionnelle à la "transformée de Fourier spatiale" del'onde dans le plan Σ (où Q est repéré par les coordonnées x et y).

Dans la suite, on supposera pour simplier que ψ(Q) résulte de la trans-mission d'une onde plane normale au plan Σ au travers d'une structurediractante caractérisée par une fonction de transmission T (x, y). Auquelcas on peut simplement dans l'énoncé précédent remplacer ψ(x, y), "ondedans le plan Σ" par "T (x, y)".

4.2 Outils et concepts mathématiques4.2.1 Transformée de Fourier d'une fonction d'une variableEtant donnée la fonction f(x) on dénit sa transformée de Fourier commela fonction f(kx) donnée par la formule:

f(kx) =∫ +∞

−∞f(x). exp(−ikxx)dx (4.3)

On montre alors que réciproquement:

f(x) =12π

∫ +∞

−∞f(kx). exp(+ikxx)dkx (4.4)

ce qui suggère que:f(x) = 2πf(−x) (4.5)

Un changement de notation t à la place de x et ω à la place de kx donneune interprétation physique simple à la formule 4.4: Une fonction quelconquedu temps peut être considérée comme la somme de fonctions monochroma-tiques dont l'amplitude est donnée par la transformée de Fourier.

Cette formule Eq.4.4 généralise en quelque sorte les "séries de Fourier",qui permettent de représenter une fonction périodique (ou a support borné)comme somme de fonctions sinusoïdales.

59

Noter qu'on trouve dans la littérature diérentes façons légèrement dif-férentes d'exprimer cette transformation de Fourier, mettant un facteur 1/

√2π

au lieu de 1/2π, utilisant la fréquence au lieu de la fréquence angulaire, signe+ au lieu de - dans l'exponentielle...

4.2.2 Transformation de Fourier de fonctions de plusieursvariables

Ceci se généralise au cas d'une fonction de 2 (et plus) variables:

f(kx, ky) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y). exp(−ikxx− ikyy)dxdy (4.6)

f(x, y) = (12π

)2∫

Σf(kx, ky). exp(+ikxx + ikyy)dkxdky (4.7)

f(x, y) = (2π)2f(−x,−y) (4.8)

4.2.3 Produit de convolutionEtant données 2 fonctions f et g, on dénit le "produit de convolution" deces 2 fonctions comme la fonction f ∗ g donnée par la formule:

f ∗ g(x) =∫ +∞

−∞f(x′)g(x− x′)dx′ (4.9)

Ce produit apparaît comme une moyenne de la fonction f pondérée parg. Par exemple, si g est la fonction "porte" normalisée entre −a/2 et +a/2,alors on a

f ∗ g(x) =1a

∫ x+a/2

x−a/2f(x′)dx′

Indiquons au passage que ce concept de produit de convolution est fonda-mental en théorie du signal. D'une manière assez générale il décrit la relationexistant le signal physique envoyé en entrée d'un appareil de mesure et lesignal enregistré à sa sortie. Ce dernier est toujours plus ou moins déformépar rapport au signal qui lui a donné naissance en raison du caractère plusou moins parfait de l'appareil de mesure.

La dénition du produit de convolution peut s'étendre à des fonctions de2 variables et plus.

60

Propriété fondamentaleLa transformée de Fourier du produit de convolution de 2 fonctionsest le produit des transformées de Fourier:

f ∗ g(kx) = f(kx).g(kx) (4.10)Ce qui indique au passage que:

f ∗ g = g ∗ f

4.2.4 "Fonction" de DiracC'est un objet mathématique, noté δ(x) qu'on peut considérer comme lalimite d'une fonction nulle partout sauf dans un intervalle très petit autourde x = 0, et d'amplitude très grande de telle sorte que son intégrale fasse 1(cf Fig.4.1): ∫ +∞

−∞δ(x)dx = 1 (4.11)

d'où il résulte: ∫ +∞

−∞f(x)δ(x)dx = f(0) (4.12)

et ∫ +∞

−∞f(x′)δ(x− x′)dx′ = f(x) (4.13)

ce qu'on peut simplement écrire

f = f ∗ δ (4.14)

Si on pose δx0(x) = δ(x−x0) = δ(x0−x) qui est donc nulle partout saufau voisinage de x = x0, on voit que∫ +∞

−∞f(x′)δx0(x−x′)dx′ =

∫ +∞

−∞f(x′)δ(x−x′−x0)dx′ = f(x−x0) (4.15)

ce qu'on peut simplement écrire

f(x− x0) = f ∗ δx0 (4.16)

Application: Répétition d'un motifSoit une fonction F comprenant un motif caractérisé par une fonction f serépétant plusieurs fois autour des valeurs de x égales à x1, x2,... xn,..., Cecis'exprime sous la forme (cf Fig.4.2):

F (x) = f ∗∑

n

δxn (4.17)

61

Figure 4.1: La "fonction delta" peut être considérée comme la limite d'unefonction créneau d'intégrale 1, de largeur a et de hauteur 1/a, lorsque a tendvers zéro.

Figure 4.2: Une fonction constituée de la répétition d'un motif peut êtreconsidérée comme le produit de convolution du motif par une somme deDirac.

62

La Tranformée de Fourier d'un Dirac est une exponentielle com-plexeEn eet en prenant f = exp(ikxx) dans l'Eq.4.15 on voit que:

∫δx0(x) exp(−ikxx)dx = exp(−ikxx0)

soit:δx0 = exp(−ikxx0) (4.18)

Réciproquement, suivant l'Eq.4.4

δx0(x) =12π

∫exp(−ikxx0). exp(+ikxx)dkx =

12π

∫exp[−ikx(x0 − x)]dkx

(4.19)Dans le cas particulier où x0 = 0, en faisant le changement de variablekx → −kx cette dernière équation montre que:

∫exp(−ikxx)dkx = 1k = 2πδ(x) (4.20)

où 1k est la fonction qui à tout kx associe la valeur 1. Evidemment enéchangeant les variables x et kx on voit qu'on a de la même façon

∫exp(−ikxx)dx = 1x = 2πδ(kx) (4.21)

4.2.5 "Peigne" de DiracC'est un objet mathématique correspondant à la somme de Dirac équidis-tants, espacés de a:

ΠΠa(x) =∑

p

δ(x− pa) =∑

p

δpa(x) (4.22)

La Transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est un peigne deDirac de pas inversement proportionnel:

ΠΠa(kx) =2π

a

∑p

ΠΠ2π/a(kx) (4.23)

Découle du fait que:∑

p

exp(−ipkxa) =2π

a

∑p

δ(kx − p2π

a)

63

Figure 4.3: Peignes de Dirac, fonction de x et transformée de Fourier fonctionde k.

4.2.6 La Transformée de Fourier de la fonction "Porte" estun sinus cardinal

Il s'agit de la fonction Πa d'intégrale unité constante entre −a/2 et a/2 etnulle ailleurs. On montre aisément que (cf Fig.4.4):

Πa =sin(kxa/2)

kxa/2= sinc(kxa

2) (4.24)

4.2.7 La Transformée de Fourier d'une gaussienne de largeurσ est une gaussienne de largeur 1/σ

On dénit la fonction de Gauss d'aire unité:

G(x) =1√

2πσ2exp(− x2

2σ2) (4.25)

(Pour une distribution de probabilité gaussienne σ est l'écart-type). Alorson montre que

G(kx) = exp(− k2x

2σ2) (4.26)

oùσ2 =

1σ2

Ainsi la transformée de Fourier d'une gaussienne d'écart type σ est unegaussienne d'écart type σ telle que:

σ.σ = 1

Toutes ces notions se généralisent immédiatement au cas defonctions de plusieurs variables. En particulier

64

Figure 4.4: La Transformée de Fourier de la fonction porte de largeur a estun sinus cardinal de largeur environ 4π/a.

4.2.8 La Transformée de Fourier de la fonction "disque" estun Bessel cardinal

Soit la fonction Dr égale à 1 pour ρ =√

x2 + y2 inférieur à r et nulle ailleursOn montre que

Dr(kx, ky) =∫

ΣDr(x, y). exp(−ikxx− ikyy)dxdy = 2πr2[

J1(kθr)kθr

] (4.27)

où J1 est la fonction de Bessel d'ordre 1 (cf Ch.2), et

kθ =√

k2x + k2

y

4.3 Evolution de l'onde diractée avec l'objet dirac-tant

En considérant la formule 4.2 et les propriétés élémentaires de la transforméede Fourier on déduit les propriétés générales suivantes:

1. Si on déplace l'objet diractant de δ~r, l'onde diractée ψ(~k) est mul-tipliée par exp(−i~k.δ~r) . Donc la gure de diraction associée à ladistribution d'éclairement |ψ(~k)|2 n'est pas modiée.En eet, si on déplace l'objet diractant de (δx, δy) sa fonction detransmission devient T ′(x, y) = T (x − δx, y − δy). Alors en posantx′ = x− δx et y′ = y − δy:

ψ′(~k) =∫

T ′(x, y) exp[−i(kxx + kyy)]dxdy

65

ψ′(~k) =∫

T (x′, y′) exp[−i(kx(x′ + δx) + ky(y′ + δy))]dx′dy

donc:ψ′(~k) = ψ(~k) exp(−i~k.δ~r)

2. Si on dilate ou contracte l'objet diractant, la gure de diraction nechange pas de forme, mais voit sa taille varier de manière inversementproportionnelle, et donc respectivement se contracte ou se dilate.En eet, si on accroît l'objet diractant d'un facteur a, sa fonction detransmission devient T ′(x, y) = T (x/a, y/a). Alors en posant x′ = x/aet y′ = y/a:

ψ′(~k) =∫

T ′(x, y) exp[−i(kxx + kyy)]dxdy

ψ′(~k) = a2

∫T (x′, y′) exp[−i(kxax′ + kyay′)]dx′dy′

soit ψ′(~k) = a2ψ(~k′) avec ~k′ = a~k, donc

ψ′(~k) = a2ψ(a~k)

3. Si l'objet diractant a un centre de symétrie il en est de même de lagure de diraction

4. Si on fait tourner l'objet diractant d'un certain angle, la gure dediraction tourne du même angle

4.4 Théorème des écrans complémentaires (ou deBabinet): gure de diraction par des trousidentique à gure de diraction par des grains

Soit ψ(~k) l'onde diractée par une ouverture percée dans un écran opaque,donnant lieu à la distribution d'éclairement |ψ(~k)|2 dans le plan focal d'unelentille. On a

ψ(~k) = T

où T (x, y) est la fonction qui décrit la transmission par l'ouverture (=1 àl'intérieur, 0 en dehors).

