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MMA ou Méthodes Mathématiques pour Agrégés
Karol Kozlowski
4 octobre 2007
La physique est une science qui tente classifier et codifier les observations expéri-mentales via des lois mathématiques. Le but ultime de ce jeu consiste à trouver unethéorie qui décrirait une classe très large de phénomènes tout en étant basée sur unnombre minimal de principes. Parmi les succès de cette approche on peut sans craintesciter l’électrodynamique classique et ses fameuses équations de Maxwell. Certes, cettethéorie est jolie et efficace mais son maniment effectif nécessite un certain bagagemathématique. L’analyse des équations de Maxwell s’avère fort compliquée : ce sontdes équations aux dérivées partielles (EDP). Cette analyse fait appel aux fonctions deGreen qui permettent d’exhiber des solutions explicites. Or la construction de fonc-tions de Green repose sur les transformées de Fourier et Laplace. Bien évidement,le cadre d’utilisation de ces transformée en physique sort largement du domaine desfonctions de Green (optique ondulatoire, électrocinétique,...)
Toutefois, avant de ce familiariser avec ces objet il sera nécessaire de rappelerles rudiments de la théorie de fonctions d’une variable complexe : les fonctions diteholomorphes. Ce sera le sujet du premier chapitre de ce cours. Le deuxième chapitretraitera des séries de Fourier ainsi que de leur généralisation naturelle : la transforméede Fourier. Puis, on passera à l’étude de la transformée de Laplace. Enfin ce coursse termine par un chapitre consacré aux fonctions de Green et à leur application àla résolution de certaines EDP. Dans la mesure du possible l’utilisation de tel ou teloutil sera illustré par des exemples physiques.
Ce cours est une continuation du cours de S. Paulin dispensé pendant les années2004-2006. Je suis fort reconnaissant à Sébastien pour ses notes de cours dont je mesuis partiellement inspiré.
1 Analyse Complexe
Le but de cette partie du cours est d’étendre le calcul fonctionnel à C ' R2. Ilest bien connu que l’analyse des fonctions de plusieurs variables est nettement pluscompliquée que celle des fonction de R dans R. Entre autres , la notion de dérivabilitése complique, sans parler de construction de primitives -encore faut-il donner un sensà cet objet !-. De plus, on perd beaucoup de théorèmes si chers à l’analyse d’une va-riable réelle tel le théorème des valeurs intermédiaires 1. Il existe cependant une classe
1ce théorème étant un outil important pour justifier des majorations
1
très particulière de fonctions de deux variables : les fonctions dites C-dérivables. Cesfonctions bénéficient de propriétés très particulières qui vont être sources de nombreuxrésultats très fort. On verra notamment comment calculer des intégrales compliquésvia un simple développement limité. Les acquis de cette première partie serviront danstoute la suite du cours.
1.1 La C-dérivabilité
Soit Ω un ouvert de R2 et f : Ω → R2. f est donc une fonction de deux variablesà valeur vectorielle. Dans la mesure où C ' R2 via la correspondance
~z = x~ex + y ~ey ←→ z = x + iy (~ex, ~ey) base canonique deR2, (1.1)
on peut représenter un vecteur de R2 par un nombre complexe2. La fonctions pré-cédemment introduite s’interprète donc naturellement comme application d’un ouvertΩ de C dans C.
Définition 1.1 On dira que f est C-dérivable en z0 (où encore holomorphe en z0) si
limz→z0
f (z)− f (z0)z − z0
= limh→0
f (z0 + h)− f (z0)h
existe. (1.2)
Dans ce cas on conviens de noter cette limite f ′ (z0), et la fonction associée toutsimplement f ′. Précisions que dans le calcul de cette limite, la variable z peut approcherle point z0 de manière arbitraire 3. Cette libérté d’approcher z0 rends à priori le calculde cette limité plus compliqué que dans le cas d’une variable réelle.
Clairement, tout comme la dérivation usuelle, la C-dérivabilité est une opérationlinéaire qui satisfait à la propriété de Leibnitz 4.
(αf + βg)′ (z) = αf ′ (z) + βg′ (z) (f g)′ (z) = f ′ (z) g (z) + g′ (z) f (z)
(fog)′ (z) = g′ (z) f ′ (g (z))(
f
g
)′(z) =
f ′ (z) g (z)− g′ (z) f (z)f2 (z)
Définition 1.2 Si f est holomorphe ∀ z ∈ Ω, où Ω est l’ouvert de définition de f , ondira que f est holomorphe sur Ω ce que l’on note encore f ∈ O (Ω)
Exemple 1.1 Pn : z → zn est C-dérivable sur C. En effet,
(z0 + h)n − zn0
h=
n∑
k=1
Cknzn−k
0 hk−1 −→h→0
n zn−10 (1.3)
2On peut de même coder un vecteur de R4 par un nombre quaternionique, ce qui a aussi desapplications en physique !
3on peut par exemple osciller autour de z0 avec une amplitude qui diminue lentement4du moins si toutes les limites en question existent, mais on ne se souciera pas de cette question
dans la suite. En effet, les fonctions qui interviennent en physique sont, le plus souvent, bonne dupoint de vue mathématique !
2
Ici l’on a fait usage de la formule du binôme. Ainsi, par combinaison linéaire, toutpolynôme est C dérivable.
Dans la mesure ou tout polynôme est C-dérivable, on peut s’attendre que certainesfonctions limite de polynômes le sont aussi. En effet, c’est le cas des séries entièrescomme le stipule l’exemple suivant.
Exemple 1.2 Soit an une suite dans C telle qu’il existe R > 0, de sorte que ∀r ∈] 0 ; R [ ,
+∞∑n=0
| an | rn < +∞. Alors g (z) =+∞∑n=0
an (z − z0)n définit une fonction
C-dérivable. De plus la convergence de la suite vers la fonction est uniforme sur toutcompact du disque ouvert D (z0, r) de rayon r et centré en z0. Enfin les dérivées de gs’obtiennent en dérivant terme-à-terme :
g′ (z) =+∞∑
n=0
nan (z − z0)n−1 (1.4)
Définition 1.3 Soit Ω un ouvert de C. On dit que f : Ω → C est DSE en z0 si ilexiste an ∈ CN et R > 0 tels que f soit limite uniforme de la série
∑
n≥0
an (z − z0)n (1.5)
sur tout compact du disque ouvert D (z0, R). En particulier, f est limite uniformede la série sur tout disque fermé D (z0, r) ∀r ∈ [ 0 ;R [.
Le lecteur vérifiera que dans ce cas on a f (n) (z0) = n!an, où f (n) (z0) est la nim
C-dérivée de f. Ainsi on voit que les fonctions DSE sont infiniment C-dérivables. Lesfonctions usuelles suivantes , en raison de leur écriture comme série entière, sont ho-lomorphes sur C sauf la dernière qui est holomorphe à priori sur D (0, 1) :
ez =+∞∑
n=0
zn
n!(1.6)
cos (z) =+∞∑
n=0
(−1)n z2n
(2n)!(1.7)
sin (z) =+∞∑
n=0
(−1)n z2n+1
(2n + 1)!(1.8)
cosh (z) =+∞∑
n=0
z2n
(2n)!(1.9)
sinh (z) =+∞∑
n=0
z2n+1
(2n + 1)!(1.10)
(1 + z)α =+∞∑
n=0
(α) (α− 1) . . . (α− n + 1)zn
n!(1.11)
3
La C-dérivabilité est une propriété très restrictive. On verra plus loin que
C-dérivable ⇒ analytique (DSE en tout point) ⇒ C∞ (R2,R2
).
Bien évidemment il existe des fonctions C∞ (R2,R2
)mais non C-dérivables. Typique-
ment f : z → z. En effet, posons h = ρeiθ
limh→0
h
h= lim
ρ→0;ρeiθ
ρeiθ= lim
ρ→0e−2iθ (1.12)
Et la dernière limite n’existe pas. Pour s’en convaincre, prendre un coup θ = 0 et uncoup θ = π/2. Or f : (x, y) → (x,−y) est C∞ (
R2,R2). En fait on peut comprendre
la C-dérivabilité comme suit. On exprime f : R2 → R2 comme f (x, y) = f (z, z) avecz = x + iy. Si f ne depends pas de z dans ce changement de variables et que f (x) estdérivable au sens usuel alors f est derivable au sens complexe.
En imposant à la différentielle de la fonction de deux variables f (z) d’être C-linéaire, on montre que la C-dérivabilité est équivalente à un système d’équations auxdérivées partielles (EDP) vérifié par les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Proposition 1.1 Soit f (z) = <f + i=f alors f est C-dérivable ssi les équations deCauchy-Riemann sont satisfaites
∂<f
∂x=
∂=f
∂yet
∂<f
∂y= −∂=f
∂xz = x + iy . (1.13)
On reconnaît ci-dessus un analogue avec les équations vérifiées par la pression lorsd’une propagation du son. Notamment on montre que partie réelle et imaginaire d’unefonction holomorphe vérifient l’équation ∆g = 0, où ∆ est l’opérateur de Laplace bi-dimensionnel (on laisse la preuve en exo). Cette propriété permet, par exemple, deconstruire de nombreuses solutions au problème
u ∈ C2(R2,R
): ∆u = 0∀ (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 et u|∂Ω = g ∈ C0 (∂Ω,R) (1.14)
La méthode de construction de la solution est basées sur les transformation conformes.En gros on résoud le problème du Laplacien dans un domaine où on sait exhiber la so-lution. C’est typiquement la case du disque unité. Ensuite on construit un applicationholomorphe f bijective qui envoie le disque unité sur Ω. Alors, si u est la solution dansle disque unité alors uof−1 est la solution dans Ω. C’est grace à ces transformationque Zukowski a pu étudier le profil de l’écoulement de l’air autour d’une aile d’avion.
