Pilotage d'un 4e ordre par

un PID numérique

Patrick FARJONENMM Nantes

1° Simulation d'un processus du 4e ordre par un filtre de Sallen et Key.

2° Numérisation du correcteur PID.

a) Equation du PID analogique et hypothèses.

b) Approximation de la dérivée.

c) Approximation de l'intégrale.

d) Loi de commande du PID numérique.

e) Fonction de transfert en z du PID.

3° Choix de la période d'échantillonnage ∆∆.

a) Théorème de Shannon.

b) Choix de ∆ pour un 1er ordre sans zéro.

c) Choix de ∆ pour un ordre supérieur.

4° Etude expérimentale.

a) Matériel utilisé.

b) Schéma fonctionnel de l'asservissement.

c) Identification du processus par la méthode de Strejc.

d) Détermination des paramètres du PID.

e) Réponses indicielles en boucle fermée.

α) Régulateur proportionnel pour K= 4 (pompage).

β) Régulateur PID (Ziegler et Nichols).

γ) Régulateur PID (méthode du pivot).

f) Remarques.

1° Simulation d'un processus du 4e ordre par un filtre de Sallen etKey.

R

R R

R

C

C

C

C1

1

2

2

3

3

4

4+

+

-

-

2

2

3

3

4

4

6

6

7

7

+Vs

-Vs

+Vs

-Vs

Ve

Vs

On montre que la fonction de transfert se met sous la forme suivante :

Vs p

Ve pG p

R R C p R R C C p R R C p R R C C p

( )

( )( )

( ) ( )= =

+ + +×

+ + +1

1

1

11 2 2 1 2 1 22

3 4 3 3 4 3 42

Dans le cas particulier ou R R R C C1 2 4 2 4= = = = , R , C et C3 1 3 alors G(p) prend la

forme suivante : G pT p T p

R C R C( )( ) ( )

=+

×+

= =1

1

1

112

22 1 1 3 3 avec T et T1 2

Application numérique :

Pour les valeurs R k1 100 100 50 110= = = = , R k , C F , C F 3 1 2Ω Ω µ µ on obtient

G pp p

( )( ) ( )

=+ +

1

1 5 1 112 2

On réalise ce montage que l'on utilisera dans la suite de l'exposé. Peu importe les

valeurs réelles des composants (incertitudes) car en fait on identifiera le processus

par la méthode de Strejc de façon à avoir une modélisation du processus réel.

2° Numérisation du correcteurPID.

Compte tenu de l'importance du correcteur PID analogique il apparaît comme

indispensable d'en tirer une version numérique. Il faut noter au passage que dans ce

cas on ne peut plus parler de régulation numérique "vraie" car finalement on "singe"

le monde analogique au moyen d'un calculateur alors que l'on peut trouver des

équations récurrentes beaucoup plus performantes. Ceci dit, pour le pilotage de

processus thermique à fortes constantes de temps ou ordre élevé ( 4e ordre de

constante de temps 60 s pour un désurchauffeur à injection d'eau par exemple ) la

structure PID a fait ses preuves ( centrale thermique, navire à vapeur etc...).

a) Equation du PID analogique et hypothèses.

x(t) u(t)PID

x(t) : écart

u(t) : commande

Dans ces conditions on a :

bande de centrage au liée constante )(

)()()( +

++= ∫ dt

tdxTdttx

TtxKtu d

t

i 0

1

En mode dynamique (phase transitoire) seules les variations de x(t) sont à prendre

en compte et par conséquent on peut considérer du moins pour l'étude théorique que

la constante est nulle. En réalité c'est au passage "Manu / auto" que cette constante

est fixée par la valeur de u(t) à cet instant.

Le problème consiste donc à numériser cette expression pour qu'elle soit compatible

avec le traitement par un calculateur, ce qui revient à remplacer une équation

intégro-différentielle par son approximation en équation aux différences. Pour cela on

doit :

- Poser t = k.∆ ( ∆ étant la période d'échantillonnage ).

- Choisir une approximation de la dérivée.

- Choisir une approximation de l'intégrale.

L'interpolation polynomiale permet d'approximer simplement les actions intégrales et

dérivées, plus le degré du polynôme d'interpolation est élevé meilleure est la

précision.

b) Approximation de la dérivée.

x(t)

∆t = k.

Si on appelle D(k) la valeur approchée de la dérivée

on a :

D(k) =x(k) - x(k-1)

∆

∆

k

k-1

On remplace x(t) par des segments de droite de coefficient

directeur D(k).

Si ∆ est trop petit on risque de dériver les bruits et non le signal utile, si ∆ est trop

grand on risque de tomber en contradiction avec le théorème de Shannon. Le choix

de la période d'échantillonnage est un élément essentiel de la régulation numérique,

on y reviendra par la suite.

c) Approximation de l'intégrale.

x(t)

∆

∆

∆ t = ki

Soit I(k) une approximation de l'intégrale, en

utilisant la méthode des rectangles supérieurs

on a :

I ( k ) = Σ x ( i )k

i=1

On aurait une meilleure approximation en utilisant la méthode des trapèzes, dans ce

cas on obtient :

I k x i x ii

i k

( ) ( ) ( ) .= − +=

=

∑1

21

1

∆

d) Détermination de la loi de commande u (k) = f [ x(k) ] du PID.