Considérons maintenant un obstacle opaque de même forme que l'ouvertureprécédente. Sa fonction de transmission est T ′ = 1− T , et l'onde diractéecorrespondante vaut:

ψ′(~k) = T ′ = 1xy − T

soit d'après l'Eq.4.20

ψ′(~k) = 4π2δ(kx, ky)− ψ(~k)

66

Figure 4.5: Illustration du théorème de Babinet: la gure de diraction d'uneonde plane par une fente est identique à celle produite par un l opaquede même largeur. Seule diérence: le centre de la gure où se concentretoute la lumière non diractée, ce qui provoque une surexposition à l'origined'artefacts de l'image.

Ainsi sauf au point focal de la lentille, associé à kx = 0, ky = 0, où setrouve concentrée la lumière transmise autour de l'obstacle (comme elle leserait en son absence) l'éclairement |ψ′(~k)|2 = |ψ(~k)|2, est le même qu'avecl'ouverture complémentaire: la gure de diraction de l'objet complémen-taire d'une ouverture est donc la même, sauf un point brillant au centre

La Fig.4.5 montre la comparaison entre les gures de diraction par unl et une fente.

De la même manière on prédit que la gure de diraction provoquée parune particule opaque de section circulaire est identique à celle provoquée parun trou circulaire de même diamètre. Un cas pratique apparenté est celui dela diraction par une poudre composée d'un ensemble de particules opaquesidentiques disposées au hasard. On va voir après que la gure de diractioncorrespondante est identique à celle qui serait provoquée par un seul trou demême diamètre que celui des particules.

4.5 Diraction par un ensemble d'objets identiquesSoit T (x, y) la transmission d'un objet placé autour de la position x = 0, y =0 et ψ(~k) l'onde diractée correspondante.

Supposons maintenant qu'on place un nombre N d'objets identiques auxpositions xn, yn. Alors, d'après l'Eq.4.2 étendue au cas 2D, la transmission

67

de l'ensemble des objets, s'écrit:

Ttotal = T ∗ [N∑

n=1

δxn .δyn ]

D'après l'Eq. 4.10 l'onde diractée, transformée de Fourier de Ttotal vautdonc

ψtotal(~k) = ψ(~k)× (N∑

n=1

δxn .δyn)

soit, en utilisant l'Eq.4.18

ψtotal(~k) = ψ(~k)× (N∑

n=1

exp(−ikxxn). exp(−ikyyn)) (4.28)

Dans cette expression apparaissent deux facteurs:

• La quantité ψ(~k) décrit la distribution angulaire de la lumière diractéepar une particule unique, est spécique de la forme, taille, orientationet nature de la particule (et aussi de la longueur d'onde du rayon-nement). On l'appelle "facteur de forme".

• La quantité (∑

exp(−ikxxn). exp(−ikyyn)) est indépendante des pro-priétés des particules individuelles, et ne dépend que de la dispositiondans l'espace des particules. On l'appelle "facteur de structure".

Comme on va le voir, suivant les cas, la gure de diraction résultante peutmettre plus ou moins en évidence l'un ou l'autre de ces facteurs, ou les deux.

4.5.1 Exemple: Deux fentesSoient donc 2 fentes de largeur a, hauteur b parallèles à Oy, espacées de ladistance d. On a vu au chapitre 2 l'expression de ψ(~k) pour une fente centréesur l'origine O de xOy:

ψ(~k) ∝ sin(kya/2)kya/2

.sin(kxb/2)

kxb/2

C'est la transformée de Fourier de la "fonction porte" bidimensionnelle, cfEq.4.24.

La transmission des 2 fentes est la fonction porte bidimensionnelle con-voluée par une somme de 2 Diracs placés aux positions y = −d/2, x = 0 ety = +d/2, x = 0, soit δ(y−d/2).δ(x)+δ(y+d/2).δ(x). On obtient ψtotale(~k),onde diractée par les 2 fentes, en multipliant ψ(~k) par la transformée deFourier de la somme des deux Diracs bidimensionnels.

68

Figure 4.6: Haut: Figure de diraction par une fente de largeur a ¿ hauteurb. Bas: Figure de diraction par deux fentes de largeur a'<a, espacées de d.

Comme (cf Eq.4.18)

δ(y ± d/2).δ(x) = exp(∓ikyd/2)

on a donc:

ψtotale(~k) ∝ sin(kya/2)kya/2

.sin(kxb/2)

kxb/2× [exp(+ikyd/2) + exp(−ikyd/2)]

soitψtotale(~k) ∝ sin(kya/2)

kya/2.sin(kxb/2)

kxb/2× [2 cos(kyd/2)]

On obtient ensuite l'éclairement en prenant le module au carré de cetteexpression, soit:

I(kx, ky) ∝ [sin(kya/2)

kya/2]2.[

sin(kxb/2)kxb/2

]2 × [4 cos2(kyd/2)]

C'est la gure de diraction par une fente (facteur de forme dépendantde la taille de la fente) multipliée par une modulation cosinusoïdale (facteurde structure dépendant de la distance entre les fentes): cf Fig.4.6.

69

Cas limite de deux fentes nes de hauteur très grande: on retrouvela gure d'interférence des fentes d'Young

Dans ce cas a → 0, b → ∞. Alors [ sin(kya/2)kya/2 ]2 → 1 et [ sin(kxb/2)

kxb/2 ]2 n'est

pratiquement non nul que si kx ∼ 0. On n'aura donc d'éclairement quesuivant la droite Oy et:

I(kx, ky) ∝ [4 cos2(kyd/2)].δ(kx)

On retrouve une oscillation de l'intensité correspondant à l'interférence entreles 2 fentes, interfrange ∆ky donné par ∆kyd/2 = π, soit ∆ky = 2π/d.

En revenant aux angles ∆α = ∆ky/k et aux distances dans le plan focalsitué à f (ou dans le plan à grande distance D) du plan des fentes,

∆Y = f∆α = f2π

d.λ

2π=

fλ

d

Cas limite de deux fentes de largeur nie et hauteur très grande:interférence d'Young modulée par gure de diractionDans ce cas b → ∞. Alors [ sin(kxb/2)

kxb/2 ]2 n'est pratiquement non nul que si

kx ∼ 0. Donc,

I(kx, ky) ∝ [sin(kya/2)

kya/2]2.[4 cos2(kyd/2)].δ(kx)

On retrouve une oscillation de l'intensité correspondant à l'interférence entreles 2 fentes, mais modulée par la gure de diraction correspondant à chacunedes fentes (Fig.4.6).

4.5.2 Diraction par un grand nombre d'objets identiquesdisposés de façon quelconque: gure de diraction pra-tiquement la même que pour une seule particule

On revient plus généralement à la gure de diraction provoquée par unensemble de particules identiques et orientées de la même façon.

Suivant l'Eq.4.29 la distribution d'éclairement dans la direction ~k estdonnée par

Itotal(~k) ∝ |ψtotal(~k)|2 ∝ |ψ(~k)|2 × [|N∑

n=1

exp(−ikxxn − ikyyn))|2]

La quantité |ψ(~k)|2, module carré du "facteur de forme" décrivant la dis-tribution angulaire de la lumière diractée par une seule particule peut, à un

70

facteur près, être identiée à ce qu'on appelle la "section ecace diérentiellede diusion" 1.

Le module carré du "facteur de structure" contient l'information relativeà la position des particules, et se développe comme suit:

|(N∑

n=1

exp(−ikxxn−ikyyn))|2 = (N∑

n=1

exp(−ikxxn−ikyyn))×(N∑

n′=1

exp(+ikxxn′+ikyyn′))

soit

|(N∑

n=1

exp(−ikxxn). exp(−ikyyn))|2 =∑

n 6=n′exp[(−ikx(xn−xn′)−iky(yn−yn′))]+

N∑

n=1

1×1

Dans le premier terme de cette somme on peut regrouper deux à deux lesexponentielles complexes d'arguments opposés; quant au deuxième terme ilvaut simplement N . Ainsi:

Itotal(~k) ∝ |ψ(~k)|2× [∑

n

(∑

n′ 6=n

cos[(kx(xn−xn′)+ky(yn−yn′))])+N ] (4.29)

Le premier terme associé au facteur de structure est une somme deN×(N−1) cosinus chacun valant entre -1 et +1, variant rapidement avec lespositions aléatoires des nombreuses particules, la direction de diraction etla valeur de la longueur d'onde. Avec un rayonnement incident parfaitementmonochromatique (laser) il n'est pas nul 2 et vaut entre −N et +N . Addi-tionné avec le deuxième terme égal à N du facteur de structure il conduit àun aspect "tacheté" ("speckle" en anglais) de manière aléatoire de la gurede diraction, gure de diraction essentiellement donnée par le facteur deforme ψ(~k). Un exemple est montré sur la Fig.4.7

1La section ecace diérentielle de diusion dσ/dΩ est dénie à partir de l'atténuation−dI de l'intensité d'une onde plane incidente d'intensité I, liée à la diusion dans l'élémentd'angle solide dΩ autour de la direction ~k par la présence sur une longueur dz de particulesdiusantes en concentration volumique [N ]:

−dI =dσ

dΩ.[N ].I.dz.dΩ

2Pour l'évaluer, on peut considérer chacun des termes comme la projection sur l'axedes nombres réels d'un vecteur de module 1 du plan complexe (cf représentation des"phaseurs", chapitre 1). La somme est obtenue comme la projection de la somme desvecteurs, chacun étant de direction aléatoire par rapport au précédent. Le problème estanalogue à une marche au hasard et conduit (cf cours de mécanique statistique) lorsqueN →∞ à une norme du vecteur résultant égale à la valeur du pas (ici 1) fois la racine carrédu nombre de pas (ici

√N(N − 1) ∼ N). Sa projection sur l'axe des réels correspondant

à la valeur de la somme est donc comprise entre -N et +N

71

Figure 4.7: Figure de diraction de Fraunhoer par un ensemble de particulesidentiques disposées de façon désordonnée comme indiqué dans le bas dela gure. L'aspect de la gure de diraction montre une région centralebrillante, anquée de 4 taches latérales moins intenses, caractéristique dela forme polygonale (rectangle) des particule. L'analyse de la forme et dela taille de cette gure donne des indications sur la forme et la taille desparticules. C'est le principe utilisé dans certains appareils de mesure degranulométrie de poudre. L'ensemble est modulé par le "speckle" (cf texte).Crédit photo Lipson, Taylor et Thompson, (tiré du livre de Born et Wolf,"Principles of optics").