1.2 Théorème de Morera, C-analyticité
On commence par rappeler quelques résultats bien connus d’analyse vectorielle
4
Définition 1.4 Soit γ : [ 0 ; 1 ] → C une courbe dans C, ie une application au moinsC1 par morceau d’un intervalle de R dans C. L’intégrale d’une fonction le long de γest par définition :
∫
γ
f (z) dz =
1∫
0
f (γ (t)) γ′ (t) dt (1.15)
Theorem 1.1 Soit ~A un champ de vecteurs C1 (Ω) sur un ouvert Ω de R3. Soit γ unecourbe fermée dans Ω et Σ une surface quelconque qui s’appuie sur γ et orientée parγ. De même soit S une surface fermée dans Ω et V le volume contenu dans S. On aalors
∮
γ
~A.d~l =∫
Σ
~rot ~Ad~S (1.16)
∫
S
~A.d~S =∫
Vdiv ~AdV (1.17)
Theorem 1.2 Soit Ω un ouvert dans C et f : Ω → C. f ∈ O (Ω) si et seulement si(ssi) ∀ courbe γ contenue dans Ω et fermée (γ (0) = γ (1)) on a
∫
γ
f (z) dz = 0 (1.18)
On fera la preuve du si dans le cas où f est supposé C1. L’hypothèse plus restrictive"f C-dérivable" (sans demander la continuité de cette dérivée) rend la démonstartionun peu plus technique.
Preuve — On commence par prouver le si. Pour cela on redérive la formule de Green-Riemann est à partir du théorème du rotationnel. Soit le champ de vecteurs ~A =(P, Q, 0) et γ = (γ1, γ2, 0) une courbe fermée dans R2 × 0 ' C. Enfin, soit Σ lasurface dans R2 × 0 enlacée par γ. Alors,
∮
γ
~A.d~l =
1∫
0
P (γ) γ′1 +Q (γ) γ′2dt =∫
Σ
~rot ~A.~zdxdy =∫
Σ
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dxdy . (1.19)
Soit f C1 (Ω) au sens complexe. Alors f est C1 (Ω) au sens usuel. Soit γ = γ1 + iγ2
une courbe fermée dans C qui défini donc une surface Σ dans C.
∮
γ
f (z) dz =
1∫
0
f (z)(γ′1 + iγ′2
)dt =
∫
Σ
dxdy
(i∂f
∂x− ∂f
∂y
)(1.20)
5
On sépare ensuite en partie imaginaire et réelle. On a
i∂f
∂x− ∂f
∂y= i
(∂<f
∂x− ∂=f
∂y
)− ∂<f
∂y− ∂=f
∂x= 0 (1.21)
en vertu des équations de Cauchy-RiemannIl rest la preuve dans l’autre sens. Soit f ∈ O (Ω), γ une courbe fermée dans Ω et
Γ− (z, ε) le cercle de rayon ε > 0 centré en z0 et parcouru dans le sens des aiguillesd’une montre. ε est choisi suffisamment petit pour que Γ− (z, ε) soit contenu dans γ.
..
z0
ε
Par hypothèse,
0 =∫
γ∪Γ−(z,ε)
f (µ)µ− z
=∫
γ
f (µ)µ− z
dµ +∫
Γ−(z,ε)
f (µ)µ− z
dµ . (1.22)
Comme Γ− (z, ε) est décrit par la courbe γ (t) = z + εe−it ; t ∈ ] 0 ; 2π [, on a
∫
Γ−(z,ε)
f (µ)µ− z
=
2π∫
0
f(z + εe−it
)
εe−it×−iεe−itdt = −i
2π∫
0
f(z − εeit
)dt . (1.23)
Or limε→0
f(z − εeit
)= f (z), | f (
z − εeit) |< max
int(Γ(z,ε))| f |. Ce max existe comm supre-
mum d’une fonction continue sur un compact. On majore donc la suite f(z − iεeit
)par
une constante qui est bien sûr intégrable sur un segment. Les hypothèses du théorèmede convergence dominée étant réunies, on a que
i
2π∫
0
f(z − εeit
)dt −→
ε→0i
2π∫
0
f (z) dt = 2iπf (z) . (1.24)
On en déduit
∫
γ
f (µ)µ− z
dµ = 2iπf (z) (1.25)
6
Puis soit z0 ∈ Ω, montrons que f est DSE dans un voisinage de z0. Soit ε > 0 telque Γ+ (z0, ε) ⊂ Ω. Par ce qui précède
f (z) =1
2iπ
∫
Γ+(z0,ε)
f (µ)µ− z
dµ (1.26)
=1
2iπ
∫
Γ+(z0,ε)
f (µ)µ− z0
× 1
1− z − z0
µ− z0
dµ (1.27)
=1
2iπ
∫
Γ+(z0,ε)
+∞∑
n=0
(z − z0)n f (µ)
(µ− z0)n+1dµ car | z − z0
µ− z0|< 1 (1.28)
(1.29)
Comme | z − z0 |<| µ − z0 | on a convergence normale de la série. L’integration sefaisant sur un segment5, on peut permuter les symboles
∫et
∑. D’où
f (z) =+∞∑
n=0
(z − z0)n
2iπ
∫
Γ+(z0,ε)
f (µ)(µ− z0)
n+1dµ . (1.30)
f est donc DSE en z0 et les coefficient du développement sont donnés par des intégralesde contour. En particulier f est infiniment C- dérivable est ses dérivées en z0 sont
f (n) (z0) =1
2iπ
∫
Γ+(z0,ε)
f (µ)(µ− z0)
n+1dµ . (1.31)
On remarquera que le résultat ne depends pas de la valeur de ε en vertu du théo-rème de Morera. En effet on peut déformer le contour comme suit. Les intégrales surles bords se compensent alors que toute l’intégrale de contour vaux zéro en vertu duthéorème de Morera. DESSIN
Ainsi toute fonction C-dérivable est analytique. L’holomorphie est donc une pro-priété très forte ! Un exemple est donnée par le
Corollaire 1.1 Si f ∈ O (C) et f est majorée alors f est constante.
Preuve — Par ce qui précède on a
f (z) =+∞∑
n=0
anzn an =1
2iπ
∫
Γ+(0,R)
f (µ)µn+1
dµ . (1.32)
En notant M un majorant6 de f , on obtient5[ 0 ; 2π ] après le changement de variable µ = z0 + εeit
6c’est une constante telle que ∀z ∈ C | f (z) |< M
7
| an |< M
2iπ
2π∫
0
dt
Rn−→
R→+∞0 ∀n 6= 0 . (1.33)
Ceci puisque le résultat est indépendant de R.
1.3 Théorème des résidus
Une fonction holomorphe définie sur un domaine Ω admet un DSE au voisinagede tout point de Ω. Cette écriture peut être généralisée afin de pouvoir effectuer desdéveloppement autour de points où la fonction n’est pas définie. Ce type de dévelop-pement est appelé développement en série de Laurent. Par exemple g : z → 1/z n’estpas définit en z = 0. Cependant elle admet 7 au voisinage de 0 un développement enpuissances négative de z. En fait on a le théorème suivant :
Theorem 1.3 Soit f holomorphe dans la couronne centrée en z0 : Cr,R (z0) r <| z − z0 |< R.Alors f admet un développement en série de Laurent dans cette couronne :
f (z) =+∞∑
n=−∞an (z − z0)
n an =1
2iπ
∫
Γ+(z0,R)
f (µ)(µ− z0)
n+1 dµ (1.34)
On remarque que les séries de Laurent sont une généralisation des séries entières auxfonctions qui peuvent avoir une singularité au point z0 où l’on calcule le développe-ment. La singularité peut être :
– un pôle d’ordre N si le développement en série de Laurent démarre à n = −N
ie a−k = 0 ∀k < −N et a−N 6= 0. Par exemple f (z) =1
1− zen z = 1.
– Une singularité essentielle si le développement continu 8 jusqu’à n = −∞ etconverge tant que le rayon interne de la couronne est > 0. Par exemple e1/z =+∞∑n=0
1n!zn
=0∑
n=−∞zn
| n |! .
Définition 1.5 Les fonctions DSL au voisinage de tout point d’un ouvert Ω de Csont appelée méromorphes. On notte encore f ∈M (C). En fait elles peuvent s’écrirelocalement comme le rapport de deux fonctions holomorphes :
f ∈M (Ω) ssi ∀ z ∃U ⊂ Ω ouvert / g, h ∈ O (U) et f |U =g
h. (1.35)
Exemple 1.3 z → cosh z/ (z − a)2 a un pôle d’ordre 2 en a si a 6= iπ/2 + inπ n ∈ Zet un pôle d’ordre 1 - encore appelé simple- si a = iπ/2 + inπ n ∈ Z.
exp1z
=0∑−∞
zn
(−n)!a une singularité essentielle en zéro.
7ici les coefficients de ce développement sont claires !8∀N ∃ k < N | ak 6= 0
8
Exercice 1.1 Développer z → 1z2 + 1
en série de Laurent autour de z = i.
Solution
1z2 + 1
=1
(z − i) (z + i)=
+∞∑
n=−1
(−1)n+1 (z − i)n
(2i)n+2 ; (1.36)
car1
z + iadmet développement suivant au voisinage de i
1z + i
=1
2i + (z − i)=
12i
1
1 +z − i
2i
=+∞∑
n=0
(−1)n (z − i)n
(2i)n+1 (1.37)
Définition 1.6 Le coefficient a−1 est appelé résidu de f en z0. On note Res (f, z0)
Le résidu d’une fonction joue un rôle fondamental dans le calcul d’intégrales,comme le stipule le théorème ci-dessus
Theorem 1.4 Soit f ∈M (Ω), Ω ouvert de C et γ une courbe dans C parcourue dansle sens trigonométrique et entourant au plus une fois les singularités de f . Alors,
∫
γ
f (z) dz = 2iπ∑
z0∈Int(γ)
Res (f (z) , z0) (1.38)
La somme est en fait finie car on peu montrer que les singularité de f (et en particulierles pôles simples qui correspondent au résidus) sont en fait isolées9. On a donc ramenéle calcul d’intégrales à un calcul de développement limité. Une remarque s’imposecependant ici. On est souvent confronté au calcul d’intégrales le long de segments, parexemple sur R, qui sont bien évidement des contours ouverts. Or dans le théorèmedes résidus on intègre le long de contours fermés. L’astuce consiste alors à refermerle contour d’intégration afin de se ramener à une situation où l’on peut appliquer lethéorème des résidus. En général on s’arrange pour que le contour d’intégration ajoutédonne une contribution nulle, comme on le verra dans les exemples suivants.