On part de l'expression analogique que l'on numérise à partir des expressions

précédentes, ce qui donne :

[ ]

[ ]

K T

=C )K T

2+(1=B )K T

+T

+(1= A

: posant en )()()()()T

+(1K+1)-u(k = u(k)

: finalement donne qui ce )()()()()(

: a on 1)-(k rang le pour même de )()()()()(

ddd

i

i

∆∆∆∆

−

∆+−

∆+−

∆+

∆

−−−

∆+

∆+−=−

−−

∆+

∆+=

∑

∑

−=

=

=

=

2121

2111

1

1

1

1

kxT

kxT

kxT

kxkxT

ixT

kxKku

kxkxT

ixT

kxKku

ddd

dki

ii

dki

ii

u k u k Ax k Bx k Cx k( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + − − + −1 1 2

e) Fonction de transfert en z du PID.

En prenant la transformée en z de l'expression précédente on en déduit la fonction

de transfert pulsée C(z) du PID numérique :

U z z U z AX z Bz X z Cz X z( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − +− − −1 1 2 d'ou on tire que :

U z

X zC z

A Bz Cz

z

( )

( )( )= =

− +−

− −

−

1 2

11

3° Choix de la période d'échantillonnage ∆∆.

Le choix de la période d'échantillonnage dépend de la plus petite constante de temps

du processus que l'on désire piloter. Intuitivement on sent bien que d'envoyer des

ordres à une vanne alimentaire de chaudière tous les centièmes de secondes serait

superflu car elle recevrait pratiquement cent fois le même ordre, par conséquent

autant envoyer un ordre toutes les secondes ce qui permet de libérer le calculateur

pour gérer d'autres chaînes de régulation par exemple. La valeur de la période

d'échantillonnage découle de l'application du théorème de Shannon.

a) Théorème de Shannon.

Un signal physique a une double représentation, temporelle f(t) ou fréquentielle F(ν)

l'une ou l'autre déterminant complètement le signal. L'énergie d'un signal réel étant

nécessairement finie cela impose que f(+∞) = f(-∞) = 0. On passe d'une

représentation à l'autre par la transformée de Fourier régie par les relations suivantes

:

d)F( )( et )()(+

-

ννν νν tjtj etfdtetfF Π∞

∞

∞+

∞−

Π− ∫∫ == 22

La représentation du module de F(ν) donne le spectre en fréquence du signal. Dans

le cas ou le signal f(t) est échantillonné, on le note alors f*(t), son spectre est alors

dupliqué à la période d'échantillonnage ∆. On rappelle que f*(t) est le produit de f(t)

par un peigne de Dirac.

En résumé on obtient les représentations suivantes :

signal continu :

t

Fourier

ν

νF( )| |

f(t)

signal échantillonné :

f*(t)

k∆ ν

ν

−

F( )| |

ν

Fourier

∆

ν ν00

1

Pour qu'il n'y ait pas de problème de recouvrement et par voie de conséquence de

déformation du signal il faut que la fréquence d'échantillonnage 1/∆ soit supérieure à

deux fois la plus haute fréquence significative ν0 contenue dans le spectre du signal.

Cela constitue le théorème de Shannon.

b) Choix de ∆∆ pour un 1er ordre sans zéro.

Un 1er ordre sans zéro a pour réponse impulsionnelle f t ket

T( ) =−

ce qui correspond

à une fonction de transfert F pk

Tp( ) =

+1. On calcule la transformée de Fourier de la

réponse impulsionnelle :

ννν

ννν

Π+=

Π+−===

+∞

∞+ Π+−Π+−

Π−∞+ −

∫∫j

T

k

jT

ekdtekdteekF

jT

tj

Tt

tjT

t

21

21

0

0

21

21

2

0 )()(

)()(

d'où on tire

que :

Fk

T

( )νν

=+

14

22 2Π

La sommation s'est effectuée sur 0, +∞ car le signal est causal (nul pour t<0).

On en déduit la courbe suivante :

ν

νν ν ν0 0-

F( )| |kT

0

Soit ν0 la fréquence pour laquelle la contribution en amplitude vaut 1/10 de

l'amplitude max on a d'après la relation précédente :

ν ν02

2 2 0

99

4

1 6= =

Π T T ce qui donne et par application du théorème de Shannon :

,

∆ =T

3 2,

Dans la pratique on choisit :T

T4

≤ ≤∆

Une fois choisie la période d'échantillonnage (1/∆ > 2ν0) on place un filtre passe bas

anti-recouvrement de fréquence de coupure ν0.

c) Choix de ∆∆ pour un ordre supérieur.

