TOLÉRANCEMENT

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LE TOLÉRANCEMENT INERTIEL :L'OPTIMISATION DES CONDITIONS DE PRODUCTION

DANS LE RESPECT DE L'EXIGENCE CLIENT

Par Dimitri DENIMALMaurice PILLET

et Jacques SAPPEI

L'obtention de la qualité et de la fiabilité des produitsassemblés sont essentielle-ment dues aux respects des tolérances de chaquecaractéristique, expriméestraditionnellement sous laforme d'un bipoint [Min Max].Contrairement au toléran-cement traditionnel, le tolé-rancement inertiel abandonnecette notion de bipoint pourtolérancer la caractéristiquepar une cible et une inertiemaximale autour de cettecible. De ce fait, ce mode detolérancement présente detrès nombreux avantagesdans le cas de produitsassemblés. Différents travauxnotamment dans le cadre duprojet européen Interreg IIIa :"Tolérancement des SystèmesAssemblés" ont confirmés cesavantages. Dans un espritd'expérimentation à plus grandeéchelle, un groupe industrielcréé sous l'égide de Thèsameet du laboratoire SYMME seréuni depuis plus d'un an etdemi dans le cadre du pôle de compétitivité “Arve-IndustrieMont Blanc”. Les résultatsconcluants de ces expérimen-tations ont poussé ce groupede travail a lancé, depuis janvier 2008, une action denormalisation auprès de l'Union

de Normal isat ion de laMécanique (UNM). Cette dernière est soutenue par plusieurs grands donneurs.(Renault, PSA, SchneiderElectric, SOMFY, Volvo Powertrain, SNECMA…). Afin depréparer ce changement, le CTDEC propose, à l'ensembledes secteurs d'activités, de lancer une opération d 'accompagnement pour la mise en place du tolérance-ment inertiel.

Introduction

Le tolérancement consiste à

tenter de concilier deux préoc-

cupations antagonistes :

> Fixer des limites de variabilité

acceptable les plus larges possi-

bles pour diminuer les coûts de

production.

> Assurer un niveau de qualité

optimal sur le produit fini.

Deux approches bien décrites

dans la littérature tentent de

résoudre ce problème : le toléran-

cement au pire des cas et le

tolérancement statistique. Le tolé-

rancement au pire des cas garantit

l'assemblage dans toutes les

situations à partir du moment où

les caractéristiques élémentaires

sont dans les tolérances. Le tolé-

rancement statistique tient

compte de la faible probabilité

d'assemblages d'extrêmes entre

eux et permet d'élargir de façon

importante les tolérances pour

diminuer les coûts.

La première méthode garantit

la qualité au détriment du coût,

la seconde garantit le coût au

détriment de la qualité. Le toléran-

cement inertiel propose une autre

voie permettant de concilier ces

deux objectifs.

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TOLÉRANCEMENT

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Les différentes approches du tolérancement dans le cas des assemblages

Dans le cas général du toléran-

cement d'un assemblage, le

problème consiste à déterminer

les tolérances sur les caracté-

ristiques élémen-taires Xi pour

obtenir une caractéristique Y

satisfaisant le besoin des clients.

TOLÉRANCEMENT AU PIRE

DES CAS

Dans ce cas, on considère que

dans tous les cas d'assemblage,

la tolérance sur Y sera respectée.

En cas d'une chaine de cote unidi-

rectionnelle, et en répartissant de

façon uniforme les tolérances.

Cela conduit à une tolérance TXi

sur chaque caractéristique Xi de

la chaine égale à la tolérance de

la caractéristique résultante (TY)

divisée par le nombre de cotes

dans la chaîne (n).

TOLÉRANCEMENT STATISTIQUE

Le tolérancement statistique a été

développé pour tenir compte

de l'aspect combinatoire des

tolérances. On sait que dans

le cas d'addition de variables indé-

pendantes, les variances s'addi-

tionnent. Ainsi, dans le cas de

chaines de cotes unidirectionnelles

et en supposant les tolérances

proportionnelles à l'écart type, on

obtient :

Dans ce type de tolérancement,

une des hypothèses fondamentales

est le centrage de toutes les

caractéristiques élémentaires Xi

sur la valeur cible. Le tolérance-

ment statistique permet donc

“d'élargir” les tolérances par √n, n

étant le nombre de composants.

