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Le magnétisme s’est manifesté premièrement par le ferromagnétisme, c’est-à-dire par les dipôles magnétiques permanents résidant dans des substances comme la magnétite (Fe3O4), un minerai associé à la ville de Magnésie, en Asie Mineure (-500 av. J-C). A la différence de l’électricité, les charges magnétiques (monopôles) sont inexistantes. Cependant les forces magnétiques peuvent être produites non seulement par des aimants naturels, mais aussi par des courants électriques : c’est la découverte cruciale d’Oersted (1819). En effet, à partir de la fin du XVIIème s., on remarqua qu’il existait un lien entre l’électricité et le magnétisme lorsqu’on découvrit que la foudre pouvait magnétiser des objets métalliques comme des fourchettes et des cuillères. Ainsi, les charges électriques génèrent des champs électriques et les mêmes charges électriques produisent des champs magnétiques si elles sont en mouvement. Les 2 champs sont 2 manifestations d’un même phénomène appelé électromagnétisme. D’autre part, l’extrémité d’un barreau aimanté suspendu qui pointe vers le nord géographique est appelé pôle « pointant vers le nord », ou pôle nord. Le pôle nord de l’aimant attire le pôle sud d’un autre aimant et repousse son pôle nord. Par conséquent, le pôle Nord géographique est un pôle sud magnétique. Dans le magnétisme, il nous faut distinguer : 1.- La magnétostatique qui s’intéresse aux phénomènes magnétiques produits par un mouvement de charges indépendant du temps (courants stationnaires). 2.- La magnétodynamique qui s’intéresse aux phénomènes d’induction

Le champ magnétique Au voisinage d’un barreau aimanté, la limaille de fer forme une configuration caractéristique qui montre l’influence de l’aimant sur le milieu environnant. C’est Faraday qui le premier introduisit la notion de champ magnétique. Comme le champ électrique E

, le champ magnétique B

en un point est dirigé

selon la tangente à une ligne de champ. L’intensité de B

est proportionnelle au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale au champ.

Chapitre  n°7  :  Magnétisme    

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Si l’on essaie d’isoler les pôles en coupant l’aimant, il se produit une chose curieuse : chaque fragment garde toujours 2 pôles. Nul n’est parvenu à trouver de monopôles magnétiques. C’est pourquoi les lignes de champ magnétique forment des boucles fermées. A l’extérieur de l’aimant, les lignes émergent du pôle nord et entrent par le pôle sud ; à l’intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le pôle nord.

Flux du champ magnétique Nous avons vu que le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge enfermée.

∫∫ =•0εQSdE

Par contre, les lignes de champ magnétique B

sont toujours fermées sur elles-mêmes. Par conséquent,

- il n’existe pas de « charges magnétiques » au même titre que les charges électriques

- Le même nombre de lignes de champ entre dans une surface fermée quelconque S et sort de cette surface :

∫∫ =• 0SdB

Convention : 1.- le point représente la pointe d’une flèche venant vers nous ( B

sort de la page)

2.- La croix représente l’extrémité d’une flèche qui s’éloigne (B

entre dans la page). En examinant l’effet d’un champ B

sur une charge électrique, on constate que :

1.- la force agissant sur une particule est directement proportionnelle à la charge ⏐q⏐ et au module de la vitesse v de la particule, c’est-à-dire : F ∼ ⏐q⏐. v 2.- Si la vitesse v de la particule fait un angle θ avec les lignes de B

, on trouve

que : F ∼ sinθ En combinant ces résultats, on obtient F = ⏐q⏐. v . B sinθ

où B est la constante de proportionnalité : C’EST LE CHAMP MAGNETIQUE.

3.- On observe que F

est ⊥ à B

et à v , donc au plan défini par B

etv . Le sens

de F

dépend du signe de la charge en mouvement et peut être déterminé pratiquement par la règle de la main droite ou la règle du tire-bouchon.

On peut se servir du produit vectoriel pour exprimer la force magnétique :

BvqF

×= [N] FORCE DE LORENTZ Remarquons que comme la force est ⊥ à v , une force magnétique n’effectue aucun travail sur une particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. D’autre part, un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ de 1 tesla alors qu’un aimant supraconducteur peut produire plus de 30 T. Notons que 1 Gauss = 10-4 T. Exemple : le champ magnétique terrestre près du sol = 0,5 G = 0,5 . 10-4 T

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La force magnétique sur un conducteur parcouru par un courant

Si l’on place un fil conducteur de longueur l dans un champ B

, il n’est soumis à

aucune force. Les vitesses thermiques des électrons libres sont orientées au hasard et la force nette est donc nulle. Par contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons acquièrent une faible vitesse de dérive v d et sont donc soumis à une force magnétique uniforme qui est ensuite transmise au fil. La force magnétique est donnée par :

BlIF

×= [N] FORCE DE LAPLACE où

l

vecteur longueur de même sens que le courant I Développement :

Le moment de force sur une boucle de courant

Une boucle peut subir un moment de force net qui tend à la faire tourner. La figure ci-dessus représente un cadre rectangulaire, de côté a et c, qui pivote autour d’un axe vertical. Le cadre forme un angle avec un champ magnétique uniforme B

.