72

Figure 4.8: Halo observé autour de la lune. Ce halo est en fait la g-ure de diraction de Fraunhoer de la lumière émise par la lune par unemultitude de petites gouttes d'eau de tailles comparables, en suspensiondans l'air. Cette gure est identique à celle qui résulterait de la dirac-tion par une seule goutte. Remarquer les irrisations colorées traduisantle fait que les diérentes longueurs d'onde sont diractées diéremment.http://la.climatologie.free.fr.

Cependant très souvent le rayonnement incident n'est pas parfaitementmonochromatique, ou provient de plusieurs émetteurs indépendants, ou lesparticules se déplacent pendant le temps d'observation. Dans ce cas la gurede diraction est la somme de plusieurs gures de diraction tachetées à desendroits aléatoires diérents, de telle sorte que les taches se brouillent et sontinobservables. Auquel cas la gure de diraction est uniquement déterminéepar le facteur de forme, et est donc identique à la gure de diraction d'uneseule particule (cf Fig.4.8).

Dans tous les cas (Eq.4.29, remarquer que l'intensité de la gure dediraction est en moyenne N fois plus forte que la diraction produite parune seule particule.

4.5.3 Diraction par un grand nombre d'objets identiquesdisposés de façon ordonnée: la gure de diractionmontre la structure de l'arrangement spatial

Si les particules sont disposées suivant un certain ordre, alors les cosinus dansl'Eq.4.29 ne varient pas de manière aléatoire, et leur somme vaut beaucoupplus que N . Elle dépend de ~k et des positions. Nous en verrons un exempleplus tard quand nous étudierons la diraction par un réseau périodique. Unexemple est donné sur la Fig.4.9

73

Figure 4.9: Figure de diraction de Fraunhoer par un ensemble de particulesidentiques à celles de la Fig.4.7 disposées de façon ordonnée comme indiquédans le bas de la gure. L'aspect de la gure de diraction est dominé parles spots dont la position est liée à l'arrangement des particules. La gurede diraction par une particule transparaît sous la forme de la distributionde brillance des spots, plus intenses au centre.Crédit photo Lipson, Tayloret Thompson, (tiré du livre de Born et Wolf, "Principles of optics").

74

Chapter 5

Optique de Fourier, suite:Application à la diraction pardes structures périodiques;Réseaux

5.1 Introduction: Structures périodiques et optiqueDans le chapitre 4 nous avons évoqué le fait que la diraction par un ensembled'objets identiques disposés de façon ordonnée conduisait à la formationd'une onde dont la structure était liée à celle de l'arrangement des objets.Un exemple, déjà mentionné, est celui de la diraction des rayons X par lescristaux qui sera traité dans le cours de cristallographie. Dans ce cas noterque l'arrangement est tridimensionnel.

Un autre exemple plus simple et d'intérêt pratique en optique est celuid'un grand nombre de sillons parallèles disposés sur un plan, donnant lieu àce qu'on appelle un "réseau de diraction". Nous allons voir que ce type destructure éclairée par une onde plane en génère plusieurs autres par dirac-tion, suivant des directions qui entre autres choses dépendent de la longueurd'onde incidente. Lorsque l'éclairement est réalisé au moyen d'une sourcepolychromatique il en résulte une dispersion des rayonnements diracté, unpeu comme avec un prisme, ce qui permet de les séparer et d'en analyser lespectre 1. La plupart des spectromètres optiques sont basés sur ce principe(cf Fig.5.1), les réseaux de diraction pouvant être beaucoup plus ecacesque les prismes en matière de pouvoir dispersif, étant plus compacts et pluscommodes d'emploi, plus faciles à fabriquer avec une grande souplesse dansle choix des caractéristiques.

1C'est ce même phénomène qui est à l'origine de l'aspect irrisé des CD et DVD éclairésen lumière blanche, où l'enregistrement est gravé suivant des pistes circulaires parallèlesqui diractent la lumière, cf introduction du Ch. 2.

75

Figure 5.1: Schéma d'un spectromètre à réseau de conguration "Czerny-Turner". Le rayonnement polychromatique est focalisé au point B. Le miroirsphérique C transforme le faisceau divergent en un faisceau parallèle assim-ilable à une onde plane, qui est diracté par le réseau D suivant diérentesdirections fonctions de la longueur d'onde. Le miroir sphérique E refocaliseles rayonnements des diérentes longueurs d'onde dans le plan F où s'observedonc le "spectre" du rayonnement incident.

La Fig.5.2 donne quelques éléments sur une méthode de fabrication detels objets.

Donnons quelques ordres de grandeur. Typiquement les "réseaux dediraction" optique comprennent quelques centaines de "traits" par mm,disposés sur une étendue de quelques cm. On a donc aaire à des motifsde quelques microns de large sur une longueur de quelques cm, se répétantplusieurs milliers de fois.

Cet exposé constitue aussi une illustration des concepts introduits dansle chapitre 4 en matière de description de la diraction par des objets com-pliqués.

La plupart des réseaux de diraction utilisés en optique sont des "réseauxde phase", où la fonction de transmission associée à un trait est du typeT (x, y) = exp iφ(x, y), agissant donc seulement sur la phase et non l'amplitudede l'onde incidente. Nous dirons quelques mots à ce propos dans le dernierparagraphe 5.5 de ce chapitre, et traiterons un exemple en TD. C'est aussi lecas des "réseaux en réexion", dont la fabrication est évoquée sur la Fig.5.2et comprend un revêtement d'un dépôt métallique. Le disque CD peut aussiêtre rattaché à cette catégorie.

En fait dans cet exposé on considérera essentiellement le cas de réseauxd'amplitude en transmission, où la fonction de transmission T (x, y) associée

76

Figure 5.2: Illustration du principe de fabrication d'un réseau optique "holo-graphique". Un substrat est recouvert d'un lm de résine photosensible.Un réseau est formé dans la résine par exposition au champ de frangesd'interférences résultant de l'interférence de deux faisceaux lasers cohérents,puis développement qui permet d'amincir ou d'éliminer les régions de la ré-sine qui ont été éclairées. Cette structure est ensuite bombardée par unfaisceau d'ions accélérés et chimiquement réactifs, ce qui abrase le substratnon protégé par la résine restante et permet de sculpter un réseau de la formeen échelon souhaitée dans le substrat dur. Ce substrat sculpté sert ensuitede moule pour obtenir des répliques. (D'après document Shimadzu).

77

Figure 5.3: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentesnes éclairé en incidence normale.

à un "trait" vaut 0 ou 1 en fonction de x et y, agissant essentiellement surl'amplitude de l'onde incidente. Ceci nous permettra de nous raccrocher àcertains résultats obtenus dans les chapitres précédents.

5.2 Réseau d'amplitude en transmission: Dirac-tion par un réseau inni de fentes nes

On considère un plan Σ percé d'ouvertures rectilignes très nes parallèles etéquidistantes de d (Fig.5.3). Dans ce cas la fonction de transmission du plans'écrit:

T =∑

p

δ(y − pd) = ΠΠd(y) (5.1)

où on a choisi Ox parallèle aux fentes. C'est un "peigne de Dirac" (cfChapitre 4).

5.2.1 Diraction d'une onde plane en incidence normaleSupposons dans un premier temps que le réseau est éclairé par une ondeplane en incidence normale.

On s'intéresse comme d'habitude à l'onde diractée à l'inni. Alorsl'amplitude de l'onde diractée suivant la direction ~k est donnée par:

ψ(~k) = ψ0

∫T (x, y) exp[−i(kxx + kyy)]dxdy = ψ0T (kx, ky) (5.2)

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L'intégrale double se factorise en deux facteurs:

ψ(~k) = ψ0.1(kx).ΠΠd(ky) (5.3)

En utilisant les résultats du chapitre 4, à savoir la TF de 1 égale 2πδ et laTF d'un peigne de Dirac est un autre peigne de Dirac on obtient:

ψ(~k) = ψ0.2π.δ(kx).2π

dΠΠ 2π

d(ky) (5.4)

Cette formule montre deux choses:

1. kx est forcément nul: Il n'y a pas d'onde diractée suivant les direc-tions non perpendiculaires à la direction des fentes

2. L'onde est diractée suivant une série de directions discrètes donnéespar (cf Fig.5.4A):

ky = q2π

d(5.5)

où q = 0,±1,±2... est un entier, appellé "ordre de diraction". En faisantapparaître l'angle θ que fait ~k avec la normale au plan des fentes, tel que:

ky = k sin θ =2π

λsin θ (5.6)

l'Eq.5.5 se réécrit:sin θ = q

λ

d(5.7)

Il est intéressant de remarquer que cette condition exprime que les ondesdiractées sont telles que les contributions émises depuis chacune des fentessont en phase.

5.2.2 Diraction d'une onde plane en incidence obliqueSupposons maintenant qu'on éclaire le réseau par une onde plane en incidenceoblique, mais perpendiculaire à la direction des fentes (cf Fig.5.5). Cetteonde incidente est caractérisée par une vecteur d'onde ~ki tel que kix = 0,kiy = k sin θi (attention, θi est une quantité algébrique, pouvant être positiveou négative!). Alors l'onde dans le plan des fentes après traversée des fentess'écrit:

ψΣ(x, y) = ψ0 exp(+ikiyy)T (x, y) = ψ0 exp(+ik sin θiy)T (x, y) (5.8)

(Noter le signe + dans l'exponentielle correspondant au exp(i~ki.~r) d'une ondeplane caractérisée par le vecteur d'onde ~ki.)