Ainsi pour un assemblage de 4

cotes, on double la tolérance !

LA DÉCISION DE CONFORMITÉ

SUR LES CARACTÉRISTIQUES

ÉLÉMENTAIRES

Dans les deux types de tolérance-

ment, la décision de conformité

n'est pas identique. Illustrons ce

propos par l'exemple de la figure 1

(animation qui peut être téléchar-

gée sur le site :

http://web.qlio.univ-savoie.fr/pillet).

fig. 1 - Exemple de tolérancement

Dans le cas d'un tolérancement au

pire des cas (figure 2), la décision

de conformité sur une caractéris-

tique élémentaire est simple à

prendre. Si la caractéristique est

dans les tolérances, elle est

conforme sinon elle n'est pas

conforme. Cette restriction peut

être très sévère et il est facile de

trouver des situations qui seraient

refusées mais qui donneraient

pourtant satisfaction au niveau du

jeu et donc de la fonction finale du

produit. C'est notamment le cas

de la figure 2 pour laquelle les

trois caractéristiques sont parfai-

tement centrées. On constate des

rebuts sur chacune des caracté-

ristiques, et pourtant il n'y a qu'une

infime probabilité de trouver des

non-conformités sur la caractéris-

tique résultante Y.

fig. 2 - Assemblage avec un tolérancementpire des cas

La notion de conformité est plus

complexe dans le cas d'un toléran-

cement statistique. La détermination

des tolérances est fondée sur une

distribution et pas sur des cas

particuliers. Dans ce cas se pose

le problème de l'acceptation d'une

pièce. Doit-on accepter une pièce

en limite de tolérance ?

Là encore on peut facilement trouver

des situations délicates (figure 3)

dans lesquelles toutes les caracté-

ristiques sont acceptées (en limite

de tolérance) mais qui pourtant

donnent des non-conformités sur

la caractéristique Y. Ce qui est

grave d'un point de vue qualité.

nTT Y

Xi =

nTT Y

Xi =

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TOLÉRANCEMENT

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fig. 3 - Assemblage avec un tolérance-ment statistique.

En fait, le tolérancement par zone

montre ces limites. Il n'est pas

possible de trouver des limites de

tolérance, qui garantisse à la fois

la sécurité pour le concepteur et

l'acceptation d'une variabilité au

juste nécessaire pour le produc-

teur. Ce système de tolérance-

ment par zone qui nous semble si

naturel parce que nous l'utilisons

depuis tellement d'années est en

fait générateur d'au moins trois

incohérences majeures :

L'incohérence fonctionnelle :

Un lot conforme au niveau des pièces

élémentaires ne garantit pas l'as-

semblage (cas statistique) et un lot

non conforme peut conduire à un

assemblage conforme (pire des cas).

L'incohérence de conformité :

Les indicateurs de capabilité

utilisés actuellement comme le

Ppk aboutissent à juger non

conforme un mélange de lots indi-

viduellement conformes !

Incohérence économique :

Il n'existe pas de lien entre la

conformité d'un mot et l'importance

du coût de non-qualité généré par

les écarts accepté par rapport à

la cible !

Ces trois incohérences imposent

de rechercher de nouvelles appro-

ches pour définir la conformité

d'une caractéristique élémentaire.

Le tolérancement inertiel apporte

une réponse innovante qui permet

de travailler avec dans une chaine

logistique centrée sur la satisfaction

du besoin du client final du produit.

Le tolérancement inertiel

DÉFINITION DU TOLÉRANCE-

MENT INERTIEL

Le but du tolérancement consiste à

déterminer un critère d'acceptation

sur les caractéristiques élémentai-

res Xi garantissant la conformité

sur la caractéristique résultante Y

quelles que soient les quantités

produites. En plaçant une tolérance,

le concepteur prend un risque de

non-qualité par rapport à la situation

idéale représentée par la cible. La

tolérance permet de limiter le coût

de non-qualité généré par un écart

par rapport à cette cible. Lorsque

Y est placée sur la cible le fonc-

tionnement sera idéal. Lorsque Y

s'éloigne de la cible, le fonctionne-

ment sera de plus en plus sensible

aux conditions, et pourra entraîner

une insatisfaction chez le client.