Les côtés horizontaux sont soumis à des forces verticales de même grandeur et de directions opposées qui ont tendance à les écarter. Ces forces verticales n’exercent aucun moment de force puisqu’elles sont situées dans le plan du cadre. Les forces agissant sur les côtés verticaux sont elles aussi de même grandeur et de directions opposées. Le moment de force net produit par ces 2 forces vaut : Développement : Pour un cadre comportant N spires, le moment de force est N fois plus grand. Définition : le galvanomètre à cadre mobile est un appareil à mesurer des

courants, en principe des petits courants.

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Dans le cas du galvanomètre à cadre mobile, le cadre est formé de N spires et se trouve sur un axe de rotation, perpendiculaire au champ, formé d’un petit ressort. Le plan du cadre est // au champ B

lorsqu’il n’y a pas de courant.

Lorsque le cadre, parcouru par un courant, est en équilibre, cela veut dire que la somme des moments s’exerçant sur lui est nulle. Le moment du ressort est, on le sait, proportionnel à l’angle θ. Donc : M = NISB sin θ = C θ où C = constante de torsion

Les meilleurs galvanomètres peuvent mesurer des courants très faibles de l’ordre de 1 pA. Définition : le moment magnétique dipolaire d’un cadre plan de forme

quelconque est défini par : nuNIS

=µ [Am2]

Le sens du vecteur unitaire nu

est donné par la règle de la main droite. Grâce à cette définition, nous pouvons redéfinir le moment de force M :

BM

×= µ Le moment de force a tendance à aligner le moment magnétique sur le champ, tout comme l’aiguille d’une boussole.

Le moteur électrique à courant continu Il a une structure proche du galvanomètre à cadre mobile : il est constitué de plusieurs cadres ayant un même axe de rotation, mail il est évidemment dépourvu de ressort produisant un moment de rappel. Sous l’effet du champ magnétique radial, les portions de fil ⊥ à ce champ vont subir la force de Laplace et les cadres vont se mettre en rotation. Il reste cependant un problème à régler : à chaque rotation de 180°, le cadre subit des moments de force opposés ; le moment de force tend à inverser la rotation, si bien qu’on a affaire à un mouvement de va et vient, ce qui n’est pas trop souhaitable. Pour y remédier, il faut que la partie du cadre située vers un pôle soit toujours parcourue par le courant dans un sens déterminé. Cela est possible si à chaque demi-tour, le courant dans le cadre est inversé. Ceci est réalisé à l’aide d’un commutateur.

Le mouvement des particules chargées dans les champs magnétiques

Une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique B

est soumise à une force. Par exemple,

les champs magnétiques servent à dévier et à focaliser les faisceaux d’électrons dans les tubes de téléviseur ou à séparer les particules élémentaires produites dans les accélérateurs de particules (chambre à bulle), à confiner le plasma dans un réacteur à fusion thermonucléaire ou encore à orienter les spins électroniques en résonance magnétique nucléaire (IRM).

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Mouvement circulaire La figure représente une particule chargée positive animée d’une vitesse initiale v

⊥B

. Comme v etB

sont perpendiculaires, la particule est soumise à la force de Lorentz F = qvB, de module constant et dirigé ⊥ à v . Sous l’action d’une telle force, la particule se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante (M.C.U). Développement : Mouvement hélicoïdal

Considérons le mouvement d’une particule positive dont la vitesse à une composante parallèle aux lignes d’un champ magnétique uniforme. Désignons par v// la composante parallèle à B

et v⊥, la composante

perpendiculaire à B

.