79

Figure 5.4: Amplitude en fonction de la direction de l'onde diractée parun réseau d'extension innie de fentes espacées de d éclairé par une ondeplane en incidence normale. A: fentes de largeur inniment nes; B: fentesde largeur a.

Appelons ψθi=0(~k) l'amplitude de l'onde diractée calculée dans le para-graphe précédent pour une incidence normale. En insérant ψΣ (Eq.5.8) à laplace de ψ0T dans l'Eq.5.2 on voit facilement que

ψθi(~k) = ψθi=0(~k − ~ki) (5.9)

ce qui indique que l'onde est diractée cette fois-ci suivant des directionscaractérisées par:

ky − k sin θi = q2π

d(5.10)

ousin θ − sin θi = q

λ

d(5.11)

La première de ces relations peut se réécrire sous la forme:

∆ky = q2π

d(5.12)

ou encore∆~k = q

2π

d~uy (5.13)

ce qui fait apparaître le vecteur (2π/d) ~uy caractérisant la structure péri-odique de l'objet diractant, ici le réseau de fentes.

Il est intéressant de remarquer que puisque |∆ky| < 2k (facteur 2 cor-respondant à un retournement de ky par rapport à kiy) il ne peut y avoird'onde diractée dans une direction diérente de la direction incidente que

80

Figure 5.5: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentesnes éclairé en incidence oblique.

si 2π/d < 2k = 4π/λ, soit d > λ/2: Si le pas du réseau est plus petit que λ/2alors pour q 6= 0 on a q2π/d > 2k, de telle sorte que seule la valeur q = 0,conduisant à ∆ky = 0, est possible. Ceci est une illustration du phénomèneassez général qui est que la propagation d'une onde est assez peu aectéepar des obstacles de taille plus petite que sa longueur d'onde.

Dans la suite on se place en incidence normale, l'incidence oblique nefaisant que décaler les sinus des angles de diraction, suivant les relationsétablies dans ce paragraphe.

5.3 Diraction par réseau inni de fentes de largeurnie

Considérons maintenant une structure diractante composée d'une innitéde fentes de hauteur innie, mais de largeur nie, a (cf Fig.5.6). Suivantles concepts établis dans le chapitre 4, cette structure est décrite par unefonction de transmission:

T (x, y) = aΠa(y) ∗ΠΠd(y) (5.14)

où l'on fait apparaître le produit de convolution du motif, ici une "fonctionporte" de largeur a, et du peigne de Dirac décrivant la position des fentes 2.

Comme toujours l'amplitude diractée suivant la direction ~k s'exprime:

ψ(~k) = ψ0T (kx, ky) (5.15)2La fonction Π dénie au chapitre 4 a pour amplitude 1/a de façon à ce que son

intégrale fasse 1. Pour avoir une transmission égale à 1 il faut donc rajouter un facteur a

81

Figure 5.6: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentesde largeur nie.

soitψ(~k) = ψ0aΠa.ΠΠd(ky)δ(kx) (5.16)

La TF de la fonction porte est un sinus cardinal:

Πa =sin(kya/2)

kya/2

et on retrouve la TF du même peigne de Dirac que dans les cas précédents.On retrouve comme on l'avait évoqué au chapitre 4 le produit d'un facteurde forme caractéristique de la forme des fentes, et d'un facteur de structurecaractéristique de l'arrangement, ici périodique, des fentes.

La gure de diraction donnée par le carré du module de l'amplitudediractée (cf Fig.5.4B) est encore composée de spots correspondant à unesérie de directions de diraction d'angles xés par l'espacement d entre lesfentes (et aussi par λ), mais dont les intensités sont données par la forme(ici la largeur a des fentes) des objets élémentaires constituant les motifs dela structure périodique: La largeur nie, non nulle, des fentes conne lesdirections de diraction dans un intervalle de ky de largeur 2× 2π/a.

5.4 Diraction par réseau limité de fentes de largeurnie

Si maintenant le réseau ne comprend qu'un nombre N limité de fentes, safonction de transmission est le produit de l'expression 5.14 par une fonctionporte de largeur Nd:

T (x, y) = aΠa(y) ∗ΠΠd(y).NdΠNd(y) (5.17)

82

Figure 5.7: Amplitude en fonction de la direction de l'onde diractée par unréseau de Nd fentes de largeur a espacées de d éclairé par une onde plane enincidence normale.

Sachant que la TF d'un produit de fonctions est égale à 2π fois le produitde convolution des TF, on voit que l'amplitude diractée s'exprime sous laforme du produit de convolution de l'expression 5.16 par la TF de la fonctionporte de largeur Nd:

ψ(~k) = ψ0.2π[aΠa.ΠΠd(ky)] ∗ [NdΠNd(ky)].δ(kx)] (5.18)

Ce produit de convolution est très simple à calculer puisque le facteur degauche est une somme de Dirac (En fait un peigne de Dirac dont la "hauteurdes dents" est multipliée par Πa, Fig.5.4). Il se compose donc d'une série demotifs de forme décrite par le facteur de droite, qui se répètent aux positionsdonnées par les Dirac. L'amplitude diractée est donc constituée d'une sériede pics ayant la forme de la TF de la fonction porte de largeur Nd, se pro-duisant pour les valeurs de ky correspondant aux directions caractéristiquesde la périodicité d de la structure, et d'intensités donnée par la forme desmotifs diractants (cf Fig.5.7).

5.5 Diraction par un réseau de phaseLe plus souvent on a aaire à des "réseaux de phase" décrits par une fonctionde transmission s'exprimant sous la forme d'une exponentielle complexe:

T (x, y) = exp iφ(x, y) (5.19)

Ces structures n'absorbent pas la lumière, mais la déphasent d'une quantitéqui dépend de la position.

83

De telles structures peuvent être par exemple constituées d'une lame deverre comportant des sillons gravés, de telle sorte que l'épaisseur de la lame,et donc le déphasage qu'elle applique à l'onde qui la traverse, varie de manièrepériodique avec la position.

Un autre exemple est celui d'un réseau fonctionnant en réexion, et con-stitué d'une surface prolée suivant une forme périodique, et métallisée pourla rendre rééchissante (cf Fig.5.2). Dans ce cas l'onde rééchie est aec-tée d'un déphasage qui dépend de l'endroit où la réexion s'est produite, etqu'on peut relier à la forme du prol périodique.

Par rapport aux réseaux d'amplitude considérés précédemment ces réseauxde phase ont un facteur de forme diérent, donc une répartition des pics dediraction diérente. On peut d'ailleurs calculer la forme du motif de phasede telle sorte que l'onde diractée soit concentrée sur un seul ordre de dirac-tion (cf TD).

Exemple d'un réseau de phase sinusoïdalConsidérons le cas d'un réseau de phase caractérisé par la fonction de trans-mission Eq.5.19, où:

φ(x, y) = ε cos(2π

dy) (5.20)

où ε est petit devant 1. Supposons ce réseau éclairé par une onde plane enincidence normale. Alors l'onde diractée dans la direction ~k s'écrit:

ψ(~k) = ψ0

∫exp(iφ(x, y)) exp(−i(kxx + kyy))dxdy (5.21)

soit, comme exp(iφ) ∼ 1 + iφ = 1 + iε cos(2πy/d):

ψ(~k) ∼ ψ0[1x][1y + iε

∫exp(2iπy/d) + exp(−2iπy/d)

2exp(−ikyy))dy]

(5.22)ou:

ψ(~k) ∼ ψ0.4π2δ(kx)[δ(ky) + iεδ(ky − 2π

d ) + δ(ky + 2πd )

2] (5.23)

Cette équation montre clairement que la gure de diraction est composéede 3 spots, l'un plus intense correspondant à une onde plane identique àl'onde incidente, les deux autres d'amplitude plus petite ∝ ε correspondantà des ondes planes inclinées d'un angle ± sin θ = ±(2π/d)/k = ±π/λ parrapport à Oz dans le plan zOy.

Dans ce cas l'onde diractée ne comprend que les ordres q = 0 et q =±1. Dans le cas où ε n'est pas très petit devant 1 le développement deexp iφ(x, y) doit prendre en compte un plus grand nombre de termes, et le

84

nombre d'ordres de diraction s'accroît d'autant. Par exemple en poussantle développement à l'ordre suivant:

exp(iε cos(2π

dy)) ∼ 1 + iε cos(

2π

dy) +

12(iε cos(

2π

dy))2 + ... (5.24)

soit

exp(iε cos(2π

dy)) ∼ 1 + iε cos(

2π

dy)− ε2

14(1 + cos(

4π

dy)) + ... (5.25)

ce qui de manière similaire à l'Eq.5.23 conduit à deux ondes diractées sup-plémentaires dans les directions caractérisées par ky = ±4π/d, correspondantaux ordres de diraction q = ±2.

Cas généralDans le cas général on peut être amené à développer la fonction de trans-mission Eq.5.19 en série de Fourier, chaque terme de la série donnant lieu àune série d'ondes diractées suivant les directions ky = ±q2π/d, exactementcomme avec les réseaux d'amplitude. D'ailleurs le développement en série deFourier ne se limite pas au cas d'une fonction de transmission de module 1,il existe pour toute fonction complexe quelconque décrivant la transmissiond'un réseau agissant à la fois sur l'amplitude et la phase.

5.6 Conclusion• Toute structure périodique diracte une onde plane suivant une série

de directions caractérisées par la période du réseau. On peut éten-dre ces considérations au cas de réseaux bidimensionnels, et prédirel'existence d'ondes diractées suivant des directions caractérisées parune modication des composantes du vecteur d'onde incident suivant:

∆ky = qy2π

dy

et∆kx = qx

2π

dx

où dy et dx sont les périodes associées aux directions Oy et Ox, et qy

et qx des entiers positifs ou négatifs.

• Toute structure périodique de pas inférieur à λ/2 ne peut modier ladirection de l'onde incidente.

• L'amplitude des ondes diractées suivant ces diérentes directions estdonnée par la forme du motif élémentaire composant le réseau. (Onpeut d'ailleurs concevoir une forme de motif telle que la majeure par-tie de l'énergie de l'onde diractée soit concentrée sur un seul or-dre,("réseaux blazés" cf TD.)