Compte tenu du fait qu'à constante de temps égale un ordre n est plus lent qu'un 1er

ordre on peut donc appliquer la relation précédente à un ordre quelconque. Dans le

cas des systèmes pseudo-pulsatoires (pôles complexes de la fonction de transfert) le

choix se fait par rapport à la pseudo-pulsation la plus grande ωp (pôles dominants

complexes) suivant la relation :

0 25 1 25, ,≤ ≤ω p ∆

Dans tous les cas on prendra les constantes de temps en boucle fermée (estimation)

car la bande passante en boucle fermée est en générale plus grande qu'en boucle

ouverte.

4° Etude expérimentale.

a) Matériel utilisé.

- Un PC (équipé d'une carte d'acquisition de signaux PC MS2 et du

logiciel Physcope) utilisé en enregistreur.

- Un PC (équipé d'une carte d'acquisition de signaux PC MS2) utilisé en

régulateur.

- Un filtre du 4e ordre Sallen et Key.

- Une alimentation +12V, -12V.

b) Schéma fonctionnel de l'asservissement.

e(t) s(t)x(t) x*(t)u*(t)

u(t)Bo(p) G(p)C(z)

G(z)

+

- ∆ ∆manu

auto

Le rôle du bloqueur d'ordre zéro Bo(p) est de maintenir constante la position du

servo-moteur jusqu'à la récurrence suivante. Le mode de fonctionnement des ports

de sortie des ordinateurs fait que la valeur inscrite en sortie reste constante tant

qu'elle n'est pas changée par la nouvelle récurrence , la sortie du calculateur est

donc par nature un signal échantillonné bloqué.

c) Identification de G(p) par la méthode de Strejc.

En commande manuelle on envoie un échelon sur le processus et on relève la

réponse ci-dessous. La position du point d'inflexion permet de déterminer la fonction

de transfert G(p) du processus.

On relève : ϕi = 2,9 V Ti = 28 s d'après la méthode de Strejc on en déduit

que :

G pp

( )( , )

=+

1

1 9 3 4

D'après ce qui précède on peut donc choisir une période d'échantillonnage ∆ = 5 s.

c) Détermination des paramètres du PID.

Compte tenu de la nature de G(p) on en déduit que pour un gain proportionnel Ko

correspondant à une montée du lieu de transfert de G(jω) de 12 dB on a alors un

oscillateur parfait en boucle fermée à la période To = 2πT, ce qui donne : To = 58 s et

Ko = 4.

En appliquant la méthode du pompage limite (Ziegler et Nichols) on obtient les

paramètres suivants : K = 2,4 Ti = 29 s Td = 7,25 s

En utilisant la méthode du pivot on obtient les résultats suivants :

On monte le lieu de transfert jusqu'à avoir une marge de phase de 50° ce qui

donne K. Ensuite on prend le point (0 dB, -130°) comme point invariant par l'action

intégrale et dérivée ce qui donne Ti et donc Td. On obtient alors : K = 1,77 Ti =

29 s Td = 7,25 s

Finalement on calcule les paramètres A, B et C du PID numérique (Ziegler et

Nichols) ce qui donne :

A = 6,29 B = -9,36 C = 3,48

D'où

C zz z

z( )

, , ,=

− +−

− −

−

6 29 9 36 3 48

1

1 2

1 Fonction de transfert du PID

u k u k x k x k x k( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( )= − + − − + −1 6 29 9 36 1 3 48 2 Equation récurrente du PID

e) Réponse indicielle en boucle fermée.

αα) Régulateur proportionnel pour K = 4 (pompage).

On relève la courbe suivante :

On note que la période de pompage est égale à 63 s donc sensiblement la même

que celle qui était prévue par le calcul d'après l'expression de G(p).

ββ) Régulateur PID (Ziegler et Nichols).

On relève la réponse suivante :

On remarque que partant de conditions initiales nulles, et en appliquant en consigne

un échelon de 0,5 V le premier ordre envoyé par le calculateur est de 3,15 V. Cela

correspond bien au déroulement de l'équation récurrente qui donne :

u k u k x k x k x k( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( )= − + − − + −1 6 29 9 36 1 3 48 2 pour k = 0 on a : u(0) = 3,15 V

γγ) Régulateur PID (méthode du pivot).

Dans ce cas les coefficients A, B et C ont pour valeur : A = 4,64 B = -6,9 C =

2,56

Ce qui donne la courbe suivante :

f) Remarques

La carte PC MS2 ne peut délivrer que +10V;-10V au maximum en sortie et ne peut

recevoir que +5V;-5V au maximum en entrée. Par conséquent il faut veiller à ce

que les ordres donnés par l'équation récurrente ne soit pas supérieurs aux valeurs

imposées par la technologie, de même pour les entrées. Il y a une petite marge de

manœuvre en jouant sur ∆, ce qui permet de modifier l'équation récurrente tout en

restant à l'intérieur des limites imposées par le théorème de Shannon.