1.4 Applications élémentaires du théorème des résidus
Pour calculer le résidu d’une fonction ayant une singularité en z = z0 on écrit lafonction comme une fraction rationnelle puis on fait un DL en z = z0 du numérateuret dénominateur.
9à distance non nulle l’une de l’autre
9
Lemme 1 Soit f =g (z)h (z)
où g et h sont holomorphes dans un voisinage de z0. On
suppose que g (z0) 6= 0 et h (z0) = 0 mais h′ (z0) 6= 0. Alors
Res (f, z0) =g (z0)h′ (z0)
(1.39)
Ce lemme va s’avérer fort utile dans le calcul de résidu. Dans la suite, on va illustrerle théorème des résidus sur quelques exemples importants.
Exemple 1.4 Calculer+∞∫−∞
11 + x2
. La fonction z → 11 + z2
est méromorphe sur C
avec deux pôles simples située en i et -i. Commed
(1 + z2
)
dz= 2z on a que
Res (f, i) =12i
et Res (f,−i) = − 12i
. (1.40)
On considère le contour suivant, où l’on a pris R suffisamment grand.
.
-R R0
Fig. 1 – Contour d’intégration.
Le théorème des résidus appliqué à ce contour donne
2iπRes (f, i) =
R∫
−R
dx1 + x2
+∫
CR
dz1 + z2
. (1.41)
Or ∫
CR
dz1 + z2
=
π∫
0
iReitdt1 + R2e2it
∝ 1R
−→R→+∞
0 (1.42)
Ainsi, en passant à la limite R → +∞, on obtiens le résultat bien connu
2iπRes (f, i) = π =
∞∫
−∞
dx1 + x2
. (1.43)
10
Cet exemple illustre l’utilisation du théorème des résidus pour calculer une inté-grale sur R d’une fonction holomorphe. En fait on peut refermer le contour part undemi-cercle à l’infini tant que la fonction décroît plus vite que 1/ | z | lorsque z → +∞dans tout le demi-plan complexe où se trouve le demi-cercle.
Lemme 2 Soit f ∈M (C) telle que | zf (z) | −→z→+∞ 0 lorsque | z |→ +∞ dans tout le
demi-plan complexe supérieur ; Alors
∑
Res(f)
2iπRes (f, z0) =∫
R
f (z) dz . (1.44)
Où la somme porte sur les pôles de f situés dans le demi-plan complex supérieur.De même si f ∈M (C) telle que | zf (z) | −→
z→+∞ 0 lorsque | z |→ +∞ dans tout ledemi-plan complexe inférieur ; Alors
∑
Res(f)
2iπRes (f, z0) = −∫
R
f (z) dz . (1.45)
Où la somme porte sur les pôles de f situés dans le demi-plan complex inférieur.
Le signe moins dans (1.45) est dû au changement d’orientation de l’intégrale decontour lorsqu’on referme l’intégrale par un demi-cercle dans le demi-plan inférieur.En effet, le contour est alors parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre, oùanti-trigonométrique
..
-R R0
Fig. 2 – Contour d’intégration dans le demi-plan inférieur. L’orientation change !
Exercice 1.2 Appliquer ce lemme au calcul de∞∫−∞
dx1 + x2
mais cette fois-ci en refer-
mant par le demi-plan complexe inférieur.
Exemple 1.5 On va calculer∞∫−∞
eikxdx1 + x2
pour k réel.
11
Si k > 0, alors | eikz |< 1 lorsque = (z) > 0. Par conséquent, la fonction décroîtplus vite que 1/ | z | dans le demi plan supérieur. On peut donc renfermer le contourpar un demi cercle à l’infini dans le demi-plan supérieur10. D’où
∞∫
−∞
eikx
1 + x2dx = 2iπRes
(eikx
1 + x2, i
)= πe−k k > 0 . (1.46)
Pareillement, si k < 0 alors | eikz |< 1 si = (z) < 0 et on referme par le demi-planinférieur. Alors
∞∫
−∞
eikxdx1 + x2
= −2iπRes(
eikxdx1 + x2
,−i
)= πek , k < 0 . (1.47)
Au final,
∞∫
−∞
eikxdx1 + x2
= πe−|k|. (1.48)
1.5 Les relation de Kramers-Krönig
Nous allons maintenant deriver les relations de Kramers-Krönig qui relient la dis-persion à la dissipation.
Theorem 1.5 Soit f holomorphe dans le demi-plan complexe supérieur et tendantvers zéro lorsque | z |→ +∞ dans ce plan. Alors
<f (x) = − 1π
vp.
∫
R
=f (y)x− y
dy =f (x) =1π
vp.
∫
R
=f (y)x− y
dy (1.49)
Où vp est la valeur principale
vp.
∫
R
g (y)x− y
= limε→0+
x−ε∫
−∞+
+∞∫
x+ε
g (y)x− y
(1.50)
Preuve —
On intègre la fonction g (z) =f (z)x− z
sur le contour suivant
x
ε
.
γε-R R
10Attention la fonction n’est pas bornée dans le demi plan inférieur
12
La fonction n’as pas de pôles au sein du contour et y est holomorphe donc, parle théorème des résidus, l’intégrale est nulle. De plus, l’intégrale sur le demi-cercletends vers zéro quand R → +∞ car g décroît plus vite que 1/ | z | dans le demi-plancomplexe supérieur. D’où
0 = limε→0+
x−ε∫
−∞+
+∞∫
x+ε
g (z) dz +
0∫
π
f(x + εeit
)
−εeitεieit dt (1.51)
= vp.
∫
R
f (y)x− y
dy + iπf (x) (1.52)
En séparant en partie réelle et imaginaire on obtiens le résultat voulu :
<f (x) = − 1π
vp.
∫
R
=f (y)x− y
dy =f (x) =1π
vp.
∫
R
<f (y)x− y
dy (1.53)
Ce type de relation apparaît notamment en électromagnétism, et plus précisémentdans le cas de la susceptibilité électrique. Cette quantité relie le champ ~E à la densitémacroscopique de polarisation ~P .
~Pω = ε0χ (ω) ~Eω (1.54)
et on a n2 = 1+χ = εr, avec n l’indice optique du milieu. Le présence de dissipationdans un solide réel impose que la susceptibilité soit une fonction holomorphe dansle demi-plan complexe supérieur. De plus comme la réponse à une sollicitation defréquence infinie est nulle, la susceptibilité tends vers zéro dans le demi-plan supérieur.Elle vérifie donc les hypothèses des relations de Kramers-Krönig. Ainsi, ces relationspermettent d’obtenir la partie réelle de la susceptibilité (dispersion) si l’on mesure lapartie imaginaire (absorption). Or, dans certain materiaux fortement absorbant il estplus facile de mesurer cette dernière. Bien évidement la précision sur <χ depends dela résolution en fréquence de l’appareil de mesure ainsi que de la largeur de la bandespectrale mesurée pour =χ.
Enfin, les relation de Kramers-Krönig stipulent que absorption et dispersion sontintimement liées. Notamment, l’une ne saurait être grande sans que l’autre ne le soitaussi dans un domaine de fréquence voisin (cf susceptibilité calculée pour l’atomeélastiquement lié).
2 Séries de Fourier
Les signaux périodiques apparaissent dans de nombreuses branches de la physique.Il suffit de citer l’exemple d’un courant alternatif, du phénomène de marée où biende l’horloge de Big Ben. Cependant bien que périodiques ces signaux ont souvent uneforme compliquée. Leur interpretation peut donc être difficile. Or il existe des signaux
13
périodiques ultra-simples : les signaux sinusoïdaux sin (ωt) , cos (ωt) ou encore eiωt,avec T = 2π/ω comme période du signal. Décomposer un signal en série de Fourierconsiste à l’écrire comme une somme, possiblement infinie, d’exponentielles oscillatesde périodes T, 2T etc. Chacune de ces exponentielles est appelée harmonique du signal.Un signal décomposé de cette manière possède une interprétation physique simple.Chaque harmonique représente un mode d’un oscillateur harmonique. Un signal T -périodique est donc une superposition de modes d’oscillateurs harmoniques ayant unepériode commensurable avec la fonction de départ.
Theorem 2.1 Soit f une fonction C0 par morceau de période T. Alors elle admet unedécomposition en série de Fourier :
f (t) =+∞∑
n=−∞cne
2iπntT cn =
1T
T∫
0
f (t) e−intdt (2.55)
En raison de la périodicité de f l’intégration peut, en fait, être effectuée sur tout
segment de longueur T, par exemple[−T
2;T
2
].