85

• Notons au passage qu'en pratique on n'observe que la gure de dirac-tion associée au carré de l'amplitude de l'onde. Ainsi la forme de cemotif ne peut en général être déduite de cette gure de diraction (ilfaudrait pour cela l'amplitude).

• Lorsque le réseau comprend un nombre ni de répétitions du motif,l'onde est diractée suivant une série de faisceaux de direction centréesautour des directions données par un réseau inni, la dispersion angu-laire de chaque faisceau autour de ces directions étant d'autant pluspetite que le nombre N de répétitions du motif est grand.

86

Chapter 6

Optique de Fourier, suite:Application à l'imagerie et aultrage spatial.

Dans le chapitre précédent nous avons introduit diérents outils mathéma-tiques et concepts permettant de décrire l'onde diractée par des obstacleset la gure de diraction observée "à l'inni" ou dans le plan focal d'unelentille, correspondant aux conditions de Fraunhoer. En pratique, très sou-vent en optique on est intéressé à observer l'image de ces obstacles forméepar un système optique d'imagerie. C'est ce que nous allons faire dans cechapitre, où nous allons également introduire la notion de "ltrage spatial"qui consiste à modier l'onde diractée de manière contrôlée de façon àfaire ressortir certains détails de l'image. Une application importante estl'observation d'objets transparents présentant peu de contraste, se carac-térisant uniquement par des diérences d'indice de réfraction (cf mélange deuides, cellules biologiques dans l'eau...).

6.1 Plan de Fourier et plan focal: l'onde dans leplan focal s'identie à la Transformée de Fourierde l'onde du plan source si celui-ci est dans leplan focal objet de la lentille

Dans les chapitre précédents nous avons armé que la répartition d'éclairementobservée dans le plan focal d'une lentille interceptant l'onde diractée pardes obstacles disposés dans un plan Σ était donnée par le module au carréde la transformée de Fourier de la vibration optique ψΣ(x, y) dans ce plan

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après franchissement des obstacles:

I(X, Y ) ∝ |ψ(X,Y )|2 ∝ |ψ(~k)|2 = |∫

Σψ(x, y). exp(−ikxx−ikyy)dxdy|2 = |ψΣ(~k)|2

(6.1)Rappellons que dans le cas le plus fréquent d'un plan éclairé par une ondeplane en incidence normale on peut identier ψ(x, y) et T (x, y), transparencede l'objet placé dans le plan Σ.

Mais il faut bien réaliser que cette Eq.6.1 n'implique pas que ψ(X, Y ) =ψΣ(~k). On va voir en eet que ces deux quantités dièrent pas un facteurde phase du type exp[iφ(X,Y )] qui ne change pas l'éclairement dans le planfocal de la lentille, mais qui détermine de façon essentielle sa propagation audelà de ce plan. Or nous avons décidé de nous intéresser ici à la formationde l'image de Σ, qui se forme en général au delà de ce plan focal.

Imaginons en eet que l'onde émise depuis Σ se réduise à une simpleonde sphérique émise depuis un point objet se trouvant au point O sur l'axeoptique. Dans ce cas, la lentille transforme cette onde sphérique en une autreonde sphérique (cf Fig.6.1), et dans les conditions paraxiales on s'attend àobserver dans un plan un éclairement uniforme. Ce qui est décrit mathé-matiquement par l'expression de cette onde sphérique paraxiale (cf n duchapitre 1):

ψ(X, Y, z) = A(z) exp[ik(X2 + Y 2)/(2R(z))] (6.2)

où R(z) est le rayon de courbure (positif ou négatif, suivant que l'ondeest divergente ou convergente) de l'onde en z, qui conduit à I(X,Y ) ∝|ψ(X,Y )|2 = |A(z)|2 indépendant de X et Y . Cette distribution uniformed'éclairement est également en accord avec l'Eq.6.1 où l'on prend ψΣ(x, y) =Aδ(x).δ(y) qui conduit à ψΣ(~k) = A× 1.

On voit bien que dans ce cas ψ(X, Y, z) donné par l'Eq.6.2 n'est pas égalà ψΣ(~k), même si |ψ(X,Y, z)|2 = |ψΣ(~k)|2.

En fait on s'attend à ce que l'onde sphérique de l'Eq.6.2 converge versl'image géométrique paraxiale O′ du point source placé en O. En supposantque cette image est réelle, elle se trouve à une distance p′ de la lentille,donnée par l'équation des lentilles minces:

1p

+1p′

=1f

où p est la distance entre l'objet O et la lentille de focale f , et

R = −(p′ − f)

(négatif pour onde convergente).

88

Figure 6.1: Image d'un point et onde sphérique dans le plan focal d'unelentille convergente.

Cependant si p = f , on a p′ = +∞, donc R = −∞. Alors ψ(X, Y, z) =A(z) est constante dans le plan focal et peut donc être identié à ψΣ(~k) = A.On peut étendre ce raisonnement à un point objet hors de l'axe, et plusgénéralement à un objet quelconque générant suivant Huyghens-Fresnel unesuperposition d'ondes sphériques émises depuis les diérents points du planΣ, de telle sorte que:

L'onde dans le plan focal de la lentille s'identie à la transforméede Fourier de l'onde dans le plan objet à condition que ce plan objetsoit situé à une distance égale à la focale de la lentille. Dans cesconditions le plan focal porte le nom de "plan de Fourier", qu'onnotera Σ.

6.2 Imagerie de FourierAprès avoir placé le plan objet Σ dans le plan focal objet d'une lentilleconvergente L1 de focale f , plaçons une deuxième lentille de même focaleà une distance 2f de la première (cf Fig.6.2). Dans ces conditions le plande Fourier Σ se trouve dans le plan focal objet de la deuxième lentille L2.L'onde dans Σ, plan focal image de L2, repéré par les axes O′x′, O′y′ estalors la Transformée de Fourier de l'onde dans le plan Σ, de telle sorte que:

ψΣ(x′, y′) =

ψΣ = (2π)2ψΣ(−x′,−y′) (6.3)

Physiquement cela signie que dans le plan focal de L2, qu'on peut noter Σ,se forme l'image inversée de l'onde dans le plan objet Σ. De fait la lentille L1

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Figure 6.2: Image d'un point et plan de Fourier dans le plan focal d'unelentille convergente.

forme une image à l'inni de l'objet placé dans le plan focal objet Σ. Cetteimage à l'inni sert d'objet à L2 qui en forme l'image dans son plan focalimage Σ, où on retrouve l'image de l'objet avec un grandissement -1.

6.3 Filtrage spatialInterposons dans le plan de Fourier Σ une lame caractérisée par une fonctionde transmission G(X, Y ), qu'on peut associer à une fonction G(kx, ky) enfaisant le changement de variable qui associe un vecteur d'onde à un pointde ce plan:

G(kx, ky) = A(kx, ky) exp(iφ(kx, ky)) (6.4)Noter que cette transmission comprend en général une atténuation carac-térisée par le facteur A, obtenue en prenant une lame absorbant partielle-ment le rayonnement, et d'un facteur de déphasage exp(iφ) obtenu à partirde l'indice n et de l'épaisseur e de la lame:

φ(X, Y ) = k.n.e(X, Y )

Ainsi l'onde transmise juste après la lame s'écrit:

ψG(kx, ky) = G(kx, ky).ψΣ(kx, ky) (6.5)

qui donne lieu à une image dans le plan Σ "ltrée" par la lame:

ψΣ

G(x′, y′) = G.ψΣ(x′, y′) (6.6)

90

On a dit dans le chapitre 4 que la Transformée de Fourier d'un produitde convolution est le produit des transformées de Fourier:

f ∗ g(kx) = f .g(kx)

Réciproquement on peut montrer que:

f.g(x′) = (2π)(f ∗ g)(x′)

(le facteur 2π s'élevant au carré pour des fonctions de 2 variables).Il en résulte que l'Eq.6.6 se réécrit:

ψΣ

G(x′, y′) = (2π)2G ∗ ψΣ

soitψ

ΣG(x′, y′) = (2π)2G ∗ ψΣ(−x′,−y′) (6.7)

ce qui s'énonce: L'image résultant du ltrage dans le plan de Fourier est laconvolution de l'image non ltrée par la transformée de Fourier du ltre.

Exemple:Supposons qu'on ait dans le plan objet Σ une ensemble de points objets, onpeut écrire:

ψΣ(x, y) =∑

i

δ(x− xi).δ(y − yi)

de telle sorte que

ψΣ(x′, y′) =

∑

i

δ(x′ + xi).δ(y′ + yi)

Supposons qu'on ait dans le plan Σ un diaphragme de diamètre d. Celarevient à appliquer à l'onde un ltre G = fonction disque, dont la transfor-mée de Fourier G, est un "Bessel cardinal". L'image observée résulte de laconvolution de cette somme de Dirac avec le Bessel cardinal: c'est une sériede fonctions de Bessel cardinal centrées aux positions −xi,−yi images despoints xi, yi.

Ceci montre que dans ce cas la convolution conduit à une image de réso-lution dégradée, xée par le diamètre de la fonction Bessel cardinal, liée audiamètre d de l'ouverture dans le plan de Fourier.

On verra en TP un autre exemple de "ltrage spatial" se traduisant parl'élimination de certaines "fréquences spatiales" associées à certains motifsde l'image, qu'on peut ainsi faire disparaître dans l'image ltrée.

91

6.4 Application à l'imagerie d'objets transparents:Strioscopie et contraste de phase

Ordinairement les objets sont visibles par la variation de lumière que leurprésence engendre au niveau du détecteur (caméra, oeil...). Cette variationd'intensité lumineuse est nette lorsque ces objets sont colorés ou absorbants.(la couleur étant pour des objets qui n'émettent pas de lumière à une ab-sorbance dépendant de la longueur d'onde).

Cependant il existe de nombreux cas d'objets transparents non absorbants.Si nous plaçons dans le plan Σ des objets transparents (par exemple desgouttes d'huile mélangées à de l'eau, des cellules biologiques baignant dansde l'eau...), la modication de l'éclairement traduisant leur présence que l'onva observer sur l'écran Σ va être liée à la lumière diractée par la variationd'indice dans le plan Σ, conséquence d'une fonction de transmission du typeT (x, y) = exp iφ(x, y) = exp ik.ne(x, y) où k.ne est souvent très petit devant2π (Noter que à la fois n et e peuvent dépendre de x et y.). L'eet estfaible de telle sorte que ces objets sont souvent peu visibles. Nous exposonsci-dessous deux méthodes permettant d'augmenter le contraste de l'image,c'est à dire la variation de lumière en présence ou en absence de ces "ob-jets de phase". Ceci est eectué en interposant dans le plan de Fourier unélément qui aecte de manière contrôlée l'onde issue de l'objet.