Taguchi a démontré que la perte

financière associée à un écart par

rapport à la cible était proportion-

nelle au carré de l'écart par rapport

à la cible (décentrage).

Dans le cas d'un lot, la perte asso-

ciée est :

Le terme variable

est homogène à une “inertie” des

valeurs autour de la cible, c'est

pourquoi nous appellerons inertie

le terme :

C'est le principe du tolérancement

inertiel qui propose de remplacer

le tolérancement classique Y±∆Y

par une tolérance Y(IY) dans

laquelle Iy représente l'inertie

maximale que l'on accepte sur la

variable Y. Cette nouvelle façon de

déterminer les tolérances pos-

sède de très grandes propriétés

comme nous le montrerons dans

cet article.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Le tolérancement inertiel d'un lot

d'une caractéristique Xi s'écrit :

avecσXi : l'écart type de la distribution

des XiδXi : L'écart entre la moyenne de

la distribution Xi et la cible.

On note la tolérance de la façon

suivante : Cible (IXi).

( )2CibleYkL i −=

(( ) )22 CibleYkL i −+= σ

(( ) )22 CibleYI i −+= σ

( )22XiiXiXI δσ +=

I2 = 2 + 2δσ

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TOLÉRANCEMENT

Remarque : cette notation s'appli-

que dans cet article. Elle fait l'objet

d'un projet de norme actuellement

en discussion à l'UNM.

Ainsi, une tolérance notée 10

(I0.1) aura une cible de 10 et une

inertie maximale égale à 0.1.

Son interprétation est donc relati-

vement immédiate dans les deux

situations suivantes :

Situation 1 : La production est

parfaitement centrée sur la cible

(δXi = 0). Dans ce cas, l'inertie est

égale à l'écart type maximal auto-

risé dans le cas d'une production

centrée.

Situation 2 : La dispersion est

nulle (δXi = 0). Dans ce cas, l'inertie

est donc égale au décentrage

maximal autorisé sur la moyenne.

La figure 4 est une représentation

graphique du tolérancement inertiel.

Ainsi, en calculant l'écart δ compte

tenu de l'écart type du lot. Il est

possible de définir l'acceptation ou

non du lot.

fig. 4 - Représentation du tolérancementinertiel

Dans cet exemple on visualise faci-

lement que le lot est acceptable…

sans une grosse marge : la moyenne

est comprise dans l'intervalle

permis… compte tenu de la disper-

sion. On peut également calculer

des indicateurs Cp et Cpi pour

faciliter l'interprétation du toléran-

cement inertiel par les relations :

Comme nous l'avons précisé, le

tolérancement inertiel ne prend

pas comme hypothèse la normalité

des répartitions. Cpi peut donc être

calculé même dans le cas de

répartition non normale. La

conformité est acceptée si Cpi est

supérieur à 1.

TOLÉRANCEMENT INERTIEL

DANS LE CAS D'UN ASSEM-

BLAGE

Le calcul du tolérancement inertiel

dans le cas d'un assemblage est

très simple, il suffit de calculer en

position centrée sur les cibles

quels écarts types on peut accepter

sur chaque élément de la chaîne

de cote.

Comme l'inertie est égale à l'écart

type en position centrée, on obtient

donc immédiatement l'inertie à

mettre au plan.

APPLICATION SUR L'EXEMPLE

DE LA FIGURE 1

Pour déterminer l'inertie maximale

sur Y (le Jeu), on va considérer

une situation centrée avec une

dispersion à 6 écarts types dans

la tolérance. (Figure 5).

Dans cette configuration on a :

(Exprimée en µm2)

Comme il y a trois caractéristi-

ques, on divise cette variance par

3 pour avoir la variance maximale

permise sur chaque caractéristique

élémentaire (8.33). L'inertie est

alors immédiate :

(Exprimée en µm2)

fig. 5 - Définition de l'inertie résultante

APPLICATION SUR L'EXEMPLE

DE LA FIGURE 1

Le but de la décision de conformité

sur une caractéristique est de

garantir la conformité du produit

fini. On a vu que dans le cas du

tolérancement au pire des cas, on

pouvait refuser à tort la conformité

de caractéristiques élémentaires

figure 2. Dans le cas du tolérance-

ment inertiel ce cas de figure ne

peut pas arriver. Dans le cas d'un

centrage parfait de la production,

on peut tolérer sans risque pour la

caractéristique fonctionnelle une

dispersion identique au cas du

tolérancement statistique (figure

6 - cas de l'axe) L'inconvénient du

tolérancement statistique provient

des décentrages. Dans le cas d'un

tolérancement inertiel, le risque

d'accepter des caractéristiques

qui pourrait mettre en péril la

fonction du produit (figure 3) est

supprimé.

