Le goût desLe goût des nombres 

et comment l’acquérir 

Manuela PiazzaINSERM CEAINSERM‐CEA 

Cognitive Neuroimaging UnitNeuroSpin Center, Saclay, France

www.unicog.orgwww.unicog.org

Unkown artist (1840-1850). The Maths lesson. Victoria & Albert Museum, London, UK

[Feigenson 2011; Izard et al. 2009; Libertus & Brannon, 2010; Xu & Arriaga 2007; Brannon et al., 2004; Xu & Spelke 2000]

Une «prédisposition» précoce pour le nombreg g

rdm

ps d

e re

gar

48 nouveau-nésAge = 49 h [7-100 h]

Tem

Nombre congruent Nombre incongruent

12

4

[Izard, Sann, Spelke, & Streri, PNAS 2009]

Une « prédisposition» précoce pour le calcul[McCrink & Wynn, 2004; Kobayashi et al., 2004; McCrink & Wynn, 2009; Wynn, 1992]

Les bébés (9 mois) réagissent aux violations des règles de l’arithmétique (additions / soustractions)(additions / soustractions)

Ils combinent mentalement les nombres

…ils regardent plus longuement ces évènements impossibles!

Quand 5 +5 ne fait pas 10….

[McCrink & Wynn, Psychological Science 2004]

Les neurones des nombres dans le cerveau du macaquecerveau du macaque

75

100

Codage neuraleNeurone

[Nieder, Freedman & Miller, 2002; Nieder & Miller, 2003, 2004, 2005; Roitman, Brannon & Platt, 2007]

Tacheappariement

0

25

50

75

100

préfère 1

Neuroneappariement différé des nombres

0

25

50

75

100

Neurone préfère 2

lisé

(%)

Regions d’ enregistrements 0

25

50

75

100

Neurone préfère 3

pons

e no

rmal

Regions d enregistrements(% “neurones des nombres”)

AS

CORTEX INTRAPARIETAL

0

25

50

75

100

Neurone préfère 4

Rép

LS

IPSCS

AS

PS

LFCORTEX

0

25

50

75

100

p

Neurone éfè 5STS

CORTEX PREFRONTALLATERAL

(log scale)

0

1 2 3 4 5préfère 5

Nombre d’objets[Nieder et al., Neuron 2003]

Un code neural du nombre dans le cortex pariétal chez l’hommecortex pariétal chez l homme

[Roggerman et al., 2011; Hyde & Spelke, 2010; Eger et al., 2009; Piazza et al., 2007; Cantlon et al., 2006; Piazza et al., 2004]

P t l d’ d t ti

Réponse cérébrale aux changements du nombre (IRMf)

Protocole d’adaptation

Ad t ti

16 16 16 16

Adaptationstimuli

8 32

Deviantstimuli Range of

test stimuli 0.4ACTIVATION PARIETAL

0 2

0

0.2

0.5 1 2-0.4

-0.2

Deviant/Adaptation ratio (log scale)[Piazza et al., Neuron 2004]

Le système pariétal pour le nombre est actif chez le nouveau néchez le nouveau-né[Hyde et al., 2010; Libertus et al., 2009; Izard et al., 2008]

µV+3 µVPotentiels évoques

Réponse cérébral aux changements du nombre (EEG)

2

µ

0

2

0

…2vs3 4vs8 4vs12

-2

-4-3t=750-850msProtocol d’adaptation

…Nombre standardNombre deviant

Possible stimuli test:

[Izard et al., PLos 2008]

Le « sens du nombre» joue un rôle fondateur dans l’ apprentissage des mathsdans l  apprentissage  des maths

La compréhension des mots des nombre et des opérations arithmétiques simples implique leur mise en relation avec les représentations                      pré ‐ existantes de la cardinalité des ensembles, et de ses transformations.

Le « sens du nombre » impose des contraintes neuro‐fonctionnelles a l’apprentissage du calcul:

‐‐ Sa maturité détermine la vitesse et la facilite’ avec laquelle les enfants apprennent les nombres et le calculet le calcul.