Dans les deux cas nous considérons donc un objet de phase caractérisépar une fonction de transmission du type T (x, y) = exp iφ(x, y), où noussupposons φ petit, éclairé par une onde plane en incidence normale. Alors:

ψΣ(x, y) = ψ0T (x, y) ∼ ψ0[1 + iφ(x, y)]

et on a:ψ

Σ(kx, ky) ∼ ψ0[1 + iφ(kx, ky)]

soit:ψ

Σ(kx, ky) ∼ ψ0[(2π)2δ(kx)δ(ky) + iφ(kx, ky)]

La fonction δ(kx)δ(ky) décrit la composante non diractée de l'onde planefocalisée au foyer de la lentille en l'absence d'objet.

6.4.1 "Strioscopie": ltrage par un point absorbantL'idée de la strioscopie est de placer au foyer de la lentille L1, centre du plande Fourier Σ, un petit point absorbant (en pratique point noir déposé surune lame de verre) (cf Fig.6.3). Ce petit point va absorber la composantenon diractée, de telle sorte que l'onde transmise après passage du ltre seréduit à :

ψΣG = iψ0φ(kx, ky)

92

Figure 6.3: Schéma de principe du montage d'imagerie d'objets de phase.

qui donne lieu dans le plan image Σ à l'onde:

ψΣ

G(x′, y′) = iψ0φ = iψ0(2π)2φ(−x′,−y′)

et à une distribution d'éclairement:

IΣ

G(x′, y′) = ψ20(2π)4|φ(−x′,−y′)|2

mettant directement en évidence la distribution de phase de l'objet qui appa-raît sur fond noir (pas de lumière si pas d'objet, cf Fig.6.4). L'inconvénientest que l'éclairement est proportionnel au carré du déphasage. Il n'est doncpas sensible au signe de ce déphasage (on ne fait pas la diérence entre desobjets d'indice un peu plus grand ou un peu plus petit que celui du milieuambiant), et les régions de petit φ sont proportionnellement moins visiblesque celles de grand φ. La méthode du "contraste de phase" proposée parZernike (prix Nobel 1953), implantée dans la plupart des microscopes op-tiques, élimine ces inconvénients.

6.4.2 Contraste de phase: ltrage par un "point de phase"L'idée de cette méthode est de remplacer le point absorbant précédent (cfFig.6.3) par un "point de phase" (surépaisseur ou sous-épaisseur de matériaudéposé sur lame transparente 1) introduisant un déphasage de π/2. Dans cesconditions on a maintenant:

ψΣG = ψ0[(2π)2δ(kx)δ(ky) exp(iπ/2) + iφ(kx, ky)]

1Les microscopes commerciaux utilisent une géométrie diérente basée sur un éclaire-ment annulaire de l'échantillon, mais ça ne change rien au principe de la méthode

93

Figure 6.4: Observation par strioscopie de la dispersion d'un liquide (gly-cérol) dans un autre (eau). L'éclairage de l'échantillon (cuve) est réalisé aumoyen d'un laser vert.

soit:ψ

ΣG = iψ0[(2π)2δ(kx)δ(ky) + φ(kx, ky)]

conduisant à

ψΣ

G(x′, y′) = iψ0[(2π)2 + (2π)2φ(−x′,−y′)]

et donc à une distribution d'éclairement:

IΣ

G(x′, y′) = ψ20(2π)4[1+2φ(−x′,−y′)+φ2(−x′,−y′)] ∼ ψ2

0(2π)4[1+2φ(−x′, y′)]

Dans ces conditions l'image de l'objet de phase apparaît sur un fond lu-mineux qui n'est plus noir, avec l'avantage qu'on est sensible au signe de φ(qui donne selon le cas une augmentation ou une diminution de l'éclairement),et que la variation d'éclairement est proportionnelle à φ.

Pour renforcer le contraste on remplace habituellement le "point de phasetransparent" par un "point de phase partiellement absorbant", caractérisépar un coecient de transmission de l'amplitude a conduisant à:

ψΣG = ψ0[(2π)2δ(kx)δ(ky)a exp(iπ/2) + iφ(kx, ky)]

et à:IΣ

G(x′, y′) ∼ ψ20(2π)4[a2 + 2aφ(−x′,−y′)]

94

Figure 6.5: Observation d'une culture de cellules épithéliales au moyen d'unmicroscope fonctionnant en éclairage plein champ conventionnel (image degauche) ou équipé d'un dispositif à contraste de phase (image de droite).

où l'on voit que le contraste de l'image 2aφ/a2 = 2φ/a est augmenté d'unfacteur 1/a > 1 au dépens d'une diminution globale de l'éclairement qui peutêtre rattrappée en augmentant l'intensité de la source d'éclairage.

Un exemple d'application à l'observation de cellules biologiques est mon-tré sur la Fig.6.5.

95

Chapter 7

Optique et propagation de lalumière dans les milieuxanisotropes

7.1 Milieux anisotropes: Scalaire pas valable, re-tour à Maxwell

Jusqu'ici on s'est intéressé au cas de la propagation de la lumière dans lesmilieux "isotropes", tels que toutes les directions de l'espace sont équivalenteslocalement:

• la vitesse de propagation de la lumière est indépendante de la directionde propagation

• la vitesse de propagation de la lumière est indépendante de la directiond'oscillation du champ électrique

Dans ce cas il est souvent possible comme on l'a discuté dans le chapitre1, et comme on l'a toujours fait jusqu'ici, de représenter l'onde électromag-nétique par une fonction scalaire ψ satisfaisant l'équation de propagation:

∆ψ − n2

c2

∂2ψ

∂t2= 0

où n est l'indice du milieu.

Mais il existe de nombreuses situations où ce n'est pas le cas. C'est le casde la propagation dans la plupart des solides cristallisés: l'ordonnancementdes atomes crée un environnement qui n'est pas le même suivant la directionoù on se déplace dans le cristal, et le déplacement sous l'eet du champ del'onde électromagnétique des charges électriques composant les atomes et les

96

molécules ne s'eectue pas de la même façon suivant l'orientation du vecteurchamp.

C'est aussi le cas dans les milieux amorphes soumis à une action externedirigée suivant une certaine direction (force, écoulement hydrodynamique,champs électrique ou magnétique intenses...) qui tend à orienter les moléculesinitialement disposées au hasard sans direction privilégiée.

Dans ce cas il faut revenir aux équations de Maxwell prenant en comptela nature vectorielle des champs électromagnétiques, et leur interaction avecla matière, d'où va résulter que

• la vitesse de propagation de la lumière dépend de la direction de prop-agation

• la vitesse de propagation de la lumière dépend de la direction d'oscillation("polarisation") du champ électrique

Nous allons voir que de ceci résulte une propagation anormale des rayonslumineux, associé à un dédoublement des ondes lors du passage dans unmilieu anisotrope, phénomène connu sous le nom de "biréfringence" 1 (cfFig.7.1).

En fait cette propriété de dépendance de la propagation de la lumièreavec la direction d'oscillation du champ électrique liée à l'anisotropie dumilieu est à la base de nombreuses applications:

• Elle permet de modier l'état de polarisation de l'onde. Ce qu'onutilise pour lui donner l'orientation voulue, ou mesurer l'état de po-larisation d'une onde quelconque. Ce qu'on peut utiliser aussi commeon le verra en TD pour moduler l'intensité d'une onde, principe utilisédans la plupart des systèmes de télécommunications à bres optiquesqui parcourent notre planète pour former la toile internet.

• L'analyse de la polarisation d'une onde qui a été émise par ou a traverséun milieu anisotrope permet de remonter à la nature de l'anistropie,liée à la structure où aux conditions physiques régnant dans le milieu

• De très nombreux systèmes lasers font appel à des composants solidescristallins anisotropes, et la connaissance de la propagation de la lu-mière dans ces milieux est essentielle pour les faire fonctionner et lesoptimiser (cf Cours photonique et laser en Master 1)

• De nombreux composants optiques utilisent des milieux anisotropes,mentionnons par exemple les acheurs à cristaux liquides qu'on trouvepartout

1D'où le nom souvent rencontré de milieux "biréfringents" pour milieux "anisotropes"

97

Figure 7.1: Observation du dédoublement de l'image d'un objet observé àtravers un cristal de calcite, traduisant le dédoublement des faisceaux delumière ("biréfringence").

7.2 Expérience fondamentale: la propagation desrayons lumineux ne suit pas la loi de Descartes

Une expérience très simple à réaliser consite à regarder à travers un grosmonocristal de calcite (carbonate de calcium, CaCO3) (Fig.7.1 ): On con-state un dédoublement de l'image, signe d'un dédoublement des rayons à latraversée du cristal. Un point objet donne lieu à 2 points image. Lorsqu'onfait tourner le cristal on constate qu'un point image ne tourne pas, ce quiest normal. Par contre le deuxième point image tourne. Ce qui indiquedans ce cas que la propagation de la lumière est sensible à l'orientation ducristal. On constate aussi que ces deux points images sont associés à desondes polarisées rectilignement à angle droit.

Ainsi il faut donc admettre que l'une des deux images est associée à uneonde qui se propage dans le cristal de manière "extraordinaire", en ne re-spectant apparemment pas la loi de Descartes sin i = n sin r: le faisceau issudu point objet arrive approximativement perpendiculairement à la surfacedu cristal, et devrait continuer sa propagation sans changement de directionnotable dans le cristal. Ce n'est pas le cas, ainsi que le montre la Fig.7.2 .Nous allons voir dans le paragraphe suivant que ceci correspond au fait quedans un milieu anisotrope le rayon lumineux (associé au vecteur de Poyntingqui indique la direction de propagation de l'énergie électromagnétique) n'estpas forcément parallèle au vecteur d'onde (caractérisant la phase d'oscillationdu champ et sa propagation). La transformation de la direction du vecteurd'onde au passage d'un milieu est par contre donnée par la loi de Descartes.