Développement :

Dans un champ non uniforme, le rayon de la trajectoire varie. Il en résulte que la vitesse le long des lignes de champ de B

n’est pas constante. Si la particule se

dirige vers la région où le champ est plus intense, elle peut être amenée à s’arrêter et à inverser le sens de son mouvement (à condition que v ne soit pas trop grand). Cette particularité est utilisée dans la conception des « bouteilles magnétiques » qui servent à confiner les plasmas à haute température dans les recherches sur la fusion. Ce phénomène se rencontre également dans ce que l’on appelle les ceintures de Van Allen (particules cosmiques piégées dans les lignes du champ magnétique terrestre). Aurore boréale

La combinaison du champ B et E Lorsqu’une particule est soumise à un champ électrique E

et à un champ

magnétiqueB

, la force totale agissant sur elle est : )( BvEqF

×+=

Le sélecteur de vitesse

Développement :

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Le spectromètre de masse

Un spectromètre de masse est un dispositif qui sépare les particules chargées, en général des ions, selon leur rapport masse/charge. Si les charges sont identiques (électrons), l’instrument peut servir à mesurer la masse des ions. Un faisceau de particules chargées passe dans un collimateur constitué par les fentes S1 et S2. Les particules pénètrent alors dans un sélecteur de vitesse dans

lequel le champ magnétique est 1B

et le champ électrique ⊥ est E

. Développement :

Le cyclotron et le synchrocyclotron Définition : le cyclotron est un accélérateur cyclique de particules chargées. Le cyclotron est formé de 2 boîtes cylindriques conductrices qui sont plongées dans un champ magnétique B

. L’ensemble est maintenu dans un vide poussé.

Une particule chargée, ayant une vitesse initiale perpendiculaire à B

, a une

trajectoire circulaire dont le rayon est donné par :

R = qBmv

(rayon de Larmor)

La fréquence de rotation de la particule vaut :

mqB

Rv

ππν

22==

Cette fréquence cyclotronique a l’énorme avantage d’être indépendante du rayon de la trajectoire et de la vitesse de la particule. On met à profit ce résultat en appliquant une tension alternative dont la fréquence correspond à cette fréquence cyclotronique. Développement :

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06,  CERN,  LEP,  tunnel,  01  

 

06,  cavité  radiofréquence,  CERN,  LEP,  02  

Mentionnons encore le fait que si la vitesse des particules chargées est élevée (proche de c), il sied de tenir compte de l’augmentation de masse avec la vitesse ce qui affecte la période des particules. C’est pourquoi on utilise des protons en lieu et place des électrons : pour une énergie donnée, la vitesse d’un proton est bien inférieure à celle d’un électron. Dans un cyclotron, les protons atteignent une énergie maximale de 25 MeV. Dans le synchrocyclotron, la fréquence de la tension d’alimentation diminue progressivement pour compenser l’accroissement de masse. Cette machine permet d’accélérer des protons jusqu’à 200 MeV. Finalement, dans un synchrotron, le champ magnétique et la fréquence varient tous les deux, de sorte que les particules décrivent une orbite de rayon fixe. Exemple : Au Fermilab (concurrent du CERN), les protons décrivent un cercle de rayon d’environ 1 km et leur énergie finale atteint près de 1 TeV. Au CERN, Le synchrocyclotron fonctionne sur le même principe que le cyclotron mais permet d'amener les particules à une énergie cinétique plus élevée. Le synchrotron à protons (PS) accélère des protons sur un cercle de rayon fixe. Au fur et à mesure que la vitesse de la particule augmente, les aimants de courbure ajustent la valeur de leur champ magnétique. Le super synchrotron à protons (SPS) est une machine de taille supérieure au PS. Le PS et le SPS se trouvent au CERN. Le LEP pour Large Electron and Positron collider est un collisionneur d'électrons et de positrons. L'accélérateur est circulaire, de rayon fixe et d’une circonférence de 27 km ! Cet accélérateur a permis de grandes découvertes mais il n'existe plus. Dans le tunnel où se trouvait le LEP, est construit le LHC pour Large Hadron Collider. Cette fois-ci, nous accélérons des particules lourdes pour qu'elles atteignent des énergies cinétiques considérables, le but de ces recherches étant de connaître les composants ultimes de la nature corpusculaire. Le 8 octobre 2013, le prix Nobel de physique a été attribué conjointement à François Englert et Peter Higgs « pour la découverte théorique du mécanisme contribuant à notre compréhension de l’origine de la masse des particules subatomiques et récemment confirmée par la découverte, par les expériences ATLAS et CMS auprès du LHC du CERN, de la particule fondamentale (boson de Higgs) prédite par cette théorie ». En 2014, l’énergie du faisceau de proton atteindra 7 TeV et permettra peut-être d’autres découvertes fondamentales (particules super-symétriques, dimension spatiale supplémentaire, gravitons,…).