‐‐ Son intégrité est une condition nécessaire pour un apprentissage du calcul normalun apprentissage du calcul normal.

Eugene Carriere (1849-1906). The Arithmetic Lesson

l f à à l l l è d b

Apprendre à compter et à calculer dans le cerveau‐Lorsque les enfants apprennent à compter et à calculer leur système du nombre 

approximatif est déjà en place.‐Il s’agit de créer de nouvelles représentations auditives/visuelles des nombres

‐ Et de les connecter aux codes pré‐existants de la quantité

Représentations des quantitésReprésentations des quantités numériques et des opérations 

« # # » + « ## »Forme auditive des nombres etnombres et articulation « /deux/ »

Forme visuelle des nombres « 2 », « deux »

Le cortex pariétal s’active systématiquement lorsque adultes et enfants font du calcul arithmétique symboliqueq y q

z = 44 x = 39x = - 48 50 %z = 49L R

HIPS

22 %

• Ces régions s’activent pour le calcul arithmétique quelque soit la culture (e.g. Tang et al., 2006; Dehaene et al., 2003)

• L’activation est localisée autour des mêmesL activation est localisée autour des mêmes coordonnées spatiales chez l’enfant et l’adulte (e.g., Cantlon, 2012; Krinzinger, 2011)

• Si lésés acalculie, un trouble acquis du calculSi lésés acalculie, un trouble acquis du calcul (e.g.Dehaene 1997)

•L’ accès à ce système s’ automatise au cours de l’apprentissage, et chez l’adulte il s’active même app e t ssage, et c e adu te s act e ê epour des nombres subliminaux (e.g. Naccache, 2002)

Les nombres sont associés à des quantités approximativesapproximatives

[Moyer & Landauer, 1967; Dehaene et al., 1990; Pinel et al., 2001; Gilmore et al., 2007; Chinello et al., 2012]

ENFANTS (GS maternelle)ADULTES“choisis le plus grand

nombre”“choisis le plus grand

nombre”

« Sarah a 21 bonbons » « Elle en reçoives 30 de plus» « John a 34 bonbons.

* *12 16

ç pQui a n’as le plus?»

0 9

0,95

1

cy

Comparaison symbolique

Addition symbolique

0,8

0,85

0,9

Acc

urac

Comparaison non-symbolique

Addition non-symbolique

0,751 2 31.1 1.3 1.6Ratio (bigger/smaller set)

Ratio (bigger/smaller set)1.25 1.5 1.75

[Gilmore et al., Nature 2007][Chinello et al., Developmental Science in press]

Ratio (bigger/smaller set)

L’ acuité du « sens du nombre » augmente dans le temps: cela pourrait expliquer pourquoi les enfants comprennent les premiers mots des nombres d’une façon très lente et progressive.

Les mots des nombres signifient des quantités

Apprentissage des nombres:

l i

Rapports numériques discriminables(fraction de Weber)

g q

Comprend le mot “un”

Comprend le mot “deux”

Comprend

très lent et strictement sequentiel

(fraction de Weber)1:2 2 ans

3 ans

p“trois”

Decouvre les principesdu comptage

Comprend“quatre”

3 ans

4 ans

du comptage

4:5

3:4

2:3

Age (ans)0 1 2 3 4 5 6 7 10

5:6

4:5

[Piazza, TICS 2010]

Dyscalculie: un «sens du nombre» immature[Mazzocco et al., 2011; Mussolin et al., 2010; Piazza et al., 2010]

*

“choisis le plus grand nombre”

L’ acuité du sens du nombre est immature ates 5

6

7adults10 ans5 ans10 ans dyscalculiques

0 45

0,50non-dyscalculiques

nom

bre)

L acuité du sens du nombre est immature dans la dyscalculie

butio

n E

stim

a

3

4

5

d l li

0 30

0,35

0,40

0,45

ber (

sens

du

n

Dis

trib

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

1

2dyscalculiques

0 15

0,20

0,25

0,30

power function(R2 = 0.97)

ctio

n de

Web Fraction de Weber

[Piazza et al., Cognition 2010]