98

Figure 7.2: Représentation schématique de la propagation de la lumière dansla situation correspondant à la Fig.7.1: les 2 images A′ et A′′ du point Aimpliquent un dédoublement du faisceau issu de ce point objet lors de latraversée du cristal, formant deux images intermédiaires virtuelles A1 etA2. Pour l'explication de la gure représentant la "surface radiale" et sonutilisation pour le tracé du rayon au moyen de la construction d'Huyghens,voir la n de ce chapitre, Section 7.4.3 et Fig.7.8.

99

7.3 Equations de Maxwell et ondes électromagné-tiques dans la matière

7.3.1 Ondes, charges et champs: Poynting ~S n'est parallèleau vecteur d'onde ~k que si la densité de charge élec-trique est nulle

Les équations de Maxwell s'écrivent:

~rot ~E = −∂ ~B

∂t(7.1)

div ~E =ρ

ε0(7.2)

~rot ~B = µ0(~j + ε0∂ ~E

∂t) (7.3)

div ~B = 0 (7.4)

où ρ et ~j sont respectivement la densité de charge et la densité de courant.

Nous considérons le cas d'une onde électromagnétique plane et monochro-matique, polarisée rectilignement:

~E = ~E0 exp[i(~k.~r − ωt)] (7.5)

et~B = ~B0 exp[i(~k.~r − ωt)] (7.6)

On note que pour une onde de ce type les opérateurs diérentiels se réduisentà:

~rot ~E = i~k ∧ ~E (7.7)div ~E = i~k. ~E (7.8)∂ ~E

∂t= −iω ~E (7.9)

et idem pour ~B de telle sorte qu'en insérant ces expressions dans les équationsde Maxwell on obtient:

~k ∧ ~E = ω ~B (7.10)~k. ~E = −i

ρ

ε0(7.11)

~k ∧ ~B = −iµ0~j − µ0ε0ω ~E (7.12)

~k. ~E = 0 (7.13)

100

Dans le videOn a ρ = 0 et ~j = ~0 et on voit immédiatement que les équations de Maxwellpour une onde plane impliquent:

~B ⊥ ~k

~B ⊥ ~E

~E ⊥ ~k

et par conséquent le vecteur de Poynting ~S = ~E ∧ ~B/µ0 est parallèle à ~k:La propagation de l'énergie électromagnétique, matérialisée par les rayonslumineux, s'eectue suivant la direction du vecteur d'onde (cf Fig.7.3a).

Dans un milieu matérielUn tel milieu, formé d'atomes composé d'électrons et de noyaux, comprenddonc un grand nombre de charges et de courant, de telle sorte que la struc-ture du champ électromagnétique est très complexe. On raisonne alors surles champs, charges et courants "moyens", moyennés sur un volume granddevant les tailles atomiques, mais petit devant la longueur d'onde.

Le point important est que la densité de charge ρ (et aussi ~j) moyennéesur un tel volume n'est pas nécessairement nulle, même si le plus souventle matériau est globalement électriquement neutre. L'équation 7.11 montrealors immédiatement que ~E et ~k ne sont plus nécessairement perpendicu-laires, bien que l'on ait toujours:

~B ⊥ ~k

~B ⊥ ~E

Alors le vecteur de Poynting ~S n'est plus nécessairement parallèle au vecteurd'onde. Si c'est le cas les rayons lumineux se propagent suivant une directiondiérente de ~k ! (cf Fig.7.3b).

7.3.2 Polarisation de la matière et vecteur induction élec-trique ~D

Cette charge locale moyenne non nulle résulte du fait que le champ électriquemoyen induit un déplacement des charges électriques des atomes qui se "po-larisent", de telle sorte qu'un petit volume δV porte un dipôle électriqueδ~p = ~PδV (voir cours d'électromagnétisme) où le vecteur ~P est une densitévolumique de moment dipolaire.

On introduit alors le vecteur "induction électrique":

~D = ε ~E + ~P (7.14)

101

et on montre que pour un milieu sans charge électrique libre (c'est à dire nonlié aux atomes) et non magnétique (alors ~j = ~0) on a:

div ~D = 0 (7.15)

~rot ~B = εµ0∂ ~E

∂t= µ0

∂ ~D

∂t(7.16)

ce qui pour une onde plane Eq.7.5 implique (en supposant que ~D varie commele champ électrique moyen ~E):

~D.~k = 0 (7.17)~k ∧ ~B = −ωµ0

~D (7.18)

Sachant que on a toujours div ~B = 0 on voit que:

~B ⊥ ~k

~D ⊥ ~B

~D ⊥ ~k

Ce qui indique que le vecteur induction électrique ~D joue le même rôle quele champ électrique pour une onde plane se propageant dans le vide.

7.3.3 Milieu diélectrique isotrope: propagation ordinaire avec~D//~E et ~S//~k

Pour un milieu diélectrique isotrope, et "linéaire", le vecteur densité de mo-ment dipolaire et le vecteur champ électrique sont proportionnels:

~P = ε0χ~E (7.19)

où χ dénit la "polarisabilité" du milieu.Il en résulte que l'induction électrique et le champ électrique sont égale-

ment proportionnels et on pose:

~D = ε0εr~E (7.20)

où εr = 1 + χ. Alors il est facile de montrer à partir des équations deMaxwell couplant ~D et ~B que ~D (et donc ~E, et ~B) obéit à une équation depropagation avec une vitesse 1/

√ε0εrµ0 = c/

√εr, ce qui établit la relation

avec l'indice de réfraction déjà mentionnée au chapitre 1: n =√

εr.Comme dans ce cas ~E et ~D sont parallèles, le vecteur de Poynting ~S est

parallèle au vecteur d'onde ~k, comme attendu habituellement.

102

Figure 7.3: Représentation schématique de la propagation d'une onde planepolarisée rectilignement se propageant avec le vecteur d'onde dirigé suivantoz. a. conguration correspondant à la propagation dans le vide: le vecteurd'onde ~k et le vecteur de Poynting ~S sont toujours parallèles. b. congura-tion pouvant se produire dans un milieu anisotrope (cf texte): si ~E et ~k nesont pas perpendiculaire, alors le vecteur d'onde ~k et le vecteur de Poynt-ing ~S ne sont plus parallèles et l'énergie se propage suivant une directiondiérente de l'onde.

103

7.3.4 Milieu diélectrique anisotrope: propagation anormaleavec ~D non// ~E et ~S non//~k

Dans le cas d'un milieu matériel anisotrope et linéaire la relation entre ladensité de moments dipolaires et le champ électrique n'est plus une simplerelation de proportionnalité, elle devient une équation matricielle:

~P = ε0(χ) ~E (7.21)

où (χ) est une matrice et non plus un simple nombre. Cela traduit le fait quele sensibilité de la matière au champ électrique, induisant un déplacementde charges, dépend de la direction du champ. Noter que cette relation reste"linéaire" en ce sens que les normes des vecteurs ~P et ~E sont proportionnels(mais avec un coecient qui dépend de la direction de ~E). Il en résulteimmediatement que:

~D = ε0(εr) ~E (7.22)où (εr) est également une matrice.

Il se trouve qu'il existe un système d'axes orthogonaux Ox, Oy,Oz, telsque cette matrice (εr) soit diagonale2, de telle sorte que:

Dx

Dy

Dy

= ε0

εx 0 00 εy 00 0 εz

Ex

Ey

Ey

(7.23)

Ce qui montre que:• ~D n'est en général pas parallèle à ~E, et donc que le vecteur de Poynt-

ing n'est pas parallèle à ~k: l'énergie ne se propage pas dans la mêmedirection que le vecteur d'onde.

• Il existe cependant toujours 3 directions particulières telles que ~D//~E

• εr, donc la vitesse de propagation de l'onde, dépend de la direction de~D et donc aussi de celle de ~k, ces deux vecteurs n'étant pas totalementindépendants puisque perpendiculaires.

Cas des milieux "uniaxes": ondes ordinaires et ondes extraordi-naires, axe optiqueIl existe toute une classe de milieux tels que la matrice (εr) ne comprenneque deux valeurs propres diérentes, de telle sorte qu'elle s'écrit:

(εr) =

εOrd 0 00 εOrd 00 0 εE

=

n20 0 00 n2

0 00 0 n2

E

(7.24)

2Ces axes sont rigidement liés au milieu anisotrope, et suivent toute rotation du milieu(comme quand on tourne un cristal à la main cf Section 7.2)

104

Matériau Formule n0 nE n0 − nE

Calcite CaCO3 1,66 1,49 0,17Quartz SiO2 1,544 1,553 -0,011KDP KH2PO4 1,51 1,47 0,04BBO BaB2O4 1,67 1,55 0,12

Table 7.1: Valeurs des indices nO et nE pour quelques matériaux uniaxes,pour des rayonnements λ ∼ 500nm

où on a donc fait apparaître deux valeurs particulières d'indice de réfractionnO ("O" comme "Ordinaire", cf ci-dessous) et nE ("E" comme "Extraordi-naire", cf ci-dessous).

L'axe Oz porte le nom d'"axe optique" du "milieu uniaxe". Il est telque si ~E⊥Oz alors ~D = ε0n

2O

~E. Dans ce cas la propagation de l'ondese produit comme dans un milieu isotrope, d'indice n0, on parle d'onde"ordinaire". Il n'en est pas de même pour une onde telle que ~D n'est pasperpendiculaire à Oz. Dans ce cas on décompose ~D en 2 composantes,une perpendiculaire à Oz, qui donnera lieu à une onde "ordinaire", et unecomposante complémentaire qui donnera lieu à une onde "extraordinanaire"associée à un indice dont la valeur est comprise entre nO et nE comme onva le voir après.

Le tableau 7.1 donne les valeurs de nE et nO pour quelques matériaux"uniaxes".

On remarque que

1. la diérence entre nE et n0 est souvent très petite, de telle sorte quele phénomène de biréfringence est le plus souvent dicile à mettreen évidence directement. La calcite se distingue par la grandeur ex-ceptionnelle de l'écart ∆n = n0 − nE . Par contre pour nombre dematériaux anisotropes cette diérence est très susante pour induireune diérence de phase ∆φ = (2π/λ)∆ne entre ondes ordinaire etextraordinaire ayant traversé une épaisseur e de matériau qui soit del'ordre de 2π ou supérieure, conduisant à des modications importantesde l'état de polarisation de l'onde sortante (cf TP).

