Philippe Cibois

Laboratoire Printemps (CNRS) – Université de Versailles-St-Quentin

Le PEM, Pourcentage de l'Ecart Maximum

Indices d’association Exigences PEM local PEM global Étalonnage Utilisation

Indices d’association dans un tableau de contingence

T Cj Total

Li Nij Ni

Total Nj N

Observé : Nij

Théorique : Ni x Nj / N

Phi-deux : Khi-deux / N

Coefficient de contingence (Pearson) C2 = Phi-deux / (1 + Phi-deux)

Coefficient de Tchuprov T2 = Phi-deux / racine carrée du degré de liberté

Coefficient de Kramér V = Phi-deux / (plus petite dimension – 1)

0 = indépendance, 1 = maximum

On peut exprimer le V de Kramér en pourcentage : ce que représente le Phi-deux (ou le Khi-deux) par rapport au maximum possible.

Exigences : - indice local et global qui soient dans la même logique, - qui soit réaliste (on peut rencontrer le maximum et le minimum), - dont l’agrégation du local soit cohérent avec le global,- indice exprimé d’une manière usuelle : en pourcentage.

Niveau zéro = indépendance : définie pour une case et pour l’ensemble

Liaison maximum (niveau 100) pour une case du tableau : l’effectif dans la case est le plus élevé possible en tenant compte des contraintes des marges. Effectif-max = min (marge ligne, marge colonne)

PEM = Pourcentage de l’Ecart MaximumOn compare l’écart à l’indépendance observé par rapport à l’indépendance dans le cas du maximum.

T Cj Total

Li Nij Ni

Total Nj N

Observé : NijThéorique : Ni x Nj / NEcartobs = Obs – théoriqueMax = Min (Ni, Nj)Ecartmax = Max – théoriquePEM = Ecartobs / Ecartmax x 100

+------------+------------+------------+------------+

|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total |

|Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |

+------------+------------+------------+------------+

|Masc | 38 15.6| 206 84.4| 244 100|

| | 1.6 -18.6* 0.4 18.6* 2.0 47.7|

+------------+------------+------------+------------+

|Fémi | 60 22.4| 208 77.6| 268 100|

| | 1.5 18.6* 0.3 -18.6* 1.8 52.3|

+------------+------------+------------+------------+

| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|

| en colonne | 3.1 | 0.7 | 3.8 100|

+------------+------------+------------+------------+

Case féminin – école nouvelleObservé Maximum d’attraction

60 98Théorique 268 x 98 / 512 = 51,30

Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique

60 – 51,30 = 8,70 98 – 51,30 = 46,70Ecartobs / Ecartmax = 8,70 / 46,70 = 0,186

PEM = Pourcentage de l'écart maximum = 18,6%

PEM d’une attraction Le Khi-deux du tableau est de 3.8Degré liberté = 1 Prob.= 0.047

+------------+------------+------------+------------+

|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total |

|Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |

+------------+------------+------------+------------+

|Masc | 38 15.6| 206 84.4| 244 100|

| | 1.6 -18.6* 0.4 18.6* 2.0 47.7|

+------------+------------+------------+------------+

|Fémi | 60 22.4| 208 77.6| 268 100|

| | 1.5 18.6* 0.3 -18.6* 1.8 52.3|

+------------+------------+------------+------------+

| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|

| en colonne | 3.1 | 0.7 | 3.8 100|

+------------+------------+------------+------------+

Case masculin – école nouvelleObservé Maximum de répulsion

38 0Théorique 244 x 98 / 512 =46,70

Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique

38 – 46,70 = -8,70 0 – 46,70 = -46,70Ecartobs / Ecartmax = -8,70 / -46,70 = 0,186

PEM = Pourcentage de l'écart maximum = -18,6% (négatif par convention)

PEM d’une opposition

+------------+------------+------------+------------+|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total ||Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |+------------+------------+------------+------------+|En avance | 16 17.4| 76 82.6| 92 100|| | 0.1 -9.1| 0.0 9.1| 0.2 18.0|+------------+------------+------------+------------+|A l'heure | 67 17.7| 312 82.3| 379 100|| | 0.4 -7.6| 0.1 7.6| 0.5 74.0|+------------+------------+------------+------------+|En retard | 15 36.6| 26 63.4| 41 100|| | 6.5 21.6* 1.5 -21.6* 8.1 8.0|+------------+------------+------------+------------+| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|| en colonne | 7.1 | 1.7 | 8.8 100|+------------+------------+------------+------------+