La convergence de cette série est en général ponctuelle (où en d’autres termes simple).De plus, la série ne converge vers la fonction que presque partout. Aux discontinuités,sa somme vaux la moitié des limites à droite et gauche. Cependant on se préoccu-pera peu de ce phénomène. En physique, les discontinuités d’une fonctions étant àcomprendre comme un manque de résolution suffisamment fine. C’est le cas où l’onmodélise l’évolution de la tension de saturation d’un amplificateur opérationnel enfonction de la ddp ε = V+ − V−. En général on se limite à un crénaux qui passe de−15V pour ε < 0 à +15V pour ε > 0. Mais si on regarde de plus prés on voit que latension de saturation évolue linéairement avec ε au voisinage de ε = 0.On peut aussi ré-écrire le développement (2.55) sous la forme d’une série trigonomé-trique :
f (t) = a0 ++∞∑
k=1
ak cos(
2iπkt
T
)+ bk sin
(2iπkt
T
). (2.56)
Les coefficients de ce développement sont donnés cette fois-ci par :
a0 =1T
T∫
0
f (t) dt ak =2T
T∫
0
f (t) cos(
2iπkt
T
)dt ∀k > 0 (2.57)
bk =2T
T∫
0
f (t) sin(
2iπkt
T
)dt (2.58)
Exercice 2.1 Prouver cette décomposition à partir de (2.55).
14
Si f est paire alors les harmoniques en sinus sont toutes nulles alors que si f est impairec’est toutes les harmoniques en cosinus qui sont nulles. Cette propriété est apparente
après translation du domaine d’intégration de [ 0 ; T ] à[−T
2;T
2
].
Exemple 2.1 Développer en série de Fourier le signal en créneaux de période T
f (t) =
1 0 < t <T
2−1
T
2< t < T
(2.59)
On voit que la T périodisée de f est impaire donc a0 ainsi que les coefficient encosinus sont nuls. Ensuite
bk =2T
T∫
0
f (t) sin(
2πkt
T
)=
2T
T2∫
0
sin(
2πkt
T
)dt +
2T
T∫
T2
− sin(
2πkt
T
)dt(2.60)
=2T
−
T cos(
2πkt
T
)
2kπ
T2
0
− 2T
−
T cos(
2πkt
T
)
2kπ
T
T2
(2.61)
= 2(−1)k − 1
kπ(2.62)
D’où
f (t) = 2+∞∑
k=1
(−1)k − 1kπ
sin(
2πkt
T
)(2.63)
Comme on pouvait s’attendre au vu d’une remarque ultérieure la série trigonomé-trique ne converge pas toujours vers la fonction f de l’exemple précèdent. Alors quef n’est pas définie en zéro, si l’on pose t = 0 dans la série on trouve 0. C’est bien, lademi-somme de f à droite plus f à gauche. De plus, les amplitudes bk des harmoniquesdécroissent en 1/k, donc relativement lentement11. C’est une caractéristique des si-gnaux discontinus : il faut beaucoup d’harmoniques pour recréer le signal initial avecune bonne fidélité. Réciproquement, un signal lisse aura besoin de peu d’harmoniquespour être recréer avec une fidélité satisfaisante. Cette propriété apparaît lorsqu’onessaie d’enregistrer de la musique. Il faut un ampli de bande passante large pour en-registrer un bruit court, tel un coup sec dans un tambour. En effet ce signal peut êtremodélisé, sous certaines hypothèses, par un signal en créneaux.
11typiquement une décroissance rapide est une décroissance exponentielle ' e−ck c > 0
15
Proposition 2.1 Si f est C1 alors
cn (f) =cn (f ′)
in. (2.64)
Plus généralement, si f est Ck alors
cn (f) =cn
(f (k)
)
(in)k. (2.65)
Theorem 2.2 Les coefficients de Fourier de f satisfont à la relation de Plancherel-Parseval :
1T
T∫
0
dt | f |2 (t) =n=+∞∑n=−∞
| cn |2 (2.66)
C’est une relation très importante. En gros l’énergie stockée dans f est la sommedes énergies de chaque harmonique !
3 Transformée de Fourier
La transformée de Fourier est une transformation intégrale et c’est un avatar deséries de Fourier. En gros c’est l’extension des séries de Fourier aux fonctions non-
périodiques, ou plus tôt de période infinie. En effet, posons Tcn = g
(2πn
T
). Alors, si
on prends la limite telle que2πn
T→ −ω, on a,
g (ω) =
+∞∫
−∞f (t) eiωtdt (3.67)
Et la série qui représente f (t) converge vers une intégrale :
2π
T
+∞∑−∞
T
2πc−ne−i 2πn
T =2π
T
+∞∑−∞
12π
g
(2πn
T
)e−i 2πn
T → 12π
∫
R
g (ω) e−iωt (3.68)
Au delà d’être une simple limite T → +∞ de séries de Fourier, la TF permet derésoudre de nombreuses équations différentielles et intégrales. De plus, l’analyse deFourier a de nombreuses applications en analyse harmonique. En deux mots l’analysedes systèmes linéaires ne saurait se passer de la TF. Dans le cadre de ce cours onse restreindra principalement aux transformées de Fourier des fonctions de SchwartzS (R), ie à décroissance rapide. En pratique cela signifie que l’on n’a pas a se souciersi les intégrales sont définies où pas. Tout se passe pour le mieux dans le meilleur desmondes ! On rappelle que f ∈ S (R) ssi lim
|x|→+∞xkf (x) = 0 ∀k ∈ N et f ∈ C∞ (R,R).
16
La transformée de Fourier F [f ] d’une fonction f ∈ S (R) est définie par la formule
F [f ] (k) =∫
R
eikxf (x) dx (3.69)
C’est une opération linéaire
F [λf + βg] = λF [f ] + βF [g] (3.70)
qui stabilise la classe de Schwartz12.
Exercice 3.1 Calculer la TF d’une Gaussienne e−ax2. Pour quelles valeurs de a cetteTF existe ?
∫
R
dxeikx−ax2=
∫
R
dxe−a(x−i k2a)2− k2
4a e−k2
4a
∫
R−i k2a
dze−az2(3.71)
= e−k2
4a
∫
R
dxe−ax2=
√π
ae−
k2
4a (3.72)
Où l’on a utilisé le théorème des résidus appliqué à la fonction holomorphe z → e−az2
sur le contour
.....−R R
Avant de discuter les propriétés de la TF on a besoin de définir une "fonction" fortutile en physique : le delta de Dirac.
Définition 3.1 Le delta de Dirac est la "fonction" formelle δ (x) telle que
∀ f (x)∫
R
δ (x) f (x) dx = f (0) (3.73)
Le delta admet une représentation en termes de TF :
δ (x) =12π
∫
R
dke−ikx (3.74)
12la TF d’une fonction de Schwartz est aussi de Schwartz. C’est assez important d’avoir cettepropriété. Par exemple, on a beaucoup plus de mal à travailler avec les TF dans L1 (R), c’est-à-diredes fonctions telles que
∫R| f | (µ) dµ existe
17
Soit un signal donné s (t). On est souvent amené à observer ce signal translaté
en temps s (t− t0), dilaté s
(t
a
)dérivé ou encore convolé. La TF se comporte bien
sous ces transformations dans la mesure ou elle exprime la TF du signal transforméen termes de la TF du signal initial. Ainsi,
– Translation dans le temps.La translatée de x0 de la fonction f est la fonctions Tx0f = f (x− x0). On a
F [Tx0f ] (k) =∫
R
eikxf (x− x0)dx = eikx0
∫
R
eikxf (x− x0) dx = eikx0F [f ] (k)
(3.75)– Dilatation
La dilatée de a de la fonction f est la fonction f(x
a
). On a
F[f
(x
a
)](k) =
∫
R
eikxf(x
a
)dx = a
∫
R
eiakxf (x) dx = aF [f ] (ak) (3.76)
– ConvolutionLa convolée f ∗ g de deux fonctions f et g est définie par
f ∗ g (x) =∫
R
f (x− y) g (y) dy . (3.77)
La convolution apparaît dans de nombreuse branches de la physique : c’est unopération importante du point de vue de l’analyse harmonique. Typiquement,soit un circuit électrique auquel on impose à partir de l’instant t0 une tensionexcitatrice e (t). On cherche a connaître l’évolution en fonction du temps de latension v (t) aux bornes d’un des dipoles du circuit. Vu les hypothèses usuellesde l’électrocinétique on se place en régime linéaire. Alors si l’on applique e1 (t)+e2 (t) on aura un réponse v1 (t) + v2 (t). De même si l’on translate l’excitatione (t) → e (t− τ) dans le temps, la réponse le sera aussi v (t) → v (t− τ). Si l’onprends comme excitation13 une impulsion unité t = δ (t) on aura une réponseV (t). De même que la réponse à δ (t− τ) sera V (t− τ). Mais comme tout signalest une combinaison linéaire de δ
e (t) =
t∫
0
e (τ) δ (t− τ) dτ (3.78)
La réponse du système sera13en pratique pour mesurer V (t) on applique un echelon e = 1/eps pendant une durée ε
18
v (t) =
t∫
0
e (τ) V (t− τ) dτ . (3.79)
Ici les bornes ne vont pas à l’infini car la réponse est causale (v (t) ne dependsque des valeurs antérieures de la tension e (t) et on commence à exciter à t = 0).La TF transforme une convolution en multiplication
F [f ∗ g] (k) =∫
R
eikxf ∗ g (x) dx =∫
R
dx
∫
R
dyeikxf (x− y) g (y) (3.80)
=∫
R
dx
∫
R
dyeik(x−y)f (x− y) eikyg (y) (3.81)
=∫
R
dz
∫
R
dyeikzf (z) eikyg (y) z = x− y (3.82)
= F [f ] (k)F [g] (k) (3.83)
– DérivationLa TF transforme la dérivation en multiplication par −ik :
F [f ′
](k) =
∫
R
eikxf ′ (x) dx =[eikxf (x)
]+∞
−∞− ik
∫
R
eikxf (x)dx = −ikF [f ] (k)
(3.84)où le premier terme est nul en raison de la décroissance à l’infini.