0,10

0,15

0 5 10 15 20 25 30

Age (ans)

Fra

L’ acuité du « sens du nombre » corrèle avec la performance en calculperformance en calcul

- Le sens du nombre en maternelle édit l f l l CPprédit la performance en calcul en CP

[Mazzocco et al., 2011; Gilmore et al., 2010]

2 a

8 an

s

- Le sens du nombre chez l’adolescent et l’adulte est corrélé a la réussite en calcul dans des épreuves mathématiques

TEM

A-2

dans des épreuves mathématiques standardisées et dans des tâches de calcul mental [Piazza et al., 2012; Ranzini & Girelli, in press; Halberdaet al 2011; Halberda et al 2007]et al., 2011; Halberda et al., 2007]

Fraction de Weber a 14 ans

[Halberda et al., Science 2007][Halberda et al., Science 2007]

Effets de l’éducation sur le «sens du nombre»: raffinement de l’acuité numériqueraffinement de l acuité numérique

Le Mundurucu: une population indigène de l’Amazonie (Bresil)

Dans leur culture il n'y a pas de système de comptage ni de représentation symbolique du nombre au-delà de 3-4.

Dans notre étude, nous avons testé 36 Mundurucu [âge de 4 a 67]:

0 5

Mundurucu, non-éduqués

Mundurucu, quelques années d’ écoleFraction de Weber

, [ g ]12 sans aucune éducation, et 24 avec quelques années d’ école

0.4

0.5Contrôles Italiens (moyennes de group)

0.2

0.3

0.1

*

“choisis le plus grand nombre”

00 10 20 30 40 50 60 70

Age (années)

[Piazza et al., Psychological Science, in press]

Effets de l’éducation sur le «sens du nombre»: d’une échelle logarithmique a une échelle linéaire

Curseur mobile

d une échelle logarithmique a une échelle linéaire

Points

Tones …

nombresMundurukuMunduruku

nombresP t iPortuguais

[Dehaene et al., Science, 2008]

Relation nombre-espace logarithmique chez les Mundurucu

Mundurucu enfants et adultes montrent un mappage compressif:

American participantsMunduruku participants American participantsMunduruku participants

- Pour ensembles d’objets concrets -Pour nombres Mundurucu et Portuguese

American participants

56

78

9

se lo

catio

n

56

78

9

se lo

catio

n

Munduruku participants

56

78

9

se lo

catio

n

56

78

9

se lo

catio

n

American participantsMunduruku participants

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

stimulus number

Res

pons

Dots (1-10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

stimulus number

Res

pon

Dots (1-10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

stimulus number

Res

pons

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

stimulus number

Res

pons

L1 numerals(Munduruku)

L1 numerals(English)

67

89

loca

tion

67

89

loca

tion

67

89

e lo

catio

n

67

89

e lo

catio

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

Res

pons

e

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

Res

pons

e

Tones (1-10) Tones (1-10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

stimulus number

Res

pons

e

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

5

stimulus number

Res

pons

e

L2 numerals(Portuguese)

L2 numerals(Spanish)

stimulus number stimulus number stimulus number stimulus number

[Dehaene et al., Science, 2008]

Effets de l’éducation sur le «sens du nombre»:d’une échelle logarithmique a une échelle linéaire

[Siegler & Opfer, 2003; Siegler & Booth, 2004; Berteletti et al., 2009]d une échelle logarithmique a une échelle linéaire

1 10Un changement majeur du a l’ éd ti l d’

« positionner le numéro X1 10 éducation: le passage d’une

représentation logarithmique a une représentation linéaire des

nombres

sur l’ échelle»

nombresMaternelle PS Maternelle MS Maternelle GS

[Berteletti et al Devel Sci 2009][Berteletti et al., Devel Sci 2009]

Une représentation spatiale des nombres[Loetscher 2009; Hubbard 2005; Fisher 2004; Zorzi et al 2002; Dehaene et al 1993][Loetscher, 2009; Hubbard, 2005; Fisher, 2004; Zorzi et al., 2002; Dehaene et al., 1993]

H i é li ti lHemi - négligence spatiale[Zorzi et al., Nature Neuroscience 2002]

- 12 sujets dans une salle sans lumière- Tâche: produire une séquence de nombres aléatoire. - Les mouvements oculaires sont enregistrées et analysées dans une fenêtre de 500 ms précédent la production du nombrenombre.