L’effet Hall Soit une feuille mince conductrice (or, argent) de hauteur L et d’épaisseur l. La feuille est placée perpendiculairement à un champ magnétique B

. Lorsqu’un courant

I traverse la feuille, il apparaît une différence de potentiel entre le haut et le bas de cette feuille. Le tension de Hall est donnée par l’expression suivante :

UH = qnlIB

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où n = nombre de porteurs de charges par unité de volume (électrons / m3) Remarques : 1.- Pour les métaux, la tension de Hall est de l’ordre du µV alors que pour les semi-conducteurs (silicium et germanium), elle peut être de l’ordre du mV. 2.- Cette expérience, faite pour la première fois en 1880, a permis de déterminer n (∼ 6.1028 électrons / m3 pour l’argent). 3.- Elle a mis en évidence, par le signe de la tension mesurée, que ce sont les électrons qui sont les porteurs de charges dans les métaux et non les charges positives. En effet, si les charges positives se déplaçaient, la force de Lorentz serait toujours de même sens, ce qui voudrait dire que les charges positives apparaîtraient en haut de la feuille, donc une tension de signe opposée à celle mesurée. Développement :

Les sources du champ magnétique

Champ magnétique créé par un long fil conducteur cylindrique

Un courant circulant dans un long fil rectiligne de forme cylindrique produit un champ magnétique dont les lignes sont circulaires, ce que l’on peut vérifier en soupoudrant de limaille de fer une planchette normale au fil. En 1820, Biot et Savart annoncèrent que le module de B

est inversement proportionnel à R, où R

est la distance d’un point au fil. Ils trouvèrent par la suite l’expression définitive du champ :

B = RI

πµ20 Loi de Biot et Savart pour un fil infini

où µ0 = constante de perméabilité magnétique du vide = 4 π . 10-7 Tm/A Notons que lorsque le milieu considéré est autre que le vide, il nous faut remplacer µ0 par une constante µ différente de µ0. Convention Si l’on saisit le fil avec la main droite, le pouce étant dirigé dans le sens du courant, les autres doigts s’enroulent dans le sens du champ.

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Force magnétique entre 2 fils conducteurs | | En 1820, Ampère démontra que 2 fils parcourus par des courants exercent bien une force l’un sur l’autre :

dIlIFπµ2

102221 =

et le module de la force par unité de longueur exercée sur chaque fil (par exemple F21/ l2 sur le fil 2) est le même :

dII

lF

πµ2

210=

Développement Ceci nous sert à définir l’ampère : Définition : Si 2 longs fils // parcourus par le même courant sont distants de 1 m et si chaque longueur unitaire (1m) est soumise à une force de 2.10-7 N, le courant circulant dans les fils est, par définition, égal à 1 A.

La loi de Biot-Savart

Cette loi nous donne une expression plus générale pour le champ dB(r) créé par une longueur infinitésimale dl de fil parcourue par un courant I à une distance r:

20 sin4 rIdldB θ

πµ

= ou 20

4 rulIdBd r ×

=πµ

Loi de Biot - Savart

Développement :

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Le champ magnétique d’un fil rectiligne Voir exercice 11

Le champ magnétique d’une boucle de courant

Considérons une boucle conductrice parcourue par un courant dans le sens horaire. Grâce à la règle de la main droite, on trouve que chaque élément de fil produit dans son voisinage un champ qui entre dans la page à l’intérieur de la boucle et qui sort de la page à l’extérieur de la boucle.

Convention : Dans une boucle de courant, si on enroule les doigts de la main

droite dans le sens du courant I, le pouce donne le sens de B

dans la région du plan de la boucle située à l’intérieur de la boucle.

Le champ B sur l’axe d’une boucle est donné par :

a

IB2sin30 αµ

=

Développement : Remarques :

1.- Au centre d’une boucle, le champ B vaut : B = aI

20µ (α = 90°)

2.- Si le fil forme N spires (N boucles), le champ magnétique au centre est tout simplement multiplié par N :

B = aNI20µ

Le champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde

Si le point P est à l’intérieur d’un solénoïde très long : B = NI0µ Développement

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Le théorème d’Ampère La loi d’Ampère sert avant tout à calculer le champ magnétique produit par un courant dans des configurations simples. Soit un champ créé par un conducteur rectiligne infini. Nous savons que les lignes de champ sont des cercles concentriques. Si l’on écrit l’équation de Biot - Savart, sous la forme suivante : IRB 0)2( µπ = Nous pouvons l’interpréter de la manière suivante : 1.- le facteur 2πR est la longueur d’un parcours circulaire l autour du conducteur 2.- B est la composante du champ magnétique tangentielle au parcours 3.- I est le courant traversant la surface délimitée par le parcours. De façon plus générale, si dl est un élément de longueur porté par la tangente à une ligne de champ (par exemple circulaire) : Le théorème d’Ampère s’énonce comme suit :