Le Khi-deux du tableau est de 8.8Degré liberté = 2 Prob.= 0.012 **

PEM global

Liaison maximum pour l’ensemble du tableau : suppose un ordre pour les lignes et les colonnes. Soit un ordre « naturel » soit un ordonnancement par le premier facteur d’une ACP sur les écarts à l’indépendance.- Indépendance : effectif théorique pour chaque case- Algorithme de chargement de la diagonale qui porte les écarts positifs à l’indépendance.

+------------+------------+------------+------------+|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total ||Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |+------------+------------+------------+------------+|En avance | 16 17.4| 76 82.6| 92 100|| | 0.1 -9.1| 0.0 9.1| 0.2 18.0|+------------+------------+------------+------------+|A l'heure | 67 17.7| 312 82.3| 379 100|| | 0.4 -7.6| 0.1 7.6| 0.5 74.0|+------------+------------+------------+------------+|En retard | 15 36.6| 26 63.4| 41 100|| | 6.5 21.6* 1.5 -21.6* 8.1 8.0|+------------+------------+------------+------------+| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|| en colonne | 7.1 | 1.7 | 8.8 100|+------------+------------+------------+------------+

 

Ecole nouvelle

Collège bonne

réputationTotal

En avance 0  92 92

A l'heure     379

En retard     41

Total 98 414 512

 

Ecole nouvelle

Collège bonne

réputationTotal

En avance  0 92 92

A l'heure   322  379

En retard    0 41

Total 98 414 512

 

Ecole nouvelle

Collège bonne

réputationTotal

En avance  0 92 92

A l'heure 57  322  379

En retard  41  0 41

Total 98 414 512

 

Ecole nouv.

Collège bonne rép.

Total

En avance

-1,6 1,6 92

A l'heure

-5,5 5,5 379

En retard

7,2 -7,2 41

Total 98 414 512

 

Ecole nouv.

Collège bonne rép.

Total

En avance

-17,6 17,6 92

A l'heure

-15,5 15,5 379

En retard

33,2 -33,2 41

Total 98 414 512

Somme des écarts positifs (observé) = 14,3 Somme écarts positifs (maximum) = 66,3

PEM global = 14,3 / 66,3 x 100 = 21,6%

PEM locaux : 9,1 ; 7,6 ; 21,6

Harald Cramèr, Mathematical Methods of Statistics,Princeton, PUP, 1946, p. 444

V =φ2 /(min(nb lignes, nb col) -1)

φ2 = χ2/n

0-1M 1-2M 2-3M +M3

OENF 9558 9558

1ENF 11110 11110

2ENF 3635 3635

3ENF 778 778

4E1+ 182 182

9558 11110 3635 969 25263

Χ2 = 75789 = n x 3

0-1M 1-2M 2-3M +M3

OENF 1339 5173 3046 9558

1ENF 1521 9589 11110

2ENF 3635 3635

3ENF 778 778

4E1+ 182 182

6116 10928 5173 3046 25263

Χ2 = 35867,65

Khi2/Khi2max = 568,5 / 35867,65=0,016PKM = 1,6% (PEM = 10,7%)

S

Il faut situer une observation dans l’univers des possibles (selon Georges Guilbaud)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1

105

209

313

417

521

625

729

833

937

1041

1145

1249

1353

1457

1561

1665

1769

1873

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1

130

259

388

517

646

775

904

1033

1162

1291

1420

1549

1678

1807

PEM globaux1er quartile=16

Médiane=25 3e quartile=42

Moyenne=30,26Ecart-type=18,18

Enquête REL86 : 1891 tableaux croisés entre 62 questions

V de Cramèr x 1001er quartile=1

Médiane=9 3e quartile=36Moyenne=5,32

Ecart-type=7,27

V de Cramèr = (χ2 /n) / (plus petite dimension – 1)

PEM = Somme écarts positifs / Somme écarts positifs dans le cas du maximum x 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1

