Panache thermique

1 Mouvements convectifs dans un liquide

1.1 Introduction

Le montage experimental propose illustre de maniere simple la mise en mouvement d’un fluidepar convection (Fig. 1a). Ce fluide (ici de l’eau) est contenu dans une enceinte ponctuellementchauffee dans sa partie inferieure (la surface est en contact avec l’air ambient de temperatureinferieure). La densite du liquide diminue legerement sa densite au voisinage du point chaud,ce qui engendre son ascension a la maniere d’une mongolfiere. Ce phenomene est omnipresentdans la vie quotidienne : il fait monter la fumee a la sortie d’une cheminee et conduit audepot de poussieres au dessus des radiateurs. En cas d’incendie, il est ainsi conseille de sebaisser tres pres du sol pour limiter les risques d’asphyxie. A bien plus grande echelle, cesmouvements convectifs sont a l’origine des climats et des mouvements geothermiques desplanetes ”chaudes” et des etoiles (Fig. 1b). Ce montage permet egalement de mettre enœuvre une technique tres utilisee en mechanique des fluides, la ”Particle Image Velocimetry”.

(a) (b)

Figure 1: Convection d’un liquide: (a) montage experiemental, (b) manteau terrestre.

Pour realiser cette experience de convection, on essaiera d’ajuster la temperature du pointchaud autour de 30o − 35o, la partie superieure du fluide etant proche de la temperatureambiante (typiquement 25o). Ces temperatures sont donnees par des thermocouples.

1.2 Modele simplifie de panache thermique

Un modele extremement simplifie permet d’evaluer avec peu de calculs l’ordre de grandeurde la vitesse du fluide qui s’eleve dans le panache thermique. On considere que l’ecoulementest caracterise par la vitesse d’ascension V et par une longueur L representative de la largeurdu panache (le gradient de vitesse est d’ordre V/L). La vitesse d’ascension peut etre evalueeen ecrivant qu’elle resulte d’un equilibre entre la force de flottabilite et la friction visqueuseou l’inertie du fluide selon la valeur du nombre de Reynolds, Re ∼ V L/ν.

1

La force de flottabilite est de l’ordre de ∆ρgL3, la variation de masse volumique ∆ρ etant liee ala variation de temperature : ∆ρ = ρ0α∆T , ou α = 1/ρ(∂ρ/∂T ) est le coefficient d’expansionthermique du fluide. Dans le cas de l’eau, ce coeffient est de l’ordre de 2.5 · 10−4K−1.

- Re � 1, la flotabilite s’equilibre avec la force visqueuse. La contrainte (force par unite desurface) de friction visqueuse est, en ordre de grandeur, ηV/L. La force corespondante estdonc Fv ∼ ηV L, ce qui conduit a :

V ∼ α∆TgL2

ν(1)

- Re� 1, la flotabilite s’equilibre avec traınee engendree par l’inertie du fluide. La contrainteinertielle est de l’ordre de ρV 2. La traınee s’ecrit donc Fi ∼ ρV 2L2, ce qui conduit a :

V ∼ (α∆TgL)1/2 (2)

A partir de ces modeles tres simples, estimez l’ordre de grandeur de V .

2 Particle Image Velocimetry (PIV)

D’une maniere generale, la technique de PIV consiste a suivre le mouvement de traceursdisperses dans le fluide, selon une vision lagrangienne de l’ecoulement. Plusieurs conditionssont requises pour realiser avec succes ce type de mesure:

- les particules doivent suivre fidelement le mouvement du fluide ; on choisira donc depetites particules (pour limiter leur inertie) d’une densite voisine de celle du liquide (poureviter leur sedimentation).

- la presence de traceurs ne doit pas alterer l’ecoulement du fluide ; les traceurs serontutilises a faible concentration.

- les traceurs doivent etre detectables ; on choisira des particules d’un indice optiquecontraste par rapport a celui du fluide.Les traceurs choisis pour cette experience sont des particules de nylon d’une taille typiquede 100µm. Legerement plus denses que l’eau, elles ont tendance a sedimenter lentement. Ilfaudra donc les redisperser de temps en temps en agitant le liquide.

2.1 PIV ”du pauvre”

Un plan de liquide est selectionne grace a un faisceau de lumiere. Dans un premier temps,le champ de vitesse dans ce plan sera estime a partir de trainees obtenues sur un clichephotographique avec un long temps de pause. Sur les appareils reflex, la selection du temps depause est possible en mode ”S” (shutter), des temps de 0.25, 0.5 et 1s etant en general adaptes.Les images sont ensuite analysees grace au logiciel ImageJ (pour plus de renseignements surce logiciel gratuit et ”open”, consulter le site http://rsb.info.nih.gov/ij).

Estimer, a partir des cliches photographiques, la valeur absolue et la direction des vitessesdans le fluide. La vitesse caracteristique du panache est elle en accord (en ordre de grandeur)avec la valeur prevue par le modele simple?

2.2 PIV ”du riche”

Une technique plus sophistiquee consiste a suivre les traceurs en filmant leur movement.On cherche alors a mesurer le deplacement en comparant deux images successives. La

2

determination du champ de deplacement (et donc de vitesse) s’effectue en calculant la correlationentre deux portions d’images successives. On effectuera ce traitement grace au logiciel ImageJ.Le principe est le suivant: deux images successives sont decoupees en portions identiques etla fontion de correlation entre deux portions successives est determinee (l’ordinateur realisela multiplication des TF des deux images puis effectue la TF inverse du produit). Le decalagedu pic de correlation par rapport au centre indique le deplacement des particules (Fig2). Ceprocessus est automatise dans le plugin PIV (la taille choisie pour les portions doit etre unepuissance de 2 a cause du calcul des TFs). On peut ameliorer se procede par une iterationsupplementaire : la fenetre initiale est correlee avec une fenetre de la seconde image decaleedu deplacement calcule lors de la premiere iteration. Le pic d’iteration est alors plus marque,ce qui permet de le determiner plus precisement. Une estimation ”sub-pixel” du pic estegalement possible en interpolant les valeurs discretes obtenues.

Vδt

Vδt

Figure 2: Principe de la mesure. (a) mouvement des traceurs entre deux images, (b)correlation entre deux images successives

Determiner le champs de vitesse grace a cette methode. Quelles conditions doivent etreverifiees pour obtenir un resultat satisfaisant? (taille des sous-images, densite de particules,intervalle de temps entre deux images ...)

3 Points chauds multiples, ecoulements 2D

Le montage experimental permet d’observer ce qui se passe lorsque plusieurs points chaudsagissent en meme temps. Interagissent-ils?

Une maquette additionnelle permet egalement d’etablir un ecoulement bi-dimensionel (unetelle geometrie peut etre pertinente dans certaines situations pratiques mettant en jeu desecoulements confines). La structure du panache a 2D est-elle la meme qu’a 3D? (On pourracomperer ce resultats avec ceux obtenus en simulation numerique)

3