– Produit de deux fonctions
F [fg] (k) =∫
R
eikxf (x) g (x) dx =∫
R
dx
∫
R
dyeikxf (x) δ (x− y) g (y)(3.85)
=∫
R
dx
∫
R
dy
∫
R
dk′
2πeikxf (x) e−ik′(x−y)g (y) (3.86)
=∫
R
dk′
2π
∫
R
dxei(k−k′)xf (x)∫
R
dyeik′yg (y) (3.87)
=∫
R
dk′
2πF [f ]
(k − k′
)F [g](k′
)=F [f ] ∗ F [g] (k)
2π(3.88)
Pour completer la liste des propriété au-dessus il est nécessaire d’exhiber une for-mule d’inversion pour TF, sans quoi cette transformation intégrale n’aurait que peud’utilité !
19
Theorem 3.1 Pout toute bonne fonction, la TF est inversible. Si F [f ] (k) est la TFde f alors
F−1 [g] (x) =12π
∫
R
dke−ikxg (k) (3.89)
Preuve — On ne fera qu’une preuve formelle
F−1 [F [f ]] (x) =12π
∫
R
dke−ikxF [f ] (k) (3.90)
=12π
∫
R
dkdyf (y) eik(y−x) =∫
R
dyf (y) δ (x− y) = f (x)(3.91)
Exercice 3.2 Calculer la TF de la fonction x → e−α|x|. Lien avec la TF de x →1/
(x2 + α2
)?
Solution
F[e−α|x|
](k) =
∫
R+
dxe−αx+ikx +∫
R−dxeαx+ikx (3.92)
=[e−αx+ikx
−α + ik
]+∞
0
+[eαx+ikx
α + ik
]0
−∞(3.93)
=1
α− ik+
1α + ik
=2α
α2 + k2(3.94)
Exercice 3.3 Calculer la TF de la fonction porte Π, où
Π(x) =
1 −1 < x < 10 sinon
. (3.95)
Solution
F [Π] (k) =
1∫
−1
eikxdx =[eikx
ik
]1
−1
= 2sin k
k≡ 2sinc (k) (3.96)
Exercice 3.4 Calculer la convolée de deux gaussiennes Gα : x → e−αx2 et Gβ : x →e−βx2
20
Solution
F [Gα ∗Gβ] (k) = F [Gα] (k)F [Gβ] (k) =π√αβ
exp(−k2
4
(1α
+1β
))(3.97)
=1√αβ
√α + β
αβF
[Gα+β
αβ
](k) (3.98)
Ainsi la convolée de deux gaussiennes est encore une gaussienne et, plus précisément,
c’est la fonction√
α + β
αβGα+β
αβ!
Tout comme pour les séries de Fourier on a un théorème de Plancherel-Parseval.L’énergie stockée dans le signal réel (espace des temps) se retrouve dans la somme desénergies stockées dans chaque mode de Fourier.
Theorem 3.2 Soit f, g des fonctions admettant une TF. On a alors
∫
R
f (x) g∗ (x) dx =12π
∫
R
F [f ] (k)F [g] (k)∗ dk (3.99)
La TF est donc, a une constante prés, une isométrie entre espaces L2 (R), le lecteuraverti ayant toute de suite remarqué que la formule ci-dessus n’a de sens que pour lesfonctions de carré intégrables. En particulier on a l’identité de Plancherel-Parseval.
∫
R
| f |2 (x) dx =12π
∫
R
| F [f ] (k) |2 dk (3.100)
La transformée de Fourier a aussi une propriété importante : plus une fonction estétroite dans l’espace réel et plus elle est étendue dans l’espace de Fourier. On a mêmele théorème suivant
Theorem 3.3 Soit f une fonction qui admet une TF. On défini la moyenne parrapport à f d’une fonction g (x) dans l’espace réel et respectivement h (k) dans l’espacede Fourier par
〈g (x)〉 =∫
R
dxg (x) | f |2 (x) 〈h (k)〉 =∫
R
dkh (k) | F (f) |2 (k) (3.101)
Alors〈(x− 〈x〉)2〉 1
2 〈(k − 〈k〉)2〉 12 ≥
√2π (3.102)
21
Preuve — Soit f une fonction qui admet une TF et telle que dans l’espace réel et deFourier les moments d’ordre deux existent. On a∫
R
| ∂f
∂x+ λxf |2 dx =
∫
R
dx | ∂f
∂x| +2λ<
∫
R
dxx∂f
∂xf∗ (x) +
∫
R
dxx2 | f |2 (x) ≥ 0
=2π
∫
R
dk | F[∂f
∂x
](k) |2
︸ ︷︷ ︸〈k2〉
+2λ<∫
R
dxx∂f
∂xf∗ (x)
︸ ︷︷ ︸a
+〈x2〉
L’inégalité au dessus veux dire que le discriminant est toujours négatif :
4a2 − 4〈x2〉〈k2〉
2π≤ 0 (3.103)
〈x2〉〈k2〉2π
≥ <∫
R
dxx∂f
∂xf∗ (x) ≥
√〈x2〉〈k2〉
2π(3.104)
Soit l’inégalité voulue√〈x2〉
√〈k2〉 ≥
√2π (3.105)
Ces relations constituent ce qui est appelé les relations d’incertitude de Heisenberg.Plus on localise une fonction d’onde en position et moins on a d’information sur sonimpulsion.
3.1 Transformée de Fourier et équation différentielles
On cherche à résoudre un équation linéaire à coefficients constants et avec présencede terme source :
andnf
dtn+ an−1
dn−1f
dtn−1+ . . . a0f (t) = F (t) (3.106)
Ce type d’équation apparaît dans presque toutes les branches de la physique. On décritsouvent un phénomène par une équation différentielle non-linéaire. Comme on ne saitrésoudre exactement ce type d’équation, on cherche donc des solutions constantes àces équations. On linéarise ensuite l’équation autour d’un point de fonctionnement.Ce-ci permet d’étudier le comportement du système soumis à une perturbation autourde ce point. On tombe alors sur une équation du type (3.106). L’étude plus fine decette équation permet prédire le comportement du système lorsqu’on applique unelégère perturbation autour d’un point d’équilibre. Un exemple type de cette approcheest l’étude du pendule pesant :
..θ + ω2
0 sin θ = Γ (θ, t) −→θ'0
..θ + ω2
0θ = Γ (0, t) . (3.107)
22
Pour résoudre (3.106), on applique la TF aux deux membres de l’équation (3.106),sous réserve que celles-ci existent. Alors, en utilisant la propriété de la transforméed’une dérivée on abouti à l’équation algébrique :
(an (−iω)n + an−1 (−iω)n−1 + · · ·+ a0
)F [f ] (k) = F [F ] (ω) (3.108)
F [f ] (ω) =F [F ] (ω)(
an (−iω)n + an−1 (−iω)n−1 + · · ·+ a0
) . (3.109)
Et donc
f (t) =12π
∫
R
e−iωtF [F ] (ω)(an (−iω)n + an−1 (−iω)n−1 + · · ·+ a0
)dω . (3.110)
L’intégrale ci-dessus se calcule via le théorème des résidus, une fois que l’on alocalisé les zéros du polynôme anXn + · · ·+ a0. On calcule l’intégrale en refermant lecontour par le demi-plan sup/inf tant que F [F ] (k) ne crois pas trop vite à l’infini.Sinon on écrit cette intégrale comme une convolution (cf plus loin).
La fonction Z (ω) = an (−iω)n + an−1 (−iω)n−1 + · · ·+ a0 s’appelle la fonction detransfert de l’équation. On retrouve les résultats du régime sinusoïdal forcé avec lanotion de fonction de transfert. De même on retrouve que la réponse est une sommesde réponses a des régimes sinusoïdaux forcée de différentes pulsations !
Exercice 3.5 Ou doivent se trouver les zéros de la fonction de transfert Z (ω) pourun système physique ? Penser à la dissipation !
SolutionUn système physique doit être dissipatif donc les solutions du système "libre", ie
sans second membre, doivent être des exponentielles décroissantes ! Or les solutions dusystème homogène sont de la forme ert où r est une racine du polynôme anXn+· · ·+a0.On doit donc avoir <r < 0 soit les racines de la fonction de transfert se situent dansle demi-plan complexe inférieur.
On va maintenant étudier un cas particulier, l’équation du second ordre d’un os-cillateur harmonique amorti.
Exemple 3.1 On considère l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tensionaux bornes d’un condensateur dans un circuit RLC en régime forcé :
d2u
dt2+ γ
dudt
+ ω20u = F (3.111)
Ici γ est relié à la résistance R (frottement) alors que ω0 est la pulsation propre ducircuit. On a donc
23
F [u] (ω) =F [F ] (ω)
ω20 − ω2 − iωγ
⇔ u (t) =12π
∫
R
F [F ] (ω)ω2
0 − ω2 − iωγe−iωtdω (3.112)
On utilise alors la propriété que la TF d’un produit de deux fonction est la convoléedes TF’s. On abouti alors à
u (t) =∫
R
F(t′)χ
(t− t′
)avec χ (t) = − 1
2π
∫
R
dωe−iωt
ω2 − ω20 + iωγ
. (3.113)
Le polynôme ω20 − ω2 − iωγ possède deux zéros dans le plan complexe inférieur ω± =
− iγ
2±
√ω2
0 − γ2/42
= −iγ
2+ Ω. L’intégrale peux être calculée par le théorème des
résidus. Si t < 0 alors | e−iωt |< 1 dans le demi-plan complexe supérieur. Comme lafraction rationnelle y décroît en 1/ | ω |2, on peux appliquer le lemme de Jordan etrefermer par le demi-cercle à l’infini dans le demi plan supérieur. La fonction n’y a pasde pôle et l’intégrale est nulle. Au contraire, si t > 0 alors des arguments analoguesconduisent à refermer par le demi plan inférieur. On a deux pôles simples en ω = ω±et alors
χ (t) = − 2iπ
−2π
e−iω+t
2ω+ + iγ+
e−iω−t
2ω− + iγ
= −e−
γt2
2iΩe−iΩt − eiΩt
(3.114)
= e−γt2
sin (Ωt)Ω
. (3.115)
Soit, en introduisant la fonction H de Heaviside H (t) =∣∣∣∣
1 t > 00 t < 0
,
χ (t) = H (t) e−γt2
sin (Ωt)Ω
∀ t. (3.116)
On remarquera que χ est nulle pour t < 0. C’est caractéristique pour tout systèmephysique car cette propriété traduit la causalité. En effet, l’effet ne peut précéder lacause, ainsi dans l’intégrale (3.113), on n’intègre que sur les états de la tension exci-tatrice antérieurs à t (t− t′ > 0). Ainsi, u ne depends que de l’état du générateur auxinstant antérieurs à t.