105

209

313

417

521

625

729

833

937

1041

1145

1249

1353

1457

1561

1665

1769

1873

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1

1962

3923

5884

7845

9806

1176

7

1372

8

1568

9

1765

0

1961

1

2157

2

2353

3

2549

4

2745

5

2941

6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1

120

239

358

477

596

715

834

953

1072

1191

1310

1429

1548

1667

1786

Enquête Prat89 1891 PEM globaux entre 62 questions

1er quartile=7 Médiane =11 3e quartile =18

Moyenne=14,68 ET=12,38

Enquête Prat89 30628 PEM globaux entre 248 questions

1er quartile=6 Médiane =11

3e quartile =21Moyenne=16,08

ET=15,89

Enquête REL86 : 1891 PEM globaux entre 62 questions

1er quartile=16 Médiane=25

3e quartile=42Moyenne=30,26

ET=18,18

Distributions de PEM

Applications du PEM

Analyse d’un tableau : étalonnage du PEM

PEM global : recherche des questions en attraction avec une variable d’intérêt

Visualisation de liens entre modalités sur un graphique factorielet profil d’une modalité

N= 512 (mères)140 questions

- description fine de l'enfant : ses "qualités", ses "défauts", son attitude en famille ; son comportement et son niveau scolaire, les raisons du choix du collège, ses matières préférées, son avenir ;- ses loisirs ;- le style des relations que la mère avait avec l'enfant (complicité, fermeté, etc.).- situation sociale de la mère : métier, formation (y compris celle des grands-parents),gouts, affiliations politiques, religieuses, associatives, du couple.

Les stratégies éducatives des classes moyennes et supérieures salariées(Ph.Cibois, F. de Singly, Deug socio Paris 5, 1992)

Variable d'intérêt : choix du type de collège (école nouvelle / collège bonne réputation)

• QV83 18 VêtementDeMarque• Q114 18 StatutProfNouvConjoint• QV95 18 PosPolMère• QV34 18 EnfantBonneMatière• QV44 18 RessourcesEnSommeil• QAGS 18 AgeScolaire• QV11 17 Choix3Qualités• QV01 17 Classe• QV62 17 NbTélé• Q120 17 NivEtudesGPèrePat• Q116 17 NivEtudesGPèreMat• QV87 16 QuiAimeBien...• Q82A 16 AideMaternelle1• Q35B 16 MatièresScolaires2• Q26A 16 FreqCollègeAntérieure• Q26B 16 FreqCollègeUltérieure• Q67C 16 CadeauNoël2• Q71B 15 FinirSonAssiette• QV09 15 Choix1Qualités• QV69 15 MénageMaison• Q122 15 SexeEnquêteur• QCSM 15 CSMère• QV98 15 SitProfMère• Q89A 15 SujetsDesaccords1• QV66 15 PersonneAdmirée• Q79B 15 AttitudeEducMère2• Q78D 15 ActivitéAvecEnfant3• QV15 15 ConfidenceAmoureuse• QV10 14 Choix2Qualités• QV02 14 Sexe• Q88C 13 AuCourantSoucisSanté

• Profil de la modalité Q17A TypeEcole

• Nom PEM Intitulé• Q17B 65 Ecole• QV32 36 SatisfactionEnfantEnseign• Q88E 35 AuCourantOpinionsPolitiqu• QV45 31 Jusqu'oùAller• QV20 29 ImpApprentissageAutonomie• QV22 29 ImpRéussiteCollège• QV18 28 ImpProximitéCollège• Q50D 27 Activité3• Q73B 25 PrioritéEducative2• Q50C 25 Activité2• Q67D 25 CadeauNoël3• Q50B 24 Activité1• Q61A 22 ActivitéPréférée1• QV85 22 TypeSanction1• QV30 22 QuiChoixCollège• Q73A 21 PrioritéEducative1• Q65A 21 JeuSociété1• QCSP 21 CSPère• Q92A 21 LoisirPréféréMère1• QV46 21 NiveauFinSouhaité• QV96 21 ReproductionEducative• QV52 21 CompétitionSportive• Q78C 20 ActivitéAvecEnfant2• Q67B 20 CadeauNoël1• QGSM 20 GSGPMat• Q43A 20 AnticipationLycée• Q67E 19 CadeauNoël4• Q92B 19 LoisirPréféréMère2• Q84A 19 MotifRéprimande1• QV97 19 DifférencesEducatives