La somme (l’intégrale) du produit scalaireB•dl , appelé circulation C du champ

magnétique B , sur une courbe fermée est proportionnelle au courant enlacé par

cette courbe :

∫ =• IldB 0µ

où I est le courant traversant la surface délimitée par le parcours. La circulation du champ magnétique C est proportionnelle à ce qui crée le champ magnétique : le courant. Faisons la comparaison avec la loi de Gauss vue en électrostatique. Le flux du champ électrique est proportionnel à ce qui crée le champ électrique : la charge. Les constantes sont respectivement µ0 et 1/ε0.

Série : Magnétisme Magnétostatique 1.- Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50 g suit la direction est-ouest. Le champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et à une intensité de 0,8.10-4 T. Pour quelle valeur du courant la force magnétique compense-t-elle le poids du fil ? 2.- Soit un fil conducteur courbé en forme de demi-cercle de rayon R. Il est parcouru par un courant I et son plan est ⊥ à un champ magnétique uniforme B. Trouve la force magnétique totale sur la boucle. 3.- Un proton décrit un cercle de rayon 20 cm, perpendiculaire à un champ B

r

d’intensité 0,05 T. Trouve a.- le module de sa quantité de mouvement b.- son énergie cinétique en eV. 4.- L’armature d’un moteur comporte 8 bobines carrées de 10 cm de côté. Elles sont toutes ⊥ à un champ magnétique B

r radial d’intensité 0,2 T. Si le courant est

de 10 A, trouve : a.- le module du moment de force total b.- la puissance mécanique produite à 1200 tr/min. 5.- Dans le spectromètre de masse de Dempster, 2 isotopes d’un élément de masse m1 et m2 et de charge positive q, sont accélérés à partir du repos par une différence de potentiel ΔV. Ils pénètrent ensuite dans un champ uniforme B

r⊥ aux lignes du

champ magnétique. Quel est le rapport des rayons de leurs trajectoires ?

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6.- On utilise un cyclotron pour accélérer des protons à partir du repos. Il a un rayon de 60 cm et il est le siège d’un champ magnétique de 0,8 T. La différence de potentiel aux bornes des demi-cylindres est de 75 kV. Détermine : a.- la fréquence de la différence de potentiel alternative b.- l’énergie cinétique maximale c.- le nombre de révolutions effectuées par les protons 7.- Un proton effectue 100 révolutions dans un cyclotron et sort à partir d’une trajectoire circulaire ayant un rayon de 50 cm et une énergie de 10 MeV. Trouve : a.- le champ magnétique dans le cyclotron b.- la différence de potentiel entre les 2 demi-cylindres c.- la fréquence de la source de tension 8.- Quel rayon doit posséder un cyclotron pour être en mesure d’accélérer des particules alpha (m = 4 u, q = 2e ) et leur procurer une énergie cinétique de 10 MeV dans un champ magnétique de 1,2 T ? 9.- Un courant de 2A circule dans une plaquette métallique d’épaisseur 0,1 mm et de largeur 0,8 cm. Dans un champ magnétique de 0,8 T normal à la largeur de la plaquette, la tension de Hall est égale à 1,4 µV. Quel est le nombre d’électrons par unité de volume ? 10.- Quelle serait l’intensité du courant circulant dans une boucle circulaire de rayon 4 cm pour que le champ magnétique au centre ait la même grandeur que le champ terrestre, soit 0,8 Gauss ? 11.- Utilise la loi de Biot-Savart pour confirmer que le champ magnétique B près du milieu d’un fil rectiligne infiniment long, transportant un courant d’intensité I, est bien donné par

B = 0

2Ir

µπ

12.- Un conducteur rectiligne infini de rayon R est parcouru par un courant I. Détermine le champ magnétique à une distance r du centre du conducteur à l’aide du théorème d’Ampère pour : a.- r > R b.- r < R On suppose que le courant est distribué uniformément sur la section transversale du conducteur

13.- Un solénoïde infini comporte N spires par unité de longueur et il est parcouru par un courant I. Détermine son champ magnétique à l’aide du théorème d’Ampère 14.- Une bobine toroïdale (en forme de bouée) est faite de N spires jointives parcourues par un courant I. On suppose qu’elle a une section transversale rectangulaire. Détermine le champ magnétique à l’intérieur du tore.