Bisection de ligne Bisection de nombre

[Loetscher et al., Curr Biol 2009]

Supports pédagogiques avec référence explicite à la notion de ligne numérique sont efficaces

G iffi & C (1994 2004) R i & Si l (2008) Lilli d d El Q t (2008)Griffin & Case (1994, 2004)Programme éducatif en math avec activités de ligne numérique améliore durablement le calcul chez les enfant de b i i é i

Ramani & Siegler (2008)Entraînement très court avec jeux de ligne numérique améliore tâches numériques: comparaison, comptage h l f d b i i

Lilliard and Else-Quest (2008)Programme Montessori entraine les associations simultanées entre quantités concrètes, symboles, et ligne numérique

li l i h (bas niveau socio-économique. chez les enfant de bas niveau socio-économique.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Programme Montessori

améliore la réussite en maths (vs. programme non-Montessori; USA)

Mean developmental level scores on Number Knowledge test at 4 time periods

2

2.5

1

1.5

TreatmentControlNormative

0

0.5

Pre K(5.4 yrs)

Post K(6.0 yrs)

Post 1(7.0 yrs)

Post 2(8.0 yrs)

Wilson Fayol Dehaene (2007)

Le jeux « La course au nombres »

«L’attrape nombre » http://thenumbercatcher.comj

améliore les tâches de comptage, comparaison des nombres, identification chez des enfants en maternelle de bas niveau socio-

- Logiciel éducatif adaptatif qui module difficulté et vitesse.- Présentation de nombres sous toutes leurs formes : écrits en chiffres arabes, parlés sous forme de mots, et visualisés sous forme de quantités et d’ensembles d’objets arrangés sur une ligne entraîne le passage rapide d’une

économique.(vs. logiciel de lecture)

représentation a l’autre.- Entraîne particulièrement les calculs avec nombres a 2 chiffres et la décomposition a 10.

Diminution d’erreurs dans la tache de comparaison des nombrescomparaison des nombres

Conclusion: du sens du nombre à « l’ alphabétisation numérique »« l  alphabétisation numérique »

L’ ti d b t d l l• L’apprentissage des nombres et du calcul se construise à partir d’un système neurocognitif préexistant qui permet d’extraire et manipuler mentalement l’information numériquementalement l information numérique approximative de l’environnement sensoriel.

• Ce système est suffisamment plastique pour être partiellement reconverti, grâce a l’éducation, au codage du nombre exact, grâce

l i d tauquel nous arrivons a comprendre et manipuler les symboles numériques («26»).

• Ce processus d’apprentissage est aidé par l’utilisation des supports de visualisation spatiale des nombres.

Laurent de La Hyre (1606-1656). Allegory of ArithmeticWalters Art Museum, Baltimore, Maryland.

Conclusion: implications pour l’éducation• Les enfants entrent l’école avec un bagage d’intuitions sur le nombre et

le calcul qui devraient être utilisées comme point de départ pour l’ enseignement des mathématiques.g q

• Savoir qu’ils prouvent compter sur leur sens du nombre devrais leur donnersens du nombre devrais leur donner plus de confiance et de plaisir.

• Développer le sens du nombre devrait être plus important et précéder l’apprentissage de procédures

La manipulation d’outils concrets est un support

pp g p

• La manipulation d outils concrets est un support important pour nos intuitions.

• Jeux simples et logiciels éducatifs peuvent être utilisé pour renforcer les premiers apprentissages surtout pour des enfants à risque.

Merci!St i l

Liz Spelke

Philippe Pinel

Veronique Izard

StanislasDehaene

Evelyn Eger

Ed Hubbard

Pierre Pica

Alessandro Chinello

David Melcher

André KnopsChinello

IlariaBerteletti

Marco Zorzi Qing Cai