3.2 Transformée de Fourier et équations intégrales
Soit une particule qui se propage dans un fluide. On peut tenter de décrire sonmouvement par une équation de type Langevin :
mdv
dt= −γv (t) + F (t) (3.117)
24
Où F est une force stochastique de moyenne d’ensemble nul. Le terme −αv représenteun frottement instantané : le fluide réagit instantanément à ce que fait la particule.Or, desfois le fluide à une mémoire de ce que faisait la particule aux instant antérieurs.Il faut alors modéliser le frottement par un terme
t∫
−∞α
(t− t′
)v (t) dt′ (3.118)
On résoud ce type d’équation intégrale par Fourier. En effet le frottement apparaîtcomme une convolution ! On a donc,
mdv
dt= −
t∫
−∞α
(t− t′
)v (t)dt′ + F (t) → (−iωm + F [α] (ω))F [v] (ω) = F [F ] (ω)
(3.119)et puis on prend la TF inverse de F [v] (ω).
3.3 TF en optique ondulatoire
La TF apparaît naturellement dans diverses branchse de la physique, notammenten optique ondulatoire.
On considère un dispositif interférentiel où une lumière provenant de l’infini (sourceau foyer image d’une lentille convergente) arrive sur un diaphragme. On observe lafigure d’interférences sur un écran à l’infini (écran au foyer objet d’une lentille conver-gente). Si T est la fonction de transmittance de la pupille, c’est à dire le rapport entreamplitude lumineuse juste avant et juste après la pupille, alors l’amplitude observéedans la direction α s’écrit
A (y) = Cste∫
dxT (x) eikx sin α = Cste∫
T (x) eikxy√f2+y2 dx , (3.120)
où f est la focale de la lentille qui projette l’image à l’infini sur l’écran et k le vecteurd’onde (k = 2π/λ où λ est la longueur d’onde de la lumière). Si l’on se limite à unediffraction aux faibles angles, ce qui reviens à prendre f À y, on a
A (y) = Cste∫
T (x) eikxy
f = F [T ](
ky
f
). (3.121)
La figure de diffraction est donc la transformée de Fourier de la fonction de trans-mittance de la pupille. On utilisera les propriété de la TF pour calculer l’amplitudelumineuse de quelques pupilles "classiques".
•infinité de fentes infiniment finesOn considère une pupille considérée par un nombre infini de fentes fines espacées
de a. La fonction de transmittance de chaque fente est modélisée par un δ. Elle vautdonc
25
T (x) =∑
n∈Zδ (x− an) = a
∑
n∈Zδ (x/a− n) = aW
(x
a
)(3.122)
W (x) ≡ ∑n∈Z
δ (x− n) est le peigne de Dirac. Or on a
F [W] (k) =∑
n∈ZF [Tnδ] (k) =
∑
n∈ZeiknF [δ] (k) =
∑
n∈Zeikn . (3.123)
Il ne reste plus qu’a identifier la fonction qui se cache derrière la somme. La fonctionen question est 2π-périodique et tous ses coefficients de Fourier valent 1. Or si l’oncalcule les coefficients de Fourier de la fonction W (x/2π), on trouve
cn =12π
π∫
−π
W (x/2π) e−inx =∑
n∈Z
12π
π∫
−π
δ (x/2π − n)︸ ︷︷ ︸2πδ(x−2πn)
e−inx = 1 . (3.124)
Ainsi la TF d’un peigne de Dirac est encore un peigne de Dirac. Au final
F [W] (k) = W
(k
2π
). (3.125)
Ak (y) = F [T ] (u) = F [aW (x/a)] (u) = a× aF [W] (au) = a2P(au
2π
)u =
ky
f(3.126)
Ainsi on voit sur l’écran un ensemble de raies infiniment fines et espacés les unesdes autres de f/ka. Donc, plus les fentes étaient espacées sur la pupille et plus on aune figure "condensée" sur l’écran.
•Nombre fini de fentes infiniment finesEn général la pupille à une extension finie. Sa fonction de transmittance sera plus
tôt
T (x) =N∑
n=−N
δ (x− na) = aW(x
a
)Π
(x
(N + 1/2) a
)(3.127)
Donc, toujours en utilisant la variable u = ky/f , on arrive à
A (y) = F[aP
(x
a
)Π
(x
(N + 1/2) a
)](u) = F
[aW
(x
a
)](∗)F
[Π
(x
(N + 1/2) a
)](u)(3.128)
=(
a2W
(au′
2π
))∗
((N +
12
)a sinc
((N +
12
)au′
))(u) (3.129)
=∑
n∈Za2δ
(au′
2π− n
)∗
((N +
12
)a sinc
((N +
12
)au′
))(u) (3.130)
=∑
n∈Z2πa
(N +
12
)a sinc
[(N +
12
)a (u− 2nπ/a)
](3.131)
26
On aurait aussi pu effectuer un calcul direct qui mènerai à
AN (y) =N∑
n=−N
einua = e−iNua 1− ei(2N+1)ua
1− eiua=
sin (N + 1/2) au
sinua/2(3.132)
Par ce dernier calcul on retrouve le résultat bien pour la formule qui donne l’am-plitude lumineuse diffractée par un réseau de 2N+1 fentes.
•fentes de largeur finieEn fait les fentes ont une largeur finie. Pour le prendre en compte on modéliser la
fonction de transmittance d’une fente par une fonction porte. Cette fois-ci, la fonctionde transmittance de tout le dispositif s’écrit
T (x) =N∑
n=−N
Π(
x− na
l
)=
N∑
n=−N
δ(x′ − na
)∗
Π
(x′
l
)(x) , (3.133)
et donc l’amplitude au niveau de l’écran s’écrit
A (y) = A2 (y)F[Π
(x
l
)](u) = A2 (y) 2lsinc (lu) . (3.134)
3.4 Auto-corrélation et visibilité
Soit f une fonction qui représente un signal physique. On appelle fonction d’auto-corrélation de f la fonction
Γ (t) =∫
R
f (x) f∗ (x− t) = (f (x) ∗ f (−x)) (t) (3.135)
Sa TF est égale à la densité d’énergie de f , | F [f ] (ω) |2. En effet,
F [Γ] (ω) = F [(f (x) ∗ f∗ (−x)) (t)] (ω) = F [f (x)] (ω)F [f∗ (−x)] (ω)︸ ︷︷ ︸F [f(x)](ω)
=| F [f ] (ω) |2 .
(3.136)On l’experience des fentes d’Young réalisée avec une source ponctuelle qui évolue
avec le temps. On observe l’intensité lumineuse au point P de l’écran :
IP = 〈| SP |2 (t)〉 = limT→+∞
12T
T∫
−T
| S |2P (t) (3.137)
Or l’intensité lumineuse en P est la somme des signaux issus de chacune des fentesd’Young. Les deux signaux provenant des Fentes sont les mêmes mais ils sont décalésen temps de τ = c/δ, où δ est la différence de chemins optique entre les deux chemins.Ainsi,
27
SP (t) = S1 (t) + S2 (t) = S1 (t) + S1 (t− τ) (3.138)
D’où
IP = 〈SP .S∗P 〉 = 2〈| S1 |2〉+ 2<〈S1 (t) S∗1 (t− τ)〉 = 2I0 + 2<Γ (τ) (3.139)
I0 est l’intensité provenant d’une seule fente alors que Γ (τ) = 〈S1 (t) S∗1 (t− τ)〉 estl’autocorrélation du signal, encore appelé fonction d’auto-cohérence.
Le facteur de visibilité des raies est défini comme
V =Imax − Imin
Imax + Imin(3.140)
Où Imax -resp. Imax- est le maximum -resp. minimum- de l’intensité dans un voisinagede P . Au voisinage de P l’intensité aura atteint son maximum en τmax et son mini-mum en τmin. En fait si les trains d’onde sont suffisamment longs alors l’intensité del’autocorrélation du signal va rester constante en module mais sa phases va changerde π lorsqu’on va passer de τmax à τmin. Sous ces hypothèses,
V =I0+ | Γ (τ) | − (I0− | Γ (τ) |)
2I0=| Γ (τ) |
I0(3.141)
Ainsi, la visibilité n’est rien d’autre que la fonction d’auto-corrélation relative dela lampe. On a donc le théorème de Wiener-Khintchine
Theorem 3.4 Le facteur de visibilité des franges dans l’expérience des fentes d’Youngest égal au module de la TF de la densité spectrale de la lampe.
4 Transformée de Laplace
La Transformée de Fourier, bien que fort utile présente aussi pas mal d’inconve-nants. Tout d’abord la classe de fonction admettant une TF est assez réduite car lesintégrales doivent converger. D’autre part, la TF appliquée aux équations différen-tielles ne permet pas d’acceder aux conditions limites. En effet, on oublie le régimetransitoire dans l’analyse de Fourier. Or on a des fois besoin d’incorporer ces CL dansla solution calculée. Il serait utile de pouvoir intégrer les CL grâce à une transforma-tion intégrale, et non de les rajouter à la main comme dans le cas d’une TF. Une telleopération existe et porte le nom de transformation de Laplace. Cet outil est adaptépour de décrire les signaux causaux (ie nul avant un instant t0 qu’on prendra égal à0).