fig. 6 - Tolérancement Inertiel, caractéris-tique décentrée

iXI σ=iX

δI =iX iX

MaxICpσ

=iX iX

Max

IICpi =et

( ) 25222 =+= yyyI δσ

83.23

253

2

=== yx

II

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TOLÉRANCEMENT

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La figure 6 montre une situation

extrême du tolérancement inertiel

avec deux caractéristiques décen-

trées au maximum (Cpi proche de 1)

mais qui ne mettent pas en péril la

caractéristique fonctionnelle.

Application dans le cadre du pôle de compétitivité

Les différentes expérimenta-

tions du tolérancement inertiel

au sein du pôle de compétitivité

ont permis de développer des

outils robustes et proches de la

réalité industrielle. Ces outils

sont dédiés aux clients comme

aux fournisseurs. Dans la par-

tie suivante, nous présentons

deux outils développés au sein

de ce groupe de travail.

ASSURER UN PPM OU UN CPK

SUR LA CONDITION RÉSUL-

TANTE

L'exigence client sur une caracté-

ristique résultante s'exprime

souvent par les indicateurs Cpk ou

ppm. Ces deux indices sont liés

par la relation suivante :

Avec φ la loi de distribution nor-

male centrée réduite.

Pour un Cpi donné pour chaque

caractéristique et n le nombre de

cotes, il est possible de détermi-

ner le Cpk résultant donc la valeur

en nombre de ppm.

Ainsi, à partir de l'exemple présenté,

le calcul de l'inertie aboutira à un

Cpk de :

Comme nous pouvons le constater

si l'exigence client est de 1 sur le

Cpi de chaque caractéristique

alors il peut s'attendre à avoir

dans la plus mauvaise configuration

un ppm de 7150. Cependant, la

modification de l'exigence client

permettrait d'améliorer le Cpk

résultant donc de réduire le nom-

bre de ppm. Ainsi si son exigence

passe à 1.33, il en déduit un Cpk

dans la plus mauvaise configura-

tion est de 1350 ppm.

Ce ppm calculé peut très bien ne

pas convenir au client. La relation

précédente lui permet à partir de

la connaissance de son Cpk d'en

déterminer l'exigence minimale

sur le Cpi de chaque caractéristi-

que. Reprenons notre exemple et

considérons un CpkY=2.3 (0 ppm),

soit un Cpi minimal de 1.62. La

valeur de l'inertie originale étant

de 2.83 dans un calcul sans

contrainte on en déduit une inertie

de 1.74 pour chaque caractéristi-

que (Soit un ITi=6*1.74=10.43).

En traduisant l'expression de cette

contrainte en intervalle de tolé-

rance nous obtenons par rapport

au pire des cas (ITi=25/3=8.333)

un gain de 25% de l'intervalle de

tolérance sur chaque composant.

Ainsi, de part l'inertie, la fonction-

nalité de l'assemblage est assurée

avec la certitude d'un 0 ppm tout

en augmentant l'intervalle de tolé-

rance (la capacité à réaliser) du

fournisseur comparé à un toléran-

cement pire des cas.

L'inertie propose le beurre et

l'argent du beurre !

PILOTER LE MOYEN DE PRO-

DUCTION EN INERTIE

La définition de l'inertie est une

approche intéressante pour le

client car elle lui permet de

contrôler son exigence qualité et

d'augmenter la faisabilité. Pour le

fournisseur, le pilotage selon l'inertie

lui donne la capacité d'exploiter au

mieux les variations autorisées

par l'inertie (décentrage du moyen

de production). Comparé à la

Maîtrise Statistique des procédés

(MSP), le pilotage selon l'inertie

vient renforcer la méthode. En

effet, le langage est unique entre

le concepteur et les opérateurs de

fabrication. Pour le premier l'inertie

se traduit par un sigma, pour le

second, l'inertie se traduit par la

satisfaction de l'inertie du plan

(Imax) qui se compose de deux

paramètres qui sont le décalage

par rapport à la cible et l'écart

type de l'échantillon prélevé. Nous

retrouvons, ici, les deux paramètres

clés pour limiter la variabilité d’un

( )( ) 100000031 ×−= YCpkppm φ

9nCpCpk iY −=

ppm715082.0931 ⇔=−=YCpk

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TOLÉRANCEMENT

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processus de fabrication introduit

par les deux pères de la MSP en

1931, W.E. Deming et W.A.