2. On remarque que ∆n peut être aussi bien positif que négatif, suivantle matériau

7.4 Propagation en fonction de la direction de ~k:Ellipsoïde des indices et autres surfaces

Dans cette section on va s'intéresser aux relations existant entre les vitessesde propagation des ondes et leur direction de propagation. En général à une

105

direction de vecteur d'onde correspond deux directions de vibration priv-ilégiées orthogonales, d'indices de réfraction diérents, associées à deux on-des qui se propagent donc à des vitesses diérentes. Elles sont associées àdes rayons se propageant aussi suivant des directions en général diérentes.Ces relations se représentent de manière géométrique au moyen de surfacesdans l'espace à 3 dimensions. La plus importante de toutes est connue sousle nom "d'ellipsoïde des indices" ("ellipsoid of wave normals" en anglais).

7.4.1 Ellipsoïde des indices: directions de polarisation priv-ilégiées et leur indice en fonction de ~k

On considère une onde plane de vecteur d'onde ~k. D'après les équations deMaxwell on a:

~k ∧ (~k ∧ ~E) = ~k ∧ (ω ~B) = ω(~k ∧ ~B) = ω(−ωµ0~D)

Compte tenu de l'identité

~k ∧ (~k ∧ ~E) = (~k. ~E)~k − ~k2 ~E

on tire:k2 ~E − ω2µ0

~D = (~k. ~E)~k

soit:k2 ~E − ω2µ0ε0(εr) ~E = (~k. ~E)~k

où dans un milieu anisotrope (εr) est une matrice (Eq.7.22).

Projetant cette équation sur les trois directions orthogonales Ox, Oy, Ozqui diagonalisent la matrice (εr) (Eq.7.23) on obtient:

k2Ex − ω2µ0ε0εxEx = (~k. ~E)kx

k2Ey − ω2µ0ε0εyEy = (~k. ~E)ky

k2Ez − ω2µ0ε0εzEz = (~k. ~E)kz

soit

k2Dx

ε0εx− ω2µ0Dx = (~k. ~E)kx

k2Dy

ε0εy− ω2µ0Dy = (~k. ~E)ky

k2Dz

ε0εz− ω2µ0Dz = (~k. ~E)kz

106

Multipliant chaque membre de ces équations par ε0 et respectivement parDx, Dy, Dz, on obtient:

k2D2x

εx− ω2µ0ε0D

2x = ε0(~k. ~E)kxDx

k2D2y

εy− ω2µ0ε0D

2y = ε0(~k. ~E)kyDy

k2D2z

εz− ω2µ0ε0D

2z = ε0(~k. ~E)kzDz

Ajoutons ces 3 équations membre à membre après avoir posé k20 = ω2µ0ε0:

k2(D2

x

εx+

D2y

εy+

D2z

εz)− k2

0~D2 = ε0(~k. ~E)~k. ~D

et comme ~k. ~D = 0 on obtient:

n2(Dx/D)2

n2x

+n2(Dy/D)2

n2y

+n2(Dz/D)2

n2z

= 1 (7.25)

où on a posé:

k

k0= n

εx = n2x

εy = n2y

εz = n2z

Dénissons alors le vecteur unitaire ~uD parallèle à ~D et posons ~N = n ~uD,alors l'équation 7.25 se réécrit:

N2x

n2x

+N2

y

n2y

+N2

z

n2z

= 1 (7.26)

Les points de coordonnées Nx, Ny, Nz satisfaisant cette équation appar-tiennent à une surface connue sous le nom "d'ellipsoïde des indices", dontl'interprétation est la suivante:

Pour une direction d'oscillation ~uD du vecteur induction électrique, lesondes vont se propager avec une vitesse c/n où n est la longueur du vecteur~N = n ~uD, c'est la longueur du segment OA où O est le centre de l'ellipsoïde,et A le point où le vecteur ~D mené depuis O crève la surface de cet "ellipsoïdedes indices" (Fig.7.4).

Ainsi l'ellipsoïde des indices donne l'indice connaissant la direction depolarisation de l'onde. Que peut-on dire de l'indice d'une onde de direction

107

Figure 7.4: Représentation de l'ellipsoïde des indices. Cas correspondantà un milieu uniaxe: dans ce cas l'ellipsoïde admet un axe de symétrie derévolution Oz. Suivant les cas l'ellipsoïde a la forme d'un cigare (si nE > nO)ou d'une galette (si nE < nO). Le schéma est très exagéré car en pratiquela diérence entre nE et nO est très petite (cf Table 1).

de propagation donnée par celle de ~uk, vecteur unitaire parallèle à ~k? Celava dépendre de la direction de polarisation. Celle-ci est perpendiculaire à~uk, donc se trouve dans le plan perpendiculaire à ~uk. Considérons alorsle plan perpendiculaire à ~uk mené par O. Il coupe l'ellipsoïde des indicessuivant une ellipse. Cette ellipse a deux axes de symétrie qui dénissent deuxdirections de polarisation privilégiées orthogonales ~uD1 et ~uD2 , auxquellessont associées deux valeurs d'indice nD1 et nD2 (cf Fig.7.5). On montre alorsque toute onde plane se propageant suivant la direction ~uk se décomposeraen superposition de deux ondes polarisées rectilignement suivant ~uD1 et ~uD2,de vitesses de phase respectives c/nD1 et c/nD2 en général diérentes.

cas d'un milieu "uniaxe"Ce cas correspond à la situation où deux valeurs propres de la matrice (εr)sont égales, et donc pour laquelle nx = ny = nO, nz = nE . Ceci impliqueque l'ellipsoïde des indices a la symétrie de révolution autour de "l'axe op-tique" Oz, ayant pour ligne équatoriale un cercle de rayon nO. Dans ce casparticulier l'intersection d'un plan passant par O avec l'ellipsoïde est une el-

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Figure 7.5: Représentation de l'ellipsoïde des indices coupé par un planperpendiculaire à la direction du vecteur d'onde. Cas correspondant à unmilieu uniaxe (avec ici nE > n0): dans ce cas l'un des axes de l'ellipseintersection entre le plan et l'ellipsoide est un diamètre du cercle équatorial,et correspond à la direction de polarisation de l'onde ordinaire.

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lipse dont l'un des axes de symétrie se trouve dans le plan équatorial xOy (cfFig.7.5. Cette direction privilégiée peut être associée à une onde pour laque-lle ~D et ~E sont parallèles (cf 7.3.4), dont la structure et la propagation sontidentiques à une onde se propageant dans un milieu isotrope: c'est l'onde"ordinaire". L'autre axe de l'ellipse est associée à une onde d'indice comprisentre nE et n0, pour laquelle en général ~D et ~E ne sont pas parallèles, d'oùrésulte une structure et une propagation "extraordinaire".

7.4.2 Surface des indices: indices en fonction de ~k

La surface des indices est une autre façon de représenter l'indice des ondesde direction de propagation ~uk. Pour une telle direction donnée on vientde voir qu'il y a 2 directions privilégiées de polarisation, d'indices diérents.La surface des indices comprend alors deux nappes, chacune associée à l'unede ces direction de polarisation, l'indice correspondant étant donné par lalongueur du segment OB joignant le centre de symétrie O de ces surfaceset le point B où la droite menée depuis O parallèlement à ~uk crève cettesurface.

Dans le cas d'un milieu uniaxe une nappe de cette surface des indicesest une sphère, l'autre une surface de révolution autour de l'axe optique, quiressemble à un ellipsoïde (mais ce n'en est pas un!), cf Fig.7.6.

7.4.3 "Surface radiale" (surface d'onde): construction deHuygens et réfraction des rayons

Dans un milieu isotrope les surfaces d'onde associées à des ondes émisesdepuis une source ponctuelle sont des sphères. Il n'en est plus de mêmedans le cas d'un milieu anisotrope. Considérons le cas d'un milieu uniaxe,et plaçons nous dans un plan contenant l'axe optique.

Les ondes polarisées perpendiculairement à l'axe optique se propagentde manière ordinaire à la vitesse c/nO et donnent lieu à des surfaces d'ondedont la section par ce plan sont des cercles.

Les autres donnent lieu à des surfaces d'onde dont la section par ce planest une sorte d'ellipse, ayant l'axe optique comme axe de symétrie. La prop-agation suivant l'axe optique est cependant forcément ordinaire puisque lapolarisation est forcément perpendiculaire à la direction de propagation, ets'eectue donc avec la vitesse c/n0. L'onde non ordinaire se propageant suiv-ant une direction perpendiculaire à l'axe optique a une polarisation parallèleà l'axe optique, et s'eectue donc avec la vitesse c/nE .

On appelle "surfaces radiales" ces surfaces d'onde de rayon 1/n0 pourl'onde ordinaire, et d'axes 1/n0 et 1/nE pour l'onde extraordinaire (Fig.7.7).

La connaissance de la forme de ces surfaces d'onde permet alors de déter-miner la trajectoire des rayons en utilisant la "construction de Huygens" dontle principe est détaillé sur la Fig.7.8.

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Figure 7.6: Représentation de la surface des indices. Cette surface donnel'indice en fonction de la direction de propagation pour les deux directionsprivilégiées de polarisation. Cas de milieux uniaxe, pour lesquel l'une desnappes de cette surface est une sphère

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Figure 7.7: Représentation schématique des surfaces d'onde émises depuisune source ponctuelle au point O dans un milieu isotrope, ou dans des milieuxanisotropes uniaxe. Les surfaces radiales correspondent aux surfaces d'ondede dimensions 1/n0, 1/nO.

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Figure 7.8: Construction de Huygens pour la détermination de la marche desrayons lumineux. a. Principe physique: la surface d'onde à l'instant t + ∆test l'enveloppe des surfaces d'onde émises depuis les points se trouvant sur lasurface d'onde à l'instant t. b: application à la réfraction lors du passage dansun milieu isotrope. c: surfaces radiales dans le cas d'un milieu anisotropeuniaxe. d: construction des rayons réfractés ordinaire et extraordinaire lorsdu passage dans un milieu anisotrope uniaxe.

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