Définition 4.1 La transformée de Laplace d’une fonction f s’écrit
L [f ] (z) =
+∞∫
0
e−ztf (t) dt z ∈ C. (4.142)
28
Contrairement à la transformée de Fourier, la transformée de Laplace ne dépends pasd’une variable réelle ω mais d’une variable complexe z. Les domaines d’intégrationdifférent aussi entre TF et TL. En effet, en effectuant la TL (4.142) on intègre qu’àpartir de t = 0, et non t = −∞ comme dans le cas de la TF. C’est ce choix desbornes d’intégration qui est bien adapté à l’étude des fonctions causales. Vu la défi-nition choisie pour la TL, on doit se restreindre à une classe particulière de fonctionscelles qui sont nulles avant t = 0. Cette classe de fonction apparaît naturellement enphysique. Par exemple la lumière dans un chambre est éteinte et on l’allume grâce àune sollicitation extérieure. On s’interesse ensuite à l’intensité lumineuse qui émane dela lampe au cours du temps ; Celle ci va satisfaire une certaine équation différentielleavec terme de source et ayant comme conditions limites la nullité pour tout tempsantérieur à l’instant 0.
Pour que la TL soit bien définie il faut que e−ztf (t) soit intégrable sur [ 0 ; +∞ [.En général on se restreint à la classe de fonctions causales (ie. nulles pour t < 0) etayant au plus une croissance exponentielle à l’infini (ie. ∃M > 0 α ∈ R| | f |< Meαt).Le plus petit α qui convient est appelé abscisse de sommabilité de f et noté α0. LaTL est alors bien définie sur z ∈ C|<z > α0, on peut même montrer qu’elle y estholomorphe. La TL peut ou pas être définie sur la droite < (z) = α0
Tout comme la TF la TL est linéaire. De même, la TL d’une fonction translatée,dilatée, dérivée ou encore d’une convolution s’exprime en terme de la TL du signalinitial ! En deux mots,
– Translation
L [Tt0f ] (z) =
+∞∫
0
f (t− t0) e−ztdt = e−zt0
+∞∫
t0
f (t− t0) e−z(t−t0)dt = e−zt0L [f ] (z) .
(4.143)Où l’on a utilisé la fait que f (t) = 0 dés que t < 0.
– Dilatation
L[f
(t
a
)](z) =
+∞∫
0
f
(t
a
)e−ztdt =
+∞∫
0
f (t) e−zatadt = aL [f (t)] (az) .
(4.144)– Dérivation
L [f ′
](z) =
+∞∫
0
dtf ′ (t) e−zt =[f (t) e−zt
]+∞0
+
+∞∫
0
dtf (t) ze−zt(4.145)
= zL [f ] (z)− f (0) . (4.146)
– Convolution
29
L [f ∗ g] (z) =
+∞∫
0
dte−zt
t∫
0
f(t′)g
(t− t′
)dt′ (4.147)
=
+∞∫
0
dt′f(t′)e−zt′
+∞∫
t′
dte−z(t−t′)g(t− t′
)= L [f ] (z)L [g] (z)
Remarquer que la convolution de deux signaux nul avant t < 0 s’écrit
f ∗ g (t) =
+∞∫
−∞f
(t′)
︸ ︷︷ ︸nult′<0
g(t− t′
)︸ ︷︷ ︸
nult′>t
=
t∫
0
dt′f(t′)g
(t− t′
)(4.148)
– ModulationLa modulée d’une fonction f est la fonction e−iω0tf (t). On a
L [e−iω0tf (t)
](z) =
+∞∫
0
e−(iω0+z)tf (t) dt = L [f (t)] (z + iω0) (4.149)
La TL est inversible et son inverse est donné par la formule
L−1 [f ] (t) =1
2iπ
∫
Bdzf (z) ezt (4.150)
Ici B est le contour de Bromwich x + iR où x est plus grand que la partie réelle detoute singularité de f.
Preuve —
G := y → L [f ] (x− iy) =+∞∫0
dte−xtf (t) eiyt est la TF de la fonction H (t) e−xtf (t).
Donc par la formule d’inversion pour la TF on a
H (t) e−xtf (t) =12π
+∞∫
−∞dye−iytL [f ] (x− iy) =
e−xt
2π
+∞∫
−∞dye(x−iy)tL [f ] (x− iy)
=e−xt
2π
+∞∫
−∞dye(x+iy)tL [f ] (x + iy) =
e−xt
2π
x+i∞∫
x−i∞
dz
ieztL [f ] (z)
Soit
f (t) =1
2iπ
x+i∞∫
x−i∞dzeztL [f ] (z) . (4.151)
30
Remarquer que l’on peut deformer ce contour, en vertu du théorème de Morera,en toute autre courbe telle que toute les singularités de L [f ] (z) se trouvent à gauche.
4.1 TL et équations intégro-différentielles.
Soit une équation intégro-différentielle du type
Lφ = φ +
t∫
0
K(t− t′
)φ
(t′)dt′ + Ψ (t) . (4.152)
Ici, L est un opérateur différentiel et Ψ(t) un terme de source. On ne traitera
explicitement que le cas où K = 0 et L =d2
dt2+ 2γ
ddt
+ ω20 + 1. Ce cas correspond à
l’équation du second ordre déjà étudié par les TF.En appliquant les règles sur la TL d’une dérivée, on a
L[d2f
dt2
](z) = −f ′ (0) + zL
[df
dt
](z) = −zf (0)− f ′ (0) + z2L [f ] (z) . (4.153)
Et donc l’équation différentielle se transforme sous la TL en
(z2 + 2γz + ω2
0
)L [f ] (z) = (z + 2γ) f (0) + f ′ (0)︸ ︷︷ ︸solutioncashomogne
+ L [g] (z)︸ ︷︷ ︸solutioncasparticulier
(4.154)
Il ne reste plus qu’a inverser cette expression. On obtient
fh (t) =2iπ
∫
Bdz
(z + 2γ) f (0) + f ′ (0)z2 + 2γz + ω2
0
ezt (4.155)
Où le contour de Bromwich est à droite de toute singularité de l’intégrande.Les pôles de l’intégrande se trouvent en
z± = −γ ±√
γ2 − ω40 = −γ + Ω (4.156)
Le théorème des résidus donne alors
fh (t) =e−γt
2ΩeΩt
(f ′ (0) + 2γf (0) + z+f (0)
)− e−Ωt(f ′ (0) + 2γf (0) + z−f (0)
)(4.157)
=e−γt
2Ω2 sinh (Ωt)
(f ′ (t) + 2γf (0)
)− 2γf (0) sinh (Ωt) + 2f (0)Ω cosh (Ωt)
(4.158)
=e−γt
Ωsinh (Ωt)
(f ′ (t) + γf (0)
)+ f (0)Ω cosh (Ωt)
. (4.159)
Exercice 4.1 Retrouver ce résultat par un calcul direct, en résolvant l’ED par la mé-thode classique. Vérifier que la solution complète satisfait bien aux conditions initiales.
31
5 Les Fonctions de Green
La modélisation d’un phénomène physique se ramené souvent à l’étude des solu-tion d’une équation différentielle où aux dérivées partielles. Il suffit de citer ici lescélèbres équations de Maxwell, les équations de l’hydrodynamique où encore la fa-meuse équation de Schrödinger. Les EDP sont nettement plus compliquées à analy-ser : c’est comme passer de l’étude d’une fonction d’une variable vers l ’étude d’unefonction de plusieurs variables. Pour construire des solutions d’une classe d’EDP onutilise les fonctions de Green. Physiquement, ces fonctions s’interprètent comme laréponse impulsionnelle du système, c’est-à-dire la réponse d’un système physique àune sollicitation brève et intense. Dans ce chapitre on va étudier les EDP le plussouvent rencontrées en physique : l équation d’onde et l’équation de la diffusion. Onconstruira leurs fonctions de Green. On justifiera ainsi la forme des potentiels re-tardés de l’électrodynamique ainsi que l’évolution de la température dans une barreinfiniment longue.
L’idée derrière les fonctions de Green consiste à construire une fonction qui permetde construire les solutions d’une EDP de manière systématique. En d’autre termes soitO un opérateur intégro-différentiel sur un ouvert Ω. Alors la fonction de Green GO (x)associée à l’opérateur O est définie comme la solution fondamentale de l’équation
O.GO (x) = δ (x) GO|∂Ω = g0 (5.160)
La deuxième condition consiste à imposer certaines conditions aux bords. En effet ilpeut y avoir plusieurs fonctions de Green associées à un même opérateur différentiel.Les conditions aux bords consistent alors à choisir la fonction de Green pertinente parrapport au problème physique considéré.
Supposons qu’on a construit GO (x) avec les CB voulues. Alors, la solution del’équation avec second membre
O.f (x) = g (x) (5.161)
s’écrit
f (x) = GO ∗ g (x) . (5.162)
Où l’on note par * la convolution de deux fonctions.
Preuve —En effet on a
O.f = O. (GO ∗ g0) (x) = (O.GO) ∗ g0 (x) = δ ∗ g0 = g0 (x) (5.163)
5.1 Équation d’Alembert
On considère une corde vibrante dans l’air qu’on modélise par un fluide visqueux.Alors, le déplacement y (x, t) de la corde par rapport à sa position d’équilibre (qu’onsuppose bien évidemment petit) est régi par l’EDP
32
(1c2
∂
∂t2+ 2γ
∂
∂t−∆
)y (~r, t) = F (~r, t) (5.164)
Ici γ est à relier au frottement visqueux et F à une force excitatrice locale qu’onimpose. On cherche donc la fonction de Green de cet opérateur différentiel. A ces finon effectue la TF en temps et espace de (5.164). On tombe sur l’équation algébriquesuivante
(1c2
∂
∂t2+ 2γ
∂
∂t−∆
)G (~r, t) = δ(3) (~r) δ (t) F−→
(~k2 − i2ωγ − ω2
c2
)F [G]
(~k, ω
)= 1
(5.165)Où l’on a, par définition,
δ(3) (~r) = δ (x) δ (y) δ (z) (5.166)
Il reste ensuite à effectuer la transformée de Fourier inverse de F [G](~k, ω
).