Shewhart.

Le graphique suivant illustre l'évo-

lution des limites de contrôle des

cartes traditionnelles (Shewhart)

et aux inerties. L'observation de

ce graphique présente une

décroissance des limites de la

carte de contrôle de Shewhart en

fonction de l'augmentation de la

capabilité du procédé. En effet, les

limites de contrôle traditionnelles

sont calculées en fonction de la

capabilité intrinsèque du processus.

Si bien que, plus la capabilité du

processus augmente plus les limites

de la carte de contrôle se resser-

rent. Cela se traduit par une

fréquence de contrôle beaucoup

plus élevée et aboutie à un Ppi

très au dessus de l'exigence

client, donc inévitablement à une

perte de productivité de l'opéra-

teur. À la différence des cartes de

contrôles traditionnelles, les limi-

tes des cartes de contrôle aux

inerties vont augmenter. Ainsi

pour des valeurs différentes de

capabilité, le niveau de qualité

sera identique et présentera une

valeur de Ppi pouvant être défini

par le fournisseur.

La force de la carte de contrôle

aux inerties se trouve dans cet

aspect. Celui d'utiliser au maxi-

mum le potentiel de variation

(décentrage) qu'autorise le tolé-

rancement inertiel sans pour

autant négligé l'exigence client et

la productivité du fournisseur

souvent réduite par des contrôles

superflues.

Un des principes de base de la

qualité est la conformité.

Cependant, cette conformité, si elle

est relativement facile à définir

pour un produit fini, n'est pas triviale

dans le cas de caractéristiques

élémentaires. La décision de

conformité dans ce cas ne doit

pas porter sur la caractéristique

concernée, mais plutôt sur l'inci-

dence de la configuration de la

caractéristique dans la qualité du

produit en final. Les systèmes de

tolérancement actuellement utili-

sés, prennent tous comme postu-

lat de départ qu'une tolérance doit

être définie par un bipoint [Min ;

Max]. Nous avons montré dans ce

papier que l'on pouvait imaginer

une autre façon de définir les tolé-

rances en définissant l'inertie

maximale autour de la cible. Cette

nouvelle façon de concevoir le tolé-

rancement offre de nombreux

avantages et principalement de

concentrer la décision de confor-

mité sur la qualité du produit fini

plutôt que sur l'évaluation d'un

pourcentage de non conformes au

niveau de la caractéristique élé-

mentaire. Ainsi, il est possible de

trouver le meilleur compromis

entre les libertés de dispersion

laissées à la production (le coût de

production) et la qualité souhaitée

sur le produit fini. Une présenta-

tion partielle de deux outils donne

un aperçu sur les avantages que

peut offrir l'inertie. Cette présen-

tation a porté sur la spécification

en ppm de l'exigence client et le

pilotage d'une fabrication avec

l'inertie. D'autres outils tout aussi

performants ont été développés

au sein du pôle Arve-Industries,

comme le contrôle réception, le tri

d'une population, la définition de la

capabilité des moyens de contrôle…

Afin d'appuyer votre démarche de

mise en place de l'inertie dans

votre entreprise, le CTDEC propo-

sera, dans le dernier trimestre

2008, une formation pour vous

préparer à la résolution de problé-

matique industrielle par l'inertie.

Cette formation commune se

déroule en une journée consistant

en la présentation de l'inertie.

Ensuite un suivi personnalisé pour

chaque entreprise sera réalisé

pour mener à bien votre projet.

Conclusion

Plus d'informations :

Sur l'inertie :

dimitri.denimal@univ-savoie.fr

Sur la formation :

j.sappei@ctdec.com

Remarque :

L'ensemble de ces outils sont disponibles

et décrits dans une monographie complète

sur le tolérancement inertiel disponibles

sur le site :

http://web.qlio.univ-savoie.fr/pillet

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