G (~r, t) =1
(2π)4
∫
R
d3~kdωe−i~k.~r−iωt
(~k2 − i2ωγ − ω2
c2
) (5.167)
=c2
(2π)4
∫
R
k2dk sin θdθdφdωe−ikr cos θ−iωt
(+c2k2 − 2ic2ωγ − ω2)(5.168)
=c2
(2π)3
∫
R
k2dkdω
[e−ikr cos θ
ikr
]π
0
e−iωt
(c2k2 − 2ic2ωγ − ω2)(5.169)
= − c2
ir (2π)3
∫
R
kdkdω
(eikr − e−ikr
)e−iωt
(−c2k2 + 2ic2ωγ + ω2)(5.170)
On commence par calculer l’intégrale sur ω. Pour cela on déforme le contour via ledemi-plan complexe supérieur ou inférieur, selon la valeur de t. Si t < 0 on referme lecontour par le demi plan supérieur car alors | e−iωt |< 1 et la fonction tend bien verszéro plus vite que 1/ω. De même, on referme par le demi-plan inférieur pour t > 0.Les pôles de la fonction sont les solutions de
−c2k2 + i2c2ωγ + ω2 = 0 ⇔ ω± = −ic2γ ± c√
k2 − c2γ2 = −ic2γ ± Ωk (5.171)
Ainsi les deux pôles se trouvent dans le demi-plan inférieur. On a donc tout desuite que l’intégrale est nulle pour t < 0 car aucun pôle n’est contenu dans le contourd’intégration. La fonction de Green est donc causale. En ce qui concerne le cas t > 0on a
33
∫
R
dωe−iωt
(−c2k2 + 2ic2ωγ + ω2)= −2iπ
e−it(−ic2γ+Ωk)
2ic2γ + 2 (−ic2γ + Ωk)+
e−it(−ic2γ−Ωk)
2ic2γ + 2 (−ic2γ − Ωk)
= −2πe−c2γt sin tΩk
Ωk. (5.172)
D’où,
G (~r, t) = H (t)e−c2γtc2
r (2π)2
+∞∫
0
kdk sin (kr)sin ct
√k2 − c2γ
c√
k2 − c2γ(5.173)
A priori on ne peut plus dire grand chose. Cependant il existe un cas particulier,la limite des frottements faibles γ → 0+. Alors,
Gγ=0+ (~r, t) =H (t) c
r (2π)2
+∞∫
0
dk sin (kr) sin ckt (5.174)
=H (t)8rπ2
+∞∫
0
cos (k (r − ct))− cos (k (r + ct)) dk (5.175)
=H (t)8rπ2
+∞∫
−∞ek(r−ct) − ek(r+ct)dk (5.176)
=H (t)4πr
(δ (r − ct)− δ (r + ct)) . (5.177)
Dans la mesure où l’on est restreint à t>0, le deuxième δ est identiquement nul.En fait il correspond à une onde qui s’approche de l’origine à la vitesse de la lumière.On a montré que δ (r − ct) /4πr est la fonction de Green de l’équation de d’Alembert.Elle correspond à une onde créé par un pulse en ~r = 0 à t = 0. Ce pulse se propage àla vitesse de la lumière du centre. Son intensité décroît comme 1/r et il reste localisésur la sphère centrée en zéro et de rayon ct. On remarque enfin que l’onde reste unpulse au cours de sa propagation. Bien qu’intuitif cette propriété ne reste plus vraieen dimension inférieure. Afin de s’en convaincre le lecteur pourra calculer la fonctionde Green du D’Alembertien en dimension 2.
Remarquons qu’à la limite γ → 0+ on retombe sur l’équation de D’Alembert àproprement parler. Celle-ci est en particulier satisfaite par le 4-potentiel Aµ =
(V, ~A
)
lorsque celui-ci satisfait la jauge de Lorentz14 :
div(
~A)
+1c2
∂V
∂t= 0 . (5.178)
14à qui sert une jauge et quelles autres jauges vous connaissez
34
Dans ce cas, en présence d’une distribution de courant ~j (~r, t) et de charges ρ (~r, t), lequadri-potentiel vérifie
(1c2
∂
∂t2−∆
) ∣∣∣∣V (~r, t)~A (~r, t)
=∣∣∣∣
ρ (~r, t) /ε0µ0
~j (~r, t). (5.179)
Ainsi on a
V (~r, t) =1
4πε0
∫
R3
d3~r′∫
R
dt′ρ
(~r′, t′
)
|| ~r − ~r′ ||δ(|| ~r − ~r′ || −c
(t− t′
))(5.180)
=1
4πε0
∫
R3
d3~r′ρ
(~r′, t− || ~r − ~r′ || /c
)
|| ~r − ~r′ ||(5.181)
~A (~r, t) =µ0
4π
∫
R3
d3~r′~j
(~r′, t− || ~r − ~r′ || /c
)
|| ~r − ~r′ ||. (5.182)
C’est la fameuse formule des potentiels retardés ! ! ! Il est intéressant de prendre lalimite c → +∞ qui correspond au cas de l’électrostatique. On retrouve alors sanspeine les formule usuelle pour le champ électrique ~E et magnétique ~B. De plus lalimite c → +∞ fournit la solution de l’équation de Poisson
∆V = g (5.183)
En prenant cette limite dans (5.181) on trouve que la fonction de Green du Lapla-
cien est1
4πr.
Enfin à la limite de l’equation de Poisson c → +∞, où tout simplement a lalimite de l’éléctrostatique/magnétostatique où les distributions de charges/courantssont indépendantes du temps on retrouve les formules de Biot et Savart. Ce-ci estlaissé à titre d’exo.
5.2 Équation de la diffusion.
On modélise les processus diffusifs par l’équation :(
∂
∂t−D∆
)f (~x, t) = g (~x, t) (5.184)
La fonction f peut représenter une température, une concentration où encore laprobabilité de trouver un marin sou sur le quai d’un port. g (x, t) représente un ajoutde particules, de chaleur ou encore de tournées de rhum gratuites.
On cherche donc à calculer la fonction de Green de cet opérateur différentiel, ie lasolution de l’équation différentielle :
35
(∂
∂t−D∆
)G (~r, t) = δ(3) (~r) δ (t) (5.185)
Tout comme dans le cas de l’équation d’ondes on effectue une TF en temps etespace de cette équation. Quite à simplifier on se placera en une dimension. Alors
F [G] (k, ω) =1
−iω + Dk2(5.186)
On commence par calculer la TF inverse en temps
12π
∫
R
dωF [G] (k, ω) =12π
∫
R
dωe−iωt
−iω + Dk2(5.187)
= H (t)×−2iπ12π
e−Dk2t
−i= H (t) e−Dk2t (5.188)
Où l’on referme le contour par le demi-plan complexe supérieur (où la fonctionn’as pas de pôles) pour t < 0 et par le demi-plan inférieur où la fonction à un pôlesimple en ω = −iDk2. Il reste à effectuer l’intégration sur les modes d’espace :
G (x, t) =H (t)2π
∫
R
dke−Dk2t−ikx =H (t)2π
√π
Dte−
x2
4Dt (5.189)
=H (t)√4πDt
e−x2
4Dt (5.190)
La fonction de Green pour l’équation de diffusion est donc bien causale (présencede la fonction de Heaviside). De plus c’est une exponentielle en espace. Le problèmec’est qu’elle donne une solution qui, concentrée en t = 0 à l’origine (p.ex. un deltade particules), s’étend dans tout l’espace dés que t > 0. Ce-ci suppose une propa-gation des particules à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Ce modèle brisedonc l’invariance relativiste. Il est cependant fort satisfaisant dans de nombreux casparticuliers.
La fonction de Green qu’on vient de construire ne permet pas d’incorporer lesconditions initiales. En effet, si on a une excitation qui commence à t = 0, alors lafonction f (x, t) = (G ∗ g) (x, t) vérifie f (x, 0) = 0∀x.
On va prendre en compte les C.I. en utilisant la TL. En effet, supposons que l’ons’interesse à un problème de diffusion dans un espace infini où l’on impose la valeur dudiffusant à t = 0. Ainsi on va effectuer la TL de l’équation en temps (pour prendre encompte les conditions initiales) et la TF en espace. On tombe sur l’équation suivante :
zLF [f ] (~r, z)−D∆LF [f ] (~r, z) = f (~r, 0) (5.191)
On doit donc construire la fonction de Green G (~r, z) de l’opérateur
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z −D∆ (5.192)
On le fait en passant grâce à la TF. Ainsi,
(z + Dk2
)F [G] (k, z) = 1 (5.193)
On prends tout d’abord la TL inverse. Ce ci donne,
F [G] (k, t) =1
2iπ
∫
B
ezt
z + Dk2= H (t) e−Dk2t (5.194)
Il suffit ensuite de prendre la TF inverse ce qui donne
G (~r, t) =H (t)(2pi)3
∫
R3
d3ke−Dk2te−i~k.~r =H (t)
(4πDt)32
e−r2
4Dt (5.195)
La solution particulière s’obtiens donc par une convolution en espace
fpart (~r, t) =H (t)
(4πDt)32
∫
R3
d3r′ e−(~r−~r′)2
4Dt f(~r′, 0
)(5.196)
Or on montre que
e−(~r−~r′)2
4Dt
(4πDt)32
t → 0+
−→ δ(3)(~r − ~r′
)(5.197)
Références
[1] W. Appel Mathématques pour la physique et les physiciens.
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